0

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE MATEMTICA

Fernanda Bartz de S

APRENDIZAGEM DE FRAES NO ENSINO FUNDAMENTAL

Porto Alegre

2011

1

Fernanda Bartz de S

APRENDIZAGEM DE FRAES NO ENSINO FUNDAMENTAL

Trabalho de Concluso de curso de graduao

apresentado ao Departamento de Matemtica

Pura e Aplicada do Instituto de Matemtica da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul,

como requisito parcial para a obteno do grau

de Licenciado em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Vinicius de

Azevedo Basso

Aprovado em: _______________

Banca examinadora:

____________________________________

Profa. Dra. Luisa Rodriguez Doering

Instituto de Matemtica UFRGS

____________________________________

Profa. Msc. Fabiana Fattore Serres

Colgio de Aplicao UFRGS

____________________________________

Prof. Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso Orientador

Instituto de Matemtica UFRGS

2

AGRADECIMENTOS

Agradeo a minha me, por desde sempre incentivar os meus estudos, inclusive em nvel

superior, e me apoiar durante todo o curso, sendo a segunda maior responsvel pelo seu trmino.

Agradeo tambm ao meu pai, pela compreenso da minha viso de mundo diferente da

dele.

Agradeo ao Gustavo, por ter tornado mais prazerosos os dois ltimos semestres da

faculdade, me ajudando a passar por medos e angstias que essa inclui, e dividindo as alegrias

comigo.

Agradeo as para sempre amigas Daiana Becker e Gabriela Martinelli, vulgo Sandy e

Batera, parceiras de muitas conversas sobre os rumos da vida. Mesmo no chegando ao fim do

curso juntas como planejado, sempre me estenderam a mo quando eu precisei.

Agradeo a querida tia Joceli, por ter me proporcionado um lugar em Porto Alegre, mais

horas de sono e menos no nibus.

Agradeo a tia Celi Beatriz Maninha, pelas dicas e algumas digitalizaes presentes

neste trabalho.

Agradeo ao Prof. Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso, por me incluir em suas

turmas de Laboratrio quando no havia mais vagas, e tambm por ter aceitado me orientar no

desenvolvimento deste trabalho, fazendo-o com dedicao.

Agradeo a Prof. Liana Beatriz Costi Ncul, por ter sido tima professora mostrando

logo no meu primeiro semestre onde eu estava entrando, e fazendo-me perceber que tinha

encontrado o meu lugar.

Agradeo ao Prof. Fernando Ripe, por ter possibilitado o meu estgio em Gravata,

facilitando muito a minha vida.

Agradeo a UFRGS, pelo ensino gratuito e de qualidade.

A todas as pessoas que de alguma forma contriburam para a minha formao superior,

seja em apoios, estmulos ou conselhos, fica o meu muito obrigada.

3

RESUMO

Partindo do visvel dficit presente nos alunos em relao s formas de lidar com os

nmeros fracionrios, o qual se estende por todos os anos do Ensino Fundamental e Mdio, o

presente estudo investigou questes sobre o ensino de fraes, a primeira delas e desencadeadora

das demais, se refere forma que os alunos enxergam as fraes e as idias que eles associam aos

nmeros fracionrios, assim como que rumos de aprendizagem ou tipos de atividades poderiam

conduzir os alunos a terem um ensino de qualidade. Outra importante questo deste trabalho diz

respeito operao soma de fraes e de como ela ensinada na escola. Sabemos que o

predomnio o uso do algoritmo que utiliza o m.m.c. para os clculos, onde muitas vezes o uso

das fraes equivalentes no fica evidenciado. Assim, apresentarei resultados para mostrar que

possvel ensinar a somar fraes sem seguir essa linha tradicional.

Palavras-Chave: Matemtica. Fraes. Ensino-Aprendizagem. Equivalncia de Fraes.

4

ABSTRACT

This work is motived by the students difficulties towards the different ways to deal with

fractional numbers, which is noticed during all the Elementary and the High School, this study

investigated some questions about the teaching of the fractions. The first one which motivates

the other questions refers to the way that the students see the fractions and the ideas associated

to fractional numbers, and the learning directions or kinds of activity which could make the

comprehension of the students about these topics possible. Another important question in this

work is about the sum of fractions and how it is usually taught at school. The algorithm that uses

the l.c.f. (least common multiple) is the most common way to taught it, in this method, the

utilization of the equivalent fractions is not exposed. This way, I will present some results to

show that it is possible to teach the sum of fractions using other perspectives.

Keywords: Math. Fractions. Teaching. Learning. Equivalence of Fractions.

5

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Exemplificando a soma com fraes homogneas..........................................................22

Figura 2: Exemplificando a soma com fraes heterogneas.........................................................23

Figura 3: Exemplo de estratgia para a resoluo de uma soma....................................................23

Figura 4: Situao-problema que explora a equivalncia de fraes.............................................24

Figura 5: Problema envolvendo fraes com denominadores iguais.............................................25

Figura 6: Problema envolvendo fraes com denominadores diferentes.......................................25

Figura 7: Resoluo de uma soma de fraes sem o uso do m.m.c................................................26

Figura 8: Tabela de fraes para cada dia da semana.....................................................................27

Figura 9: Problema que exemplifica a soma de fraes com denominadores iguais.....................27

Figura 10: Problema para exemplificar a soma de fraes com denominadores diferentes...........28

Figura 11: Como calcular fraes com denominadores diferentes.................................................29

Figura 12: Exemplo de mudana no nmero de partes para a soma se tornar possvel.................29

Figura 13: Melhor resoluo encontrada........................................................................................30

Figura 14: Como calcular fraes com denominadores diferentes.................................................31

Figura 15: Enunciado com problemas............................................................................................31

Figura 16: Mesmo exerccio em uma edio anterior....................................................................32

Figura 17: Como se apresenta o exerccio na edio atual.............................................................32

Figura 18: Questionrios de alunos da turma 61 e E, respectivamente..........................................38

Figura 19: Resoluo correta de problema envolvendo relao parte/todo...................................41

Figura 20: Conceitos ainda no apropriados..................................................................................41

Figura 21: Problemas simples criados pelos alunos.......................................................................43

Figura 22: Problema com enunciado vago.....................................................................................43

Figura 23: Problema solucionado de maneira duvidosa.................................................................44

Figura 24: Problema solucionado de forma incompleta.................................................................44

Figura 25: Problema com dados incoerentes..................................................................................45

Figura 26: Problema escrito e resolvido corretamente...................................................................45

Figura 27: Figuras utilizadas nos exerccios...................................................................................46

Figura 28: Circunferncias feitas pelos alunos a fim de representarem a frao

.........................47

Figura 29: Desenhos traados por um aluno tentando representar a frao

................................48

Figura 30: Figura e explicao de uma aluna para representar a frao

......................................48

Figura 31: Figuras corretas representando a frao

.....................................................................49

6

Figura 32: Processo para encontrar fraes equivalentes...............................................................52

Figura 33: Bom aproveitamento nos conceitos de equivalncia....................................................53

Figura 34: Conceitos de equivalncia confusos.............................................................................53

Figura 35: Equivalncia de fraes................................................................................................53

Figura 36: Exerccio: Quais das fraes abaixo so equivalentes a

? Qual delas a frao

irredutvel? .....................................................................................................................................55

Figura 37: Solues para o problema enunciado acima.................................................................55

Figura 38: Solues de exerccio de simplificao........................................................................56

Figura 39: Mais solues de exerccio de simplificao................................................................56

Figura 40: Maneira de simplificar fraes diretamente..................................................................57

Figura 41: Falta de simplificaes do zero.....................................................................................58

Figura 42: Resoluo do problema de forma visual e geral...........................................................59

Figura 43: Comparando fraes sem precisar de equivalentes.......................................................60

Figura 44: Inserir as fraes na reta numrica................................................................................60

Figura 45: Inserir as fraes na reta numrica................................................................................61

Figura 46: Resolues de exerccio de ordem crescente. ..............................................................61

Figura 47: Somando fraes sem calcular o explicitamente o m.m.c............................................63

Figura 48: Passos para somar fraes utilizando o algoritmo do m.m.c........................................63

Figura 49: Como dois alunos passaram a somar fraes................................................................64

Figura 50: Mais trabalho, mas ainda sem m.m.c............................................................................64

Figura 51: Soma de frao com nmero natural.............................................................................65

Figura 52: Como somar fraes desconsiderando o que elas representam....................................65

Figura 53: Auxlio para pensar no complementar..........................................................................66

Figura 54: Resolues de somas de fraes com mesmos denominadores....................................67

Figura 55: Somas de fraes com resultado igual a zero................................................................68

Figura 56: Problema envolvendo soma de fraes.........................................................................68

Figura 57: Mesmo problema com resoluo incompleta................................................................69

Figura 58: Soma de um nmero natural com uma frao...............................................................69

Figura 59: Como somar sem se preocupar com o m.m.c...............................................................70

Figura 60: Denominadores com o m.d.c. igual a 1.........................................................................70

Figura 61: Resoluo de um problema com soma de fraes........................................................71

7

SUMRIO

1 INTRODUO.........................................................................................................................09

2 QUESTES DE INVESTIGAO.........................................................................................11

3 CONSIDERAES SOBRE A IMPORTNCIA DO ENSINO DE FRAES...............12

4 O ATUAL ENSINO DE FRAES DO ENSINO FUNDAMENTAL................................14

4.1 Os Parmetros Curriculares Nacionais e o ensino de Fraes...........................................16

4.2 Retrospecto sobre o Ensino de Fraes como Relao Parte-todo....................................17

4.3 O Ensino atravs das Resolues de Problemas..................................................................19

4.4 Anlise do ensino sobre a soma de fraes nos livros didticos e Referencial Curricular

Lies do Rio Grande...................................................................................................................21

4.4.1 Referencial Curricular Lies do Rio Grande.......................................................................22

4.4.2 Livro Didtico Tudo Matemtica....................................................................................24

4.4.3 Livro Didtico Matemtica................................................................................................27

4.4.4 Livro Didtico Matemtica na Medida Certa.....................................................................29

5 PROCEDIMENTOS METODOLGICOS............................................................................34

5.1 Perfil dos alunos participantes .............................................................................................36

6 ANLISE DOS DADOS...........................................................................................................40

6.1 Investigando a intuio dos alunos sobre a definio de frao.........................................40

6.2 As figuras geomtricas representando fraes....................................................................46

6.3 Equivalncia de fraes..........................................................................................................51

6.3.1 Simplificao de Fraes e Frao Irredutvel......................................................................54

6.3.2 A Simplificao de Fraes e o m.d.c...................................................................................56

6.3.3 Comparando Fraes.............................................................................................................58

6.4 Soma e Subtrao de Fraes ...............................................................................................62

6.4.1 Quando o m.m.c. se torna dispensvel..................................................................................66

7 CONCLUSES..........................................................................................................................72

7.1 Consideraes Finais..............................................................................................................75

8 REFERNCIAS.........................................................................................................................77

9 APNDICE A ...........................................................................................................................80

8

Plano de Aula N. 1.......................................................................................................................80

Plano de Aula N. 2.......................................................................................................................82

Plano de Aula N. 3.......................................................................................................................83

Plano de Aula N. 4.......................................................................................................................84

Plano de Aula N. 5.......................................................................................................................86

Plano de Aula N. 6.......................................................................................................................88

Plano de Aula N. 7.......................................................................................................................90

Plano de Aula N. 8.......................................................................................................................91

Plano de Aula N. 9.......................................................................................................................92

Plano de Aula N. 10.....................................................................................................................93

Plano de Aula N. 11.....................................................................................................................94

Plano de Aula N. 12.....................................................................................................................95

Oficina para a Turma 61..............................................................................................................97

Oficina de Fraes com a Turma................................................................................................98

9

1 INTRODUO

Aps diversas experincias em ambientes de aprendizagem trabalhando com fraes, e

notando a averso dos alunos a qualquer situao que as envolva, em razo das pendncias

referentes ao aprendizado das mesmas, surgiu o desejo de trazer esse contedo para uma sala de

aula de forma a contribuir para um aprendizado significativo, o qual desenvolva competncias e

habilidades necessrias relacionadas prtica desses conhecimentos.

Para isso, acreditei ser pertinente analisar durante o desenvolvimento de minha pesquisa,

quais formas de transmitir as idias sobre o contedo de fraes dificultariam ou auxiliariam mais

os alunos, assim como quais mtodos de ensino-aprendizagem seriam menos ou mais

esclarecedores. Ao mesmo tempo, tambm foi importante verificar se dentre eles, aqueles que eu

julgava eficientes, como por exemplo, o mtodo via resoluo de problemas, realmente

desenvolveria habilidades para um bom entendimento do contedo que seria estudado, em outras

palavras, se seriam realmente pertinentes na prtica.

preciso encontrar caminhos para levar o aluno a identificar quantidades

fracionrias em seu contexto cotidiano e a apropriar-se da idia do

nmero fracionrio correspondente, usando-os de modo significativo.

(BERTONI, 2009, p.16)

A citao acima mostra outra maneira de trabalharmos com o conceito de frao

significativamente, e esse tambm se refere a um objetivo desse trabalho, utilizar o conceito de

fraes de maneira significativa, ou seja, entender o que se est manipulando. Por esse motivo,

analisamos outro caminho para o aprendizado da soma de fraes, caminho onde o aluno possa

perceber por onde e porque o est percorrendo, possibilitando ao aluno usar os conceitos de

frao de forma significativa.

No abordarei nesse trabalho as diversas situaes que as fraes podem representar,

como estudo de probabilidades, razes, propores, diviso, etc. Segundo Nunes (2005), os

professores devem avaliar quais formas de representao so mais acessveis aos alunos quando

10

h mais de uma possibilidade, em qualquer contedo, analisando idades e outras caractersticas

do grupo de alunos, para saber como tratar o conceito em sala de aula.

Seguindo por essa linha, esse trabalho abrange somente a frao definida como relao

parte-todo, e possvel que a raiz do problema tratado neste trabalho, possa estar em sua

essncia: o entendimento da definio. E para facilitar a busca por informaes desse e dos

demais tpicos importantes do contedo de fraes, foram levantadas questes de investigao.

Suas utilizaes estaro descritas nos procedimentos metodolgicos.

Acredito que a importncia deste trabalho est em chegar ao final conseguindo mostrar,

atravs da anlise dos dados obtidos na pesquisa, as aprendizagens evidenciadas pelos estudantes,

e se essas aprendizagens contriburam para a compreenso do contedo de fraes no aprendido

anteriormente.

11

2 QUESTES DE INVESTIGAO

As sete questes a seguir, foram levantadas no decorrer deste trabalho, com o objetivo

de estruturar a coleta e a anlise dos dados.

i. O que os alunos pensam sobre as representaes fracionrias? Eles tm a percepo de

uma quantidade numrica? Eles enxergam elas inseridas na reta numrica?

ii. Como a relao geomtrica auxilia ou atrapalha o desenvolvimento do aprendizado sobre

fraes?

iii. O que os alunos entendem como fraes equivalentes? Apenas procuram divisores ou

mltiplos comuns para a resoluo do exerccio exigido pelo professor ou enxergam

mesmas quantidades?

iv. Aprender fraes atravs de problemas pode ajudar a entender o sentido das mesmas?

v. Para simplificar uma frao, os alunos entendem que podem dividir diretamente

numerador e denominador da frao, pelo m.d.c. entre o numerador e o denominador?

vi. Os livros didticos induzem alunos e professores a preferirem somar fraes usando o

algoritmo com o m.m.c.? Eles explicam que o necessrio termos denominadores iguais e

para isso precisamos de fraes equivalentes?

vii. Quais so as dificuldades encontradas pelos alunos para trabalhar com as fraes que os

levam a repudi-las?

12

3 CONSIDERAES SOBRE A IMPORTNCIA DO ENSINO DE FRAES

A seleo e organizao de contedos deve levar em conta sua relevncia social e sua

contribuio para o desenvolvimento intelectual do aluno e no deve ter como critrio

apenas a lgica interna da Matemtica. (BRASIL, 1998, p. 57).

A citao acima, afirmada nos PCN, condiz com o fato de que o ensino-aprendizagem

de fraes deve obrigatoriamente ser levado para a sala de aula, por se tratar de um contedo que

contribui para o desenvolvimento intelectual. Sendo assim, concordo com Bocalon (2008), o

processo de estudo no deve proceder de forma superficial e passageira, de forma que o aluno

consiga simular um falso aprendizado, enquanto que a importncia dada pelo professor a esse

acontecimento simplria, justificada pelo no aprendizado dos anos anteriores, prosseguindo-o

assim nos anos seguintes.

Bertoni (2009, p. 16) defende o aprendizado das fraes na escola com a seguinte

situao: ao comparamos um tero de pizza com um quarto, mais imediato pensar logo na

diviso, na parte, e dizer que 1 quarto menor do que 1 tero. No seria prtico passar para a

notao decimal e comparar 0,333... com 0,25. Outra situao que a autora nos prope a

introduo da representao decimal, utilizando as fraes para apoiar as ideias, por exemplo,

introduzir 0,1 como representando naturalmente

da unidade.

Marincek (2001) nos traz em sua obra Aprender Matemtica Resolvendo Problemas,

que existem educadores que defendem e outros que no vem necessidade no ensino das fraes,

esses ltimos acreditam que o ensino deve se dedicar apenas a habilitar alunos para a

matemtica instrumental, e no para contedos que fiquem fora das prticas cotidianas. Por

outro lado, o outro grupo defende pelo seu valor formativo e instrumental dentro do

conhecimento escolar, apontando uma reestruturao dos conhecimentos dos alunos, a qual

proporcionada no estudo das fraes, pois os nmeros racionais inserem novos

comportamentos numricos.

Como exemplo desses novos comportamentos, Marincek (2001, p. 78) cita uma

frequente dvida dos alunos: Se 5+5 10, como

no

? Esse um erro comum no

Ensino Fundamental, quando os estudantes no se apropriam corretamente do conceito de frao.

13

Pergunto-me, se eles no tiverem a oportunidade de aprender e corrigir esse tipo de erro na

escola, como sugere o prximo autor, onde eles podero aprender, visto que no so nmeros

frequentes em nosso cotidiano, como os nmeros naturais.

DAmbrsio (2002), quando relaciona os contedos de Matemtica da escola, com a

cidadania que deve estar includa nela, descreve pontos positivos e negativos sobre a

aprendizagem de fraes, entre os positivos podemos citar que as fraes mais simples despertam

interesse nas crianas, por isso deve-se falar nessas nas sries iniciais de forma concreta, e no

necessrio completar o estudo dos nmeros inteiros para iniciar o dos nmeros fracionrios.

Por outro lado, DAmbrsio (2002) comenta negativamente a respeito das operaes de

fraes, quando cita que dificilmente so apresentadas justificativas para continuarem a ser

ensinadas. O autor considera importante a frao como razo e proporo, e diz que tm se

trabalhado menos com essas formas de representao por influncia das operaes com fraes,

as quais no h nenhuma importncia, e deveriam ser realizadas apenas com o uso da

calculadora.

Dessas afirmaes negativas, a nica que posso concordar que o ensino de razes e

propores no pode ser deixado de lado para ser substitudo por outro contedo. Mas discordo

quando o autor prope que as operaes com fraes no sejam mais ensinadas na escola, pois

uma parte do contedo utilizada em todo o Ensino Fundamental e Mdio. Na lgebra, em

funes, no clculo de reas e permetros, em praticamente todos os contedos matemticos

trabalha-se com nmeros racionais, por isso saber operar imprescindvel. O uso da calculadora

nem sempre torna o trabalho menos braal, e nem sempre correto.

Nunes (2005) argumenta a favor do ensino de fraes na escola considerando que no

cotidiano a maioria das pessoas ignora a representao fracionria para expressar quantidades ou

medidas, como no uso do dinheiro, quando representamos dois reais e cinquenta centavos com

dois nmeros inteiros, e tambm ao medirmos um metro e noventa centmetros, a notao dois

nmeros inteiros, as notaes

e

dificilmente so vistas.

Nesse sentido, atravs de contedos que so poucos trabalhados fora da sala de aula, a

escola se torna um meio cultural de aprendizagem, sendo a oportunidade para a familiarizao

com conceitos e prticas que tero poucas chances de acontecerem fora dela.

14

4 O ATUAL ENSINO DE FRAES DO ENSINO FUNDAMENTAL

Bertoni (2009) aponta que a atuao ativa num mercado de trabalho que requer

capacidade de resolver problemas, avaliar situaes, propor solues e ter versatilidade para

novas funes, no pode ser alcanada apenas pelo exerccio de um fazer mecnico, sem

pensamento prprio e sem questionamento. Concordando com ela, penso que durante o seu

perodo escolar, o aluno no deve aprender s contedos, mas atravs deles, maneiras de analisar

a realidade, com isso criar a capacidade de resolver problemas, no com uma maneira pronta,

mas pensando nas possibilidades e gerando novas idias.

Nunes (1997) comprova em seus estudos sobre nmeros racionais o que acontece diversas

vezes com algumas crianas, o fato de elas trabalharem muito bem com as fraes, usando

corretamente os termos fracionrios e resolvendo problemas, mas passarem pela escola sem

dominar as dificuldades dessas, deixando escapar conceitos importantes, sem que ningum

perceba. Sendo assim, podemos inferir que os alunos esto, na verdade, aprendendo um trabalho

mecnico, e no esto trabalhando a interpretao ou a manipulao de dados, atravs do

contedo de fraes.

Ainda no trabalho de Bertoni, encontramos a seguinte afirmao: O contedo de Fraes

tm sido um dos temas mais difceis no ensino fundamental. Avaliaes e pesquisas atestam o

baixo rendimento dos alunos no assunto. (BERTONI, 2009, p. 16). E ainda diz que apesar disso,

difcil encontrar novas propostas circulando no ensino, nos deparamos apenas com os mtodos

antigos, os quais do prioridade a nomenclaturas e s figuras geomtricas planas divididas e

pintadas. Por ser um dos contedos mais difceis, acredito que deveria ser dispensado um tempo

maior a sua aprendizagem, e claro, maior dedicao por parte dos professores, mas isso no seria

suficiente, os alunos precisam de novas prticas, pois como sabemos pela afirmao anterior, as

que so usadas atualmente tm surtido um baixo efeito no aprendizado de nossos alunos.

Ao trabalhar em uma classe de Educao de Jovens e Adultos em uma escola pblica de

Porto Alegre, em 2008, durante a disciplina de Laboratrio de Prtica de Ensino-Aprendizagem

de Matemtica I do terceiro semestre do curso de Licenciatura em Matemtica da Universidade

Federal do Rio Grande do Sul, convivi com uma turma onde todos os alunos j haviam estudado,

15

em algum momento de suas vidas, os nmeros racionais. Esse foi o meu primeiro contato com o

ensino das fraes, e aprendi logo de incio a dificuldade que as pessoas tm de lidar com elas,

nesse momento, apenas os jovens e adultos. Essa realidade era confirmada cada vez que algum

deles, durante as atividades, preferia dividir o numerador pelo denominador das fraes, para

assim trabalharem com um nmero decimal, o que parecia ser mais cmodo, de fcil

interpretao e manipulao.

Acredito que essa maior facilidade s se torna real, porque os nmeros decimais so mais

usados no dia a dia, mais trabalhados na sala de aula, e enfim, acabam sendo mais requisitados

por parte dos alunos. Bertoni (2005) afirma que essas transformaes frequentes nas salas de aula

sugerem uma sndrome de evitamento das fraes.

Reforando essa ideia temos a afirmao de Pereira (2009), quando diz que boa parte dos

alunos acaba o ensino bsico sem dominar as noes de fraes, e isso se tornar um problema

quando esses precisarem utiliz-las para trabalhar com estatsticas, juros, probabilidades, etc.

Percebi que o aprendizado acontece de maneira diferente quando se procura inserir esse

contedo na sala de aula de forma significativa para os alunos. O aprendizado daquele grupo de

2008 era dependente de outras propostas de ensino, como atividades e exerccios mais presentes

em seus cotidianos, que fossem mais manipulveis por parte dos alunos, e mais fceis de

estabelecer relaes, o que quero dizer com isso, que faltava despertar interesse sobre o assunto,

e isso foi solucionado quando a turma passou a perceber onde as fraes estavam inseridas em

seus ambientes scio-culturais.

Continuando a minha trajetria de laboratrios e estgios pertencentes ao curso de

Matemtica, o fato que as operaes envolvendo fraes sempre causam estranhamento a quem

as encontra sempre se confirmou. Penso que quando os algoritmos so fortemente trabalhados, o

aluno mostra segurana na resoluo de exerccios e operaes, levando para os anos seguintes e

para o Ensino Mdio. No entanto, apesar de saberem operar corretamente, ficam confusos quanto

a questes de comparao, equivalncia, etc.

Bertoni (2009, p. 20) diz que para mostrar que o conceito de nmero fracionrio no

suficientemente construdo, bastaria entrar em uma classe de 5 ou 6 ano e fazer as seguintes

perguntas: Quanto 1 menos 1 quarto? Quanto d metade de 1 meio? Em 1 litro e meio, quantos

16

quartos de litros cabem?. Pelo que presenciei em anos anteriores, essas questes poderiam ser

levantadas em turmas de 7, 8, 9 ano ou Ensino Mdio, e as respostas seriam as mesmas.

Nos subcaptulos seguintes, fao uma anlise dos Parmetros Curriculares Nacionais

(PCN) a fim de compreender como esse sugere os tpicos para o ensino de fraes e as ideias a

serem abordadas. Fao tambm um retrospecto sobre como o ensino de fraes como relao

parte-todo, pois com essa definio que trabalharemos na sala de aula mais tarde. No

subcaptulo do ensino de fraes atravs da resoluo de problemas, verifico como ocorre esse

mtodo de trabalho na escola, mais especificamente com as fraes, pois no decorrer da parte

prtica deste trabalho esse mtodo de aprendizagem foi frequentemente utilizada.

Acrescento ainda uma anlise de como os livros didticos abordam a operao soma de

fraes, tendo em vista que esses so um recurso usado pelos professores para planejarem suas

aulas. Sabendo do aproveitamento desses livros, seja para a explicao do contedo ou como

banco de exerccios, busco intuir como as somas de fraes so trabalhadas na escola, e mais

tarde, se vo ao encontro com os dados obtidos na parte prtica deste trabalho.

4.1 Os Parmetros Curriculares Nacionais e o Ensino de Fraes

Segundo os PCN, o problema em torno dos nmeros racionais comea quando os alunos

chegam ao terceiro ciclo (quinta srie) ainda sem compreenso dos diferentes significados

associado a esse tipo de nmero (BRASIL, 1998, p. 100).

Encontramos listadas nos PCN algumas dificuldades no ensino dos nmeros racionais,

nomeadas como obstculos, mais especificamente sobre o ensino das fraes, encontramos

alguns itens que dizem respeito s rupturas que os alunos precisam se adaptar:

As diferentes representaes indicando mesma quantidade, como

A mudana na estratgia de comparao, pois no conjunto dos naturais os alunos

aprendem que 3>2 e agora no novo conjunto devem entender que

17

A mudana no resultado de algumas operaes, como a multiplicao, que nos

naturais sempre resultava em um produto maior que as parcelas, enquanto que ao

multiplicarmos

por 12, por exemplo, no teremos um produto maior que 12.

Relao parte/todo, diviso e razo, so os contextos onde as fraes esto inseridas

assumindo diferentes significados, como consta nos PCN (BRASIL, 1998). No primeiro

contexto, a frao indica a relao que existe entre um nmero de partes e o total de partes

equivalentes, no segundo, a frao interpretada como um quociente de um inteiro por outro, e

finalmente no terceiro, a frao usada como um ndice comparativo entre duas quantidades.

Essas diferentes interpretaes no devem ser isoladas, cada significado deve ser consolidado

pelo aluno do sexto ao nono ano (ou quinta a oitava srie).

Ainda no relato sobre nmeros racionais, os PCN instruem que o estudo deve ter como

objetivo levar os alunos a perceber que os nmeros naturais so insuficientes para resolver

determinadas situaes problema, o que vai ao encontro com um dos seus direcionamentos

iniciais, que descrevem aquilo para o qual os alunos devem ser capacitados durante o Ensino

Fundamental:

Questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolv-los,

utilizando para isso o pensamento lgico, a criatividade, a intuio, a capacidade

de anlise crtica, selecionando procedimentos e verificando sua adequao

(BRASIL, 1998, p. 8).

4.2 Retrospecto sobre o Ensino de Fraes como Relao Parte-todo

Geralmente, por parecer uma maneira mais simples de aprender, o ensino iniciado

constituindo-se de muitas representaes geomtricas, onde figuras (na maioria planas) so

divididas em n partes iguais e uma certa quantia dessas n partes destacada, seguindo tambm o

exemplo da maioria dos livros didticos. (Santos, 2005). Essa forma de constituio do conceito

de frao desenvolve no aluno uma habilidade um pouco diferente da desejada, que seria atribuir

18

frao uma quantidade, compar-la com um nmero natural, localiz-la na reta numrica, etc.

Ao invs de seguir essa direo, essa forma de aprendizado desenvolve uma outra habilidade,

chamada por Bertoni (2005) de atribuio de um signo numrico, a qual ocorre quando o

indivduo conta as partes n e m, e em seguida descreve-as abaixo e acima de um trao horizontal.

De acordo com Bertoni (2005, p. 2), o signo numrico no chega a ser compreendido

como um nmero, no adquire o status de um objeto matemtico destinado a quantificar, no se

incorpora ao universo dos nmeros naturais, ampliando-o. Como conseqncia disso, os alunos

no conseguem perceber que

maior que 1, simplesmente pelo fato de o numerador ser maior

que o denominador, ou que

menor que

, quando facilmente poderia ser feita a relao com a

frao

, por ser

menor que a metade e

maior.

Bocalon (2008) observa em sua pesquisa com professores do Ensino Fundamental, que as

crianas no entendem a frao como uma diviso em partes iguais, o que resulta em erros

conceituais, e ainda nos aponta que a maior das dificuldades encontradas devida a falta de base

matemtica trazida das sries iniciais, problema esse classificado por ela, baseado na opinio dos

professores entrevistados, como insupervel.

Segundo Nunes (2005, p. 159) para que os alunos tenham bem claro como importante

que as partes sejam iguais, necessrio que eles estabeleam a conexo entre o conceito de

frao e a operao de diviso, pois essa produz sempre partes iguais. Penso que impossvel

entender o conceito de frao sem estabelecer essa conexo, mas preciso cuidado, pois os

alunos apreciam dividir o numerador pelo denominador. Ento faz-se necessrio esclarecer que

um inteiro que deve ser dividido pelo denominador, enquanto o numerador representa as

quantidades selecionadas.

Voltando para as figuras geomtricas, Campos e Cols (1995, apud NUNES, 1997) nos

mostram que dificilmente os alunos conseguem o mesmo sucesso quando precisam analisar um

pouco mais as relaes parte-todo presentes na figura, quando o processo de dupla contagem1 no

suficiente. Durante uma etapa da pesquisa, apenas 16% dos alunos representaram corretamente

a frao correspondente figura apresentada, na qual duas das oito partes eram pintadas, mas

1 Consiste em duas contagens para representar uma frao, conta-se o total de partes que a figura foi dividida, para

ocupar o lugar do denominador, e em seguida conta-se o total de partes pintadas para ocupar o lugar de numerador.

19

essas estavam unidas, sendo que o aluno que no analisasse se as partes eram iguais, representaria

a frao como

, e no como

ou

. Isso sugere a hiptese que as crianas podem usar

corretamente a linguagem de fraes sem compreender a natureza da mesma.

4.3 O Ensino atravs das Resolues de Problemas

Encontramos duas definies que se encaixam muito bem num perfil de ensino que

busca motivar os alunos atravs da resoluo de problemas, a primeira delas diz que problema

toda situao em que os alunos necessitam pr em prtica tudo o que sabem, mas que contm

tambm algo novo, para o qual ainda no tm resposta e que exige a busca de solues.

(MARINCEK, 2001, p. 15). A autora ainda explica que atravs dessas imposies que novas

relaes sero criadas para a construo de alguns conhecimentos que iro modificar os

anteriores.

A segunda definio se refere soluo de um problema, e diz que significa

concentrar-se em uma tarefa que revele alguma dificuldade e que obrigue a pessoa que o est

resolvendo a um questionamento sobre qual seria o caminho a ser seguido com a inteno de

alcanar uma meta. (ECHEVERRA, 1998 apud SILVA, 2008, p. 225)

Essas definies vm ao encontro da parte prtica deste trabalho, pois em minhas

experincias docentes, noto que a motivao dos alunos no sentido de produzir em sala de aula se

deve primeiramente ao fato de eles pensarem que sabem ou no trabalhar com tal contedo.

Sendo assim, quando partimos de uma situao que parece ter possibilidade de soluo, o ensino

se torna mais fcil e prazeroso.

Em Lima (2007, p.184) vemos que um procedimento que certamente desperta a ateno

dos alunos abrir cada novo tema com um problema que necessita dos conhecimentos que vo

ali ser estudados a fim de ser resolvido. Sendo assim, a iniciao do contedo de fraes atravs

de problemas simples, onde os alunos acresam seus conhecimentos de forma natural, uma

forma razovel de pensar o ensino de fraes.

20

Estudos realizados por Carraher (1999) com crianas de 9 a 15 anos, atravs de testes

formais e informais, obtiveram seus melhores resultados pela forma informal, quando os

avaliados resolviam problemas matemticos frequentes em seus contextos, e deram origem

seguinte afirmao:

A anlise lgica implicada na soluo de um problema facilita a resoluo do mesmo,

pois o insere num sistema de significados bem compreendidos, ao invs de constituir

uma habilidade isolada que executada numa sequncia de passos, os quais levariam

soluo. (CARRAHER, 1999, p. 84).

Na citao acima, vemos que a autora faz um comparativo da resoluo de problemas

com a aplicao de algoritmos ou com a anlise dos dados e da situao proposta, onde nesse

caso o aluno deve procurar por possveis sadas para a resoluo. Alm de auxiliar no acerto do

problema, o segundo tipo de resoluo possibilita o desenvolvimento lgico do aluno.

DAmbrsio (2002) nos ensina que os desafios existem quando se precisa tomar

decises sobre imprevistos, em situaes inesperadas, pois nas conhecidas e rotineiras basta a

utilizao de regras memorizadas, e como todos sabem, a matemtica exige criatividade, ao

mesmo tempo que fornece os instrumentos necessrios para avaliarmos as conseqncias da

deciso escolhida.

Quando desde os anos iniciais priorizado o aprendizado de apenas procedimentos, e

deixado de lado a construo de conceitos pelo aluno, Silva (2008) afirma que deixa-se de

oferecer a possibilidade de uma convivncia tranquila e satisfatria com a Matemtica. Essa ideia

reforada por Bertoni:

Visa-se formao do aluno-calculadora no importando o que ele entenda ou no, mas bastando que consiga realizar qualquer operao com os nmeros naturais,

fracionrios, decimais. No se enfatiza nem mesmo como usar essas operaes, ou como

combin-las, na resoluo de problemas. (2009, p. 28, 29)

Em outro trabalho, Bertoni (200?) diz que por ser pouco comum o uso de clculos com a

representao fracionria em nossa cultura, se observa uma nfase de nossos livros didticos e

propostas curriculares em desenvolver esses clculos de modo mecnico, o que acaba por resultar

em quase nenhum uso funcional autntico.

21

Segundo Marincek (2001), as situaes de resoluo de problemas devem ser as mais

diversificadas possveis, pois quanto mais forem, mais chances os alunos tero de conseguir

atribuir sentido operao.

Podemos encerrar esse subcaptulo, deixando bem clara a importncia da resoluo de

problemas para o ensino de fraes e de outros contedos, atravs de uma citao da mesma

autora: A atividade de resoluo de problemas est diretamente associada atividade

matemtica. buscando respostas para problemas no solucionados que os matemticos avanam

em direo a novas descobertas. (Marincek, 2001, p. 14).

4.4 A Operao Soma de Fraes nos Livros Didticos

Faremos aqui uma breve anlise de trs livros didticos e do Referencial Curricular

Lies do Rio Grande, a fim de conferir o modo como esses propem o aprendizado da operao

de soma envolvendo fraes. Os livros didticos analisados sero os do 6 ano das colees:

Tudo Matemtica (DANTE, 2010); Matemtica (BIANCHINI, 2006) e Matemtica na

Medida Certa (CENTURIN, JAKUBOVIC, 2010); (JAKUBOVIC, LELLIS, CENTURIN,

1999) e (JAKUBOVIC, LELLIS, 1994).

A importncia em incluir este captulo no trabalho se deve ao fato de em diversas

situaes os professores fazerem uso de livros didticos no planejamento e implementao de

suas aulas, seja por meio de explicaes dos contedos ou pelo aproveitamento das definies e

dos exerccios.

O objetivo desta anlise est em verificar se os livros didticos e o referencial curricular

utilizam o algoritmo do m.m.c. para essa operao e, se utilizam, explicam a origem desse, ou

seja, se um aluno ao ler o livro didtico saberia que para somar duas ou mais fraes a condio

necessria e suficiente que tenhamos denominadores iguais, e para isso devemos obter fraes

equivalentes.

22

4.4.1 Referencial Curricular Lies do Rio Grande

O Referencial Curricular Lies do Rio Grande um documento que aborda estratgias

para enfrentar o desafio de melhorar a qualidade das aprendizagens do ensino pblico do estado

do Rio Grande do Sul. Este referencial indica as principais habilidades, conceitos estruturantes e

situaes de aprendizagens que devem ser vivenciados pelos alunos em cada etapa do Ensino

Fundamental e Mdio. Encontramos as orientaes divididas em trs partes, elas so destinadas

5 e 6 sries, 7 e 8 sries e a ltima aos trs anos do Ensino Mdio.

No decorrer da primeira parte, as fraes so classificadas como homogneas e

heterogneas, as primeiras possuem denominadores iguais, e as segundas, diferentes. A

orientao no sentido de estimularmos os alunos a juntar partes de um inteiro, mesmo que essas

partes no sejam iguais, expressando o resultado por um nico nmero.

Figura 1: Exemplificando a soma com fraes homogneas. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 94)

Sendo assim, reconhecer que necessrio usar fraes equivalentes para adicionar ou

subtrair fraes heterogneas se apresenta como uma habilidade e/ou competncia a ser atingida

pelo aluno, assim como determinar as fraes equivalentes que sero usadas para tal, analisando

os denominadores. O procedimento ento para a soma com fraes heterogneas, dividir as

partes diferentes para a obteno de partes iguais.

23

Figura 2: Exemplificando a soma com fraes heterogneas (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 94)

Podemos notar nas ilustraes acima a presena de um embasamento em figuras

geomtricas, e esses so os nicos exemplos de soma de fraes que constam nessa parte do

referencial. Apesar de explorar bastante anteriormente o conceito de fraes equivalentes,

acredito que seria interessante uma situao em que fosse difcil representar as fraes por meio

de desenhos, com a finalidade de som-las.

Prosseguindo at a parte que aborda habilidades, conceitos estruturantes e situaes de

aprendizagens para a 7 e 8 sries, encontramos um item de retomada das operaes com fraes,

e esse mais extenso que o item constante para a 5 e 6 sries.

Figura 3: Exemplo de estratgia para a resoluo de uma soma. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 137)

Segundo o referencial: muito mais significativo encontrar fraes equivalentes para

adicion-las e subtra-las, do que fazer mecanicamente o procedimento do mmc e aquele

tradicional divide pelo debaixo e multiplica pelo de cima. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p.

137)

24

Encontramos ainda nessa parte do referencial a presena de situaes-problema, que

necessitam de estratgias para a resoluo, como a equivalncia de fraes.

Figura 4: Situao-problema que explora a equivalncia de fraes. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 138)

Acredito que so os exerccios como o do exemplo acima que enriquecem o

aprendizado, pois possibilitam uma anlise real da utilizao do contedo.

2.4.2 Livro didtico Tudo Matemtica

Nesta coleo, de Luiz Roberto Dante, analisei somente o livro do 6 ano, por entender

que a introduo do contedo soma de fraes est somente aqui, nos demais anos ela abordada

como reviso, no contribuindo para essa anlise. A abordagem da adio e subtrao de fraes

ocorre em apenas uma pgina, de forma bem simples, atravs da resoluo de quatro problemas,

onde encontramos em dois deles fraes com denominadores iguais, e denominadores diferentes

nos outros dois.

25

Figura 5: Problema envolvendo fraes com denominadores iguais. (DANTE, 2010, p. 171).

Apesar de a resoluo estar bastante esclarecedora, ela deixa a impresso de estar

faltando algo, por se tratar de uma explicao inicial.

Figura 6: Problema envolvendo fraes com denominadores diferentes. (DANTE, 2010, p. 171).

26

notvel nessa abordagem a presena de uma resoluo mais algortmica, pois o autor

no explica porque o denominador das fraes equivalentes deve ser o m.m.c. entre os

denominadores das fraes originais. Mesmo que o aluno tenha um grande embasamento de

fraes equivalentes, penso que ficaria complicado para ele perceber de onde surgiram os novos

numeradores.

No apndice Manual do Professor, vemos dois exemplos mais detalhados de

procedimentos para somar fraes. O primeiro acompanhado de quadrados separados em partes

e algumas dessas pintadas, e exemplifica a soma quando os denominadores so iguais. O segundo

no utiliza o mmc em sua resoluo, tornando a resoluo desnecessariamente longa.

Figura 7: Resoluo de uma soma de fraes sem o uso do m.m.c. (DANTE, 2010, apndice p. 70).

Esses dois exemplos deixam a impresso de que esse apndice serve como suporte aos

professores, para obterem alternativas de explicar o contedo do captulo aos alunos, pois os

exemplos esto mais desenvolvidos que os presentes no captulo que trata do assunto. Sendo

assim, acredito que esses se encaixariam melhor dentro do contedo do livro, para que os alunos

tambm tivessem acesso no caso de no entender o uso do algoritmo, se dado pelo professor de

maneira direta.

27

4.4.3 Livro Didtico Matemtica

Na coleo de Edwaldo Bianchini, uma caracterstica marcante a presena de fatos do

cotidiano, bem como problemas que so propostos depois dos contextos em que podem se inserir.

Os livros tambm so otimamente ilustrados.

A soma de fraes com denominadores iguais possui um captulo a parte dentro do

captulo de operaes com nmeros racionais na forma de frao. O autor inicia atravs de

problemas, onde devemos calcular a quantidade de bolo vendida durante a semana a partir da

seguinte tabela:

Figura 8: Tabela de fraes para cada dia da semana. (BIANCHINI, 2006, p. 182)

Na resoluo ainda encontramos uma explicao muito til de como representar as

fraes imprprias atravs de figuras geomtricas. Observe ainda que o autor mostra o

significado da frao

quando inclui a representao mista, e diz que a frao maior que um,

ou seja, mais de um bolo.

Figura 9: Problema que exemplifica a soma de fraes com denominadores iguais. (BIANCHINI, 2006, p. 183)

28

No final o autor ento conclui que nesse caso especfico, devemos somar os

numeradores e conservar o denominador comum.

No segundo subcaptulo sobre as operaes com fraes, a soma com denominadores

diferentes tambm se inicia com problemas. Aqui, o problema buscava somar duas fraes

representando quantidades de suco e de iogurte:

Figura 10: Problema para exemplificar a soma de fraes com denominadores diferentes. (BIANCHINI, 2006, p.

186,187)

Esse problema foi resolvido nos mnimos detalhes, mas dificilmente esse tipo de

resoluo, sem um trabalho prvio, com o item

cabe 3 vezes em

; ento

, poderia ser

estendida, pois necessita do auxlio geomtrico para visualizao. Acredito que esse exemplo no

se encaixa to bem como o anterior, pois no traz nenhuma anlise relevante, alm de ser um

pouco estranha a inteno de somar suco com iogurte, pois no sabemos se os lquidos se

misturariam.

Ao final do captulo, proposto um bom mtodo de somar fraes, pois alm de no

utilizar o mnimo mltiplo comum e evidenciar o uso das fraes equivalentes, de fcil

interpretao:

29

Figura 11: Como calcular fraes com denominadores diferentes. (BIANCHINI, 2006, p. 188)

O autor finaliza com diversos exemplos de aplicao direta, com denominadores onde o

mximo divisor comum 1, diferente de 1, somando fraes com nmeros mistos, e subtraindo

nmeros naturais de fraes. Nos exerccios ainda encontramos mais problemas contextualizados,

outros com figuras geomtricas e alguns somente de resoluo direta.

4.4.4 Livro didtico Matemtica na Medida Certa

Encontramos neste livro, escrito por Marlia Centurin e Jos Jakubovic, o auxlio ao

ensino do livro didtico iniciado por meio de uma figura geomtrica, e no final generaliza para

qualquer soma de fraes que tenham mesmos denominadores. Em seguida, apresenta mais

exemplos, nesse momento sem figuras.

No caso das fraes com denominadores diferentes, o livro conta com um texto

explicativo, o qual diz que nesse caso, no adianta representarmos as fraes por meio de figuras

geomtricas, pois as partes seriam diferentes e no poderiam ser somadas. Ele utiliza a soma

para exemplificar, omitindo ento a informao que poderamos fazer a seguinte

representao, por exemplo:

Figura 12: Exemplo de mudana no nmero de partes para a soma se tornar possvel.

30

Dividindo

em mais trs partes e

em mais duas partes, assim poderiam ser somadas

sem nenhum problema. No estou aqui sugerindo que essa explicao seria mais eficiente, apenas

que o autor comete um equvoco quando diz que no possvel, estreitando os caminhos

possveis para o aluno entender.

A sugesto que o autor prope a troca por fraes equivalentes, e o exemplo que ele

apresenta est muito bem resolvido e explicado nos detalhes. Considero essa resoluo a mais

agradvel de todos os livros analisados, pois o autor no inclui o termo mnimo mltiplo comum

sem dizer para que esse serve, antes, explica que o novo denominador deve ser mltiplo dos

outros dois antigos, e ainda o menor. Alm disso, auxilia para encontrar tambm os novos

numeradores.

Figura 13: Melhor resoluo encontrada. (CENTURIN, JAKUBOVIC, 2010, p. 165)

Na resoluo do exemplo seguinte usado o m.m.c. mais explicitamente, mas no

dado um conjunto de regras sem sentido para calcular a soma, apenas usado para facilitar a

descoberta do novo denominador. Sendo assim, o termo no ficou perdido em meio frase, como

no livro Tudo Matemtica, que analisamos anteriormente.

Como de costume, encontramos um resumo de como obter as somas de fraes, e nesse

caso, o autor usa a ideia de reduzir as fraes at chegar em um denominador comum, penso que

o termo reduzir indica simplificao de fraes, o que pode acontecer ou no nesse

procedimento, mas poderia gerar uma vinculao de informaes equivocada para o aluno, pois

ao multiplicarmos os numeradores e denominadores das fraes no estaramos reduzindo-as.

31

Figura 14: Como calcular fraes com denominadores diferentes. (CENTURIN, JAKUBOVIC, 2010, p. 165)

Investigando as edies anteriores desse mesmo livro, um exerccio chama a ateno

pelas mudanas de cada ano em seu enunciado, quando na tentativa de mudar para melhor,

notamos uma incoerncia em seus dados. Encontramos na edio de 1999, o seguinte enunciado:

Figura 15: Enunciado com problemas. (JAKUBOVIC, LELLIS, CENTURIN, 1999, p.124)

Na sugesto que o problema prope, ele pede que sejam indicados os tempos que a

pessoa percorreu, mas no aponta em nenhum momento a relao que os tempos teriam com o

percurso percorrido. O aluno que tentasse seguir a sugesto provavelmente pensaria em supor o

tempo de viagem para um quarto e um tero da estrada.

Na edio de 1994, o mesmo problema era apresentado na pgina 134, da seguinte

maneira:

32

Figura 16: Mesmo exerccio em uma edio anterior. (JAKUBOVIC, LELLIS, 1994, p. 134).

Vemos ento que o problema era separado em itens (a) e (b), e no apresentava nenhum

erro de coerncia das informaes. O item (a) contm a sugesto que estava no mesmo exerccio

na edio anterior, enquanto o item (b) era a pergunta central do problema.

Na edio de 2010, alm da incluso de uma ilustrao, na sugesto vemos a troca da

palavra tempos por trechos, facilitando ento a resoluo do exerccio.

Figura 17: Como se apresenta o exerccio na edio atual. (CENTURIN, JAKUBOVIC, 2010, p. 128)

33

Analisando as mudanas desse exerccio, conclumos que ao tentar melhorar o

enunciado, o autor acabou embaraando as ideias presentes nele. Outro fato recorrente que

podemos afirmar agora, que mesmo mudando as edies, os exerccios permanecem os

mesmos, mudando apenas ilustraes e erros.

34

5 PROCEDIMENTOS METODOLGICOS

A natureza das questes investigadas nesse trabalho, bem como seus objetivos,

direcionaram realizao de uma pesquisa de campo, segundo Fiorentini (2006), pois a coleta de

dados foi feita exatamente onde o problema est, na sala de aula.

O objetivo foi obter respostas s questes de investigao, descritas na pgina 8, com as

quais passamos a descobrir as possveis carncias que sofre o ensino-aprendizagem de fraes,

aquelas partes do contedo que faltaram ou foram desconsideradas, ou apenas precisaram ser

vistas de uma forma rpida durante o aprendizado, assim como aquelas que talvez j caram no

esquecimento, partes essas essenciais para tornar claro o conhecimento do assunto.

Em busca dessas respostas trabalhei em trs momentos distintos, variando os grupos de

alunos. Primeiramente, estive em regncia de uma classe de sexto ano (quinta srie) do Ensino

Fundamental, praticando o ensino das Fraes, na Escola Municipal Santa Rita de Cssia, situada

em Gravata, no decorrer da disciplina de Estgio em Educao Matemtica II. A turma 61, em

que vivenciei o meu perodo de estgio, possui caractersticas bem marcantes, entre elas acredito

ser importante destacar a faixa etria diversificada, a falta de comprometimento com os estudos,

o desinteresse em aprender com as explicaes expositivas dos professores no quadro, e uma

forte busca por atendimento individual, o que se torna uma tarefa complicada mediante trinta

alunos.

Essa etapa da pesquisa teve a durao de seis semanas, com 6 horas/aula em cada uma,

com esse tempo disponvel as aulas costumavam render bastante, mesmo sem apressar as

atividades. Durante as aulas, procurei analisar respostas para as questes (i), (ii), (iii), (iv) e (vii).

Num segundo momento, aps o trmino do perodo de estgio, selecionei dez alunos

dessa mesma turma para participarem de uma ltima oficina, para aprofundar questes sobre

relao parte-todo, representao de frao atravs de figuras geomtricas, e tambm para colher

um material mais descritivo a respeito das noes de fraes de cada aluno. Por essa razo, os

dados analisados desde o incio da pesquisa com a turma 61 so referentes somente a esses dez

alunos.

35

O critrio de seleo utilizado foi de acordo com o interesse em aprender que notei em

cada aluno, visto que foi notvel a falta de ateno e de interesse de quase um tero da turma.

Assim, esses dez alunos fazem parte do grupo que mostrou maior interesse, mas no

necessariamente do grupo que obteve melhores resultados. O segundo momento visou auxiliar

nas respostas para as questes (i), (ii) e (iv).

No terceiro momento, planejei uma oficina destinada a alunos de sexta e stima sries

(stimo e oitavo anos), abordando a simplificao de fraes, fraes irredutveis e soma de

fraes atravs de fraes equivalentes, procurando responder s questes (v), (vi) e (vii). Essa

oficina ocorreu na Escola Estadual Tuiuti, tambm situada em Gravata, dentro do projeto Mais

Educao, que visa aumentar a oferta educativa nas escolas pblicas por meio de atividades

optativas, estabelecendo assim um turno integral para os alunos da escola.

O pblico presente nessa oficina foi de dezoito alunos, mas apenas oito mostraram

interesse em contribuir e aprender. Por essa razo, s considerei e analisei os dados referentes a

esses alunos.

Com o intuito de descrever os sujeitos que participaro do estudo, nos dois diferentes

grupos foi aplicado um questionrio misto, contendo as seguintes questes:

1. Qual a sua idade?

2. Voc est cursando o ano ou srie em que est pela primeira vez?

3. Voc gosta da forma como o seu professor de Matemtica prope as aulas? Por qu?

4. Com que freqncia voc estuda Matemtica em casa?

( ) Todos os dias ( ) Uma vez por semana

( ) Em um dia sim e no outro no ( ) Nunca

( ) Apenas prximo das provas

Esse questionrio foi respondido ao final da pesquisa, para que os participantes

pudessem se sentir vontade para respond-lo. A anlise desse questionrio encontra-se a seguir

no perfil dos alunos participantes.

36

Outro instrumento de coleta de informaes utilizado foi o dirio de campo. De forma

que esse permitiu salvar algumas informaes importantes para os resultados deste trabalho do

esquecimento. O dirio tambm foi til para a escrita dos resultados, quando por meio de relatos

sobre o desenvolvimento das prticas e das respostas dos alunos a elas, as hipteses foram

provadas ou negadas.

Um dos procedimentos utilizados para cumprir com os objetivos do trabalho foram as

avaliaes, individuais e sem consultas, que foram usadas como registros de aproveitamentos de

cada semana de aula. Por se tratar de uma turma de sexto ano, tive como alunos crianas que no

estavam habituadas a estudar em casa, e s vezes nem mesmo na sala de aula, por esse motivo, e

tambm por querer colher o resultado imediato de cada aula, optei por realizar avaliaes

semanais, para que assim eu fosse capaz de avaliar qual efeito surtia cada aula, cada exemplo,

cada explicao diferente.

Tambm podemos citar como instrumento de coleta de informaes, a constante

observao dos alunos nas aulas, atravs dos relatos destes e das maneiras que trabalharam nas

atividades propostas, sempre considerando o interesse e o comprometimento de cada um.

5.1 Perfil dos alunos participantes

Atravs do questionrio aplicado no encerramento das atividades com cada grupo, tracei

o perfil dos alunos que participaram da pesquisa.

Nos alunos da turma de sexto ano (61), a faixa etria se concentra nos 11 anos de idade,

como podemos ver pelo grfico a seguir:

37

Grfico da faixa etria dos alunos da turma 61

Quanto a repetncia, apenas duas alunas estavam cursando o sexto ano pela segunda vez.

Considero que essa caracterstica contribuiu para os resultados da pesquisa, pois entendo que

dessa forma, baseado nos referenciais tericos, os alunos tinham pouco conhecimento sobre as

fraes.

Os alunos, em sua maioria, no foram muito sinceros ao responder a pergunta com que

freqncia voc estuda Matemtica em casa? Noto que h divergncia entre as respostas e a

realidade que eu acompanhava.

Grfico da frequncia de estudo dos alunos da turma 61

1

24

5

10

5

10

15

20

25

30

10 anos 11 anos 12 anos 14 anos

23

11

3

11

0

2

4

6

8

10

12

Todos os dias Uma vez por semana

Em um dia sim e no outro

no

Nunca Apenas prximo das

provas

38

Como podemos ver pelo grfico, onze alunos afirmaram estudar quase todos os dias e

dois todos os dias, o que vai de encontro com as caractersticas da turma, pois quando eu

observava os cadernos, no encontrava sinais de estudos em quase totalidade deles.

Ao analisar as respostas para a pergunta Voc gosta da forma como o seu professor de

Matemtica prope as aulas? fiquei surpresa com os 100% de respostas positivas nas duas

turmas. Nas justificativas, os alunos atriburam as qualidades legal, calmo e divertido, alm disso,

ainda consideraram o fato que eles aprendem e que o professor explica direito. Como podemos

ver a seguir na figura 18.

A proximidade das respostas para esse item nas duas turmas, transmite uma frmula dos

alunos de como ser um bom professor, aquele que torna as aulas divertidas, calmo, e tem o

poder de explicar bem, fazendo eles entenderem a matria proposta.

Figura 18: Questionrios de alunos da turma 61 e E, respectivamente.

Ao analisar os questionrios dos alunos de sextas e stimas sries (turma E), s

considerei os dados obtidos daqueles que efetivamente participaram da oficina, e contriburam

para a pesquisa. A faixa etria no relevante, visto que o objetivo era apenas que eles j

tivessem trabalhado com o contedo de fraes, mas os alunos analisados possuam 12, 13 e 14

anos de idade.

39

Entre os oito participantes, trs estavam cursando a srie em que estavam pela segunda

vez, e cinco pela primeira vez. Sobre a frequncia com que estudam em casa, vemos no grfico

que a turma diversificou as respostas, sendo que trs admitem que no tm o hbito do estudo,

enquanto cinco variam entre uma vez por semana e todos os dias.

Grfico da freqncia de estudo dos alunos da turma E

0

1

2

3

Todos os dias Uma vez por semana

Em um dia sim e no outro

no

Nunca Apenas prximo das

provas

40

6 ANLISE DOS DADOS

Finalmente chegamos parte prtica do trabalho, onde poderei descrever quais das

estratgias de ensino de fraes aplicadas na pesquisa se mostraram ou no funcionais,

confirmando ou negando assim, a hiptese de um aprendizado mais eficiente com determinados

mtodos de trabalho, os quais sero descritos a seguir, e que exigem menos da memria e mais do

raciocnio.

6.1 Investigando a Intuio dos Alunos sobre a Definio de Frao

Na primeira semana de aula com a turma 61, tinha como objetivo trabalhar para que os

alunos compreendessem a definio de frao como relao parte-todo, passassem a utilizar

corretamente a nomenclatura para escrita e fala a respeito das fraes, e ainda que pudessem

aplicar a definio comeando a resolver problemas. O primeiro problema proposto, para que eles

pensassem intuitivamente, foi o seguinte:

Na casa de Jorge tem 2 mas, mas ele precisa dividir IGUALMENTE com seus

irmos Mauro, Bruna e Cris, quanto cada irmo poder comer?

Como esperado, os alunos acharam muito fcil. O problema serviu para introduzir a

nomenclatura que comearamos a utilizar, trocamos a palavra metade por

, pois cada um

poderia comer um pedao de cada ma, que haviam sido divididas em dois pedaos. Assim,

ficou inicialmente claro que o total de partes corresponde ao denominador, e as partes

selecionadas ao numerador.

Depois de trabalhar com mais dois problemas intuitivos, e abordar melhor como se lem

e escrevem as fraes o que no relevante para este trabalho - escrevi no quadro a definio

que usaramos: Frao uma quantidade que representa uma parte de um todo.

41

Antecipando a quinta aula, onde pedi aos alunos que entregassem uma lista de

exerccios, j podemos analisar alguns resultados a respeito da intuio dos alunos sobre os

problemas iniciais:

Figura 19: Resoluo correta de problema envolvendo relao parte/todo.

Figura 20: Conceitos ainda no apropriados.

Quando inclu a dica entre parnteses, gostaria que os alunos pensassem no espao entre

os nmeros de um relgio analgico. Assim, as fraes obtidas seriam:

e

todas

irredutveis, mas nenhum aluno pensou dessa forma. Aqueles que acertaram, escreveram as

fraes como as da primeira figura, sem desenhar o relgio.

Os exemplos refletem como a turma ficou dividida, uma boa parte se absteve do

problema e deixou-o em branco, outra parte no teve dificuldades em montar as representaes

fracionrias, e apenas trs alunos fizeram essa troca entre numerador e denominador.

Avanando nos problemas, na segunda aula passei a trabalhar na ordem inversa,

fornecendo a frao e pedindo a quantidade que essa representa em relao ao todo. Os exemplos

mais explorados foram com o uso do dinheiro, como o seguinte:

O salrio de Daniel de R$ 2.168,00. Veja como ele utiliza cada parte do seu salrio e

calcule o valor correspondente:

42

do seu salrio para pagar o aluguel da sua casa:

em passagens de nibus:

com a penso de seus filhos:

para colocar na poupana:

Os alunos gostaram desse tipo de problemas, pois no tiveram dificuldade inicialmente

em intuir que deviam dividir a quantia inteira pelo denominador, e no primeiro problema desse

tipo isso bastava. J no caso do problema acima, onde incrementei com numeradores diferentes

de 1, apenas alguns concluram que deveriam aps a diviso multiplicar o quociente pelo

denominador.

Ainda questionei-os se sobrava algum dinheiro do salrio de Daniel. Com o que j

haviam aprendido, eles no souberam responder. Mesmo assim, chutaram uma resposta. Diante

dessa situao, introduzi as representaes de fraes utilizando figuras geomtricas, de modo

que se dividssemos uma circunferncia em 8 partes, como fizemos com o salrio, iramos pintar

todas as partes, e teramos o salrio inteiro.

Essa explicao foi a chave para eles entenderem inicialmente que

. Considero que

esse tipo de problema em questo importante de trabalhar com uma turma que est aprendendo

fraes, pois h inserido nele vrios tpicos a serem levantados.

A fim de investigar as respostas dos alunos sobre a ideia que eles podiam me apresentar

sobre fraes, propus no nosso ltimo encontro que eles descrevessem um problema envolvendo

fraes, e solucionassem o mesmo. Obtive alguns problemas pouco criativos, como os descritos a

seguir:

43

Figura 21: Problemas simples criados pelos alunos.

Figura 22: Problema com enunciado vago.

Os alunos que escreveram os problemas da figura 21 o fizeram de forma bem simples,

provavelmente para que no tivessem trabalho depois na resoluo. J na figura 22, o aluno

tambm tenta simplificar, e acaba deixando o seu problema bem vago. Quando ele diz que quer

dar um pedao de chocolate para os amigos, no diz que todo e nem especifica o quanto, logo,

44

qualquer nica frao que ele tenha distribudo tornaria a soluo correta. No final ele observa

que sobrou

, ento ele pode ter se includo na diviso, ou no.

Nenhum aluno foi questionado sobre o problema que props, e sua resoluo. Logo, as

anlises esto de acordo com a minha interpretao. Os trs problemas acima, apesar da

simplicidade com que foram escritos, apresentam coerncia em suas resolues, diferente dos

prximos:

Figura 23: Problema solucionado de maneira duvidosa.

Independente do que o aluno descreveu que vinha 30 unidades nessa caixa, no faz

sentido cada filho receber

, ele poderia descrever a quantidade que essa frao representa, 10

unidades, assim estaria correto, mas dessa forma ele demonstrou que no sabe o que significa

Figura 24: Problema solucionado de forma incompleta.

45

O modelo desse problema foi baseado em alguns propostos em aula, s faltou a aluna

resolver como foi resolvido em aula. A figura que ela utiliza para representar a pizza no est

dividida em partes iguais. A operao est correta, mas no indica a frao que sobrou de pizza, e

sim a que j foi comida. Com o auxlio da figura, a aluna poderia contar as partes no pintadas,

ainda que no iguais, e concluir que sobraria

da pizza.

Figura 25: Problema com dados incoerentes.

A aluna no considera a anlise lgica implicada no seu problema, pois no h motivos

para algum comprar s a metade de um lpis. O prximo problema apresenta uma situao

criativa, alm de uma correta resoluo:

Figura 26: Problema escrito e resolvido corretamente.

Ao montar um problema de comparao, a aluna utiliza um todo em comum, tornando

os dados do problema coerentes. Ao solucionar, ela no percebe que no precisaria transformar

46

em fraes equivalentes, pois elas possuem o mesmo numerador, logo bastaria analisar que 2

pedaos de um todo que foi dividido em 3, so maiores que 2 pedaos do mesmo todo dividido

em 5. Existe tambm a possibilidade de ela saber desse fato, mas querer mostrar rigorosamente a

veracidade da sua resposta.

Os problemas apresentados mostraram que poucos alunos ainda apresentavam

problemas de conceituao de frao, a maioria soube expressar corretamente o que aprendeu.

6.2 As Figuras Geomtricas Representando Fraes

Mais tarde, foram trabalhados exerccios de representaes fracionrias a partir de partes

pintadas e partes no-pintadas de figuras geomtricas dadas, como as seguintes:

Figura 27: Figuras utilizadas nos exerccios.

No foi trivial para os alunos que a quantidade de divises representa o denominador

enquanto a parte pintada ou a parte no pintada representa o numerador, aonde conclu que essa

representao algortmica, apenas uma conveno. Eles no pensam em desenhar uma figura

desse tipo para facilitar a resoluo de problemas, apesar de eu ter resolvido alguns dessa

maneira.

Observo ainda que na segunda figura nenhum deles utilizou a representao

, somente

. Na tentativa de antecipar a investigao sobre equivalncias, a resposta que obtive no foi

positiva.

47

Em um dos momentos da segunda semana de aula, construmos um varal de fraes.

Cada aluno recebeu um pedao de cartolina, e deveria escolher uma frao para ali representar.

As fraes escolhidas foram todas prprias. No ocorreu nenhum desenho criativo, todos

escolheram circunferncias e retngulos.

Durante o processo, precisei pedir a vrios alunos para refazerem o desenho, pois as

divises das figuras no estavam em partes iguais. Mesmo nos retngulos eles traavam as

divises com grande diferena. Nesse momento ento ressaltei para a turma que se as partes no

fossem iguais, aquela figura no era a representao de uma frao. Depois de prontos, fixei os

trabalhos em um cordo no fundo da sala.2

Mais tarde, quando solicitado turma durante uma avaliao, o mesmo tipo de exerccio

na questo: Faa um desenho para representar a frao

, os resultados no foram favorveis

para todos.

Figura 28: Circunferncias feitas pelos alunos a fim de representarem a frao

.

Esses trs alunos no deram importncia ao critrio de diviso em partes iguais, criando

representaes falsas. O primeiro desenho at acerta a diviso na parte de cima da circunferncia,

mas no mantm o acerto na parte de baixo. O segundo e o terceiro alunos no se deram conta

que destacaram

e

do desenho, respectivamente.

2 Sugesto da banca: Solicitar aos alunos que ordenem as fraes ao pendur-las. Nesse momento j deve

ter sido trabalhado a comparao de fraes.

48

Figura 29: Desenhos traados por um aluno tentando representar a frao

.

Esse aluno claramente mostra que esqueceu que a diviso da figura deveria ser feita em

partes iguais, pois quando desenha uma estrela, ele at poderia supor que os pedacinhos so

iguais, mas depois confirma o esquecimento com a circunferncia, dividindo-a em duas metades

e quatro pedaos de

.

Isso representa um dos artifcios usados pelos alunos para causarem a impresso que

sabem trabalhar com fraes, nesse caso por exemplo, se o aluno tivesse feito apenas o retngulo,

acertaria a questo e pensaria que sabe representar fraes corretamente. Isso mostra tambm que

esse tipo de exerccio pode servir como facilitador, mas no deve ser nico no processo de

aprendizagem.

Figura 30: Figura e explicao de uma aluna para representar a frao

.

Nessa resoluo, a aluna ainda explica como fez para desenhar a figura, mas vendo-a eu

j poderia supor que ela se esqueceria de algum detalhe, pois tambm no traa uma diviso

exata. Falta apenas a palavra iguais depois de pedaos.

49

Figura 31: Figuras corretas representando a frao

.

As figuras acima, apesar de estarem desproporcionais, parecem tentar descrever seis

partes iguais, consideremos nos retngulos que os alunos no usaram rgua, e nas

circunferncias, alm de cada metade estar dividida em 3 partes, no h nenhuma representando

. Assim posso acreditar que esses alunos, entre outros, obtiveram sucesso do desenho de suas

figuras.

No ltimo encontro com a turma, procurei maneiras diferentes para analisar a ideia que

essas figuras representam para eles. Realizei essa anlise atravs de partes contnuas e nmero de

partes igual ao total de partes. Na tabela a seguir, apresento as respostas dos alunos para a

questo: Represente a parte pintada e a parte no pintada das figuras por meio de fraes.

50

Tabela: Representaes fracionrias sobre a parte pintada e a no pintada de cada figura.

Aluno(a)

J1

G1

T

1 inteiro

A

Inteiro

G2

J2

L

1

M1

M2

N

Podemos fazer as seguintes observaes e tirar algumas concluses a respeito desses

resultados:

A maioria dos alunos fez um trao na terceira figura dividindo a parte pintada em

duas;

51

A aluna J1 ainda faz uma inverso das posies relativas a numeradores e

denominadores, pois desconsiderando essa troca ela acertaria na representao de

partes no-pintadas;

A terceira resposta da aluna G1 e a primeira do aluno M1 parecem ser resultado de

alguma distrao, pois no se encontra lgica nesses erros;

Os dez alunos acertaram a representao da segunda figura, mas apenas trs

explicitaram que ela representa um inteiro;

Apenas quatro alunos prestaram ateno ordem do exerccio, que pedia duas

fraes para cada figura;

Os alunos G2, M1 e N se confundiram na representao da terceira figura, no sentido

de no considerar que a parte pintada, apesar de nica, representava mais de uma, ou

seja, no souberam lidar com as partes contnuas.

6.3 Equivalncia de Fraes

Na primeira aula em que abordei as fraes equivalentes com a turma 61, procurei faz-

lo de maneira dinmica. Depois de distribuir uma folha A4 em branco para todos os alunos, pedi

que eles a dobrassem na metade, gerando duas partes iguais, e pintassem uma dessas. Depois,

pedi que dobrassem mais uma vez, o que gerou quatro partes, sendo que duas delas j estavam

pintadas. Questionei-os ento se a frao

representava a mesma quantidade da frao

, e recebi

uma resposta positiva. Depois de repetirem o procedimento mais duas vezes, encontrando

os alunos j supuseram que a prxima frao seria

e conclu com eles que

dessa forma poderamos encontrar infinitas fraes equivalentes.

A segunda parte da atividade ocorreu com as seguintes instrues e gerou os seguintes

questionamentos:

1. Divida o verso da mesma folha, dessa vez utilizando uma canetinha, em 3 partes iguais, e

pinte apenas uma dessas partes. Que frao a parte pintada ir representar?

.

52

2. Divida agora em 6 partes iguais, pode ser com um trao horizontal ou separando cada

parte em duas, que frao resulta das partes pintadas?

.

3. E se tivssemos dividido em 9 partes, que frao resultaria?

.

4. Caso tivssemos dividido cada parte inicial em 5 outras partes, teramos 15 partes ao todo,

quantas partes estariam pintadas? 5

5. Voc consegue estabelecer uma relao entre a frao inicial

e as outras obtidas com

mais divises?

A partir da ltima questo, os alunos foram questionados sobre a possibilidade de haver

outro procedimento para encontrarmos essas fraes, sem a ajuda do papel. Eles notaram que

havia uma relao de multiplicao entre elas, acertando os palpites com os numeradores, mas

esquecendo dos denominadores. Nesse momento ento, explicitei que para obtermos fraes

equivalentes, devemos em cada frao multiplicar ou dividir tanto o numerador quanto o

denominador, por um mesmo nmero natural, caso usassem dois nmeros diferentes, a frao

originada no representaria a mesma quantidade, e ento no seria equivalente. Essa explicao

originou o seguinte resumo:

Figura 32: Processo para encontrar fraes equivalentes.

Na primeira avaliao foi proposta a seguinte questo quanto equivalncia das fraes:

Verifique se as igualdades abaixo so verdadeiras ou falsas, e escreva nos parnteses (V) ou

53

(F). Explique como chegou sua resposta. Algumas solues so apresentadas nas figuras

abaixo:

Figura 33: Bom aproveitamento nos conceitos de equivalncia.

Figura 34: Conceitos de equivalncia confusos.

Figura 35: Equivalncia de fraes.

A figura 33 se refere resoluo de uma das alunas que apresentou praticamente 100%

de rendimento no aprendizado de equivalncias no momento da avaliao, considerando que a

turma ainda no havia estudado multiplicao de fraes por nmeros naturais. Isto porque ela

54

descreve explicaes claras, e corretas se supormos que ela entende multiplicar uma frao por

certo nmero como multiplicar o numerador e o denominador desta frao por este certo nmero.

Analisando a resposta dada pela aluna representada na figura 34, interpreto que a aluna

parece pensar que fraes equivalentes apenas so obtidas quando multiplica-se numerador e

denominador por algum nmero natural, e no funciona quando divide-se. Isso porque, alm de

escrever na sua explicao que apenas foi multiplicando at o resultado, ela aponta como falsa

as alternativas onde para irmos da primeira frao para a segunda, precisaramos de uma diviso,

se fossem verdadeiras.

Na figura 35, o aluno no apresenta habilidade de identificar um fator ou um dividendo

em comum que poderia gerar uma frao equivalente, como podemos ver nos itens (a) e (c).

Alm disso, entende que podemos multiplicar ou dividir, mas no precisa ser pelo mesmo

nmero, como aparece no item (d).

6.3.1 Simplificao de Fraes e Frao Irredutvel

Utilizei a seguinte definio de frao irredutvel, antes de falar sobre a simplificao de

fraes na turma 61: uma frao onde no podemos dividir o numerador e o denominador

por um mesmo nmero natural, ou seja, a frao equivalente menor possvel. Optei por

uma definio que no fizesse nenhuma relao com o m.d.c. entre numerador e denominador,

pelo fato da turma ainda no t-lo estudado no decorrente ano.

Trabalhando nessa definio, tentei discutir com a turma uma maneira para obtermos

uma frao na sua forma menor possvel. No demoramos at chegar na diviso. Os primeiros

exerccios eram voltados para a prtica da simplificao, onde s se esgotaria na frao

irredutvel. Como o da figura a seguir:

55

Figura 36: Exerccio: Quais das fraes abaixo so equivalentes a

? Qual delas a frao irredutvel?

Podemos notar que o aluno acerta quais fraes so equivalentes, mas no qual a

irredutvel. Abaixo, vemos algumas solues encontradas por outros alunos, referentes ao

exerccio contendo o seguinte enunciado:

Sabendo que dividimos um ano em 12 meses, qual a frao de um ano que representa

um trimestre? E qual a frao de um ano que representa dois trimestres? Essas fraes so

irredutveis?

Figura 37: Solues para o problema enunciado acima.

Como vemos nas figuras acima, a turma no teve dificuldades na primeira parte do

problema, representando as fraes de um trimestre e dois trimestres, mas ficaram divididos

quanto irredutibilidade das mesmas. Penso que esse fato aponta a m escolha da definio

utilizada, pois essa gerou incertezas sobre quando uma frao est na sua forma irredutvel ou

no.

O modelo de exerccio da figura 36 tambm foi aplicado na oficina com a turma E, com

o objetivo de avaliar se os alunos de sexta e stima sries sabem identificar uma frao

irredutvel. A seguir analisarei algumas solues da questo: Quais das fraes abaixo so

equivalentes a

?

56

Figura 38: Solues de exerccio de simplificao.

Esse aluno adota as operaes de diviso e multiplicao somente com o nmero dois

como critrio para decidir se a frao equivalente ou no. Os certos e errados aos lados das

fraes foram escritos pelo prprio aluno, para identificar quando a frao equivalente ou no,

que nesse caso quando a multiplicao do numerador e denominador pelo nmero dois no

resulta

.

Figura 39: Mais solues de exerccio de simplificao.

Esse outro aluno utiliza uma notao no usual para o sinal de igual, e ainda no

explicita qual operao ocasionou os nmeros que encontrou. Por outro lado, com exceo da

terceira frao, ele parece ter entendido quando uma frao equivalente outra, se observarmos

que

multiplicando numerador e denominador por 2 resulta em

, e

por 4 resulta em

.

Assim, apesar da notao, so mostrados conhecimentos de equivalncia.

6.3.2 A Simplificao de Fraes e o m.d.c.

Na oficina de fraes preparada para a turma E, o primeiro objetivo era investigar se nos

exerccios que exigem a simplificao de fraes, os alunos entendem que podem dividir

57

diretamente pelo m.d.c. entre o numerador e o denominador. Para cumprir com esse objetivo,

resolvi alguns exemplos no quadro, conversando com eles sobre os procedimentos que eles

usavam para simplificar as fraes.

Quando eu perguntava por qual nmero eles preferiam comear a dividir,

frequentemente a resposta era 2, salvo quando o nmero no era par. Depois de dividir o

numerador e o denominador da frao

uma vez por 2 e duas vezes por 3, questionei-os se no

poderamos ter dividido no incio por 18. A resposta nesse momento foi sim, mas alguns alunos

responderam que do outro jeito era mais fcil.

Deixando como escolha dos alunos a maneira de resolver, solicitei que me entregassem

alguns dos exerccios que propus:

Figura