1

3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1

A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbriotermodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações:

»» pode-se escrever:

(3.15) e

(3.16)

No caso do Sol, em

2

PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar

A - Conceitos Básicos de Astrofísica: 1,5 semanas

Corpo Negro - Intensidade - Fluxo

Espectros - Leis dos Gases

B - Propriedades Físicas das Estrelas: 4 semanas

Magnitudes - Índices de Cor - Luminosidade – Temperatura

Tipos Espectrais - Diagrama HR

Massas - Raios

Rotação - Composição Química

Distâncias

C - Atmosferas Estelares: 2,5 semanas

Equação de Transporte Radiativo

Formação de Linhas Espectrais e Composição Química

Modelos de Atmosferas

3

PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar (cont.)

D - Estrutura Estelar: 3 semanas

Equilíbrios Hidrostático e Termodinâmico

Equilíbrio Radiativo - Equações de Estado

Produção e Transporte de Energia – Convecção

Equações Básicas da Estrutura Estelar

Politropos

E - Evolução Estelar: 4 semanas

Formação de Estrelas

Evolução Anterior à Sequência Principal

A Seqüência Principal – Estrelas de Baixa Massa: o Sol

Evolução após a Seqüência Principal

Estágios Finais da Evolução Estelar

(Anãs Brancas, colapso gravitacional, Estrelas de Nêutrons, Buracos Negros)

4

»» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é:

(3.17)

onde ≡ seção eficaz de interação.

Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons, 10−16 −10−18 cm2.

Para interações de fótons com elétrons ou íons, 10−24 cm2.

»» Define-se o peso molecular médio como

o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional)

u.m.a. 1,661 x 10-24 g

5

Exemplos de valores de : H ionizado: = ½ (<massa>/ part.) = ½ mH

Copo d’água: 18

Atmosfera da Terra: 29

»» Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como:

onde mH é a massa do átomo de H,

A densidade numérica de partículas no interior estelar é,

(3.18)

6

»» Com esses valores de n,

~ 10-7 cm para interações entre partículas e

~ 1 cm para interações envolvendo fótons.

Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de

P e T (eqs. (3.15) e (3.16) )

e

variação muito pequena desses parâmetros em alguns :

no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm),

ou, e

CONCLUSÃO ??

7

CONCLUSÃO: P e T podem ser consideradas CONSTANTES

nas regiões onde acontecem as interações ≡ ≡ ≡

≡ ≡ ≡ EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO

3.6: A Variação da Energia com r

»» Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g−1 s−1) naregião central da ; sua luminosidade L pode ser escrita:

Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura

» Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura

dr (figura 2.1)

8

e

(3.19) (euler) , ≡ variação radial de L; ou,

(3.20) (lagrange)

Sendo L(r) e L(r + dr) as energias/seg

emitidas em r, e r + dr, e

os valores locais, pode-se escrever:

9

»» Ordens de grandeza:

De (3.19), com , deduz-se que:

(3.21).

Para o Sol, , o que permite escrever-se:

para Estrelas em geral.

Ex: SP

10

»» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 10

(3.20) , pode-se escrever: dL = є dM FÍSICA??

»» Implementações na eq. (3.20):

inclusão dos neutrinos e

caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq.

de variação radial de L completa será:

(3.21)

11

III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR 9 (continuação)

3.8: O Gás de Elétrons

Três simplificações importantes:

ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito*

3.8.1: Gases Perfeitos (GP):

Um <energia de interação> entre partículas << energia térmica delas

Quando isso ocorre? escrita:

----------------------------

* num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas.

(isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares).

12

Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito.

»» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é:

(3.22) , sendo k a cte. de Boltzmann.

» Em termos do número total de partículas N no volume V,

, sendo o nº de moles,

o nº. de Avogadro e

R= 8,31 x 107 erg K-1 mol-1 é a constante dos gases.

Como , segue que

13

»» INFORMAÇÃO PRÁTICA:

um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas.

»» Comparação entre as Etérmica e Ec de interação coulombiana num

GP: para partículas com separação média de r,

(3.22), sendo .

o volume ocupado por uma partícula é e seja

e T ~107 no interior estelar; com isso,

e ;

14

» Por outro lado,

< Et > ~ (3/2) kT ~ 10-9 erg ~ 103 eV, isto é,

Ec << Et

Se a condição acima não for satisfeita,

desvio clássico do GP Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta,

criação de pares

3.8.2: Funções de Distribuição

»» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia

depende da estatística aplicada.

a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a

estatística de Maxwell-Boltzmann:

15

(3.23), sendo

o peso estatístico do nível E, ≡

≡ nº de configurações com energia E /cm3 .

é o fator de degenerescência, que é f(n) .

» Para baixas densidades, e para altas, ;

Para fótons, .

b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros

(≡ férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:

16

(3.24)

c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons),

como fótons, partículas alfa e mésons , há que aplicar-se a

estatística de Bose-Einstein:

(3.25)

»» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de

ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~

17

~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E.

Para a distribuição de MB, e se

(baixas densidades) , f(E) << 1 .

»» O que mais nos interessa no interior estelar?

a Pg é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a

Estatística de FD; nesse caso,

(3.26)

E nas altas densidades em questão, e obtemos ,

O valor 1 não é novidade. PORQUE??

18

» Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ),

FD MB

3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito

PRESSÃO ≡ TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO

P = F / unidade de área ≡ taxa de transferência de QM;

» Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás;

Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será:

(ver Fig. 3.1)

p

19

p

Fig. 3.1

Seja o número de partículas com

QM entre que incidem na

superfície unitária/unid. de tempo, vindas de

direções que fazem com a normal ângulos

no intervalo ;

Nessas condições, a Pressão no cone d

pode ser escrita:

e a pressão total no interior do gás será,

(3.27) ;

20

» chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever

(3.28)

, onde é a velocidade das ptclas. de

QM a componente de v ao longo da normal n .

»» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA

∝ ângulo sólido subtendido pela figura 3.1; daí,

= dS/r2 e como teremos que =2 sin d e

(3.29)

sendo a densidade de ptclas. com QM entre

21

» de 3.27, 3.28 e 3.29,

(3.30), para cuja integração temos de

conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada.

da eq. 3.30 EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas.

»» Estamos interessados no momento num gás de elétrons;

Não muito próximo ao centro da , pode-se considerar que ,

isto é, FD → MB, e a estatística dos e- pode ser escrita:

(3.31), sendo

n = densidade total de ptclas./cm3 e

22

»» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico,

não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será:

(3.32) , sendo

(mostra-se que este termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22): P=nkT

3.8.4: O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode então ser escrita na forma

que , com ,

sendo µ o peso molecular médio e .

23

» Nessas condições, podemos definir µ como (3.33)

ou seja, sendo n a densidade numérica (cm-3) de partículas

livres,

µ é a massa média das partículas do gás, em unidades de mH.

>> Pode-se definir também o peso molecular médio como

o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional)

( u.m.a. 1,661 x 10-24 g; mH 1,673 x 10-24 g)

Exs: gás < nº uma > / ptcla. µ

H0 1 / 1 1

H+ 1 / 2 0,5

He0 (2+2) / 1 4

He+ 4 / (1+1) 2

He++ 4 / (1+2) 4/326Fe (26+) 26 x 2 / (1+26) 2

ZEl(Z+) Z x 2 / (1+Z) 2

Copo d’água: 18

Atm. da Terra: 29

24

»» Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados ("metais") , podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) :

a) parâmetros físicos em função de X :

b) pode-se escrever para a densidade total,

sendo Z um valor médio;

25

» Com , resulta

(3.34) e sendo ,

(3.35)

EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; “metais” puros: µ = 2;

Gás totalmente ionizado:

»»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à me

µ

26

3.8.5: Degenerescência

»» Cálculo de n(p) em condições de densidade elevada.

ISTO É,

À medida em que n , os e- são forçados a ocupar

estados de maior ,

pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite

estabelecido em (3.41).

(3.41)

Utilizando-se o o Princípio de Heisenberg, que nos diz que:

e como

27

MORAL DA HISTÓRIA??

Nesse caso, os e - de maior contribuição importante

pressão do gás; é a chamada

PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA.

►► ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg: Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):

28

1) baixas n : é a de MB (curvas a, b) [n = f(T)]

2) dobrando o nº de e- para a mesma T, também dobra n(px) (curva b)

3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um

limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p

são ocupadas primeiro e os e- adicionais terão de ocupar estados de >

energia curva de MB deformada, f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes)

4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de pf ocupadas (f)

Fig. 3.2

29

►► Outra ilustração da P Deg : Fig. 3.3

MBs para 106 e 107 K

com n = 1026 cm−3 > n(p)max ,

(3.31) e

(3.41)

Na distribuição MB, pmax = (2mekT)1/2 .

Ou seja, para dada n, MB não é mais válida para Ts

suficientemente baixas.

O mesmo naturalmente ocorre para uma dada

temperatura, se n for suficientemente alta.

Gás a 107 K: não-DG

Gás a 106 K: DG

30

»» A degenerescência (quando existe) nos interiores estelares, é

restrita aos e- , os íons permanecendo não degenerados

Em ET, a Ecinética média dos íons e e- é a mesma, e

(3.42)

Para um dado volume V, íons ocupam no espaço de fase um

volume maior que o dos e- por um fator .

para os p+, , isto é, onúmero de células do espaço de fase disponíveis aos p+ é maior

por um fator 8 × 104 que o dos e-.

Vol. do espaço de fases ocupado por partícula numa caixa de vol. V =

= V d3p

31

A Pressão Total no Interior de uma : Ela será a resultante das contribuições de todos os componentes: (3.72)

elétrons

núcleos

»» Balanço entre Pr e Pgás:

e ;

Igualando as duas expressões, obtém-se a região limite para P :

fótons

32

Limite entre predominâncias de Pr e Pgás :

( em g/cm3 e T em K).

Isso pode ser visto na Fig. 3.6 (Maciel’s):

Pr domina

Pgás domina

não DG

DG

não-relativístico

relativístico

cristalização

33

◐◑ OBSERVAÇÃO 1: transportes CONVECTIVO e RADIATIVO

»»a) O Frad é: (eq. 6.11) ;

P/ o , o <valor> estimado é K/cm

P/ regiões centrais,

o que dá e

Mais longe do centro,

o que dá

cf. cap. 2

"aprox. de difusão"

r/RO ≈ 0,05

[FTot(r=0,05) ~ 2,5 x 1013 c.g.s.][FTot(r=0,80) ~ 8 x 1010 c.g.s.]

34

»»b) O Fconv é: e o

fluxo TOTAL no interior da estrela é

para o ,

e o gradiente médio solar,

e pode-se escrever:

sendo

Pode-se mostrar que para r/R ≲ 0.3 , ≤ 10-7,

≡ transporte é praticamente TOTALMENTE CONVECTIVO

35

»»c) Comparação de Escalas de Tempo no interior solar,

Radiativa X Convectiva:

o tempo para um elemento do plasma percorrer um

é

, onde é a aceleração do elemento;

~1010 cm, e tc ≈ 1,6x106 s ≈ 20 dias.

a escala de tempo radiativa pode ser estimada por

"random walk" (cf. Reif) :

no interior solar tr >> tc

a CAMADA CONVECTIVA é misturada eficazmente

nesse caso,

tr ≈ 3,3x109 s , ou,

36

CÁLCULO DA equação (3.41)

» Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a

densidade de estados = o número de estados por unidade de

volume com energia entre E e E + dE.

» No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente

como o nº de estados /unidade de volume, tal que a

componente do vetor esteja no intervalo , etc...

» o Princípio de Heisenberg nos diz que:

e a incerteza

na posição associada a partículas de quantidade de movimento é:

que dá um volume associado de incerteza de:

37

» Para que os estados possam ser resolvidos e identificados,

cada volume deve ser associado a um estado. portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do

(volume de incerteza)-1,

Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para

estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade

de estados com entre , segue que:

(3.39) . ≡ dois graus de polarização

38

»» Como a pode ser escrita , de 3.39 →

(3.40) e sendo

, pode finalmente ser escrita como:

(3.41) .

►► ISTO É,

À medida em que n , os e- são forçados a ocupar estados

de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite

estabelecido em (3.41).