Anlise Numrica da Ductilidade de Prismas de Concreto Armado por meio de Modelos Constitutivos Elastoplsticos Andr Lus Gamino(1); Mnica Pinto Barbosa (2); (1) Engenheiro Civil, Mestre em Engenharia de Estruturas, Doutorando em Engenharia de Estruturas na Escola Politcnica da Universidade de So Paulo email: andre@dec.feis.unesp.br (2) Professora Adjunta, Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista email: mbarbosa@dec.feis.unesp.br Endereo para correspondncia: Av. Prof. Almeida Prado, Travessa 2, n. 271, Edifcio Paula Souza, Laboratrio de Mecnica Computacional (LMC) CEP 05508-900 So Paulo-SP Resumo Opresentetrabalhovisaquantificarnumericamenteaductilizaodeprismasdeseo retangular de concreto armado utilizando-se dois modelos reolgicos elastoplsticos para osmateriaisconstituintes:omodeloelastoplsticoperfeitoparaoaoeomodelo elastoplstico de Drucker-Prager para o concreto. Paratantoutilizou-seoprogramacomputacionalbaseadonoMtodosdosElementos Finitos(MEF)denominadoCASTEM2000queforadesenvolvidopeloDpartementde McaniqueetdeTechnologie(DMT)duCommissariatFranaislEnergieAtomique (CEA). Asrespostasnumricasalcanadasforamconfrontadascomresultadosexperimentais obtidosporYAZZAR(2000)paradoisgruposdeprismas:oprimeirocomresistncia compresso do concreto igual a 50MPa e taxas volumtricas de armadura transversal de 0%, 1,02%, 2,03% e 2,71%; o segundo com resistncia compresso do concreto igual a 75MPa e taxas volumtricas de armadura transversal igual a 0%, 1,04% e 2,78%. Posteriormente,simulou-seoutroconjuntodeprismascomvalorderesistncia compresso de 100MPa e taxas volumtricas de armadura transversal variando entre 0%, 1,02%, 2,03% e 2,71%. Osresultadosobtidosmostramqueparaosprismassemarmaduraoaumentoda resistnciacompressodoconcretoproporcionouumadiminuiodesuacapacidade resistenteequeparaprismasdotadosdetaxasvolumtricasdearmaduratransversal semelhantesoaumentodaresistnciacompressodoconcretoocasionouuma diminuiodacapacidadededeformaoinelsticadosmesmosretratadapela minorao das deformaes ltimas alcanadas. V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto1 1Introduo A natureza da runa, frgil ou dctil, em estruturas de concreto armado vem a ser um dos principaisassuntosrelacionadossegurana.Oselementosestruturaisdevemser projetadosparaquesoframgrandesdeformaesedeslocamentosnoscasosemque haja a possibilidade de colapso local ou global da estrutura a fim de que se possa antever este tipo de fenmeno com o intuito de salvar vidas. Vriossoostrabalhosrecentementelanadoscomunidadecientficacomrelao ductilidadedevigasdeconcretoarmado,dentreosquaispode-secitaradissertaode GAMINO (2003) e as teses de BOUKARI (2000), BUCHAIM (2001) e BORGES (2002). No tocante pilares de concreto armado, novas alternativas foram surgindo ao longo dos anosafimdepromoverummaiorconfinamentodestetipodeelementoestruturaltais como encamisamento com tubos de ao FERNANDES (2002), pilares encamisados com compsitosdefibradecarbonoCARRAZEDOetal.(2002)oumesmopilares encamisados com concreto de alto desempenho TAKEUTI e HANAI (2002). Opresentetrabalhotemporobjetivoquantificarnumericamenteosmecanismosde colapsoemprismasdeseoretangulardeconcretoarmado,validandoosmodelos constitutivos adotados por meio de resultados experimentais obtidos por YAZZAR (2000). Apresenta-senositenssubseqentes,osmodelosreolgicosadotadoseosresultados obtidos nas simulaes numricas. 2Modelos Constitutivos 2.1Concreto Omodeloreolgicoutilizadoparaomaterialconcretoforaomodeloelastoplsticode Drucker-Prager. Trata-se de um modelo combinado que procura retratar o comportamento domaterialconcretoquandosolicitado,definindodoistrechosdistintosnacurvatenso-deformao,umelsticoeoutroplstico,ocorrendoportantodeformaeselsticase inelsticas (residuais). O modelo de Drucker-Prager foi formulado em 1952 e pode ser visto como uma simples modificaodocritriodevonMises,incluindo-seainflunciadapressohidrosttica, segundo a Equao 1. ( ) 0 k J I fdp 2 1= + = (Equao 1) DeumaoutramaneiraocritriodeelastoplasticidadedeDrucker-Pragerpodeser expresso em funo de uma inequao que correlaciona os invariantes correspondentes s tenses principais que ocorrem no material e sua resistncia compresso segundo a Equao 2. ( ) ( ) ( [ ]21 323 222 1 23 2 1 1c 1 261JIf AI J 3 + + = + + = +) (Equao 2) sendoI1eJ2osinvariantes,1,2e3astensesprincipaisefcatensode ruptura do concreto em compresso simples. A Figura 1 traz a representao grfica da superfcie de plasticidade no plano 1-2 ondeftatensolimitedetrao,fcatensolimitedecompressoefbca tenso limite de bicompresso. V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto2 Figura 1 Superfcie de plastificao segundo o critrio de Drucker-Prager A Figura 2 mostra representao do critrio de Ducker-Prager na seo anti-esfrica. Figura 2 Representao do critrio de Drucker-Prager na seo anti-esfrica 2.2Ao Omodeloreolgicoadotadoparaomaterialaoomodeloelastoplsticoperfeito.Tal modelo pode ser representado por um corpo associado em srie com uma mola de rigidez igual ao mdulo de elasticidade longitudinal do material que desliza sobre uma superfcie, sendo a fora de atrito entre o corpo e a superfcie a tenso de escoamento do material conforme ilustra a Figura 3. tf12ftf bcbcf cf f c01233'''V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto3 Figura 3 Modelo elastoplstico perfeito TensoDeformao pyEyE1 3Mtodo de Soluo de Sistemas No-Lineares Omtodonumricoincrementaleiterativodesoluodesistemas no-lineares adotado fora o mtodo de Newton-Raphson ilustrado na Figura 4. Neste mtodo uma correo de equilbrioviamatrizderigidezintroduzidasobreaforaincrementalutilizando procedimentos iterativos. Figura 4 Mtodo de Newton-Raphson Todosessescritriosnumricosencontram-senocdigodeclculoCASTEM2000, adotado para as simulaes numricas dos prismas de concreto armado. ForaDeslocamentoi+1FiFiDi+1D[k]atualizada a cada fora incrementalTV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto4 4Ductilidade dos Materiais 4.1Concreto Noconcreto,aductilidadepodeseravaliadaatravsdecurvasdotipotenso-deformao.Pode-secitarotrabalhoefetuadoporPINTOJNIOR(1992)ondeforam realizadostrsensaiosparaadeterminaodetaisdiagramasemconcretoscom diferentesvaloresderesistnciacompressoconformeilustraaFigura5ecujos resultados encontram-se na Tabela 1. Tabela 1 Caractersticas dos concretos ensaiados por Pinto Jnior (1992) Concretofc (MPa)cmx () A62,52,10 B82,41,88 C73,92,16 Analisando a Figura 5 observam-se que concretos com resistncias superiores (concreto B) possuem curvas tenso-deformao mais acentuadas e lineares quando comparados concretos de resistncias inferiores (concreto A). Assim, conclui-se que o concreto A poder sofrer um amplo intervalo de deformaes para pequenos acrscimos de tenso, caracterizando uma ruptura do tipo dctil. Emoutraspalavraspode-seafirmarqueconcretosconvencionaistendemaapresentar ductilidadesuperiorfrenteaosconcretosdealtodesempenho.Salienta-se,noentanto, que esta observao plenamente vlida somente para o material concreto, no podendo ser estendida necessariamente para prismas de concreto armado convencional e de alto desempenho. Figura 5 Diagramas tenso-deformao obtidos por PINTO JNIOR (1992) 4.2Ao 8060402000 0,5 1,0 1,5 2,0ABCc (MPa)c000(Oaoummaterialqueapresentarupturadotipodctil.Estaductilidadepodeser avaliadaatravsdondicedeencruamentoeobtidoatravsdarelaoentreas tensesltimafuedeescoamentofysegundoaEquao3aliadodeformao correspondente tenso ltima conforme ilustra a Figura 6. V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto5 yueff= (Equao 3) Figura 6 Diagrama tenso-deformao do ao classe A ffs (MPa)s000(uyy u5Ductilidade de Prismas de Concreto Armado Acurvatenso-deformaocaractersticadeprismasdeconcretoarmadoidntica obtida para pilares conforme a Figura 7. Figura 7 Curva tenso-deformao de prismas de concreto armado (modificado de KARABINIS e KIOUSIS, 1996) Vale ressaltar que nas simulaes numricas obteve-se os trechos 0-1 (trecho linear) e 1-2(trechofortementeno-linear)umavezquenofoipossvelobterascurvasde 001234Trecho 0 - 1: ElasticidadeTrecho 1 - 2: EndurecimentoTrecho 2 - 3: Amolecimento IntensoTrecho 2 - 3: Amolecimento lentoV Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto6 amolecimentodoelementoestrutural,caracterizadapeloconjuntodedeformaes decorrentes da tenso ltima alcanada. Analogamenteaocasodolevantamentodacapacidadededeformaoinelsticado material concreto, avaliou-se a ductilidade dos prismas atravs de dois indicadores: Deformao ltima alcanada Forma das curvas tenso-deformao (mais ngremes ou mais espraiadas) A ductilizao dos prismas de concreto armado foi quantificada variando-se a resistncia compresso do concreto e s taxas volumtricas de armadura transversal. 6Resultados Obtidos A Tabela 2 ilustra as caractersticas fsicas e mecnicas dos prismas de concreto armado ensaiadosporYAZZAR(2000).Valeressaltarquenoforamefetuadosensaios experimentais para o levantamento de propriedades mecnicas do concreto como mdulo deelasticidadelongitudinaleresistnciatrao,sendoqueestesvaloresforam adotadosnoprogramacomputacional atravs das expresses propostas pela NBR 6118 (2001). Experinciasanterioresdosautoresmostramqueaadoodestesvaloresnas simulaesnumricasproduzemalgumasdiscrepnciasentreosresultados experimentais e as respostas numricas uma vez que os valores adotados no podem ser necessariamente os que realmente pertenciam ao tipo de concreto utilizado. Tabela 2 Propriedades fsicas e mecnicas dos prismas ensaiados por YAZZAR (2000) PrismaBase (cm)Altura (cm)s,v (%)fc (MPa) 10 21,04 3 15 x 1530 2,78 75 40 51,02 62,03 7 20 x 2040 2,71 50 As figuras posteriores ilustram as curvas tenso-deformao obtidas experimentalmente e numericamente para os prismas relacionados na Tabela 2. Prisma 101002003004005006007008009000,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)Num Exp Figura 8 Curva tenso-deformao obtida para o Prisma 1 V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto7 Prisma 201002003004005006007008009000,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)Exp Num Figura 9 Curvas tenso-deformao obtidas para o Prisma 2 Prisma 301002003004005006007008009001000110012000,00 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)Exp Num Figura 10 Curvas tenso-deformao obtidas para o Prisma 3 Prisma 40501001502002503003504004505005500,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)Num Exp Figura 11 Curvas tenso-deformao obtidas para o Prisma 4 V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto8 Prisma 501002003004005006007008009000,00 0,03 0,05 0,08 0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)Exp Num Figura 12 Curvas tenso-deformao obtidas para o Prisma 5 Prisma 601002003004005006007008009000,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)Exp Num Figura 13 Curvas tenso-deformao obtidas para o Prisma 6 Prisma 701002003004005006007008009000,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)Exp Num Figura 14 Curvas tenso-deformao obtidas para o Prisma 7 V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto9 Osresultadosobtidosapontamboacorrelaoentreascurvastenso-deformao obtidas experimentalmente e numericamente para os Prismas 4, 6 e 7 em detrimento aos demais.Estadiscrepnciapodeterocorridodevidoanorealizaodeensaios experimentais para a determinao do mdulo de elasticidade longitudinal e resistncia traodosconcretosutilizados,valoresestesqueforamestimadoselanadosno programa computacional conforme dito anteriormente. AFigura15ilustraastensesnormaisyocorridasnoPrisma7,sendoyoeixo perpendicular ao topo e base do prisma. Figura 15 Tenses normais y no Prisma 7 (valores em MPa) A Figura 16 mostra a deformada geomtrica do Prisma 7. Figura 17 Deformada do Prisma 7 (fator de ampliao igual a 80) V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto10 Posteriormentesimulou-seoutrosprismasdeconcretoarmado,cujascaractersticas fsicas e mecnicas encontram-se na Tabela 3. Tabela 3 Propriedades fsicas e mecnicas dos prismas simulados PrismaBase (cm)Altura (cm)s,v (%)fc (MPa) 80 91,02 102,03 11 15 x 1530 2,71 75 A Figura 18 ilustra os resultados obtidos. 050010001500200025000 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3Deformao (%)Tenso (kgf/cm2)2,71% 2,03% 1,02% 0%Figura 18 Curvas tenso-deformao obtidas para os Prismas 8, 9, 10 e 11 7Discusso da Ductilizao dos Prismas de Concreto Armado Comparando-seasFiguras8e10percebe-sequevariando-sesomenteataxa volumtricadearmaduratransversalemantendo-seinvariantestodososdemais parmetrosfsicosemecnicos,aumentossucessivosems,vproporcionamummaior confinamento do concreto e, conseqentemente maior ductilidade. Estamaiorductilidadepodeseravaliadapormeiodaobtenodeumacurvatenso-deformaomaissuaveecommaiordeformaoltima,notificadanaFigura10em detrimento s curvas apresentadas na Figura 8. Esta mesma linha de tendncia pode ser observada na sucesso de curvas obtidas para os Prismas 4, 5, 6 e 7. Comparando-seosPrismas3e7percebe-sequeparataxasvolumtricasdearmadura transversalsemelhantes,oaumentodaresistnciacompressodoconcretoprovocou uma diminuio da ductilidade dos prismas. Para o caso dos Prismas 8, 9, 10 e 11nota-se claramente o aumento da capacidade de deformaoinelsticadosprismasmedidaemqueamplia-seoconfinamento proporcionado pelo aumento de s,v. Comparando-seasFiguras8,11e18nota-sequeparaosprismassemarmadurade confinamentooaumentodaresistnciacompressodoconcretoproporcionouum comportamento mais frgil aos mesmos. Este trabalho proporcionou uma avaliao da ductilidade de prismas de concreto armado, variando-se fc e s,v. Entretanto,pode-sesugerirparaacontinuidadedassimulaesnumricas,aavaliao do mecanismo de colapso para prismas circulares e comparar com os resultados obtidos V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto11 para os prismas de seo retangular e ainda avaliar a influncia do efeito de escala sobre tal mecanismo. 8Concluses Aps apresentados os resultados numricos das simulaes, pode-se concluir que: Variando-sesomenteataxavolumtricadearmaduratransversalemantendo-se invariantestodososdemaisparmetrosfsicosemecnicos,aumentossucessivosem s,v proporcionam um maior confinamento do concreto e maior ductilidade; Parataxasvolumtricasdearmaduratransversalsemelhantes,oaumentoda resistnciacompressodoconcretoprovocouumadiminuiodaductilidadedos prismas; Para o caso dos Prismas 8, 9, 10 e 11 nota-se claramente o aumento da capacidade de deformaoinelsticadosprismasmedidaemqueamplia-seoconfinamento proporcionado pelo aumento de s,v; Paraosprismassemarmaduradeconfinamentooaumentodaresistncia compresso do concreto proporcionou um comportamento mais frgil aos mesmos. 9Bibliografia ASSOCIAOBRASILEIRADENORMASTCNICAS,ProjetoeExecuodeObras em Concreto Armado. Projeto de Reviso da NBR 6118, Rio de Janeiro, Brasil, 186 p., 2001. BORGES,J.U.A.,AnlisedoComportamentodeVigasdeConcretodeAlto Desempenho por meio da Mecnica da Fratura. Tese de Doutorado, Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, EPUSP, 280p., 2002. BOUKARI,S.,ContributionaLEtudedesPotentialitesduBtonArmdeHautes PerformancesparSimulationNumriqueaLAidedesElementsFinis.Tesede Doutorado, INSA, FRANA, 134p., 2000. BUCHAIM,R.,AInflunciadaNoLinearidadeFsicadoConcretoArmadona RigidezFlexoenaCapacidadedeRotaoPlstica.TesedeDoutorado,Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, EPUSP, 260 p., 2001. CABRAL, J. P., Sobre a Integrao de Tenses na Anlise de Slidos Elastoplsticos PerfeitosemEstadoPlanodeDeformaes.DissertaodeMestrado,Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, EPUSP, 96 p., 1992. CARRAZEDO,R.,HANAI,J.B.,TAKEUTI,A.R.,EfeitosdoConfinamentoemPilares CircularesdeConcretoArmadoEncamisadoscomCompsitosdeFibrade Carbono.In:44oCongressoBrasileirodoConcreto,Ibracon,2002,BeloHorizonte-MG. CDROM, 2002. ESSAWY,A.S.,EL-HAWARY,M.,StrengthandDuctilityofSpirallyReinforced RectangularConcreteColumns.ConstructionandBuildingMaterials,vol.12,n.1,pp. 31-37, 1998. FERNANDES, J.F., Estudo do Critrio de Projeto para Pilares Mistos. Revista Ibracon, pp. 19-26, Abril/Junho, 2002. V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto12 GAMINO,A.L.,AnliseNumricadaDuctilidadedeVigasdeConcretoArmado ConvencionaledeAltoDesempenho.DissertaodeMestrado,Faculdadede Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista, FEIS, Unesp, 121p., 2003. KARABINIS,A.I.,KIOUSIS,P.D.,PlasticityComputationsfortheDesignofthe DuctilityofCircularConcreteColumns.ComputersandStructures,vol.60,n.5,pp. 825-835, 1996. LIU,J.,FOSTER,S.J.,AThree-DimensionalFiniteElementModelforConfined Concrete Structures. Computers and Structures, vol. 77, pp. 441-451, 2000. PINTOJNIOR,N.O.,FlexodeVigasdeConcretodeAltaResistncia.Tesede Doutorado, Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, EPUSP, 286 p., 1992. TAKEUTI, A.R., HANAI, J.B., Avaliao do Comportamento Estrutural de Pilares Pr-Carregados e Reforados por Encamisamento com Concreto de Alto Desempenho. In:XXXJornadasSul-AmericanasdeEngenharia Estrutural, 2002, Braslia-DF. CDROM, 2002. TREZOS,C.G.,ReliabilityConsiderationsontheConfinementofRCColumnsfor Ductility. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, vol. 16, pp. 1-8, 1997. YAZZAR, S.A., Estudio de la Ductilidad de Elementos Comprimidos Fabricados con HormigndeAltaResistenciaSometidosaCargasCclicasdeFlexin.Tesede Doutorado, Universidade Politcnica de Valncia, 149p., 2000. V Simpsio EPUSP sobre Estruturas de Concreto13