0 do grau oe mestre em ciÊncias (m.sc.) … · x y d,dx,dy - rigidez a ... w - flecha da placa m ,...

FLEX/\0 Tl::RMICA DAS PLACAS

Euler de Oliveira Guerra

TESE SUBMETIDA AD CORPO DOCENTE DA COORDENAÇ/\0 DOS PROGRAMAS

DE PÕS-GRADUAÇ/\0 DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO

DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSI\RIOS PARA OBTENÇ/\0

DO GRAU OE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

Benjamin Er

~;f ~~/,é/~· Sérg:Íi'.6 Fernandes Villaça

. ., G

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

· MAIO DE 1982

i

GUERRA, EULER DE OLIVEIRA

xi

Flexão Térmica das Placas (Rio de Janeiro) 1982,

187 p. 29,7 cm (COPPE-UFRJ, M.Sc., Engenharia

1982)

Tese - Univ. Federal do Rio de Janeiro. Faculdade de

nharia.

1, Placas

2, Flexão Térmica

3. Diferenças Finitas

I, COPPE/UFRJ

II. Título (Série)

Civil,

Eng~

ii

AGRADECIMENTOS

Ao Professor SYdney Martins Gomes dos Santos,

valiosa orientação.

pela

Ao colega em tese: Renato Bertolino Junior pela aj~

da e interesse demonstrado.

A CNEN pelo apoio financeiro.

A minha esposa e meus pais pelo incentivo.

A datilógrafa Atsuko por seu trabalho paciente e des

gastante.

A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram p~

ra a realização deste trabalho.

iii

RESUMO

A flexão térmica das placas de espessura reduzida su

jeita a um campo estacionário de temperatura T = T (x,y,z) e

analisada pelo método das diferenças finitas.

A análise é restrita a teoria das pequenas flechas

e a interação entre os efeitos de flexão e de membrana sao ne

gligenciados. Abordaremos as placas retangulares isotrÓpicas e

ortotrÓpicas, placas retangulares sobre base elástica e placas

circulares, combinando-se de forma variada, as seguintes condi

ções de contorno: livre, engaste e apoio simples.

Procurou-se apresentar as soluções de forma a facili

taro emprego manual ou programação automática, já que as difi

culdades da aplicação do método das diferenças finitas restctem

nos pontos do contorno ou nas proximidades do mesmo.

A convergência do processo é exemplificada através

de alguns exemplos de solução analítica disponível na literatu

ra.

iv

SUMMARY

The thermal bending of the plates wi th thin thickness

subjected to a stationary thermal field T = T(x,y,zl

analysed by the ordinary finite difference method.

is

The analysis is restricted to the small deflections

theory and interactions between the bending and the membrana

forces effects are neglected. A study on the isotropic and

orthotropic rectangular plates, rectangular plates on elastic

foundations and circular plates is made, by means of differ&nt

combinations as to the following boundary conditions: clamped,

simply supported and free.

The solutions were presented as to facilitate the

manual use or automatic programming, since the difficulties on

the application of the ordinary finite difference

reside on the boundary po~nts or at it's vicinity.

method

The process convergence is evaluated through

analytical solution examples available in the literature.

some

V

NOTAÇ0ES ADOTADAS

x,y,z - Coordenadas retangulares

r,6,z - Coordenadas polares

i - Ponto central da molácwla

i,a,b,l,r,ar,al,bl,br,aa,bb,rr,11 - Indicas das ''mol~culas~ em

diferenças finitas

2

V - Operador de Laplace em coordenadas retangulares

2

V - Operador de Laplace em coordenadas polares r

t - Espessura da placa

v,v ,V - Coeficientes de Poisson X y

ªT'ªTx'ªTy - Coeficientes de dilatação térmica

E: 'E X y

Projeções do alongamento unitário sobre os eixos X e Y,

respectivamente

E:T - Alongamento unitário devido a efeitos térmicos

yxy - Componente da deformação tangencial no sistema

lar

retang.!:!_

Componentes da tensão normal, paralelas aos eixos CD

ordenados

T - Tensão tangencial xy

E,E ,E - Módulo de elasticidade longitudinal X y

D,Dx,DY - Rigidez a flexão por unidade de comprimento

B - Rigidez torsional efetiva da placa ortotrÓpica

µ - Coeficiente de mola de uma base elástica

vi

w - Flecha da placa

M , M X y

Momentos fletores por unidade de comprimento, cujos ve

tores de seta dupla sao paralelos aos eixos X e Y, res

pectivamente

M - Momento torsor por unidade de comprimento xy

MT,MTx'MTy - Momentos fletores equivalentes térmicos

Q ,Q {· Esforço cortante por unidade de comprimento, X y

Qr,Qe - paralelo ao eixo z

v,v,v,v8 X y r

Forças verticais totais por unidade de comprime~

to de bordo de placa, paralelas ao eixo z

* * p (x,y),p (r,8) - Carga transversal fictícia por unidade de z z

área de placa em coordenadas retangulares e

polares, respectivamente

T(x,y,z),T(r,6,z) - Distribuição genirica de temperatura em c~

ordenadas cartesianas e polares,

vamente

respect~

h - Espaçamento da malha retangular em D.F., paralelo ao eixó .. X

k - Espaçamento da malh·a retangular em D.F., paralelo ao eixo Y

a - Relação entre espaçamentos da malha retangular em

tes finitas

y - Espaçamento da malha em coordenadas polares, na

circunferencial

diferen

direção

N - Número de divisões da malha em coordenadas polares, na di

reção radial

À - Relação entre os raios externo e interno de uma placa cir

vii

cular

A,x.,c,S .• R ••.• e.ç.~.n - Grandezas auxiliares l l l

* * p (x,yl,P (r,6) - Valor ponderado do carregamento fictício por z z

unidade de area em coordenadas retangulares

e prilares~ respectivamente.

IT:::::LJ - Representação do ponto central das "moléculas" em dife

renças finitas

viii

ÍNDICE

CAP!TULD I - INTRODUÇI\O................................. 1

CAPITULO II -' PLACAS ISOTRÕPICAS........................ 5

2.1 - Considerações Gerais e Hipóteses Básicas.......... 5

2. 2 - Equações Básicas.. • • • • . . • • • . • • • • • • • • • • • • • • • . • • . • • • 7

2.3 - Condições de Contorno............................. 15

2.3.1 - Bordo Engastado................................. 16

2.3.2 - Bordo Simplesmente Apoiado...................... 17

2 • 3 • 3 - Bo r d o Li v r e • • • • • • • • . . . • • • • • • . • • • • • • • . • • • • • . • • • • • 1 8

2.4 - Método de Solução................................. 19

2.4.1 - Introdução...................................... 19

2.4.2 - Flexão térmica de placas retangulares em Dife~e~

ças Finitas ••.••••• :............................ 23

2.4.2.1 - Equação Geral................................. 23

2.4.2.2 - Condições de Contorno......................... 25

2.5 - Aplicações........................................ 31

2.5.1 - Bordo Engastado................................. 32


2.5.3 - Bordo Engastado e Bordo Simplesmente Apoiado.... 35

2 • 5 • 4 - Bordo L i v r e . .. • • • . • • . . . • . • .. .. .. .. • . . • . . .. • • . • • • 3 6

2.5.5 - Bordo Engastado e Bordo Livre................... 40

2. 5. 6 - Bordo Simplesmente Apoiado e Bordo Livre........ 42

2.6"- Obtenção dos Esforços............................. 44

ix

CAPITULO III - PLACAS RETANGULARES SOBRE BASE EL/ISTICA.. 47

3.1 - Considerações Iniciais e Hipóteses Básicas........ 47

3. 2 - Equações Básicas ••••••• ·;......................... 47

3.3 - Condições de Contorno............................. 49

3, 4 - Método de Solução ••••••••••• ,...................... 50

CAPITULO IV - PLACAS CIRCULARES......................... 52

4.1 - Introdução........................................ 52

4.2 - Equações Básicas.,................................ 52

4,3 - Condições de Contorno •.•••.••••••••••••••••.•••••• 55

4.3.1 - Bordo Engastado................................. 55


4.3.3 - Bordo Livre..................................... 56

4.4 - Método de Solução................................. 57

4.4.1 - Equação Geral em Diferenças Finitas (D.F. J •• •• • • 57

4.5 - Placas circulares com Aquecimento com Simetria A

xial.............................................. 63

4.5.1 - Equações Básicas .••••••••••••••••••••••.••.•• :.. 63

4.5.2 - Condições de Contorno........................... 66

4.5.2.1 - Bordo tngastado............................... 66

4.5.2.2 - Bordo Simplesmente Apoiado •••••••••••.•.•••••• 67

4.5.2.3 - Bordo Livre................................... 68

4.5.3 - Obtenção dos Esforços........................... 69

4.6 - Aplicações do Caso Geral.......................... 70

4.6.1 - Bordo Engastado ............ ,.................... 72

X

4, 6. 2 - Bordo Simplesmente Apoiado....................... 73

4, 6, 3 - Bordo Engastado e Bordo Simplesmente Apoiado..... 76

4. 6. 4 - Bordo Livre.- ..................................... 78

4, 6. 5 - Bordo Engastado e Bordo Livre.................... 96

4.6.6.- Bordo Simplesmente Apoiado e Bordo Livre ••••••• ,, 102

4.7 - Obtenção dos Esforços •••.•••.••.••••.••••••••.•..•• 108

CAPÍTULO V - PLACAS ORTOTRÕPICAS......................... 112

5.1 - Introdução ......................................... 112

5.2 - Hipóteses e Equações Básicas ....................... 112

5.3 - Condições de Contorno .............................. 117

5.3.l - Bordo Engastado .................................. 117

5.3.2 - Bordo Simplesmente Apoiado ••••••••.••••••••••••.• 117

5.3.3 - Bordo Livre ...................................... 118

5.4 - Aplicações (placas retangulares) ••••••••.••••••••.• 120

5.4.1 - Bordo Engastado .................................. 121

5.4.2 - Bordo Simplesmente Apoiado, .•••••••••••••.••••••• 123

5.4.3 - Bordo Engastado e Bordo Simplesmente Apoiado ..... 124

5.4.4 - Bordo L·ivre ...... ................................ 125

5.4.5 - Bordo Engastado e Bordo Livre ••••••••••••••••••.. 130

5.4.6 - Bordo Simplesmente Apoiado e Bordo Livre ......... 132

5.5 - Obtenção dos Esforços •••••••••••••••••••••••••••••• 134

CAP!TULO VI - EXEMPLOS E ANÁLISE DOS RESULTADOS.......... 137

6.1 - Considerações Gerais ............................... 137

xi

6.2 - Placas Analisadas................................. 137

6.2.1 - Placa Retangular Simplesmente Apoiada: T = T(z).. 138

6.2.2 - Placa Quadrada Simplesmente Apoiada: T = T(x,y,zl 140

6.2.3 - Placa retangular com dois bordos opostos .livre~

e dois simplesmente apoiados.................... 144

6.2.4 - Placa Retangular Sobre Base Elástica •••••.•••.••. 147

6.2.5 - Placa Circular com furo Central •.•••• ,,,........ 149

6.2.6 - Placa Circular .................................. 152

6. 2. 7 - Setor Circular.................................. 155

6.2.B - Placas Retangulares Ortotrópicas..... •••••••• ••. 159

6.3 - Conclusões........................................ 160

6.3.1 - Sobre os exemplos analisados .................... 160

6.3.2 - Sobre o uso do método das diferenças finitas.... 161

6.3.3 - Sobre a continuação da pesquisa................. 163

BIBLIOGRAFIA.,, •••••••••. , ••.•. ,,,., ••••••••• , ••••.•• ,,. 164

LISTAGENS DOS EXEMPLOS ............ ,., •• , .............. ,. 167

1

CAP!TULO I

INTRODUÇAO

O comportamento dos sólidos submetidos a campos tér

micos vem sendo amplamente estudado e existe um grande numero

de publicações tanto no campo da condução de calor como na ter

moelasticidade. Desenvolvimentos nestas áreas durante as

Últimas décadas produziram uma variedade de soluções e

cas diretamente aplicadas à engenharia.

duas

técni

Uma das causas que originam tensões em um corpo e a

variação de temperatura nao ·Uniforme. Com esta variação, PªE

tes discretizadas deste corpo se deformam. Tal deformação, g~

ralmente, não pode ocorrer livremente em um sólido contínuo, e

estabelecem-se tensões devidas a impedimentos internos, ou mas

mo externos. Estas tensões térmicas sozinhas ou em combinação

com tensões oriundas de outras cargas externas podem provocar

fissuras e até a ruptura de elementos estruturais, principal

mente naqueles formados por materiais frágeis, considerando

ainda que a ação repetida destas tensões podem levar o mate

rial à fadiga. As conseqüências de tais tensões sao importa~

tes em muitos aspectos de projetos da engenharia como, por

exemplo, laje de pavimentos de rodovias e aeroportos, lajes

em geral que separam meios de temperatura bem diferentes, es

truturas de aeronaves e centrais nucleares.

Segundo Parkus [ 16 [: "Embora o interesse pelo campo

da termoelasticidade date de antes de 1837, quando Duhamel p~

2

blicou o famoso MrMOIRE SLJR LES PHrNOMENES THERMDMrCANIQLJES,

somente durante as duas Últimas décadas pesquisas ativas e sis

temáticas vêm sendo conduzidas", Em 1964 Parkus estimou que

aproximadamente 850 papers e livros surgiram durante

período. Atualmente este número deve ter dobrado.

aquele

A teoria básica para análise termoelástica das pl~

cas bem como ·os mªtodos analíticos para soluç~o das equaçoes

termoelásticas encontram-se bem estabelecidas em Boley 17

1 e

Nowacki l 1 5 I, Contudo, as aplicações práticas dos métodos ana

líticos sao limitadas a placas de geometria particulares, "car

gas" (campo té~mico e/ou carregamento transversal) e condições

de contorno relativamente simples. Conseqüentemente, análises

numéricas vêm sendo estudadas extensivamente e várias aproxim~

ções baseadas em métodos variacionais (exemplo Keramidas 1 ''1,

Gutierrez 111

1 J vem-se desenvolvendo para solução destes probl~

mas termoelásticos.

Na teoria das pequenas flechas de placas de espess~

ra reduzida admite-se que há uma interação negligenciável en

tre as "forças'' de membrana e de flex~o. Do ponto de vista das

tens~es térmicas, isto é, para _distribuiç&es de temperatura

mais gerais, o estudo das placas pode ser dividido em duas ca

tegorias: (a) problemas de membrana, que surgem quando a varia

çao de temperatura e uniforme com a espessura, isto e, há va

riação somente com as coordenadas do plano da placa, (b) pr~

blemas de flexão, que surgem quando a temperatura varia também

com a espessura.

3

Deteremos nosso estudo no caso (b) aplicado a placas

de espessura constante e campo t~rmico estacion~rio, ou seja,

independente do tempo, No caso ( a l Ariman i 3 I e Baker 14 I de

s en vo 1 veram trab a 1 ho s :tr.atando de problemas mais complexos e n

volvendo placas retangulares com furos circulares e ortotro

pia, respectivamente, No caso (b) Boley l"I e No"!acki 1 15 1 re

servam um capítulo específico para placas onde sao apresent~

das as equaçoes básicás e métodos analíticos gerais. São resol

vidas. nestes trabalhos apenas alguns exemplos para placas re

tangulares e circulares restritas a condições de contorno rela

tivamente simples, enquanto Ariman 12 1 analisa placas retang~

lares com furos circulares. Em B.A. Boley 1 6

1 estão reunidas

as mais importantes contribuições no campo da condução de ca

lar e termoelasticidade, apresentado na Primeira Confêrência

Internacional de Mecânica Estrutural em Tecnologia de

res, realizada em Berlim em setembro de 1971.

Reato

Este trabalho tem como objetivo principal apresentar

soluções de fácil aplicação envolvendo as placas retangulares

isotrÓpicas e ortotrÓpicas, placas circulares e placas sobre

base elástica, combinando-se condições de contorno variadas,

como: engaste, apoio simples e bordo livre, Diante das dificul

dades apresentadas para obtenção de soluções analíticas, empr~

garemos o método das diferenças finitas, caracterizado por

sua grande versatilidade e simplicidade nas aplicações.

Ainda neste trabalho, foram comparados os resultados

numéricos com os resultados analíticos disponíveis na literat~

ra. Como uma regra geral, e desej~vel que os "irros de cálcu

4

lo" (imprecisão obtida no uso de métodos aproximados) alcancem

menos que± 5% de discrepância em comparação com a solução ex~

ta. Em algumas aplicações práticas± 10% de êrro de cálculo

sao considerados permissíveis.

Com estas diretrizes desenvolveremos exemplos do me

todo das diferenças finitas para analisar a flexão térmica das

placas.

5

CAPÍTULO II

PLACAS ISOTRÓPICAS

2.1. Consideraç6es Gerais e Hip6steses Básicas

Os conceitos básicos de flexão de placas retangul~

res, assim como os fundamentos do método das diferenças fin1_

tas serão relembrados brevemente para que sirvam de base ao de

senvolvimento deste, e dos demais capítulos.

Deteremos nosso estudo no caso das placas sujeitas a

atuação de um campo térmico T, estacionário, isto é, independe~

te do tempo: T = T (x,y,zl

X y

T(x,y,z)

FIGURA II-1

Basear-nos-emos na teoria das placas sujeitas a p~

quenas deformaç6es, geralmente atribuída a Kirchhoff e

adotando as seguintes hip6teses:

a - As flechas serão pequenas em comparaçao com a

Lave,

espessura

6

[t) da placa: flecha max. < t/15 a t/10

b - Placas de pequena espessura:t < [MENOR DIMENSÃ0/10)

e - As seções se mantem planas e as retas normais à superfície

média da placa assim se conservam após a atuação do carregame~

to [e/ou campo térmico)

d - Os deslocamentos dos pontos da superfície média sao nor

mais ao seu plano inicial.

---~X 1----+---~-l-! /2 ~

POSIÇÃO INICIAL

FLECHA

SUPERFICIE MÉDIA

z

FIGURA II-2

e - Material da placa e homogêneo, isotrÓpico e

elástico.

POSICÃO FINAL

linearmente

f - Desprezaremos as tensões normais paralelas ao eixo

z: a = O. z

Como resultado das hipóteses a e b, as deformações

do plano médio da placa serão desprezíveis em comparaçao com

as deformações devidas a flexão, podendo tratar estes

independentemente.

Adicionaremos as hipóteses anteriores as

efeitos

seguintes

7

considerações:

1 - As propriedades do material da placa nao sao afetadas p~

las variações de temperatura

2 Proporcionalidade direta entre as variações de temperatura

e seus efeitos (expansão ou contração). Esta relação de linea

ridade é expressa pelo coeficiente de dilatação térmica do ma

terial, ªT' podendo exprimir as deformações térmicas por:

(II-1)

Como causas do surgimento das tensões térmicas, te

mos duas situações características impostas por condições de

contorno da placa. Numa primeira situação, imaginemos uma pl~

ca livre para se mover nos contornos, sujeita a um aquecimento

ou resfriamento de variação não uniforme com a espessura. To

mando-se uma lâmina da placa, paralela à superfície média, es

ta não poderá expandir-se ou contrair-se livremente, devido as

restrições de continuidade existentes entre as várias· lãminas

adjacentes impedidas de se deformarem livremente e de maneira

compatível com a distribuição da temperatura. Surgirão assim,

tensões térmicas auto equilibradas. Uma outra situação, seria

aquela em que as condições de contorno impedissem uma livre de

formação da placa.

2.2. Equações Básicas

Consideremos uma placa delgada de espessura t,

superfície média coincida com plano XY da figura abaixo,

que zé a distância a esse plano. Os deslocamentos dos

cuja

em

pontos

B

da superfície média, nas direções x, y e z se denotam respect!

vamente por LI1 v e w.

~ 1'' / 1 ...........

1 '

x,u

z,w

FIGURA II-3

Como consequência das hipóteses adotadas anteriorme~

te os deslocamentos de qualquer ponto da superfície média, ou

seja, do plano XY, poderão ser definidos por uma translação na

direção Z e duas rotações, uma em torno do eixo Y e outra em

torno do eixo X.

As relações entre deformações e deslocamentos (fle

chasl sao:

é)2w E: -z (II-2)

X 2 é) X

é) 2w E: -z (II-3)

y 2 é)y

-2z é)2w

Yxy (II-4)

é) X é) y

9

As relações entre deformações e tensões, segundo a

lei de Hooke, são:

E X

E y

ou:

ou :

to

MX

M y

a X

E

a --2'..

E

a -v2+aT

T E

a X

- V - +

E

'xy = 2(l+v)

' xy G E

• E 1

X

1 E = -v

y E

y o xy

a 1 X

E a V y

1-v 2

'txy o

-v

1

o

V

1

o

As expressoes

sao:

ft/2 -t/2°x

z dz

ft/2 -t12°y

z dz

( II-5 J

(II-6)

( II-7 J

o a aTT X

o ªTT (II-8) a y +

2( l+vl ' o xy

o E ªTT X

o E ªTT (II-9) E y 1-v

( 1-vl /2 Yxy o \.

dos momentos por unidade de comprime!:'_

(II-10)

(II-11)

M xy J

t/2

- T

-t/2

10

z dz (II-12) xy

• Estes esforços podem ser expressos em função dos des

locamentos, combinando-se as fórmulas (II-2), (II-3), (II-4) e

(II-9), juntamente com as três expressões anteriores; obtendo-

-se:

M X

= - D + V

M y

M xy

[ª2 O __ w + V

ayz

D ( 1-vl

axay

- M T

- M T

M yx

onde a rigidez da placa por unidade de

e:

D 2

12(1-v J

MT representa o "momento fletor térmico

definido por:

Jt/2

T(x,y,zlz

-t/2

dz

(II-13)

(II-14)

(II-15)

comprimento

(II-16)

equivalente",,

(II-17)

As tensões por unidade de comprimento, numa fibra

qualquer da placa, paralela à superfície média, distante z da

11

mesma, como mostra a Fig. (II-4) podem ser calculadas direta

mente em função dos momentos, conjugando-se as expressoes

(II-2), (II-3), (II-4), (II-9), (II-13), (II-14) e (II-15):

o X

o y

T xy

= 12z ( M MT)

EcxTT + -

t3 X 1-v

(II-18)

12z (M MT) Ecx

1T

+ -t3

y 1-v (II-19)

(II-20)

X

T( x,y,z)

FIGURA II-4 - Elemento infinitesimal de placa

Escrevendo as equaçoes de equilíbrio de forças na

direção z e de momentos em torno dos eixos X e Y num elemento

de placa de volume dx dy dz, como mostra a fig (II-5), teremos

condições de determinar as flechas w e, consequentemente, a

12

partir das expressoes (II-13), (II-14) e (II-15) obter os mo

mentas atuantes.

y

My+

Myx + iJ Mn. dy i}y

T(x,y,z)

Qx+ ~ dx a,

X

Mx+ ílMx dx ~

Mxy+ ~dx éh

FIGURA II-5 - Elemento de placa usado na dedução das equaçoes

de equilíbrio.

Seja o elemento de placa da fig. (II-5) com carreg~

menta externo vertical por unidade de area

to o campo térmico genérico T(x,y,zl.

As equaçoes de equilíbrio sao:

- Rotação em relação ao eixo X:

ilM ilM -2.:!... __ Y

+ Q o ilx ily

y

- Rotação em relação ao eixo y :

ilM ilM ____E_ X

Qx o +

il y ilx

- Translação em z:

p (x,yl e sob z

efei

(II-21)

(II-22)

aQ X

ax

ao +--Y+p

ay z

13

o

Onde Q e Q sao os esforços cortantes por X y

(II-23)

unidade

de comprimento agindo nas faces de normal X e Y, respectivame~

te. Com a substituição de Q e Q das equações (II-21) e (II-22) X y

na expressão (II-23), a equaçao do equillbrio de forças na di

reção z., se transforma em:

-p z

(II-24)

axay

A equaçao diferencial de flexão das placas será obt~

da substituindo-se as expressões dos momentos (II-13), (II-14),

(II-15) e (II-16) na expressao (II-24):

T(x,y,z)

(II-25)

Se somente os efeitos da atuação do campo térmico

sao desejados 1 podemos fazer p nulo na equaçao z . ante

rior., obtendo:

D v2 v2 w 2

= - V M T

Onde, V e o operador Laplaciano de 2~ ordem:

(II-26)

14

Estas duas Últimas equaçoes mostram que a superpos!

çao dos efeitos do campo térmico e das cargas transversais, a

tuando separadamente, é possível.

Integrada esta equaçao, obtemos a expressao para as

flechas w(x_,y), com a qual passamos a obter os momentos

ções (II-13), (II-14) e (II-15)] e as tensões [equações

(II-19) e (II-Zo)J.

[equ~

(II-18),

Neste trabalho, o procedimento acima sera feito com

o auxílio do método das diferenças finitas.

As expressoes (II-22) e (II-21) serao usadas para

determinar os esforços cortantes Q X

e Q ' respectivamente:

y

aM aM a ~a

2w + ~] aMT

Qx ~ X

D (II-27) + -- - - --ay ax ax

ax2 ayz ax

aM aM a

[-azw + ~ J âMT Qy

_y_ - --2:..::L - D - -- (II-28) ay ax ay

ax2

ay2 ay

Ou, usando o operador:

Qx - D a [ z MT J (II-29) 17 w + ~ ax

Q - D a l 2 MT J (II-30 J y ay

17 w + ~

15

2.3. Condições de Contorno

A expressao (II-26) representa a equaçao que governa

a flexão térmica de placas e deve ser resolvida com adequadas

condições de contorno.

Analisaremos neste trabalho os bordos engastados,

simplesmente apoiados e livres.

Denominando senas coordenadas ortogonais tangente

e normal ao bordo da placa, conforme figura (II-6)

X ~ X

BORDO y z

sen e y

Mx Qy

~ ' My

cose ' ' Mn Qn

Mns N

( 11- 6 a ) (11-Gb)

VISTA DE TOPO DA PLACA ESFORÇOS NO ELEMENTO B

FIGURA II-6

Escrevendo-se o equilíbrio de um elemento infinitesi

mal B (veja Fig. II-6) do bordo da placa, relacionaremos os

momentos fletores e torsores M , M e M com os momentos M e x y xy n

M do contorno pelas expressões: ns

16

1 2 2 sen28 M M CDS 8 sen e -

n X

Mnsj =

M sen28 sen28 cos28 y

2 2 M xy

Sendo 8, o ângulo entre a normal ao bordo e o

cartesiano X.

UI-31 l

eixo

As forças cortantes Qx e Qy

através de:

sao relacionadas com

QX CDS 8 + Qy Sen 8. [II-32)

onde Qx e Qy sao dadas por [II-29) e [II-30), respe~

tivamente.

2,3,1. Bordo Engastado

A condição de engaste se exprime por: a flecha em

todos os pontos do bordo e a rotação da superfície fletida na

direção (ri) normal ao bordo, são nulas:

w o e aw an

o

aw onde a rotação está relacionada com as

em torno dos eixos coordenados X-Y, pela expressão:

aw an

aw aw cose+ sen e

ax ay

(II-33)

rotações

[II-34)

17

2.3.2. Bordo Simplesmente Apoiado

componente

Ao longo do bordo simplesmente apoiado a flecha e a

tangencial do momento fletor (Vetor de seta dupla)

são nulas, isto 8:

w = o e M o (II-35) n

Ç.ombinando-se as expressoes (II-31), (II-13), (II-14)

e (II-15), a segunda condição de contorno pode ser represent~

da em termos das flechas por:

[

ª2 (1-vl --;

ax

2 2 2 aw ·âw cos 6 + 2 ~~ sen 6 cos 6 +

axay 2ll 2 sen J+v V w (II-36)

Num caso particular de placa retangular em que o

bordo analisado é paralelo ao eixo Y, teremos e= O, e

forma a condição (II-36) se escreve:

2 a w + V

ax 2

dessa

(II-37)

Ou ainda, quando analisarmos em bordo paralelo ao

eixo X, o

teremos e= 90 , e:

+ V (II-38)

Usando a (II-31) combinada com (II-13), (II-14) e

(II-15), podemos representar o momento torsor numa face qua_!

18

quer de normal n por

M ns [

a 2

2 2 [a2 a2 J · J (1-vl D __ w (cos 8 - sen 8) + --..!!. - --..!!. sen 8 cos 8

axay a/ ax2 (II-39)

2.3.3. Bordo Livre

B nulo.,

D momento fletor em qualquer ponto de um bordo livre

isto é., M n

O. Isto significa que a equaçao (II-36)

deve ser satisfeita. Além disto, num bordo livre devemos ter a

força cortante Qn (II-32) e o momento torsor (II-39) nulos. En

tretanto estas duas Últimas condições podem ser reunidas em

uma Única, como mostra TIMOSHENKO 122 1, resultando:

M o n

e V n

aM ns

as o (II-40)

onde V e a força vertical total por unidade de com n

primento de bordo cuja normal é n.

Usando as equaçoes (II-29), (II-30), (II-32)

(II-39), a Última condição de contorno (II-40) se escreve:

e

V n -o{-ª-

an

o

+ (1-vl ta2w ( 28 28) [a2

w a2~sen8 cosj~ -- cos - sen + -- - --

as axay a/ ax2 a

(II-41)

19

Onde a e e a CDS sen

an ax (II-42) a e e a -sen CDS

as ay

Num caso particular de placa retangular, onde anali

D sarmos um bordo paralelo ao eixo Y, teremos 8=0 , n=x e s=y:

o

~ª3 ~ + (2-vl

ax3

(II-43) ax

Analogamente, para um bordo paralelo ao bordo X, te

remos:

o 1-ª3: +

lay ( 2- V)

ay

Podemos notar que num bordo livre, como no

(II-44)

simple~

mente apoiado, as condições de contorno devido à atuação de

campos térmicos não são homogeneas, em contraste com a análise

de placas isotérmicas. [ver equações (II-37), (II-38), (II-43) e

(II-44)]

2.4. Método de Solução

2.4.1. Introdução

A teoria de flexão térmica de placas apresentada nos

itens anteriores mostra uma grande semelhança com a correspo~

dente teoria de flexão isotérmica. Consequentemente, todos os

20

métodos numéricos e analíticos podem ser aplicados na presente

análise.

Dentre os métodos numéricos possíveis~ utilizaremos

o das diferenças finitas, por sua grande generalidade no campo

da mecânica das estruturas, associado ainda às seguintes vanta

gens: versatilidade; adequado à programação; precisão

vel para a maioria dos propósitos técnicos, desde que se

aceitá

refi

ne adequadamente a malha usada. Associamo.s ao uso das D.F. as di

ficuldades de obtenção de soluções analíticas rigorosas

as placas de forma e condições de contorno diversas.

para

A solução numérica da equaçao (II-26) por diferenças

finitas envolve a substituição das derivadas da função desloca

menta (flechas) por diferenças entre o valor desta em alguns

pontos previamente selecionados. Estes pontos são chamados nós

da malha de diferenças finitas. Assim a superfície fletida

w(x,yl da placa será descrita pela determinação de valores a

proximados das flechas nestes pontos nodais.

Usaremos neste trabalho as diferenças finitas cen

trais, desenvolvidas de forma detalhada em SALVADDRil 17 I.Tran~

creveremos aqui alguns resultados importantes e que serão usa

dos no decorrer desta análise.

Seja f(xl uma função contínua qualquer como mostra a

figura (II-7).

21

f (X)

f f f f f f f i-3 i-2 1- 1 l+I i+2 i+3 X

i.- 3 i- 2 i-1 1 + 1 i+ 2 i+3

FIGURA II-7

Sendo h o espaçamento entre pontos do eixo das abcis

sa s.

Podemos representar as derivadas desta função no po~

to nodal i, através de expressões algébricas envolvendo o va

lar da função nas vizinhas do ponto considerado, como mostra a

fig. (II-8).

Zh df/dx '\, [gJ (II-45a)

hz d 2 f/dx 2 '\, t2] (II-45b)

2 h3 d

3f/dx

3 '\, [QJ (II-45c)

h4 d 4f/dx 4 '\, w (II-45d)

w FIG. (II-8) Operadores em diferenças finitas

centrais.

Os resultados anteriores para funções de uma variá

vel serao usados para representar as derivadas parciais de uma

função a duas variáveis f(x,y) no ponto nodal i, utilizando-se

22

para isto a malha da fig. (II-9).

FIGURA II-9 - Malha retangular genérica

No ponto nodal i genérico, podemos escrever:

af 'u 1 [f -f l (II-46a)

ax 2h r iJ

af 'u 1 [fb-fa] (II-46b)

ay 2k

a2

f 'u 1 [f -2f. +f J (II-46c)

2 h2 r 1 R,

ax

a2

f 'u 1 (II-46d) [f -2f.+fJ 2 k2

b 1 a ay

a3

f 'u 1 [f -2f +2f -f J (II-46el

3 2h

3 rr r R, R,R, ax

2 axay

2 2 ax ay

'v

23

[ f -2f +2f -f J bb b a aa

[ f -4f +6f. -4f +f J rr r 1 i ii

l [ f -4f +6f -4f +f l

bb b i a aaJ k4

'v l

4hk

'v

'v

'v

rf +f -f -f +2f -2f J L1 b r b i ar a i a b

[ f -f +f -f . +2f -2f J br bi ar ai i r

[ 4f -2(f +f +f +f )+f +f +f +f J i a b i r ar ai bi br

(II-46fJ

(II-46g)

(II-46h)

(II-46i)

(II-46j)

(II-46k)

(II-461)

As expressoes (II-45) e (II-46) serao usadas para r!"..

presentar a equação geral de flexão térmica de placas

juntamente com as condições de contorno envolvidas,

CII-26)

2.4,2, Flexão térmica de placas retangulares em diferenças fi

nitas

2,4,2.1. Equação Geral

A equaçao geral de flexão térmica (II-26) escrita em

diferenças finitas centrais é representada esquematicamente na

fig. (II-10), obtida com auxilio das expressões (II-46g),

24

(1I-46hl e (II-461).

X

,) 0',4

20'.2 -40',2[1+0',2) 20'.2 h

k

-4(1+0',2 ) 60', 4+80',2+6 -4 (1 +()',2) h' * - P [x,y) D z

20'.2 -40'.2 [ l+0',2) 20'.2

0',4

FIGURA I-I-10 - Eq-uação geral de fÍexão térmica de placas

do malha retangular.

usan

* Na figura anterior temos: a= h/k e P [x,yl z

ta o valor ponderado da carga fictícia transversal

represe~

* P [x,yl

= - V 2MT[x,y) relativa ao ponto central i da "molécula" da fig.

[II-10).

O carregamento fictício por unidade de . area * P [x,y),

pode ser representado por seu valor ponderado em cada ponto de

malha segundo duas considerações possíveis. Numa primeira hipi

tese, admitindo-se uma distribuição linear da carga

entre os nós da malha, teremos:

* P [x,y)

25

(II-47)

Numa segunda hipótese, admitindo-se uma distribuição

a * parabólica de 2. ordem da carga fictícia p (x,yl entre os po~

tos nodais da malha, teremos:

• p (x,y) = 1 2 144

(II-48)

Com a representação esquemática da fig. (II-10) ju.t:!_

tamente com uma das expressões (II-47J ou (II-48) [ver $Z:ILARO

12 º1}. temos a formulação completa em diferenças finitas cen

trais da equaçao (II-26).

2.4.2.2. Condições de Contorno

Para uma solução completa do problema em estudo ne

cessitamos atender às condições de contorno em cada ponto no

dal dos bordos das placas. Através destas condições conseguir~

mos expressar a flecha dos pontos exteriores em função das fl~

chas nos pontos interiores. Esta situação ocorrerá quando apl~

carmos a "molécula" da fig. (II-10) num ponto nodal do bordo

26

ou na vizinhança do mesmo.

Este procedimento será feito através da substituição

das derivadas nas expressões matemáticas das várias condições

de contorno, discutidas no item 2.3., pelas correspondentes ex

pressões em diferenças finitas.

Passemos então a escrever essas condições em diferen

ças finitas.

A) Bordo engastado: w Ü 8

aw

an o

Seja um bordo engastado paralelo a um dos eixos coor

danados X-Y, conforme a fig.

r k

k 1 .--, 1 b 1 L-~

ENGASTE

(II-11):

ENGASTE

( a ) BORDO PARALELO AO EIXO X ( b ) BORDO PARALELO EIXO Y

FIGURA II-11

Usando-se as sxprsssoss (II-46a e b), as

de contorno (II-33) se transformam em:

o

condições

(II-49a)

aw (-) ax i

a"! (-).

ây 1

1

2h

1

2k (w - w J

b a

27

o= w r

w a

(II-49b)

(II-49c)

A condição de contorno para bordo engastado e

lhante ao caso de flexão isotérmica.

seme

Bl Bordo Simplesmente Apoiado: w o e M n

o

O bordo simplesmente apoiado pode ser tratado de mo

do semelhante, conforme esquema da fig. (II-12)

( o ) BORDO Fl'IRALELO AO EIXO X

FIGURA II-12

Sabendo que w. = w = w 1 9. r Douaindaw.=w =wb=O

1 a

e utilizando as expressoes (II-46c e d), as condições de con

torno (II-38) e (II-37), se transformam respectivamente em:

- Bordo paralelo ao eixo X:

- w a

(II-5Da)

28

-Bordo paralelo ao eixo Y:

a2k2 Mi w - w 9, -

r D T (II-50b)

C) Bordo Livre: M o e V o n n

D tratamento da condição de contorno no bordo livre

torna-se um pouco mais complicado. Se aplicarmos a molécula da

fig. (II-10) num ponto nodal í do contorno, estaremos introdu

zindo quatro pontos fictícios fora da placa (Ver fig. II-13),

Devemos expressar as flechas destes pontos fictícios em termos

das flechas dos pontos da placa. Para isto especificaremos as

condições de contorno (II-40), ou melhor ainda as

(II-37), (II-38), (II-43) e (II-44), utilizando-se as

sões (II-46c,d,e,f,j,kl.

BORDO LIVRE

1 1 1 1

rL.., ,..1.., r..1., •bl •- - --1 b •- - ,br , L-.J L;.I 1.-J

1

,. J.., •bb I L:-.J

(o) BORDO PAR ALE LO AO EIXO X

BORDO LIVRE

( b) BORDO PARALELO AO EIXO Y

FIGURA II-13

equaçoes

expre~

29

Conforme fig, (II-13), temos:

Bordo livre paralelo ao eixo X

k2 . [My l O= wb 2 (1 +~) V [w w i) -Mi w. - w - + -

i 2 l a

2 r D

T [II-5lal

(l (l

[Myl o \) \)

(wi9.+wil k2 i

= wbi 2 [l +-) w - w - - -- M 1 2 i ai 2 D

T [II-5lbl

(l (l

2 (My J o= w 2 [1 +~) V

Cw. ) -~ Mr = w - w + w r br 2 r ar

2 l rr

D T

(II-5lcl

(l (l

D o=-- r_ w

L ªª + 2w - 2w + w + -'---'--J [2-v)D

ar b bb 2 [w -w +w +w + L ai ar bi br

+ 2w a

2k3

aMT =-(-).

a i y

2kh

[II-5ld)

Substituindo as expressoes (II-5la,b,c) em [II-5ld),

chegamos a:

v[2-vl (w +w J + w ii rr aa

(w + w J + ai ar

2 4v-4a -8

( ) w + 4

(l

2 2 + (4v -4a -Bv J [w +

i

+

4 (l

w ) + r

2 4 2 Ba +4a -6v +12v ( )

4 (l

w -i

2 (l

[ 2k

2 i

-- M + D T

Procedendo de forma an;loga, chegamos ~s

expressoes para um bordo livre paralelo ao eixo Y,

a

CH-5lel

seguintes

( M J X a

( M J . X l

( V J . X l

o =;, w ar

o =;, w br

o =;, w r

o =;, w rr

4 2 e< (2-vlk + --'----C-

D

30

2 2 2(l+e< vl w -w -·c, v(w +w J -

a ai aa i

2 2 2 ( 1 +c, v J w. - w - e< v ( w + w J

i i a b

2 2 2c, k

D

3 3 2C< k

D

aMT (-).

ax l

No caso particular de canto de placa formado

(II-52a)

(II-52bl

(II-52cl

(II-52d)

pelo

cruzamento de dois bordos livres, paralelos aos eixos coorden~

dos (Ver fig. II-14), surge a necessidade de considerarmos uma

condição de contorno adicional no cruzamento dos bordos ( p º.':'.

to nodal i), ao aplicarmos a molécula da fig. (II-10). Assim,

teremos (M ) . = O • Isto pode ser escrito em diferenças fini xy i

tas centrais, utilizando-se (II-15) e (II-46il:

( M J . xy i

"'D(l-vl

4hk (w + w - wbº br ai ,.,

w ) o ar

(II-53)

BORDO LIVRE

31

BORDO LIVRE

,.. , ---tar•

L • ..1

r.!., ,.., ---,r ,---•rr•

L-J L • .I ' 1 1

,. ., ,. .!. ., r: J., •bl•-- • b 1---•br, &.;.J L • .J i; _J

' 1 1 ,. . .,

•bb 1 l,;.J

FIGURA II-14

Associada à condição (II-53) consideramos as segui~

tes expressoes necessárias a resolução completa do problema da

fig. (II-14):

( M J X a

O; (V l.=O y l

Neste Ítem 2.4.2.2., se anularmos os termos que en

volvem o "momento fletor tirmico equivalente" MT [ver equaçao

(II-171], ou suas derivadas, teremos as expressões, em diferen

ças finitas centrais, necessárias para tratar os contornos na

flexão isotirmica de placas.

2.5. Aplicaçqes

Apresentaremos nesta seçao os resultados da aplic~

çao da equação geral da fig. (II-10) aos bordos e cantos de

32

placa sob diversas condições de contorno. Pensamos desta forma

facilitar o uso deste método nas aplicações práticas, uma vez

que a grande dificuldade reside na obtenção rápida da

geral em pontos do contorno ou próximo dele.

equaçao

A nomenclatura usada para os Índices refere-se a

fig. (II-9), onde os dois retângulos concêntricos

-se ao ponto i, (centro da "molécula"),

relacionam-

2.5.1, Bordo EngaltSdo

As condições de contorno (II-49) nao apresentam in

fluência dos efeitos térmicos, Assim a solução desejada é a

mesma para o caso de placa engastada sujeita a uma temperatura

uniforme e sob a ação da carga transversal fictícia

* pz(x,yl = - V2MT,

X

y~

Engaste

Engaste

h4 * - P (x,yl D z

FIGURA (II-15) - Bordo engastado (a,= h/kl

33

/----i a'

Engaste 2 2

-4a (l+a J

h' * = - P (x,yJ D z

2 2a 1--------<

'----~--__,

FIGURA (II-16) - Bordo engastado paralelo ao eixo y (a=h/k)

h

k

h' * - p (x,y) D z

Engaste

FIGURA (II-17) - Bordo engastado paralelo ao eixo x (a=h/k)

34


Apoio Simples

5a 4 +Bo. 2 +5

h Apoio Simples

h' * - P (x,yl D z

FIGURA (II-18) - Bordo Simplesmente Apoiado (a h/kl

h Apoio Simples

-4(l+a2 J h' * - P (x,y) D z

a 2 k 2 r +--M D T

FIGURA (II-19) - Bordo Simplesmente Apoiado paralelo ao eixoY(a=h/kl

Apoio Simples

5a 4 +Bo; 2 +6

35

h" * - P (x, y l + o· z

a 4 k2 b + --M

D T

FIGURA (II-20) - Bordo Simplesmente Apoiado paralelo ao eixo x (a=h/kl

2.5.3. Bordo Engastado e Bordo Simplesmente Apoiado

Apoio Simples

k h

5a4 +8o; 2 +7

Engaste

h' * P (x,y) +

D z

FIGURA (II-21) - Bordo Engastado e Simplesmente Apoiado, com Engaste par.'.':

lelo ao eixo y (a= h/kl

36

X yr

Engaste

Apoio Simples

h' * - P (x,yl + D z

c.2 k2 r --M

D T

FIGURA (II-22} - Bordo Engastado e Simplesmente Apoiado, com Engaste para

lelo ao eixo x (a = h/k)

2.5.4. Bordo Livre

Bordo Livre

-4(l+a 2)

a 2 (2-vl

h

-4 Cl "( 1 + Cl 2) >------<

5a 4 +8a2 +6 -4(l+a2 J

2a 2 Cv-2 l-2a4 a 2 (2-vl

h' * - P ( x,y) + D z

a 4 k 2 b +--M D T

FIGURA (II-23} - Bordo Livre paralelo ao eixo x (a h/k)

37

k Bordo Livre

a 2 (2-vl

6a. 4 +Ba 2+5 2a2 (v-2l-2 h" * -.. - P (x,yl D z

2a 2 a 2 (2-vl

FIGURA (II-24) - Bordo Livre paralelo ao eixo y (a h/kl

Bordo Livre --~--__,,....-C.-----~ a, (l -v2 J

h

2a 2 (2-vl

-4[a2 (2-vJ+1] h" * = - P (x,yl +

l'======t======'l D z 6a 4 (1-v 2 J+ôa 2 (1-vl+2

2a 2 (2-vl k2

CMª Mbl + a 4 v - + D

T T

oM1

i 2a 3 k

3 (-) a 4 (1-v 2 l +

D

FIGURA (II-25) - Bordo Livre paralelo ao eixo y (a h/kl

dX +

• 2 . -"'- Mi D T

+

38

k

Bordo Livre

oMT i

h4 * + Ct2\J

k2 (Mr + Ml',l 2a 2 (a 2 +vl Mi+ 2a"k 3 = - P (x, yl (-)

D z D T T

D T

D ay

FIGURA (II-26) - Bordo Livre paralelo ao eixo x (a h/kl

a 2 (2-vl Bordo'----Livre

h

-2a 4 +2a2 (v-2l

Bordo Livre

2a 2 (v-2)-2 h4 * k 2 b - P (x,yl +- (a4 MT + D z D

FIGURA (II-27) - Bordo Livre (a h/kl

2Cl-v 2 l

Bordo Livre

k

39

Bordo Livre

h

4(v2 -ll+Ba2 (v-ll h' * ~ - P (x yl + z ' "=============!J D

+ 2a"k 3

D + ---

D

2 2 a + MQ,l + Za v(a MT T

oM i (-Tl

ax k2 . - Mi+ D T


Bordo Livre

a"ll-v 2 l h

4a4 lv 2 -ll+4a2 Cv-ll

h" * - P (x,yl + D z

'----. za2 cz-vJe----1 Bordo

Za4 (v2 -ll+4a2 (v-ll + +

Livre


k2 • - Mi D T

Bordo Li vré

40

2a"

k

4a 2 Cv-2-a 2 J

i h" * za"k 3 aMT - P (x,yl +--· (--) +.a2v D z D 3Y

+ ª2 k2 r -M D T

h


2.5.5. Bordo Engastado e Bordo Livre

Bordo Livre

-4(l+a 2 l

h

Za2 Cv-z J-za"

Engaste

h" * - P (x,yl + D z

Bordo Livre

za 2 (2-vl

a" k2 b --M

D T

FIGURA (II-31) - Bordo Engastado e Livre, com engaste paralelo ao eixo y

(a = h/kl

41

h Bordo Livre

-4ct2 (l+a 2 J a 2 (2-vl

k

7a4 +Ba 2 +5 2a 2 (v-2)-2 h4 * a 2 k2 r = - P (x y) + --M z .•

D T D

Engaste

FIGURA (II-32) - Bordo Engastado e Livre, com engaste paralelo ao eixo x

k

Engaste

(a = h/kl

Bordo Livre

./""--------1 a 4 (1-v 2 1 h

i-----14a4 (v 2 -ll+4a2 (v-ll

4a" (v-21-4 h4 * 2a 3 k3 - P (x,y) + ---D z D

- 2a 2 (l+a 2vl

FIGURA (II-33) - Bordo Engastado e Livre, com engaste paralelo ao eixox

(a = h/kl

+

Bordo Livre

42

k h

L:__ _ __J za2 (Z-vl f------'---1 4a 2 (v-2 l-4a 4 ,___ __ __,

4(v2 -ll+4a 2 (v-ll

h4 * 2a 4 k 3

- p (x,yl +---D

2 D

oM i T k2

(--l + a2 v -oy D

Engaste

FIGURA (II-34) - Bordo Engastado e Livre, com engaste paralelo ao eixo y

(a = h/kl

2.5.6. Bordo Simplesmente Apoiado e Bordo Livre

Bordo Livre

h

-4a2 ( 1 +az)

Za 2 (v-Zl-Za 4

Apoio Simples

h' * = - P (x,y)

D z

FIGURA (II-35) - Bordo Livre e Simplesmente Apoiado com Bordo Livre paral~

lo ao eixo x (a= h/kl

Apoio Simples

k

43

Bordo Livre

h" * - P (x,y) + D z

D

a.2 k2 r 2 Mb) + -- (M + a. T T


lo ao eixo y (a. = h/k)

Apoio Simples

4a. 2 (v-2)-4

Bordo Livre

h4 * 2a. 3 k 3

=-P (x,y)+---L'=====t======:!.i D z D

i oMT (-) +

ax

a.4

k2

a Mbl + -- (v M + + T T

D

k2 • -Mi D T


lo ao eixo y (a.= h/k)

Bordo Livre

X

. 44

h

k r.=====±====;i

4(v2 -ll+4a2 (v-ll

+ -2a2 (v+a 2 l D

Apoio Simples

h4 * - P (x,yl + D z


lo ao eixo x (a = h/kl

2. 6. Qbtenção dos esforços

Aplicando a equaçao de flexão térmica [ veja figura

(II-lül] em todos os pontos da malha em que foi dividida a pl~

ca~ nos quais as flechas são desconhecidas, chegaremos a um

sistema de equações lineares simultãneas que pode ser escrito

na forma:

[K]{w}={Q} ( II-54 l

Onde [K] é a matriz quadrada formada pelos coefici

entes em diferenças finitas, { w} é o vetor das flechas incó~

nitas, e { Q} o vetor das forças fictícias. A solução da equ~

çao (II-54) fornece as flechas, e estas serao substituídas nas

equaçoes em diferenças finitas, apresentadas na fig. (II-39)

para determinação dos esforços resultantes em cada ponto da

ma 1 ha •

(M J X i

o., D (M J = - -

y i

(M J xy i

(V ) X

i

o., D(l-vl

4ctk2

'v D =---2h 3

45

-Z(l+ct 2 v)

o

--ct 2 ( z-v)

2+ct 2 (4-2\!) o

-ct 2 (2-\!)

{ w} - Mi T

{ w} - Mi T

{ w }

ct 2 (2-\!)

-z-ci2 (4-2vl

ct2 (2-\!)

ôMT { w }-(-)

ôx i

(V '\, D ) =---

y i 2kh 2

o., D (Qx ) =- --

i 2h 3

'\, (Q ) = -

y i

46

-(2-\!) 2(a2+2-vl

( 2-v l -2(a2+2-vl

·ª2

~a2

2(l+a2 l o

-a2

-a2

o

-(2-\!)

( z-v l

ª2

-2(l+a2l

ª2

{ w } -

{ w }

3MT (-)

ay i

-3MT (-)

ay i

{ w} -3MT (-)

ax i

FIGURA (II-39) - Expressões em diferenças finitas, para cálculo dos esfor

ços usando malha retangular (a= h/kl

47

CAP!TULO III

PLACAS RETANGULARES SOBRE BASE ELASTICA,

3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS E HIPÕTESES BASICAS

Muitos problemas de interesse prático podem ser en

globados na análise de placas sobre base elástica. Algumas das

aplicações diretas desta análise são as lajes de pavimentos de

rodovias e de aeroportos.

Vamos assumir que o material da base é homogêneo,

isotrópico e linearmente elástico. Este tipo de base é chama

da "base do tipo WINKLER". Esta hipótese consiste numa aprox!

mação das reais condições do material da base. Maior precisão

pode ser obtida se considerarmos as deformações reais dessa ba

se.

As hipóteses consideradas no capítulo II, mais esp~

cificamente no Ítem 2.1., serão estendidas para a presente ana

lise.

3.2. EQUAÇÕES BASICAS

A intensidade da reaçao da base, pb(x,yl, tendo em

vista as hip6teses ·anteriores, ser~ considerada em qualquer

ponto da placa, proporcional~ flecha deste ponto, podendo ser

48

expressa pela seguinte relação:

µ w(x,yl (III-1)

ondeµ~ o ''coeficiente de mola'' da base, cujo valor

numérico representa a pressao que aplicada nesta base provoque

um recalque unitário,

Quando uma placa e sustentada por uma fundação elás

tica contínua, a carga externa total na direção transversal e

composta de três parcelas: a carga de superfície p (x,y); z

a

reação da fundação (vertical de baixo para cima) pb(x,y); o

* carregamento fictício p (x,yl z

Assim a equaçao diferencial para placas sobre base

elástica sujeita a um campo térmico estacionário T(x,y,zl e

cargas transversais externas1 pode ser escrita como:

4 * D 17 w + p (x,yl z

(III-2)

Nesta equaçao diferencial párcial de quarta ordem, a

reaçao pb(x,y), exercida pela fundação é também desconhecida,

pois depende também das flechas w(x,y), segundo (III-1), In

traduzindo (III-ll em (III-2), escrevemos:

T(x,y,z)

4 017 w + µw P Cx,yl

z

Se somente os efeitos da atuação do campo

(III-3)

térmico

sao desejados podemos considerar p (x,yl nulo e z

a

49

equaçao geral de flexão térmica de placas sobre base elástica

se transforma em:

4 0'7 w + µw (III-4)

Estas duas Últimas equaçoes mostram que a superposi

çao dos efeitos do campo térmico e cargas transversais,

do separadamente, é possível.

atuan

As expressoes dos esforços internos permanecem as

mesmas.

3.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO

A equaçao (III-4) deve ser resolvida através da con

sideração apropriada das condições de contorno das placas. As

sim, temos:

Bordo Engastado: w O e 3w

3n

Bordo simplesmente apoiado w

Bordo livre: M n

O e V = O n

o

o e M n

o

onde a nomenclatura usada aqui e a mesma da

2.3. do capítulo anterior.

seçao

50

3,4, M~TODO DE SOLUÇÃO

Usaremos para solução da equaçao (III-4) o método

das diferenças finitas, aproveitando dessa forma os resultados

obtidos no capítulo anterior

Assim a equaçao geral de flexão térmica de placas s~

bre base elástica (equação III-4), escrita em diferenças fini

tas centrais, para uma malha retangular, tem a forma apresent~

da na fig. (III-1),

-4ci2 ( 1 +a 2 J 1---~--' 2a 2

h' * - P (x,yl D z

2a 2 2a 2

FIGURA (III-1) - Equação geral de flexão térmica de placas retangulares

sobre base elástica, usando malha retangular (a= h/kl

Se observarmos as equaçoes obtidas para a presente

an~lise, verificaremos que as condiç5es de contornoB as expre~

sões dos esforços internos são as mesmas do capítulo anterior.

A diferença fundamental está na equaçao geral em diferenças fi

nitas centrais, onde somamos ao ponto central da molécula da

51

4 4 fig. (II-10), o termo (µ/D) a k . Assim, com este procedimento

nas "moliculas" das fig. (II-15) a (II-38), temos a análise

completa da flexão de placas retangulares sobre base elástica .

•

52

CAPÍTULO IV

PLACAS CIRCULARES

4.1. Introdução

Neste capítulo estudaremos as placas circulares de

espessura constante(t) e isotrÓpicas, considerando-se as

teses descritas no CAP. II.

hip-ª_

Deduziremos as equaçoes fundamentais gerais e em se

guida as equações fundamentais particulares relativas ao caso

de aquecimento com simetria axial. Será usado o método das di

ferenças finitas, aplicado a placas e setores circulares,

4.2. Equações Gerais

Referimos a superfÍci~ média da placa a um sistema

de coordenadas polares (r,8), fig. (IV-1), com centro em O.

Designamos por z a coordenada segundo a normal a mesma

f í ci e.

supe.E:_

53

p

tL y

rt 1

., X - - - -

l b b

z

FIGURA IV-1

A obtenção das equaçoes gerais para placas circula

res pode ser feita através da aplicação da transformação de

coordenadas, sobre as equaçoes gerais em coordenadas

nas, obtidas no capítulo II.

A partir do uso desta técnica apresentada em

cartesia

litera

tura corrente TIMOSHENKO 122 1, BORG 1 8 1 chegamos a equaçao g~

ral de flexão térmica de placas circulares em coordenadas pol~

res:

2 V

r w p (r,8)

z

2

- V r

2

onde o operador de Laplace V , em coordenadas

sianas, transforma-se em:

(IV-ll

carte

2

a 1 + -

2 2

ar r

2

a 2

ae

1 +

r

a ar

54

(IV-2)

O ''momento fletor t~rmico equivalente'' MT, passa a

ser definido por:

J

t/2

T(r,6,z)

-t/ 2

z dz

Os esforços internos, momentos e forças

(IV-3)

cortantes

por unidade de comprimento, em coordenadas polares se.escrevem:

[,': 2

1 a w 1 ~)] - D + v(- + - M 2 2 ar

T ar ae

r r

Mr (IV-4a)

2

e (IV-4b) [: 2 l - D aw 1 a w a w MT + + V --2 -

ar 2 2

r ae ar

2

c1-vl o C-1- a w r ar ae

1 ~) 2 ae

- M 8r

- D a

ar

2

( IJ w + r

2

( IJ w + r

r

1-v a r ae

2 J a M (2_ ~ _ 2_ aw ) T

r arae / ae ar

~ 2

1a 2 a1aw-- - IJrw + (1-v) -. (- -- -r ae ar r arae

2_ aw )J-2. aMT 2 ae r 36

r

(IV-4c)

(IV-4d)

(IV-4e)

(IV-4fl

(IV-4g)

55

Onde Vr e v8

sao as forças verticais totais por uni

dade de comprimento dos bordos cujas normais são r e 8, respe~

tivamente, São considerados positivos os esforços com os senti

dos indicados na fig. (IV-2),

o

z

( a ) Sentidn positivo dos esfor90• Internos ( b) Elemento de placa

FIGURA IV-2

4.3, Condições de Contorno

A equaçao (IV-1) que governa a flexão térmica de

placas circulares em coordenadas polares deve ser resolvida

com o auxílio das condições de contorno. Analisaremos os bar

dos engastados, simplesmente apoiados e livres.

4.3.1. Bo~do Engastado

A flecha e a rotação na direção normal ao bordo de

vem ser nulas, ou seja: w = o aw o (IV-5) an

56

4, 3, 2, Bordo Simplesmente Apoiado

w = o M o n

Conforme a fig. (IV-3), podemos fazer as

considerações:

Para um bordo 8 Cte, teremos: w

Para um bordo r Cte, teremos: w

Bordo e Cte, temos: w o

Bordo r Ct e, temos:

2

1 a w = 2 2

r ae

w = o

2

a w \) aw -- +

2

ar r ar

MT

D

o o

o

(IV-6a)

seguintes

(IV-6b)

(IV-6c)

FIGURA IV-3 - Setor circular

4.3.3. Bordo Livre

A c,o_m p o n e n t e t a n g e n c ia 1 d o mo me n to f 1 e t o r ( veto r d e s e

57

ta dupla), bem como a força vertical total por unidade de com

primento de bordo devem ser nulos, ou seja:

M O e V o ( IV-7) n n

4.4. Método de Solução

4.4.1. Equação Geral em Diferenças Finitas

Para obter a expressao, em diferenças finitas cen

trais, para a equação geral de flexão térmica de placas circu

lares sujeitas somente a ação de um campo térmico T(r,8,z),

torna-se necessário desenvolver a equação (IV-1),simplificada:

(IV-8)

* 2

onde passamos a chamar: p (r,8) z V r MT como ca rre

gamento fictício por unidade de área.

Desenvolvendo a expressao (IV-8), temos:

4 3 2 3

aw2aw 1aw 1aw 2 --+----- --+---- a w

4

ar

*

r 3 ar

pz (r,8)/0

2 2 r ar

3 ar r

3 2

r aras

2

4 a w + --- +

4 2

r ae

4

2 a w

2 2 2

r ar ae

4

1 a w + ---

4 4 r ae

(IV-9)

Substituindo cada uma das parcelas da expressao an

terior pela correspondente expressão em diferenças finitas cen

58

trais [equações (II-46)], chegaremos a "molécula" representada

de forma simbólica na fig, (IV-4)

Onde:

AA 1

+ 4

h

A 4

4

h

I 6

+ 4

h

B 4 4

h

1

r.h l

2

r· 1

3

--3

h r. l

2 -2 2

r.h l

2 + --

3

h ri

1 - --2 2

r.h l

8 -- + 4 2

riy

1 - --2 2

r.h l

+

h = ÍH

õ = e.e

FIGURA IV-4

1 2 4 -- + 3 2 3 2 2

2hr. y hr. riy h l l

B 6 +

2 2 2 4 4

riy h riy

1 2 4 -3 2 3 2 2

2hr. y hr. riy l l

=

2

(IV-10)

2

h

BB 1 -4

h

L 4 --- -" 2

riy

LL =]R]R=

AL A lR =

BL B JR=

59

1 -- (IV-10) 3

r.h l

4 4 lR 2 2 2 4 " r.h y riy l

1 4 " riy

2 1 2 2 2 2 3

riy h y hr. l

2 1 +

2 2 2 2 3

riy h y hr. l

* P (r,8) e o valor ponderado do carregamento fictício z

* por unidade de área p (r,8), dado pelas expressoes (II-47) ou z

(II-48), segundo as hipóteses de distribuição linear e parab~

li ca, respectivamente, * da carga fictícia p (r,8) entre os z po_r:,,

tos nodais da malha.

O raio do ponto da malha onde está sendo aplicada a

"molácula" da fig. (IV-4), á designado nas express6es acima

por ri' sendo este ponto representado pelos dois

concêntricos (ponto central da moláculal.

retângulos

O espaçamento da malha Ar no sentido radial ã desij

nado por h, enquanto no sentido circunferencial temos: A8 = y.

De modo a tornar mais simples a utilização da 11 mol é

60

cuia" da fig. (IV-4), introduziremos as seguintes notações,

tendo em vista a malha genérica de um setor de placa mostrado

na fig. (IV-5 l.

FIGURA IV-5 - Setor-de-Placa Circular

O raio externo b e considerado À vezes maior que o

raio interno a., sendo À real positivo maior que a

Adotaremos as seguintes notações:

R b-a

h /':,r R

N

(À-l)a

N > 2 ( inteiro l

N -> numero de divisões iguais da placa no

r. l

radia 1

a+nh Na+nR

N • n 0.,1,2.,3.,,

unidade.

(IV-lia)

(IV-llb)

sentido

(IV-llc)

61

Ao numerador da expressao (IV-llcl chamaremos x., l

e

introduzindo (IV-lla), teremos:

X- = [N + n (À- ll]a (IV-lld) l

Dessa forma o valor de n define a posição do ponto

central da "molécula" [fig. (IV-4JJ. Para n nulo temos a "molé

cula" aplicada em pontos da malha situados sobre o bordo r = a,

e para n = N, temos os pontos sobre o bordo r = b.

As expressoes (IV-10) passam a ser escritas, como se

segue:

" 3 AA Y X Cx + R) (IV-12a)

4 4 4 3 2 2 2 2 3 2 2 A -4y X -2Ry X -R y (y +4Jx +R y (2+y /2lx (IV-12b)

2 4 2 2 22 44 I (6-8y )R +2y (4+y lR X +6y X (IV-12c)

44 43222 2 32 2 B -4y X +2Ry X -R y (y +4Jx -R y (2+y /2lx (IV-12d)

" 3

BB y X (X-Rl (IV-12e)

" 2 2 2 2

L lR = 4R (y -l)-4R y X (IV-12f)

" LL lR lR= R (IV-12g)

2 2

AL A lR = R y X ( 2X - R) (IV-12h)

. 2 2

BL BlR = R y X ( 2X + R l (IV-12il

62

O segundo membro da expressao mostrada na fig. (IV-4)

passa a ser:

["MOLIÕCULA "] * P2

(r,8)

o [ .4 4 4] X y R

4

N

(IV-13)

O valor de X nas expressoes anteriores refere-se ao

ponto central da molécula da fig. (IV-4).

Sobre a equaçao geral, composta pelas expressoes

(IV-12) e (IV-13), podemos observar que: definida uma malha,

ou seja, R,N,y,a,À constantes, temos apenas como variável o

valor de n (inteiro: O, 1,2., 3, .•• ). Tornamos., assim, mais sim

ples a aplicação da equação geral em diferenças finitas, poss~

bilitando maiores facilidades para possíveis programações.

Cumpre ressaltar que, para placas ou setores circula

res onde temos o raio interno 1'a 1' nulo surgirá assim uma sin

gulariedade no ponto central da placa, onde r. do mesmo l

sera

nulo. Para contornar o problema, e aproveitarmos as notações

introduzidas anteriormente, procederemos da seguinte forma:

Inteiro Impar > 1 (IV-14a) N 2

* 1 * n n + n 0,1,2.,3, ... (IV-14b) 2

R b (IV-14c)

X nR (IV-14d)

r. l

nh

63

Desta forma evitaremos a singulariedade prevista,com

R n- =

N * (n

1 b + -) (-) 2 N

(IV-14e)

Um exemplo da aplicação deste artifício será dado na

análise de placas circulares com aquecimento com simetria a

xial.

4.5. Placas Circulares com Aquscimsnto com Simstria Axial

4. 5.1. Equações Básicas

Se o campo térmico atuante na placa circular aprese~

tar simetria com relação a um eixo perpendicular a seu plano

passando pelo seu centro, [eixo z da fig. (IV-ll], a superfície

fletida também será simétrica em relação a este eixo. Todos os

pontos equidistantes do centro da placa apresentarão as mesmas

flechas, bastando apenas analisar as flechas numa seção diame

tral. Neste caso o campo térmico T é expresso por:

T T(r,zl (IV-15)

As flechas w serao independentes de 8. Assim o oper~

dor de Laplace [equação [IV-2)] se transforma em:

2

V r

2

d 2

dr

+ 1 d

r dr (IV-16)

Consequentemente a equaçao diferencial que rege a

64

flexão das placas circulares, terá a seguinte expressao:

( r 1 (IV-17)

Ou na forma desenvolvida:

Ü [d

4

: +

3 2

2 d w 1 d w 1 dw] * + Pz ( r J (IV-18]

r 3 2 2 3 dr dr dr r dr r

O'' momento fletor t~rmico equivalente'' MT, passa a

ser definido por:

ft/2

T(r,z] z dz (IV-19]

-t/2

Como conseqÜêncià da simetria radial da superfície

fletida, os esforços internos, se escrevem:

M = - D ~2: \)

d~ - MT + -r dr r

dr

(IV-2Da]

M8 = - O ~ dw <V,'~ - M dr

T dr

(IV-2Db]

Mr8 = M8r o (IV-20c)

D td 3: +

2 dMT

Qr V 1 d w 1 '·j - -- - - --r 2 2 dr dr r

dr dr r

(IV-2Ddl

ºe ve o (IV-20e)

65

Usando diferenças f(nitas centrais.juntamente com a

nomenclatura introduzida no ftem 4.4., a equação (IV-18) se

transforma em:

* BB - B ,__ C] ,__ A AA

P ( rl z

D

r f f br (IV-2la)

r

D nde:

3

AA X ex + R) (IV-2lbl

3

88 X ex - R l (IV-2lc)

2 2 2

I 2x C3x + R ) (IV-2ld)

4 3 2 2 3

A -4x - 2RX - R X + XR /2 (IV-2le)

4 3 2 2 3

B -4x + 2RX - R X - XR /2 (IV-2lfl

No caso de aplicação da molécula da equaçao (IV-2la)

em pontos singulares 1 ou seja 1 onde o raio do ponto

da placa é nulo, devemos adotar o mesmo procedimento do

4. 4.

* Na equaçao (IV-2la), P2

(r) representa o valor

* rado da carga fictícia por unidade de área p2

(rl = ·-

central

Ítem

pond~

66

relativa ao ponto central i. Se admitirmos uma variação linear

* da carga p (rl entre os pontos nodais, teremos o seguinte va z

lar ponderado:

* p ( r) z

1

6

* ( p a

* + 4p. i

(IV-22al

Ou se admitirmos uma variação parab6lica do ~egundo

,,zrau., teremos:

* p ( r J z

4.5.2. Condições de Contorno

4.5.2.1. Bordo Engastado: w = O e dw

dr o

Em diferenças finitas centrais, segundo a

(IV-6 J, teremos:

dw

dr

1

2h

Assim: o e

o

A todo ponto imediatamente vizinho ao bordo,

ponderá um outro virtual externo, de mesma flecha.

(IV-22b)

fig.

(IV-23)

corres

';

( IV- 6 a )

r. ~I' 11+ 1 ... , ....

( o)

67

( IV - 6b )

FIGURA IV-6

4.5.2.2. Bordo Simplesmente Apoiado

Temos: w o e M r

o

( o )

Escrevendo a equaçao (IV-20a) em diferenças finitas,

e tendo em vista a fig. (IV-6a), teremos:

wi+l =

2 Mi

~2Xi -v1 2xiR T o - l w. 1 - -; w.

1- 2 o l 2x. +vR

N c2xi•vRl l

(IV-24a)

Tendo em vista a fig. (IV-6b), teremos:

_ [2xi+vRJw. _ 1+1

2x.-vR 1- .

Nas expressoes

2 2X,R

. l o (IV-24bl 2

N (2x. -vRl l

(IV-24a,b) o valor X· refere-se l

ao

ponto nodal situado sobre o bordo da placa. Quando da aplic~

ç~o da "mol~cula" da equaç~o (IV-2la), verificamos que o valor

68

de X envolvido, refere-se ao ponto imediatamente vizinho ao

bordo, Assim, surge a necessidade da compatibilização dos valo

res de X, envolvidos nas expressões (IV-24a,bl e (IV-2lal. No

caso da fig. (IV-6al, temos: xi = xi-l + R. No caso da

(IV-6b) teremos: X· = X - R. l i+l

4.5.2.3. Bordo Livre.

Temos: M r

O V r

o

Segundo as fig. (IV-7al e (IV-7bl a primeira

çao nos conduz, respectivamente a:

4Xi wi+l

zx.:+vR l

4xi W. 1 1-

2x.-vR l

w. -l,

w. l

r-, 1i + 21 '-, ..J

1

;i. i: ..., ..J

2x.-vR l

( ) w. 1 2x.+vR

1-

l N

2x.+vR ( l ) - wi + 1 -2x.-vR

1·

2 Mi 2XiR T

2 D r2xi+vRl

2 Mi 2xiR T

2 D N ( 2X. -vR J

l

fig.

condi

( IV-25a)

(IV-25b)

r'-, 1 i- l 1

',...J =1 ~-:, h 'l-2ó L.. ...J

(IV-7a) (IV-7b)

FIGURA IV-7

69

A segunda condição de contorno devidamente escrita

em diferenças finitas, através da utilização das expressoes

(II-46) na equação (IV-2Dd), nos fornece, em relação às

(IV-7a e b), respectivamente:

fig.

4 j w. 2 + sv l

Onde nas expressoes anteriores: B

4.5.3. Obtenção dos esforços

3

2R

3

N D

3

2R w +--

i + 1 3

N D

dM i (-TJ

dr

+

+

( IV-·'2 5 e)

(IV-25d)

Uma vez obtidas as flechas nos diversos pontos da

malhai com raciocínio análogo do ítem 2.6., passaremos a deter

minação dos esforços. Para isto basta utilizarmos as

soes que se seguem:

2

DN

expre~

(IV-26a)

(IV-26b)

'\,

(V aQ J = -r ri

dM i

- c---2. J dr

3

DN

70

{ w }

(IV-26d)

Nas squaçoss (IV-26) os dois retângulos concêntricos

referem-se ao ponto nodal da malha, genericamente d enorni nado

''i", onde se deseja calcular os esforços internos.

Os posse da squaçao geral, composta pelas sxprsssoss

(IV-21) e (IV-22), juntamente com as condições de contorno

[ítsrn 4.5.2.] e com as sxprsssoss dos esforços internos [squ~

ções (IV-26)], ternos a análise completa das placas circulares

sob efeito de um campo térmico axissirnétrico.

4.6. Aplicações do Caso Geral

placas

Rstornarsrnos neste ítsrn o estudo da flexão geral das

circulares, onde a notação usada será baseada na fig,

(IV-8),

A grande dificuldade da aplicação da squaçao geral ,

esquematizada na figura ( IV-4), surge quando o ponto central

da ''molécula" situa-se sobre o contorno ou na vizinhança do

mesmo, Com o objetivo de facilitar estas aplicações, express~

remos a flecha dos pontos virtuais externos em função da fls

cha dos internos, através do uso das cond~ções de contorno.

71

( o )

FIGURA IV-8 - Malha genérica para placa circular

Simplificações na formulação a ser apresentada a se

guir sao obtidas com as seguintes notações:

~ = X (IV-27a) R

B R 1

(IV-27bl

X xi

l/J xi + 1 (IV-27cl

n=xl-1 (IV-27d)

2 + v B (IV-27e)

2 - v B (IV-27f)

72

Todas as grandezas auxiliares das expressoes (IV-27)

referem-se ao ponto central da "mol~cula" da fig. (IV-8).

4.6.1. Bordo Engastado

Temas: w o e ôw

an = o

Segundo a fig. (IV-9), observamos que:

a J para um bordo 8 = Cte, temos:

bl para um bordo r

A • 1

Cte, temos:

w o

w = o

e

e

aw ae

ôw

ar

o (IV-28a)

= o (IV-28bl

FIGURA IV-9 - Placa em forma de

Setor Circular

A substituição das equaçoes (IV-28) por suas corres

pendentes formas aproximadas em diferenças finitas centrais~

nos leva~ seguinte conclus~o: ''a todo ponto imediatamente

vizinho ao bordo engastado corresponderá, um outro virtual ex

terno de mesma flecha''.

73

e [IV-29)

Tendo em vista as expressoes [IV-12) e (IV-13) pod~

mos escrever:

* :i: I + AA + LL

FIGURA IV-;10 - Bordo Engastado

'\,6,2. Bordo Simplesmente Apoiado

* P (r,8) z -----

º

Escrevendo a condição (IV-6b) em diferenças finitas

centrais1 chegamos a:

+

* I. I - LL

2 2 J/, LLX y M

T 2

N D

FIGURA IV-11 - Bordo Simplesmente Apoiado

74

Com procedimento análogo em relação a condição

(IV-6c J:

* I

* I

I - AA 21/J-v 21/J+V

* t: Rj•

P (r,6) z

D

a 2

MT + AA ZR ':JI.

2 D (21/J+vJN


* P (r,6) z

D

+

2 Mª + AA _.;:Zc..R-"1/J ____ T +

I - AA Zi/! -·v - LL 21/! +:·\)

2 D (21/J+v)N

2 2

+ ~LX y 2

N


r* I - BB 211 + V

211 - V

75

* P (r, el z

D

2

2R 11 + BB ---''---

2 D N (211 - V)


* [x~j4 +

P (r,8) z

D APOIO SIMPLES

r* I - BB 211 + V - LL

211 - V

2

+ BB 2R 11

(211-vlN

2 2 l",,e, + L L .X...J'..._ _2_

2 o N


~ -+

2 D

77

* I I + AA - LL

* P (r,6) z

D

2 2 M.11,

+ LL LJ_ _2 2 D

N

FIGURA IV-18 - Bordo Engastado e Simplesmente Apoiado

* I I + BB - LL

* P (r,6) z

D

2 2 M.11,

+ LL D_ _2 2 D

N


76

4.6.3, Barda Engastado e sarda Simplesmente Apoiado

2 Mb BB 2R 11 T

ENGASTE 2 D (211-v)N

* P (r,8)

[x y ~14 z +

D N J

* 211 + V I I - BB + LL 211 - v


ENGASTE

r* I - M 21/J - V + LL

21/J + \)

* P (r,8) z

D

2

+ AA __ 2_R__,1/J __

z D (21jJ+v)N


+

4.6.4. B~rdo Livre

* I

* A

* AL

* I

* B

= I - AA 21/J - \)

2\/J + \)

2 2

A+ AA 4(1/J y + \))

2 y 1/J(21/J+vl

AL - AA 2\!

2 y1/J(21/J+V)

FIGURA

I - BB zn + V

2n - v

2 2

B + BB 4 ( Tl y + \!) 2

y nl2n-vl

* 2v BL BL - BB ---'---2

y nC2n -vl

78

IV-20 - Bordo Livre

FIGURA IV-21 - Bordo Livre

* P (r,6) z

D

2

+ AA __ 2lj,~R __

*

2 D (Zl)J+v)N

P (r,6) z

D

2

2R Tl + BB -=-'-'-'--

2 D N (2n- vl

79

*

~: ~4

P (r,6) z

+

D

2 2 M_Q,

+ LL Xl T 2 D

N

* I I - LL

* 2

BL BL + LL y fJ (l-2vf; )/2

* 2

AL AL - LL y fJ (1+2vf; )/2

* 2 2

L L + LL 2 ( 1 +vy fJ J


BORDOLIVRE

I* I - LL - BB 2n+v 211-v

* 2 2 L L + LL 2(l+vy fJ J

* BJR 2v

BL - BB----2

y n c2n-vl

* B

* AL

* BL

*

tX : Rj 4

P (r,8) z

+ D

2 2 M.Q,

+ LL LJ_ T - +

2 D N

2 Mb

+ BB 2R 11 T 2 D

N (211-v l

2 2

B + BB 4(11 y +vl

2 y 11(211-vl

2

AL - LL y fJ (1+2vf; )/2

= BL + LL y2f; (l-2vf; )/2 - BB __ 2_v __

2

y 11(211-vl


I

L,

A

Ejl

BORDO LIVRE

* I - LL - AA 21j,-v

21j,+v

* 2 2

• L + LL 2(l+vy flJ J

2 2

* 4(1j, y +V) A + AA

2

y lj,(21j,+vJ

* 2

BL + LL y flJ (1-2,0)/2

* 2V AIR AL--AA ----2

y lj,(21j,+vJ

80

* 2 2V AL AL - LL y f/J(l+2vf/JJ/2 - AA ----

2

y lj,(21j,+vJ

* ~ y R~4 p (r,8)

z ~

D N J 2 2 MJ!,

+ LL 1.._L ..2_ + 2 D

N

2 Mª + AA

2R 1jJ T 2 D

N ( 21j,+V)

~IGURA IV-24 - Bordo Livre

+

+ rl - AA f/ (2-V)~~ 2 J 2

y N /;D

2 2

* 4 (y +vS I I + A

2

y i;

2 2

2

AL 4Vf3 + 2

y I;

• BS y ( 2-3Sl + 128 V(2-V) -

+ •

y i;

* BB AA + BB

2

* AA 4(2-vlS - AL ..1._ BL = BL + 2 I;

y I;

2 • * AL 2vf3 + 2v (2-vl S

LL LL - AA 2 •

y I; y I;

81

* P (r,6) z

D

3

+ AA~ 3

N D

AA tf3+

2

4(2-28+S l +

i;

2 • ~ 4y f3 V(2-V)

J

í.x y j. + L N

i aM1 (-) +

ar

2

2R Mi x--2 T

N i;D

2 2 2 f: 22 4 2• ~ * A 2Vf3 + 4(y +\)f3 _ AA 4S Y (2-3Sl + BS v(2-vl - 2y S v(2-vl

L L - AL 2 2 L y"i;, y i; y i;

[2 + 2S+f32

+

2

~ * ..1.__ 8(2-vlS 2

B = B - A AA + (2-2S+S l i; 2 e; J

y I;


82

* ~ y Rj4 P (r,8)

z =

D L N

3 oMT

i

BB ~ (-) + 3 ar

N D

[BL - BB 13 \!-\) )j 2

•{ B + BB ~+213+13 2

+ 213

2

~!-vlj} 2R (M,1/,+ Mr) + X 2 T T

y N 1;D

2

2R Mi x--2 T

N ÇD

* I = I +

2 2

B 4(y +vl3 l

2

2

BL 4Vl3 + 2

BB [-4 l3 +

2

4(2+213+13 l +

* AA

* LL

* L

* A

y ç y ç

22 4 24 ~ + 813 y (2+313) + 1213 \!~2-\J) - 4y 13 \!(2-\JJ

AA + BB

LL -

2

BL 2Vl3 2

y ç

y ç

4

+ BB Zv(Z-v)S 4

y ç

* AL

ç

2

AL + BB 4 ( 2-v)l3 2

y ç

BL §_ ç

L -

2

B Zvl3 + BL 2

y ç

2 2

4(y +vl3 l -BB 2

y ç

j~l3 y (2+313) + 813 \!(2-\J) - Zy 13 V(Z-v) r:22 4 24 J L y\

A -i;

B - - BB \z ç L


* 5

83

* r N ~· +

P (r,8) z

~

D

3 2 ôMT

i

2y X + LL (-) + 2 ae

N D

{ AL [ZV-:J,0 (2-vl~

2

]}

2 2 2 2 R y \jJ Mª + - LL y +

2 T N D

+

{ BL + LL y 2 t-(2V-l ),0.

- (2-vJ,02

]}

2 2 2

R y n Mb +

L 2 2 T N D

+

{ L + [2 J} 2 2

2 2 2 ·

LL - 2Cl-vl y + 2(2-vly ,0 "X.;1-- M~

N D

+

- Cv -3v-ll.0 + vC2-vJ.0 . l 3 ~]

2 2 - 4v .0 +

2 3 'J 2 r: 21 - 2cv -3v-ll.0 - 4vC2-vl,0 - LL 2y Lv.0 + 2.0 J

continua •••

84

* I

{ 41. 2 2 3 4]

+ LL y Lv(l/4-vJ,0 +(7v -llv/4-6/4Jl, + v(v/2-ll,0 +6v(2-vJ,0 +

* LL 2 LL

2 3 'J + (v -3v-ll,0 +v(2-vl9


* BB

* BL

* B

* L

* LL

85

* p (r' e) z ~---

D

íx y ~-

L N J

3 2

+ LL 2Y X 2

N D

3M i (---2.)

ae +

+{BL + LL/ ~2v;l),0 _ (2-v),0

2

]}

+{ L + LL ~-2(1-vJ/ +2[2-vi/.02]} x:2YD

2

M~ +

2 2 2

R y 11 Mb + T 2

N D

2 4 1 2 2 BB + Bly 11(1-2v11l/2 + LL y 1-(v -l/4)0+(V +v+

2. 2 3

3/4),0 +(V -3v-l),0 +

L

B+BL 2(1+v/112

J +L/.0ll-2v,0)/2+LL{y't(l-2v2

)j'J-4/,02

+

l,0-2,0 2]} 2 3 ,l 2

- 2(v -3v-ll,0 -4v(2-vl,0 J + 2 y

[

2 2 21 -2 LL 2-2 (1-V)y +2 (2-V)y ,0 J

2 LL ·

continua ...

86

r* I -AA + L 2 (l+v/,ei' J - BL/ 11(1+2v11J/2 + Aly \ + LL { y 4

tc/-1/4),0 +

+ ( s/ -3v-9/ 4l r/ + (v 2

-3v-l J,0 3

+Sv( 2-v J,0 "] +/ f .lv-1l+8,02

] +4}

A* A+2 AA-L/,0(1+2\/,0)/2+AL(2-/1/.IJ +LL{y4

r/2-(2\/2

-2v-3/2J,02

-t

- 2v(2-vl,01-/ (2\/,0+4,0 2 i}


87

* P (r,8) z

D

1-x y ;i 4

+ LL

L N J 3 2

Zy X 2

N D

oM i ( __:i:_)

ae +

* 2 41( 2 2 2 2 3 AA AA-ALy 1/J(l+Z\/ljJ)/Z+LLy ~\/ -1/4)))'+(\/ +v+3/4))l' -(\/ -3\/-l))l' +

AL * = LL / [czv-l))l'+Z(Z-v),0J

,l 2 i 2]} - 4v ( 2-\/ J}J' J-Zy t}l'+Z}l'

* LL 2 LL

continua ..•

88

r* I-88+ L 2[1+v/f/)-BLy\+ALy\c1-2v1),)/Z+LL{y4

[v'-114J,0 +

* B

* BL

2 2 2 3 4] 2[ 21 } + (5v -3\!-9/4),0 -(v -3v-ll,0 +5v(Z-vl,0 + y L(v-ll +8,0 J + 4

B + 2 88 + L / ,0(1-2v,0)/2 + BL(Z+/ Tj) + LL{ y' t,0/2-(zv' -2\!-3/2),0 2

+

- Zv(2-vl,0J +y\zv,0-4,02

)}

2 [ ;-i LL y l(Zv-1),0-2(2-v),0 J


* BB 2 BB

* B

* BIR BL - AL ...f.. +

i;

2

R M9, 2 T

N [l+v)D

AA 4[2-vlS 2

y i;

89

* p [r. e) z

D

2

y [2-Sl + 2

zs

2

i

* BL 2 2

BL -AL+ LL L + AA ZS (2-V)/y

2

BS [2-vl + l2-2S+S2 l 2

y i;

2

s

+

L* L-A zv:2 + 2AL+ LUZS-/J/S+AA/[v2-2vl[4S\2/s3-2:2S,J-4/S'cz-3S~

y i; [ y i;

* IR

* IR IR

2

L-A ZVS + AA 2

y i;

2

LL - AL ZvS + 2

y i;

1; 2, • 22 1 ~v[Z-vly S -BS ~(2-vl-4y S [2-3Slj

y i;

• AA 2v(2-vlS

• y i;

2

r* = I - LL - AL ZVS + 2

2 2

A 4 ly +vS l 2

y i; y i;

2 • • 2 2 ~ + -4vl2-vly 13 +lDS ~(2-vl+BS y (2-3Sl]

y s FIGURA IV-30 - Bordo Livre

2 2

+ AL 4 [y +vS l 2

y i;

* AA

* AL

* A

* AJR

* L

=

* JR =

90

* P (r,8) ~ ~4 , = .....c:;z __ · X y R - BB z:

D N N D

+ ~L BB f32 (22-V)j

2 Mr 2R T

- + 2 D . y N ÇD

+ {s + BB [2•213+13 \ 213

2

(2-v)J} 2R

2

Mi + 2 2 T

y N ÇD

+ ÍsL + LL /c2:13J - 132c22-vl] _2_R_2_M~

L 213 y N (l+VJD

2 AA

2 2 2 AL - BL - LL y /13 + BB 213 (2-v)/y

[2-213+13 2

+

2

:J B _f_ - 8l3 (2-V) 2 A - BB + (2+213+13 l

ç 2 y ç

2

AL - BL _f_ + BB 4(2-V)l3

ç 2 y ç

2 \1 2 " 2 3 2 " 2 2 ~ L _ B 2v: + 28L + LU 2 l3+/ l/l3 + BB [V -2Vl (413 -Zy 13 ~2y 13 l-4y S (2+3Sl]

y ç y ç

2 \: 24 4 22 ~ L _ B zv: + BB[2v(2-v)y S -813 v~2-v)-4y 13 (2+313] + BL

y ç y ç

2 2 4 (y +vS

2 y ç

continua

91

2 ' lR; LL _ BL 2vS + BB 2v(2-vlS

* I

2

y 1;

2

I - LL - BL 2\JS + B 2

y 1;

' y 1;

2 2

4(y +vB l + BB 2

y 1;

[ 4 S + _4-'--C 2_+_:'--8+....:S_

2

..;..l +

2, O 22 1l + -4v(2-vly B +lOB v~2-vJ+BB y C2+3Slj

y 1;


93

2 2 2 l _ 8(2-vla_ Cy +vS ] +

y I;

+ LL{-4+2Y2

~-2(2-vl.0~}

* 2 2 [ 2 4vs 21 I = I+2A+L(2-y,0)-(AL+BL)y T)(l+2\JT))/2+AL[2y +4S·---;--J +

y i;

+AA Í4 + 4v(2-vlS4

+ 4(2-vls2D-Sl~

L 4 2 y i; y

{. r 2 2

+ LL y t.0- ( 2v -3v-2l,0 +

2 , 4] ,r, 2 J} + (4v -7v-2l.0 + 2v(2-vl.0 + y L(4v-1DJ.0+4(2-vl.0 -J


* BB

* IRIR =

* B IR

* B

92

BORDO LIVRE

* í 4 3 p ( r' 8 l ~ R 1 . 2R

z X y 'I + AA -

2

4R

2

N !; D

+

O N j 3

N D

3 2

+ LL 2Y X 2

N D

3M i (-Tl

ae +

- LL J 2 2 2

2 2 2c2-vJy I ·R Y n

2

N D

Mr + {-(L L + ALJ T 2

2

(l-2,0')y + A +

[

2 ~ r 2 1~ 2 + 2 AA 1 + S c:-vl_l - LU1-21i 1/1\c2-vJ + /,0c

27 lj R 2

M~

y J L (l+v)N o

2 4

2 LL - AL 4vS + AA 4vC2-vlS

2 4

y i; y i;

2 8(2-V)S 8 2 2

AA AL - + LL 4(2-V)y. 2 i;

y i;

2 2 2 2 r ( ) s2l B-A + (AL+ BLJ 2(1+vy n l +AL 2y + Ly 1-BBL 4+

4 2-~ J +

y

{

4 r 2 2 2 , 41 2 [ 21} + LL y l-l+2(2v -3v-2l,0' -2(4v -7v-2J,0' -4v(2-vll J +y Ll-4(2-vl,0' J

continua ...

94

* r ~ ~4

P2(r,8l

o

3 oMT

i 3 2

- BB~ + LL 2Y X (-) 3 ar 2

N O N O

+ ~L - BB

__ R_

2

-2- M~ + IAL + BL - LL2(2-vly\{]

( 1 +v l N o L

oMT i

(-) + ae

2 2 2

R y l/J Mª T 2

N D

AA* = AA + BB -/l/J(l+ZVl/J) [(AL + BL)/2 - LL(Z-vJ/,0]

2 4

lR ; = 2 LL - BL 4vS + 2

BB 4V( 2-v) S 4

* AJR

* A

* lR

y ç y ç

2

BB 8(2-vlS 2

y ç

B 2 2 - BL - + LL 4(2-V)y fJ

ç

2 2 2 2 r ( i 621

A-B+ (AL+BLJ2(1+vy l/J l +BL 2y -Ly fJ -BBL4+4

z-~ J +

y

{4/, 2 2 2 3 12[ 2]~

+ LL y ~ + 2(2v -3v-2)/J +2(4v -7V-2)/J -4V(2-v)/JJ+y [2/J-4(2-V)/J ~

1 2 2 l Í, 3 2

1 { 2 J l} BLJ4S+ 8(y +2vs )-J -BBJ-4(2-v;S + 8(2-~lS_I + LL -4+2y ll-2(2-v)/Jl/JI

L yç J L y yç J J

continua ...

95

* 2 2 r 2 4\/8 2] I I + 2B + L(Z+y ,0) + (AL + BLJy t/JLl-2\/tµ)/2 - BLLy +48 +-. -2- +

y ç

+ BB~+4v(2-vJS4

+4(2-v)l/0+8)~ +LL{/t-,0-(2\/2

_ 3v-ZJ,02

+

L y4i;: Y2 J L

2 a .1 2~ 2 J } - (4v -7v-2Jf/ + zvcz-vJ,0 j + y LC4v-10Jf/+4Cz-v)f/ -2 +4


86

4.6.5. Borda Eng~st~do e Barda Livre

* f: Rj"

P (r,8) z

= D

* I

* B

I + LL - 88 2n+V BL 211-v

2 2

B + 88 4(11 y +vl

2

y 11(211-vl

2

+ 88 2R 11 2

N (211-vl

* 2v BL - 88 2

y 11(211-vJ

FIGURA IV-34 - Bordo Engastado e Livre

* I I + LL - AA 2lj)-v 2lj)+v

2 2

A* A+ AA 4 (~ y +v] 2

Y iJ!(2lj)+vJ

* AL

*

[x Y ~-P (r,8)

z

D N j

2 Mª + AA 2R iJ! T

2 D N ( 2lj)+V)

AL - AA 2v 2

y lj)(2lj)+vl


Mb T

D

+

+

* I

* L

* AL

* I

* BL

BORDO LIVRE

I + BB - LL

L + LL 2(1

2 AL - LL y ,0

97

2 2 + vy ,0 J

(1+2v,0 J/2


I - LL + AA

2 2

L + LL 2(l+vy ,0 J

2

BL + LL y ,0 ( 1 - zv,0 J /2

* P (r,8) z

o

2 2 MJI,

+ LL x...r_ ..2_

N 2 D


+ lsL-BB

L

*

2

2R 2

N ÇO

98

* P (r,8) z ----

º 3

BB~ 3

N O

+

2S 2

(2-vll~ 2R 2

Mi 2 j 2 T

y N /';D

AA AA + BB

* A

* LL

* AL

* L

* I

A-Bf-ss ç

LL -

2

BL 2vl3 + 2

y ç

2 8(2-vll3

2 y ç

4

BB 2V(2-Vll3 4

y ç

2

AL + BB 4(2-vl13 - BL f

2 ç y ç

2 2 2

L _ B 2vl3 + BL 4 (y +\)13

- BB 2 2

y ç y ç

~22 4 24 j 413 y (2+313)+813 ~(2-vl-2y 13 v(2-vl

y ç

2 2 2

BB t413+

2

4(y +\)13 ) BL 6vl3 + 4(2+213+13 l I + B +

2 2 ç y 1; y ç

22 4 24 J + 813 y (2+313) + 1413 v 4

(Z-vl - 4y 13 v(2-vl

y ç


99

*

íX y Rj

4

+ LL

3 2 i P (r,6) ôMT z 2y x (-) +

D L N 2 ae N D

+ {AL - LL / t(2v;ll.0 + C 2-v il]} 2 2 2 R y tj, Mª +

2 T N D

+ { BL + LL y 2 ~ J} 2 2 2 C2v;ll,0 _ (2-vi/ R}

0

n Mb + T

* LL 2 LL

L* -2 LL [2-2(1-v)/ + 2(2-vJ/.02

]

* 2[ 'J BL = LL y - (2v-ll,0 + 2(2-vl.0

2 3 "] + Cv -3v-ll,0 + vC2-vl,0

- 2Cv -3v-ll.0 - 4vC2-vl.0 - 2y :l 3 '*] 2

+ (7v -v-3/4),0 - Cv -3v-ll.0 + 7v(2-vl.0 +y 4(v-ll + B.0 + 4 2 2 2 3 '] 2[ 2] }


BORDO LIVRE

1 O O

* P (r,6) i) l'

z D . ~: RJ + LL

3 2

2y X 2

N D

+

r r l} 2 2 ,

+ L AL - LL y2

[(2\!;ll.0 + (2-vJ/j R :

2: M; +

t { BL + LL / t( 2\!;l),0 - (2-vl.0J} R

2:2

2:

2 M~ +

+ { L + LL ~-2(1-vl/ +2(2-vJ/jlJ} :

22Y: M~

A* A - Ly~(l+2\!,0)/2 + AL 2[1+v//J+ LL{r"[o-2/i,0-4/,02

+

l 3 'J 21. 2]} + 2(\! -3v-ll.0 -4v(2-vl.0 - 2y Lv.0•2.0

* 2 '[ 2 2 2 AA AA - AL y tj,(1+2vtj,)/2 + LL y (V -1/4).0+ (v +\)+3/4).0 +

- (v -3v-ll.0 + v(2-vl.0 2 3 "]

* [ 2 2 'l L - 2 LL 2-2(1-v)y +2(2-v)y .0 j

* LL 2 LL

r* I + ALy\ [i-2vtj,]12 + L 2(l+v/li -BL 2vy\/ + LL{ /[014-/i.0 +

+ (7v'-v-3/4J/ + (v2

-3v-ll/ +7v(2-vl,rl] +/[4(v-ll +a./J +4}


ENGASTE

+ rl -AAS2 (2-2vlj 22R 2

y N i;D

*

101

* P (r,8) = -=z:....... __

D

ilM i (--2.J

3

+M~ 3

N O ilr

+

+{A+ AA [2-2S+S2 + 2S 2 (~-vlj} 22R 2 M~

y N i;D

BB AA+BB

* B

* LL

* BL

* L

* I

B-Al-AA i;

4

2

y i;

2

LL - AL 2VS + 2

AA 2VÇS 4

y i;

2

= BL + AA 4(2-vJS 2

y i;

y i;

- AL !,_ i;

L - AA í,'2 4 42 l (S y (2-3SJ + BB ~(2-vl - 2S y v(2-vlj

2 2

I + A 4 (y +vS l 2

y i;

y i;

2

AL 6VB + 2

y i;

22 4 24 J + BB y (2-3BJ + 14S v~2-vl -4y B v(2-vl

y i;

2

-A 2vB + 2

y i;


2 2

AL 4(y +vB J 2

y i;

102

4.6.6, Bordo Sim~l&smgntg A~oiado e Bardo Livre

APOIO SIMPLES

r* ·= I - LL - AA Zlj,-v 27.µ+v

* AL AL - AA 2V

2 y 1/J(Zlj,+V)

2 2

A* A+ AA 4 (1/J y +V) 2

y 1/J ( 21/J+v l

* P/r,6l.ÍXyRl4

- D tNj +

2 2 M.Q.

+ LL x..:r_ __2 +

N 2 D

2

·+ M _2_R~l/J-2 D

N (21/J+V)

FIGURA IV-42 - Bordo Simplesmente Apoiado e Livre

r* I - LL- BB Zn+V

2n-v

2 2

B* B + BB 4 ln Y +vl 2

* BL

y nc2n-vl

2v BL - BB ~~~~-2

y nc2n-vl

BORDO LIVRE

* IX y Rl" P (r,6)

z t N j D

2 2 M.Q,

+ LL x....r_ __2 + 2 D N

2 Mb

BB 2R n T + 2 D N (2n-vl


+

103

*

[x : Rj

4 P rr.eJ z + ~

D

2 2 MY, 2 a

LL LL __!_ + AA · · 2R * . MT

+ 2 2

N D

N ( 21j,+v l D

BORDO LIVRE

I* = I - LL - AA 2*-v 2*+v

* 2 BL BL + LL y ~(l-2v/Jl/2

* 2 2 L L + LL 2 ( 1 +vy /J J


I* I - LL-BB 2n+V 2n-v

* 2 2 L L + LL 2(l+vy ~ J

* 2 AL AL - LL y ~(1+2v/JJ/2

* P (r,6) z

D

2 2 MY,

+ .LL XJ_ __!_ + 2 D

N

+ BB 2 Mb

2R n T

2 D N (2n-vl


104

3 oMT

i

- BB 2R (-) + 3 ar

N D

[BL - BB S 2

( 22

-v Jj 2

+ ~Mr + 2 T

y N 1;0

+ LL y2

13°c2+!3)/2 - BB s\~-v~ -2-R-

2

-- M~

Y N D(l+V)

* AA AA + BB

* A

* LL

* L

* AL

* I

=

=

A-Bf-BB 1;

2

8(2-vlS

2 y 1;

2 4

LL - BL 2vS + BB 2v(Z-vJS

2 4

y 1; y 1; 2 2 2 ~ 2 2 4 2 4 ·~

B ZvS 4(y +vS l _ BB 4S Y (2+3SJ + 8S V(Z-V) - Zy S v(Z-vl L - + BL

2 2 y"r; J y 1; y 1;

2

AL + BB 4CZ-vJS BL f 2 1;

y 1; 2 2 2

I - LL + B 4 (y +vS l - BL ZvS + BB [ 4 S+ _4...c(_2_+ ;--'Sc..+-'S'--2-'-l + 2

y 1; 2

y 1;

+~ª~S~2

~y_2

~(2~+_3~S~)'-+~l~o~s~·~~~(Z~--V~):_-_4~y_2~s_"v~cz~--=-v~

y ç J


105

* [x N RJ'

P (r,8) z

~ +

D

3 ôMT

i

+ AA~ (-) 3 ar

N D

2S 2

(2-\/ il} 2R 2

Mi + 2 J z T

y N i;D

2 2 y S C2-Sl/2 - AA s\~-v)l _2_R_2 __ M;

y J N (l+v)D

* BB AA + BB

* B

* LL

* L

* BL

* I

B - A~ - AA ~+2S+S'+

2

ac2-vJS + c2-2S+S2l 2

y i; 2 4

LL - AL 2vS + AA 2v (2-vl S

2 4

y i; y i; 2 2 2 ~ 2 2 4

L - A 2vS + AL 4 (y +vS _ AA 4S y (2-3S) + as \/~2-\/)

2 2

y ç 2

BL + AA 4(2-v)S 2

y i;

y i;

- AL f i;

2 2 2

I - LL + A 4 (y +vS l - AL 2\/S + 2 2

y i; y i; 22 4 24 l

+ as y C2-3Sl + lDS v(2-vl - 4y S vc2-vl_l

y' I; J

y i;

z 4C2-2S+S

+

I;

2 4 ~ - 2y S \/(2-\/)

J


106

* P (r,8) z

D

3 2

Zy X 2

N D

+

,{ BL + LL / [czv~l)f) _ (2-vlflJ} R2::Dr/

+ { L + LL ~-2(1-vl/ + 2(2-vl/fl'J} ~,

2

2YD

2

M~ +

~AA--R_2_Mª+{AL-LL/ j(Zv-l)f) + (Z-vJ,ll}t3+Zf/+4\J\jJl R2y21/J Mª 2 T [ 2 J 2 ( 1 +V l J 2 T

N (1 +\J) D N D

ss* BB + BL /nc1-2vnl/2 + LL /[- e/ -l/4Jfl'+ cv\v+3/4l,/+

* B

2 3 41 + (v -3v-llf/ +vCZ-vljJ J

B + L /fJCl-Zvf/)/2 + BL Z(l+vy\2

i + LL{r"[- (l-zv')fl'-4/l

-2 / [-vfl' + Zf/ J} • 3 ~ - zcv -3v-llf/ - 4v(Z-vlfl' J

BL* LL /tczv-llf/ + zcz-vJflj * LL 2 LL

L* LL z[z-ZCl-v)y 2

+ Z(Z-vJ/flJ

* 22 2 22 I I + L 2(1+\Jy fl' J - BL y n(l+Zvnl/2 + AA - AL zvy \jJ +

{

4[ 2 2 2 2 3 '] + LL y l(v -l/4li;l' + C7v -v-3/4Jfl' - Cv -3v-llf/ + NCZ-vlfl' +

+ /[4Cv-ll + Bj)2] + 4}


107

* P [r,6) z =---

D

3 2

2Y X 2

N

oM i

e,----.:!:. J ae

+

+{ AL - LL y' t[ 2v;l),0' + [ 2-v ),e) J} R "Ny:: 2

·{,, ec ~-m-vi/ •m-v i,' •]} X::' ",: •

+ BB __ R_2 __ Mb ·{BL+ LL /1(2V-l),0 _ [2-v),0~} l3-2,0'-4vn~ R\2 Tl Mb

2 T [ z J [ [Z+V) 2 T N [ 1 +VJD N D

* 2 4r: 2 2 2 2 3 AA AA - AL y 1j,(1+2v1j,l/2 + LL y L(v -1/4),0' + [v +v+3/4l,0 -cv -3v-l),0 +

+ v[2-vl,0'J

A* A-L /,0C1+2v,0')/2+AL 2~+v//] +LL{y4

[cl-2v2

J,0-4v2

l +

+ 2[v2

-3v-ll,03

-4v[2-vl,04

] -2/t,0+2,0'2

]}

* LL / lczv-ll,0+2[2-vli] *

AL = LL 2 LL

* [ 2 2 J L = LL 2 2-2[1-vly +2[2-vly ,0

r* I + L 2Cl+vy2

l1 + AL y\ ~-2V1j,J/2 - BB - BL /11+ LL{y4

[[v2

-3/4ll1+

+ csv'-3v-7/4)l- (v'-3v-11,0\sv(2-vl.0J + y2

rcv-1)+8l1J + 4}


10 ô

4,7, Obts~çio dos Esfor~os:

De posse das flechas em cada um dos pontos nodais da

malha, obtidas através de raciocínio análogo ao do item 2.6.,

calcularemos os esforços com uso das expressoes esquematizadas

na fig. (IV-50)

2

(M / '.;; DN r 2

R

2 i 'v DN

(M J = - . e 2

R

2 2

vs /y

~~--11-vS/21---~- 1

\)+ 8/2

v-8/2

2 2

8 /y

• o., (M )1 =

r8

o., (l-v)DN2

-B/2

10 9

B/2

{ w }

FIGURA IV-50 - Expressões em diferenças finitas para cálculo dos momen

(Q li=·-DN3

r 2R'y2

tos: B = R/X. l

y 2 l 2+ 28+ 82 l + 282

3M i { w} - c-2.i

3r

11 O

-y2 Cl+S/Zl y2 Cl+S/Zl

-y 2 Cl-S/Zl

CZ-vlS2 y2 C-Z+ZS-S2 J-zcz-vJS 2

CZ-vlS2

(V J i = -DN 3

-4y2 S-4Cv-3J S3 r ZR 3y2 Z(v-3lS 3 Z(v-3JS 3

-C2-vlS2 y2 C2+2S+S2 l+2CZ-vlS2 - ( 2-v) S2

aM i T { w }- (-)

ae

aM1 i

{ w} - (-) ar

,._, o o ::J [/) (l_

m (l_

o [/)

f-'• m [/)

(l_ .., m m [/) z ri" m o, o,' ~- [/)

::J o,

°" -+, e: [1 f-'• ,._, o, °" o ,._, e: [/) [1 ..,

e: o, [1 ,._, [/)

o []J

::J .., [1 H m> o < ::J [/) 1 ri" Ln .., m D f-'· [/)

[1 -+, m o o '"

.., Ln <1 ,._, o '" o f-'• ::J u ri" o m ::J .., ri" ::J o o [/) ::J

o m, (l_

[]J .., ,._, m u °" .., m m ::, [/) m, m .., ::, f-'· ri" [1 o, o (l_

o ' u f-'•

(m '

(V li -e -ON 3

2y'xR2

-y 2 [(2-V)+8(2V-l)/2] y 2 [c2-vl+B(2v-ll/2]

1 \=;- (Dr--;=,_i_~~~ 2y2 [C2-vl-B2Cl-vl]+B2 2y2 [-(2-vl +B 2

( l-vl]-B2

-y2 [c2-vl-B(2v-ll/2] y 2 [C2-vl-B(2v-ll/2]

clM i { w} - c-2i

ae

FIGURA IV-51 - Expressões em diferenças finitas para cálculo dos esforços cortantes:

B = R/xi

,._, ,._, ,._,

112

CAPÍTULO V

PLACAS DRTDTRÕPICAS

5 .1. Introdução

Este capítulo é dedicado ao estudo de placas retang~

lares-de espessura constante possuindo três planos de simetria

mutuamente perpendiculares com relação às suas propriedades e

lásticas em cada ponto da placa.

Deduzidas inicialmente as equaçoes fundamentais g~

rais, sao obtidas a seguir as soluções das mesmas no caso de

atuação de um campo térmico T = T(z) variável ao longo da es

pessura da placa. Estas soluções serão obtidas com ó.método das di

ferenças finitas.

5.2. Hipóteses e Equações Básicas

Associadas as hipóteses descritas no'ítem 2.1., admi

tiremos que as direções principais de ortotropia coincidam com

as direções X,Y [figura (II-ll} dos eixos coordenados, e que

as características elásticas se mantêm constantes ao longo dos

planos coordenados.

Designando portanto num ponto genérico da placa de

coordenadas (x,y,z) por E X

E,v ev, y X y

respectivamente os

113

módulos de elasticidade normal e os coeficientes de Poisson

relativos às direções X e Y e por G o módulo de elasticidade xy

tangencial, resultam constantes os valores dos mesmos ao va

riar x, y e z, Sendo ªTx e ªTy os coeficientes de dilatação

térmica segundo as direções principais de ortotropia temos as

seguintes relações tensão-deformação:

E X

E y

Yxy

a = X

a = y

T = xy

a X

E X

o _]!_

E y

T

-

~

G xy

E X

1-v" X y

E y

1-v " X y

a v 2+a T

y E Tx (V-lal

y

o X

T \) - + ªTy X E

(V-lbl

X

(V-lc)

ou exprimindo as tensões em termos das deformações:

[ EX TJ - (a + "yªTyl + \) E

y y Tx (V-2a)

[ "y + T] \! E (aTy + " a )

X X x Tx (V-2b)

G Yxy xy (V-2c)

Empregando-se as relações deformação-deslocamento ex

pressas por (II-2), (II-3) e (II-4), nas equações (V-2), temos:

a X

E X

1-v " X y

[ a\

z --2 + z "y

ax

2 a w

2 ay

+ (" Tx

(V-3al

114

E ~ 2

2

+ "x"Tx)T] y a w a w

+ . (" (V-3bl (J z --2 + z \/ y

1-v v X 2 Ty

X y ay ax

2

2z G a w (V-3c) T - ---xy xy

ax ay

Com auxílio de (II-10), (II-11) e (II-12), chegamos

a expressões dos esforços internos por unidade de comprimento:

M X

M y

M xy

D X

D y

M

~/: + \/ y

ax

[a2: + \/ X

ay

2Dt = + yx

a2: J - M Tx

ay

(V-4al

2

J a w

MTy 2 ax

(V-4b)

2 a w

(V-4cl ax ay

onde Dx e Dy sao rigidezas a flexão e Dt a rigidez tor

sional. A determinação exata destas rigidezas especialmente a

torsional Dt' é normalmente difícil. Fórmulas aproximadas para

calcular rigigez por unidade de comprimento são apresentadas

por diversos autores. [SZILARD 12 oi, TIMOSHENKO J 2 2 i_BARES l 5 I].

Os "momentos fletores térmicos equivalentes" sao de

finidos por:

E (ctTx + "y"'Tyl rt/2

MTx X J T(x,y,zl z dz (V-5al

1-v v X y -t/2

E (" + ) r/2 \/ "

MTy y Ty X Tx

T(x,y,zl z dz (V-5b) 1-v v

X y -t/2

V X

V y

116

Dr~

4Dt

' ~ aMTx V ) · a w

+ (-- + - ---X 3 D y

ax ay 2 ax ax X

(V-lDal

-C[a'w, 4Dt ' ] aMTy

+ V ) a w (-y 3 D X

ax2

ay ay ay y

(V-lDbl

As expressoes obtidas até o momento referem-se a fle

xao das placas ortotrópicas sujeitas a um campo térmico esta

cionário geral T = T(x,y,zl. Tendo em vista o exposto na intra

d u ç ão ( í t em 5 • ll d e s t e c a.p í tu 1 o , p as s a remo s a a na 1 is ar o caso

particular de um campo térmico variável apenas ao longo da ex

pessura da placa, ou seja, T = T(z), o que engloba grande pa~

te dos casos de interesse prático.

Assim a equaçao geral (V-8) se transforma em:

4 4 4

D a w 2B a w + D a w o (V-11) +

X 4 2 2 y 4

ax ax ay ay

Temos assim uma equaçao diferencial parcial linear

de quarta ordem do tipo elíptico com coeficientes constantes e

homogênea, uma vez que MTx e MTy passam a ser constantes defi

nidas por:

E ( CLT ) Jt/2 + V ªT MTx

X X y y T ( z J z dz

1-v :v X y -t /2

(V-12al

E ( CLT ) Jt/2 + VxCLTx MTy =

y y T ( z J dz z 1-V V

X y -t/2

(V-12b)

A interpretação física da solução da equaçao homog~

115

Substituindo as expressoes (V-4) na equaçao diferen

cial de equilíbrio (II-24), obtemos a seguinte equação

placas ortotrópicas:

o X

" " a w + 25 a w 4 2 2

ax ax ay

+ o y

" a w p (x,y) -

z

o_n de B l (v O + V O + 40t) 2

y X X y

2

~ MT ( X +

2

ax

para

(V-6)

( V-7)

~ chamada "rigidez torsional efetiva'' da placa orto

trópica.

Se estivermos interessados apenas nos efeitos da a

tuação do campo térmico T(x,y,zl basta considerarmos nula a

carga externa transversal p (x,y). z

• • 0 a w + 25 a w

X ti. 2 2

ax ax ay

+ o y

• a w

2 2

= a MT a MT

( X + _ ____:_.,_Y )

2 2

ax 3y

(V-8)

Pela substituição das expressoes (V-4) em (II-21) e

(II-22), encontraremos as forças cortantes por _unidade de com

portamento.

2 2 3MTx

Qx a ( D a w

B ~) + - ---ax

X 2 2 ax ax 3y

(V-9a)

2 2 3MTy

Qy =---ª-- ( o a w B ~) + -

3y y 2 2 ay

ay ax

(V-9b)

De forma semelhante, as forças verticais por unidade

de comprimento de bordo# se escrevem:

11 7

nea (V-11) e a obtenção da flecha da placa w(x,y) somente sob

a açao de "forças" (momentos e força cortante) de bordo, Conse

quente a solução satisfará as condições de bordo prescritas e

manter~ o equilíbrio com as ''forças'' externas de contorno.

5.3. Condições de Contorno

Analisaremos as mesmas condições de contorno descri

tas no capítulo II, introduzindo as novas expressoes para os

esforços~ considerando ainda o campo térmico particularizado

T • T(zl, e consequentemente constantes os "momentos

tirmicos equivalentes" MTx e MTy

5. 3.1. Bordo Engastado

fletores

aw Temos w • O e~• O. Portanto a todo ponto imediat~

an mente vizinho ao bordo engastado corresponderá um outro vir

tual externo de mesma flecha.


Bordo X Cte: w o (V-13a)

2 2 MTx

M o - a w a w (V-13b) + \) X 2 y 2 D ax ôy X

118

Bordo y = Cte: w = o (V-13c)

2 2

~ M o - a w a w + V (V-13dl

y 2 X 2 D ay ax y

Usando diferenças finitas centrais e tomando por ba

se a fig. (II-12a e bl, escrevemos respectivamente:

Bordo y = Cte

2

= o k MTy w. w !l. w wb w

l r a D (V-13el

y

Bordo X Cte

2 2

o a. k MTx w W, wb w - w !l. -

a l r D (V-13fl

X

5.3.3. Bordo Livre

2 z MTx

Bordo Cte: M o a w a w (V-14al X --- + V - --X 2 y 2 D

ax ay X

3 4Dt 3

V a w ) a w (V-14bl o - + (-- + V o X 3 D y 2

ax X axay

2 2 MTy

Bordo Cte: M o - a w a w (V-14cl y -- + V -y 2 X 2 Dy

ay ax

3 4Dt

3

V a w ) a w o (V-14d) o - + (- + V y 3 D X 2

ay y oyox

Conforme a fig. (II-13al, escrevemos segundo a con

dição (V-14cl:

119

\) \) 2

2(1+..2.J X ( w 2 ) k

MTy wb W. - w + w -2 1 a 2 r o a a y

\) \) 2

2 ( 1 + ..2.) X (w22 w. ) - k

MTy wb2 w g, - w - + 2 a2 2 1 o a a y

\) \) 2

2(1+..2.J X ( w . ) k MTy wbr w - w + w 2 r ar 2 1 rr o a a y

Com auxílio das expressoes (V-15a,b,cl

com a condição (V-14d), escrevemos:

Onde

G[l+A)+ v: (4+6Al]wi - 4(l+A)wa -2 ~ a

\) X +A-2

Cl

1 2

Cl

+ w ªª

+vx(l+2All(w + 2 'J 2

Cl

2

- ~ M O Ty

y

w ) r

(V-15al

(V-15b)

(V-15cl

juntamente

(V-15dl

(V-15el

Em isotropia, 2

teríamos: O y

O; V. = V; D =(l-V) D X t z

Assim A= (2-vl/a ,

Procedendo de forma análoga com relação a

(II-13b), obtemos:

w r

w ar

2

2(l+v a lw. y 1

2

= 2(1+\J a Jw y a

2 - w - a v (w + w) -

2 y a b

2 - w - a v (w + w J

a2 y aa i

2 2

~M O Tx

X

2 2

~M D Tx

X

figura

(V-16a)

(V-16b)

w rr

Onde

2

2

Ca V y

( 1 +2a V ) + y

e

Em isotropia C

120

2 2 2

- W - Ü V bk y

(w + w l -~ M i bb O Tx

X

2a2

v J (w +w J+~(l+C)+2a\ (2+3c)Jw. yab[ y 1

40tj

o X

2

2

a

a (2-vl

5.4. Aplicações (placas retangulares)

w + k

2 2 2a k

D X

(V-16cl

M (V-16dl Tx

(V-16e)

O método de solução a ser empregado será o mesmo ut~

lizado nos capítulos anteriores. Primeiramente escreveremos a

equação (V-11) em diferenças finitas centrais, baseando-nos na

malha retangular da figura (II-9).

-4(0 +a 2 BJ X

2a 2 B

k

a 4 0 y

-4a2 (a 2 0 +BJ y

60 +6a 4 0 +8a 2 B X y

-4a 2 (a 2 0 +Bl y

a"o y

h

-4(0 +a2 Bl X

2a2 B

o

FIGURA V-1 - Equação V-11 em diferenças finitas centrais:a h/k

121

Combinando-se convenientemente a ''equaç~o'' da fig.

(V-1) com as condições de contorno do ítem (5.3), chegaremos

aos resultados apresentados a seguir, em forma de figuras.

5.4.1. Bordo Engastado

Engaste

h

7a4 D +70 +8a2 B y X

Engaste

o

FIGURA V-2 - Bordo Engastados Cl h/k

-4(0 +a 2 BJ X

k h

-4a 2 (a 2 0 +BJ f-----J y

Engaste

o

FIGURA V-3 - Bordo Engastado a h/k

Engaste

122

a'D y

h

-4(0 +a2 Bl X

FIGURA V-4 - Bordo Engastado a h/k

o

Tendo em vista os resultados anteriores e a interpr~

tação f!sica do final do !tem 5.2, conclu!mos que se uma placa

retangular ortotrópica ou isotrÓpica estiver totalmente enga~

tada no contorno, as flechas serão nulas. Portanto a ação de

um campo t~rmico vari~vsl a.penas ao longo da espessura n~o a

carretará o surgimento de esforços cortantes, mas apenas movi

mentos fletores constantes dados poj: M = M e x Tx

tensões serão

(V-3): o = -X

também constantes, E (c:r:T +vaT )

X X y T

1-V \! X y

1-v v X y

123

5.4.2. Bordo Simplesmente A~oiado

-4 (D +a 2 B) X

Apoio Simples

h k

50 +5a."O +Ba. 2 6 X y

Apoio Simples

FIGURA V-5 - Bordos Simplesmente Apoiado a. h/k

-4(0 +a. 2 B) X

k h

50 +Ba. 4 0 +Ba. 2 B X y

~4a.2 (a. 20 +B) y

a"O y

Simples

FIGURA V-6 - Bordo Simplesmente Apoiado a.= h/k

-4 (D +e/ Bl X

Apoio Simples

k

124

-4C1.2 (a20 +B) ,__ __ -< 2C1.28

60 +5a'o +8a2B X y

-4(0 +a 2 Bl X

FIGURA V-7 - Bordo Simplesmente Apoiado CI. h/k

5.4. 3. Bordo Engastado e Bordo Simplesm·ente Ap·oiado

4 CD +a 2 Bl X

Apoio Simples

h Engaste

70 +Sa'O +8a 2B X y

FIGURA V-8 - Bfrrdo Engastado e Simplesmente Apoiado a h/k

NOc2 M ~ " Ty

X

-4(0 +a2 B) X

Engaste

k

Ã---1 ª4º y

-4C!2(a20

125

h

=====lc=== 50 +7ct 4 0 +Bc/B

X y

Apoio Simples

FIGURA V-9 - Bordo Engastado e Simplesmente Apoiado a h/k

5,4,4, Bordo Livre

Bordo Livre

2ct2 B

-4(0 +a 2 Bl X

a 2 (2B-V O l X y

k

-4C! 2 (a20 +B) y

60 +5a4 0 +Ba 2 B X y

h

-2a 2 (a 2 0 +2B- V O ) y X y

-4 (O +a 2 B) X

a 2 (2B-v O l X y

FIGURA V-10 - Bordo Livre a h/k

N4 ,, 2 M ~ " Ty

X

126

_,,,-"'----.------1 a' D y

-4 (D +a2 Bl X

k h

50 +Ba'o +Ba 2 B X y

Bordo Livre

a 2 ( 2B-v D l

y X

-2[0 +a2 (2B-v D l] X y X

a 2 (2B-v D l y X

FIGURA V-11 - Bordo Livre a = h/k

Bordo Livre

h

4a'(2v B-D J+2[a 2v (l-2CJ-c]o y y y X

-4(l+C)D X

2[1+2C+a2v (3C-2l o -12a'v B+Ba'o y X y y

4a' ( 2v B-D J +2 ra 2v ( l-2Cl -e] o YY L'.y x

FIGURA V-12 - Bordo Livre a h/k, e (4Dt/D +V )a 2

X y

V (a.2AD -28) + X y

+ D X

Bordo Livre

2a4 AD y

+ 4(2v B-0 l X X

k

2a4 D y

-4a."O (l+A) y

2a 2 [a 2 (1+2Al+v (3A-2J]o + X y

- 12V 8+60 X X

FIGURA V-13 - Bordo Livre a h/k; A

2a"AO y

2a 2 [v D-2Al-a 2 A]o + X y

+ 4(2V 8-D ) X X

( 40t/O +v "J / a 2

y X

(a 2AO -2Bl+ X y

+ o X

128

k

30 +5a 4 0 +8a 2 B X y

Bordo Livre

a 2 ( 2B-v O J y X

-,> [e? ( 2B-V O ) +O ] y X X

+ a 2M ) Ty

'---,a2 ( 2B-v o J

y X Bordo Livre

-2a 2 (2B-v o +a 2 0 J r--~~ X y y

2a 2 (B-v O l y X

FIGURA V-14 - Bordo Livre a h/k

k

2V (a 2 AO -2BJ + X y

lordo + 20 .ivre x

4[a 2 (a 2 AO -2B]+CD] y X

-4a2 A (a 2 +v )O + X y

+8(a2 +v JB + X

-4(l+C]O X

h

[ 2a 2 (v v C-llO +2a4 v (1-AJO +4a 2v (1-a2v )Bl Xy X X y X YJ

Bordo Livre

+ 2a 4 0 y

-4a4 (l+AJD + y

+8a 2 Cl+a 2v JB + y

-4C ( 1 +a 2v J O y X

2a 2 [s,. 2 +A(2a2+v)oy +

+ 2 [1 +C ( 2+a2v J O + y X

O (1-V V ) X X y

k2 M + l2a4 (v v A-llO +2a2v (1-CJO +4a2 v (a 2 -v JB]-----'-T.,_y __ L X y y y X Y X O (1-V \) )

y X y

FIGURA V-15 - Bordo Livre: C = (40t/O +v Ja 2; A= (40 /D +v J/a2

• a h/k X y t Y X '

-------1 ZCD Bordo Livre

X

k2 Ca4D -2a"v B+a 2v CD l

y y y x D y

t2a4 B-a2 CD -a"v D

+ X X y

1-v V X y

129

Bordo Livre

a 4 D -Za4 v B+a 2v CD y y y X

h,..__--"---------";.---"-----

-4a 4 D +Ba"v B+(Za2 v -ZC-4a2 v ClD y y y y X

-Za4 D +4a"v B+(Za2 v -zc-za2 v ClD y y y y X

1-V V X y

k2 -M D Tx

X

FIGURA V-16 - Bordo Livre: C = (4Dt/D +v la2; a h/k

X y

k

2a4 AD

za4 D y

-4a 4 (l+A)D

h Bordo Livre

2a4 AD

V (a2AD + [za 2 vxCl-2Al + [2a 4 C 1+2Al-a2 v (4 + X

[2a 2v e 1-Al + X

X y -2B)+D

Bordo Livre

X - 2a4 A]D +BV B-40

y X X - 5Al]D +50 -lOV B

y X X

- 2a4 A]o + y - 20 +4v B

X X

[ (2a 2 B-a 4 AD -a 2 v o l/Cl-v v J+a 4 AD -Za 2 B-2a4 D 1 k 2 M /Dy + y y X X y y y-' Ty

+ (a 2 o -za 2 v B+a 4v AD Jk 2 M /D (1-v v l X X X y TX X X y

FIGURA V-17 - Bordo Livre a h/k; A= (4Dt/D +V l/a2

y X

=

130

5. 4. 5. Bordo Enga·stado e B·ordo Livre

Bordo Livre

a2 (2B-v o X

ª4º y h

70 +5a4 D +8a 2 B X y

-2a2 (2B-v D +a 20 l X y y

Engaste

FIGURA V-18 - Bordo Engastado e Livre: a h/k

-4(0 +a2 BJ X

h

-4a 2 (a 2 D +Bl ,_ __ __, y

Bordo Livre

a 2 (2B-\! O l X y

50 +7a 4 D +8a 2 B X y

-2 [a 2 (2B-\! O l +D 1 X y ~

Engaste

FIGURA V-19 - Bordo Engastado e Livre: a h/k

ZCD X

131

Bordo Livre

h

sa'v B-4a.'D +(Za2v -ZC-4a2v CJD y y y y X

-4(l+C)D X

7a'D -14a'v B+ [z+4C+a2v (7C-4l]D y y y X

Engaste

FIGURA V-20 - Bordo Engastado e Livre: a h/k; e 4DT

(--+V )a2

D y X

Engaste

V (a2AD -ZB) X y

+ D X

Bordo Livre

k

Za 4 AD y

za 2 [y (l-2AJ-a 2A]D + X y

+ Bv B-40 X X

~-_, za'o y

-4a.' (l+AJD y

h

[?a'+4a'A+a 2v (7A-4J]o + X y

+ 70 -14V B X X

FIGURA V-21 - Bordo Engastado e Livre: A (4Dt/D +v l/a2; a= h/k y X

o

o

132

5,4.6. Bordo Simplesmente A~oiado e Bordo Livre

Livre

K

-4(0 +c:i2BJ X

a 2 (2B-v D J X y

/'-----!CI. • D y

h

-4a2 (a 2 D +BJ i---~ y

50 +5a" o +Ba 2B X y

-2a2 (2B-v D J-2a4 D X y y

Apoio Simples

Cl.2 k 2 (M + Cl.2 M J Tx Ty

FIGURA V-22 - Bordo Simplesmente Apoiado e Livre: a= h/k

-4 (D +a 2 BJ X

Apoio Simples

h Bordo Livre

-4a2 (a 2 D +BJ i--------1 y a 2 (2B-v D J

X y

50 +5a4 o +Ba 2 X y -2a2 (2B-v D l-2Dx

X y a 2 k2 (M +a2 M J Tx Ty

FIGURA V-23 - Bordo Simplesmente Apoiado e Livre a h/k

Apoio Simples

2CD X

-4 (l+C)D X

k

h

133

Bordo Livre

a 2 v (CD -2a2 B) +a"D y X y

C2a2 v -2C-4a 2 v Cl o +Ba4 v B-4a 4 D y y X y y

[2+4C+a2 v (5C-4l]D +5a 4 D -1Da 4 v B y X y y

(a4 D -2a"v B+a 2v CD lk2M /D (1-v v l + y y y X Ty y X y

+ 1(2a4 B-a2 co -a•v o J/Cl-v v l +a 2 CD -2a4 B-2a2 D Jk 2 MT /D Cl-v v l L' X X y X y X X X X X y

FIGURA V-24 - Bordo Simplesmente Apoiado e Livre: C (4Dt/D +v la2; a=h/k

X y

X 2a4 D

yl y

h k

-4a"(l+A)D y

v (a 2 AD -ZB) + X y

[;2a4 +4a 4 A+a 2 v (5A-4l]D + X y

+ D X

Bordo Livre

+ 4(ZV B-0 l X X

+ 50 -lDv B X X

[ (Za2 B-a"Av v o -a 2 v D l/(1-v v l-Za2 B-2a"D Jk2 MT /D + xyy yx xy y y y

+ Íca2 o -zci'v B+a 4 v AD l/Cl-v v i]k 2MT /D L x x x y xy x x

o

o

FIGURA V-25 - Bordo Simplesmente Apoiado e Livre: a=h/k•A=C4D /D +v l/a2 s t y X

134

5.5. Dbtsnç~o dos E~~otços

Com procedimentos análogos aos do Ítem 2.6. passamos

a determinaç~o dos esforços num ponto gen~rico "i'' da

através das expressões esquematizadas a seguir.

(M l X

i

D X

h'

D (M l o., - ....:t.

y i h2

'v (M l =

xy i

-1

a 2v y

-2(l+a 2 v l

a 2v y

-2(a 2 + v l X

{ w } - MTx

{ w } - MTy

{ w }

malha,

D (V ) ~--X_·

X i 2h 3

D (V l ~ - _Jf_

y i 2k 3

'\, 1 (Q ) - -

X • 2h 3

l

135

{ w }

{ w}

-c,;2B c,;2B

2(0 +c,; 2Bl -2(0 +c,; 2Bl { w } X X

-c,;2B c,;2B

(Q) y i

1

2 (a2 D +BJ y

-2 (a 2D +B)

136

{ w }

Nas expressoes anteriores o ponto nodal generico ''i'',

ondB sB dBsBja calcular os esforços internos é representado p~

los dois retângulos concêntricos.

137

CAP!TLJLO VI

EXEMPLOS E ANIÍLISE nos RESULTADOS

6.1. Considerações Gerais

Neste capítulo apresentaremos alguns exemplos das

placas estudadas, acompanhados das respectivas análises e ob

servaçÕes referentes aos resultados, utilizando-se as

ções listadas anteriormente.

aplic~

Para solução dos sistemas de equaçoes lineares simul

tãneas resultantes faremos uso da subrotina LEQT2F/IMSL impla~

tada no sistema BURROUGHS B-6700 do N.C.E./U.F.R.J.

6. 2. Placas analisadas

Entre as placas retangulares e circulares foram esc~

lhidos sete exemplos, variando-se as condições de contorno e

a natureza do campo térmico atuante.

Para verificar a convergência face a solução analÍti

ca compararemos as flechas 1 momentos fletores e torsores no

centro da placa. Entretanto, em alguns casos a solução analít~

ca disponível nao e adequada à obtenção dos esforços. No caso

particular de setor circular com bordos opostos engastados e

simplesmente apoiados não se dispunha de solução analítica.

138

Prosseguiremos analisando cada exemplo separadamente.

6.2.1. Placa Retangular Simplsame~te Apoi~da: T T ( z)

Supondo a atuação de um campo térmico T = T(z), va

riável apenas com a espessura, consideramos a placa dividida

segundo as malhas quadradas (a= ll das figuras (IV-1 a e b).

Devido a simetria utilizou-se apenas 1/4 de placa. Empregando-

-se a equação geral da fig. (II-10) e as "moléculas" das fig..':!_

ras (II-18, 19 e 20), chegou-se a sistemas de equações de or

dem 18xl8 e 32x32, respectivamente. Ressaltamos ainda as se

guintes simplificações: * P (x,y) z

MT (Constante).

,

--

b

->-

soes:

a

1 2

• 5

7 e

10 li

13 14

16 17

3

• 9

12

15

ie

o/ 6

' X -b 1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 li " 13 14 IS ,. 17 ,e 19 20

21 22 ~ 24

25 26 27 28

29 i 30 31 32

Figura (VI- 1) - Placa Simplesmeste Apoiada : b = 2a, \/ = 0,2

X -

~/1 6

Como solução analítica dispomos das seguintes expre~

w(x,y) •

Drr m=l., 3., .•• n=l., 3., •••

139

· sen(mrrx/al ·sen(nrry/b)

m z n 2 mn [(-) + (-) J

a b

Correspondente a solução (12.5.4) BDLEY 1 7 1

(IX. 2-14) NOWACKI 115

1

(VI-1)

ou

Esta expressao torna-se pobremente convergente para

cálculo dos esforços. Uma solução alternativa mais conveniente

para cálculo dos esforços é apresentada segundo o método de

Levy em BOLEY 17

1

w(x,y) =

Drr m=l., 3., •••

mn/a ; y'

1 cosh(B y' l J cosh(8mb/2)

m

y - (b/2)

sen mrrx

a

(VI-2)

As expressoes para os esforços sao obtidas pela sub~

tituição de (IV-1) ou preferencialmente (VI-2) em (II-13, 14

e 15), obtendo-se as soluções (12.5.24a) BOLEY 17 1.

Apresentamos a seguir os resultados obtidos para o

ponto central da placa., assim como o erro relativo respectivo.

140

Solução Solução Numérica Erro

Ana lÍ tica 18 X 18 32 X 32 Relativo%

\\ O. ll39MTa 2 /D O .1131MTa 2 /D 0.1134MTa 2 /D 0.69 D.44

Mxl -0.1098MT ( 1-vl -D, 1148MT( 1-vl -D.1126MT(l-v) 4.55 2.55

Myl -O. 89 79MT (1-v J -D. 8852MT( 1-\J) -D.8874MT(l-vl 1. 41 1.17

M xyl o o o o o

Consideramos estes resultados aceitáveis face aos ob

jetivos da prática, ressaltando a facilidade e simplicidade na

sua obtenção. Observamos ainda que a partir de uma certa larg~

ra da malha a convergência se torna lenta.

6.2.2. Placa Quadrada Simplesmente Apoiada: T T(x,y,z)

Consideraremos a atuação de um campo térmico

vel também com as coordenadas do ponto> ou seja:

T T(x,y,zl z + T + T ~ 1 2

2

variá

(VI-3)

Onde T1 e T2 sao as temperaturas no centro da placa,

respectivamente em suas faces inferior e superior.

t

* p (x,y) z

•

141

T2 j 20

x' z

T1 2a z'

z'

y y '

Fiouro (VI- 2) - Placa quadrado Simplesmente Apoiada

Levando (VI-3) em (II-17), escrevemos:

2 2 6(1-V)ab

[x 2

- Zax + y 2

--Zby]

•

Corno estamos analisando urna placa quadrada

X

1 x'

1 l

T

(IV-4)

(VI-5)

(b = a),

o carregamento fictício por unidade de área passa a ser escri

to por:

' 6(1 -vla [

2 2 :l x +y -Za(x+y)J (VI-6 J

Foram usadas na análise numérica as seguintes malhas

tendo em vista a simetria apresentada:

142

1 t t X t ! t X

o o o o

o

1 2 3 10 1 2 3 • • 21

1~ 5 9

~ 8

~

!À 7 8 9 20

~ li " 'º ',.

14 IA

~ " ;;._

o t.a/5

y ( o ) y ( b )

Figuro ( VI - 3) - Molho quadrado : o<. = 1. O

Com auxílio da ,equaçao geral da fig. (II-10) e ex

pressao (II-47) e tendo em vista a malha da fig. (VI-3a), mon

tamos o sistema de equações:

810

a

810

a

810

a

143

810 [22w5-8(w3+w6+w4 )+3w~

1 [ * * * * * * * *J 4 36

l?p5+ 4 (p3+p4+p6+pg)+p2+p8+p10

a

810 [18w6 - 16w5 + 2 (w3 + w4 ]

1 [* ** ** ~ 16p + 8 ( p + p l + p + p + 2p

' 36 6 s 8 4 7 9

a

* Os valores pi sao obtidos da expressao (VI-6) e para

os pontos 3 e 5 usou-se a molécula da fig. (II-19), assim como

no ponto 6 a fig. (II-18), associadas ao fato de que

será nulo nos pontos do contorno.

Procedimentos análogos foram utilizados para a malha

referente à fig. (VI-3b), obtendo-se os seguintes resultados:

\ Solução Solucão Numérica Erro Analítica 6 X 6 15 X 15 Relativo %

. w1 0,0177A 0.0173A 0.0176A 2.44 0.90

Mxl -0.0416B -0.0448B -O. 0442B 7 .14 5.88

Myl -0.0416B -0.0448B -0,0442B 7 .14 5.88

M xyl

o o o o o

2 2 2

Dnd e A ªTE (T l - T 2

) t a / O ( 1 - v) B=aTE(T1

-T 2 Jt V 0,2

Como solução analítica disponível citamos a aprese~

tada por -BDLEY l 71 nas expressões (12,4,8) e (12.4.11), que de

vidamente adaptadas ao caso presente nos fornece:

144

2 2

1024ctlLT1

-T2Jt a w(x,yl =--------

ª sen(m1Tx/2a)sen(n1Ty/2al (VI-7)

3 3 2 2

37T D (1-vl m n (m +n J m=l,3, ..• n=l,3, .••

Os esforços serao obtidos por substituição de (VI-7)

em (II - 13, 14, 1 5 J •

A solução analítica disponível apresenta uma conver

géncia lenta e podemos observar que malhas nao muito refinadas

fornecem resultados satisfatórios.

Maior precisão será obtida se empregarmos a

sao (II-48) * para representar o carregamento fictício p z

da ponto. Como exemplo, usando a malha da fig. (VI-3al,

tramas:

expre~

em ca

encon

1\., 22 'v 2 w

1 =D.Dl77ctTE(T

1-T

2lt a/0(1-vl; Mx

1=My

1=-D.042lctTE(T 1 -T 2 lt

Verificamos assim que a flecha coincide com o valor

analítico, enquanto os esforços apresentam erro relativo de

6.2.3. Placa Retangular com dois bordos opostos livres e dois

simplesmente apoiados

Neste exemplo procuramos demonstrar o tratamento de

bordos livres e o emprego de malha retangular, já que até o mo

menta utilizamos apenas malhas quadradas.

a/2

a/2 w a: > ..J

APOIO SIMPLES

r, T(z)

V , o. 2

~, 5.8

"""' 2.0

b/2

4

3

2

1

14 5

b/10

tt 8 12 16 20

7 li 15 19

6 10 14 18

5 9 13 17

b/2

X APOIO SIMPLES

y

24

23

l 22 8

21

w a: ~ ..J

1 1

FIGURA VI - 4 - Placa Retangular com 2 Bordos Livres e 2 Apoiados

Na obtenção do sistema de equaçoes lineares

usadas as "rnoliculas" das fig. (II-10,19,23,26,35,38),

*

foram

obser

vando ainda que: p2

(x,yl = O e MT(x,yl = MT (constante). Notamos

que a aplicação da equação geral nos pontos do contorno ou pri

ximo dele torna-se imediata~ uma vez que as expressoes Já Se encon

trarn prontas para qualquer malha retangular.

Como solução analítica dispomos da expressao (IX

2-43 e 47) NOWACKI j 1 5 j, transcrita a seguir:

2

4a MT w(x,yl =

Onde:

B n

3

1l D

n11 a -n

a

(3 + \/)

146

sena x n

(1 + A cosha y + B a y senha y l n n n n n 3

n n::::1,3, • ••

.. Bn Bn (1-vl - cotgh -- (l+\/)

2 2 A=------------------

n Bn Bn 1 (3+\/)cosh -- (1-vl -x-----

2 2 senh (6 /2)

1 --\)

Bn Bn 1 cosh -- (1 - \/)- x ------

2 2 senh (6 /2) n

n

a b n

(VI-8)

Com valores de n até 79 na expressao (VI-ô) e com a

malha da fig. (VI-4), chegamos aos seguintes resultados:

Solução Solução Numérica Erro

Analítica 24 X 24 Relativo%

w1 0.1199MTa 2 /D 0.1199MTa 2 /D o

Mxl O. 0359MT 0.036ôMT 2.51

Myl -0.2862MT -0. 3011MT 5.21

M xyl

o o o

n=l,3 ... 79

As expressoes para cálculo dos esforços, a partir de

(VI-ô) particularizadas para este exemplo, são as seguintes:

=

L n=l.,3, ...

sen nn/2

n

A n

B n

-1 + 4 1T

n=l,3:-•••

147

. Sér'l nTr/2

n [0.2 -

(nTr/4) cotgh (5nTr/16) - 1.2

3,2 cosh (5nTr/16) - (nTr/4) x [1/senh (5nTr/16l]

0.8

3,2 cosh (5nTr/16) - (nTr/4) x [1/senh (5nTr/1Bl]

Para ilustrar o cálculo de momentos torsores, aborda

mos o ponto nodal 20 da fig. (VI-4):

(1-vlD

2 Bk

2

(-21.3155+17 ,4588) ~MT o., - D.3857 MT D

A solução analítica correspondente é obtida a partir

de (VI-8 l após substituição em CII-15): M xy

ro relativo 0.23%)

6.2.4, Placa Retangular Sobre Base Elástica

- D.3848 MT (er

Seja a placa retangular da fig. (VI-1) sob a açao de

um campo térmico T = T (z), na qual foram usadas malhas com 18 e

32 pontos (figura VI-la, b).

Somando-se ao termo central das ''mol~culas'' das fig.

4 4 (II-10,18,19,20) a parcela a k (µ/D), temos as expressoes ne

cessárias para instituir o sistema de equaçoes lineares que re

ge o problema. Segundo TIMOSHENKO l 2 2 I:

L D

1

• L

148

= L (VI-9)

A expressao (VI-9), tem a dimensão de um comprime!:!_

to, para a qual adotaremos L = (5/6) a. Assim para as malhas das

• • fig. (VI-la,b), o termo adicional a k (µ/D), terá os seguintes

valores, respectivamente: O. 0016, 0.00050625.

Os resultados obtidos sao os seguintes:

Solução Soluçãó Numérica Erro Ana lÍ tica 18 X 18 32 X 32 Relativo%

w1 O.lll6MTa 2 /D O .1113MTa 2 /D O. lll6MTa 2 /D 0.27 o

Mxl -0.1244MT -0.1072MT -0.1219MT 13.83 2. 01

Myl -0.7382MT -0. 7178MT -0. 7261MT 2.76 1. 64

m, n 1, 3 • • • 39

Como soluç~o anaiítica citamos a expressao

NOWACKI 115 1:

16MT w(x,yl = -

Dab

m=l 1 3, ..• n=l,3, •..

2 2 (a +13 l sena x senl3 y

n m n m mr J ().

2 2 n a 13 [ca + 13 l + µ/o] n m . n m

a

(IX-4.7l

Como exemplo de cálculo de momento torsor, seja o

ponto (18) da fig. (VI-la):

2

"' Bfl-vl D(l-vl (Mxy\8 == w14 =

2 2.056330

4hk k ~~ D

0.6266M/ 1-vl

A solução analítica nos fornece: 0.6201 MT(l-vl

149

6.2.5. Placa Circul~r ~~m Furo Csntral

Seja a placa circular simplesmente apoiada da fig.

(VI-6) cujos raios interno e externo são respectivamente a,

b = 2a, e o coeficiente de Poisson V= 0.2. Supomos a atuação

de um campo térmico T = T[z), caracterizando-se assim um caso

de flexão com simetria axial.

APOIO SIMPLES

J. 1 i FIGURA VI -6 - Placa Circular com Furo Central

1

Admitindo-se a divisão do domínio em 5 e 7 partes

iguais [ver figuras VI-7a e b], as grandezas auxiliares ficam

definidas respectivamente em:

N 5; À 2; R a; (5 + nla

N 7; À 2; R

2a

T= T(zl

h = a/5

( o )

150

a; (7 + nla

012345

FIGURA VI- 7 - Divisão do Oominio

T= T(z l h , a/7

01234567

Com base na equaçao geral (IV-21) juntamente com as

condições de contorno (IV-24), obtemos o sistema de equaçoes

lineares que rege o problema. Transcrevemos como exemplo, ap~

nas o sistema de equações referentes ao caso da fig. (VI-7b)

151

21016 .11594 -17468 4608 o o o

-2487.15 39528 -27778.5 7290 o o

9000 -38105 60200 -42095 11000 o { w }

o 13310 -56028.5 88088 -61341.5 15972

o o 19008 -79638 124704 -86538

o o o 26364 -110025. 5 141382.2837

74.202898

o 2

o MTa

o D

o

623.262

411

Como solução analítica disponível citamos a expre~

sao (12.4.23) BOLEY l 71, que devidamente adaptada as condições

de contorno presentes e no caso particular de a = 5m nos for

nece:

w(rl [14.63123 ln (!.J - 0.21108 / ln (2:J + 0.05986 (/-25)] MT 5 5 D

(VI-10)

Para o caso da fig, (VI-7a), temos:

Solu~ã~ (M /D) Sol~ç~o (M /Dl Erro Ana li t1ca T Numer1ca T Relativo%

wl 1. 9406 1. 8896 2.63

w2 2.8795 2.7959 2.90

w3 2.8619 2. 7714 3.16

w4 1.9024 1. 8377 3.40

152

Conseguimos aproximação melhor no caso da fig.

(VI-7b), onde apresentamos, além das flechas, os momentos fle

tores no ponto 1, baseando-nos nas expressoes (IV-20 a e b),p~

ra os valores analíticos, e em (IV-26 a e b), para os valores

aproximados.

Solu~ã~ ( x M /D) Sol~ç~o (xM /D) Erro Ana li tica T Numerica T Relativo%

wl 1.4915 1.4897 0.12

w2 2.4621 2. 4598 0.09

w3 2.9350 2. 9328 0.07

w4 2. 9222 2.9207 0.06

ws 2.4288 2.4275 0.05

w6 1. 4554 1.4547 o.os

( Mrl 1 -0.0421 D -0.0418 D 0.95

(M8)1 -1. 0968 D -1. 0976 D o.os

A aproximação obtida tanto para flechas como para

esforços e excelente~ considerando ainda o numero razoavelmen

te pequeno de divisões do domínio~ o que nos conduziu a um sis

tema de equações de 6x6.

6.2.6. Placa Circular

Seja a placa circular da fig. (VI-Bl sujeita a um

campo térmico T = T(zl.

J.

o

T, T (z)

v , 0.2

153

APOIO SIMPLES

.1

FIGURA VI - 8 - Placa Circular Simplesmente Apoio.do

A finalidade principal deste exemplo é ilustrar o

tratamento de pontos singulares, ou seja, aqueles em que a co

ordenada r1

e nula, caso do ponto ttatt da figura anterior.

Tomando-se N = 11 7 2 = 5.5 (Ver fig, VI-9), as de

mais grandezas auxiliares, segundo [IV-14), ficam definidas

como:

R b; * n O_. 1 .. 2.

154

b

2' 2 3 5 --11----+l-•>-+I --t-l --+l--4-+I --.1--....:.6-1 SIMPLES

l h jJJ h f h l h Ih l h 22

FIGURA VI- 9- Divisão do Domínio

Com base nas expressoes (IV-21), (IV-24al

a este caso particular de ponto singular através das

adaptadas

expre~

sões (IV-14), chegamos ao seguinte sistema de equações:

0.375 -0.5625 O .1875 o o wl o

-14.8125 34.875 -28.5 8.4375 o w2 o

23.4375 -132.5 246.875 -192.5 54. 687 5 D o w3

2

o 107.1875 -528. 5 924.875 -696. 5 w4 MTb o

o o 318.9375 -1480.5 2017. 587054 w5 16. 27232

Como solução analítica citamos a expressao (12.4.23

12.4.29) BDLEY 1 7 1 ou ainda (IX_3-12) NOWACKI 1 15 1, transcri

ta a seguir:

2 2 w(rl MT(b - r J/20(1 + vl (VI-lla)

A solução do sistema de equaçoes anterior conduz a

resultados que se igualam à solução analítica, ou seja:

155

2

2 2 M b w

1=0.4132 MTb /D; w

2=0.3S57 MTb /D; w

3 = 0.3306

T

D

2 2

w4

= 0. 2479 MTb /D; w5

=0.1377 MTb /D (VI-llb)

Para os momentos fletores, a substituição de (VI-lla)

em (IV-20a, b) revela que a placa não está sujeita a

de flexão, ou seja, Mr =Me= O. Utilizando-se a

(VI-llbl em (IV-26a e b) confirmamos tal fato.

esforços

solução

Verificamos assim a facilidade de tratamento de pl~

cas com pontos singulares

6.2.7. Setor Circular

Seja a placa da fig. (VI-10) sob a açao de um campo

térmico T = T(z), tendo como - * consequencia p (r,8) z

.. -------------- APOIO _ SIMPLES

APOIO SIMPLES

FIGURA VI- 10 - Placa em forma de Setor Circular

= o.

b 2a

À 2

R a

V 0.2

156

O objetivo principal deste exemplo é ilustrar o uso

da equaçao geral de flexão térmica em coordenadas polares, re

presentada esquematicamente na fig. (IV- 4 J complementada com

as expressoes (IV-12). Neste caso não dispomos de solução ana

lítica, então nos limitaremos a observar a convergência das

flechas e momentos no ponto central da placa, através das ma

lhas apresentadas a seguir, observando-se a simetria em

çao a linha A-A'.

ENGASTE

3

5 6

8 9

A'

FIGURA VI- lia - Malha

~ A

3

6

8 9

li 12

14 15

2

5

8

com 9 pontos

2

5

8

li

14

APOIO SIMPLES

APOIO SIMPLES

FIGURA VI- li b - Molho com 15 pontos

y rr/24

N 4

x.=(4+n)a l

Ponto Central:

y rr/24

N 6

xi (B+n)a

Ponto Central:

rela

6

9

A

157

APOIO SIMPLES

APOIO SIMPLES

FIGURA VI- li e - Malha com 20 pontos

y

N

xi

IT/32

6

(6+n)a

Ponto Central: 12

Para a instituição dos sistemas de equaçoes referen

tes a cada uma das malhas da fig. (VI-11 J, foram empregadas,

além da equação geral da fig. (IV-4), as moléculas das fig.

(IV-12,14,16,17).

De acordo com o refinamento da malha, as flechas no

ponto central são as seguintes:

wcentro wcentro

wcentro

158

Em forma de gráfico temos:

700

600

500

400

300

200

100

5 10 15 20 25

N9 de pontos do Molho

Para as flechas ao longo da linha AA', temos:

A

0+--+---.1-----+--+--+----

100

200

300 \ /

I

400 /

500

600

Linha A A0

Malha 2 O pontos

Molha 1 5 pontos

Malha 9 pontos

159

Usando as expressoes do ftem 4.7. obtemos os momentos fletores

e torsores no centro da placa.

M, ( x 10-4 MT) M0 (x 10-4 MT)

-10000 -8000

7214 7195 9000 -7000

8295 8439 ... - 8000 -soco

- 7000 -5000 6407

- 6000 -4000

- 5000 -3000

5 10 15 20 5 10 15 20 Nº de pontos N2 de pontos da Malha da Malha

9evido à simetria da superfície fletida em relação a

linha A-A', temos ao longo da mesma, momentos torsores nulos.

Os gráficos demonstram a convergência tanto para fle

chas como para momentos fletores a partir da malha com 15 po~

tos. Ressaltamos ainda a simplicidade e facilidade na obtenção

dos esforços e flechas.

6.2.8. Placas Retangulares Ortotrópicas

Sendo a ortotropia um caso mais geral que a

pia, uma particularização do primeiro conduz ao segundo.

isotro

Isto

pode ser comprovado em todas as expressões obtidas no capítulo

V, se confrontadas com as correlatas do capítulo II. Mediante

este fato julgamos desnecessário a apresentação de um exemplo

específico sobre placas ortotrÓpicas.

160

A particularização para isotropia envolveria aos segui~

tes expressoes:

D X

D y

= V

B

D(l-vl/2

D

etT E

G = E/2(l+V) xy

X E

y = E

As grandezas auxiliares do capítulo V, se transforma 2

riam em: C = et (2-vl 2

A = (2-v)/et

Cumpre ressaltar que caso as direções principais de

ortotropia não coincidam com as direções dos eixos coordenados

(X,Y,Z), contrariando nossa hipótese inicial [item 5.2], tal

fato pode ser contornado se aplicarmos uma rotação de eixos

conforme sugerido em AMBARTSUMYAN l 'I (capítulo I, ítem 5)

6.3. Conclusões

6.3.1. Sobre os exemplos analisados

Após a observação dos gráficos e tabelas apresent~

das nos exemplos anteriores 1 podem-se estabelecer certas con

clusões sobre o estudo da flexão térmica das placas:

a) Os resultados obtidos para as flechas sao melhores que os

dos esforços. Isto pode ser justificado pelo fato de que estes

161

sao calculados por aproximações das derivadas de 2~ ordem das

flechas, as quais já apresentam uma certa imprecisão. Isto ten

de a se agravar a medida que aumenta a ordem das derivadas, co

mo no caso do cálculo de esforços cortantes.

bl Representações mais refinadas do carregamento fictício

* p (x, y), como no caso das expressões ( II-48), ( IV-22bl, condu

zem a resultados melhores.

c) Existe um certo espaçamento entre os pontos nodais, a par

tir do qual, o acrsscimo de precisão obtido, tanto para fle

chas como para esforços, s lento. A malha "ideal" pode ser con

seguida através de um aumento gradativo do número de pontos no

dais, acompanhado de um simples teste de convergência.

d) Problemas mais simples podem ser resolvidos com o uso de

calculadoras eletrônicas de bolso obtendo-se resultados sati s

fatórios, como no caso de placas circulares com simetria a

xia 1.

6.3.2. Sobre o uso do método ·das üif·erenças Finitas

a) Malha cuja relação (a) entre os espaçamentos é um numero in

teiro facilita o cálculo dos elementos da matriz dos coeficien

tes[K].

b) Devem-se numerar os pontos da malha na forma apresentada

nos exemplos., pois assim a matriz dos coeficientes [K]., será

uma matriz banda menor. Como geralmente esta matriz é

zida por columa nos programas automáticos de solução de

introdu

si ste

mas de equações lineares simultâneas., tanto em computadores e~

mo em calculadoras eletrônicas, tal fato se tornará considera

162

velmenta mais vantajoso.

c) Ressaltamos a simplicidade e versatilidade na aplicação do

método das diferenças finitas no caso das placas analisadas du

rente este trabalho. Por exemplo: podemos com a formulação pr~

sente analisar o caso de um campo térmico atuando em

uma região (A) da placa, como na fig. (VI~l2).

X

y

FIGURA VI-12 - Campo térmico restrito a região A

d) No caso particular das placas circulares com bordos

apenas

livres

a formulação obtida apesar de longa é de fácil aplicação. Res

saltamos ainda que naquelas expressões temos apenas como variá

velo valor de ''n'' implícito em

e) Toda formulação empregada se reduz ao exame da flexão isa

t~rmica se anularmos todos os termos relacionados com o ''momen

to fletor térmico equivalente" MT e suas derivadas.

f) A superposição dos efeitos de um campo térmico e

transversais, atuando separadamente é possível, como

as expressoes (II-25) e (II-26), ou (IV-1) e (IV-8) no

das placas circulares.

cargas

mostram

caso

g) Um campo térmico qualquer T(x,y,z) pode ser expresso por:

N

T(x,y,zl = L k= o

163

Somente os termos com K impar influenciarão os efei

tos de flexão, enquanto os demais terão grande importância pa

ra cálculo dos esforços de membrana.

6.3.3. Sobre a continuação da pesquisa

No que diz respeito ao prosseguimento deste

lho, podemos sugerir os seguintes alternativas:

traba

a) Análise das placas sob a teoria de von Kármán,

em SZILARD l 2º 1 no capítulo 3. 5.

apresentada

bl Análise das placas com malhas irregulares em diferenças fi

ANTDS 1191·. nitas, apresentado por S

c) Aproveitamento dos resultados da flexão térmica das

na solução dos problemas de protensão nas lajes, onde

placas

nesse

caso a Lei de Hooke, que é básica para o estabelecimento das

relações momento-curvatura, escrever-se-ia:

1 (o ) EX

+ \!O + E

E X y xp

1 (a E + \!O ) + E

y E

y X YP

onde E e E sao as deformações impostas pelas pr~ xp YP

tensão num elemento de placa.

164

BIBLIOGRAFIA

1. AMBARTSUMYAN, S.A., Theory of anisotropic plates,

Technomic Publishing Co., 1970.

Stamford,

2. ARIMAN, T., and HDFFMAN, R.E., Thermal bending of plates with

circular holes, Nuclear Engineering and Design, Amsterdam

(14): 231-238, 1970.

3. ARIMAN, T., RAO, K.S., and RAD, M.N.B., Thermal stress in

plates with circular holes, Nuclear Engineering and Design,

Amsterdam (15): 97-112, 1971.

4. BAKER, B.R., Some fundamental thermoclastic problems in

orthotropic slabs, Journal of Applied Mechanics,New York,

Vol. 45, March 1966.

v

5, BARES, R., Tables pour le calcul des dalles et des parois,Pa

ris, Dunod, 1969.

6. BDLEY, B.A., Survey of recent developments in the fields of

heat conduction in solids and thermo-elasticity, Nuclear

Engineering and Design, Amsterdam (18): 377-399, 1972.

7. BDLEY, B.A., and WEINER, J,H., Theory of thermal stress, New

York, John Wiley & Sons, 1960.

8. BDRG, S.F., Matrix-tensor methods in continuum mechanics,

Princeton, D. Van Nostrand, Inc., 1963.

9. CUSENS, A.R., and PAMA, R.P., Bridge deck analysis,

John Wiley & Sons, 1975.

London,

165

10. GHALI, A., and NEVILLE, A.M., Structural analysis, 2nd ed.,

London, Chapman and Hall, 1978.

11. GUTIERREZ, R.H., LAURA, P.A.A., SARMIENTO, G.S.and BASOMBRIO,

F.G., Thermal stress in rectangular plates: variationa 1

and finite element solutions, Nuclear Engineering and

Design, Amsterdam (47): 297-303, 1978.

12. KANTORDVICH, L.V., and KRILDV, V.I., Approximate methods of

higher analysis, New York, John Wiley & Sons, 1958.

13. KERAMIOAS, G.A., and TING, E.e., A finite element formulation

for thermal stress analysis; Part I: variational formulation,

Nuclear Engineering and Design, Amsterdam (39): 267-275,

1976.

14. KOVALENKD, A.D., Thermoelasticity, Netherlands,

-Noordhoff Publishing Groningen, 1969.

Wolters-

15. NOWACKI, W., Thermoelasticity, Massachusetts,Addison-Wesley

Publishing Company, 1962.

16. PARKUS, H., High temperature structure and Materials,Oxford,

Pergamon Press, 1964,

17. SALVADORI, M.G., and BARDN, M.L., Numerical methods in

Engineering, New Jersey, Printice Hall, 1961.

18. SANTOS, S.M.G,, Cálculo numérico de placas e paredes delg~

das de contorno poligonal qualquer, Revista Estrutura

Rio de Janeiro (27): 465-484, 1960 •

19. SANTOS, S.M.G., Tensões térmicas nas placas, POD-13/78,

166

COPPE, UFRJ.

20. SZILARO, R., Thsory and analysis of plates,

Printics-Hall, 1974.

Nsw Jersey

21. TIMOSHENKO, S., and GDDDIER, J.N.,Thsory of slasticity, 2nd

sd., Nsw York, McGraw-Hill Book Company, 1951.

22. TIMDSHENKD, S,, and WDINOWSKY-KRIEGER, S., Thsory of platss

and shslls, 2nd sd., Nsw York, McGraw-Hill Kogakusha

LTO., 1959,

r ILE

Placa Retangular Simplesmente Apoiada: T T Cz J

6{KINO=PR!Nff.Rl 1H-MEN518~l--,H-1g,t-ill •BC-!BhW~'AREA-( 380) · --- -- ·- --- -JATA M,N,IA,IDGT/1,16,18,5/,A/2D.,-e •• 1 •• -e.,2 •• o •• 1 •• 11*D.,-1&.,2

•1.~-8.,4.,-8.,2.,0.,1.,10*0.,2.,-8.,19.,0.,2.,-8.,2*0-,1.,9 .. Q.,-16 • • , 4 ,. , O • , 2 1. , - 8. , 1 • , .. 5 • , 2 • , O. , l • , 8 •O. , B • , -16 • , 4. , - ló. , 2 2. , ... 8 • , 4. , - R •.-,-2-.--,·-·0-:.-, 1- • ,B-•-íJ.-.-!-t-.--·,---1-6-.-, 2·;-,··--8-. r2-0.--,-0.--,-Z-.-.---a-.-,-2-•·0-.---,- -1 .-· -,.-fr-.-0- •·r2.-,.-Z.-•-O-.-,·* - a~, 2.,o~,20., - ~ •• 1., - a., 2., o., 1., 6 * 0 •, 2 •, 0 •, 4., - a., 2., - 16.,21., - a 1r • , 4 • , - ô • , 2 :.·, O • , 1 • , 6 •O. , 2 ·• , O • , 2 .. , - 8. , 2 • , - 8. , 1 9. , O. , 2. , - 8. ,. .2 -a- O. , 1 • , 5 1r " O • , l • , 2 * O• , - 8 • , 2 .. , O • , 2 O • , • 8 • , 1 .• , - 8- .. , 2. , O. , 1 • • 6 *O. , 1 • , O • , 4 • , - 8 • , 2 :tr·.;--,·--1-6.---r2-l-,.-7·--8-. -,.,-4--.,.-""'·8-.--,-2-,.- ,-0-.,--_, ·l-.--,.-6-•·0-.- •·1--. , 0--.-., 2-.--~---8-.-..-2-.-.---f\ .-,--1 9 • -, O• -,-2----.---.--*- 8. , 2 •O •. , 1 • • & tr O. ,. 1 • , 2 ~O. , - B. • 2. , O • • 2 íl • ,. - 8. , 1 • , - -~. , 2 .. , 8 "O. , l • , O. , 4. ~.-a.,2.,-1& •• 21.,-~ .• 4 •• -s .•• 2 •• a•o .• 1.,o .• 2 .• -a.,2.,-e.,19 •• 0.,2 •• * - 8. , 9 • O • .,, 1. , 2 *º. , - ~. • 2 • ,. O • , .1 9. , - 8 • , .1 •• 1 O* O. ,. 1 • ,. O. • 4. , - 8. , 2. , - 1 ó. ,. 2 ··• o-. -,.-•-8-.-,-1-1-*·€1-•·""7·-1-.--,.-0 •· •-2-.-,.--·-3-. ~- 2-• ·• • 8-. , -1-·ô-.-/-,.-9-/:Z·*·O • ·,- -1--.-,--2-irr-e-.-·,--1-.--,. 2 ·*-0- • -, l .--,.-2-*-• 0. # l., 2 *D. Tl., l., 1., 2. /

CALL LEQf2FCA,H,N,!A,B,I0GT,wKAREA,IER> IF<IER.GE.33JSTOP

-\+R-I-T-E-(-6-, 11-l-- ---- -4 FORMAT{//,ZSX,•••

WRITU6'1 l PLACA RETANGULAR COM 4 APOIOS SIMPLES ••'•Ili

l FORMAT(//,40X,'•• RESULTADOS: w/CK••Z•MT/D) ••'•li) [),) ·2---J= l, M • - · - - - - - · ·- - - - - ----· -- . -

2 wRl TE<ó.:l II ,BCI l 3 FORMAT<T20•I5,fJ4,E18.7J

STOP ----- END---

"' (O

-h (O

"' (O

:, ct (O

cn

n, (f)

o n,' cn o

" n, (O u cn " e ID f-" cn e+ ID n, :, o_ e+ o n, r cn o_ H

o (f)

:::, cn -, e )>

3 n, G]

ID' m

"' cn 3 f-" 1-'• (O m o OQ o '-J o e o cn 1-'• ·Cfl

"' o m 1-'• n, X e+ cn m n, :::,: o_ f-" ,]

o H• r cn cn o

e+ (f) ::, n, o OQ

ID o ::, n, UJ u ,-,, o_ e+ ID e f-" o o o

3 < u H e

e+ n, o_ o

"

----·-·------•• PLACA RETANGULAR COM 4 APOIOS SIMPLES••

- - -----------

l .4070930[+01 2 .36283!0E+Ol 3 .2285280[+01

----4-- --------. 40+3 5-4-9E-+G-1- -- -----5 .3576516[+01 ó .225ó405E+Ol 1 .3826236[+01

__ __,,_ -----~ • .---3-~-1-5--7-9·9[-+0 1------------9 .2161823[+01

10 .3459797[+01 11 .3095ó22E+Ol

- l-2· - -· - ---- ---.+9-7-5-0-8-7-!::+0-1-l 3 .28I~707Et0l 14 .z5359DSE•01 15 .ló41904E+01 ---' ---1-6--- ·,·H'ld-1.-2·0-E-HH----------~ 17 .1584987[+0! 13 .1056723E+Ol

Placa Retangular Slmpleamente Apoiada: T - T[zl

FILE ó ( ~ I ND = P~J NT ER-) .!. . . -~--~-) ,!~ E N ~ I Oi\/ A ( 3 2 ~ 3 ck),;r éH 3 2 ) , H;/(' A Jl E A( l ! 2 í) J . ' . 111A ~,N,IA,IDbTtt•32,32, r,~,,20.onooonoo,-a.,1.,o.,-s.,2.,2•0.,1

____ •_ .• .,,;;:.2..._3~. , -~16 .. , 21 • o <~\10 ti r, o rr , - 6 • , 1 • , '• • , - a • , 2-~-~-? * n • ,, 1 • , ~2 * o • , 2 • , - » ... : , 2Jt~ * lJ'l) O O OOQ O, - ti. , J • , 2 •.. , - 8 • , 2 • , 2 • (1. , 1 • , 2 2 ~ O • , t. , - 8. , l 9,. O O O O 1)0 O O , 2 •.D • ,, 2. tr , .. t,rJ.. ,. 3 * ({. , l • , 2 Ci "'D • ,.,. - 1 6. , 4 .. , ~*_O. , 2 l ~ O O D '.)O O O O , - 8 • , 1. , O • , - B. ,. Z ,.-.·.~ '2·•0. , 1r .·l· • , .l 9 * O .• , . 3. , - 1 6 • , 4 • , O • , - 1 6 • ,, 2:? . • O O O O O n D O , - 8 • , 1 • ·" 4 • ,, - 8 .• , 2 • , 2 ff O· .•. , 1 • , 1 .,9 .,: : • , 4 ... , -1 6. , 4. , 2. , - a. ,. 21. n oo-o o o o ''."i, -a. ,. :, •. , 2., - a .• , 2 •• 2 *o. , 1 • i.i1 9 *o. ,

* • , - ü • , O • , 1 • , - B • , 'J. 9 .• Oti n f.H) O 1) t.J • 2 *' :J • 1t 2 • , - íl • , 3 *D·.·,. 1 • , 1 fi ~O·· ·, t'.·:.J~ .,3 * O • ,. - 8 • , * 2. , 2 *O·• ,. 2 O. O O O O O G O í)c, .- 5 • , 1. , O. , - 8 • , 2. , 2 A-í) •. , i, • , 1 6 ~O. , 1 .•. , 2 t,JJ. ,. 4. ,., - 8 • , * 2 • , o • , - t 6 •• 2 1 • o o o o-o,a~o o 9 - B •.• 1 .. :, 4 • ~ - a • , 2 • ,. 2 * o • , 1 •.• 1 n ~-n •• 1 • , 2 * o •.• 2 • , -

----·~ª---'---2.....·, 2.,. -a. , ? [1".. t)í)Q~QJllLO ., -a., O. , z .. • -g., 2., 2 *O., 1_!.2 .. J IJ *º~'' 1-!!-!....Z "*D .. , • " , - B ·.:. ,. o • , 1 • , - a. , t-9 • J-Õ"ú o o ü o n ., 2 •o. , 2. , - a . , :s ~o .. , 1 •• 1 6 * O.:• , 1-.· .• :~*o .•• - a • "2

. *. , 2 ;a- O·:, 2,\?. ~ ? O O O D O J Oi'~ 8 .• : 1.. " D • , - ~ • : 2 • , 2 ,, O~ , 1 • , 1 t) *O : , ! .. , 2 ~p • ,. ~;•· , - 8. ~ 2 ... ,o., 1&.,21.00000000, a •• 1.,,t·•" .. H.,~.,,:.,,..o .. ,1.,_1b"~ ... ,1 .• ,ztit9-•. ,z .• , 3 n •• · • , 2 • , - a:- • 2 n. n HJ, o o o o • -B • ,. .. , .• , - R. , 2. , 2. lt o. , 1:..~.J!.J .. h *·Y····, 1 • ,. z *·º .. , 2. ,

, *·a:~:(, .,1., .. ~s .. ,1 ., u ou _1'2* ~, .,-5.,J•0;:.-,1.,.1W:~trO., ... ,.31c()·~~.-a.,c::.

h' 2.*.0 • , .2 O. o o 9 00 O.· O o , - B • , l • , O. , • 8 • , 2 • , 1 9. •o. , l. , ? •.N,c·, ,, • , - 8. , 2 .•. , •. Jf. , -1 6. , 2 1 .• o o tl o o ou \J , - s .• , 1 • , 4 • , - 5. , 2 .. , 1 9 •o. , 1 • , 2 *o. , z ..• ,, - 8 .. , 2 .•. , 2 ,. , - .ar. , 2 o. o o o__Q_;)_o_o 1h - s. ·,, o . , z •• -a. , 2 •• 1 G • o •• 1 • , 2 • n. , 2. , - e. , !l. ~ , 1 • , - s. , 1 9 .,. x:io o o o o ,2*0.,2 •. ,-a.,Zu•b.,t.,l•O •. ,-a.,Z-~2~J.,l9.00q~,D,-8.~1 .. ~-2· .. ·.,1.

• , 2 • O • , 4 • , -8. , 2. , O • , - 1 ó. , 2 fJ. O i.JO.O O O O(), - 8 • , 1 • , 2 2 • O • , l • , 2 •D. , z;~ , -8. , 2. •,z., -s. ,19·.cioooooo;;r, -B.,2.3•o •• 1. ,2•0. ,2. ,-,1.,0., 1. ,-e. ,1a;·t.r.iooooooo

.---~* '-"~3...'-3~--'-L •. • ·~*D .a.....L! • , 3 1: D ._.,__L._,--3..k.Il.....!L.....LL,.....L.3_!_.Q_._.,_L._,_3:~Jl.._,-1...._,_3__til .... :i..:.L"._,_1_._·~_L._~. •1 .. ,2.,

C A L L. L E IH 2 fr,( A , M , N , I .\ , 8 , I O G T , W K A R E A , I E R l l F.C I E R. G E. J,(f> STOP

---~, .. JLLL < 4 F J :H\ A T-.( ~,~;~.~é.,...' =5-cx-,...,,,.....-.--=pccl-Ac-r:=., 7A----CRCCE~. =r7.A7NccGc-LJ-cclc-cA-=R-Ac-i"e'c .. ,=o~I...,A...,D~A~-.-.-.~. 7/_,/...,)-----------1 nIJ[(ó,ll ..

l FJ~MAT{//,4bX,'•• RESULTADOS ••',//1 , ____ )..l_Z_I = L, .. N-c----cc-cc-o-c------------------------------t

2 W1ITEC6,3ll,BCII 3 FD~HATCT20,I5,f34,E18.Bl

5fJP ----L~.D·--------------------------------------------

'"-' CD (O

1

1

1

1

1

1

1 ? .l 4 5 6 r 8 9

1.) 11 l 2 l 3 L4 1 5 ir, 1 7 18 1 9 20 21 22 23 24 ? ,.

?~

3 l 32

•• PLACA RETANGlllA~ APOIADA ••

"* ~ e SJ.LLLADJ15

, 72592774[+,)1 • ~ 6 l 5 ~..9_4 ó_E_.t.ÇU •. ,1.r&C 541.•EHH • 32163739[+01 • 72ü29601E+01 ,67635?.~GE+al • 5 4 .l 6 1 2 3 e E + .· 1 ,3194/203E+lll • i'i)255t59E+Ql • 659941 ',~t +() 1 .531019b8E+Ol ,31263tl54E+Ol ,6l002/17E+()l ,6?984;,ftE+QI ;-5 8 7 s a ó 2 ~1T+(1-1 • 3 ,OD521,?.E+D1 .61751l6eE+Ol ,5il1515iHlE+ül • , .. 7\,16;~i,,O,Ji:: +'~1 l • 2 797 2 4 93E +() 1 • 53342 778E +O 1 • Si)772913E+C\1 • 4LB529fJE+I) 1 .2.êi/J217 3Dt.+01 .42031ill8E+Ol ,-3..9_l..hl..2..1.9_E...!:_ll 1 ,- {" , 3 2 b 8 4 5:, 1 E + ,, 1 • l 9979 l 27E +IH ,24Til'.5716E+Ol

c:;,37·$F+D1 ,19661781.lE+í)l

•• í w t1 L

..

•.. t 2. 4 1 D_~2.2. E.!:.Q~t---~

..

Placa Quqdrada S:i;fl)plssmente APQiqda: T T Cx,y,zl

_f_tLE-6.Cltl-ND.,-sP-Rl.N-IER) ) D I ME N SI O N A ( l 5 d 5 J • 8 C 15 ) , W ~ARE AC 2 7 O l / OfdA M,N,IA.IOGT/ 1.15.15. 7/,A/20.,-e •• 1 •• 2•0 •• 2.,9•0.,-32 •• 2s •• - !

---•-8--.---1-.-,-0.-,.~1-u-.-,-J ..... ,__.a_ •. o-•. .,,_4 __ .,. ___ a_._,,_z-o-.-l'~s-.-,.-l-•-"'·4-,._•....!'!.8 ..• -,.2 ..... -•-0--·-,-2-.-,.6---*-0-.-Jll'-t-.. --~s 1

•.,20 •• -a.,o .• 2.,-a.,2 •• 0.,1.,6•0.,1.,-s.,19.,2•0.~2.,.-s.,2•0.,1.,3 ••O.,a.,-1&.,4.,2•0 •• 22.,-s.,1.,.o •• 2.,6•0.,6.,-1&.~4.,.o.,-16.,.z3.,

---*-ª ·-•-1---•~1-6-•. ,_ .3.·---6--•-o .• _,_4_ •. , .... :~ ... .l-6 ...... ,_4_º_,_2_ •- .~a ...... , .... 2 .... 1-..... ,~e- ._1_4_ •.• ~a •.. ,.2 .... ~, .... 2_._,._s20 .• _,_,. .... • - l 6 .• , O • , l • , - 8 • , 2 O • , O • , 2 . • , - 8 • , O • • 1 • , 3 • O • , 2 • , 2 "º • ,. 2 • ,. • 8 .. , 2 • • 'O • • 2 O • ,. • •a.,1 •• 2.,s~o.,.2.,.2•0 •• 3.,-e.,2.~-16.,22.,-e.,-16.,J.,S•o.~2.,2*0 ••

___ -"''· 2 ._,.~a .• _,_ 2 .•. ,~a .• _,_1_9_._,._4_._ .. _~tt. __ ,_2 __ ._,._1io_._,,_L •. ,_o_ 11_.,._ 2_ •. ,_ ~-ª-·-~-2 .• _.,_2.o_._.,,~a_._,_2_._ ,. a •-;.1._ ,._1_ .... o •• 3 •• •a.,~16.,21,,·1&.,11•0.,1 •• 2 •• -a •• 1a.1.s11776., t7i.o •.• t632. •,14s2.,1200.,1104.,1596.,1416 •• 11G4.,tqsa •• 13oa.,1os6 •• 112a •• s16.,

---•-62-4-._l _____________________ -'------------CA LL LEQT2F(A•M•N,IA,8,IOGT,WKAREA,IERJ IFCIER.GE.331STOP

___ lifLLLEC6,_4-l, ________________________________ _

4 fORMAT(//,25X,'•• PLACA QUADRADA APOI~OA COM VftRIACAO PARAeOLICA O •E íEMP(RA TURA ••' ,// J

,---WR-I-T-EC.6.,_L), ______________________________ ---J

1 fORMAí(//,40X,'•• RESULíADOS •~ 1 ,//l DO 2 1=1,N

--2-liR-I-f-U-6,-3-l-l-•-B-<-I-J,_,,_, -------------------------J FORMATCT20,I5,TJ4,E18,8J

STOP ---EN-0--------------------------------~

-------------------------------------, •• PLACA QUAORAOA APOIADA COM VARIACAO P~RAEüllCA OE fEMfERAlU~A ••

1

----------~·-•-R&S-Ulc-T-AOOS-•->-~W.Laf_LL1--=--L2_J_t

2 a 2 / 3 3 7 5 O O O D ( 1 - v_~_1

---1- - - ------•5-9-35.0-98-9.[_+_05 ________________ _ Z .56562346E•05 3 .43461369E+qs

·- 4 • 35560,.U2L+_(i5 ______________________ _ 5 .188~0919E+~5 6 .53941235E+q5

__ z .A62Ucl-9.6_9_L+_Q_5 _____ . B • B90a']257E+05 9 .18011376E+05

_1.0 .-3.9_s7_3_9_G_s.L+_os ___ ~--------------- -----1

11 .290\2226E+05

L12 , l5430S26E•05 1-3 •. z_U.Ui265.L+-05-------------------------1 14 .113?.7"457E+05 15 .60205408E+04

Placa Retangular com dois bordos opostos livres e

dois simplesmente apoiados.

FILE &CKIND=PRINTERJ -,-----ii)-f}'!-fflS-f-6N-kC-Z·l1-.-2·4-c>-,R-{-2·4'-)-,-,;K-AR·E-/\+f:-4·8-)-------------------

0 A f A M, N, IA, I DG T / l • 2 4 , 2 4, 7 I , AI l 3 4. , -2 O.• 1. • O., -8 O. , 8. , Z •O., 1 ó. , 15 • •o.,-40.,1Js.,-20 •• 1 •• 1&.,-eo.,a.,2•0 •• 1&.,14•0.,2.,-20.,134,,-20., •O.,B.,-ao •• a.,2,,o.,16.,t4*0.,1.,-20.,113.,2•0.,a.,-ao.,3•0 ... 16.,12

----...-*·o..---1-&o-...-,+&.-,-2-•-0.-,+5-o-.-,---2·0.-,-1.--,-o-.-.--·8·0-.-,-a-.-.-2-"·0.-.-1-6-.-,-1--1-•-o.-,-3"2-.,---1-&-o*·'16., o .• - 40.,1s1 •• -20.,1.,16., - a o •• a., 2 k o •• 1 & • , 11*0.,16.,-160., 1 & *.,2.,·20.,1so.,·20.,o.,a.,-so.,a.,2•0.,1&.,11*0.,16 •. -160.,o.,1.,* 2 O. , l 4 9 • , Z *O. , B. , - ~O. , 3 •O. , ló. , 8 • O • , 3 Z • , 3 •O. , - 8 O • , 8. , Z •O. , t 3 4. , - 2 O

----•.-,-1-.;.-.... 0-e-,.---8"'5-.r8--.,.""'Z-tr··C-.,-r&--.-·,--8·*·0-.-,.-3-2.-,..z·*-O-..--rl-ó-•-r-·8·6-.-,-8-.-,-e-.--.-•.4-o.---,-1-3-5-.,.--z-1 •O.,l.,16.,-80.,8.,2*0.,16.,8*0.,32.,2*0.,B.,-80.,8.,2.,-20.,l34.,*20.,0.,8.,-ao.,8.,2•0.,16.,8•0.,32.,Z•0.,8.,-go.,o.,1.,-20.,133.,2 ••O~,a.,-so.,3*0.,16.,a•o.,16.,3*º··-so.,a •• 2*0.,134.,-20.,1.,0.,-a

----•·0-.--8--.,·2-•·~---,-}2-~-!'-8-*-0-• .:., ... 1-ó·.-~-2-*·~-.-,-l-E,-.-,---8-0-.--,-8-.-,.o .• - .... -.4.~,-l-3-5-.-,-'--2·0-,rrl--.--,,-l-6-.. .. ""-1 ""-eo.,a-.,2*0.,32.,s*o ... 10.,z*o.,o.,-ao.,a.~2 .. ,-20.,134.,-20.,0.,8., •-8&.,8 •• ~*ª··32.,8•0.,16.,2•0.,8.,-8D.,O.,t.,-zo.,t33,,2•0.,B.,-80 •. ,3•0.,12.,a*o.,16.,3•0.,-ao.,s.,2•0 •• 110.,-20.,1 •• 0.,-92.a,14.4,1

---•-1-• 0-,-.--1-ó-,-,-2-•·0-,-,-1-6-.-,---8 0-.-,-8-.-,-0-.-,--i.-0-.-,-1-l-9-.-,---2-0 .-,+.-.-,Hl-.-8-,---9-2-.-B·•-1-4-.-4-,-1-1-<> •0.,16.,2•0.,B.,-80.,8.,2.,-20.,11B,,-2ú,,0,,14.4,-9Z,8,14,4,tl•O., •16.,2•0.,8.,-80.,0.,1 •• -20 •• 111.,2•0 •• 14.4,-92.8,12•0.,16.,3•0.,-4 •6.4,1~2,2•0.,63,36,-16,64,0.96,14•0.,ló,,Z•0.,14.4,-46.4,7.2,D.,-3

----•-3-.-2--a-,-6-4-.-3-z-,---t-G-.-&-4-,-'l-,-9-6-,-1-•-•·0-.-,-1-&-.-,-2-•-0-.-,-1-.-2-,---•-&---•·•-l-.-2-,-1-.-<J-2-,---1-&-.-6-4-,-&•.36, -1 & • & 4, t s •o •• 1 & • , 2 • 0., 1. 2, - • 6. 4,0.,o.96, -1 & • & 4, & 2. 4 t, B t 3 •D., 4. •,3•0.,4.,3•0.-,4.,3•0.,4.,16.,16.,16.,20.,-3z.,-3z.,·32.,-2a.a,

CAtL LEQTZFCA,H,N,!A,B,IOGT,WKAREA,IER> ----I-f-C-I-€-R">'trf:-.-3'3->-5-T-l}P--------------------------~

WRITECó,4) .. 4 FORMAT(//,2SX,••• PLACA REfANGULAR 2 APOIOS OPosros APOIADOS E 2 L 1

· •IVRES--• •' ,// l ----,;;R-I-T-e-c-&-.-t->------

1 FORMAT(//,40X, 1 •• RESULTADOS: W/CK••Z•MT/DI ••',//) DO 2 I=l,N

2 WRITEC6,31I,BCIJ '---~3-réJ·tttttrr-c-r~co-.-r·s-.-1-3-1,-,-e-1-e.e-1----------------------

s TiJ p .. "·l':'N·O · ..... · -·-·-·-·--··-··-··-·· .. -· ·····---·--· ... ·-,. .... - ........... --··- -

•• PLACA RETANGULAR 2 APOIOS OPOSTOS APOIADOS E 2 LIVRES ••

l .30699647[+02 2 .28B20374E+02 3 .23144658[•02

-----4- .-l-3-5-7-2-3-0-&E-+0-2'.--------------------5 .30438007[+02 6 .28575962(+02 7 .22952 755[ +02

--B---------. 1 34-6-6-5-95-E-+0·2'--------------------, 9 .29638226[+02

10 .27827034[+02 11 .22360306[+02

--1-2-- .-1-H-3·64-6-8E-+0-2'-------------------13 .28256455[+02 14 .26525768[+02 15 .21315467[+02

--1-6 • l-2-5-3·8·6-7--5-E-+0-2:----------------------1 17 .26222334[+02 18 .24598471[•02 19 .19726880[+02

--2- • 1-1:-5-&4--Z-sfrE-•-o-2·---------------------1 21 .23443967E+02 22 .21939321[+02 23 -17453806[+02

--2·4-- • l·O·Hl-2·0-06-E-+tJ-2:-------------------

Placa Retangul~r Sobre Base El;stica

- E..I.LE_~~lEW~-Hí-íJ-L}l-Í--'~ ! nn.s-rnrT7flK""",~-;rr.-Ac-r1ro,~---------------~-D ATA M,N,IA,IDGT/l,18,18,6/,A/20.0016,-3 •• 1.,-a •• 2 •• o •• 1 •• 11•0 •• -1

•6.T21.QQ}6,-8.,4.,•8.,2.,Q.,l~•lÜ*Ó••2•••6.,19.Q016,Q.,2.,-8.,0.,Q

--- -t-t&~·!-:-!t~-;•&•&í-&-!L~-Â: ~-i : ? l-ã-f~2?? a~ 7i-~ : 8-1-õ ~ : 2-: : ~ i-6 ~; 2-!-: ! ~: ~-2,-0-~-õ-ó-i-i ~ •õ : :-2~ ; ' • - 3 -· • 2 •O., 1 • • 6 *º. • 2 • • 2 *º . • -8 • , 2. , O • , 2 O • O O 1 6 • -fl. • 1 • , - ~. , 2. , O • , 1 • , 6 * O

• • ., e.. , O-. , 4. , - 8. , 2. • -1 ó • , 2 1 • O O 15, -8. ,, 4. , -,:, • , 2. , O. , 1. , o 1r O. , 2 .. , O. "'2. , -*ª·~2 •• -e.,19.0016,o.,2.,-s.,2•0 •• 1 •• &•o •• 1.,2•0 •• -a •• 2 •• o •• 20.0015

---- a- , • õ • , I ·:. , - 8:. , 2 • , O • , I .• , 5 * O • , I • , O • , q • , -8 • ,. 2 •. , - I o • , 2 1 .. O O I 6, - 87'7C. • , - 8 • , •2.,o.,1.,6•0.,1.,o.,2.,-a.,2.,-s.,19.0016,0.,2.,·a.,2*0.~1~,&*o.,1 •.,2•0.,-a.72.,0.,20.001&,-a.,1.,-a.,2.,a~o.,1 •• o •• 4 •• -a.,2.,-16.,2 *l-0016,-a •• 4 •• -B •• 2.,s*o •• 1 •• o •• 2 •• -a •• 2 •• -8 •• 19.0016.o.,2 •• -s.,9.

-----.,-.O. ,- I • • 2 •-U. , - 8. , 2. • O., t 9. O O'! o • -8 • o1 • , l O • (l • , t • , O , , 4. , "1l. • 2. , - 16. , 2 O. •0016,-8.,ll•O.,l.,0.,2.,-8.,2.,-8.,18,0016/,B/Z•O.,t.,2•0.,l.,2•0. •,1 •• 2•0 .•• 1~.2•0.,1.,1.,1.,2.1

CALL LEQf2F<A,H,N,IA,B,IDGT,WKAREA,IERI ----rFrITR'!""G-f73"3TST"O'P

WRI TEC6,4 J-40~9,rAT( //025X,• •• PLACA RETANGULAR APOÍAOA SOBRE BASE ELASTICA ••' -----wRTTETõ.rJ

l FQRMAT{//,4DX•'•• RESULTADOS: W/(K••2•MT/0) •• 1 ,//l JO 2 I=l,N ·

2 •R1TEC6,3ll,B(I1 ----F·o1nrn-r,rzo-Yrs-.r,·4----.r1t1---;-s-,.----------------------------~

STOP E'l O

•• PLACA RETANGULAR APOIADA SOBRE BASE ELASTICA ••

---- ~ -·- -------1 .40067638Et01 2 .35726384Et01 3 .22530977Et01

--- -4- -- • 3·95T~8S't-i:l'0·1 5 .35245413[+01 s .22zs1739E•o1 1 .37696BZ7E+Ol

-5-- -- ·· ------. 3-3·6617·1:"S-E-+O·t---------------9 .21334496E•Ol

10 .34121342E+Ol 11 .30558169(+01

-- t:-2 • 1-95-i-4-E,5·2E-+0·1 13 .27857184(+01 14 .25063299E•Ol 15 .16248326E+Ol

--1-6 • 1-7-2-95-1-3-Z·E·+O-l--------------l 7 .15694542[+01 18 .10477211E•Ol

Placa Retangular Sobre Base Elãstica

FILE 6CK!NO=PRINfERl I----O-l-ME-N·S+GN-A-f--3-2·•-3-2-hB·C-3~2+,-wK~AR-E-A-(+1-2·0->-------------------,

OAfA H,N,IA,IDGT/1,32,32, 7/,A/20 .• 00050625,-e •• 1.,o •• -e.,2.,z•o.,1 •.,23•0.,-16.,Zl.00050625,-8.,1.,4.,-8.,Z.,2•0.,1.,22•0.,z.,-8.,20~· • o o os o 6 2 s, - s • , o. , 2 • , -a. , 2 •• z •o •• 1 • , 2 2 • o • , 1 •• -s. , 1 9 • o o os o r, 2 s, 2 •o. , 2.

----•-,---ó-.-.-3-•-0-.--.-h-,-2-0-•-0-.-,---l-óco-,-4-.-,-2-•-0-.-,--2-1-.-0-0-0-5-0-6-2~5-,---ih-,-l-.-, o-.-,---!h-,-2---,-2-•-0-.-,j 1

• 1 • ,. 1 9 • o • ,. 8·.-·, -16. ,. 4 • ,. o • .,, - 16. , 2 2. o e e s o ó 2s ,. - A .. ,. 1 •. , 4 • , - a •• 2 •• 2 :k o .• ,. 1-. ,. 1 1 •9•0.,4;,-16.,4 •• 2 •• -s •• 21.oooso&2s,-s •• o.,z •• -s.,2.,2•0 •• 1.,19•0., - •4.,-16.,o.,1.,-s.,20.ooosos2s,2•0.,2.,-s.,3•0 •• 1 •• 1&•0 •• 2.,1•0 •• -e : •-.. - ,-2-.- ,-2-•· O-•- ,-2-0-.-0 0-0-5-0-5-2-5-.. --·8--.- ,,-1--.- ,-0-.- ,---8--.. -,-2-.-.. -?.-•-O--.-J9'-t-.-·,-l-6· :tr-0-. ---,-2-.-· ,..z. •-O-.-,,. 4-.- .----8

• • ,. 2. ,. O..- ,. -16. , 21. D O O 50 6 2 5 , -8. • 1 • , 4. , -8 • "2 • , 2 •O. ,. 1 • , 1 6 tr O. , 2. -, 2 i1r O. " 2. •,-a.,2~,z •• -a.,20.oooso&zs,-a •• o •• 2 •• -a •• 2 •• 2•0.,1 •• 16-1ro •• 2.,2•0 •• •2.,-8.,0 •• 1.,-a. ,19.00050625,2*0. ,.z. • -3. ,3•0. :•l.,, ló:1rO.,, 1., 3*0• ,-8.,

----•·:11'~2.-,--2·*·U"-.-:P'-2·0-.-o-o-v-s--0-6-?-s-..,---a-.-:P-1-.- .... o-.-:ll'-·-a-.-.-2-.--.-2-•-0--.-..,-1-.-·...-1-&-*'·0-.-.-1-.---2-*·0.-•-4~,.---·B~.-i •,2.,0,7-lów,21~00050625,-8.,l.,4.,-8.,2.,2•0.,l.,15•0.,1.,2•0.,2., •-a.,2.,2.,-s.,20.ooosos2s.-a •• o.,2 •• -B.,2 •• 2*0 •• 1.,1&•0.:11'1.,2•0.,2 ••• -e •• o.,1 •• -a •• 19.oooso&2s.2•0 •• 2.,-e •• 3.o_.,1 •• 1&•0 •• 1 •• l•o •• -a ••

- - · - - · • .Z--.--,-2-•- o-~.-2-0.-0-0 o-~3 0-ó-2-5- •. -. 5-.-,.-1-.-,-0-.-----8-.-:,,-.2-,.-,-2-• 0-.-.-1-.. -r 1-&·•·0-.-rl.--.--2-•-o-.-.-l • .-.---8-.-,.• 2., o •• - 1 & • •21.00050625, - B •• 1 •• 4 •• - 8., 2 •• 2 •o •• 1 •• 16 • 0., 1., 2 •o •• 2 •• -•a •• 2.,2.,-a.,2&.oooso62s,-s.,o.,2.,-a.,2 •• 2•0.,1.,1s•o.,1 •• 2•0 •• 2. 1

•,-a.~o.,1.,-s.·,1?.oooso&2s,2•0 •• 2 •• -a .... 1ko •• 1 •• 1&•0.,1 •• 3~0 •• -s.,2 ----•-.-,-2·*·0.--,-2·0.--0·0-0·5·0-6-2-5-.. -·--8--..-1-.,.-0-;.-,--•-8.--,,-2.--,-2---tr·fl.-,.-1.-.-1-fr*0.-.-1.-·,.-2·-lr-0.--.--4--.,.---8-.-.-2 .....

•.,o .• ~·16.,z1.oooso62s.-R.,1.P4.,-B •• 2.,2*0.,1 .• ,16*0 •• 1 •• 2•0 •• 2 •• -s •.,2 •• 2 •• -a •• 20.oooso&2s.-s •• o .• 2 •• -a.,2 •• 2•0 •• 1 •• 1&•0.,1 •• 2•0.,2 •• •-a~ .. a.,1 .... -s •• 19.oooso&2s~2•0 •• 2 •• -e .• 3•0.,1 •• 16*0.,1.,1•0 ... -a .... 2.·

.----•-,-2 .. -o-.,-20-.-o-o-o-son-2-5-,---a •• +-.--,-o-.,--B--.,-2-.-,-1-9-*-o--..-1-.-.-2-*·0--.---.-4--.,---8-.----.-2-.---,-o--.--.---1-&-.--, •• 21.oooso&2s,-a ... 1.,4 •• -a •• 2.,19~0 •• 1.,2•0.,2.,-a •• 2.,2.,-a.,20.oo. •050625•·8,r0,,2.,-~ •• 2 •• 19•0.,1.,2•0 •• 2.,-a.,o •• 1 •• -a.,19.00050625 *rZ•0.,2.,-B.,20•0.,1.,3•0.,-8,,2.,Z•D.,19.00050625,·6.,l.,22•0.,l.

----•-.---2·• o-.--,-4,.,--a • .-2 •• -0-.-.---1-6--.,-2-o-.--o-oo-s-o-s-2-s-,---a.-.-1-..-2-2 ..... o-.-,-1.--.-2-*o.-.-2.--,---B.-,-2.--c • , 2. • - 8 • , 1 9 • O O O 5 O 6 2 5 , - 8 • , 2 3 •O. , 1 • , 2 •O. , 2 • • - 8 .. O. , 1 • , - 8 • , 1 8. O O O 5 O 6 2 5 * I • B I 3 * O • ,- 1 • • 3 * O • • 1 • • 3 • O .. • 1 .. • 3 * O • • 1 • • 3 * O • , l • , 3 *O. ·• l • • 3 * O • ., 1 • :li' 1 • ,, 1 • .., •l.,Z./--

~---!7M:cl::-t-E{H--2·F-C--A-•t1-rN-.--"'°A-•·B-r-I~h-W-K-A-F-E-A-.--I-E-ft---,------------------; IF(IER,G~-l3lSTOP

1 · - -- · ·· ·w·R·r-f E-< &-,·4-l· - ...... _ ... ------ · .. ·--·· -----·--- .. " - ·· -• ·· ·- -- -· · · .... -·--·· 4 FDRMATC//,ZSX, 1 •• PLACA RETANGULAR APOIADA SOBRE BASE ELASTICA ••'

1~~--.--.---1-t-) wRIT(Có,ll

l FQRMAf(//i40X,••• RESULTADOS: W/(K••l•MT/Ol **'•Ili DO 2 !=1,N·

- -2-w·R-I--T-E-(-6,5-1-1--.-s-c--1-1 3 FORMAT(f20,I5,Tl4,~l3.8l -- ST[}P

ENü

·--·------------------------------~ •• PLACA RETANGULAR APOIADA SOBRE BASE ELAST!CA ••

•• RESULTADOS: W/CK••Z•MT/01 **

l .7146595&!;:+01 2 .67114405~•01 3 .S39ó2401E+Ol

· 4 ---. 3-t--7-31·192-E:··~0-1-----------5 .70921571E•Ol 6 .66&11053Et01 7 .53576387[+01

--a ---·-. 3-i-sz-1-ss-4-r-.-0-1-----------9 .69203545(+01

' . . ._/

10 .6502!102(+01 11 .52357021[+01

-1-z-· ----.~3-o·B·õo-1-0·1-e-+-0·1---------------13 .ó6045164E+Ol 14 .62099126E•Ol 15 .S0110212E+Ol

---1-6 - ------~. z:9t,-3·sso9E-.-o-1------------11 .&0960865E+Ol 18 .573S7725E+01 19 .4647ó459Et01

--·2· • 2-ró·s·s-0-4-4-E-.-0·1 21 .53183276Et01 22 .SOUi3199Et01 23 .40867S25E+01

--24 .-2-4S-E,1l·Z'lil:<'"0·1--- --------------{ 25 .41577193[+01 26 .39335820E+Ol 27 .32357719Et01

--2-5 • t980·t4"3·õE·.-o-1---------------l 29 .24543215E•Ol

· -30 .233327&0E•Ol 31 .19493321E+Ol

--y . i-2·J·tB·8·i-t-r-.-o-1--------------

Setor Ci,rcular

FILE 6CKINO=PRINTER> · ---iJ-[·HE-N·S-I--tlN'-A-(-9-,·9· J-,·B-(·9-·J-,-w K-AR·lºA·C-1·0·8->

DATA M,N,IA,IOGT/1•9•9• 7/,A/17,05235236,-7,289868134,2,,~J.920324 •909,l,130692171,0.,0,2201992256,2•0,,-7.289868134,16.05235236,-14. •5797J627Tl.l]Q8921!1,-],920]24909o2,!61784342,Q,,Q,22Q1992256o0,;f

-----.......... --7.--2-a-9 a fr8· l-3-4· .-1-&-. n-s-2-3-s-2-2-6-,-0...---,-1.--1-3-o a- 9-2 -1°1-1-,--3.9-z-o-3-z-4-9-o-9,z-..-0--.-.-0.-2-2-0-1 •99225E,-&.232022ao9,1.19914&&3ó,o •• 1,.101aa90&,-ó.3988&21a1.2 •• -2. •356128825,0.7710528438,0.,t.79914663ó,-6.232022809,3.598293272,-6. •39886218l•t4,10188q06,-1Z,79772436,0,7710628438,-2.356128825,1.542

- - --•-l-2·5-6·8-S-,-O·-.,·l·-.--7-9·9+4-6·6·36-,--6.-2-3·2·0-2·2·8·0·9·,-t-.--,--6-.3·9·8·6-M,~-1-B+.-F3.-1-0-Hl·fr90·6-,·0--.,•0,7710628438,-Z,35El28825,0.6042266751, Z • 0,, - 4.079650512,1.3365089 •26,0.~11.25121655,-5.644934067,2.,0.,0.6042256751,0.,1.336508929,•4.079650512,2.673017858,-S.644934067,10.25121655,-11.28986813,2•0.

------•-.-0-.-·6·0-4-Z,266-7-5-1-, o-.-,+.-3-3-6 5 O 8·9·2-8-,--4-.- 0-7-9 6-5 0-5-1-2-.-1--. .--5--.--6-4·4·9·3-t,-0-6-7-,-1-0--.---2·5·1-2 6 -•55 /,8/0.0497305905,0.0497305905,0.0497305905, 3•0.,D.0094102233, 0. 0 •094102233,0,0094102233/

CALL LEQT2FCA,M,N,H,B,IDGT,WKARE~,IER> ----I-f-C-I·é.ºR·•ªGE-,-3'3-l·S·TOP------------------------

'1tR I TE { 6 ,4 l ·· 4 FORMATC//,25X,••• S(TOR CIRCULAR COM 2 ENGASTES E 2 APOIOS •• 1 ,//l

~RITEC6'1l ---1-F-O-R·M·A·T· (-/-/ ,-4-0-X •·'--•·•-R-E-S·Ul:--T·A-08-5-:-IN·C:-M-T·"-A-*•2-/-0·l-•·*·'-.-l·/-}1-----------;

DO 2 I=l,N 2 WRITEC6,3ll,8Cll 3 FORMATCT20,I5oT34,El8,8J ~- .

----S-+OP·--- ---------EN O

·~ •• SETOR CIRCULAR COM 2 ENGASTES E 2 APOIOS••

1 •• RESULTADOS: W/(MT•A••2/Dl ••

1 .20152221(-01 2 .42248196(-0l 3 .48461853(-01

- -4--------""""· 2-o-n·o-o-3-z-E---0-1----------s .46S73310E-O! & .55987&99(-01 7 .17819102(-01

---a . 4-o-1-o-1-090-E--0-1-------------9 .47072122E-01

Setqr C:i;rcwl 8r

----- ----------FILE 6CKINC=PRINTERI

---~E)--I·M·!:-N·S-t-e-N-J\-t-l-5,1-5~)-,-n-c-1-s-J,1,1tt-AR-r-A-(-2-r·o-1-----------------D ATA M,N,IA,IOGT/1,15,15, 7/,A/44.70D03394,·1Z,22467033,Z,,·18.870

•Z4588,3.255598674,0.,Z.140336473,8•D.,-12.22467033,44.70003394,·24 •.44934066,3.255598674,-18.87024588,6.511197348,0.,2.140336473,7•0.

---•,t7.--r2-:-z-z-4-570·3·3,4,-;ro-o-o-T39"•i0-:-,1-;2 s s·5·9-a·6 Ti; , - ra-:-s-ro-z-i.-s-aa-.z·,.0-:-.2-;rr;-· •0336473,6•0.,-ZS.1200830&,4.335086655,0,,38.24536389,·10.78535303, •Z.,-13.39896626•2•E21613669,U.,t.352904u42,S•0.,4.335086655,·25.12 •008306,8.67017331,·10.78535303,38.24536389,-Zl.57010606,2.62161366

· • 9-,---1-s.3·9·3 96 5-z·,,,s·-.-z·4-J·2·2-rn·8 ,·o·-;.1--.-3-s-z90-4 04-z,s ··o-.,4.s1-s-o·e·6 &·s s. -zs.-12 o• O B 3 D&, 1., -1 o. 1 s s 1 s 101.11.z45J6389, o •• 2. & 21 & 13 & 69, - t 3. 39 B 9 & 626, Z •o. •,l.352904042,3•Q.,3.907302257,Z•0.,·18.l841752,3.59829327l•O.,Z9.5' •11&011.-9.483113ssç,2 •• -9.z40921911,2.os61&15s4.o.,o.aos&J55&68,3•

-----•0·.·,-3-.-9·0-NJO·Z-2-S·f·,-o.-.-~.5982·9·J2··7·h·--1-B-·.-3'84·l-75·2·,7.l-9·f,S·86·5·4·Z-.-9.!!'8-H-l··]·S·5'9-J •,29.S71607t,-18.g6622712•2,056167584,·9.24021931,4.112335168,0.,0. 1

1 • 8 O 5 6 3 5 5 5 6 8 ,3 •O. , 3 • q O 7 80 2 2 5 7 , O • , 3 • 5 9 8 2 9 3 2 7 1 , -1 8 • 3 3 4 1 7 5 .2 , 1 • , - 9 • 4 8 31 1 , 1 •3559,28.5716071,0,•2.056167584,·9.240921931,Z•0.,0.8055355668,3•0., ----,..,.z .. &-4-2-3' 9 0-1-0-1-.-2·* 0-.-, --1-3 .-1-6-2-J-2+3'3-.-Z--.9-rn o-3-a-s-0-1-,-0.-,-2·2.-a-a-s 9·7· 2-r-4-,·- a-. -.3· 17-9·5-i

•1925,Za,-6,153012963,!.559260413,S•O.,Z.642390707,Q.,Z.930038807,• •l3•16232433,s.a&oo11&14,-a.1119s192s.22.aaa97z74,-1&.&359038s,1 .• ss •9260418,-6.153012963,3.118520836,S•O.,Z.642390707,0.,Z.930036807,- 1

---•+3..-l-6-2-3-2-4-3-3-.-l-.-,-•-B-.-~-1-7-9 5-t-9·2·5·.-Z·h-8·8-8·9-7-2-7-4·,·0-. ,-h-5 59·2·6-0·4-l-B-,--6.-1:-5-3 0·1-2·96 •l,6*0.,l.712269173,2*0.,-9.190291393,2.330323261,0.,17.21338675,-7 •,Z89869134r2.,7•Q.,l.712269178,0.,Z.33032361,·9.190291393,4.660646 •522,·7.289868134017.21338675,·14,57973627,B*0.,1.712269178,0.,2 .• 33

---•-0·3·2-3-2-6-1--,--··9.1·90-2·9·1-3-9·3·,-1-.,---7.~l-89-8-6-8-l-:3-l.,-lc6.-2·1-3-3·8-fr7·5-/-,-8-/-D-.l-Z·9·1-8·3·5·4·S-9-,-o •.1z91335459,o.1291e1s459,9.o.,o.011o&asso2,o.011o&asso2,o.011o&ess •02/

CALL LEQTZFCA,M•N•IA,B,!DGT,WKAREA,IER> ----JF-C-I·E-R.G-E.-3-3->·Sf-OP ----------------;

WRITEC6,4l· 4 FORMATC//,25X,••• 5ETOR CIRCULAR COM 2 ENGASTES OPOSTOS E 2 APOIOS ""* ,, •• ,//)

---w-R·r-n:-c-a----.-1-,-·--------------------------------1 l FORMAT(//,40Xo'*• RESULTADOS: W/{HT•A••2/0J •••,//)

DO 2 I=l•N 2 NRITEC6,3JI,BtI>

- --J-r-aR-M·A-r·c-r-:to-.1-s--.r-3-4-,r1-a-.s-1,-----·- STOP

ENO

•• SETOR CIRCULAR COM 2 ENGASTES OPOSTOS E 2 APOIOS••

•• RESULTADGS: ~/(HT•A••21Dl ••

l .t2120941E·Ot 2 .21382962[·01 3 .245893B1E-01

---4,--------------.---. 1-3-3·4·3-2 2·9E-·0-1.------------------j 5 .26579745E-Ol 6 .31557653[-0l 7 .1t29559BE·01

---,~--------.-2-4-3·54·4·0·2-E--0-1,------------------9 .29547060E·Ol

10 .9C648190E-02 11 .1935915BE·01

---1-2 .-2-42-l-666-SE--0-1,-----------------., 13 .67960550[·02 14 .13820539[-01 15 .16544745E-Ol

-ls et o_r_C_ir c_u lar.-1 FILE óCKINO=PRINTERl ' ---O-I-HE-N-S-l-6tJ-A-f-2-0-r2-ll->-,B-C-2-0-l-,-WK-AR-E-A-C-4-&0->

DATA M,N,IA,IDGT/L,20,20, 7/,A/22.97660629,-8.626377063,1.,0.,-7.5 •738237ü9,L.831274254,2•0.,0.6772158371,Ll•D.,-8.626377063,21.97660-•629,-8~626J7706J,2.,1.8J1274254,-7.573028709,1.B31274254,2•0.,0.67

---•-7-2-1-5-8-3-7-1-,-1-o-•-o-.-,-i-.-,---,i-.-r,-z-6-3-7-,-IJ-6-J-,-2-2-.-9-7-5-606-2-9,---1-1--.-2-s-2-1-s-4-1-3-,-o--.--,-h-8-H-2-1 •4254,·7.57!028709,3.662548508,2•0.,0.6772158371,l0•0 •• 1 •• -8.626377 •063,21.97660629,2•0.,1.831214254,-7.573028709,3•0.,0.6772158371,8• •o.~-10.oe1a2674,2.4384B6244,2•u •• 20.2sss943&,-1.e1&1&1011,1.,o •• -s

---•,,-52-9-3-4-Z-l-4-5-,-1-.-4-14-6-5-1'6-8-9-,-2-•-0-.-,-0-.-4-2-il-0-6-7-2-9 4-&-,-7-•-0..--,-2-.-4-3-8-1,-8-6-2-4-4-r--l-0-.-0-8-l-B •2674,2•43H436Z44,0.,-7.816761077,t9.22589436•-7.816761D77,2.,l.474 •657689,-5.529842145,l.474657689,2•0.,0.4280672946,7•0.,2.438486244 •,·t0.08182674o4.376972488•1.,·7.616761077,Z0.22589436o-t5.63352215

f-------,-o-.-.-J;--.4-7-4-6-5-!-6-B-h---s-.-5-2-9-B-4-2~1-4-s-,-2~9-4-9'H-5+7&,-2-•o-.-.-o-.-4-2-a-0-&-7-2-94-ó-,-7-•-o-.-,-2-. •438486244,-10.08182674,0.,l.,-7.a16761077,19.2Z589436,Z•O.,t.47465 •7689o•5.529842l45,3•0.,0.4280672946,4•0.,1.236453058,3•0.,-7.5B790 •2903,2.024039965,2•0.,16.84051751,-1.084251375,1.,0.,-3.935905437,,

- ---•-i--.-1·5-6-5-9-4-2-6&-,-2-•-o-.-,-o-.-2--si-4-9-o-a-1-2-8-5-,-4-•-ch-,-1-.-2-3-6-4-5-J-0-5 a-,-2-•-0-.-,-2-.-o-2-•0-3-9-9-6-5-,--.7---< ••587902903,2.024039965,0.,-7.084251375,15.84051751,-7.084251375,2.' •,t.156594266,·3.93~905437•1.156594Z66,2~0.,o.2549os1285,4•0.,1.236 •453058,2•0.,2.024039965,-7.587902903,4.04807993,1 •• -7.084251375,16

---•·•· 8 4-0-51-7-51, --l-4,.-163-5-02-7-5 , O-~ .-h-1-5 6-5-9-4-2-66-,---3-.-9-3-5 9-0-5 4-3 7-,-2-.-H-3-1-lHI 5-3-2-.-2-•-0-•~,0.Z5490B1285, 4 •0.,l.236453058, 2 •0.,2.024039965, - 7.587902903, 0., l •.,-7.0842513145,15.84051151,2•0.,1.15~594266,-3.935905437,3•0.,0.Z •490Bl285,4•o.,o.83E0689347•3*0·•·S.606770159,!.648146829•Z•o.,14.1

---•-s-2-&-1-2-2-5-,--6-.--4-2-s-e-4-7-9-s-a-.-1-.,-0-.-,---2-.-7-t-4,30 o-2-4-5-,-0-.-a-r-1-o-a-3-9-B-4-9-,-,-•-o-.-.-o--.-a-1-&-o&-a*9347, 2 • 0 •• 1. & 48t46B29, - s. &o & 1ro159,1.64814 & 829, o., -6.42BB47958,13. •15261225,-6.423847958,Z.,0.8770839849,-2.714300245,0.8770839849,7• •0.,0.8360689347,2•0.,1.648146829,·5.606770159,3.296293658,1.,-6.42

---•-8-fl 4-7-9 5-8-,-H.-1-5-2 6-1-Z-Z· 5,---1:-2.-8·5-7-6-9 5-9-2-,-0-.-,·tl-.-8-7-7-06-:l9-8·4-9-,---2-.--7-1-4-30 0-2-4-5-.-I-.-?·5--: • 4 1 & 7 9 7. 7 •o.-, o. a 1soé893 4 7, 2 •o •• 1 • 6 4 a 14&82 9 • - s. 6 o & r r o 1 5 9. o •• 1 • , - 6. 4 2 . •8647958,13.15261225•2•0.,0.8770839849,-2.714300245,!•0.,0,54177266'

----·-i~-~J :~-0: ;;.ti~-1-~~-~-~ ~ !t:.~:: i?~ iu~~s ~~:_z: õ s 2~~-U-ti-~i :~ i-g~g~~;~~!-:s.J •.850550825710.85081138,·5.850550825,2.,10•0.,0.5417726697,2•0.,t.3 • 1060 6 8-3 5, -4. 05482161 ó ,2, 621 6136 7 ,1., -5. 8 5 05 50825·, 11. 8 50811 38, -11-.-7-•0110165 • l l•0.,0.5417726697, 2 •0.,l.31D306835, ·4.054821616, 0., 1 •• -s.

~--"-ô-S-0·5·5-G·tr-2-5--rt-Cr.(1·5-8·8-l-1-3-a-/-rft-t--O-.e-lre-8-7-4-4-&1-h-0-.-9-'.--0-6·7-4'4·8-l-3-,-0.0-4-0-8-i'-4-4-8-1-3-,- - • •0408744813•12•0.,0.0054005959,0.0054005959,0.0054005959,0.00540059 •'j9/ -

. CALL LEQfZFCA,M,N,TA,B,IOGT,WKAREA,IERI '-----I-F-(-I-E-R-.·G-E.-3-3->·S·T-OP --------------------1

HWRITE(6,4 >··- -FORMAT(//•25X,*•• ~ETOR CIRCULAR COM 2 ENGASTES OPOSTOS E 2 APOIOS •••,!/)

W·R·I-f-[-{-ú-,-1-->----------------------------------' FJRMATC//,40X,••• RESULTADOS: W/CMT•A••21Dl •• 1 ,//) 00 2 l=l,N

2 WRITEC&,31I•BCI> - --3-·F-OR·M·A·f-(-T-2·0·,+5-,·f-3·4-,--E-1-s--.s-,,----

C' ·y no

•• SETOR CIRCULAR COM 2 ENGASTES OPOSTOS E 2 APOIOS••

•• RESULTADOS: W/CHT•A••21D> ••

--- -- - --- ---------------------------------1 1 .82983487E·OZ 2 .16665058E·Ot 3 .22065180E·Ol 4 - -------.2,3-39fr602·E·0-1 5 .82881245[·02 6 .19385036[-01 1 .2!435964E·Ol -- ----s----------~. 3-o-z-97-1--11-E---o-1 9 .66159328E·02

10 .16963557[·01 11 .25066901E·Ot 12---- • 2-ao-1r4-1-oo-1c--o-1------------- -----, 13 .52676587[·02 -~ 14 .13693952E·Ot 15 .20407940E·01

---1·6- • 22-8-9·9-5-8·8-[·--0·l----------- ---11 .421Z0782E·02 18 .99391840[-02 --19 .14234559[-0l

--2-0 • t·5·80·1-(rfr6·E--o-1-----------------

185

SUBROTINA LEQTZf

I.MSL ROUTIKE NA.'1!: - LEQT2F

PURPOSE

USAGE

ARGUMENTS A

M N IA

- LINE.\R EQUATio:,; SOLUTI0ll - FULL STORAGE MODE - HIGH ACCUR.;cy SOLUTION

- CALL LEQT2F (A, M, N, IA, B, IDGT, l,""KARE.A, IER}

- INPUT M ... ;TP.IX OF DI!-Z~S10~> N BY N COXTAI::J?~G THE COE?FICIE:--T !-91.TRIY. OF THE EQU.::..Tro;.; AX"" B.

NUMBER OF RIGh"'T-HF.ND SIDES. • (INPUT) ORDER OF A ANO NU!.:BER of ROHS I:. B. (INPUT)

- ROH DIMI:N"SION OF A A:-.D B EXACTLY AS S?ECIFIED IN THE DIMEi.~S!ON STATE;·'.ENT IN THE CALLI!':G PROGP.AH. (HIPUT)

B - INPUT M.ATRIX OF DI!-1.E~SIO:< N BY M cm:7;..J;n;;G THE RIGHT-H;._".D SIDES OF THE EQUr'.TIO~~ AX B.

ON OUTPUT, THE N BY M }-~TRIX OF so:..uTrm.:s REPLl-.CES B.

IDGT INPUT OPTION. IF IDGT IS GREA.TER THAN O, THE ELB-'.ENTS OF

A ANO B ARE ASSUHED TO BE. CORRECT TO IDGT DECU;Ji.L DIGITS A?m THE ROUTil>E PERFOR:-:S AN ACCURACY TEST.

IF IDGT EQUALS O, THE ACCURACY TEST IS BYPASSEO.

ON OUTPUT, IDGT cm:rTAINS THE APPROXHú\TE Nl.J!,IBER CF DIGITS IN THE ANSWER í·:P.ICH WERE UNCHANG!:D AFTER INPROVE.""..EN'J'.

WKAREA - WORK AREA OF DIMEUSION Gfil:.ATER TP.A:~ OR EQUAL TO N,t•2+3N.

IER ERROR PARAMETER. (OUTPUT) WARNING ERROR . IER = 34 INDICA'i'ES TF.AT THÉ ACCURACT TEST

FAILED. THE C0!-1PUTED-SOLUTION .HAY BE IN ERROR BY 1-lORE rr_:r,.~ CA.:."< BE ACCOU<~TED FOR BY THE UNCERTAINTY OF THE DATA. THIS WARNING CA...~ BE PRODUCED ONLY IF IDGT IS GRF.ATER TnAN O ON IN?UT. (SEE TEE CHAPTER L PRELUDE FOR FURTH:SR DISCUSSION.)

TERMINAL ERROR lER = 129 INDICATES TEAT TP..E K;TRIX IS

ALGORITHHICALLY 5ISGUL.~ •. (SEE TEE CHAPTER L PP.ELUDE) .

II:R = 131 INDICATES Tp_:;7 THE NATRIX IS TOO ILL-cmmrTio:.:so FOR ITERATI\l"E l!".PROV~·Sã.;J' TO BE EFFECTIVE.

PRECISION/li.::.RDKA...'CU: - SINGLE AND D0UBLE/H32 S1NGLE/H36,H~8,H60

REOD. Il".SL ROUT~S - SINGLE/LUDATF ,LUEL:·l:z ,LU~?F, UER.TST, UGEí'IO - DOUBLE/LUDATF,LUELV...E",~U?..EFF,UERTST,UGETIO,

VXADD, VX}!UL, VXSTO

NOTATION INFOR."-'..ATION m; SPECIAL i;oTriTION A!m CO};"VENTIO~S IS A.VA.ILABLZ I:< TRE J,!A!iUAL I.NTRODUCTION OR THROUGH I1-1SL ROUTINE Ul-iELP

LEQT2F-l

186

Alqorithm

LEQT2F solves the set of linear equations AX=B for X, where A is the N by N ~atrix and is in full storage mede. a is N by ~- The difference between- this routine and routíne LEQTlF is that LEQT2F invokes itera~ive i.mprovement if necessary, in arder to improve the accuracy of the solution X. ·

The routíne perfor.:.s Gaussian eli~ination (Crout algorítr.m) with eguilibration, partia! pivoting, and iterative i~provement as reçuired.

See reference:

Forsythe, George and Moler, Cleve B., Comouter Solution of Linear Alqebraic Svste:'.TIS, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hal~ Inc., 1~67, Chapters 9, 13, 24.

Program.~ing Notes

1. Iterative irnprovement is costly in both co~puter time and storage. When high accuracy is not needed, subroutine LEQTlF,may be used to advantage.

2. When IA is greater than N. elements of A in rows '., _ to IA are used as workspace and are destroyed. F.owever. the first N rows of A are restored to their original content on exit from LEQT2F.

Accuracy

If IDGT is greater than zero, elements of A are assurned to be correct to IDGT decL~al digits. The,solution.X will be the exact solution, without any roundoff errar, to a ~atrix A whose elements agree with the elements of A in the first IDGT decimal digits. The progra~ first attempts such a solution without iterative improvernent. Then iterative .irnprovement is perfonned if necessary. If this also fails. solution is not possible and the program exits. Upon exit. the iirst colwnns of B will have been replaced by the best solution that the computer can generatr, and IDGT is set to the approximate number of digits in the answer which were unchanged by the ir.iprove..ient (see H1SL rout,ine LUREFF). The other colw..ns of B are left W'lchanged in this case and IER is set to 131. If input IDGT equals zero, iterative irnprovement is autornatically performed.

Exarnole

This example inputs the 3 by 3 ~atrix A and the 3 by 4 rnatrix B solvinç for the 3 by 4 matrix X of AX=B. X over"Writes 8 on output.

Input:

REAL A(4,4),8(4,4},WKA.REA(l8) INTEGER M,N,IA,IDGT,IER N 3 M 4 IA 4 IDGT 3

LEQT2F-2

187

A

[ 33. 000 16.0 72.0 ~] -24.000 -10.0 -57.0 - 8.000 - 4.0 -17.0

X X X

[LO o.o o.o -359.0] o. o 1. o o. o 281. O o.o o. o LO as.o

X X X X

B

CALL LEQT2F (A,;·l,N, IA,B, IDGT, WKAREA, IER)

. Output:

IDGT :e: 3 IER - o

[-9.66666 -2.66667 -32.

B 8. O 2.5 25.5 2.66667 • 6666~7 9.

X X X

L] -2. -5.

X

Note:. X indicates elements not used by LEQT2F.

0 do grau oe mestre em ciÊncias (m.sc.) … · x y d,dx,dy - rigidez a ... w - flecha da placa m ,...

Documents