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Omines Cursibus Sobre Medidas & Medição

Ref.: 03-2012 Laboratório de Física

Em Laboratório de Física Básica fenômenos ou propriedades físicas são estudados à luz de grandezas físicas mensuráveis (comprimento, tempo, massa, temperatura etc.) obtidas através de instrumentos de medida. Busca-se o “valor verdadeiro de uma grandeza física específica”, porém valores verdadeiros são, por natureza, indeterminados. Fala-se, então, em “melhor estimativa”. O texto a seguir trata da obtenção e da comunicação dessa melhor estimativa.

1. Anatomia de uma medida

Mensurando é uma grandeza física específica submetida à medição, sendo que o “valor do mensurando” é consistente com a definição de uma dada grandeza física (*).

Um instrumento de medida possibilita uma “estimativa” da medida procurada, isto é, do valor do mensurando. A qualidade de tal estimativa depende da escala e da precisão do instrumento de medida. Dada a limitação deste, a estimativa vem acompanhada de uma “incerteza”.

2. Propriedades

Exatidão (ou Acurácia): grau de concordância entre o resultado de uma medição (estimativa) e um valor verdadeiro do mensurando.

Inverso da Dispersão (fisicamente Repetitividade ou Reprodutibilidade): grau de concordância entre os resultados de medições sucessivas de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condições de medição. A dispersão está relacionada com a incerteza.

Escala (): ordenação de uma grandeza física em acordo com a magnitude (na Engenharia, múltiplos de 103). Em geral um instrumento de medida opera em determinada escala de medidas. Ex.: Escala de balança de farmácia e de laboratório são quilograma (kg) e grama (g), respectivamente.

Precisão (p): quantidade de algarismos decimais fornecidos pelo instrumento de medida operando em determinada escala. Em geral coincide com a unidade de medida do instrumento de medida.

Algarismos significativos (a.s.): a quantidade de algarismos significativos de uma medida de determinada grandeza física específica tem origem na leitura desta em um instrumento de medida operando em determinada escala. (**) Define-se a quantidade de algarismos significativos de uma medida como a quantidade de algarismos contados da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo não nulo.

Obs.: A escala e a precisão de um instrumento são estruturais, de modo que não podem ser alterados. O desgaste do equipamento, a não calibragem, o uso equivocado, podem alterar a reprodutibilidade da medição, o que nos leva a entender que a dispersão é funcional. _______________ (*) A unidade de medida de uma grandeza física específica é determinada em relação a um padrão de referência, o qual é tomado como “valor verdadeiro convencional” (1 m, 1 s, 1 kg etc.). (**) Um algarismo ou dígito é um dos algarismos indu-arábicos 0, 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

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3. Composição de uma medida do mensurando

Toda e qualquer medida experimental é composta de uma estimativa e de uma incerteza

(x x) u.m.

ou (estimativa incerteza) unidade de medida

a. Estimativa da medida

A estimativa de uma medida pode ser determinada basicamente de três formas:

Instrumental : deriva da leitura de um instrumento. Fala-se em medida direta. Ex.: dimensões e massa do corpo, espaço e tempo, temperatura etc.

Estatística : análise de um conjunto de medidas referentes a uma grandeza física específica de um mesmo objeto em um mesmo estado (mesmas condições de medição: pressão, temperatura etc.). Em geral tal conjunto é composto por medidas diretas.

Combinada : deriva da combinação de duas ou mais grandezas físicas específicas via operações matemáticas (adição e/ou potenciação). Fala-se em medida indireta. Ex.: área e volume e densidade do corpo, velocidade etc.

b. Incerteza da medida

Incerteza Direta A incerteza da medida direta é composta por três incertezas básicas como segue

Incerteza residual sistemática ou aleatória xres incerteza residual sistemática ou aleatória, ocorre devido à desvios na calibragem do equipamento, condições físicas inadequadas (como temperatura/umidade inconstantes, ruídos/vibrações externas etc.).

Incerteza devido ao experimentador xexp incerteza devido ao experimentador, resulta das limitações humanas em relação aos sentidos (visão e audição, principalmente). Mas a incerteza também vem do reflexo do operador, da paralaxe, da qualidade do treinamento etc.

Incerteza calculada xcalc incerteza calculada, determinada por meio da estatística e/ou da propagação de erro. Também engloba a incerteza instrumental (xinst). Verifica-se sempre

xcalc xinst.

Incerteza Instrumental : deriva da leitura do instrumento de medida, o qual pode ser analógico ou digital

Em instrumentos analógicos, sem a presença do nônio → xinst = p/2 A incerteza é igual à metade da precisão (unidade de medida) Ex.: régua, trena, balança etc. com a presença do nônio → xinst = p. Ex.: paquímetro, micrômetro etc.

Em instrumentos digitais é importante consultar o manual, principalmente aqueles que operam em diferentes escalas de medida. Porém, na ausência do manual, pode-se adotar a incerteza sobre o último dígito do painel (aquele que oscila ou “flutua”) → xinst = p. Ex. paquímetro, cronômetro, multímetro.

Essa incerteza instrumental também origina-se na qualidade das instalações, na calibragem e manutenção dos instrumentos.

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Incerteza Indireta : A incerteza da medida indireta (aritmética) é definida pelas regras de propagação da incerteza. Ex.: áreas, volumes, densidades etc.

Incerteza Estatística : deriva da análise estatística de um conjunto de medidas que podem sofrer algum tipo de variação; esta está relacionada fisicamente à Repetitividade ou Reprodutibilidade das medidas. Ex.: Muitas medidas do diâmetro de um pistão (à mesma temperatura e pressão), ou única medida do diâmetro de muitos pistões (todos à mesma temperatura e pressão).

NOTA: Verifica-se sempre que x xinst ! Há situações em que xres = xexp = 0.

Característica da Incerteza A incerteza é escrita com um ou dois algarismos significativos no máximo (máx. 2 a.s.). Em geral um instrumento de medida fornece a incerteza com um algarismo significativo.

4. Determinação da melhor estimativa do valor de um mensurando (Tipo 1)

Objetiva-se quantificar propriedades e/ou estados (tomados como constantes) de um dado mensurando.

Formulário Estatística: muitas medidas de uma mesma grandeza , com o mensurando no mesmo

estado

Estatística Estimativa Incerteza (quadrática)

Muitas Medidas (N >> 2)

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Aritmética: diferentes medidas combinadas , com o mensurando no mesmo estado

Algébrica Estimativa Incerteza (quadrática)

Adição

Potenciação

A incerteza é concluída fazendo

onde incerteza calculada, , é determinada pela incerteza estatística, , e/ou aritmética, , as quais surgem sobrepondo a incerteza instrumental, , ou seja,

Jogo Rápido: sobre a estimativa de medidas provenientes de operações aritméticas (combinadas)

Adição/Subtração: a precisão do resultado (de N parcelas na mesma escala) é determinada pela parcela de menor precisão.

Multiplicação/Potenciação: a quantidade de algarismos significativos do resultado (de N fatores) é igual à do fator com menos algarismos significativos.

Critério de Arredondamento Arredondar ou truncar um número... analisa-se o algarismo seguinte ao último a ser mantido

NOTA: a calculadora também opera dessa forma.

5. Determinação da melhor estimativa do valor de um mensurando (Tipo 2)

Objetiva-se quantificar propriedades, particulares ou gerais, de artefatos materiais, a partir arranjos de calibração. Ex.: gravidade, constante elástica, calor específico, massa padrão etc.

Arranjo de calibração consiste na construção de tabelas com valores das grandezas físicas específicas, das quais a propriedade procurada depende, tomadas em diferentes estados.

x Y

x1 y1

x2 y2

x3 y3

xN yN

A melhor estimativa da grandeza física específica é determinada via método qualitativo (gráfico) ou estatístico (método dos mínimos quadrados, m.m.q.). O fluxograma a seguir ilustra isso.

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a. Qualitativo: Gráfico (reta média)

Na tabela de dados (xi, yi), os pontos xi e yi representam medidas diretas ou indiretas, subentendendo-se uma relação linear entre tais medidas:

y = A + Bx

onde B é a inclinação (coeficiente angular) e A é o intercepto (coeficiente linear). Porém, dada a origem experimental dos pontos, é esperado , para todo i = 1, 2, …, N. Busca-se uma equação de reta média, a qual tem a função de minimizar coletivamente os desvios das medidas experimentais, permitindo a obtenção (confiável) dos parâmetros procurados (A e B).

Gráfico

Para se determinar os parâmetros A e B da equação da reta média, considere a análise a seguir. A incerteza de uma medida altera sua representação gráfica, de um ponto para um segmento de reta (de comprimento 2xi), conforme figura ao lado.

Em um Gráfico (x, y), por sua vez, cada ponto (xi, yi) tem a ele associado uma área (de incerteza) de tamanho (2xi)(2yi).

As quatro figuras abaixo ilustram o processo para a obtenção da reta média. Em (a) os pontos (xi, yi) são marcados com as respectivas áreas de incerteza.

O ponto baricêntrico aparece na figura (b). Não há preocupação em marcar sua área de incerteza porque a reta média deverá passar por ele.

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As retas máxima e mínima devem passar por todas as áreas a partir do ponto central (baricentro), conforme figura (c). As inclinações máxima e mínima são limitas pelo vértice do quadrado (área de incerteza) de um dos pontos.

A partir do exemplo dado acima se verifica os pontos e . Conhecendo-se as retas máxima e mínima determina-se a reta média, indicada na figura (d), conforme tabela abaixo.

Parâmetros: Baricentro , Inclinação (B) e Intercepto (A)

O baricentro é um ponto central para a análise e determinação da melhor estimativa do mensurando estudado. Tem a propriedade de satisfazer a função acima, isto é,

Baricentro Estimativa Incerteza

Abscissa

Ordenada

CASO ESPECIAL Em algumas situações experimentais tem-se que as incertezas são iguais para todas as medidas,

(medidas tomadas com o mesmo instrumento e/ou pelo mesmo operador). Nestes casos o baricentro pode ser simplificado como segue.

Baricentro Estimativa Incerteza

Abscissa

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Ordenada

Determinação dos parâmetros da reta média: inclinação (B B) e intercepto (A A). A reta média é determinada a partir do Gráfico (x, y), construído em papel milimetrado (ou em monolog ou dilog). Conhecendo os pontos Pmax = (xmax, ymax) e Pmin = (xmin, ymin), então

Estatística Estimativa

Inclinação (coeficiente angular)

Intercepto (coeficiente linear)

Cabe notar que as incertezas B e A devem ser determinadas via propagação de erro. CASO ESPECIAL Em certos experimentos a reta média deve passar pela origem (0, 0). Nestes casos, impõe-se A = 0 e determina-se B como segue,

Estatística Estimativa


Cabe notar que a incerteza B é determina via propagação de erro.

b. Quantitativo: Método dos Mínimos Quadrados (M.M.Q.) O Método dos Mínimos Quadrados é um método quantitativo para se determinar os coeficientes de uma função. Para tanto deve supor uma relação entre as grandezas x e y, a qual é assumida linear.

Cálculo dos parâmetros B (inclinação) e A (intercepto) da função y = Bx + A



Intercepto (coeficiente linear)

onde são as médias aritméticas dadas por

e

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A construção de uma tabela auxiliar agiliza os cálculos

Ponto xi yi B B

1

2

3 A A

N

Considerando que a reta passa pela origem: y = Bx



onde são as médias aritméticas dadas por

e

6. Expressão da Melhor Estimativa do Mensurando

(x x) u.m.

A estimativa, x, e a incerteza, x, estão na mesma escala (), com a mesma precisão (p).

A incerteza é escrita com até dois algarismos significativos (2 a.s.) no máximo. Ex.: (275 3) mm, (82,80 0,15) g, (9,79 0,01) m/s2

Alternativamente, pode-se escrever x(a.s. x) u.m. Ex.: 275(3) mm, 82,80(15) g, 9,79(1) m/s2 Note que convencionou que os dígitos entre parênteses, isto é, a incerteza, atua sobre os últimos dígitos do número fora dos parênteses, isto é, a medida estimada.

7. Referências

[1] Guia Para a Expressão da Incerteza de Medição. 3ª Ed. Rio de Janeiro: ABNT, INMETRO, 2003.

[2] Gordon Leslie SQUIRES. Practical Physics. 4th ed. Cambridge, 2001.

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Accuracy_and_precision

[3] International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM) [http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_200_2008.pdf]

1. anatomia de uma medida 2. propriedades · e m laboratório de física básica fenômenos ou...

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