01 - introdução a condução

Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013

Conceitos e Definições Básicas de Transferência de Calor

Definição de Calor,Condução, Convecção e Radiação

Prof. Msc. Pedro Marcelo Alves Ferreira PintoEngenharia Aeronáutica


� Com relação aos processos de transferência de energia, em um sistema

ou entre dois ou mais sistemas, existem basicamente três tipos de

processos de transferência de calor:

● Condução : processo de transferência de energia que ocorre dentro de

meio estacionário , que pode ser um sólido, ou um fluido líquido ou

gasoso, em virtude da diferença de temperatura ao longo do meio ;

● Convecção : processo de transferência de energia que ocorre entre

dois ou mais meios em contato direto , estacionários ou em movimento,

em virtude da diferença de temperatura entre os meios ;

● Radiação : processo de transferência de energia que ocorre entre dois

ou mais meios sem contato direto , estacionários ou em movimento, em

virtude da diferença de temperatura entre os meios ;

Processos de Transferência de Calor





Processos de Transferência de Calor por Condução, C onvecção e Radiação




� Em processos de transferência de calor comumente são adotados os

valores referentes às taxas de transferência de calor , ou seja, as

quantidade de calor por unidade de tempo, representadas pelo ponto

sobre a notação de calor Q, em unidade Watt cujo símbolo é W;

� Matematicamente, a taxa de transferência de calor corresponde ao

incremento de calor dQ por incremento de tempo dt :

dt

dQQ =&

� As taxas de transferência de calor podem ser apresentadas ainda em

função da transferência de calor por unidade de massa m, nesse caso

representada pela notação q;

taxa de calor [ J/s ] ou [ W ]




� A taxa de transferência de calor por unidade massa é dada por:

m

Qq

&

& =

� Mas ainda, a taxa de transferência de calor pode ser representada

também pela taxa de calor por unidade de comprimento L (Q’) ou pela

taxa de calor por unidade de área A (Q”):

L

QQ

&& ='

A

QQ

&& ="

taxa de calor por comprimento [ W/m ]

taxa de calor por área [ W/m2 ]

taxa de calor por massa [ J/kg.s ] ou [ W/kg ]


Introdução a Condução Processo de Condução de Calor,

Condução de Calor em Placas Planas,Condução de Calor em Tubos e Esferas,

Condutividade Térmica em Série e Paralelo

Prof. Msc. Pedro Marcelo Alves Ferreira PintoEngenharia Mecânica

Introdução a Condução


Processo de Transferência de Calor por Condução

� O processo de condução pode ser visualizado como a transferência de

energia de partículas mais energéticas para partículas menos energética,

dentro de um único meio , devido a interações entre elas;

� Nesse caso, considerando que uma das faces da superfície do meio

esteja a uma temperatura T1, maior que a temperatura da outra face T2,

existirá transferência de calor ao longo do meio no sentido de T1 para T2;

T1

T2

Q




� Em condições experimentais verifica-se que o Fluxo de Calor ou a taxa

de calor por condução por unidade de área que atravessa um meio, ou

substância, é diretamente proporcional a diferença de temperatura do

meio:

( )12" TT

A

QQ −∝=

&&

� Entretanto, para duas substâncias diferentes, verifica-se que para uma

mesma diferença de temperatura , a taxa de transferência de calor é

diferente em cada substância;

� Por exemplo, para uma mesma diferença de temperatura, a taxa de

calor por condução no cobre será diferente da taxa de calor por condução

no alumínio;




� Em condições experimentais verifica-se também que o Fluxo de Calor ou

a taxa de calor por condução por unidade de área que atravessa um

meio, ou substância, é inversamente proporcional ao comprimento (L)

do meio:

LA

QQ

1 " ∝=&

&

� Dessa forma, para uma mesma substância , quanto maior for o

comprimento do meio (comprimento da direção do processo de

condução), menor será a taxa de condução de calor;

� Entretanto, para substâncias diferentes de mesmo comprimento verifica-

se que a condução de calor também é diferente, ou seja, a condução no

cobre e no alumínio serão diferentes para um mesmo comprimento;




� Esse fato comprova que a taxa de calor por condução por área ou

Fluxo de calor, depende de uma constante de proporcionalidade,

específica para cada substância, a qual é denominada condutividade

térmica , expressa pela notação k;

� A condutividade térmica corresponde a taxa de calor que a substância é

capaz de conduzir por unidade de comprimento por unidade de

temperatura, expressa em unidade W/m.K ;

( )L

TTk

A

QQ" 12 −==

&&

Lei de Fourier (estabelece que o fluxo de calor é

diretamente proporcional a temperatura e inversamente proporcional ao comprimento)




materialcondutividade

térmica (W/m.K)

prata 426

cobre 398

alumínio 237

ferro 80

água destilada 0,61

fibra de vidro padrão 0,046

espuma de poliestireno 0,033

ar atmosférico puro 0,026

polipropileno 0,25

Condutividade Térmica de Alguns Materiais a 300K



Exemplo 1: Considerando uma sala contendo uma janela de vidro. A temperatura

na face interna da janela é de 20ºC (293K) e a temperatura na face externa é 10ºC

(283K). A sala e o ambiente externo estão separados por uma janela de vidro com

5mm (0,005m) de espessura e condutividade térmica igual a 1,4W/m.K. A janela de

vidro possui dimensões de 1m de altura por 0,5m de largura. Pede-se:

a) determine o fluxo de calor por condução que é transferido da sala para o

ambiente através da janela de vidro;

b) determine o calor por condução que é transferido da sala para o ambiente

através da janela de vidro;

K283K293 21 =>= TT

Condução de Calor em Placas Planas



resolução:

a) determine o fluxo de calor por condução que é transferido da sala para o

ambiente através da janela de vidro;

( ) ( ) 212 W/m2800005,0

2932834,1 −=−=−=

L

TTk Q"&

b) determine o calor por condução que é transferido da sala para o ambiente

através da janela de vidro;

W14005012800 −=⋅⋅−== ,AQQ "&&




Exemplo 2: Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m

de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de

25 cm de espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 W/m.k

e a área das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das

paredes pode estar até a 40 oC em um dia de verão. Desprezando a troca de

calor pelo piso e pelo teto, que estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído

da sala e a potência requerida para o condicionador de ar ( em HP ).


m

mcmL

kmWk

kT

kT

3156 : sala

25,025

./14,0

15,295

15,313

2

1

××==

==

=



resolução:

a) Determinar a área total das paredes da sala;

b) Determinar o Calor por condução da sala

b) determinar a potência requerida pelo condicionador de ar, sabendo que 1HP

equivale a 746 W. ;


( )L

TTAKQ 12.

−=&



� Para o caso de placas planas, como mostrado abaixo, o processo de

condução de calor ao longo da placa pode ser visualizado em termos do

decremento de temperatura dT em função do incremento de comprimento

linear dx ao longo da placa

Q&




� Escrevendo a Lei de Fourier para a condução e introduzido a relação

entre os incrementos de temperatura e comprimento:

L

TTk

A

QQ 12"

−==&

&

� Reescrevendo para a taxa de calor na placa plana:

L

TTAkQ 12

−=&


Equação da taxa de condução para uma placa plana



� Para o caso de várias placas planas combinadas, pode-se determinar o

calor por condução através das placas utilizando a analogia com a

diferença de potencial elétrico;

� Reescrevendo a Lei de Fourier para a condução de calor em termos de

uma única fração para a diferença de temperatura:

( )12

TT

L

AkQ −=&

� Como o denominador da equação acima é expresso por constantes, essa

combinação de constantes equivale a resistência térmica da placa, ou

seja, a resistência a condução de calor;

Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas

( )12

1TT

Ak

LQ −=&



� Dessa forma, fazendo a analogia com a corrente elétrica, dada em função

de uma diferença de potencial elétrico (U) e uma resistência elétrica (R):

( )12

1TT

Ak

LQ −=&

� A resistência térmica da condução de calor em uma parede plana pode

ser interpretada como a resistência elétrica em um circuito elétrico

( )12 1

UUR

i −=⇒=− 12 iRUU




� Considerando um sistema de 3 (três) placas planas combinadas

linearmente , submetidas em um dos lados a uma fonte de calor de

temperatura constante T1 e no lado oposto temperatura constante T4;

� Cada placa possui valores característico de comprimento (L1, L2 e L3) e

de condutividade térmica (k1, k2 e k3):

L L L

1

2 3

k k k

1

2 3

q.

T

TT

1

23

4T

Q&




� O taxa de calor por condução que atravessa a parede composta pode ser

obtido em cada uma das paredes planas individualmente:

( )121

11 TTL

AkQ −=&

( )232

22 TTL

AkQ −=&

( )343

33 TTL

AkQ −=&

11

112

Ak

LQTT

&

=−

22

223

Ak

LQTT

&

=−

33

334

Ak

LQTT

&

=−

ou

ou

ou




� Somando as diferenças de temperatura para todas as parcelas da taxa

de calor por condução na parede composta e isolando a taxa de

calor por condução:

( ) ( ) ( )33

3

22

2

11

1342312

Ak

LQ

Ak

LQ

Ak

LQTTTTTT

&&&

++=−+−+−

++=−

33

3

22

2

11

114

Ak

L

Ak

L

Ak

LQTT &

++

−=

33

3

22

2

11

1

14

Ak

L

Ak

L

Ak

L

TTQ&




� Reescrevendo em termos das resistências térmicas obtidas em analogia

as resistências elétricas:

( )321

14

33

3

22

2

11

1

14

RRR

TT

Ak

L

Ak

L

Ak

L

TTQ

++−=

++

−=&

� A equação acima demonstra que para a configuração de placas planas

combinadas linearmente , a resistência térmica equivalente das placas

(Req) corresponde a resistência elétrica de uma associação em série :

321

14

eq RRR

TT

R

TQ Total

++−=∆=&




� Considerando um sistema de 2 (três) placas planas combinadas

sobrepostas , submetidas em um dos lados a uma fonte de calor de

temperatura constante T1 e no lado oposto temperatura constante T2;

� Os comprimentos das placas são iguais (L1 e L2), entretanto, cada placa

possui condutividade térmica diferente (k1 e k2):

Q&




� A taxa de calor por condução que atravessa a parede composta pode ser

obtido em cada uma das paredes planas individualmente:

( )121

111 TT

L

AkQ −=&

( )122

222 TT

L

AkQ −=&

11

1112

Ak

LQTT

&

=−

22

2212

Ak

LQTT

&

=−

ou

ou

� A taxa de calor por condução total na parede composta é dada por:

21 QQQ &&& +=




� Substituindo as equações da taxa de calor em cada parede e colocando a

diferença em evidência na equação:

( ) ( ) ( )122

22

1

1112

2

2212

1

1121 TT

L

Ak

L

AkTT

L

AkTT

L

AkQQQ −

+=−+−=+= &&&

� Introduzindo a resistência térmica para cada placa plana, como obtido

através da analogia com resistências elétricas:

Rk A

LL

k A 11 ==




� Substituindo as relações de resistência térmicas para cada placa:

( ) ( )1221

122

22

1

1121

11 TT

RRTT

L

Ak

L

AkQQQ −

+=−

+=+= &&&

� A equação acima demonstra que para a configuração de placas planas

combinadas sobrepostas , a resistência térmica equivalente das placas

(Req) corresponde a resistência elétrica de uma associação em pararelo :

( )1221

Totaleq

11

1

TTRR

TR

Q −

+=∆

=&





exemplo de cálculo de condução de calor via resistências tér micas

Considerando uma parede composta por 7 partes (enumeradas de a até g), isolada

termicamente na parte superior e inferior, com temperaturas e dimensões

apresentadas na figura abaixo. A largura da parede é de 10m. Determine a taxa de


30cm 20cm 30cm

1000K

300K

Q.

120cm

20cm

20cm

40cm

60cm

W/m.K1

W/m.K2

W/m.K5,0

W/m.K20

W/m.K30

W/m.K40

W/m.K80

=

======

g

f

e

d

c

b

a

k

k

k

k

k

k

k



� Para o caso de um tubo formado por um cilindro vazado, como mostrado

abaixo, considerando que a parede interna possui raio interno r1 e esta a

uma temperatura T1, maior que a temperatura da parede externa T2 que

possui raio externo r2.

Condução de Calor em Tubos Cilíndricos




� Escrevendo a Lei de Fourier para a taxa de calor por condução,

introduzindo os incrementos de temperatura e de posição radial, e

também a área da parede interna do tubo:

dr

dTLrk

dr

dTAk

dx

dTAkQ 2 π===&

� Separando as variáveis posição radial e temperatura na equação acima,

em função dos respectivos incrementos:

dTLkdrr

Q 2 1

π=&

LrA 2 π=




� Integrando ambos os lados da equação:

∫∫ = dTLkdrr

Q 2 1

π&

( ) ( )1212 2 lnln TTLkrrQ −=− π&

( )121

2 2 ln TTLkr

rQ −= π&

� Dessa forma, a taxa de calor em um tubo cilíndrico será dado por:

( )12

1

2

ln

2 TT

r

rLk

Q −= π&



� Para o caso de várias tubos cilíndricos combinadas, pode-se determinar o

calor por condução através de cada tubo utilizando a analogia com a

diferença de potencial elétrico;

� Reescrevendo a Lei de Fourier para a condução de calor em tubos

cilíndricos, conforme obtida anteriormente:

� Como o termo fora do parênteses na equação acima é expresso por

constantes, essa combinação de constantes equivale a resistência

térmica do tubo cilíndrico, ou seja, a resistência a condução de calor;

Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas

( )12

1

2

ln

2 TT

r

rLk

Q −= π&





� A resistência térmica da condução de calor em um tubo cilíndrico pode

ser interpretada como a resistência elétrica em um circuito elétrico

( )12 1

UUR

i −=⇒=− 12 iRUU

( )⇒−= 12

1

2

ln

2 TT

r

rLk

Qπ

&


Lk

r

r

R 2

ln 1

2

π=



Q&

� Considerando um sistema de 3 (três) tubos cilíndricos combinados

coaxialmente , submetidos internamente a uma fonte de calor de

temperatura constante T1 e no lado externo temperatura constante T4;

� Cada tubo cilíndrico possui valor característico de raio (r1, r2 e r3) e de

condutividade térmica (k1, k2 e k3):




� O taxa de calor por condução que atravessa o tubo composto pode ser

obtido em cada uma dos tubos cilíndricos individualmente:

ou

ou

ou


( )12

1

2

1 ln

2 TT

r

rLk

Q −= π&

( )23

2

3

2 ln

2 TT

r

rLk

Q −= π&

( )34

3

4

3 ln

2 TT

r

rLk

Q −= π&

1

2

112 ln

2 r

r

Lk

QTT

π&

=−

ln 2 2

3

223 r

r

Lk

QTT

π&

=−

ln 2 3

4

334 r

r

Lk

QTT

π&

=−



� Somando as diferenças de temperatura, para todas as parcelas da taxa

de calor por condução no tubo composto e isolando a taxa de


( ) ( ) ( )3

4

32

3

21

2

1342312 ln

2 ln

2 ln

2 r

r

Lk

Q

r

r

Lk

Q

r

r

Lk

QTTTTTT

πππ&&&

++=−+−+−

++

−=

Lk

r

r

Lk

r

r

Lk

r

rTT

Q

2

ln

2

ln

2

ln

3

3

4

2

2

3

1

1

2

14

πππ

&




� Reescrevendo em termos das resistências térmicas:

� Para a configuração de tubos combinados coaxialmente , a resistência

térmica equivalente (Req) corresponde a de uma associação em série :

321

14

eq RRR

TT

R

TQ Total

++−=∆=&

321

14

3

3

4

2

2

3

1

1

2

14

2

ln

2

ln

2

ln

RRR

TT

Lk

r

r

Lk

r

r

Lk

r

rTT

Q++

−=

++

−=

πππ

&


Lk

r

r

R 2

ln 1

2

π=




Considerando um tubo cilíndrico formado pela combinação de três tubos cilíndricos

dispostos coaxialmente. As paredes dos tubos possuem raios, em ordem

crescente de dentro para fora, de 15, 25, 45 e 50cm. A temperatura interna no tubo

é de 600K e a temperatura externa é de 300K. O comprimento de todos os tubos é

de 10m. Determine a taxa de calor por condução:

W/m.K1,0

W/m.K2,0

W/m.K5,0

3

2

1

=

=

=

k

k

k

Q&




� Para o caso de uma esfera oca, como mostrado abaixo, considerando que

a parede interna possui raio interno r1 e esta a uma temperatura T1, maior

que a temperatura da parede externa T2 que possui raio externo r2.

Condução de Calor em Cascas Esféricas

T2T1

r2r1



� Escrevendo a Lei de Fourier para a taxa de calor por condução,

introduzindo os incrementos de temperatura e de posição radial, e

também a área da parede interna da esfera:

dr

dTrk

dr

dTAk

dx

dTAkQ 4 2π===&

� Separando as variáveis posição radial e temperatura na equação acima,

em função dos respectivos incrementos:

dTkdrr

Q π 4 1

2

=&

2 4 rA π=




� Integrando ambos os lados da equação:

∫∫ = dTkdrr

Q 4 1

2

π&

( )122112

4 11

11

TTkrr

Qrr

Q −=

−=

−−− π&&

� Dessa forma, a taxa de calor por condução em uma esfera será dado por:

( )12

21

11

4 TT

rr

kQ −

−

= π&




� Para o caso de várias esferas combinadas, pode-se determinar o

calor por condução através de cada casca esférica utilizando a analogia

com a diferença de potencial elétrico;

� Reescrevendo a Lei de Fourier para a condução de calor em cascas

esféricas, conforme obtida anteriormente:

� Como o termo expresso pela fração na equação acima é expresso por

constantes, essa combinação de constantes equivale a resistência

térmica da casca esférica, ou seja, a resistência a condução de calor;

( )12

21

11

4 TT

rr

kQ −

−

= π&

Combinação de Cascas Esféricas via Resistências Tér micas





� A resistência térmica da condução de calor em uma esfera pode ser

interpretada como a resistência elétrica em um circuito elétrico

( )12 1

UUR

i −=⇒=− 12 iRUU

( )12

21

11

4 TT

rr

kQ −

−

= π&


k

rrR

4

11

21

π

−

=



� Considerando um sistema de 2 (duas) cascas esféricas combinadas

internamente , submetidos internamente a uma fonte de calor de

temperatura constante T1, e no lado externo, temperatura constante T3;

� Cada casca esférica possui valores característicos de raio (r1 e r2) e de

condutividade térmica (k1 e k2):




� A taxa de calor por condução que atravessa cada casca esférica pode ser

obtido em cada uma das cascas individualmente:

ou

ou

( )12

21

1 11

4 TT

rr

kQ −

−

= π&

( )23

32

2 11

4 TT

rr

kQ −

−

= π&

1

2112 4

11

k

rrQTT

π

−

=− &

2

3223 4

11

k

rrQTT

π

−

=− &




� Somando as diferenças de temperatura, para todas as parcelas da taxa

de calor por condução nas cascas esféricas e isolando a taxa de


( ) ( )2

32

1

212312 4

11

4

11

k

rrQ

k

rrQTTTT

ππ

−

+

−

=−+− &&

2

32

1

21

13

4

11

4

11

k

rr

k

rr

TTQ

ππ

−

+

−

−=&




� Reescrevendo em termos das resistências térmicas:

� Para a configuração de cascas esféricas combinadas , a resistência

térmica equivalente (Req) corresponde a de uma associação em série :

21

13

eq RR

TT

R

TQ Total

+−=∆=&

21

13

2

32

1

21

13

4

11

4

11 RR

TT

k

rr

k

rr

TTQ

+−=

−

+

−

−=

ππ

&





Considerando uma esfera formada pela combinação de duas esferas, uma dentro

da outra. As paredes das esferas possuem raios, em ordem crescente de dentro

para fora, de 200, 210 e 215cm. A temperatura interna na esfera é de 350K e a

temperatura externa é de 300K. Determine a taxa de calor por condução:

W/m.K1,0

W/m.K1

2

1

=

=

k

k


01 - introdução a condução

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