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Vol. 3, No. 1, Janeiro – Março 2013, Página 40

Vol. 3, No. 1, Janeiro-Março de 2013

ARTIGO ORIGINAL

OS PONTOS DE BROCARD

Paulo Sérgio C. Lino1 e Kleber Kilhian2

1 Mestre em matemática pura pela UFSCar e professor contratado do Departamento de Matemática,UNEMAT.- Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Barra do Bugres - MT.2 Técnico em eletrônica e licenciado em matemática pela UNIMESP.

Resumo

Neste trabalho apresentamos uma classe de pontos notáveis em um triângulo ABC,conhecidos por Pontos de Brocard. As provas dos teoremas foram feitas através daTrigonometria, sendo que estes resultados podem ser constatados através da GeometriaDinâmica.

Palavras-chaves: pontos notáveis, construções geométricas, geometria dinâmica.

1. Introdução

A geometria dinâmica é um termo utilizado para nomear (indicar) um métododinâmico e interativo para o ensino e aprendizagem de geometria e suas propriedadesusando ambientes computacionais destinados a esse fim[1]. Atualmente, comdesenvolvimento e popularização dos softwares, a geometria dinâmica proporciona umaforma diferenciada e é um recurso didático valioso no ensino da geometria plana. Taissoftwares vêm ganhando destaque também como um forte aliado na investigação emGeometria[2]. Entende-se por softwares de Geometria Dinâmica aqueles capazes deconstruir e manipular objetos geométricos na tela do computador[3].

O estudo dos triângulos e de suas propriedades é importante para odesenvolvimento da geometria plana. As três cevianas básicas de um triângulo são: aaltura, a mediana e a bissetriz. As três medianas de um triângulo interceptam em umúnico ponto chamado baricentro, o mesmo ocorre com a interseção das alturas e das bissetrizes. Existem muitos outros pontos notáveis em triângulo, tais como os pontos deFermat[4], os pontos de Nagel, ponto de Lemoine, etc.

Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard nasceu a 12 de maio de 1845 emVignot, França e morreu em 16 de janeiro de 1922 em Bar-le-Duc, França. Brocard passou a maior parte de sua vida estudando meteorologia como um oficial da marinha

[email protected]

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francesa, mas suas contribuições notáveis são na matemática. Suas descobertas maisconhecidas talvez tenham sido os pontos de Brocard, o triângulo de Brocard e o círculode Brocard. Neste artigo, vamos nos limitar aos pontos de Brocard, sua construçãoatravés do software RÉGUA E COMPASSO e algumas propriedades obtidas usandotrigonometria elementar.

2. Definições

Os Pontos de Brocard são pontos especiais dentro de um triângulo e podem serdefinidos como:

Definição 1: Em um triângulo de vértices , (rotulados no sentido anti-horário)denotado por()= , existe um ponto únicoΩ tal que os ângulos∠Ω =∠ΩA =∠Ω são iguais. O pontoΩ é chamado de 1º Ponto de Brocard.

Definição 2: Num mesmo triângulo de vértices , (rotulados no sentido anti-horário) denotado por

()′= , existe um ponto único

Ω′ tal que os ângulos

∠Ω =∠ΩA =∠Ω são iguais. O pontoΩ′ é chamado de 2º Ponto de Brocard .

Figura 1. Triângulo com os pontos e os ângulos de Brocard.

Note que =∠Ω =∠ΩA =∠Ω e ′

=∠Ω′ =∠Ω′A =∠Ω′ são iguais. Este ângulo em comum é chamado de Ângulo de Brocard .

Os dois Pontos de Brocard estão intimamente relacionados entre si. Na verdade, a únicadiferença entreΩ e Ω′ é que o segundo ponto de Brocard é obtido de( ) por umamudança de orientação. Os Pontos de Brocard são conjugados isogonais um do outro.

3. Construção Geométrica

Uma construção elegante do 1º Ponto de Brocard pode ser descrita como: Numtriângulo

()= com lados opostos , e descreva uma circunferência

que passe pelos pontos e que seja tangente ao lado . Da mesma forma, descrevauma circunferência que passe por e que seja tangente ao lado . Descreva uma

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terceira circunferência que passe por e que seja tangente ao lado . Aintersecção dessas três circunferências gera o 1º Ponto de Brocard denotado porΩ.

Sua construção geométrica com régua e compasso por ser feita como se segue:

1) Construa um triângulo

()= qualquer.

2) Descreva uma circunferência de centro que passe pelos pontos e e queseja tangente ao lado em . Para isso, trace um segmento ortogonal ao lado por . Em seguida, trace a mediatriz do lado. A intersecção desses dois segmentos é ocentro da circunferência de raio = .

Figura 2. Segundo passo da construção do primeiro ponto de Brocard.

3) Analogamente, construímos a circunferência de centro que passa pelos pontos e , tangente ao lado em . Trace um segmento ortogonal ao lado por etrace a mediatriz do lado , determinando o centro da circunferência .

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Figura 3. Terceiro passo da construção do primeiro ponto de Brocard.

4) Da mesma forma construímos a circunferência de centro que passa pelos pontos e , tangente ao lado por . Trace um segmento ortogonal ao lado por e trace a mediatriz do lado , determinando o centro da circunferência .

Figura 4. Etapa final da construção do primeiro ponto de Brocard.

5) O ponto triplo dado pela intersecção das três circunferências é o 1º Ponto de Brocard ,designado porΩ. Unindo o pontoΩ a cada um dos vértices do triângulo, determinamoso ângulo , tal que:

=∠Ω =∠ΩA =∠Ω

Para a construção do 2º ponto de Brocard , basta seguir o mesmo procedimento descritoacima tomando a orientação inversa. Unindo o pontoΩ′ a cada vértice do triângulo,determinamos o ângulo ′ , tal que:

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′ =∠Ω′ =∠Ω′A =∠Ω′

Figura 5. Triângulo A1A2A3 com os ângulos e os pontos de Brocard.

4. Propriedades Importantes

Nesta seção, veremos algumas propriedades interessantes sobre os pontos e os ângulosde Brocard. Outras propriedades e a relação com as matrizes circulantes e o fólium deDescartes podem ser vistas em[5].

Teorema 1: Em um triângulo()= , existe um único ponto denotado por , talque∠ =∠ =∠ .

Demonstração: A existência deste ponto foi apresentada acima. Para a unicidade,suponha que exista um pontoΩ no triângulo()= tal que:

∠Ω =∠ΩA =∠Ω .

Assim, o segmento é tangente em ao círculo que passa pelos pontos ,Ω e . Isto pode ser provado observando que o triânguloΩ é isósceles:

Pelas propriedades existentes num triângulo isósceles, segue que:

=2=(180°−2)

2 =90°

− ⟹

+ =90°

Demonstrando assim que o segmento é tangente ao círculo em . Istosignifica queΩ é um ponto comum aos três círculos, sendo que os lados do triângulo()= são tangentes a cada círculo conforme a figura 6 abaixo.Reciprocamente, é possível provar que os três círculos, e onde é tangente a e passa por , é tangente a e passa por e é tangente a e passa pelo ponto são concorrentes em um ponto que está necessariamente no interiordo triângulo()= . Desta forma,Ω é único.

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Figura 6. Construção auxiliar para provar a unicidade do pontoΩ de Brocard.

Teorema 2: Em um triângulo()= , de ângulos internos , e ladosopostos , , respectivamente, contendo o ponto , existe o ângulo tal que=∠ =∠ =∠ , de modo que vale a relação:

()= ()+ ()+ () Demonstração: Considere o triângulo na Fig. 7 abaixo. Aplicando a lei dos senos notriângulo Ω, obtemos:

Ωsen(α−ω)=sen(180°−) Ωsen(α−ω)=sen() (1)

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Figura 7. Figura auxiliar para o teorema 2.

Note que pelo teorema do ângulo externo = +( −). Analogamente,aplicando a lei dos senos no triângulo Ω , obtemos:

Ω

sen(ω)=sen(α + α )=sen(180°−−) Ω

sen(ω

)=sen(α

) (2)

E aplicando a lei dos senos no triângulo , obtemos:

sen(α )=sen(α ) (3) De (1) e (2) temos:

⋅sen(α − ω)sen(α ) = ⋅sen(ω)sen(α )

=sen(α

)⋅sen(ω

)sen(α − ω)⋅sen(α ) (4) Mas de (3), temos que:

=sen(α )sen(α ) de modo que:

sen(α )sen(

α

)=sen(α )⋅sen(ω)

sen(α

− ω

)⋅sen(α

)

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sen(α − ω)⋅sen(α )⋅sen(α )sen(α )⋅sen(ω) =sen(α ) (5) Mas, ++=180°. Assim,

sen(α)=sen(180°−α−α) ⟹ sen(α)=sen(α+α) (6) Substituindo (6) em (5), obtemos:

sen(α − ω)⋅sen(α )⋅sen(α )sen(α )⋅sen(ω) =sen(α+α) (7) Mas,

sen(α−ω)=sen(α)⋅cos()−sen(ω)⋅cos() consequentemente,

sen(α−ω)sen(α)⋅sen(ω)=cot()−cot() (8) Substituindo (8) em (7), segue que:

(cot()−cot())⋅sen(α)⋅sen(α)=sen(α+α) (cot()−cot())⋅sen(α)⋅sen(α)=sen(α )⋅cos( )+sen(α )⋅cos() cot()−cot()=sen(α )⋅cos()+sen(α )⋅cos( )

sen(α)⋅sen(α) ⟹

cot()−cot()=cot( )+cot( ) cot()=cot()+cot( )+cot( ) (9) Corolário 1: Se = = =60° , então =30°.

Demonstração:

cot()=3cot(60°)

cot()=3

tan(60°)=3√ 3

tan()=√ 33

=30°

Corolário 2: Segue do teorema anterior que

cot()=cot()+cot( )+cot( )+2 Demonstração: Elevando ao quadrado ambos os lados da expressão (9), obtemos:

cot()=[cot()+cot( )+cot( )]

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cot()=cot()+cot( )+cot( )+

+2cot()cot( )+2cot()cot( )++2cot( )cot( ) (10) Mas,

cot()cot( )+cot()cot( )+cot( )cot( )=

=cot()cot( )+cot( )[cot()+cot( )]=

=cos()cos( )sen(α )sen(α )+cos(180°−−)sen(180° − α − α )⋅[cot()+cot( )]=

=cos()cos()sen(α )sen(α )−cos( +)sen(α + α )⋅cos()sen(α )+cos( )sen(α )sen(α )sen(α ) =

=cos()cos( )sen(α

)sen(α

)−cos( +)sen(α

)sen(α

)=

=cos()cos( )−[cos()cos( )−sen(α )sen(α )]sen(α )sen(α ) ==sen(α )sen(α )sen(α )sen(α )=1

Assim, da expressão (10) segue que:

cot()=cot()+cot( )+cot( )+2(11) Corolário 3: Do teorema anterior, segue que

1sen(ω

)= 1sen(α

)+ 1sen(α

)+ 1sen(α

) (12) Demonstração: Da expressão (11) de outro modo, usando a relação trigonométricafundamental:

cos()+sen(θ)=1

De fato,

cos( )sen(

ω

)=cos()sen(

α

)+cos( )sen(

α

)+cos( )sen(

α

)+2⟹

1−sen(ω)sen(ω) =1−sen(α )sen(α )+1−sen(α )sen(α )+1−sen(α )sen(α )+2⟹

1sen(ω)−1=1sen(α )−1+1sen(α )−1+1sen(α )−1+2⟹

1sen(ω)= 1sen(α )+ 1sen(α )+ 1sen(α ) Teorema 3: Em um triângulo()= , de ângulos internos , e ladosopostos

, , respectivamente, contendo o ponto , existe o ângulo tal que

=∠ =∠ =∠ , de modo que vale a relação:

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( )=++4∆

onde Δ é a área do triângulo ()= .

Demonstração: Note que:

∆=12 sen() (13)

Figura 8. Figura auxiliar para o teorema 3.

Pela lei dos cossenos, temos que:

=+−2cos() ⟹ cos()=+− (14) De (13) e (14), segue que:

4cot()=2 cos()12 sen()=+−Δ

cot()=−++4Δ (15) Por simetria temos:

cot( )=−+4Δ (16) e

cot( )=+−4Δ (17) Substituindo (15), (16) e (17) em (9), segue que:

cot()=(−++)+( −+)+( +−)4Δ

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cot()=++4Δ (18) Teorema 4: Em um triângulo()= , de ângulos internos , e ladosopostos

, , respectivamente, contendo o ponto , existe o ângulo tal que:

0≤ ≤6

Demonstração: Da expressão (8), sabemos que:

sen(α − ω)sen(α )⋅sen(ω)=cot()−cot() Trocando por–, obtemos:

sen(α

+ ω

)sen(α

)⋅sen(−ω

)=cos(−)sen(−)−cot()

−sen(α + ω)sen(α )⋅sen(ω)=−cos()sen()−cot() sen(α + ω)sen(ω) =sen()cot()+cos()

sen(α + ω)sen(ω) =sen()[cot()+cot( )+cot( )]+cos()

sen(α

+ ω

)sen(ω) =cos()+sen()cos( )sen()+sen()cos( )sen()+cos() sen(α + ω)sen(ω) =sen(α )cos()+sen()cos( )sen(α ) +

+sen()cos()+sen()cos()sen()

sen(α + ω)sen(

ω

)=sen( +)

sen()+sen( +)

sen()

Mas, ++=, de modo que:sen( +)=sen( −)=sen() (19) e sen( +)=sen( −)=sen() Assim: sen(α + ω)sen(ω) =sen()sen()+sen()sen() Pela lei dos senos no triângulo()= , sabemos que:

sen()a =sen() ⟹sen()sen()= donde segue que

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sen( +)sen() =+=2·+2 ⟹sen( +)sen() ≥ · =2

pela desigualdade aritmética-geométrica. Isto mostra que:

sen( +)sen() ≥2 e a igualdade é válida se e somente se= . Consequentemente:

2sen()≤sen( +)≤1 ⟹ 0<sen()≤12⟹ 0< ≤6

e = /6 se e somente se() for um triângulo equilátero.

5. Referências Bibliográficas:

[1] Geometria Dinâmica . Disponível em: http://www.geometriadinamica.com.br/.

Acessado em 20/02/2013.[2] ZULATTO, R. B. A. (2002). Professores de Matemática que Utilizam Softwares deGeometria Dinâmica: suas características e perspectivas . Dissertação. UniversidadeEstadual Paulista – UNESP.

[3] GOMES DA SILVA, G.H & GODOI PENTEADO, MIRIAM. (2009).O trabalhocom geometria dinâmica em uma perspectiva investigativa . Programa de Pós -Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia – PPGECT, Universidade TecnológicaFederal do Paraná - UTFPR.

[4]Wolfram Mathworld . Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/FermatPointsAcessado em 20/02/2013.

[5] Stroeker, R. J.Brocard Points, Circulants Matrices, and Descarte’s Folium .Mathematics Magazine, Vol. 61, No 3, 172-178.

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