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Carmen P. Cintra do Prado

Universidade de São Paulo, Instituto de Física

Depto de Física Geral

prado @ if.usp.br

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No dia-a-dia, a palavra CAOS está associada com desordem...

Essa cozinha está um caos...

Em Física, tem um significado bem preciso.

Sistemas dinâmicos caóticos são sistemas que tem uma regra de evolução temporal bem definida e,

ainda assim, se tornam imprevisíveis com o tempo.

Como é possível?

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Propriedades matemáticas das equações que governam a evolução temporal do sistema tem

“dependência sensível às condições iniciais”.

Mesmo equações muito simples podem ter “caos”

Mapa Logístico dinâmica de populações

nnn xxx 11

4

nnn xxx 11 Por exemplo: suponha = 3.9 e x0 = 0.75

x0 = 0.750 x1 = 0.73 x2 = 0.77

x3 = 0.70 x4 = 0.82 x5 = 0.57

n x(n) n x(n)0 0,7500 0 0,75011 0,73 1 0,732 0,77 2 0,773 0,70 3 0,704 0,82 4 0,825 0,57 5 0,576 0,96 6 0,967 0,17 7 0,168 0,54 8 0,539 0,97 9 0,9710 0,12 10 0,10

mas depois de certo tempo...

30 0,88 30 0,4431 0,40 31 0,9632 0,94 32 0,1533 0,22 33 0,4834 0,67 34 0,9735 0,86 35 0,10

caso (a) caso (b)

inicio

00,20,40,60,8

11,2

0 5 10

iteracaox

Seqüência1Seqüência2

depois de certo tempo...

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

28 30 32 34 36iteracao

Seqüência1Seqüência2

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Divergência exponencial das trajetórias

Mecanismo de “dobra” que mistura as trajetórias

et

B

A

CA

A

B

BC

Estiramento + dobra (dissipativos) = caosEstiramento + dobra (dissipativos) = caos

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Mapa do gato de Arnold’sMapa do gato de Arnold’s

http://math.gmu.edu/~sander/movies/arnold.html

7

Como descrever?

Retrato no espaço de fase

X

V

X0

V0

X(t)

V(t)

Oscilador harmônico (periódicas)

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D i a g r a m a s d e f a s e

S e d e f i n i r m o s u m a n o v a v a r i á v e l

E t e m o s e n t ã o

),(sen)/(),(

ggf

A e q u a ç ã o q u e d e s c r e v e o m o v i m e n t o d o p ê n d u l oé : 0sen2 mgm

N ã o é p o s s í v e l o b t e r u m a s o l u ç ã o p a r a e s t ae q u a ç ã o e m t e r m o s d e f u n ç õ e s e l e m e n t a r e s .

N o e n t a n t o , é p o s s í v e l i d e n t i f i c a r - s e a s p r i n c i p a i sc a r a c t e r í s t i c a s d e s u a s s o l u ç õ e s e c o m p r e e n d e rd e m o d o q u a l i t a t i v o o s p o s s í v e i s m o v i m e n t o sd e s s e s i s t e m a u t i l i z a n d o - s e u m d i a g r a m a d e f a s e

m

gmp

, e n t ã o

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Mesmo no mapa logístico, muitas situações diferentes podem ocorrer:

Ponto fixo: depois de um transiente, todas as trajetórias convergem para ele. 0

0,5

1

0 2 4 6 8 10

iteracao

x

n x(n) x(n) x(n) x(n)0 0,7500 0,2000 0,9000 0,02001 0,47 0,40 0,23 0,052 0,62 0,60 0,44 0,123 0,59 0,60 0,61 0,264 0,61 0,60 0,59 0,485 0,60 0,60 0,60 0,626 0,60 0,60 0,60 0,597 0,60 0,60 0,60 0,618 0,60 0,60 0,60 0,609 0,60 0,60 0,60 0,6010 0,60 0,60 0,60 0,60

nnn xxx 11

= 2.5

10

Órbita periódica: depois de um transiente, todas as trajetórias convergem para uma seqüência de n pontos x1, x2, ..., xn (período n).

n x(n) x(n) x(n) x(n)0 0,7500 0,0200 0,9000 0,20001 0,58 0,06 0,28 0,502 0,75 0,18 0,62 0,773 0,57 0,45 0,73 0,544 0,76 0,77 0,61 0,775 0,57 0,55 0,73 0,556 0,76 0,77 0,60 0,777 0,56 0,56 0,74 0,558 0,76 0,77 0,59 0,779 0,56 0,56 0,75 0,5610 0,76 0,77 0,59 0,77

0,0000

0,5000

1,0000

0 2 4 6 8 10

iteracao

x

Órbita de período 2Órbita de período 2

11

n x(n) x(n) x(n) x(n)0 0,9000 0,75 0,02 0,301 0,31 0,65 0,07 0,732 0,75 0,79 0,22 0,683 0,65 0,58 0,60 0,754 0,79 0,85 0,84 0,655 0,58 0,45 0,48 0,796 0,85 0,86 0,87 0,577 0,46 0,42 0,40 0,858 0,86 0,85 0,83 0,449 0,41 0,45 0,48 0,8610 0,84 0,86 0,87 0,4211 0,46 0,41 0,40 0,8512 0,86 0,84 0,83 0,4413 0,41 0,46 0,49 0,8614 0,84 0,86 0,87 0,4215 0,47 0,41 0,40 0,8516 0,87 0,84 0,83 0,4517 0,40 0,47 0,49 0,8618 0,84 0,87 0,87 0,4219 0,48 0,40 0,40 0,8520 0,87 0,84 0,83 0,45

0,0000

0,5000

1,0000

0 5 10 15 20

iteracao

x

Órbita de período 4Órbita de período 4

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EVOLUÇÃO DA DIFERENÇA NO VALOR DE XnMapa logístico, = 3,6 X0 = 2.00000 e x0* = 2.00001

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

Na região caótica...

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Para representar o atrator podemos fazer um

MAPA DE PRIMEIRO RETORNOMAPA DE PRIMEIRO RETORNO

Xn+1

xn

Se xn+1 = xn (ponto fixo), o resultado é um único ponto na diagonal...

Mapa de Primeiro Retornomu = 2.5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

x(n)

x(n+

1)

1

3

2

5

4

( xn, xn+1)

( xn+1, xn+2)

( xn+2, xn+3)

x y1 0,30 0,532 0,53 0,623 0,62 0,594 0,59 0,615 0,61 0,606 0,60 0,607 0,60 0,60

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No caso de uma órbita de período 2, depois de certo número de iterações (depois do transiente...)

... x1, x2, x1, x2, x1, x2, ...

Portanto teremos 2 pontos2 pontos em nosso mapa de primeiro retorno:

Mapa de Primeiro Retornomu = 3.2

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x(n)

x(n+

1)

(x1,x2)

(x2,x1)

x y20 0,80 0,5121 0,51 0,8022 0,80 0,5123 0,51 0,8024 0,80 0,5125 0,51 0,8026 0,80 0,51

Já sem o transiente...

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O atrator de um sistema caótico é um conjunto fractal (atrator estranho)

Qual é o atrator de um sistema caótico?Qual é o atrator de um sistema caótico?

Mapa de Primeiro Retornomu = 3.8

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x(n)

x(n+

1)Como xn+1 = F ( xn),

o mapa de primeiro retorno nos dá uma idéia da função F(x).

Mas nem todos os pontos aparecem!

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Fractais são figuras geométricas, como retângulos ou triângulosFractais são figuras geométricas, como retângulos ou triângulos

• Dimensão não-inteira (fracionária)

• Auto-similaridade

O que é um conjunto fractal ?O que é um conjunto fractal ?

= 0 = 2

= 1

= 3

?????????? = fracionária

Se é uma unidade de medida,

ponto 0

linha 1

superfície 2 e

volume 3

um fractal d , onde d é a dimensão fractal...

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Exemplo: Conjunto de CantorExemplo: Conjunto de Cantor

Como construir um objeto geométrico com dimensão fracionária ...

Conjunto de Cantor

No limite, temos um objeto de dimensão fractal: “mais que um ponto” e “menos” que uma linha..

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Como calcular ....Como calcular ....

1logloglim

00ND

0~

log~log

loglog~

0

0

DN

DN

ND

N() = número de unidades de medida

= tamanho linear da unidade de medida

L

L/2

1 unidade

N() = 1

4 unidades

N() = 4

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Para o conjunto de Cantor:Para o conjunto de Cantor:

Para n = 0, = 1 e N() =1

Para n = 1, = 1/ 3 e N() =2

Para n = 2, = 1/ 9 e N() =4

Para n , = 1/ 3 n e N() = 2 n

63,03log2log

3log2log

0 n

n

D

20

Curva de KockCurva de Kock

Perímetro infinito, mas área finita!

Mesmo tipo de conta do conjunto de Cantor..

D0 = log 4 / log 3 ~1,26

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Estudando as propriedades estatísticas dos atratores fractais,

e/ou as propriedades matemáticas de estiramento e dobra das equações desses sistemas dinâmicos...

Podemos apreender muitas coisas sobre os sistemas caóticos

• controle do caos

• reconstrução de dinâmica

• eliminação de ruídos

•etc...

Caos, uma introdução

Nelson Fiedler-Ferrara & Carmen P. C do Prado, Ed Edgard Blucher, 1994 / 95