Cálculo de Probabilidades Cálculo de Probabilidades Exercícios ResolvidosExercícios Resolvidos

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA

ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

Exercícios Resolvidos

1) (UFF - RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?

B I N G OB I N G O

55 1818 3333 4848 6464

1212 2121 3131 5151 6868

1414 3030 6060 7171

1313 1616 4444 4646 6161

1111 2727 4141 4949 7373

1ª solução: Total de casos possíveis: C75,3 = Total de casos favoráveis: C24,3 =

75! 75 . 74 . 73 . 72! 67 525

3! . 72! 6 . 72!

24! 24 . 23 . 22 . 21! 2 024

3! . 21! 6 . 21!

2 024p = 0,03 = 3%

67 525

2ª Solução: Pelo princípio multiplicativo das probabilidades

24 23 22p = . . 0,03 = 3%

75 74 73

2) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME Valença RJ – 1998)

A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8 meninos. Com o objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se selecionar 3 alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade aproximada de que essa comissão de representantes tenha exatamente 2 meninas e 1 menino?

Solução:

Total de comissões que podem ser formadas:

comissões 1140 6 . 17!

17! . 18 . 19 . 20

3! . 17!

20! C 3 , 20

Total de comissões com 2 meninas e 1 menino: 528 8 x 66 C x C 1 , 82 , 12

Probabilidade pedida: p = 528 / 1140 0,46 ou 46%

3) A chance de um time ser campeão, em termos de favorabilidade é de 180%. Expresse essa chance em termos de probabilidade.

Solução:

F = 180 / 100 = 9 / 5

Logo, temos 9 casos favoráveis contra 5 desfavoráveis. Em termos de probabilidade, teremos:

P = 9 / 14 0,64 ou 64%

Conclusão: A probabilidade desse time ser campeão é de 64%, aproximadamente.

Probabilidade CondicionalProbabilidade CondicionalDe um modo geral, a probabilidade condicional de um evento A, na certeza da ocorrência de um evento B (de probabilidade não nula) é denotada por P(A|B) e definida como:

B AABNa prática, o que fazemos é considerar uma restrição do Espaço Amostral ao conjunto B, já que temos a certeza de que ocorreu.

Exemplo 1: Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas). Determine a probabilidade de sortearmos uma carta e sair um rei, sabendo que a carta sorteada foi de ouros.

1ª SOLUÇÃO: Pela fórmula

Evento A = sair um rei, p = 4/52 = 1/13, já que o baralho comum possui 4 reis, dentre as 52 cartas.Evento B = sair uma carta de ouros p = 13/52, já que o baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.Evento A B = sair um rei de ouros = 1/52, pois só existe um rei de ouros entre as 52 cartas.

Aplicando a fórmula dada, teremos:13

1

52

1352

1

p(B)

B) p(A (A/B) p

2ª SOLUÇÃO: Poderíamos obter diretamente a resposta, considerando que, como saiu uma carta de ouros, o universo se restringe às 13 cartas de ouros, das quais, uma é o rei, logo a probabilidade procurada é p = 1/13.

O exemplo mostrado serve para ilustrar uma importante situação no cálculo das probabilidades: aquela na qual a probabilidade condicional de A na certeza de B é igual à probabilidade de A (ou seja a ocorrência de B não influi na probabilidade de ocorrência de A). Nesse caso, dizemos que os eventos A e B são INDEPENDENTES. E, nesse caso, temos:

p(B)

B)p(A P(A) p(A/B)

p(A B) = p(A) . P(B) EVENTOS INDEPENDENTES

Exemplo 2: Uma moeda honesta e um dado são lançados. Qual a probabilidade de obtermos cara e um número primo?

SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, teremos: p = ½ . 3/6 = ¼ = 25%.

Exemplo 2) (UNIRIO – 2008) Leia a tirinha abaixo:

Lúcio está certo: desde o dia 07/07/2007, existem dois grupos de 7 Maravilhas do Mundo: as 7 do Mundo Antigo e as 7 do Mundo Moderno e nenhuma pertence a ambos os conjuntos. Suponha que se escolham, aleatoriamente, duas entre essas 14 Maravilhas. Determine a probabilidade de ambas estarem em um mesmo grupo.

SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, para que as sorteadas estejam num dos grupos, teremos a probabilidade igual a 7/14 x 6/13 = 3/13. Como são dois grupos, a resposta será 6/13.

EXEMPLO 3: Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2 e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe?

SOLUÇÃO: Como são dispositivos INDEPENDENTES (A = falha o primeiro, B = falha o segundo), a probabilidade de que os dois falhem (A B) será dada por p = 0,2 x 0,3 = 0,06.

Como que se deseja é que, ao menos um deles não falhe, estamos diante da probabilidade complementar do evento calculado anteriormente, logo, a probabilidade procurada será igual a: p = 1 – 0,06 = 0,94 = 94%.