# conjuntos 2007

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.

I) LISTAGEM

Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves .

Exemplos:

A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20.

A = { 6;8;10;12;14;16;18 }

II) Propriedade de Seus Elementos

O conjunto é apresentado por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.

Exemplo:

Seja A o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:A = {x / x é vogal do nosso alfabeto} A = {a , e , i , o , u }

Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada.

A

MT

7

23

6

9 aei

o

u1 7

2 5

84

1 5

Exemplos :Exemplos :1) Um conjunto formado por números inteiros entre 2 e 7.

A = x Z / 2 < x < 7

A = { 3 , 4 , 5 , 6 }

A3

4 56

2) Um conjunto formado por números Naturais pares e primos.

primo epar e x / N x = A

A = { 2 }

A2

conjunto unitárioA = { 2 }

CONJUNTO VAZIO

Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Representado por ou { }Exemplos:

M = { números maiores que 9 e menores que 5 } = { }

P = { x / }1

0X

CONJUNTO UNITÁRIOÉ o conjunto que tem um único elemento.

Exemplos:

F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0

CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com número limitado de elementos.

Exemplos:

E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 }N = { x / x2 = 4 }

;

CONJUNTO INFINITO

É um conjunto com um número ilimitado de elementos.Exemplos:R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par };

Se um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo:

Exemplo: Se M = {2;4;6;8;10}

2 M ...se lê 2 pertence ao conjunto M

5 M ...se lê 5 não pertence ao conjunto M

Exemplo:

A= {a;b;c;d;e} n(A)=

B= {x;x;x;y;y;z} n(B)=

Não levamos em consideração a ordem, nem a repetição dos elementos.O conjunto {x; x; x; y; y; z } = { x; y; z }.

Cardinal = nº de elementos.

n(A) = nº de elem. de A

5

3

Exemplo: Se A = {2;4;6;{8};10}

( ) A2( ) A}8{

( ) A}2{

( ) A8

( ) A6( ) A}2{

( ) A0( ) A2

INCLUSÃODizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se A for uma parte de B.

NOTAÇÃO : A BSe lê : A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.

1

2

A

1

2

1

2

1

2

1

2

A A A A

A1 A2 A2;1 A

PROPRIEDADES:

I ) Todo conjunto está contido em si mesmo. A A

II ) O conjunto vazío está contido em qualquer conjunto. A

Seja o conjunto A = { , 1 , 2, { 1 } }, então :

..... A

1 ..... A

2 ..... A

{ 1 } ..... A

..... A

{ , 1 , 2, { 1 } } ......... A

{ } ..... A

1{ } ..... A

2{ } ..... A

{ 1 }{ } ..... A

1 , 2{ } ..... A

76

556

A B

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

B

A B A A B

B

A U B = { x / x Є A ou x Є B }

76

556

AB

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

AB

A A BB

A B = O

A ∩ B = { x / x Є A e x Є B }

76

556

A B

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

B

A – B = ? B – A = ?

A B A B A BA BA AB

B - A = O

76

556

A B

A B

A B x /x (A B) x (B A)

Exemplo:

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4 8;9

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A BA-B B-A

A B

COMPLEMENTAR :

AB

A B A

B

CAB(complementar de B em relação a A )

Obs: CAB= A - B

EX: A = { 1, 3 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 }

CBA= { 2 , 4 }

Pág. 236

A B

4

5

E6

7

1

2 3

{ 3, 4, 5 }

A tabela expressa o número de cursos oferecidos, em uma faculdade, por turno.Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece um total de cursos igual a :

A) 25 C) 20 E) 10

B) 22 D) 15

3Matutino, Vespertino e Noturno4Vespertino e Noturno4Matutino e Noturno5Matutino e Vespertino6Noturno9Vespertino

10MatutinoNº. DE CURSOSTURNO

(01) A pesquisa envolveu 500 pessoas .

(02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento .

(04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação .

(08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela .

(16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa .

ATIVIDADES N°. DE PESSOAS

Alongamento 109

Hidroginástica 203

Musculação 162

Alongamento e hidroginástica

25

Alongamento e musculação

28

Hidroginástica e musculação

41

As três atividades

5

Outras atividades

115

a b c

Nº 1 Nº 2

acertaram pelo menos uma 80

a + b + c = 80

acertaram a nº 1 70

a + b = 70

acertaram a nº 2 50

b + c = 50

a + b + c = 80a + b = 70

c = 10

b + c = 50c = 10

b = 40a + b = 70a = 30

OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

CRQ’Q

ZN

?

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) NÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela

necessidade de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

1

2

3

4N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }


2) NÚMEROS INTEIROS

• Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era impossível.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Z

N ZN

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros ? “

Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários.


3) NÚMEROS RACIONAIS

Q = Z { números fracionários }

N ZQ

N Z Q

1. O produto das dízimas periódicas 0,1666... e 0,666... É a dízima periódica 0,XXX..., sendo X um algarismo não nulo. O valor de X é

9(E)

8(D)

6 (C)

3 (B)

1(A)

(01) Se x = 0,666... , y = -

1,333... e z = 12,444...,

então

= 6,222.... .yx

z

Ao aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguimos

encontrar um número racional para essa medida.


2 3

4) NÚMEROS IRRACIONAIS

Ex.: N Z

Q Q’

Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Podemos dizer, portanto que número real é todo número

decimal, finito ou infinito.

CONJUNTOS NUMÉRICOS5) NÚMEROS REAIS

N ZQ Q’

R

Símbolos de exclusão:

* Exclui o zero.

+ Exclui os negativos.

- Exclui os positivos.

A* = números não nulos.

A+ =A+ = números não negativos.

A -- = números não positivos.A*

+ = números positivos.

A*-- = números negativos.

vFFvvvFv

A = { 0, 2 ,4 ,6 ,8, 10, ...}

B = { -1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }

C = { 0, 1 ,2 ,3 ,4 }

BX 2

4-11

3

0

5

Intervalos

[a; b] = { x Є R/ a ≤ x ≤ b } = a b

]a; b[ = { x Є R/ a < x < b } = a b

[a; b[ = { x Є R/ a ≤ x < b } = a b

]a; b] = { x Є R/ a < x ≤ b } = a b

[a; +∞[ = { x Є R/ x ≥ a } = a

]- ∞; a[ = { x Є R/ x < a } = a

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