050hidrodinamica_bernoulli

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5. HIDRODINÂMICA

5.1. PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE

ENERGIA

Unidade Curricular: HidráulicaDocente: Prof. Dr. H. Mata‐Lima, PhD

(1(1ºº dia)dia)

Universidade da Madeira, 2010

2010 Copyright © by H. Mata‐Lima, PhDUniv. Madeira – http://dme.uma.pt/hlima

5‐2

5.1. Princípio de conservação da Energia: Teorema deBernoulli

• A velocidade de um fluído, geralmente, varia de ponto para ponto;

• A variação da velocidade duma porção da matéria está associada à acção deuma força (leis de Newton);

• A pressão no interior de um fluído em escoamento varia de ponto para ponto.As forças resultam essencialmente de diferenças de pressão;

• Para deduzir o teorema de Bernoulli (líquidos perfeitos): aplica‐se a 2ª lei deNewton a uma porção elementar de fluído (volume de controle) que ocupaparte de um tubo de corrente, no instante t .

amF er

v

= As forças exteriores que actuam sobre o volume de controle:

•Força da gravidade ou peso – G

•Forças que resultam da acção da pressão sobre a superfície de contornodo volume de controle (i.e forças normais e tangenciais)

Lei fundamental da dinâmica

5. Hidrodinâmica (Estudo de fluidos em movimento)



Copyright © by the H. Mata‐Lima, PhD.Univ. Madeira – http://dme.uma.pt/hlima

5‐3

5.1. Teorema de Bernoulli: continuação

• Forças normais ‐

• Forças tangenciais ‐ τ (são nulas por se tratar de um fluído perfeito, i.e líquidoideal de compressibilidade e viscosidade nula)

Logo

amGr

rr

=+Π

As forças exteriores que actuam sobre o volume de controle:

•Força da gravidade ou peso – G

•Forças que resultam da acção da pressão sobre asuperfície de contorno do volume de controle (i.eforças normais e tangeciais)

•A força total sobre o volume de controle (porção dofluído) segundo a direcção do escoamento é:

Π

r

amF er

v

=

madAdss

p p pdAcosG =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

+−+− θ

Docente: H. Mata‐Lima, PhD.Univ. Madeira – http://dme.uma.pt/hlima

5‐4


dt

dV mdAds

s

p p pdAcosdAds =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

+−+− θ γ

dAdsm ρ =Substituindo o m e dividindo a equaçã o por dAdsγ −

dt

dV

s

pcos

γ

ρ

γ θ −=

∂∂

+1

Sabe‐se também que:

ds

dzdzcosds =⇔= θ θ cos

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=2

2V

st

V V

s

V

t

V

dt

dV g

1=

γ

ρ

aceleração

Sendo ρ = m/ ∀ , então

Obtém‐se

dss

V dt

t

V dV

∂∂

+∂∂

=dt

dsV =




5‐5


Sabe‐se ainda que: constantessãogeγ

s

V

gdt

dV

gs

p

ds

dz

∂⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂−−=

∂∂

+2111

2

γ

dt

dV

gs

g

V

s

p

ds

dz 12

2

−=∂

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂

+∂

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂

+γ

dt dV

ggV z p

s1

2

2

−=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ++

∂∂

γ

Eq. Bernoulli

para líquidos perfeitos e

movimentos variáveis

é nulo para

regime permanente

Efectuando as substituições obtém‐se:


5‐6

5.1. Teo. Bernoulli: Regime Permanente

Os termos da equação têm o seguinte significado:

z – cota geométrica (vertical) acima de um plano horizontal de referência (m). O z é aenergia de posição por unidade de peso do líquido.

– altura piezométrica (m). É a energia de pressão por unidade de peso do líquido.

– cota ou carga piezométrica (m).

– altura cinética (m). É a energia cinética por unidade de peso.

02

2

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

g

V z

p

s γ

Para líquidos perfeitos e movimentos permanentes a energia mecânica total por unidade de peso do líquido (H ) é constante ao longo da cada trajectória. H é também designado por carga total.

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

g

V z

p H

2

2

γ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + z p

γ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

g

V

2

2

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ

p




5‐7

5.1.1. Linha piezométrica e Linha de energia (ou cargatotal): líquidos perfeitos

Nota:

Os líquidos perfeitos têmviscosidade nula. Logo, nãoexistindo atrito entre o líquido e afronteira sólida, a energia (ou cargatotal) mantém‐se constante.

Consulte também a explicação que consta de Massey (2002:178‐179).

2007 Docente: H. Mata-Lima, PhD.

Univ. Madeira – http://dme.uma.pt/hlima

5-8

5.1.2. Aplicações Simples da Equação de Bernoulli

(continuação)

TUBO DE PITOT

O tubo d e p ito p od e ser usad o

pa ra m edir a velocidade emcanais naturais (rios) ouartific iais.

A velocidad e do esco ame nto

é obt ida a través da eq uaçã o:

g

V

gV

g

ph

22

122

=== ρ

ρ

ρ

ΔghV 2=



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5‐9

5.1.2. Aplicações Simples da Equação de Bernoulli(continuação)

MEDIDOR DE VENTURIPermite a medição de caudal do escoamentode fluídos.

É um dispositivo constituído por uma porçãode tubagem convergente, seguida de umasecção (AB) curta de diâmetro constante(garganta) a qual se segue uma porção detubagem divergente (ver Figura).

2

2

2

2

22 B

B B

A

A A

gA

Q

z

p

gA

Q

z

p

++=++ γ γ

( ) 1

22 −

= B A

Aideal A / A

hg AQ

Δ

g

U z

p

g

U z

p B B

B A A

A

22

22

++=++γ γ

B B A A AU AU Q ==

( )( )hg

A A

A AC Q

B A

B Ad real Δ2

22=

C d – coeficiente de descarga (≈ 0,98).

A variação da cota piezométrica entre os pontos A e Bpode ser obtida directamente através do manómetrodiferencial e é igual a Δh (é o valor registado no

medidor e não deve ser confundido com a diferençade cotas no manómetro). A equação que usa adiferença de cota no manómetro é dada porQUINTELA (2005: 95).

B A H H =


5‐10


ESCOAMENTO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO DE BORDO AGUÇADO

Reservatório de grandes dimensõescom escoamento através de umorifício lateral.

Qual será a velocidade doescoamento através do orifício?

O que poderá o teorema deBernoulli para escoamento

permanente de líquidos perfeitosfazer por nós nessa situação?




5‐11


ESCOAMENTO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO DE BORDO AGUÇADO: dedução da

velocidade no ponto 2 a partir da Equação de Bernoulli

21 H H =

gH V ideal 2=

g

V z

p

g

V z

p

22

2

22

2

2

11

1 ++=++γ γ

Hipóteses simplificativas:

•admitindo pressões relativas: p1 e p2 sãonulas

•reservatório de grandes dimensões, logo V 1é nula.

g

V z z

2

2

221 =−

21 z z H −=Nota:


5‐12

5.1.2. Aplicações Simples da Equação de Bernoulli

(continuação)

ESCOAMENTO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO DE BORDO AGUÇADO: dedução

da velocidade no ponto 2 a partir da Equação de Bernoulli

O tempo de esvaziamento do reservatório(t ER) de secção constante.

Obtenha a expressão da velocidade àsaída do orifício considerando o ponto

1 no interior do líquido do reservatório.

H g AC

St od

R ER

22=

Legenda:

S R – área da superfície livre da água [m2]

Ao – área do orifício [m2]

H – carga hidráulica ou altura da água acima doorifício [m].

C d – coeficiente de descarga [ ‐ ]

SR




5‐13


ESCOAMENTO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO DE BORDO AGUÇADO: dedução da velocidade no ponto 2 a partir da Equação de Bernoulli

21 H H =

gH V ideal 2=

g

V z

p

g

V z

p

22

2

22

2

2

11

1 ++=++γ γ

Hipóteses Simplificativas:

• z 2 coincide com o plano de referência ( z 2 = 0)

• pressões relativas: p2 é nula

•reservatório de grandes dimensões e ponto 1 afastado do orifício, logo V 1 é desprezável.

g

V z

p

2

2

21

1 =+γ

( )11 z H p −= γ Fórmula de Torricelli

= H


5‐14

5.1.2. Aplicações Simples da Equação de Bernoulli (continuação)

ESCOAMENTO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO DE BORDO AGUÇADO: cálculo da velocidade à saída do orifício

NOTAS IMPORTANTES:

• a análise anteriormente efectuada despreza os efeitosda viscosidade (atrito) e de tensão superficial;

• a equação da velocidade deduzida {V = (2gH )0.5}corresponde à velocidade ideal;

• A velocidade real observada na secção de saída éligeiramente inferior e deverá ser expressa pelaequação:

gH AC Q od 2=o

real A

QV =

Q – caudal ou Vazão, descarga total ou ainda o débito (m3/s); C d – coeficiente dedescarga (varia de 0 a 1); Ao – área do orifício (m2).

Nota:

•Orifícios de bordoaguçado – C d varia de0,97 a 0,99;

•Orifício sem bordoaguçado – C d ≈ 0,62




5‐15


ESCOAMENTO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO SUBMERSO: dedução da velocidade a partir da Equação de Bernoulli

Questões:

1)Qual será a velocidade do escoamentoatravés do orifício submerso?

2) Em que medida a Equação de Bernoullipoderá nos acudir? ☺


5‐16


ESCOAMENTO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO SUBMERSO: dedução da velocidade a partir da Equação de Bernoulli

21H H =

( )212 hhgV −=

g

V z

p

g

V z

p

22

2

22

2

2

11

1 ++=++γ γ

Simplificativas:

• z 2 coincide com o plano de referência ( z 2 = 0)

•as pressões: p1 e p2 correspondem à γ h

•reservatório de grandes dimensões e ponto 1afastado do orifício, logo V 1 é desprezável.

gV hh2

2

221 +=

11

1 z p

h +=γ

Nota:




5‐17

5.1.3. Aplicações da Equação de Bernoulli ao Casode Líquidos Reais

Líquido Real: consideram-se os efeitos da viscosidade (atrito). A

viscosidade não é desprezada como no caso de líquidos perfeitos.

Quando se tratam de FLUFLUÍÍDOS REAISDOS REAIS o trabalho realizado pelas forças resistentes no sentido do movimento causa a diminuição da carga totalH (energia mecânica) ao longo da trajectória.

A equação que representa o teorema de Bernoulli para líquidos reais emEscoamento Permanente será:

J g

V z

p

s−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

2

2

γ

Tradução da equação:

A variação da carga H (linha de energia) por unidade de percurso é igual ao

trabalho realizado pelas forças resistentes por unidade de peso do líquido e

por unidade de percurso ( J ).

O sinal negativo servepara elucidar que a carga(H) diminui ao longo dopercurso (i.e. H diminuiquando o s aumenta).


5‐18

5.1.3. Aplicações da Equação de Bernoulli ao

Caso de Líquidos

Reais

J g

V z

p

s−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

2

2

γ

Observações relevantes:

• J é a perda de carga por unidade de percurso (sobejamente conhecidacomo a perda de carga unitária) e é adimensional;

• No caso de líquidos reais o H 1 ≠H 2 (devido ao efeito da viscosidade) –

Válida apenas para

Escoamento permanente

∫=−2

121 Jds H H

Importa alertar para o facto de que, em regime variável, a Eq. Bernoulli para líquidos reais é:

J dt

dV

gg

V z

p

s−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂ 1

2

2

γ

Não é nuloem regime Permanente erepresenta a variação naunidade de tempo daquantidade de movimentopor unidade de peso delíquido.




5‐19

5.1.3. Aplicações da Equação de Bernoulli

J g

V z

p

s−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

2

2

γ

LÍQUIDOS PERFEITOS

02

2

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

g

V z

p

s γ

21 H H = 21 H H ≠

LÍQUIDOS REAIS

H21 Δ+= H H

constante decrescente

Consulte também a explicação que consta de Massey (2002:178‐179).

5. HIDRODINÂMICA

5.1. PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE

ENERGIA

Unidade Curricular: HidráulicaDocente: Prof. Dr. H. Mata‐Lima, PhD

(2(2ºº dia dia -- continuacontinuaçção)ão)

Universidade da Madeira, 2010




5‐21

5.1.4. Generalização do Teorema de Bernoulli paratubos de fluxo

Num tudo de fluxo em movimento uniforme, como ilustra a figura:

AU

dAV A

3

3∫

=α

Há que definir uma única linha de energia que corresponda ao escoamento na

secção completa do tubo de fluxo. Para tal é necessário:

a)Definir o coeficiente de energia cinética (ou de Coriolis) α como a relação entre aspotências cinéticas referentes ao escoamento real e ao escoamento fictício

1. Em escoamento permanente as trajectórias daslinhas de corrente são paralelas entre si;

2. Há uma linha piezométrica comum às diferenteslinhas de corrente em cada secção transversal;

3. A linha de energia (LE), também designada porlinha de carga, é diferente para cada trajectória(1, 2, …, 5) visto possuírem velocidadesdiferentes.


5‐22

5.1.4. Generalização do Teorema de Bernoulli paratubos de fluxo (cont.)

g

U

Q

dAg

V

A

2

22

3

α γ

γ

=∫

b) Ter em atenção que a energia cinética por unidade de peso de líquido(i.e. altura cinética) que atravessa uma dada secção corresponde aoquociente entre a potência cinética e o peso do líquido que na unidade detempo atravessa a secção

J g

V z

p

s−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

2

2

γ

Portanto para obter o teorema de Bernoulli generalizado para um tubo de fluxo, na

equação

o termo ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

g

V

2

2

é substituído porg

U

2

2

α vindo:

J g

U z

p

s−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

2

2

α γ

Teorema de Bernoulli generalizado para um tubo de fluxo.

U – é a velocidade média em cada secção.

Se pretender aprofundar esseassunto deverá consultar, porexemplo, QUINTELA (2005: 92‐93).




5‐23

5.1.4. Teorema de Bernoulli Generalizado

J – perda de carga unitária [m/m];

U – velocidade média do escoamento [m/s];α – coeficiente de Coriolis (ou coeficiente

de energia cinética) [ ‐ ].

J g

U z p

s−=⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ++

∂∂

2

2

α γ

Notas importantes sobre o coeficiente de Coriolis (α):

O α é igual a unidade (α = 1,0) quando o regime do escoamento é uniforme

O α é igual a dois (α = 2,0) quando o regime do escoamento é laminar. Porquê?

O α é próximo de unidade (α = 1,1) quando o regime do escoamento é turbulento.

Nota Final:

Para condições frequentes de escoamentos em condutos, o valor de α é próximo deunidade (α ≅ 1);

Nas aplicações de hidráulica iremos considerar sempre que o α = 1,0 salvo indicação

em contrário. O valor 1,0 significa que se considera existir uma U única na secção i.e.ignora‐se o diagrama de variação das velocidades admitindo uma U média para todaa secção.

Regime Permanente


5‐24

5.1.4. Teor. Bernoulli Generalizado (cont.)

J g

U z

p

s−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

∂∂

2

2

α γ

onde: o J representa a perda de carga unitária (por unidade de percurso) [m/m] e variade acordo com o material do conduto.

Para obter a perda de carga total (ΔH ) do escoamento ao longo de um condutohomogéneo e de diâmetro uniforme bastará multiplicar o J pelo comprimento (L) totaldo conduto: ΔH = J.L

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

g

U z

p H

2

2

α γ

Líquido em repouso Conduto com escoamento na secção de saída

A perda de carga que vimos até ao momento corresponde a Perda de Carga Contínua ( J.L)

H 1

H 2m/m00 , J =

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

L

H H J 21




5‐25

5.1.4. Teor. Bernoulli Generalizado (cont.)

Sem escoamento Conduto com escoamento na secção de saída

A perda de carga que vimos até ao momento corresponde a Perda de Carga Contínua ( J.L)

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

L

H H J 21

H2

H1


5‐26

5.1.5. Notas sobre Regime Permanente

Escoamentos em Regime Permanente (sob pressão ou com superfície livre):

o caudal é constante na secção considerada;

considera‐se que o escoamento ao longo de troços cilíndricos (sem consumo oucontribuição no percurso) é uniforme e o J é constante;

as perdas de cargas em regime permanente nas instalações hidráulicas podem sercontínuas (resultam do atrito entre o fluído e o material do conduto) e localizadas

(em geral, resulta da existência de singularidades, tais como transições de uma secçãode escoamento para outra, curvas, cotovelos, válvulas, derivações, etc.);

o Reg. Permanente em instalações sob pressão inclui:

i) escoamento uniforme – ao longo de troços cilíndricos de secção constante semperda ou ganho de caudal. A linha de energia é rectilínea e paralela à linha

piezométrica o que implica U 2/2 g constante;

ii) esoamento gradualmente variado – nos troços de conduto com variação gradualde secção ou com trocas de caudal com o exterior;

iii) escoamento rapidamento variado – ocorre junto de singularidades onde severificam curvaturas acentuadas das linhas de corrente.



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4‐27

REFERÊNCIAS

Massey, B. (2002). Mecânica dos Fluídos, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.

Quintela, A. (2005). Hidráulica, 9ª Edição, Fundação Calouste Gulbenkian,Lisboa.

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