xiii ebem mc 13 roteiro teorica geogebra

Prof. Ivana Barreto Matos 1

XIII EBEM

UESB – Campus Jequié

MC 13 – GEOGEBRA como ferramenta no ensino

da Geometria Analítica e Cálculo

Roteiro da aula Expositiva

Download http://www.geogebra.org Manual

1. Aumentar a fonte

Essa opção de aumentar fonte é de grande utilidade, pois durante a apresentação a visualização fica bastante legível. Para aumentar a fonte clicar em: Opções � tamanho de fonte � � <12 a 32 > xx pt

2. Mostrar Barra de Comandos

A barra de comandos é composta de: Arquivo Editar Exibir Opções Janela Ajuda


2.1 Arquivo

Essa é uma janela padrão do Windows, para você criar, abrir, salvar e imprimir arquivos. Chamamos atenção para o item Exportar .

Observe que existem várias opções no item exportar. Inicialmente, daremos uma idéia de cada tipo de exportação e ao longo desse trabalho vamos mostrar exemplos utilizando as construções que serão elaboradas.

Em Planilha Dinâmica como Página WEB (html) podemos construir os mathlets (applets1 relacionados com a matemática). Ideal quando queremos exportatar figuras com animações.

Em Janela de Visualização como Figura (png, eps) podemos exportar as construções como figuras com extensões png e eps. Nesse caso, a figura é estática, ou seja, não mantém as animações se foram efetuadas na construção.

Em Janela de Visualização PSTricks podemos gerar uma código que representa a construção na linguagem do latex. O PSTricks é um pacote da linguagem tex e o GeoGebra consegue gerar um código descrevendo suas construções que, ao ser compilado no tex, transcreve a figura para o documento que está sendo construído.

Em Copiar para a Área de Transferência , podemos copiar a figura para ser colada em um documento Word, PowerPoint etc. Para copiar é conveniente você selecionar a figura a ser copiada e depois copiá-la para a área de transferência.

1 Applet é um software aplicativo que é executado no contexto de outro programa. Em particular, com o navegador de internet.


Em Janela de Visualização com PGF/TikZ gera-se também um código que representa a construção elaborada no GeoGebra na linguagem do látex, sendo que o pacote utilizado é o pgf,tikz . Obs. Se você quiser inserir o código no documento do látex que você esteja trabalhando, você deve observar que o pacote do pstricks não é compatível com o pacote pictexwd. Assim, no seu preâmbulo você não deve usar \usepackage{pictexwd} juntamente com \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}. Ou seja, basta usar o \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}, para utilizar o código gerado pelo GeoGebra. 2.2 Editar Também como padrão em Editar temos: Desfazer, Refazer, Apagar, Selecionar Tudo e copiar para Área de Transferência. Vamos enfatizar o item de Propriedades.

Ao clicar em Propriedades abre-se a janela abaixo, em que você pode mudar a aparência da sua construção. Essa Janela também pode ser acessada quando se clicar duas vezes seguidas em qualquer construção ou também clicando com o botão direito. Veja na janela seguinte que em Básico você pode alterar: Nome, Valor (par ordenado, ou área ou perímetro etc.), Legenda, Exibir ou não o Objeto (quando utilizamos objetos como suporte da construção, mas não queremos que ele apareça na construção final, podemos escondê-los), Exibir ou não o Rótulo, Exibir o Traço (ao mover o objeto aprece um rastro), Fixar objeto (quando fixado o objeto não pode se movido) e Objetos auxiliares (aparece como objeto auxiliar na janela de álgebra).


Através da aquarela abaixo podemos alterar a cor dos elementos da construção.

Em Estilo você pode aumentar o tamanho ou espessura da sua construção, assim também como o formato. Observe que no quadro abaixo a construção é um ponto, mas poderia ser uma reta, polígono etc.

Em Álgebra , podemos alterar as coordenadas do ponto, mas se fosse uma reta, circunferência, elipse etc. apareceria as suas equações que também poderia ser alterada através dessa janela. O incremento é utilizado quando temos o seletor que serve para animar os elementos da construção.


Em Avançado temos “Condições para Mostrar Objeto ” e “Cores Dinâmicas ”. Usamos essa condição quando numa animação queremos que o objeto apareça somente sob certa condição e nesse caso podemos escolher a cor quando o objeto aparecer. Observe também que nesta mesma janela aparecem ao lado todos os objetos da construção. Basta selecionar outro objeto na janela para alterar a aparência dele.

2.2 Exibir

Em Exibir temos: Eixos (mostra ou não os eixos coordenados), Malha (aparece um reticulado na janela de trabalho, que facilita bastante a marcação de pontos), Janela de Álgebra (Aparece uma janela na área de trabalho mostrando os dados da construção, inclusive as coordenadas dos pontos, áreas, perímetros, equações etc.), Planilha, Campo de Entrada(linha de comandos para inserirmos os comandos da lista de comandos como, por exemplo, funções, somas, distâncias etc.), Lista de Comandos(aparece uma lista com todos os comandos), Protocolo da Construção(aparece uma relação descrevendo todos os elementos da construção), Barra de Navegação para Passos da Construção( Através dessa barra, podemos visualizar de forma animada os passos da construção). Ainda podemos Atualizar a Janela e Recalcular Todos os Objetos.


Nessa janela você pode ver todos os elementos exibidos.

2.3 Opções Em Opções você pode alterar alguns dados que o GeoGebra usa como padrão. Como, por exemplo, a unidade de medida de ângulo pode ser alterada de grau para radianos, você pode escolher também o número de casas decimais em Arredondamento , mudar o estilo do ponto e do ângulo reto, tamanho da fonte, como foi mostrado no início, e o idioma também pode ser alterado.


2.4 Ferramentas

Em Ferramentas você pode criar uma nova ferramenta, assim como também configurar a caixa de ferramentas. Logo abaixo você verá a barra de ferramentas com as ferramentas padrões do GeoGebra. Mas, se por acaso você precisar na sua construção de repetir muitos passos, como por exemplo, você pode precisar de uma ferramenta que dados dois pontos construa um quadrado cujo lado é a distância entre os dois pontos. Nesse caso é possível se criar uma nova ferramenta, ou seja, uma nova caixinha que é inserida na barra de ferramentas.

2.5 Janela

Em Janela você pode abrir uma nova janela de trabalho.


2.6 Ajuda

A Ajuda do GeoGebra nem sempre está atualizada. Num entanto em caso de dúvidas você pode acessar o GeoGebra Fórum, pois por ser um programa gratuito e de código aberto, muitos pessoas contribuem na sua construção. Ao Acessar Sobre/Licença você pode ver de que forma o esse software maravilhoso, que utiliza o Java funciona.


3. Mostrar Barra de Ferramentas A barra de ferramenta é composta de várias caixinhas, cada uma delas possui funções específicas, que nos permite fazer várias construções. Vamos mostrar todas elas, exemplificando quando for necessário e dando ênfase aos conteúdos de vetores e cônicas da Geometria Analítica e aos conteúdos de derivadas e integrais do cálculo diferencial e integral, um dos objetivos do nosso minicurso.

O Primeiro ponteiro mostrado abaixo serve para mover objetos e selecionar. Uma dica importante, é que toda vez que você utiliza outra ferramenta, para reprogramar o cursor, você deve clicar nesse primeiro ponteiro. O segundo ponteiro permite girar uma construção em torno de um ponto e o terceiro ponteiro faz com que um valor seja inserido na planilha. Para tanto, você deve exibir a planilha e depois clicar no valor a ser inserido.

Essa caixa de ferramenta nos permite colocar pontos na janela de trabalho. O primeiro ponto é construído de forma livre na janela de trabalho. O segundo é um ponto de interseção entre objetos e o terceiro é o ponto médio. Observe que ao colocar um ponto na janela de trabalho, suas coordenadas são exibidas na janela de álgebra.


Agora podemos construir retas, segmentos, semi-retas e vetores. Vamos dá ênfase a construção com vetores conteúdo da Geometria Analítica.

Exemplo: Soma de Vetores

Para elaborar essa construção você deve seguir os passos indicados abaixo.

1. Em “Exibir ”, marque eixos, malha e janela de álgebra. 2. Clicar em “Vetores Definidos por dois Pontos ”. 3. Na área de trabalho clique na origem do sistema cartesiano e depois clicar em outro

ponto qualquer. Observe que aparecerá o vetor u e o ponto B. 4. Novamente clique na origem e em outro ponto (C) para construir o vetor v. 5. Para construir o paralelogramo, clique em “Vetor a Partir de um Ponto ” e ao clicar no

ponto B e logo em seguida no vetor v, aparece o vetor w paralelo a v. Do mesmo jeito, clique no ponto C e depois no vetor u para construir o vetor z. Observe que aparecerá o ponto B’.

6. Agora construa o vetor soma com a ferramenta “Vetores Definidos por dois Pontos ”, bastando clicar no ponto A e no ponto B’.

7. Clique agora no ponteiro para reprogramar e tente mover os pontos B, C e B’. Ao mover os pontos B e C a construção toda se movimenta mostrando outro vetor soma. No entanto você não vai conseguir mover o ponto B’, pois ele depende da construção.


8. Para exemplificar a exportação, vamos criar um “mathets”. Para tanto, siga os seguintes passos: Arquivo �� Exportar �� Planilha Dinâmica como Página WEB (html).

Esse caminho dará acesso as seguintes janelas: Na janela abaixo, você deve preencher os títulos e ao escolher Planilha dinâmica surgirá a segunda janela com todas as opções ticadas. Claro que você pode desmarcar algumas opções. Quando todas as opções são marcadas e mathlet conterá todas as ferramentas do GeoGebra e possibilitará mudanças na construção. Caso você queira disponibilizar, por exemplo, uma construção como recurso didático para ensinar certo conteúdo é recomendável não permitir que o aluno modifique. Depois de preencher as planilhas, clique em exportar para gerar o mathlet. Acessando o mathlet, você pode movimentar a figura e a depender da opção escolhida alterá-la também.


Exemplo: Subtração de Vetores

Similarmente você pode construir a subtração de vetores. Observe que foi construído um vetor paralelo ao vetor a1, escolhendo “Vetor a Partir de um Ponto” , clicando no ponto A e em seguida no vetor a1. Com isso é possível mostrar para o aluno que o vetor a é o vetor (-2, 4) como mostra o cálculo na janela de álgebra. Aqui para exemplificar, podemos exportar a construção como figura em png e eps. Assim, siga os passos abaixo:

Arquivo �� Exportar �� Janela de Visualização como Figura (png, eps)

Ao clicar em ok, aparece o quadro abaixo, em que você pode escolher a resolução, e ainda sequer a figura no formato png, pdf, eps, svg ou emf. Observe no quadro que você pode optar por Gravar a figura em um arquivo, ou copiar para a área de transferência.


Com essa ferramenta podemos construir retas perpendiculares, paralelas, assim como, mediatriz e bissetriz. Vamos dar ênfase a Reta de Regressão Linear, útil na modelagem matemática.

Exemplo: Reta de Regressão Linear

Vamos supor que experimentalmente uma equipe de alunos consegue relacionar duas variáveis x e y, coletando alguns pontos. Num entanto, depois de algumas análises eles escolheram o método de Regressão Linear para modelar uma função e para obter a reta que melhor se aproxima eles utilizaram o GeoGebra. Para tanto, eles seguiram os seguintes passos: 1. Inicialmente eles plotaram os pontos na janela de trabalho, utilizando a malha e os eixos coordenados para facilitar. Observe que na janela de álgebra aparecem as coordenadas dos pontos, e se for preciso fazer algum reajuste pode-se clicar duas vezes sobre a coordenada do ponto na própria janela e digitar o valor específico. 2. Feito isso eles selecionaram os pontos com o ponteiro, envolvendo todos os pontos com um retângulo.


3. Finalmente clicaram em “Reta de Regressão Linear” e aparece a reta desejada. Interessante é que a equação da reta aparece diretamente na janela de álgebra. Posteriormente você vai ver que podemos modelar funções por outros métodos utilizando a lista de comandos.

Com essa ferramenta podemos medir ângulos, distâncias, áreas e inclinação.

Aqui seremos capazes de construir polígonos regulares e irregulares.

Exemplo: Construção de um Triângulo

Para elaborar a construção acima siga os seguintes passos: 1. Clicar na opção polígono (ver figura acima) e ao clicar na área de trabalho uma vez, observe que aparece um ponto. Arraste o mouse e clique novamente, e assim sucessivamente até formar todo o triângulo, clicando no ponto inicial para fechá-lo. 2. Se quiser mudar a aparência, clicar no ponteiro e depois clicar duas vezes no triângulo, em que aparece uma janela que você pode escolher propriedade. Assim, você poderá mudar: cor, espessura do traço etc.


3. Para colocar as marcas dos ângulos clicar em “Ângulo” (mostrado anteriormente) e clicar uma vez no triângulo. Aparece todas as marcas de ângulo de vez. Na janela do lado aparecem os valores. Se não aparecer, clicar numa das marcas duas vezes e aparecerá uma janela com a opção propriedades, em que você pode marcar a caixa de nome e valor. 4. Para somar os ângulos clicar na barra de comandos: entrada e escolher o comando (Angulo) na lista de comando. Na linha de comando aparece a palavra Ângulo e um espaço entre chaves. Aí você deve clicar e escolher as letras α , β e γ na lista de letras gregas, colocando o sinal de soma entre eles. Ao teclar enter você pode visualizar na janela de álgebra que o valor da soma é 180° e claro que não muda se alteramos o triângulo.

Essa é uma excelente sequência didática no ensino de geometria plana.

Com essa ferramenta podemos construir círculos, semicírculos, arco e setores definidos de várias formas como você pode ver em cada ferramenta abaixo.


Exemplo: Construção de uma Circunferência ou Círculo Vamos construir um “Círculo definido pelo centro e um de seus pontos”.

Para elaborar a construção acima siga os seguintes passos: 1. Clicar na opção “Círculo definido pelo centro e um de seus pontos” e ao clicar na área de trabalho uma vez, observe que aparece o ponto A. Arraste o mouse e clique novamente, e aparece o ponto B. 2. O círculo está pronto, mas se você quiser mudar a aparência, clicar no ponteiro e depois clicar duas vezes no círculo, em que aparece uma janela que você pode escolher propriedade. Assim, você poderá mudar: cor, espessura do traço, colocar o preenchimento etc. 3. Observe na janela de Álgebra que aparece a equação da circunferência. Em propriedades � álgebra , você pode mudar a forma da equação para a equação geral. 4. Você pode mover os ponto A e B e mostrar os alunos o que acontece com a equação ao alterarmos o centro e raio da circunferência. 5. Além disso, se você abrir a caixa de ferramenta de medidas poderá colocar a área da circunferência.

6. Agora vamos exportar a figura de forma a obter um código que será inserido no látex. Inicialmente selecione a figura e siga os passos a seguir: Arquivo �� Exportar �� Janela de Visualização como PSTricks Então aparece a janela abaixo, que ao você clicar em Gerar código PSTricks aparece o código na janela de Álgebra como mostra o segundo quadro abaixo. Você deve clicar em Copiar para Área de Transferência , colar o código no documento do látex, e ao compilar você obterá a figura.


Mas temos algumas considerações a fazer. Observe o código completo abaixo. \documentclass[10pt]{article} \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} \pagestyle{empty} \begin{document} \newrgbcolor{ccqqcc}{0.8 0 0.8} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm} \begin{pspicture*}(-0.8,-8.34)(22.52,5.64) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.8,-8.34)(22.52,5.64) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.8,-8.34)(22.52,5.64) \pscircle[linewidth=2.8pt,linecolor=ccqqcc,fillcolor=ccqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.15](3,3){2.24} \rput[tl](1.84,2.5){Área = 15.71} \psdots[dotsize=5pt 0,linecolor=blue](3,3) \rput[bl](3.08,3.2){\blue{$A$}} \psdots[dotsize=5pt 0,linecolor=blue](5,4) \rput[bl](5.08,4.2){\blue{$B$}} \rput[bl](1.08,4.98){\ccqqcc{$c$}} \end{pspicture*} \end{document} Considerações: 1 - Se você copiar esse código em um documento novo do Látex e compilar, a figura será gerada. Mas o WinEdt só aceita compilar para obter primeiramente o arquivo em DVI. Observe que a figura fica muito grosseira em dvi. Mas ao converter no próprio WinEdt em Post Script, salvando em pdf a qualidade melhora e inclusive as cores conservam a transparência.


DVI

Adobe Acrobat - PDF

2- Se você quiser inserir o código em um arquivo que já está sendo trabalhado no látex, repare que você precisa retirar a parte inicial até o \begin{document} e o end{document}. Lembrar de inserir \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} no preambulo e ficar atento a observação feita anteriormente sobre a incompatibilidades com o outro pacote. 3 – Você pode também usar a opção de exportação Janela de Visualização como PGF/Tikz para gerar código para o látex. Nesse caso, é gerado o código abaixo, que utiliza o pacote \usepackage{pgf,tikz}. \documentclass[10pt]{article} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \pagestyle{empty} \begin{document} \definecolor{ccqqcc}{rgb}{0.8,0,0.8} \definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1} \definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.75,0.75,0.75} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 1pt off 1pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (0.36,0.4) grid (5.52,5.54); \clip(0.36,0.4) rectangle (5.52,5.54); \draw [line width=2.8pt,color=ccqqcc,fill=ccqqcc,fill opacity=0.15] (3,3) circle (2.24cm); \draw (1.84,2.5) node[anchor=north west] {Área = 15.71}; \fill [color=qqqqff] (3,3) circle (2.5pt); \draw[color=qqqqff] (3.2,3.46) node {$A$}; \fill [color=qqqqff] (5,4) circle (2.5pt); \draw[color=qqqqff] (5.2,4.46) node {$B$}; \draw[color=ccqqcc] (1.18,5.24) node {$c$}; \end{tikzpicture} \end{document}


Com essa ferramenta podemos trabalhar com as cônicas.

Exemplo: Construção de uma Elípse

Para elaborar a construção acima siga os seguintes passos: 1. Clicar na opção “Elipse” e ao clicar na área de trabalho uma vez, observe que aparece o ponto A. Arraste o mouse e clique novamente, e aparece o ponto B. E ao clicar novamente aparece a elipse e o ponto C. 2. Agora você pode alterar a aparência, clicando no ponteiro e depois clicar duas vezes na elipse ou com o botão direito. 3. Observe na janela de Álgebra que aparece a equação da circunferência. Em propriedades � álgebra , você pode mudar a forma da equação para a equação geral. 4. Agora você pode mover os ponto A e B e mostrar os alunos o que acontece com a equação na janela de álgebra. 5. Além disso, se você abrir a caixa de ferramenta de medidas poderá colocar a área da elipse.


Exemplo: Construção de uma Hipérbole

Para elaborar a construção acima siga os seguintes passos: 1. Clicar na opção “Hipérbole” e ao clicar na área de trabalho uma vez, observe que aparece o ponto A. Arraste o mouse e clique novamente, e aparece o ponto B. E ao clicar novamente aparece a hipérbole e o ponto C. 2. Você pode alterar a aparência, clicando no ponteiro e depois clicar duas vezes na elipse ou com o botão direito. 3. Agora você pode mover os ponto A e B e mostrar os alunos o que acontece com a equação na janela de álgebra. Observe que você também pode construir a Cônica com 5 pontos

Dentre essa ferramentas vamos enfatizar a Reflexão.


Exemplo: Reflexão em Relação a uma Reta

Para elaborar a construção acima siga os seguintes passos: 1. Inicialmente você deve construir a reta. 2. Agora construa a circunferência c. 3. Clicar na ferramenta de “Reflexão em Relação a uma Reta” e clique na circunferência e depois na reta. 4. Observe que aparece a outra circunferência refletida. 5. Agora mova os elementos da circunferência e observe que a outra circunferência acompanha o movimento.

Com essas caixas de ferramentas podemos fazer algumas coisas bastante interessantes, inclusive animações de curvas através dos seletores.


Exemplo: Movimentação Gráfica e Integral Definida

Para elaborar a construção acima siga os seguintes passos: 1. Inicialmente você deve definir os seletores, a, b e c. Para tanto, clique na ferramenta seletor e clique na área de trabalho. Verifique que abre uma janela com as propriedades do seletor, que se quiser você pode alterar. Nesse caso clique apenas em aplicar para aparecer o seletor a, como mostra a figura. Repita os mesmos passos duas vezes para construir os seletores b, e c. 2. Agora vamos inserir a função polinomial de segundo grau na linha de comando. Basta escrever na linha de comando “f(x)=a*x^2+b*x+c ” (observe que o sinal de multiplicação é o *, que é obrigatório) e dar enter. 3. Agora você pode movimentar os seletores e mostrar a seus alunos a movimentação da parábola em funções dos coeficientes a, b e c. 4. Para incrementar essa seqüência didática, você pode trabalhar também com o conceito de integral definida. Para isso, escolha na lista de comandos Integral . Fazendo isso, aparece na linha de comando Integral[ ], e você deve completar, obtendo Integral[f(x), 1,4]. 5. Aparecerá então a área sombreada, mostrada na figura acima. 6. Observe que d=0 significa que a área a integral é nula. Com isso você pode mostrar aos alunos que a área positivo é igual a área negativa, assim como também com a movimentação dos seletores mostrar o que acontece quando a área é negativa etc.

Exemplo: Interpretação Gráfica da Derivada

Para elaborar a construção acima siga os seguintes passos: 1. Escolha em exibir: eixos, malha, linha de entrada e a janela de álgebra. 2. Insira a função f(x) na linha de entrada comando digitando ( ) 0.7* ^ 2 5* 10f x x x= − + ou outra função qualquer. 3. Construa a reta secante, colocando os dois pontos A e Q sobre a parábola. 4. Se quiser construa a reta h, paralela ao eixo x, e construa o ângulo alfa. Selecionar na caixa de ferramentas das retas e a opção Tangentes clicar no ponto A e depois na parábola. Perceba que ao movimentar o ponto A reta continua sendo tangente a curva. 5. Agora se você quiser construa a reta g paralela a h e também pode fixar o ponto A. 6. Observe que ao mover o ponto Q em direção do ponto A reta secante tende a reta tangente.

xiii ebem mc 13 roteiro teorica geogebra

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