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Concreto Armado II

Vigas de ConcretoSolicitação Tangencial

Dimensionamento à solicitação tangencial���� Cortante

■ Uma viga resiste às cargas, primeiramente, através da mobilização dos esforços internos de momento fletor e força cortante. No

dimensionamento das vigas de concreto armado primeiro leva-se em conta o momento fletor para determinar as dimensões da peça e a

armadura longitudinal necessária para resisti-lo. Depois, são feitas a verificação do esforço cortante e a

determinação da armadura transversal necessária (estribos).

■ A ruptura de uma viga por efeito da força cortante é freqüentemente violenta e frágil, devendo sempre ser evitada, o que se obtém fazendo a resistência da viga à força cortante superior

à sua resistência à flexão. A armadura de flexão deve ser proporcionada de tal modo que, se vier a ocorrer à ruptura, deve ser

por flexão, de modo que se desenvolva lenta e gradualmente. “É necessário garantir uma boa ductilidade, de forma que uma eventual

ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários” (NBR 6118/2003).

► Estado limite último de solicitações tangenciais

O concreto armado tem três estádios de comportamento no cisalhamento, representados por:

● Estádio I

Nesse estádio o concreto está intacto, sem fissuras. O comportamento das peças de concreto armado nesse estádio é

elástico linear, obedecendo a Lei de Hooke, e as tensões tangenciais podem ser calculadas através das equações da

resistência dos materiais.

■ Se há somente o esforço cortante, a distribuição das tensões internas é uniforme, podendo ser determinada por:

Onde:

ττττ � Tensão tangencialV � Esforço cortanteA � Área da seção transversal

A

V = τ

■ Se, na mesma seção, estão agindo o esforço cortante e o momento fletor simultaneamente, a distribuição de tensões internas não é mais uniforme, mas varia com a distância à linha neutra, podendo ser determinada por:

Onde:

ττττ � Tensão tangencialV � Esforço cortanteI � Momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutraQ � Momento estático em relação à linha neutrabw � Largura da seção transversal no ponto de determinação da tensão tangencial

I bw

Q V =τ

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● Estádio II

Chamado também de estádio de fissuração, onde o concreto não resiste mais à tração e as tensões são absorvidas pela

armadura. As verificações em serviço do elemento estrutural, abertura de fissuras e flecha, são feitas levando-se em

consideração as hipóteses dos Estádios I e II.

● Estádio III

Chamado também de estádio de ruptura, o concreto está naiminência de ruptura à compressão, podendo ocorrer por

escoamento do aço ou esmagamento do concreto. Com ashipóteses do Estádio III se faz a verificação da segurança no

estado limite último de ruína.

► Tensões principais

As armaduras no concreto armado absorvem os esforços de tração que aparecem na estrutura. Em uma viga solicitada por esforço cortante,

surgem tensões internas de cisalhamento para equilibrar a carga externa. As trajetórias das tensões principais definem o posicionamento correto das armaduras de tração e nos informa a direção das bielas de

compressão.■ Ao se carregar uma viga de concreto armado já são mobilizados,

desde o início, tensões normais de flexão (σ) e tangenciais (τ), cujas direções principais e trajetórias são apresentadas a seguir:

■ O comportamento da região da viga sob maior influência das forças cortantes e com fissuras inclinadas de cisalhamento, pode ser muito

bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática clássica de Mörsch.

• Banzo superior � Cordão de concreto comprimido.• Banzo inferior � Armadura longitudinal de tração.• Diagonais comprimidas � Bielas de concreto entre as fissuras.• Diagonais tracionadas � Armadura transversal de cisalhamento (estribos).

► Modelo da treliça clássica de Mörsch

Esse modelo se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça.

Viga simplesmente apoiada com armadura transversal formada por estribos a 90°

● Considerações do modelo da treliça

Sendo “V” a força de corte na viga, temos:

Onde:

Rcb � Força resultante de compressão na biela.Rs,α � Força resultante na diagonal tracionada.θ� Inclinação da diagonal comprimida (bielas de compressão).α� Inclinação da diagonal tracionada.

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■ Uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância entre as barras “s” for:

● s ≥ 2 z para estribos inclinados a 45°.● s > z para estribos a 90°.Analogia clássica de uma viga com uma treliça

● Hipóteses básicas da analogia da treliça clássica

1- Fissuras, bielas de compressão, com inclinação de 45°.

2- Banzos paralelos.

3- Treliça isostática, não havendo engastamento nos nós, ou seja, nas ligações entre os banzos e as diagonais.

4- Amadura de cisalhamento com inclinação entre 45° e 90°.

● Considerações importantes na analogia da treliça clássica

O comportamento real obtido através de ensaios comprovam que há imperfeições na analogia de treliça clássica. Tais imperfeições

são funções, principalmente, dos três fatores a seguir:

1- A inclinação das fissuras é menor que 45°.

2- Os banzos não são paralelos, pois há o arqueamento do banzo comprimido, principalmente nas regiões dos apoios.

3- A treliça é altamente hiperestática,pois ocorre engastamento das bielas no banzo comprimido, e esses elementos comprimidos possuem rigidez muito maior que a das barras tracionadas.

► Redução da força cortante

■ Ensaios experimentais com medição da tensão nos estribos mostram que o modelo de treliça desenvolvido para as vigas é efetivamente válido após uma pequena distância dos apoios,pois se constatou que os estribos muito próximos aos apoios apresentam tensão menor que os estribos fora deste trecho.

■ Em função desta característica, na região junto aos apoios, a norma permite uma pequena redução da força cortante para o

dimensionamento da armadura transversal.

● Carga distribuída

A força cortante obtida a partir de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à

distância “d/2” da face de apoio, constante e igual à desta seção.

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● Carga concentrada

A força cortante obtida a partir de uma carga concentrada aplicada a uma distância “a ≤ 2d” do eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento “a”, ser reduzida multiplicando-a

por “a/2d”.

► Dimensionamento à esforço cortante pela NBR 6118/2003

■ A NBR 6118/2003 admite como hipótese básica a analogia com o modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a

mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente

adicional Vc.

■ O projeto do elemento estrutural à força cortante é sugerido com base em dois modelos de cálculo, chamados modelos de

cálculo I e II.

■ A condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando verificados os estados limites últimos, atendidas

simultaneamente as duas condições seguintes:

e

Onde:

VSd � Força cortante solicitante de cálculo “Vd” na seção. Na região de apoio é o valor na face “VSd,face”.

� Coeficiente de ponderação.

VSk � Força cortante solicitante característica na seção.

VRd2 � Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto.

VRd3 = Vc + Vsw � Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal.

Vc � Parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, ou seja, equivalente a resistência ao cisalhamento da seção sem armadura transversal.

Vsw � Parcela de força absorvida pela armadura transversal.

■ Considerações do modelo de cálculo I:• Bielas com inclinação θ = 45°.• Vc constante, independente de VSd.

■ Considerações do modelo de cálculo II:• Bielas com inclinação θ entre 30°e 45°.• Vc diminui com o aumento de VSd.

■ Considerações importantes dos dois modelos de cálculo:Tanto no modelo de cálculo I quanto no modelo de cálculo II,

devem ser consideradas as etapas de cálculo a seguir:

• Verificação de compressão na biela.• Cálculo da armadura transversal.• Deslocamento “al” do diagrama de força no banzo

tracionado.

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■ Dimensionamento através do modelo de cálculo I

● Verificação da compressão na biela

Independente da taxa de armadura transversal, deve ser verificada a condição:

De acordo com a norma, no modelo de cálculo I, temos:

Onde:

� fck em MPa

� fck em kN/cm2

Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidasdeve-se ter:

● Cálculo da armadura transversal

Além da verificação da compressão na biela, deve ser satisfeita a condição:

A parcela “Vc” referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça é definida como:

a) Elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção:

b) Elementos na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção:

Onde:

em “MPa”

c) Elementos na flexo-compressão:

Onde:

M0 � Momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por Md,máx), provocada pelas forças normais de diversas origens simultâneas com VSd.

MSd,máx � Momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semi-tramo considerado.

Com o valor de “Vc” conhecido, calcula-se a parcela do esforço cortante “VSw” a ser resistida pela armadura transversal,

considerando-se “VRd3 = VSd”, temos:

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De acordo com a norma, para o modelo de cálculo I, temos:

435 MPa = 43,5 kN/cm2

Onde:Asw,α� Armadura transversal total do estribo, cortando todos os ramos verticais existentes.α� Inclinação dos estribos. A inclinação dos estribos deve estar no intervalo: 45° ≤ α ≤ 90°.s � Espaçamento da armadura transversal.fywd � Tensão máxima admitida na armadura transversal.

Em geral adotam-se estribos verticais (α = 90°) e procura-se determinar a área desses estribos por unidade de comprimento

“Asw = (Asw,α)/s”, ao longo do eixo da viga.

■ Dimensionamento através do modelo de cálculo II

Ao admitir ângulos θ inferiores a 45° a norma adota a chamada treliça generalizada.

● Verificação da compressão na biela

Independente da taxa de armadura transversal, deve ser verificada a condição:

De acordo com a norma, no modelo de cálculo II, temos:

Onde:

� fck em MPa

� fck em kN/cm2

Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidasdeve-se ter:

● Cálculo da armadura transversal

Além da verificação da compressão na biela, deve ser satisfeita a condição:

A parcela “Vc” referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça é definida como:

a) Elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção:

b) Elementos na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção:

c) Elementos na flexo-compressão:

A seguinte lei de variação para “Vc1” deve ser considerada:

Deve-se interpolar os valores intermediários de “Vc1” de maneira inversamente proporcional ao acréscimo de VSd .

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Sabe-se que, para valores de “Vc0” temos:

Onde:

em “MPa”

O valor de “Vc1” pode ser calculado a partir a equação:

Interpolação para determinação do valor de “Vc1”

Temos:

M0 � Momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por Md,máx), provocada pelas forças normais de diversas origens simultâneas com VSd.

MSd,máx � Momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semi-tramo considerado.

Com o valor de “Vc1” conhecido, calcula-se a parcela do esforço cortante “VSw” a ser resistida pela armadura transversal,

considerando-se “VRd3 = VSd”, temos:

De acordo com a norma, para o modelo de cálculo II, temos:

435 MPa = 43,5 kN/cm2

Onde:Asw,α� Armadura transversal total do estribo, cortando todos os ramos verticais existentes.θ� Inclinação da diagonal comprimida.α� Inclinação dos estribos. A inclinação dos estribos deve estar no intervalo: 45° ≤ α ≤ 90°.s � Espaçamento da armadura transversal.fywd � Tensão máxima admitida na armadura transversal.

Em geral adotam-se estribos verticais (α = 90°) e procura-se determinar a área desses estribos por unidade de comprimento

“Asw = (Asw,α)/s”, ao longo do eixo da viga.

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► Armadura transversal mínima

Para garantir ductilidade à ruína por cisalhamento, a armadura transversal deve ser suficiente para suportar o esforço de tração

resistido pelo concreto na alma, antes da formação de fissuras de cisalhamento. A norma estabelece a seguinte equação para a

taxa geométrica “ρsw”, constituída por estribos:

Onde “fywk” é a resistência característica de escoamento da armadura transversal.

A a taxa mínima “ρsw,min” da armadura transversal depende dasresistências do concreto e do aço e possuem valores tabelados.

Valores de “ρsw,min” (%)

A armadura mínima é calculada por:

► Força mínima relativa a taxa mínima

A força cortante solicitante “VSd,min” relativa à taxa mínima será:

► Disposições construtivas – Detalhamento dos estribos

As armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração provocados por forças cortantes podem ser constituídas por

estribos.

a) Diâmetro mínimo e diâmetro máximo

● O diâmetro dos estribos devem estar no intervalo:5 mm ≤ φt ≤ bw /10.

● Quando a barra for lisa, temos: φt ≤ 12 mm.

● No caso de estribos formados por telas soldadas, temos:φt,min = 4,2 mm

Desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão da armadura.

b) Espaçamento longitudinal mínimo e máximo

O espaçamento mínimo entre estribos, na direção longitudinal da viga, deve ser suficiente para a passagem do vibrador, garantindo

um bom adensamento. Adotando-se uma folga de 1 cm para a passagem do vibrador, o espaçamento mínimo fica:

Para que não ocorra ruptura por cisalhamento nas seções entre os estribos, o espaçamento máximo deve atender às seguintes

condições:

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O espaçamento transversal “st” entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos não deve exceder os seguintes valores:

c) Ancoragem

Os estribos para cisalhamento devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de

tração, e ancorados na face oposta.● Vigas bi-apoiadas � Os estribos podem ser abertos na facesuperior, com ganchos nas extremidades.● Vigas em balanço ou contínuas � Devem ser adotados estribos fechados tanto na face inferior quanto na superior.

d) Emendas

As emendas por transpasse são permitidas apenas quando os estribos forem constituídos por telas ou por barras de alta aderência.

e) Decalagem

● Modelo de cálculo I

A equação para determinação do deslocamento “al” a ser aplicado no diagrama de momentos fletores, para o modelo de cálculo I, será:

● Modelo de cálculo II

A equação para determinação do deslocamento “al” a ser aplicado no diagrama de momentos fletores, para o modelo de cálculo II, será:

Para os modelos de cálculo I e II, a decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida simplesmente aumentando a

força de tração, em cada seção, pela expressão: