X-VariedadesEstáveiseCrises

ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke

Springer(1997)

1-IntroduçãoVariedadeestável(instável):conjuntodepontosiniciaisqueconvergemparaopontodeselaparat→∞(t→-∞).

• Poincaré:cruzamentodevariedadescausamdinâmicacomplexa.• Vamosexaminarcrisescausadaspelocruzamentoentreasvariedadesestáveleinstáveldeumpontodesela.(Nãohácruzamentosdeumamesmavariedade!)

• Emgeral,variedadesnãosãodeterminadasanaliXcamente.

• Determinaçãodasvariedadesrequermapasinversíveis.

2–TeoremadaVariedadeEstável

As variedades de um ponto de sela no plano são curvas unidimensionais.

ChaosAlligoodetal.

0.59)- (1, V 2.26 -

0.88) (1, V 0.13 -

vetores-auto e valores-Auto

0.33) - 0.99, (- P fixo Ponto

uu

ss

=→=λ

=→=λ

=

!

!

!

x=-π→x=π

Conjectura:variedadeestávelseaproximadecadapontodomapa

ExemplodeVariedadeseCruzamentosdeumPontodeSela

ExemploMapa f (x, y) = ( 0.5 x + g(x, y), 3y + h(x, y) )g, h potencias com ordem maior ou igual a 2

Ponto fixo em (0, 0)

Df(0, 0) = 0.5 00 3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒

0.5 -λ 00 3 -λ

= 0

auto− valor λ = 0.5 ⇒ auto-vetor !u = ex

λ = 3 ⇒ !u = ey

Variedade estável na direção de ex

Variedade instável na direção de ey

ChaosAlligoodetal.

Variedades de um Ponto de Sela no Plano

Local Global

Teorema:

f: difeomorfismo em R2 , com um ponto de sela !P

Matriz Jacobiana D f (!P) → auto-valores s ( s < 1) e u ( u > 1)

!Vs e

!Vu auto-vetores desses auto-valores

As variedades estável , S, e instável, U, de !P são unidimensionais e contem

!P.

Em !P, !Vs e

!Vu são tangentes a S e U, respectivamente.

ChaosAlligoodetal.

Ilustração do Teorema da Variedade Estável

ChaosAlligoodetal.

0) (0, :sela de Ponto0) (1, 0), ,1(:atratoresfixosPontos

)2y, xarctg 4( y) f(x,

−π

=

Exemplo de Variedades

ChaosAlligoodetal.

xy

2

eueesvetoresAuto0) (1, :sela de Ponto

0) (-1, :repulsão de fixo Ponto0) (0, :atrator fixo Ponto

)sen - ,(r )y,x(f

==−

⇒

θθ=

!!

Exemplo de Variedades

ChaosAlligoodetal.

yxs

yxu

2

33

eeV

eeV

:vetoresAuto

10 x3- 1

1 0 0) (0, Df

0) (0,:sela de Ponto

xxy

y

x0 xxx

−=

+=

−

±=λ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒=+−

•

•

••

!

!

Variedades da Equação de Duffing

ChaosAlligoodetal.

Variedades do Mapa de Hénon

yxuu

yxss

e58.0eV71.1

e71.5eV18.0

0.94) (0.94, :sela de Ponto

−=⇒−=λ

−=⇒−=λ!

!

3-PontosHomoclínicoseHeteroclínicos

• Emaranhado homoclínico

• Sela caótica: conjunto caótico não atrativo

icoheteroclín ponto um de órbita :icaheteroclín Órbitaicoheteroclín ponto

um é r ,diferentes selas de pontos de es variedadforem Ue S Se

ohomoclínic ponto um de órbita :ahomoclínic Órbita

)P(f)r(f lim )P(f)r(f lim

ohomoclínic ponto é r U r S, r(U) instável e (S) estável es variedadcom sela de ponto :P

R de inversível mapa :f :Definição

k

k-

k

k

n

!

!!!!

!!!

!

→→

⇒∈∈

∞→∞→

os.homoclínic pontos em,f e fpor mapeados, são oshomoclínic Pontos -1

ChaosAlligoodetal.

Cruzamento de Variedades

Ponto no cruzamento vai para P, quando t → ∞ vai para P, quando t → - ∞

P: ponto de sela S: variedade estável U: variedade instável

ChaosAlligoodetal.

Emaranhado Homoclínico

. 0 t e 0 t para mapa, nesse permanecem que pontos pelos formado:Cantor de Conjunto

ahiperbólic ferradura da mapa oshomoclínic Pontos

1967 ferradura, da mapa :Smale S.

<>

⇒

ChaosAlligoodetal.

Construção de um Mapa da Ferradura

Área R em torno do ponto de selaP

Iterar f k (R) até encontrar um ponto homoclínico rIterar f −l (R) até encontrar esse ponto homoclínico r

Mapa f k + l (r ) = rDomínio : f −l (R)Imagem : f k (R)

Determinar R suficientemente pequena, k , l não grande demais. Procurar esticamento e contração uniformes.

f. de iterações para ohiperbólic ferradura da mapa um Há salmente transvercruzam se instável e estável Variedades

sela de fixo ponto :P

plano no smodifeomorfi :f:Teorema

cruzam) se não elas o,homoclínic ponto no am tangencise apenas elas (Se

elas. entre positivo ângulo um com mintercepta se elasse salmente transvercruzam se instável e estável Variedades

:Definições

⇒

!

ChaosAlligoodetal.

Cruzamentos transverso e não transverso

ChaosAlligoodetal.

4-Crises

• Parâmetros críticos

• Pequena alteração do parâmetro próxima ao valor crítico ⇒ mudança abrupta no atrator

• Discussão das alterações dinâmicas envolvidas

Três Tipos de Crise com Atratores Caóticos

• Tamanho do atrator caótico aumenta por colidir com órbita periódica no interior da sua bacia. Crise interior. • Destruição do atrator caótico que colide com órbita periódica na fronteira da sua bacia. Crise de fronteira. • Dois ou mais atratores se fundem ao colidirem simultaneamente com órbita na fronteira das suas bacias. Crise de fusão de atratores.

Evolução Pós Crise

Tempo Característico Para Cada Tipo de Crise

• Crise interior Tempo de visita intermitente (bursts) à região que o atrator ocupava antes do seu crescimento.

• Crise de fronteira Duração do transiente caótico após a destruição do atrator caótico. • Crise de fusão de atratores Tempo de permanência intermitente na região dos atratores originais.

ChaosAlliggodetal.

reais parâmetros R,C,C,Cy x 1

C - C

) cosy sen x (C) sen y - cosx (C R

y) (x, F

321

223

1

2

2

+++=τ

⎩⎨⎧

τ+τ

ττ+=

Atrator Caótico do Mapa de Ikeda

ChaosAlligoodetal.

Crise Interior do Atrator de Ikeda

ChaosAlligoodetal.

0 n

n ).L(f de limiteponto um é P de instável e variedadda ponto cada

salmente transverestável e variedadcruza L Curvasela de ponto :P

plano no smo difeomorfi :f

)lambdalema( Teorema

>

∪

⇒!

!

Demonstração em Palis, de Melo, Springer, 1982

ChaosAlligoodetal.

Crise Interior: colisão do atrator caótico com a variedade estável da órbita periódica (p=5)

Variedade estável da órbita periódica instavel entra na bacia do atrator Caótico.

ChaosAlligoodetal.

Antes da crise interior : cada ramo da variedade instável vai para um ramo do atrator.

Depois da crise: as duas partes preenchem o atrator.

ChaosAlligoodetal.

Alteração Dinâmica Crise interior do mapa de Hénon

ChaosAlligoodetal.

Crise de Fronteira Variedade estável não está na bacia do atrator caótico.

Transiente Caótico

ChaosAlligoodetal.

Atrator penetra na bacia de atração do ponto fixo

Crise de Fusão de Atratores Circuito de Chua

4–VariedadesparaMapasDimensãoMaiorque2

icoheteroclín ponto um de órbita :icaheteroclín Órbitaicoheteroclín ponto

um é r ,diferentes selas de pontos de es variedadforem Ue S Se

ohomoclínic ponto um de órbita :ahomoclínic Órbita

)P(f)r(f lim )P(f)r(f lim

ohomoclínic ponto é r U r S, r(U) instável e (S) estável es variedadcom sela de ponto :P

R de inversível mapa :f :Definição

n

n-

n

n

nn

!

!!!!

!!!

!

→→

⇒∈∈

∞→∞→

ChaosAlligoodetal.

WadadeBacias

ChaosAlligoodetal.

ChaosAlligoodetal.

CrisesLaboratóriodeFenômenosNãoLineares

Principaisautoresdostrabalhosiniciais:•  J.C.Sartorelli•  R.D.Pinto•  W.M.Gonçalves•  M.S.BapXsta

•  Pesquisasposteriores,desseseváriosoutrospesquisadores.

ChaosAlligoodetal.

Esquema do Equipamento

ChaosAlligoodetal.

Mapa de Retorno do intervalo de tempo entre duas gotas

Rota para o Caos

ChaosAlligoodetal.

Diagrama de Bifurcação

(Intervalos de tempo entre duas gotas)

ChaosAlligoodetal.

Mudança de Atrator (Crise interior indicada por I no diagrama de bifurcação)

ChaosAlligoodetal.

Crise de Fronteira (indicada por B no diagrama de bifurcação)

Atrator caótico Atrator com periodo 5

ChaosAlligoodetal.

Transição caos → periódico

Diagrama de Bifurcações

Ponto fixo → ciclo limite → caos

Mudanças no atrator caótico

Transiente Caótico

Ponto de Sela Variedades

Ponto vermelho: sela Linha azul: variedade instável Linha verde: variedade estável

Transição Fig. e → Fig. f atrator cruza variedade estável e sofre expansão

Duas Crises Interiores

a)  antes da primeira crise b) c) entre primeira e segunda crise d) após segunda crise

Sucessão de Regimes Crises Interiores

(Página1284)

Ponto inicial na bacia do atrator caótico.

A partir da iteração 86435, a órbita deixa o atrator caótico.

Transiente Caótico do Mapa de Ikeda

críticoparâmetro:pcontrolede parâmetro:p

p p

c

c>

Grebogi et al. PRA 36 (1987)

Esquema da Tangência Heteroclínica Atrator atinge a fronteira da bacia.

s variedadedessas cruzamento Há p p

s variedadedessas cruzamento há Não p p

B de estável e variedadtangenciaA de instável Variedadep p

c

c

c

>

<

=

Crise de fronteira

Variação do Transiente X Parâmetro Crítico

crítico expoente :)p- p ( T

te transiendo média Duração

iniciais pontos de conjunto um para média duração :T

T

e )( P

inicial) ponto um para e transientdo (duração de ãoDistribuiç

c

T-

γ

≈

≅τ

τ

γ−

τ

(Página 1507)

) 4 r 1) x- 1 (r x xlogístico Mapa (

2 C 1/4- ; x- C xQuadrático Mapa

nn1 n

2n1 n

<<

=

<<=

+

+Crise de Fronteira

Bandas caóticas separadas do ponto fixo instável de periodo 3.

Bandas caóticas superpostas ao ponto fixo instável de periodo 3.

Esquema da Crise de Fronteira

Variação do intervalo de tempo entre bursts sucessivos X Parâmetro Crítico

crítico expoente :)p- p (

tempode intervalo do média Duração

iniciais pontos de conjunto um para média duração :

e )( P

inicial) ponto um para intervalo do (duração de ãoDistribuiç

c

T-

γ

≈τ

ττ

≅τ

τ

γ−

τ

) 4 r 1) x- 1 (r x xlogístico Mapa (

2 C 1/4- ; x- C xQuadrático Mapa

nn1 n

2n1 n

<<

=

<<=

+

+

Crise de Fronteira

Colisão entre órbita Instável e atrator caótico

0x x- p x 02n1 n ==+

A = 0.85 B = -0.9 κ = 0.4 p variando em torno de p-crítico pc = 7.26884894...

Duração Média dos Intervalos entre Bursts

Crise heteroclínica

AConvecçãode

Rayleigh-Bénard

ρ µdvdt

F p v! ! ! != − ∇ + ∇2

Equação da continuidade

Equação de Navier-Stokes

Equação de Condução do Calor dTdt

T= ∇κ 2

∂ρ∂

ρt

v+∇⋅ =! !( ) 0

Equações de Lorenz

dXdt

X Y= − −σ ( )

dYdt

rX Y XZ= − −

dZdt

XY bZ= −

Intermitência = pré-turbulência Estudo da origem da turbulência

Variação de Parâmetro de Controle

• Várias rotas para o caos.

• Uma rota: caos precedido de órbita homoclínica.

• Outra rota: atrator caótico precedido de intermitência.

b r, , : controle de Parâmetrossional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis

z b -y x z

y -r x y x - y

y x - x

Lorenz de Sistema

σ

→

=

+=

σ+σ=

•

•

•

X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não há movimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução. X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária.

Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente.

Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente.

Atratores do Sistema de Lorenz

Chaos Alligood et al.

reais,estáveisCeCPontos 1 r r

ensionaldimbiestáveliedadevar0ensionaldimuniinstáveliedadevar0

instávelOPonto 1 r

0 pois ,1r0 intervalo no estável O Ponto

0 b- 0 0

0 1- r0-

jacobiana matriz da valores-auto pelos adeterminad é O ponto do deEstabilida

0r 10 8/3 b

) 1-r ,1) -(r b - ,1) -(r b- ( C

) 1-r ,1) -(r b ,1) -(r b ( C

0) 0, (0, z) y, ,(x O:fixos Pontos

3,2,1s

3,2

1

i

λʹ⇒>>⎩⎨⎧

⇒<λ

⇒>λ⇒>

<λ<<

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ−

λ−

σλ−σ

λ

>=σ=

≡ʹ

≡

=≡

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ʹ⇒>

ʹ

⇒>

⇒<

⇒=>

⇒==

ʹ

<λλ

>>

ʹ

>>

)persistecaóticoatrator(seladepontosC e C74.24r

CeCatratorescomcoexiste(caóticoatrator06.24r

caóticotransiente06.24r

caosetransientecaos93.13rr

ashomoclínic Órbitas 13.93rr

atratoresC e C

0Re ,complexosrrr

O ponto do estável nalbidimensio e variedadpela separadas atração BaciasatratoresC e C1rr

0

o

2,12,1

s0

s

Origem do Atrator Caótico de Lorenz

Chaos Ott

a)  O ponto fixo estável b)  O instável; C, C` estáveis c)  O instável, C, C` estáveis d)  Idem e)  Órbita homoclínica f)  Atrator caótico

RotaParaCaosViaIntermitência

σ = 10 b = 8/3 r = 28

Atrator de Lorenz

z

Evolução da Variável Z Atrator Caótico

z

t

r=165

r=166

Atratores Periódicos

z

z

t

t

r=166,1

r=166,2

Rota para o Caos Intermitência

r=166,4

r=166,6

r=166,8

r=165

Análise Espectral Atrator Periódico

r=166,2

Análise Espectral Atrator Quase-Periódico

r=166,8

Análise Espectral Atrator Caótico

Intermitência no Sistema de Lorenz

Fluxos laminar turbulento

Intermitência no Sistema de Lorenz

Fluxos laminar turbulento

Intermitência no Sistema de Lorenz Transição irregular entre o regime laminar e o trubulento

I–RotaparaoCaos:IntermitênciadoTipoI

Exemplo a seguir:

Mapa unidimensional

u’ = u + ε + u 2

ε: parâmetro de controle

Origem do Mapa

u’=u+ε+u2

u’=u+ε+u2

u’=u+ε+u2