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O Grupo de Galois de xn-xn-1-...-x-1.

Marcos Goulart Lima

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O Grupo de Galois de xn-xn-1-...-x-1

Marcos Goulart Lima

Orientador: Prof. Dr. Daniel Levcovitz

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática.

USP – São Carlos Dezembro/2008

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 2 de dezembro de 2008 Assinatura: natura:___________________________

Agradecimentos

A Deus por me fazer lembrar a todo instante que o importante na minha vida e Ele.

Ao meu orientador Professor Doutor Daniel Levcovitz pela paciencia e disposicao nos

seminarios e principalmente na elaboracao da dissertacao.

Ao Professor Doutor Paulo Agozzini Martin por escrever o artigo que gerou essa dis-

sertacao e por responder meus e-mails.

Ao Professor Doutor Eduardo Tengan pela disposicao de atencao e tempo. E por ter

entrado no ICMC-USP em momento oportuno para mim.

Aos meus irmaos em Cristo da Igreja Batista Maranata por suas oracoes e pelos

momentos que passamos juntos. Em especial ao Pastor Idalmar e a Dona Lu por me

hospedar com tanto carinho nos finais de semana.

A toda minha famılia pelo sustento financeiro, sentimental e espiritual.

Aos meus pais Almir e Dalva; e meus irmaos Filipe e Ana Paula. Desculpem mas eu

nao encontrei palavras que expressam meu agradecimento.

A Helen pela amizade, companheirismo, paciencia, fe e amor; pelas discussoes, brigas

e reconciliacoes; pelos incansaveis ”eu te amo”e por fazer parte da minha vida.

Ao meu amigo Samid pelas horas jogando conversa fora e jogando video game.

Aos meus amigos e colegas da USP de Sao Carlos e da UNESP de Rio Claro. Em

especial: Eduard, Fabio, Lucas, Paulo Liboni, Paulo Mendes e Thaıs pelo tempo de

estudo, RPG e conversa muito bem gasto.

Aos funcionarios e docentes do ICMC pela competencia e profissionalismo.

A CNPQ pelo apoio financeiro.

ii

Resumo

Nessa dissertacao provamos que se n e um inteiro par ou primo, entao o Grupo de

Galois de xn−xn−1−· · ·−x−1 e o grupo simetrico Sn. Essa famılia de polinomios surge

naturalmente de uma generalizacao da sequencia de Fibonacci.

iv

Abstract

In this dissertation we prove that if n is even integer or a prime number, then the

Galois Group of xn − xn−1 − · · · − x − 1 is the symmetric group Sn. This polynomial

family arises quite naturally from a kind of generalized Fibonacci sequence.

vi

Introducao

Trabalhando com a teoria de Galois rapidamente se observa que descobrir o grupo de

Galois de um polinomio em geral nao e uma tarefa facil. Nao existe uma formula ou um

metodo padrao para esse fim. Assim, uma alternativa e buscar famılias de polinomios e

investigar seu grupo de Galois. Aqui apresentamos o resultado para o polinomio

fn(x) = xn − xn−1 − xn−2 − ...− x− 1, n par ou primo.

Uma excelente ferramenta para caracterizar o grupo de Galois de uma extensao pode

ser encontrada na Teoria Algebrica de Numeros. Para toda extensao de Q, o grupo de

Galois e gerado pelos subgrupos de inercia dos primos que se ramificam. Entao, se obter-

mos informacoes sufucientes sobre esses subgrupos de inercia podemos obter propriedades

ou ate mesmo caracterizar o grupo de Galois da extensao. E e justamente essa a tecnica

usada nesta dissertacao.

Para leitura dessa dissertacao assumimos um conhecimento basico de Teoria Algebrica

de Numeros, como em [6], por exemplo. No entanto, nao assumimos um conhecimentos

de Corpos Locais e de fato, vamos demonstrar a maioria dos resultados sobre esses corpos

utilizados nessa dissertacao.

Partindo do pressuposto que o leitor tenha conhecimentos de Algebra Comutativa, a

primeira secao do capıtulo 1 constroi as bases da Teoria Algebrica de Numeros que serao

utilizadas como: elemento inteiro, definicoes e teoremas relativos ao ındice de ramificacao

e o grau de inercia da decomposicao de um ideal primo em uma extensao, e um criterio

para que um primo se ramifique em uma extensao.

A proxima secao e uma preparacao para o estudos de Corpos Locais onde definimos o

corpo Qp, que e um corpo completo, de duas maneiras distintas: usando limite projetivo

e o completamento em relacao a uma valorizacao de Q. Enunciamos tambem o teorema

de Hensel.

Na secao 1.3 esta o estudo de Corpos Locais. A definicao do ındice de ramificacao e grau

de inercia para valorizacoes e a relacao entre subgrupo de inercia e a extensao maximal

viii

nao ramificada de um Corpo Local tambem sao apresentadas nessa secao. Terminamos o

capıtulo com a regra de sinal de Descartes que sera usada na investigacao das raızes do

polinomio fn(x) = xn − xn−1 − xn−2 − ...− x− 1.

O capıtulo 2 trata das contas relativas ao polinomio e seu grupo de Galois. Na primeira

secao damos uma justificativa para o interesse nesse polinomio. A secao 2.2 trata das

caracterıstica do polinomio: raızes, irredutibilidade e o discriminante.

Finalmente nas secoes 2.3 e 2.4 esta demonstrado que o Grupo de Galois do polinomio

fn(x) = xn − xn−1 − xn−2 − ...− x− 1 e Sn, para n par ou primo. No caso de n par isso

e feito usando a teoria de Corpos Locais e no caso de n primo usando propriedades de

grupo de permutacoes e teoria de Corpos Locais. Resta observar que para n ımpar nao

primo nao se conhece ainda qual e o grupo de Galois do polinomio fn(x).

ix

Sumario

Sumario ix

1 Preliminares 3

1.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 O corpo Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Corpos locais e suas extensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Regra do sinal de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 O polinomio xn − xn−1 − · · · − x− 1 20

2.1 Origem do polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Raızes, irredutibilidade e discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 O caso n par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 O caso n primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Referencias Bibliograficas 33

1

CAPITULO 1

Preliminares

Neste capıtulo apresentaremos definicoes e teoremas necessarios para leitura desta dis-

sertacao. Tomamos como ponto de partida um curso inicial de teoria algebrica de numeros,

como em [6], por exemplo. Primeiro serao enunciados alguns teoremas e definicoes basi-

cas. Depois daremos duas definicoes para o corpo dos numeros p-adicos Qp. Em seguida

apresentamos alguns resultados sobre Corpos Locais. Por ultimo, demonstraremos um

teorema que nao esta diretamente relacionados a Teoria Algebrica de Numeros.

1.1 Conceitos basicos

Definicao 1. Sejam B uma anel e A um subanel de B. Um elemento b ∈ B e inteiro sobre

A se e raiz de um polinomio monico em A[x]. Seja p(x) ∈ A[x] um polinomio monico tal

que p(b) = 0. A relacao p(x) = 0 e chamada de relacao de dependencia integral de b sobre

A.

Teorema 2. Seja B um anel, A um subanel de B e x ∈ B. Sao equivalentes

1. x ∈ B e inteiro sobre A.

2. O anel A[x] e um A-modulo de finitamente gerado.

3. Existe um subanel C de B tal que C contem A e x, e C e um A-modulo finitamente

gerado.

Demonstracao: [6], pag. 28.

Definicao 3. Sejam B um anel e A um subanel de B. O conjunto A′ dos elementos de

B que sao inteiros sobre A e um anel. O anel A′ e chamado de fecho integral de A em B.

3

1.1. Conceitos basicos

Definicao 4. Sejam A um domınio de integridade e K seu corpo de fracoes. O fecho

integral de A em K e chamado de fecho integral de A. O anel B e dito integral sobre A

se todo elemento de B e inteiro sobre A. O anel A e dito integralmente fechado se todo

elemento de K que e inteiro sobre A esta em A.

Definicao 5. Sejam L ⊃ K uma extensao Galoisiana e G = Gal(L/K). Seja x ∈ L. A

norma de x relativa a L e K e dada por

NL/K(x) =∏σ∈G

σ(x).

O traco de x relativo a K e L e dado por

TrL/K(x) =∑σ∈G

σ(x).

Teorema 6. Sejam A um domınio de integridade e K seu corpo de fracoes. Seja L

uma extensao finita de K e x ∈ L inteiro sobre A. Assuma que K possui caracterıstica

zero. Entao os coeficientes do polinomio minimal de x em K sao inteiros sobre A. Em

particular, NL/K e TrL/K sao inteiros sobre A.


Definicao 7. Sejam B um anel e A um subanel de B tal que B e um A-modulo livre

de posto finito n. Para (x1, · · · , xn) ∈ Bn o discriminante do conjunto (x1, · · · , xn) e o

elemento de A dado por

D(x1, · · · , xn) = det(TrB/A(xixj)).

Definicao 8. Um domınio de integridade A e chamado um domınio de Dedekind se e

Noetheriano, integralmente fechado e todo ideal primo nao nulo e maximal.

Teorema 9. Sejam A um domınio de Dedekind e K seu corpo de fracoes. Sejam L ⊃K uma extensao finita de K e B o fecho integral de A em L. Assuma que K e de

caracterıstica zero. Entao A′ e um domınio de Dedekind e um A-modulo finitamente

gerado.


Definicao 10. Sejam A um domınio de integridade e K seu corpo de fracoes. Todo

A-submodulo I de K para o qual existe d ∈ A \ 0 tal que d.I ⊂ A e chamado ideal

fracionario de A(ou de K com respeito a A).

Teorema 11. Sejam A um domınio de Dedekind e P o conjunto de ideais primos nao

nulos de A. Entao:

4

1.1. Conceitos basicos

1. Todo ideal fracionario nao nulo I de A pode ser unicamente expresso da forma

I =∏p∈P

pnp(I),

onde p ∈ P , np(I) ∈ Z e np(I) = 0 para quase todo p ∈ P .

2. O monoide dos ideais fracionarios nao nulos e um grupo.


O teorema acima mostra que em um domınio de Dedekind todo ideal pode ser fatorado

como produto de idais primos.

Definicao 12. Sejam A um domınio de Dedekind de caracterıstica zero e K seu corpo

de fracoes. Sejam L ⊃ K uma extensao finita de grau n e B o fecho integral de A em L.

Sejam p um ideal primo de A e Bp o ideal em B gerado por p. Pelo teorema 11 podemos

escrever Bp da forma

Bp =

q∏i=1

P eii ,

onde os P ′is sao ideais primos distintos de B e e′is sao inteiros positivos.

-O expoente ei e chamado indice de ramificacao de Pi sobre A.

-Como B e um A-modulo finitamente gerado entao B/Pi e um espaco vetorial de

dimensao finita sobre A/p. A dimensao fi de B/Pi como espaco vetorial de dimensao

finita sobre A/p e chamado de grau de inercia de Pi sobre A, isto e, fi = [B/Pi : A/p].

Definicao 13. Os ideais primos P ′is que aparecem na fatoracao de Bp em B sao ditos

acima de p ( ou sobre p).

Teorema 14. Com as notacoes da definicao 12:

q∑i=1

eifi = [B/Bp : A/p] = n.


Definicao 15. Com as notacoes da definicao 12 dizemos que um primo p de A se ramifica

em B se qualquer um dos ındices de ramificacao e maior que 1.

Definicao 16. Sejam K um corpo e L ⊃ K uma extensao. Sejam A e B os aneis de

inteiros de K e L respectivamente. O discriminante de B sobre A (ou de L sobre K) e

o ideal de A gerado pelo discriminante das bases de L sobre K que estao contidas em B.

Notacao DB/A.

Teorema 17. Um ideal primo p de A se ramifica em B se, e somente se, p contem o

discriminante DB/A. Existe somente um numero finito de primos de A que se ramificam

em B.

5

1.2. O corpo Qp


Teorema 18. (Hermite-Minkowski) Seja K uma extensao finita de Q o corpo dos numeros

racionais, K 6= Q. Entao o discriminante DK/Q 6= ±1.


Nos teoremas a seguir usaremos as seguintes hipoteses: sejam A um domınio de

Dedekind e K seu corpo de fracoes, K de carcterıstica zero. Sejam K ′ ⊃ K uma en-

tensao Galoisiana de grau n com G o grupo de Galois de K ′ sobre K e A′ o fecho integral

de A em K ′.

Teorema 19. Se p e um ideal primo de A entao os ideais primos Pi de A′ que aparecem

na fatoracao de A′p como produto de ideais primos de A′ sao todos conjugados. Eles

possuem o mesmo ındice de ramificacao f e o mesmo grau de inercia e. Assim

A′p = (

q∏i=1

Pi)e

e n = efq.


Definicao 20. Seja Pi um ideal primo sobre p. O conjunto D dos σ ∈ G tais que

σ(Pi) = Pi e chamado de grupo de decomposicao de Bi. O subgrupo normal I de D

composto dos elemento de G que satisfazem σ(x)−x ∈ Pi para todo x ∈ A′ e chamado de

subgrupo de inercia de Pi.

Teorema 21. Seja P ′ um ideal maximal de A′ e assuma que A/p e finito ou de caracterıs-

tica zero. Entao A′/P ′ e uma extesao Galoisiana de grau f de A/p e a aplicacao σ → σ e

um homomorfismo sobrejetor de D no grupo de Galois de A′/P ′ sobre A/p. Alem disso,

|I| = e. AssimD

I∼= Gal(A′/P ′/A/p).

Demonstracao: [6] pag. 90.

Corolario 22. Um ideal primo p de A nao se ramifica em A′ se, e somente se, o grupo

de inercia I de P ′ e trivial para todo P ′ sobre p.

1.2 O corpo Qp

Definicao 23. Seja (G,+,≤) um grupo ordenado e ∞ um sımbolo formal satisfazendo

g +∞ = ∞ e g < ∞ para todo g ∈ G ∪ ∞. Uma valorizacao v de um corpo K com

valores em G e uma aplicacao v : K → G que satisfaz

• v(xy) = v(x) + v(y);

6

1.2. O corpo Qp

• v(x+ y) ≥ minv(x), v(y);

• v(x) =∞⇔ x = 0.

Se v e identicamente zero em K∗ dizemos que a valorizacao v e trivial.

Se G e um subgrupo discreto de R (por exemplo Z), dizemos que v e uma valorizacao

discreta e chamamos K de corpo de valorizacao discreta.

O conjunto A = x ∈ K tal que v(x) ≥ 0 e um anel local, chamado de anel de

valorizacao de K (anel de valorizacao discreta, no caso de v ser discreta). Seu ideal

maximal e o conjunto M = x ∈ K tal que v(x) > 0, que e principal; qualquer gerador

deste ideal e chamado de uniformizante local de v.

Exemplo 24. Seja p ∈ Z primo. Dado x ∈ Q podemos escrever x = pn. rs, com n ∈ Z e

rs∈ Q tal que (p, r) = (p, s) = 1. Defina vp(x) = n. Isso define uma valorizacao discreta

em Q.

Uma construcao analoga e obtida se tomarmos p(x) ∈ k[x], onde k e um corpo e p(x)

e irredutıvel. Dado f(x) ∈ k[x] podemos escrever f(x) = p(x)n. r(x)s(x)

, com n ∈ Z e com

r(x), s(x) ∈ k[x] tais que (p(x), r(x)) = (p(x), s(x)) = 1. Definimos vp(x) = n, que e uma

valorizacao discreta em k(x).

Usando a valorizacao podemos definir uma norma em um corpo:

Definicao 25. Seja v uma valorizacao em um corpo k. Defina uma norma em k por:

|x|v = p−v(x)

onde p ∈ Z e primo e p−∞ = 0.

E facil ver que |.|p define uma norma em k.

Obtemos assim nossa primeira definicao de Qp. Seja Q o corpo dos numeros racionais,

vp(x) uma valorizacao definida como no exemplo 24 e |x|v = p−vp(x) uma norma em Q.

Observe que (Q, |.|vp) nao e um espaco metrico completo.

Definicao 26. Qp e o completamento do espaco metrico (Q, |.|v).

Outra maneira de definir Qp e atraves do limite projetivo.

Definicao 27. Um conjunto parcialmente ordenado (I,≤) e direto se dado qualquer par

i, j ∈ I, existe k ∈ I tal que i ≤ k e j ≤ k.

Definicao 28. Seja (I,≤) um conjunto ordenado direto. Um sistema projetivo de grupos

( ou aneis, ou espacos topologicos,...) e uma famılia de grupos (Gi)i∈I e aplicacoes φji :

Gj 7→ Gi, i ≤ j, tais que

1. φii = idG, para todo i ∈ I;

2. φki = φji φkj para toda tripla i ≤ j ≤ k em I.

7

1.2. O corpo Qp

O limite projetivo sobre um sistema projetivo e um grupo ( ou anel, ou espaco topologico,...)

G =i∈Ilimoo Gi

junto com aplicacoes φi : G→ Gi tais que o diagrama

Gφj //

φi

@@@

@@@@

@ Gj

φjiGi

comuta pra todo i ≤ j.

O limite projetivo e caracterizado pela seguinte propriedade universal: dado um grupo

T e morfismos gi : T → Gi tais que gi = φji gj para todo i ≤ j, entao existe um unico

g : T → G tal que gi = φi g para todo i ∈ I.

Uma construcao para G e como o subgrupo do produto∏

i∈I Gi das uplas ”coerentes”,

isto e,

G = (σi) ∈∏i∈I

Gi

∣∣φji(σj) = σi para todo i ≤ j.

Definimos Zp, o anel dos inteiros p-adicos como:

Zp =n∈Nlimoo Z

(pn)∼= (fn) ∈

∏n∈N

Z(pn)

∣∣fm ≡ fn mod pn para todo n ≥ m

Seja f = (fn) ∈ Zp, escolha Fn o unico representante de fn ∈ Z(pn)

com 0 ≤ Fn ≤ pn.

Escrevendo Fn na base p temos

Fn = a0 + a1p+ a2p2 + ...+ an−1p

n−1, 0 ≤ ai < p.

Para todo m ≤ n e possivel escolher Fm, um unico representante de fm tal que 0 ≤ Fm ≤pm. Como Fm = Fn mod p

m temos

Fm = a0 + a1p+ a2p2 + ...+ am−1p

m−1, 0 ≤ ai < p.

Podemos ver Fm como Fn truncado no (m + 1)-esimo termo. Logo um inteiro p-adico

corresponde unicamente a sequencia de inteiros da forma

(a0, a0 + a1p, a0 + a1p+ a2p2, ...) 0 ≤ ai < p

que e mais usualmente denotado por

a0 + a1p+ a2p2 + ... com 0 ≤ ai < p.

8

1.3. Corpos locais e suas extensoes

Definicao 29. Qp e o corpo de fracoes de Zp

Em Qp podemos definir a valorizacao v(f) = n ∈ Z se f possui a fatoracao f = pn.u

com u ∈ Z∗p. Note que se f = a0 + a1p + a2p2 + ... com 0 ≤ ai < p entao

v(f) = minn ∈ Z | an 6= 0.Qp e um espaco metrico completo com a norma |x|(v) = q−v(x), q ∈ Z primo.

Teorema 30. (Lema de Hensel.)

Seja K um corpo de valorizacao completo com anel de valorizacao de A. Seja M

seu ideal maximal e f(x) ∈ A[x] um polinomio monico de grau n sobre A. Para cada

polinomio h(x) ∈ A[x], denotaremos por h a reducao do polinomio modulo M . Se α(x) e

α′(x) sao monicos e relativamente primos sobre A/M de grau r e n− r respectivamente,

tais que f(x) = α(x)α′(x), entao existem dois polinomios monicos g(x), g′(x) ∈ A[x],

relativamente primos, de graus r e n− r respectivamente, tais que g(x) = α(x) e g′(x) =

α′(x) e f(x) = g(x)g′(x).

Demonstracao: [10], pg. 279.

Corolario 31. Mantendo a notacao do teorema e tomando v como a valorizacao de K,

se f(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0 e um polinomio irredutıvel em K[x] entao

min1≤i≤n

v(ai) = minv(a0), v(an).

Em particular, se an = 1 e a0 ∈ A entao ai ∈ A para todo i.

Demonstracao: Escolha i o menor inteiro tal que o mınimo de v(aj), 0 ≤ j ≤ nseja atingido. Suponha que 0 < i < n e defina p(x) = a−1

i f(x). Como v(ai) ≤ v(aj) entao

v(a−1i .aj) = v(aj) − v(ai) ≥ 0, logo p(x) ∈ A[x]. Alem disso p(x) 6= 0 em A/M , pois o

coeficiente de xi e igual a 1. Para todo elemento em que o mınimo nao e atingido em f

o corresponde em p se anula, e isso acontece para todo j < i, pela definicao de i. Entao

p(x) = xig0(x), com g0(0) = 1 e g0 e xi primos entre si ( g0 e nao constante pois i < n

e g0 6= p pois i > 1). Logo, pelo lema de Hensel, p(x) se fatora de maneira nao trivial e

portanto f(x) nao e irredutıvel.

1.3 Corpos locais e suas extensoes

Nesta secao nos restringiremos a valorizacoes em corpos locais.

Definicao 32. Um corpo local e uma extensao finita L, de Qp ou de Fp((t))1.

O primeiro resultado sobre corpos locais e que a extensao de uma valorizacao e unica

e podemos explicitar sua formula a partir da valorizacao do corpo base.

1Fp((t)) = corpo de fracoes de (Fp[[t]]), onde Fp[[t]] ∼=n∈Nlimoo Fp[t]

(tn) , Fp o corpo de p elementos

9


Teorema 33. Seja K um corpo local com valorizacao v e L uma extensao finita de K.

Entao existe uma unica valorizacao w em L estendendo v. Ela e dada por

w(x) =1

[L : K].v(NL/K(x)) para x ∈ L.

Alem disso, L e completo com respeito a w.

Demonstracao: Seja OK o anel de valorizacao de K e B o fecho integral de OK em

L.

1. Vamos mostrar que

B = x ∈ L | NL/K(x) ∈ OK. (1.1)

Como OK e DFU entao OK e integralmente fechado em K, logo se x ∈ B entao

NL/K(x) ∈ B ∩K = OK , logo B ⊆ x ∈ L | NL/K(x) ∈ OK.

Seja x ∈ L tal que NL/K(x) ∈ OK , isto e v(NL/K(x)) ≥ 0. Seja f(t) = tn +

an−1tn−1+...+a2t

2+a1t+a0 o polinomio minimal de x sobre K. Usando a definicao 5,

NL/K(x) =∏

σ∈G σ(x), e o fato de a0 ser o produto das raızes do polinomio minimal,

temos NL/K(x) = ±am0 ,m > 0. Logo v(a0) ≥ 0. Pelo corolario 31 concluimos que

f(t) ∈ OK [t], ou seja x ∈ B.

2. Vamos mostrar que a formula (1.1) define de fato uma valorizacao em L. Sejam

x, y ∈ L

• w(x.y) = 1[L:K]

.w(NL/K(x.y)) = 1[L/K]

.(w(NL/K(x)) + w(NL/K(y))) = w(x) +

w(y)

• w(x) =∞⇔ v(NL/K(x)) =∞⇔ NL/K(x) = 0⇔ x = 0

• Observe que se w(x) ≥ 0 entao w(1 + x) ≥ 0. De fato,

w(x) =v(NL/K(x))

[L : K]≥ 0⇒ x ∈ B ⇒ 1 + x ∈ B ⇒ w(1 + x) ≥ 0.

Portanto, se w(x) ≥ w(y) ⇒ (x/y) ≥ 0 ⇒ w(1 + x/y) ≥ 0 ⇒ w(y + x) ≥w(y) = minw(x), w(y).

3. Unicidade:

Suponha que exista w′ uma outra valorizacao em L extendendo w. Entao existe

um elemento b ∈ L tal que w(b) ≥ 0 e w′(b) < 0 ([2], pag. 26). Note que b ∈ B.

Seja f(t) = tn + an−1tn−1 + ...+ a1t+ a0 o polinomio minimal de b sobre K. Como

OK e integralmente fechado f(t) ∈ OK [t] ( [6], pag. 38). Como w(bn) < w(aibi),

1 ≤ i ≤ n, temos:

0 ≤ v(a0) = w′(a0) = w′(−bn − an−1bn−1 − ...− a1b) = w(bn) < 0.

10


O que e um absurdo.

4. (L,w) e um espaco metrico completo:

Sejam ω1, ..., ωn uma base de L sobre K e (xi)i≥1 uma sequencia de Cauchy em L.

Escreva cada termo da sequencia na base escolhida: xi = yi1ω1 + ...yinωn, yij ∈ K.

Como K e completo e L e de dimensao finita sobre K, entao todas as normas de L

sao equivalentes.

Usando a norma do sup considere a sequencia (yij)i≥1. Mostremos que ela e de

Cauchy: seja ε > 0, como (xi)i≥1 e de Cauchy

sup1≤k≤n

|yik − yik| = |xi − xj| < ε

Logo, fixado l temos

|yil − yil| ≤ sup1≤k≤n

|yik − yik| < ε

Como K e completo entao cada sequencia (yij)i≥1 converge para yj ∈ K e portanto,

(xij)i≥1 converge para x = y1ω1 + ...ynωn em L.

A seguir definiremos o ındice de ramificacao e o grau de inercia para corpos locais.

Definicao 34. Sejam K um corpo local com valorizacao v, L uma extensao finita de

K e w a extensao unica de v a L. Sejam π e Π os uniformizantes locais e k e l os

corpos residuais de K e L, respectivamente. Definimos o ındice de ramificacao, eL/K, da

extensao L ⊃ K como o ındice da imagem de v como subgrupo da imagem de w:

eL/K = [w(L∗) : v(K∗)]

Observe que, como v e a restricao de w, podemos ver k como subcorpo de l. O grau de

inercia, fL/K, da extensao L ⊃ K e o grau da extensao de corpos:

fL/K = [l : k].

Afirmacao 35. Seguindo a notacao da definicao 34, temos:

π = u.ΠeL/K , para u ∈ L e w(u) = 0.

Demonstracao: Como π ∈ (Π) escreva π = u.Πe, tal que Π nao divida u. Logo

w(u) = 0. Logo w(π) = ew(Π). Basta mostrar que 0, v(Π), 2v(Π), · · · , (e − 1)v(Π) e

um sistema de representantes para H = w(L∗)/v(K∗). Dado x + v(K∗) ∈ H qualquer,

podemos escrever w(x) = w(uΠm), para algum m ≥ 0. Usando o algoritmo da divisao

11


temos m = q.e + s com q ∈ Z e 0 ≤ s < e. Assim, w(x) = q.w(Πe) + sw(Π). Portanto

w(x) ≡ sw(Π) (mod v(K∗)) com 0 ≤ s < e.

Como o ındice de subgrupo e o grau de extensoes de corpos sao multiplicativos entao

o ındice de ramificacao e o grau de inercia tambem sao. Dadas extensoes finitas de corpos

locais M ⊃ L ⊃ K temos

eM/K = eM/L.eL/K e fM/K = fM/L.fL/K .

Definicao 36. Uma extensao de corpos locais L ⊃ K e nao-ramificada se seu ındice de

ramificacao e 1, eL/K = 1. Uma extensao de corpos locais e totalmente ramificada se o

ındice de ramificacao e [L : K].

Lema 37. Seja K um corpo local com valorizacao v. Defina a norma |x|p = p−v(x) com

p primo. Valem as seguintes propriedades:

1. |x+ y|p ≤ max|x|p, |y|p.

2. A serie∑

n fn converge em K ⇔ |fn| → 0.

Demonstracao: 1- Imediato da definicao de valorizacao.

2- (⇒) vale para todo espaco metrico

(⇐) Seja n0 tal que |fn|p < ε para todo n > n0. Entao, se m > n > n0 temos

|m∑i=1

fi −n∑j=1

fj|p = |fm − fm−1 + ...+ fn+2 + fn+1|p ≤ maxn+1≤i≤m

|fi|p < ε

Logo∑

n fn e de Cauchy e, como K e completo,∑

n fn converge.

Os aneis de valorizacao dos corpos locais sao casos particulares de domınios de Dedekind

([6] pag. 44). No caso dos Corpos Locais os ideais maximais de OK surgem a partir dos

aneis de valorizacao de K. Fixada uma extensao de L de K existe uma unica valorizacao

w de L que estende v de K. Assim, suspeitamos que o mesmo aconteca com os primos

acima de (π). Isso fica explicitado no teorema:

Teorema 38. Seja L ⊃ K uma extensao de corpos locais de grau n. Seja v a valorizacao

em K e w sua unica extensao a L. Denote por OK e OL os aneis de valorizacao de v e

w. Sejam π e Π os uniformizantes locais de v e w, e k e l os corpos residuais de A e B

respectivamente. Entao:

• O ındice de ramificacao e o grau de inercia da extensao L ⊃ K sao finitos;

• OL e o fecho integral de OK em L e e OK-modulo livre de posto n;

• Uma base de OL como OK-modulo e dada por wiΠj|1 ≤ i ≤ f, 0 ≤ j < e, onde

w1, ..., wf ∈ OL sao representantes de uma base de l sobre k;

12


• Em particular, temos a relacao

ef = n.

Demonstracao: Para facilitar as contas vamos normalizar v(π) = 1, entao w(Π) =

1/e. Sejam ω1, ..., ωr ∈ OL cujas imagens em l sao independentes sobre k, queremos

mostrar que o conjunto ωiΠj tal que 1 ≤ i ≤ r, 0 ≤ j ≤ e e linearmente independente

(l.i.) sobre K.

Suponha∑

i,j aijωiΠj = 0 com aij ∈ K nao todos nulos. Multiplique a equacao,

eliminando os denominadores, de maneira que aij ∈ OK e pelo menos um deles seja

uma unidade. Seja j0 o menor inteiro tal que aij0 ∈ OK∗ para pelo menos um i. Logo∑

i aij0ωi 6= 0 (mod(Π)), pois os elementos que sao unidades nao pertencem a Π e ω′is sao

l.i mod Π. Entao

w(∑i

aijωiΠj) > w(

∑i

aij0ωiΠj0) =

j0

e,∀j 6= j0.

Justificando a afirmacao acima:

• se j > j0 :

w(∑

i aijωiΠj) = w(Πj(

∑i aijωi) = jw(Π) + w(

∑i aij) > j0w(Π) + w(

∑i aij) ≥

j0w(Π) = w(∑

i aij0ωiΠj0),

• se j < j0 entao∑

i aijωi ∈ πOL, logo

w(∑

i aijωiΠj) =

∑i uijωi.πΠj = w(Πj+e(

∑vijωi)) = (j + e)w(Π) + w(

∑vijωi)) >

1 ≥ j0e.

Portanto∑

i,j aijωiΠj > 0, que e uma contradicao. Observe que:

1. Afirmacao 1: w(b) ≥ 1⇔ b ∈ πOL. De fato,

-w(b) ≥ 1⇒ b = uΠm ⇒ me≥ 1⇒ m ≥ e⇒ b = uΠe+ξ = (uΠξ)π.

-b = πOL ⇒ b = πb′ = Πeb′ ⇒ w(b) = w(Πe) + w(b′) = 1 + w(b′) ≥ 1.

2. Afirmacao 2: OL/πOL e gerado sobre k pelas imagens de ωiΠj com 1 ≤ i ≤ f e

1 ≤ j ≤ e. De fato, pelo item anterior podemos considerar b ∈ OL − πOL tal que

0 ≤ w(b) < 1. Temos que b e da forma b = uΠj com j = e.w(b) e u ∈ O∗L uma

unidade. Como ω1, ..., ωf e base de l sobre k, podemos encontrar aij ∈ OK tal que

u ≡∑

i aijωi (mod)(Π). Portanto b = Πj(∑

i aijωi + b′Π) =∑

i aijωiΠj + b”, com

w(b”) ≥ j+1e> w(b). Se w(b”) ≥ 1 acabou, caso contrario repito o processo para b”,

e assim por diante ate que w(b(k)) ≥ 1.

Mostremos que todo elemento b ∈ OL pode ser escrito como uma combinacao OK-

linear de ωiΠj tal que 1 ≤ i ≤ f, 0 ≤ j ≤ e( de maneira unica, pois o conjunto e

l.i.).

13


Seja b ∈ OL qualquer, pelas observacoes anteriores podemos escrever

b = c0 + b1π,

com c0 gerado pelo conjunto ωiΠj tal que 1 ≤ i ≤ f, 0 ≤ j ≤ e. O mesmo vale para b1:

b = c0 + c1π + b2π2,

com c1 gerado pelo conjunto ωiΠj tal que 1 ≤ i ≤ f, 0 ≤ j ≤ e. Prosseguindo indutiva-

mente:

b = c0 + c1π + ...+ cnπn + bn+1π

n+1.

Como o a norma do ultimo termo vai para zero , |bn+1πn+1| → 0, entao pelo lema 37

b =∑∞

i=0 ci. Logo b e OK-gerado pelo conjunto ωiΠj tal que 1 ≤ i ≤ r, 0 ≤ j ≤ e.Portanto, OL e um OK-modulo livre de posto ef .

Agora, dado l ∈ L qualquer, seja m suficientemente grande tal que lπm ∈ OL, logo

lπm =∑

i,j aijωiΠj, como L e corpo l = π−m(

∑i,j aijωiΠ

j). Portanto ef = n.

Nos teoremas seguintes desta secao usaremos a seguinte notacao:

OK = anel de valorizacao de v = x ∈ K|v(x) ≥ 0.

mK = ideal maximal de OK = x ∈ OK |v(x) > 0.

Teorema 39. Sejam K um corpo local e L ⊃ K uma extensao nao-ramificada finita.

Seja K ′ uma extensao arbitraria finita de K. Se L′ = LK ′ e o compositum de L e K ′ (

em algum fecho algebrico de K) entao L′ ⊃ K ′ e nao-ramificada.

Demonstracao: Sejam k, k′, l e l′ os corpos residuais de K,K ′, L e L′ respectiva-

mente. Como OL e finitamente gerado como OK-modulo entao OL = OK [θ] com θ ∈ OL

tal que θ ∈ l e um elemento primitivo sobre k. Como OL e integral sobre OK , temos que θ

e integral sobre OK e sobre OK′ , que sao aneis integralmente fechados, logo os polinomios

minimais p(x) e q(x) de θ sobre K e K ′ pertencem a OK [x] e OK′ [x] respectivamente. Alem

disso, a imagem de p(x) ∈ k[x] e o polinomio minimal de θ, se nao fosse assim, terıamos

uma fatoracao de p(x) ∈ k(x) em fatores de grau maior que 1, o que implicaria, pelo lema

de Hensel, que p(x) pode ser fatorado. Logo deg(p(x)) = deg(p(x)) = [L : K] = [l : k].

Como q(x)|p(x) em OK′ [x] entao q(x)|p(x) em k′[x]. Como k e um corpo perfeito entao

p(x), e consequentemente q(x), e separavel. Como q(x) e irredutıvel entao pelo lema de

Hensel q(x) e irredutıvel em k′[x] e portanto e o polinomio minimal de θ ∈ l′ sobre k′.

Portanto, como L′ = K ′(θ) temos que

fL/K ≥ [k′(θ) : k′] = deg(q(x)) = deg(q(x)) = [L′ : K ′].

Por outro lado, fL′/K′ ≤ [L′/K ′] em geral, entao vale a igualdade, provando que L′ ⊃ K ′

e nao ramificada.

14


Definicao 40. Sejam L ⊃ K uma extensao Galoisiana de corpos locais com G =

Gal(L/K), OL o anel de valorizacao de L e mL seu ideal maximal. O grupo de de-

composicao de L/K e o grupo

DL/K = σ ∈ G tal que σ(mL) = mL.

O grupo de inercia de L/K, e o subgrupo normal do grupo de DL/K dado por

I = σ ∈ DL/K tal que σ(x)− x ∈ mL para todo x ∈ OL.

Teorema 41. Seja L ⊃ K uma extensao Galoisiana de corpos locais com G = Gal(L/K)

e seja l ⊃ k a extensao dos correspondentes corpos residuais. Seja I o grupo de inercia

desta extensao. Denote por σ ∈ Gal(l/k) o automorfismo induzido por σ ∈ G em l, o

corpo residual do anel de valorizacao de L. Entao

1. A aplicacao σ → σ induz um isomorfismo entre G/I e Gal(l/k). Em particular

temos |I| = eL/K.

2. O corpo fixo por I, M = LI , e a extensao maximal nao-ramificada de K contida

em L. Em particular, M e Galoisiana sobre K com grupo de Galois cıclico G/I ∼=Gal(l/k).

Dado o teorema anterior temos o seguinte diagrama:

L

M

totalmente ramificada e

K

nao−ramificada f

Demonstracao:

1. Defina a aplicacao φ : G → Gal(l/k) dada por φ(τ) = τ . Mantendo a notacao

do teorema 39 considere θ ∈ OL tal que k(θ) = l. Seja p(x) ∈ OK [x] o polinomio

minimal de θ e q(x) ∈ k[x] o polinomio minimal de θ. Logo q(x)|p(x) em k[x]. Segue

que todas as raızes de q(x) sao da forma a com p(a) = 0 e a ∈ K.

Todo elemento τ0 ∈ Gal(l/k) e determinado por sua acao em θ, que e o elemento

primitivo da extensao. Suponha que τ0(θ) = θj para algum j ≥ 0, tome τ ∈ G tal

que τ(θ) = θj, entao φ(τ) = τ0. Portanto φ e sobrejetora. Alem disso,

kerφ = τ ∈ G tal que τ(x) = x,∀x ∈ l = OL/mL = I.

Portanto φ induz um isomorfismo GI∼= Gal(l/k).

Temos eL/K .fL/K = |G| = |I|.|Gal(l/k)| = |I|.fL/K .

15

1.4. Regra do sinal de Descartes

2. Seja k′ o corpo residual de M = LI . Por definicao o grupo de inercia da extensao

M ⊃ L e:

I ′ = τ ∈ Gal(L/M) tal que τ(x)− x ∈ mL,∀x ∈ OL.

Claramente I ′ ⊂ I e dado σ ∈ I, σ fixa M pela definicao de M , logo σ ∈ I ′. Entao

eL/K = eL/M . Segue que fL/M = 1, o seja M e L possuem o mesmo corpo residual

l, logo fM/K = fL/K . Assim, M e uma extenao Gaolisiana de grau fL/K . Como o

ındice de ramificacao e multiplicativo entao eM/K = 1, provando que M e a extensao

maximal ramificada de K contida em L.

1.4 Regra do sinal de Descartes

Teorema 42. Regra do sinal de Descartes [7]

O numero de raızes reais positivas de um polinomio com coeficientes reais e igual ao

numero de trocas de sinal na lista dos seus coeficientes ou e menor que esse numero por

um multiplo de 2. Como as raızes negativas da equacao f(x) = 0 sao raızes positivas de

f(−x) = 0 a regra tambem serve para contar as raızes negativas.

Demonstracao: Seja f um polinomio de grau n. Sem perda de generalidade podemos

supor

f(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 a0 6= 0.

Definimos:

• V [f(x)] = O numero de variacoes de sinal dos coeficientes,

• P [f(x)] = O numero de raızes positivas de f(x).

Analisemos o caso linear. Suponha f(x) = x + a0 cuja raiz e −a0, que e positiva

quando a0 e negativo e vice-versa.

Sinal de a0 V [f(x)] P [f(x)]

+ 0 0

- 1 1

Observe que:

Se a0 < 0 entao V [f(x)] e impar e se a0 > 0 entao V [f(x)] e par. (1.2)

Mostraremos, por inducao sobre o grau do polinomio f , que:

Se a0 < 0 entao P [f(x)] e impar e se a0 > 0 entao P [f(x)] e par. (1.3)

16


Seja f(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0, a0 6= 0. O caso n = 1 segue do caso linear.

Agora suponha que a hipotese de e inducao valida para todo polinomio de grau menor

que n

• Se a0 < 0.

Como f(0) = a0 < 0 e f e contınua entao f tem uma raiz no intervalo (0,+∞).

Podemos fatorar f(x) = (x − p)g(x) com p > 0 e deg(g) < deg(f). Se c e o termo

constante de g entao c > 0 (−cp = a0). Logo P [g(x)] e par e consequentemente

P [f(x)] = P [(x− p)g(x)] = P [g(x)] + 1

e ımpar.

• Se a0 > 0.

Se f nao possui raızes positivas o resultado e valido.

Se f possui uma raiz positiva podemos fatorar f(x) = (x− p)g(x) com p > 0 e

deg(g) < deg(f). Se c e o termo constante de de g entao c < 0 (−cp = a0). Logo

P [g(x)] e ımpar e consequentemente

P [f(x)] = P [(x− p)g(x)] = P [g(x)] + 1.

Portanto P [f(x)] e par.

Portanto, por (1.2) e (1.3), V [f(x)] e P [f(x)] diferem por um multiplo inteiro de 2.

Mostremos por inducao sobre V [f(x)] que dado p > 0 real entao V [f(x)(x − p)] >

V [f(x)].

Se V [f(x)] = 0, isto e, todos os coeficientes sao maiores ou iguais a zero, entao

V [f(x)(x−p)] > 0, pois o termo constante de f(x)(x−p) e negativo. Suponha o resultado

valido para todo polinomio h(x) com V [h(x)] < l e seja f(x) tal que V [f(x)] = l > 0.

Seja k = maxj, tal que aj < 0, ou seja, a primeira troca de sinal da esquerda para

direita. Entao

f(x)(x− p) = (xn + an−1xn−1 + · · · a1x+ a0)(x− p)

= (xn + · · ·+ ak+1xk+1)(x− p)︸︷︷︸

I

+ (akxk + · · ·+ a1x+ a0)(x− p)︸︷︷︸

II

.

Temos:

(I) = xn+1 + · · · − pak+1xk+1 tem uma troca de sinal,

(II) = ak+1xk+1 + · · · a0p que por hipotese de inducao possui mais de l trocas de sinal.

Portanto, na lista dos coeficientes de f(x)(x− p) ha pelo menos l + 1 trocas de sinal.

17


Concluindo: seja f(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0, a0 6= 0. Se p1, p2, · · · , pm sao

raızes positivas de f(x), entao f(x) = N(x)(x − p1)(x − p2) · · · (x − pm), onde N(x) nao

possui raızes positivas ( mas pode ter trocas de sinal).

V [N(x)(x− p1)(x− p2) · · · (x− pm)] ≥ V [N(x)(x− p1)(x− p2) · · · (x− pm−1)] + 1

≥ V [N(x)(x− p1)(x− p2) · · · (x− pm−2)] + 2

≥ · · ·

≥ V [N(x)(x− p1)] +m− 1

≥ V [N(x)] +m

≥ m.

Portanto

V [f(x)] ≥ m = P [f(x)].

18

CAPITULO 2

O polinomio xn − xn−1 − · · · − x− 1

2.1 Origem do polinomio

A sequencia de Fibonacci e bem conhecida: 1, 1, 2, 3, 5, 8..., obtida somando os dois

termos anteriores para se obter o proximo. Podemos formalizar essa definicao: fixando

elementos iniciais a0 e a1, a sequencia de Fibonacci e dada por:

an = an−2 + an−1.

Defina bn = an+1

an. A sequencia bn converge e vale a formula bn+1bn = bn + 1. Logo o

limite da sequencia satisfaz

x2 = x+ 1,

que e o caso n=2 do polinomio que investigamos. Se generalizarmos a sequencia de

Fibonacci e ao inves de somarmos os dois termos anteriores, somarmos k deles, temos:

an+k = an+k−1 + an+k−2 + · · ·+ an.

Prosseguindo como no caso anterior definimos a sequencia bn = an+1

an.

Observe que:

an+k

an=

an+k

an+k−1

an+k−1

an+k−2

· · · an+1

an= bn+k−1bn+k−2...bn+1bn. (2.1)

Alem disso,

an+k

an=an+k−1

an+an+k−2

an+ · · ·+ an+1

an+anan. (2.2)

20

2.2. Raızes, irredutibilidade e discriminante

Usando (2.1) e (2.2) temos:

bn+k−1bn+k−2...bn+1bn = bn+k−2bn+k−3...bn + bn+k−3bn+k−3...bn + · · ·+ bn+1bn.

Portanto se bn converge entao converge para uma raiz de

xk − xk−1 − xk−2 − ...− x− 1

que e o polinomio que estudaremos.

Defina

fn(x) = xn − xn−1 − · · · − x− 1, n ≥ 2

e

gn(x) = (x− 1)fn(x) = xn+1 − 2xn + 1, n ≥ 2.

O polinomio gn(x) sera muito utilizado ja que, com excessao de x = 1, possui as mesmas

raızes de fn(x).

2.2 Raızes, irredutibilidade e discriminante

Seja n ≥ 2. Entao fn(1) = −(n − 1) e fn(2) = gn(2) = 1. Logo existe uma raiz, que

chamaremos de φn, entre 1 e 2. Pela regra do sinal de Descartes essa e a unica raiz positiva

de fn(x), (teorema 42). Para verificar as raızes negativas usaremos essa regra aplicada a

gn(−x) = (−x)n+1−2(−x)n+1. Se n e par gn(−x) tem uma troca de sinal e portanto uma

raiz negativa, logo fn(x) tem uma raiz negativa (entre -1 e 0 pois fn(−1) = 1 fn(0) = −1).

Se n e ımpar gn(−x) nao tem troca de sinal, logo fn(x) tambem nao e portanto, φn e a

unica raiz real de fn(x).

Teorema 43. [4] Sejam fn e gn ∈ C[z] tal que fn(z) = zn − zn−1 − · · · − z − 1 e

gn(z) = (z − 1)fn(z), para n ≥ 2. Entao

1. fn possui um zero real φn tal que 1 < φn < 2.

2. Toda raiz z 6= φn de fn(x) em C verifica

|z| < 1.

3. Os zeros de fn(z) sao simples.

Demonstracao: 1) Segue da primeira parte desta secao.

2) Como φn e o unico zero real positivo de fn entao, dado x ∈ R,

x > φn ⇒ fn(x) > 0 e 0 < x < φn ⇒ fn(x) < 0. (2.3)

21


Alem disso, como as duas unicas raızes reais positivas de gn sao 1 e φn temos

x > φn ⇒ gn(x) > 0 e 1 < x < φn ⇒ gn(x) < 0. (2.4)

Suponha que fn possua uma raiz complexa z0 com |z0| > |φn| entao zn0 = zn−10 +· · · z0+

1. Daı |z0|n ≤ |z0|n−1 + · · · |z0|+ 1. Portanto fn(|z0|) = |z0|n− |z0|n−1− · · · − |z0| − 1 ≤ 0.

Contradicao por (2.3).

Suponha que fn possua uma raiz complexa z0 com 1 < |z0| < φn, logo

gn(z0) = zn+10 − 2zn0 + 1 = 0⇒ 2zn0 = zn+1

0 + 1⇒ 2|z0|n = |zn+10 + 1| ≤ |z0|n+1 + 1.

Portanto g(|z0|) ≥ 0. Contradicao por (2.4).

Assim as raızes de fn estao no disco fechado de raio 1 centrado no zero ou no cırculo

de raio |φn| e centro zero.

Seja z0 6= φn uma raiz de fn.

• Se |z0| = 1 entao 2 = 2|z0|n = |zn+10 + 1| ≤ |z0|n+1 + 1 = 2.

Uma propriedade conhecidade de numeros complexos e: dado a ∈ C temos, |a+1| =|a|+ 1⇔ a ∈ R. Portanto, z0 ∈ R.

• Se |z0| = φn entao φn+1n + 1 = 2φnn = 2|z0|n = |zn+1

0 + 1| ≤ |z0|n+1 + 1 = φn+1 + 1.

Pelo mesmo argumento do item anterior: z0 ∈ R.

Em ambos os casos concluimos que z0 e real. Contradicao, pois φn e a unica raiz real

positiva e as raızes reais negativas estao no intervalo (−1, 0).

3) Suponha que z0 e uma raiz multipla de fn, logo e uma raiz multipla de gn. Segue

que gn e g′n tem uma raiz em comum. Mas as raızes de g′n(z) = (n+ 1)zn − 2nzn−1 sao 0

e 2nn+1

ambas racionais. Contradicao pois a unica raiz racional de gn e 1. De fato, se pq

e

raiz de f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 entao p|an e q|a0.

Corolario 44. O polinomio fn(x) e irredutıvel sobre Q.

Demonstracao: Suponha que seja possıvel fatorar fn(x) em polinomios de grau

maior ou igual a 1 em Z[x]. Entao fn(x) = ϕ(x)ψ(x), ϕ, ψ ∈ Z[x]. Podemos supor n ≥ 4

e deg(ϕ) ≥ 2, deg(ψ) ≥ 2 pois fn nao possui raızes inteiras. Seja φn a raiz positiva de fn.

Podemos supor ϕ(φn) = 0. Pelo teorema 3, as raızes de fn distintas de φn tem modulo

menor que 1, entao o mesmo acontece com as raızes de ψ. Entao o termo constante de ψ,

que e a multiplicacao dessas raızes nao esta em Z. Contradicao. Logo fn(x) e irredutıvel

em Z[x] e como fn e primitivo entao pelo lema de Gauss fn e irredutıvel em Q[x].

Lema 45. O discriminante Dn de gn(x) e

Dn = (−1)(n+1

2 )[(n+ 1)n+1 − 2n+1nn].

22


Demonstracao: Sejam α1, α2, · · · , αn+1 as raızes de gn(x) em C. Por [1], pag. 81

temos:

Dn = (−1)(n+1

2 )n+1∏i=1

g′n(αi).

Calculando:

g′n(x) = (n+ 1)xn − 2nxn−1 = xn−1[(n+ 1)x− 2n].

Entaon+1∏i=1

g′n(αi) =n+1∏i=1

αn−1i [(n+ 1)αi − 2n].

Mas∏n+1

i=1 αi = (−1)n+1, pois αi’s sao as raızes de gn.

Substituindo,

n+1∏i=1

αn−1i [(n+1)αi−2n] = (

n+1∏i=1

αi)n−1

n+1∏i=1

[(n+1)αi−2n] = ((−1)n+1)n−1

n+1∏i=1

[(n+1)αi−2n],

colocando −(n+ 1) em evidencia e tirando do produtorio temos,

((−1)n+1)n−1

n+1∏i=1

[(n+ 1)αi − 2n] = (−1)(n+1)(n−1)(−1)n+1(n+ 1)n+1

n+1∏i=1

[2n

n+ 1− αi

],

usando que gn(x) =∏n+1

i=1 (x− αi), temos

n+1∏i=1

g′n(αi) = (n+ 1)n+1gn

(2n

n+ 1

), pois n2 + n e sempre par.

Calculando

gn

(2n

n+ 1

)=

(2n

n+ 1

)n+1

− 2

(2n

n+ 1

)n+ 1 =

1

(n+ 1)n+1

[(n+ 1)n+1 − 2n+1nn

].

Portanto

Dn = (−1)(n+1

2 ) [(n+ 1)n+1 − 2n+1nn].

Lema 46. O discriminante dn de fn(x) e

dn =Dn

(n− 1)2.

Demonstracao: Sejam 1 = α1, α2, · · · , αn+1 raızes de gn(x). Usando a seguinte

formula do determinante de gn ([1] pag. 85):

Dn = (−1)(n+1)n

2

n+1∏i=1

∏j 6=i

(αi − αj)2.

23

2.3. O caso n par

Segue que

Dn = (−1)(n+1

2 )n+1∏j=2

(1− αj)2

n+1∏i=2

∏j 6=i

(αi − αj)2

=

[n+1∏j=2

(1− αj)

]2

(−1)(n+1

2 )

[n+1∏i=2

∏j 6=i

(αi − αj)

]2

= (fn(1))2dn

= (n− 1)2dn.

n |dn|2 5

3 22.11

4 563

5 24.599

6 205937

7 26.84223

8 1319.126913

9 28.17.487.2851

10 7.35616734267

11 210.19.131.4550179

12 10607.211723.267679

13 212.6317.1328851967

14 112589.219361.87132013

15 214.241.2347.2879.5484307

16 131.1103237.74329019184449

17 216.83.2376011291.655308793

18 12479.3119618081.1833387643403

19 218.1439.4097227.4142481973103

20 167.1840593902677.1981694167788721

Tabela 2.1: Fatoracao de |dn|.

2.3 O caso n par

Lema 47. Seja f(x) ∈ Z[x]. O grupo de Galois Gal(f(x)/Q) e gerado pelos subgrupos

de inercia de todos os primos que se ramificam em L = cf(f(x)).

24

2.3. O caso n par

Demonstracao: Seja I o subgrupo de G = Gal(f(x)/Q) gerado pelos subgrupos de

inercia dos primos que se ramificam em L. Pelo teorema 39 a extensao LI nao se ramifica.

Como pelo teorema 18 toda extensao de Q se ramifica entao LI = Q, ou seja, I = G.

Lema 48. ([5]). Seja G um grupo de permutacoes do conjunto Ω = 1, 2, · · ·n gerado

por transposicoes. Se G e transitivo em Ω, entao ele e todo o grupo de permutacoes Sn.

Demonstracao: Seja (ij) uma transposicao contida em G e k ∈ 1, · · · , n qualquer.

Como G e transitivo em Sn e gerado por transposicoes entao existe σ ∈ G tal que σ =

(kir)(irir−1) · · · (i2i1)(i1j). Podemos assumir, sem perda de generalidade, que os i′ms,

1 ≤ m ≤ r sao distintos.

-Se im 6= i para 1 ≤ m ≤ r entao σ(ij)σ−1 = (ik).

-Se im = i para algum m entao G contem a permutacao

τ = (kir)(ir−1ir−2) · · · (im+2im+1)(im+1i).

LogoG contem τ(ij)τ−1 = (jk) e portanto contem a permutacao (ij)(τ(ij)τ−1)(ij) = (ik).

Em particular G contem o conjunto (i1), (i2), · · · , (i n− 1)(in), que gera o Sn.

Teorema 49. Seja En = cf(fn(x)/Q) o corpo de fatoracao de fn sobre Q. Sejam p um

primo de Q e P um primo de En acima de p. Se p nao divide dn entao P nao se ramifica,

isto e, IP e trivial. Se p > 2 e divide dn entao IP e gerado por uma transposicao ou IP e

trivial.

Demonstracao: Se p e um primo de Q que nao divide dn entao fn nao tem raızes

multiplas em Fp. Logo, podemos escrever fn = f1 · · · fm com f ′is ∈ Fp[x] monicos e

irreditıveis, 1 ≤ i ≤ m. Podemos considerar fn(x) ∈ Zp[x], onde Zp e o anel dos inteiros

p-adicos. Pelo lema de Hensel podemos levantar a fatoracao de fn a Qp. Assim existem

polinomios hi(x) ∈ Qp[x], 1 ≤ i ≤ m, tais que

• hi = fi;

• deg(fi) = deg(hi);

• hi e monico irredutıvel;

Mostremos que a extensao de Qp gerada pelas raızes de hi, 1 ≤ i ≤ m, e nao-ramificada.

Fixado hi, 1 ≤ i ≤ m, seja θ uma raiz de hi. Como Qp e um corpo local,

[Qp(θ) : Qp] = ef

onde e = eQp(θ)/Qp e o ındice de ramificacao e f = fQp(θ)/Qp e o grau de inercia. Seja l o

corpo residual de Qp(θ) e k o corpo residual de Qp entao f = [l : k] = deg(fi) pois fi e

irredutıvel e fi(θ) = 0. Portanto

f = [l : k] = deg(fi) = deg(hi) = [Qp(θ) : Qp] = ef.

25

2.3. O caso n par

Logo, e = 1.

Se θ′ e outra raiz de hi, usando o mesmo argumento temos que o ındice de ramificacao,

e′, da extensao Qp(θ′)/Qp e 1. Assim temos,

Qp(θ, θ′)

Qp(θ)

tttttttttQp(θ

′)

KKKKKKKKKK

Qp

e=1

KKKKKKKKKK e′=1

sssssssssss

Logo Qp(θ, θ′) e um compositum de extensoes nao-ramificadas de Qp e portanto e nao

ramificada ( teorema 39). Prosseguindo com este argumento concluimos que a extensao

N de Qp gerada por todas as raızes de todos hi’s, 1 ≤ i ≤ m, e nao-ramificada.

Assim, temos o diagrama:

N

P ⊂ En

uuuuuuuuuuQp

e=1

(p) ⊂ Q

vvvvvvvvve

Portanto o primo P nao se ramifica.

Seja p > 2 um primo que divide o discriminante dn. Suponha que p se ramifica em En.

Defina hn = (n + 1)gn(x) − xg′n(x) = −2xn + (n + 1). Entao as raızes de g e g′ sao

raızes de h. Alem disso, sao raızes n-esimas de n+12

. O discriminante de fn e zero em

Fp, portanto fn tem uma raiz multipla, digamos α. Mostremos que essa e a unica raiz

multipla de fn. De fato, qualquer α que e raiz multipla de fn satisfaz

αn =n+ 1

2

e como g′n(α) = 0 temos

(n+ 1)αn − 2nαn−1 = 0.

Como α 6= 0, pois α e raiz de gn, temos

α =2n

n+ 1.

Desta ultima igualdade podemos tirar duas conclusoes:

• α ∈ Fp e a unica raiz multipla de gn, e consequentemente de fn;

• n 6= 0.

26

2.3. O caso n par

Para verificar que esta raiz e dupla usaremos o polinomio h. Note que

h′n(x) = −2nxn−1 so tem zero como raiz, logo h e h′ nao tem raızes em comum. Agora,

se gn possuisse uma raiz tripla entao hn teria uma raiz dupla. Logo gn nao tem raızes

triplas. Logo fn tambem nao tem raızes triplas.

Portanto podemos fatorar fn = f1f2 · · · fm em Fp, onde f1(x) = (x − α)2 e f2 · · · fmsao monicos irredutıveis. Se hi, 1 ≤ i ≤ m e o levantamento de fi em Qp, usando o

argumentos anterior, sabemos que a extensao de Qp gerada pelas raızes de hi, i ≥ 2, e

nao-ramificada.

Seja Ep = cf(fn/Qp) o corpo de fatoracao de fn sobre Qp. Como p se ramifica em En

entao p se ramifica em Ep. Segue que eEp/Qp ≥ 2. Observe que eQp(α′)/Qp ≥ 2, onde α′ e

uma raiz de h1(x), pois se eQp(α′)/Qp = 1 entao pelo teorema 39 temos eEp/Qp = 1. Pelo

teorema 38,

2 = [Qp(α′) : Qp] = eQp(α′)/Qp .fQp(α′)/Qp .

Portanto eQp(α′)/Qp = 2.

Pelo diagrama

Ep = N.Qp(α′)

N

qqqqqqqqqqqq Qp(α′)

OOOOOOOOOOO

Qp

eN/Qp=1

MMMMMMMMMMMMM eQp(α′)/Qp=2

ooooooooooooo

temos eEp/Qp = 2.

Seja P um primo em En sobre p. Temos o diagrama

(En)P = EnQp

P ⊂ En

nnnnnnnnnnnnQp

(p) ⊂ Q

nnnnnnnnnnnnn

Sejam

• DP = Gal((En)P/Qp) o grupo de decomposicao de P ,

• IP o subgrupo de inercia e TP o subcorpo de inercia (que e o corpo fixo de IP ).

Como N/Qp e uma extensao nao-ramificada e pela teoria de corpos locais TP e a extensao

maximal nao-ramificada, entao N ⊂ TP e temos o seguinte diagrama

27

2.4. O caso n primo

(En)P

TP

N

Qp

com [(En)P : TP ] = e(En)P /Qp = 2. Entao, pelo teorema 41, temos:

• |IP | = 2

• IP fixa as raızes de fi, i ≥ 2.

Sejam α′, β raızes de f1(x). Como sao raızes de um polinomio quadratico irredutıvel,

existe τ ∈ IP ⊂ Gal((En)P/Qp) tal que τ(α′) = β e τ fixa todas as outras raızes. Portanto

τ e uma transposicao. Portanto Ip e gerado por uma transposicao.

Corolario 50. Seja Gn o grupo de Galois de fn(x) sobre Q. Entao Gn contem uma

transposicao.

Corolario 51. Seja Gn o grupo de Galois de fn(x) sobre Q. Se n e par entao Gn e gerado

por transposicoes.

Demonstracao: Se n e par entao dn e impar e p = 2 nao se ramifica em En. Logo

todos os primos que se ramificam tem seu subgrupo de inercia gerado por transposicoes.

Pelo teorema 18 sempre existe um primo que se ramifica. Portanto o grupo de Galois e

gerado por transposicoes.

Teorema 52. Seja n um inteiro par. O grupo de Galois de fn e o grupo de permutacoes

de n sımbolos Sn.

Demonstracao: Pelo lema 44, fn e irredutıvel e, portanto, Gal(fn) e transitivo e pelo

corolario 51, Gal(fn) e gerado por transposicoes. Portanto pelo lema 48, Gal(fn) = Sn.

2.4 O caso n primo

Seja p um numero primo e fp(x) = xp− xp−1− · · ·x− 1 a reducao modulo p de fp(x).

A seguir demonstraremos este polinomio e irredutıvel sobre Fp.

Lema 53. Se p e um numero primo entao vale a seguinte formula em Fp[x]:

xpfp(2−1

x) = fp(x).

28

2.4. O caso n primo

Demonstracao: Uma igualdade bastante usada em algebra e:

(xn + xn−1 + · · ·x+ 1)(x− 1) = xn+1 − 1.

Em Fp vale (x− 1)p = xp − 1, entao

fp(x) = xp − xp−1 − · · · − x− 1

= xp − xp − 1

x− 1

= xp − (x− 1)p

x− 1

= xp − (x− 1)p−1.

Logo,

xpfp(2− 1

x) = xp((2− 1

x)p − (1− 1

x)p−1)

= xp(2− 1

xp)− x(x− 1)p−1 (xp = x, ∀x ∈ Zp)

= 2xp − 1− x(x− 1)p−1.

Como gp(x) = (x− 1)fp(x) = xp+1 − 2xp + 1 entao 2xp − 1 = xp+1 − (x− 1)fp(x).

Portanto,

xpfp(2− 1

x) = xp+1 − (x− 1)fp(x)− x(x− 1)p−1

= x(xp − (x− 1)p−1)− (x− 1)fp(x)

= fp(x).

Lema 54. No anel quociente R = Zp[x]

(fp(x))temos ξp = x, onde

ξ = −xp−1 + xp−2 + · · ·+ x+ 3.

Alem disso, x e invertıvel em R e ξ = 2 − 1x

(denotaremos a classe de equivalencia

somente por x).

Demonstracao: Por definicao, gp(x) = (x− 1)fp(x). Como x 6= 1 entao

xp+1 − 2xp + 1 = 0. (2.5)

Reescrevendo

x(xp − 2xp−1) = −1

29

2.4. O caso n primo

mostrando que x e invertıvel em R.

Assim, podemos dividir a equacao acima por x

−1

x= xp − 2xp−1. (2.6)

Dividindo (2.5) por xp

x− 2 +1

xp= 0⇒ x = 2− 1

xp=

(2− 1

x

)p. (2.7)

Por (2.6) temos(2− 1

x

)= 2 +

− 1x

+ 1

(1− x)= 2 +

xp − 2xp−1 + 1

(1− x)= 2 +

−xp−1 + xp + 1− xp−1

(1− x)

= 2 +−xp−1(1− x) + 1− xp−1

(1− x)= −xp−1 +

1− xp−1

(1− x)+ 2 = −xp−1 + xp−2 + · · ·+ x+ 3.

Provando assim o lema.

Teorema 55. O polinomio fp(x) = xp− xp−1− · · · − x− 1 e irredutıvel em Fp, para todo

p primo.

Demonstracao: Como mostrado no lema 53 podemos escrever fp(x) = xp−(x−1)p−1.

Afirmacao: fp(x) nao tem raızes em Fp.De fato, dado m ∈ Fp:-Se m 6= 1 (mod p) entao fp(m) = mp − (m− 1)p−1 = m− 1 6= 0 (mod p).

-Se m = 1 (mod p) entao fp(1) = 1 6= 0 (mod p).

Agora mostremos que fp(x) e irredutıvel.

Suponha que fp seja redutıvel. Entao podemos escrever

fp(x) = f1(x)...fk(x)

tal que deg(fj(x)) = nj > 0 para j = 1, ..., k.

Seja Aj o conjunto de raızes de fj num fecho algebrico de Fp. Se um polinomio h e

irredutıvel de grau n em Fp entao seu corpo de fatoracao e uma extensao de Fp de grau n

cujo grupo de Galois e cıclico gerado pelo automorfismo de Frobenius. Se αj e raiz de fj

entao podemos escrever:

Aj = αj, αpj , · · · , αpnj−1

j .

Considere a aplicacao injetora αjφ7→ 2− 1

αj. Pelo lema 53, φ age como uma permutacao

no conjunto das raızes de fp. O conjunto 2− 1αj, 2− 1

αpj, ..., 2− 1

αpnj−1

j

e uma orbita do

automorfismo de Frobenius, logo esta contido em um unico Am. Mas por 2.7 temos,

αj = 2− 1αpj

=(

2− 1αj

)p, ou seja, αj ∈ Am e, portanto, Aj = Am.

Segue que φ : Aj → Aj dada por φ(β) = 2− 1β

e uma permutacao de Aj.

30

2.4. O caso n primo

Temos as seguintes igualdades:

φ(αpj ) = (2− 1αpj

) = (2− 1αj

)p = αj

φ(αp2

j ) = (2− 1

αp2

j

) = ((2− 1αj

)p)p = αpj

...

φ(αpnj−1

j ) = (2− 1

αpnj−1

j

) = ((2− 1αj

)p)pnj−2

= αpnj−2

j

φ(αpnj

j ) = (2− 1

αpnj

j

) = ((2− 1αj

)p)pnj−1

= αpnj−1

j

i) Segue que φk(αpi

j ) 6= αpi

j para todo k = 1, ..., nj − 1 e φnj(αpi

j ) = αpi−nj

j = αpi

j .

Portanto φ e um nj-ciclo.

ii) Mostremos por inducao que

φk(β) =k − (k + 1)β

(k − 1)− kβ.

Para k = 1:

φ(β) = 2− 1β

= 2β−1β

= 1−(1+1)β(1−1)−1β

.

Supondo a formula valida para k:

φk+1(β) = φk(φ(β)) = φk(2− 1β) =

k−(k+1)(2− 1β

)

(k−1)−k(2− 1β

)= βk−(k+1)(2β−1)

β(k+1)−k(2β−1)= (k+1)−(k+2)β

k−(k+1)β.

Por i) e ii) temos φnj(αj) = αj, ou seja,

nj − (nj + 1)αj(nj − 1)− njαj

= αj ⇒ njα2j − 2njαj + nj = 0. (2.8)

Como supomos fp redutıvel entao 0 < nj < p, isto e, nj 6= 0(mod p). Dividindo a

ultima igualdade por nj obtemos:

α2j − 2αj + 1 = 0⇒ αj − 2 + 1

αj= 0⇒ αj = 2− 1

αj.

Logo, por 2.7, αpj = (2− 1αj

)p = αj.

Entao αj e raiz de xp − x, ou seja, αj ∈ Fp. O que nao acontece, pois mostramos que

fp nao tem raızes em Fp.

Teorema 56. Seja p um numero primo. Entao G, o grupo de Galois de fp(x), e o grupo

simetrico Sp de p sımbolos.

Demonstracao: Um subgrupo de Sp que contem uma transposicao e um p-ciclo e o

Sp, pois Sp = 〈(12...n), (ij)〉 ,∀i, j ∈ 1, 2, ..., p, i 6= j. ([1], pag. 214). Pelo corolario 50,

G contem uma transposicao. Como

Dp = (−1)(p+12 )[(p+ 1)p+1 − 2p+1pp] ≡ (−1)(

p+12 ) 6= 0 (mod p)

entao p nao divide Dp e, consequentemente nao divide dp. Logo p nao se ramifica.

Pelo teorema 55 fp e irredutıvel em Zp, entao pelo lema de Hensel, fp e irredutıvel em

Qp e isto implica que o grupo de Galois Gal(fp/Qp) e cıclico de ordem p. Logo G contem

um p-ciclo e e, portanto, Sp.

31

Referencias Bibliograficas

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[2] Gouvea F.Q.; Primeiros Passos p-Adicos, 170 Coloquio Brasileiro de Matematica,

IMPA.

[3] Lang S.; Algebra. Third Edition, ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY.

[4] Miller M.D.; On generalized Fibinacci Numbers, Amer. Math. monthly 78, (1971)

1108-1109.

[5] Osada H.; The Galois Group of the Polynomials xn + axl + b. Journal of Number

Theory 25, 230-238(1987).

[6] Samuel P.; Algebraic Theory of Numbers. HOUGHTON MIFFLIN COMPANY.

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knot.org/fta/ROS2.shtml.

[8] Stewart I.N.; Galois theory. CHAPMAN & HALL/CRC MATHEMATICS.

[9] Tengan E.; An invitation to Local Fields. Groups, Rings and Groups Rings 2008

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[10] Zariski O. e Samuel P.; Commutative Algebra Vol II. Springer-Verlag.

33

· ao meu orientador professor doutor daniel levcovitz pela paci^encia e disposic~˘ao nos ... aos...

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