01.elementos de teoria conjuntos (1)

7/25/2019 01.Elementos de Teoria Conjuntos (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLNTICOFACULTAD DE CIENCIAS BSICAS

PROGRAMA DE CONTADURAMATEMTICAS BSICAS.

01.ELEMENTOS DE TEORA DE CONJUNTOS.

PROPOSICIN. Es toda expresin de la cual podemos decidir si es falsa o verdadera.

PROPOSICIONES FUNCIONALES Y CUANTIFICADORES.

Las proposiciones cuyo valor queda determinado de acuerdo con los elementos de un conjunto tomadocomo referencia, se llaman funcionales o abiertas.A) Hallar el valor de cada proposicin obtenida al sustituir la letra x por los elementos indicados:

i. x es un nmero par donde x puede ser 2, 3, 4.

ii. x representa la edad de un menor Colombianoiii. x es una ave, donde x es un sustantivo

iv. x es un animal domstico, donde x es un sustantivov. x es un mes del ao que empieza con a

vi. x es el nombre de una piezas dental del ser humano

B) Los valores que hacen verdadera a la proposicin funcional, forman un conjunto llamado solucin.Cules son stos conjuntos en los ejemplos anteriores?

Las proposiciones abiertas se simbolizan con p(x). Por ejemplo:

p(x) x2> 10, donde x puede ser 1, 2, 3, 4.

p(x) x es un mamfero

p(x) x es un Departamento de Colombia

1. Las letras x, y, z, que se utilizan para representar elementos no especficos del conjunto de refe-rencia, se denominan variables. Pero cuando nos refiramos a un elemento determinado o fijo,hablamos de constante.

Escribe dentro de los parntesis una C (constante) o una V (variable), cuando cada una de las

siguientes expresiones representen valores constantes o variables:

a.

La cantidad de llantas en cualquier moto. ( )b. La talla de los zapatos de una persona desde su nacimiento, hasta la edad adulta ( )c. La hora diaria de entrada a la Universidad. ( )

d. La hora de levantarse todos los das. ( )e. La cantidad de palabras que hablamos diariamente. ( )

f. El tiempo de duracin de cualquier encuentro de ftbol. ( )g. El costo de la Energa Elctrica en nuestra casa, durante cada mes del ao. ( )

2. Cuando usamos la palabra Todos para referirnos a una coleccin de objetos, estamos haciendo

alusin a cada uno de ellos o a cualquiera de ellos. Las palabras todos, para todo, para cual-quiera, se usan como sinnimas y se les denomina cuantificador universal. Se le representa conel smbolo .

Ejemplos:

a.

Todo hombre es mortalb. Todo nmero real elevado al cuadrado es mayor que el nmero

Las anteriores proposiciones pueden simbolizarse de la siguiente manera:

c. Escogemos H = {ser hombre} y p(x) x es mortal: (x H)(p(x))

d. Escogemos R = {ser nmero real} y p(x) x al cuadrado es mayor que x: (x

R)(p(x))


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Elementos de teora de conjuntos. 2

3. Las expresiones existe un, hay un, para algunos, se usan como sinnimas y se les llama cuanti-ficador existencial. Se le representa con el smbolo .Ejemplos:

a. Existen nmeros naturales impares

b. Algunos mamferos son voladoresEstas proposiciones pueden simbolizarse de la siguiente manera:

a.

Escogemos N = {ser nmero natural} y p(x) x es impar: ( x N)(p(x))b. Escogemos M = {ser mamfero} y p(x) x es volador: (x M)(p(x))4. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones:

a. Todo tringulo es equiltero.b. Existen tringulos rectos.

c. Todos los taxis son de color amarillo.d. Algunos estudiantes de la Facultad de la Universidad del Atlntico viven en pueblos.

5. Negacin de cuantificadores. Consideremos los siguientes enunciados:

a. Todos los mamferos son voladores. Simbolizada: (x M)(p(x)), donde M = {mam-

fero} y p(x) x es volador

b. Existen nmeros pares que son primos. Simbolizada: (x P)(p(x)), donde P = {n-

meros pares} y p(x) x es nmero primoVamos a negar cada una de ellas:

a.

No ocurre que, todos los mamferos son voladores. Esta expresin es equivalente a de-cir: existen mamferos que no son voladores, que simbolizada es: (x M)( p(x))b. No ocurre que, existen nmeros pares que son primos. Esta expresin es equivalente a

decir: Todas los nmeros pares no son primos, que simbolizada es: (x P)( p(x))

Simbolizar y negar cada una las siguientes proposiciones:1. Todo alimento es perecedero.

2. Existen gobiernos que respetan la libertad de prensa.3. Algn nmero natural es divisible por 3.

4. Todos los cuadrpedos son vertebrados.5. Algunos animales son agresivos.

6. Todas las palabras con acento en la ltima slaba son agudas.

INTRODUCCIN A LA TEORA DE CONJUNTOS.

Los objetos que se estudian en las diferentes disciplinas del conocimiento, pueden agruparse en categorasdenominadas clases o conjuntos. Las clases son agrupaciones de objetos de una misma naturaleza, una

misma esencia.La idea de conjunto nos la proporciona toda coleccin de objetos. Un conjunto queda determinado si po-

demos decidir si un objeto es o no parte de l. Los objetos son denominados elementos o miembros.Generalmente se usan letras maysculas para designar a los conjuntos y minsculas para los objetos.

Se aes un objeto de un conjunto A, se escribe aA y se lee: apertenece a A, aes un elemento de

A, aest en A; en caso contrario se escribe aA y se lee ano pertenece a A.Ejemplos:

A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6, 8, }

C = {Activo, Pasivo, Capital}

D = { x / x es un nmero impar}

E = { x /x es un accionista de Ecopetrol}Los conjuntos pueden expresarse de dos modos:

a. Por extensin o tabulacin: se indica cada uno de los elementos que conforman al conjunto. Los

tres primeros ejemplos anteriores son de este caso.b. Por descripcin o comprensin: se indica una cualidad o caracterstica que cumple cada uno de

los integrantes del grupo. Los dos ltimos ejemplos anteriores corresponden a este caso.


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ACTIVIDADES.Escribe por comprensin:

a. A = {a, b, c}b. B = {amarillo, azul, rojo}

c. C = {5, 10, 15, 20,}d. D = {4}

e.

E = {Martes, Mircoles}f. F = {Los seores Polo, Caro

y Ruiz, socios de la empresaHilos del Sur}

Escribe por extensin:

a. A = { x / x5 = 0}b. B = { x / x2= 9}

c. C = { x / x es una vocal de la palabra amor}d. D = { x / x es un nmero natural menor que 7}

e.

E = { x / 2x = 8}f. F = { x / x3=8}

TIPOS DE CONJUNTOS. Los conjuntos que carecen de elementos se denominan VACIOSy se les representa con la letra

griega (fi).

Cuando la cantidad de objetos que tiene un conjunto puede expresarse mediante un nmero natu-ral, se dice que el conjunto es FINITO; en caso contrario se dice que es INFINITO. Cuando tie-nen un solo elemento se denominan UNITARIOS.

ACTIVIDADES.Cules de los siguientes conjuntos son vacos o unitarios?

a. A = { x / x2= 4 y x es impar}b. B = { x / x3 = 0}

c. C = { x / x es un nmero natural entre 0 y 1}d. D = { x / x es una vocal de la palabra dos}

De los siguientes conjuntos, cul es finito y cul infinito?e. A = { 1, 2, 3,.999}

f. B = { x / x2> 25}g. C = { x / x es un nmero negativo}

h. D = { x / x es un libro publicado entre los aos de 1990 y 2007}Clasifica en unitario o vaco los siguientes conjuntos:

a) A = {x / x es par y primo}b) B = {x / x es impar y par}

c) C = {x / x es un idioma cursado en este semestre}d) D = {x / x es profesor de contabilidad en este semestre}

e) E = {x / x + 2 = 5}f) F = {x / x es un entero entre 5 y 6}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. Dos conjuntos son iguales cuando todo elemento de uno es elemento del otro. Si A y B son dos

conjuntos iguales, se escribe A = B.Ejemplos:

a. {1, 2, 3, 4} = {4, 1, 3, 2}

b. {x / x es un nmero natural impar} = {1, 3, 5,}

Si A y B no son iguales, pero Todos los elementos de A estn en B, se dice que A es un subcon-

junto propio de B y se escribe A B.

Ejemplos:c. Dados A = { 2, 4} y B = {1, 2, 3, 4,5}, se tiene que A Bd. C = {x / x es un nmero natural par} y D = {x / x es un nmero natural}, se cum-

ple que CD


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ACTIVIDADES.

1. Dados A = {2, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {3, 4,5}, D = {3, 4} y E = {0, 1, 2, 3, 4}, escribe dentro de

los parntesis la letra F (falso) o la letra V(verdad)

a. A B ( ) c. D B ( ) e. B E ( ) g. D C ( )

b. A E ( ) d. C E ( ) f. A C ( ) h. E D ( )

2.

Para cada par de conjuntos dados, indicar cul contiene al otro:

a. A = {x / x es un nmero par} y B = {x / x es un nmero natural}b. C = {x / x es un nmero primo menor que 15} y D = {x / x es un nmero natural impar

menor que 16}c. E = {x / x es un mltiplo de 5} y F = {x / x es un mltiplo de 10}

3. Dados R = {x / x2+ x = 0}, S = {x / x2= x}, T = {0, 1} y W = {0,1}, escribe el signo = o :

a. R ..S c. R .. W e. S . W

b. R ..T d. S T f. T W

4. Dado el siguiente diagrama, escribir F o V:

UC B

A

a. B C ( )

b. A B ( )

c. B U ( )

d. B A ( )

5. Dado los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}, escribir TODOS sus Subconjuntos. Contar el

nmero de subconjuntos de cada uno de ellos y sugerir una expresin que nos permita determinarla cantidad de subconjuntos de uno dado.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.

Generalmente estamos interesados en referirnos a grupos grandes que tengan a todos los objetos que se

estudian en forma particular, estos grupos se denominan UNIVERSALES o referenciales, porque sern losque nos sirvan para realizar el anlisis de diferentes situaciones.

EJEMPLOS DE CLASES UNIVERSALES:

En Ciencias Naturales: Seres vivos, animales domsticos, rboles, carnvoros, etc. En Ciencias Sociales: Pases de habla hispana, ciudades con ms de un milln de habitantes, tra-

bajadores, deportistas, ros de Colombia, etc.

En Matemticas: Nmeros Reales, cuadrilteros, polgonos, etc.

EnEspaol: Verbos, oraciones, palabras trislabas, etc.DIAGRAMAS.Es costumbre emplear figuras geomtricas (cuadrados, rectngulos, crculos, etc.) para representar a las

diversas clases que se estudian. A dichas figuras se les llama diagramas de Venn.EJEMPLOS:

1. Considerando como universo el combustible vehicular (C), y los dos ms empleados en nuestromedio, la gasolina (A) y el Gas natural (B), tendremos la siguiente representacin:


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C

B

A4

31 2

En la regin 4 se considera que se hallan los vehculos que no usan ni gasolina ni gas para movili-zarse.

En la regin 1 se encuentran nicamente los vehculos que emplean el Gas.En la regin 2 se representa a los vehculos que usan los dos tipos de combustible.

En la regin 3, se considera estn nicamente los vehculos que se movilizan empleando gasolina.

2. Puede ocurrir que los objetos de una clase se encuentren todos dentro de otra clase ms amplia. SiV representa a todos los vegetales; la letra A, a los rboles y la M a los rboles de mango, tendre-

mos la siguiente situacin:

V

A

M

ACTIVIDADES.1. Para cada uno de los siguientes conjuntos, escribir un conjunto referencial:

a) A = {2, 4, 6, 8, 10} U =

b) B = {contabilidad, administracin, matemtica} U =c) C = {El Heraldo, La Libertad, ADN} U =

2.

Construir un diagrama que exprese las relaciones lgicas entre las siguientes clases indicadas. Nume-

rar las regiones y describir cada una de ellas:

a) Animales vertebrados (V), animales mamferos (M) y animales domsticos (D).b) Barranquilleros (B), Colombianos(C), Americanos(A).

c) Aves(A), pjaros (P), canarios (C).d) Materiales impresos (M), Peridicos (P), Libros (L).

e) Colombianos (C), Investigadores (I), Personas (P).

f)

Tringulos (T), Cuadrilteros (C), Polgonos (P)3. En la siguiente tabla se resumen los resultados de respuestas a la entrevista hecha a seis personas que

aspiran a ingresar a una empresa X:

a. Escribir por extensin y comprensin un conjunto universal.

b. Determinar la cantidad d elementos que hay en los siguientes conjuntos:

i. = { }ii. = { }

iii. = { }

Nombre Sueldo que aspira Edad Estado civil Habla ingls Tiene auto

Efran Ramrez 2 millones 31 casado Si No

Luis Polo 1.5 millones 30 soltero Si Si

Ana Garca 2.5 millones 28 casada No Si

Ral Prez 1.5 millones 32 soltero Si No

Carmen Cano 2 millones 30 soltero No No


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iv. = { }v. = { 30 }

c. Da ejemplo de conjuntos de personas de sexo masculino que carezcan de elementos.

Estudiaremos las siguientes operaciones entre conjuntos:

4. Complemento. Si U representa el conjunto Universal, y A es un subconjunto de U, el complemento deA con relacin a U, representado con A, es un conjunto formado por los elementos de U que no estn

en A.

Por descripcin se escribe: A = {x / x U x A}.

Con diagrama se representa mediante la siguiente ilustracin:

UA

A' es lo rayado

5. Unin. Si A y B son dos conjuntos, la unin de ellos, representada con A B, es el conjunto formadopor los elementos de A o los de B, o de ambos.

Por comprensin se escribe: A B = {x / x A x B}Con diagrama se representa mediante la siguiente ilustracin:

6.

Interseccin. La interseccin de dos conjuntos A y B, representada por A B, es un conjunto consti-tuido por los objetos que simultneamente estn en A y en B.

Por comprensin se escribe: A B = {x / x A x B}

Con diagrama se representa mediante la siguiente ilustracin:

7. Producto cartesiano. Si A y B son dos conjuntos, el producto cartesiano entre ellos, representado porA x B, es un conjunto de pares ordenados (dos elementos en los cuales se distingue claramente el pri-

mero del segundo) tal que la primera componente est en A y la segunda en B.Por comprensin se escribe: A x B = {(x, y) / x A y B}Estas parejas se representan en un plano, as:


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Eje y o Eje de Ordenadas

Eje x o ej e de ab scis

P(x,y)

A(x,0 )

B(0,y)

I CuadranteII Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante

o

ACTIVIDADES.

1. Dados U = {1, 2, 3,,9}, A = {1, 3, 6, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 8}, C = {3, 7, 9}, hallar:

a. (A B) C c. C e. C Bb. (A C)(B C) d. (C B) f. (A)

2. De acuerdo con el siguiente diagrama:

U

R S32

1

4

Indica las regiones que integran a los siguientes

conjuntos:

a. R S

b. R Sc. S

d. (R S)

e. R S

f. (R S)

g.

RS

3. Sita en un plano cartesiano las siguientes parejas de nmeros:A(2,1), B(7,1), C(7, 3), D(2, 0), E(3, 7), F(0, - ) y G(5,5)

NMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTOEl nmero de elementos que tiene launinentre dos conjuntos, lo podemos determinar si observamos elsiguiente diagrama:

En l aparecen las regiones

que integran a cada con-

junto, las cuales mostramosen la tabla:

Conjuntos A B A B A B U

Regiones R1,R2 R2,R3 R1,R2,R3 R2 R1,R2,R3,R4


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1 + 2 + = ( ) = (), 1 + 2(), 2 + ( ), 2 En sntesis:n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Siguiendo un proceso similar encontramos para tres conjuntos A, B y C:n(A BC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) - n(A C) - n(B C) + n(A B C)

Ejemplo:

Se entrevista a 2000 personas con el propsito de conocer sus hbitos televisivos durante el fin de semana

pasada. Se encontr que:580 vieron programas Deportivos (D)

840 vieron programas Noticiosos (N).920 vieron programas Humorsticos (H)

260 vieron programas Deportivos y Noticiosos.220 vieron programas Deportivos y Humorsticos

300 vieron programas Noticiosos y Humorsticos.100 vieron los tres tipos de programas.

a) Cuntas personas vieron solo programas deportivos? Slo noticiosos? Slo humorsticos?b) Cuntas personas vieron solo programas deportivos y noticiosos?

c) Cuntas personas vieron programas noticiosos o humorsticos o ambos?d) Cuntas personas vieron al menos uno de los tres programas?

e) Cuntas personas no vieron ninguno de estos programas?

Solucin: Elaboramos un diagrama, identificando las ocho regiones

Confeccionamos la siguiente tabla:

Re-gin

No de elementos Razn

5 100 D N H

4 200 N H tiene 300 elementos

6 120 D H tiene 220 elementos

2 160 D N tiene260 elementos

7 500 H tiene 920 y en R1,R2,R3 hay

4603 380 N tiene 840 y en R1,R2,R4 hay

460

1 200 D tiene 580 y en R1,R3,R4 hay380

8 340 Las primeras siete regiones tienen1660 y U tiene 2000


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Del diagrama y la tabla, podemos responder los interrogantes planteados:

a) Slo deporte: 200 personas (R1). Slo noticias: 380 (R3). Slo humor: 500 (R7).b) Slo deporte y noticias: 160 (R2).

c) Slo noticias, o, humor, o ambos: 1460 (R2, R3, R4, R5, R6, R7).d) Al menos uno de los tres: 1660 (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7)

e) Ninguno de los tres programas: 340 (R8).

ACTIVIDADES.1. En el siguiente diagrama G es un conjunto de personas que padecen Gripa y R de Resfriado. U es el

conjunto de todas las personas entrevistadas. Dar una interpretacin verbal de los elementos correspon-dientes a los conjuntos de las cuatro regiones.

2. Teniendo en cuenta el diagrama del ejemplo y cambiando la D por la A, la N por C, la H con T, en los

que cada uno de estos conjuntos estn definidos as:U = {x/ x es un estudiante de esta Universidad}

A = {x/ x presenci una prueba atltica}C = {x/ x asisti a un concierto}

T = {x/ x vio una obra de teatro}Interpretar verbalmente los elementos representados por las ocho regiones.

3. Una persona ingiri en el desayuno, durante el mes pasado, queso o carne (o ambos).Si la carne la consume durante 25 das y el queso durante 18 das, cuntas maanas come ambos ali-

mentos?4. Todos los estudiantes de un primer semestre en cierta Universidad, compran entradas para encuentros

de futbol, as:30 para el partido del mircoles.

35 para el partido del domingo.15 para ambos partidos.

Cuntos estudiantes hay en dicho grupo?

5.

Un grupo de 1000 personas recibe dosis suplementaria de vitamina C, para determinar su influencia enlos resfriados y estados gripales. Se detecta que 300 personas tuvieron durante el periodo en el cual to-maron la vitamina, uno o ms resfriados; 100 padecieron de gripa y80 tuvieron tanto resfriado como

gripa.a) Ilustra con un diagrama esta situacin.

b) Cuntas personas no padecieron estas afecciones?c) Cuntas personas padecieron de resfriados pero no de gripa? De gripa pero no de resfriado?

6. Se interroga a 1000 personas para conocer su gusto respecto a tres clases de bebidas:175 compran de la marca A.

220 compran de la marca B.150 compran de la marca C.

50 compran de las marcas A y B.75 compran de las marcas A y C.60 compran de las marcas B y C

20 compran de las tres marcas.a) Cuntas personas compran slo la marca A?

b) Cuntas compran solo las marcas B y C?c) Cuntas compran A o B o ambas?

d) Cuntas compran al menos una de las tres marcas?e) cuntas no compran de estas marcas?


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7. Se hicieron tres preguntas a 500 trabajadores de una empresa, con relacin a sus experiencias dentro de

ella:400 estaban de acuerdo con los salarios devengados.

300 estaban de acuerdo con los estmulos brindados por la empresa.380 estaban de acuerdo con la seguridad dentro de la empresa.

250 estaban de acuerdo con los salarios y los estmulos.320 estaban de acuerdo con los salarios y la seguridad.

200 estaban de acuerdo con los estmulos y la seguridad.180 estaban de acuerdo en los tres aspectos.

Determinar el porcentaje de trabajadores satisfechos:a) Slo con el salario.

b) Slo con los estmulos.c) Satisfechos con los tres aspectos.

8. La siguiente tabla resume los resultados de una encuesta sobre el t ipo de transporte pblico usado confrecuencia por ciertas familias:

Familia 1 2 3 4 5 6 7 8

Transporte B B,T T N B,T B T N

Si: B significa buses, T taxis y N, ninguno de stos:a) Construye un diagrama de Venn donde se resuma dicha informacin.

b) Cules familias utilizaron nicamente un tipo de transporte?c) Qu porcentaje de familias encuestadas no us estos tipos de transporte?

01.elementos de teoria conjuntos (1)

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