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7/27/2019 06-07-Magnitudes_Proporcionales.pdf

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AritmticaCompendio de Ciencias II-C

MOTIVACIN:

LA RELACIN DEL PESO Y LA DISTANCIA AL CENTRO TERRESTRE

El peso de un objeto sobre la Tierra vara inversamente como el cuadrado de su distancia, desde el centro de la Tierra. Un

vehculo espacial en una rbita elptica tiene una distancia mxima desde el centro de la Tierra (apogeo) de 6700 millas. Su

distancia mnima desde el centro de la Tierra (perigeo) es de 4090 millas. Si un astronauta en el vehculo espacial pesa 57 libras

en su apogeo, cunto pesar en el perigeo?

Tierra

d2

d1

Vehculo espacialen perigeo

Vehculo espacial

en apogeo

Si w es el peso y d la distancia desde el centro de la tierra, entonces:2

Kw

d ; siendo Kuna constante.

En el apogeo, el astronauta pesa 57 libras y la distancia desde el centro de la Tierra es de 6700 millas.

Luego:K

K2

257 57.(6700)

(6700)

Entonces, el peso en el perigeo con d= 4090 millas es:

w

2

2

57(6700)153 libras

(4090)

Es comn para una variable depender de otras variables. Por ejemplo, si una variable cambia como el producto de otras

variables (quiz elevadas a ciertos exponentes), se dice que la primera vara conjuntamente con las otras.

CAPTULO

06

OBJETIVOS

Al finalizar el tema el alumno ser capaz de:

- Establecer la proporcionalidad directa o inversa en base a un conjunto de valores de dos magnitudes.

- Obtener valores desconocidos de una de las magnitudes estando determinada la relacin de proporcionalidad que guarda

con otra magnitud.

- Emplear las propiedades de las magnitudes proporcionales para establecer la proporcionalidad compuesta.


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MAGNITUDES PROPORCIONALES I

MAGNITUD:

Viene a ser todo aquello que es suceptible de variacin

(aumento o disminucin); es decir es todo lo que puede ser

medido, utilizndose para ello un patrn (unidad de medida),

obtenindose un resultado al cual se le llama cantidad.

Ejemplo:

Magnitud Unidad de Medida Cantidad

Peso Kilogramo (Kg) 85 Kg

Temperatura Kelvin (K) 300 K

N de obreros 1 obrero 50 obreros

RELACIONES ENTRE DOS MAGNITUDES La

mayora de las magnitudes dependen de otras de diferentes

formas. Una de las formas ms simples de estas dependencias

viene a ser la proporcionalidad, la cual se puede dar de dos

maneras:

1. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales

(DP) si la razn geomtrica de sus valores

correspondientes es siempre la misma constante.

Valor de A

Cons tan teValor de B

Ejemplo:

N de obreros

Cantidad de Obra (m )2

1 4 2 6

8 32 16 48

x4 x x3

x4 x x3

1

2

1

2

Observamos que:

1 4 2 6

0,125 cte.8 32 16 48

La razn de sus valores correspondientes de las dos

magnitudes es la misma constante.

2. Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales

(IP) si el producto de sus valores correspondientes es

siempre la misma constante.

(Valor de A) (Valor de B) = Constante

Ejemplo:

N de obreros

N de Das

18 36 9 45

20 10 40 8

x2 x x5

x4x x

1

4

1

2

1

5

Puede observarse que:

18.20 = 36.10 = 9.40 = 360

PROPIEDADES:

Sean A ; B y C magnitudes y n , se cumplen:

1. Si A DP B B DP A

Si A IP B B IP A

2. Si A IP B A DP1

B

Si A DP B A IP1

B

3.

n n

n n

A DP BSi A DP B

A DP B ; n 2

n n

n n

A IP BSi A IP B

A IP B ; n 2

4. Si A DP B , cuando C es constante

y A DP C, cuando B es constante

A DP (B.C)


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Problema desarrollado

1. Demostrar que si dos cantidades son inversamenteproporcionales a una tercera, entonces la tercera es

inversamente proporcional al producto de estas dos

cantidades.

Resolucin:

Sean las magnitudes A y B inversamente proporcionales a

la magnitud C.

C IP A entonces C DP1

A

C IP B entonces C DP1

AB

Luego:C

k1

AB

(k constante)

Entonces: ABC = k

(AB) C = k

Por lo tanto: C IP AB

Problema por desarrollar

1. Demostrar que si dos cantidades son directamenteproporcionales a una tercera, entonces la tercera es

directamente proporcional al producto de estas dos

cantidades.

Resolucin:

1. Si A es DP con B2 e IP a C . Cuando A = 4; B = 8

y C = 16. Determinar A cuando B = 12 y C = 36.

Rpta.: .........................................................

2. Si A es DP con B e IP con C cuando C es igual a 3/2, Ay B son iguales. Cul es el valor de B cuando A es

igual a 1 y C es igual a 12?

Rpta.: .........................................................

3. Si A varia proporcionalmente a B, al cuadrado de C einversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y

C = 4, entonces D es 2. Cunto valdr B cuando: A =

2D y D = 4C?

Rpta.: .........................................................

4. Si el tiempo que demora la tierra en dar la vuelta al Soles DP al cubo de la distancia entre el Sol y el planeta e

IP al peso del planeta. Cunto tiempo demora un

planeta de doble peso que el de la tierra en dar la vuelta

al Sol, si la distancia que la separa del Sol es el doble

que el de la tierra?

Rpta.: .........................................................

5. La capacidad de un condensador es directamentepr op or ci on al a su lo ng it ud L e in ve rs am en te

proporcional a su seccin A. Qu sucede con la

capacidad si L se hace la tercera parte y A se hace la

sexta parte?

* Se hace la mitad * Se duplica

* No vara * Se cuadruplica

Rpta.: .........................................................


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6. Se sabe que una magnitud A es inversamenteproporcional a B2. Hallar el valor de A, sabiendo que si

disminuye en 36 unidades el valor de B vara en su

cuarta parte.

Rpta.: .........................................................

7. El jornal diario de un obrero vara proporcionalmente alcuadrado del nmero de horas trabajadas, si su sueldo

mensual asciende a 4 200 soles. Cunto deja de percibir

al mes si durante 10 das trabaj slo los 3/5 del nmero

de horas normales?

Nota: 1 mes < > 30 das.

Rpta.: .........................................................

8. Si el precio de un diamante es DP al cuadrado de supeso. Cunto se perdera si un diamante se rompe en

dos pedazos siendo uno el triple del otro? (El diamante

entero estaba en 32 000 dlares).

Rpta.: .........................................................

9. Se tiene tres engranajes A; B y C donde A tiene 24dientes y est engranado con B que tiene 36 dientes y

este a su vez est engranado con C que tiene 45 dientes.Cuntas vueltas habra dado el engranaje B cuando la

diferencia entre el nmero de vueltas dados entre A y C

sea 168 vueltas?

Rpta.: .........................................................

10. Se sabe que A y C son DP con B. Qu sucede con Acuando C aumenta en la mitad de su valor y B disminuye

en la cuarta de su valor?

* Se duplica

* Se reduce a su mitad

* Se reduce a su tercera parte

* Se triplica

Rpta.: .........................................................

11. Si A vara en forma DP con B y C y C vara en formaproporcional con F cuando A es 160, entonces: B = 5;

F = 2. Si: B = 8 y F = 5. Cunto ser A?

Rpta.: .........................................................

12. Cul es el peso de un diamante que vale 55000 dlaressi uno de 6 kilates cuesta 19800 y el precio es

proporcional al cuadrado de su peso?

(1 kilate = 0,25 gr.)

Rpta.: .........................................................

13. Una persona recibe siempre un sueldo mensual de S/.600. Si en febrero de 1997 ahorr S/.376. Cunto

ahorr en marzo si en ambos meses gast lo necesario?

Rpta.: .........................................................

14. Las magnitudes M y N son IP. Si M = 9 cuando N = 4.Calcular la suma de valores correspondientes de M yN cuando los cuadrados de dichos valores sumen 328.

Rpta.: .........................................................

15. Se sabe que A es DP a B e IP a C2. Si A = 3 cuando B= 16 y C = 8. Calcular B cuando A = 6; C = 4.

Rpta.: .........................................................

16. Segn la ley de Boyle, la presin es IP al volumen quecontiene determinada cantidad de gas. A qu presin

est sometido un gas, si al aumentar esta presin en 2

atm. El volumen vara en2

5?

Rpta.: .........................................................

17. Si C y D son dos magnitudes IP, entonces si C aumentaen sus 2/3, En cunto disminuye D?

Rpta.: .........................................................

18. Se sabe que A2 es DP a B. Si A = 2 cuando B = 16. CalcularA cuando B = 20.

Rpta.: .........................................................


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AritmticaCompendio de Ciencias III-C

CAPTULO

07

OBJETIVOS:

Al finalizar el tema el alumno ser capaz de:

Reconocer con la grfica respectiva la proporcionalidad directa (D.P.) o inversa (I.P.) de dos magnitudes.

Aplicar los conceptos de proporcionalidad entre magnitudes en situaciones similares a la realidad.

Utilizar la proporcionalidad inversa para resolver problemas en los que intervengan engranajes.

MOTIVACIN:LA CURVA DE PHILLIPS

El economis ta A.W. Phi l l ips , que cuant i f ic los

determinantes de la inflacin de salarios, desarroll un

til instrumento para representar el proceso de inflacin.

Tras estudiar minuciosamente los datos del Reino Unido

sobre el desempleo y los salarios monetarios relativos a

un perodo superior a los 100 aos hall la existencia de

una relacin inversa entre el desempleo y los salarios

monetarios relativos a un perodo superior a los 100 aos

hall la existencia de una relacin inversa entre el

desempleo y las variaciones de los salarios monetarios.

Observ que los sa lar ios tendan a subi r cuando e l

desempleo era bajo y viceversa. Por qu un elevado

desempleo puede reducir el crecimiento de los salarios

monetarios? Porque los trabajadores presionan menos

para conseguir subidas salariales cuando hay menos

empleos y , adems , las empresas se oponen a las

demandas sa lar ia les con ms f i rmeza cuando los

bene fi cios so n ba jo s.

La curva de Phillips es til para analizar las variaciones a corto plazo del desempleo y la inflacin. El grfico

muestra la versin ms sencilla. En el eje de abscisas se encuentra la tasa de desempleo y en el de ordenadas

situado a la izquierda la tasa anual de inflacin de precios. La escala vertical de la derecha muestra la tasa de

inflacin de los salarios monetarios. Conforme nos desplazamos hacia la izquierda en la curva de Phillips,

reduciendo el desempleo, aumenta la tasa de subida de los precios y salarios indicada en la curva.

Esta curva se basa en un importante clculo aritmtico relativo a la inflacin. Supongamos que la productivi-

dad del trabajo (la produccin por trabajador) aumenta a una tasa constante de 1% al ao y que las empresas

fijan los precios mediante un margen sobre los costos laborales medios, de tal forma que siempre varan en la

misma cuanta que los costos laborales medios por unidad de produccin. Si los salarios estn subiendo un

4% y la productividad un 1%, los cotos laborales medios aumentarn un 3%, por consiguiente los precios

tambin subirn un 3%.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

AP/P AW/W

Inflacin

deprecios(%)

Subidasalarialanual(%)

Tasa de desempleo (%)


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REPRESENTACIN GRFICA DELAS MAGNITUDES PROPORCIONALES

1) Cuando dos magnitudes A y B son directamente proporcionales las parejas de valores correspondientes al

ser representadas en un sistema cartesiano se obtiene un conjunto de puntos colineales uno de los cualescoincide con el origen de coordenadas.

Ejemplo:

(A) N de lapiceros

(B) Costo S/.

8

2

16

4

16

4

24

6

32

8

8

6

4

2

8 16 24 32

B

Costo (S/.)

A

(N lapiceros)

Se observa que:

8 16 24 32

2 4 6 8

2) Si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales al representar en el sistema cartesiano las parejasde valores correspondientes, se obtienen puntos alineados sobre una curva la cual viene a ser una parte de

una hiprbola equiltera.

Ejemplo:

(A) N de obreros(B) N de das

224

412

68

86

B(N de das)

A

(N Obreros)

Se observa que:

2 24 =4 12 =6 8 =8 6 2 4 6 8

68

12

24

SISTEMAS DE RUEDAS ENGRANADAS

1) Si dos ruedas estn en contacto a travs de susdientes, al girar una de ellas la otra tambin lo

hace pero en sentido contrario. En un mismo

tiempo dos ruedas engranadas giran una cantidad

de vueltas que es inversamente proporcional a

su respectivo nmero de dientes.

D V = D VA A B B

D : N de dientes de A

V

A

A : N de vueltas de A

A

B

2) Cuando dos ruedas estn montadas sobre unmismo eje, independientemente del tamao que

puedan tener, girarn la misma cant idad de vuel -tas en el mismo tiempo.

V = VA B

BA Eje comn


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Problema desarrollado

1. Demostrar que si dos magnitudes son inversamenteproporcionales a una tercera, son inversamente

proporcionales entre ellas.

Demostracin:

Sean las magnitudes A, B y C donde A y B son

inversamente proporcionales a C.

A IP C entonces C IP A, luego C DP 1/A

B IP C entonces C IP B, luego C DP 1/B

Por propiedad: C DP 1/AB. se cumple que:

ABC=constante.

Cuando el valor de C es constante:

AB=constante.

Por lo tanto A y B son inversamente proporcionales.

Problema por desarrollar

1. Demostrar que si dos magnitudes son directamenteproporcionales a una tercera, son inversamente

proporcionales entre ellas.

Demostrar:

1. Del grfico para dos magnitudes A y B directamenteproporcionales, calcular (a+b).

B

A

10

8

b

6 12 a

Rpta.: .........................................................

2. Del grfico para dos magnitudes A y B inversamenteproporcionales, calcular (a+b).

20

15

b

a 8 12A

B

Rpta.: .........................................................

3. En el grfico se muestra la relacin directamenteproporcional para dos magnitudes A y B. Si el rea

sombreada es igual a 60 u2, calcular (a+b+c).

a

b

c

15

126A

B

Rpta.: .........................................................

4. En el grfico, se muestra la relacin directamente

proporcional para dos magnitudes A y B. Si el rea


B

Aab

a

c

16

18

Rpta.: .........................................................


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5. En el grfico, se muestra la relaicn directamenteproporcional para dos magnitudes A y B. Si el rea


B

Ab18

18

128

a

c

Rpta.: .........................................................

6. En el cuadro se muestre los valores correspondientesa dos magnitudes A y B, calcular (x+y).

A

B

4

y

x9

3

25

5 9

Rpta.: .........................................................

7. En el cuadro se muestran los valorescorrespondientes a dos magnitudes A y B, calcular

(x+y).

A

B

12

y

x27

20

75

12 9

Rpta.: .........................................................

8. La fuerza de atraccin gravitacional F entre doscuerpos de masa m

1y m

2separados por una distancia

des DP a m1

y a m2

e IP a d2. A cunto debe aumentar

la distancia dpara que la fuerza se duplique si m1

se

triplique y m2

se sextuplique?

Rpta.: .........................................................

9. El peso de un disco es DP al cuadrado del radio y asu espesor. Se tiene 2 discos cuyos pesos estn enla reacin de 2 a 3 y cuyos radios estn en la relacin

de 4 a 3 respectivamente. Si el espesor del primero es

3 cm. Cul es el espesor del segundo?

Rpta.: .........................................................

10. En un proceso de produccin se descubre que dichaproduccin es DP al nmero de mquinas e IP a la

raz cuadrada de la antigedad de ellas. Inicialmente

haban 15 mquinas con 9 aos de uso; si se

consiguen 8 mquinas ms con 4 aos cada una.

Calcular la relacin de lo producido actualmente con

lo producido anteriormente.

Rpta.: .........................................................

11. Si A y B son magnitudes, adems se cumple que:

A

B

3

1

24

5

375

5

n

3 m

192

Rpta.: .........................................................

12. Las magnitudes A, B y C que intervienen en unfenmeno varan de la siguiente forma:

Cuando C permanece constante.

AB

372

1922436

8124 18

Cuando B permanece constante.

A

C

31

18

126

72

9

162 288

Si cuando A=4, B=9 y C=16

Calcular A, cuando: B=3 y C=4

Rpta.: .........................................................

13. La magnitud A es I.P. a la magnitud B para valores deB menores o iguales a 12; pero la magnitud A es D.P.al cuadrado de B para valores de B mayor o iguales a

12. Si cuando A es igual a 240, B tom valor 4. Cul

ser el valor de A cuando B sea 15?

Rpta.: .........................................................

14. Se sabe que el precio de un diamante varaproporcionalmente con el cuadrado de su peso. Si

un diamante se divide en dos partes que son entre s

como 2 es a 3, se ocasiona una prdida de S/

.1 176. Qu prdida se ocasiona si dicho diamante

se divide en 2 partes que son entre s como 3 es a 4?

Rpta.: .........................................................

15. Se tienen las magnitudes M, N y P las cuales cumplenque M es DP a N e IP a P. Adems cuando M=3, se

tiene que: N=1 y P=14. Hallar el valor de M, cuando:

N=1 y P=6.

Rpta.: .........................................................


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16. Se tiene 3 magnitudes A, B y C. Cuando C toma unvalor constante, se tiene lo siguiente:

A

B 2

2

8

4

18

6

Cuando B es constante se tiene:

A

C

1

2

2

1

2

1

9

3

1

8

4

Adems cuando: A=2; B=2, se tiene que C=2.

Determine el valor de B para: A=5; C=4. Dar como

respuesta la suma de las cifras.

Rpta.: .........................................................

17. Se tienen 3 magnitudes A, B y C tales que A es D.P. ala raz cuadrada de B; A es I.P. al cuadrado de C.

Cuando: A=8, B=16 y C=6

Hallar el valor de B cuando: P=9 y R=4

Rpta.: .........................................................

18. La longitud de la sombra de un objeto es DP a sulongitud. Si la sombra del Cuto Guadalupe es de

1,12 m. Cunto medir la sombra de su sobrino que

mide 66 cm. sabiendo que el mide 2,20 m.?

Rpta.: .........................................................

19. En una empresa se otorga el sueldo a los obreros enproporcin al cuadrado de sus aos de servicio. Un

obrero con 6 aos de servicio gana S/.1800. Cul

ser el sueldo de uno con 5 aos de servicio?

Rpta.: .........................................................

1. Una rueda A de 18 dientes engrana con otra rueda Bde 54 dientes. Si el tiempo en que la rueda A gira 720

vueltas es 10 minutos, Cuntas vueltas dar la rueda

B en 30 minutos?

A) 240 B) 360C) 480 D) 720

E) 900

2. A una taza con t introdujern 3 cucharadas de azcar(aproximadamente 20 gramos) y luego de 3 minutos

se han disuelto 4 gramos. Cunto quedar luego de

3 minutos ms, si la cantidad de azcar no disuelta

es I.P. al cuadrado del tiempo en minutos?

A) 1 g B) 4 g

C) 4 g D) 8 g

E) 12 g

3. Para 4 magnitudes se cumple:

A DP a B cuando las dems son constantes.

B IP C3

cuando las dems magnitudes son

constantes.

C2

DP D cuando las dems son constantes.

Si se sabe que:

Si: A=2; B=4; B=2; C=1

Calcule D, cuando: A=B=C=1.

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4E) 5

4. Del grfico para dos mangitudes A y B directamenteproporcionales, calcular (a+b).

B

A

5

4

6 a3

b

A) 5 B) 6 C) 7,5

D) 9,5 E) 10

5. Del grfico para dos magnitudes A y B inversamenteproporcionales, calcular (a+b).

B

A

40

2416a

b

30

A) 20 B) 24 C) 30

D) 32 E) 36

06-07-magnitudes_proporcionales.pdf

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