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34 Suplemento de reviso MATEMTICA

Reproduoproibida.A

rt.184doCdigoPenaleLei9.6

10de19defevereirode1998.

Funo afim

Algumas funes relacionam duas grandezas em que a variao de uma

proporcional variao da outra. Quando isso ocorre, dizemos que a funo afim.

A funo afim Funo afimoufuno polinomial do 1ograu toda funo

do tipo:

y5ax1b, em que {a, b}-Ve a%0

O grfico de toda funo afim uma reta. Para constru-lo,

basta representar dois pontos distintos da funo no plano

cartesiano e traar a reta que passa por eles.

Pontos de interseco do grfico dafuno afim com os eixos coordenados

O grfico da funo afim intercepta o eixo Ox no ponto

@2b__a, 0#. O grfico da funo afim intercepta o eixoOyno ponto (0, b).

Funo linear

Toda funo da formay5ax, com a9VR, chamada

funo linear.

O grfico de uma funo lineary5ax uma reta que passa

pela origem do sistema de coordenadas.

Em toda funo lineary5ax, os valores correspondentesdas variveisxeyso diretamente proporcionais.

Se duas funes afins tm a mesma taxa de variao, ento

as retas que as representam so paralelas.

Crescimento e decrescimento

Dada a funo f(x)5ax1b, temos:

f crescente [ a.0

f decrescente [ a,0

Estudo do sinal da funo afim

Inequao-produto e

Inequao-quocientePara resolver inequaes-produto ou inequaes-quo-

ciente, estudamos o sinal de cada funo e construmos um

quadro de sinais, no qual os sinais da ltima linha so obtidospela regra de sinais da multiplicao ou da diviso.

a.0

a.0

a.0

a,0

a,0

a,0

a,0

a.0

a5Sy___Sx

Anlise da funo afim

Taxa de variao

A taxa de variaoda funo afimy5ax1b a constante

a, no nula, obtida da seguinte maneira:

xb

y

b

a

x

b

y

b

a

xO

y

xO

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

raiz

x

raiz

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35Funo afim NO VESTIBULAR

1. (Mackenzie-SP) Os grficos das funes y5x1 2 ey52x16 definem, com os eixos, no primeiro quadrante,um quadriltero de rea:

a) 12 c) 10 e) 14

b) 16 d) 8

2. (Udesc)Sabemos que a receita total RTde certo produtoproduzido por uma famlia de agricultores dada pelafuno RT(q) 5q12, em que q a quantidade de unida-des do produto. Determine a funo do primeiro grau,custo total CT(q) deste produto; sabendo que, quando aquantidade do produto de 3 unidades, o custo total de R$ 4,00; e que, quando a quantidade do produto de4 unidades, a receita total igual ao custo total. Faa oesboo do grfico das funes RT(q) e CT(q).

3. (UFPel-RS)Muitos brasileiros sonham com empregos formais.Na falta destes, cada vez mais as pessoas precisam buscar

formas alternativas de conseguir uma renda. Para isso, umafamlia decidiu montar uma malharia. O grfico abaixomostra o custo mensal de produo dessa empresa.

No Vestibular

Funo afim

Sabendo que as peas so vendidas por R$ 19,50 e que a

famlia almeja um lucro mensal de R$ 4.200,00, o nmerode peas produzidas e vendidas, para atingir esse fim,dever ser:

a) 215 c) 467 e) 494

b) 400 d) 525 f) I.R.

(Nota: Admita que o custo Cpara xpeas produzidas uma funo afim.)

4. (Mackenzie-SP) A figura mostra os esboos dos grficosdas funes A(x) e B(x), que fornecem os preos que ascopiadoras, A e B, cobram para fazer xcpias de umafolha. Para fazer 360 cpias, a copiadora A cobra:

a) R$ 7,00 a menos que B.

b) R$ 5,00 a mais que B.

c) R$ 10,00 a menos que B.

d)

3

__2do que cobra B.

e) O mesmo preo cobrado por B.

Node peas

Custo em real

468

441

49 52

x

B

A

R$

12

30

72

200 540 1.400

Inicialmente, vamos determinar o ponto de intersecodos grficos que representam as duas funes dadas.Para isso, resolvemos o sistema:

{y5x12y52x16 ] x52 ey54Assim, obtemos o grfico aolado.A rea do quadriltero emdestaque igual soma da reade um trapzio de base maior4, base menor 2 e altura 2 coma rea de um tringulo retngulo issceles cujos catetosmedem 4. Ou seja, a rea dada por:

(412) 32_________

2 1

4 34____2

514

Alternativa e.

Como a receita total igual ao custototal, para 4 unidades temos que:RT(4)5CT(4)541256Assim, o grfico da funo custo total,CT(q)5aq1b, passa pelos pontosA(3, 4) e B(4, 6). Substituindo, temos:

{45a331b65a341b]a52 e b522Assim, a funo custo total CT(q)52q22.

Admitindo que a funo custo Cseja afim, temos:C(x)5ax1b, com C(x) em real exrepresentando o

nmero de peas. Como o grfico de Cpassa pelospontos (49, 441) e (52, 468), temos:

{4415a3491b4685a3521b]a59 e b50Logo, C(x)59x, C(1)59 e, portanto, o lucro em real porcada camiseta 19,5 9 510,5.Para que a famlia tenha um lucro de R$ 4.200,00, onmero de camisetas produzidas e vendidas dever

ser:4.200_____10,5

5400

Alternativab.

Exerccio1

Exerccio2

Exerccio3

Exerccio4

SejamA(x) e B(x), respectivamente, as funes quefornecem os preos, em real, das copiadoras A e B em

funo do nmeroxde cpias.Parax9[0, 540] a funoA(x) representada por umafuno linear com taxa de variao igual a

Sy___Sx

53020_______

540205

1

___18

. Assim, para esse domnio, temos

A(x)5x

___18

e, portanto,A(360)5360____18

520.

Parax9[200, 1.400], a funo B(x)5ax1brepresentada por uma funo afim cujo grfico passapelos pontos P(200, 12) e Q(1.400, 72). Assim, temos:

{125a32001b725a31.4001b]a5 1___20e b52

Logo, para esse domnio, temos B(x)5x___

201 2 e,

portanto, B(360)520.Alternativa e.

x

yx 2

yx6

y

6

2

4

2 6

q

RT

CT

2

1

2

2

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36 Suplemento de reviso MATEMTICA

Seja xa quantidade de caixas do medicamento, do depsi-to D1, que dever ser enviada drogaria A eya quantidadede caixas do mesmo depsito que dever ser enviada drogaria B.

a) Expressar:

em funo de x, o gastoGAcom transporte para enviaros medicamentos drogaria A;

em funo dey, o gastoGBcom transporte para enviaros medicamentos drogaria B;

em funo de xe y, o gasto total Gpara atender asduas drogarias.

b)Sabe-se que no depsito D1existem exatamente 40caixas do medicamento solicitado e que o gasto total Gpara se atender a encomenda dever ser de R$ 890,00,que o gasto mnimo nas condies dadas. Com basenisso, determine, separadamente, as quantidades decaixas de medicamentos que sairo de cada depsito,D1e D2, para cada drogaria, A e B, e os gastos GAe GB.

9. (Unicamp-SP)Na dcada de 1960, com a reduo do nmerode baleias de grande porte, como a baleia-azul, as baleiasminke antrticas passaram a ser o alvo preferencial dosnavios baleeiros que navegam no hemisfrio sul. O grficoabaixo mostra o nmero acumuladoaproximado de baleiasminke antrticas capturadas por barcos japoneses, soviticos/russos e brasileiros, entre o final de 1965 e o final de 2005.

a) A seguir, trace a curva que fornece o nmero apro-ximado de baleias caadas anualmente por barcossoviticos/russos entre o final de 1965 e o final de 2005.Indique tambm os valores numricos associados sletrasAe Bpara que seja possvel identificar a escalaadotada para o eixo vertical.

b) Calcule o nmero aproximado de baleias caadas pelo

grupo de pases indicado no grfico entre o final de1965 e o final de 1990.

65

05.000

10.000

15.000

20.000

25.000

N

meroacumuladodebaleiascaadas

30.000

35.000

40.000

45.000

85Ano

95 05

13.500

34.200

41.840

75

Japo

URSS/Rssia

Brasil

65

0

A

Nmerodebaleiascaad

as

B

85

Ano

95 0575

Para 0

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37Funo afim NO VESTIBULAR

a)Para a drogaria A, sero enviadasxcaixas do depsitoD1e, portanto, 302xcaixas do depsito D2. Assim, ogasto GAcom transporte ser:GA510x112(302x)522x1360

Para a drogaria B, sero enviadas ycaixas do depsito D1e, portanto, 402ycaixas do depsito D2. Assim, o gastoGBcom transporte ser:GB514y115(402y)52y1600

Assim, o gasto total :GA1GB522x2y1960

b)Para o gasto ser mnimo, devemos encomendar todas ascaixas possveis do depsito D1, ou seja,x1y540 (I).

Por outro lado, como o gasto total 890 reais, temos2x2y19605890 (II).

Resolvendo o sistema formado pelas equaes I e II,temos:

{x1y54022x2y5270]x530 ey510 Logo, sero enviadas 30 caixas de D1e 0 caixa de D2para

a drogaria A; 10 caixas de D1e 30 caixas de D2para adrogaria B; e os gastos sero, respectivamente,GA5300reais e GB5590 reais.

Exerccio8

Exerccio9

a)Podemos admitir que, entre os anos de 1965 e 1972e entre 1987 e 2005, o nmero de baleias caadasanualmente nulo.

Entre 1972 e 1987, o grfico representa umsegmento de reta; assim, sua taxa de variao :

34.2002 0____________1.98721.972

52.280

b)Entre o final de 1987 e o final de 2005, o nmero de

baleias caadas por ano pelos barcos japoneses foi:

(41.840235.000)_______________(2.00521.987) 56.840_____18 5380

Desse modo, entre o final de 1987 e o final de 1990, onmero de baleias capturadas foi aproximadamente:

380 3(90287)5380 3351.140 Somando esse valor ao que o Japo caou entre 1965

e 1987, obtemos: 35.00011.140536.140 Entre 1965 e 2005, os barcos brasileiros caaram

13.500 baleias, enquanto os barcos soviticosabateram 34.200 baleias.

Assim, conclumos que, entre 1965 e 2005, o nmerode baleias caadas foi aproximadamente:

13.500134.200136.140583.840

A taxa de variao da funo na empresa A Sy___Sx

5165230________30020

50,45, e seu coeficiente linear 30.

Assim, a funoA(x), que representa o valor pago, emreal, em funo da quilometragemx, A(x)53010,45x.A taxa de variao da funo na empresa B

Sy___Sx

5250250________50020

50,4, e seu coeficiente linear 50.

Assim, a funo B(x), que representa o valor pago, em

real, em funo da quilometragemx, B(x)55010,4x.Logo, para rodar 400 km, a empresa A cobra, em real,A(400)53011805210, e a empresa B cobra, em real,B(400)55011605210.Alternativa c.

a) Como para 0