Nome do AlunoOr gani zador esAntni o Car l os Br ol ezziEl vi a Mur eb Sal l umMar tha S. Montei r oEl abor ador asCl udi a Cueva Candi doMar i a El i sa Esteves Lopes Gal voMatemtica3mdul oGeometr i a Pl anaGOVERNO DO ESTADO DE SO PAULOGovernador: Geraldo AlckminSecretaria de Estado da Educao de So PauloSecretrio: Gabriel Benedito Issac ChalitaCoordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENPCoordenadora: Sonia Maria SilvaUNIVERSIDADE DE SO PAULOReitor: Adolpho Jos MelfiPr-ReitoradeGraduaoSonia Teresinha de Sousa PeninPr-Reitor de Cultura e Extenso UniversitriaAdilsonAvansiAbreuFUNDAO DE APOIO FACULDADE DE EDUCAO FAFEPresidente do Conselho Curador: Selma Garrido PimentaDiretoria Administrativa: Anna Maria Pessoa de CarvalhoDiretoria Financeira: Slvia Luzia Frateschi TrivelatoPROGRAMAPR-UNIVERSITRIOCoordenadora Geral: Eleny MitrulisVice-coordenadora Geral: Sonia Maria Vanzella CastellarCoordenadora Pedaggica: Helena Coharik ChamlianCoordenadoresdereaBiologia:Paulo Takeo Sano Lyria MoriFsica:Maurcio Pietrocola Nobuko UetaGeografia:Sonia Maria Vanzella Castellar Elvio Rodrigues MartinsHistria:Ktia Maria Abud Raquel GlezerLngua Inglesa:Anna Maria Carmagnani Walkyria Monte MrLnguaPortuguesa:Maria Lcia Victrio de Oliveira Andrade Neide Luzia de Rezende Valdir Heitor BarzottoMatemtica:Antnio Carlos Brolezzi Elvia Mureb Sallum Martha S. MonteiroQumica:Maria Eunice Ribeiro Marcondes Marcelo GiordanProduoEditorialDreampixComunicaoReviso, diagramao, capa e projeto grfico: Andr Jun Nishizawa, Eduardo Higa Sokei, Jos Muniz Jr.Mariana Pimenta Coan, Mario Guimares Mucida e Wagner ShimabukuroCartasaoAlunoCar ta daPr-Reitoria de GraduaoCaroaluno,Com muita alegria, a Universidade de So Paulo, por meio de seus estudantesedeseusprofessores,participadessaparceriacomaSecretariadeEstadodaEducao,oferecendoavocoquetemosdemelhor:conhecimento.Conhecimentoachaveparaodesenvolvimentodaspessoasedasnaese freqentar o ensino superior a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentosdeformasistemticaedeseprepararparaumaprofisso.Ingressarnumauniversidadedereconhecidaqualidadeegratuitaodesejodetantosjovenscomovoc.Porisso,aUSP,assimcomooutrasuniversidadespblicas,possuiumvestibulartoconcorrido.Paraenfrentartalconcorrncia,muitos alunos do ensino mdio, inclusive os que estudam em escolas particularesdereconhecidaqualidade,fazemcursinhospreparatrios,emgeraldealtocustoeinacessveismaioriadosalunosdaescolapblica.O presente programa oferece a voc a possibilidade de se preparar para enfrentarcommelhorescondiesumvestibular,retomandoaspectosfundamentaisdaprogramaodoensinomdio.Espera-se,tambm,queessareviso,orientadapor objetivos educacionais, o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimentopessoalqueadquiriuaolongodaeducaobsica.Tomarpossedaprpriaformaocertamentelhedarasegurananecessriaparaenfrentarqualquersituaodevidaedetrabalho.Enfrentecomgarraesseprograma.Osprximosmeses,atosexamesemnovembro,exigirodesuapartemuitadisciplinaeestudodirio.OsmonitoreseosprofessoresdaUSP,emparceriacomosprofessoresdesuaescola,estosededicandomuitoparaajud-lonessatravessia.EmnomedacomunidadeUSP,desejo-lhe,meucaroaluno,disposioevigorparaopresentedesafio.SoniaTeresinhadeSousaPenin.Pr-ReitoradeGraduao.Car ta daSecretaria de Estado da EducaoCaroaluno,Comaefetivaexpansoeacrescentemelhoriadoensinomdioestadual,osdesafiosvivenciadosportodososjovensmatriculadosnasescolasdaredeestadualdeensino,nomomentodeingressarnasuniversidadespblicas,vmseinserindo,aolongodosanos,numcontextoaparentementecontraditrio.Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovadosnosexamesvestibularesdaFuvestoque,indubitavelmente,comprovaaqualidadedosestudospblicosoferecidos,deoutromostraquodesiguaistmsidoascondiesapresentadaspelosalunosaoconcluremaltimaetapadaeducaobsica.Diante dessa realidade, e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamardeformaobsicanecessrioaorestabelecimentodaigualdadededireitosdemandadospelacontinuidadedeestudosemnvelsuperior,aSecretariadeEstadodaEducaoassumiu,em2004,ocompromissodeabrir,noprogramadenominadoPr-Universitrio,5.000vagasparaalunosmatriculadosnaterceirasriedocursoregulardoensinomdio.umapropostadetrabalhoquebuscaampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentosecontedosdemodoainstrumentalizaroalunoparaumaefetivainseronomundoacadmico.Talpropostapedaggicabuscarcontemplarasdiferentesdisciplinasdocurrculodoensinomdiomediantematerialdidticoespecialmenteconstrudoparaessefim.O Programa no s quer encorajar voc, aluno da escola pblica, a participardoexameseletivodeingressonoensinopblicosuperior,comoesperaseconstituiremumefetivocanalinterativoentreaescoladeensinomdioeauniversidade.Numprocessodecontribuiesmtuas,ricoediversificadoemsubsdios,essaparceriapoder,nocasodaestadualpaulista,contribuirparaoaperfeioamentodeseucurrculo,organizaoeformaodedocentes.Prof.SoniaMariaSilvaCoordenadoradaCoordenadoriadeEstudoseNormasPedaggicasApresentaoda rea[...] a Matemtica procura compreender os modelos que permeiam o mundo quenos rodeia assim como a mente dentro de ns. [] Assim necessrio colocar anfase: em procurar solues e no apenas em memorizar procedimentos; em explorar modelos e no apenas em memorizar frmulas; em formular conjecturas e no apenas em fazer exerccios.[...] com essas nfases, os estudantes tero a oportunidade de estudar a Matem-tica como uma disciplina exploradora, dinmica, que se desenvolve, em lugar de serumadisciplinaquetemumcorporgido,absoluto,fechado,cheioderegrasqueprecisam ser memorizadas.Shoenfeld(1992)1EstecursodeMatemticacomduraode4mesesestsendooferecidoaalunosdoltimoanodoensinomdiodaredepblicacomoumincentivoparacontinuaremseusestudosemdireoaoensinosuperior.Emboranocubratodooprogramadoensinomdio,pretende-seestimularointeressedosalunospelosdiversostemasdeMatemticapormeiodeabordagensvariadas.SeroestudadostpicossobreNmeros,Estatstica,ProbabilidadeeAn-liseCombinatria,GeometriaPlanaeEspacial,Geometria Analtica,SistemasLineareseFunes,privilegiandooentendimentodaspossveisfacetasdeummesmoassunto,aanlisederesultadosobtidoseainterligaoentreosdiversoscontedos.Escolhasforamfeitasdemodoapriorizarsuaformao,adiscussodeidiaseapercepodequeaMatemticaumadisciplinavivaquepodeserconstruda,enoumamontoadodefrmulasprontasparaseremdecoradaseusadas.Lembrandoquerealmenteaprendemosquandotrabalhamosoconhe-cimento,analisando-odevriasmaneiraseusando-ocomcritrio,considera-remos,semprequepossvel,aplicaesemproblemasreaiseinterdisciplinares.Acreditandoqueointercmbioentrevocs,alunosdoensinomdio,eosalunosdaUSP,queseroosseusprofessores,venhaaaumentarasuapredis-posioparaoensinosuperior,desejamosatodosbonsestudos!CoordenaodareadeMatemtica1SCHOENFELD A. H. Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sensemaking in mathematics. In: D. A. Grouws (Ed.). Handbook of research on mathematicas teaching andlearning. p. 334-370. Nova Iorque: MacMillan, 1992.ApresentaodomduloAGeometriafoidesenvolvidaapartirdanecessidadedemedirter-ras,construircasas,templosemonumentos,navegar,calculardistncias.Atravsdostempos,osseusregistrosestopresentesnoslegadosdetodasascivilizaes:babilnios,egpcios,gregos,chineses,romanos,hindus,rabesutilizaramasformasgeomtricasnoseudia-a-dia.Osconceitos,propriedadeseresultadosqueestudaremossomuitoantigos,comearamaadquiriraformaqueosconhecemoshojecomasinvestigaesdeTales,queviveuporvoltade600anosantesdeCristo,ganharamforanasescolasdePitgoras,AristtelesePlato,eforamorganizados,pelaprimeiravez,porEuclides,ummatemticodaescoladeAlexandriaqueviveuporvoltade300anosantesdeCristo.Poressarazo,aGeometriaqueestudaremos,muitofreqentementedenominadadeGe-ometriaEuclidiana,foiaperfeioadapelossucessoresdeEuclidese,atoano500daeracrist,jtinhasuaformaatual.Nessejogofascinante,desafiadorejmuitoantigo,aspeassoospontos,asretas,osplanoseosmuitosobjetosgeomtricosquepodemosdefinirapartirde-les. Arguaeocompassosempreforamosinstrumentosutilizadosnaconstruodasfigurasqueosrepresentam.Comotaisestaropresentesemnossasatividades,sendotambmpossvelsubstitui-los,nosdiasdehoje,porrecursoscomputacionaisdesenvolvidosparaessefim. Asregrasdojogogeomtricosodadaspeloscha-madosPostuladosdaGeometriae,apartirdessasregras,comousodalgicadedutiva,soprovadasasproposieseosteoremasquevoestabelecendoaspropriedadesdasfigurasgeomtricasqueutilizamosfreqentemente.Ospadresdanaturezaesuassimetriasemuitosproblemasprticosdonos-socotidianopodemsertraduzidosetransformadosnumdiagramageomtrico.Aanliseeinterpretaodessemodelotrazemummelhorentendimento,novasinformaesourespostasparaoproblemaoriginal,econstituemarotinadetra-balhoquandoestudamosGeometria.OestudodosprincipaistpicosdeGeometriasefaremtrsetapas,quecompreenderoaGeometriaPlana,aGeometriaEspacialeaGeometriaAnalti-ca.AGeometriaPlanaserdesenvolvidacombaseemdoisconceitosfundamen-tais,quevemosexemplificadosnailustraoacima:temosumafigurageomtri-caqueaparecerepetidasvezes,emdiferentesposies,ampliadaoureduzida. Acongrunciailustradapelosparesquediferemsomentepelaposio,equepodemsersuperpostos;jasemelhanaexemplificadapelosparesqueserela-cionamporumaampliaoouumareduo.SobreessesdoispilaresvamosconstruiroconhecimentogeomtriconecessrioparaoestudodaGeometriaEspacialedaGeometriaAnaltica.Notaes e DefiniesAlinguagemmatemticadaGeometriaEuclidianaPlanaouEspacialalinguagemdachamadaTeoriadosConjuntos.Dopontodevistada TeoriadosConjuntos,vamosconsideraroplano(ouoespao)comonossoConjuntoUniverso,cujoselementoschamaremospontos.Asretasserosubconjuntosespeciaisdesseconjuntouniverso.Ospontoseretasdeumplanotambmsochamadoselementosprimi-tivosdanossaGeometriaPlana.Paradenotarospontosusaremosasletrasmaisculas: A,B,C...;paraasretasutilizaremosasletrasminsculas:a,b,c...Paraosplanosusaremosasletrasdoalfabetogrego:(alfa),(beta),(gama),(delta)...Paradescreverasrelaesentrepontosretaseplanos,ossmbolosutiliza-dossero: - pertence - estcontido - contm - reunio - intersecoDiremosque:- umpontopertencereta(eescreveremos,emlinguagemsimblica:Pr)ouaoplano(emlinguagemsimblica:P);noprimeirocaso,diremostambmaretapassapeloponto,e,nosegundo,queoplanopassapeloponto.- aretaestcontidanoplano(emlinguagemsimblica:r)ouoplanocontmareta(emlinguagemsimblica:r);- pontosdeumamesmaretasochamadospontoscolineares.Denotaremosporoconjuntodosnmerosreaiseadmitiremosconhe-cidassuaspropriedades.Asrelaesentrepontoseretasdeumplanoqueadmitiremosso: - Pordoispontosdistintospassaumanicareta. - Todaretacontmpelomenosdoispontosdistintos. - Existem,pelomenos,trspontosdistintosnocolineares.Iox.1vx\1ic.DadosdoispontosdistintosPeQdenotaremosporaretadetermina-daporPeQ.Osresultadosqueutilizamosnoestudodageometriadostringulossochamadosdeproposiesouteoremas,deacordocomsuaimportncia.To-doselespodemserdemonstrados,tendoumaestruturaolgicaadequada.Paraprovarumaproposioouumteoremaprecisamosinicialmentesaberdistinguir:- aschamadashiptesesdaproposioouteorema,quesoosfatosqueestamosadmitindocomopontodepartida;- atesedaproposiooudoteorema,queaconclusoaqualqueremoschegar;- ademonstrao,queodesenvolvimentolgicodaargumentaoquenospermite,partindodashipteses,chegartesecomoconclusodoraciocnio.Comoexemplos,temos:Proposio1.Duasretasdistintastm,nomximo,umpontoemcomum.Nestecaso,teremoscomohipteseofatodeseremdadasduasretasdistin-tas, e como tese o fato de que elas devem ter, no mximo, um ponto em comum.Proposio2.Existem,pelomenos,duasretasdistintaspassandoporummesmoponto.Nestesegundocaso,qualahipteseequalatese?Precisaremostambmdedefiniesqueestabeleamdeformaprecisaquaispropriedadesdevemterosobjetoscomosquaisvamostrabalhar.Definio:duasretascujaintersecoumnicopontosochamadascon-correntes;chamaremosparalelasduasretasdistintasdeumplanocujainter-secovazia.VamostambmadmitirquesabemosmedirdistnciasdenotandoPQoud (P,Q)comoadistnciaentreospontosPeQ.Comanoodedistncia,podemosdefinirosobjetosgeomtricosquenosinteressamespecialmenteparaconstruirasfigurasgeomtricasdonossoestudo.Noplano,oprimeirodelesacircunfernciaCcomcentronumpontoOeraioR,formadapeloconjuntodepontosdesseplanoqueestodistn-ciaRdopontoO.Definio:dadostrspontoscolineares A,BeC,diremosqueBestentre Ae C e denotamos A B C (ou C B A) se AB + BC = AC .Definio:chamamossegmentocomextremos AeBedenotamosocon-junto: = {A, B }{C : A C B}IIxuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.Definio:ocomprimentodeumsegmentoovalordadistnciaABentreospontosextremosAeB.Diremosquedoissegmentos esocongruentes( )seelestmomesmocomprimento.Observamosque,sedoissegmentossocongruentes,podemosfaz-loscoincidirseosmovimentamosadequadamente.OpontoMquedivideosegmentoemdoissegmentoscongruentes,ouseja,talque AMBe AM=MBchamadoopontomdiodosegmento.Definio: chamamos semi-reta fechada com origem A e passando pelo pontoBedenotamosoconjunto: = {C : A B C}Asemi-retaabertacomamesmaorigem Aexcluioponto A.Faaalgumasfiguras(usearguaeocompasso)paraseconvencerdavalidadedosseguintesfatos:Proposio. = Proposio(construodesegmentos).Dadosumsegmentoeumasemi-reta,existeexatamenteumpontoEnasemi-retatalque.Definio:umngulodevrticeAareuniodeduassemi-retasfechadascomorigemAnocontidasemumamesmareta.Seesoassemi-retas,denotamosongulodevrtice Aporou BAC.Paramedirngulos,assumiremosaexistnciadeumafunomedidadengulos,quecorrespondeamedirnguloscomousodotransferidor.Usare-mosanotaom( )oum(BAC)paraamedidadongulodevrtice A.OsvaloresdessafunoficamentrezeroeumvalorLquedependedaescalaqueadotamos.Amedidaficaentre0oe180o(semedimososngulosI:x.1vx\1ic.emgraus)ou200gr(medidadonguloemgrados)ouaindaL = (medidadonguloemradianos,queserusada,futuramente,naTrigonometria).Escolhe-remosovalorL = 180o,poisaescalaemgrausamaisusualnaGeometria.Comonocasodossegmentos,diremosquedoisngulossocongruentessetmamesmamedidaedenotamos BAC DEF.Quandotemosnguloscongruentes,tambmpodemosfaz-loscoincidiratravsdeummovimento.Doisngulossochamadoscomplementaresseasomadesuasmedidas90o,eserochamadossuplementaresseasomadesuasmedidas180o.Chamamosnguloretoongulocujamedida90o.ngulosagudossoaquelescujamedidamenorque90oengulosobtusossoaquelescujamedidamaiorque90o.Definio:ngulosopostospelovrticesonguloscujosladossosemi-retasopostas.fcilverificarquedoisngulosopostospelovrticesocongruentes.Definio:duasretassoperpendicularessesoconcor-renteseseinterceptamformandongulosretos.Definio:dadostrspontosdistintosenocolineares A,BeC,otringulocomvrtices A,BeCareuniodossegmentoscujosextremossoessestrspontos.Denotaremos:ABC = Ossegmentos,esochamadososladosdotringulo.DenotaremosBAC,ABCeACBosnguloscorrespondentesaosvr-ticesA,BeC,respectivamente.Temos,portanto,associadosaumtringulo,trssegmentosetrsngulos.I,xuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.Ostringulostmdenominaesespeciaisseconsideramososcompri-mentosdeseuslados.Setodososladosdeumtringulosocongruentes,otringulochamadoeqiltero;sedoisdosladossocongruentes,otringu-lochamadoissceles,eseostrsladostmcomprimentosdistintos,otrin-gulochamadoescaleno.Ostringulostambmtmdenominaesespeciaisseconsideramosasmedidasdosseusngulos.Setodososngulosdeumtringulosocongru-entes,otringulochamadoeqingulo;setodososseusngulossoagu-dos,temosumtringuloacutngulo,seumdeseusngulosobtuso,otrin-guloobtusnguloeotringuloretngulotemumnguloreto.Notringuloretngulo,osladostmdenominaesespeciais:ahipote-nusa o lado oposto ao ngulo reto, e os catetos so os lados adjacentes a ele.Uni dade 1Congruncia deTringulosOr gani zador esAntni o Carl osBr ol ezziEl vi a Mur eb Sal l umMar tha S. Montei r oEl abor ador aMar i a El i sa EstevesLopes Gal voOestudodascongrunciasdetringulosoprimeiropassodeumestudomaisgeralquenospermitedesenvolveroolhareatcnicaparaidentificarpadresnanaturezaeconstruirfigurascomoasquevemosnasilustraes.Font e:ht t p:/ / www.mat hacademy.com/ pr/ minit ext / escher/ #t essParaconstruirfigurasquenosauxiliemacompreenderosfatosdaGeo-metria,podemosutilizarargua(comescalaouno),ocompassoouotrans-feridor.Comocompassopodemosdesenharcircunfernciascomraiosiguaisaberturadocompassoecomocentronopontoemqueofixamos.Podemosescolherduasaberturasquaisqueretraarcircunfernciascomcentrosdistin-tosequeseencontram,conformeafiguraabaixo.Oscentros(AeB)dascircunfernciaseumdospontosdeinterseco(C)determinamvrticesdeumtringuloABC.Asmedidasdosladosedessetringulosoasmedi-dasdosraiosdascircunfernciaseadistncia ABentreosseuscentrosamedidadoterceirolado,comextremos AeB.Serepetirmosaconstruocomosmesmosdados(isto,circunfernciascomosmesmosraiosemantendoamesmadis-I,xuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.tnciaentreosseuscentros)osvriostringulosobtidospodemsercompara-dos.Verificaremosquenososladosteroosmesmoscomprimentos,mastambmosngulosteroamesmamedida.Essaexperincianosmostraque,seescolhermosadequadamentetrscom-primentos AB, ACeBC,deformaqueascircunfernciasseencontrem,pode-mosconstruirumtringuloABC.Aconstruoterumanicasoluo,isto,todosostringulosconstrudospodemsersuperpostosseosmovimentar-mosadequadamente.Vejamosagoraoqueaconteceseformosconstruirumtringulodadosdois lados e um ngulo. Quantos e como sero os tringulos assim construdos?Observamosinicialmentequeumdosladosdadossempredeverestarcontidoemumdosladosdongulo.Temosduaspossibilidadesparaosegundoladodado;podemosescolh-locomo:a):contidonooutroladodongulo b):nocontidonooutroladodonguloT TT TTal esd eM al esd eM al esd eM al esd eM al esd eMi l et i l et i l et i l et i l et o oo oo(si aMenor)vi veuent re624 e 547 a.C. e conside-radoopri mei rof i l sof oemat emt i codaescol agrega.Poucosesabeso-bresuavida,recuperadaap ar t i r d er ef er n ci asn o st r ab al h o sd eseu ssucessores, mas at ribui-seael eaf or mul aod ospri mei rosresul t adosdaGeomet ri a.Iox.1vx\1ic.Noprimeirocasotemosasoluoparaoproblemadaconstruodotrin-gulo,eelanica,amenosdemovimentosnoplano,eoladoBCficadeter-minado.Nosegundocaso,poderamosnosterduassoluesdistintasCeC,comonafiguraacima,mastambmpoderamoster:umanicasoluo ou nopossvelconstruirumtringulo,dependendodamedidadosegundolado.Seoselementosdadosforemumladoedoisngulos,vejamosasconstru-espossveis.Primeiramente,vamosconstruirumtringulodeformaqueosngulostenhamoladodadocomoladocomum:Podemosverificar,construindorepetidamente,que,novamente,amenosdemovimentosnoplano,teremostringulosquepodemsersuperpostos.Umasegundapossibilidadedeconstruosertomarumdosngulosad-jacentesaoladodadoeooutro,onguloopostoaesselado.Essaconstruomaisdifcildeserexecutada(dependedaconstruodochamadoarcoca-pazdeumsegmentodado,quesveremosmaistarde),masconduzasolu-esquetambmsonicasamenosdemovimentos:Pi t g o r asd e Pi t g o r asd e Pi t g o r asd e Pi t g o r asd e Pi t g o r asd eSam o s Sam o s Sam o s Sam o s Sam o sViveu ent re 569 e 475 a.C.eadquiriuseusconheci-ment osnasviagensporvri ospaisespelosquaispassou,pressionadope-l asmud anasp ol t i casprovocadas pelas guerrasei nvases.Est abel eceuas bases da chamada Es-col aPi t agri ca,umaso-ciedade secret a que mui-t ocont ribuiuparaode-senvolviment odaMat e-mt ica de sua poca.I,xuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.Finalmente,seforemdadostrsngulos,fcilobtermuitostringulosdistintos,ouseja,nessasituaonotemosunicidadedesoluo:DadosdoistringulosABCeDEF,paracompar-losdeformamaisprecisa,vamosdescreverumacorrespondnciaentreosrespectivosvrtices.DiremosqueostringulosABCeDEFsocorrespondentesedenota-remosABCDEFparaestabelecermosqueospontosA,BeCcorrespondemaospontosD,EeF,respectivamente.Umacorrespondnciaentredoistringulosnosdnaturalmenteumacor-respondnciaentreseusnguloseseuslados.NacorrespondnciaABCDEF,temos: , e ABC DEF,BCA EFD, BAC EDFComojvimosanteriormente,acongruncia,emGeometria,estassocia-daigualdadedemedidas.Segmentosounguloscongruentessoaquelesquetmamesmamedida.Intuitivamente,quandodoistringulossocongru-entes,podemos,recortandooumovimentandoseusmodelos,coloc-losumsobreooutrofazendocoincidirtodososseusladosengulos.Podemosdaradefinio:Nasconstruesqueanalisamosinicialmente,encontramosvriassitua-es em que a correspondncia entre os tringulos obtidos pode ser estabelecidadeformaquetodososelementosdostringuloscorrespondentesconstrudossocongruentes.Adefiniodecongrunciaexigequetodososladoseto-dososnguloscorrespondentestenhamamesmamedida.Issosignificaqueteramosdecompararseismedidas,detrssegmentosetrsngulos.Oobjetivodonossoestudoagoraserestabelecerumnmeromnimodeelementos(ladosoungulos)correspondentescongruentesquegarantaacongrunciadedoistringulos.Assituaesacimaestudadas,emqueapos-sibilidadedeconstruonica,amenosdemovimentosdoplanosoespe-cialmenteconsideradas:nosdooschamadoscasosdecongrunciadetri-ngulos.Definio:doistringuloscorrespondentesABCDEFsocongru-entesseosseusladosenguloscorrespondentesso,respectivamente,con-gruentes,ouseja,setemos: , e ,ABC DEF, BCA EFD, BAC EDF.Eucl i d esd e Eucl i d esd e Eucl i d esd e Eucl i d esd e Eucl i d esd eAl exan d r i a Al exan d r i a Al exan d r i a Al exan d r i a Al exan d r i aSupe-sequet enhavi -vido ent re 325 e 265 a.C.,escreveu a maior obra daMat emt i cadaant i gui -dade, Os Element os. Nes-set rabal hot emos,reu-nidos em t reze livros, re-sult adosimport ant esdeGeomet r i aed aTeor i adosNmerosorgani za-d o sn af o r maaxi o m-t ico-dedut iva, const it uin-d o - seemu mmo d el oq u ei n f l u en ci o u f o r t e-ment eoconheci ment oci ent fi co.I8x.1vx\1ic.Aprimeiraconstruo(cujosdadossoostrslados)nosgaranteaunici-dadeepodemosformaliz-lacomooQuandoforemdadosdoisladoseumngulo,conseguimosconstruirumnicotringuloamenosdesuaposioquandoosladosficamcontidosnosladosdongulo.Nessecaso,temos:Quandoforemdadosdoisnguloseumlado,conseguimosconstruirumnicotringuloamenosdesuaposioquandooladocomumaosdoisngulos.Nessecaso,temos:Asegundaalternativadeconstruoqueanalisamosochamadocasoladongulongulooposto,emqueumdosnguloscontmoladoeooutroonguloopostoaele:Resumindo,temosaspossibilidades:Vejamosalgunsexemplos:CasoLLLdeCongrunciade Tringulos:doistringulosquetmtodososladoscorrespondentescongruentessocongruentes.CasoLAL(tambmchamadoPostuladodeCongruncia):doistringu-losquetmdoisladoscorrespondenteseonguloadjacenteaambosres-pectivamentecongruentessocongruentes.Caso ALAdeCongrunciadeTringulos:doistringulosquetmdoisnguloscorrespondenteseoladocompreendidoentreelesrespectivamen-tecongruentessocongruentes.CasoLAAodeCongrunciadeTringulos:doistringulosquetmdoisnguloscorrespondenteseoladoopostoaumdelesrespectivamentecon-gruentessocongruentes.Dad os Dad os Dad os Dad os Dad osTrs ladosDois lados e um nguloUm lado e dois ngulosUm lado e dois ngulosCasodeCongrunci a CasodeCongrunci a CasodeCongrunci a CasodeCongrunci a CasodeCongrunci aLLLLALALALAAoAr q ui med esd e Ar q ui med esd e Ar q ui med esd e Ar q ui med esd e Ar q ui med esd eSi r acu sa Si r acu sa Si r acu sa Si r acu sa Si r acu saViveu ent re 287 e 212 a.C.,t endosedest acadopelacri at i vi dadeeml t i pl ashabilidadesemexploraras aplicaes da Mat em-t ica, relacionando-as comosprobl emasdodi a-a-di aecomaconst ruodeequipament oseart e-fat os de guerra. Conside-r ad o umd osg r an d esmat emt icosdaant igui-dade, a caract erst ica prin-cipal do seu t rabalho au t i l i zaod emt od osexp er i men t ai sp ar aadescobert adepropri e-dadesgeomt ricas.I,xuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.Vamosanalisarascorrespondncias:1.ABCHGITemos:ABCHGI(ngulo),(lado),BACGHI(n-gulo),logo,acorrespondnciaumacongrunciapelocasoALAdecongru-ncia(oladoestcompreendidoentreosngulos).2.DEFTSUNeste exemplo, temos: (lado), EDF STU (ngulo), (lado)eacorrespondnciaumacongruncia,pelocasoLAL(onguloestcompreendidoentreoslados).3.JKLMONtemos:(lado),JLKMNO(ngulo),JKL MON(ngulo),sendoqueoprimeironguloadjacenteaoladoeosegundoopostoaele.Estamos,portanto,nocasodecongrunciaLAAo.4.PQRZXVTemos, agora, os trs lados correspondentes congruentes: , e,quenosdumacongrunciaLLLentreostringuloscorrespon-dentes.Agoraf aavoc1.Identifique,entreostringulosdadosaseguir,osparesdetringuloscon-gruentes,estabelecendoacorrespondnciaeidentificandoocasodecongru-nciautilizado:2.Entreostringulosabaixo,selecioneoscongruentes,indicandoocasodecongruncia.Ap ol oni odePerga Ap ol oni odePerga Ap ol oni odePerga Ap ol oni odePerga Ap ol oni odePergaNasceuem262a.C.emPergaemorreuporvol-t a de 190 a.C. em Alexan-dria. Mat emt ico e ast r-nomo, deixou uma gran-de obra, As Cnicas, ondef azumest udodet al ha-do das principais propri-ed ad esd asp ar b ol as,elipsesehiprboles.Poressei mp or t ant et r ab a-lhot ambmchamadode ograndegemet ra.:ox.1vx\1ic.3.Entreostringulosabaixo,selecioneoscongruentes,indicandoocasodecongruncia.4.Entreostringulosabaixo,selecioneoscongruentes,indicandoocasodecongruncia,seforpossvel.5.OstringuloscorrespondentesABCDEFsocongruentes.Calculeosvaloresdexey:6. Na figura ao lado, temos AC= BC, AF = BG e AE=BD.EscolhatringuloscorrespondenteseuseacongrunciadetringulosparaconcluirqueEF=DG.7.Nafiguraesquerda,opontoEopontomdiodosegmentoAB.Sabendoqueosngu-losnosvrticesCeDsocongruentes,verifi-quequeopontomdioEtambmopontomdiodosegmentoCD.8.SobreosladosdotringuloeqilteroABC,to-mamos pontos D, E e F tais que AD = BE = CF. Pode-mosconcluirqueonovotringulo,DEFeqilte-ro?Justifique!Pt o l o m eu Pt o l o m eu Pt o l o m eu Pt o l o m eu Pt o l o m euAst rnomo,gegraf oemat emt i coegpci o,vi -veunaAl exandri aent reosanos85e165daeracri st .Responsvel pel af or mu l aod at eor i ageocnt ri ca,segundoaq ual aTer r aest avan ocent ro do sist ema solar, et ambmporout rost ra-bal hosi mport ant esemAst ronomia. O Almagest o,suagrandeob ramat e-mt i ca,cont mumat a-beladeclculodecom-pri ment osdecordasdeumaci rcunf ernci a,noq u al seen co n t r amo spri mei rosdadosdaTri -gonomet ri a,correspon-dendoaumat abel adeclculodesenos,nalin-guagemat ual .:Ixuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.Al gumaspropri edadesi mportantesAspropriedadesdostringulosquevamoslistaraseguirsofatosbemconhecidosquesoconseqnciasdoscasosdecongruncia:Proposio:osngulosdabasedeumtringuloisscelessocongruentes.Emumtringuloeqiltero,todososngulossocongruentes.DadoumtringuloisscelesABC,em que (esta a nossa hiptese),paraqueapropriedadesejaverificada,es-tabelecemosacorrespondnciaABCACBeusamosocasoLALdecongrun-ciaparaconcluirqueostringulossocon-gruentes.Portanto,temosatese,isto,queABC ACB(nguloscorrespondentesdetringuloscongruentes).Usandoaverificaoqueacabamosdefazer,comopodemosjustificarasegundapartedaproposio?Temosainda:Proposio:seosngulosdabasedeumtringulosocongruentes,entootringuloissceles.Paraverificaressapropriedade,dadoum tringulo ABC, com ABC ACB,consideramosagoraacorrespondnciaABCACBeusamosocaso ALAde congruncia para concluir que os trin-gulossocongruenteseque,conseqen-temente,(ladoscorresponden-tesdetringuloscongruentes).Comoconseqnciadessapropriedadedostringulosisscelespodemosestabelecerumcritriodecongrunciaespecialparatringulosretngulos,quechamadoocasocateto-hipotenusadecongrunciaparaessestringu-los,quepodeserenunciadocomoumteorema:Teorema:(casocatetohipotenusadecongrunciadetringulosretngu-los) dois tringulos retngulos que tm a hipotenusa e um cateto congruen-tessocongruentes.Dados dois tringulos retngulos ABC e DEFcomosngulosretosnosvrticesCeE,respec-tivamente,ashipotenusasecongruentes,assimcomooscatetose,colandoessestringulospeloscatetoscongruentes,formamosumtringuloisscelesABF.Datemosqueosn-gulosdosvrticesBeFsocongruentes.RetornandocorrespondnciaABCDEFtemosagoraumacongru-nciaLAAo,utilizandoqualquerdosladoscongruentes,onguloretoeessenovongulocongruente.Volte,agora,aoexerccio4dapgina20.Nasconstruesgeomtricas,enosproblemasprticos,muitasvezespre-cisaremosdeumaretaespecial.Vejamoscomoelapodeserencontradanumexemplo.Pap p usd e Pap p usd e Pap p usd e Pap p usd e Pap p usd eAl exan d r i a Al exan d r i a Al exan d r i a Al exan d r i a Al exan d r i aFo i o l t i mo d o sg e -met rasdaescol agregaep oucosesab esob r esua vida. Indicaes e ci-t aes conduzem ao pe-rodof i nal doscul oIIIda era crist . Alm de t erf ei t o u mai mp o r t an t erecuperaodemui t osresul t ados,acrescent ouaelescont ribuiessig-ni f i cat i vas,queat hoj eaparecemnost ext osdi-dt icos.::x.1vx\1ic.DadasduascidadesAeBlocalizadasemumaregioidealmenteplana,queremosconstruirumaestradadeformaque,aopercorr-la,estamossem-preaigualdistnciadecadaumadascidades.Se considerarmos o segmento de reta quetemextremosnospontosquerepresentamascidadesAeB,observamosqueopontomdioMdosegmentoumpontoqueveri-ficaacondioestabelecida,isto,umpontotalqueMA=MB(tambmchamadoumpontoequidistantede AeB).TomandoumpontoXnaestradaquepretendemosconstruir,temosqueAX=BX,eostringulosAMXBMXverificamocasoLLLdecongru-ncia.Comoconsequncia,osngulosAMXeBMXsocongruentese,portanto,songulosretos. Verificamosassim,queopontoXpertencecha-madamediatrizdosegmento,quearetadoplano,perpendicularaosegmentoAB,quepassapelopontomdioM.Poroutrolado,seconsiderarmospontos Ynamediatrizdosegmento,po-demosverificartambm,utilizandoacongrunciadetringulos,que YequidistantedeAeB.Emresumo:asoluoprocuradaparaotraadodaestradaamediatrizdosegmentoqueuneospontosquerepresentamasduascidadesParaconstruiramediatrizcomrguaecompassosuficienteconstruirduascircunfernciasdemesmoraio,comcentrosnospontosAeB,respectivamente.OspontosPeQdeintersecodascircunfernciasnosdodoispontosdistintosdaretamediatriz(justifiqueatravsdeumacongrunciadetringulos).Expl orandoamedi atri zDados trs pontos distintos e no colineares, (quetambmpodemserconsideradososvrticesdeumtringulo),sejaOopontodeintersecodasme-diatrizesdedoisdossegmentos(porexemplo,e).TemosqueOA=OB(Opertencemediatrizde AB)eOB=OC(OpertencemediatrizdeBC).Apartirdasduasigualdades,temosqueOA=OB = OC. Logo, O tambm um ponto da mediatrizdosegmento,eacircunfernciacomcentroOeraior=OA=OB=OCacircunfernciaquepassapelospontos A,BeC,ouainda,acircunfernciacircunscritaaotringuloABC.Pr o cl u s Pr o cl u s Pr o cl u s Pr o cl u s Pr o cl u sViveu ent re 411 e 485 d.C.,est udouemAl exandri ae At enas dedicando-se Fi l o so f i a,p o esi aeMat emt i ca.Escr eveuCo men t r i o s,so b r eaobra de Euclides, que soapri nci pal f ont edeco-nheci ment oquet emosdesse grande t rabalho, et ambmsobreaHi st -ria da Geomet ria, escrit ap o r Eu d emu s,em300anos a.C., sendo, por essarazo,apri nci pal f ont ede conheciment o da Ge-omet riadaant iguidade.SegundoProcl us:...ist o, port ant o, Mat em-t ica; ela nos revela a formai nvi svel daal ma;el advida s suas prprias desco-bert as; despert a a ment e epurifica o int elect o; t raz luz nossas idias mais in-t rnsecas; elimina o vazio ea ignorncia que t razemosno nasciment o.:,xuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.Quandotrabalhamoseestudamospropriedadesdosngulos,freqentementeprecisamosdividi-los,encon-trandonguloscongruentes.Nocasomaissimplesdedi-visonosutilizamosdabissetriz,queumasemi-retaqueforma,comosladosdongulo,doisnovosnguloscomamesmamedida.Aconstruodabissetrizusandoarguaeocompassofeitaatravsdetrscircunferncias:umacomraioqualquerecentronovrticedongulo(deformaqueBA=BC)easduasoutrascomomesmoraioecentronospontosdeintersecodaprimeiracomosladosdongulo(deformaqueAP=CP),conformeafigura.Os tringulos correspondentes ABP CBPsocongruentes,pelocasoLLLdecongruncia,poisosladoscorrespondentessoosraiosdascircunfernciaseBPumladocomum.Conse-qentemente,osnguloscorrespondentesdessestringulosserocongruentes,ABPCBPe,portanto,BPabissetrizprocurada.Ospontosdabissetriztmumaimportantepropriedadequeacaracterizacomoumlugargeomtrico:sopontosqueestomesmadistnciadosladosdongulo(queocomprimentodosegmentoperpendicular),conformeilus-traafiguraaseguir:TomandoumpontoXnabissetrizdongulo,ostringulosretnguloscorrespondentesBXPBXQserocongruentespelocasoLAAo,logo,osladoscorrespondentesXPeXQserocongruentes.Oscomprimentosdossegmentoscongruen-tesXPeXQso,pordefinio,asdistnciasdopontoXssemiretasBPeBQ,respectivamente.Umadasaplicaesprticasdabissetrizestrelacionadadeterminaodocentroedoraiodeumacircunfernciaquetangenciaostrsladosdeumtringulo,ouseja,doencaixeperfeitodeumatubulaonumaregiotriangu-lar,comonafiguraabaixo.O probl emadamenordi stnci aOutraspropriedadesimportantesdostringulos,cujasverificaessomaistrabalhosas,podemseraindaobtidasutilizandocongruncias. Algumasdelasso:Proposio:emumtringulo,aomaiornguloope-seomaiorladoe,reciprocamente,aomaiorladoope-seomaiorngulo.:x.1vx\1ic.Porexemplo,nafiguraaolado,sem(BAC)>m(BCA),entoBC> AB,ouseBC> AB,entom(BAC)>m(BCA).Comoconseqnciadessapropriedade,temosumaimportanteproprieda-dedostringulosretngulos:Temosainda:Teorema(desigualdadetriangular):emumtringulo,ocomprimentodequalquerdosladosmenordoqueasomadocomprimentodosoutrosdois.Se,notringuloABCacima,chamarmosa=BC,b= ACec= ABoscomprimentosdostrslados,temos:a < b + cb < a + cc < a + bAdesigualdadetriangularnospermiteresolverochamadoproblemadamenordistncia.Suponhamosque,dadasduascidadessituadasdeummesmoladodeumaestrada,queremosconstruirumpostodeabastecimentoemumpontodaes-tradadeformaque,seformosdeumacidadeaoutra,comparadaobrigatrianoposto,adistnciapercorridaamenorpossvel.Ondedeveficaroposto?Onguloretoomaiorngulodeumtringuloretnguloeahipotenusaoseumaiorlado.Umesboodasoluodadonafiguraaseguir:oponto Aosimtricodo ponto A em relao reta que representa a estrada e o ponto R a intersec-odosegmentoABcomessamesmareta.:,xuuio iii - cvoxv1vi. vi.x.Acongrunciadetringulosnosgaranteque AR= AR.TomandoumpontoX,naretaquerepresentaaestrada,Xdife-rentedeR,teremos AX= AX.NotringuloABX,pelade-sigualdadetriangular,AR + RB < AX + XB, ou seja,AR+RB< AX+XBOpontoRnosd,portanto,amenorsomaparaasdistnciaspercorridasnaviagemde AatB.Finalmente,observamosqueadesigualdadetriangularnosdacondionecessriaparaqueduascircunfernciasseinterceptem,fatoessedaconstru-ogeomtricaqueestamosutilizandodesdeoinciodadiscussosobrecon-grunciadetringulos.Comocadaumdospontosdeintersecodeduascircunfernciasdeterminacomosseuscentrosumtringulo,comonafiguraaolado,devemosterarelaoentreosraios(r e R) e a distncia (d) entre os cen-trosverificandoadesigualdadetri-angularemqualquerordem,isto:d < r + RR < d +rr < d + RUm exemploNotringuloABCdafigura,qualomaiorngulo?Eomenor?O maior ngulo ser o ngulo ACB, queseopeaomaiorlado( )eomenorngu-loserABCqueseopeaomenorlado( ).Agoraf aavoc1.EmumtringuloPQR,temososngulosdosvrticesP,QeRmedindo,respectivamente,72o,37oe71o.Indiquequalomaiorladoequalomenorladodotringulo.2.Completeasdesigualdades,considerandoostri-ngulosadequados,nafiguraaolado:CD