UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Studijski program: Matematika in fizika

ZVOK V TROBILIH

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidat:

dr. Bojan Golli, izr. prof. Simon Turk

Ljubljana, november 2011

Zahvala

Zahvaljujem se profesorju Bojanu Golliju za strokovno pomoc in nasvete

pri nastajanju diplomskega dela, Gregorju Tarmanu za pomoc pri meri-

tvah in Stanislavu Avscu za material, in nasvete pri izbiri le tega, potreben

za izdelavo cevi prisekanega stozca. Zahvaljujem se starsem za podporo

pri studiju.

Povzetek

V diplomskem delu predstavim glavne znacilnosti trobil in princip nji-

hovega delovanja. Podrobneje opisem zgradbo trobente. Sledi teoreticna

obravnava cilindricnih, neprisekanih stozcastih, Salmonovih in Besselo-

vih cevi. V nadaljevanju se osredotocim na opis akusticnih lastnosti cevi

v obliki prisekanega stozca, za katero izpeljem analiticne izraze za odvi-

snost akusticnega tlaka in akusticnega prostorninskega toka od razdalje

ter za resonancne frekvence cevi. Teoreticne ugotovitve z meritvami pre-

verim na modelu cevi v obliki prisekanega stozca. Na koncu preverim,

kateri model cevi je ustrezen za opis resonancnih frekvenc trobente. Ugo-

tovim, da je to model prisekanega stozca.

Kljucne besede: resonancne frekvence cevi, akusticna impedanca, va-

lovna enacba, akusticni tlak, akusticni prostorninski tok

I

Sound in Brass Instruments -Abstract

In the diploma thesis I present the main characteristics of the brass instru-

ments and the principles how they work. I describe in detail the stucture

of the trumpet. The theoretical treatment of cylindrical, conical, Salmon’s

and Bessel’s tubes are outlined. In the following I focus on the description

of acoustical properties of the truncated conical tube, for which I derive

analytical expressions for the dependence of the acoustical pressure and

the flow rate on the distance, as well as for resonant frequencies. I check

the theoretical predictions on a model of the truncated conical tube. At

the end I examine which model of a tube is suitable for the description of

resonant frequencies of the trumpet.

Key words: resonant frequency in tubes, acoustics impedance, wave equa-

tion, acoustics pressure, flow rate

II

Kazalo

1 Uvod 1

2 Fizikalne osnove nastanka zvoka v trobilih 3

2.1 Opis trobil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Zvok v cilindricnih ceveh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Stojece valovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Resonancne frekvence zaprtih in odprtih cevi . . . . 8

2.2.3 Hitrost delov zraka pri zvoku v ceveh . . . . . . . . . 9

2.2.4 Akusticni prostorninski tok . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.5 Akusticna impedanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.6 Odboj in prepustnost valovanja na izhodu cevi . . . . 13

2.3 Stozcaste cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Neprisekane stozcaste cevi . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Websterjeva enacba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Salmonove cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Besselove cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Prisekane stozcaste cevi 30

3.1 Tlak v cevi prisekanega stozca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Resonancne frekvence prisekane stozcaste cevi . . . . . . . . 31

3.3 Meritve tlaka v cevi prisekanega stozca . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Analiza meritev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Resonancne frekvence trobil 51

4.1 Model cilindricne cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Model stozcaste cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Model Besselove cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III

5 Zakljucek 59

Literatura 78

IV

1 Uvod

Pihala in trobila so sestavljena iz cevi zelo razlicnih oblik. Razlikujejo pa

se ne le po obliki, temvec tudi po zvenu. Ta je posledica oblike cevi. Cev

flavte je popolnoma ravna in ima po skoraj vsej svoji dolzini konstanten

premer. Cev sopran saksofona ali oboe je v obliki stozca z majhnim hitro

razsirjajocim se delom na koncu cevi. Brez tezav slisimo, da se zven flavte

zelo razlikuje od zvena sopran saksofona ali oboe. Prav tako brez tezav

slisimo, da se zven klarineta zelo razlikuje od zvena sopran saksofona,

katerega oblika je na prvi pogled podobna klarinetu.

Prava posebnost glede oblike cevi instrumentov pa so trobila. Cev tro-

bil sestavlja del cevi s konstantnim presekom, temu sledi stozcast del in na

koncu odmevnik. Odmevnik je del cevi na izhodu instrumenta, ki se zelo

mocno razsiri.

Princip delovanja trobil in fizikalno ozadje nastanka zvoka v trobilih

me zanima tudi zato, ker sam igram trobento. Kot dijaka in studenta me je

pri fiziki iz tega razloga posebej pritegnila in zanimala obravnava valova-

nja in zvoka. To pomeni, da glasbeni instrumenti lahko sluzijo kot motiva-

cija pri obravnavi valovanja in zvoka. Obravnava glasbenih instrumentov

pri poucevanju fizike se mi zdi zelo uporabna, saj lahko nekatere pojme

pri fiziki zvoka, kot so vozli in hrbti valovanja, frekvenca, valovna dolzina,

razlozimo na primerih glasbenih instrumentov, kot so kitara, flavta in kla-

rinet.

V drugem poglavju diplomskega dela so teoreticna izhodisca. Ta so po-

dana izkljucno na podlagi strokovne literature. Opisane so glavne znacil-

nosti trobil in princip njihovega delovanja, podrobneje zgradba trobente.

Opisani so nekateri osnovni pojmi, ki jih bomo uporabljali v nadaljeva-

nju diplomske naloge. V tem poglavju je tudi teoreticna obravnava cilin-

1

dricnih, neprisekanih stozcastih, Salmonovih in Besselovih cevi. Salmo-

nove in Besselove cevi so uporabne pri opisu hitro razsirjajocih se delov,

ki so zelo znacilni prav za trobila. Kot model trobente sem uporabil cev

prisekanega stozca, ker je zanjo razmeroma enostavno dobiti analiticne iz-

raze za polje akusticnega tlaka in iz tega izpeljati resonancne frekvence,

ter ker je enostavno narediti model take cevi in na njem izvesti meritve. V

tretjem poglavju sem s pomocjo literature racunsko izpeljal enacbe, ki opi-

sujejo potek tlaka in resonancne frekvence v cevi prisekanega stozca. Re-

sonancne frekvence v cevi prisekanega stozca so nekje med resonancnimi

frekvencami na eni strani zaprte in na obeh straneh odprte cilindricne cevi

ter niso harmonicno razporejene. Opisal sem meritve v cevi prisekanega

stozca in analiziral podatke, ki sem jih pridobil z meritvami. Primerjal

sem rezultate meritev in racunskih spoznanj o cevi prisekanega stozca.

V cetrtem poglavju na podlagi ugotovitev iz drugega in tretjega poglavja

analiziram ustreznost modelov cilindricne in stozcaste cevi za trobento.

Ugotovim, da je model cevi prisekanega stozca ustrezen za obravnavo re-

sonancnih frekvenc trobente. V zadnjem delu cetrtega poglavja je zani-

miv primer iz literature, pri katerem uporabimo model Besselovih cevi za

razlago spreminjanja resonancnih frekvenc francoskega oziroma lovskega

roga.

2

2 Fizikalne osnove nastanka zvoka v trobilih

2.1 Opis trobil

Trobila uvrscamo med aerofona1 glasbila [1]. V to skupino spadajo poleg

trobil tudi pihala. Glavna znacilnost, ki loci trobila od pihal, je nacin vzbu-

janja valovanja. Trobilci valovanje v trobilih vzbujajo z nihanjem ustnic.

Frekvenco in amplitudo nihanja ustnic lahko s posebnimi tehnikami nad-

zorujejo. Trobilni instrumenti za razliko od pihal praviloma nimajo stran-

skih odprtin v cevi, s pomocjo katerih bi lahko spreminjali visino tona.

Izjema so rogovi iz zivalskih rogov s stirimi odprtinami, ki se danes ne

uporabljajo vec v glasbi, ter cink, serpent in ofikleide (glej sliko 1), ki so

bili popularni v zacetku 19. stoletja. Z razvojem kakovostnejsih trobil z

Slika 1: Levo cink, sredina serpent, desno ofikleida [2], [3] in [4].

1Za to skupino glasbil je znacilno, da so sestavljene iz razlicnih oblik cevi, ki omejujejo

dolocen zracni stolpec. Pod dolocenimi pogoji se v tem zracnem stolpcu vzpostavi stojece

valovanje, ki se iz izhoda instrumenta siri v prostor kot zvok.

3

ventili (glej sliko 4 in 2) so trobila s stranskimi odprtinami hitro utonila v

pozabo.

Trobila, ki se danes uporabljajo za izvajanje glasbe, so sestavljena iz

stirih glavnih delov. Ti so ustnik, cev, podaljski in lijak (glej sliko 2) [1].

Ustnik olajsa trobilcu vzbujanje valovanja v instrumentu. Cev in podaljski

cevi omejujejo zracni stolpec, v katerem se vzpostavljajo stojeca valovanja.

Lijak je potreben za pravo barvo tona in glasnost trobila. Visino tona se

pri trobilih spreminja s kombinacijo tehnike vzbujanja visjih resonancnih

frekvenc cevi in z dodajanjem podaljskov cevi, oziroma z iztegom cevi pri

pozavnah. Trobilec s posebno tehniko niha ustnici z ustrezno resonancno

frekvenco trobila in na ta nacin proizvede ustrezen ton. Pri trobilih se

za izvajanje razlicnih tonov uporablja 10 in vec resonancnih frekvenc v

posamezni cevi in podaljsku cevi.

Vzemimo trobento za predstavnika trobil (glej sliko 2). Posamezne tro-

bente se med sabo malo razlikujejo po obliki, vendar so te razlike za naso

obravnavo zanemarljivo majhne. Celotna dolzina cevi trobente z ustni-

kom je priblizno 137 cm [1]. Cev trobente se zacne z ustnikom (glej sliko 3).

Kotel ustnika ima premer priblizno 16 mm in globino priblizno 8 mm

[5]. Premer grla ustnika je priblizno 3, 6 mm (glej sliko 3). Grlo ustnika

je najozji del cevi trobente. Od grla do izhoda ustnika je cev dolga 6, 5

cm. Ta se stozcasto razsiri na priblizno 9 mm. Cev trobente se nato pocasi

stozcasto razsirja v dolzini 12 do 24 cm do koncnega premera 11 do 12

mm. Cev je nato cilindricna2 do priblizno 44 cm pred izhodom cevi. Od

tu naprej se mocneje razsirja vse do izhoda cevi, katerega premer je pri-

blizno 12 cm. V drugi polovici cilindricnega dela cevi se nahajajo ventili

(glej sliko 4 in 2). S pritiskom na ventile preusmerimo zrak skozi doda-

2Cilindricne cevi imajo konstanten premer.

4

Slika 2: Trobenta in njeni glavni deli.

Slika 3: Ustnik trobente.

tno dolzino cevi imenovano podaljsek. Trobenta ima tri podaljske. Prvi

je dolg priblizno 9 cm in zniza ton trobente za pol tona. Drugi podaljsek

je dolg priblizno 16, 5 cm in zniza ton trobente za cel ton. Tretji podaljsek

je dolg priblizno 27 cm, ta zniza ton trobente za ton in pol. S kombinaci-

jami teh treh podaljskov lahko trobilec izvede vse tone med posameznimi

resonancnimi frekvencami cevi brez podaljskov.

5

Slika 4: Perinetov ventil trobente [6].

2.2 Zvok v cilindricnih ceveh

2.2.1 Stojece valovanje

V zraku se valovanje siri longitudinalno. To pomeni, da so odmiki zraka,

po katerem se siri valovanje, vzporedni s smerjo sirjena valovanja. Odmiki

pri zvoku so zelo majhni in jih je prakticno nemogoce meriti. Merimo pa

lahko akusticni tlak3. Zato se bomo v nadaljevanju bolj kot odmikom in

hitrosti delov zraka pri valovanju posvecali akusticnemu tlaku. Pri realnih

instrumentih zavoji cevi nimajo velikega vpliva na zven instrumenta. Zato

lahko cev z zavoji obravnavamo kot ravno. Ce zanemarimo interakcije

3Akusticni tlak je razlika med povprecnim in trenutnim zracnim tlakom.

6

zraka s stenami cilindricne cevi, se zvok siri le v eni smeri. Oznacimo

jo z x. Pri opisu valovanja v stozcastih ceveh bomo smer sirjenja zvoka

oznacevali z r, ker je polje akusticnega tlaka odvisno le od razdalje od

temena stozca. Splosna oblika enacbe, ki opisuje spreminjanje akusticnega

tlaka pri sirjenju valovanja po zraku v smeri osi x je

p(x, t) = A sin(kx±ωt), (1)

kjer A predstavlja amplitudo valovanja, k je valovni vektor in ω kotna hi-

trost sirjenja valovanja [1]. Znak minus med clenoma kx in ωt v enacbi (1)

pomeni, da se valovanje siri v smeri osi x. Znak plus med tema clenoma

pa pomeni, da se valovanje siri v nasprotni smeri. Pri sirjenju valovanja

v cevi se od idealno odprtega ali idealno zaprtega konca cevi4 valovanje

odbije. Valovanje se po odboju siri v nasprotno smer. Tako pride v cevi do

medsebojnega vpliva dveh valovanj, ki ga imenujemo interferenca. Valo-

vanji, ki potujeta v nasprotnih smereh se sestejeta. To opisemo z enacbo

p(x, t) = A sin(kx−ωt) + A sin(kx + ωt). (2)

Z adicijskim izrekom

sin(α− β) + sin(α + β) = 2 sin(α + β

2) cos(

α− β

2) (3)

enacbo (2) prepisemo v obliko, ki opisuje stojece valovanje

p(x, t) = 2A sin(kx) cos(ωt). (4)

V enacbi za stojece valovanje je amplituda valovanja 2A sin(kx) odvisna

od lege. Tako je na nekaterih mestih, kjer je sin(kx) = 0, amplituda stojece-

ga valovanja enaka 0. Ta mesta imenujemo vozli valovanja. Na drugih me-

stih, kjer je | sin(kx)| = 1, je amplituda stojecega valovanja maksimalna.4Idealno odprt je tisti konec cevi, pri katerem je hrbet odmikov in vozel tlaka. Idealno

zaprt pa je tisti konec cevi, pri katerem je hrbet tlaka in vozel odmikov.

7

Ta mesta imenujemo hrbti valovanja. Frekvence stojecega valovanja ime-

nujemo resonancne frekvence. Valovni vektor in kotno hitrost valovanja

dolocimo z upostevanjem robnih pogojev.

2.2.2 Resonancne frekvence zaprtih in odprtih cevi

Nekatera pihala in trobila lahko v prvem priblizku obravnavamo kot ravne

idealno odprte ali zaprte cilindricne cevi. Flavto lahko v prvem priblizku

obravnavamo kot na obeh koncih idealno odprto cilindricno cev [7]. In-

strumente kot je klarinet, lahko obravnavamo kot na vhodnem koncu ide-

alno zaprto in na izhodnem koncu idealno odprto cilindricno cev. Cev na

vhodnem koncu zapira jezicek.

Za cevi, odprte na obeh koncih, v najenostavnejsem modelu velja, da

je akusticni tlak na obeh koncih cevi enak nic [7]. Tako dobimo pogoj kn =

nπ/L, kjer je L dolzina cevi in n ∈ N. Valovni vektor in kotna hitrost

valovanja sta povezana z enacbo ω = ck, kjer je c hitrost sirjenja valovanja.

Resonancne frekvence, ki se lahko pojavijo v taki, na obeh straneh odprti

cevi, so enake νn = nc/2L. Najnizjo mozno resonancno frekvenco ν1 v cevi

imenujemo osnovna resonancna frekvenca. Ostale resonancne frekvence

so veckratniki osnovne resonancne frekvence (νn = nν1).

V cilindricnih ceveh, v katerih vzbujamo stojece valovanje z jezicki ozi-

roma vibrirajocimi ustnicami, je konec cevi, v katerega pihamo, zaprt [7].

Zato je tam vozel odmika in hrbet akusticnega tlaka. Drug konec cevi

je odprt, zato je na tem mestu hrbet odmika in vozel akusticnega tlaka.

Tako imamo drugacne zacetne pogoje kot pri na obeh straneh odprti cevi.

Osnovna resonancna frekvenca je v tem primeru enaka ν1 = c/4L. Visje

resonancne frekvence cevi pa so lihi mnogokratniki osnovne resonancne

frekvence (νn = (2n− 1)ν1). V tem primeru na enem koncu odprte in na

8

drugem koncu zaprte cevi so razmerja frekvenc ν1 : ν2 : ν3 . . . νn enaka

1 : 3 : 5 . . . (2n− 1).

2.2.3 Hitrost delov zraka pri zvoku v ceveh

Postavimo cev v koordinatni sistem tako, da je zacetek cevi na mestu x = 0

in konec cevi na mestu x = L. Amplitudo akusticnega tlaka, ki se siri

v smeri osi x, oznacimo z A. Amplitudo akusticnega tlaka, ki se siri v

nasprotni smeri, pa oznacimo z B. Tlak v cevi s kompleksnim zapisom

opisemo s splosno enacbo

p(x, t) = (Ae−ikx + Beikx)eiωte−βt, (5)

kjer s faktorjem e−βt v opis valovanja akusticnega tlaka v cevi vkljucimo se

dusenje. Kompleksni zapis valovanja akusticnega tlaka smo izbrali, ker na

ta nacin v obravnavo lazje vkljucimo casovne in krajevne fazne premike.

Konstanti A in B sta lahko kompleksni. Tako lahko poleg amplitude s kon-

stantama A in B opisemo tudi fazo valovanja. Na primer ieikx = ei(kx−π/2),

kar ustreza faznemu premiku π/2. Pri ustrezni izbiri konstant A in B ter

predpostavki, da pri valovanju v cevi ni dusenja (β = 0), enacba (5) po-

stane ekvivalentna enacbi (4) v razdelku 2.2.1.

Povezavo med akusticnim tlakom in hitrostjo delov zraka dobimo z

upostevanjem drugega Newtonovega zakona (F = ma) na majhnem kva-

dru zraka dV [10]. Vpliv sile teze dela zraka in sile vzgona na del zraka

lahko zanemarimo, saj je rezultanta teh dveh sil zanemarljivo majhna v

primerjavi z gradientno silo akusticnega tlaka (Fgr = −dVgradp). Prav

tako je pri obravnavi zvoka zaradi majhne amplitude odmikov totalni od-

vod hitrosti po casu priblizno enak parcialnemu odvodu hitrosti po casu

a = dv/dt ≈ ∂v/∂t. Drugi Newtonov zakon za del zraka tako zapisemo

9

v obliki

ρ0∂v∂t

= −gradp, (6)

kjer ρ0 prestavlja povprecno gostoto zraka. Ce zanemarimo vpliv sten ci-

lindricne cevi in vzamemo, da je cilindricna cev popolnoma ravna, so od-

miki vzporedni z osjo x in so neodvisni od koordinat y in z. Zato lahko v

tem primeru namesto gradp v enacbi (6) uporabimo ∂p/∂x in nadaljujemo

z skalarnim zapisom

ρ0∂v∂t

= −∂p∂x

. (7)

2.2.4 Akusticni prostorninski tok

Pri obravnavi sirjenja valovanja po razlicnih ceveh, predvsem tistih, ka-

terih presek se s krajem spreminja, je koristno namesto trenutne hitrosti

premikanja delov zraka uporabljati akusticni prostorninski tok U(x, t) [7].

Ta je definiran kot skalarni produkt med ploskvijo preseka cevi in trenutno

hitrostjo delov zraka na mestu x

U(x, t) = S(x) · v(x, t). (8)

Enacbo (7) lahko dodatno preoblikujemo tako, da na levi strani enacbe

stevec in imenovalec pomnozimo s presekom cevi na mestu x, S(x). Enac-

bo (7) tako zapisemo v obliki

ρ0

S∂U∂t

= −∂p∂x

. (9)

Parcialni odvod akusticnega prostorninskega toka po casu dobimo tako,

da parcialni odvod akusticnega tlaka po legi x

∂p∂x

= ik(−Ae−ikx + Beikx)e(iω−β)t (10)

10

vstavimo v enacbo (9) in dobimo

∂U∂t

=Sρ0

ik(Ae−ikx − Beikx)e(iω−β)t. (11)

Z integriranjem enacbe (11) dobimo

U =Sρ0

ikiω− β

(Ae−ikx − Beikx)e(iω−β)t. (12)

2.2.5 Akusticna impedanca

Pri nekaterih izracunih je uporabna akusticna impedanca Z. Ta je defini-

rana kot kvocient med akusticnim tlakom in akusticnim prostorninskim

tokom

Z =pa

U. (13)

Pri tem je potrebno poudariti, da je v enacbi (13) akusticni in ne trenutni

tlak. V nadaljevanju bomo vecinoma uporabljali akusticni tlak, zato bomo

indeks a pri simbolu akusticnega tlaka izpuscali. [7]

Pomen akusticne impedance lahko predstavimo z analogijo na impe-

danco v elektricnih vezjih. Akusticni tlak p je analogen elektricni nape-

tosti, akusticni prostorninski tok U elektricnemu toku in akusticna impe-

danca Z impedanci elementov v elektricnih vezjih. Pri obravnavi elek-

tricnih nihajnih krogov si veckrat pomagamo s kompleksnim zapisom ele-

ktricne napetosti, elektricnega toka in impedance elementov elektricnega

nihajnega kroga. S takim zapisom lazje v obravnavo vkljucimo fazo valo-

vanja. Podobno tudi pri obravnavi zvoka vcasih uporabimo kompleksni

zapis akusticnega tlaka, akusticnega prostorninskega toka in akusticne im-

pedance. Na ta nacin bolj enostavno upostevamo krajevni in casovni fazni

premik med akusticnim tlakom in akusticnim prostorninskim tokom.

Z enacbo (5), ki opisuje, kako se spreminja akusticni tlak v cevi, in

enacbo (12), ki opisuje, kako se spreminja akusticni prostorninski tok v

11

cevi, zapisemo akusticno impedanco z enacbo

Z(x) = Z0Ae−ikx + Beikx

Ae−ikx − Beikx , (14)

kjer je Z0 = (iω− β)ρ0/(ikS) karakteristicna impedanca cevi [8]. Ce pred-

postavimo, da ni dusenja, se izraz karakteristicne impedance cevi poe-

nostavi do oblike Z0 = cρ/S. Karakteristicna impedanca cevi realna v

primeru brez dusenja.

Z akusticno impedanco lahko analiziramo resonancne frekvence dveh

vrst cilindricnih cevi iz razdelka 2.2.2:

1. Na vhodu in izhodu idealno odprta cev (priblizek flavte).

2. Na vhodu idealno zaprta in na izhodu idealno odprta cev (priblizek

klarineta).

Na idealno odprtem koncu cevi je akusticna impedanca enaka nic, saj je

na tistem mestu vozel tlaka in hrbet akusticnega prostorninskega toka.

Na idealno zaprtem koncu cevi pa je situacija ravno obratna. Zato je tam

akusticna impedanca neskoncna. Po tem razmisleku dobimo v prvem pri-

meru dva zacetna pogoja:

• Z(x = 0) = 0 in

• Z(x = L) = 0.

Z upostevanjem prvega zacetnega pogoja Z(0) = Z0(A + B)/(A− B) =

0 dobimo zahtevo A = −B. S to zahtevo in drugim zacetnim pogojem

dobimo naslednjo zahtevo [9]

Z(x = L) = Z0e−ikL − eikL

e−ikL + eikL = 0

−Z0sh(ikL)ch(ikL)

= 0

12

−iZ0tg(kL) = 0. (15)

Iz zahteve (15) dobimo mozne resitve za valovni vektor k = nπ/L, ki se

ujemajo z ugotovitvami iz razdelka 2.2.2, ko smo obravnavali na obeh kon-

cih odprto cev brez uporabe akusticne impedance. Podobno postopamo v

drugem primeru, ki se razlikuje od prvega po tem, da je vhod cevi zaprt.

Zacetna pogoja sta v tem primeru:

• Z(x = 0) = ∞ in

• Z(x = L) = 0.

Z upostevanjem prvega zacetnega pogoja Z(0) = Z0(A + B)/(A− B) =

∞ dobimo zahtevo A = B. S to zahtevo in drugim zacetnim pogojem do-

bimo naslednjo zahtevo [9]

Z(x = L) = Z0e−ikL + eikL

Ae−ikL − eikL = 0

Z0 =ch(ikL)sh(ikL)

= 0

−iZ0ctg(kL) = 0. (16)

Iz zahteve (16) dobimo mozne resitve za valovni vektor k = (2n− 1)π/2L.

Resonancne frekvence se izrazajo z enacbo νn = (2n− 1)c/4L, ki se ujema

z ugotovitvami iz razdelka 2.2.2. [8]

2.2.6 Odboj in prepustnost valovanja na izhodu cevi

V razdelku 2.2.1 smo predpostavili, da se valovanje od idealno odprtega

ali idealno zaprtega konca cevi odbije. Z akusticno impedanco lahko to

pokazemo z racunom. Na koncu cevi (x = L) doloca razmerje tlaka in

prostorninskega pretoka impedanco ZL

ZL = Z0(AeikL + Be−ikL)

(AeikL − Be−ikL)(17)

13

BA

= e−2ikL ZL − Z0

ZL + Z0. (18)

Odbojni koeficient R je definiran kot razmerje jakosti zvoka vpadnega

zvocnega valovanja jv in jakosti zvoka odbitega zvocnega valovanja jo. Ker

je jakost zvocnega valovanja sorazmerna s kvadratom efektivnega aku-

sticnega tlaka

j ∝ p2e f , (19)

lahko reflekcijski koeficient izrazimo z amplitudo akusticnega tlaka vpa-

dnega valovanja in amplitudo akusticnega tlaka odbitega valovanja. Efek-

tivni akusticni tlak vpadnega valovanja je po definiciji enak

p2e fv

=1t0

∫ t0

0|pv|2dt. (20)

Kvadrat absolutne vrednosti akusticnega tlaka vpadnega valovanja je

|pv|2 = p∗p = A∗Aeikxe−ikxe−iωteiωt = A∗A = |A|2. (21)

Tako je p2e fv

= |A|2. Podobno je kvadrat absolutne vrednosti akusticnega

tlaka odbitega valovanja

|pv|2 = p∗p = B∗Be−ikxeikxe−iωteiωt = B∗B = |B|2. (22)

Kvadrat efektivne vrednosti akusticnega tlaka odbitega valovanja je p2e fo

=

|B|2. Reflekcijski koeficient se tako izraza z enacbo

R =jojv

=p2

e fo

p2e fv

=|B|2|A|2 =

∣∣∣∣ZL − Z0

ZL + Z0

∣∣∣∣2 . (23)

Iz enacbe 23) je ocitno, da na izhodu cevi ni odboja, ce je ZL = Z0. To

pomeni, da se vse valovanje iz izhoda cevi izseva v prostor. Popoln od-

boj nastane v primerih, ce je ZL = 0 ali ce je ZL = ∞. Ker za cevi brez

dusenja karakteristicna impedanca cevi Z0 nima imaginarnega dela, pride

do popolnega odboja tudi, ce ima ZL samo imaginarno komponento. [8]

14

Vsa trobila imajo veliko vhodno akusticno impedanco. Pri veliki vho-

dni akusticni impedanci valovanje v cevi z ustnicami lazje vzbudimo. Ce

je upor zraka v cevi dovolj velik, nihanje ustnic z odrivanjem zraka ustvari

zgoscine in razredcine, ki se sirijo po cevi kot valovanje. V nasprotnem pri-

meru, ko je akusticna impedanca na vhodu cevi zelo majhna, zrak v cevi

ne predstavlja dovolj velikega upora. Ustnice v tem primeru z nihanjem

v cevi ne ustvarjajo zgoscin in razredcin zraka, temvec se zrak samo pre-

mika, oziroma mesa. Za nastanek zvoka v cevi je torej potrebna velika

akusticna impedanca na vhodu cevi. Ko se cev konca, se akusticna impe-

danca naenkrat mocno zmanjsa. Iz enacbe (23) lahko sklepamo, da se v

tem primeru vecino zvoka od izhoda cevi odbije. Tako se zelo malo zvoka

izseva v prostor. Da se bo vec zvoka iz cevi izsevalo v prostor, moramo

zagotoviti nek dober prehod iz velike impedance na vhodu instrumenta

do majhne impedance na izhodu instrumenta.

2.3 Stozcaste cevi

Skupni lastnosti trobil sta njihova glasnost in njihov hitro razsirjajoc se li-

jak. Zato je pri obravnavi trobil dobro raziskati zvok v ceveh, ki se razsirjajo.

Poleg cilindricnih cevi bomo obravnavali tudi stozcaste cevi. Te se enako-

merno razsirjajo.

Iskanja funkcije, ki podaja spreminjanje akusticnega tlaka v takih ceveh

se bomo lotili z valovno enacbo

∇2p =1c2

∂2p∂t2 . (24)

Ce zanemarimo interakcije s stenami cevi, je tlak v stozcasti cevi odvi-

sen le od razdalje do temena stozca [7]. Zato si lahko resevanje valovne

enacbe poenostavimo z vpeljavo sfericnih koordinat. Tako bo tlak odvisen

15

od ene same spremenljivke. Laplaceov operator ima v sfericnih koordina-

tah ob predpostavki, da je akusticni tlak v cevi odvisen le od razdalje od

izhodisca (p = p(r)), obliko ∇2 = 1/r2 ∂/∂r r2 ∂/∂r [10]. Valovna enacba

ima v sfericnih koordinatah obliko

1r2

∂

∂rr2 ∂

∂rp =

1c2

∂2p∂t2 . (25)

Enacbo (25) lahko zapisemo v bolj kompaktni obliki z uporabo nastavka

p = R/r.1r2

∂

∂rr2 ∂

∂rRr=

1c2

∂2

∂t2Rr

1r2

∂

∂rr2(− R

r2 +1r

∂R∂r

)=

1c2

1r

∂2R∂t2

1r2

(−∂R

∂r+

∂R∂r

+ r∂2R∂r2

)=

1c2

1r

∂2R∂t2

∂2R∂r2 =

1c2

∂2R∂t2 . (26)

Valovna enacba v tej obliki je po obliki zelo podobna valovni enacbi za ci-

lindricne cevi v kartezicnih koordinatah [7]. Ce iscemo stacionarne resitve,

ki so oblike p(r, t) = p(r)eiωt, kjer je ω kotna hitrost valovanja, se enacba (26)

poenostavi do oblike∂2R∂r2 + k2R = 0, (27)

kjer je k valovni vektor in se izraza s kotno hitrostjo kot k = ω/c. Z

resevanjem poenostavljene valovne enacbe stojecega valovanja, enacbe (27),

dobimo splosno resitev

R = C1 cos kr + C2 sin kr. (28)

Splosna resitev, ki opisuje spreminjanje akusticnega tlaka je

p(r, t) =(

C1cos kr

r+ C2

sin krr

)eiωt. (29)

16

2.3.1 Neprisekane stozcaste cevi

Nekatere glasbene instrumente kot sta sopran saksofon in oboa lahko v pr-

vem priblizku obravnavamo kot na izhodu odprte neprisekane stozcaste

cevi [7]. Najprej obravnavajmo spreminjanje tlaka znotraj stozcaste cevi.

Iz splosne resitve (enacba (29)), ki opisuje spreminjanje akusticnega tlaka

v stozcastih ceveh, lahko z upostevanjem robnih pogojev pridemo do bolj

natancne enacbe. V enacbi (29) clen cos kr/r za neprisekano stozcastno cev

ne pride v postev, saj mora imeti v temenu stozca (pri r = 0) tlak koncno

vrednost. Temu zadosca clen sin kr/r, saj je

limr→0

sin krr

= k.

Enacbo (29) lahko za primer cevi neprisekanega stozca zapisemo krajse

kot

p = Csin kr

reiωt. (30)

Pri valovanjih, ki se sirijo v na izhodu odprti stozcasti cevi, dobimo ob

upostevanju robnega pogoja p(L) = 0, kjer je L visina stozcaste cevi,

vrednosti, ki jih lahko zavzema valovni vektor kn = nπ/L, kjer je n na-

ravno stevilo. Resonancne frekvence νn v tem primeru zavzemajo vredno-

sti nc/2L. Te zavzemajo enake vrednostih kot v primeru enako dolge na

obeh koncih odprte cilindricne cevi. Vendar je potrebno poudariti, da po-

teka akusticnega tlaka v stozcasti cevi in na obeh straneh odprti cilindricni

cevi nista enaka kljub temu, da so resonancne frekvence obeh cevi enake.

Do najvecjih razlik v obliki funkcije tlaka pride na zacetku cevi v prvi

polovici valovne dolzine (glej sliko 5). Resonancne frekvence cilindricne

cevi νn, ki je na vhodu zaprta in na izhodu odprta, zavzemajo vrednosti

(c/4L)(2n − 1), kjer je n naravno stevilo. Najnizja resonancna frekvenca

stozcastega instrumenta z jezickom na eni strani, kot sta na primer sopran

17

Slika 5: Primerjava akusticnega tlaka v stozcasti (modra krivulja) in cilindricni (rdeca

krivulja) cevi dolzine 35 cm. Stozcasta cev je neprisekana, cilindricna cev je odprta na

obeh straneh. Slika prikazuje 6. resonancno frekvenco (n = 6).

saksofon in oboa, je po zgornjih izracunih enaka νs1 = c/2L. Dvakrat visja

(oktavo visja) od najnizje resonancne frekvence stozcastega instrumenta je

resonancna frekvenca cilindricnega instrumenta iste dolzine, katere vhod

je zaprt in izhod odprt. Enaka je νc1 = c/4L. Primer takega instrumenta je

klarinet.

Iz slike 5 oziroma iz enacbe (30) lahko opazimo, da so hrbti tlaka obra-

tno sorazmerni z oddaljenostjo od koordinatnega izhodisca za razliko od

primerov v cilindricnih ceveh, kjer so hrbti tlaka vzdolz cevi konstantni

[7]. Vendar samo s podatki o amplitudi tlaka vzdolz cevi ne moremo ve-

liko povedati o tem, koliksen delez valovanja se od odprtega konca cevi

odbije in koliksen delez valovanja se izseva v prostor. To nam omogoca

akusticna impedanca cevi. Za izracun te potrebujemo podatek o aku-

sticnem prostorninskem toku. Do njega pridemo preko drugega Newto-

novega zakona, ki ga uporabimo na delu zraka v cevi dV (glej sliko 6) [10].

18

Z upostevanjem predpostavke, da sta totalni in parcialni odvod hitrosti po

Slika 6: Osnovne oznake, ki so potrebne za izpeljavo akusticnega prostorninskega toka

v stozcu. Oznaka dV predstavlja prostornino zraka med ploskvama S(r) in S(r + dr) ter

stenami cevi. Oznaki p(r) in p(r + dr) predstavljata tlak na mestih r in r + dr.

casu pri obravnavi zvoka priblizno enaka (dv/dt ∼ ∂v/∂t), lahko drugi

Newtonov zakon za del zraka dV zapisemo v obliki

m∂v∂t

= p(r + dr)S(r + dr) + p(r)S(r). (31)

Ploskev S je sorazmerna s kvadratom oddaljenosti od koordinatnega iz-

hodisca (S ∝ r2). Iz vektorske enacbe (31) lahko preidemo na skalarno, saj

so vsi vektorji vzporedni z vektorjem r. Enacbo (31) lahko tako zapisemo

v poenostavljeni obliki

m∂v∂t

= K(p(r + dr)(r + dr)2 − p(r)S(r))

19

ρKr2dr∂v∂t

= K(p(r + dr)(r + dr)2 − p(r)S(r))

ρ∂U∂t

= K(p(r + dr)(r + dr)2 − p(r)S(r))

ρ∂U∂t

= K∂(pr2)

∂r, (32)

kjer je ρ gostota zraka in K sorazmernostna konstanta med S in r2 (S =

Kr2). Odvajamo desno stran enacbe (32) in dobimo

ρ∂U∂t

= K∂(r2p)

∂r= C(sin kr + kr cos kr)eiωt. (33)

Z integriranjem enacbe (33) po casu dobimo enacbo, ki opisuje kra-

jevno in casovno spreminjanje akusticnega prostorninskega toka v cevi

neprisekanega stozca

U =C′

ρkc[sin(kr) + kr cos(kr)] (−i)eiωt. (34)

Faktor−i pred eksponentom eiωt pomeni, da je faza valovanja akusticnega

prostorninskega toka premaknjeno za −π/2 glede na fazo valovanja aku-

sticnega tlaka. Vendar fazni premik ne vpliva na lego vozlov in hrbtov va-

lovanja. Krajevno odvisnost valovanja akusticnega prostorninskega toka

opisuje enacba

U =C′

ρkc[sin(kr) + kr cos(kr)] . (35)

Slika 7 prikazuje spreminjanje tlaka in prostorninskega pretoka v odvi-

snosti od lege v stozcasti cevi. Za razliko od cilindricne cevi opazimo, da

se vrhovi tlaka ne prekrivajo vec z vozli akusticnega prostorninskega toka.

To je se posebej ocitno na zacetku cevi. Hrbti akusticnega prostorninskega

toka se povecujejo sorazmerno z razdaljo od temena stozca, hrbti tlaka pa

se z razdaljo od temena stozca zmanjsujejo obratno sorazmerno. Stozcasti

del cevi tako deluje kot akusticni transformator, ki spreminja visoko impe-

danco na vhodu cevi, v nizko impedanco na odprtem koncu cevi. V tako

20

Slika 7: Odvisnost tlaka in akusticnega prostorninskega toka v odvisnosti od lege v

stozcasti cevi za cetrto resonancno frekvenco (n = 4). Cev je dolga 35 cm.

oblikovanih menzurah se veliko vecji del valovanja iz izhoda instrumenta

izseva v prostor. [7]

2.4 Websterjeva enacba

Ceprav je veliko trobilnih instrumentov sestavljenih iz vecjih delov cilin-

dricnih cevi, imajo vsa trobila na koncu cevi hitro razpirajoc se del, ime-

novan lijak.

Tipicna trobilna instrumenta sta trobenta in pozavna. Njuna cev je pri-

blizno polovico dolzine priblizno cilindricna. Ostali del sestavlja rahlo

razpirajoca se cev in proti koncu cevi hitro razpirajoc se del cevi (lijak).

Ostale vrste trobil imajo na zacetku daljsi stozcast del. Dober predstavnik

takih trobil je rog.

Fizikalni vpogled v vpliv oblike menzure na resonancne frekvence ti-

picnih trobil nam omogoca tako imenovana Websterjeva enacba. Ime se je

21

obdrzalo, kljub temu da originalno izvira iz casov Bernoullija [8]. Webster-

jevo enacbo dobimo iz valovne enacbe ob predpostavki ravnih valovnih

front. Zapisemo jo kot

1S

∂

∂x

(S

∂p∂x

)=

1c2

∂2p∂t2 , (36)

kjer S predstavlja presek cevi na mestu x. Ce predpostavimo, da se cev

ne razsirja prehitro, se lahko s priblizkom ravne valovne fronte kar dobro

priblizamo eksaktnim rezultatom in ohranimo bistveno fiziko.

Ce naredimo zamenjavo p = ψ√

S in iscemo resitve stojecega valovan-

ja (ψ(x)eiωt), ima enacba (36) obliko

∂2ψ

∂x2 +

[(ω

c

)2− 1

a∂2a∂x2

]ψ = 0, (37)

v kateri je radij cevi a funkcija lege x [7]. Ce clene zgornje enacbe malo

premesamo, dobimo enacbo(ω

c

)2ψ = −∂2ψ

∂x2 +1a

∂2a∂x2 ψ (38)

in opazimo, da je enacba (37) analogna stacionarni enodimenzionalni Schro-

dingerjevi enacbi [11]

Eψ = − h2

2m∂2ψ

∂x2 + V(x)ψ. (39)

E v prvem clenu enacbe (39) predstavlja skupno energijo delca. Ta je analo-

gna clenu (ω/c)2 v enacbi (38). Clen 1/a ∂2a/∂x2 ψ v enacbi (38) je analo-

gen clenu V(x)ψ v Schrodingerjevi enacbi (39), ki predstavlja potencialno

energijo. Clen−∂2ψ/∂x2 iz enacbe (38) je analogen clenu−h2/2m ∂2ψ/∂x2,

ki predstavlja kineticno energijo v Schrodingerjevi enacbi (39), kjer je h

Planckova konstanta in m masa delca. Zgornja analogija nam pomaga

razumeti, kako oblika cevi vpliva na valovanje akusticnega tlaka v cevi.

22

Valovanje akusticnega tlaka v cevi obravnavamo analogno, kot obravna-

vamo delec pri kvantni mehaniki, ki se giblje v potencialu. Oblika te cevi

doloca neke vrste ”potencial cevi”, ki vpliva na sirjenje valovanja aku-

sticnega tlaka v cevi. V clenu enacbe (38), ki je analogen potencialu v

Schrodingerjevi enacbi, a predstavlja radij cevi.

Z uporabo pojma ukrivljenosti cevi κ = 1/R, kjer je R radij ukrivlje-

nosti, lahko ”potencial cevi” zapisemo bolj kompaktno [12]. Fizikalno

ukrivljenost interpretiramo kot stopnjo spreminjanja tangentnega vektorja

t vzdolz krivulje. Naj bo s dolzina loka krivulje med izbrano izhodiscno

tocko in opazovano tocko na krivulji. Ukrivljenost cevi zapisemo z enacbo

∂t∂s

=∂

∂s∂a∂x

. (40)

Pri dovolj majhnih spremembah ukrivljenosti cevi je ∂a/∂x ≈ ∂a/∂s. Radij

ukrivljenosti cevi je v tem priblizku R ≈ (∂2a/∂x2)−1. ”Potencial cevi” v

enacbi (38) lahko zapisemo kot 1/aR. Valovanje akusticnega tlaka v cevi

zacne eksponentno pojemati, ko je

1/aR > (ω/c)2. (41)

Podobno pricakujemo tudi pri kvantni mehaniki za delec, ki naleti na po-

tencialno bariero, katere potencial je vecji od energije delca. Na ta nacin

lahko dolocimo kriticno frekvenco ωc, nad katero obstajajo resitve enac-

be (37), ki opisujejo stojece valovanje

ω > ωc =c√aR

. (42)

Za frekvence valovanja, ki so manjse od kriticne frekvence ωc, resitve enac-

be (37) eksponentno pojemajo, kot e−x/δeiωt, kjer je δ = c/√

ω2c −ω2. [7]

Sirjenje zvocnega valovanja v cevi je analogno sirjenju valov, s kateri-

mi opisemo delec v krajevno spreminjajocem se potencialu. Ce je ukri-

vljenost cevi dovolj velika, se valovanje odbije preden doseze odprt izhod

23

instrumenta. Vendar tako kot lahko delec v kvantni mehaniki tunelira

skozi potencialno bariero, lahko valovanje akusticnega tlaka z manjso fre-

kvenco od kriticne frekvence tunelira skozi hitro razsirjajoc se del cevi v

prostor [7]. Za take razsirjajoce cevi, lahko iz enacbe (42) izrazimo pogoj,

pri katerem se valovanje od razsirjajocega dela cevi odbije.

ω2odb. <

c2

aR

aR <1

k2odb.

(2π)2aR < λodb. (43)

Ko se cev razsirja, se polmer cevi a povecuje. Hkrati se zmanjsuje radij

ukrivljenosti R. Pri lijakih trobil se ukrivljenost cevi povecuje hitreje kot

polmer cevi. To pomeni, da se radij ukrivljenosti cevi manjsa hitreje kot

polmer cevi. Iz pogoja (43) lahko sklepamo, da, za valovanja z manjso

valovno dolzino, tocka odboja nastopi pozneje kot za valovanja z vecjo

valovno dolzino. Efektivna dolzina takih cevi, katerih premer se hitro

povecuje s krajem, je krajsa za nizke resonancne frekvence kot efektivna

dolzina cevi visokih resonancnih frekvenc. To prikazuje slika 9.

2.5 Salmonove cevi

Za cevi, ki se hitro razsirjajo, ∂a/∂x ni vec priblizno enak ∂a/∂s. Pribli-

zek (∂2a/∂x2)−1 = R zato ni vec ustrezen. Pri izracunu ”potenciala cevi”

priblizka 1/(aR) ne moremo vec uporabljati. Uporabiti moramo izraz

1/a ∂2a/∂x2.

Skupina posebnih oblik cevi, imenovanih Salmonove cevi, je za teo-

reticno obravnavo zelo uporabna. Z njimi lahko priblizno opisemo neka-

tere oblike delov cevi tipicnih trobil in jih analiticno enostavno resimo [8].

24

Skupna znacilnost Salmonovih cevi je v tem, da je ”potencial cevi” in s

tem kriticna frekvenca ωc konstanten po celotni dolzini cevi. To zahtevo

po konstantnem ”potencialu cevi” zapisemo z diferencialno enacbo

∂2a∂x2 − am2 = 0, (44)

kjer je m2 konstanta. Resitve enacbe (44) so

a = Aemx + Be−mx. (45)

V bolj prirocni obliki lahko zgornjo enacbo (45) zapisemo z uporabo hiper-

bolicnih funkcij

a = a0(cosh mx + T sinh mx), (46)

kjer je T parameter, ki doloca obliko Salmonove funkcije. Enacbo (37)

lahko zapisemo v poenostavljeni obliki kot

∂2ψ

∂x2 +

[(ω

c

)2−m2

]ψ = 0. (47)

Funkcije, ki opisujejo valovanje akusticnega tlaka v takih ceveh, imajo

splosno obliko

p(x) =p0

ae−i(

√k2−m2x−ωt), (48)

kjer je k = ω/c. Za cevi, pri katerih je k2 > m2, obstajajo resitve enacbe,

ki opisujejo stojece valovanje. Za cevi, pri katerih to ne velja, je valovanje

akusticnega tlaka v cevi eksponentno duseno. Skupina cevi, ki jih opisuje

enacba (46), ima tri degenerirane oblike. Prva je v primeru, ko je parameter

T = 1. V tem primeru ima enacba (46) obliko eksponentne funkcije

a = a0emx. (49)

Radij cevi se z lego eksponentno povecuje. Drugi degeneriran primer

enacbe (46) je pri vrednosti parametra T = 0. V tem primeru je funkcija,

25

ki opisuje spreminjanje radija cevi z lego enaka

a = a0 cosh mx. (50)

Za razliko od eksponentne funkcije radija cevi funkcija hiperbolicnega ko-

sinusa omogoca gladko sklopitev s cilindricno cevjo, saj je na mestu x = 0

odvod te funkcije po legi enak 0. Tretja degeneracija enacbe (46) je s para-

metrom T = x/x0m pri pogoju, da gre m proti 0. Tako dobimo degeneri-

rano enacbo

a = a0(1 + x/x0). (51)

Cevi, ki jih opisuje enacba (51), so stozcaste s temenom stozca pri x = −x0.

V posebnem primeru, ko je x � x0, enacba (51) opisuje cilindricno cev.

”Potencial cevi” je v teh primerih stozcaste in cilindricne cevi enak 0, kar

je v skladu s tem, da cilindricne in stozcaste cevi nimajo kriticne frekvence,

pod katero bi bilo valovanje akusticnega tlaka eksponentno duseno.

Za Salmonove cevi, ki jih opisuje eksponentna funkcija ali funkcija hi-

perbolicnega kosinusa, velja, da se valovanje s frekvenco, vecjo od kriticne

frekvence νc = mc/(2π), prosto siri vzdolz zracnega stolpca. Za frekvence

sirjenja valovanja, ki so manjse od kriticne frekvence νc, je valovanje ek-

sponentno duseno.

2.6 Besselove cevi

Naslednja zanimiva skupina oblik cevi so Besselove cevi. Zanimive so, ker

z njimi lahko opisemo realne zelo hitro razpirajoce se lijake, ki sestavljajo

vecino trobilnih instrumentov [8]. Za te oblike cevi lahko analiticno resimo

enacbo (37). Definirane so kot a = Bx−m. Za dolocene vrednosti parametra

m dobimo v okviru Besselovih funkcij nekatere degenerirane oblike. Ce je

parameter m = 0, dobimo funkcije oblike a = B, ki opisujejo cilindricne

26

cevi. Pri parametru m = −1 dobimo funkcije oblike a = Bx, ki opisujejo

stozcaste cevi. Enacba (37) se za Besselove cevi zapise kot

∂2ψ

∂x2 +

[(ω

c

)2− m(m + 1)

x2

]ψ = 0. (52)

Ce predpostavimo, da so valovne fronte v cevi ravne, so resitve zgornje

enacbe [9]

ψ(x) = x12 Jm+ 1

2(kx). (53)

Akusticni tlak se s krajem od odprtega izhoda cevi proti vhodu spreminja

po enacbi

p(x) = Axm+ 12 Jm+ 1

2(kx), (54)

kjer je Jm+ 12(kx) cilindricna oziroma Besselova funkcija reda m + 1/2, po

kateri so take cevi dobile ime.

Analiticna resitev nam pomaga pri obravnavi instrumentov z zelo hi-

tro razsirjajocim se lijakom [8] . Pri tem se moramo zavedati, da so vsi

ti izracuni narejeni na podlagi predpostavke ravne valovne fronte, ki pa

za hitro razsirjajoce cevi ni vec ustrezna, saj je lahko na nekaterih me-

stih ukrivljenost valovne fronte celo vecja od ukrivljenosti cevi. O tem

se lahko prepricamo s kratkim razmislekom. V priblizku ravne valovne

fronte je ”potencial cevi” Besselovih cevi oblike m(m + 1)/x2. Ta narasca

v neskoncnost, ko gre x proti 0. ”Potencial cevi” narasca v neskoncnost,

ko se priblizujemo izhodu cevi (glej sliko 8a ). Torej se bi moralo vse va-

lovanje odbiti od odprtega izhoda cevi in se nebi nic valovanja izsevalo iz

odprtega izhoda cevi. Boljsi priblizek realni situaciji je priblizek sfericnih

valovnih front (glej sliko 8b).

Kljub velikim napakam zaradi priblizka ravne valovne fronte, si lahko

s temi izracuni ustvarimo priblizno predstavno o vplivu hitro razsirjajoce-

ga lijaka na resonancne frekvence [7]. Pomembna stvar pri tej obravnavi

27

Slika 8: Grafa prikazujeta ”potencial cevi” v odvisnosti od lege v a) priblizku ravne

valovne fronte in b) priblizku sfericne valovne fronte [8].

je nacin, kako hitro razsirjajoc se del menzure potiska vozle akusticnega

tlaka proti vhodu cevi. Efektivna dolzina cevi je zato skrajsana in reso-

nancne frekvence se zvisajo. Ta pojav prikazuje slika 9. Efekt teh je naj-

bolj opazen pri nizjih resonancnih frekvencah. Hitro razsirjajoc se lijak in

tudi vse menzure z navzven obrnjeno ukrivljenostjo sten cevi unicujejo

harmonicnost resonancnih frekvenc. To je splosen rezultat za vse cevi z

hitro razsirjajocim lijakom. Zavedati se moramo, da na lego vozlov vpliva

tudi ukrivljenost valovne fronte, kar malo spremeni frekvence resonanc.

Vendar za kvalitativen opis zadoscajo tudi zgornji izracuni, v katerih smo

vzeli priblizek ravne valovne fronte.

28

Slika 9: Osnovni in cetrti nihajni nacin v Besselovi cevi z m = 1/2, dolzine 1, 5 m. Rdeca

crta predstavlja amplitudo akusticnega tlaka v Besselovi cevi z m = 1/2, zelena crta pa k

Besslovi funkciji ekstrapolirano sinusno funkcijo. Na zgornjem grafu je osnovni nihajni

nacin, na spodnjem pa cetrti.

29

3 Prisekane stozcaste cevi

Cev neprisekanega stozca, ki smo jo obravnavali v razdelku 2.3.1, za tro-

bila ni dober priblizek. Dodajanje ustnika oziroma mikrofona na vhod

cevi zahteva, da teme stozca odrezemo in tako uporabljamo cev priseka-

nega stozca. To lahko spremeni resonancne frekvence v stozcasti cevi.

3.1 Tlak v cevi prisekanega stozca

Enacba (29) opisuje spreminjanje akusticnega tlaka znotraj stozcaste cevi.

Postavimo cev prisekanega stozca v koordinatni sistem, kot kaze slika 10.

Crtkane crte prikazujejo navidezni del stozca in polne crte prisekan stozec.

Oznaka d predstavlja razdaljo od koordinatnega izhodisca do vhoda cevi

prisekanega stozca. Oznaka L predstavlja dolzino cevi prisekanega stozca.

Oznaki r1 in r2 predstavljata polmer vhoda cevi in polmer izhoda cevi. Za

Slika 10: Postavitev cevi prisekanega stozca v koordinatni sistem.

razliko od primera neprisekanega stozca, v tem primeru ne moremo kar

predpostaviti, da je clen enacbe (29), A cos(kr)/r, enak nic, saj vrednost

tega clen na vhodu cevi ni neskoncna. Enacbo (29) za primer prisekane

30

stozcaste cevi zapisimo v bolj kompaktni obliki kot

p(r) = Csin(kr + δ)

r. (55)

Za opis valovanja v cevi je bolj pregledno, ce je vhod cevi postavljen v ko-

ordinatno izhodisce. Zato moramo enacbo (55) popraviti. Dobimo enacbo

p(r) = Csin(k(r + l))

r + d, (56)

kjer je l = d + δ/k in d razdalja od navideznega temena stozca do vhoda

cevi. Do koeficienta l pridemo s predpostavko, da je na vhodu cevi ma-

ksimum akusticnega tlaka. Tako dobimo pogoj p′(r + d) = 0 iz katerega

izhaja enacba

C[−sin(kl)

d2 +k cos(kl)

d

]= 0

dk cos(kl) = sin(kl)

tg(kl) = dk

l =arctg(dk)

k, (57)

ki povezuje koeficient l z razdaljo vhoda cevi prisekanega stozca do navi-

deznega temena stozca d.

3.2 Resonancne frekvence prisekane stozcaste cevi

Podobno kot v razdelku 2.3.1 bomo tudi v tem razdelku z upostevanjem

robnih pogojev prisli do vrednosti, ki jih lahko zavzema valovni vektor

v resonancah. Iz valovnega vektorja bomo nato sklepali na resonancne

frekvence.

Poleg predpostavke, da je na vhodu cevi maksimum akusticnega tlaka,

ki smo jo uporabili v razdelku 3.1, na tem mestu uporabimo se predpo-

stavko, da je na koncu cevi akusticni tlak enak 0. Na ta nacin dobimo dva

robna pogoja:

31

1. p′(d) = 0 in

2. p(d + L) = 0,

ki ju uporabimo pri resevanju enacbe (55).

1. Iz enacbe (55) in prvega zacetnega pogoja, dobimo enacbo

A[−sin(k(d + δ))

d2 +k cos(k(d + δ))

d

]= 0. (58)

Konstanta A v enacbi (58) mora biti razlicna od 0, saj v nasprotnem

primeru dobimo samo trivialno resitev. Enacbo (58) delimo z A in

mnozimo z d2. Dobimo enacbo

kd cos(k(d + δ)) = sin(k(d + δ)). (59)

Enacbo (59) delimo s cos(k(d + δ)). Dobimo enacbo

tg(k(d + δ)) = kd. (60)

2. Iz enacbe (55) in drugega zacetnega pogoja dobimo enacbo

Asin(k(d + L + δ))

d + L= 0. (61)

Enacbo (61) delimo s konstanto A in mnozimo z d + L. Dobimo

enacbo

sin(k(d + L + δ)) = 0. (62)

Z osnovnimi obrazci trigonometricnih funkcij, sin(α± β) = sin α cos β±

cos α sin β, zapisimo enacbo (62) v obliki

sin(k(d + δ)) cos(kL) + cos(k(d + δ)) sin(kL) = 0. (63)

Enacbo (63) delimo s cos(k(d + δ)). Dobimo enacbo

tg(k(d + δ)) cos(kL) + sin(kL) = 0. (64)

32

Z uporabo enacbe (60) lahko enacbo (64) zapisemo kot

kd cos(kL) + sin(kL) = 0. (65)

Enacbo (65) delimo s cos(kL). Dobimo enacbo

tg(kL) = −kd. (66)

Dobili smo enacbo, ki povezuje dolzino cevi L z razdaljo od koordinatnega

izhodisca do vhoda cevi d. S podobnimi trikotniki (glej sliko 10) lahko

dolocimo povezavo med dolzino cevi L in razdaljo med izhodiscem koor-

dinatnega sistema in vhodom cevi d

dr1

=d + L

r2. (67)

Zapisemo lahko enacbo, ki opisuje, kako se d spreminja z L v odvisnosti

od razmerja polmerov R = r2/r1

d =L

R− 1. (68)

Z enacbo (68) lahko enacbo (66) prepisemo v obliko

tg(kL) = − kLR− 1

. (69)

Iz enacbe (69) lahko sklepamo na resonancne frekvence v stozcasti cevi,

ki je zelo podobna cilindricni cevi. V limiti, ko postaja stozcasta cev ci-

lindricna, gre razmerje polmera izhoda in polmera vhoda cevi proti 1.

Enacba (69) ima obliko tg(kL) = ∞. Valovni vektor k lahko v tem pri-

meru zavzema vrednosti (π/(2L))(2n− 1). Resonancne frekvence v taki

cevi so (c/(4L))(2n − 1). Ta rezultat se ujema z izracuni na vhodu za-

prte cilindricne cevi iz razdelka 2.2.2. Do drugega limitnega primera pri-

demo, ko postaja premer cevi na vhodu zanemarljivo majhen v primerjavi

33

s premerom cevi na izhodu. Taka cev postaja podobna cevi nepriseka-

nega stozca. V limiti, ko gre razmerje R proti neskoncno, ima enacba (69)

obliko tg(kL) = 0. Valovni vektor k lahko v tem limitnem primeru za-

vzema vrednosti k = nπ/L. Tudi ta rezultat limitnega primera se ujema z

izracunanimi rezultati v razdelku 2.2.2. Opazimo lahko, da so resonancne

frekvence v teh dveh primerih harmonicno razporejene. To pomeni, da

so visje resonancne frekvence vsi mnogokratniki osnovne (najnizje) reso-

nancne frekvence.

Za cevi med limitnima primeroma resonancne frekvence niso vec har-

monicno razporejene. Odvisnost valovnega vektorja k od dolzine cevi

lahko razberemo iz grafa na sliki 11. Na njem so narisane tri funkcije.

Funkcija tg(kL) (rdeca crta), ki predstavlja levo stran enacbe (69), in funk-

ciji f1 (zelena crta) in f2 (modra crta), ki sta oblike f1,2 = − kLR1,2−1 . Ti

predstavljata desno stran enacbe (69) za vrednosti razmerja polmerov iz-

hoda in vhoda cevi R1 = 1, 1 in R2 = 10. Valovni vektor k je sorazme-

ren s frekvenco ν. Frekvenca se z valovnim vektorjem izraza z enacbo

ν = kc/(2π), kjer je c hitrost sirjenja valovanja. Resitve enacbe (69) so x

koordinate presecisca funkcije na levi strani enacbe (tg(kL)) in funkcije na

desni strani enacbe (−kL/(R − 1)). Na sliki 11 so presecisca oznacena s

tockami od T1 do T6. Resonancne frekvence, ki smo jih s takim postop-

kom dobili za 35 cm dolgo cev prisekanega stozca z razmerjem polmera

izhoda in vhoda cevi R = 10, so v tabeli 1. Za primerjavo so v cetrtem

in petem stolpca tabele 1 resonancne frekvence na obeh straneh odprte ci-

lindricne cevi enake dolzine in resonancne frekvence na vhodu zaprte in

izhodu odprte cilindricne cevi enake dolzine. Iz tabele 1 lahko razberemo,

da je prva resonancna frekvenca cevi prisekanega stozca bolj podobna re-

sonancni frekvenci na obeh straneh odprte cilindricne cevi kot resonancni

34

Slika 11: Graf je namenjen graficnemu resevanju enacbe (69).

n kL ν[Hz] νo[Hz] νz[Hz]

1 2, 85 445 486 243

2 5, 75 898 973 730

3 8, 69 1357 1459 1216

4 11, 66 1820 1946 1703

5 14, 70 2296 2432 2189

Tabela 1: Prvih pet resonancnih frekvenc 35 cm dolgih cevi.

frekvenci na vhodu zaprte cilindricne cevi. Peta resonancna frekvenca

cevi prisekanega stozca je nasprotno bolj podobna resonancni frekvenci

na vhodu zaprte cilindricne cevi kot resonancni frekvenci na obeh straneh

odprte cevi.

Do te ugotovitve lahko pridemo tudi direktno iz grafa na sliki 11. Og-

lejmo si najprej primer majhnih vrednosti valovnega vektorja. Ce skle-

35

pamo iz enacbe (69), da je

k =arctg( kL

R−1)

L≈ 0, (70)

ugotovimo, da mora biti −kL/(R− 1) ≈ 0 in posledicno kL � R− 1. Z

enacbo (68) lahko pogoj napisemo v bolj kompaktni obliki

kd(R− 1)� (R− 1)

kd� 1 oziroma d� 2πλ. (71)

V primeru velikih vrednostih valovnega vektorja iz enacbe (69) sklepamo,

da je

k =arctg( kL

R−1)

L≈ π

2L(72)

in ugotovimo, da mora biti −kL/(R − 1) ≈ ∞. Posledicno velja kL �

R− 1. Z enacbo (68) lahko pogoj napisemo v bolj kompaktni obliki

kd(R− 1)� (R− 1)

kd� 1 oziroma d� 2πλ. (73)

36

3.3 Meritve tlaka v cevi prisekanega stozca

Teoreticna ugotovitev, da so resonancne frekvence v cevi lahko nehar-

monicno razporejene, je na prvi pogled malo nenavadna. Z namenom

preveriti teoreticne rezultate sem izvedel meritve tlaka v cevi prisekanega

stozca. Postavitev meritve prikazujeta slika 12 in skica na sliki 13.

Slika 12: 1 Stojalo za cev, 2 Mikrofon, 3 Cev prisekanega stozca, 4 Palica za mikro-

fon, 5 Stojalo za mikrofon, 6 Stojalo za ravnilo, 7 Ravnilo, 8 Ojacevalnik, 9 Napajanje

ojacevalnika, 10 Osciloskop, 11 Generator sinusne napetosti, 12 Stojalo za zvocnik, 13

Zvocnik.

Iz trdne umetne mase sem izdelal cev prisekanega stozca z visino 35

cm, z vhodom cevi premera 2 cm in izhodom premera 20 cm. Cev priseka-

nega stozca sem pripel s stojalom za cev tako, da je bila simetrijska os cevi

37

Slika 13: 1 Generator sinusne napetosti, 2 Zvocnik, 3 Stozcasta cev, 4 Mikrofon, 5

Ojacevalnik, 6 Osciloskop.

prisekanega stozca vodoravna. K vhodu cevi sem s pomocjo stojala po-

stavil zvocnik. Zvocnik sem postavil tako, da je bila membrana zvocnika

5 mm ali manj oddaljena od vhoda cevi. Premer membrane zvocnika je 4

cm. Zvocnik sem priklopil na generator sinusne napetosti. Z generatorjem

sinusne napetosti sem lahko reguliral amplitudo napetosti ter frekvenco

med 400 Hz in 3000 Hz. Na ta nacin sem lahko dosegel, da je membrana

zvocnika nihala z ustrezno frekvenco in amplitudo. Majhen mikrofon pre-

mera 4 mm sem prilepil na dolgo tanko palico. Palico sem postavil na

stojalo, ki je palico podpiralo na dveh tockah. Stojalo sem dvignil na tako

visino in obrnil v tako smer, da se je palica lahko gibala le v smeri sime-

trijske osi prisekanega stozca. Nad palico sem s stojalom za ravnilo pri-

pel ravnilo tik nad palico. Na palici sem si izbral referencno tocko in na

ta nacin meril premike palice in mikrofona vzdolz simetrijske osi prise-

kanega stozca. Napetost iz mikrofona sem preko ojacevalnika, katerega

sem napajal z napetostjo 8 V in −8 V, peljal na osciloskop. Iz osciloskopa

sem lahko odcital frekvenco valovanja in amplitudo napetosti. Amplituda

napetosti je sorazmerna z amplitudo akusticnega tlaka. Na ta nacin sem

preko amplitude napetosti, ki sem jo odcital na osciloskopu meril ampli-

38

tudo akusticnega tlaka na mestu, kjer je bil postavljen mikrofon. Meritev

sem postavil tako, da se je zvok iz cevi lahko prosto siril ven. S tem sem

preprecil nastanek stojecega valovanja, ki bi bilo posledica odboja valova-

nja od kaksne stene.

Meritve sem zacel tako, da sem mikrofon postavil cim blize vhodu

cevi. Tam sem, po izracunih iz razdelka 3.1, pricakoval hrbet akusticnega

tlaka pri stojecem valovanju vseh resonancnih frekvenc. Spreminjal sem

frekvenco zvocnika ter na osciloskopu opazoval spreminjanje amplitude.

Frekvence, pri katerih sem opazil lokalni maksimum amplitude, sem si

izpisal ter jih oznacil kot potencialne resonancne frekvence cevi priseka-

nega stozca. Nato sem brez premikanja zvocnika odstranil cev priseka-

nega stozca ter pri frekvencnem obmocju okrog posameznih potencialnih

resonancnih frekvenc izmeril amplitudo akusticnega tlaka na razlicnih od-

daljenostih od mikrofona. S tem sem pokazal, da maksimumi akusticnega

tlaka niso nastali zaradi stojecega valovanja, ki ni povezano s cevjo. Iz-

merki so zapisani v prilogi 1 in graficno predstavljeni na slikah 14, 15

in 16. Prepricati se je potrebno se, da posamezni maksimumi akusticnega

tlaka niso posledica frekvencne karakteristike zvocnika in mikrofona. Fre-

kvencno karakteristiko zvocnika in mikrofona sem izmeril tako, da sem

blizu zvocnika postavil mikrofon in pri razlicnih frekvencah odcital am-

plitudo tlaka. Izmerki so zapisani v prilogi 2 in graficno predstavljeni na

sliki 17. Na ta nacin sem dobil tri frekvence, pri katerih se je pojavil maksi-

mum akusticnega tlaka, ki ni posledica stojecega valovanja, ki bi nastalo

zaradi odboja od kaksnih predmetov, ali posebne frekvencne karakteri-

stike mikrofona in zvocnika. Za te frekvence sem predpostavil, da so re-

sonancne frekvence cevi prisekanega stozca. Brez premikanja mikrofona

sem postavil cev prisekanega stozca na prvotno mesto in pricel z merjenji

39

amplitude tlaka v odvisnosti od lege mikrofona pri resonancnih frekven-

cah. Izmerki so zapisani v prilogi 3 in graficno prestavljeni na slikah 18, 19

in 20.

3.4 Analiza meritev

Pri analiziranju izmerjenih podatkov in risanju grafov sem si pomagal z

racunalniskim programom Gnuplot. Pri dolocanju funkcije, ki se najbolj

prilega izmerkom je program Gnuplot zelo uporaben. Dovolj je, da po-

znamo obliko funkcije za katero menimo, da se bo najbolj prilegala iz-

merkom, na primer y(x) = A sin(kx + δ), in priblizno vrednost nekaterih

njenih parametrov, na primer k = 2 in δ = π/2. S programom Gnuplot

lahko izracunamo vrednosti parametrov, za katere se dana funkcija najbolj

prilega izmerkom.

Najprej sem analiziral meritve amplitude akusticnega tlaka v odvisno-

sti od razdalje od zvocnika brez cilindricne cevi. Iz predpostavke, da v

tem primeru ni stojecega valovanja, sledi, da se amplituda akusticnega

tlaka spreminja obratno sorazmerno z razdaljo. Na ta nacin sem dolocil

obliko funkcije, ki se najbolj prilega izmerkom kot

p(r) =a

r + d. (74)

S programom Gnuplot sem dolocil parametra funkcije a in d, podana

z enacbo (74). Parametri in statisticna napaka parametrov funkcije, ki jih

doloci program Gnuplot, so predstavljeni v tabeli 2. Ker nas absolutna am-

plituda akusticnega tlaka pri obravnavi resonancnih frekvenc ne zanima,

bomo v nadaljevanju amplitudo akusticnega tlaka navajali v relativnih

(brezdimenzijskih) enotah. Meritve in funkcije, ki se najbolj prilagajo me-

ritvam so predstavljene na slikah 14, 15 in 16. Nato sem graficno predstavil

40

Slika 14: Meritve amplitude akusticnega tlaka v odvisnosti od razdalje mikrofona od

zvocnika na frekvencnem obmocju od 1100 Hz do 1220 Hz.

Slika 15: Meritve amplitude akusticnega tlaka v odvisnosti od razdalje mikrofona od

zvocnika na frekvencnem obmocju od 1500 Hz do 1800 Hz.

meritve frekvencne karakteristike zvocnika in mikrofona (glej sliko 17). Iz

grafa na sliki 17 razberemo, da v bliznji okolici resonancnih frekvenc ni

41

Slika 16: Meritve amplitude akusticnega tlaka v odvisnosti od razdalje mikrofona od

zvocnika na frekvencnem obmocju od 1850 Hz do 2250 Hz.

Vrednost pri frekvenci

Parameter 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz

a 0.029(1± 0.020) 0.032(1± 0.029) 0.038(1± 0.025)

d 0.014(1± 0.028) m 0.015(1± 0.041) 0.019(1± 0.036) m

Tabela 2: Vrednosti parametrov pri prilagajanju funkcije p(r) izmerkom amplitude aku-

sticnega tlaka v odvisnosti od razdalje do zvocnika brez cevi. Meritve so bile izvedene na

obmocju frekvenc resonancnih frekvenc cevi. Poleg vrednosti parametrov so navedene

njihove statisticne napake, ki jih je dolocil program Gnuplot.

maksimumov frekvencne karakteristike zvocnika in mikrofona. Na pod-

lagi tega sklepamo, da so izmerjene frekvence 1176 Hz, 1660 Hz in 2077 Hz

res resonancne frekvence cevi prisekanega stozca.

Za dolocitev funkcije, ki se najbolj prilega meritvam odvisnosti aku-

sticnega tlaka od lege v cevi prisekanega stozca pri resonancnih frekven-

cah, moramo najprej ugotoviti obliko funkcije. V razdelku 3.1 smo prisli

42

Slika 17: Meritve odvisnosti amplitude akusticnega tlaka od frekvence zvocnika. Mi-

krofon je bil postavljen na razdalji 3 cm od zvocnika.

do ugotovitve, da se tlak v cevi prisekanega stozca spreminja po enacbi (56).

Zavedati se moramo, da smo merili le amplitudo, zato moramo pri prila-

gajanju funkcije meritvam vzeti absolutno vrednost funkcije v enacbi (56).

Dobimo funkcijo

p(r) = C∣∣∣∣sin(k(r + l))

r + d

∣∣∣∣ . (75)

Priblizno oceno valovnega vektorja k lahko dobimo iz podatka o reso-

nancni frekvenci iz enacbe k = (2π/c)ν. Priblizno oceno konstante C do-

bimo iz enacbe p(0) ≈ C′/k, kjer smo s C′ oznacili amplitudo pri vhodu

cevi. Parameter d je priblizno razdalja med navideznim temenom prise-

kanega stozca in vhodom cevi. Izracunamo ga lahko preko enacbe (68).

Ta parameter je enak pri vseh treh resonancnih frekvencah. Parameter l

lahko izracunamo po enacbi (57). Pri izmerkih je opazno, da moramo pri

prilagajanju funkcije izmerkom, poleg oblike enacbe (56) upostevati tudi

neke vrste ozadje. Zato moramo za boljse prilagajanje enacbe izmerkom

43

enacbi (75) dodati se clen b/(x + d). Funkcija, ki jo bomo v nadaljevanju

prilagajali meritvam ima obliko

p(r) = C∣∣∣∣sin(k(r + l))

r + d

∣∣∣∣+ bx + d

. (76)

Prilagajali bomo parametre k, C, d, l in b. Parametri in njihove napake so

predstavljeni v tabeli 3.

Vrednost pri frekvenci

Parameter 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz

k 21.6m−1 ± 0.2m−1 30.6m−1 ± 0.2m−1 37.6m−1 ± 0.3m−1

C 0.068± 0.002 0.053± 0.002 0.051± 0.003

d 0.042m± 0.001m 0.038m± 0.001m 0.039m± 0.001m

l 0.033m± 0.002m 0.026m± 0.001m 0.027m± 0.001m

b 0.038± 0.002 0.04± 0.002 0.037± 0.002

Tabela 3: Vrednosti parametrov pri prilagajanju funkcije p(r) izmerkom amplitude aku-

sticnega tlaka v odvisnosti od razdalje do zvocnika. Meritve so bile izvedene pri reso-

nancnih frekvencah cevi. Poleg vrednosti parametrov so navedene njihove statisticne

napake, ki jih je dolocil program Gnuplot.

Preverimo v koliksni meri se parametri dobljeni s prilagajanjem izmer-

kom ujemajo s pricakovanimi vrednostmi. Parameter d predstavlja razda-

ljo od vhoda cevi do navideznega temena stozca. Ta je za naso cev pri vseh

meritvah enaka

d =0, 35m± 0, 01m

0,2m±0,01m0,02m±0,002m − 1

= 0, 038m± 0, 005m. (77)

Vse dobljene vrednosti parametra d (glej tabelo 3) se v okviru natancnosti

ujemajo z vrednostjo v enacbi 77. Pri 10 ◦C in 50 % vlaznosti je hitrost

sirjenja zvoka v zraku 337 m/s [7]. Napako pri meritvi frekvence je 2

44

%. Iz podatkov o frekvenci in hitrosti sirjenja zvoka izracunamo vredno-

sti valovnega vektorja. Te prikazuje tabela 4. Opazimo, da so odstopa-

nja izracunanih vrednosti valovnega vektorja (glej tabelo 4) in vrednosti

dobljene s prilagajanjem funkcije meritvam (glej tabelo 3) nekoliko vecja,

vendar se v okviru natancnosti ujemajo.

ν kν [m−1]

1176 Hz 21, 9± 0, 4

1660 Hz 31, 0± 0, 6

2077 Hz 38, 7± 0, 8

Tabela 4: Iz hitrosti sirjenja zvoka in resonancnih frekvenc izracunane vrednosti valov-

nih vektorjev.

Prilagajanje funkcij meritvam in meritve same so predstavljene na sli-

kah 18, 19 in 20. Rdeca krivulja predstavlja funkcijo p(r), ki ima obliko

enacbe (76). Modra krivulja predstavlja funkcijo p1(r), ki ima obliko enac-

be (56). Parametri te funkcije a, k, l in d so enaki kot pri funkciji p(r).

Funkcija p1(r) ponazarja odvisnost akusticnega tlaka v cevi prisekanega

stozca, kot smo jo izracunali v razdelku 3.1.

Efektivno dolzino cevi lahko dolocimo iz grafov na slikah 18, 19 in 20.

Efektivna dolzina cevi je dolzina, ki bi jo imela idealna cev (brez dusenja in

iztocnih popravkov) pri enakih frekvencah. Pri cevi, ki jo obravnavamo, je

efektivna dolzina cevi kar razdalja od vhodu cevi najblizjega maksimuma

do izhodu cevi najblizjega minimuma akusticnega tlaka. Dobljeni rezul-

tati so predstavljeni v tabeli 5. S podatki o efektivni dolzini cevi lahko

popravimo vrednosti resonancnih frekvenc v tabeli 1. Nove vrednosti so

zapisane v tretjem stolpcu tabele 6. Iz vrednosti valovnih vektorjev, ki

smo jih dobili pri prilagajanju funkcije p(r), katero opisuje enacba (76), in

45

Slika 18: Izmerjena amplituda akusticnega tlaka v odvisnosti od lege v cevi prisekanega

stozca pri resonancni frekvenci 1176 Hz.

Slika 19: Izmerjena amplituda akusticnega tlaka v odvisnosti od lege v cevi prisekanega

stozca pri resonancni frekvenci 1660 Hz.

iz podatka o hitrosti sirjenja zvoka, izracunamo valovnim vektorjem pri-

padajoce resonancne frekvence. Izracunani podatki so zapisani v drugem

46

Slika 20: Izmerjena amplituda akusticnega tlaka v odvisnosti od lege v cevi prisekanega

stozca pri resonancni frekvenci 2077 Hz.

n Le f [m]

3 0, 40

4 0, 38

5 0, 39

Tabela 5: Efektivna dolzina cevi prisekanega stozca, na kateri smo izvajali meritve.

Dobili smo jo graficno iz grafov na slikah 18, 19 in 20.

stolpcu tabele 6. V prvem stolpcu tabele 6 so zapisane direktno izmer-

jene resonancne frekvence cevi prisekanega stozca. Iz tabele 6 lahko raz-

beremo, da se resonancne frekvence dobljene na vse tri nacine v okviru

natancnosti ujemajo.

Oglejmo si se, kako se v cevi prisekanega stozca spreminja akusticna

impedanca. Da jo lahko izracunamo, moramo najprej izracunati akusticni

prostorninski tok U(x). Izracunamo ga z enacbo (34), ki povezuje aku-

47

νmer ν f it νteo

1176Hz± 50Hz 1160Hz± 10Hz 1170Hz

1660Hz± 50Hz 1650Hz± 10Hz 1650Hz

2077Hz± 50Hz 2020Hz± 20Hz 2020Hz

Tabela 6: Primerjava resonancnih frekvenc.

sticni tlak in akusticni prostorninski tok. Z odvajanjem z r2 pomnozene

enacbe

p(r, t) =[

asin(k(r + l))

r + d+

br + d

]eiωt, (78)

ki opisuje spreminjanje akusticnega tlaka v cevi prisekanega stozca, do-

bimo odvod akusticnega prostorninskega toka po casu

∂U∂t

=Kρ

r(r + d)2

[C((r + 2d) sin(k(r + l))+

+k(r + d) cos(k(r + l)))+ b(r + 2d)

]eiωt. (79)

Z integriranjem enacbe (79) dobimo odvisnost akusticnega prostorninskega

toka od lege v cevi

U(r) =K′

kr

(r + d)2

[C((r + 2d) sin(k(r + l))+

+k(r + d) cos(k(r + l)))+ b(r + 2d)

]eiωt. (80)

Na sliki 21 je prikazan akusticni tlak s clenom ozadja. Dodali smo ga

pri analizi meritev odvisnosti akusticnega tlaka od lege v cevi priseka-

nega stozca pri resonancnih frekvencah (glej enacbo (76)). Iz enacbe (76),

ki opisuje akusticni tlak, smo izracunali akusticni prostorninski tok. Iz

enacbe (56), ki ne vsebuje clena ozadja, dobimo odvisnost akusticnega pro-

storninskega toka od lege v cevi kot

U(r) =K′C

kr

(r + d)2

[(r + 2d) sin(k(r + l)) + k(r + d) cos(k(r + l))

]. (81)

48

Slika 21: Akusticni tlak in akusticni prostorninski tok v odvisnosti od lege v cevi prise-

kanega stozca za cetrto resonancno frekvenco (n = 4). Cev je dolga 35 cm.

Akusticni tlak in akusticni prostorninski tok brez clena ozadja v odvisnost

od lege v cevi sta prikazana na sliki 22.

Slika 22: Akusticni tlak in akusticni prostorninski tok brez clena ozadja v odvisnosti od

lege v cevi prisekanega stozca za cetrto resonancno frekvenco (n = 4). Cev je dolga 35

cm.

49

Iz slik (21) in (22) lahko razberemo, da se proti izhodu stozcaste cevi

akusticni prostorninski tok povecuje in akusticni tlak zmanjsuje. Torej tudi

cev prisekanega stozca deluje kot akusticni transformator, ki spreminja ve-

liko akusticno impedanco na vhodu cevi v majhno akusticno impedanco

na izhodu cevi.

50

4 Resonancne frekvence trobil

4.1 Model cilindricne cevi

Preverimo, ali je model cilindricne cevi ustrezen za obravnavo trobente.

V cevi trobente lahko brez uporabe ventilov trobilec izvede tone zapi-

sane v tabeli 7. Cev trobente je dolzine priblizno 137 cm. Na vhodu je

Ton b1 f1 b2 d2 f2

ν [Hz] 233 349 466 587 698

Tabela 7: Toni in pripadajoce frekvence.

zaprta s trobilcevimi ustnicami in na izhodu odprta. V takih ceveh so

resonancne frekvence νn = (c/(4L))(2n − 1) (glej razdelek 2.2.2), kjer

je c hitrost zvoka, ki je pri temperaturi 20 ◦ C in normalnem zracnem

tlaku 1013 mbar priblizno 343, 4 m/s. Najnizja frekvenca take cevi je ν1 ≈

63 Hz. Visje resonancne frekvence so lihi mnogokratniki osnovne fre-

kvence. Najnizja resonancna frekvenca enako dolge na obeh straneh od-

prte cevi je dvakrat vecja ν1 ≈ 125 Hz. Njene visje resonancne frekvence

so vsi mnogokratniki najnizje resonancne frekvence. Natancne dolzine

cevi trobente ne poznamo. Prav tako ne poznamo efektivne dolzine ci-

lindricne cevi, s pomocjo katere zelimo opisati trobento. S prilagajanjem

efektivne dolzine cilindricne cevi, lahko dosezemo najboljse mozno uje-

manje med frekvencami trobente in frekvencami, ki jih napoveduje model

cilindricnih cevi. Prva frekvenca trobente je lahko druga ali tretja reso-

nancna frekvenca cilindricne cevi. S programom Gnuplot za obliko funk-

cije νz(n) = c4Le f

(2n − 1), poiscimo vrednost parametra Le f , pri katerem

se funkcija najbolj ujema s frekvencami trobente. Za hitrost sirjenja zvoka

51

sem vzel 343, 4 m/s. Pri prilagajanju efektivne dolzine na vhodu zaprte

cilindricne cevi dobimo dva rezultata.

a) Prva frekvenca trobente je druga resonancna frekvenca zaprte cilin-

dricne cevi. Parameter efektivne dolzine je Le f = 1, 3m± 0, 03m.

b) Prva frekvenca trobente je tretja resonancna frekvenca zaprte cilin-

dricne cevi. Parameter efektivne dolzine je Le f = 1, 63m± 0, 03m.

Oglejmo si se koliksno ujemanje lahko dobimo z modelom na obeh koncih

odprte cilindricne cevi. Oblika funkcije je v tem primeru νo(n) = c2Le f

n,

kjer sem za c vzel vrednost 343, 4 m/s. Pri prilagajanju efektivne dolzine

na obeh koncih odprte cilindricne cevi, dobimo dva rezultata:

a) Prva frekvenca trobente je druga resonancna frekvenca zaprte cilin-

dricne cevi. Parameter efektivne dolzine je Le f = 1, 472m± 0, 003m.

b) Prva frekvenca trobente je tretja resonancna frekvenca zaprte cilin-

dricne cevi. Parameter efektivne dolzine je Le f = 1, 81m± 0, 06m.

Najmanjse odstopanje dobimo z modelom na obeh straneh odprte cilin-

dricne cevi in ne z modelom na vhodu zaprte cilindricne cevi. To se lepo

vidi iz grafov na slikah 23 in 24

Za cilindricne cevi velja priblizek [8]

Le f = L(1 + 0, 61m−1 · a), (82)

s katerim lahko izracunamo efektivno dolzino cevi. V enacbi (82) smo z

Le f oznacili efektivno dolzino cevi, z L dejansko dolzino cevi in z a polmer

cevi v metrih. Pri igranju trobente, na frekvenco tonov vpliva veliko de-

javnikov. Najpomembnejsa sta temperatura v prostoru in tehnika igranja

posameznega trobilca. Te vplive lahko trobilci kompenzirajo z iztegom

52

Slika 23: Model odprte (νo) in na vhodu zaprte (νz) cilindricne cevi pri predpostavki, da

je prva frekvenca trobente druga resonancna frekvenca cilindricne cevi.

Slika 24: Model odprte (νo) in na vhodu zaprte (νz) cilindricne cevi pri predpostavki, da

je prva frekvenca trobente tretja resonancna frekvenca cilindricne cevi.

(podaljsanjem) cevi. Trobenti se pri kompenzaciji z iztegom, cev lahko

podaljsa ali skrajsa tudi za 2 cm. Izracunajmo efektivno podaljsanje cilin-

53

dricne cevi, s katero opisujemo trobento. Najvecjo efektivno dolzino bomo

dobili, ce bomo za polmer cevi, s katero opisujemo trobento, vzeli najvecji

polmer cevi trobente. Ta je 6 cm. Efektivna dolzina take cevi je

Le f = (1, 37m± 0, 02m)(1 + 0, 61m−1 · 0, 06m) = 1, 42m± 0, 02m. (83)

Ugotovimo, da se v cilindricnih ceveh vrednosti dobljene s prilagajanjem

efektivne dolzine cevi v okviru napak ne ujemajo z izracunom v enacbi (83).

Vse vrednosti s prilagajanjem dobljene efektivne dolzine so vecje od izra-

cunane efektivne dolzine. Izjema je a) primer pri zaprti cilindricni cevi,

katerega efektivna dolzina je opazno krajsa od dejanske dolzine. Ta re-

zultat je napacen, saj po enacbi (82) efektivna dolzina cevi ne more biti

krajsa od dejanske dolzine. To, da so vrednosti s prilagajanjem dobljene

efektivne dolzine cevi vecje od izracunanih, pomeni, da za neujemanje z

izracunom efektivne dolzine cevi ni kriva napacna izbira polmera cevi tro-

bente. Izbrali smo namrec najvecji polmer cevi. To pomeni najvecje mozno

efektivno podaljsanje dejanske dolzine cevi.

Model cilindricne cevi za trobento ni ustrezen. Bolj ustrezen je model

stozcaste cevi.

4.2 Model stozcaste cevi

V razdelku 4.1 smo ugotovili, da se resonancne frekvence na obeh straneh

odprte cilindricne cevi zelo dobro ujemajo s frekvencami trobente. Dobro

ujemanje resonancnih frekvenc s frekvencami trobente bomo dosegli z mo-

delom, katerega resonancne frekvence so enake kot frekvence v cilindricni

na obeh straneh odprti cevi. Resonancne frekvence v cevi neprisekanega

stozca (glej razdelek 2.3.1) so enake kot resonancne frekvence na obeh kon-

cih odprte cilindricne cevi (glej razdelek 2.2.2). Z modelom cevi neprise-

54

kanega stozca se lahko dobro priblizamo frekvencam trobente. Kljub uje-

manju v frekvencah, model neprisekane stozcaste cevi ni ustrezen za opis

trobente, ker moramo pri dodajanju ustnika na cev, teme stozca odstraniti

(glej razdelek 3). Iz racunskih izpeljav v razdelku 3.2 lahko ugotovimo,

da so za prisekane stozcaste cevi, katerih prisekani deli so majhni v pri-

merjavi z valovno dolzino valovanja v cevi, resonancne frekvence zelo po-

dobne resonancnim frekvencam neprisekane stozcaste cevi. Pricakujemo

lahko, da se bodo nizje resonancne frekvence modela cevi prisekanega

stozca bolj ujemale kot visje resonancne frekvence.

Vzemimo priblizek, da je cev trobente po celotni dolzini popolnoma

stozcasta. Razmerje njunih premerov (glej razdelek 2.1) je priblizno

R =dizh.

dvh.≈ 120mm

3, 6mm≈ 33. (84)

To razmerje je kar veliko. Priblizno trikrat vecje je od razmerja pri cevi

prisekanega stozca, ki smo jo uporabljali pri meritvah v razdelku 3.3. Na

Slika 25: Graf je namenjen graficnemu resevanju enacbe (69).

sliki 25 je graf, s katerim podobno kot v razdelku 3.2 poiscemo vrednosti

55

kL pri resonancah v cevi prisekanega stozca. Vrednosti kL, ugotovljene iz

grafa na sliki 25, so zapisane v tabeli 8. Ker ne poznamo efektivne dolzine

n kL

1 0, 97π

2 1, 94π

3 2, 91π

4 3, 89π

5 4, 86π

n kL

6 5, 84π

7 6, 81π

8 7, 79π

9 8, 77π

10 9, 76π

Tabela 8: Graficno dobljene vrednosti resonancnih frekvenc prisekane stozcaste cevi z

razmerjem polmerov R = 33.

cevi, s programom Gnuplot poiscimo najbolj ustrezno efektivno dolzino.

Iscemo ujemanje resonancnih frekvenc prisekanega stozca νpr.s. in reso-

nancnih frekvenc na obeh straneh odprte cilindricne νo.cil., ki so zelo po-

dobne frekvencam trobente (glej razdelek 4.1).

νpr.s. = νo.cil

(kL)c2πLe f .s.

=nc

2πLe f .c.

(kL) =Le f .s.

Le f .c.n (85)

V enacbi (85) smo z Le f .s. oznacili efektivno dolzino cevi prisekanega stozca

in z Le f .c. efektivno dolzino na obeh straneh odprte cilindricne cevi. Vze-

mimo obliko funkcije y(x) =Le f .s.Le f .c.

x in s prilagajanjem parametra Le f .s.

poiscimo funkcijo, ki se najbolj prilagaja vrednostim iz tabele 8. Pri vre-

dnosti parametra Le f .s. = 1, 4337 m se funkcija y(x) najbolj prilagaja pri-

cakovanim vrednostim. Odstopanje je le 0, 06 %. Prilagajanje funkcije

y(x) pricakovanim vrednostim je prikazano na grafu slike 26. Z zgornjo

56

Slika 26: Prilagajanje funkcije y(x) vrednostim iz tabele 8

obravnavo smo ugotovili, da z modelom cevi prisekanega stozca lahko

dosezemo dobro ujemanje med resonancnimi frekvencami cevi in frekven-

cami trobente. Efektivna dolzina take cevi prisekanega stozca je 1, 43 m.

Iz graficnega dolocanja efektivne dolzine cevi prisekanega stozca (glej

tabelo 5) ugotovimo, da s priblizkom v enacbi (82) lahko opisemo efek-

tivno dolzino cevi prisekanega stozca, v kateri smo izvajali meritve. Pri

tem moramo za polmer cevi vzeti polmer izhoda cevi Le f = 0, 35m(1 +

0, 61m−1 · 0, 2m) = 0, 39m. Efektivna dolzina cevi prisekanega stozca, s

katero opisemo cev trobente, se v okviru napak ujema z izracunom efek-

tivne dolzine trobente v enacbi (83).

57

4.3 Model Besselove cevi

S sliko 9 si lahko predstavljamo, na kaksen nacin lahko igralec francoskega

(glej sliko 27) ali lovskega roga pomembno vpliva na visino tona s pre-

mikanjem roke v notranjost lijaka. S potiskom roke v lijak se akusticne

Slika 27: Francoski rog

lastnosti lijaka spremenijo [7]. Postanejo bolj podobne lastnostim pocasi

razsirjajocega lijaka. Na ta nacin se zmanjsa ucinek efektivnega skrajsanja

cevi zaradi hitro razsirjajocega lijaka. Visino tona lahko na ta nacin zniza

tudi za polton. Znizanje tona za polton pomeni, da se frekvenca valova-

nja zmanjsa (1 − 12√

2) krat. Visino tona lahko igralec francoskega roga

s premikanjem roke se bolj v notranjost instrumenta tudi zvisa za pri-

blizno pol tona. S tem z roko skoraj popolnoma zapre notranjost menzure.

To povzroci velike spremembe robnih pogojev. Efektivna dolzina cevi se

zmanjsa. Zaradi povecanja akusticne impedance na izhodu instrumenta,

se vecji del valovanja od izhoda instrumenta odbije. Zvok, ki ga oddaja

instrument, je tisji, v njem pa je prisotnih tudi vec visjih harmonskih fre-

kvenc. To zaznamo kot bistveno spremembo barve zvoka instrumenta.

58

5 Zakljucek

Resonancne frekvence trobilom omogocajo izvedbo razlicnih tonov brez

podaljsevanja, iztegovanja ali krajsanja cevi. Resonancne frekvence tro-

bente, ki je dober predstavnik trobil, so vsi veckratniki osnovne resonancne

frekvence in ne samo lihi veckratniki osnovne resonancne frekvence. Ti so

znacilni za na vhodu zaprto cilindricno cev. Kot najustreznejsi model tro-

bente se je v okviru diplomske naloge pokazala cev prisekanega stozca.

Z obravnavo stozcastih cevi smo pokazali, da na resonancne frekvence

mocno vpliva oblika cevi. Vpliva lahko celo v toliksni meri, da resonancne

frekvence cevi niso vec harmonicno razporejene.

Trobila veljajo za dokaj glasne instrumente. V diplomskem delu smo

ugotovili, da trobilom glasnost omogoca njihova posebna oblika izhoda

cevi. S teoreticno obravnavo in na podlagi meritev v stozcasti cevi smo

ugotovili, da deluje razsirjajoc se del cevi kot akusticni transformator med

veliko akusticno impedanco na vhodu instrumenta in majhno akusticno

impedanco na izhodu instrumenta. Na ta nacin se veliko vecji del valova-

nja iz odprtega izhoda instrumenta izseva v prostor.

V osnovni soli ucenci pri predmetu naravoslovje obravnavajo zvok in

valovanje. Pri obravnavi zvoka spoznajo, kako nastane zvok in da gla-

snost zvoka z razdaljo od zvocila pada. Pri obravnavi valovanja pa opa-

zujejo, kako se valovanje siri po dolgi vrvi oziroma vzmeti.

Pojem valovne dolzine pri stojecem valovanju lahko ucencem prika-

zemo s poskusom, pri katerem na enem koncu vrvi vzbujamo valovanje,

drugi konec vrvi pa je prost. Analogen je poskus valovanja v cilindricni

cevi, ki je vhodu zaprta in izhodu odprta. S tem poskusom lahko presta-

vimo pojem frekvence pri stojecem valovanju.

V gimnazijah dijaki spoznajo longitudinalno in transverzalno sirjenje

59

valovanja. Zvok opredelijo kot longitudinalno valovanje. Spoznajo pojem

valovne dolzine in ga preko nihajnega casa povezejo s hitrostjo sirjenja

valovanja. Spoznajo nastanek in lastnosti stojecega valovanja. Locijo med

tonom, zvenom in sumom.

Pri stojecem valovanju bi lahko obravnavali frekvence tega v cilindric-

nih ceveh. Primerjali bi jih lahko z lastnimi frekvencami flavte. Kot za-

nimivost bi jim lahko predstavili valovanje v cevi prisekanega stozca. S

tem bi pokazali, da resonancne frekvence niso vedno harmonicno razpo-

rejene. S poskusom bi lahko pokazali, da se v stozcasti cevi amplituda

hrbtov tlaka proti izhodu cevi manjsa.

Z uporabo glasbil pri pouku fizike lahko ucence oziroma dijake, ki jih

zanima glasba, se dodatno motiviramo za pouk fizike. Poleg tega ucencem

na ta nacin nudimo bolj prakticno predstavitev nekaterih poglavij fizike

zvoka.

60

Priloga 1

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 2095 Hz 2000 Hz 1900 Hz 1839 Hz

0 2 2 2 2

5 1, 7 1, 7 1, 7 1, 7

10 1, 4 1, 4 1, 4 1, 4

15 1, 2 1, 2 1, 15 1, 2

20 1 1 1 0, 8

25 0, 85 0, 9 0, 85 0, 8

30 0, 7 0, 7 0, 7 0, 65

35 0, 6 0, 65 0, 6 0, 6

40 0, 55 0, 6 0, 6 0, 5

45 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

50 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

55 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

60 0, 5 0, 4 0, 5 0, 5

65 0, 4 0, 4 0, 4 0, 5

70 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4

75 0, 35 0, 4 0, 4 0, 4

80 0, 3 0, 3 0, 3 0, 4

85 0, 3 0, 3 0, 3 0, 4

90 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

95 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

100 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

105 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

110 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

61

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 2095 Hz 2000 Hz 1900 Hz 1839 Hz

115 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

120 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

125 0, 3 0, 3 0, 2 0, 2

130 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

135 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

140 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

145 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

150 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

155 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

160 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

165 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2

170 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

175 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

180 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

185 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

190 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

195 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

200 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

205 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

210 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

215 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

220 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

225 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

230 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

235 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

62

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 2095 Hz 2000 Hz 1900 Hz 1839 Hz

240 0, 2 0, 1 0, 2 0, 2

245 0, 2 0, 2 0, 2

250 0, 2 0, 2 0, 2

255 0, 2 0, 2 0, 2

260 0, 2 0, 2 0, 2

265 0, 2 0, 2 0, 2

270 0, 1 0, 1

Tabela 9: Amplituda akusticnega tlaka na razlicnih

oddaljenostih od mikrofona na frekvencnem obmocju

okrog frekvence 2077 Hz.

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 1799 Hz 2143 Hz 2235 Hz

0 2 2 2

5 1, 7 1, 7 1, 7

10 1, 4 1, 4 1, 4

15 1, 1 1, 2 1, 2

20 1 1 1

25 0, 9 0, 9 0, 85

30 0, 7 0, 8 0, 7

35 0, 6 0, 7 0, 7

40 0, 5 0, 6 0, 6

45 0, 5 0, 5 0, 5

63

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 1799 Hz 2143 Hz 2235 Hz

50 0, 5 0, 5 0, 5

55 0, 5 0, 5 0, 5

60 0, 5 0, 5 0, 5

65 0, 4 0, 4 0, 4

70 0, 4 0, 4 0, 4

75 0, 4 0, 4 0, 4

80 0, 4 0, 4 0, 3

85 0, 3 0, 4 0, 3

90 0, 3 0, 4 0, 3

95 0, 3 0, 4 0, 3

100 0, 3 0, 4 0, 3

105 0, 3 0, 3 0, 3

110 0, 3 0, 3 0, 3

115 0, 3 0, 3 0, 3

120 0, 2 0, 3 0, 3

125 0, 2 0, 3 0, 3

130 0, 2 0, 3 0, 3

135 0, 2 0, 3 0, 3

140 0, 2 0, 3 0, 3

145 0, 2 0, 3 0, 3

150 0, 2 0, 3 0, 3

155 0, 2 0, 2 0, 3

160 0, 2 0, 2 0, 3

165 0, 2 0, 2 0, 2

170 0, 2 0, 2 0, 2

64

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 1799 Hz 2143 Hz 2235 Hz

175 0, 2 0, 2 0, 2

180 0, 2 0, 2 0, 2

185 0, 2 0, 2 0, 2

190 0, 2 0, 2 0, 2

195 0, 2 0, 2 0, 2

200 0, 2 0, 2 0, 2

205 0, 2 0, 2 0, 2

210 0, 2 0, 2 0, 2

215 0, 2 0, 2 0, 2

220 0, 2 0, 2 0, 2

225 0, 2 0, 2 0, 2

230 0, 2 0, 2 0, 2

235 0, 2 0, 2 0, 2

240 0, 1 0, 2 0, 2

245 0, 2 0, 2

250 0, 2 0, 2

255 0, 2 0, 2

260 0, 2 0, 2

265 0, 2 0, 2

270 0, 2 0, 2

275 0, 2 0, 2

280 0, 2 0, 2

285 0, 2 0, 2

290 0, 2

295 0, 2

65

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 1799 Hz 2143 Hz 2235 Hz

300 0, 2

Tabela 10: Amplituda akusticnega tlaka na razlicnih

oddaljenostih od mikrofona na frekvencnem obmocju

okrog frekvence 2077 Hz.

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1640 Hz 1600 Hz 1485 Hz 1714 Hz 1770 Hz

0 2 2 2 2 2

5 1, 85 1, 75 1, 75 1, 7 1, 7

10 1, 45 1, 4 1, 3 1, 35 1, 4

15 1, 2 1, 2 1, 1 1, 1 1, 1

20 1 1 0, 9 1 0, 95

25 0, 85 0, 8 0, 8 0, 85 0, 7

30 0, 75 0, 7 0, 7 0, 7 0, 7

35 0, 6 0, 6 0, 6 0, 6 0, 6

40 0, 55 0, 55 0, 55 0, 6 0, 6

45 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

50 0, 5 0, 5 0, 45 0, 45 0, 5

55 0, 45 0, 4 0, 4 0, 45 0, 4

60 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4

65 0, 35 0, 3 0, 35 0, 4 0, 4

70 0, 3 0, 3 0, 3 0, 35 0, 35

75 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

66

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1640 Hz 1600 Hz 1485 Hz 1714 Hz 1770 Hz

80 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

85 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

90 0, 25 0, 3 0, 2 0, 3 0, 3

95 0, 25 0, 3 0, 2 0, 25 0, 3

100 0, 2 0, 3 0, 2 0, 25 0, 3

105 0, 2 0, 3 0, 2 0, 25 0, 3

110 0, 2 0, 3 0, 2 0, 25 0, 3

115 0, 2 0, 2 0, 2 0, 25 0, 3

120 0, 2 0, 2 0, 2 0, 3

125 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

130 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

135 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

140 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

145 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

150 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

155 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

160 0, 2 0, 2 0, 2

165 0, 1 0, 2 0, 2

170 0, 1 0, 2 0, 2

175 0, 1 0, 1 0, 2

180 0, 1 0, 2

185 0, 1 0, 2

67

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1640 Hz 1600 Hz 1485 Hz 1714 Hz 1770 Hz

Tabela 11: Amplituda akusticnega tlaka na razlicnih

oddaljenostih od mikrofona na frekvencnem obmocju

okrog frekvence 1660 Hz.

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 1176 Hz 1186 Hz 1200 Hz 1150 Hz

0 2 2 2 2

5 1, 7 1, 5 1, 4 1, 6

10 1, 3 1, 3 1, 2 1, 3

15 1, 1 1, 1 1 1, 1

20 0, 9 0, 9 0, 8 0, 9

25 0, 8 0, 8 0, 7 0, 8

30 0, 7 0, 7 0, 6 0, 7

35 0, 6 0, 6 0, 5 0, 6

40 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

45 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

50 0, 4 0, 4 0, 4 0, 5

55 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4

60 0, 3 0, 4 0, 4 0, 4

65 0, 3 0, 4 0, 3 0, 4

70 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

75 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

80 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

68

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 1176 Hz 1186 Hz 1200 Hz 1150 Hz

85 0, 2 0, 3 0, 25 0, 3

90 0, 2 0, 2 0, 2 0, 3

95 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

100 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

105 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

110 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

115 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

120 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

125 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

130 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

135 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

140 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

145 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

150 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

155 0, 2 0, 1 0, 2 0, 2

160 0, 2 0, 1 0, 2 0, 2

165 0, 2 0, 1 0, 2 0, 2

170 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2

175 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

180 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

185 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

69

Amplituda pri frekvenci

x [mm] 1176 Hz 1186 Hz 1200 Hz 1150 Hz

190 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

195 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

200 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

Tabela 12: Amplituda akusticnega tlaka na razlicnih

oddaljenostih od mikrofona na frekvencnem obmocju

okrog frekvence 1176 Hz.

Amplituda pri frekvenci

x[mm] 1138 Hz 1138 Hz 1106 Hz 1219 Hz

0 2 2 2 2

5 1, 6 1, 5 1, 5 1, 6

10 1, 3 1, 2 1, 3 1, 4

15 1, 1 1 1 1, 1

20 0, 9 0, 85 0, 9 0, 9

25 0, 8 0, 7 0, 7 0, 8

30 0, 7 0, 6 0, 6 0, 7

35 0, 6 0, 5 0, 5 0, 6

40 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

45 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5

50 0, 5 0, 4 0, 4 0, 45

55 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4

60 0, 4 0, 35 0, 4 0, 4

65 0, 4 0, 3 0, 35 0, 35

70

Amplituda pri frekvenci

x[mm] 1138 Hz 1138 Hz 1106 Hz 1219 Hz

70 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

75 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

80 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

85 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

90 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

95 0, 2 0, 3 0, 3 0, 3

100 0, 2 0, 3 0, 3 0, 3

105 0, 2 0, 2 0, 2 0, 3

110 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

115 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

120 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

125 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

130 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

135 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

140 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

145 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2

150 0, 2 0, 1 0, 2 0, 2

155 0, 1 0, 1 0, 1 0, 2

160 0, 1 0, 1 0, 1 0, 2

165 0, 1 0, 1 0, 1 0, 2

170 0, 1 0, 1 0, 1 0, 2

175 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

180 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

185 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

190 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

71

Amplituda pri frekvenci

x[mm] 1138 Hz 1138 Hz 1106 Hz 1219 Hz

195 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

200 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1

Tabela 13: Amplituda akusticnega tlaka na razlicnih

oddaljenostih od mikrofona na frekvencnem obmocju

okrog frekvence 1176 Hz.

Priloga 2

n [Hz] Amplituda

613 1, 5

650 1, 8

700 1, 9

750 1, 6

800 1, 5

850 1, 4

900 1, 2

950 1, 2

1000 1, 1

1050 1

1100 1

1150 1

1200 1

72

n [Hz] Amplituda

1250 1

1300 1, 05

1400 1

1450 1, 15

1500 1, 2

1550 1, 2

1600 1, 2

1, 3 1, 2

1700 1, 35

1750 1, 32

1800 1, 4

1850 1, 5

1900 1, 55

1950 1, 7

2000 1, 9

2050 2

2100 2

2150 1, 8

2200 1, 8

2250 2, 1

Tabela 14: Frekvencna karakteristika mikrofona in

zvocnika.

73

Priloga 3

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz

0 2 2 2

5 1, 9 1, 9 1, 9

10 1, 75 1, 85 1, 85

15 1, 7 1, 75 1, 8

20 1, 6 1, 6 1, 5

25 1, 5 1, 5 1, 3

30 1, 5 1, 35 1, 1

35 1, 4 1, 3 1

40 1, 3 1, 1 0, 8

45 1, 2 1 0, 7

50 1, 2 0, 9 0, 6

55 1, 1 0, 75 0, 55

60 1 0, 65 0, 5

65 0, 9 0, 6 0, 5

70 0, 8 0, 5 0, 6

75 0, 7 0, 45 0, 6

80 0, 6 0, 45 0, 6

85 0, 6 0, 5 0, 65

90 0, 5 0, 5 0, 7

95 0, 5 0, 55 0, 7

100 0, 4 0, 55 0, 7

105 0, 35 0, 55 0, 6

110 0, 3 0, 6 0, 6

74

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz

115 0, 3 0, 6 0, 5

120 0, 3 0, 6 0, 45

125 0, 35 0, 6 0, 3

130 0, 35 0, 55 0, 3

135 0, 4 0, 5 0, 25

140 0, 4 0, 5 0, 2

145 0, 4 0, 45 0, 2

150 0, 4 0, 4 0, 25

155 0, 45 0, 35 0, 3

160 0, 45 0, 3 0, 35

165 0, 5 0, 3 0, 35

170 0, 5 0, 2 0, 4

175 0, 5 0, 2 0, 4

180 0, 5 0, 2 0, 4

185 0, 45 0, 2 0, 4

190 0, 45 0, 2 0, 4

195 0, 45 0, 25 0, 3

200 0, 4 0, 3 0, 3

205 0, 4 0, 3 0, 3

210 0, 4 0, 35 0, 25

215 0, 35 0, 35 0, 2

220 0, 3 0, 35 0, 2

225 0, 3 0, 35 0, 2

230 0, 3 0, 4 0, 2

235 0, 3 0, 35 0, 2

75

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz

240 0, 2 0, 3 0, 2

245 0, 2 0, 3 0, 2

250 0, 15 0, 25 0, 3

255 0, 15 0, 25 0, 3

260 0, 15 0, 2 0, 3

265 0, 15 0, 2 0, 3

270 0, 2 0, 2 0, 3

275 0, 2 0, 15 0, 3

280 0, 2 0, 15 0, 25

285 0, 2 0, 1 0, 2

290 0, 25 0, 15 0, 2

295 0, 3 0, 15 0, 2

300 0, 3 0, 15 0, 2

305 0, 3 0, 15 0, 1

310 0, 3 0, 2 0, 1

315 0, 3 0, 2 0

320 0, 3 0, 2 0, 2

325 0, 3 0, 25 0, 2

330 0, 3 0, 25 0, 2

335 0, 3 0, 25 0, 2

340 0, 3 0, 25 0, 2

345 0, 3 0, 25 0, 2

350 0, 3 0, 3 0, 25

355 0, 3 0, 3 0, 25

360 0, 3 0, 25 0, 25

76

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz

365 0, 3 0, 25 0, 25

370 0, 3 0, 25 0, 25

375 0, 3 0, 2 0, 25

380 0, 3 0, 2 0, 3

385 0, 3 0, 2 0, 3

390 0, 3 0, 2 0, 3

395 0, 3 0, 2 0, 3

400 0, 3 0, 2 0, 3

405 0, 2 0, 2 0, 3

410 0, 2 0, 2 0, 3

415 0, 2 0, 2 0, 3

420 0, 2 0, 3

425 0, 2 0, 3

430 0, 2 0, 3

435 0, 2 0, 3

440 0, 2 0, 2

445 0, 2 0, 2

450 0, 2 0, 2

455 0, 2 0, 2

460 0, 2 0, 2

465 0, 2 0, 2

470 0, 2 0, 2

475 0, 2 0, 2

480 0, 2 0, 2

485 0, 1

77

Amplituda pri frekvenci

r [mm] 1176 Hz 1660 Hz 2077 Hz

490 0, 1

Tabela 15: Amplituda akusticnega tlaka na razlicnih

oddaljenostih od mikrofona pri resonancnih frekven-

cah cevi prisekanega stozca.

78

Literatura

[1] Bruno Ravnikar: OSNOVE GLASBENE AKUSTIKE IN INFORMA-

TIKE, DZS, Ljubljana 1999

[2] http://www.music.ed.ac.uk/euchmi/

[3] http://www.music.ed.ac.uk/euchmi/ujt/ujt3606.html

[4] http://www.music.ed.ac.uk/euchmi/ujt/ujt3590.html

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Mouthpiece %28brass%29

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Template:POTD/2010-10-18

[7] Thomas D. Rossing: SPRINGER HANDBOOK OF ACOUSTICS,

Springer, New York 2007.

[8] Neville H. Fletcher in Thomas D. Rossing: THE PHYSICS OF MUSI-

CAL INSTRUMENTS, Springer, New York [etc.] 1996.

[9] I. N. Bronstejn: MATEMATICNI PRIROCNIK, Tehniska zalozba Slo-

venije, Ljubljana, 1997

[10] http://www.pef.uni-lj.si/bojang/: tema8.pdf in tema9.pdf

[11] Janez Strnad: FIZIKA, 3. DEL, POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI.

KVANTNA FIZIKA. ATOMI, DMFA, Ljubljana 1998

[12] http://sl.wikipedia.org/wiki/Ukrivljenost

79