01 – apresentação aos guias de ondas metálicos

Universidade Estadual Paulista – UNESPFaculdade de Engenharia de Ilha Solteira - FEISDepartamento de Engenharia Elétrica - DEE

Ondas e Linhas de Comunicações

Capítulo 7 – Guias de Ondas Metálicos

Ilha Solteira 2021

01 – Apresentação aos Guias de OndasMetálicos

Ondas eletromagnéticas em guias de ondas metálicos

Em frequências muito elevadas, da ordem de dezenas de GHz, a potência eletromagnéticadeve ser transmitida por meio de guia de ondas, em vez de linhas TEM convencionais.

Quando a transmissão ocorre no interior de um guia condutor oco (ou preenchido com algum dielétrico), deve-se abandonar os conceitos de ondas de corrente e tensão, e usar os conceitos mais fundamentais, de campo eletromagnético e .

Na figura abaixo ilustra-se um guia de ondas metálico com seção transversal retangular:

O problema consiste em resolver a equação de onda para determinar o campo eletromag-nético que se propaga no interior do guia.

E

H

metal

dielectricμ0, ε=ε0εr

♣

Exemplo de circuito de microondas: radar (RAdio Detection And Ranging)

TR: Transmit-Receive – protege RxATR: Anti-Transmit-Receive – evita retorno ao Tx

♣

Guias de ondas: Curvaturas: Twisted:

Guias corrugados: Junção T: Curto-circuitos:

♣

Exemplo de uma estação transmissora de microondas:

WG

WG

WG

WG

WG

WG

WG

WG

WG

WG

WGWG

WG

WG

WG

WGWGWG

WG

♣

Exemplo de acopladores direcionais em microondas:Permitem extrair uma amostra de sinal, para efeitos de medição (frequencímetros, bolômetros) e controle.

Isoladores: protegem o gerador, impedindo retorno de ondas ao gerador

Exemplos de guias fendidos (slotted lines):

São inseridos entre dois trechos de guias de ondas, e usados como medidores de taxa de onda estacionária (SWR) e comprimento de onda guiado.

Deslocamento manual.Sintonia por parafuso.

Deslocamento manual.

Ao medidor de SWR

Ao medidor de SWR

Exemplo de um guia fendido (slotted line) com carruagem:O deslocamento da sonda é ajustado por engrenagem

Guia de ondas Ao medidor de SWR

Sonda

Carruagem Gerador

Exemplo de um experimento com microondas:

isolatorPIN-modulator +

directional coupler

slotted line

Frequencímetro de cavidade: inserido entre guias de ondas, permite a medição de frequências na faixa de GHz.

Ajuste do parafuso sem fim.

Escala graduada.

Antena corneta (horn antenna):

Junta rotaroria:Antena corneta + parábola:

Exemplo de um módulo didático de microondas 1:

Fonte klystron

Frequencímetro

WG

DetectorParafuso


Isolador

Guia fendido

Corneta

Frequencímetro

AcopladorWG

Detector


Isolador Guia fendido

Corneta

Frequencímetro


Corneta Corneta

Detector

Cargas casadas (50Ω):

baixa potência alta potência

Cargas sintonizáveis:

elemento dissipador de potência

Atenuador variável: reduz a potência da microondas

Atenuador variável de precisão: reduz a potência da microondas

Exemplo de um módulo didático de microondas:

Exemplo de medidor de SRW em microondas:(SWR = Standing Wave Ratio)

Defasador variável:

Defasador variável de precisão:

Parafuso casador de impedâncias:

Stub triplo:

Circuladores: Só permite a circulação de microondaspelos acessos 1 →2 →3 →1, nesta sequência.

Magic tee ou T-mágico: atua como uma espécie de ponte de Wheatstone.

02 – Classificação dos Modos Guiados

Considere-se a seguinte equação de Maxwell (lei de Faraday), na forma fasorial:

Admite-se que a onda se propaga na direção +z conforme (separação de variáveis):

onde γ é a constante de propagação.

Neste caso,

e, portanto

Com isso, a equação do rotacional torna-se

a partir da qual se obtêm:

E j Hωμ∇× = −

( , , ) ( , )ˆ ˆ ˆ[ ( , ) ( , ) ( , ) ]

z

zx y z

E x y z E x y eE x y x E x y y E x y z e

γ

γ

−

−

== + +

( , , ) ( , )

( , , )

zE x y z E x y ez

E x y z

γγ

γ

−∂ = −∂

= −

zγ∂ ≡ −

∂

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ/ / ( )x y z

x y z

x y zx y j H x H y H z

E E Eγ ωμ∂ ∂ ∂ ∂ − = − + +

♣

ˆ( , )xE x y x

ˆ( , )yE x y y

ˆ( , )zE x y z

ze γ−dependência com zdependência com x,y

zx y

Ej H Ey

ωμ γ∂− = +

∂z

x yEj H Ey

ωμ γ∂− = +

∂z

x yEj H Ey

ωμ γ∂− = −

∂

(1)

(2)

(3)

Por outro lado, da lei de Ampère:

obtêm-se(4)

(5)

(6)

A partir de (1) e (4) vem

H j Eωε∇× = +

zy x

Hj E Hx

ωε γ ∂− = +

∂yx

z

HHj Ey x

ωε∂∂

− = −∂ ∂

zx z

Hj E Hy

ωε γ∂− = +

∂

2 2

1 z zy y

z zy y

E Hj E Ej y xE HE E jy x

ωε γ γωμ

ω με γ γ ωμ

∂ ∂− = + + − ∂ ∂

∂ ∂− = + −

∂ ∂

♣

2 2z zy y

E HE E jy x

ω με γ γ ωμ∂ ∂− = + −

∂ ∂

Sendo K2=ω2με a constante de fase no espaço livre, obtém-se:

Chamando:

vem (7)

que exprime a componente transversal Ey em função das componentes longitudinais, Ez e Hz.

De forma análoga, obtêm-se, para as demais componentes:

(8)

(9)

(10)

2 2( ) z zy

E HK E jy x

γ γ ωμ∂ ∂− + = −

∂ ∂2 2 2 2 2cK Kγ γ ω με= + = +

2

1 z zy

c

H EE jx yK

ωμ γ ∂ ∂= − ∂ ∂

2

1 z zx

c

H EE jy xK

ωμ γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

2

1 z zx

c

E HH jy xK

ωε γ ∂ ∂= − ∂ ∂

2

1 z zy

c

E HH jx yK

ωε γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

K ω με= ±♣

2

1 z zx

c

H EE jy xK

ωμ γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

2

1 z zx

c

E HH jy xK

ωε γ ∂ ∂= − ∂ ∂

2

1 z zy

c

E HH jx yK

ωε γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

2

1 z zy

c

H EE jx yK

ωμ γ ∂ ∂= − ∂ ∂

Conclui-se, portanto, que conhecendo-se Ez e Hz, pode-se determinar as demais componentes do campo: os escalares Ez e Hz atuam como “funções potenciais”.

Com isto, nas próximas seções, investigam-se equações de onda em termos de Ez e Hz.

1o. Caso: Ondas TEM (Transversal Electromagnetic Modes)

Quando Ez=0 e Hz=0, todas as componentes do campo deveriam se anular, a menos quetambém seja nulo:

, , .

Esta é uma onda que se propaga com a mesma constante de fase de uma onda plana ilimitada num meio sem perdas.

continua...

0, 0z zE H= =

2cK

2 2 2 0cK Kγ= + = jK jγ ω με= ± = ± K ω με= ±

♣

Ou seja, , onde , independentemente das componentes longitudinais do guia .

Neste resultado não se leva em conta quaisquer configuração específica da LT, aplican-do-se à ondas TEM associadas a qualquer forma de guia (par de placas paralelas, linha bifilar, cabo coaxial, microstrip, etc).

ˆ ˆ( , , ) ( , ) [ ( , ) ( , ) ]jKz jKzx yE x y z E x y e E x y x E x y y e− −= = +

K ω με= ±

ˆ[ ( , ) 0]zE x y z =

♣

2o. Caso: Ondas TE (Transversal Electric Modes, Ez=0)

onde Hz deve ser determinado através de uma equação de onda.

Portanto, o escalar Hz se comporta como função potencial.

As componentes transversais (T) do campo são:

onde o fator e-γz foi omitido por simplicidade (ou então, considerando-se o plano z=0)

2

1 z zx

c

H EE jy xK

ωμ γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

2

1 z zx

c

E HH jy xK

ωε γ ∂ ∂= − ∂ ∂

2

1 z zy

c

E HH jx yK

ωε γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

2

1 z zy

c

H EE jx yK

ωμ γ ∂ ∂= − ∂ ∂

2z

xc

HjEyK

ωμ ∂= −

∂2

zy

c

HjExK

ωμ ∂=

∂ 2z

xc

HHxK

γ ∂= −

∂ 2z

yc

HHyK

γ ∂= −

∂

y

x

z

Ey

Ex

Hy

HxHz

ˆ ˆT x yE E x E y= +

ˆ ˆT x yH H x H y= +

♣

2o. Caso: Ondas TE (Transversal Electric Modes, Ez=0)y

x

z

Ey

Ex

Hy

HxHz


• TE

TH

•

Ponto de vista de traçado de raios: onda TE (incidência perpendicular)

O campo elétrico é totalmente transversal à direção de propagação (eixo z).O campo magnético exibe componente longitudinal Hz.

Reflexão interna total


ˆ, 0z zE E z= =

ˆ, 0z zH H z= ≠

♣

2z

xc

HjEyK

ωμ ∂= −

∂ 2z

yc

HjExK

ωμ ∂=

∂ 2z

xc

HHxK

γ ∂= −

∂ 2z

yc

HHyK

γ ∂= −

∂

2 ˆ ˆz zT

c

H HH x yx yK

γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

Portanto,

sendo é o gradiente transversal.

Por sua vez,

Da primeira equação:

então

2T T zc

H HKγ= − ∇

ˆ ˆT x yx y

∂ ∂∇ = +∂ ∂

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆ

T x y x y y x

z z

c

E E x E y E z y E z x z E x E y

H Hj z x yx yK

ωμ

= + = − × + × = × −

∂ ∂= × + ∂ ∂

2 ˆT T zc

jE z HKωμ= ×∇

2c

T z TK

H Hγ

∇ = −

ˆT TjE z Hωμγ

= − ×

♣

x

yz

3o. Caso: Ondas TM (Transversal Magnetic Modes, Hz=0)

onde Ez deve ser determinado através de uma equação de onda.

Portanto, Ez se comporta como função potencial.

Neste caso, mostra-se que

e também

2

1 z zx

c

H EE jy xK

ωμ γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

2

1 z zx

c

E HH jy xK

ωε γ ∂ ∂= − ∂ ∂

2

1 z zy

c

E HH jx yK

ωε γ ∂ ∂= − + ∂ ∂

2

1 z zy

c

H EE jx yK

ωμ γ ∂ ∂= − ∂ ∂

y

x

z

Ey

Ex

Hy

Hx

Ez

2z

xc

EExK

γ ∂= −

∂ 2z

yc

EEyK

γ ∂= −

∂ 2z

xc

EjHyK

ωε ∂=

∂ 2z

yc

EjHxK

ωε ∂= −

∂

2T T zc

E EKγ= − ∇

ˆT TjH z Eωεγ

= ×

♣

3o. Caso: Ondas TM (Transversal Electric Modes, Hz=0)

•

TE

TH

•Reflexão interna total

y

x

z

Ey

Ex

Hy

Hx

Ez



ˆ, 0z zE E z= ≠

ˆ, 0z zH H z= =

Ponto de vista de traçado de raios: onda TM (incidência paralela)

O campo magnético é totalmente transversal à direção de propagação (eixo z).O campo elétrico exibe componente longitudinal (Ez).

♣

Modos TE e TM:♣

03 – Guia de Ondas: Propagação versus Corte

Já foi demonstrado que, para σ=0 (sem perdas ôhmicas) e ρ=0 (sem cargas livres), e, na ausência de fontes, e devem satisfazer as equações de Helmholtz homogêneas:

onde .

Apesar destas equações terem sido deduzidas para onda plana ilimitada, ainda se aplicam, mas agora, e , ou seja, exibem uma dependência transversal.

As soluções, para guias de ondas, das equações de onda acima são do tipo:

sendo .

Contudo, lembra-se que todo o campo eletromagnético pode ser obtido a partir das componentes longitudinais Ez e Hz.

Assim, não é necessário resolver as equações de ondas para todas as componentes de campo, mas apenas para Ez e Hz, conforme o modo seja TM ou TE, respectivamente.

E

H

2 0E K E∇ + =

2 0H K H∇ + =

2 2K ω με=

0 ˆ( )z zT zE E e E E z eγ γ− −= = +

2 2 2 2c cK K Kγ ω με= ± − = ± −

0 ˆ( )z zT zH H e H H z eγ γ− −= = +

( , )E E x y=

( , )H H x y=

2 2 2 0cK Kγ= + = →

...meio sem perdas

♣

a) Frequência de corte ωc

i) Para frequências tais que , γ é imaginário, então (para β real):

e assim

uma onda progressiva na direção .

Portanto, quando ocorre propagação.

A constante de fase β é medida em rad/m.

ii) Por outro lado, se , γ é real e positivo, então (para α real):

e assim

um campo evanescente na direção z (não se propaga).

Portanto, quando ocorre corte.

O fator de atenuação α é medido em Np/m.

2 2cKω με >

0( ) cos( )e t E t zω β=

2 2 2cK Kω με= >

2 2cKω με <

0 0( ) Re{ }z z j tE E e e t E e eα α ωγ α − −= → = → =

0( ) cos( )ze t E e tα ω−=

2 2 2cK Kω με= <

z±

♣0

zE E e γ−= 2 2 2 2 ( )c cK K K jγ ω με α β= ± − = ± − = ± +

0 0( ) Re{ } Re{ }j z j t j z j tj E E e e t E e E e eβ ω β ωγ β= ± → = → = =

y

z0

e−α z, envoltória

Atenção: deve-se atentar ao fato desta atenuação acontecer num guia de ondas preenchido por dielétrico sem perdas (ver discussão mais detalhada nas próximas seções).

Na verdade, não está acontecendo atenuação por perdas dissipativas, mas sim, por reflexãode onda devido à sua rejeição pelo guia em corte.

Observe que é uma onda estacionária (não progressiva), como as estudadas no capítulo anterior, formada pela superposição de uma onda incidente, propagan-te, e outra refletida, contra-propagante.

0( ) cos( )ze t E e tα ω−=

Onda evanescente

Guia de ondas

♣

f > fc, propagação

f < fc, corte, atenuação

♣

O valor ω=ωc tal que define o limiar entre a condição de propagação ede não propagação no guia:

sendo ωc a frequência de corte, e é a velocidade da onda plana num meio ilimitado (μ,ε), do mesmo tipo que aquele que preenche o guia de ondas.

A frequência de corte está associada ao comprimento de onda de corte:

o qual é medido no ar, e corresponde ao maior comprimento de onda − gerado pela fonte de irradiação (gerador de microondas) que alimenta o WG − capaz de propagar no guia.

2 2 2cK Kω με= =

2 cc c p c

Kf v Kω π

με= = =

1/pv με=

pc

c

vf

λ =

♣

λc é medido no ar λc

λg guiado ≠ λc

Abaixo de fc nenhuma onda é acoplada ao guia de ondas.

i) O guia ideal (sem perdas) é aquele que permite a propagação sem atenuação para frequência acima da frequência de corte (ω>ωc).

Dado , então, para um guia preenchido com dielétrico

imaginário puro. Ainda,

ou então

No caso do guia oco:

sendo .

2 2cKγ ω με= ± −

2 2cK ω με<

2 22 2 2 2 21 1c c

c cp p

ffv v f

ωω πβ ω με ω με με ω ωω

= − = − = − = −

2 cc c p c

Kf v Kω π

με= = =

0 0

1 1 1p

r r r r

cvμε μ ε μ ε μ ε

= = =

22 1 cf

fπβλ

= −

2 2

0

2 21 1c cf ffc f fπ πβ

λ

= − = −

00

2K πλ

=

2

0 1 cfKf

β

→ = −

Ondaplana Fator de

correção

♣

Constantes de fase e de atenuação da onda guiada

2 2 2 2 2 2c c cK K j jγ ω με ω με ω με ω με β= ± − = ± − = ± − = ±

221 ,cfK K

fπβλ

= − =

Fator decorreção

Ondaplana

ii) Por outro lado, na condição de não propagação ou corte: (ω<ωc).

Dado , então, para um guia preenchido com dielétrico

real puro. Ainda,

ou então

No caso do guia oco:

para λc medido no ar.

2 2cKγ ω με= ± − 2 c

c c p cK

f v Kω πμε

= = =0 0

1 1 1p

r r r r

cvμε μ ε μ ε μ ε

= = =

2 2cK ω με>

2 2cγ ω με ω με α= − =

2 22 2 21 1c cc

p c p c

f fv v fω πωα με ω ω

ω

= − = − = −

22 1

c c

ff

παλ

= −

2 2 22 21 1 1c

cc c cc

f f f fKc f f f

π πα αλ

= − = − → = −

Fator decorreção

♣

221 ,c c

c c

fK Kf

παλ

= − =

Ondaplana

04 – Velocidades de Propagação

a) Velocidade de fase

0 0( ) Re{ } Re{ }j z j t j z j tj E E e e t E e E e eβ ω β ωγ β= → = → = =

A velocidade de fase caracteriza a rapidez do deslocamento da superfície equifásica da onda na direção de propagação.

Considerando uma onda propagando-se na direção +z, define-se a fase instantânea

, cuja derivada temporal é .

Assim, a velocidade de fase será:

Sendo , obtém-se

b β z

0i t zφ ω β= − = 0dzdt

ω β− =

pgdzvdt

ωβ

= =

2

1 c

p

fv fωβ

= −

2

1

ppg

c

vv

ff

=

−

Ondaplana

Fator decorreção

WG

♣

Como a raiz no denominador é menor que a unidade → vpg > vp .

No guia de onda oco → vpg > c (??)

A velocidade de fase não representa a velocidade da informação, mas sim, o deslocamento da superfície equifásica paralelamente à direção de propagação (z).

Usando traçado de raios no guia oco (vp=c)

analisam-se os seguintes casos:

vpg

vpθ

frente de onda plana

j ze β−β

Κb sinpgcv c

θ= ≥

Δt Δt Δt ΔtΔz1 Δz2 Δz3 Δz4

L L L Lc c c c

z

11pg

zv ct

Δ= =

Δ 2pgv< 3pgv< 4pgv<

vpg

♣2

1

ppg

c

vv

ff

=

−

, f>fc para haver guiamento

A velocidade de fase depende da direção em que a mesma é medida (no caso, direção z, a qual está angularmente deslocada em relação à direção de propagação da frente de onda plana).

Lembre-se que, no caso de onda plana ilimitada: , que varia linearmente com ω.

Por conta disso, a velocidade de fase não depende de ω, e resulta

igual à velocidade de grupo .

No entanto, como foi demonstrado, no guia de ondas: não é linear com ω.

Como consequência, as velocidades de fase não será constante, mas depende-rá de ω. Por causa disso, a velocidade de grupo no guia de ondas não seráigual à velocidade de fase, ou seja,

K με ω=1

pvKω ω

ω με με= = =

( )β β ω=

( ) ( )pg ggv vω ω≠

gv

( )pg pgv v ω=( )gg ggv v ω=

Δt Δt Δt ΔtΔz1 Δz2 Δz3 Δz4

L L L Lc c c c

z

11pg

zv ct

Δ= =

Δ 2pgv< 3pgv< 4pgv<

vpg♣

b) Velocidade de grupoA velocidade de grupo é a velocidade da informação, e, para sinais de banda estreita em

relação à portadora, pode ser calculada a partir de: , sendo ω0 a

frequência central ou frequência da portadora não modulada.

Como a expressão de β para o modo guiado é conhecida,

portanto,

Para o guia oco:

Como se observa, .

0

1

ggvω ω

βω

−

=

∂ = ∂

2

1 cgg p

fv v

f

= −

2

1 cgg

fv c c

f

= − ≤

2pg gg pv v v=

2

1

ppg

c

vv c

ff

= ≥

−

2 221 1c c

p p

ffv v f

ωω πβω

= − = −

♣

2

2

11

1

c

pc

p

vv

ωβ β ωω ω ω ω

ω

∂ ∂ = − = ∂ ∂ −

Nos capítulos anteriores vimos que as velocidades de fase e de grupo em canais (meios ou guias) TEM são iguais. Isto ocorre sempre que a constante de fase varia linearmente com a frequência de operação como, por exemplo, no caso da onda plana sem perdas ou na LT( e , respectivamente ).

Contudo, o mesmo não acontece no guia de ondas metálico, ou seja, β não é linear com ω.

Como consequência, essas velocidades não são iguais: .

Isto acontece em qualquer guia de ondas não TEM, onde os modos de propagação exibem componentes na direção longitudinal ao guia, sendo chamados modos TE (Ez=0), TM (Hz=0) ou híbridos (Ez=0 e Hz=0, simultaneamente). São exemplos desses guias: o guia de ondas metálico, a microstrip operando em alta frequência, a fibra óptica, guias ópticos planaresdentre vários outros.

2

1 c

pvωωβω

= −

2

1 cgg p

fv v

f

= −

2

1

ppg

c

vv

ff

=

−

K με ω=


K LC ω=

♣

05 – Equação de Onda para o WG

2 0E K E∇ + =

2 0H K H∇ + =

Sendo , tem-se que o laplaciano de será:

sendo o laplaciano transversal, e .

Portanto, , ou então

onde .

Analogamente,

ˆ ˆ ˆx y zE E x E y E z= + +

E

2 2 22 2 2 2

2 2 2

22

2

ˆ ˆ ˆx y z

T

E E x E y E z Ex y z

EEz

∂ ∂ ∂∇ = ∇ + ∇ + ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ +∂

2 22

2 2T x y∂ ∂∇ = +∂ ∂

22

2 ( ) ( )z

γ γ γ∂ = − − =∂

2 2 2 0T E E K Eγ∇ + + =

2 2 2( ) 0T E K Eγ∇ + + =

2 2 0T cE K E∇ + =

2 2 2cK Kγ= +

2 2 0T cH K H∇ + =

b) Equações de Ondas

2 2 0T cE K E∇ + =

2 2 0T cH K H∇ + =

Ambas as equações de onda devem ser satisfeitas pelas diversas componentes de e, porém, como só interessa Ez e Hz, tais equações de onda podem ser resolvidas

apenas estas componentes longitudinais:

TE: Hz≠0 →

TM: Ez≠0 →

duas equações escalares.

c) Solução das Equações de Ondas

Sendo , então, deve-se resolver a equação genérica:

E

H

2 2 0T z c zH K H∇ + =

2 2 0T z c zE K E∇ + =

para TEpara TM

z

z

Hu

E

=

2 2 0T cu K u∇ + =

2 22

2 2 0cu u K u

x y∂ ∂→ + + =∂ ∂

2 22

2 2 0cu u K u

x y∂ ∂→ + + =∂ ∂

Esta equação admite solução por separação de variáveis:

Substituindo u na equação diferencial parcial,

A partir daí, deduz-se que:

Para .

Com esta simplificação, as equações acima tornam-se equações diferenciais ordinárias, homogêneas e com coeficientes constantes.

( ) ( )u f x g y=

2 22

2 2 0cf fg f K f g

x x∂ ∂+ + =∂ ∂

2 22

2 2

1 1 0cf f K

f gx x∂ ∂→ + + =∂ ∂

22

2

1x

f Kf x

∂ = −∂

22

2

1y

g Kg x

∂ = −∂

2 2 2 2 2 2 2c x yK K K Kγ γ ω με= + = + = +

2 2 2cK Kγ= +

Ou seja,

Ambas as equações são simétricas e exibem soluções similares:

Portanto, a solução geral será:

Condições de contorno para o guia de ondas estabelecem quem das constantes A, B, Cou D são não-nulas, bem como, proporcionam expressões para Kx e Ky.

22

2

1x

f Kf x

∂ = −∂

22

2

1y

g Kg x

∂ = −∂

22

2 0xd f K fdx

+ =

22

2 0xd g K gdx

+ =

cos sinx xf A K x B K x= +

cos siny yg C K y D K y= +

( cos sin ) ( cos sin )x x y yu f g A K x B K x C K y D K y= = + × +

06 – Modos de propagação TM e TE

n

S(1)

(2) metal

ADENDO: Condição de contorno para onda TM

Neste caso, .

Lembra-se, do Eletromagnetismo, que na interface entre dois meios (1) e (2), ocorrem:

... na interface S.

Quando o meio (2) é metálico, ocorre σ=0 →

Então, na interface.

Com isto, a condição de contorno para onda TM será:

Ou seja, sobre S.

( , )zu E x y=

2 1ˆ ( ) sn D D ρ• − =

2 1ˆ ( ) 0n E E• − =

2 0c cJ JEσ

= = =∞

1 2ˆ ˆ 0n E n E× = × =

n

z

x

y

(1)

(2)metal

1 tangencialˆ 0 0n E E× = → =

0zE =

ADENDO: Condição de contorno para onda TE

Neste caso, .

As condições de contorno para e na interface são:

...sobre a interface S.

Sendo o meio (2) um condutor:

a qual implica em componente normal de nula sobre S.

Contudo, não dá para concluir que sobre S, pois, mesmo quando , sempre ocorre .

Como , sendo

então, ocorre

( , )zu H x y=B

H

2 1ˆ ( ) 0n B B• − =

2 1ˆ ( ) sn H H J× − =

2 2 2 20 0E E j B Bω= → ∇× = − → =

2 1 1ˆ ˆ ˆ0 0Hn B n B n• • •→ = = → =

dielectric

conductor

n

sJ

S

H

ˆ 0zHn • = 0zH ≠0zH =

1 T zH H H= +

2 2ˆ ˆ ˆ ˆz zT x y T z

c c

H HH H x H y x y Hx yK K

γ γ ∂ ∂= + = − + = − ∇ ∂ ∂

1ˆ 0Hn • =

1 T zH H H= +

1 (ˆ ˆ ) 0T zn H n H H• •= + =

então ocorre sobre S.

Como , sobre S, e assim sobre S.

Os vetores no produto escalar são paralelos, assim, a única possibilidade para este ser nulo é:

sobre S.

No caso do guia retangular isto é de fácil compreensão:

ˆ ˆ 0z Tn H n H⊥ → =

2ˆ ˆ0 0T z T zc

n H n HKγ

∇ = → ∇ =

0, ,zH n x yn

∂= =

∂

y

x

ˆ ˆn x=b

a 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz z zT z

H H Hn x n H x x yx y x

∂ ∂ ∂= → ∇ = + = ∂ ∂ ∂

2 2ˆ ˆ ˆ ˆz zT x y T z

c c

H HH H x H y x y Hx yK K

γ γ ∂ ∂= + = − + = − ∇ ∂ ∂

a) Modos TMmn

Nos casos de onda TM, u=Ez, e assim

sendo que as condições de contorno são:

Chamando-se , obtém-se

Além disso, em

Note-se que não é possível haver m=0 ou n=0, pois, neste caso, Ez(x,y)=0 seria nulo, zerando todo o campo eletromagnético. Assim,


( cos sin ) ( cos sin )z x x y yE A K x B K x C K y D K y= + × +

0 00 em

0 0z

x AE

y B= → =

= = → =

0 0E BD= ≠

0 sin( ) sin( )z x yE E K x K y=

sin( ) 0 , 1, 2,...

sin( 0) , 1, 2,...

x x

y y

mx a K a K many b K b K nb

π

π

= → = → = = = → = → = =

0( , ) sin( ) sin( ), , 0zm nE x y E x y m na bπ π= ≠

y

x

ˆ ˆn x=b

a 0

ˆ ˆn y=

Uma vez conhecido Ez(x,y), calculam-se as demais componentes do campo TM:

sendo γ=jβ para ω>ωc, ou, γ=α para ω<ωc.

A cada par (m,n) está associado uma solução para a equação de onda → modos TMmn.

A condição m=0 ou n=0 não é possível.

0( , ) sin( ) sin( ), , 0zm nE x y E x y m na bπ π= ≠

02( , ) cos( ) sin( )xc

m m nE x y E x ya bK a

π π πγ= −

02( , ) sin( ) cos( )yc

n m nE x y E x ya bK b

π π πγ= −

02( , ) sin( ) cos( )xc

n m nH x y j E x ya bK b

π π πωε=

02( , ) cos( ) sin( )yc

m m nH x y j E x ya bK a

π π πωε= −

2z

xc

EExK

γ ∂= −

∂ 2z

yc

EEyK

γ ∂= −

∂ 2z

xc

EjHyK

ωε ∂=

∂ 2z

yc

EjHxK

ωε ∂= −

∂

??cK =

xmKaπ= y

nKbπ=

2 2 2cK Kβ = −

2 2 2c x yK K K= +

• Cálculo de β para modos TETodas as componentes de campo demandam o conhecimento de Kc, o qual, por sua vez, depende de β.

Já foi deduzido que, num guia sem perdas e operando na condução (γ=jβ), tem-se

onde K é tal que , sendo λ o comprimento de onda para uma onda

plana se propagando num meio dielétrico ilimitado igual ao que preenche o guia.

Combinando essas informações, obtém-se

Ou, equivalentemente

22 2 2K πω με

λ = =

2 2 2 2 2( )cK K j Kγ β= + = + →

01 1p

r r r r

v c cf f f

λλμ ε ε ε

= = = =

2 2 22 2 m n

a bπ π πβλ

= − −

2 2 2cK K β= − →

2 2 2122 2m n

a bπ πβ π

λ = − −

a) Modo TM11

Exemplos de distribuições de campos TMmn

b) Modo TM21

b) Modos TEmn

Nos casos de onda TE, u=Hz, e assim

sendo que as condições de contorno são:

Chamando-se , obtém-se

Além disso,

Neste caso é possível haver m=0 ou n=0, mas não ambos, uma vez que Hz seria um campo eletrostático. Assim:


( cos sin ) ( cos sin )z x x y yH A K x B K x C K y D K y= + × + y

x

ˆ ˆn x=b

a 0

ˆ ˆn y=

0 00 em

0 0z x BH

y Dx= → =∂

= = → =∂

0 0H AC= ≠

0 cos( ) cos( )z x yH E K x K y=

sin( ) 0 , 0, 1, 2,...

sin( 0) , 0, 1, 2,...

x x

y y

mx a K a K many b K b K nb

π

π

= → = → = = = → = → = =

0zHx

∂= →

∂

0( , ) cos( ) cos( )zm nH x y H x ya bπ π=

Uma vez conhecido Hz(x,y), calculam-se as demais componentes de campo TE:

sendo γ=jβ para ω>ωc, ou, γ=α para ω<ωc.

A cada par (m,n) está associado uma solução para a equação de onda → modos TEmn.

É possível haver modos TE0n e TEm0, mas não TE00.

0( , ) cos( ) cos( )zm nH x y H x ya bπ π=

2z

xc

EExK

γ ∂= −

∂ 2z

yc

EEyK

γ ∂= −

∂ 2z

xc

EjHyK

ωε ∂=

∂ 2z

yc

EjHxK

ωε ∂= −

∂

02( , ) cos( ) sin( )xc

n m nE x y j H x ya bK b

π π πωμ=

02( , ) sin( ) cos( )yc

m m nE x y j H x ya bK a

π π πωμ= −

02( , ) sin( ) cos( )xc

m m nH x y H x ya bK a

π π πγ=

02( , ) cos( ) sin( )yc

n m nH x y H x ya bK b

π π πγ=

??cK =

• Cálculo de β para modos TMConforme foi deduzido, as expressões para Kx e Ky para os modos TE são as mesmas obtidas para os modos TM.

Então, a expressão de β para modos TE também é a mesma:

Uma vez calculado b, determina-se Kc e, a partir daí, as distribuições de campo podem ser desenhadas.

2 2 2122 2m n

a bπ πβ π

λ = − −

Modo TE10

Modo TE01

Exemplos de distribuições de campos TEmn

Modo TE11

07 – Comprimento de Onda de Corte versus Comprimento de Onda Guiado

Comprimento de onda de cortePara que uma radiação emanada de alguma fonte de microondas possa ser acoplada a um guia de ondas é necessário que o comprimento de onda de operação λ seja menor que o comprimento de onda de corte.

Para λ>λc → propagação.Para λ<λc → corte.

Se o meio ilimitado for o ar:

Cada modo TEmn/TMmn possui seu próprio comprimento de onda de corte, λc.

pc

vf

λ =

Medido no meio ilimitado, em geral, o ar

Aplica-se à onda plana

λ >λcλ< λc

propagação corte(μ,ε) (μ,ε)

1p

r r

cvμε μ ε

= =

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

c cc

c m n m na b a b

λ λπ π π π

= → = − −

onda plana onda plana

Comprimento de onda guiadoO comprimento de onda guiado refere-se ao período espacial na direção z.

Derivando-se a fase instantânea em relação a z, resulta:

Para Δφi=-2π rad, Δz=λg :

λg

0i t zφ ω β= − =

ii

dz

dzφ β φ β= − → Δ = − Δ

22 g gππ β λ λβ

− = − → =

2 221 1c c

p p

ffv v f

ωω πβω

= − = −

2g

πλβ

=

2 2

2 1

2 1 1

pg g

c c

p

vff ff

v f f

πλ λπ

= → =

− −

2 2

1 1g g

c

c

ff

λ λλ λ λλλ

= → = ≥

− −

pvf

λ =

Observe que: .

Como :

2 pgg g

vff f f

π ωλ λβ β

= × = → =

2pg gg pv v v=

2p

g gg

vv

fλ =

Para um guia oco: 0 002 2

01 1g g

c

c

ff

λ λλ λ λλλ

= → = ≥

− −

08 –Frequências de Corte de Modos TE e TM

2 2 2 2c cK K Kγ ω με= ± − = ± − 0

zE E e γ−=

Conforme já foi estudado, abaixo da frequência de corte f=fc, não é possível acoplar modos ao guia de ondas. Cada modo possui sua própria frequência de corte.

a) Assim, se então γ é imaginário, valendo para β real.

Nesta condição, podemos escrever: real, e o campoelétrico é uma onda progressiva da forma:

O sinal algébrico ( ) reflete o fato do WG ser um dispositivo recíproco.

b) Por outro lado, se então β é imaginário.

Nesta condição, podemos escrever que , para α real e positivo.

Assim:

Isto equivale a uma onda estacionária evanescente cuja amplitude decai exponencialmente com z, sendo α o coeficiente de atenuação.

c) Então, existe uma frequência ω=ωc tal que , e daí

2 2 2cK Kω με= > jγ β=

2 2 2 2 2c cK K K Kβ β= − → = ± −

2 2K ω με=

±0

j zE E e β±=

2 2 2cK Kω με = <

2 2cK K jβ α= − − = −

( )0 0 0 0

z j z j j z zE E e E e E e E eγ β α α− − − − −= = = =

2 2 2c cK Kωμε ω με= = =

2 cc c p c

Kf v Kω π

με= = =

Resumo:

i) Se ocorre real e o campo

é uma onda progressiva.

ii) Se ocorre imaginário e o campo

está no corte.

iii) Então corresponde ao limiar entre corte e

propagação. Esta frequência é chamada de frequência de corte:

iv) Além disso, no limiar entre corte e propagação ocorre , e daí, .

Assim, dizemos que o corte é caracterizado por ou por .

A condição é equivalente a não existência onda.

2 2 2 2c c cK Kω με ω με ω ω= > = → >

2 2 2 2c c cK Kω με ω με ω ω= = = → =

2 2cK Kβ = ± −

0j zE E e β±=

2 2 2 2c c cK Kω με ω με ω ω= < = → < 2 2

cK Kβ = ± −

0zE E e α−=

2 cc c p c

Kf v Kω π

με= = =

2 2cK K= 0β =

cω ω= 0β =

0β =

2 cc c p c

Kf v Kω π

με= = = 2 2 2

c x yK K K= +

Cálculo da frequência de corte

Como as expressões para Kx e Ky para os modos TE e TM são as mesmas, a análise a seguir é válida para ambos.

A frequência de corte será:

No vácuo, μr=1, εr=1, ,

2 22 2

c p c p x y pm nv K v K K va bπ πω = = + = +

xmKaπ= y

nKbπ=

2 2

2p

c

v m nfa b

→ = +

2 212c

r r

c m nfa bμ ε

→ = +

8

0 0

1 3 10 m/spv cμ ε

= = = ×

2 2

2cc m nf

a b → = +

Exemplo: Um guia de ondas oco, com a=5cm e b=2cm, possui

em f=15GHz. Pede-se para determinar:

a) Qual o modo que se propaga.

Trata-se de um modo TM, tal que:

.... Modo TM21.

b) O valor de β.

c) O valor da razão Ey/Ex.

(continua...)

0( , ) sin( ) sin( ), , 0zm nE x y E x y m na bπ π= ≠Modos TM:

( , ) 20sin(40 ) sin(50 ) V/m,j zzE x y x y e βπ π −=

2 240 2, 15 10 2 10

m m n nm na bπ π π ππ− −= = → = = → =

× ×

2 29

8

2 15 10 9,61 1 241, 4rad/m153 10

cfc fω πβ

× = − = − = ×

2 2 2 28

2 2

3 10 2 1 9,6GHz2 2 5 10 2 10cc m nf

a b − −

× = + = + = × ×

c) A expressão da razão Ey/Ex.

Para γ=jβ:

d) A velocidade de fase

e) A velocidade de grupo

(#####)

Modos TM:02( , ) cos( ) sin( )x

c

m m nE x y E x ya bK a

π π πγ= −

02( , ) sin( ) cos( )yc

n m nE x y E x ya bK b

π π πγ= −

2 2

( , ) 1 5 2 1tg( ) cotg( ) tg( ) cotg( )( , ) 2 2 5 10 2 10

y

x

E x y n a m nx y x yE x y m b a b

π π π π− −= =

× ×

( , )1,25tg(40 ) cotg(50 )

( , )y

x

E x yx y

E x yπ π=

88

2 2

3 10 3,9 10 m/s9,611 15

pg

c

cvff

×= = = × −−

2 2 8 28

8

(3 10 )1 2,3 10 m/s3,9 10

cgg

pg

f cv cf v

×= − = = = × ×

09 – Modo Fundamental TE10

Modo dominante TE10

O modo dominante corresponde ao modo que possui a menor frequência de corte numa dado guia de onda.

Como e, sendo a>b, o modo dominante possui m=1 e n=0, ou

seja, trata-se do modo TE10, cuja frequência de corte é calculada simplesmente por

O comprimento de onda de corte é

medidos no meio dielétrico ilimitado.

No caso do guia oco, vp=c, e

Portanto, o comprimento de onda de corte do modo dominante não depende da dimensão vertical “b”.

Note-se que, num dielétrico ocorre vp<c, e assim, um guia preenchido com dielétrico possui menor frequência de corte que um guia oco com as mesmas dimensões.

2 2

2p

c

v m nfa b

= +

2p

c

vf

a=

2pc

va

fλ = =

,2ccfa

= 2c aλ =

Ainda, o modo TE10 é tal que

e então, usando , vem

Ou então,

/ 2/ 2

pc

p

v aff v a

λλ

= =

2 2

p p

fv vω π π

λ= =

2 221 1c c

p

fv f

ωω πβω λ

= − = − →

2 2

101 12

2TE aβ π

λ = −

2 2

1012

2TEp

fv a

β π = −

2 221 1c c

p p

ffv v f

ωω πβω

= − = − →

A velocidade de fase será:

A velocidade de grupo:

O comprimento de onda guiado:

TE10 2 2

11 2

p ppg

c

v vv

faf

λ= =

−−

2 2

TE10 1 12

cgg p p

fv v v

f aλ = − = −

TE10 2

12

g

a

λλλ

= −

/ 2/ 2

pc

p

v aff v a

λλ

= =

Dispersão Modal

No Capítulo 4 se discutiu o fenômeno de dispersão cromática que, dentre outros efeitos, causa o problema do alargamento de pulsos e distorção de sinais analógicos propagando-se no canal de transmissão.

Um outro tipo de dispersão, que também pode causar alargamento de pulsos ou distorção de sinais transmitido,s é a chamada dispersão modal.

De fato, como foi mostrado, cada modo de propagação TE ou TM possui sua própria velocidade de propagação. Portanto, se um sinal de informação for acoplado a um guia de ondas multimodos, sua energia será distribuída entre os diferentes modos possíveis, de acordo com o grau de similaridade entre o perfil de campo eletromagnético gerado pela fonte de microondas e o perfil de cada modo guiado. Quanto maior a similaridade, maior a porcentagem de energia acoplada àquele modo.

Por isso, em telecomunicações, é importante se operar em regime monomodo, eliminando-se assim o problema da dispersão modal.

Por razões óbvias, o modo selecionado é o modo fundamental/dominante, TE10.

Portanto, justifica-se o estudo dos modos superiores de propagação, como foi realizado em seções anteriores, a fim de saber como evitá-los. Ou então, em casos particulares, para explorar suas características de distribuição de campo TE ou TM para serem exploradas na implementação de algum dispositivo prático de interesse.

Fazendo m=1 e n=0 nas expressões de campo do modo TE10 obtêm-se:

sendo γ=jβ. Como , então e

as únicas componentes do campo TE10 são:

02( , ) cos( ) sin( )xc

n m nE x y j H x ya bK b

π π πωμ=

02( , ) sin( ) cos( )yc

m m nE x y j H x ya bK a

π π πωμ= −

02( , ) sin( ) cos( )xc

m m nH x y H x ya bK a

π π πγ=

02( , ) cos( ) sin( )yc

n m nH x y H x ya bK b

π π πγ=

( , ) 0xE x y =

02( , ) sin( )yc

mE x y j H xaK a

π πωμ= −

02( , ) sin( )xc

mH x y j H xaK a

π πβ=

( , ) 0yH x y =

0( , ) cos( ) cos( )zm nH x y H x ya bπ π= 0( , ) cos( )zH x y H x

aπ=

0ynKbπ= = 2 2 2 2

c x y xK K K K= + = → c xmK Ka aπ π= = =

0( , ) sin( )yaE x y j H x

aπωμ

π= −

0( , ) sin( )xaH x y j H x

aπβ

π=

0( , ) cos( )zH x y H xaπ=

Exemplo: conformação de campo elétrico do modo TE10

No domínio do tempo, e, para γ=jβ, tem-se que a única componente de campo elétrico é

onde a dependência com e-jβz foi explicitada.

Em t=0, ocorre

cuja conformação pode ser desenhada no sistema (x,y,z).

0ˆ ˆ ˆRe{ } Re{ } Re{ sin( ) }j t j t j z j ty y

ae e y E e E e y j H x e e ya

ω ω β ωπωμπ

−= = = = −

/ 20 0ˆ ˆRe{ sin( ) } sin( ) cos( / 2)j j z j ta ae e H x e e y H x t z y

a aπ β ωπ ωμ πωμ ω β π

π π− −= = − −


aπωμ

π= −

0 ˆ( , , , ) sin( ) sin( )ae x y z t H x t z ya

ωμ π ω βπ

= −

0

sin( ) sin( )e x za aH

π βωμπ

= −

βz = -π/2

Em t=0:

π/2

π/2

π/2

βz=0βz=π/2

βz=πβz=3π/2

βz=2π

0


π βωμπ

= −


aπβ

π=

Exemplo: conformação de campo magnético transversal do modo TE10

No domínio do tempo, e, para γ=jβ, tem-se que o campo magnético transversal é


No domínio do tempo:

Em t=0, ocorre


( , ) 0yH x y =

0 ˆ( , ) sin( ) j zT

aH x y j H x e xa

βπβπ

−=

0( 90 )0 0ˆ ˆRe{ ) Re sin( ) sin( )sin( )j t j t z

T Ta ah H e H x e x H x t z x

a aω ω βπ πβ β ω β

π π− + = = = − −

0( , ) cos( )zH x y H xaπ=

0

ˆsin( )sin( )Th x z xa aH

π ββ

π

= +

Em t=0:

π/2

0


π βωμπ

= −

0


π ββ

π

= +

βz = -π/2βz=0

βz=π/2βz=π

βz=3π/2βz=2π

βz = -π/2βz=0

βz=π/2βz=π

βz=3π/2βz=2π


aπβ

π=

Exemplo: conformação de campo magnético longitudinal do modo TE10

No domínio do tempo, e, para γ=jβ, tem-se que o campo magnético longitudinal é


No domínio do tempo:

Em t=0, ocorre


( , ) 0yH x y = 0( , ) cos( )zH x y H xaπ=

0 ˆ( , ) cos( ) j zzH x y H x e z

aβπ −=

( )0 0ˆ ˆRe{ } Re cos( ) cos( )cos( )j t j t z

z zh H e H x e z H x t z za a

ω ω βπ π ω β− = = = −

0

ˆcos( )cos( )zh x z zH a

π β=

Em t=0:

0

ˆcos( )cos( )zh x z zH a

π β=

π/2

0


π βωμπ

= −

0


π ββ

π

= +

βz = -π/2βz=0

βz=π/2βz=π

βz=3π/2βz=2π

βz = -π/2βz=0

βz=π/2βz=π

βz=3π/2βz=2πβz = -π/2

βz=0βz=π/2

βz=πβz=3π/2

βz=2π

y

βz x

y

x

00βz

0

Outro ponto de vista:

0

sin( ) sin( )e

x za aH

π βωμ

π

=

Em t=0:

e, em βz=π/2rad. x

y

a

b

0

Modo TE10

x

y

a

b

0λg

Modo TE10

10 – Distribuição de cargas e correntes no modo TE10

y

βz x

y

x

00βz

0

Ey(x,y)

Distribuição de cargas e correntes (de condução e deslocamento:

Na interface entre a região dielétrica preenchendo o guia e as paredes metálicas, os campos elétrico e magnético devem cair abruptamente, de seus valores finitos no dielétrico, para zero nos condutores.

Estas descontinuidades dão origem a uma camada superficial com cargas ( ) e correntes ( ) elétricas na interface metálica:

onde = normal dirigida para a região dielétrica;= campo elétrico imediatamente antes da parede;= campo magnético imediatamente antes da parede.

Como , e o campo elétrico é nulo nas paredes laterais → só existe nas tampas inferior (y=0) e superior (y=b).

sρsj

ˆ ˆ ( )s sn d n eρ ε ρ= → =

ˆ sn h j× =

neh

ˆ/ /e ysρ

sρ

ρ

+ +++++ ++ +++++ ++ +++++ ++ +++++ +

+ +++++ +

x

y

a 0

bn n


ωμ π ω βπ

= −

] 00

0

ˆ ˆ ˆ( ) sin( ) sin( )

ˆsin( ) sin( )

s y

ay e y H x t z ya

a H x t z ya

ωμ πρ ε ε ω βπ

ωμε π ω βπ

== = −

= −

] 0ˆ ˆ( ) ( ) sin( ) sin( )s y by e a H x t z y

aωμε πρ ε ω β

π== − = − −

+ +++++ ++ +++++ ++ +++++ ++ +++++ +

+ +++++ +

ˆ ( )s n eρ ε=

x

y

a 0

bn n

λ

As densidades de corrente aparecem nas 4 paredes por que ocorre em cada parede (hx, hz).

Da condição de contorno deduz-se que:

h

ˆ sn h j× =

x

y

a 0

bn n

0ˆ ( )s T zy

j y h h=

= × +

0 00ˆ ˆ ˆsin( ) sin( ) cos( ) cos( )s y

aj y H x t z x H x t z za a

β π πω β ω βπ=

= × − − + −

0 00ˆˆsin( ) sin( ) cos( ) cos( )

ˆˆ

s y

z x

aj H x t z z H x t z xa a

j z j x


→ = − + −

= +


aπβ

π= 0( , ) cos( )zH x y H x

aπ=

a/2

( , ) 0yH x y =

0 00ˆ ˆˆ ˆsin( ) sin( ) cos( ) cos( )s z xy

aj H x t z z H x t z x j z j xa a


= − + − = +

Em t=0 e y=0 temos:

a)

b)

sin( )zj zβ∝ −

sin( )zj zβ∝ −sin( )x

aπ

βz xaa/200 π 2π

cos( )xj zβ∝

cos( ),0 / 2

xj zx a

β∝ +< <

cos( ),/ 2

xj za x a

β∝ −< <

βz xaa/200 π 2π

cos( )xaπ

0 00ˆ ˆˆ ˆsin( ) sin( ) cos( ) cos( )s z xy



= − + − = +

c)

Em t=0 e y=0:

/ 2 0 00

0 0

/200

ˆ ˆˆ ˆsin( ) sin( ) cos( ) cos( )

ˆˆsin( ) sin( ) cos( ) cos( )2 2

ˆ ˆsin( )

x as z xy

x azy


a a aH t z z H t z xa a

a H t z z j z

β π πω β ω βπ

β π πω β ω βπβ ω βπ

==

==

= − + − = +

= − + −

= − =

/2 /200 0

0 0

ˆsin( ) sin( )x a x az zt t

y y

aj H z z j zβ β βπ

= == == =

= − → ∝ −

βz0 π 2π

/ 200

sin( )x az t

y

j zβ===

∝ −

0ˆ ( )s T zx

j x h h=

= × +

ˆ sn h j× =


aπβ

π= 0( , ) cos( )zH x y H x

aπ=( , ) 0yH x y =

d)

e) Em t=0 e x=0

A partir desses resultados é possível traçar a distribuição de correntes nas paredes y=0 e x=0.

0 000

00 0

ˆ ˆ ˆsin( ) sin( ) cos( ) cos( )

ˆcos( )

s xx

s yx x

aj x H x t z x H x t z za a

j H t z y j

β π πω β ω βπ

ω β

==

= =

= × − − + −

= − − =

=1=0

βz0 π 2π

0 cos( )y xj zβ

=∝ − x

y

a 0

bn n

a/2

βz0

x

1

2

1

2

3

3

4

5

4

5

7

8

7

8

31

4 7

3 4

3

4

1

2

1 2

6

6

6

6

6

Correntes de condução (nas paredes condutores):

Na tampa inferior (y=0)

βz0

1

1

3

3

4

4

7

7

x

6

6

Correntes de condução (nas paredes condutores):

Na parede inferior (x=0)

Correntes de deslocamento (no dielétrico):

Em t=0:

2 2

0 0ˆ ˆsin( ) sin( ) sin( )cos( )de a aj H x t z y H x t z yt t a a

ω με π ω με πε ε ω β ω βπ π

∂ ∂= = − = − ∂ ∂

2

0 ˆsin( )cos( )daj H x z y

aω με π β

π=

βz

x

βz0 π 2π

/2 cos( )d x aj zβ

=∝

0 sin( )d zj x

aπ

=∝

a

y

b

0


ωμ π ω βπ

= −

Correntes de deslocamento:

βz

xa

y

b

a/2

a

βz0

xa

a/2

a

Resumo: distribuição de corrente (condução e deslocamento) nas paredes

Distribuição de corrente nas paredes:

conduçãodeslocamento

11 – Seleção de Modos no WG

Modos possíveis no guia de ondasNa propagação: γ=jβ para β real:

Além disso,

Como ,

Portanto,

Para haver propagação, β deve ser real: β2>0

2 2 2 2 2 0c cK Kβ ω με ω με= − = − >

2 2K ω με= 2 2c cK ω με=

2 2 22 22 2

p p

f Kv vω π πω με

λ = = = =

2 2 22 22 2c cc c

cp p

f Kv vω π πω με

λ

= = = =

pc

c

vf

λ =2 2

2cc m nf

a b = + 2 2 2 2

2 1

2 2

c cm n m na b a b

λ λ→ = → = + +

2 2 22 2 1(2 )

2 2m na b

β πλ

= − +

2 2 212 2m na bλ

→ > +

Não haverá propagação quando: β2<0

Portanto, o limiar entre a condição de propagação e de não propagação é definida por

um círculo com centro em (0,0) e raio R=1/λ.

Os valores de (m,n) que satisfazem a desigualdade caem dentro

do círculo e indicam que os modos possíveis de propagação no guia, na frequência de operação.

2 2 212 2m na bλ

→ > +

Propagação:

2 2 212 2m na bλ

→ < +

2 2 212 2m na bλ

= +

2 2 2R X Y= +

2 2 212 2m na bλ

> +

Os valores de (m,n) que satisfazem a desigualdade caem dentro

do círculo e indicam que os modos possíveis de propagação no guia, na frequência de operação.

2 2 212 2m na bλ

> +

2 2 22 2 21

2 2m n R X Ya bλ

= + → = +

m=

n=0

(m,n)

propagação

não propagação

12

X ma

=

12

Y nb

=

91

8

1 18 10 Hz 0,6cm 5cm3 10 m/s

f Rcλ

−×= = = → =×

propagação

corteCuidado!

Exemplo: Dados a=3cm, b=1,5cm, f=18GHz, μr=εr=1 (guia oco), determinar quais os modos que podem se propagar no guia de ondas.

Solução:

Regra de três:

Os seguintes modos podem se propagar:

TE01TE10, TE20, TE30TE11, TE21TM11, TM21

1

1

1 1 0,167cm 1,39cm2 6cm1 1 0,333cm 2,78cm2 3cm

ma

nb

−

−

= = → =

= = → =

Evolução dos modos

A seguir, será estabelecido como é a ordem de aparecimento dos modos à medida que a frequência aumenta.

No caso do guia oco: tanto para modos TEmn quanto TMmn.

Para o modo TE10:

Então, calcula-se:

Exemplo: No caso b/a=1/2:

2 2

2cc m nf

a b = +

10 2cTEcfa

=

22

10

c

cTE

f am nf b

= +

( )22

10

2c

cTE

f m nf

= +

0 1 2 3 4 fc/fcTE10

TE10 TE20,TE01

TE11,TM11

TE21,TM21TE02

5 8

Modos degenerados

No guia de ondas oco com a/b=2, os modos TE20 e TE01 possuem as mesmas frequências de corte, porém, com distribuições de campo distintas. Tais modos são denominados de modos degenerados.

Além disso, das expressões: e ,

para , observa-se que modos degenerados também possuem as

mesmas velocidades de fase vpg.

0 1 2 3 4 fc/fcTE10

TE10 TE20,TE01

TE11,TM11

TE21,TM21TE02

5 8

( )22

10

2c

cTE

f m nf

= +

22 1 c

p

ffv fπβ

= −

2

1

ppg

c

vv

ff

ωβ

= =

− 1

pr r

cvμε μ ε

= =

Largura de banda para operação monomodo

Independente da razão a/b, o modo fundamental é TE10 → , guia oco.

Para o guia com a=3cm e b=1,5cm, tem-se a/b=2, o primeiro modo superior é TE20/TE01:

quando tal modo superior seria excitado.

Então, é a banda passante monomodo do modo TE10.

Exemplo: No WG onde a=3cm, b=1,5cm, f=18GHz, μr=εr=1 (guia oco), tem-se que

entre 5GHz e 10GHz o modo TE10 é o único modo capaz de se propagar no WG.

10 2cTEcfa

=

( )22

10

2 2 0 2c

cTE

ff

= + × =

TE10 TE20/012c cc cf f fa a

= < < =

8 83 10 Hz 3 10 Hz 5GHz 10GHz2 3cm 3cm

f f× ×< < → < <×

12 – Função de propagação do WG

Função de propagação do guia de ondas ideal

O guia ideal é aquele que permite a propagação sem atenuação para frequências acima da frequência de corte (ω>ωc).

Quando ω→ωc, então, β→0 (corte)... como havíamos previsto!

Quando ω→∞, então, β→ω/vp (modo livre).

Curva de dispersão ou diagrama (ω x β)[para guia oco]:

2 221 1c c

p p

ffv v f

ωω πβω

= − = −

Por outro lado, na condição de não-propagação ou corte (ω<ωc).

Como α é real, α=0 para ω>ωc.

Quando ω<<ωc, então, α→ωc/vp =Kc.

Note-se que no guia ideal (σ=0) a atenuação para ω<ωc não é originada por dissipação depotência em forma de calor, mas sim por que não são satisfeitas as condições necessáriasPara o campo se manter na forma de onda progressiva no guia (γ imaginário, γ=jβ).

Fisicamente, diz-se que a onda não se acopla ao guia, sendo refletida de volta à fonte e formando uma onda estacionária evanescente na direção z.

2 2 221 , 1 1c c c

c cc p p c p c

ff f fK Kf v v f v f

ω ω πα α

= − = → = − = −

Exemplo: Considere-se o guia de ondas oco com b/a=1/2.

No caso do modo TE10: constante para um dado guia.

Daí:

TE10 → ωc=ωcTE10 →

TE10, TE01 → ωc=2ωcTE10 →

TE11, TM11 → ωc= ωcTE10 →

Modo TEM →

TE10 TE10 22 2c cc c cfa a a

πω π= → = =

22 2 2

TE10 TE10

(2 )c c

c c

f am n m nf b

ωω

= = + = +

2TE101 c

cωωβ

ω = −

2TE101 4 c

cωωβ

ω = −

52

TE101 5 c

cωωβ

ω = −

2

1 c

pvωωβω

= −

TE10

TE10 TE10

c

c c

c cc c a

ωω πβω ω = = × =

(continua...)

2TE101 c

cωωβ

ω = −

2TE101 4 c

cωωβ

ω = −

2TE101 5 c

cωωβ

ω = − TE10c

caπβ

ω

=

TE10/c cω ω0 1 2 3

TE10c

caπβ

ω

=

TE10

TE20

TE11

TE21

TE02

Em guias mais complicados, onde o cálculo da velocidade de fase é mais simples de se realizar que a velocidade de grupo, o conceito de vpg é útil para se calcular vgg a partir da derivada da curva de dispersão.

1 1 11

2

1 1

1

p

gg gg

p

dd dvdd dv v dvd

ω ββ ββ ωβ ββ ωω ωβω β ββω

− − −− −− − ∂ = = = = → = ∂ −

Curvas de dispersão ou diagrama (ω x β)[para guia oco]:

Dispersão de Guia de Ondas

Em seções anteriores já discutimos as dispersões cromáticas e modal. Um terceiro tipo de dispersão, que será estudado agora, refere-se à dispersão de guia de ondas.

O fato da curva de dispersão ou diagrama (ω x β) do WG não ser linear com ω implica em que, mesmo para operação monomodo, existe um tipo de dispersão. De fato, como um sinal de informação normalmente é constituído por uma portadora modulada pelo sinal de mensagem, tal sinal exibe natureza passa banda, com largura de banda não nula.

Ora, quando o sinal de informação modulada acopla energia ao modo de propagação, cada uma das suas diferentes componentes de frequência será acoplada ao guia, cada qual com diferentes velocidades, podendo causar alargamento de pulso ou distorção de sinais analógi-cos à medida que a propagação ocorre. Isto corresponde à dispersão de guia de ondas.

Vimos também, que as velocidades de fase e de grupo em guias TEM são iguais. Isto ocorre sempre que a constante de fase varia linearmente com a frequência de operaçãoComo, por exemplo, no caso da onda plana sem perdas ( ).

Contudo, o mesmo não acontece no guia de ondas metálico, ou seja, β não é linear com ω.

Como consequência, essas velocidades não são iguais: .

2

1 c

pvωωβω

= −

2

1 cgg p

fv v

f

= −

2

1

ppg

c

vv

ff

=

−

K με ω=


Curvas de velocidade de fase, vpg

A partir das curvas de dispersão (ω x β), podem-se obter as curvas de velocidade de fase:

, , , .

Para os três primeiros modos guiados tem-se:

2

1

ppg

c

vv ω

β ωω

= =

−

1pv

με= 2c cfω π=

2 2

2p

c

v m nfa b

= +

p

p

p

TE10

TE20

TE11

lim pg pv vω→∞

=

limc

pgvω ω→

= ∞

Grá

ficos

de

v pg

TE10TE20 TE11

2

lim lim 1 0c c

cgg pgv v

ω ω ω ω

ωω→ →

= − = p

p

p

2

lim lim 1pg

cgg pg pgv

v v vω

ωω→∞ →∞

= − =

Grá

ficos

de

v gg

2

1 cgg pgv v

ωω

= −

Curvas de velocidade de grupo, vgg

Na figura a seguir são mostradas as curvas de velocidade de grupo para os três primeiros modos de um WG:

1 11

2

1

pgpg

pggg gg

pgpg

pg

dvv vd dv v

dvd vv d

ωβ ω ωω ω β ω

ω

− −− − ∂ = = = → = ∂ −

TE10

TE20

TE11

TE10TE20 TE11

p

p

p

g

g

Em guias mais complicados, onde o cálculo da velocidade de fase é mais simples de se realizar que a velocidade de grupo, o conceito de vpg é útil para se calcular vgg a partir da derivada da curva de vpg.

13 – Impedância de Onda no WG

Impedância de Onda

A impedância de onda faz as vezes da impedância característica (Z0) numa linha de trans-missão TEM e, portanto, é definida para uma onda progressiva.

Contudo, ao contrário de Z0, não depende apenas da estrutura física do guia, mas também, do tipo (RE ou TM) e ordem do modo.

a) No caso de ondas TE, foi visto que , e assim

Lembrando que , então,

e portanto

sendo

a impedância de onda TE.

ˆT TjE z Hωμγ

= − ×

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )T T Tj jz E z z H z H zωμ ωμγ γ

× = − × × = × ×

( ) ( )a b c a c b a b c× × ≡ −

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )T T Tjz E z z H z H zωμγ

× = −

ˆ T T TE Tjz E H Z Hωμγ

× =

,TEjZ ωμγ

= Ω

,TEjZ ωμγ

= Ω

Quando o guia está na condição de propagação, γ=jβ (meio sem perdas), e ZTE torna-se:

real puro.

Então, a substituição de β para o modo guiado resulta:

Lembrando que a impedância intrínseca da onda plana em meio sem perdas é , então

Portanto,

,TEZ R ωμβ

= = Ω

2

1 c

p

fv fωβ

= −

2 2

1 1

pTE TE

c c

p

vZ Z

f fv f f

μωμ

ω= → =

− −

μηε

=1

pv μμ μ ηεμε

= = =

2

1TE

c

Z Rff

η η= = ≥

−

onda plana

fator de correção

Quando γ=jβ o valor de ZTE é real, e portanto,

e assim, interpreta-se que ZTE é a razão entre os módulos do campo elétrico e do campo magnético transversais.

Além disso, outras relações podem ser obtidas:

Exemplo: para onda TE

.... como esperado.

ˆ TT TE T TE

T

Ez E Z H Z

Hωμβ

× = → = =

y

x

z

Ey

Ex

Hy

HxHz

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( )T TE T x y x yz E Z H z E x E y z H x H y× = → × + = × +

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) yxx y TE x y TE

y x

EEE y E x Z H x H y Z

H H→ − = + → = = −

Modo TE:

2z

xc

HjEyK

ωμ ∂= −

∂ 2z

yc

HHyK

γ ∂= −

∂

2

2

z

x c

zy

c

HjyE K

HH jyK

ωμωμ

β β

∂−∂

= =∂−∂

Quando o guia está na condição de corte, γ=α (meio sem perdas)

e ZTE torna-se:

Lembrando que ,

obtém-se

que acontece quando ω<ωc.

2 2cγ ω με ω με α= − = , real

22 2 1 cc

p

j jv

ωωγ με ω ωω

= − = −

,TEjZ ωμγ

= Ω

2

1

1

pTE L

c

vj jZ jX jj

ωμ ωμ ωμγ α ω ω

ω

= = = = −

2

1TE L

c

Z jX η

ωω

= = −

1pv μμ μ η

εμε= = =

2, para

1TE L c

c

Z jX f fff

η η= = < < −

2, para

1TE c

c

Z R f fff

η η= = ≥ >

−

Quando o guia está na condição de propagação, γ=jβ (meio sem perdas) e f>fc:

e

Quando o guia está na condição de propagação, γ=α (meio sem perdas) e f<fc:

e

2lim lim

1TEf f

c

Zff

η η→∞ →∞

= =

−

2lim lim

1c c

TEf f f f

c

Zff

η→ →

= = ∞

−

20 0lim lim 0

1TEf f

c

Zff

η→ →

= =

−

2lim lim

1c c

TEf f f f

c

Zff

η→ →

= = ∞

−

2, para

1TE L c

c

Z jX f fff

η η= = < < −

2, para

1TE c

c

Z R f fff

η η= = ≥ >

−

η

b) No caso de ondas TM, foi visto que , e assim

sendo

a impedância de onda TM.

Para γ=jβ →

Como , portanto

Quando γ=jβ o valor de ZTM é real, e portanto,

a razão entre os módulos do campo elétrico e do campo magnético transversais.

ˆ ˆT T T TM Tz E H z E Z Hjγωε

× = → × =

ˆT TjH z Eωεγ

= ×

,TMZjγωε

= Ω

21 1 c

TMp

fZ

v fβ ω

ωε ωε

= = −

1pv

με μ ηε ε ε

= = =2

1 cTM

fZf

β η ηωε

= = − ≤

ˆ TT TM T TM

T

Ez E Z H Z

Hβ

ωε× = → = =

Modo TM:

y

x

z

Ey

Ex

Hy

Hx

Ez

Outras relações podem ser obtidas:

Como ZTE≠ZTM, não se fala em impedância de onda do guia propriamente dito, mas sim de impedância de onda para um dado modo de propagação na frequência de operação.

Note-se também que ZTE ou ZTM referem-se à razões entre ondas progressivas, na ausência de reflexões de volta à falta. Assim, guarda alguma similaridade com a impedância característica Z0 da linha de transmissão TEM.

Exemplo: para o modo TE10 em guia oco.

, →

ˆ ˆˆ ˆ ( )T TM T x y TM Tz E Z H z E x E y Z H× = → × + =

ˆ T TM Tz E Z H× =

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) yxx y TM x y TM

y x

EEE y E x Z H x H y Z

H E− = + → = = −

2

1TE

c

Zff

η=

−

/ 2/ 2

pc

p

v aff v a

λλ

= = TE10 2

120

12

Z

a

π

λ=

−

Quando o guia está na condição de corte, γ=α (meio sem perdas)

e ZTE torna-se:

Lembrando que ,

obtém-se

que acontece quando ω<ωc.

2 2cγ ω με ω με α= − = , real

22 2 1 cc

p

j jv

ωωγ με ω ωω

= − = −

21 1 cTM C

p

Z j jX j jj j v

ωγ α α ωωε ωε ωε ωε ω

= = = − = − = − −

2

1 cTM CZ jX

ωηω

= − = −

1 1pv εε ε

μ ημε= = =

,TMZjγωε

= Ω

2

1 , paracTM C c

fZ jX f f

fη η

= − = − < <

2

1 , paracTM c

fZ R f f

fη η

= = − ≥ >

η

Resumo: Impedância de onda para modos TE e TM

η

14 – Potência Transmitida no Guia de Ondas

Potência transmitida no guia de ondasComo visto, tanto para onda TE quanto TM, definiu-se

onde ZW pode se referir a ZTE ou ZTM.

Com isto, é possível estabelecer uma relação entre a impedância de onda, ZW, e o vetor de Poynting médio.

O vetor corresponde ao fluxo de potência na direção do guia de onda:

As parcelas e apontam nas direçõesdas paredes; o guia não transmite potência nestas direções, mas somente na direção +z.

O produto , tanto para ondas TE (Ez=0) quanto TM (Hz=0).

ˆ T W Tz E Z H×

AVS

{ }* *1 1 ˆ ˆRe{ } Re ( ) ( )2 2AV T z T zS E H E E z H H z= × = + × +

{ }* * * *1 ˆ ˆ ˆ ˆRe2AV T T z T z T z zS E H H E z E z H E H z z= × + × + × + ×

...

AVS

TH

TEy

z

x

b

a0

ˆTE z×

*ˆ Tz H×

* 0z zE H =z

não interessam

onde ZW é real se γ=jβ.

Dado:

De forma similar, usando

mostra-se que

{ }* * * *1 ˆ ˆ ˆ ˆRe2AV T T z T z T z zS E H H E z E z H E H z z= × + × + × + ×

{ }*

* ˆ1 1Re Re2 2

TAV T T T

W

z ES E H EZ

× = × = ×

( ) ( ) ( )a b c a c b a b c× × = −

{ }* *1 ˆ ˆRe ( ) ( )2AV T T T T

W

S E E z E z EZ

= −

2 21 ˆ, W/m2AV T

W

S E zZ

=

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )T W T T W Tz E Z H z z E Z z H× → × × = ×

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )T T W T T W Tz E z z z E Z z H E Z z H− = × → = ×

2 2ˆ, W/m2W

AV TZ

S H z=

Exemplo: potência média transmitida através da seção transversal do guia no modo TE10

sendo AT a área da seção transversal e

Chamando: , sendo .

obtém-se . ####

2 21 ˆ, W/m2AV T

W

S E zZ

=

0 0T

a b

t AV T AVA x yP S dA S dx dy

= == =

22 20

210 10

( )1 sin2 2AV y

TE TE

aHS E xZ aZ

ωμ ππ

= =


aπωμ

π= −

2 20 0

2 2010 10 0

21 cos( ) ( ) 1 2sin

2 2 22 2

aa

t xTE TE

xaH aH b aaP b dx x x

aZ Z

πωμ ωμ π

ππ π=

− = = +

2 30

210

( )4t

TE

H a bPZ

ωμπ

=

0 0ˆ ˆsin( ) sin( )yaE j H x y jE x y

a aπ πωμ

π= − = −

20

104y

tTE

EabPZ

=

0 0yaE Hωμ

π=

Potência transmitida em modos TM e TE genéricosNo caso de modos TMmn temos:

e ,

A potência transmitida na direção z será:

sendo AT a área da seção transversal.

Usando o conceito de impedância de onda ZTM e com o auxílio da identidade de Green, pode-se demonstrar que

De forma similar, para modos TEmn

As expressões acima são válidas para guias de onda metálicos, dentre os quais, o guia retangular.

ˆ ˆ ˆ( ) j zx y zE E x E y E z e β−= + +

ˆ ˆ( ) j z

x yH H x H y e β−= +

*1ˆ ˆRe{ }2T T

t AV T TA AP S z dA E H z dA= = ×

22

22T

t z TTM c A

P E dAZ K

β=

22

22T

TEt z T

c A

ZP H dAK

β=

Considera-se que o guia está preenchido com dielétrico sem perdas (impedância intrínsecaη é real).

a) Para modos TMmn

sendo m,n≠0

b) Para modos TEmn

sendo m,n≠0.

Por outro lado, para m=0 ou n=0:

válida para modos TEm0 ou TE0n.

2 220 1

8c

tc

fab fP Ef fη

= −

2 220 1

8c

tc

fab fP Hf f

η = −

2 220 1

4c

tc

fab fP Hf f

η = −

15 – Excitação e Recepção de Sinais

Excitação e Recepção de Sinais de Microondas

Os métodos empregados para excitação dos guias são os mesmos usados para a recepção dos sinais na extremidade de saída.

A escolha da configuração empregada está relacionada ao conhecimento da configuração dos campos do modo desejado.

a) Acoplamento por meio de sonda (acoplamento elétrico)

Consiste na introdução de uma sonda paralela à direção desejada para o campo elétrico, num ponto próximo ao máximo desse campo.

Normalmente, a sonda consiste do prolongamento do condutor central de um cabo coaxial, que atuará como antena irradiando a onda eletromagnética para o interior do guia.

Na excitação do modo TE, a sonda deve ser perpendicular à direção de progagação.

Exemplo: excitação do modo TE10

Conforme foi visto, o modo TE10 apresenta campo elétrico somente na direção vertical, y.


ωμ π ω βπ

= −


ωμ π ω βπ

= −

Em t=0 e z=0: modo TE10

Um regra prática para excitar o modo TE10 é usar uma pequena antena vertical com λ/4 de comprimento.

Esta antena monopolo apresenta acentuada componente de campo elétrico na direção Vertical, proporcionando bom acoplamento modal com o modo TE10.

A fim de excitar energia preferencialmente na direção +z, emprega-se a regra abaixo:

λg = comprimento de onda guiado do modo TE10;

λ = comprimento de onda no cabo coaxial TEM.

A parede do WG, vista a λg/4 em direção à carga se transforma num circuito aberto, e assim, nenhuma (pouca) energia ativa segue na direção –z.

A antena é um dipolo curto de comprimento λ/4.

λg/4

λ/4

open

shortcircuit TE10

insulator

innerconductor

dieclectric

λ/4

A transição entre o cabo coaxial e o guia de ondas acontece de maneira aproximadamente suave, em termos de distribuição de campo.

( , )h x z( , )e x z

Cabo coaxial

Guia de ondasλg /4

curtocircuito

curtocircuito

Guia de ondas

•••••

•••••

C

Exemplo: Um guia retangular preenchido com ar possui dimensões a=8,636cm, b=4,318cm e é alimentado por uma portadora de 4GHz a partir de um cabo coaxial. Determinar se o modo TE10 poderá se propagar. Se isto ocorrer, calcular as velocidades de fase e de grupo.

Solução:

Para o modo TE10:

Como o modo TE10 poderá se propagar.

####


ωμ π ω βπ

= −

8

10 12

3 10 1,737 GHz2 2 8,636 10cTEcfa −

×= = =× ×

104 GHz cTEf f= > →

( )8

8TE10 2 2

3 10 3,33 10 m/s1 (1,737 / 4)1 /

ppg

c

vv

f f

×= = = ×−−

( )2 2 16 8 8TE10 101 / / 9 10 / 3,33 10 2,702 10 m/sgg c pgTEv c f f c v= − = = × × = ×

C

b) Acoplamento por meio de espira (acoplamento magnético)

Neste caso, coloca-se uma espira de modo que seu palno fique normal à direção desejada para o campo magnético.

Tal espira normalmente é constituída pelas extremidades curto-circuitadas dos condutores de um cabo coaxial.

No caso de modo TE10:

C

E

C

Excitação de modos superioresa) Por meio de sonda: modos TEmn

b) Por meio de sonda: modos TMmn

Linhas de campo elétrico

Linhas de campo magnético

C

c) Por meio de sonda: modos TMmn

d) Por meio de espira: modos TMmn

16 – Guia Fendido (Slot Waveguide)

Inserção do Guia Fendido

Quando existe descasamento de impedâncias entre a impedância de onda e a impedância de carga no WG, haverá formação de onda estacionária. Contudo, o guia não é mais TEM, e então, não existe superposição de ondas de tensões, incidente e refletida, mas sim,uma superposição entre ondas de campo elétrico, TE ou TM.

A teoria desenvolvida nos capítulos anteriores para linha TEM ainda pode ser utilizada para o caso do guia de ondas no modo TE10, mesmo que este não seja TEM.

Para isto, uma sonda (antena dipolo curto) rastreia a distribuição de onda estacionária na direção z, posicionada no centro da dimensão transversal, ou seja, em x=a/2.

y

x

0

a/2

a

b

z

onda estacionária

y

x

0

a/2

a

b

z

onda estacionária

Os resultados práticos obtidos com este procedimento costuma gerar valores satisfatórios e concordantes com a teoria.

Para todos os efeitos, é como se o “filete de onda estacionária” medido no centro do guia fosse considerado como a magnitude da onda de estacionária de tensão TEM estudada no capítulo anterior. Inclusive o uso da carta de Smith permanece válida.

Entretanto, para que tal sistema de medição seja viável, é necessário providenciar uma ranhura na tampa superior do guia de ondas, a fim de inserir uma sonda para detecção de campo elétrico.

Portanto, é necessário mostrar que a inserção desta sonda não perturbará a distribuição de campo eletromagnético do modo TE10 no interior do guia.

Sonda de onda estacionária

0

a/2

a

0

a/2

a

b

b

Esquema geral: max

min

Exemplo de um guia fendido com carruagem e sonda sintonizável:

O modo TE10, ao contrário de vários outros modos, possui a particularidade de permitir que uma estreita ranhura seja introduzida em x=a/2 e ao longo do eixo z=0, sem perturbar substancialmente a distribuição do campo no interior do WG.

Já foi mostrado que a distribuição de correntes, de condução nas paredes e de deslocamentono interior do guia, possui o seguintes aspecto:

A estreita ranhura (A) pode ser introduzida em x=a/2 e ao longo do eixo z=0, pois não perturbam a maior parte das correntes de condução (a menos da corrente longitudinal que circula por x=a/2).

As correntes de deslocamento são responsáveis por se manter a continuidade da corrente na ranhura; a corrente de condução em x=a/2 e que fluiria na direção z é substituída por uma corrente de deslocamento.

Assim, a distribuição de campo elétrico (e magnético) não sofre perturbação significativa.

A ranhura vertical (B) também pode ser inserida, porém, não teria utilizada prática.

Assim, uma sonda de campo elétrico (pequena antena dipolo) pode ser inserida na ranhura para ter acesso ao campo elétrico a fim de detectá-lo. A sonda converte o campo elétrico em corrente elétrica ( ), a qual pode ser processada eletronicamente tornando-se capaz de medir o SWR no WG.

Contudo, ao contrário da ranhura longitudinal, outros tipos de ranhuras, como as mostradas na figura abaixo, seriam inadmissíveis em vista da grande perturbação que causariam: elas interrompem importantes linhas de corrente de condução nas paredes, e assim, também interrompem as linhas do campo eletromagnético no interior do guia.

j eσ=

THE END

01 – apresentação aos guias de ondas metálicos

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