03_mÉtodo para elaborar una envolvente de fases

7/22/2019 03_MTODO PARA ELABORAR UNA ENVOLVENTE DE FASES

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Mtodo para elaborar una envolvente de fases para

mezclas multi-componente optimizando la solucin

en la cercana del punto crticoIng. Hctor Erick Gallardo Ferrera

M. en I. Alfredo Len Garca

Dr. Fernando Samaniego Verduzco

Resumen

En ste trabajo se discute una metodologa para la construccin completa de unaenvolvente de fases vapor-lquido de manera estable y precisa, mediante el

clculo de una variable de saturacin presin o temperaturay haciendo uso de

una modificacin al mtodo de Newton-Raphson. Se presentan algunos casos

para la validacin de ste mtodo, utilizando para ello un algoritmo computacional

desarrollado en ste estudio para simplificar los clculos y facilitar el anlisis.

Introduccin

Conocer el comportamiento de las fases de los fluidos petroleros es indispensable

para poder llevar a cabo diversas actividades en la industria, como el diseo de

instalaciones de produccin, la estimacin de los volmenes originales de

hidrocarburos en un campo, o la simulacin del comportamiento de los

yacimientos, por mencionar algunas1. Por ello, al ingeniero petrolero le resulta de

gran inters contar con un diagrama pT representativo de los fluidos que existenen un yacimiento.

Para obtener estas envolventes de fase es necesario realizar costosas mediciones

de laboratorio con equipos PVT2. Aunado a esto, dado que la explotacin de un

campo petrolero se realiza mediante la extraccin de materia, los resultados


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2

obtenidos en el laboratorio sern estrictamente vlidos mientras se conserve la

composicin de la mezcla utilizada para las mediciones. En la prctica, esto

nicamente se cumple en los yacimientos de gas y en los de aceite bajo-saturado;

ya que al emerger una nueva fase en la mezcla de hidrocarburos, la otra

comenzar a sufrir un proceso de empobrecimiento que ocasiona cambios en la

composicin de los fluidos del yacimiento1.

Dadas las herramientas de cmputo actuales (una vez que se cuenta con un PVT

consistente y validado para calibrar el proceso3, 4), es posible, partiendo del

anlisis composicional de los fluidos y haciendo uso de algunas correlaciones para

caracterizar a la fraccin C7+; resolver las ecuaciones de equilibrio termodinmico

y generar las envolventes pT cuando sea requerido.

ste trabajo presenta una modificacin al mtodo de NewtonRaphson de una

variable para el clculo del equilibrio de fases en las vecindades del punto crtico,

misma que se basa en el comportamiento de las constantes de equilibrio y la

relacin entre las fugacidades de los componentes en dicha regin. Otro objetivo

de ste trabajo es mostrar algunas expresiones requeridas para calcular la funcin

derivada del mtodo.

Planteamiento del problema

Diversas metodologas han sido presentadas en la literatura para la construccin

de envolventes de fases mediante el uso de Ecuaciones de Estado Cbicas

(EDECs)5, 6, 7. No obstante, los clculos de equilibrio lquidovapor para mezclas

multi-componentes suelen presentar dificultades en las regiones cercanas al punto

crtico, debido a la dificultad para discernir entre una solucin nica4, 5, 7.

Para corregir los problemas de convergencia en las regiones crticas y retrogradases comn utilizar mtodos iterativos multi-variable (Michelsen, 1980), generando

algoritmos de solucin robustos y de convergencia acelerada7. Otra manera de

solucionar estos problemas se encuentra, para mtodos iterativos de una sola

variable, al reducir el tamao del paso de la variable independiente en las

cercanas al punto crtico (Ziervogel y Poling, 1982).


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3

Sin embargo, de acuerdo a la complejidad de la mezcla analizada, al utilizar el

mtodo de NewtonRaphson es comn encontrar que los errores de convergencia

persisten pese al tamao del paso elegido. Esto se debe a la inestabilidad

numrica que puede presentarse en la funcin derivada utilizada por el mtodo.

Como una alternativa adicional, se propone el uso de una funcin derivada ms

estable partiendo del anlisis del comportamiento de las constantes de equilibrio a

lo largo de la trayectoria descrita por el proceso.

Para facilitar los clculos requeridos, se desarroll una aplicacin capaz de

calcular la envolvente de fases de una mezcla mediante las EDECs de Soave

RedlichKwong (SRK, 1972) y PengRobinson (PR, 1976), emplendose los

coeficientes de interaccin binaria y de traslacin volumtrica de la monografa deWitson y Brul4.

Anlisis del problema

Usualmente el comportamiento de las constantes de equilibrio se realiza

graficndolas en escala doble logartmica contra la presin (considerando para ello

una temperatura constante), como se muestra en la Figura 1. ste grafico permite

identificar dos caractersticas notorias: ( 1 ) Que a bajas presiones la pendiente delas curvas es aproximadamente menos uno, y ( 2 ) que conforme la presin

incrementa las constantes tienden a converger a la unidad.

Figura 1. Comportamiento de algunas constantes de equilibrio determinadas a780R para un sistema de hidrocarburos.

0.10

1.00

10.00

500 5000

Ki

Presin [psia]


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4

En realidad para ste anlisis, las constantes de equilibrio slo pueden

converger si la temperatura corresponde a la del punto crtico, ya que slo en

estas coordenadas () la composicin de las fases delsistema es la misma; en otro caso, si la temperatura no corresponde a la del

estado crtico de la mezcla, es imposible que las curvas converjan a una presin.

En los clculos del equilibrio termodinmico para un diagrama de fases, la

trayectoria descrita no refiere a un proceso isotrmico, ya que el objetivo es

determinar las condiciones de saturacin para las que se tiene una determinada

cantidad de moles en estado lquido y gaseoso; y conforme los clculos

evolucionan, estos se aproximan al punto crtico y las constantes convergen a la

unidad. Por esta razn se encontr conveniente graficar tanto el comportamiento

que describen las curvas respecto de la presin y de la temperatura para cada

trayectoria estudiada.

Las Figuras 2a y 2b muestran los grficos de las constantes de equilibrio a lo

largo de la curva de burbujeo de una envolvente, mientras que las Figuras 3a y

3blo hacen a travs de la curva de roco. Aqu puede observarse que, no obstante

el efecto que presentan las curvas debido a la regin retrograda, las constantes

convergen a en el punto crtico, y justamente en las vecindades a ste valor

(regin crtica en adelante), las constantes se encuentran muy prximas entre s.

El comportamiento observado en la regin crtica es la base del planteamiento

propuesto en ste trabajo.

Metodologa de clculo

Partiendo de la composicin molar de la mezcla ( ), suponiendo questa se encuentra constituida de

moles de composicin (

) en

una fase y moles de composicin ( ) en una fase ; las siguientesexpresiones deben satisfacerse a condiciones de equilibrio:

........................................................................................ ............................................................................................................


6/22

5

a.

b.

Figura 2. Comportamiento de las constantes de equilibrio a. respecto a latemperatura y b. respecto a la presin de burbuja para la mezcla 2A.

............................................... ............................................... Lo que puede expresarse como una combinacin lineal de las Ecs. 3 y 4 (Rachford

y Rice, 1952), y quedar como funciones de las variables de iteracin y las

restricciones establecidas para cada solucin:

........................................... ( ) .......................................................... donde es el vector de variables dependientes, cuya solucin describe un puntode la envolvente; y es el vector de especificaciones. .................................................................................................

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

500 1000

Ki

Temperatura - R

1.E-05

1.E-04

1.E-031.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

500 1000 2000

K

i

Presin [psia]


7/22

6

a.

b.

Figura 3. Comportamiento de las constantes de equilibrio a. respecto a la presin yb. respecto a la temperatura de roco para la mezcla 2A.

....................................................................................................... Simplificando la problemtica para obtener nicamente la envolvente, para el caso

de los puntos de burbuja (cuando ) se tiene que, ........................................................................... y para los puntos de roco (cuando ), ......................................................................... Para obtener una solucin particular, debe adicionarse una ecuacin de restriccin

adicional en trminos de las variables independientes

1.E-01

1.E+00

1.E+01

500 1000

Ki

Presin [psia]

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

700

K

Temperatura [R]1000


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7

............................................................................................... y proponer una estimacin inicial del vector de soluciones.

Ahora bien, partiendo del mtodo iterativo de NewtonRaphson, se plantea que

una mejor estimacin del vector de soluciones se obtiene de ............................................................................................. dondees la matriz Jacobiana en .Para asegurar la estabilidad de ste algoritmo (Michelsen, 1980), debe usarse la

funcin derivada de mayor magnitud en la iteracin, es decir, aquella presente la

mayor variacin respecto a las variables de presin o Temperatura.

sta metodologa puede ser simplificada a un algoritmo de iteracin de una

variable al definir la pendiente adimensional de la envolvente como:

| | .......................................................................................................... Con lo que, de acuerdo al criterio establecido por Ziervogel y Poling (1982), se

asegura que la mayor variacin de la derivada se tiene respecto a la presin

cuando , y debern calcularse las presiones de burbuja o roco; mientras quecuando la funcin derivada presentar los mayores cambios respecto a latemperatura, debindose calcular las temperaturas de burbuja o roco. Entonces,

la Ec. 12 puede reducirse, para usar un algoritmo de una sola variable, a:

........................................................................................ Siendo la variable de iteracin la presin o temperatura que queda libre de larestriccin en la Ec. 11. As, las ecuaciones requeridas para obtener una solucin

en el punto de burbuja son:

.................................................................................................. ................................................................................


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8

y para soluciones en el punto de roco,

...............................................................................................

.................................................................

Los valores de pueden obtenerse de manera analtica de las definicionesde las fugacidades para cada EDEC, o de forma numrica mediante esquemas

explcitos de diferencias finitas centradas. Aqu debe sealarse que, si bien

pueden utilizarse mtodos progresivas o regresivas para obtener el valor de la

derivada de manera numrica, por la inestabilidad asociada no se recomienda su

uso para estos problemas.

El Apndice A de ste trabajo discute un procedimiento de clculo de ; elApndice B incluye las expresiones requeridas para obtener las derivadas

analticas de la EDEC de SRK; y el Apndice C describe un algoritmo para el

clculo numrico explcito propuesto para el clculo de mediantediferencias centrales.

La convergencia local del mtodo elegido depende de la correcta eleccin de la

variable a iterar y de la calidad de la estimacin inicial del vector de variablesdependientes, ; por lo que debe analizarse el comportamiento de la pendienteadimensional de la envolvente p T de al menos los ltimos tres resultados

previos en cada nuevo ciclo iterativo, tambin se deben iniciar los clculos a

condiciones de presin y temperatura bajas, donde el mtodo es ms estable y

converge rpidamente a la solucin.

Dado que a condiciones de presin y temperatura relativamente bajas el

comportamiento de las constantes de equilibrio es semejante al ideal, una buenaaproximacin para el valor inicial requerido por el algoritmo puede obtenerse

mediante la correlacin de Wilson1, 3, 5, 6, 7, 8. Adems, dado el comportamiento

suave de las curvas, se aproxima el vector de soluciones en cada nuevo ciclo

iterativo con los resultados de los clculos previos.


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9

Descripcin del proceso

Para calcular una envolvente de fase, se estableci como variable de iteracin

inicial a la presin en los clculos para la curva de burbujeo, y a la temperatura

para los puntos de roco. La aplicacin incluy rutinas para el clculo analtico ynumrico de las funciones derivadas. La tolerancia se defini globalmente como

lejos del punto crtico, disminuyendo a en la regin crtica parano afectar la estabilidad y convergencia del mtodo.

La cercana a la regin crtica se determin, en funcin de los valores de los

factores de compresibilidad Z de las fases lquida y vapor, como:

| | .................................................................................................................

donde, las vecindades al punto crtico se ubicaron cuando tuviera valoresmenores o iguales a 0.1. ste criterio parte del anlisis del comportamiento de

fases para componentes puros (utilizados para probar el programa), como se

muestra en la Figura 4.

Figura 4. Envolvente de fase P Z del n-octano en escala semi-logartmica, ydiagrama de la presin de vapor.

El paso de la variable independiente se fijen funcin de en una unidad (o segn el caso), disminuyendo hasta 0.5 unidades en la regin crtica. Lascoordenadas del punto crtico se encuentran mediante la interseccin de las

curvas de roco y burbuja.

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

Presin[

psi

a]

Factor Z

0.0

100.0200.0

300.0

400.0

600 800 1000

Presin

[psia

Temperatura - R


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10

Para caracterizar a la fraccin C7+se utiliz un mdulo externo.

Resultados

Al computar los datos con la metodologa descrita para las mezclas multi-

componente listadas en la Tabla 1; las mezclas ms complejas mostraron

inestabilidades que dificultaban la convergencia del mtodo en la regin crtica de

la envolvente. Las propiedades crticas y el factor acntrico de la fraccin C 7+

utilizadas para los clculos de las mezclas 2A a 4 se muestran en la Tabla 2.

De acuerdo a la metodologa de Ziervogel y Poling, se disminuy el paso de la

variable independiente en la regin crtica hasta 0.01 unidades, adems, se

modificaron los criterios de

, ampliando la ventana crtica para evitar

inestabilidades debidas a la propagacin de errores en el algoritmo; no obstante,

los problemas de convergencia persistieron en mezclas cuyas composiciones

incluan componentes no hidrocarburos. La Figura5muestra el intento realizado

para obtener la envolvente de la mezcla 2 con un paso de 0.01 unidades.

Figura 5. Intento de clculo de la envolvente de la mezcla 2A con el algoritmo deZiervogel y Poling y paso en la variable independiente de 0.01 unidades (EDEC PR).

Para resolver la problemtica se aplic una modificacin al mtodo de Newton

Raphson basada en el comportamiento de las constantes de equilibrio discutido

con anterioridaden la regin crtica. Se observ que la pendiente de las curvas

en la regin crtica era similar entre los componentes, y que la mayor variacin de

0

200

400

600

800

10001200

1400

1600

1800

200 400 600 800 1000 1200 1400

Temperatura [R]

Presin[

psia]

A (0830.01, 1524.78)

B (0898.33, 1054.01)

Pcr(1593.51, 758.01)Tcr(0899.93, 954.00)


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11

la funcin derivada al hacer los clculos se observaba en aquellos componentes

cuya relacin de fugacidades normalizada era menor. Fsicamente, esto relaciona

la variacin de la derivada con la afinidad de un componente por alguna de las dos

fases.

Con base en lo anterior, se plantea que en los clculos de la curva de burbuja en

la regin crtica:

( )

..................................................................................

Y para los clculos de los puntos de roco:

( )

..................................................................

donde el subndice hace referencia al componente con la menor relacin defugacidades normalizada, que puede obtenerse para los puntos de burbuja como:

........................................................................................................ Y para los de roco como:

.......................................................................................................... En teora, una vez alcanzadas las condiciones de equilibrio, dado que no habr

transferencia entre los componentes, el valor de ser cero y cualquier derivadapodr satisfacer el algoritmo planteado.

La Figura 6a muestra los resultados obtenidos al incluir las Ecs. 20 23 en la

aplicacin desarrollada y usando la ecuacin de Peng-Robinson, y la Figura 6bmuestra los resultados obtenidos mediante el uso de un paquete comercial.

Para considerar valido el procedimiento de clculo, los valores computados

mediante la aplicacin desarrollada y el programa comercial deben ser idnticos, y

de hecho son bastante parecidos.


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12

a.

b.

Figura 6. Diagramas de fases de la mezcla 2A a. calculado mediante con laaplicacin desarrollada y b. mediante una aplicacin comercial (EDEC PR).

La composicin 2B, cuya envolvente es presentada en la Figura 7, se incluye para

resaltar la importancia de caracterizar al pseudocomponente C7+. Al comparar las

Figuras 7 y 8 puede observarse la manera en que los parmetros utilizados

afectan la solucin obtenida.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

200 300 400 500 600 700 800 900

Pressure

.p

sia

Temperature - R

Pc (0882.77, 1280.49)

pcr(1593.51, 0758.01)Tcr(0899.93, 0954.00)


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13

Figura 7. Diagrama de envolvente de fase de la mezcla 2B (EDEC PR).

Los diagramas de las mezclas 1, 3 y 4 (obtenidos mediante la EDEC de SRK) se

muestran en las Figuras 8a, 8b y 8c respectivamente. Las propiedades crticas de

dichas envolventes se reportan en la Figura 8d.

Tabla 1. Composiciones (fracciones molares) de los sistemas multicomponenteestudiados.

ComponenteMezcla

1 2A 2B 3 4

N2 0.01320 0.00340 0.00230

CO2 0.01640 0.02150 0.02446

H2S 0.00260 0.00700 0.00893

C1 0.29580 0.30840 0.34029

C2 0.08630 0.09850 0.11138

C3 0.20000 0.06370 0.07050 0.07565

i-C4 0.10000 0.01180 0.01330 0.01313

n-C4 0.15000 0.03070 0.03600 0.03756

i-C5 0.01600 0.01310 0.01326

n-C5 0.55000 0.02170 0.01970 0.01838

n-C6 0.02890 0.03640 0.03010

n-C7+ 0.41290 0.37220 0.32456

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Presin[

psia]

Temperatura [R]

Pc (1044.87, 1168.02)

pcr(1983.40, 0850.00)Tcr(1183.39, 0714.00)


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Tabla 2. Propiedades del pseudocomponente C7+.

PropiedadMezcla

2A 2B 3 4

426.40 215.76 550.54 548.43 986.40 1248.8 1141.2 1119.6 0.3900 0.2960 0.2915 0.2676

a. b.

c. d.

Figura 8. Diagrama de fase p T de: a. mezcla 1, b. mezcla 3 y c. mezcla 4 (EDECSRK).; y d. condiciones crticas de todas las mezclas estudiadas.

0

100

200

300

400

500

600

400 600 800

Presin[

psia]

Temperatura [R]

0

500

1000

1500

2000

2500

200

Presin[

psia]

Temperatura [R]

0

500

1000

1500

2000

2500

200 400 600 800 1000

Presin[

psia]

Temperatura [R]

573.501280.5 1168.0 1886.5

2076.5

1 2 3 4 5

Presin crtica [psia]

2A 2B 3 4

853.15 882.77 1044.9 982.24 926.72

1 2 3 4 5

Temperatura crtica [R]

2A 2B 3 4


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Conclusiones

Una modificacin al mtodo de NewtonRaphson para calcular el equilibrio de las

fases en la regin crtica ha sido descrita. Dicho algoritmo parte del anlisis del

comportamiento de las constantes de equilibrio en la regin crtica de la mezcla,

haciendo una simplificacin considerable a los clculos al tomar la funcin

derivada del componente cuya relacin de fugacidad normalizada sea la menor.

Las envolventes construidas con la aplicacin desarrollada permiten observar que

el algoritmo result consistente en las soluciones y permiti, sin alterar el resultado

final, disminuir el tiempo de cmputo al no requerir de pasos tan pequeos de la

variable independiente.

Se ha demostrado quede acuerdo al comportamiento suave de las curvas de las

constantes de equilibrio, al iniciar un nuevo ciclo iterativo, es correcto suponer

como solucin estimada los valores calculados previamente.

Finalmente, se recomienda el clculo de la funcin derivada de manera analtica,

pues si bien las expresiones obtenidas pudieran resultar complicadas (de acuerdo

a la EDEC y regla de mezclado utilizada), los tiempos de cmputo son menores

que cuando se calcula la derivada mediante un algoritmo numrico. El clculo de

la funcin derivada se discute en los Anexos A, B y C.

Debe sealarse que la metodologa presentada nicamente ha sido evaluada en la

construccin de la curva de burbuja, dado que para las mezclas empleadas no se

requiri el uso del algoritmo para los puntos de roco, por lo que su uso en sta

regin de la envolvente debe ser evaluado y documentado debidamente.

Nomenclatura

Faccin de la fase fugacidad del componente vector de funciones objetivo matriz Jacobiana


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16

constante de equilibrio para el componente nmero de componentes en la mezcla, nmero de moles (Ec. B01) presin

punto crtico

punto cricondenbrico temperatura punto cricondentrmico fraccin molar , fase fraccin molar , fase fraccin molar total Smbolos Griegos

vector de variables dependientes vector de especificaciones coeficiente de interaccin binario vector de restricciones variable de iteracin parmetro de cercana al punto crtico

pendiente adimensional de la envolvente pT coeficiente de fugacidad relacin de fugacidades componente con la menor relacin de fugacidades normalizada factor acntricoSubndices

nmero de componentes

mezclaSuperndices

nomenclatura de las fases nivel de iteracin


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Referencias

1. Standing, M.B.: Volumetric and Phase Behavior of Oil Field Hydrocarbon

Systems, Henry L. Doherty Memorial Fund of AIME, SPE(1977).

2. Kaliappan, C.S. y Rowe, A.M., JR.: Calculation of Pressure

TemperaturePhase Envelopes of Multicomponent Systems, artculo SPE 2885

presentado en el Third Biennial Gas Industry Symposium, Omaha, Nebr.

2122 de mayo de 1971.

3. SamaniegoV, F. et al.: On theValidation of PVT Compositional Laboratory

Experiments, artculo SPE 91505 presentado en la SPE Annual Technical

Conference and Exhibition, Houston, Tx. 2629 de septiembre de 2004.

4. Whitson, C.H. and Brul, M.R.: Phase Behavior, Monograph Volume 20,

Henry L. Doherty Memorial Fund of AIME, SPE(2000).5. Michelsen, M.L.: Calculation of Phase Envelopes and Critical Points for

Multicomponent Mixtures, Fluid Phase Equilibria, 4, 1-10 (1980).

6. Whitson, C.H., y Michelsen, M.L.: The Negative Flash, Fluid Phase

Equlibria, 53, 51 (1989).

7. Ziervogel, R.G. and Poling, B. E.: A Simple Method for Constructing Phase

Envelopes, Fluid Phase Equilibria, 11, 127-135 (1983).

8. Pedersen, K.S., y Christensen, P.L.: Phase Behavior of Petroleum

Reservoir Fluids, Taylor and Francis Group(2007).

Apndice A. Obtencin de la funcin Partiendo de la definicin de la fugacidad, una vez que el sistema ha alcanzado

condiciones de equilibrio termodinmico, se tiene que:

....................................................................................................... Por lo que al obtener la derivada del logaritmo natural de se tiene que: .................................................................................. Lo que al despejar , e incluyendo a la Ec. 24, se llega a: [()()] ..........................................................


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Donde puede determinarse analtica o numricamente.Analticamente las derivadas se obtienen al derivar considerando las definiciones

de las EDEC, como se ejemplifica en el Apndice B. Numricamente, las

derivadas pueden determinarse con el algoritmo del Apndice C.

Apndice B. Derivadas analticas de los coeficientes de fugacidad

para la EDEC de SRK

Considerando una regla de mezclado aleatoria, y partiendo de la definicin de la

fugacidad

.........................................................................

al substituir los parmetros de su EDEC, Soave obtuvo la siguiente expresin para

la fugacidad de cada componente en la fase :

| |

( )

............

En tanto que para los componentes de la fase se defini:

|

|

( )

........

donde A, B, a y b son los parmetros de la ecuacin de estado de SRK.

De manera general, las derivadas de la Ec. 26 pueden obtenerse fcilmente

respecto a la presin como:

....................


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19

donde,

................................................................................

Por otro lado, las derivadas respecto a la temperatura se calculan como:

( )

.......

Donde,

..........................................................

..........................................................................................

( )

...........................

......................................

Los coeficientes de la ecuacin dependern de la fase estudiada, as como la

fraccin mol usada para los clculos, por lo que para la fase ser y para la ser de cada componente.Apndice C. Derivadas numricas de los coeficientes de

fugacidad

La ventaja de utilizar un mtodo numrico para calcular las derivadas de los

coeficientes de fugacidad es justamente su generalidad, ya que no se requiere de

un algoritmo particular para cada una de las combinaciones de las EDEC y reglas

de mezclado posibles; no obstante, su uso tambin requiere de mayores recursos.


21/22

20

El clculo numrico de la derivada de los coeficientes de fugacidad puede

hacerse, para un esquema explcito, partiendo de la siguiente expresin:

.............................................................................................................

Y asumiendo que la funcin es continua y derivable en el intervalo de inters, la

derivada del trmino derecho de la igualdad puede aproximarse mediante el

mtodo de diferencias finitas centradas como:

................................................................

Donde

es el paso de la variable dependiente utilizado para la aproximacin. Si

el tamao de es tal que , la Ec. 37 resulta en:

..............................................................

Por lo que para calcular la derivada se deben seguir los siguientes pasos:

1. Hacer los clculos de equilibrio de fases para conocer los coeficientes de

fugacidad

a las condiciones de presin y temperatura fijadas por el

ciclo iterativo.

2. Fijando la variable independiente, dado un (se recomienda de 2unidades) hacer los clculos de equilibrio termodinmico para determinar:

i. Los coeficientes de fugacidad progresivos ; yii. Los coeficientes de fugacidad retrgrados .

3. Resolver la Ec. 39.

Pese a que es posible aproximar directamente a la Ec. 37, la Ec. 39 es ms

estable pues dicha aproximacin envuelve la evaluacin de tres funciones:

, y , como se ve en la Figura 9.

Figura 9. Valores necesarios para el esquema de diferencias centrales descrito.


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03_mÉtodo para elaborar una envolvente de fases

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