Sejam 𝑎 e 𝑏 reais. Considere as funções quadráticas da forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐, definidas para todo 𝑥 real.

a) Sabendo que o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) intercepta o eixo  𝑦 no ponto (0,1) e é tangente ao eixo  𝑥, determine os possíveis valores de  𝑎 e 𝑏.

b) Quando  𝑎 + 𝑏 = 1, os gráficos essas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.

a) 𝑓 passa por (0,1). Nesse caso, temos que 0! + 𝑎0 + 𝑏 = 1  ⇔ 𝑏 = 1       1

como a parábola é tangente ao eixo 𝑥, segue que Δ = 0,  isto é: 𝑎! − 4𝑏 = 0⟺ 𝑎! = 4𝑏        (2)

Substituindo 1 em (2), temos que 𝑎! = 4  ⇔ 𝑎 = ±2        

Resposta: 𝑎 = −2  𝑒  𝑏 = 1  𝑜𝑢  𝑎 = 2  𝑒  𝑏 = 1

b) Sejam as parábolas 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐, tais que 𝑎 + 𝑏 = 1. Para todos os reais 𝑎 e 𝑏 que satisfazem 𝑎 + 𝑏 = 1, afirmamos que 𝑓 1 = 2.  De fato: 𝑓 1 = 1! + 𝑎 ∙ 1 + 𝑏 = 1 + 𝑎 + 𝑏 = 2.

Logo, o ponto em comum entre essas funções quadráticas possui coodernadas 𝑥 = 1, 𝑦 = 2.

Resposta: (1,2)

 

Questão 18 CURSO E COLÉGIO

Resposta CURSO E COLÉGIO