Primeira Avaliacao de Teoria dos Numeros

Problema 1 Usando inducao prove que 1010n ≡ 4(mod 7), para todo n ≥ 1. (2,5 ptos)

Sugestao: Use o pequeno teorema de Fermat.

Problema 2 Resolva:

(a) Encontre o menor numero natural n tal que n! e divisıvel por 990. (1 pto)

(b) Os numeros a e b satisfazem 56a = 65b. Prove que a+ b e composto. (1 pto)

(c) Uma equacao do 2o grau, cujos coeficientes sao todos primos, pode apresentar duas

raızes iguais? Justifique. (1 pto)

Problema 3 Encontre o resto da divisao de 722010 + 702011 por 71. (2 ptos)

Problema 4 Resolva:

(a) Encontre um numero natural x, tal que 7x ≡ 11(mod 17). (1 pto)

(b) Encontre o resto da divisao de

1010 + 10100 + 101000 + · · ·+ 1010.000.000.000

por 7. (2 ptos)