1

Exemplo 7. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s.

Figura 1

(a) t = 1.0 s

tvxx 0

Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é constantex0 = 0 t0 = 0 x = 10 m t = 2 s

m/s 0.5s 2

0-m 100

txx

v

(b) t = 3.0 s

)( 00 ttvxx

x0 = 10 m t0 = 2 s x = 5 m t = 4 s

m/s 5.2s 2- s 4m 10-m 5

0

0

ttxxv

2

(c) t = 4.5 s

(d) t = 7.5 s

v= 0

)( 00 ttvxx

x0 = - 5 m t0 = 7s x = 0 m t = 8 s

m/s 5s 7- s 8

m) (-5 - 0

0

0

ttxxv

3

Aceleração média

Quando a velocidade da partícula se altera,

diz-se que a partícula está acelerada

tva x

m

A aceleração média é a variação da velocidade num intervalo de tempo t

if

if

ttvv

a

m

ou

xv

4

Exemplo 8. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro.

Figura 2

if

if

ttvv

am2m/s 5.7

0s 0.2m/s 30m/s 15

A velocidade escalar diminui com o tempo

a

av

5

Aceleração instantânea

Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes

portanto é útil definir a aceleração instantânea

xeaa

Aceleração na direcção xx

xe

2

2

dtxd

dtdx

dtd

dtdva

dtdv

tva

t

0

lim

6

Movimento rectilíneo uniformemente variado

Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante

no instante t = 0

se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado

se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado

Substituindo obtemos

Integrando fica

é a velocidade da partícula

é a aceleração da partícula é constante

atvv 0

200 2

1 attvxx

0v

dtdxv atv

dtdx

0

7

Exemplo 9. Um avião parte do repouso e acelera em linha recta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?

a) Qual é a aceleração do avião?

200 2

1 attvxx 0 0 x 0 0 v (parte do repouso)

2

21 atx

Substituindo os valores na equação0 0 x 0 0 v

2

222 m/s 3.8s 144m 1200

s 12m 60022

txa

b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?

atvv 0 0 0 v (parte do repouso)

m/s 100s 12m/s 3.8 2 atv

88

v

0 t t

a

Graficamente temos

Equação da recta

tavv 0

Aceleração constante

a

constante a

Velocidade variável

0v

0 t

xEspaço variável

0

0x

200 2

1 attvxx

Parábola

9

Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos

Através de experiências, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independentemente de sua massa

Refutou as hipóteses de Aristóteles

Corpos em queda livre

10

Mas... devemos notar que em geral, há outras forças actuando no corpo considerado, o que pode frustrar uma experiência se não formos suficientemente cuidadosos

a resistência

do ar!!

Corpos em queda livre

11

g

Corpos em queda livre

g

2m/s 8.9g

Valor da aceleração da gravidade perto da superfície da Terra

O vector aponta para baixo em direcção ao centro da Terra

g

As equações obtidas para partículas em movimento com aceleração constante são aplicáveis ao corpo em queda livre. Assim

Vector aceleração da gravidade

g

yegg

ye

y

200 2

1 gttvyy

gtvv 0

Exemplo 10. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima no ponto A do terraço de um edifício com uma velocidade inicial de 20.0 m/s. O prédio tem 50.0 m de altura. Determine: a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima, b) a altura máxima acima do terraço e c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador.

a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima gtvv 0

Quando a pedra atinge a altura máxima ela pára e então v=0 no ponto máximo

Substituindo o valor de v na equação fica

gtv 00 gtv 0 s 04.2m/s 9.8m/s 0.20

20 gvt

b) a altura máxima acima do terraço 2

00 21 gttvyy 00 y s 042. t

Substituindo na equação fica

m 4.20s) 04.2)(m/s 8.9(21s) m/s)(2.04 20( 22 y

c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador2

00 21 gttvyy

00 y 0y

s 08.4

0 )

21(

210 0

20 t

ttgtvgttv

y

A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta, cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta

13

1.2 Movimento em duas dimensões

Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy

Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta

A posição da partícula P na trajectória é descrita

pelo vector posição

x

y

r

xeye

yx eyexr

Trajectória s

P

r

Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em termos de coordenadas cartesianas por

14

Vector deslocamento r

Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo de tempo

if ttt

o vector posição passa de para ir

fr

if rrr A partícula se deslocou de

x

y

ir

ye

fr

r

xe

A

B

15

Velocidade média

Velocidade instantânea

yxte

dtdye

dtdx

dtrd

trv

0

lim yyxx evevv

ymyxmxm evevv yxm e

tye

tx

trv

ou

ou

é a velocidade escalarvv

16

Aceleração instantânea

Aceleração média

ymyxmxm eaeaa

yyxx eaeaa

yy

xx

m etv

etv

t

mva

ouyx eeva

dtdv

dtdv

dtd yx

ou

ou

2

2

dtd

dtd rva

a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade

vquer seja do módulo, da direcção ou do sentido de

17

MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL

A bola faz uma trajectória curva

Para analisar este movimento consideraremos que

• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para baixo

• o efeito da resistência do ar é desprezável

Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola

18

Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong

A Figura mostra que a trajectória da bola é uma parábola

A fotografia estroboscópica regista a trajectória de objectos em movimento

19

yyxx evevv 000

0

0v

Componentes da velocidade inicial

xe

ye

0

00cos

vv x

0

00sin

vv y

As componentes iniciais x e y da velocidade são

000 sinvv y 000 cosvv x

Analisamos o movimento em cada uma das dimensões separadamente

0v