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Gestão Administrativa FinanceiraElisiane Freitas, Vanessa Pereira, e Pedro Moura

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PublisherJoaquim Carqueijó

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RedaçãoMatilde Freitas (MTB 67769/SP)

e Saula Lima (MTB 82535/SP)

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3

. . . Guia Aprenda Matemática . . .

Editorial Matemática

Mais do que conhecimento sobre matemática, um examina-dor - seja de Vestibulares ou Concursos - quer que se utilize o raciocínio para traduzir o enunciado em um cálculo matemático e resolver o problema.

Desse modo, percebemos que é a interpretação do problema, e a tradução em linguagem matemática - que antecede a re-solução - que criam uma incógnita que se adequará ao seu conhecimento dos conteúdos matemáticos.

Algumas questões já apresentam uma equação à ser resolvida mas a grande maioria são constituídas por problemas com tex-to descritivo.

Para resolver qualquer problema:

- Leia atentamente o problema até o nal;- Separe os dados fornecidos;- Estabeleça qual é a incógnita;- Monte uma equação que traduza o texto;- Resolva a equação;- Verique se a alternativa é apresentada.

Separe as questões entre fáceis, médias e difíceis e resolva nesta ordem para não perder tempo em um assunto que não domina.

4


Adição

Na operação de Adição juntamos quantidades, ordenando os números em unidades, dezenas, centenas, etc. Veja:

Usando o sinal + a Adição deve iniciar sempre da direita para a esquerda e os elementos devem estar alinhados: unidade sob unidade (U), dezena sob dezena (D) e centena sob centena (C).

C D U 2 1 4 — parcela+ 4 8 3 — parcela 6 9 7 — soma ou total

Usamos a Adição “com reserva” quando os números ultrapas-sam suas ordens, ou seja, o que era apenas unidade, somando-se, vira dezena e unidade. O mesmo ocorre para outras ordens.

C D U 1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela — soma ou total

Somando as unidades (U):

7 unidades + 4 unidades = 11 unidades, que corresponde a 1 dezena e 1 unidade.

5


1

1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela 1 — soma ou total

Escreve-se o primeiro 1 na ordem das dezenas e o outro 1 vai para a ordem das unidades.

O mesmo acontece com as dezenas (D). Soma-se as dezenas:

1 dezena + 9 dezenas + 8 dezenas = 18 dezenas, que correspon-de a: 1 centena e 8 dezenas.

1

1

1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela 8 1 — soma ou total

Escreve-se o 1 na ordem das centenas e o 8 vai para a ordem das dezenas.

Finalizando, soma-se a ordem das centenas (C):

1 centena + 1 centena + 3 centenas = 5 centenas

1

1

1 9 7 — parcela+ 3 8 4 — parcela 5 8 1 — soma ou total

6


Subtração

Na operação de Subtração retiramos uma quantidade menor de outra maior, ordenando os números em unidades, dezenas, centenas, etc. Veja:

Usando o sinal – a Subtração deve iniciar sempre da direita para a esquerda e os elementos devem estar alinhados: unidade sob unidade (U), dezena sob dezena (D) e centena sob centena (C).

C D U 9 7 5 — minuendo- 3 6 1 — subtraendo 6 1 4 — resto ou diferença

Usamos a Subtração “com recurso” quando o minuendo é me-nor do que o subtraendo. Não se pode tirar 8 unidade de 3 uni-dades pois 8 é maior que 3, então pede-se 1 emprestado:

C D U 7 4 3 — minuendo- 3 6 8 — subtraendo 3 7 5 — resto ou diferença

Subtraindo as unidades (U):

3 unidades - 8 unidades não é possível pois 8 é maior que 3.

7


3

7 413 — minuendo- 3 6 8 — subtraendo 5 — resto ou diferença

Portando pede-se emprestando 1 dezena à ordem das dezenas.

Risca-se o 4 na ordem das dezenas (restando 3 dezenas) e em-presta 1 dezena que vai para a ordem das unidades.

Assim é possível subtrair na ordem das unidades (U):

13 unidades - 8 unidades = 5 unidades

O mesmo acontece com as dezenas (D).

Do 3 que restou - 6 não é possível, pois 6 é maior que 3.

6 13

7 413 — minuendo- 3 6 8 — subtraendo 7 5 — resto ou diferença

Portanto pede-se emprestado 1 centena à ordem das centenas.

Risca-se o 7 na ordem das centenas (restando 6 centenas) e empresta 1 centena que vai para a ordem das dezenas.

Assim é possível subtrair na ordem das dezenas (D):

8


13 dezenas - 6 dezenas = 7 dezenas

Finalizando, subtrai-se a ordem das centenas (C):

6 13

7 413 — minuendo+ 3 6 8 — subtraendo 3 7 5 — resto ou diferença

6 centenas - 3 centenas = 3 centenas

Multiplicação

A operação de Multiplicação é uma adição de parcelas iguais pois repete o primeiro número como parcela tantas vezes quan-tas forem as unidades do segundo e vice-versa.

Observe:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 5 x 3 = 15 ou 5 + 5 + 5 = 15 5 3

2 + 2 + 2 + 2 = 8 ou 4 x 2 = 8 ou 4 + 4 = 8 4 2

fatores

fatores

produto

produto

9


1º2º3º

É representada com o sinal “x” (vezes). O multiplicando e mul-tiplicador são chamados fatores, o resultado: produto.

Se multiplicarmos qualquer número por zero, seu produto será sempre zero:

9 x 0 = 0 ou 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Se multiplicarmos qualquer número por um, seu produto será ele mesmo:

9 x 1 = 9, 8 x 1 = 8, 7 x 1 = 7, 6 x 1 = 6, 5 x 1 = 5

A multiplicação ocorre na seguinte sequência: ordem das uni-dades (U); ordem das dezenas (D); ordem das centenas (C).

Da mesma maneira que na Adição, a Multiplicação é feita da direita para a esquerda, dasta vez multiplicando os ordens: uni-dade, dezena, centena, etc.

Veja:

C D U 3 1 2 — multiplicandox 3 6 3 — multiplicador 9 3 6 — produto

Usamos a Multiplicação “com reserva” quando os números ultrapassam suas ordens, ou seja, o que era apenas unidade,

10


1º2º3º

multiplicando-se, vira dezena e unidade. O mesmo ocorre para outras ordens.

3

2

1 9 7 — multiplicandox 3 6 4 — multiplicador 7 8 8 — produto

Multiplicando as unidades (U): 7 unidades x 4 = 28 unidades, que corresponde a 2 dezenas e 8 unidades.

Escreve-se primeiro o 2 na ordem das dezenas e o 8 vai para a ordem das unidades.


Multiplica-se a ordem das dezenas: 9 dezenas x 4 = 36 deze-nas.

Ainda temos que somar as 2 dezenas que sobraram da ordem das unidades, portanto 36 dezenas + 2 dezenas = 38 dezenas.

Escreve-se primeiro o 3 na ordem das centenas e o 8 vai para a ordem das dezenas.

Finalmente, a ordem das centenas (C):

1 centena x 4 = 4 centenas. Ainda temos que somar as 3 cente-

3

2

11


. . . Dica . . .

nas que sobraram da ordem das dezenas, portanto 4 centenas + 3 centenas = 7 centenas que é escrita na ordem das centenas.

Na multiplicação com mais de um multiplicador, achamos o 1º produto parcial pela multiplicação de 243 por 4 = 972.

Logo em seguida, achamos o 2º produto parcial pela multi-plicação de 243 por 1 = 243 e seu resultado é afastado uma casa para a esquerda alinhado abaixo de seu multiplicador.

Os dois produtos (1º e 2º) devem ser somados respeitan-do suas posições.

1

1

2 4 3 — multiplicandox 3 1 4 — multiplicador 9 7 2 — 1º produto+ 2 4 3 — 2º produto 3 4 0 2 — produto nal

Multiplicando as unidades (U):

3 unidades x 4 = 12 unidades, que corresponde a 1 dezena e 2 unidades.

1º2º3º

1

1

1

1

1

1

12


Escreve-se primeiro o 1 na ordem das dezenas e o 2 vai para a ordem das unidades.


Multiplica-se a ordem das dezenas: 4 dezenas x 4 = 16 deze-nas.

Ainda temos que somar as 1 dezena que sobrou da ordem das unidades, portanto 16 dezenas + 1 dezenas = 17 dezenas.

Escreve-se primeiro o 1 na ordem das centenas e o 7 vai para a ordem das dezenas.

Finalmente, a ordem das centenas (C):

2 centenas x 4 = 8 centenas. Ainda temos que somar 1 centena que sobrou da ordem das dezenas, portanto 8 centenas + 1 centena = 9 centenas que é escrita na ordem das centenas.

Com isso temos o 1º produto parcial = 972

Repetindo o processo para o 2º multiplicador (1), sempre da direita para a esquerda, temos o 2º produto parcial = 243 que deve ser posicionado afastado uma casa para a esquerda e so-mado com o 1º produto parcial na posição que se encontra.

13


. . . Dica . . .

O produto nal é a adição do 1º e 2º produtos. Se não há núme-ro para somar (espaços vazios), basta repetir o número.

Multiplicando um número por 10,acrescente um zero à direta desse número, veja:

9 x 10 = 90, 5 x 10 = 50, 15 x 10 = 150, 140 x 10 = 1.400

Multiplicando um número por 100,acrescente dois zeros à direta desse número, veja:

7 x 100 = 700, 3 x 100 = 300, 22 x 100 = 2.200, 120 x 100 = 12.000

Multiplicando um número por 1000,acrescente três zeros à direta desse número, veja:

8 x 1.000 = 8.000, 4 x 1.000 = 4.000,16 x 1.000 = 16.000, 160 x 1.000 = 160.000

Portanto para multiplicar um número por um número decimal (10, 100, 1000...) basta acrescentar a quantida-

de de “zeros” à direita do número.

14


Divisão

A operação de divisão é quando separamos uma quantidade em partes iguais. O sinal que representa a divisão é o “ ÷ ”.

A forma mais tradicional da divisão é colocar os números em uma “chave” que separa os elementos da divisão, veja:

Dividindo 6 ÷ 2 descobrimos primeiro qual número que, multi-plicado por 2, tem resultado igual a 6.

Para ter a certeza deste quociente, escrevemos o produto da mutiplicação 2 x 3 abaixo do Dividendo para então realizar uma subtração.

Se o resultado da subtração é igual a zero (resto = 0) signica que é uma divisão exata. Podemos dizer que 6 é divisível por 2.

Veja outro exemplo de divisão exata:

6 6 66

660

Dr

--x2 2

323

23

dq

dividendoresto

divisorquociente

ou D = d x q + r

resto

6 ÷ 2

15


9 9 99

990

--x3 3

333

33

9 ÷ 3

Veja um exemplo de divisão inexata ou aproximada:

Dividindo 9 ÷ 2 descobrimos primeiro qual número que, mul-tiplicado por 2, tem resultado igual ou próximo (porém nunca maior) a 9.

Para ter a certeza deste quociente, escrevemos o produto da mutiplicação 2 x 4 abaixo do Dividendo para então realizar uma subtração.

Veja que o resultado da subtração 9 -- 8 foi 1, portanto restou 1 tornando a divisão inexata. 9 não é divisível por 2 pois gera resto diferente de zero.

Vejamos um número maior, com mais casas decimais:

resto

9 9 98

981

--x2 2

424

24

9 ÷ 2

x25964 34 25964 347

25964238

347

25964 ÷ 34

16


Perceba que, com mais algarismos no dividendo, temos que agrupar uma quantidade mínima de casas decimais (da esquer-da para a direita) compatíveis com a quantidade de algarismos do divisor.

No caso, não poderíamos agrupar 25 (25964) pois é menor que o divisor (34), portanto agrupamos 259 (25964) que permite a multiplicação 34 x 7 = 238.

Continuando:

Após fazer a subtração de 259 - 238 = 21 deve-se “abaixar”o pró-ximo algarismo em sua posição junto ao resto para realizar nova divisão pelo divisor, permitindo a multiplicação 34 x 6 = 204.

-- -- --x x x25964

238021

259642380216

2596423802160204

347

347

3476

3476--

x25964238021602040012

--

--x25964

2380216020400124

3476

--

17


--x25964

238021602040012400102

34763

--

--x25964

23802160204001240010200022

34763

----

Após fazer a subtração de 216 - 204 = 12 deve-se “abaixar” o próximo algarismo em sua posição para realizar nova divisão pelo divisor.

O que permite a multiplicação 34 x 3 = 102.

Não havendo mais algarismos para “abaixar” o quociente da divisão 25964 ÷ 34 = 763 com resto = 22. Potanto, é uma divi-são inexata.

Existe uma série de regras práticas para vericar se um número é ou não múltiplo de outro, sem precisar efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente no caso de números grandes como o exemplo anterior.

Serve para a divisão exata, ou seja, o resto é zero. Veja os crité-rios de divisibilidade mais comuns:

18


Um número é divisível por 2Quando ele é par

Um número é divisível por 3Quando a soma de seus algarismos é divisível por 3

Um número é divisível por 4Quando termina em dois zeros ou quando o número formado

pelos dois algarismos da direita forem divisíveis por 4

Um número é divisível por 5Quando termina em 0 ou 5

Um número é divisível por 6Quando é divisível por 2 “e” por 3

Um número é divisível por 8Quando os três últimos algarismos formam número divisível por 8

Um número é divisível por 9Quando a soma de seus algarismos forma número divisível por 9

Um número é divisível por 10Quando termina em 0

Um número é divisível por 16Quando termina em quatro zeros ou quando o número forma-do pelos quatro últimos algarismos da direita é múltiplo de 16

Um número é divisível por 25Quando ternina em dois zeros ou quando o número formado

pelos dois últimos algarismos da direita é múltiplo de 25

19


Os Números e suas Denições

Número ParÉ aquele que, quando dividido por 2, tem como resto “zero”

Exemplo:0, 2, 4, 6, 8 ou números terminados por eles.

Número ImparÉ aquele que, quando dividido por 2, tem como resto “um”

Exemplo:1, 3, 5, 7, 9 ou números terminados por eles.

Número NaturalÉ aquele proveniente do processo de contagem.

Exemplo:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Número InteiroÉ o número natural e seu oposto, reunido ao zero.O conjunto de números inteiros é chamado de Z

Exemplo:..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Número OrdinalÉ aquele que indica ordem, posição ou lugar em uma sequência

Exemplo:1º, 7º, 23º, ...

20


Número PrimoÉ um número inteiro que só pode ser dividido

por ele mesmo e pela unidade (1)Exemplo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...

Número FracionárioÉ aquele formado por uma ou várias partes de um número inteiro

Exemplo:1 , 2 , 9 , 6 , ... 4 3 3 2

Número DecimalÉ aquele formado por uma parte inteira (antes da vírgula) e

uma parte decimal (depois da vírgula)Exemplo:

0,9 , 2,5 , 3,158

Número MistoÉ aquele que possui uma parte inteira e uma fracionária

Exemplo:1 2 , ...

3

Cada classe, as ordens dividem-se: Unidades, Dezenas e Centenas:

nidades de Milhão

ezenas de Milhão

entenas de Milhão

nidades de Bilhão

ezenas de Bilhão

. . .

entenas de Milhar

ezenas de Milhar

nidades de Milhar

entenas Simples

ezenas Simples

nidades Simples

4D

1D

1 C

3U

7U

8C

6D

4U

1C

7D

9U

21


Adição e Subtração

Para o conjunto de números inteiros a regra é simples:

• Sinais iguais = somar os valores e atribuir mesmo sinal

Exemplos: -- 4 -- 6 = -- 10 / -- 2 -- 3 = -- 5 / + 1 + 8 = + 9

• Sinais diferentes = subtrair os valores absolutos e atribuir o sinal do número de maior valor

Exemplos: + 7 -- 10 = -- 3 / -- 5 + 9 = + 4 / -- 6 + 2 = -- 4

Com mais números, agrupe os sinais aos números:

Exemplos: -- 2 + 5 -- 7 = ? / + 5 -- 4 -- 3 + 2 + 6 -- 8 = ?

+ 3 -- 7 = -- 4 / + 13 -- 15 = -- 2

. . . Dica . . .

Podemos realizar as adições e subtrações na sequência que aparecem como no 1º caso ou agrupar os positivos (e so-mar) e os negativos (somar e deixar o sinal negativo para o resultado) como no 2º caso respeitando as regras anteriores.

22


Multiplicação e Divisão

Para o conjunto de números inteiros a regra é:

• Sinais iguais = resultado positivo (+)

Exemplos:

+ 3 x + 5 = + 15 / -- 9 : -- 3 = + 3 / -- 5 x -- 2 = + 10

• Sinais diferentes = resultado negativo (-)

Exemplos:

-- 8 : + 2 = -- 4 / 7 x -- 4 = -- 28 / -- 6 : + 2 = -- 3

Com mais números, faça a regra de sinais na sequência:

Exemplos: -- 3 x -- 4 x -- 2 = ? / -- 20 : -- 4 : + 5 = ?

Exemplos: +12 x -- 2 = -- 24 / + 5 : + 5 = + 1

. . . Dica . . .

Acostume-se a agrupar o sinal ao número para não se con-fundir e siga as regras de sinais para cada caso. Se o número não possui sinal signica que ele é positivo (+).

23


Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O MMC de vários números é o menor número que é divisível por eles ao mesmo tempo. Exemplo:

Calcule o MMC de 10 e 20:

Números que podem ser divididos por 10: 0, 10, 20, 30, 40...Números que podem ser divididos por 20: 0, 20, 20, 60, 40...

Veja que o menor múltiplo comum (MMC) entre 10 e 20 é o 20.

Agora um processo mais usado. Calcule o MMC de 8, 10 e 4:

8, 10, 4

8, 10, 4 24, 5, 2

Colocamos os números à serem calcula-dos na sequência e uma barra vertical in-dicando que haverá uma divisão. Os va-lores são divididos pelo mesmo divisor e seu resultado vão abaixo de cada número.

O processo que ocorre é uma divisão simultânea. O menor divisor de 8, 10 e 4 é o número primo “2”. Fazendo a divisão independente: (8 : 2 = 4), (10 : 2 = 5) e (4 : 2 = 2). Note que os resul-tados são colocados abaixo.

24


8, 10, 4 24, 5, 2 22, 5, 1

Com nova divisão simultânea pelo me-nor divisor de 4, 5 e 2 que ainda é o número primo “2”. Fazemos a divisão independente: (4 : 2 = 2), (5 : 2 = não é possível) e (2 : 2 = 1). Para o número que não foi dividido, repete como está.

8, 10, 4 24, 5, 2 22, 5, 2 21, 5, 1 51, 1, 1

8, 10, 4 24, 5, 2 22, 5, 1 21, 5, 1

Com nova divisão simultânea pelo me-nor divisor de 2, 5 e 1 (ainda é o “2”). Fazemos a divisão independente: (2 : 2 = 1), (5 : 2 = não é possível) e (1 : 2 = não é mais necessário).

Finalmente, um divisão simultânea pelo menor divisor de 1, 5 e 1, que agora é o número primo “5”. Fazemos a divisão independente: (1 : 5 = não é mais ne-cessário), (5 : 5 = 1) e (1 : 5 = não é mais necessário). Chegamos ao nal das divi-sões pelos números primos: 2, 2, 2 e 5.

O resultado obtido (lado direito da barra) pode ser escrito:

MMC (8, 10, 4) = 2 x 2 x 2 x 5 = 40 ou 23 x 5 = 40

Portanto o MMC de (8, 10, 4) é 40.

25


Conra pelo outro modo, qual o mínimo múltiplo comum:

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48...Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, 40, 50...

Expressões Aritméticas

Uma vez compreendido as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, podemos aplicá-las em conjunto em uma expressão aritmética. Veja:

12 + 10 5 - 2 x 3 = ?

12 + 2 - 6 = 8

Em primeiro lugar, devemos resolver as multiplicações e as divisões. Achado o resultado, devemos resolver as adições e subtrações na ordem que apa-recem.

. . . Dica . . .

O processo de decomposição de um número em um produ-to de fatores primos é conhecido como FATORAÇÃO.

26


Veja um caso com potências:

53 x 2 - 32 = ?

125 x 2 - 9 = ?

250 - 9 = 241

Veja um caso com parênteses:

3 x ( 4 + 5 ) - 10 : ( 1 + 4 ) = ?

3 x 9 - 10 : 5 = ?

27 - 2 = 25

Quando aparece parênteses em uma expressão, eles devem ser resolvidos em primeiro lugar. Depois seguimos como indicado acima: resolver multiplicações, divisões e depois adições e subtrações.

Quando em uma expressão aritmética aparecem potências, elas devem ser resolvidas primeiro. Depois seguimos resol-vendo as multiplicações, divisões e, por último, as adições e subtrações. Obs: sempre escreva linha a linha para não se perder nos cálculos.

Em expressões matemáticas é comum usar o ponto (.) no lugar do “x” para representar a multiplicação e dois pontos (:) no lugar do “÷” para representar a divisão.

27


Questões

1 - (ENEM - 2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.

A quantidade de cartas que forma o monte é:

a) 21b) 24 Xc) 26d) 28e) 31

2 - (CESGRANRIO - 2010 - Técnico de Contabilidade) Segundo a ANP, Espírito Santo e Rio Grande do Norte estão entre os es-tados brasileiros que mais produzem petróleo, atrás apenas do Rio de Janeiro. Juntos, esses dois estados produzem, anual-mente, 64.573 mil barris. Se a produção anual do Rio Grande do Norte dobrasse, superaria a do Espírito Santo em 2.423 mil barris. Sendo assim, quantos milhares de barris de petróleo são produzidos anualmente no Espírito Santo?

28


a) 20.716b) 22.332c) 31.075d) 36.086e) 42.241 X

3 - (FCC - 2011 - Escriturário) Se x e y são números inteiros tais que x é par e y é ímpar, considere as seguintes armações:

I. x + y é ímpar.II. x - 2y é ímpar. III. (3x) . (5y) é impar.

É correto armar que

a) I, II e III são verdadeirasb) I, II e III são falsasc) apenas I é verdadeira Xd) apenas I e II são verdadeirase) apenas II e III são verdadeiras

4 - (ENEM - 2012) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimen-to ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o es-paço vazio é o do algarismo que João não entendeu.

29


De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo al-garismo que falta no número de protocolo é a de

a) centenab) dezena de milharc) centena de milhar Xd) milhãoe) centena de milhão

5 - (FUMARC - 2010 - Técnico Administrativo) Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus alga-rismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos seus algarismos é 18.

a) 36 Xb) 29c) 63d) 92

6 - (VUNESP - 2011 - Escrevente Técnico Judiciário) Em um trei-namento, o piloto A deu mais voltas completas na pista de tes-tes que seu companheiro de equipe, o piloto B, sendo que a soma do número de voltas dadas por A e por B foi igual a 100. Se dividirmos o número de voltas dadas por A pelo número de voltas dadas por B, o quociente será 5 e teremos um resto igual a 10. Pode-se concluir, então, que a diferença entre o número de voltas dadas por A e por B, nessa ordem, é igual a:

30


a) 85b) 80c) 70 Xd) 65e) 60

7 - (ENEM - 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exem-plo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitá-rias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).

Qual será a economia diária de água obtida por meio da subs-tituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?

a) 24 litrosb) 36 litros Xc) 40 litrosd) 42 litrose) 50 litros

8 - (ENEM - 2012) Uma mãe recorreu à bula para vericar a do-sagem de um remédio que precisava dar a seu lho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.

31


Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu lho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de

a) 12 kg Xb) 16 kgc) 24 kgd) 36 kge) 75 kg

9 - (UFLA - 2013 - Administrador) Em uma repartição com cinco funcionários, um deles cometeu um erro grave. Todos eles sa-bem quem foi o autor desse erro. Esses funcionários têm uma característica muito interessante: quatro deles sempre falam a verdade em qualquer situação, e um deles, às vezes, mente. Um auditor, ao interrogá-los, obteve as seguintes respostas:

Funcionário 1: “sou inocente”Funcionário 2: “o funcionário 3 mentiu”Funcionário 3: “o funcionário 4 é o culpado”Funcionário 4: “o funcionário 2 é o culpado”Funcionário 5: “o funcionário 1 disse a verdade”

É CORRETO armar que o culpado é o:

a) funcionário 1b) funcionário 2 Xc) funcionário 3d) funcionário 4

32


10 - (ENEM - 2011) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de m de ano:

• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa. • Um copo americano cheio de arroz rende o suciente para quatro pessoas. • Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado. • Uma garrafa de vinho serve seis pessoas. • Uma garrafa de cerveja serve duas. • Uma garrafa de espumante serve três convidados.

Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.

Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia. Jornal Hoje. 17 dez. 2010 (adaptado).

Um antrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para re-ceber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o antrião deverá dispor de

a) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.b) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.

33


c) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.d) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.e) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. X

11 - (PUC-PR - 2012 - Técnico Administração) Assinale a alter-nativa correspondente à resolução da seguinte expressão nu-mérica: 15 – {–10 – [–8 + ( 5 – 12 )] – 20}:

a) 20b) 10c) 25d) 15e) 30 X

12 - (CESGRANRIO - 2012 - Técnico de Exploração de Petróleo Júnior) Ao serem divididos por 5, dois números inteiros, x e y, deixam restos iguais a 3 e 4, respectivamente. Qual é o resto da divisão de x . y por 5?

a) 4b) 3c) 2 Xd) 1e) 0

34


13 - (FCC - 2011 - Técnico Judiciário) Considere o número in-teiro e positivo X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 31.692 : (X1Y) = 76, então a soma X + Y é um número:

a) quadrado perfeito.b) menor que 10.c) primo. Xd) divisível por 6.e) múltiplo de 4.

14 - (FUMARC - 2010 - Técnico Administrativo) No produto: A8 × 3B = 3080 as letras A e B representam dois algarismos diferen-tes situados na seqüência de 1 a 9. Logo, A + B é igual a:

a) 8b) 11c) 13 Xd) 14

Gabarito das Questões

1 B 6 C 11 E

2 E 7 B 12 C

3 C 8 A 13 C

4 C 9 B 14 C

5 A 10 E

35


Potenciação

A potenciação é formada por uma base e um expoente. Nada mais é do que um algarismo (base) multiplicado pelo número de vezes iguais de seu próprio algarismo (expoente), veja:

23 = 2 x 2 x 2 = 8

34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

expoente

expoente

base

base

3

4

Expoente par, o resultado será sempre positivo

Expoente ímpar, o sinal do resultado será igual ao da base

(-2)2 = + 4 Obs.: expoente par, resultado positivo

(-3)0 = + 1 Obs.: expoente zero, resultado +1

(-2)3 = - 8 Obs.: expoente ímpar, sinal da base

(-4)1 = - 4 Obs.: expoente um, resultado é a base

(-2)2 = + 4 Obs.: expoente par, resultado positivo

(+2)3 = + 8 Obs.: expoente ímpar, sinal da base

(+2)2 = + 4 Obs.: expoente par, resultado positivo

36


(-4)-8 : (-4)-5 = ? (-4)-8 - (-5) = ? (-4)-8 + 5 = ? (-4)-3

43 x 4-3 = ? 43 + (-3) = ? 43 - 3 = ? 40

Potências de mesma base

Para multiplicação de potências de mesma base o produto é obtido da soma dos expoentes conservando-se a base.

Veja:

55 x 54 = ? 55 + 4 = ? 59

(-2)4 x (-2)3 = ? (-2)4 + 3 = ? (-2)7

3-4 x 36 = ? 3-4 + 6 = ? 32

Para divisão de potências de mesma base o quociente é obtido da subtração dos expoentes conservando-se a base.

Veja:

55 : 53 = ? 55 - 3 = ? 52

2-2 : 25 = ? 2-2 - 5 = ? 2-7

34 : 38 = ? 34 - 8 = ? 3-4

37


Potência de Potência de mesma base

Para potências de potências de mesma base o produto é obtido da multiplicação dos expoentes conservando-se a base.

Veja:

(72)3 = ? 72 . 3 = ? 76 e [(-4)3]-2 = ? (-4)3 . (-2) = ? (-4)-6

Transformação de Potências de expoente negativo

Como existem muitas maneiras (de igualdade) para se escrever um número, veja como cam as potências de expoentes nega-tivos escritos sob outra forma.

Se o expoente de uma potência for negativo devemos inverter a base (não nula) e trocar o sinal do expoente.

Exemplos:

131

13

33

127

3-3 = ?3

= ? = ?

inverter a base

trocar o sinal

( )

38


31

13

-2 2

= ?= ? 9

inverter a base

trocar o sinal

12

1

13

23

18

(-2)-3 = ?3

= ?- - -= ?

inverter a base

trocar o sinal

13

1

14

24

116

(-3)-4 = ?4

= ?- - = ?

inverter a base

trocar o sinal

( )

( )

. . . Importante . . .

Lembre-se sempre das regras de sinais para os expoentes (página 3 desta edição):

Quando o expoente for par o resultado será sempre posi-tivo. Quando o expoente for ímpar o sinal do resultado será igual ao da base.

39


. . . Observação . . .

Quando o índice (n) não aparece no radical ( ) signica que n = 2 (raiz quadrada). Fica subentendido: 2

Radiciação

Em uma Radiciação, que nada mais é do que a operação oposta à potenciação, devemos conhecer suas partes:

am/n = n am

n an é o índicea é o radicando é o radical

Assim, uma potência de expoente racional pode ser escrita da seguinte forma:

Para nos livrarmos do radical ( ), pode-mos escrever de outra forma (potenciação):

n a = x xn = a

40


Potências em Radicais

Radicais em Potências

A base da potência passa a ser o radicando;O demoninador do expoente passa a ser o índice;O numerador do expoente passa a ser o expoente do radicando.

52/3 = ?3 52 = ?

32/6 = ?6 32 = ? 31/3 = ?

36/2 = ?2 36 = ? 33 = ? 27

45/2 = ? 2 45 = ? 2 45 = ?

23/2 = ? 2 23 = ? 2 23 = ? 8

Com essa igualdade podemos transformar potências em radi-cais e (operação oposta) radicais em potências. Exemplos:

A condição para as transformações é que a base seja não nula, ou seja, maior que zero.

41


Concluimos que pode ser escrito:120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 ou 23 x 31 x 51

250 = 2 x 5 x 5 x 5 ou 21 x 53

Máximo Divisor Comum (MDC)

O MDC de vários números é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Exemplo:

Calcule o MDC de 120 e 250:

120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1

250 2 125 5 25 5 5 5 1

Por FATORAÇÃO decompomos os números em fa-tores primos como segue abaixo, veja:

O MDC é formado tomando-se os fatores comuns sempre com o menor expoente.

Portanto concluimos que:

MDC (120, 250) = 21 x 51 = 10. O MDC (120, 250) é 10

42


O MDC é semelhante ao MMC porém,o resultado é o maior divisor comum.

Fração

Nos NÚMEROS RACIONAIS o número é escrito da forma “ ” onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero.

A Fração é uma ou várias partes de um inteiro dividido em par-tes iguais. Veja o exemplo:

ba

1 parte

1 Inteiro dividido em 3 partes iguais


Quando um número não possui expoente, podemos ima-ginar o expoente “1” pois qualquer número multiplicado por 1 tem resultado igual a ele mesmo.

43


O número é escrito da forma: 1 3

NumeradorDenominador

Neste caso, lê-se “um terço” ou “um sobre três”

2248

448

35

Adição e Subtração de Frações

Para somar ou subtrair frações de mesmo denominador basta manter o denominador e fazer a adição ou subtração, veja:

Realizar a adição dos numeradores (3 + 6)Repete o denominador (5)

Realizar a subtração dos numeradores (22 - 4)Repete o denominador (48)

65

95

1848

+

-

=

=

O denominador determina em quantas partes iguais foi dividi-do o inteiro e o numerador determina quantas dessas partes foram consideradas.

No exemplo acima o inteiro foi dividido em 3 partes iguais e foi considerada 1 parte: 1 3

44


Para reduzir o denominador devemos encontrar o MMC (pág. 13) entre eles, então: MMC (3, 5, 6)

Para somar ou subtrair frações de denominadores diferentes basta reduzi-las ao mesmo denominador e aí realizar a adição ou subtração, veja:

23

45

56

+ - = ?

MMC dos denominadores (3, 5, 6) = ?

Dividir por “2”

Dividir por “3”

1848

924

38

Simplificar uma fração significa reduzi-la a um me-nor número, dividindo simultaneamente por um mes-mo divisor, sem alterar seus termos.

Podemos dividir o numerador e o denominador de uma fração até não ser mais possível a simplificação. Veja:

45


3, 5, 6 23, 5, 3 31, 5, 1 51, 1, 1

MMC (3, 5, 6) = 2 x 3 x 5 = 30


230

430

530

+ - =

x x x

(30 ÷ 3) . 2 = 20

(30 ÷ 5) . 4 = 24

(30 ÷ 6) . 5 = 25

?

Com os novos numeradores realize normalmen-te a adição/subtração para eles (20 + 24 - 25)

2030

2430

2530

1930

+ - =

Achado o novo denominador através do MMC, calculare-mos os novos numeradores, separadamente, com a se-guinte regra abaixo descrita:

x =NumeradorNovo

denominadorNovo

numeradorAntigo

denominador

46


Multiplicação e Divisão de Frações

Para multiplicar uma ou mais frações é bem simples, basta multiplicar os numeradores e denominadores separadamente (em linha). Veja:

63

42

35

x x = ?

x

Simplicando

63

7230

42

35

x = 3615

125

Multiplicando a 1ª linha (numeradores), temos 6 x 4 x 3 = 72. Multiplicando a 2ª linha (dos deno-minadores) temos 3 x 2 x 5 = 30.


Quando uma fração não possui denominador, podemos imaginar o denominador “1” pois qualquer número divi-dido por 1 tem resultado igual a ele mesmo.

47


Para dividir mais de duas frações, repetimos a primeira fração e invertemos todas as outras para assim multiplicar em linha. Veja:

SimplicandoInversão

21

21

64

43

34

x= =32

21

43

= ?

Para dividir uma fração, basta inverter a segunda fração e mul-tiplicar os numeradores e denominadores. Veja:

Invertendo a segunda fração podemos multiplicar como no caso anterior (em linha) os numerado-res (2 x 3 = 6) e os denominadores (1 x 4 = 4). Sempre que possível, simplique.

SimplicandoInversão

34

56

32

34

5440

23

65

xx == 2720

34

56

23

= ?

48


x +25

125

25

125

2 x 5 + 2 = 122 2116

116

13

13

+

+

+

+

=

=

=?

? Agora, só com frações, calcular o MMC

Transformar Número Misto em Fração

É comum aparecer número misto em uma expressão com fra-ções, portanto saiba transformá-la em uma fração para conti-nuar com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja:

Para transformar o número misto (parte inteira e fração) em uma fração, multiplicamos a parte inteira (2) pelo de-nominador (5) e somamos ao numerador (2) para achar o novo numerador. O denominador continua o mesmo. Aí continuamos:


As simplicações podem ser feitas em qualquer fração (des-de que possível) mesmo antes da adição, subtração, multipli-cação ou divisão. Melhor calcular com números pequenos.

49


5, 6, 3 25, 3, 3 35, 1, 1 51, 1, 1

MMC (5, 6, 3) = 2 x 3 x 5 = 30


MMC (5, 6, 3) = ?

7230

5530

1030

11730

+ - =

1230

1130

130

+ - =

x x x

.

.

.

?

Com os novos numeradores realize normalmente a adição/subtração para eles (72 + 55 -- 10)

Achado o novo denominador através do MMC, calculare-mos os novos numeradores, separadamente, com a se-guinte regra abaixo descrita:

x =NumeradorNovo

denominadorNovo

numeradorAntigo

denominador

50


As Classicações das Frações

FRAÇ

ÃO

PrópriaÉ aquela que o nume-rador é menor que o denominador

Exemplo:1, 2, 3, 4, ...2, 4, 9, 5, ...

ImprópriaÉ aquela que o numera-dor é maior que o deno-minador

Exemplo:5, 3, 6, 8, ...4, 2, 3, 6, ...

AparenteÉ aquela que o numera-dor é múltiplo do deno-minador

Exemplo:8, 9, 8, 20, ...2, 3, 4, 10, ...

Irredutível

É aquela em que o nume-rador e o denominador são primos entre si. Não pode ser simplificada.

Exemplo:2, 3, 7, 5, ...3, 5, 11, 4, ...

Equivalentes

É aquela em que o nume-rador e o denominador representam a mesma quantidade.

Exemplo:2, 3, 6, 9, ...2, 3, 6, 9, ...

DecimalÉ aquela em que o deno-minador é uma potência de 10.

Exemplo: 5, 3, 6, 8, ...10, 10, 100, 1000, ...

Mista ouNúmeroMisto

É aquele que possui uma parte inteira e uma fra-cionária

Exemplo:1 , 2 , ... 4 , 3 , ...

51


Adição/Subtração de Numeros Decimais

Para somar números decimais seguimos as regras:

6,01 + 5,981 = ?

65

,,+09

18

01

11 ,9 9 1

Os numerais decimais que serão somados pos-suem diferentes casas decimais após a vírgula.

O primeiro passo é colocar os números alinhados vírgula debaixo de vírgula.

Igualar o número de casas decimais acrescentando “Zeros” para os espaços vazios e realizar a soma.

6,01 + 5,981 = 11,991

Para subtrair números decimais segue do mesmo modo:

29,8 -- 17,498 = ?

52


Multiplicação de Numerais Decimais

Para multiplicar números decimais, momentaneamente ignora-mos a vírgula e multiplicamos como um número natural:

52,48 x 2,3 = ?

97

21

,,-84

09

08

21 ,3 0 2

29,8 - 17,498 = 12,302

Igualar o número de casas decimais acrescentando “Zeros” para os espaços vazios e realizar a sutração.

Os numerais decimais que serão subtraidos pos-suem diferentes casas decimais após a vírgula.

O primeiro passo é colocar os números alinhados vírgula debaixo de vírgula.

53


2 ,,

5x

42

83

751 4 4

4

401+ 9 6

021 7 0

Multiplique como se não houvessem vírgulas. Contamos as casas decimais após a virgula dos números envolvidos e acrescentamos, da direita para a esquerda ao produto.

2 ,,

5x

42

83

751 4 4

4

401+ 9 6

0 ,21 7 0

+ =

Veja como é simples aplicar a vírgula na multiplicação:

52,48 x 2,3 = 120,704

2 casasdecimais

3 casasdecimais

1 casadecimal

Para aplicar a vírgula no produto nal, contamos o número de algarismos depois da vírgula para cada fator e o resultado deve ter o mesmo número de casas decimais. No caso, 3 casas.

54


-

5850328270150150000

00031950

-

-

Portanto, concluimos que 5,85 : 0,003 = 1950

Aí é só dividir como um número natural ignorando a vírgula pois as casas decimais foram igualadas.

Os numerais decimais que serão divididos pos-suem diferentes casas decimais após a vírgula.O primeiro passo é igualar as casas decimais de divisor e dividendo acrescentando “zeros”.

5,850 : 0,003 = ?

Divisão de Numerais Decimais

Na divisão de números decimais precisamos igualar as casas decimais (assim como na adição, Pág. 19) antes de dividir:

5,85 : 0,003 = ?

55


Transformação de Numeral Decimal em Fração Decimal e vice-versa

Para transformar um número decimal em uma fração decimal:

4,257 = ? 4257 346 0,346 1000 1000

= ?

= ?

Processo

inverso

Dízima Periódica

Uma Dízima Periódica são decimais não exatos que se formam de frações geratrizes com denominador múltiplo de 3.

O período é formado pelos números que se repetem. Veja:

O nº de casas decimais de-pois da vírgula será o nº de “zeros” no denominador.

O nº de “zeros” no deno-minador será o nº de casas decimais depois da vírgula.

0,0089 = ? 00089 64782 647,82 10000 100

56


Transformar Dízima Periódica em Fração Geratriz

Para transformar uma Dízima Periódica Simples em fração:

O período será transformado no numerador e a quantidade de algarismos do período substitui-dos pela mesma quantidade de “noves”.

Dízima periódica: 0,333333... Período: 3Dízima periódica: 0,323232... Período: 32

Dízima periódica simples: logo depois da vírgula começa o pe-ríodo.

Exemplo: 0,454545... Período: 45

Dízima periódica composta: um dos algarismos depois da vírgu-la não faz parte do período.

Exemplo: 1,73424242... Período: 42.

Os algarismos 7 e 3 não fazem parte do período.

57


Dízima periódica: 0,323232... Período: 323299

2 algarismos se repetem = “2” algarismos 9

Dízima periódica: 1,253253253... Período: 253253999

1+


Para transformar uma Dízima Periódica Composta em fração:

2,896666... Período: 6896 -- 89

9002+ 2+ 807

9002607900

1 algarismo se repete = “1” algarismo 9

2 algarismos no antiperíodo = “2” algarismos 0

antiperíodo = 89

0,73424242... Período: 427342 -- 73

990072699900

24233300


2 algarismos no antiperíodo = “2” algarismos 0

antiperíodo = 73

O numerador da fração será composto do antiperíodo se-guido do período menos o antiperíodo. O denominador será composto pela mesma quantidade de algarismos do perío-do substituidos por “noves” e seguidos pela mesma quanti-dade de algarismos do atiperíodo substituidos por “zeros”.

58


Questões

1 - (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Técnico Administrativo) Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12.

Então, a soma dos algarismos do número x é:

a) 3 Xb) 5c) 9d) 16e) 21

2 - (CESPE - 2011 - Correios - Carteiro) Das correspondências que deveria entregar, o carteiro Carlos passou 7/10 delas para o car-teiro Jorge; dessas, Jorge repassou 3/5 para o carteiro Marcos.

Nesse caso, com relação à quantidade de correspondências que Carlos deveria entregar, a quantidade que coube a Marcos é igual a:

a) 3/10b) 2/5c) 21/50 Xd) 10/15e) 1/10

59


3 - (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Sabendo-se que o conjunto X é dado por

X = {x R, x2 – 9 = 0 ou 2x – 1 = 9}

e o que o conjunto Y é dado por

Y = {y R, 2y + 1 = 0 e 2y2 – y – 1 = 0},

onde R é o conjunto dos números reais, então pode-se armar que:

a) X Y = {-3; -0,5; 1; 3; 5}b) X - Y = {-3; 3}c) X Y = {-3; -0,5; 3; 5} xd) Y = {-0,5; 1}e) Y = {-1}

4 - (FCC - 2011 - Analista Judiciário) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais se aproxima do valor da expressão (0,6192 - 0,5992) . 0,75 é:

a) 0,0018b) 0,015c) 0,018 Xd) 0,15e) 0,18

60


5 - (FCC - 2013 - DPE-SP - Ocial de Defensoria Pública) Escrever um número na notação cientíca signica expressá-lo como o produto de dois números reais x e y, tais que: 1 x < 10 e y é uma potência de 10.

Assim, por exemplo, as respectivas expressões dos números 0,0021 e 376,4, na notação cientíca, são 2,1 x 10-3 e 3,764 x 102.

Com base nessas informações, a expressão do número

N = na notação cientíca é:

a) 3,75 x 10²b) 7,5 x 10²c) 3,75 x 10³ Cd) 7,5 x 10³e) 3,75 x 104

6 - (FCC - 2011 - Banco do Brasil - Escriturário) Qual das expres-sões seguintes NÃO é equivalente a 0,0000000625?

a) 5/16 x 10-6 Xb) 5/8 x 10-7

c) 25/4 x 10-8

d) 125/2 x 10-9

e) 625 x 10-10

1,2 . 0,0540,64 . 0,000027

61


7 - (ESPP - 2013 - Técnico Administrativo) Sejam as arma-ções:

I. A raíz quarta de um número inteiro não-negativo é um núme-ro inteiro não-negativo.

II. Toda dízima é um número irracional.

III. A notação cientíca do número 235000000 é igual a 23,5.107.

IV. 2 = 2 2

Pode-se dizer que são corretas:

a) I, II e IV, somente.b) III e IV, somente.c) Somente uma delas. Xd) II e III, somente.

8 - (ENEM - 2012) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimen-to ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o es-paço vazio é o do algarismo que João não entendeu.

62


De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo al-garismo que falta no número de protocolo é a de:

a) centena.b) dezena de milhar.c) centena de milhar. Xd) milhão.e) centena de milhão.

9 - (VUNESP - 2013 - SEJUS-ES - Agente Penitenciário) Em uma população carcerária de 14 400 presos, há 1 mulher para cada 11 homens nessa situação. Do total das mulheres, 2/5 estão em regime provisório, correspondendo a:

a) 840 mulheres.b) 480 mulheres. Bc) 1 200 mulheres.d) 640 mulheres.e) 450 mulheres.

10 - (FCC - 2013 - DPE-SP - Agente de Defensoria - Programa-dor) O total de frações entre 3/7 e 9/19 com numerador par e denominador 133 é igual a:

a) 7b) 4c) 5d) 6e) 3 X

63


11 - (ESPP - 2013 - COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Admi-nistrativo) Sejam as armações:

I. A soma entre dois números irracionais é sempre um número irracional.

II. Toda dízima periódica pode ser escrita com uma fração de denominador e numerador inteiros.

III. 7 > 11 4 2

Pode-se dizer que:

a) São corretas somente I e II.b) Todas são corretas.c) Somente uma delas é correta. Xd) São corretas somente II e III.

12 - (FUNCAB - 2012 - Soldado da Polícia Militar) Sabendo que o cobrador de um ônibus arrecadou a quantia de R$ 42,55 após ter cobrado 23 passagens, quanto ele terá ar recadado após cobrar 117 passagens?

a) R$ 216,45 Xb) R$ 217,15c) R$ 215,85d) R$ 215,05e) R$ 215,95

64


13 - (CESGRANRIO - 2012 - Banco do Brasil - Escriturário) No Brasil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg de la-tas usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas.

De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio?

a) 23,15b) 23,98c) 28,80d) 28,96e) 30,40 X

14 - (FCC - 2012 - TRF - Técnico Judiciário) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas informações, pode-se concluir cor-retamente que o total de pessoas que visitaram tal empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a:

a) 56b) 112c) 144 Xd) 168e) 280

65


15 - (FCC - 2011 - Banco do Brasil - Escriturário) O esquema abai-xo apresenta a subtração de dois nú- meros inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras.

A15B- 2CD3 4218

Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que

a) A < B < C < Db) B < A < D < Cc) B < D < A < C Xd) D < A < C < Be) D < A < B < C

16 - (FUMARC - 2011 - BDMG - Analista de Desenvolvimento) Um googol é a denominação dada para o número 10100. Seja k o menor inteiro positivo tal que 10100/2k < 3. É CORRETO armar que:

a) 10100/2k = 3/2 Xb) 10100/2k < 1c) 10100/2k < 3/2d) 10100/2(k+1) = 3/2

66


17 - (CEPERJ - 2012 - DEGASE - Psicólogo) Uma quantidade X é dada pela expressão:

x = 0,0233 + 3 . 2,9772 . 0,023 + 3 . 2,977 . 0,0232 + 2,9773

Desse modo, X é igual a:

a) 25,2527456b) 26,3939392c) 27,0000000 Xd) 36,0000000e) 36,3020293

18 - (FCC - 2011 - Banco do Brasil - Escriturário) O valor da expressão

, para A = 2 e B = -1, é um número compreendido entre:

a) -2 e 1b) 1 e 4 Xc) 4 e 7d) 7 e 9e) 9 e 10

A2 - B3

AB + BA


1 A 4 C 7 C 10 E 13 E 16 A

2 C 5 C 8 C 11 C 14 C 17 C

3 C 6 A 9 B 12 A 15 C 18 B

67


Simplicação de Radicais

Podemos simplicar (dividindo) o índice (n) do radical ( ) e o expoente (m) do radicando por um mesmo número sem alterar o valor de uma raiz aritmética. Veja:

n am 6 54

9 26

4 36

9 418

3 52

3 22

2 33

1 42 42 16

6:2 54:2

9:3 26:3

4:2 36:2

3:3 46:39:3 418:3

Exemplo:


Podemos fazer mais de uma simplicação. Observe que quando o índice da raiz resultar em 1 signica que a base perdeu o radical. A raiz foi eliminada.

68


Exemplo: 196

Raiz de um produto

O produto das raízes aritméticas dos fatores é igual à raiz arit-mética de um produto. Veja:

Novamente, a condição para as transformações é que os radi-candos sejam não nulos, ou seja, maiores que zero.

Primeiramente, dividimos a base pelo menor divisor (número primo) até que reste 1 (fatoração).

2.2.7.7

n a.b = n a . n b

196 2 98 2 49 7 7 7 1

Fatoração:

Colocamos os números dentro da raiz e transformamos em po-tência.

69


22 . 72 2 22 .2 72 2 . 7 14

n a.b = n a . n b

2 22 2 72


Observe que quando o índice é igual ao expoente do radi-cando (no caso, 2 oculto) podemos eliminar ambos.

81 32 . 32 2 32 .2 32 3.3 93.3.3.3 81 3 27 3 9 3 3 3 1

2 2 2 2

Deste modo (e neste caso), eliminamos completamente os radicais (raizes) chegando à um resultado inteiro. Veja outros casos:

50 2 . 52 2 2 . 5 2 22 522.5.5 50 2 25 5 5 5 1

.2 52

Observe que nem sempre conseguimos eliminar os radicais.

70


3 81 3 3 . 33 3 3 .3 33 3 3 33 3.3.3.3 81 3 27 3 9 3 3 3 1

3 3

O objetivo é simplicar os produtos das raízes e tentar eliminar os radicais.

180 22.32.5 2 22. 2 5 6 52 32.2.2.3.3.5 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

2 22 2 32

mesmos radicais = adição ou subtração

Adição e Subtração de Radicais

O passo anterior nos mostrou como simplicar um radical para facilitar operações como a Adição e Subtração. A regra para es-tas duas operações é: simplicar os radicais (quando possível à um mesmo radicando) e realizar a adição ou subtração:

2 5 7 5 9 5+ = ?

71


64 36- = ?

simplificar por fatoração

eliminar os radicais

22. 22. 22 22. 32-

2 . 2 . 2 - 2 . 3

8 6- = 2

1 2 3+

2 3+

45 + 5 20 = ? 8 3 27 4 4+ - = ?

22.2 3 33 4 22+ -

2 2 3 4:2 22:2+ -

2 2 3 1 2+ -

32.5 5 22.5+

3 5 5.2 5+

3 5 10 5+

13 5

Multiplicação de Radicais

Podemos realizar a multiplicação de Radicais pela igualdade da fórmula apresentada desde que a e b sejam maiores que zero:

n a . n b = n a.b

72


2 3 5 2 6. . = ?

2.5.1 3.2.6

10 36

10 22.32

10 . 2 . 3

60

5 3 155.3. = ?


Observe que esta igualdade é a mesma apresentada na página 4 - “Raiz de um produto”.

. . . Conclusão . . .

Na multiplicação de Radicais (com índice igual) devemos juntar o que é radical, juntar o que não é, simplicar o radicando por fatoração e tentar eliminar os radicais.

73


Esta igualdade é a mesma apresentada no item anterior, mas com sinal de divisão.

6015

6015

60 15: = ?

n a : n b = n a:b

4 22 2

3 15 3 3 3 53 15:3: = ?

resolver os radicandos

eliminar os radicais

. . . Conclusão . . .

Na divisão de Radicais (com índice igual) devemos juntar os radicandos sob raiz de mesmo índice, resolver ou sim-plicar o radicando e tentar eliminar os radicais.

Divisão de Radicais

Do mesmo modo da multiplicação de Radicais pela igualdade, a divisão também se aplica pelo mesmo raciocínio:

74


Raiz de Raiz

A raiz de uma raiz se dá pela multiplicação de seus índices:

3 = ? 5 8 = ?

3 5 = ? 3 = ?

2.2 3 2.5 8

2.3.2 5 2.2.2 3

4 3 10 8

12 5 8 3

(3 5 )4 = ? (5 2 )2 = ?

( 7 )3 = ? (4 6 )-3 = ?

3 54 5 22

73 4 6-3

(n a )m = n am

m n a = m.n a

Potenciação de Radicais

Raízes com potência podem ser escritas com a seguinte igual-dade:

75


= = = = =13

26

39

412

515

721

Grandeza Diretamente Proporcional

Duas ou mais grandezas são Diretamente Proporcionais quando a Razão entre seus valores é sempre constante. Veja:

Todas essas Razões, simplificando, resultam em 1/3 ou um terço

= =112

26

34

Grandeza Inversamente Proporcional

Duas ou mais grandezas são Inversamente Proporcionais quan-do o produto entre seus valores é sempre constante. Veja:

O produto destas Razões (1.12) = (2.6) = (3.4) resulta sempre em 12, portanto são Razões inversamente proporcionais

76


Simplicando, podemos dizer que o carro percorre 2 quilômetros em 1 minuto.

3015

21

÷15

÷15kmmin

kmmin

Razão

Chamamos de Razão quando um número está para outro, ou seja, a razão entre dois números a e b (sendo b diferente de 0) é o quociente de a por b. É a relação de comparação entre duas grandezas.

Exemplo:

A razão de 24 para 4 é . Lê-se que 24(a) está para 4(b):

É comum aparecerem questões sobre razão que devem ser in-terpretadas como a relação de comparação entre grandezas:

Um carro percorre 30 km em 15 minutos. A razão entre o espa-ço percorrido e o tempo gasto é 30 para 15 ou:

a b

antecedente consequente

244

ab

77


Simplicando, podemos dizer que de cada 7 candi-datos inscritos, 1 foi aprovado.

A razão entre 2 m de um barbante e 5 m de um outro é:

Dos 1610 inscritos no exame passaram apenas 230 candidatos. A razão entre os candidatos aprovados e o número de inscritos no exame é:

25

0,4

2301610

17

÷230

÷230

A palavra razão vem do latim (ratio) e signica divisão.

Proporção

Chamamos de Proporção a relação de igualdade entre duas Ra-zões. É exemplicada pela igualdade a seguir (sendo todos os números diferentes de zero):

78


4 . x = 3 . 20

12 . x = 4 . 9

b . c = a . d

d . a = b . c

4x = 60

12x = 36

x = 60:4

x = 36:12

x = 15

x = 3

34

x20

=

x4

912

=

Exemplo 1:

Exemplo 2:

ab

cd

ab

cd

=Diz-se que a está para b (razão) assim como (proporção) c está para d (razão).

O produto das meios é igual ao produto dos extremos: a . d = b . c

Os números a e d são chamados “extremos” enquanto os núme-ros b e c são chamados “meios”. Com isso, vale a propriedade:

=

Portanto, quando se pede para determinar o valor de “x” em uma proporção temos por exemplo:

79


3 . 9 = 4 . 6a . d = b . c

27 = 24

Não é proporção, pois não há igualdade.

34

69

=Exemplo 2:

Escala

Chamamos de Escala a Razão entre um comprimento no de-senho (ou mapa/carta geográca) e o comprimento real cor-respondente, medidos na mesma unidade de comprimento. A Escala é usada na ampliação ou redução, veja abaixo:

1 1

1 2 3 4 5

1

6

2

7

3

8

4

2 2

3 3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8

123456

80


Em exemplo mais prático: qual é a escala do desenho em que um comprimento real de 300 cm está representado por um comprimento no desenho de 3 cm?

Base do barco maior: 8 unidadesBase do barco menor: 4 unidadesAltura do barco maior: 6 unidadesAltura do barco menor: 3 unidades

É proporção, pois há igualdade.48

36

=12

12

=

O barco menor corresponde ao tamanho no desenho enquanto que o barco maior corresponde ao tamanho real. Diz-se que o desenho foi reduzido à metade (1/2), na mesma proporção.

Comprimento no desenhoComprimento real

Escala =

Comprimento no desenhoComprimento real

Escala =

Escala = ou 1:1003

3001

100

÷3

÷3

81


Exemplo de desenho de arquitetura: na planta de uma casa foi usada a escala 1:100. Vericando que o comprimento de uma sala é 7,3 cm, qual o comprimento real da sala?

Exemplo de carta geográca: em uma mapa do estado de Goiás cuja escala é 1:10.000.000, a distância entre Goiás e Anápolis é marcada como 1,5 cm. Qual a distância real em km entre Goiás e Anápolis?

Proporcionalmente

1 . x = 100 . 7,3

1 . x = 10.000.000 . 1,5

x = 730 cm ou 7,30 metros

x = 15.000.000 cm ou 150 quilômetros

1100

7,3x

=

Proporcionalmente1

10.000.0001,5x

=


Perceba que uma série de unidades de medidas são utiliza-das. Tome cuidado para calcular ou responder com as mes-mas unidades. Veja essa conversão no próximo assunto.

82


Portanto, para fazer qualquer relação com as medidas de compri-mento basta ter em mente a tabela acima. Colocaremos o valor partindo se sua própria célula, extendendo-se à esquerda. Por exemplo, no caso da transformação de 15.000.000 cm em km:

km hm dam m dm cm mm

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

múltiplos fundamental submúltiplos

1,

1 0, 1

1 0 0, 0 1

1 0 0 0, 0 0 1

Conversão de Medidas

Quase todas as conversões de medidas seguem um mesmo padrão de múltiplos e submúltiplos. É fundamental saber quais são as principais pois são exigidas em questões de todo tipo.

Medidas de Comprimento

Metro é a unidade fundamental das medidas de comprimento. As medidas maiores que o metro são os múltiplos do metro, as medidas menores que o metro são os submúltiplos do metro.

83


kl hl dal l dl cl ml

quilolitro hectolitro decalitro metro decilitro centilitro mililitro


1,

1 0, 1

1 0 0, 0 1

1 0 0 0, 0 0 1

km hm dam m dm cm mm

1 5 0 0 0 0 0 0

Visualize somente a casa do “km” 15.000.000 cm = 150 km

Visualizando outras casas: 1.500 hm ou 150.000 m

Medidas de Capacidade

Da mesma maneira que o Metro, Litro é a unidade fundamental das medidas de capacidade. A tabela é a mesma, só mudam os nomes.

O que queremos transformar é 15.000.000 cm. Distribua o valor partindo da célula da unidade (cm) sentido à esquerda.

15.000.000 cm

84


Medidas de Massa

Da mesma maneira que o Metro, Grama é a unidade funda-mental das medidas de massa. Novamente, a tabela é a mes-ma, só mudam os nomes.

kg hg dag g dg cg mg

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama


1,

1 0, 1

1 0 0, 0 1

1 0 0 0, 0 0 1

Regra de Três Simples

A Regra de Três Simples é o tipo de problema que envolve duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais (página 11).

A primeira coisa a fazer é descobrir se as grandezas são di-retamente ou inversamente proporcionais. Veja os seguintes casos:

85


1º - Uma torneira, completamente aberta, leva 33 segundos para encher um balde de 20 litros. Quanto tempo seria neces-sário para essa mesma torneira encher uma piscina de 1240 litros?

Nesse problema aparecem duas grandezas: tempo para encher e capacidade de um recipiente. É fácil perceber que, se aumen-ta a capacidade do recipiente (balde/piscina), aumenta o tem-po que a torneira leva para enchê-lo. Portanto são grandezas diretamente proporcionais (uma grandeza aumenta à propor-ção que a outra também aumenta). Portanto:

33 segundosx segundos

é o tempo para encheré o tempo para encher

20 litros1240 litros

33 segundosx

20 litros1240 litros

multiplicando em cruz...=

a.d = b.cab

cd

Quando as grandezas são direta-mente proporcionais, multiplica-

mos as frações em cruz:

Resposta: serão necessários 2046 segundos para a torneira en-cher a piscina de 1240 litros.

33.124020

4092020

x.20 = 33.1240 x = x = x = 2046

=

86


a.c = b.dab

ab

cd

dc

= =

Observe que, quan-do as grandezas

são inversamente proporcionais, in-

vertemos umadas razões:

2º - Um carro, à velocidade constante de 50 km/h, vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em 8 horas. Se o mesmo carro desen-volvesse a velocidade constante de 80 km/h, em quanto tem-po faria o mesmo percurso?

Nesse problema aparecem duas grandezas: velocidade do carro e tempo de percurso. É fácil perceber que, se aumenta a veloci-dade do carro, diminui o tempo do percurso. Portanto são gran-dezas inversamente proporcionais (uma grandeza aumenta à proporção que a outra diminui). Portanto:

50 km/h80 km/h

o percurso é percorrido emo percurso é percorrido em

ÀÀ

8 horasx horas

DiretamenteProporcionais

InversamenteProporcionais

50 km/h80 km/h

50 km/h80 km/h

8 horasx horas

x horas8 horas

80.x = 50.8multiplicando em cruz...

Inversamente proporcionais

= =

87


50 . 880

40080

x = x = x = 5

Resposta: o carro faria o percurso em 5 horas.

3º - Três torneiras iguais, completamente abertas, enchem um tanque em 2 horas e 24 minutos. Se, ao invés de 3 torneiras usássemos 5 torneiras, em quanto tempo o mesmo tanque -caria cheio?

Mesmo raciocínio para perceber duas grandezas: número de tor-neiras e tempo para encher o tanque. É fácil perceber que se aumentar o número de torneiras, diminui o tempo para encher o tanque. Portanto são grandezas inversamente proporcionais (uma grandeza aumenta à proporção que a outra diminui). Portanto:

3 torneiras5 torneiras

enchem o tanque emenchem o tanque em

144 minutosx minutos



144 minx min

x min144 min

Inversamente proporcionais

= =

3 . 1445

4325

5.x = 3.144

x = x = x = 86,4

multiplicando em cruz...

88


Resposta: serão necessários 86 minutos e 24 segundos para as 5 torneiras encherem o tanque.

x = 86 minutos e 24 segundos

Para continuar esta divisão devemos transformar os 2 minutos (resto) em segundos pois não são

divisíveis por 5.

Multiplicamos o resto por 60.

2 minutos . 60 segundos = 120 segundos

43240032030002

586

minutos

minutos

minutos

12010020020000

524

segu

ndos

segundos


Muito cuidado para que, na divisão “432:5” com resto, você não forneça o resultado “86,4” pois tratam-se de minutos (86 inteiros) e segundos (resto em segundos)

89


Questões Clássicas sobre Proporção

1º - Divida o número 80 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

a) - Temos que determinar três números que chamaremos x, y e z.

b) - A soma destes três números é 80, então: x +

y +

z = 80

c) - A divisão será em partes proporcionais, logo: x = y = z

d) - Para calcularmos x, y e z, acharemos o coeciente de pro-porcionalidade, então:

= =x2

8010

x + y + z2 + 3 + 5

y3

z5

8

2 3 5

O número 8 é o coeciente de proporcionalidade.

e) - Agora determinamos os valores x, y e z igualando as razões ao coeciente de proporcionalidade, independentemente:

= x = 16x2

81

1 . x = 2 . 8x

90


Resposta: x = 16, y = 24 e z = 40

z = 40= 1 . z = 5 . 8z5

81

2º - Divida o número 52 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.

a) Temos que determinar três números que chamaremos x, y e z.

b) A soma destes três números é 52, então: x + y + z = 52

c) Desta vez, a divisão será em partes inversamente proporcio-nais, logo x, y e z são proporcionais ao inverso dos números 2, 3 e 4.

12

1 + 1 + 12 + 3 + 4

13

14

x x + y + zy z

+= =

+

z

y = 24=y3

81

1 . y = 3 . 8y


Aqui precisamos relembrar as propriedades do MMC.

91


6+4+312

(12:2)+(12:3)+(12:4)12

52521 + 1 + 12 + 3 + 4

x + y + z

+ +

MMC

2, 3, 4 21, 3, 2 21, 3, 1 31, 1, 1

Na soma ou subtração de denomina-dores diferentes reduzimos com MMC:

MMC dos denominadores (2, 3, 4) = ?MMC (2, 3, 4) = 2 . 2 . 3 = 12

2.2.3

1312

52

d) Sendo assim, acharemos o coeciente de proporcionalidade:

e) Agora, determinamos os valores x, y e z igualando as razões ao coeciente de proporcionalidade, independentemente:

1213

521

62413

52 . 121 . 13

48

Na divisão de frações, invertemos a segunda fração e multiplicamos em linha.

92


= = =x6

y3

z9

w15

3º - Determine os números x, y, z e w, diretamente proporcio-nais a 6, 3, 9 e 15, sabendo que x + 3y + 4z + 5w = 252.

a) Primeiramente temos que determinar quatro números já de-terminados x, y, z e w, diretamente proporcionais. Então:

Resposta: x = 24, y = 16 e z = 12

=

2

1 . x = 1 . 48481

x = 24x = 4821

2

xx

=

3

1 . y = 1 . 4881

y = 16y = 4831

3

yy

=4

1 . z = 1 . 4881

z = 12z = 4841

4

zz

b) Sabemos que 1x + 3y + 4z + 5w = 252, portanto, temos que multiplicar antecedente e consequente de cada razão pelo seu correspondente múltiplo, então:

93


= = = =

=

=

= =

=

=

x6

x6

x6

.1

.1.3.3

.5

.5.4.4

y3

y3

z9

z9

w15

w15

x6

3y9

3y9

5w75

5w75

2252126

x + 3y + 4z + 5w6 + 9 + 36 + 75

4z36

4z36

Desta forma podemos achar o coeciente de proporcionalidade:

1x + 3y + 4z + 5w = 252

x

y

O número 2 é o coeciente de proporcionalidade.

c) Agora determinamos os valores x, y, z e w igualando as ra-zões ao coeciente de proporcionalidade, independentemente:

=x6

21

1 . x = 6 . 2 x = 12

=21

y3

1 . y = 3 . 2 y = 6

94


Resposta: x = 12, y = 6, z = 18 e w = 30.

=21

z9

1 . z = 9 . 2 z = 18z

=21

w15

1 . w = 15 . 2 w = 30w

. . . Conversão de Medidas de Tempo . . .

Quando alguém diz duas horas e meia entendemos que quer dizer 2 horas e meia hora ou 2 horas e 30 minutos, portanto, em Matemática não podemos escrever 2,5 ho-ras que seria o resultado de 5 horas dividido por 2.

Convenção para exames: 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos

Divisão do Tempo Símbolo Equivalência 1 Dia

Hora h 1 h 24 hs

Minuto min 60 min 1.440 min

Segundo s 3.600 s 86.400 s

95


Questões

1 - (VUNESP - 2013 - Engenheiro de Segurança) A razão entre a medida do lado de um quadrado e a medida do maior lado de um retângulo é 4:5. A razão entre a medida do lado desse qua-drado e a medida do menor lado desse retângulo é 7:5. A razão entre a área desse quadrado para a área desse retângulo vale:

a) 14:15b) 14:25c) 25:28d) 25:14e) 28:25 X

2 - (VUNESP - 2014 - Ocial Administrativo) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário do-ente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposen-tou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será:

a) 29b) 30 Xc) 33d) 28e) 31

96


3 - (CESGRANRIO - 2012 - Assistente Técnico Administrativo) Em um supermercado, a carne é acondicionada em embalagens com uma etiqueta contendo o preço unitário (o preço de 1 kg de carne), o peso líquido (a quantidade de carne contida na embalagem) e o total a ser pago. Certo dia, a balança eletrôni-ca apresentou problemas e algumas etiquetas foram impressas com defeito, sendo omitidas algumas informações.

As Figuras I e II representam as etiquetas de duas embalagens do mesmo tipo de carne, com defeitos de impressão.

O peso líquido, em kg, registrado na etiqueta representada na Figura II é:

a) 0,305b) 0,394c) 3,94d) 0,35e) 0,42 X

4 - (FGV - 2014 - Assistente Administrativo) Um escritor pediu que Ana, Bruno e seus auxiliares, lessem um roteiro que tinha

Preço de 1 kg: ######

Peso líquido: 0,65 kg

Total: R$ 9,75

Figura I

Preço de 1 kg: ######

Peso líquido: ######

Total: R$ 6,30

Figura II

97


escrito. Ana leu 16 páginas por dia, levou 15 dias para terminar a leitura, e Bruno leu apenas 10 páginas por dia.

Para fazer a leitura do roteiro, Bruno gastou a mais do que Ana:

a) 6 diasb) 8 dias c) 9 dias Xd) 10 dias e) 12 dias

5 - (CESGRANRIO - 2014 - Apoio administrativo) Um menino es-tava parado no oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente.

A quantos degraus do topo da escada ele parou?

a) 8b) 10c) 11d) 15e) 19 X

6 - (CESGRANRIO - 2012 - Banco do Brasil - Escriturário) No Bra-sil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg de latas

98


usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas.

De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio?

a) 23,15b) 23,98c) 28,80d) 28,96e) 30,40 X

7 - (VUNESP - 2013 - Agente Penitenciário) Os 250 trabalhado-res de uma instituição serão distribuídos em frentes de traba-lho, em 3 grupos de x, y e z pessoas. O número de trabalhado-res x, y e z desses grupos será diretamente proporcional a 10, 15 e 25. Nesse caso, a diferença entre a frente com maior e a frente com menor número de trabalhadores será:

a) 50b) 100c) 75 Xd) 45e) 25


1 E 2 B 3 E 4 C 5 E 6 E 7 C

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Utilize o raciocínio para traduzir o enunciadoem um cálculomatemático:resolva oproblema.Matéria obrigatória para todos os exames, explicada de uma maneira resumida para vestibulares e concursos.

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