1 ano matematica

MATEMTICA 1 ANO DO ENSINO MDIO TCNICO - 2015 1

APOSTILA 2015

MATEMTICA

PROFESSOR: DENYS YOSHIDA


Sumrio

1.Conjuntos...................................................................................................................................5

1.1 Representao de conjuntos...................................................................................................5

1.2 Operaes com conjuntos.......................................................................................................6

1.2 Propriedades da interseco...................................................................................................7

2. Conjuntos numricos...............................................................................................................10

2.1 Conjunto dos nmeros naturais.............................................................................................10

2.2 Conjunto dos nmeros inteiros..............................................................................................11

2.3 Conjunto dos nmeros racionais..........................................................................................13

2.4 Conjunto dos nmeros irracionais........................................................................................15

2.5 Conjunto dos nmeros reais.................................................................................................17

3.Intervalos numricos................................................................................................................21

3.1 Notaes de um intervalo......................................................................................................21

3.2 Tipos de intervalos................................................................................................................21

3.3 Unio e interseco de intervalos.........................................................................................22

4. Relaes Binrias entre conjuntos..........................................................................................26

4.1 Representao em um diagrama..........................................................................................26

4.2 Representao no plano cartesiano......................................................................................27

5. Funes...................................................................................................................................27

5.1 Definio................................................................................................................................27

5.2 Domnio, imagem e contra domnio.......................................................................................27

6. Funes do 1 grau.................................................................................................................30

6.1 Definio................................................................................................................................30


6.2 Representao grfica..........................................................................................................30

6.3 Raiz de uma funo...............................................................................................................31

6.4 Estudo do sinal......................................................................................................................32

6.5 Inequaes do 1 grau..........................................................................................................33

6.6 Sistemas de inequaes do 1 grau......................................................................................34

6.7 Inequao produto.................................................................................................................35

6.8 Inequao quociente.............................................................................................................36

7. Funo do 2 grau...................................................................................................................41

7.1 Grfico...................................................................................................................................41

7.2 O vrtice da parbola............................................................................................................42

7.3 Estudo da variao do sinal..................................................................................................43

7.4 Inequao do 2 grau............................................................................................................44

8. Funes exponenciais.............................................................................................................50

8.1 Equaes exponenciais.........................................................................................................50

8.2 Inequaes exponenciais......................................................................................................50

8.3 Grfico da funo exponencial..............................................................................................54

8.4 Crescimento e decrescimento..............................................................................................55

9. Logaritmos...............................................................................................................................58

9.1 Definio...............................................................................................................................58

9.2 Condies de existncia.......................................................................................................58

9.3 Sistemas de logaritmos.........................................................................................................58

9.4 Propriedades dos logaritmos................................................................................................59

9.5 Mudana de base.................................................................................................................61

9.6 Equaes logartmicas..........................................................................................................61


9.7 Funes logartmicas............................................................................................................66

9.8 Crescimento e decrescimento..............................................................................................66

Exerccios de vestibulares...........................................................................................................69

Referncias bibliogrficas...........................................................................................................98


1. Conjuntos

Denominamos Conjunto a uma reunio de elementos. uma definio bem primitiva, e

podemos relacionar essa ideia em diversas situaes. O conjunto universo e o conjunto vazio

so tipos especiais de conjuntos. O conjunto vazio no possui elementos e representado por

ou . J o conjunto universo possui todos os elementos, de acordo com o que estamos

trabalhando e geralmente representado pela letra maiscula U.

1.1 Representao de conjuntos

Sua representao depende basicamente dos dados que se tem e da motivao do uso dos

mesmos, veja abaixo uma demonstrao:

Exemplo: O conjunto dos nmeros mpares maiores que zero e menores que onze. Vejamos a

representao atravs de seus elementos.

A = {1, 3, 5, 7, 9}

Representao pela propriedade de seus elementos.

A = {x | x mpar e 0 < x < 11}, o smbolo da barra ( | ) significa tal que.

x tal que x mpar e x maior que zero e x menor que 11.

Representao por diagrama

Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, potenciar entre outras operaes

numricas podemos tambm operar conjuntos.

Essas operaes recebem nomes diferentes, como: Unio de conjuntos, Interseco de

conjuntos, Diferena de conjunto, Conjunto complementar.

Todas essas operaes so representadas por smbolos diferentes. Veja a representao de

cada uma delas:

1 3

5 7 9


1.2 Operaes com conjuntos

Unio de conjuntos

Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5, 6}, chamamos unio um terceiro conjunto com

todos os elementos de A e B (Sem repetir os elementos comuns)

A representao da unio de conjuntos feita pelo smbolo U. Ento,

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Representando a unio por meio de diagramas:

Sejam A e B os conjuntos abaixo

A B

Ento: AUB

Interseco de conjuntos

Quando queremos a interseco de dois conjuntos o mesmo que dizer que queremos os

elementos que eles tm em comum.

Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a interseco representada pelo

smbolo , ento A B = {5, 6}, pois 5 e 6 so os elementos que pertencem aos dois

conjuntos.

Representando a interseco por meio de diagramas:

Sejam A e B os conjuntos abaixo

A B

1 3

2 4

4 5

6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

5 6

7


Ento: A B

Se dois conjuntos no tm nenhum elemento comum, a interseco deles ser um conjunto

vazio.

1.3 Propriedades da interseco

1) A interseco de um conjunto por ele mesmo o prprio conjunto: A A = A

2) A propriedade comutatividade na interseco de dois conjuntos :

A B = B A.

3) A propriedade associativa na interseco de conjuntos :

A (B C) = (A B) C

Exerccios sobre conjuntos

1- Analise os conjuntos abaixo e diga quais so vazios:

a) 0/ xxM

b) 0.0/ xxN

c) 4.0/ yyO

d) 02/ ddP

e) 02/ eeQ

2- Escreva os conjuntos indicados a seguir nomeando seus elementos:

a) A o conjunto dos nmeros inteiros maiores que 2 e menores que 7.

b) B o conjunto dos nmeros inteiros positivos menores que 6.

c) C o conjunto dos nmeros inteiros maiores que 5 e menores que 7.

d) D o conjunto dos nmeros inteiros maiores que 8 e menores que 2.

3- Representar, usando um diagrama de Venn, o conjunto A dos nmeros naturais primos

menores do que 30.

1 2

3 4 6

5

7


4- Sendo A = {0,1,2,3,4}, escreva todos os subconjuntos de A que tm 2 elementos.

5- Dados os conjuntos 3,2,1A , 5,4,3B e 6,5,1C , efetue as operaes:

a) BA

b) CB

c) CA

d) CBA

e) BA

f) CA

g) CB

h) CBA

i) CBA

6- Considere os conjuntos: A={divisores naturais de 30}, B={mltiplos de 6} e C={mltiplos de

3}, calcule:

a) BA

b) CB

c) CA

d) CBA

e) BA

f) CA

g) CB

h) CBA

i) CBA

7- Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianas haviam recebido as

vacinas Sabin e Trplice. Os resultados obtidos esto na tabela a seguir. Determine o

nmero de crianas:

a) Abrangidas pela pesquisa

b) Que receberam apenas a Sabin

c) Que receberam apenas uma vacina


Vacina Nmero de crianas

Sabin 5428

Trplice 4346

Sabin e Trplice 812

Nenhuma 1644

8- (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, BA tem 12 elementos e BA tem 60

elementos. O nmero de elementos do conjunto B :

a) 28

b) 36

c) 40

d) 48

e) 52

9- Em uma pesquisa realizada com 112 moradores de uma cidade, obteve-se que 57 pessoas

usavam o sabonete Perfumado, 38 usavam o creme dental Dentinho e 22 usavam o

sabonete Perfumado e o creme dental Dentinho. Quantas pessoas no usavam qualquer

desses dois produtos?


2. Conjuntos numricos

A partir da notao de conjunto, chamamos Conjuntos Numricos, os conjuntos cujos

elementos so nmeros que possuem algumas caractersticas em comum. Estudaremos nesse

volume os conjuntos de nmeros: naturais, inteiros, racionais, irracionais e finalmente os

nmeros reais.

2.1 Conjunto dos Nmeros Naturais

A partir da necessidade de contagem de objetos surgiu o conjunto de nmeros naturais, que

basicamente o conjunto numrico mais intuitivo, assim como qualquer criana sente a

necessidade de contar objetos, as civilizaes antigas sentiram a mesma necessidade, e

surgiu a noo intuitiva de nmeros naturais.

So elementos do conjunto dos naturais todos os nmeros inteiros positivos incluindo o zero.

Representado pela letra maiscula e seus elementos entre chaves, separados por vrgulas:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, }

O primeiro elemento desse conjunto o zero, e o conjunto ilimitado superiormente, ou seja,

no existe um ltimo nmero, o conjunto infinito.

A partir da reta numerada podemos representar geometricamente os conjuntos numricos,

para representao dos nmeros naturais na reta numrica, escolhemos um ponto de origem

(equivalente ao nmero zero), fixamos medida unitria e a orientao, geralmente da esquerda

para a direita, e marcamos os nmeros sobre a reta:

1 2 3 4 5 6 7

Alguns subconjuntos importantes so pertencentes aos nmeros reais:

Conjunto dos nmeros naturais no nulos:

N*= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, }

Utilizamos o * (asterisco) direita do nome do conjunto para excluir de determinado

conjunto o nmero zero

Conjunto dos nmeros primos:

P= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}

Conjunto dos nmeros pares:

Np= {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

Conjunto dos nmeros mpares:


Ni= {2, 3,5, 7, 11, 13, ...}

Propriedades:

Os nmeros naturais apresentam a propriedade do fechamento apenas para a adio e a

multiplicao, ou seja se adicionarmos ou multiplicarmos dois ou mais, quaisquer nmeros

naturais entre si, o resultado ser um nmero natural, por exemplo:

, que nmero natural;

que nmero natural;

que nmero natural;

que nmero natural;

Podemos descrever simbolicamente essa propriedade:

e

Com a subtrao o caso diferente, a subtrao entre nmeros naturais pode ou no ser um

nmero natural, por exemplo:

, que nmero natural;

No existe no conjunto dos nmeros naturais, tal nmero

Ento podemos dizer que N no fechado para a subtrao, por esse motivo houve a

necessidade da ampliao desse conjunto, surgindo assim o conjunto dos nmeros inteiros.

2.2 Conjunto dos Nmeros Inteiros

Com a limitao do conjunto dos nmeros naturais para a subtrao, como vimos essa no

fechada no conjunto, houve a necessidade de ampliar esse conjunto, surgindo assim o

conjunto dos nmeros inteiros.

So elementos do conjunto dos nmeros, todos os nmeros naturais e seus respectivos

opostos (nmeros negativos), representado pela letra Z, o conjunto dos nmeros inteiros :

Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 , }

O conjunto ilimitado inferiormente e ilimitado superiormente, ou seja, no existe um primeiro

ou um ltimo nmero inteiro.

Podemos representar tambm esse conjunto a partir de uma reta numrica:


-3

Alguns subconjuntos importantes so pertencentes aos nmeros inteiros:

Conjunto dos nmeros inteiros no nulos:

Z*= {...,-5, -4, -3, -2, -1,1,2 ,3 ,4 ,5 , }

Conjunto dos nmeros inteiros no negativos:

= {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , }

Conjunto dos inteiros positivos:

= {1,2 ,3 ,4 ,5 , }

Conjunto dos nmeros inteiros no positivos:

= {...,-5, -4, -3, -2, -1,0}

Conjunto dos inteiros Negativos:

= {...,-5, -4, -3, -2, -1}

Propriedades:

Os nmeros inteiros tem como subconjunto os nmeros naturais, note por exemplo, que

o subconjunto = {0, 1,2 ,3 ,4 ,5 , } idntico ao conjunto N, ento podemos

escrever que N Z, ou o conjunto N est contido no conjunto Z

Da mesma maneira que os nmeros naturais, o conjunto dos nmeros inteiros so fechados

para a adio e para a multiplicao, porm, podemos incluir tambm o fechamento para a

subtrao

, que nmero inteiro;

que nmero inteiro.

Podemos sintetizar esse conjunto simbolicamente:

e finalmente

No tocante diviso, podemos definir que a diviso entre dois nmeros naturais, pode ou no

ser um nmero natural, por exemplo:

, que nmero inteiro;

que nmero inteiro;


, de forma que no existe no conjunto de nmeros inteiros um valor que

satisfaa a equao;

Ento, podemos concluir que Z no fechado para a diviso, mas como podemos classificar o

resultado dessas divises, seno nmeros inteiros?

Assim, foram classificados os nmeros racionais.

2.3 Conjunto dos Nmeros Racionais

Representado pela letra Q, os elementos do conjunto dos nmeros racionais so todos aqueles

nmeros que podem ser expressos na forma de uma frao na qual o numerador e o

denominador so nmeros inteiros, simbolicamente temos:

Ou de maneira genrica:

Q =

A partir da definio de nmeros racionais, podemos definir que um nmero pertencente ao

conjunto dos nmeros inteiros racional, observe a demonstrao:

Seja qualquer nmero , e temos por definio que Q, ento,

substituindo temos Q, como , podemos afirmar que qualquer

elemento de Z, tambm elemento de Q, essa propriedade vlida, pois Z subconjunto de

Q.

Existem tambm alguns nmeros de Q, que so representados em maneira de um nmero

decimal exato ou tambm de uma dzima peridica, nas prximas linhas verificaremos que em

ambos os casos podemos escrever esses nmeros como uma frao :

Transformando nmeros decimais finitos em fraes

Uma das representaes dos elementos do conjunto dos nmeros Racionais, so os nmeros

decimais sendo finitos ou peridicos, temos como, por exemplo, de um nmero decimal finito

1,32, esse nmero possui seu equivalente fracionrio, ou seja, pode ser escrito como frao.

Para transformar os nmeros decimais em fraes, podemos mover a vrgula e dividir por uma

potencia de 10 satisfatria, por exemplo, ainda utilizando o nmero , observe que aps da

vrgula temos duas casas decimais.


Ento vamos mover a vrgula de forma que no fique nenhuma casa decimal, , nesse caso

devemos mov-la por duas casas decimais e dividir por 102:

, ou ainda simplificando: .

Observao: o valor da potncia de 10 dever ser igual ao nmero de casas decimais aps a

vrgula.

Transformando dzimas peridicas em fraes

Nem sempre uma frao entre dois nmeros inteiros tem como resultado um nmero decimal

exato, um exemplo a frao a essa maneira de escrever chamamos dzima

peridica, sendo essa uma representao numrica, tanto decimal quanto fracionria, onde

existe uma sequncia finita de algarismos que se repetem indefinidamente, como por exemplo

0,111111111, assim como nos nmeros racionais finitos, as dzimas peridicas tambm

podem ser dadas por meio de frao, por exemplo a dzima que utilizamos acima dada pela

frao 1/9.

Podemos classificar as dizimas peridicas em simples e compostas, conforme abaixo:

Dzimas peridicas simples: Quando o perodo aparece logo aps virgula.

Exemplos:

0,1111111 Perodo: 1

0,1212121212. Perodo: 12

Dzimas peridicas compostas: Quando existe uma parte no repetitiva entre a vrgula e a

parte peridica.

Exemplos:

0,833333. Perodo: 3 , Parte no peridica: 8



Geratriz de uma dzima peridica

possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzima peridica.

Denominamos esta frao de geratriz da dzima peridica.

Procedimentos para determinao da geratriz de uma dzima:

Dzima simples


A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo e para

denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.

Exemplos:

1. Determine a frao geratriz das dzimas peridicas abaixo

a)

No exemplo dado a parte peridica composta pelo nmero 2, que dever estar no

numerador da dzima peridica, sendo que o seu denominador ser dado pelo nmero 9,

aparecendo apenas uma vez, pois o perodo 1, ento:

b)

No exemplo acima a parte peridica composta pelo nmero 32, que dever estar no

numerador da dzima peridica, sendo que o seu denominador ser dado pelo nmero 99,

ou seja, o algarismo 9 duas vezes, pois o perodo 2, ento:

Dzima Composta:

A geratriz de uma dzima composta uma frao da forma , sendo a parte no peridica

seguida da parte peridica uma vez, menos a parte no peridica e b a mesma quantidade

de noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os

algarismos da parte no peridica.

2.4 Conjunto dos nmeros irracionais

Para definirmos nmeros irracionais, vamos relembrar dos nmeros racionais, temos que um

nmero racional todo nmero escrito da forma a/b, com a e b Z, assim podemos definir um

nmero irracional como sendo justamente o contrrio, ou seja, no possvel escrever um


nmero irracional da forma a/b, com a e b Z a esse conjunto representamos pela letra I. um

exemplo de nmeros irracionais so as dzimas no peridicas, Como por exemplo:

1,456846154674...

1,4142135623730950488016887242097

3,1415926535897932384626433832795... entre outros

Podemos separar os nmeros irracionais em dois grupos os algbricos e os transcendentes, os

nmeros irracionais algbricos so as razes no exatas de um nmero, como por exemplo 2,

5, 11, 113 e qualquer outra raiz inexata. J os nmeros irracionais transcendentes

complementam aqueles irracionais algbricos, sendo os exemplos mais famosos de nmeros

irracionais transcendentes, o nmero (pi), o nmero de Euler e, cujos valores aproximados

com duas decimais so respectivamente 3,14 e 2,72.

O nmero representa a razo do comprimento de qualquer circunferncia dividido pelo

dimetro da mesma circunferncia e o nmero e a base do sistema de logaritmos

neperianos.

Para identificar os nmeros irracionais, podemos adotar alguns critrios, vamos comear

definindo o que so nmeros irracionais, so nmeros racionais:

Todas as dzimas no peridicas so nmeros irracionais.

Todas as razes inexatas so nmeros irracionais.

A soma de um nmero racional com um nmero irracional sempre um nmero

irracional.

No so nmeros irracionais:

Todas as dzimas peridicas so nmeros racionais.

Todos os nmeros inteiros so racionais.

Todas as fraes ordinrias so nmeros racionais.

Casos especiais

Nesses casos devemos sempre nos atentar a cada caso, pois o resultado entre essas

operaes pode ou no ser um nmero racional:

A diferena de dois nmeros irracionais:

Exemplo: - = 0 e 0 um nmero racional. Porm, tambm temos que diferena

entre dois irracionais pode ser irracional, como: - .

O quociente de dois nmeros irracionais:


Exemplo: : = = 2 e 2 um nmero racional. Porm temos tambm:

: = que irracional.

O produto de dois nmeros irracionais pode ser um nmero racional.

Exemplo: . = =4 e 4 um nmero racional, porm podemos ter tambm

que um nmero irracional.

2.5 Conjunto dos nmeros reais

A unio do conjunto dos nmeros irracionais com o conjunto dos nmeros racionais resulta

num conjunto denominado conjunto R dos nmeros reais.

Sendo assim, todo nmero Natural, Inteiro, Racional ou Irracional considerado um nmero

real.

Propriedades da adio em R

Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)

Comutativa: x + y = y + x

Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x

Simtrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0

Propriedades de multiplicao em R

Associativa: (x. y). z = x. (y. z) Comutativa: x. y = y. x

Elemento neutro: x. 1 = 1. x = x

Simtrico multiplicativo ou inverso: x. x-1 = x-1. x = 1.

Propriedade distributiva da multiplicao em relao adio

x. (y + z) = xy + xz.

Os nmeros reais so importantes, pois a partir dele estudamos funes, que so um dos

assuntos mais importantes da matemtica elementar.

OBS: Nem todo nmero um nmero real. Alguns nmeros que no so considerados

nmeros reais: 4 , 4 1 , 8 , 6 10 , entre outros.


Exerccios sobre conjuntos numricos

10- Preencha a tabela substituindo os espaos em branco por SIM ou No:

Nmero 8 7 -2,05 1,212212221... 6,325325... -2,333... 2

Natural?

Inteiro?

Racional?

Irracional?

Real?

11- Sendo 2a e 1b , determine o valor numrico das expresses:

a) 22 ..2 bbaay

b) 333)( babay

12- Assinale as afirmaes verdadeiras:

a) 74

b) N0

c) Q56789,0

d) R7

e) Q...14141414,3

f) R8

13- (Fuvest-SP) Calcule:

a) 6

1

10

1


b) 0,22,3

3,0.2,0

14- Dados 3n e 3 2m efetue as operaes e classifique cada afirmao em verdadeira

ou falsa:

a) mn racional.

b) mn. irracional.

c) 2m irracional.

d) 3m irracional.

15- Escreva dois nmeros racionais que estejam entre 0 e 1.

16- Escreva dois nmeros racionais que esto entre:

a) 0 e 5

3

b) 1 e 4

9

c) 4

3 e

5

1

17- Transforme os seguintes nmeros decimais em fraes:

a) 0,8

b) 1,5

c) 0,65

d) 5,36

e) 0,047

f) 0,5825

18- Determine a frao geratriz das seguintes dizimas peridicas:

a) 0,777....

b) 0,2323...

c) 0,444...


d) 0,545454...

e) 0,12525...

f) 0,04777...

19- Classifique as afirmaes abaixo em verdadeira ou falsa:

a) Todo nmero racional tem uma representao decimal finita.

b) Se a representao decimal infinita de um nmero peridica, ento esse nmero

racional.

c) Os nmeros que possuem representao decimal peridica so irracionais.

d) O produto de dois nmeros irracionais sempre um nmero irracional.

20- D cinco exemplos de nmeros que no so reais.


3. Intervalos numricos

Chamamos intervalo a um conjunto que contm cada nmero real entre dois extremos

indicados, e possivelmente os prprios extremos.

3.1 Notaes de um intervalo

Geralmente se simboliza um intervalo numrico por meio de colchetes [" e "] para indicar

que um dos extremos do intervalo parte deste intervalo e os parnteses ( e ) ou,

tambm, os colchetes invertidos ] e [" para indicar o contrrio.

Ento, considere que a e b so nmeros reais, com a b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa

o conjunto dos x R, tal que a < x b. Note que a no faz parte do intervalo.

Representao de um intervalo na reta real

Tambm podemos representar intervalo na reta real utilizando-se de uma pequena bolinha

vazia para indicar que um dos pontos extremos no pertence ao intervalo e de uma bolinha

cheia para indicar que o ponto extremo pertence.

3.2 Tipos de Intervalos

Dados a e b nmeros reais, com a b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento,

podemos definir seu intervalo como a diferena entre o extremo superior e o extremo inferior,

assim c = b a. Podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito:

[a,b] = {x R | a x b}

b) Intervalo fechado esquerda e aberto direita de comprimento finito:

[a,b[ = [a,b) = {x R | a x < b}

c) Intervalo aberto esquerda e fechado direita de comprimento finito

(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito:

]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}

e) Intervalo aberto direita de comprimento infinito:

]-,b[ = (-,b) = {x R | x < b}


f) Intervalo fechado direita de comprimento infinito:

]-,b] = (-,b] = {x R | x b}

g) Intervalo fechado esquerda de comprimento infinito:

[a,+) = [a,+[ = {x R | a x}

h) Intervalo aberto esquerda de comprimento infinito:

]a,+[ = (a,+) = {x R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-,+[ = (-,+) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento nulo e o intervalo fechado, ento a = b e esse intervalo corresponde ao

conjunto unitrio {a}, isto , a um ponto da reta real.

3.3 Unio e Interseco de Intervalos

Como intervalos so conjuntos tambm podemos realizar as operaes de unio e interseco.

Podemos represent-los atravs de sua representao grfica, acredita-se que e a maneira

mais fcil de visualizar essas operaes. Para tanto utilizaremos um exemplo numrico:

Sejam A = [-1,6] = e B = [3, 9) dois intervalos e vamos determinar A U B e A B.

A U B

Lembrando das definies de unio de conjuntos, incluir em um terceiro diagrama todos os

nmeros de ambos os intervalos, excluindo se as repeties, para tanto, iremos comparar

duas retas em um sistema nico:

Para realizar essa operao, basta fazer paralelamente as retas reais com os dados dos

intervalos, respeitando sua posio de cada valor, e uma terceira reta, tambm paralela a

essas duas, sobre a terceira reta iremos sobrepor o resultado das duas demais, assim, toda a

rea em negrito faz parte da unio das retas.

A

1 6

B

3 9

A U B


1 3 6 9

Assim sendo: A U B = [1,9)

A B

Para a interseco entre intervalos, o procedimento parecido, porm ao invs de replicarmos

na terceira reta todos os valores, iremos apenas marcar os valores que so comuns s duas

retas:

A

1 6

B

3 9

A B

1 3 6 9

Assim sendo: A B = [3, 6]

Exerccios sobre intervalos numricos

21- Represente na reta real os seguintes intervalos:

a) 0,4

b) 5,0

c) 7,3

d) 2,1

e) 5,0

f) ,8

g) 6,

h) ,10

22- Escreva os intervalos na forma de subconjuntos de R:

a) 5,0M

b) 2,3N


c) 4,1P

d) 6,1Q

e) ,7K

f) 4,O

g) ,2R

h) 5,S

23- Escreva os subconjuntos de R na notao de intervalos:

a) }1/{ xRx

b) }62/{ xRx

c) }3/{ xRx

d) }41/{ xRx

e) }42/{ xRx

f) }50/{ xRx

g) }1/{ xRx

h) }5/{ xRx

24- Escreva, usando as duas formas, os intervalos:

a) aberto de extremos -3 e 7.

b) fechado de extremos 1 e 4.

c) aberto esquerda de extremos 1 e 3.

d) aberto direita de extremos -4 e 1.

25- Sendo A o conjunto dos nmeros reais maiores que ou igual a 3 e menores que 8, escreva

esse conjunto nas duas formas possveis e represente-o na reta real.

26- Dados os intervalos 4,2A , 5,3B e 3,1C , efetue as operaes indicadas:

a) BA

b) CB

c) CA


d) CA

e) CB

f) CBA

g) CBA

h) CBA

27- Considerando os intervalos: 11,0M , 8,3N e 7,2K , efetue as seguintes

operaes:

a) NM

b) NM

c) KM

d) KM

e) KN

f) KNM

g) KNM

h) KNM

28- Dados 3,4A , 5,5B e 1,E , determine:

a) BA

b) EA

c) EB

d) EA

e) EBA

f) EBA


4. Relaes Binrias entre conjuntos

Denominamos relao ou relao binria entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto

de A B, ao qual chamamos produto cartesiano A por B.

Exemplo:

Sejam os conjuntos A e B:

Obtemos o produto cartesiano de A por B

A = {1,2,3}

B = {4,5,6}

Podemos obter A B tomando alguns subconjuntos deste conjunto de pares ordenados,

teremos algumas relaes de A em B:

R1 = {(1,4)}

R2 = {(1,4),(2,6)}

R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}

R1, R2 e R3 so relaes de A em B, pois seus elementos so pares ordenados (x, y),

com x pertencente a A e y pertencente a B.

4.1 Representao em um Diagrama

Outra maneira de representarmos uma relao binria atravs de um diagrama de flechas,

por exemplo, a relao R3 vista acima representada abaixo pelo diagrama de flechas:

A B

Em R3 = {(1,5),(2,6),(3,4)}, h trs setas partindo do conjunto A, chamado de conjunto de

partida e chegando no conjunto B, chamado de conjunto de chegada.

1

2

3

4

5

6


4.2 Representao no Plano Cartesiano

Outra maneira de representarmos uma relao binria por

meio do plano cartesiano, para isso basta localizarmos o ponto

referente ao par ordenado dado no plano cartesiano xOy.

Ainda utilizando como exemplo o R3 iremos identificar seus

pontos e marca-los no plano cartesiano, aqui a primeira

coordenada dever ser identificada no eixo horizontal, tambm

chamado de abcissas ou eixo x, e o segundo elemento do par

ordenado dever ser identificado e marcado no eixo vertical,

tambm chamado de eixo das ordenadas ou eixo y, uma vez

identificados todos os pontos, temos a representao do R3,

conforme imagem ao lado.

5. Funes

5.1 Definio

Sejam A e B dois conjuntos no vazios, denominada funo de A em B, representada por f:

A B; y = f(x), a toda e qualquer relao binria que associa a cada elemento de A, um

nico elemento de B.

De acordo com a relao entre os conjuntos podemos obter inmeras leis de formao, e

classificar as funes quanto a seu tipo de estudos. Dentre os estudos das funes temos:

funo do 1 grau, funo do 2 grau, funo exponencial, funo modular, funo

trigonomtrica, funo logartmica, funo polinomial.

Podemos representar as funes geometricamente, atravs do plano cartesiano, associando

s funes pares ordenados (x,y), que determinam conjuntos de valores pertencentes

funo.

5.2 Domnio, imagem e contra domnio

Considere um conjunto A, ao qual chamamos de conjunto de sada e um conjunto B,

denominado conjunto de chegada. Ao conjunto A (conjunto de chegada) denominamos de

Domnio. O domnio de uma funo tambm chamado de campo de definio ou campo de

existncia da funo, e representado pela letra D.

Ao conjunto B (conjunto de chegada) denominamos contradomnio. Nem todos os elementos

do contradomnio so necessariamente relacionados com algum elemento do domnio, ento,

aos elementos do contradomnio que so associados com os elementos do domnio,

denominamos imagem.


Exemplo.

Considerando o Domnio A ={1, 2, 3, 4} e Contradomnio B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

identifique o conjunto imagem para a funo relacionada pela lei de formao f(x) = y = 2x (ou

seja, cada elemento do conjunto A deve se associar ao dobro de seu valor em B ).

Podemos resolver essa questo a partir da lei de formao da funo, demonstrando a partir

do diagrama, mas antes utilizaremos a lei de formao da funo para identificar os elementos

do conjunto imagem:

f(1) = 2 (1) = 2

f(1) = 2 (2) = 4

f(1) = 2 (3) = 6

f(1) = 2 (4) = 8

Assim sendo, o conjunto imagem dessa funo ser Im = {2, 4, 6, 8}

Representando o sistema acima por meio do diagrama, teremos:

Exerccios sobre funo

29- Sendo },0,1{A e }4,3,1{B , obtenha AXB e BXA .

30- Dados os conjuntos }6,5,3{A e }4,1{B , determine o produto cartesiano nos

seguintes casos:

1

2

3

4

1

2 3

4 5

6 7

8 9

10

2

4

6

8


a) AXB

b) BXA

31- Represente no plano cartesiano os produtos cartesianos obtidos no exerccio anterior.

32- Considere a funo 13)( xxf . Calcule:

a) )0(f

b) )2(f

c) )2(f

d) )5,0(f

e) n tal que 21)( nf


6. Funes do 1 grau

Considere a situao abaixo:

Felipe vai a um rodzio de pizzas, no qual paga o valor fixo de R$15,00 para consumao,

sendo que a cada refrigerante que ele toma paga R$ 4,00. Ao final do dia Felipe tomou 5

refrigerantes, qual ser o valor da conta do restaurante?

Bem, podemos perceber que o valor de R$15,00 dever ser pago independente da quantidade

de refrigerantes tomados, ou seja, um valor fixo, agora, a cada refrigerante tomado, Felipe

paga R$ 4,00, como ele tomou 5 refrigerantes, ele dever pagar R$ 4,00 5= R$ 20,00 mais o

valor de R$15,00, ou seja, R$ 15,00 + 20,00 = R$ 35,00

Agora, caso Felipe tomasse apenas 3 refrigerantes, pagaria quanto?

Os R$ 20,00 continuariam fixos, o que mudaria era o valor pago nos refrigerantes, ou seja, R$

4,00 5= R$ 12,00, ento o valor total da conta seria R$ 15,00 + R$ 12,00 = R$ 27,00.

Enfim, para cada nmero x de refrigerantes tomados, temos um valor diferente ao final da

conta, por isso dizemos que o preo uma funo de x, e podemos expressar essa

funo atravs da lei matemtica:

Que um caso particular de funo polinomial de 1 grau.

6.1 Definio

Definimos funo do 1 grau ou funo Afim, qualquer funo f de IR em IR definida por uma lei

matemtica da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0.

Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente angular da varivel x e o

nmero b chamado termo constante ou coeficiente linear.

Exemplos de funo do primeiro grau:

, com

, com

, com

, com

6.2 Representao Grfica:


A representao grfica de uma funo do 1 grau uma reta oblqua em relao aos eixos

coordenados.

A reta poder ser crescente, decrescente ou paralela ao eixo , de acordo com a lei de

formao de cada funo.

Reta crescente: na reta crescente, o valor da funo diretamente proporcional ao valor da

varivel ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da funo tambm

aumenta, uma funo de 1 grau tem seu grfico crescente, tem sempre o coeficiente .

Reta decrescente: na reta decrescente, o valor da funo inversamente proporcional ao valor

da varivel ou seja, a medida que os valores de aumentam, o valor da funo diminui, uma

funo de 1 grau tem seu grfico crescente, tem sempre o coeficiente .

Interseco com os eixos coordenados:

A interseco de com o eixo acontece quando ento genericamente, teremos:

Ento, temos que, o grfico de intercepta o eixo no exato valor do coeficiente linear, ou

seja, no valor de b.

6.3 Raiz de uma funo

As razes de uma funo so os valores para os quais o grfico dessa funo intercepta com o

eixo das abcissas, para que isso ocorra, o valor do eixo das ordenadas deve ser zero, ou seja,

para identificar as razes da funo, temos que ter .

Uma funo do primeiro grau admite uma nica raiz e determin-la simplesmente resolver

uma equao do primeiro grau, considerando que ou seja:


e

Exemplo: Achar a raiz da funo 12 xy

2

112012 xxx

6.4 Estudo do sinal

Estudar o sinal de qualquer funo determinar para que valores de a funo tem sinal

positivo ou negativo.

No caso da equao de primeiro grau, devemos levar em considerao o valor da raiz (como

vimos anteriormente)

Funo Crescente

y > 0 ax + b > 0 x >

y < 0 ax + b < 0 x <

Ou seja, o valor de positivo se x for maior que a raiz, e o valor de y negativo se x for

mentor que a raiz.

Funo decrescente

y > 0 ax + b > 0 x <


y < 0 ax + b < 0 x >

Ou seja, y positivo para valores de x menores que a raiz; y negativo para valores de x

maiores que a raiz.

Exemplos:

Determine os sinais da funo .

Primeiro passo determinar a raiz da funo, ou seja, ,

Ento, temos uma funo crescente (termo >0) e com raiz = -3, logo:

Soluo:

6.5 Inequaes do 1 grau

So chamadas inequaes quaisquer sentenas matemticas descritas por meio de

desigualdades, as inequaes do 1 grau so muito utilizadas para resoluo de problemas


sobre estudo de sinais das equaes do 1 grau, abaixo iremos resolver algumas atividades

que podemos aplicar ao nosso estudo.

Exemplos:

Resolva as inequaes:

O mordo de resoluo bem semelhante uma equao do primeiro grau, aqui tambm

comearemos nosso procedimento pelos parnteses:

Ento isolamos os termos que tem a incgnita , mantendo-o no 1 membro e

desenvolvemos:

6.6 Sistemas de inequaes do 1 grau

A resoluo de um sistema de inequaes pode ser feita a partir do estudo dos sinais de

uma funo para cada inequao, separadamente, seguido da determinao da

interseco dos conjuntos verdade dessas inequaes.

Exemplo: Resolva o seguinte sistema:

01

044

x

x

144044 xxx

101 xx

Calculando agora o conjunto soluo temos:

Logo 1,S


6.7 Inequao Produto

Considerando f(x) e g(x) funes de varivel x, do 1 grau, chamamos de inequao

produto uma desigualdade do tipo:

0)().( xgxf

0)().( xgxf

0)().( xgxf

0)().( xgxf

A resoluo de uma inequao produto pode ser feita com o estudo do sinal das funes,

separadamente, seguido da determinao dos sinais do produto de f(x) por g(x) e

posteriormente identificando os valores de x que satisfazem a inequao produto.

Exemplo: Resolva a inequao: 0)75).(63( xx

Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada funo:

263063 xxx

5

775075 xxx

Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma funo:


Logo 5

7/{ xRxS ou }2x

6.8 Inequao Quociente

Considerando f(x) e g(x) funes de varivel x, do 1 grau, chamamos de inequao

produto uma desigualdade do tipo:

0)(

)(

xg

xf

0)(

)(

xg

xf

0)(

)(

xg

xf

0)(

)(

xg

xf

Na resoluo de uma inequao quociente o denominador deve ser diferente de zero e a

regra de sinais a mesma tanto para produto como para diviso no conjunto dos nmeros

reais.

Exemplo: Resolva a seguinte inequao: 012

1

x

x.

Primeiro fazemos o estudo do sinal de cada funo:

101 xx


2

112012 xxx

Fazemos o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma funo:

Logo }5,01/ xRxS

Exerccios sobre funo do 1 grau

33- O permetro P de um quadrado funo linear da medida l de seu lado. Qual a sentena

que define essa funo?

34- Para produzir certo produto, uma empresa tem um custo fixo de R$ 1200,00. Alm disso,

cada unidade produzida desse produto custa R$ 5,00.

a) Represente o custo C, de x unidades desse produto, como uma funo de x.

b) Quantas unidades do produto sero fabricadas em determinado ms, se o custo for de R$

18900,00?

35- Em certa cidade se paga pelo servio de txi, em dia til das 6h s 20h, o valor de R$ 3,20

pela bandeirada mais R$ 1,02 por quilmetro rodado.


a) Escreva a lei da funo que expressa o preo P a pagar em funo do quilmetro rodado x.

b) Calcule quantos quilmetros o txi percorreu se foram pagos R$ 13,20 pelo servio.

36- Represente no plano cartesiano as seguintes funes do 1 grau:

a) 32 xy

b) xy 3

c) 22 xy

d) 2

xy

37- Classifique as funes do exerccio anterior em crescente, decrescente ou constante.

Justifique suas respostas.

38- Determine o zero das seguintes funes:

a) 62 xy

b) 123)( xxf

c) xy 2

d) 4

1

2)(

xxf

e) 5

8

2

3

xy

39- Sendo 25)( xxf , determine:

a) )4(f

b) o zero da funo

40- Estude o sinal das seguintes funes:

a) 204)( xxf


b) 32 xy

c) 92

)( x

xf

d) xy 104

e) 4

1

2

3

xy

41- Seja kxkxf 3)1()( . Determine k, de modo que a funo seja crescente.

42- Estude os sinais da funo em cada caso:

a) xxxf 75)2.(3)(

b) xxxxxf 4)2).(1()( 2

43- D o conjunto soluo das inequaes:

a) 862 x

b) 0182 x

c) 206010 x

d) 055 x

e) 27

4

2

x

f) 16

7

3

x

44- Resolva a inequao 2)2()1.(23 xxxx .

45- Resolva os seguintes sistemas de inequaes do 1 grau:

a)

03

512

x

x

b)

05,0

712

x

x


c)

042

134

x

xx

d)

01

124

x

xx

46- Resolva: 451 xx .

47- Calcule a soma dos nmeros inteiros x que satisfazem xxx 4312 .

48- Resolva as inequaes produto:

a) 0)2).(1( xx

b) 0)1).(24( xx

c) 0)5).(33( xx

d) 0)105).(12( xx

e) 0)3( 2 x

49- Resolva a inequao 0)2).(3).(2( xxx .

50- Resolva as seguintes inequaes quociente:

a) 01

x

x

b) 02

3

x

x

c) 02

12

x

x

d) 05

4

x

x


7. Funo do 2 Grau

Definimos funo do 2 grau ou funo quadrtica, qualquer funo f de IR em IR definida por

uma lei matemtica da forma f(x) = ax + bx+c, onde a, b e c so nmeros reais dados e a 0.

Exemplos de funes quadrticas:

;

;

;

7.1 Grfico

A representao geomtrica de uma funo do 2 grau dada por uma parbola,

que tem sua concavidade voltada para cima ou para baixo.

Construo da Par

Razes de uma funo do 2 grau

Uma funo do 2 grau pode interceptar o eixo x em at dois pontos, ento assim como a

uno de 1 grau, devemos ter e desenvolver os valores das razes reais a partir do

clculo do discriminante, representado pela letra grega

.

Clculo das razes de uma funo do segundo grau:

O nmero de razes de uma funo do 2 grau depende diretamente do valor do discriminante

> 0, a equao possui duas razes reais e diferentes. A parbola intercepta o eixo x em dois

pontos distintos.


= 0, a equao possui apenas uma raiz real. A parbola intercepta o eixo x em um nico

ponto.

< 0, a equao no possui razes reais. A parbola no intercepta o eixo x.

7.2 O vrtice da parbola

Chamamos vrtice V de uma parbola os pontos de maior valor em uma parbola com

concavidade voltada para baixo, ou o ponto de menor valor de uma parbola com concavidade

voltada para cima. O ponto V pode tem as coordenadas .

Construo da Parbola:

Para construirmos uma parbola, utilizaremos as informaes obtidas nos passos anteriores,

como suas razes, concavidade e o ponto do vrtice, essa forma de construir grficos

denominada construo atravs dos pontos notveis. Veja o exemplo abaixo:

Construa o grfico da funo

Concavidade: a=1>0, concavidade voltada para cima.

Razes:

As razes da funo so: x = -1 e x = 2


Agora vamos calcular o valor do vrtice:

Agora, tendo todos esses pontos notveis, basta marc-los no grfico e a partir deles desenhar

a parbola.

7.3 Estudo da Variao do Sinal

Assim como na funo do 1 grau, para realizarmos o estudo da variao do sinal de uma

funo quadrtica precisamos conhecer as suas razes e tambm se a parbola tem a sua

concavidade voltada para cima ou para baixo.

Como vimos no incio de nossos estudos sobre funes do 2 grau, a concavidade da parbola

ser voltada para cima ou para baixo est associada ao coeficiente a. Para realizar o estudo do

sinal dessa funo temos seis possibilidades:

Funo com Duas Razes Reais e Concavidade Voltada para Cima

Funes com duas razes reais: como vimos acima, se

ento vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:

Funes com uma raiz real: sabemos tambm que, se

real, ento vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:

Para a > 0:

y > 0 (x < x1 ou x > x2)

y < 0 x1 < x < x2

Para a < 0:

y > 0 x1 < x < x2

y < 0 (x < x1 ou x > x2)


Funes com nenhuma raiz real: sabemos tambm que, se no possui razes

reais, ento vamos estudar o sinal se a > 0 e a < 0:

7.4 Inequao do segundo grau

As inequaes do 2 grau so resolvidas de forma similar equao do 2 grau. Porm aqui o

resultado no so valores, mas sim intervalos para os quais a funo assume valores maiores,

menores ou iguais a zero, assim sendo, vejamos um exemplo para fixao.

Exemplo

1. Resolva a inequao

Para a > 0:

Para a < 0:

Para a > 0:

Para a < 0:


Resoluo:

Podemos resolver uma inequao do segundo grau, semelhantemente uma equao

do mesmo tipo, ento, vamos resolver inicialmente a equao:

, pelo mtodo resolutivo:

e

Para visualizarmos o sinal da inequao, podemos esboar parcialmente o grfico,

anotando suas razes e verificando, conforme seu comportamento, para que intervalo a

funo assume valores maiores ou menores que zero.

Fica fcil observar que, os valores de x subentendidos entre as razes tem sua imagem menor

que zero, ento:

, assim sendo:

Soluo:

Exerccios sobre funo do 2 grau

51- Sendo 373)( 2 xxxf , calcule:

a) )0(f


b) )1(f

c) )4(f

d) )2(f

52- Dadas as funes reais 16)( 2 xxf e 142)( 2 xxxg , calcule:

a) )0(f

b) )0(g

c) )1(f

d) )1(g

e)

2

1)1( gf

53- Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo

alcana em cada instante expressa pela funo ttth 8)( 2 , em que h a medida

em metros e t em segundos. Aps quanto tempo o dardo atingir o solo?

54- Determine k de modo que o grfico da funo dada por 15)( 2 kxxxf passe pelo

ponto (-1,2).

55- Determine o mximo ou o mnimo das seguintes funes quadrticas:

a) xxy 2

b) xxy 126 2

c) 30020 2 xy

d) 342 xxy

e) 10122 xxy


f) 2)5( xy

56- Construa o grfico das funes:

a) 2)( xxf

b) 2)( xxf

c) 4)( 2 xxf

d) 2xy

e) 1)( 2 xxf

57- Dada a funo 1272 xxy , determine:

a) O vrtice V.

b) As razes.

c) O corte no eixo y.

d) O esboo do grfico.

58- Determine para quais valores de p as funes tm como grfico uma parbola com

concavidade voltada para cima:

a) 65)3()( 2 xxpxf

b) 6)34()( 2 xpxf

c) 4)26()( 2 xpxf

59- Um corpo lanado do solo e a lei que expressa esse movimento dada por:

2880)( sssh (h e s em cm). Determine a altura mxima atingida e o alcance

horizontal.

60- (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posio no espao descrita

em funo do tempo (em segundos) pela expresso: 233)( ttth , onde h a altura

atingida em metros.


a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?

b) Qual a altura mxima em metros atingida pelo grilo?

61- Em um experimento com certo tipo de moscas verificou-se que, em determinadas

condies, o crescimento do nmero de moscas uma funo do tempo dada por

80168)( 2 tttn . Qual era a populao inicial de moscas? At que instante a

populao de moscas cresceu?

62- Um empresrio determinou que o custo de certo produto de sua empresa funo do

nmero de unidades produzidas desse produto. Essa funo definida por

21002510 nnC , em que n o nmero de unidades produzidas e C o custo. Qual

deve ser o nmero de unidades produzidas para que o custo seja mnimo?

63- Determine os zeros das funes:

a) 363)( 2 xxxf

b) xxxf 126)( 2

c) 205)( 2 xxf

d) 523)( 2 xxxf

e) 16)( 2 xxf

64- Considere a funo real 65)( 2 xpxxf . Determine p para que 3 seja zero da

funo.

65- Faa o estudo do sinal das funes:

a) 352)( 2 xxxf

b) xxxf 2)( 2

c) 9103 2 xxy

d) 2)( 2 xxxf

e) 96)( 2 xxxf

f) 735 2 xxy

g) 332 xxy


66- Para que valores de x tm-se y > 0?

a) 962 xxy

b) 134 2 xxy

c) 102 xxy

67- Resolva as inequaes do 2 grau:

a) 0452 xx

b) 0542 2 xx

c) 06148 2 xx

d) 062 xx

e) 01582 xx

68- Para quais valores reais de x tm-se:

a) 025102 xx

b) 0132 2 xx

c) 0)3).(2( xx

d) 0)4).(4( xx

e) 0)7.( xx

69- (PUCCAMP-SP) No Conjunto R, qual o conjunto verdade de 01522 xx ?

70- Sendo 64)(2 xxxf , correto afirmar que:

a) A funo admite dois zeros reais e distintos.

b) A funo positiva para x maior que 1000.

c) A funo positiva somente para x no intervalo 6,1 .

d) A funo negativa para qualquer valor real.

e) A funo negativa somente para x no intervalo 6,1 .


8. Funes Exponenciais

Para entendermos os conceitos de funes exponenciais, vamos falar primeiramente de

equaes exponenciais, seu entendimento primordial para entender o conceito de funes

aplicados a esse campo.

8.1 Equaes exponenciais

Equaes exponenciais so aquelas cujas incgnitas so potencias de um determinado

nmero a , ou seja:

xa b

Para resolvermos uma equao exponencial podemos fatorar o termo independente da

equao para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes so iguais.

Assim sendo, teremos que nb a , como xa b , ento, consequentemente:

( 1 e 0)x na a m n a a

Observe a resoluo da equao exponencial a seguir.

Exemplo

1. Resolva as equaes exponenciais abaixo:

a) 2 256x

Resoluo:

Fatorando 256, temos que: 256 = 28, logo:

82 256 2 2 8x x x

b) 13 27x

Resoluo:

Fatorando 27, temos que: 27 = 33, logo:

1 1 33 27 3 3 1 3 2x x x x

Para se resolver a inequao exponencial procedemos da mesma forma que a

equao: igualar as bases, e resolver a inequao com os expoentes, porm

necessrio se atentar com o valor da base.

8.2 Inequaes exponenciais


Inequao para 0 < a < 1

Observe que quando a base est entre 0 e 1, conforme aumentam-se os expoentes,

aumentam-se os valores, conforme abaixo:

1 2 3 4 2 , 2 , 2 , 2 ... respectivamente igual a 2, 4, 8, 16...

Ento, ou seja, x na a x n , mantm-se o sinal da desigualdade.

Inequao para a < 1

Observe que quando a base maior que 1, conforme aumentam-se os expoentes,

diminuem-se os valores, conforme abaixo:

1 2 3 41 1 1 1

, , , ... 2 2 2 2

respectivamente igual a

0,5 , 0,25 , 0,125, 0,0625...

Ento:

Se a


71- Resolva as seguintes equaes exponenciais:

a) 25625 x

b) 644 x

c) 3

19 x

d) 33 232 x

e) 55 x

f) 125 2 x

g) 33 232 x

h)

32

1

2

1x

i) 2

145 x

j) 2733 5 x

72- Resolva 01,010 34 x .

73- Determine o conjunto verdade das seguintes equaes exponenciais:

a) 0224 xx

b) 082.622 xx

c) 015.252 xx

d) 033.49 xx

e) 1255.3025 xx

f) 01010.11100 xx

74- Para que valores de x tm-se a igualdade: 273.1232 xx ?

75- Determine os valores reais de x de tal forma que:

52

44

x

x


76- Resolva as inequaes em R:

a) 273 x

b) 162 x

c) 9

1

3

1

x

d) 12

42

2

12

x

x

e)

101

5

2

5

2

x

f) 13

213

x

g)

412

3

1

3

1

xx

h) xx 10)001,0( 24

i) 2

81

127

xx

77- Para que valores reais de x so vlidas as desigualdades?

a) 648 x

b) 34349 1 x

c) 25

1

5

13

x

d) 16

1

4

1

x

e)

13

2

1

4

1

xx

78- Resolva 16

48.2

xx .


8.3 Grfico da funo exponencial

Definimos funo exponencial, qualquer funo f de em definida por uma lei matemtica

da forma ( ) xf x a com * e 1a .

Supondo que no existissem essas restries, teramos:

Para a = 1, a funo ( ) 1xf x seria equivalente a ( ) 1f x , que no uma funo

exponencial, mas sim uma funo constante.

Para a = 0, teramos ( ) 0xf x que admite 0(0) 0f que uma indeterminao matemtica.

Para a < 0, teramos que a = -b (ou seja, a um nmero negativo) e. ( ) ( )xf x b , a funo

admite

1

21

( )2

f b b . E como sabemos no existe raiz quadrada (ou par) de

nmeros negativos.

Para construo do grfico de uma funo exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a

partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traar a curva.

Exemplo:

Para a representao grfica da funo ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -

2, -1, 0, 1, e 2.

Montando a tabela temos:

x y = 2x

-6 y = 2-4

= 0,625

-3 y = 2-2

= 0,25

-1 y = 2-1

= 0,5

0 y = 20 = 1

1 y = 21 = 2

2 y = 22 = 4

Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traamos o grfico, assim teremos:


8.4 Crescimento e Decrescimento

Podemos classificar a funo exponencial quanto ao crescimento e decrescimento, uma funo

exponencial crescente ou decrescente, diferente da funo quadrtica que assume ambos

comportamentos em uma mesma funo, nas funes exponenciais, o comportamento

depende diretamente do valor de sua base.

Funo Exponencial Crescente

Se a funo exponencial crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)

tambm aumenta.

Exemplo: Grfico de f(x) = 2x

Funo Exponencial Decrescente


Se a funo exponencial decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de

f(x) diminui.

Exemplo: Grfico de f(x) = 0,5x

Exerccios sobre funo exponencial

79- Esboce o grfico e identifique como crescente ou decrescente as funes exponenciais:

a)

x

y

3

1

b) xy 3

c) xy 23

d) 12 xy

e) xy 22

f)

3

2

1

x

y

g) xy 5

80- (Fuvest-SP) Sejam

x

xf

3

2)( e

x

xg

5

1)( , usando o mesmo par de eixos, esboce

os grficos de f(x) e g(x).


81- Resolva graficamente o sistema de equaes:

xy

yx

2

6

82- Esboce num mesmo plano cartesiano, os grficos das funes xxf 2)( e 3)( xxf

e verifique quantas solues tem a equao 32 xx .

83- Uma funo f dada por xaxf )( tal que seu grfico passa pelo ponto (1,3). Determine

o valor de a.

84- Para fazer uma experincia, um bilogo colocou 200 bactrias em um meio propcio ao seu

desenvolvimento, e observou que a cada hora o nmero de bactrias dobrava. Escreva a

sentena que define o nmero de bactrias N em funo do tempo t em horas.

85- Asclpio deposita R$ 500,00 na caderneta de poupana e, mensalmente, so creditados

juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que a frmula do montante (capital + rendimento),

aps x meses, xxM )02,1.(500)( , calcule:

a) o montante aps um ano.

b) o rendimento no primeiro ano.


9. Logaritmos

9.1 Definio

Logaritmo um tpico da matemtica que depende diretamente do conhecimento sobre

potenciao e suas propriedades, afinal o logaritmo, basicamente um expoente.

a x = b x = loga b

Onde:

a a base, a *

, a 1

b logaritmando, b *

, b 0

x o valor do logaritmo

Obs: Sempre que o logaritmo no estiver indicando base, utilizamos a base 10, ou seja: log a =

log10 a.

Exemplos:

1. Resolva os seguintes logaritmos.

a) log28

Soluo:

log28 = 3, pois 23 = 8

b) log327

Soluo:

log327 = 3, pois 3 = 27

c) log10100

Soluo:

log10100 = 2, pois 10 = 100

9.2 Condies de existncia

A base a de um logaritmo no pode ser negativa, no pode ser igual a zero nem igual a um.

O logaritmando b no pode ser negativo e nem igual a zero.

9.3 Sistemas de logaritmos


Chama-se sistema de logaritmos de base a ( )01 a , o conjunto dos logaritmos de todos os

nmeros reais positivos na base a.

Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Cincias,

so eles: sistema de logaritmos decimais e sistema de logaritmos neperianos. No nosso estudo

veremos o sistema de logaritmos decimais.

Sistema de logaritmos decimais

um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10, o que vem simplificar clculos no

campo da Matemtica. Para esse sistema de logaritmos, na notao, iremos omitir a base.

Exemplo: 2loglog 210

9.4 Propriedades dos logaritmos

Assim como as demais operaes matemticas os logaritmos possuem propriedades que

facilitam sua utilizao, bem como a realizao de operaes.

1 propriedade - Logaritmo de 1 em qualquer base a 0.

loga1 = 0

loga1 = x

ax = 1 (a

0 = 1)

x = 0

Exemplo:

Log21 = 0, pois 20 = 1

2 propriedade - O logaritmo da base, qualquer que seja a base, ser 1.

logaa = 1

logaa = x

ax = a

x = 1

Exemplo:

Log22 = 1, pois 21 = 2

3 propriedade - O logaritmo de uma potncia de base a igual ao expoente m.

logaam = m

logaam = x

ax = a

m

x = m


Exemplo:

Log2(22) = 2, pois 2

2 = 4

4 propriedade - Se dois logaritmos em uma mesma base so iguais, ento os logaritmandos

tambm so iguais.

logab = logac

logab = x ax = b

logac = x ax = c

b = c

Exemplo:

Log22 = log2c c = 4

5 propriedade - A potncia de base a e expoente logab igual a b.

alog

ab= b

logab = x

ax = b

Exemplo:

2log

24= 4, pois log24=2 e 2

2=4.

6 Propriedade - Logaritmo do produto a soma dos logaritmos.

logc (a . b) = logc a + logc b, sendo a > 0 e b > 0.

Exemplo:

log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3

7 Propriedade - Logaritmo da diviso a subtrao dos logaritmos

logc (a/ b) = logc a - logc b, sendo a > 0 e b > 0.

Exemplo:

log2 (2 / 3) = log2 2 - log2 3

8 Propriedade - Inverso de logaritmos

Exemplo:

9 Propriedade - Mudana de bases de um logaritmo


Podemos representar um logaritmo de base b como um logaritmo de base a, para isso,

utilizamos o procedimento de mudana de base:

Exemplo:

Sabemos que log216 = 4, resolva, utilizando o algoritmo de mudana de base log416

Soluo:

Utilizando o procedimento de mudana de bases, temos que:

=

9.5 Mudana de Base

Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que no convm, esta poder ser

substituda por outra.

Considerando-se o logaritmo de um nmero real e positivo a, numa base b real, positiva e

diferente de 1, faremos a mudana para uma base c, real, positiva e diferente de 1:

Exemplos:

Mudar para base 2 o logaritmo 5

4log :

2

log

log

loglog

5

2

4

2

5

25

4

9.6 Equaes logartmicas

So aquelas que apresentam a incgnita no logaritmando ou na base do logaritmo.

Exemplos: 12log)3log()2log( xx

1loglog 228 xx

Em geral, para resolvermos uma equao logartmica aplicamos a definio, a propriedade ou

a mudana de base de logaritmos.


Exemplo: Resolva a equao 2log 6 xx .

C.E: 06 x 01 x

}3{

3

2

25

06

6

2

1

2

2

S

x

x

xx

xx

Exerccios sobre logaritmos

86- Determine, pela definio, o valor de:

a) 1

5log

b) 625

5log

c) 25

5

1log

d) 27

3log

e) 008,0

2,0log

f) 2

512log

g) 04,0

2,0log

h) 1000

1,0log

87- Determine o valor de x em cada um dos casos:

a) 3log8 x

b) 5log2x

c) 4log 00016,0 x

d) 2log 5,0 x

88- Se x1,0log , calcule o valor de 2x .


89- Calcule o valor da soma 1

8

33

3

001,0

10 logloglog S .

90- Obtenha o valor de cada expresso a seguir:

a) 9

9

9

3 loglog

b) 2,0

5

2

2

1 log.2loglog

91- O logaritmo de um nmero na base 8 3

5. Qual esse nmero?

92- Determine x para que exista:

a) 12

3log x

b) 72

2log

x

x

93- Dados os valores 30,02log , 47,03log , 69,05log e 84,07log , determine o

valor de:

a) 12log

b) 49log

c) 108log

d) 120log

e) 200log

f) 75log

g) 23log

h) 03,0log

i) 8,4log

j) 5,7log

k) 5,10log

94- Sabendo que 4log ab , 1log c

b , encontre o valor de:


a) ca

b

.log

b)

c

a

blog

c) 2.log cab

95- Sendo 5

3loga e 2

3logb , calcule os logaritmos a seguir em funo de a e b:

a) 10

3log

b) 53

3log

96- Resolva as equaes:

a) 3log 32 x

b) 1log52log xx

c) 12loglog2

44 xx

d) xxx 6log)4log()4log(

e) 1loglog 112 x

a

x

97- Resolva a equao 3log1 )21(2 x

.

98- Sendo 30,02log ; 47,03log e 69,05log , calcule:

a) 50

2log

b) 4

6log

c) 45

3log

d) 2

9log

e) 6

2log

f) 600

8log

99- Considerando 69,05log e 47,03log , qual o logaritmo de 5 na base 3?


100- Calcule 4

8log .

101- Dados 3010,0log 210 e 4306,1log10

5 calcule o valor de 2

5log .

102- Se xa 3log , ento 2

9loga

igual a:

a) 22x

b) 2x

c) 2x

d) x2

e) x


9.7 Funes Logartmicas

Denominamos funo logartmica de base a toda funo definida pela lei de formao f(x) =

logax, com a > 0 e a 1. De maneira que seu domnio representado pelo conjunto dos

nmeros reais maiores que zero e o contradomnio, o conjunto dos reais.

Para construo do grfico de uma funo exponencial vamos atribuir alguns valores a x, e a

partir desse valor, encontrar f(x), identificar esses pontos no plano cartesiano e traar a curva.

Exemplo:

Para a representao grfica da funo ( ) 2xf x vamos atribuir os seguintes valores a x: -4, -

2, -1, 0, 1, e 2.

Montando a tabela temos:

x y = logx

1 y = log (1) = 0

2 y = log (2) =0,30103

3 y = log (3) =0,477121

4 y = log (4) =0,60206

5 y = log (5) =0,69897

Preenchemos esses valores no plano cartesiano e traamos o grfico, assim teremos:

9.8 Crescimento e Decrescimento de uma funo logartmica


Assim como fizemos com as funes exponenciais, podemos classificar a funo logaritmica

quanto ao crescimento e decrescimento, em uma funo decrescente o comportamento

depende diretamente do valor de sua base.

Se a funo exponencial crescente, ou seja, conforme x aumenta o valor de f(x)

tambm aumenta.

Exemplo: Grfico de f(x) = log2 x

Funo Logartmica Decrescente

Se a funo logartmica decrescente, ou seja, conforme x aumenta, o valor de

f(x) diminui.

Exemplo: Grfico de f(x) = log0,5 x

Exerccios sobre funo logartmica

103- Esboce o grfico das seguintes funes:


a) xy 3log

b) xy 4log

c) xy 1,0log

d) 1

5,0log xy

104- Esboce o grfico cartesiano das seguintes funes:

a) 1

3log xy

b) 1

2log xy

105- Construa num mesmo sistema de eixos os grficos de xxf 2)( e xxg 2log)( .

106- D o domnio e o conjunto imagem das seguintes funes:

a) xy 3log

b) 63log xxy

c) 1

2log xy

d) 4log xy

e) 164

3

2

log x

xy


Exerccios de vestibulares

Questo 1

(Enem-MEC) Nas ltimas eleies presidenciais de um determinado pas, onde 9% dos

eleitores votaram em branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos

vlidos. No so considerados vlidos os votos em branco e nulos.

Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de votos

da ordem de:

a) 38%

b) 41%

c) 44%

d) 47%

e) 50%

Questo 2

(Enem-MEC) Um fabricante de cosmticos decide produzir trs diferentes catlogos de seus

produtos, visando a pblicos distintos. Como alguns produtos estaro presentes em mais de

um catlogo e ocupam uma pgina inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os

gastos com originais de impresso. Os catlogos C1, C2 e C3 tero, respectivamente, 50, 45 e

40 pginas.

Comparando os projetos de cada catlogo, ele verifica que C1 e C2 tero 10 pginas em

comum; C1 e C3 tero 6 pginas em comum; C2 e C3 tero 5 pginas em comum, das quais 4

tambm estaro em C1.

Efetuando os clculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos trs

catlogos, necessitar de um total de originais de impresso igual a:

a) 135

b) 126

c) 118

d) 114

e) 110


Questo 3

(ITA-SP) Considere as seguintes afirmaes sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:

Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s):

a) Apenas I e III.

b) Apenas II e IV.

c) Apenas II e III.

d) Apenas IV.

e) Todas as afirmaes.

Questo 4

(PUC-PR) Uma Universidade est oferecendo trs cursos de extenso para a comunidade

externa com a finalidade de melhorar o condicionamento fsico de pessoas adultas, sendo eles:

Curso A: Natao.

Curso B: Alongamento.

Curso C: Voleibol.

As inscries nos cursos se deram de acordo com a tabela seguinte:


Analise as afirmativas seguintes com base nos dados apresentados na tabela.

I. 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos.

II. 52 pessoas no se inscreveram no curso A.

III. 48 pessoas se inscreveram no curso B.

IV. O total de inscritos nos cursos foi de 88 pessoas.

A alternativa que contm todas as afirmativas corretas :

a) I e II.

b) I e III.

c) III e IV.

d) I, II e III.

e) II, III e IV.

Questo 5

Questo 6


(UFF-RJ) Observe a imagem:

O histrico desempenho dos atletas brasileiros no PAN-2007 (54 de ouro, 40 de prata e 67 de

bronze, total de 161 medalhas) superou os objetivos traados pelo Comit Olmpico Brasileiro

(COB). Embora tenha superado Cuba (59 de ouro, 35 de prata e 41 de bronze, total de 135

medalhas) no total de medalhas, o Brasil terminou os Jogos em terceiro lugar no quadro, atrs

de Cuba (segundo) e Estados Unidos (primeiro lugar, com 237 medalhas).

Adaptado de:

.

No satisfeita com o terceiro lugar do Brasil na competio, uma professora de matemtica

sugeriu que a classificao geral deveria ser feita pelo total de pontos obtido por cada equipe

segundo o seguinte critrio: cada medalha de bronze valeria 1 ponto, a medalha de prata q

pontos e a medalha de ouro q2 pontos, sendo q, obviamente, maior que 1. Considere ento B o

conjunto que contm todos valores reais possveis de q tal que, segundo o critrio da

professora, o Brasil ficaria na frente de Cuba no PAN-2007. Assim sendo, pode-se afirmar que:


Questo 7

(UFU-MG) Sejam A, B e C conjuntos de nmeros inteiros, tais que A tem 8 elementos, B tem 4

elementos, C tem 7 elementos e A B C tem 16 elementos. Ento, o nmero mximo de

elementos que o conjunto D = (A B) (B C) pode ter igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Questo 8

Ento:

a) apenas I verdadeira.

b) apenas III verdadeira.

c) apenas I e III so verdadeiras.

d) apenas IV verdadeira.

e) todas as afirmaes so falsas.

Obs.: denota o conjunto dos nmeros irracionais.

Questo 9


Entre os conjuntos de nmeros naturais a seguir, encontre os pares de conjuntos iguais:

A = conjunto dos pares mltiplos de 3

B = conjunto dos pares mltiplos de 5

C = conjunto dos mltiplos de 6

D = conjunto dos mpares mltiplos de 3

E = conjunto dos mltiplos de 10

F = conjunto dos que so mltiplos de 3, mas no de 6

Questo 10

Escreva a frao geratriz do decimal 4,3252525...

Questo 11

Numa pesquisa realizada por tcnicos da ONG GUALIMPA, foram coletadas amostras do

lago XOROR.

Das 340 amostras coletadas, verificou-se que:

100 apresentaram a bactria A;

150 apresentaram a bactria B;

120 apresentaram a bactria C;

40 apresentaram as bactrias A e B;

25 apresentaram as bactrias A e C;

30 apresentaram as bactrias B e C;

55 no apresentaram nenhuma das trs bactrias.

Determine:

a) Quantas amostras apresentaram as 3 bactrias.


b) Quantas amostras apresentaram pelo menos 2 bactrias.

Questo 12

Represente os seguintes intervalos:

a) [1,1]

b) [0, 1)

c) ( , 2]

Questo 13

Se um conjunto A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, quantos elementos pode ter a unio

entre A e B?

Questo 14

a) 12

b) 17

c) 20

d) 22

e) 24


Questo 15

(PUC-PR) Observe a charge abaixo:

Joo Xavier/Arquivo da editora

Observando a charge e considerando N = {0, 1, 2, 3, ...} o conjunto dos nmeros naturais,

analise as seguintes afirmaes:

I) Para qualquer nmero natural escolhido, a resposta da moa sempre estar correta.

II) Existe um nico nmero natural que no satisfaz a resposta da moa.

III) Existem dois nmeros naturais que no satisfazem a resposta da moa.

Ento, pode-se concluir que:

a) Somente uma afirmao verdadeira.

b) As afirmaes I e III so verdadeiras.

c) As afirmaes II e III so verdadeiras.

d) As afirmaes I e II so verdadeiras.

e) As afirmaes I, II e III so FALSAS.

Questo 16

A planta de uma casa foi desenhada numa escala em que cada 5cm representam 1m.


a) Qual foi a escala utilizada?

b) Se a planta mede 50 cm 40 cm, quais as medidas do terreno ocupado pela casa?

Questo 17

Ana uma vendedora que recebe um salrio fixo de R$ 500,00 e mais comisses de 10%

sobre o que vende.

a) Complete a tabela para calcular o pagamento dela em funo das vendas.

b) Escreva a funo afim que representa o ganho dela em funo da venda e responda: quanto

ela ganhar se vender R$ 17.000,00? Quanto ela deve vender se quiser ganhar no mnimo R$

3.000,00?

Questo 18

Dada a funo f(x) = 2x + 5, calcule os valores de x para os quais:

a) f(x) = 1

b) f(x) = 0

c) f(x) = 5

d) f(x) = 5

Questo 19


Dado os grficos, escreva a equao da funo afim.

Questo 20

Desenhe o grfico e estude o sinal da funo f(x) = 3x + 6.

Questo 21

(ESPM-SP) Considere as funes reais f(x) = (1/2)x ; g(x) = x

2 2x e h(x) = f[g(x)]. O conjunto

imagem da funo h(x) dado pelo intervalo:

a) ]0; 2]

b) ] ; 2]

c) ]; 2]

d) [2; +[

e) [2; 2]


Questo 22

(FGV-SP) O valor da expresso para x = 1,3 :

a) 2

b) 2

c) 2,6

d) 1,3

e) 1,3

Questo 23

(FGV-SP) Seja a funo f(x) = x2. O valor de f(m + n) f(m n) :

a) 2m2 + 2n

2

b) 2n2

c) 4mn

d) 2m2

e) 0

Questo 24

(PUC-Camp-SP) O grfico abaixo mostra o comportamento das exportaes de algodo em

pluma no Brasil, no perodo de 1990 a 2001. A partir desse grfico conclui-se corretamente que


a exportao de algodo em pluma no Brasil:

a) foi crescente no perodo de 1994 a 2001.

b) foi decrescente na dcada de 1990 a 2000.

c) teve seu mximo no perodo de 1996 a 1998.

d) ultrapassou o total de 60 000 toneladas no perodo de 1994 a 1996.

e) no ultrapassou a marca anual de 100 000 toneladas no perodo de 1992 a 2000.

Questo 25

(PUC-MG) O domnio da funo real f (x) = o intervalo [a,b]. O valor de a + b

igual a:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

Questo 26

(Unesp-SP) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em graus


Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura esto relacionadas pela equao:

9TC = 5TF 160

Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius esto

relacionadas pela equao:

TK = TC + 273

A equao que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin :

Questo 27

A regra a seguir fornece a altura h percorrida por um objeto que cai ao ser abandonado do alto

de um prdio.

h(t) = 5 t2 (h em metros, t em segundos)

Responda:

a) Qual a varivel dependente?

b) Qual a varivel independente?

c) Construa uma tabela que mostre a altura percorrida nos primeiros 5s.

d) Se a altura do prdio 80m, para que valores de t essa regra pode ser usada?

e) O que acontece para valores de t fora dos limites que voc calculou?

Questo 28


Qual o valor inicial da funo f(x) = 3x + 1?

Questo 29

Resolva a seguinte inequao produto (x1) (3x) (2x+4) > 0.

Questo 30

Sem fazer o grfico, estude o sinal das seguintes funes:

a) f(x) = 5x

b) f(x) = 2x + 3

Questo 31

Um comerciante tem um lucro de R$ 500,00 quando vende 30 aparelhos e de R$ 300,00

quando vende 20. Sabendo que o lucro em funo do nmero de aparelhos vendidos uma

funo afim, qual o menor nmero de aparelhos que ele deve vender para no ter prejuzo?

Questo 32


(ESPM-SP) O grfico abaixo representa a funo real f(x) = x + kx + p, com k e p reais.

O valor de p k :

a) 12

b) 15

c) 18

d) 18

e) 3

Questo 33

(FGV-RJ) No retngulo ABCD da figura abaixo, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q

dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, so tais que AM = AN = CP = CQ.

Determine o valor mximo da rea do quadriltero MNPQ.


Questo 34

(FGV-SP) A soma das razes da equao = 0 vale:

Questo 35

(Fuvest-SP) A equao 2x = 3x + 2, com x real:

a) No tem soluo.

b) Tem uma nica soluo entre 0 e .

c) Tem uma nica soluo entre e 0.

d) Tem duas solues, sendo uma positiva e outra negativa.

e) Tem mais de duas solues.

Questo 36

(Fuvest-SP) Os pontos (0, 0) e (2, 1) esto no grfico de uma funo quadrtica f. O mnimo de


f assumido no ponto de abscissa x = . Logo, o valor de f(1) :

Questo 37

(Ibmec-SP) O grfico da funo dada pela lei y = ax2 + bx + c, com a 0, a parbola

esboada abaixo, que tem vrtice no ponto V. A partir do esboo, pode-se concluir que:

a) a > 0, b > 0 e c > 0

b) a > 0, b > 0 e c < 0

c) a > 0, b < 0 e c > 0

d) a > 0, b < 0 e c < 0


e) a < 0, b < 0 e c < 0

Questo 38

(PUC-MG) A funo que relaciona o risco R de morte de um indivduo com a dose D de

radiao a que ele submetido dada por R = 1,5D2 + D. Com relao a um indivduo que

tenha sido submetido a uma contaminao radioativa, o aumento de R, em porcentagem,

devido a uma variao de D de 1 para 2, igual a:

a) 80%

b) 130%

c) 179%

d) 220%

Questo 39

Um granjeiro dispe de 40 m de cerca para fazer um galinheiro. Este deve ser retangular e um

de seus lados deve ser um muro j existente de 25m, como indica o desenho. Quais devem ser

as dimenses do galinheiro para que o granjeiro consiga a maior rea possvel com a cerca

disponvel? Quanto ser essa rea? Ele utilizar toda a extenso do muro? Calcule quanto

seria a rea do galinheiro se o granjeiro utilizasse todo o

1 ano matematica

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