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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

JOÃO GILBERTO

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Um pouco de história

O Problema da Navegação

Na antiguidade, o transporte e a comunicação por via terrestre envolviam enormes dificuldades, pois as vias de acesso entre as localidades eram penosamente construídas, em geral, usando mão de obra escrava. Para percorrer grandes distâncias, era bem mais fácil, portanto, estabelecer rotas marítimas que costeassem ilhas e continentes. A partir da necessidade de se navegar em alto mar, surgiu o problema básico da navegação: o de se determinar a posição de um navio em alto mar.

Os navegantes gregos, que por volta do século V a.C. já tinham absorvido boa parte dos conhecimentos astronômicos dos babilônios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude.

Para os navegantes no hemisfério norte, a latitude de um lugar é o ângulo formado pela Estrela Polar e o horizonte, naquele ponto. A latitude de uma pessoa no Polo Norte é de 90º, pois, nesse ponto, a Estrela Polar está diretamente sobre a sua cabeça (na realidade, existe um pequeno desvio angular, pois a Estrela Polar não se encontra exatamente sobre o Polo Norte). Navegando para o norte, a cada noite, um observador veria essa estrela colocar-se cada vez mais alto no céu. Navegando para o sul, aconteceria o contrário. Medindo a elevação angular da Estrela Polar, um marinheiro poderia obter uma medida acurada da distância para o sul ou para o norte.

No Hemisfério Sul, a determinação da latitude de um lugar pode ser feita, da mesma maneira, medindo-se a elevação angular da estrela chamada Sigma Oitante, que representa o Distrito Federal na Bandeira Brasileira.

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No entanto, para determinarmos a posição de um ponto no globo terrestre é necessário, além da latitude, que determina a posição Norte-Sul desse ponto, a determinação da sua longitude, que indica a direção Leste-Oeste.

Os Alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude, transportando a bordo de seu navio um relógio preciso. O relógio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durante toda a sua viagem. Como a Terra descreve uma rotação completa (360º) em 24h, gira 15º, a cada hora. Assim, o navegador poderia determinar sua longitude em qualquer lugar do planeta, simplesmente pela leitura das horas do relógio, quando o sol incidisse diretamente sobre a sua cabeça. Sua longitude em relação a Alexandria seria o produto de 15º pela diferença, em horas, entre o meio dia e o tempo local de Alexandria, fornecido pelo relógio.

Infelizmente, não haviam relógios portáteis, à disposição dos alexandrinos, que fossem suficientemente precisos para manter um registro contínuo das horas, durante longas viagens. As dificuldades práticas para a determinação da longitude eram tão grandes, que este dado deixou de ser levado em consideração na prática da navegação, durante um grande período.

As primeiras Noções de Trigonometria

Tentando resolver o problema da navegação, os gregos se interessaram também, em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou no surgimento das primeiras noções de Trigonometria.

O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Eratóstenes (250 a.C.), o bibliotecário de Alexandria. Seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul.

Eratóstenes sabia que Alexandria, ponto A na figura a seguir, ficava a 800 km da cidade hoje chamada de Assuã, ponto B e, portanto, esta era a medida do arco AB na figura. Ele também sabia que em 21 de junho, solstício de verão no hemisfério Norte, ao meio dia em Assuã, o sol incidia diretamente sobre as suas cabeças, junto a primeira catarata do Nilo. Portanto, seus raios formavam um ângulo de zero grau com a vertical, não produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do sol formavam um ângulo de 71/2 graus com a vertical, em Alexandria.

Devido a grande distância do sol, ao atingirem a Terra, os raios do sol poderiam ser considerarados paralelos e, portanto, os ângulos AÔB e DÂS são iguais, conforme mostra a figura a seguir:

Como o ângulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assuã e de Alexandria, era igual a 7/12 graus, calcular o raio da Terra era equivalente a resolver a seguinte proporção , uma vez que a circunferência inteira da Terra mede360º.     

O cálculo, feito por Eratóstenes, para a circunferência da Terra - 38400 km - foi um resultado fantástico se considerarmos que, muito tempo depois, na época de Colombo, os mais reputados geógrafos acreditavam que o valor correto para a circunferência da Terra era cerca de 27200 km. De fato, se Colombo conhecesse uma estimativa melhor (cerca de 39840 km), talvez nunca tivesse se arriscado a viajar para a Índia! O raio da Terra pode ser estimado dividindo-se o comprimento da sua circunferência por ( aproximadamente igual a 6,28 ).

Hiparco adotava para o raio da Terra o valor de 8 800 km (o raio terrestre mede cerca de 6378 km). De posse desse valor, Hiparco tentou achar a distância da Terra à Lua da maneira descrita a seguir. Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos C e E, conforme mostra a figura a seguir:

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17 8002360 x

5

Quando estiver diretamente sobre o ponto E, um observador em C vê a Lua nascer no horizonte. Conhecendo a localização dos pontos C e E, Hiparco estimou a medida do ângulo Â. Como a distância AC é igual ao raio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidos um dos lados (8 800 km) de um triângulo retângulo e um de seus ângulos (Â), determinar a hipotenusa AB.

Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triângulos retângulos semelhantes as razões, constantes, entre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus ângulos. Estas razões são chamadas razões trigonométricas. Hiparco organizou diversas tabelas relacionando razões trigonométricas com ângulos.

As relações trigonométricas num triângulo retângulo, constituíram um avanço no estudo das relações métricas nos triângulos porque estas, estabelecem fórmulas que relacionam entre si, medidas de segmentos, enquanto que as razões trigonométricas relacionam medidas de ângulos com medidas de segmentos (lados dos triângulos).

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Chama-se ciclo trigonométrico a circunferência de raio unitário (r = 1), com centro na origem de um plano cartesiano ortogonal. Nesse ciclo, considera-se que:

A origem dos arcos é o ponto A(1, 0);

O sentido positivo é o anti-horário;

Os eixos coordenados dividem o ciclo trigonométrico em quatro regiões congruentes denominadas quadrantes, (I Q, II Q, III Q e IV Q) numeradas no sentido anti-horário a partir de ;

Aos pontos A, B, C, e D, são associados, respectivamente, as medidas dos arcos 0º (ou 0 rad), 90º ou (/2 rad), 180º (ou rad), 270º (ou 3/2 rad) e 360º (ou 2 rad).

Recordando Conceitos

Ciclo Trigonométrico

OA

7

As figuras a seguir ilustram o que foi exposto.

A(1, 0)

B(0, 1)

C(-1, 0)

D(0, -1)

O

I QII Q

III Q IV Q

x

y

r = 1

+

90º /2 rad

O

I QII Q

III Q IV Q

x

y

180º = rad

270º 3/2 rad

360º = 2 rad

+

8

O

y

x

Imagem dos arcos no cicloConsideremos o ciclo trigonométrico, no qual os arcos têm

origem no ponto a e extremidade M. Desse modo, dizemos que o arco pertence a um certo quadrante quando M pertencer a esse quadrante, ou seja:

AM (0 AM 2 rad)

+

M

M IQ AM IQ

0rad AM rad2

AM 0,2

A O

+

y

x

M

A

M IIQ AM IIQ

rad AM rad2

AM ,2

9

+

O

y

x

M

M IIIQ AM IIIQ

3rad AM rad

23

AM ,2

A

+

O

y

x

M

M IVQ AM IVQ

3rad AM 2 rad

23

AM ,22

A

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Funções trigonométricas

As funções trigonométricas constituem o objeto fundamental da trigonometria no ciclo e são importantes devido à sua periodicidade, pois podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

As funções trigonométricas são escritas na forma

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a, b, c e d são constantes, com b ≠ 0 e c ≠ 0.

“trig” é uma das funções estudadas

Exemplos:

f x a b trig(cx d)

b) f x 3 cos x,temos a 0,b 3,c 1e d 0

c) f x 2 5tg 2x ,temos a 2,b 5,c 2 e d3 3

a) f x 1 2 sec x ,temos a 1,b 2,c 1e d4 4

Função Seno

É a função f: R R, definida por f(x) = sen(x) ou y = sen(x), que de modo geral pode ser expressa por:

Propriedades da função seno

Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim:

D(f) = IR.

Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo

1)

2)

3)

Observação: como se pode notar, os valores de a e b alteram a imagem da função.

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y a b sen(cx d)

Se b > 0 Im = a b;a b

Se b < 0 Im = a b;a b

Se a = d = 0 e b = c = 1 Im = {y em IR/ -1 y 1}

Periodicidade: A função y = sen x é periódica de período 2, pois, a cada períodos de 2 rad a função seno se repete e seu gráfico é chamado de senóide. Logo, para todo x em IR e para todo k em Z temos:

sen(x) = sen(x + 2) = sen(x + 4) = ... = sen(x + 2k )

Cálculo do período de uma função do tipo y = a + b.sen (cx +d):

Translação Vertical “a”: movimento vertical do gráfico, ou seja, transporta o gráfico “para cima” ou “para baixo” em relação aos valores de y.

Translação Horizontal: “d”

é a abscissa do ponto inicial do gráfico.

Paridade: a função seno é impar, pois sen( x) = sen(x).

Gráfico: para construirmos o gráfico da função seno, utilizamos os pontos notáveis do ciclo trigonométrico e da função seno no intervalo [0, 2]. Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2. 13

2P

c

d

c

14

A seguir, uma tabela com valores de y = sen x no intervalo [0, 2].

Assim, para construirmos o gráfico basta marcarmos os pares ordenados (x, sen x) no plano cartesiano.

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x

y

Resumindo:

Domínio: D(f) = R

Imagem: Im(f) =

Quadrantes: IQ, IIQ, IIIQ e IVQ

● Sinais:

● Variação :

● Período:

● Translação vertical: a

● Translação horizontal:

● Paridade: função ímpar

0 2

32

2

1

1

Gráfico:

Período: p = 2

++

Função Seno

d

c

B’ ( 0, 1)

O

( 1, 0) A’

B ( 0, 1)

A ( 1, 0) 0 , 2cos x

sen x

32

2

a b;a b

y a b sen(cx d)

2P

c

Os valores de a e b alteram os valores de y (ordenadas do gráfico).

O valor de a faz com que o gráfico “suba”, para a > 0, e “desça”, para a < 0, |a| unidades. A isto denominamos translação vertical.

O valor de b “esmaga” ou “estica” a função na vertical Se b > 1, estica o gráfico Se 0 < b < 1, esmaga o gráfico Se -1 < b < 0, esmaga o gráfico e há uma reflexão entre os valores de y, ou

seja, o gráfico fica simétrico em relação ao eixo x (troca de posição e achata). Se b < -1, estica o gráfico e há uma reflexão entre os valores de y, ou seja, o

gráfico fica simétrico em relação ao eixo x (troca de posição e alonga).

Os valores de c e d alteram os valores de x (abscissas do gráfico).

A constante c altera o período da função, ou seja, “estica” ou “esmaga” a função na horizontal.

c > 1, encurta o período da função; 0 < c < 1, alonga o período da função; c = 1, mantém-se o período da função.

A constante d, provoca um movimento horizontal no gráfico que denominamos translação horizontal. Ou seja, faz com que o gráfico ande |d/c| para:

Direita, se d < 0Esquerda, se d > 0

Analisando gráficos e algumas características

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Exemplo 1:

f(x)= 2 + sen(x)

Neste exemplo, temos a = 2 e podemos notar que o gráfico de y = sen x sofreu um deslocamento vertical de duas unidades para cima.

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Exemplo 2:

f(x)= 3.sen x

Já neste outro exemplo, temos a = 0 e b = 3. Analisando o gráfico, e sendo b > 1, podemos notar que o gráfico de y = sen x foi “esticado verticalmente”. Suas ordenadas foram multiplicadas por 3.

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Exemplo 3:f(x)= (1/3).sen x

Neste caso, temos a = 0 e b = 1/3. Assim, sendo 0< b < 1, podemos notar que o gráfico de y = sen x foi “achatado verticalmente”. Suas ordenadas foram multiplicadas por 1/3.

Exemplo 4:

f(x)= -3.sen x

Como b < -1 (b = -3), o gráfico fica simétrico pelo eixo x em relação ao gráfico de y = sen x e suas ordenadas são multiplicadas por -3, ou seja, troca de posição e estica.

Exemplo 5:

f(x)=sen(2x)

Temos neste exemplo c > 1 (c = 2), logo isto altera o período da função, ou seja, “encurta” a função na horizontal.

Exemplo 6:

f(x)=sen(1/2x)

Temos neste exemplo 0 < c < 1 (c = 1/2), logo isto altera o período da função, ou seja, “alonga” a função na horizontal.

Exemplo 7:

f(x)=sen(-1/2x)

Temos neste exemplo 0 < c < 1 (c = -1/2), logo isto altera o período da função, ou seja, “alonga” a função na horizontal. Além disso, como c < 0, o gráfico fica simétrico pelo eixo x em relação ao gráfico de f(x) = sen (1/2x).

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Função Cosseno

É a função f: IR IR, definida por f(x) = cos(x) ou y = cos(x), que de modo geral pode ser expressa por:

Propriedades da função cosseno

Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, sendo assim:

D(f) = IR.

Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo

1)

2)

3)

Observação: como se pode notar, os valores de a e b alteram a imagem da função.

y a b cos(cx d)

Se b > 0 Im = a b;a b

Se b < 0 Im = a b;a b

Se a = d = 0 e b = c = 1 Im = {y em IR/ -1 y 1}

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Periodicidade: A função y = cos x é periódica de período 2, pois, a cada períodos de 2rad a função cosseno se repete e seu gráfico é chamado de senóide. Logo, para todo x em IR e para todo k em Z temos:

cos(x) = cos(x + 2) = cos(x + 4) = ... = cos(x + 2k)

Cálculo do período de uma função do tipo y = a + b.cos(cx +d):

Translação Vertical (a): movimento vertical do gráfico, ou seja, transporta o gráfico “para cima” ou “para baixo” em relação aos valores de y.

Translação Horizontal : é a abscissa do ponto inicial do gráfico.

Paridade: a função cosseno é par, pois cos(x) = cos(-x).

Gráfico: para construirmos o gráfico da função cosseno, utilizamos os pontos notáveis do ciclo trigonométrico e da função cosseno no intervalo [0, 2]. Completamos o gráfico da função cosseno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2.

2P

c

d

c

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A seguir, uma tabela com valores de y = cos x no intervalo [0, 2].

Assim, para construirmos o gráfico basta marcarmos os pares ordenados (x, cos x) no plano cartesiano.

x

yGráfico:

02

32

2

1

1

Período: p = 227

Resumindo:

Domínio: D(f) = R

Imagem: Im(f) =

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais :

● Variação:

● Período:

● Translação vertical: a

● Translação horizontal:

● Paridade: função par

B’ ( 0, 1)

O

( 1, 0) A’

B ( 0, 1)

A ( 1, 0)

0 , 2cos x

sen x

32

2

+ +

Função Cosseno

d

c

a b;a b

y a b cos(cx d)

2P

c

28

A

M

O

TANGENTEIntrodução Para compreendermos a definição que virá a seguir, vamos recordar alguns conceitos. Consideremos na circunferência trigonométrica um arco de medida .

A

AM =

O

Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A:

t

T

O prolongamento do raio intercepta a reta t no ponto T. No triângulo AOT, temos: , como = 1, pois é o raio da

circunferência trigonométrica, obtemos:

OM

ATtg

OA OA OA

ATtg tg AT

1

AM

M

29

Assim, a tg é a medida do segmento AT.Para estendermos o conceito de tangente de um arco trigonométrico, consideremos como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma orientação do eixo das ordenadas.

Eixo das tangentes

t

O

- 1

A

1

- 2

2

A’

B’

B

DefiniçãoDado um arco trigonométrico , M B, de medida , chama-se tangente de ( tg ) a ordenada do ponto T obtida pela intersecção do prolongamento do raio com o eixo das tangentes.

AM

OBSERVAÇÃO:

A tangente não existe para arcos de e

todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não existe para arcos da forma

3rad , rad

2 2

k , com k .2

Z

30

Função Tangente

É a função f: IR IR, definida por f(x) = tg (x) ou y = tg (x), que de modo geral pode ser expressa por:

Propriedades da função tangente

Domínio: A função tangente é definida para todos os reais, exceto para Assim:

Imagem: O conjunto imagem da função tangente é conjunto dos números reais, ou seja:

Im (f)= IR

Períodicidade: A função y = tg x é periódica de período , pois, a cada período de rad a função tangente apresenta uma repetição de comportamento. Logo, para todo x em IR e para todo k em Z temos:

tg(x) = tg(x + ) = tg(x + 2) = ... = tg(x + k)

Cálculo do período de uma função do tipo y = a + b.tg(cx +d):

Paridade: a função tangente é ímpar, pois tg(-x) = -tg(x)

y a b tg(cx d)

D(f) = x IR/ cx + d k , k Z2

Pc

x k2

31

2

32

22

x

y

0

-1

1

Gráfico: para construirmos o gráfico da função tangente, utilizamos os pontos notáveis do ciclo trigonométrico e da função tangente no intervalo [0, 2]. Completamos o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2.

OBSERVAÇÃO:

A tangente não existe para arcos de e todos os arcos côngruos

a eles, ou seja a tangente não existe para arcos da forma

3rad , rad

2 2

k , com k .2

Z

Assíntotas

32

Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = IR

Quadrantes:

● Sinais :

● Variação:

● Período:

Função Tangente

Resumindo:

x / cx d k , com k2

Z

A ( 1, 0)

( 0, 1) B

( 1, 0 ) A’

( 0, 1) B’

N

Q

M

O

P

t

T

T’

+

+

+

_

+ +IQ IIQ IIIQ IVQ

2

32

22

x

y

0

y a b tg(cx d)

P

c

33

COTANGENTEIntrodução Para compreendermos a definição que virá a seguir, vamos recordar alguns conceitos. Consideremos na circunferência trigonométrica um arco de medida . AM

Seja t’ a reta perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto B:

O prolongamento do raio intercepta a reta t` no ponto T. No triângulo BOT, temos: , como = 1, pois é o raio da

circunferência trigonométrica, obtemos:

OM

OBtg

BT OB OB

1 1 1tg BT cot g

tg tgBT

t`// 0x

M

A (1, 0)

O

T(0, 1) B

(1, 0) A’

B’ (0, 1)

1

A

AM =

O

M

34

Função Cotangente

É a função f: IR IR, definida por f(x) = cotg (x) ou y = cotg (x), que de modo geral pode ser expressa por:

Propriedades da função tangente

Domínio: A função cotangente é definida para todos os reais, exceto para Assim:

Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é conjunto dos números reais, ou seja:

Im (f)= IR

Períodicidade: A função y = cotg x é periódica de período , pois, a cada período de rad a função cotangente apresenta uma repetição de comportamento. Logo, para todo x em IR e para todo k em Z temos:

cotg(x) = cotg(x + ) = cotg(x + 2) = ... = cotg(x + k)

Cálculo do período de uma função do tipo y = a + b.cotg(cx +d):

Paridade: a função tangente é ímpar, pois cotg(-x) = -cotg(x)

y a b cotg(cx d)

D(f) = x IR/ cx + d k , k Z

Pc

x k

35

Função Cotangente

Resumindo:

Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = IR

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais : + +

● Variação:

● Período:

x / x k , com k Z

02

32

2

x

yGráfico:

M

A (1, 0)

O

t’// 0xT(0, 1) B

(1, 0) A’

B’ (0, 1)

1

y a b cotg(cx d)

Pc

36

x

SECANTE E CO-SECANTE

Seja AM um arco do primeiro quadrante com extremidade em M. A reta t tangente ao ciclo em M, intercepta o intercepta o eixo dos co-senos em S e o eixo dos senos em C. Por definição, a medida algébrica do segmento OS é a secante do arco AM; e a medida algébrica do segmento OC é a co-secante do arco AM. Então:

O

t

A

S

C

M

sec x

cosec x

Importante:

1 1sec x e cossec x

cos x sen x

37

FUNÇÃO SECANTE:

Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = ] , a b] [ a + b, + [ se b > 0 ou Im(f) = ] , a + b] [ a b, + [ se b < 0

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais : + +

● Variação:

● Período:

x / (cx d) k , com k2

Z

O

t

A (1,0)

S

C

sec x

M

(0, 1) B

( 1, 0) A’

( 0, 1) B’

0 2

32

2 x

1

1

y

y a b sec(cx d)

2P

c

38

FUNÇÃO COSSECANTE:

Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = ] , a b] [ a + b, + [ , se b > 0 ou Im(f) = ] , a + b] [ a b, + [ , se b < 0

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais : + +

● Variação:

● Período:

x / (cx d) k , com k Z

cossec x

O

t

A(1,0)

S

C

M

(0, 1) B

( 1, 0) A’

( 0, 1) B’

1

02

32

2x

1

1

y a b cossec(cx d)

2P

c

39

Observações:

A secante não existe para arcos de

e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a secante não

existe para arcos da forma

A co-secante não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a co-secante não

existe para arcos da forma

A secante é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa 2º e 3º quadrantes, ou seja, depende do sinal do co-seno.

A co-secante é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa 3º e 4º quadrantes, ou seja, depende do sinal do seno.

rad, rad 32 2

2

Zk , com k .

0rad , rad

k , com k . Z