1 estatística descritiva, distribuição de frequência v discreta e continua

Prof. Nilson Costa

[email protected]

São Luis 2011

Prof. Nilson Costa

[email protected]

São Luis 2012

DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

DESAFIO DE EINSTEIN

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INTRODUÇÃO

Nas pesquisas dentro de quaisquer áreas das

engenharias, sempre o engenheiro obtém um conjunto

de informações, à partir das quais procurará elucidar

dúvidas, trazer luz sobre o fenômeno em questão ou

mesmo tomar decisões.

Cada vez mais, o engenheiro tem se deparado com

banco de dados ou conjunto de informações preciosas,

que devem ser lidas e analisadas..

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CONCEITOS BÁSICOS

1. Introdução O termo Estatística provém da palavra

Estado e foi utilizado originalmente para denominar

levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o

Estado em suas decisões.

Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para

determinar o valor dos impostos cobrados dos

cidadãos, para determinar a estratégia de uma nova

batalha em guerras que se caracterizavam por uma

sucessão de batalhas. Atualmente, a estatística é

definida da seguinte forma:

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CONCEITOS BÁSICOS

Estatística é um conjunto de métodos e processos

quantitativos que serve para estudar e medir os

fenômenos coletivos.

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CONCEITOS BÁSICOS

POR QUE ESTATÍSTICA É IMPORTANTE ?

Porque nos permite entender e lidar com a noção de

variabilidade. Um exemplo típico é:

Produção de parafusos. Uma fábrica produz

parafusos, que devem ter seu diâmetro dentro de certas

especificações. Ao medirmos o diâmetro de 100

parafusos produzidos ao acaso existirão variações

individuais. Estas variações são importantes ? Até que

ponto as variações observadas são aceitáveis ?

Em geral um número em Estatística não é apenas um

número! A ele associamos uma medida de incerteza ou

variabilidade.

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CONCEITOS BÁSICOS

População-

Coleção de todos os elementos cujas características

desejamos conhecer. Os elementos (ou "indivíduos")

na população não são necessariamente pessoas !

Amostra-

Subconjunto da população cujas características serão

medidas . A amostra será usada para descobrir

características da população.

Uma característica numérica estabelecida para toda

uma população(censo) é denominada parâmetro.

Uma característica numérica estabelecida para uma

amostra é denominada estimador(estatística).

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EXEMPLOS

1) População = eleitores na cidade do Rio de Janeiro

Amostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente

Característica de interesse : percentual de eleitores

que planejam votar num candidato X nas próximas

eleições.

2) População = automóveis Uno Mille produzidos em

1995

Amostra = todos os automóveis produzidos em agosto

de 1995

Característica de interesse = nº de defeitos

apresentados nos primeiros 3 meses de uso,

quilometragem média , e uma possível relação entre

estas duas variáveis.

9

EXEMPLOS

3) População = todos os domicílios com TV na cidade

do Rio de Janeiro.

Amostra = 1000 domicílios com TV escolhidos ao

acaso.

Característica de interesse = percentual de audiência

de cada emissora de TV a cada dia da semana no

horário de 18 às 22 horas.

4) População = população acima de 15 anos na cidade

do Rio de Janeiro

Amostra = 200 pessoas com mais de 15 anos

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EXEMPLOS

Características de interesse =

1- percentual de bebedores de cerveja

2- dentre os bebedores de cerveja, quantos são

homens ?

3- dentre os bebedores de cerveja, quantos preferem

Brahma ?

4- dentre os bebedores de Brahma, quantas cervejas

eles tomam por semana e a que classe social eles

pertencem ? Existe alguma relação entre estas 2

variáveis (consumo e classe social) ?

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CONCEITOS BÁSICOS

Em resumo :

A partir de uma amostra coletamos informações que

nos permitirão aprender alguma coisa interessante

sobre a população.

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PROCESSOS ESTATÍSTICOS DE ABORDAGEM

Quando solicitados a estudar um fenômeno coletivo

podemos optar entre os seguintes processos

estatísticos:

a) Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro,

utilizando-se todos os componentes da população.

b) Estimação: é uma avaliação indireta de um

parâmetro, com base em um estimador através do

cálculo de probabilidades.

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Propriedades Principais do Censo:

• Admite erro processual zero e tem confiabilidade

100%.

• É caro.

• É lento.

• É quase sempre desatualizado.

• Nem sempre é viável.

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Propriedades Principais da Estimação:

• Admite erro processual positivo e tem

confiabilidade menor que 100%.

• É barata.

• É rápida.

• É atualizada.

• É sempre viável.

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DADOS ESTATÍSTICOS

Suponha agora que você obteve uma amostra e, dentro

desta amostra você coletou dados numéricos (por

exemplo, a porcentagem de audiência da TV Globo

nos domingos à noite).

O que fazer com isso ? Existem 2 possibilidades

Você pode simplesmente descrever estes dados

numéricos através de gráficos e tabelas.

Isto é chamado de estatística descritiva. A maioria das

pesquisas de mercado faz só isso, que é sem dúvida,

muito importante.

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DADOS ESTATÍSTICOS

você pode tentar tirar conclusões sobre as

características da população a partir dos dados

observados na amostra. Isto se chama estatística

inferencial, Estatística Indutiva (ou simplesmente

estatística !), e será a nossa grande preocupação neste

curso.

Para que a gente consiga fazer isso, é necessário ter

uma noção bastante abrangente de Probabilidades, e

isto irá ocupar grande parte do nosso curso.

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA

A Estatística Descritiva, na sua função de descrição

dos dados, tem as seguintes atribuições:

a) A obtenção dos dados estatísticos.

b) A organização dos dados.

c) A redução dos dados.

d) A representação dos dados.

e) A obtenção de algumas informações que auxiliam a

descrição do fenômeno observado.

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a) A obtenção ou coleta de dados

é normalmente feita através de um questionário ou de

observação direta de uma população ou amostra.

b) A organização dos dados

consiste na ordenação e crítica quanto a correção dos

valores observados, falhas humanas, omissões,

abandono de dados duvidosos etc.

c) Redução dos dados

O entendimento e compreensão de grande quantidade

de dados através da simples leitura de seus valores

individuais é uma tarefa extremamente árdua e difícil

mesmo para o mais experimentado pesquisador.

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c) A representação dos dados - Os dados estatísticos

podem ser mais facilmente compreendidos quando

apresentados através de uma representação gráfica, o

que permite uma visualização instantânea de todos os

dados.

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Dados Brutos

Quando fazemos n observações diretas em um

fenômeno coletivo ou observamos as respostas a uma

pergunta em uma coleção de n questionários, obtemos

uma sequência de n valores numéricos. Tal sequência

é denominada dados brutos.

Dados brutos é uma sequência de valores numéricos

não organizados, obtidos diretamente da

observação de um fenômeno coletivo.

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Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as

seguintes notas bimestrais em Matemática:

4; 8; 7,5; 6,5.

Neste exemplo, X representa nota bimestral e pode ser

apresentada na forma: X:4; 8; 7,5; 6,5. (Dados Brutos)

Rol - Quando ordenamos na forma crescente ou

decrescente, os Dados Brutos passam a se chamar Rol.

Portanto:

Rol é uma sequência ordenada dos Dados Brutos.

X: 4; 6,5; 7,5; 8. (Rol)

22

Exercícios Propostos

23

Exercícios Propostos

Construa o rol para sequência de dados brutos:

a)X: 2, 4, 12, 7, 8, 15, 21, 20 =>

X: 2, 4, 7, 8, 12, 15, 20, 21

b)Y: 3, 5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18 =>

Y: 3, 5, 5, 8, 12, 12, 13, 14, 18

c)Z: 12, 2; 13, 9; 14, 7; 21, 8; 12, 2; 14, 7 =>

Z: 12, 2; 12, 2; 13, 9; 14, 7; 14, 7; 21, 8

d)W: 8, 7, 8, 7, 8, 7, 9 =>

W: 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9

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SÉRIES ESTATISTICAS

A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas

para a redução do número de dados com os quais

devemos trabalhar, chamadas variável discreta e

variável contínua.

EXEMPLO: Suponha que observamos as notas de 30

alunos em uma prova e obtivemos os seguintes

valores:

25

SÉRIES ESTATISTICAS

Se entendermos como frequência simples de um

elemento o número de vezes que este elemento figura

no conjunto de dados, podemos reduzir

significativamente o número de elementos com os

quais devemos trabalhar.

Para isto organiza-se o conjunto de dados na forma de

uma série estatística chamada variável discreta.

26

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

VARIÁVEL DISCRETA

É uma representação tabular de um conjunto de

valores em que colocamos na primeira coluna em

ordem crescente apenas os valores distintos da série e

na segunda coluna colocamos os valores das

frequências simples correspondentes.

Muito

Fácil

27

Se usarmos f para representar frequência simples, a

sequência (1) pode ser representada pela tabela:


28

OBSERVAÇOES:

(1) Note que conseguimos reduzir de 30 elementos

que constituíam a série original para apenas 12

elementos.

(2) Note também que a variável discreta só é uma

forma eficiente de redução dos dados, quando o

número de elementos distintos da série for pequeno.


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Construção da Variável Discreta

Basta observar quais são os elementos distintos da

sequência, ordená-los, e colocá-los na primeira coluna

da tabela.

Em seguida computar a frequência simples de cada

elemento distinto e colocá-la na segunda coluna da

tabela.

Exemplo de construção de uma variável discreta:

A sequência abaixo representa a observação do

numero de acidentes por dia, em uma rodovia, durante

20 dias.


30


31

VARIÁVEL CONTÍNUA

Suponha que a observação das notas de 30 alunos em

uma prova nos conduzisse aos seguintes valores:

Observando estes valores notamos grande número de

elementos distintos, o que significa que neste caso a

variável discreta não é aconselhável a redução de

dados.


32

Nesta situação é conveniente agrupar os dados por

faixas de valores, ficando a série com a seguinte

apresentação:

Esta apresentação da série de valores é denominada

variável contínua.


33

Construção da Variável Contínua - A construção da

variável contínua requer o conhecimento de alguns

conceitos que vamos estabelecer aproveitando a tabela

abaixo como exemplificação:


34

1. AMPLITUDE TOTAL DE UMA SEQUÊNCIA

É a diferença entre o maior e o menor elemento de

uma sequência.

Representando a amplitude total por A, o maior

elemento da sequência X por XmAx , e o menor

elemento por Xmín, a amplitude total é denotada por:


35

No exemplo da sequência que deu origem a tabela (2),

Xmáx = 9,5 e Xmín = 2, portanto:

A amplitude total representa o comprimento total da

sequência e é dada na mesma unidade de medida dos

dados da sequência.


36

2. INTERVALO DE CLASSE - é qualquer

subdivisão da amplitude total de uma série estatística.

No exemplo da tabela (2) subdividimos a amplitude

total em quatro classes, obtendo os intervalos de classe

OBS Note que na realidade não trabalhamos com a

At = 7,5 e sim com a amplitude total ajustada para 8

como justificaremos adiante.


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3. LIMITE DE CLASSE: cada intervalo de classe

fica caracterizado por dois números reais.

O menor valor é chamado limite inferior da classe e

será indicado por I.

O maior valor é chamado limite superior da classe e

será indicado por L.

Por exemplo, na Classe

4. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE é

a diferença entre o limite superior e o limite inferior da

classe. Se usarmos h para representar a amplitude do

intervalo de classe podemos estabelecer:


38

OBSERVAÇÃO:

(1) Na realidade, as classes não precisam

necessariamente ter a mesma amplitude como no

exemplo acima.

Porém, sempre que possível, devemos trabalhar com

classes de mesma amplitude. Isto facilita os cálculos

posteriores.

(2) Note que usamos para representar as classes,

intervalos reais semiabertos a direita. Isto significa que

o intervalo contém o limite inferior, mas não contém o

limite superior.


39

Desta forma, o último intervalo da série que é 8 ├ 10

não contém o valor 10.

É por isso que não utilizamos a amplitude 7,5, pois se

isto fosse feito, o limite superior da última classe seria

9,5 e como o limite superior não deve pertencer a

classe, o elemento 9,5 da sequência estatística original

ficaria sem classificação.

Como vamos utilizar este critério, precisaremos ajustar

sempre o valor máximo da série ao definir a amplitude

total. Outros critérios poderiam ser adotados como o

intervalo real semiaberto a esquerda..


40

5. NÚMERO DE CLASSES: o número de classes a

ser utilizado depende muito da experiência do

pesquisador e das questões que ele pretende responder

com a variável contínua.

Isto pode ser verificado facilmente pelo próprio

interessado ao longo desta exposição.

Para efeito de nossos exemplos, utilizaremos o critério

da raiz para a determinação do número de classes.

O CRITÉRIO DA RAIZ Se a sequência estatística

contém n elementos e se indicarmos por K número de

classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz:


41

Como o número K de classes deve ser

necessariamente um número inteiro e como

dificilmente 𝑛 , é um número inteiro, deixaremos

como opção para o valor de K o valor inteiro mais

próximo de 𝑛, uma unidade a menos ou mais que

este valor.

No exemplo da tabela (2), n = 30 e consequentemente

k = 30=5,477= 5 ou 6, as opções para K então são: 4

ou 5 ou 6.


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COMENTÁRIO: Existem outros critérios para a

determinação do número de classes, como por

exemplo a fórmula de STURGES. Segundo

STURGES, O número K de classes é dado por:

Para valores de n muito grandes, esta fórmula

apresenta mais vantagens, embora apresente o mesmo

problema de aproximação do valor de K.


43

A amplitude do intervalo de classe que designamos

por h é determinada da seguinte forma

observe que a opção por quatro classes, foi feita em

função de um valor de h mais fácil de se operar.

Se tivéssemos optado por cinco classes, o valor de h

seria 8/5 = 1,6; se tivéssemos optado por seis classes,

o valor de h seria 8/6 = 1,3333 ...


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6. FREQUÊNCIA SIMPLES DE UMA CLASSE fi

chama-se frequência simples de uma classe ao número

de elementos da sequência que são maiores ou iguais

ao limite inferior desta classe e menores que o limite

superior desta classe.

No exemplo 2, a frequência simples da primeira classe

é o número de elementos da sequência que são

maiores ou iguais a 2 e menores que 4.

Note que os valores da sequência nestas condições são

os valores 3; 2,5; 2; 3,5.


45

Portanto, a frequência simples da primeira classe é 4.

Da mesma forma determinamos as frequências

simples das demais classes, completando o quadro

representativo da variável contínua.


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EXEMPLO: CONSTRUÇÃO DE UMA

VARIÁVEL CONTÍNUA

Um teste para aferir o Quociente de Inteligência em

determinada classe de alunos de uma Faculdade de

São Luis deu origem a sequência de valores.


47

Para a construção da variável contínua, devemos

determinar o número de elementos da sequência.

Verificamos que a sequência possui n = 70 elementos.

Pelo critério da raiz K = 𝒏. No caso, K = 𝟕𝟎= 8,37.

O valor inteiro mais próximo é 8. Portanto, temos

opção para construir a variável contínua com 7 ou 8 ou

9 classes.

O maior valor da sequência é Xmáx=139 e o menor

valor da sequência é Xmím = 61.

Amplitude total da sequência é At = 139 - 61 = 78.


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No entanto, sabemos que pelo fato de o critério

adotado do intervalo de classe ser semiaberto a direita,

devemos ajustar o valor Xmáx.

Se ajustássemos Xmáx para 140, a amplitude ajustada

passaria a ser At = 140 - 61 = 79.

Este valor não é divisível de forma inteira nem por 7

nem por 8 e nem por 9, que são nossas opções de

classes.

Nesta situação devemos ajustar Xmáx para 141 obtendo

a At= 141 – 31 = 80 que é divisível exatamente por 8,

obtendo-se uma amplitude do intervalo de classe h

dada por:


49

Observe que o ajuste do valor Xmáx foi de duas

unidades, passando de 139 para 141.

A experiência do pesquisador, nesta situação, o levaria

a distribuir este erro de duas unidades, iniciando a

representação da série em 60 e terminando em 140.

A amplitude total ajustada para a série é:

At = 140 - 60 = 80.

O comprimento do intervalo de classe é h = 10 é o

número de classes K=8 .


50

Computando as frequências simples de cada classe,

construímos a variável contínua representativa desta

série.


51

A variável contínua é conceituada como uma

representação tabular em que colocamos na primeira

coluna os intervalos de classe e na segunda coluna os

valores das frequências simples correspondentes.

A coluna "classe" tem a finalidade apenas de facilitar a

referência as classes, não fazendo parte da variável

contínua.

O quadro final tanto da variável discreta como da

variável contínua recebe o nome de distribuição de

frequência.


52

1. Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe

de calouros de uma faculdade, revelou os seguintes

valores:

18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19, 20, 18, 19, 18,

19, 21, 18, 19, 18, 18, 19, 19, 21, 20, 17, 19, 19, 18,

18, 19, 18, 21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20, 18, 19,

19, 18, 20, 20, 18, 19, 18, 18

Agrupe, por frequência, estes dados.

Solução:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

53

2. Uma auditoria em uma grande empresa observou o

valor de 50 notas fiscais emitidas durante um mês.

Esta amostra apresentou os seguintes valores em

dólares: Agrupe, por frequência, estes dados.


54

2. sol: Uma solução com uma margem de erro mínima

é:


55

At = Xmax – Xmin = 42320,00 – 6551,00 = 35769,00

𝐾 = √𝑁 = √50 = 7,07


56

3. Uma empresa automobilística selecionou ao acaso,

uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo

o Brasil e anotou em determinado mês o número de

unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os

seguintes dados:

10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 9 14 19 20 32 18 16 26

24 20 7 18 17 28 35 22 19 39 18 21 15 18 22 20 25 28

30 16 12 20



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3. Uma solução com uma margem de erro mínima é:

At= 39 – 6 = 33 e At ajustada = 40 - 6 = 34,

o que não é exatamente divisível por 6, nem por 7,

nem por 8.

Ajustamos a amplitude para At = 40 - 5 = 35 para

distribuir o erro.

Podemos optar por 5 ou por 7 classes. Obviamente, a

melhor opção é por sete classes.


58


59

4. Uma indústria embala peças em caixas com 100

unidades. O controle de qualidade selecionou 48

caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o

número de peças defeituosas. Obteve os seguintes

dados:



60

4. solução:


61

5. Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas

físicas em uma agência, em determinado dia, obtendo

os seguintes saldos em dólares:



62

5. Solução:

At ajustada = 52.501 - 3.250 = 49.251, que não é

divisível por forma inteira nem por 4, nem por 5 e nem

por 6.

Neste caso, consideramos a

At ajustada 52.501 - 3.249= 49252


63


64

Derivadas

AGORA É A SUA

VEZ BONS

ESTUDOS

Obrigado pela Oportunidade

65

BUSSAR, Wilton de O. MORETTIN, Pedro A. Estatística

básica. São Paulo: Saraiva,2004.

LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações. Rio de

Janeiro: LTC, 2000.

OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e Probabilidade. São Paulo:

Atlas, 1999.

MEDEIROS, E.;MEDEIROS, E; GONÇALVES, V.;

Estatística. São Paulo: Atlas, 1999.

MEYER, P. L. Probabilidade – aplicações à Estatística. Rio

de Janeiro: LTC, 1995.

Referências Bibliográficas

1 estatística descritiva, distribuição de frequência v discreta e continua

Education