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Captulo 2

SISTEMAS DE REFERNCIA EMPREGADOS

NA IMPLANTAO DE REDES GEODSICAS NO BRASIL

Sendo dado um sistema de referncia cartesiano fixo, qualquer ponto do

espao determinado de maneira nica por suas coordenadas x, y e z.

Com um sistema fixo Terra, sistema terrestre, possvel verificar,

descrever, representar e analisar as alteraes naturais ou artificiais do meio

ambiente, bem como acompanhar os movimentos de objetos sobre a superfcie

terrestre ou acima dela.

De acordo com Andrade (1988), um sistema de referncia pode ser definido

ou arbitrado, e para ter uso prtico, ambos devem ser realizados.

A definio de um referencial envolve sua fixao terica no espao e por

tratar-se de conceito abstrato, pode ser feita com exatido.

J a realizao exige a coleta de observaes, naturalmente eivadas de erros,

com o objetivo de determinar coordenadas de pontos devidamente materializados.

Um referencial realizado deve aproximar-se ao mximo da sua definio, o que pode

ser aprimorado com a evoluo tecnolgica.

Normalmente, o arbitramento de um referencial feito coincidindo-o com sua

realizao.

Para representar e transmitir informaes geogrficas, torna-se necessrio

adotar um modelo geomtrico e matemtico para a Terra.

O modelo geomtrico empregado em geodsia para representar a superfcie

terrestre o elipside de revoluo, gerado pela rotao de uma elipse em torno do

semi-eixo menor, resultando em um elipside achatado nos plos. O modelo

elipsidico ou geodsico da Terra pode ser definido por dois parmetros: o semi-eixo

maior, a, e o semi-eixo menor, b. Ou ento, b substitudo por um nmero menor e

mais indicado para uma expanso em srie, o achatamento geomtrico f.

Este captulo tem como objetivo apresentar os principais sistemas de

referncia terrestres empregados na implantao de redes geodsicas por GPS no

Brasil, bem como as relaes entre sistemas globais, regionais e locais, juntamente

com as equaes de propagao das covarincias entre os diferentes sistemas, que

13

sero utilizados neste trabalho. A compreenso tanto dos conceitos envolvidos nas

definies dos diferentes sistemas, quanto das transformaes de coordenadas e das

propagaes de covarincias, fundamental para o processamento das observaes a

satlites de navegao, para o ajustamento dos vetores e para a interpretao e

anlise dos resultados.

Um dos objetivos especficos deste captulo mostrar como as componentes

de um vetor podem ser transformadas do sistema ITRF97 para o WGS84.

2.1 - Sistema de Referncia Terrestre Internacional ITRS

A crosta terrestre est em contnuo movimento. Os continentes esto se

movendo a uma velocidade de centmetros por ano, levando consigo os

observatrios. Por outro lado, os instrumentos de medio e processamento esto em

franca evoluo.

A Unio Internacional de Geodsia e Geofsica UGGI (International Union

of Geodesy and Geophysics IUGG), considerando a necessidade de definir um

sistema terrestre que possibilitasse determinar um ponto sobre a superfcie da Terra

sem ambigidade ao nvel do milmetro, endossou em 1991, a resoluo sobre

sistemas de referncia, adotada pela XXI Assemblia Geral da International

Astronomical Union IAU que criou o International Terrestrial Reference System

- ITRS.

O Sistema de Referncia Terrestre Convencional fixo Terra, isto , gira

com ela, e tem como origem o centro de massa da Terra, considerando inclusive a

atmosfera. A direo do eixo Z aquela que contm o centro de massa (CM) e o

Conventional Terrestrial Pole CTP, sendo positivo o sentido dirigido para o CTP.

A direo do eixo X aquela perpendicular ao eixo Z, passando, obviamente pelo

CM, e pelo Meridiano Zero ou International Reference Meridian IRM1. O

sentido positivo deste eixo o sentido CM IRM. J o eixo Y aquele perpendicular

1 De 1884 a 1987 o primeiro meridiano, meridiano a partir do qual so determinadas as longitudes, era o meridiano que passa pelo eixo tico do telescpio do observatrio de Greenwich, denominado meridiano de Greenwich. Com a criao do ITRS, as longitudes passaram a ser determinadas a partir do meridiano zero ou meridiano de referncia internacional, que est cerca de 100 m a leste do meridiano de Greenwich, realizado a partir de observaes feitas por estaes que acompanham os movimentos de rotao da Terra.

14

aos eixos Z e X, cujo sentido positivo torna o sistema dextrgiro. A Figura 2.1 ilustra

estas definies.

O ITRS pode ser realizado por um reference frame, isto , por uma rede de

estaes com coordenadas conhecidas. De acordo com McCarthy (1996), deve-se

usar de preferncia coordenadas cartesianas e se coordenadas geodsicas forem

necessrias, deve-se empregar o elipside Geodetic Reference System 1980 -

GRS80 cujos parmetros so: semi-eixo maior e quadrado da excentricidade, iguais

a 6 378 137,0 m e 0,006 694 380 03, respectivamente.

Tambm de acordo com McCarthy (1996), para materializar a origem deste

sistema so usados somente dados que possam ter os movimentos geodinmicos

modelados; atualmente, so usadas observaes de diversas estaes, Figura 1.1,

coletadas com SLR (Satellite Laser Range), LLR (Lunar Laser Range), DORIS

(Doppler Orbitography and Radio Positioning Integrated by Satellite) e GPS. J a

orientao do sistema realizada por estaes, Figura 1.2, monitoradas pelo

International Earth Rotation Service IERS, que define os parmetros de

orientao da Terra numa determinada poca de referncia.

A escala do sistema fornecida por dados coletados com VLBI (Very Long

Baseline Interferometry), SLR e GPS. Mais detalhes podem ser visto em Monico

(2000).

X

Z

Y CM

CTP Meridiano de Referncia

Internacional - IRM

Figura 2.1 Sistema de Referncia Terrestre Internacional - ITRS

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Diferentes realizaes do sistema terrestre de referncia convencional so

produzidas pelo IERS sob a denominao de ITRFyy (International Terrestrial

Reference Frame Rede de Referncia Terrestre Internacional). As letras yy

especificam os dois ltimos dgitos do ano em que os dados foram coletados para

realizao do sistema. A partir de 2000 a especificao passa a ser ITRFyyyy.

A pgina do International Earth Rotation Service, http://www.iers.org/, traz

mais informaes sobre os ITRFyy.

Os valores listados na Tabela 2.1, obtidos na pgina

ftp://lareg.ensg.ign.fr/pub/itrf/ITRF.IP, acessada em 05/12/2001, so os parmetros, e

suas velocidades, que transformam o ITRF2000 nos sistemas ITRFyy anteriores.

Na Tabela 2.1, T1, T2 e T3 so as coordenadas da origem do ITRF2000 nos

sistemas ITRFyy, ou seja, so os parmetros de translao. D o valor que deve ser

adicionado a 1 para se obter o fator de escala entre os dois sistemas, dado em partes

por bilho (ppb) e, R1, R2 e R3 so as pequenas rotaes a serem aplicadas ao

ITRF2000 para torn-lo paralelo ao sistema ITRFyy, expressas em milsimos de

segundos (ms) sexagesimais.

Para transformar coordenadas, ou componentes de um vetor, no ITRF2000

para uma outra realizao do ITRS, ou vice-versa, devem ser empregados os

seguintes modelos matemticos:

1) Para atualizar os parmetros:

EPOCA)-(tP P(EPOCA) P(t) += ! (2.1)

onde

P o parmetro a ser atualizado (T1, T2, T3, D, R1, R2, R3),

P! a taxa de variao anual do parmetro,

t a data para a qual se deseja atualizar o parmetro, em anos e

EPOCA o instante de referncia do parmetro, em anos.

2) Para transformar as coordenadas X, Y e Z, no sistema ITRF2000, para Xs, Ys

e Zs, em outro sistema ITRFyy:

16

+

+

=

ZYX

DRRRDRRRD

TTT

ZYX

ZsYsXs

12

13

23

3

2

1

(2.2)

3) Para transformar as componentes de um vetor no sistema ITRF2000,

ZeY,X , para outro ITRF, ZseYs,Xs :

+

=

ZYX

DRRRDRRRD

ZYX

ZsYsXs

12

13

23

(2.3)

Tabela 2.1: Parmetros de transformao do ITRF2000 para os sistemas ITRFyy

anteriores e suas velocidades

Parmetro Unidade

Taxa de Variao Unidade

T1 Cm

1T!

anoCm

T2 Cm

2T!

anoCm

T3 Cm

3T!

anoCm

D ppb

D!

anoppb

R1 ms

1R!

anoms

R2 ms

2R!

anoms

R3 ms

3R!

anoms

EPOCA

No IERS Tech. Note

ITRF97 Tax. Var.

0,67 0,00

0,61 -0,06

-1,85 -0,14

1,55 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,02 1997,0 27

ITRF96 Tax. Var.

0,67 0,00

0,61 -0,06

-1,85 -0,14

1,55 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,02 1997,0 24

ITRF94 Tax. Var.

0,67 0,00

0,61 -0,06

-1,85 -0,14

1,55 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,02 1997,0 20

ITRF93 Tax. Var.

1,27 -0,29

0,65 -0,02

-2,09 -0,06

1,95 0,00

-0,39 -0,11

0,80 -0,19

-1,14 0,07 1988,0 18

ITRF92 Tax. Var.

1,47 0,00

1,35 -0,06

-1,39 -0,14

0,75 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

-0,18 0,02 1988,0 15

ITRF91 Tax. Var.

2,67 0,00

2,75 -0,06

-1,99 -0,14

2,15 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

-0,18 0,02 1988,0 12

ITRF90 Tax. Var.

2,47 0,00

2,35 -0,06

-3,59 -0,14

2,45 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

-0,18 0,02 1988,0 9

ITRF89 Tax. Var.

2,97 0,00

4,75 -0,06

-7,39 -0,14

5,85 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

-0,18 0,02 1988,0 6

ITRF88 Tax. Var.

2,47 0,00

1,15 -0,06

-9,79 -0,14

8,95 0,00

0,10 0,00

0,00 0,00

-0,18 0,02 1988,0

IERS 1988

Um vetor no ITRF97, por exemplo, pode ser transformado para o ITRF90,

transformando-o primeiro para o ITRF2000 e, deste, para o ITRF90.

17

2.2- World Geodetic System 1984 WGS84

O Sistema Geodsico Global - WGS84 tambm tem como origem o centro

de massa da Terra e os eixos X, Y e Z, tm a mesma definio que os do ITRS; no

entanto, este sistema foi inicialmente materializado por observaes Doppler do

sistema TRANSIT, tendo como poca de referncia o ano 1984,0. A rede que

realizou o WGS84 constava de 1 591 estaes, entre elas as cinco estaes monitoras

do GPS, conforme descreve Monico (2000).

Para clculos de coordenadas geodsicas deve ser empregado o elipside

GRS80 cujo semi-eixo maior, a, 6378137,00 m e o achatamento f,

1/298,257223563.

Tambm para o WGS84 tm sido feitos aprimoramentos, gerando o WGS84

(G730), o WGS84 (G873) e mais recentemente, o WGS84 (G1150). Detalhes podem

ser vistos em Costa (1999).

A Tabela 2.2 mostra os valores dos parmetros que transformam coordenadas

no ITRF90 para o WGS84 realizado pelo sistema TRANSIT. Esta transformao

pode ser feita empregando a equao (2.2), sendo X, Y e Z as coordenadas no

ITRF90 e Xs, Ys e Zs as coordenadas no WGS84.

Tabela 2.2: Parmetros que transformam coordenadas no ITRF90 para o WGS84 realizado pelo TRANSIT. (McCARTHY, 1992).

T1

(m)

T2

(m)

T3

(m)

D

(ppm)

R1

()

R2

()

R3

()

0,060 -0,517 -0,223 -0,011 0,0183 -0,0003 0,0070

No Apndice I pode-se ver a seqncia de clculos realizada na

transformao de componentes de vetores, ZeY,X , no ITRF97 para o

sistema WGS84.

2.3 Datum Sul Americano de 1969 SAD69

18

O South American Datum 1969 - SAD69 um sistema geodsico regional,

de concepo clssica, que visou unificar os referenciais utilizados na Amrica do

Sul, embora no tenha sido adotado por todas naes sul-americanas. Sua adoo no

Brasil s se deu no final da dcada de 70.

Na concepo clssica de um sistema geodsico, a partir de observaes

astronmicas e geodsicas definiam-se os parmetros do elipside de revoluo que

seria usado como modelo geomtrico da Terra. Gemael (1977) explica como tais

parmetros eram determinados. Para o SAD69 a Unio de Geodsia e Geofsica

Internacional recomendou o uso do GRS67 cujos parmetros so, (Silva,1999):

- semi-eixo maior, a = 6 378 160,00 m e

- achatamento, f = 1/298,25.

Definidos os parmetros do elipside de referncia, necessrio fix-lo no

espao de forma que seu eixo menor seja paralelo ao eixo de rotao mdio da Terra

e que as diferenas entre grandezas geodsicas e astronmicas sejam minimizadas.

O SAD69 foi fixado no espao atribuindo para o ponto, denominado CHU,

de coordenadas astronmicas iguais a, (Silva,1999):

- Latitude = 19o 45 41,34 0,05 S,

- Longitude = 48o 06 07,80 0,08 W e

- Azimute astronmico rumo a outro ponto, denominado UBERABA, igual

a 271o 30 05,42 SWNE;

as seguintes as coordenadas geodsicas, ondulao geoidal e azimute geodsico:

- Latitude = 19o 45 41,6527 S2,

- Longitude = 48o 06 04,0639 W

- Ondulao geoidal (N) = 0 e

- Azimute geodsico rumo a UBERABA, igual a 271o 30 04,05 SWNE3.

Atualmente, a rede planimtrica brasileira constituda de mais de 5000

estaes geodsicas, com coordenadas referidas ao Datum Sul Americano de 1969

SAD69.

Vistas as definies e realizaes dos sistemas geodsicos WGS84 e SAD69,

verifica-se que se tratam de sistemas geodsicos diferentes. Como grande parte dos

2 Uma vez que estas coordenadas so atribudas ao ponto, seus desvios padro so nulos. 3 Mais detalhes sobre a definio, fixao e materializao do SAD69 podem ser vistos em IBGE (1999).

19

dados cartogrficos do Brasil referenciada ao SAD694, que o sistema geodsico

oficial do Pas; e, por outro lado, o WGS84 e os ITRFyy so os sistemas de

referncia para as coordenadas obtidas pelo GPS, h necessidade de relacion-los.

2.3.1- Converso de coordenadas no SAD69 para o WGS84

O Departamento de geodsia do IBGE determinou os parmetros que

relacionam SAD69 e WGS84-TRANSIT. Trata-se de apenas trs translaes, uma

vez que se assumiu que os dois sistemas so paralelos e tm a mesma escala. A

Resoluo da Presidncia da Repblica no 23, de 21/02/1989 tornou oficiais os

seguintes valores para as coordenadas da origem do SAD69, no WGS84:

Xc = -66,87 0,43 m,

Yc = 4,37 0,44 m e

Zc= -38,52 0,40 m.

Portanto para transformar coordenadas cartesianas no WGS84 para o SAD69

basta subtrair delas as coordenadas Xc, Yc e Zc. Ou seja:

)m(52,3837,487,66

ZYX

ZYX

84WGS69SAD

=

(2.4)

2.3.2- Propagao das varincias na converso

Aplicando equao (2.4) a lei de propagao das covarincias, tem-se:

+= XYZ XcYcZcXYZ 84WGS69SAD (2.5)

onde

=XYZ 69SAD a matriz das covarincias das coordenadas cartesianas referenciadas ao SAD69;

4 Como se sabe, outra grande parcela est no antigo Datum oficial, denominado Crrego Alegre.

20

=XYZ 84WGS a matriz das covarincias das coordenadas cartesianas referenciadas ao WGS84 e

)m(1600,00001936,00001849,0

000000

2

2Zc

2Yc

2Xc

XcYcZc

=

= (2.6)

Verifica-se, portanto, que a preciso obtida em levantamentos de redes GPS,

degradada quando as coordenadas, referenciadas ao WGS84, so transformadas

para o SAD69.

2.4 Sistemas Topocntricos

A Figura 2.2, mostra um sistema de coordenadas com origem na superfcie

terrestre, ponto o; eixo h coincidente com a normal ao elipside, dirigido para um

ponto prximo ao znite; eixo n na direo da tangente ao meridiano geodsico,

dirigido para o norte e eixo e perpendicular a h e n, tornando o sistema dextrgiro.

Os eixos e e n definem o horizonte geodsico.

Figura 2.2 Sistema Topocntrico

ho

o

e

h

n

o (o,o, ho)

X

Z

Y o

Meridiano zero - IRM

CTP

CM

21

Este sistema denominado por Leick (1995) sistema geodsico local e por

Gemael (1981) terno geodsico topocntrico. Uma vez que ele semelhante ao

sistema Topogrfico, ser aqui nomeado como Sistema Topocntrico.

De acordo com Leick (1995) este sistema tem grande aplicao no

desenvolvimento de modelos matemticos que integram observaes GPS e

terrestres. Neste trabalho ele ser usado para facilitar a visualizao dos efeitos das

diferentes estratgias de ajustamento de vetores GPS no posicionamento das estaes

da Rede Minas.

2.4.1- Converso de coordenadas geocntricas em topocntricas

A relao entre as coordenadas cartesianas X, Y e Z, em um sistema

geocntrico e e, n e h, no sistema topocntrico com origem em um ponto com

coordenadas geodsicas o, o, ho, referentes ao elipside associado aos sistemas

cartesianos, pode ser vista na Figura (2.2) e expressa matematicamente por:

+=

o

o

o

0o

3oo

1

ZZYYXX

)90(R)90(Rhne

(2.7)

onde

R1 e R3, so as matrizes de rotao em torno dos eixos X e Z,

respectivamente, do sistema cartesiano transladado at o ponto o;

oo e , so as coordenadas geodsicas do ponto de origem do sistema

topocntrico e

oo,o ZeYX , so as coordenadas, referenciadas ao sistema cartesiano

associado ao elipside de revoluo, do ponto de origem.

Desenvolvendo a equao (2.7) tem-se:

=

o

o

o

ooooo

ooooo

oo

ZZYYXX

sensencoscoscoscossensencossen

0cossen

hne

, (2.8)

cuja notao pode ser simplificada para:

22

=

o

o

o

ZZYYXX

Rhne

(2.9)

onde

=

ooooo

ooooo

oo

sensencoscoscoscossensencossen

0cossenR . (2.10)

2.4.2- Propagao das varincias em coordenadas geocntricas para

topocntricas e vice-versa

Derivando e, n e h da equao (2.9) em relao a X,Y e Z, tem-se:

R)Z,Y,X(

)(=

(2.11)

e portanto, T

XYZenh RR = (2.12) onde

enh matriz das covarincias das coordenadas topocntricas e XYZ a matriz das covarincias das coordenadas cartesianas de um sistema

geodsico qualquer.

2.5 Converso de coordenadas geodsicas em cartesianas e vice-versa

Vale lembrar que a relao entre coordenadas cartesianas (X, Y, Z) e

coordenadas geodsicas (, , h) pode ser expressa por, Bomford (1980):

+++

=

sen)h)1(N[sencos)hN(coscos)hN(

ZYX

2e (2.13)

e, n,h

23

onde a grande normal (N) e a excentricidade (e) do elipside so dadas,

respectivamente, por:

=

22 sene1

aN (2.14)

2

ab1e

= (2.15)

onde b o semi-eixo menor do elipside, dado por:

faab = (2.16)

sendo a e f, respectivamente, semi-eixo maior e achatamento do elipside de

revoluo, ou seja, os parmetros que definem o tamanho e a forma do modelo

geomtrico e matemtico da Terra.

2.5.1- Propagao das varincias em coordenadas cartesianas para geodsicas e

vice-versa

Derivando X, Y e Z da eq. (2.13) em relao a , e h, tem-se, (Leick, 1995)

e (Thomson, 1976):

=

=

hZZZ

hYYY

hXXX

)h,,()Z,Y,X(D (2.17)

+

++

++

=

sencos)hM(0

sencossensen)hM(coscos)hN(

coscoscossen)hM(sencos)hN(

D (2.18)

onde M, o raio de curvatura da seo meridiana do elipside de referncia, dado

por:

24

2322

2

)sene1(

)e1(aM

= . (2.19)

A matriz das covarincias de X, Y e Z pode ser calculada aplicando a lei de

propagao das covarincias equao (2.13). Dessa forma, tem-se:

T

hXYZ DD = . (2.20)

A transformao inversa da equao (2.13), ou seja, a converso de

coordenadas cartesianas em geodsicas pode ser vista em Bomford (1980) e a matriz

das derivadas parciais de , e h em relao a X, Y e Z dada por Leick (1995):

=

=

Zh

Yh

Xh

ZYX

ZYX

)Z,Y,X()h,,(D 1 (2.21)

( ) ( )

+

+

+

+

+

=

sensencoscoscos

hMcos

hMsensen

hMcossen

0coshN

coscoshN

sen

D 1 (2.22)

J as covarincias de X, Y e Z podem ser convertidas em covarincias de , e h,

por:

T1

XYZ1

h )D(D

= . (2.23)

Desenvolvendo a equao (2.23) chega-se s seguintes equaes para as

covarincias de , e h:

25

[ ] [ ]XY2Y22X222 2sencossencos)hN(1

++

= (2.24)

[ ++++

=2Z

22Y

222X

222

2 cossensencossen)hM(

1

]YZXZXY2 sen2sencos2sen2sensen

(2.25)

+++= 2Z22Y222X222h sensencoscoscos

YZXZXY2 sen2sencos2sen2sencos ++

(2.26)

+

++=

2Y

2X 2

2sentg2

2sentg)hN()hM(

1

]YZXZXY22 cossen)cos(sentg + (2.27)

+

+

+= XY

222Y

2Xh )sen(cos2

2sen2

2senhN

1

]YZXZ costgsentg + (2.28)

+

+=

2Z

2Y

22X

2

h 22sen

2sen2sen

2cos2sen

hM1

++ XZ22XY )sen(coscos22sen2sen

]YZ22 )sen(cossen (2.29) Enquanto as varincias de e , calculadas pelas equaes acima, esto em

rad2; a varincia de h est em m2. Para calcular as varincias de e em unidade do

sistema mtrico decimal, elas devem ser multiplicadas, respectivamente, por: 22 )hM(e]cos)hN[( ++ , (Wei, 1986), resultando em:

26

XY

2Y

22X

22 2sencossen += (2.30)

+++= 2Z22Y222X222 cossensencossen

YZXZXY2 sen2sencos2sen2sensen e (2.31)

+++= 2Z22Y222X222h sensencoscoscos

YZXZXY2 sen2sencos2sen2sencos ++ . (2.32)

Desenvolvendo a equao (2.12), verifica-se que as varincias da longitude e

latitude, no sistema mtrico decimal, so iguais s varincias da abscissa (e) e da

ordenada (n) do sistema topocntrico, respectivamente. A varincia da altura

geomtrica, h, naturalmente, igual varincia da altura topocntrica, h.

Estas frmulas sero teis em clculos desenvolvidos nos prximos captulos.