1 funÇÃo modular. 1. mÓdulo – definição eixo real considerando a reta orientada que...

1

FUNÇÃO FUNÇÃO MODULARMODULAR

1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – DefiniçãoConsiderando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo realeixo real, com origem no ponto O, que é onde representamos o número real 0 (zero).

3 3

2

Dizemos que módulomódulo de um número real x é a “distância” do pontoa “distância” do ponto que representa x no eixo (afixo) à origemà origem do eixo real.

4 4

0 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(Comprimento do segmento de reta entre 0 e 3)(Comprimento do segmento de reta entre 0 e -4)

(Comprimento do segmento de reta entre 0 e 0)

1. MÓDULO – Definição1. MÓDULO – Definição

3

Deste modo, podemos dizer que:

Perceba que se o número énúmero é positivo positivo o módulo o módulo éé ele mesmo ele mesmo, se é zero, o módulo é zero, se ése é negativo, negativo, o módulo é o módulo é o oposto do númeroo oposto do número.

Sendo x ϵ R, temos:

0,

0,

xsex

xsexx

negativoforxsexsedeleopostoox

zerooupositivoforxsexsemesmoelexx

0,

0,


3 3

4

4 4

0 0

Exemplo 1) defina os módulos a seguir.

a)

b)

c)

d) 12 .12,12 positivoépois

e) 23 .23,2323 negativoépois

Exemplo 2) Dê o valor da expressão:222

Cuidado! é negativo!

22 222

222 222 222 2

063,63

063,6363

xsex

xsexx


5

Exemplo 3) defina o módulo a seguir:63 x

negativoforelesedeleopostoo

zerooupositivoforelesemesmoelex

,

,

2,63

2,6363

xsex

xsexx

63 x

3

6x

2x

63 x

3

6x

2x


Sendo x ϵ R, temos:

0,

0,

xsex

xsexx

020,20

020,2020

22

222

xxsexx

xxsexxxx

202 xx

0202 xx

51 x 42 x

x5 – – – – – –– – – – – –

+ + ++ + +

4

+ + ++ + +

45 x 6

Exemplo 4) Aplique a definição de módulo para a sentença:


Agora que sabemos a parte positiva e a parte negativa da sentença estudada, temos:

45,20

45,2020

2

22

xsexx

xouxsexxxx

De modo resumido podemos dizer:

)0(,

)0(,

negativaéelasedelaopostoo

nulaoupositivaéelasemesmaelasentença

7

062,62

062,6262

xsex

xsexxxf

2. FUNÇÃO MODULAR2. FUNÇÃO MODULARChamamos de função modular toda função definida pela forma: xxf

O que aplicando a definição de módulo se reduz a:

0,

0,

xsex

xsexxxf

Observe a função:

3,62

3,6262

xsex

xsexxxf

8

62 x

2

6x

3x

3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico3. FUNÇÃO MODULAR – GráficoEX.1) Construa o gráfico da função:

1211,0: xxfRf

012,12

012,1212

xsex

xsexx

2

1x

2

1x

Rf 1,0:9

2

1

3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico

2

10,121

12

1,121

121xsex

xsexxxf

121 xxf

x y

2/1110

12

1x

121 xxf

x y

02/101

2

10 x

0 1

1

10

3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico

Ex.2) Construa o gráfico da função: 962 xxxf

962 xx 23 x2x 32 x 23

962 xxxf

23 xxf

3 xxf11

3xxf

03,3

03,3

xsex

xsex 3x3x

3, xse

3xxf

3, xse

3 xxf

x y

3

4

0

1

x y

2

3

1

0

12

3 4

1

0 2x y

3

4

0

1

x y

2

3

1

0

3, xse

3, xse

13

EX.3) Esboce, num mesmo plano cartesiano, os

gráficos das funções definidas por e

e apresente os valores reais de x para

os quais:

3 xxf

3 xxg

xgxf

x

0,

0,

xsex

xsex

3x

03,3

03,3

xsex

xsex 3x3x

14

0

3

0 3

x x x

3x 3 x 3 x

0, xse 30, xse 3, xse

xgxf

33 xx

xgxf

33 xx

xgxf

33 xx15

0, xse 30, xse 3, xse

xgxf

33 xx

xgxf

33 xx

xgxf

33 xx

33 xx

33

x

33 xx

62 x

3x

33 xx

00

x

16

xSe,

0,

0,

xsex

xsex

3 xxf

0, xse

3xxf

0, xse

3 xxf

x y

0

1

3

2

x y

0

1

3

217

3 xxg

3, xse

3xxg

3, xse

3 xxg

3, xSe

03,3

03,3

xsex

xsex 3x3x

x y

3

4

0

1

x y

2

3

1

0

18

3 4

1

0 2

3 xxf

0, xse 0, xse

x y

0

1

3

2

x y

0

1

3

2

2

3

11 3 xxg

3, xse 3, xse

x y

2

3

1

0

x y

3

4

0

119

Esboce o gráfico e determine o domínio e o

conjunto imagem da função: . xxxf 42

x

0,

0,

xsex

xsex

xxxf 42

0, xse

xxxf 42

0, xse

xxxf 42

20

0, xse

xxxf 42

0, xse

xxxf 42

x y

01

03

2 4

x y

21

43

0 00

2

2

3

11

4

2

21

P4.

000 xxerealxparax

4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS

P1.

axouaxax P2.

yxouyxyx P3.

yxyx

0 ycomyxyxP5.

*2 2 , Nnparaxxn n P6.

axaax P7.

axouaxax P8. 22

Quais são os números que têm módulo menor que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2)

5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARPara entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo:Quais são os números que têm módulo igual a 2?(neste caso queremos saber quais os números cuja distância até o zero é 2)

23

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Quais são os números que têm módulo maior que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)

5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARPara entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo:

24

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARChamamos de equação modular toda equação definida pela forma: ax

O que aplicando a definição de módulo se reduz a:

, 0

, 0

x se xx

x se x

Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:

25

ax ax ax

ou

5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULAR

26

Exemplo 1) Resolva a equação732 x

032,32

032,3232

xsex

xsexx

2

3,32

2

3,32

32xsex

xsexx

32 x

2

3x

Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:732 x o

u 732 x

372 x

2

10x 5x

732 x372 x

42 x 242 x2x

5,2S

5. EQUAÇÃO MODULAR5. EQUAÇÃO MODULARPerceba o seguinte, a equação:

2 3 7x

Acabou se reduzindo a outras duas equações:

2 3 7x

27

ou 2 3 7x

Assim podemos simplificar o processo, mas neste caso, não podemos deixar de observar se as respostas encontradas em cada equação verificam a condição de existência de cada uma delas (ou seja, se estão dentro do intervalo no qual elas se estão dentro do intervalo no qual elas estão definidasestão definidas).

035,35

035,3535

22

222

xxsexx

xxsexxxx


28

Exemplo 2) Resolva a equação 3352 xx

Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:2 5 3 3x x o

u

2 5 3 3x x 2 5 6 0x x 25 4 1 6 49

5 49

2 1x

' 6x " 1x

2 5 0x x 5 0x x 0x 5 0x

5x

1,0,5,6S


29

Exemplo 3) Resolva a equação5 2 7x x

Para resolver este tipo de equação modular vamos primeiro lembrar de uma das propriedades estudadas anteriormente:

5 2 7x x ou

5 2 7x x

5 7 2x x 12 x

2

3x

5 2 7x x

2,123

S

yxouyxyx

Aplicando este conceito na nossa equação teremos:

2 7 5x x 3 2x


30

Exemplo 4) Resolva a equação2

12 0x x

Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro efetuar a seguinte substituição:

2 12 0m m 3x 21 4 1 12 49

' 3x

3x

3,3S

x m

Deste modo a equação se reduzirá a:

1 49 1 7

2 1 2x

" 4x

Agora basta fazer:

ou

3x

4x

x R


31

Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação2 1 5 0x x x

Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão:

2, 2 0

22 , 2 0

x se xx

x se x

1, 1 0

11 , 1 0

x se xx

x se x

2x

2x

1x

1x

Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMAQUADRO SOMA:


32


1

2

1 2

1x 1x 1x

2x 2x 2x

2 1x 32 1x

, 1se x , 1 2se x , 2se x

2 1 5 0x x 3 5 0x 2 1 5 0x x 7 1x 1

7x

5 3x 3

5x

3 1x 1

3x


33


Perceba que a equação dada se transformou em se transformou em outras trêsoutras três, e cada uma delas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:

CONCLUSÃO: a resposta NÃONÃO atende a condição.

, 1se x

1

7x Resp

.:Cond.:

CONCLUSÃO: a resposta ATENDEATENDE a condição.

, 1 2se x

30,6

5x Resp

.:Cond.:

CONCLUSÃO: a resposta NÃONÃO atende a condição

, 2se x

1

3x Resp

.:Cond.:

3

5S


34

Exemplo 6) Resolva a equação2 2 1 6 0x x x

Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão:

2, 2 0

22 , 2 0

x se xx

x se x

2 1, 2 1 0

2 12 1 , 2 1 0

x se xx

x se x

2x

2x

1

2x

1

2x

Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMAQUADRO SOMA:


35

1

2

2

1

2 2

2 1x 2 1x 2 1x

2x 2x 2x

3 1x 3x 3 1x

1,

2se x

1, 22

se x , 2se x

3 1 6 0x x 3 6 0x x

3 1 6 0x x

4 5 0x 5

4x 3 0

2 7 0x 7

2x


x R


36

Perceba que a equação dada se transformou em se transformou em outras trêsoutras três, e cada uma delas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:

CONCLUSÃO: a resposta ATENDEATENDE atende a condição.

1,

2se x

5

4x Resp

.:

Cond.: CONCLUSÃO:

não existe valor de x.

1, 22

se x

3 0 Resp.:Cond.:

CONCLUSÃO: a resposta ATENDEATENDE atende a condição

, 2se x

7

2x Resp

.:Cond.:

5 7,5 2

S


Quais são os números que têm módulo menor que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2)

6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULARPara entender o que é uma inequação modular vamos observar as situações abaixo:

37

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Quais são os números que têm módulo maior que 2?(neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULARPodemos enunciar o que vimos através de duas propriedades que já estudamos:

38

axaax P7.

axouaxax P8.

6. INEQUAÇÃO MODULAR6. INEQUAÇÃO MODULAR

39

Exemplo 1) Resolva a inequação7x

Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo menor que 7, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:

7 7x

7 7S x R x

-7 0 7


40

Exemplo 2) Resolva a inequação

Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo maior ou igual a 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:

3 3x ou x

3 3S x R x x

3x

-3 0 3


41

Exemplo 3) Resolva a inequação2 3 5x

Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 5, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: 5 2 3 5x

1,4S

Esta sentença é uma inequação simultânea (sistema de inequações) do 1º grau, que pode se resolvida de modo direto:5 3 2 3 3 5 3x

2 2 8x

2 2 8

2 2 2

x

1 4x

Soma-se 3 a todos os membros.

divide-se todos os membros por 2


42

Exemplo 4) Resolva a inequação3 5 1x

Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 1, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:3 5 1 3 5 1x ou x

Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 1º grau:3 5 1x

3 1 5x 4

3x

3 5 1x 3 1 5x

6

3x

2x

42

3S x R x ou x


43

Exemplo 5) Resolva a inequação2 2x x

Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 2, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:2 22 2x x ou x x

Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:2 2 0x x

2 2 0x x 7

Raízes:

x R Est. do sinal:

+ + ++ + + + + ++ + +

2 2 0x x

2 2 0x x Raízes:

' 2x

Est. do sinal:

' 1x

– – – – – – + + ++ + ++ + ++ + +

1 2x ou x

1 2


44


Pronto, agora basta fazer a UNIÃOUNIÃO das duas respostas encontradas (união por causa do “ou”):

1 2

1 2

1 2S x R x ou x

x R 1 2x ou x


45

Exemplo 6) Resolva a inequação2 4 3 3x x

Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: 23 4 3 3x x Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:23 4 3x x

2 4 6 0x x 12

Raízes:

Est. do sinal:- - -- - - - - -- - -

2 4 3 3x x

2 4 0x x Raízes:

' 0x

Est. do sinal:

' 4x

– – – – – – + + ++ + ++ + ++ + +

0 4x 0 4

2 4 6 0x x 2 4 0x x

Rx


46

Pronto, agora basta fazer a INTERSECÇÃOINTERSECÇÃO das duas respostas encontradas (intersecção por causa do “e”):

0 4

0 4

0 4S x R x

Exemplo 6) Resolva a inequação2 4 3 3x x

0 4x Rx


47


Neste caso, primeiro devemos definir cada um dos módulos:

Agora, vamos construir um QUADRO SOMAQUADRO SOMA para que possamos obter a sentença resultante da soma dos módulos.

5242 xx

042,42

042,4242

xsex

xsexx

2,42

2,4242

xsex

xsexx

02,2

02,22

xsex

xsexx

2,2

2,22

xsex

xsexx


48

Exemplo 7) Resolva a inequação 5242 xx

2

2

22 x 2x 2x

42 x 42 x 42 x

23 x 6 x 23 x

2

2x 22 x 2x

523 x

33 x 133 x 1x

56 x1 x 11x

523 x73 x3/7x


49

Perceba que a inequação dada se transformou em se transformou em outras trêsoutras três, e cada uma delas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:

CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que a resposta é VAZIO VAZIO (conjunto (conjunto vazio)vazio).

Resp.:

Cond.: CONCLUSÃO:

faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é:

Resp.:Cond.: CONCLUSÃO:

faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é:

, 2se x

Resp.:Cond.:


1x

2x

1x

22 x

21 x

3/7x

3

72 x


50

Agora basta fazer a UNIÃOUNIÃO dos intervalos encontrados.


1 2

23

7

13

7

21 x

3

72 x

3

71 xS


51

Exemplo 8) Resolva a inequaçãoNeste caso, primeiro devemos definir o módulo:

Agora, substitua na expressão original o módulo por cada uma das sentenças obtidas, gerando assim duas inequações, cada uma delas com seu respectivo intervalo de variação (condiçãocondição).

2 3x x

2 3, 2 3 0

2 32 3 , 2 3 0

x se xx

x se x

32 3,

22 33

2 3,2

x se xx

x se x

2 3x x 2 3x x 3x

2 3x x 2 3x x

1x 3 3x


52


2 3x x 2 3x x 3x

2 3x x 2 3x x

1x 3 3x

Perceba que a inequação dada se transformou em se transformou em duasduas, e que você já resolveu cada uma delas. E E AGORA?AGORA? Agora você precisa perceber que cada uma dessas respostas possui uma condiçãocondição (intervalo de variação dos valores de x) e que você precisa “cruzar” os dois:

Cond.:

3

2x

CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos:

33

2x

Cond.:

3

2x

CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos:

31

2x


53

Agora basta fazer a UNIÃOUNIÃO dos intervalos encontrados.


13

23

2 3

1 3

1 3S x

2 3x x

33

2x

31

2x

1 funÇÃo modular. 1. mÓdulo – definição eixo real considerando a reta orientada que...

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