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ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PARA A SOLUÇÃO DO MODELO DE CONTROLE DE POTÊNCIAS ATIVA E REATIVA

ELIZETE DE ANDRADE AMORIM1, RUBÉN A. ROMERO1 E JOSÉ ROBERTO S. MANTOVANI1

1Departamento de Engenharia Elétrica Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – FEIS

Universidade Estadual Paulista – UNESP

Av. Brasil Norte, 364 – Caixa Postal 31 CEP 15.385-000, Ilha Solteira, SP, Brasil

e-mails: elizete.amorim@gmail.com, ruben@dee.feis.unesp.br, mant@dee.feis.unesp.br

Resumo ⎯ Neste trabalho apresenta-se uma metaheurística dedicada à solução do problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO) multiobjetivo. A metaheurística desenvolvida utiliza os conceitos de dominância de Pareto, elitismo e preservação de diversidade na população, para determinar uma boa aproximação do conjunto das soluções ótimas de Pareto. O problema de FPO é modelado como um problema de otimização não-linear inteiro misto, com variáveis discretas e contínuas. Nos processos de recombinação e mutação considera-se o desacoplamento implícito das varáveis de controle para evitar problemas de conflitos entre os diferentes objetivos que compõem o problema de FPO. A eficácia e robustez da metaheurística são testadas utilizando os sistemas testes RTS-96 e IEEE-354.

Palavras-chave ⎯ Controles corretivos de tensão, despacho econômico, fluxo de potência ótimo, non-dominated sorting genetic algorithm (NSGA).

Abstract ⎯ This work presents a dedicated metaheuristic applied to the multiobjective Optimal Power Flow (OPF) problem solution. The methaheuristic developed uses concepts of Pareto dominance, elitism, and population diversity, to generate a good approximation of the Pareto-optimal solutions in the OPF problem. The OPF problem is modeled as a mixed integer nonlinear programming, with discrete and continuous variables. In the recombination and mutation processes, subsets of the control variables are separated to avoid conflicts problems among the different objectives inside the OPF problem. Efficiency and robustness of the metaheuristic are tested using the tests systems RTS-96 and IEEE-354.

Keywords ⎯ Economic dispatch, non-dominated sorting evolutionary algorithms (NSGA), optimal power flow, voltage corrective control.

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1. INTRODUÇÃO

Muitos problemas do mundo real apresentam uma coleção de objetivos a serem otimizados que são na maioria das vezes conflitantes entre si, ou seja, é impossível melhorar um objetivo sem deteriorar algum outro. Estes problemas são conhecidos como multiobjetivo ou multicritério e distinguem-se de todos os demais ramos da teoria da otimização quanto ao sentido que o conceito de solução ótima que o problema adquire. Por se tratar de objetivos conflitantes, na otimização multiobjetivo cada objetivo corresponde a uma solução ótima. Isso faz com que esses problemas apresentem um conjunto de soluções ótimas. Os algoritmos evolutivos têm sido utilizados com sucesso para determinar a fronteira Pareto-Ótima dos problemas de otimização multiobjetivo, porque eles trabalham com uma população de pontos (possíveis soluções) que podem conter informações sobre várias regiões do espaço de busca, oferecendo, desta forma, maiores possibilidades para encontrar o conjunto Pareto-ótimo ou uma aproximação dele (Arroyo, (2002)).

Nos últimos anos vêm aumentando os estudos na área de otimização multiobjetivo, trazendo como conseqüência o desenvolvimento de métodos matemáticos para tal tarefa. Um exemplo da aplicação multiobjetivo é o problema de despacho ótimo de potências ativa e reativa que é abordado neste trabalho. Neste problema, além da minimização do custo operacional da geração de potência ativa são de fundamental importância a maximização da eficiência operacional e da qualidade e confiabilidade dos serviços oferecidos pelas concessionárias de energia elétrica. Observa-se que estes objetivos são conflitantes, já que para obter a operação dos sistemas de potência a custo mínimo algumas vezes os mesmo são forçados a operar em seus limites físicos e operacionais. Assim, nenhuma solução que apresente menor custo operacional, mas pelo menos um de seus limites físicos e/ou de confiabilidade está violado pode ser considerada superior à outra, com maior custo operacional, mas atendendo todas as restrições do problema. Contudo, dentre todas as soluções existem algumas que são superiores a outras, isto é, apresentam confiabilidade maior ou equivalente por um custo menor ou igual. Estas soluções que superam outras são as soluções não-dominadas.

Deste modo, é de fundamental importância, para os pesquisadores da área de planejamento e operação dos sistemas de energia elétrica, uma ferramenta que permita encontrar o conjunto de soluções não-dominadas, e a partir deste conjunto determinar as soluções que melhor atenda as suas necessidades.

Os algoritmos evolutivos por sua vez parecem ser propícios a lidar com problemas multiobjetivo porque tratam simultaneamente uma série de soluções possíveis (população) que permitirão descobrir o conjunto Pareto-Ótimo (Coello (1996); Deb (2001); Deb et. al (200); Srinivas and Deb, (1995), Arroyo, (2002)) do problema ao invés de realizar uma série de simulações para cada uma das funções, como no caso das técnicas de programação matemática tradicionais.

Neste trabalho, é proposto um Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo (AEMO) para resolver um problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO) e obter um conjunto de soluções eficientes. O FPO proposto é um problema de programação não-linear inteiro misto, com variáveis de controle contínuas e discretas, e tem por objetivo realizar o despacho econômico da geração de potência ativa e ajustar os controles corretivos das magnitudes das tensões, simultaneamente. As variáveis dos subproblemas ativo e reativo de FPO são fisicamente conflitantes entre si, e devem ser tratadas criteriosamente. Para contornar este problema, as infactibilidades ocorridas durante o processamento do algoritmo evolutivo, são tratadas como funções objetivo do problema. Desta forma, o problema de FPO abordado é transformado em um problema de otimização multiobjetivo.

O AEMO implementado é baseado no algoritmo Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA) e combina algumas estratégias a fim de realizar uma busca eficaz e encontrar um conjunto de soluções de boa qualidade. Estas estratégias são:

• Elitismo;

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• Classificação da população de acordo com a dominância das soluções (nondominated sorting) para encontrar a melhor solução a cada geração;

• Escolha de uma solução eficiente da fronteira de Pareto através de funções de agregação; • Desacoplamento implícito das variáveis de controle do problema; • Seleção e recombinação simultaneamente; • Preservação da diversidade na população.

Para validar a eficiência do modelo e da técnica de solução proposta apresentam-se os resultados e as análises das simulações realizadas com os sistemas testes RTS-96 (Grigg et. al (1999)) e IEEE-354 (Aguado e Quintana, (2001)). 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA O problema de FPO é um problema de otimização não-linear, não-convexo e de grande porte, utilizado principalmente no planejamento da operação dos SEP. Foi proposto em (Carpentier (1962)), a partir do problema de despacho econômico e definido como FPO em (Dommel e Tinney, (1968)). O problema de FPO pode ser matematicamente formulado como segue:

min max

min max

min ( , )

. : ( ) 0, 1, ,

( ) 0, 1, ,i

j

f

s a g i m

h j n

= =≤ =

≤ ≤

≤ ≤

x u

x,u

x,u

x x x

u u u

(1)

sendo: ( ) nT RtV ∈= ,,θx o vetor das variáveis de estado, isto é, ângulos de fase ( )θ ,

magnitudes das tensões ( )V e tap dos transformadores ( )t ; ( ), ,T nPg Qg Sc R= ∈u o vetor das

variáveis de controle, isto é, potências ativa e reativa gerada ( ),Pg Qg e, banco de capacitores e

reatores shunts ( )Sc ; minx e maxx representam os limites inferiores e superiores das variáveis de

estado do sistema; minu e maxu representam os limites inferiores e superiores das variáveis de

controle; ( )xf representa o custo da geração de potência ativa; 0)( =xig representa o conjunto

das equações de balanço do fluxo de potência; 0)( ≤xjh representa o conjunto das restrições

funcionais e de operação, isto é, limites de potência ativa e reativa gerada nas barras de geração, limites dos fluxos de potência nas linhas de transmissão e transformadores, limites das magnitudes das tensões e dos capacitores e reatores shunts nas barras do sistema. O problema de controle de potências ativa e reativa é um subproblema do problema de FPO, e consiste do despacho econômico da geração de potência ativa e nos ajustes dos controles corretivos de tensão. Trata-se de um problema de programação não-linear inteiro misto de grande porte, com variáveis de controle contínuas e discretas, que consiste em realizar o despacho de potências ativa e reativa simultaneamente, o que aumenta a complexidade de solução do modelo. Na maioria das técnicas de solução de problemas com restrições de desigualdade, as restrições violadas são adicionadas à função objetivo do problema através das técnicas de penalização. Todavia, esta abordagem, na solução do modelo de FPO, compromete a qualidade das soluções encontradas, devido aos conflitos, sob o aspecto físico entre os diferentes tipos de variáveis, envolvidas nos subproblemas ativo e reativo. Uma alternativa para contornar este problema é tratar as infactibilidades das restrições como funções objetivo do problema. Este tratamento dado às restrições violadas do problema transforma-o em um problema de otimização multiobjetivo (do inglês Multiobjective Optimization Problem (MOP)). Desta forma, o problema de controle de potências ativa e reativa pode ser modelado como um problema multiobjetivo através das seguintes manipulações:

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Custo da geração de potência ativa:

1 ( )i ii N

f Min C Pg∈

= ∑ i G∀ ∈ (2)

Infactibilidade da geração de potência ativa:

{ }max2 1 max 0, i if h Pg Pg= = − se i é a barra de referência (3)

Infactibilidade da geração de potência reativa:

{ }3 2 maxi

f h Qg= = ∆ Gi ∈∀ (4)

sendo min min

max max

,

,

0, caso contrário

i i i iai i i i i

Qg Qg Qg Qg

Qg Qg Qg Qg Qg

⎧ − <⎪∆ = − >⎨⎪⎩

Infactibilidade da magnitude de tensão:

{ }4 3 max if h V= = ∆ Ni ∈∀ (5)

sendo min min

max max

,

,

0, casocontrário

i i i i

i i i i i

V V V V

V V V V V

⎧ − <⎪∆ = − >⎨⎪⎩

Infactibilidade da capacidade das linhas de transmissão:

{ }max5 4 max 0, ik ikf h S S= = − Nki ∈∀ , (6)

Restrições de fluxo de carga:

( )1 , , 0i i ig Pg Pc P V Tθ= − − = Ni ∈∀ (7)

( )2 , , 0i i i ig Qg Qc Q V T Scθ= − − + = Ni ∈∀ (8)

Sendo: i e j representam o índice das barras; N é o número total de barras do sistema; G é

o conjunto das barras com tensão controlada; ( )i iC Pg é a função objetivo que representa o custo

da geração do sistema, e foi adotada como sendo uma função linear; miniPg , max

iPg , miniQg e

maxiQg representam os limites mínimo e máximo da geração de potências ativa e reativa na barra

i , respectivamente; ( ), ,i

P V tθ e ( ), ,i

Q V tθ são as injeção líquida de potências ativa e reativa

na barra i ; iPg , iPc , iQg e iQc representam a geração e a demanda de potências ativa e reativa

na barra i ; miniV e max

iV são os limites inferior e superior das magnitudes de tensões na barra i ;

ijS e maxijS representam o fluxo e capacidade máxima dos fluxos de potência aparente na linha

ij ; iSc representa os banco de capacitores/reatores shunt na barra i . Para solução do problema (2)-(8) propõem-se um algoritmo evolutivo dentro do contexto da otimização multiobjetivo. Os algoritmos evolutivos permitem originalmente tratar as variáveis contínuas com facilidade e, também podem ser expandidos para tratar conjuntamente as variáveis contínuas e discretas. Além disso, estes métodos trabalham com um conjunto de soluções simultaneamente, não necessitam de informações adicionais a não ser o valor de aptidão das soluções, e podem escapar de ótimos locais. Estas características fazem dos algoritmos evolutivos uma técnica promissora a ser empregadas na solução de problemas multiobjetivos,

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principalmente quando se deseja conhecer o conjunto das soluções Pareto-ótimas. Portanto, estes algoritmos podem ser aplicados com sucesso na solução do problema de FPO sob estudo. 3. OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO E ALGORITMOS EVOLUTIVOS

Em um problema de otimização multiobjetivo, as soluções são comparadas através da propriedade de não-dominância (Deb, (2001)).

A. Não-dominância: Seja um problema multiobjetivo, com k funções objetivo, para serem minimizadas simultaneamente. Uma solução y1 domina uma solução y2, se y1 é melhor que y2 em pelo menos um objetivo fi, e não é pior que y2 para qualquer outro objetivo fj,

1, 2, ,j k= … :

y1 domina y2 se fi (y1) < fi (y2) e fj (y1) < fj (y2)

B. Solução não-dominada ou ótima de Pareto:

Uma solução y1 ∈ P, que domina qualquer outra solução y2 ∈ P (P ⊆ S, sendo S o espaço de busca do problema), é chamada solução não dominada em P. As soluções que são não dominadas sobre todo o espaço S são chamadas de soluções ótimas de Pareto (Critério de otimalidade de Pareto).

C. Fronteira de Pareto: é a curva compostas por soluções não dominadas em um espaço contínuo.

Os algoritmos evolutivos para otimização multiobjetivo podem ser classificados em três categorias (Coello, (1996)): técnicas que utilizam funções de agregação; técnicas não baseadas na teoria de Pareto; técnicas baseadas na teoria de Pareto.

As técnicas que utilizam as funções de agregação fazem uma combinação linear das diversas funções objetivo, transformando o MOP em um problema mono-objetivo (métodos da soma ponderada, programação por metas e satisfação por metas). Esta transformação é alcançada através da introdução de parâmetros adicionais, que quantificam a importância de cada objetivo.

A otimização simultânea de todos os objetivos pode ser eficientemente realizada através de métodos baseados em populações, como as algoritmos evolutivos, porque eles geram múltiplas soluções de uma única vez. As principais técnicas desenvolvidas para aplicação de algoritmos evolutivos multiobjetivo em problemas de engenharia podem ser encontradas em (Deb, (2001); Coello, (1996)).

4. ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PROPOSTO

O AEMO desenvolvido é baseado em um procedimento de ordenação dos pontos candidatos a serem pontos eficientes da população. Este método é conhecido na literatura técnica como Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA). O NSGA foi proposto em (Srinivas and Deb, (1995)) e difere do algoritmo genético simples apenas na forma como é executada a seleção, uma vez que os operadores recombinação e mutação permanecem idênticos.

Neste trabalho, o algoritmo proposto combina algumas estratégias a fim de realizar uma busca eficaz e obter um bom desempenho. O processo iterativo do algoritmo implementado é ilustrado na Fig. 1, e a seguir apresentam-se as estratégias utilizadas:

- Codificação das variáveis de controle em base real; - Classificação da população de acordo com a dominância das soluções; - Elitismo; - Desacoplamento implícito das variáveis do problema; - Seleção e recombinação simultaneamente;

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- Preservação da diversidade; - Escolha de uma solução incumbente da primeira fronteira de Pareto.

Estratégia elitista(Primeira fronteira)

Avaliação NSGA

População Inicial(geração aleatória controlada)

Processar o FP

Seleção e recombinaçãoMutação

ig = 1

ENTRADA DE DADOS

- Tamanho da população: (Npop)- Número de Gerações: (Nmax)- Limites inf. e sup. das taxas de recombinação e mutação:

Solução incumbente(Técnica de escalarização)

Nova população

Soluções não dominadas(Algoritmo de busca)

Classificação das soluções(fronteiras de dominação)

End(S)

ig = ig + 1

ig < nmax

(N)

Fig. 1 – Diagrama de blocos do AEMO implementado.

4.1. Codificação, População Inicial e Fluxo de Potência

Existem diversas formas para representar as soluções candidatas em um algoritmo evolutivo. A escolha irá depender da natureza das variáveis de decisão de cada problema. Neste trabalho, adotou-se uma representação em base real. Os taps dos transformadores e os bancos de capacitores e os bancos de capacitores e reatores shunts são representados através de valores discretos como segue:

01i it t t= + ∆ i H∀ ∈ (9)

0i i iSc Sc Sc= ∆ i C∀ ∈ (10)

Sendo que 0it e 0

iSc representam os taps dos transformadores e os bancos de capacitores e reatores originais do sistema, respectivamente e ∆ o tamanho do passo. H e C são os conjuntos dos taps dos transformadores e dos bancos dos capacitores e reatores shunts, respectivamente.

Os indivíduos (cromossomos) que compõem a população são formados por quatro subconjuntos de variáveis, representadas pelas variáveis de controle do sistema, como ilustrado na Fig. 2.

Subconjunto 1 Subconjunto 2 Subconjunto 3 Subconjunto 4

... ... ... ...1Pg mPg 1V nV 1t kt 1Sc hSc

Fig. 2 - Estrutura do cromossomo da população do AEMO.

Devido as características físicas do problema, para se obter um desempenho satisfatório do AEMO sob os aspectos da eficiência computacional e qualidade das soluções otimizadas fornecidas pelo algoritmo, é necessário gerar uma população inicial de boa qualidade. As variáveis de controle (Pg nas barras de geração e V nas barras de tensão controlada) são geradas de forma semi-aleatória, satisfazendo a região de factibilidade. Além disso, a geração de potência ativa deve satisfazer a demanda e as perdas do sistema como segue:

i i

i G i L

Pg D∈ ∈

=∑ ∑ (11)

sendo iD a demanda de potência ativa, incluindo as perdas.

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Após a geração da população calculam-se as equações de fluxo de carga (7) e (8), através do método de Newton (Monticelli, (1983)), para cada um dos indivíduos.

4.2. Classificação da População e Estratégia Elitista

Após os cálculos do fluxo de potência para cada um dos indivíduos da população, as soluções são classificadas com base na definição de pontos eficientes (conceito de Pareto-ótimo). Nesta fase, os indivíduos eficientes presentes na população corrente são primeiramente identificados. Assim estes indivíduos definirão uma lista de NF fronteiras dominantes 1 2, , NFF F F . Os

pontos pertencentes a uma fronteira iF possuem o mesmo grau de dominância, isto é, nenhum

ponto domina o outro. Os indivíduos da primeira fronteira ( )1F são considerados os mais aptos,

pois estão associados aos pontos dominantes da população. Os pontos eficientes pertencentes à fronteira 2F dominam os pontos em 3F , ou seja, os pontos pertencentes à fronteira iF dominam

os pontos em 1iF + .

A estratégia elitista, dentro do contexto multiobjetivo, deve ser expandida para o conjunto das soluções não-dominadas da população corrente. Este procedimento é fundamental na resolução de problemas multiobjetivos, uma vez que a solução destes problemas é na verdade um conjunto de soluções – fronteira ótima de Pareto.

Após a classificação da população os pontos pertencentes à primeira fronteira ( )1F são

retirados da população e armazenados em um subconjunto elitista E, para serem utilizados no processo de recombinação, para aumentar a pressão de seleção e ao mesmo tempo acelerar a convergência do algoritmo.

4.3. Desacoplamento Implícito das Variáveis de Controle

Durante os procedimentos de recombinação e mutação é realizado o desacoplamento implícito das variáveis de controle, para evitar os conflitos entre as diferentes restrições operacionais. Esta estratégia consiste em separar as variáveis dos subproblemas ativo e reativo de FPO e foi implementada, conforme ilustrada na Fig. 3.

Selecionar aleatóriamente um objetivo

(S)

(N)

(S)

1 5, ou ?f f Fim(N)(S)

Início

1 2 5, ou ?f f f

3 4ou ?f f

Subproblema Reativo

Realizar a recombinação oumutação nos subconjuntos:

Subconjunto 2

...1V nV

Subconjunto 3

...1t kt

Subconjunto 4

...1Sc hSc

Subproblema Ativo

Realizar a recombinação oumutação subconjunto:

Subconjunto 1

...1Pg mPg

Fig. 3 - Estrutura do desacoplamento implícito das variáveis do FPO.

4.4. Operadores Genéticos

a) Seleção por torneio e recombinação

O procedimento de seleção adotado é o de torneio, na qual algumas soluções são aleatoriamente escolhidas da população e, com base em algum critério, a solução vencedora é

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então selecionada. Normalmente, o critério utilizado pela maioria dos algoritmos evolutivo mono-objetivo é o valor da função de aptidão, já para os algoritmos evolutivos multiobjetivos alguma estratégia de nicho é empregada de forma a modificar as aptidões reais dos indivíduos conforme a densidade de vizinhos no seu entorno.

Neste trabalho, o procedimento de torneio empregado é efetuado diretamente sobre as ordens (fronteiras) recebidas pelos indivíduos, deste modo, os indivíduos são selecionados não só pelas suas aptidões, mas sim pelas suas aptidões dentro do contexto multiobjetivo de dominância. Além disso, este procedimento é realizado em conjunto com o operador de recombinação de um único ponto.

Seja { }popN o número máximo de indivíduos da população e { }M um conjunto que contém as

soluções { }EMNMM pop ∉∈ e/ para serem utilizadas nos processos de seleção e recombinação,

como segue:

i. Selecionar por torneio um indivíduo pai, P1, do subconjunto M; ii. Selecionar aleatoriamente o segundo pai, P2, do subconjunto E;

iii. Selecionar aleatoriamente um dos objetivos do problema e iniciar o processo de recombinação;

iv. Gerar um número aleatório [ ]1,0∈r . Se Pr<r , então obter aleatoriamente o ponto de recombinação. Caso contrário, voltar ao passo i;

v. Se o objetivo escolhido no passo iii se refere ao custo da geração, então a recombinação de um único ponto é realizada considerando todos os subconjuntos de variáveis de controle (Fig. 2). Caso contrário, o desacoplamento implícito das variáveis do problema é realizado;

vi. Repetir os passos i à v até que a nova população possua o número de indivíduos predefinido.

b) Mutação

A mutação é um operador de grande importância para a solução do problema de FPO abordado, pois introduz, aleatoriamente, novas informações na população, prevenindo a convergência prematura do algoritmo. A seqüência deste procedimento é descrita abaixo:

i. Gerar um número aleatório [ ]1,0∈m ; ii. Se Pmm < , então selecionar aleatoriamente um dos objetivos do problema, para realizar a

mutação. Caso contrário, voltar ao passo i; iii. Se o objetivo escolhido no passo ii é diferente do custo da geração, então, deve-se realizar

o desacoplamento implícito das variáveis do problema. Caso contrário, a mutação é efetuada em todos os subconjuntos das variáveis de controle (Fig. 2);

iv. Selecionar o ponto de mutação para a variável que sofrerá mutação. v. Trocar o valor atual da variável selecionada, por um valor gerado, aleatoriamente, no

domínio desta variável; vi. Repetir os passos i à v até que a nova população tenha o número de indivíduos predefinido.

4.5. Diversidade

Geralmente para preservar a diversidade da população em algoritmos evolutivos multiobjetivos utiliza-se a técnica de niching (Goldberg, (1987); Deb et. al (2000)). Esta técnica tenta evitar a convergência prematura do AEMO mantendo sub-populações estáveis de soluções de boa qualidade. No AEMO proposto para preservar a diversidade na população utilizam-se taxas de recombinação e mutação atualizadas de forma adaptativa, como segue:

( )max max minPr Pr ig Pr Pr nmax⎡ ⎤= − ⋅ −⎣ ⎦ (12)

( )max minmimPm Pm ig Pm Pm nmax⎡ ⎤= + ⋅ −⎣ ⎦ (13)

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Sendo: Pr e Pm as taxas de recombinação e mutação, respectivamente; min max min max, , ePr Pr Pm Pm representam os limites inferior e superior das taxas de

recombinação e mutação, respectivamente; ig e nmax o índices e o número máximo de gerações, respectivamente.

4.6. Avaliação da Função Fitness e Solução Incumbente

Os algoritmos multiobjetivos fornecem um conjunto grande de soluções aceitáveis. Tais soluções estão distribuídas em diversas fronteiras, e conforme já mencionado, todos os pontos em uma fronteira particular possuem o mesmo grau de dominância, sendo os pontos da primeira fronteira os mais aptos, porque estão associados aos pontos dominantes da população.

Na resolução do problema de FPO abordado é desejável encontrar uma solução para o qual os valores de todas as funções objetivo são considerados aceitáveis pelo projetista ou decisor. Em outras palavras, deseja-se determinar, sobre o conjunto Pareto-Ótimo um conjunto particular de variáveis de controle (Fig. 2) que permitam atingir valores eficientes de todas as funções objetivos baseado em algum critério de decisão. Neste trabalho, para determinar uma solução particular, a cada geração aplicou-se uma técnica de escalarização nas soluções pertencentes a primeira fronteira ( )1F , como segue:

( ) ( )1

k

best i ii

f x f xϖ=

=∑

sendo: ( )bestf x a função fitness; 0iϖ ≥ os coeficientes ponderados que representam a

importância relativa dos objetivos if , e k o número máximo de objetivos que compõem o

problema. Na Fig. 4 ilustram-se os conceitos de fronteira de Pareto, soluções dominadas e não dominadas, considerando um problema de otimização bi-objetivo ( 1f ) e ( 2f ). Os pontos 1x e 2x , nessa figura, representam algumas das soluções não dominadas da primeira fronteira, nas quais se aplica a técnica de escalarização. A solução eficiente que apresentar o menor valor para ( )bestf x

é denominada solução incumbente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

f1

f2

Soluções Dominadas

Soluções nãoDominadas Primeira Fronteira

x1

x3

x2

Fig. 4 – Fronteira de Pareto, soluções dominadas e não dominadas, caso bi-objetivo.

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4.7. Critérios de parada

O critério de parada escolhido para o AEMO é o número máximo de gerações ( )nmax .

Considera-se que as equações de fluxo de potência (8) e (9) estão convergidas quando seus módulos forem menores ou iguais a um determinado ε , neste caso, 610ε −= . 5 - TESTES E RESULTADOS

Nesta seção, para comprovar a eficiência do algoritmo proposto apresentam-se os resultados de simulações usando os sistemas testes RTS-96 e IEEE-354. Os limites mínimo e máximo de tensão, para os dois sistemas, são iguais a 0,94 pu e 1,06 pu, respectivamente. Os tamanhos do passo para as variáveis discretas são 0,01t∆ = e 0,125Sc∆ = .Os limites inferior e superior das

taxas de recombinação e mutação são: min max min max0,001; 0,9; 0,01; 0,5Pr Pr Pm Pm= = = = .

5.1. Sistema RTS-96

Este sistema possui 72 barras, 96 geradores e 119 linhas de transmissão. Na Fig. 5 mostra-se o custo da geração de potência ativa para a melhor solução encontrada em cada geração, enquanto na Fig. 6 mostra o comportamento das infactibilidades da geração de potências ativa e reativa, respectivamente. As infactibilidades referentes à potência ativa dos geradores, que ocorrem no início das gerações, estão associadas à barra de referência, que deve suprir as demanda e as perdas do sistema.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002400

2600

2800

3000

3200

3400

3600

3800

4000

gerações

Cus

to d

a ge

raçã

o de

pot

ênci

a at

iva

(US

$/h)

Fig. 5 – Custo da geração de potência ativa

(RTS-96).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

10

20

30

gerações

Pg

(pu

)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

20

40

60

Gerações

Qg

(M

Var

)

Fig. 6 – Infactibilidades da geração de potências

ativa e reativa – RTS-96.

5.2. Sistema IEEE-354

Este sistema é baseado no sistema teste IEEE-118 (Lebow, (1984)) e possui 354 barras, 162 geradores e 558 linhas de transmissão. Na Fig. 7 mostra-se o custo da geração de potência ativa para a melhor solução encontrada em cada uma das gerações, enquanto nas figuras 8 e 9 apresentam-se o comportamento das infactibilidades da geração de potência reativa e das magnitudes de tensão, respectivamente. Na Fig. 9 mostram-se as magnitudes das tensões, antes e depois da aplicação da solução do FPO, assim como os seus limites inferior e superior. Este sistema não apresenta problemas de fluxos nas linhas de transmissão. A potência ativa dos geradores foi gerada dentro dos seus limites operacionais, atendendo a demanda e as perdas do sistema, e na barra de referência não ocorreu nenhuma infactibildade durante as simulações deste sistema.

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0 500 1000 1500500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

gerações

Cus

to d

a ge

raçã

o de

pot

ênci

a at

iva

(US

$/h)

Fig. 7 – Custo da geração de potência ativa

(IEEE-354).

0 500 1000 15000

50

100

150

200

250

gerações

Qg

(MV

ar)

Fig. 8 – Infactibilidades da geração de potência

reativa – IEEE-354.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Barras do sistema

Mag

nitu

des

das

Ten

sões

(pu

)

FPOFPVminVmax

Fig. 9 – Magnitudes de tensões nas barras do sistema IEEE-354.

5.3. Discussão dos Resultados

O AEMO implementado convergiu para soluções de boa qualidade, ou seja, alteraram-se os controles de potência reativa disponíveis, melhorando o perfil de tensão. Ressalta-se que as magnitudes de tensões permaneceram dentro dos limites estabelecidos para todas as barras (referência, geração e carga) dos sistemas testados. Para o sistema RTS-96 não foram apresentadas as magnitudes de tensões, porque este sistema não apresenta problemas de tensão. A restrição de fluxo nas linhas foi devidamente atendida nas simulações com os dois sistemas teste. A Tabela 1 (a) apresenta o custo da geração obtida através da solução do Fluxo de Potência convencional (FP) e do FPO multiobjetivo. As infactibilidades de potência reativa obtidas com as duas técnicas são mostradas na Tabela 1(b).

Tabela 1: Custo da geração de potência ativa.

Custo da Geração de Potência Ativa (US$/h)

RTS-96 4897, 28 2693,28

IEEE-354 9090,88 640,57

Sistemas FP FPO

RTS-96 1,17 0,00

IEEE-354 10,05 0,15

Sistemas FP FPO

Infactibilidades da Geração de Potência Reativa (pu)

(a) (b)

Comparando-se os resultados mostrados na Tabela 1 observa-se que a modelo de FPO multiobjetivo resolvido através do AEMO implementado foi capaz de minimizar significativamente os custo da geração de potência ativa e atender a restrição de geração de potência reativa.

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6 - CONCLUSÕES

Neste trabalho, apresentou-se um algoritmo evolutivo multiobjetivo para resolver o problema de FPO, gerando uma aproximação do conjunto de soluções eficientes. Os resultados obtidos, com dois sistemas teste da literatura, mostram que a técnica de solução através de AEMO proposta é versátil, e permite determinar soluções ótimas ou otimizadas de boa qualidade. Além disso, permite atender diferentes objetivos, de acordo com as necessidades do usuário, tais como, despacho ótimo de potências ativa e reativa, ajustes do controle de tensão enquanto satisfaz o conjunto de restrições físicas do modelo. AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o suporte financeiro da CAPES e do CNPq. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Aguado, J. A. and Quintana,V. H., 2001. “Inter-utilities power-exchange coordination: A market-

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