variedades diferenciaveis introdu˘c~ao...

VARIEDADESDIFERENCIAVEIS

introducao breve

Vıtor Neves

Departamento de Matematica

Universidade de Aveiro

Prefacio

Variedades Diferenciaveis, introducao breve e uma expansao da materia apre-sentada na parte Variedades da disciplina Analise Superior I do Mestrado emMatematica da Universidade de Aveiro, no primeiro semestre do ano escolar1999/2000, portanto anterior ao acordo de Bolonha. O texto foi ampliado recente-mente por um capıtulo sobre Equacoes Diferenciais Ordinarias e continuara a receberalteracoes durante o ano lectivo.

Dispusemos de aproximadamente dezanove horas para apresentar ideias fundamentaissobre variedades diferenciaveis de dimensao finita. A larga maioria dos alunos eracomposta por docentes do Ensino Secundario inscritos na vertente de Ensino; a minoriaestava inscrita em Geometria Combinatoria; em qualquer dos casos o tema nao seriacontinuado no segundo semestre.

Optamos por apresentar a teoria de forma menos abstracta, daı termos iniciado aslicoes tratando o Capıtulo 2 como preparacao para o estudo de subvariedades dosespacos euclidianos de dimensao finita Rn e continuando, no Capıtulo 3, com transver-salidade e estabilidade elementares.

No Capıtulo 4 pretendemos dar uma ideia sumaria de que uma variedade diferenciavelpode nao ser a priori um subespaco topologico de algum espaco Rn; a referencia ametricas riemannianas permite terminar o curso com um exemplo simples de geometriahiperbolica.

Pressupunha-se que os alunos dominavam a Analise Infinitesimal e a Topologia basicasdos espacos euclidianos de dimensao finita. Verificamos, no entanto, que quase ninguemtinha alguma vez estudado uma demonstracao quer do Teorema da Funcao Inversa querdo da Funcao Implıcita, e decidimos incluı-las nas licoes; desde o inıcio que contavamosintroduzir os teoremas da Submersao e da Imersao, pelo que uma revisao dos grandesteoremas nem nos parece despropositada. A inclusao de varias versoes do Teoremade Taylor permite firmar linguagem, nao apenas com vista ao Lema de Morse, mastambem para um eventual tratamento futuro de diferenciacao em espacos de Banachem Analise Superior II (alias, a formulacao dos teoremas do segundo capıtulo tem esteespırito).

No primeiro capıtulo agrupamos, sem nos preocuparmos com demonstracoes, resul-tados sobre Topologia que devem constar do conjunto de conhecimentos de qualqueraluno de um mestrado em matematica – anterior ao acordo de Bolonha – mas poderaoestar um tanto ou quanto esquecidos; esperamos que o leitor recorra ao Capıtulo 1

com pouca frequencia; na verdade pensamos que, excluindo as referencias a paracom-pacidade e ao Lema de Urysohn, o presente texto pode ser lido sem conhecimentosespecıficos da Topologia Geral.

Agradecemos aos estudantes Elisa Fernandes e Nelson Ferreira terem-nos fornecidoos seus apontamentos das aulas, permitindo-nos assim aperfeicoar notas escritas comalguma pressa.

Registamos ainda os nossos agradecimentos a Andrey Sarychev e Natalia Martins pelarevisao que fizeram.

Aveiro, Julho de 2011

Vıtor Neves

Indice

1 Elementos de Topologia 101

1.1 Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.2 Espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.2.1 Teorema do Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.2.2 Lema de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.3 Particoes da unidade I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.3.1 Funcoes de suporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.3.2 Paracompacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2 Teorema da Funcao Inversa 201

2.1 Formula de Taylor. Teorema da Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2.2 Teorema da Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2.3 Teorema da Funcao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

2.4 Teorema da Submersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2.5 Teorema da Imersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.6 Lema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3 Equacoes Diferenciais Ordinarias 301

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3.2 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

3.3 Alguns Operadores Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

3.4 Existencia e Unicidade de solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

i

3.5 Solucoes globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

4 Variedades Diferenciaveis 401

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

4.1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

4.1.2 Topologia em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

4.1.3 Funcoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

4.2 Fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

4.3 Funcoes diferenciaveis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

4.4 Estruturas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4.5 Particoes da unidade II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

4.5.1 Funcoes de suporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

4.5.2 Paracompacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

4.5.3 Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

4.6 O plano de Lobachevsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

4.7 Sub-variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

5 Sub-variedades de Espacos Euclidianos 501

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

5.2 Funcoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

5.2.1 Espaco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

5.3 Elementos de geodesicas em superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

5.4 Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

5.5 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

5.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

5.7 O teorema de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

Capıtulo 1

Elementos de Topologia

1.1 Topologia Geral

Uma topologia no conjunto X e um conjunto τ de subconjuntos de X tal que

1. ∅, X ∈ τ ,

2. Se A, B ∈ τ , entao A ∩B ∈ τ ,

3. Se para todos os i ∈ I, Ai ∈ τ , entao ∪i∈IAi ∈ τ .

Um espaco topologico e um par (X, τ) em que X e um conjunto nao vazio e τ euma topologia em X; os elementos de uma topologia dizem-se conjuntos abertos doespaco topologico respectivo; se x ∈ X, uma vizinhanca de x para a topologia τ e umsubconjunto V ⊆ X que contem um conjunto aberto ao qual x pertence, i. e., tal que,para algum A ∈ τ, se tem x ∈ A ⊆ V . Um espaco topologico diz-se separado ou deHausdorff se elementos distintos tem vizinhancas disjuntas.

Uma base de topologia no conjunto X e um conjunto β de subconjuntos de X tal que

1. X = ∪B∈βB.

2. Para cada x ∈ X, se A, B ∈ β e x ∈ A ∩ B, entao existe C ∈ β tal quex ∈ C ⊆ A ∩B.

101

102 CAPITULO 1. ELEMENTOS DE TOPOLOGIA

Entendendo o conjunto vazio como a uniao da famılia vazia, vale o seguinte teorema

Teorema 1.1.1 O conjunto das unioes arbitrarias dos elementos de uma base detopologia sobre X e uma topologia em X.

Se (X, τ) e um espaco topologico e ∅ 6= Y ⊆ X, o par (Y, τ|Y ) e o subespaco topologicoem que

τ|Y = A ∩ Y | A ∈ τ;

τ|Y diz-se a topologia induzida.

Dados espacos topologicos (X, τ) e (Y, τ ′), uma funcao f : X → Y diz-se contınua se

f−1(B) ∈ τ sempre que B ∈ τ ′.

Por outras palavras

Definicao 1.1.1 Uma funcao entre espacos topologicos e contınua se as imagensinversas de conjuntos abertos sao conjuntos abertos.

Um homeomorfismo entre espacos topologicos e uma aplicacao contınua, bijectiva ecom inversa contınua; um homeomorfismo local e uma funcao f : X → Y contınuaentre espacos topologicos (X, τ) e (Y, τ ′) tal que, seja qual for o elemento x ∈ X, existeuma vizinhanca V de x, de modo que f(V ) e vizinhanca de f(x) e f : V → f(V ) e umhomeomorfismo quando V e f(V ) sao munidos das topologias respectivas de subespaco.

Seja (X, τ) um espaco topologico: (X, τ) diz-se conexo, se nao existe uma particaode X em dois subconjuntos abertos nao vazios de τ ; um subconjunto de C ⊆ Xdiz-se conexo se o subespaco (C, τ|C) e conexo; uma componente conexa de (X, τ) eum subconjunto conexo de X, que nao esta propriamente contido em qualquer outrosubconjunto conexo. Um espaco topologico diz-se localmente conexo se cada um dosseus pontos tem uma vizinhanca conexa. E vale:

Teorema 1.1.2 Seja (X, τ) um espaco topologico.

1. Se (X, τ) e localmente conexo, entao as componentes conexas de (X, τ) sao con-juntos abertos (veja-se tambem o teorema 1.1.4).

2. Se (Y, τ ′) e um espaco topologico, uma funcao contınua f : X → Y transformasubconjuntos conexos de X em subconjuntos conexos de Y .

1.1. TOPOLOGIA GERAL 103

Uma famılia A = Ai| i ∈ I de subconjuntos do conjunto X diz-se uma cobertura dosubconjunto C se C ⊆ ∪i∈IAi.Se (X, τ) e um espaco topologico e F ⊆ X, F diz-se fechado (para ou em τ) se X\Fe aberto.

Tem-se:


1. X e ∅ sao conjuntos fechados.

2. A uniao de um numero finito de subconjuntos fechados de X e um subconjuntofechado de X.

3. A interseccao dos elementos de uma famılia de subconjuntos fechados de X eum subconjunto fechado.

4. Se (Y, τ ′) e um espaco topologico, uma funcao f : X → Y e contınua se e apenasse f−1(B) e fechado em (X, τ) sempre que B e fechado em (Y, τ ′).

5. Se (X, τ) e separado, entao os subconjuntos compactos de X sao fechados.

A aderencia ou fecho do conjunto C ⊆ X no espaco topologico (X, τ), e o menorsubconjunto fechado de X, para a relacao de inclusao, que contem C e designa-se porC.

Pode caracterizar-se a aderencia mais precisamente. Sejam entao (X, τ) um espacotopologico, A um subconjunto de X e x um elemento de X; x diz-se interior a A seeste e vizinhanca de x; x diz-se exterior a A se X\A e vizinhanca de x, i. e., se x einterior a X\A; x diz-se fronteiro a A se nao e interior nem exterior; o interior (resp.exterior, fronteira) de A e o conjunto de todos os pontos interiores (resp. exteriores,fronteiros) a A e designa-se por int(A) (resp. ext(A), fr(A)).


Teorema 1.1.4 Sejam (X, τ) um espaco topologico e A um subconjunto de X.

1. X = int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) e esta uniao e disjunta.

2. A = A ∪ fr(A) = int(A) ∪ fr(A).

3. Sobre conjuntos conexos, vale o seguinte

(a) Se C e um subconjunto conexo de X e C ⊆ D ⊆ C, entao D e conexo.

(b) As componentes conexas de um espaco topologico sao conjuntos fechados.

(c) As componentes conexas de um espaco topologico sao abertas se e apenasse o espaco e localmente conexo.

Um espaco topologico (X, τ) diz-se regular se para cada x ∈ X e cada conjunto A ∈ τtal que x ∈ A, existe B ∈ τ tal que x ∈ B ⊂ B ⊆ A.

Teorema 1.1.5 Se (X, τ) e um espaco topologico localmente separado e regular, entaoe de Hausdorff.

Dem. Tomem-se dois elementos distintos x, y ∈ X. Se um deles esta na vizinhancaseparada do outro – que existe por hipotese – existem (sub)vizinhancas disjuntas decada um deles. Se, por exemplo, y nao esta na vizinhanca separada V de x, tome-seB ∈ τ tal que x ∈ b ⊆ B ⊆ V ; B e X\B sao vizinhancas disjuntas respectivamentede x e de y. 2

Se (X, τ) e um espaco topologico e C ⊆ X, C diz-se compacto (para ou em τ) quando,de qualquer cobertura de C constituıda por conjuntos abertos, se pode extrair umasubcobertura finita.

Teorema 1.1.6 Seja X um espaco topologico.

1. Se K e um subconjunto compacto de X, F ⊆ K e F e fechado, entao F ecompacto.

2. Se X e de Hausdorff, os sub-conjuntos compactos de X sao fechados.

Tambem para conjuntos compactos vale o seguinte

Teorema 1.1.7 Sejam X e Y espacos topologicos e f : X → Y uma funcao contınua.

1. f(K) e compacto em Y se K e compacto em X.

2. Se X e Y sao de Hausdorff, X e compacto, se considera f(X) como sub-espacotopologico de Y e f e injectiva, entao f : X → f(X) e homeomorfismo.

1.2. ESPACOS METRICOS 105

1.2 Espacos metricos

Esta seccao tem como finalidade principal tratar uma versao do teorema do PontoFixo, de Banach e o Lema de Lebesgue (1.2.6). Quanto ao primeiro, utilizare-mos apenas uma formulacao para espacos euclidianos Rp de dimensao finita (1.2.3);enunciamo-lo para espacos metricos completos, ja que tal nao implica um esforco su-plementar significativo, para alem da revisao de algumas definicoes (para estudo maisdetalhado, pode utilizar-se, por exemplo, [14]; para um estudo dirigido ao teorema1.2.5, consulte-se [4]). O Lema de Lebesgue encontra-se tambem demonstrado em [6].

Uma distancia1 no conjunto nao vazio X e uma funcao

d : X ×X → R

que goza das propriedades seguintes:

1. d(x, y) ≥ 0 (x, y ∈ X),

2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y (x, y ∈ X),

3. d(x, y) = d(y, x) (x, y ∈ X),

4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ∈ X).

Um espaco metrico e um par (X, d) em que X e um conjunto nao vazio e d e umadistancia em X.

A bola aberta de centro a ∈ X e raio r ∈ R+ e o conjunto definido por

Br(a) = x ∈ X| d(x, a) < r

Podemos comecar por observar que

Teorema 1.2.1 Seja (X, d) um espaco metrico. O conjunto Br(a)| a ∈ X & r ∈ R+e base para uma topologia τ em X, para a qual (X, τ) e separado.

Uma sucessao (xn)n∈N em X diz-se convergente no espaco metrico (X, d) quando, paracerto x ∈ X – designado por limite de xn ou, abreviadamente limxn – se tem, paraqualquer numero real positivo ε, d(xn, x) < ε, para n suficientemente grande. Econvem acrescentar, na sequencia do teorema 1.2.1

1Reservamos o termo metrica para as estruturas Riemannianas que viremos a tratar no Cap. 4


Teorema 1.2.2 Seja (X, d) um espaco metrico.

1. Se a sucessao (xn)n∈N e convergente, tem um so limite.

2. Um subconjunto C de X e fechado se e apenas se contem os limites de qualquerdas suas sucessoes convergentes, i. e., se xn ∈ C (n ∈ N) e x = limxn, entaox ∈ C.

3. Um subconjunto C de X e compacto se e apenas se qualquer sucessao de termosem C tem uma subsucessao convergente para um elemento de C.

A sucessao (xn)n∈N em X dir-se-a de Cauchy se, para qualquer numero real positivoε, d(xn, xm) < ε, para n e m suficientemente grandes. Um espaco metrico dir-se-acompleto se toda a sua sucessao de Cauchy convergir.

1.2.1 Teorema do Ponto Fixo

Uma contraccao do espaco metrico (X, d) e uma aplicacao f : X → X tal que, paraalguma constante k ∈ [0, 1[,

d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) (x, y ∈ X).

Um ponto fixo de uma aplicacao f : X → X e um elemento x ∈ X tal que f(x) = x.

Teorema 1.2.3 (do Ponto Fixo) Toda a contraccao de um espaco metrico completotem um e so um ponto fixo.

Uma demonstracao pode encontrar-se em [14, 7.24]. Interessa-nos apenas fazer asseguintes observacoes:

Os espacos euclidianos usuais Rn (n ∈ N) sao completos, portanto, quaisquer dosseus conjuntos fechados sao completos quando munidos da restricao da distancia emRn, em particular

Teorema 1.2.4 As bolas fechadas Br(a) = x ∈ Rn| ‖x− a‖ ≤ r (a ∈ Rn, r > 0)munidas da restricao da distancia euclidiana usual, sao espacos metricos completos.

E ainda mais precisamente, como consequencia do teorema 1.2.3:

Teorema 1.2.5 Se a funcao f : Br(a)→ Br(a) verifica

‖f(x)− f(y)‖ ≤ k‖x− y‖ (x, y ∈ Br(a))

para certa constante k ∈ [0, 1[, entao existe um e so um elemento x ∈ Br(a) tal quef(x) = x.

1.3. PARTICOES DA UNIDADE I 107

1.2.2 Lema de Lebesgue

O diametro do subconjunto A do espaco metrico X e designado por diam(A) e definidopor

diam(A) = supd(x, y)| x, y ∈ A ∈ R ∪ +∞.

Teorema 1.2.6 (Lema de Lebesgue) Se (X, d) e um espaco metrico, K e um sub-conjunto compacto de X e A = Ai| i ∈ I e uma cobertura de K por conjuntosabertos, entao existe λ ∈ R+ tal que, se C e um subconjunto de K de diametro infe-rior a λ, existe i ∈ I tal que C ⊆ Ai.

Os numeros λ deste teorema dizem-se numeros de Lebesgue da cobertura A para oconjunto K.

Dem. (do lema 1.2.6) Suponha-se que, seja qual for λ > 0 existe um conjuntoCλ ⊆ K tal que diam(C) < λ, mas C nao esta contido em qualquer dos Ai; emparticular, para cada n ∈ Z+, existem xn, yn ∈ C1/n que nao estao simultaneamenteem qualquer dos Ai. Como K e compacto, (xn) tem uma subsucessao convergente paraum elemento de K, digamos xkn → x; como d(xn, yn) < 1

n, tambem ykn → x ∈ K;

mas, como A e uma cobertura de K por abertos, para certo i ∈ I, existe ε > 0 talque Bε(x) ⊆ Ai; ora, para n suficientemente grande, xkn , ykn ∈ Bε(x), o que contradiza escolha de xn e yn; portanto existem numeros de Lebesgue da cobertura A para K.2

1.3 Particoes da unidade I

1.3.1 Funcoes de suporte compacto

Definicao 1.3.1 Dado um espaco topologico (X, τ) e uma funcao f : X → R, osuporte de f e o conjunto supp(f) definido por

supp(f) = x ∈ X| f(x) 6= 0


Exemplo 1.3.1 Se (X, d) e um espaco metrico com pelo menos dois elementos dis-tintos a, b, e a funcao f(a,b) : R→ R e dada por

f(a,b)(t) =

1 |t| ≤ d(a,b)3

2d(a,b)−3td(a,b)

d(a,b)3

< |t| < 2d(a,b)3

,

0 |t| ≥ 2d(a,b)3

,

fazendo r = d(a,b)3

, a funcao real x 7→ η(a,b)(x) = f(a,b)(d(x, a)) (x ∈ X) e contınua everifica

η(a,b)(x)

= 1 x ∈ Br(a)

∈ [0, 1] x ∈ B2r(a)\Br(a)

= 0 X\B2r(a);

em particular, η(a,b) vale 1 em Br(a) e η(a,b)(b) = 0.

Teorema 1.3.1 Em qualquer espaco euclidiano de dimensao finita Rn podem definir-se funcoes contınuas de suporte compacto.

Dem. Basta observar que as bolas fechadas nestes espacos sao conjuntos compactose ter em conta o exemplo que acabamos de estudar. 2

Mas pode exigir-se mais. Por exemplo, deduz-se do Lema de Urysohn (vide [14]),por exemplo, que

Teorema 1.3.2 Sejam quais forem os subconjuntos de Rn, respectivamente, fechado,F 6= ∅, e aberto, A, tais que F ⊆ A, existe uma funcao contınua η : Rn → [0, 1] talque η(F ) = 1 & supp(η) ⊆ A.

Quanto a diferenciabilidade veja-se a seccao 4.5.

1.3.2 Paracompacidade

Sejam (X, τ) um espaco topologico, C um subconjunto de X e C = Ci| i ∈ Icobertura de C; um refinamento de C e uma cobertura C∧ de C tal que qualquerelemento de C∧ esta contido em algum elemento de C; C diz-se localmente finita se,para cada c ∈ C, existe uma vizinhanca V de c, tal que i ∈ I : Ci ∩ V 6= ∅ e finito.

1.3. PARTICOES DA UNIDADE I 109

Definicao 1.3.2 Um espaco topologico (X, τ) diz-se paracompacto se for separadoe qualquer cobertura de X por abertos de τ tem um refinamento localmente finito, cujoselementos tambem sao conjuntos abertos.

Definicao 1.3.3 Seja (X, τ) um espaco topologico. Uma particao da unidade em(X, τ) subordinada a cobertura C = Ci| i ∈ I e uma famılia de funcoes contınuasηj : X → R (j ∈ J) tal que

1. supp(ηj)| j ∈ J e (uma cobertura) localmente finita (de X).

2. Para cada j ∈ J , existe i ∈ I, tal que supp(ηj) ⊆ Ci.

3.∑

j∈J ηj(x) = 1 para qualquer x ∈ X.

A condicao de finitude local da cobertura considerada nesta definicao permite darsentido a ultima condicao; vejamos um exemplo simples, para o qual convem ter pre-sentes mais uma definicao e alguns resultados cuja demonstracao pode ser encontradaem [14].

Definicao 1.3.4 Um espaco topologico (X, τ) diz-se regular se os conjuntos singu-lares sao fechados e se verifica a condicao

∀x∈ X ∀V ∈τ [x ∈V ⇒ ∃U ∈τ x ∈ U ⊆ U ⊂ V ]


1. Se (X, τ) e regular, entao e paracompacto sse para qualquer cobertura de Xpor conjuntos abertos existe uma outra cobertura por conjuntos abertos cujasaderencias formam um refinamento localmente finito da primeira.

2. Todo o espaco metrico e regular e paracompacto.

Exemplo 1.3.2 Sejam C uma cobertura do espaco metrico (X, d) por conjuntos aber-tos, C∧ um refinamento localmente finito de C nas condicoes do numero 1 do teoremaanterior. Defina-se

gV (x) = d(x,X\V ) (V ∈ C∧; x ∈ X)

ηV (x) =gV (x)∑

U∈C∧ gU(x)(V ∈ C∧; x ∈ X).

O conjunto ηV | V ∈ C∧ e uma particao da unidade em X, subordinada acobertura C.

Capıtulo 2

Teorema da Funcao Inversa

2.1 Formula de Taylor. Teorema da Media

No que se segue, o domınio de uma funcao diferenciavel supoe-se aberto, por definicao.

Se a funcao f : A ⊆ Rm → Rn e uma funcao diferenciavel no ponto x ∈ A, designamospor derivada de f em x a funcao linear Dfx : Rm → Rn tal que

limh→0

‖f(x+ h)− f(x)−Dfx(h)‖‖h‖

= 0.

A matriz de Dfx na base canonica e a matriz Jacobiana de f em x,[∂fi∂xj

]n×m

tambem

designada por Jac(f, x); a funcao x 7→ Dfx sera designada por derivada de f ouderivada global de f . Repare-se que Dfx e um isomorfismo (resp. monomorfismo ouepimorfismo) se e apenas se Jac(f, x) e quadrada e tem determinante nao nulo (resp.tem caracterıstica m ≤ n ou n ≤ m).

Demonstracoes dos teoremas que se seguem, podem encontrar-se em [4, Vol. 1] ou em[11].

Comecamos com o teorema da Media para funcoes reais de uma variavel real e umasua generalizacao.

Teorema 2.1.1 (de Lagrange) Se a funcao f : [a, b] ⊆ R → R e contınua e ediferenciavel em ]a, b[, entao existe c ∈]a, b[ tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a). (2.1)

201

202 CAPITULO 2. TEOREMA DA FUNCAO INVERSA

Este teorema generaliza-se por:

Teorema 2.1.2 (de Taylor) Se f :]a − ε, a + ε[⊆ R → R e de classe Cp e |h| < ε,entao

f(a+ h) = f(a) +

p∑i=1

f (i)(a)

i!hi +Rp(a, h), (2.2)

onde Rp(a, h) pode tomar as seguintes formas∫ 1

0

(1− t)p−1

(p− 1)![f (p)(a+ th)− f (p)(a)]hpdt

ou, se f (p+1) existe em ]a− ε, a+ ε[ e e integravel entre a e a+ h,∫ 1

0(1−t)pp!

[f (p+1)(a+ th)]hp+1dt,

ou(1−θ)pp!

f (p+1)(a+ θh)hp+1, para certo θ ∈]− 1, 1[,

ou ainda, se f (p+1) e contınua entre a e a+ h,

hp+1

(p+ 1)!f (p+1)(a+ θh), para certo θ ∈]− 1, 1[,

Este resultado e tambem um lema para a obtencao de uma formula de Taylor multi-dimensional. Para cada funcao f : A ⊆ Rm → R, define-se a notacao seguinte:

x = (x1, · · · , xm) ∈ Rm

α = (α1, · · · , αm) ∈ Nm0

|α| =m∑j=1

αj

∂xα = ∂xα11 · · · ∂xαmm

h = (h1, · · · , hm) ∈ Rm

hα = hα11 · · ·hαmm(

iα

)=

i!

α1! · · ·αm!

Difx(h) =

(m∑j=1

∂f

∂xj(x)hj

)(i)

=∑|α|=i

(iα

)∂if

∂xα(x)hα.

2.1. FORMULA DE TAYLOR. TEOREMA DA MEDIA 203

Teorema 2.1.3 (I Formula de Taylor) Se a funcao f : Bε(a) ⊆ Rm → R e declasse Cp e ‖h‖ < ε, entao

f(a+ h) = f(a) +

p∑i=1

1

i!Difa(h)

+

∫ 1

0

(1− t)p−1

(p− 1)![Dpfa+th −Dpfa](h)dt

Em particular, designando por H(f, a) a matriz Hessiana de f em a,[

∂2f∂xi∂xj

(a)]m×m

,

Teorema 2.1.4 Se a funcao f :Bε(a)⊆Rm → R e de classe C2 e ‖h‖ < ε, entao

f(a+ h) = f(a) + Dfa(h) +1

2hTH(f, a)h

+

∫ 1

0

(1− t)hT [H(f, a+ th)−H(f, a)]hdt

Se f = (f1, · · · , fn) : A ⊆ Rm → Rn, h ∈ Rm e e1, · · · , en designa a base canonicade Rn, a notacao e, de novo, estendida do seguinte modo:

h(i) = (h, h, · · · , h) ∈ (Rm)i

Difx(h(i)) =

n∑j=1

Difj(x)(h)ej.

E vale a reformulacao do teorema 2.1.3:

Teorema 2.1.5 (II Formula de Taylor) Se a funcao f : Bε(a) ⊆ Rm → Rn e declasse Cp e ‖h‖ < ε, entao

f(a+ h) = f(a) +

p∑i=1

1

i!Difa(h

(i))

+

∫ 1

0

(1− t)p−1

(p− 1)![Dpf(a+th) −Dpfa](h

(p))dt

Uma generalizacao mais imediata do teorema 2.1.1 e a seguinte, onde J(f, θ) designaa matriz cuja i-esima linha (1 ≤ i ≤ n) e

∂fi∂x1

(a+ θih) · · · ∂fi∂xm

(a+ θih),

para certos θi ∈]0, 1[.


Teorema 2.1.6 (da Media) Se A e um subconjunto aberto de Rm, f e diferenciavele o segmento de recta [a, a+ h] ⊆ A, entao, para certos θi ∈]0, 1[ (1 ≤ i ≤ n),

f(a+ h) − f(a) = J(f, θ)h

2.2 Teorema da Funcao Inversa

Teorema 2.2.1 Sejam A um subconjunto aberto nao vazio de Rn, f : A → Rn umafuncao de classe Cp (1 ≤ p ≤ ∞), a ∈ A e b = f(a). Se Dfa e um isomorfismo deRn, entao

1. Existem vizinhancas abertas U de a e V de b tais que

(a) f : U → V e bijectiva

(b) f−1 : V → U e de classe Cp

2. Para qualquer x ∈ UDf−1

f(x) = [Dfx]−1

Uma funcao f : A ⊆ Rn → B ⊆ Rn diz-se um difeomorfismo de classe Cp se forbijectiva, de classe Cp, e a sua inversa f−1 : B → A tambem for de classe Cp; observe-se que, em particular, o contradomınio de um difeomorfismo e aberto por definicao.

Dem. (de 2.2.1) A segunda assercao vale desde que as varias funcoes descritasestejam definidas, em virtude do Teorema da Funcao Composta, aplicado a composicaof−1 f .

Designe-se a funcao identidade de Rn por I.

I. Reducao. Basta demonstrar o teorema supondo

a = 0 = b & Df0 = I (2.3)

Prova: Defina-se

F (x) = [Dfa]−1 [f(x+ a)− b] (x ∈ A− a)

Tem-se que F e uma funcao de classe Cp, F (0) = 0 e DF0 = [Dfa]−1Dfa = I.

Observe-se que x 7→ x + a e y 7→ y − b sao translacoes e portanto funcoes bijectivasde classe C∞, digamos Ta e T−b respectivamente, com inversas respectivamente T−a

2.2. TEOREMA DA FUNCAO INVERSA 205

e Tb. Se U1 e V1 sao vizinhancas de zero e F : U1 → V1 e bijeccao de classe Cp,entao U = U1 + a e V = V1 + b sao vizinhancas respectivamente de a e de b ef : U → (Tb Dfa T−b)(V ) e a bijeccao de classe Cp, dada por f = Tb Dfa F T−aou seja f(x) = Dfa (F (x− a)) + b (x ∈ U).

Supomos daqui em diante que vale (2.3).

II. Pontos fixos

Considerem-se as funcoes g e gy definidas por

g(x, y) = y + x− f(x) gy(x) = g(x, y) (x ∈ A, y ∈ Rn)

Para cada y ∈ Rn, a imagem inversa de y por f , x = f−1(y) e solucao da equacaoem x

gy(x) = x

Interessa assim encontrar condicoes em x e y de modo a que gy seja contraccao dealgum espaco metrico completo, para podermos aplicar o Teorema do Ponto Fixo1.2.5.

Pelo Teorema da Media (2.1.6), fixando r > 0 tal que Br(0) ⊆ A, se

M = n ·max|∂gj∂xi

(x)| : 1 ≤ i, j ≤ n & x ∈ Br(0), (2.4)

M nao depende de y e

‖gy(x1)− gy(x2)‖ ≤ M‖x1 − x2‖ (x1, x2 ∈ Br(0)), (2.5)

pois g e de classe C1 e Br(0) e um conjunto compacto.

Como ∂gj∂xi

(0) = 0 (1 ≤ i, j ≤ n), pois a matriz jacobiana de f em zero e a matrizidentidade (vide (2.3)), tomando r suficientemente pequeno, podemos supor que osegundo membro em (2.4) e menor que 1

2, em particular podemos supor

0 ≤ M ≤ 1

2< 1. (2.6)

Por outro lado, se x ∈ Br(0),

‖gy(x)‖ ≤ ‖y‖+ ‖x− f(x)‖ = ‖y‖+ ‖x− f(x)− (0− f(0))‖= ‖y‖+ ‖gy(x)− gy(0)‖

≤ ‖y‖+1

2‖x‖ (por(2.6) e (2.5))

≤ ‖y‖+r

2‖x‖.


Podemos concluir que

gy : Br(0)→ Br(0) e gy e contractiva se y ∈ B r2(0)

A funcao f : Br(0)→ B r2(0) e entao bijectiva e

f−1 : B r2(0)→ Br(0)

III. Continuidade

A funcao f−1 : B r2(0)→ Br(0) e contınua, pois

‖f−1(y1)− f−1(y2)‖ = ‖x1 − x2‖≤ ‖f(x1)− f(x2)‖+ ‖(x1 − f(x1))− (x2 − f(x2))‖

≤ ‖y1 − y2‖+1

2‖x1 − x2‖

= ‖y1 − y2‖+1

2‖f−1(y1)− f−1(y2)‖

por (2.5) e (2.6); em virtude do que se obtem

‖f−1(y1)− f−1(y2)‖ ≤ 2‖y1 − y2‖ (‖y1‖, ‖y2‖ ≤ r

2). (2.7)

IV. Vizinhancas abertas de zero

A continuidade de f garante que, seja qual for s ∈]0, r2[, f−1(Bs(0)) e um subconjunto

aberto da bola fechada Br(0). Vamos ver que, para algum desses s, a imagem inversacorrespondente e um aberto genuino de Rn, pois esta contida em Br(0). Se isto naoacontecesse, existiriam sucessoes (ym) e (xm) tais que, para qualquer m ∈ N,

xm = f−1(ym) & ‖ym‖ < sm → 0 & ‖xm‖ = r

o que contraria a continuidade de f−1 em zero, quando se observa que f−1(0) = 0.

Podemos entao escolher um s apropriado e tomar U = f−1(Bs(0)) & V = Bs(0).

2.2. TEOREMA DA FUNCAO INVERSA 207

V. Diferenciabilidade da funcao inversa.

Vamos verificar que

D(f−1)y = [Dff−1(y)]−1 (y ∈ V )

Faca-se f(x) = y e, para k suficientemente pequeno, de modo que y + k ∈ V , ef(x+ h) = y + k. Tem-se

‖f−1(y + k)− f−1(y)− [Dff−1(y)]−1(k)‖

‖k‖=‖x+ h− x− [Dfx]

−1(k)‖‖k‖

.

O segundo membro pode escrever-se

‖h‖‖k‖

∥∥∥∥[Dfx]−1

(Dfx(h)− (f(x+ h)− f(x))

‖h‖

)∥∥∥∥e, para algum N > 0,

‖f−1(y + k)− f−1(y)− [Dff−1(y)]−1(k)‖

‖k‖≤ 2N

‖(f(x+ h)− f(x)) − Dfx(h)‖‖h‖

Como da continuidade de f−1 se obtem limk→0 h = 0, segue-se a diferenciabilidade def−1 da diferenciabilidade de f .

VI. A funcao inversa e de Classe Cp.

Observando que a invertibilidade de uma matriz real n×n e equivalente a nao nulidadedo seu determinante, que o determinante e uma funcao contınua dos coeficientes damatriz e que inverter uma matriz se traduz em somas de produtos e trocas de coor-denadas – para o calculo da matriz adjunta – divididos pelo determinante, podemosconcluir que a inversao de uma matriz e uma funcao de classe C∞. Identificando aderivada Dfx com a matriz jacobiana de f em x, podemos entao observar que a funcao

y 7→[Dff−1(y)

]−1(2.8)

e contınua e concluir que f−1 e de classe C1, pois a sua derivada e composicao defuncoes contınuas. Tomando em conta que x 7→ Dfx e de classe Cp−1, porque f e, porhipotese, de classe Cp, a utilizacao iterada do Teorema da Funcao Composta permiteconcluir que f−1 e de classe Cp. Observando que f e de classe C∞ se for de classe Cp

para qualquer p ∈ N, o teorema fica demonstrado tambem para p =∞. 2


2.3 Teorema da Funcao Implıcita

O teorema seguinte e, de facto, equivalente ao teorema da Funcao Inversa e podedemonstrar-se independentemente (vide [13]).

Teorema 2.3.1 (da Funcao Implıcita) Suponha-se que (a, b) ∈ A ⊆ Rm+n, que afuncao (x, y) 7→ f(x, y) : A→ Rn e de classe Cp (1 ≤ p ≤ ∞) e que Dyf(a, b) :Rn→Rn

e um isomorfismo. Nestas condicoes existem vizinhancas abertas U de a em Rm e Vde b em Rn e uma so funcao φ :U→V de classe Cp que verifica

φ(a) = b & ∀x ∈ U f(x, φ(x)) = f(a, b) (2.9)

Tem-se tambem

Dφ = −[Dyf ]−1 Dxf (2.10)

A condicao de isomorfismo e equivalente a que a matriz jacobiana[∂fi∂yj

(a, b)]

1≤i,j≤ntenha determinante nao nulo. A expressao em (2.10) pode tambem

traduzir-se por[∂φi∂xj

(x)

]1≤i≤n, 1≤j≤m

= −[∂fi∂yj

(x, φ(x))

]−1

1≤i,j≤n×[∂fi∂xj

(x, φ(x))

]1≤i≤n, 1≤j≤m

.

Dem. Designando por Tv a translacao segundo o vector v num espaco euclidiano,podemos supor que a = b = 0 e f(a, b) = 0, tomando T−f(a,b) f T(a,b).

Defina-se

F (x, y) = (x, f(x, y)) ((x, y) ∈ A).

Repare-se que

F (0, 0) = (0, 0) (2.11)

F : A → Rm+n e uma funcao de classe Cp e, designando por I a matriz identidadem×m e por 0 a matriz nula m× n, tem-se

Jac(F, (0, 0)) =

[I 0

∂fi∂xj

(0, 0) ∂fi∂yj

(0, 0)

]pelo que DF(0,0) e um isomorfismo e podemos aplicar o teorema da Funcao Inversa(2.2.1); existem entao vizinhancas U1 e V1 de (0, 0) em Rm+n de modo que F : U1 → V1

2.3. TEOREMA DA FUNCAO IMPLICITA 209

e difemorfismo de classe Cp. Suponhamos que, para certas funcoes de classe Cp,H1 : V1 → Rm e H2 : V1 → Rn se tem

F−1(u, v) = (H1(u, v), H2(u, v)).

Nestes termos, tem-se

(u, v) = F F−1(u, v) = F (H1(u, v), H2(u, v))

= (H1(u, v), f(H1(u, v), H2(u, v)))

Pelo que

H1(u, v) = u & f(u,H2(u, v)) = v. (2.12)

Em particular

f(u,H2(u, 0)) = 0 ((u, 0) ∈ V1). (2.13)

Tomando vizinhancas abertas de zero V11 ⊆ Rm e V12 ⊆ Rn, de modo queV11 × V12 ⊆ V1, definindo φ(x) = H2(x, 0) e tambem

V = V12 & U = V11 ∩ φ−1(V ),

obtem-se:

1. φ : U → V e φ e de classe Cp.

2. φ(0) = 0, pois F (0, φ(0)) = F (H1(0, 0), H2(0, 0)) = F (F−1(0, 0)) = (0, 0), por(2.11) e F : U1 → V1 ser bijectiva.

3. f(x, φ(x)) = 0, em face de (2.13).

A unicidade de φ resulta tambem da bijectividade de F ; quanto a formula para asderivadas (2.10), observe-se que, em virtude do Teorema da Funcao Composta, comovale (2.9), tem-se

0 = Dx(x 7→ f(x, φ(x))) = Dxf(x,φ(x)) +Dyf(x,φ(x))Dφ.

Resolvendo em ordem a Dφ, encontra-se a formula pretendida. 2


2.4 Teorema da Submersao

Dada uma funcao diferenciavel f : A ⊆ Rn → Rm, um elemento a ∈ A dir-se-a regularse Dfa : Rn → Rm e sobrejectiva ou, de outro modo, se a caracterıstica da matrizjacobiana Jac(f, a) e m; um valor b ∈ f(A) dir-se-a regular se todos os elementosde f−1(b) sao regulares; a funcao e uma submersao em a, se a e ponto regular, esubmersao local, ou simplesmente submersao, se for submersao em todos os pontos doseu domınio.

Teorema 2.4.1 (da Submersao) Sejam f : A ⊆ Rn → Rp uma funcao de classeCk (1 ≤ k ≤ ∞) e a um elemento regular de A. Existem uma vizinhanca V de a euma vizinhanca U de 0, em Rn, e duas mudancas de variaveis ϕ : V → U , de classeCk, e ψ : Rp → Rp, de classe C∞ tais que

1. ϕ(a) = 0 & ψ(f(a)) = 0

2. f : [a, b] ⊆ R→ R(x1, · · · , xn) = (x1, · · · , xp)

Dem. Como a e suposto regular, a matriz jacobiana Jac(f, a) tem caracterısticap. Designe-se por Tv a translacao pelo vector v num espaco euclidiano. Permutandoadequadamente as coordenadas de x ∈ Rn, digamos que por meio de um isomorfismoφ : Rn → Rn, obtem-se Jac(T−f(a) f Ta φ, 0) = [J |M ] onde J e uma matriz p× pde caracterıstica p. Faca-se ψ = T−f(a), ϕ1 = Ta φ e f = ψ f ϕ1. Seja aindaF : dom(f) ⊆ Rn = Rp ⊕ Rn−p → Rp ⊕ Rn−p = Rn dada por

F (x, y) = (f(x, y), y)

Por um lado F (0) = 0, por outro, designando por I a matriz identidade (n−p)×(n−p)e por 0 a matriz nula (n− p)× p, tem-se

Jac(F, 0) =

[J M0 I

]Pelo Teorema da Funcao Inversa (2.2.1), existem vizinhancas de zero U1 e U em Rn,tais que F : U1 → U e difeomorfismo de classe Cp. Sejam V = ϕ1(U1) e ϕ = F ϕ−1

1 :V → U . A funcao ψf ϕ−1 verifica as condicoes pretendidas, como pode ser verificadocom auxılio do diagrama comutativo seguinte, onde Π1 designa a projeccao canonica

Rp × Rn−p → Rp ≡ (x, y) 7→ x

2.5. TEOREMA DA IMERSAO 211

6

ϕ1

-f

V

?

ψ

Rp-f

Rp

U1

:

F

U ψ f ϕ−1 = Π1

ϕ

2

Uma aplicacao f : A ⊆ Rn → Rp diz-se aberta se as imagens f(U) de subconjuntosabertos U sao conjuntos abertos.

Corolario 2.4.1 Qualquer submersao local e uma aplicacao aberta.

Dem. Suponha que f : A ⊆ Rn → Rp e uma submersao local, que A1 e um conjuntoaberto e que a ∈ A1 ⊆ A. Como f e submersao, n ≥ p; vamos ver que existe umavizinhanca aberta Vf(a) ⊆ A1.

Considerem-se as funcoes ϕ : U → V e ψ : Rp → Rp, dadas como no teoremaanterior para o ponto a; ϕ e um difeomorfismo, portanto ϕ(U ∩ A1) e aberto em Rn,porque U tambem e; por outro lado, f : [a, b] ⊆ R → R e uma projeccao, portantoe aberta, logo ψ f(U ∩ A1) = f : [a, b] ⊆ R → R(ϕ(U ∩ A1)) e e aberto em Rp;como ψ e difeomorfismo, f(U ∩ A1) = ψ−1(ψ(f(U ∩ A1))) e e aberto em Rp; tome-seVf(a) = f(U ∩ A1). 2

2.5 Teorema da Imersao

Uma funcao diferenciavel f : A ⊆ Rn → Rm dir-se-a uma imersao em a seDfa : Rn → Rm e injectiva ou, de outro modo, se a caracterıstica da matriz jaco-biana Jac(f, a) e n; f e imersao ou imersao local se for imersao em todos os pontosdo seu domınio.


Teorema 2.5.1 (da Imersao) Suponha-se que f : A ⊆ Rm → Rm+n e uma funcaode classe Cp (1 ≤ p ≤ ∞), que a ∈ A e que Dfa : Rm → Rm+n e um monomorfismo.Entao existem, vizinhancas abertas de a, Ua ⊆ A e de f(a), Vf(a) ⊆ Rm+n, vizinhancasabertas de zero, U ⊆ Rm e V ⊆ Rm+n e mudancas de coordenadas ϕ : Ua → U , declasse C∞, e ψ : Vf(a) → V , de classe Cp, tais que,

1. ϕ(a) = 0 & ψ(f(a)) = 0,

2. para qualquer x ∈ U, f : [a, b] ⊆ R→ R(x) = (x, 0) ∈ Rm+n.

Dem. Facamos reducoes iniciais, como no teorema 2.4.1. Designe-se por Tv atranslacao pelo vector v num espaco euclidiano. Por meio de uma permutacao decoordenadas ψ1 em Rm+n, e definindo f = ψ1 T−f(a) f Ta : A− a→ Rm+n, tem-se

f(0) = 0

Jac(f , 0) =

[JM

]para certas matrizes J ∈M(m×m,R) e de caracterıstica m, e M ∈M(n×m,R).

Defina-se mais uma funcao F : (A− a)× Rn ⊆ Rm+n → Rm+n por

F (x, y) = f(x) + (0, y).

Designando por I a matriz identidade n× n e por 0 a matriz nula m× n, tem-se

Jac(F, (0, 0)) =

[J 0M I

]pelo que podemos utilizar o teorema da Funcao Inversa (2.2.1) para concluir a exis-tencia de vizinhancas abertas de zero em Rm+n, U ⊆ (A − a) × Rn & V tais queF : U → V e um difeomorfismo. Tomando finalmente

U = x∈A− a : (x, 0)∈ U,Ua = U + a = Ta(U),

Vf(a) = Tf(a)(ψ−11 (V )),

ϕ = T−a|Uaψ = F−1 ψ1 T−f(a)|Vf(a),

terminamos a demonstracao. O diagrama comutativo seguinte ilustra esta construcao;ι1 designa o mergulho canonico – ou imersao canonica – e ψ2 = ψ1 T−f(a)

ι1 : Rm → Rm+n ≡ x 7→ (x, 0).

2.6. LEMA DE MORSE 213

Ua

?

ϕ

U

-f

Vf(a)

?

ψ2

-f

V@@@@R

AAAAAAAAAAAAAU

U

ψ = F−1 ψ2

F−1PPPPPPPPPPPPPPPPPPqι1 = ψ f ϕ−1

Este teorema pode ser reformulado do seguinte modo

Teorema 2.5.2 Suponha-se que φ : A ⊆ Rk → Rn e uma funcao de classe Cp

(1 ≤ p ≤ ∞), que a ∈ A e que a matriz jacobiana Jac(φ, a) tem caracterıstica k.Entao existem, vizinhancas abertas de a, Ua ⊆ A, de φ(a), Vφ(a) ⊆ Rn e uma funcaog : Vφ(a) → Ua, tais que,

g φ = id|Ua .

Em particular

1. φ : Ua → φ(Ua) e bijectiva

2. a funcao inversa φ−1 : φ(Ua)→ Ua e restricao de uma funcao de classe Cp.

2.6 Lema de Morse

Um elemento a do domınio de uma funcao diferenciavel f dir-se-a crıtico ou pontocrıtico, se Dfa nao e sobrejectiva; se a e ponto crıtico de f , entao f(a) diz-se valorcrıtico de f (compare-se com as definicoes de elemento regular e de valor regular naseccao 2.4). De facto so nos interessam casos em que a dimensao do domınio de f esuperior ou igual a do seu contradomınio. Por exemplo, e bastante simples demonstrar:

Teorema 2.6.1 Dada uma funcao diferenciavel f : A ⊆ Rn → R, um ponto a ∈ A ecrıtico se e apenas se todas as derivadas parciais ∂f

∂xi(a) sao nulas.


Um ponto crıtico a da funcao f dir-se-a degenerado se a matriz Hessiana H(f, a) naofor invertıvel.

No teorema que se segue, se λ = 0 o primeiro somatorio entende-se como vazio, ouvalendo zero, se λ = n o mesmo se deve entender quanto ao segundo somatorio.

Teorema 2.6.2 (Lema de Morse) Seja f : A ⊆ Rn → R uma funcao de classeC∞. Suponha que a ∈ A e um ponto crıtico nao degenerado de f . Entao existem umavizinhanca de zero, V em Rn, uma vizinhanca, U , de a, tambem em Rn, um numerointeiro λ ≥ 0 e uma mudanca de variaveis de classe C∞, g : U → V , tais que

f(x1, x2, · · · , xn) = f(a) −λ∑i=1

gi(x)2 +n∑

i=λ+1

gi(x)2,

ou

f(g−1(y1, y2, · · · , yn)) = f(a) −λ∑i=1

y2i +

n∑i=λ+1

y2i .

O numero λ diz-se o ındice do ponto crıtico a.

Lema 2.6.1 Seja f : A ⊆ Rn → R uma funcao de classe C∞. Suponha que0 ∈ A, f(0) = 0 e 0 e um ponto crıtico f . Entao existem ε > 0 e funcoeshij : Bε(0) ⊆ Rn → R (1 ≤ i, j ≤ n) de classe C∞ tais que

1. hi,j(0) = 12

∂2f∂xi∂xj

(0) (1 ≤ i, j ≤ n)

2. hij ≡ hji (1 ≤ i, j ≤ n)

3. f(x1, x2, · · · , xn) =∑n

i,j=1 hij(x1, · · · , xn)xixj.

Dem. Observe-se que, se (x1, · · · , xn) ∈ Bε(0) ⊆ A, para algum ε > 0, entao

f(x1, · · · , xn) =

∫ 1

0

d

dtf(tx1, · · · , txn)dt

=n∑i=1

xi

∫ 1

0

∂f

∂xi(tx1, · · · , txn)dt

=n∑

i,j=1

xixj

∫[0,1]2

∂2f

∂xi∂xj(tsx1, · · · , tsxn)tdsdt.


Pelo que, para verificar 3, basta tomar

hij(x1, · · · , xn) =

∫[0,1]2

∂2f

∂xi∂xj(tsx1, · · · , tsxn)tdsdt.

A condicao 1 obtem-se por calculo directo, a condicao 2 resulta da igualdade dederivadas mistas para funcoes de classe C∞. 2

Lema 2.6.2 Sejam ε um numero real positivo e hij : Bε(0) ⊆ Rn → R (1 ≤ i, j ≤ n)funcoes de classe C∞ tais que as matrizes [hij(x1, · · · , xn)] sao simetricas e [hij(0)]e invertıvel. Entao existem um numero inteiro λ ≥ 0, um numero real δ > 0 e umdifeomorfismo g = (g1, · · · , gn) : Bε(0) ⊆ Rn → Bδ(0) ⊆ Rn de classe C∞ tais que

n∑i,j=1

hij(x)xixj = −λ∑i=1

gi(x)2 +n∑

i=λ+1

gi(x)2

Observacoes:

1. De novo somatorios vazios devem entender-se como valendo zero.

2. Pode acontecer g(Bε(0)) ⊂ Rn.

Dem. Defina-se Gr = (Gr1, · · · , Gr

n) e

F (x) =r−1∑i=1

±Gri (x)2 +

∑r≤i,j≤n

Hij(Gr(x))Gr

i (x)Grj(x). (2.14)

Tomando r = 1 temos a expressao inicial do enunciado com G1 igual a funcao iden-tidade e Hij = hij. Seja y = (y1, · · · , yn) : Rn → Rn a mudanca de coordenadas quediagonaliza H(0) = [Hij(0)], i.e.,

xTH(0)x =n∑i=1

±yi(x)2.

Como aquela matriz e invertıvel, a sua diagonalizada nao tem zeros na diagonal, emparticular H11(0) 6= 0. De facto, para η > 0 suficientemente pequeno, y 7→ Γ(y) =√|H11(y)| e de classe C∞ e positiva na Bη(0).


Defina-se ainda g2 = (g21, · · · , g2

n) porg21(y) = Γ(y)

[y1 +

∑nj=2

Hj1(y)

H11(y)yj

]g2i (y) = yi se i > 1

A matriz jacobiana de g2 em 0 verifica

Jac(g2, 0) =

Γ(0) ∂g21

∂y2· · · ∂g21

∂yn

0···0

I

tem determinante nao nulo e consequentemente, pelo Teorema da Funcao Inversa(2.2.1), para algum ε > 0, g2 : Bε(0) → g2(Bε(0)) e um difeomorfismo de classe C∞.Reescrevendo (2.14), em face da simetria Hij = Hji

F (x) = y1y1H11(y) + 2

n∑j=2

yjy1Hj1(y) +∑

1<i,j≤n

Hij(y)yiyj

= ±g21(y)2 − 1

H11(y)

[∑j>1

Hj1(y)yj

]2

+∑

1<i,j≤n

Hij(y)yiyj

= ±g21(y)2 +

∑1<i,j≤n

Hij(y)g2i (y)g2

j (y)

para certas funcoes Hij, de classe C∞ e tambem invariantes para permutacao de ındices(esta simetria e sempre garantida por 1

2(Hij + Hji)); o sinal em ± e determinado pelo

sinal de H11. Observando que, por sua vez, x 7→ y = y(x) e tambem difeomorfismo declasse C∞, de Rn em Rn, foi iniciada a diagonalizacao de F (x) com G2(x) = g2(y(x)).Repare-se ainda que o discriminante da forma em 0 continua a ser nao nulo (o quepode concluir-se, por exemplo, do facto de as Hij serem combinacoes lineares das Hij).

Supondo que esta diagonalizacao possa ser feita ate a forma em (2.14), o raciocınioanterior pode ser adaptado de acordo com as transformacoes seguintes, partindode (2.14): a mudanca de variaveis y mantem Gr

i (1 ≤ i ≤ r − 1) e diagonaliza∑r≤i,j uiujHij(0); Γ(y) =

√|Hrr(y)|, g2 passa a gr+1 e

gr+11 (y) = Γ(y)

[y1 +

∑nj=r+1

Hjr(y)

Hrr(y)yj

]gr+1i (y) = yi se i 6= r;


a matriz jacobiana passa a ser I · · · 0∂gr+1r

y1· · · Γ(0) · · · ∂gr+1

r

yn

0 · · · I

e tambem

F (x) =

r−1∑j=1

±Grj(x)2 + yr(G

r(x))yr(Gr(x))Hrr(y(Gr(x)))

+2

n∑j=r+1

yj(Gr(x))yr(G

r(x))Hjr(y) +∑

r<i,j≤n

Hij(y)yi(Gr(x))yj(G

r(x))

=

r−1∑j=1

±Grj(x)2 ± grr(y(Gr(x)))2 − 1

Hrr(y)

[∑j>r

Hjr(y(Gr(x)))yj(Gr(x))

]2

+∑

r<i,j≤n

Hij(y(Gr(x)))yi(Gr(x))yj(G

r(x))

=

r∑j=1

±Gr+1j (x)2 +

∑r<i,j≤n

Hij(Gr+1(x))gr+1

i (y(Gr(x))gr+1j (y(Gr(x));

donde resulta

F (x) =r∑j=1

±Gr+1j (x)2 +

∑r<i,j≤n

Hij(Gr+1(x))Gr+1

i (x)Gr+1j (x),

com as definicoes adequadas. Pode assim prosseguir-se ate eliminar todos os factoresH. Finalmente separam-se as parcelas negativas e positivas e observa-se que, numamatriz diagonalizavel de coeficientes contınuos os valores proprios mantem localmenteo sinal, pelo que λ e localmente constante. 2

Dem. (do Lema de Morse) Basta agora observar que nao se perde generalidadeem supor que a = 0 e f(0) = 0 e aplicar os lemas anteriores. 2

Capıtulo 3

Equacoes Diferenciais Ordinarias

3.1 Introducao

Este capıtulo e essencialmente uma demonstracao do Teorema de Existencia eUnicidade 3.1.1.

Notacao: pri : Rn → R designa a i-esima projeccao canonica:

pri(x1, · · · , xi, · · · , xn) = xi (1 ≤ i ≤ n).

Definicao 3.1.1 Dado um numero real nao negativo L, uma funcao f : A × B ⊆Rm × Rn → Rk diz-se L−lipschitziana na segunda variavel se

∀t ∈ A ∀x, y ∈ B ‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ L‖x− y‖. (3.1)

A funcao f : A× B ⊆ Rm × Rn → Rk sera localmente lipschitziana na segundavariavel se cada (x, y) ∈ A × B tiver uma vizinhanca, onde f e L−lipschitziana nasegunda variavel, para algum L ∈ [0,∞[.

Notacao

R+:= R ∪ +∞:=]−∞,+∞] R−:= R ∪ −∞:= [−∞,+∞[ R:= [−∞,+∞]

301

302 CAPITULO 3. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

Teorema 3.1.1 Suponha-se que Ω e um subconjunto aberto nao vazio de R1+n. Se afuncao f : Ω → Rn e contınua e localmente Lipschitziana na segunda variavel, paraqualquer (t0, x0) ∈ Ω, existe um intervalo aberto maximal nao vazio ]α, β[⊆]a, b[ talque t0 ∈]α, β[ e existe uma e uma so funcao x :]α, β[→ Rn que e solucao do problemade Cauchy ou de valores iniciais

x′(t) = f(t, x(t)) (α < t < β)

x(t0) = x0.(3.2)

Se R = pr1(Ω) e a funcao f for limitada, o intervalo maximal e R, i.e., todas assolucoes estao definidas em R.

A condicao x(t0) = x0 diz-se condicao inicial do problema.

Repare-se que se f nao for limitada o intervalo maximal pode nao ser R, mesmo emcaso aparentemente muito simples:

Exemplo 3.1.1 Se f(t, x) = x2 as solucoes x(t) ≡ t → −1t+c

(c ∈ R) tem intervalomaximal de definicao ]−∞,−c[ ou ]− c,+∞[.

3.2 Funcoes contınuas

Sejam X um conjunto nao vazio, (Y, d) um espaco metrico completo,D : (Y X)2 → R ∪ +∞ a funcao definida por

D(f, g) = supx∈X

d(f(x), g(x)), (3.3)

D : (Y X)2 → R a funcao definida por

D(f, g) = min1, D(f, g). (3.4)

3.2. FUNCOES CONTINUAS 303

A demonstracao do lema seguinte fica ao cuidado do leitor.

Lema 3.2.1 Definam-se D e D como em (3.4) e (3.3).

1. D verifica todas as propriedades de uma metrica exceptuando ter contradomıniocontido em R.

2. D e metrica.

3. Para qualquer sucessao (fn)n∈N em Y X ,

(a) fn → f em (Y X , D) sse para n suficientemente grande D(fn, f) = D(fn, f)e limD(fn, f) = 0.

(b) (fn)n∈N e de Cauchy em (Y X , D) sse para m e n suficientemente grandesD(fm, fn) = D(fm, fn) e limm,n→+∞D(fm, fm) = 0.

(c) (fn)n∈N converge em (Y X , D) sse converge uniformenente.

(d) (fn)n∈N e de Cauchy em (Y X , D) sse e uniformemente de Cauchy i.e.

∀δ > 0 ∃p ∈ N ∀m,n ∈ N [m,n ≥ p⇒ ∀x ∈ X ‖fm(x)− fn(x)‖ < δ].

Teorema 3.2.1 (Y X , D) e um espaco metrico completo.

Dem. Em face do lema anterior (3.2.1) podemos supor que a distancia entre funcoese avaliada apenas por D. Esquematizemos:

Suponhamos que (fn)n∈N e uma sucessao de Cauchy. Nestas condicoes, para cadax ∈ X, (fn(x))n∈N e uma sucessao de Cauchy em (Y, d), pelo que converge e pomos

f(x) := lim fn(x) (x ∈ X);

se δ ∈ R+ e∃p ∈ N ∀m,n ∈ N [m,n ≥ p⇒ D(fm, fn) ≤ δ],

entao∀x ∈ X d(f(x), fn(x)) ≤ δ,

pelo que D(f, fn)→ 0 pois d : Y 2 → R e contınua, i.e. fn → f em (Y X , D). 2

Seja B(X, Y ) o conjunto das funcoes limitadas de X em Y , i.e., das funcoes f ∈ Y X

tais que f(X) e subconjunto limitado de Y . A restricao de D a B(X, Y ) e precisamenteD e tem-se


Teorema 3.2.2 (B(X, Y ), D) e um espaco metrico completo.

Dem. Basta ver que B(X, Y ) e fechado em (Y X , D), i.e., que o limite uniforme deuma sucessao de funcoes limitadas e uma funcao limitada e utilizar o lema 3.2.1. 2

Quando se supoe que X esta munido de alguma topologia, designe-se por C(X, Y ) oconjunto das funcoes em Y X que sao contınuas.

Teorema 3.2.3 (C(X, Y ), D) e um espaco metrico completo.

Dem. Basta demonstrar que C(X, Y ) e fechado em (Y X , D), i.e., que o limite uniformede uma sucessao de funcoes contınuas e uma funcao contınua:

Considere-se uma tal sucessao (fn)n∈N, com limite f , e tome-se x0 ∈ X. Dado ε > 0 eescolhida uma ordem p, a partir da qual D(fn, f) < ε

3, fixe-se por exemplo f2p+1. Como

f2p+1 e contınua, existe uma vizinhanca U de x0 tal que f2p+1(U) ⊆ B ε3(f2p+1(x0)).

Dado x ∈ U , observando que

d(f(x), f(x0)) ≤ d(f(x), f2p+1(x)) + d(f2p+1(x), f2p+1(x0)) + d(f2p+1(x0), f(x0)),

concluımos que f(U) ⊆ Bε(f(x0)). 2

Corolario 3.2.1 Nas condicoes do teorema anterior (3.2.3), se (X, τ) e um espacotopologico compacto, ou um subconjunto compacto de um espaco topologico, o espacometrico (C((X, τ), (Y, d)), D) e completo.

Num caso mais preciso:

Teorema 3.2.4 Suponha-se que a e b designam elementos de R, que a < b, x0 ∈ Rn,r ∈]0,+∞[ e B = Br(x0). (C([a, b], B), D) e um espaco metrico completo.

3.3. ALGUNS OPERADORES INTEGRAIS 305

3.3 Alguns Operadores Integrais

E um exercıcio de rotina verificar que o problema de Cauchy (3.2) e equivalente aequacao integral em x ∈ C(]a, b[, B)

x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s))ds, (3.5)

com a condicao de que o grafico de x seja subconjunto de Ω, pelo que vamos preocupar-nos de momento com esta equacao.

Dados a, b ∈ R, sendo a < b, B ⊆ Rn, (t0, x0) ∈ [a, b] × B e uma funcao f ∈C([a, b]×B,Rn), defina-se

Ix0,t0(x)(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s))ds (x ∈ C([a, b], B); a ≤ t ≤ b). (3.6)

E imediato que Ix0,t0 : C([a, b], B)→ C([a, b],Rn); mas podemos ser mais precisos:

Lema 3.3.1 Suponha-se que r, ε, L > 0, que B := Br(0) ⊆ Rn, que f : [−ε, ε]× B ⊆R× Rn → Rn e uma funcao contınua e L−lipschitziana na segunda variavel e que

M = max‖f(t, x)‖ : (t, x) ∈ [−ε, ε]×B.

Sejam ainda I00 o operador integral definido como acima em (3.6) e D a metrica deconvergencia uniforme em C([a, b],Rn). Se

Mε ≤ r (3.7)

e, para certo numero real positivo θ,

Lε ≤ θ < 1, (3.8)

entao I00 e uma contraccao de (C([−ε, ε], B), D).

Dem. (I) I00 : (C([−ε, ε], B)→ (C([−ε, ε], B).

Temos de verificar que x(t) ∈ B se x ∈ C([−ε, ε], B) e |t| ≤ ε. Basta observar oseguinte:

‖I00(x)(t)‖ ≤∣∣∣∣∫ t

0

‖f(s, x(s))‖ds∣∣∣∣ ≤ |t|M ≤ εM ≤ r (x ∈ C([−ε, ε], B); |t| ≤ ε).


(II) I00 e uma contraccao.

Dadas funcoes x, y ∈ C([−ε, ε], B), tem-se para cada t ∈ [−ε, ε],

‖I00(x)(t)− I00(y)(t)‖ ≤∣∣∣∣∫ t

0

‖f(s, x(s))− f(s, y(s))‖ds∣∣∣∣

≤∣∣∣∣∫ t

0

L‖x(s)− y(s)‖ds∣∣∣∣ ≤ |t|LD(x, y)

≤ εL‖D(x, y)‖ < θD(x, y);

assim D(I00(x), I00(y)) ≤ θD(x, y). 2

3.4 Existencia e Unicidade de solucoes

O lema 3.3.1 permite ja concluir o seguinte I Teorema de Existencia e UnicidadeLocal

Teorema 3.4.1 Suponha-se que r, ε, L > 0, que B := Br(0) ⊆ Rn, que f : [−ε, ε] ×B ⊆ R × Rn → Rn e uma funcao contınua e L−lipschitziana na segunda variavel eque

M = max‖f(t, x)‖ : (t, x) ∈ [−ε, ε]×B.

Se

Mε ≤ r & Lε ≤ θ < 1, (3.9)

Entao o problema de Cauchyx′(t) = f(t, x(t)) (|t| < ε)

x(0) = 0(3.10)

tem uma e so uma solucao em C1(]− ε, ε[, B).

Dem. Nas condicoes indicadas, a equacao integral correspondente tem uma e so umasolucao x : [−δ, δ] → B, seja qual for δ ∈]0, ε[, pelo que existe uma unica solucao de(3.10) definida em todo o intervalo ]− ε, ε[: o prolongamento comum a todas elas. 2

E deste o II Teorema de Existencia e Unicidade Local 3.4.2.

3.4. EXISTENCIA E UNICIDADE DE SOLUCOES 307

Teorema 3.4.2 Suponha-se que Ω e um subconjunto aberto de R1+n, que (t0, x0) ∈ Ωe que a funcao f : Ω→ Rn e contınua e localmente Lipschitziana na segunda variavel.Nestas condicoes, para algum numero real ε > 0, existe uma e so uma funcao x :]t0 − ε, t0 + ε[→ Rn cujo grafico e subconjunto de Ω e que e solucao do problema deCauchy

x′(t) = f(t, x(t)) (|t− t0| < ε)

x(t0) = x0.(3.11)

Dem. Em primeiro lugar observe-se que, para certos numeros reais positivos δ, r eL, f e contınua e L−lipschitziana em [t0 − δ, t0 + δ]× Br(x0) ⊆ Ω e existe o maximodefinido por

M := max‖f(t, x)‖ : (t, x) ∈ [−δ, δ]× Br(x0).

Escolhendo agora ε ∈]0, δ] de modo a que se verifiquem as condicoes (3.9), podemosaplicar o teorema 3.4.1 ao problema de Cauchy

y′(t) = f(t0 + t, x0 + y(t)) (|t| < ε)

y(0) = 0

e tomar x(t) = y(t− t0) + x0 (|t− t0| < ε). 2

Lema 3.4.1 Suponha-se que a, b, t0 ∈ R, que a < t0 < b, que Ω e um subconjuntoaberto de R1+n, que a funcao f : Ω → Rn e contınua e localmente Lipschitziana nasegunda variavel e que x1, x2 :]a, b[→ Rn sao solucoes da equacao diferencial

x′(t) = f(t, x(t)) (a < t < b) (3.12)

que coincidem em t0. Nestas condicoes x1 e x2 coincidem em ]a, b[.

Dem. Comecemos por definir x0 := x1(t0)(= x2(t0)) e tomar ε e r de acordo com oteorema anterior (3.4.2). Sejam

S o conjunto dos s ∈]a, b[ para os quais x1 e x2 coincidem em [s, t0 + ε[,

T o conjunto dos t ∈]a, b[ para os quais x1 e x2 coincidem em ]t0 − ε, t],

σ = inf S & τ = supT.

Repare-se que se s ∈ S e t ∈ T , entao x1 e x2 coincidem em [s, t].


Pelo teorema anterior S 6= ∅ 6= T , pois t0 − ε2∈ S e t0 + ε

2∈ T ; segue-se que σ e τ

existem de facto e a ≤ σ < τ ≤ b. Por outro lado, se a < σ (resp. τ < b) e (sn)n∈N(resp. (tn)n∈N) e uma sucessao decrescente (resp. crescente) com limite σ (resp. τ),entao x1(sn) → x1(σ) e simultaneamente x2(sn) → x2(σ) (resp. x1(tn) → x1(τ) esimultaneamente x2(tn) → x2(τ)), pelo que x1(σ) = x2(σ) (resp. x1(τ) = x2(τ)) poisx1 e x2 coincidem nos sn (resp. tn); mas entao poderıamos reaplicar o teorema 3.4.2com a condicao inicial x(σ) = x1(σ) = x2(σ) (resp. x(τ) = x1(τ) = x2(τ)) paraconcluir que x1 e x2 sao a mesma funcao, i.e., a unica solucao numa vizinhanca abertade σ (resp. de τ) e este nao seria inf S (resp. supT ).

Em suma: σ = a, τ = b e x1 coincide com x2 em ]a, b[. 2

Teorema 3.4.3 Suponha-se que Ω e um subconjunto aberto de R1+n, que a funcao f :Ω→ Rn e contınua e localmente Lipschitziana na segunda variavel e que (t0, x0) ∈ Ω.Se α e o ınfimo dos σ tais que σ < t0 e o problema (3.2) tem solucao em ]σ, t0 + ε[ eβ e o supremo dos τ > t0 e o problema (3.2) tem solucao em ]t0 − ε, τ [, entao existeuma e so uma solucao do problema definida em ]α, β[ e este e o maior intervalo ondealguma esta definida.

Dem. A unicidade da solucao resulta do lema anterior (3.4.1). Considerando α, β ∈R, a existencia e consequencia das propriedades do supremo e do ınfimo e do II Teoremade Existencia e Unicidade. 2

E a parte do teorema 3.1.1 sobre intervalo maximal de existencia e unicidade de solucaofica provada.

3.5 Solucoes globais

Passamos a procura de solucoes do problema de Cauchy (3.2) globalmente definidasi.e. cujo intervalo maximal de definicao e R.

Recorde-se que se A e subconjunto nao vazio no espaco metrico (X, d) e x ∈ X, adistancia de x a A e definida por

d(x,A) := infd(x, y)| y ∈ A,

que fr(A) designa a fronteira de A e que vale o seguinte

Digamos que uma solucao de (3.2) e maximal se esta definida num intervalo maximalde acordo com o teorema 3.4.3..

3.5. SOLUCOES GLOBAIS 309

Teorema 3.5.1 Suponha-se que Ω e um subconjunto aberto limitado de R1+n, queβ ∈ R e que ∅ 6= ]α, β[ ⊆ R, que a funcao f : Ω → Rn e contınua em Ω e L-Lipschitziana na segunda variavel em Ω, e que x : ]α, β[ → Rn e solucao maximal doproblema (3.2). Nestas condicoes

limt→α

d((t, x(t)), fr(Ω)) = limt→β

d((t, x(t)), fr(Ω)) = 0. (3.13)

Dem. Demonstramos apenas a segunda igualdade.

Seja M = max‖f(t, x)| (t, x) ∈ Ω. Se (3.13) se nao verifica, existem uma sucessao(tn) e δ tais que

tn → β & d((tn, x(tn)), fr(Ω)) > δ > 0.

Revendo o I Teorema de Existencia e Unicidade 3.4.1, e o teorema 3.4.3, podemosconcluir que, se 0 < ε < min δ

M, 1

2L, entao x esta definida em [tn − ε, tn + ε], seja

qual for tn. Mas entao, como tn → β , para algum tn, β ∈ ]tn − ε, tn + ε[ e ]α, β[ naoe maximal, contrariando a hipotese. Em suma vale (3.13). 2

Recorde-se que se (X, d) e (Y, d′) sao espacos metricos, uma funcao f : X → Y se dizuniformemente contınua quando

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X [d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε]. (3.14)

Lema 3.5.1 Considerem-se um intervalo I = ]α, β[ ⊆ R como subespaco metrico deR munido da metrica euclidiana e uma funcao x : I → Rn; suponha-se que β ∈ R. Sex for uniformemente contınua, tem uma extensao contınua a [α, β].

Dem. Basta ver que

∃ limt→b−

x(t). (3.15)

Basta observar que, pela continuidade uniforme de x, todas as sucessoes (x(tn)) saode Cauchy se tn → b. Ora se nao se cumprir (3.15), existem duas sucessoes tn e snconvergentes para b tais que ‖x(tn) − x(sn)‖ 6→ 0; mas entao a sucessao un definidapor

un =

tn+1

2se n e impar

sn2

se n e par

nao e de Cauchy, portanto tera de existir o limite procurado. 2


Teorema 3.5.2 Suponha-se que t0 ∈ ]α, β[ ⊆ R, que a funcao f : R1+n → Rn econtınua, limitada e localmente Lipschitziana na segunda variavel e que x : ]α, β[→ Rn

e solucao maximal do problema (3.2); entao ]α, β[ = R.

Dem. Demonstramos apenas que β = +∞.

Em primeiro lugar x e uniformemente contınua pois, se

∀(t, x) ∈ Ω ‖f(t, x)‖ ≤M,

entao para quaisquer s, t ∈ I

‖x(t)− x(s)‖ =

∥∥∥∥∫ t

s

x′(τ)dτ

∥∥∥∥≤

∣∣∣∣∫ t

s

‖f(τ, x(τ))‖dτ∣∣∣∣

≤ M |t− s|.

Portanto, se β ∈ R, x tem extensao contınua a ]α, β]; designemos esta extensao porx; pela continuidade de f e pelo II Teorema de Existencia e Unicidade 3.4.2 x (oux) seria prolongavel como solucao de (3.2) para a direita de β, contradizendo-se amaximalidade de I; assim β 6∈ R. 2

Um outro aspecto

Teorema 3.5.3 Suponha-se que Ω e um subconjunto aberto de R1+n, que β ∈ R e que∅ 6= ]α, β[ ⊆ R, que a funcao f : Ω → Rn e contınua e localmente Lipschitziana nasegunda variavel em Ω, e que x : ]α, β[ → Rn e solucao maximal do problema (3.2).Se f for limitada sobre o grafico de x, entao

limt→α

d((t, x(t)), fr(Ω)) = limt→β

d((t, x(t)), fr(Ω)) = 0. (3.16)

Dem. De modo analogo ao que vimos na demonstracao do teorema 3.5.2, podemosconcluir que x e uniformemente contınua e consequentemente tem extensao contınuax :]α, β] → Rn. Se (β, x(β) ∈ Ω, x nao e solucao maximal. Segue-se que (β, x(β) ∈fr(Ω) e vale (3.16). 2

3.5. SOLUCOES GLOBAIS 311

Teorema 3.5.4 Suponha-se que Ω e um subconjunto aberto de R1+n e que ∅ 6= ]α, β[ ⊆R, que a funcao f : Ω→ Rn e contınua e localmente Lipschitziana na segunda variavelem Ω, e que x : ]α, β[→ Rn e solucao maximal do problema (3.2).

1. Se α ∈ R e existe limx→α x(t) := x1 ∈ Rn, entao (α, x1) ∈ fr(Ω) elimt→α d((t, x(t)), fr(Ω)) = 0.

2. Se β ∈ R e existe limx→β x(t) := x2 ∈ Rn, entao (β, x2) ∈ fr(Ω) e tambemlimt→β d((t, x(t)), fr(Ω)) = 0.

3. Para qualquer subconjunto compacto K de Ω existe t ∈ ]α, β[ tal que (t, x(t)) 6∈K.

Dem. Comecemos por provar 3.

Se K ⊆ Ω e K e compacto, f e limitada em K portanto, se C := (t, x(t))| t ∈ ]α, β[ ⊆K, entao f e limitada sobre C; ora, como vimos na demonstracao do teorema 3.5.3,nestas condicoes ha uma solucao de (3.2) definida em ]α, β + ε[ para algum ε > 0 e xnao e maximal.

2. Se (β, x2) ∈ Ω, podemos aplicar a parte relevante da demonstracao da alıneaanterior (3) a um compacto adequado K := Br(β, x2) ⊆ Ω e concluir de novo que xnao seria maximal.

A afirmacao sobre a distancia resulta de limx→β(t, x(t)) = (β, x2).

1. Demonstra-se de forma analoga a de 2. 2

Fica ao cuidado do leitor demonstrar o seguinte:

Corolario 3.5.1 Suponha-se que Ω e um subconjunto aberto de R1+n e que ∅ 6=]α, β[ ⊆ R, que a funcao f : Ω → Rn e contınua e localmente Lipschitziana nasegunda variavel em Ω, e que x : ]α, β[ → Rn e solucao maximal do problema (3.2).Se β ∈ R ou limt→β d((t, x(t)), fr(Ω)) = 0 ou x nao e limitada em qualquer intervalo]β − ε, β[ (ε > 0).

Capıtulo 4

Variedades Diferenciaveis

4.1 Introducao

4.1.1 Generalidades

Seja X um conjunto nao vazio e x um elemento de X. Uma carta ou sistema decoordenadas de X em x com domınio V , notado domϕ, e uma aplicacao injectivaϕ : V ⊆ X → Rn tal que

1. x ∈ V

2. ϕ(V ) e aberto em Rn.

Um atlas de X e um conjunto A = (ϕα, Vα) : α ∈ A tal que

1. Todos os contradomınios de cartas estao contidos no mesmo espaco euclidianoRn.

2. ϕα : Vα → Rn e carta de X

3. ∪α∈AVα = X

4. Se (ϕα, Vα), (ϕβ, Vβ) ∈ A e Vαβ = Vα ∩Bβ 6= ∅, entao

(a) ϕα(Vαβ) e ϕβ(Vαβ) sao subconjuntos abertos de Rn.

(b) ϕα ϕ−1β : ϕβ(Vαβ)→ ϕα(Vαβ) e um homeomorfismo.

401

402 CAPITULO 4. VARIEDADES DIFERENCIAVEIS

Observacao: A primeira condicao da definicao anterior pode ser dispensada, ja quequaisquer dois conjuntos abertos, cada um em seu espaco euclidiano, nunca sao home-omorfos se as dimensoes destes sao diferentes (resultado que se encontra demonstradoem qualquer texto de Topologia Algebrica, por exemplo). No entanto, para evitardemasiados detalhes nas demonstracoes, resolvemos incluı-la.

As funcoes inversas de cartas dizem-se cocartas ou parametrizacoes. As composicoesde cartas com cocartas, ϕ ψ−1, dizem-se funcoes de transicao ou mudancas de coor-denadas. Uma variedade topologica e um par (X,A), em que A e um atlas maximalpara a relacao de inclusao, i. e., que nao seja subconjunto proprio de qualquer outroatlas.

Se todas as mudancas de coordenadas num atlas sao de classe C∞, o atlas diz-se declasse C∞. Uma estrutura diferenciavel em X e um atlas de X de classe C∞ e maximalpara a relacao de inclusao, i. e., que nao seja subconjunto proprio de qualquer outroatlas de classe C∞.

A existencia de atlas maximais e, por exemplo, consequencia do Lema de Zorn, quepassamos a enunciar e entenderemos como axioma, ja que e equivalente ao Axioma daEscolha da Teoria de Conjuntos.

Lema 4.1.1 (de Zorn) Se X e um conjunto parcialmente ordenado onde toda acadeia tem majorante, entao existe em X um elemento maximal.

Os dois proximos teoremas valem tambem para estruturas diferenciaveis, com asdemonstracoes adaptadas de modo natural, substituindo ”homeomorfismo”por ”difeo-morfismo”. Vejamos entao:

Teorema 4.1.1 Seja A um atlas do conjunto X e seja U o conjunto de todos os atlasde X que contem A, parcialmente ordenado pela relacao de inclusao ⊆. Existe em Uum atlas maximal.

Dem. E bastante simples verificar que se U = Uα| α ∈ A e um subconjunto de Utotalmente ordenado por ⊆, entao ∪U ∈ U , pelo que U e majorante de U . Pelo Lemade Zorn, U tem um elemento maximal para ⊆. 2

De facto, o atlas maximal referido neste teorema e unico. Tal pode ver-se medianteuma outra demonstracao do teorema anterior (4.1.1), feita sem recorrer ao Lema deZorn, e correspondente ao seguinte enunciado:

4.1. INTRODUCAO 403

Teorema 4.1.2 Seja A um atlas do conjunto X e seja U o conjunto de todos os atlasde X que contem A; ∪U e o atlas maximal que contem A.

Dem. Para fixar ideias, lembremos que se supoe ser sempre a mesma a dimensao doespaco euclidiano de projeccao, digamos que as cartas projectam para Rn.

Comecemos por mostrar que se A1 e A2 sao atlas de X que contem A, entao A1 ∪A2

ainda e um atlas de X que, obviamente, contem A.

Suponha-se que (φi, Ui) (i = 1, 2) sao cartas respectivamente em Ai (i = 1, 2) tais queU1 ∩ U2 6= ∅;

1. φi(U1∩U2) e aberto em Rn: tome-se y = φi(x) ∈ φi(U1∩U2) e seja (ϕ,U) ∈ A talque x ∈ U ; esta ultima carta esta em qualquer dos atlas Ai, pelo que ϕ(U ∩Ui) esubconjunto aberto do conjunto ϕ(U), tambem aberto, em Rn; consequentementeϕ(U1∩U∩U2) = ϕ(U1∩U)∩ϕ(U∩U2) e portanto ϕ(U1∩U∩U2) e aberto em ϕ(U);mas entao y ∈ φi(U1∩U ∩U2) = (φi ϕ−1)(ϕ(U1∩U ∩U2)) e este e subconjuntoaberto em Rn e contido em φi(U1∩U2); como y foi tomado arbitrariamente, esteultimo conjunto e de facto aberto em Rn.

2. φ1 φ−12 : φ2(U1∩U2)→ φ1(U1∩U2) e um difeomorfismo: e concerteza bijectiva;

mais uma vez, tome-se y = φi(x) ∈ φi(U1 ∩ U2) e seja (ϕ,U) ∈ A tal que x ∈ U ;esta ultima carta esta em qualquer dos atlas vcalai, pelo que as composicoesφ1 ϕ−1 : ϕ(U1 ∩U)→ φ1(U1 ∩U) e ϕ φ−1

2 : φ(U2 ∩U)→ ϕ(U2 ∩U) sao ambasdifeomorfismos; como φ1 φ−1

2 = (φ1 ϕ−1) (ϕ φ−12 ), podemos concluir como

se pretendia.

Sendo assim, as cartas dos atlas Ai sao compatıveis no sentido de 4 acima e A1 ∪ A2

e um atlas.

De facto, acabamos de ver que ∪U e um atlas de X, pois quaisquer dois elementosdesta uniao sao elementos de, quando muito dois, dos atlas parcelas. Aquela uniao enecessariamente atlas maximal unico contendo A, por definicao. 2

Uma variedade diferenciavel e um par (X,A), em que A e uma estrutura diferenciavelem X. Uma variedade diferenciavel dir-se-a de dimensao n se todos os contradomıniosde cartas da estrutura diferenciavel sao subconjuntos do espaco euclidiano Rn.

Exemplo 4.1.1 1. A Recta. Para cada u ∈ R2 \ 0 e cada p ∈ R2 , o conjunto

P := x ∈ R2| < x− p, u >= 0

e uma recta estruturavel por uma so carta que a cada elemento x de P fazcorresponder as coordenadas de x− p numa base fixada de u⊥.


2. A circunferencia S1. O conjunto

S1 := (x, y) ∈ R2| x2 + y2 = 1

e estruturavel por quatro cartas que sao restricoes de projeccoes π de R2 em R:

π2+1 (x, y) = x ((x, y) ∈ S1; y > 0) (4.1)

π2−1 (x, y) = x ((x, y) ∈ S1; y < 0) (4.2)

π2+2 (x, y) = y ((x, y) ∈ S1; x > 0) (4.3)

π2−2 (x, y) = x ((x, y) ∈ S1; x < 0) (4.4)

3. A Figura Oito. A Figura oito e o contradomınio da funcao f :]0, 2π[→ R2 dadapor

f(t) := (3sen(t),−3sen(2t))

e e estruturavel pela funcao inversa de f .

Exemplo 4.1.2 Superfıcies Uma variedade de dimensao dois diz-se uma superfıcie.

1. O Plano. Para cada u ∈ R3 \ 0 e cada p ∈ R3 , o conjunto

P := x ∈ R3| < x− p, u >= 0

e uma superfıcie que pode ser estruturada por uma so carta que a cada elementox de P faz corresponder as coordenadas de x− p numa base fixada de u⊥.

2. O cilindro C2.

Defina-se para cada i ∈ 1, 2, 3 e cada x := (x1, x2, x3) ∈ R3, xi como o parordenado de R2 que se obtem omitindo a coordenada i de x ∈ R3,

π3i (x) := xi ∈ R2,

C2 := (x1, x2, x3) ∈ R3| x21 + x2

2 = 1.

C2 admite uma estrura diferenciavel definida pelo atlas formado pelas cartasdefinidas, tambem para cada i = 1, 2, 3,

π3+i :≡ π3

i (x1,x2,x3)∈C2| xi>0, π3−i :≡ π3

i (x1,x2,x3)∈C2| xi<0

4.1. INTRODUCAO 405

3. A Esfera S2 e a superfıcie em R3 de equacao cartesiana

x2 + y2 + z2 = 1.

a projeccoes Estereograficas ΠN : S2\(0, 0, 1) → R2, dada por

ΠN(x, y, z) =

(x

1− z,

y

1− z

),

e ΠS : S2\(0, 0,−1) → R2, dada por

ΠS(x, y, z) = ΠN(x, y,−z),

definem um atlas de S2.

4. O Toro e a superfıcie T2 de R3 com equacao cartesiana

(x2 + y2 + z2 − 5)2 − 16(1− z2) = 0.

As funcoes inversas das duas parametrizacoes seguintes definem um atlas de T2.

φi(u, v) = ((2 + cosv)cosu, (2 + cosv) sinu, sin v) (4.5)

((u, v) ∈]iπ, iπ + 2π[2, i = 0, 1). (4.6)

5. A Fita de Mobius e a superfıcie M em e R3, contradomınio da funcaoφ : R×]− 1, 1[→ R3 dada por

φ(u, v) = ((2 + vcosu)cosu, (2 + vcosu) sinu, v sinu)

Exemplo 4.1.3

Como ”ignorar”alguns cortes e cantos.

1. Sejam X = R−0 × 1 ∪ R+ × −1 e ϕ(x, y) = x ((x, y) ∈ X).

(a) (ϕ,X) e um atlas de X.

(b) Sejam

ψ(x, y) = x3 ((x, y) ∈]− 5,+∞[×−1),ϕ1 = ϕ|R− × 1,

ψ1(x, y) = x13 ((x, y) ∈ X).


O conjunto (ϕ,X), (ψ, ] − 5,+∞[×−1), (ϕ1,R− × 1), (ψ1, X) eum atlas que define uma variedade topologica (X,A); na verdade, bastaconsiderar A o conjunto de todos as cartas (φ, U) de X compatıveis com asque acabamos de definir, no sentido de 4 acima, dispensando uma utilizacaomais explıcita do Lema de Zorn (de modo analogo ao que fizemos acimacom a segunda demonstracao do teorema 4.1.1).

(c) Nao existe qualquer estrutura diferenciavel que contenha o atlas que des-crevemos na alınea anterior porque ϕ ψ−1 :]− 125,+∞[→]− 5,+∞[ naoe um difeomorfismo.

2. Suponha agora que X e o grafico da funcao | · | : R→ R e ϕ e dada como acima.(ϕ,X) e tambem um atlas que faz de X uma variedade topologica.

Exercıcios 4.1.1 Suponha que m,n ∈ N e que φ : A ⊆ Rm → Rn e uma funcaodiferenciavel. Mostre que

1. Se m ≤ n e φ e imersao injectiva, entao (φ−1, φ(A) e um atlas de classe C∞ quefaz de φ(A) uma variedade diferenciavel de dimensao m, dita variedade para-metrizada (pela parametrizacao φ) (veja tambem o exemplo 5.1.1 adiante).

2. O grafico de φ := (x, φ(x)) ∈ Rm+n| x ∈ A admite a projeccaoπm+nm (x, y) := x ∈ Rm ((x, y) ∈ Rm+n) convenientemente restringida como

carta para um atlas de uma so carta para uma estrutura diferenciavel de di-mensao m (veja tambem o exemplo 5.1.1 adiante).

3. Variedades de Grassmann.

Seja δij o sımbolo de Kronecker

δij =

1 i = j

0 i 6= j.(i, j ∈ N)

Designe por ei (1 ≤ i ≤ n) os vectores da base canonica de Rn. Seja Gknk

(n, k ∈ N, n ≥ k) o conjunto dos sub-espacos vectoriais X de dimensao k deRn que admitem uma base cujos vectores sao da forma

vj(X) =∑k

i=1 δijei +∑n

i=k+1 aij(X)ei

(1 ≤ j ≤ k).

e defina

ϕ(X) = (a(k+1)1(X), · · · , an1(X), · · · , a(k+1)k(X), · · · , ank(X)) ∈ Rk(n−k).

(ϕ,Gknk) e um atlas para uma estrutura diferenciavel sobre Gk

nk.

4.1. INTRODUCAO 407

Por vezes e conveniente ter presente o seguinte

Teorema 4.1.3 Qualquer variedade de dimensao n admite

1. um atlas de cartas φi : Vi → φ(Vi) = Bri(0) ⊆ Rn (ri > 0; i ∈ I).

2. um atlas de cartas φi : Vi → φ(Vi) = B1(0) ⊆ Rn (i ∈ I).

3. um atlas de cartas φi : Vi → φ(Vi) = Rn (i ∈ I).

Dem. Suponha-se que A := (ϕj, Uj)| j ∈ J e um atlas de X. Cada

ϕj(Uj) = ∪k∈NBrkj(akj),

pelo que, definindo Ta(u) = u+ a, V(k,j) := (ϕj)−1(Brkj(akj), I := N× J , e

φi := T−akj ϕj : Vi → Brkj(0)

B := (φi, Vi)| i ∈ I e um atlas para o numero 1. Quanto as restantes afirmacoes,basta compor apropriadamente com homotetias de razao 1

riou com x 7→ x

1−‖x‖2 . 2

De ora em diante, o termo variedade e considerado sinonimo de variedade diferenciavele subentenderemos uma estrutura diferenciavel, a menos que seja necessario referi-la.

Exercıcios 4.1.2

1. Suponha que X e Y sao duas variedades diferenciaveis de dimensao finita, respec-tivamente m e n. Demonstre que X × Y e variedade diferenciavel de dimensaom+ n.

2. Orientabilidade Seja X uma variedade. Diz-se que X e orientavel, se admiteum atlas em que dadas quaisquer duas cartas ϕ e ψ cujos domınios se intersectem,se tem det(Jac(ϕ ψ−1

ψ(x))) > 0 sempre que definido. Mostre que

(a) O grafico de uma funcao diferenciavel f : A ⊆ Rk → Rp e variedadeorientavel.

(b) Qualquer variedade parametrizada e orientavel.


4.1.2 Topologia em variedades

Teorema 4.1.4 O conjunto dos domınios de cartas de uma estrutura diferenciavel noconjunto X e base para uma topologia.

Dem. Sejam E uma estrutura diferenciavel em X e β o conjunto dos domınios dascartas de E .

Como E e atlas de X, X = ∪β. Por outro lado, como E e maximal, se U, V ∈ β tambemU ∩ V ∈ β, porque e domınio de cartas que sao restricoes de outras; segue-se que βverifica a propriedade de interseccao finita, sendo portanto uma base de topologia. 2

Nestes termos

Teorema 4.1.5 Uma variedade de dimensao n e um espaco topologico localmentehomeomorfo a Rn, cobrıvel com domınios de homeomorfismos locaisϕα : Vα ⊆ X → ϕ(Vα) ⊆ Rn e tal que as composicoes de homeomorfismos locaisϕα ϕ−1

β : ϕβ(Vαβ)→ ϕα(Vαβ) sao difeomorfismos (de classe C∞).

E suporemos sempre cada variedade munida da topologia induzida pela estruturadiferenciavel. O resultado seguinte e importante.

Teorema 4.1.6 Toda a variedade (diferenciavel ou nao) e um espaco topologico sepa-rado.

Dem. (do teorema 4.1.6). Este teorema e corolario do teorema 1.1.5. Como cadadomınio de carta e, por definicao, homeomorfo a algum (subconjunto aberto num)espaco euclidiano e os domınios de cartas que contem um dado elemento formam umabase de vizinhacas do elemento, a topologia induzida pela estrutura diferenciavel eregular e localmente separada. Podemos entao utilizar o teorema 1.1.5. 2

Exercıcios 4.1.3 1. Suponha que X, Y e X ∩ Y sao variedades orientaveis com amesma dimensao e tambem que a terceira e conexa. Mostre que X ∪ Y e umavariedade orientavel.

2. Mostre que a variedade topologica do exemplo 4.1.3.2 nao e variedade difer-enciavel.

Exercıcios 4.1.4 No que se segue, classes de equivalencia serao designadas por [ · ]como e habitual.

4.1. INTRODUCAO 409

1. A Garrafa de Klein K como quociente de um rectangulo.

Seja R = [0, 2π]2 ⊆ R2.

Defina a relacao de equivalencia ≡⊆ R2 por: (s, t) ≡ (u, v) sse ocorre pelomenos um dos casos seguintes.

(s, t) = (u, v) ou (t ∈ 0, 2π& s = u) ou (u ∈ 0, 2π& (s, t) = (2π−u, 2π−v)).

Por definicaoK := R/≡ e p(x) := [x] (x ∈ R)

Considere as definicoes de conjuntos e funcoes seguintes.

U := p(]0, 2π[2) & V := p(]0, 2π[×[0, 2π])

W := p([0, π[×]0, 2π[ ∪]π, 2π]×]0, 2π[)

Z := p(R\ (π × [0, 2π] ∪ [0, 2π]× π)

φ([g]) := g ([g] ∈ U) & ψ([(u, v)]) := euπ (cosv, sin v)) ([(u, v)] ∈ V )

θ([(u, v)]) :=

evπ (cosu, sinu) 0 ≤ u < π

e2π−vπ (cosu, sinu) π < u ≤ 2π

[(u, v)] ∈ W

τ([(u, v)]) :=

(u, v) (u, v) ∈ [0, π[2

(u− 2π,−v) (u, v) ∈]π, 2π]× [0, π[

(u− 2π, 2π − v) (u, v) ∈]π, 2π]2

(u, v − 2π) (u, v) ∈ [0, π[×]π, 2π]

[(u, v)] ∈ Z

A = (φ, U), (ψ, V ), (θ,W ), (τ, Z)

(a) Verifique que A e um atlas para uma estrutura diferenciavel em K.

(b) Considere K munida da estrutura diferenciavel gerada por A, prove que

i. a funcao p e contınua,

ii. K e compacta.

2. Sera possıvel definir um atlas de S2 com uma so carta?

3. Mostre que qualquer variedade compacta admite um atlas finito, mas a afimacaorecıproca nao e verdadeira.


4.1.3 Funcoes diferenciaveis

Definicao 4.1.1 Dadas variedades X e Y , uma funcao f : X → Y diz-se dife-renciavel se a representacao com qualquer par de cartas, f : [a, b] ⊆ R → R, fordiferenciavel.

Como as mudancas de coordenadas numa variedade sao diferenciaveis, a diferenciabi-lidade ou nao de uma funcao pode ser verificada apenas com um par de cartas. Note-seque as proprias cartas sao funcoes diferenciaveis.

Teorema 4.1.7 Dadas variedades X, Y e Z e funcoes f : X → Y e g : Y → Z,

1. Se f e diferenciavel, e contınua.

2. Se f e g sao diferenciaveis, a composicao g f e diferenciavel.

Dem. 1. Suponha-se que f e diferenciavel e que f := f : [a, b] ⊆ R → R e umarepresentacao de f . Como f e diferenciavel em ϕ(x), tambem e contınua; ora ϕ eψ sao homeomorfismos locais e f = ψ−1 f ϕ, portanto f e localmente contınua,portanto e contınua .

2. A equacao seguinte mostra que a representacao de g f em ϕ e θ e composicao deduas funcoes diferenciaveis a saber: as representacoes de f em ϕ e ψ de g em ψ e θ.

θ (g f) ϕ−1 = (θ g ψ−1) (ψ f ϕ−1).

2

Se uma funcao entre variedades f : X → Y diferenciavel e bijectiva e a funcao inversatambem e diferenciavel, diz-se que e um difeomorfismo; duas variedades dizem-sedifeomorfas se entre elas existe um difeomorfismo.

Exercıcios 4.1.5

1. Prove que se a variedade X for conexa entao e conexa por arcos no sentidoem que para quaisquer x, y ∈ X existe uma funcao contınua γ : [0, 1] → Xtal que γ(0) = x e γ(1) = y.

4.2. FIBRADO TANGENTE 411

Exercıcios 4.1.6 K como quociente do Toro T2.

Defina a relacao de equivalencia∼ e a correspondente projeccao canonica q : T2 → T2/∼por

x ∼ y sse x = ±y; q(x) := x,−x = [x] (x, y ∈ T2).

Considere as co-cartas (U(i,j), φ(i,j)) de T2 definidas por

(i, j) ∈ 0, 1, 2, 3 × 0, 1 := I

U(i,j) := ]iπ

2, iπ

2+ π[×]jπ, (j + 2)π[

φ(i,j)(u, v) := ((2 + cosv)cosu, (2 + cosv) sinu, sin v) ((u, v) ∈ U(i,j)).

Por definicao G := T2/∼ munido da estrutura diferenciavel gerada pelo atlas associadoa famılia de co-cartas B := (q φ(i,j), U(i,j))| (i, j) ∈ I.

1. Mostre que os elementos de B sao de facto co-cartas cujas funcoes inversas erespectivos domınios constituem um atlas de G.

2. Mostre que K e G sao difeomorfas.

4.2 Fibrado tangente

Uma curva na variedade X e uma funcao diferenciavel γ :]a, b[⊆ R→ X. Diremos quea curva γ passa por x ∈ X se existe t0 ∈]a, b[ tal que γ(t0) = x. Duas curvas γ0, γ1 quepassam por x – digamos que γ0(t0) = x = γ1(t1) – dizem-se equivalentes se para umacarta ϕ em x – e consequentemente para todas – se tem (ϕ γ0)

′(t0) = (ϕ γ1)′(t1).

Para cada x ∈ X, fica assim definida uma relacao de equivalencia ∼ no conjuntoΓ(x) das curvas que passam por x. Repare-se que qualquer curva que passe por x eequivalente a uma que verifica γ(0) = x: basta tomar t 7→ γ(t + t0) se γ(t0) = x;assim, salvo referencia em contrario, suporemos as classes de equivalenciarepresentadas por curvas que verificam γ(0) = x.

Definicao 4.2.1 O conjunto cociente Γ(x)/∼ diz-se o espaco tangente a X no pontox e designa-se por TxX. Os elementos de TxX designam-se por vectores tangentesa X em x.


Podemos definir um produto por escalares em TxX do seguinte modo:

Sejam [γ] um vector tangente a X em x e r um numero real. Por definicao

r[γ] = [t 7→ γ(rt)] (4.7)

Seja agora [β] outro elemento de TxX. Seja ainda ϕ uma carta em x. Ponha-seu = (ϕ γ)′(0), v = (ϕ β)′(0), s(t) = ϕ(x) + t(u+ v).

Por definicao[γ] + [β] = [ϕ−1 s] (4.8)

Teorema 4.2.1 O conjunto TxX, munido do produto por escalares, dado pela equacao(4.7), e da soma, dada pela equacao (4.8), e um espaco vectorial real de dimensao n.De facto tem-se tambem:

1. Para cada carta ϕ em x, a funcao Φx : TxX → Rn dada por Φx([γ]) = (ϕγ)′(0)e um isomorfismo.

2. Se ϕ e ψ sao cartas em x, com correspondentes isomorfismosΦx,Ψx : TxX → Rn, entao

Ψx([γ]) = D(ψ ϕ−1)ϕ(x)(Φx([γ])) (4.9)

Dem. I. As operacoes estao bem definidas. Suponhamos que γ e β sao curvas equi-valentes tais que γ(0) = β(0) = x, que r ∈ R e que ϕ e uma carta em x. Defina-seγ(t) = γ(rt) e β(t) = β(rt). Tem-se

(ϕ γ)′(0) = r(ϕ γ)′(0) = r(ϕ β)′(0) = (ϕ β)′(0).

Quanto a soma, basta observar que esta definida apenas a custa (de cartas em x e) dederivadas em zero e estas sao identicas para curvas equivalentes.

II. (TxX,+) e modulo sobre R. A associatividade e a comutatividade sao deduzidastrivialmente das mesmas propriedades da adicao de vectores em Rn. E tambem facilverificar que

0 = [t 7→ x] & − [γ] = [t 7→ γ(−t)] & 1[γ] = [γ].

As restantes propriedades resultam de forma trivial das correspondentes para Rn.

III. Isomorfismos. Para provar 1, e suficiente mostrar que cada funcao Φx e bijectiva,pois as definicoes (4.7) e (4.8) estao apresentadas de modo a garantir a linearidade. Abijectividade resulta de Φx ser aplicacao com inversa u 7→ [ϕ−1 (t 7→ ϕ(x) + tu)].

4.2. FIBRADO TANGENTE 413

Para provar 2, observe-se o seguinte:

D(ψ ϕ−1)ϕ(x)(Φx([γ])) = D(ψ ϕ−1)ϕ(x)((ϕ γ)′(0)) = (ψ γ)′(0) = Ψx([γ]).

2

Dada uma variedade X de dimensao n, defina-se

TX =⋃x∈X

x × TxX (1) (4.10)

e para cada carta de X, ϕ : V → Rn,

V =⋃x∈V

x × TxX se V e aberto em X.

ϕ(x, u) = (ϕ(x),Φx(u)) se u ∈ TxX & x ∈ V. (4.11)

Repare-se que cada ϕ : V → R2n e uma carta de TX, tendo-se ϕ(V ) = ϕ(V )× Rn.

De facto, vale o seguinte teorema:

Teorema 4.2.2 Se X e uma variedade de dimensao n e A = (ϕα, Vα) : α ∈ A euma estrutura diferenciavel, entao TX admite tambem o seguinte atlas dedimensao 2n:

A = (ϕα, Vα) : α ∈ A (4.12)

Dem. Todas propriedades de atlas sao simples de verificar. A unica talvez menosobvia tem a ver com as funcoes de transicao; quanto a isso observe-se que

(a, u) = (ϕ(x), u) ∈ ϕ(V )× Rn 7→ (x,Φ−1x (u))

define a funcao inversa de ϕ e, consequentemente, com 2 em 4.2.1,

ψ ϕ−1(a, u) = (ψ ϕ−1(a), D(ψ ϕ−1)a(u)).

2

Designa-se TX munido da estrutura diferenciavel gerada pelo atlas A por fibradotangente da variedade X de estrutura diferenciavel A.

1Na verdade a notacao x × TxX e um artifıcio para tornar os espacos tangentes efectivamentedisjuntos e esquece-la-emos frequentemente, ja que o ındice em TxX e ”disjuntor”suficiente.


Exercıcios 4.2.1

1. Considere a circunferencia S1 = (x, y) ∈ R2| x2 + y2 = 1 munida da estruturadiferenciavel gerada pelas projeccoes π2

1 e π22 restringidas as semi-circunferencias

contidas em cada semiespaco de abcissas ou de ordenadas com sinal fixo (exemplo4.1.1). Mostre que o fibrado tangente TS1 e difeomorfo ao cilindro C2.

2. Mostre que o fibrado tangente da figura oito (exemplo 4.1.1) e difeomorfo a R2.(SUG.: comece por mostrar que e difeomorfo a ]0, 2π[×R).

4.3 Funcoes diferenciaveis II

Qualquer funcao diferenciavel f : X → Y induz uma outra df : TX → TY do seguintemodo

df(ν) = dfx([γ]) = [f γ] se x ∈ X & ν = [γ] ∈ TxX (4.13)

A funcao df designa-se por diferencial de f .

Uma funcao diferenciavel naturalmente definida e a projeccao canonica πX : TX → Xdada por

πX(u) = x se u ∈ TxX (4.14)

e tem-se o seginte diagrama comutativo.

TXdf−−−→ TY

πX

y yπYX −−−→

fY

Teorema 4.3.1 (da Funcao Composta) Se f : X → Y e g : Y → Z sao funcoesdiferenciaveis entre as variedades X, Y e Z, entao g f : X → Z e diferenciavel e

d(g f)x = dgf(x) dfx

Dem. Tomem-se x ∈ X e cartas ϕ em x, ψ em f(x) e θ em g(f(x)). Quanto adiferenciabilidade, recorde-se o teorema 4.1.7.

4.3. FUNCOES DIFERENCIAVEIS II 415

Tome-se um vector ν = [γ] ∈ TxX. Tem-se

d(g f)x(ν) = [(g f) γ] = [g (f γ)]

= dgf(x)([f γ]) = dgf(x)(dfx(ν))

= (dgf(x) dfx)(ν).

2

Definicao 4.3.1 Sejam X e Y variedades diferenciaveis e f : X → Y uma funcaodiferenciavel e x ∈ X. f diz-se

imersao em x se dfx e injectiva.

submersao em x se dfx e sobrejectiva.

difeomorfimo em x se dfx e bijectiva.

difeomorfimo local se for difeomorfismo em qualquer x ∈ X.

f sera uma imersao ou uma submersao se o for em qualquer ponto de X e dir-se-a umdifeomorfismo se for simultaneamente bijectiva e difeomorfismo local (compare com adefinicao de difeomorfismo da pag. 410); f diz-se um mergulho se for uma imersaoe f(X) for subespaco topologico de Y i.e. se f : X → f(X) e um homeomorfismoquando se supoe f(X) munido da topologia induzida por Y .

Exercıcios 4.3.1 1. O Plano Projectivo Real P2

Defina

sgn(t) :=

1 t > 0

−1 t < 0(t ∈ R \ 0).

Defina tambem, para cada i ∈ 1, 2, 3 e cada x := (x1, x2, x3) ∈ R3

xi como o par ordenado de R2 que se obtem omitindo a coordenada i de x ∈ R3,

π2i (x) := xi ∈ R2, πi(x) := xi,

X como o conjunto de todas as rectas de R3 que passam na origem (0, 0, 0),


Ui := r ∈ X| r ∩ π−1i (R \ 0) 6= ∅, ϕ1(r) :=

(x2

x1

,x3

x1

)(x ∈ r ∈ U1),

ϕ2(r) :=

(x1

x2

,x3

x2

)(x ∈ r ∈ U2), ϕ3(r) :=

(x1

x3

,x2

x3

)(x ∈ r ∈ U3)

A := (ϕi, Ui)| i = 1, 2, 3

Considere a esfera S2 := x ∈ R3| ‖x‖ = 1 e defina, tambem para cadai ∈ 1, 2, 3 e cada x ∈ S2

antp(x) := x, −x Y := antp(x)| x ∈ S2B+i := x ∈ S2| xi > 0, B−i := x ∈ S2| xi < 0

Vi := antp(x)| x ∈ B+i ∪B−i

ψi(y) := π2i (sgn(xi)x) se y = antp(x) ∈ Vi

B := (ψi, Vi)| i = 1, 2, 3

Mostre que

(a) A e B sao atlas de classe C∞ respectivamente de X e de Y

(b) Mostre que X e Y sao variedades difeomorfas quando munidas das estru-turas diferenciaveis geradas respectivamente por A e B.

NOTA:X e Y sao duas das representacoes habituais do Plano ProjectivoReal P2.

(c) Defina

f(p) := (x21 − x2

2, x1x2, x1x3, x2x3) (p = antp(x) ∈ P2)

Mostre que f : P2 → R4 (esta bem definida e) e um mergulho.

Um primeiro resultado a ter em conta:

Teorema 4.3.2 Sejam X e Y variedades diferenciaveis, f : X → Y uma funcaodiferenciavel com representacao f : [a, b] ⊆ R→ R em x ∈ X e ν ∈ TxX.

Ψf(x)(dfx(ν)) = D(f : [a, b] ⊆ R→ R)ϕ(x)(Φx(ν)) (4.15)

4.3. FUNCOES DIFERENCIAVEIS II 417

Dem. Suponha-se que ν = [γ]. Tem-se

Ψf(x)(dfx(ν)) = Ψf(x)([f γ]) = (ψ (f γ))′(0)

= D(ψ f ϕ−1)ϕ(x)((ϕ γ)′(0))

= D(f : [a, b] ⊆ R→ R)ϕ(x)(Φx(ν)).

2

Este teorema permite caracterizar dfx por meio da matriz jacobiana de uma repre-sentacao f : [a, b] ⊆ R→ R. E oportuno recordar que a caracterıstica de uma matrizcujos coeficientes sejam funcoes reais contınuas da(s) mesma(s) variavel (variaveis)nao diminui em alguma vizinhanca de qualquer ponto do domınio de continuidade, emparticular se a caracterıstica e maxima em algum ponto, entao e constante — portantomaxima — em alguma vizinhanca desse ponto, pois esta propriedade e fundamentalno que se segue. E valem os teoremas seguintes.

Teorema 4.3.3 Sejam X e Y variedades diferenciaveis. Uma funcao diferenciavelf : X → Y e imersao, submersao ou difeomorfismo em x ∈ X se e so se o mesmoacontece com alguma representacao f : [a, b] ⊆ R→ R em ϕ(x).

Dem. Fica a cargo do leitor.

Teorema 4.3.4 Sejam X e Y variedades diferenciaveis. Se a funcao diferenciavelf : X → Y e imersao, submersao ou difeomorfismo em x ∈ X, entao tem a mesmapropriedade em todos os pontos de alguma vizinhanca de x.

Dem. Sejam m e n respectivamente as dimensoes de X e de Y . Ora, pelo teoremaanterior (4.3.3), f e imersao, submersao ou difeomorfismo em x se e so se respectiva-mente a matriz jacobiana em ϕ(x) de alguma representacao f : [a, b] ⊆ R → R, talque x ∈ domϕ e f(x) ∈ domψ, tem caracterıstica m, caracterıstica n ou caracterısticam e m = n, portanto o mesmo acontece em alguma vizinhanca U de ϕ(x); mas entaoa caracterizacao vale em ϕ−1(U) que e uma vizinhanca de x. 2

Teorema 4.3.5 (da Submersao) Se f : X → Y e submersao, entao e aberta.

Dem. Qualquer representacao f : [a, b] ⊆ R → R e uma submersao (teorema 4.3.3),pelo que, a menos de difeomorfismos, e uma projeccao (teorema 2.4.1). Ora as pro-jeccoes sao aplicacoes abertas, portanto pode concluir-se que f e localmente abertalogo e aberta. 2


Teorema 4.3.6 (da Imersao) Seja f : X → Y uma imersao.

1. f localmente injectiva.

2. Se f e injectiva e X e compacta, entao f e um mergulho.

Dem. (1.) Qualquer representacao f : [a, b] ⊆ R→ R e uma imersao (teorema 4.3.3),pelo que, a menos de difeomorfismos, e uma injeccao canonica (teorema 2.5.1). Oraas injeccoes sao aplicacoes injectivas, portanto pode concluir-se que f e localmenteinjectiva.

(2.) Como f e contınua, f(X) e subconjunto compacto de Y ; mas entao, pelo teorema1.1.7, f : X → f(X) e homeomorfismo e f e mergulho. 2

Teorema 4.3.7 (da Funcao Inversa) Se a funcao f : X → Y e diferenciavel e adiferencial dfx e um isomorfismo, entao f e difeomorfismo local em x.

Dem. Analoga as demonstracoes anteriores em face do teorema 2.2.1. 2

Alertamos o leitor para o facto de um mesmo conjunto poder admitir estruturas dife-renciaveis diferentes, definindo-se variedades com o mesmo suporte que podem ou naoser difeomorfas: por exemplo, em 1982, W. Thurston mostrou que R4 admite duas eso duas estruturas diferenciaveis nao difeomorfas.

Exemplo 4.3.1 Os atlas A := (id,R) e T := ((·)3,R) definem estruturas difer-enciaveis diferentes em R, digamos respectivamente E1 e E2. Defina-se X = (R, E1) eY = (R, E2). A funcao f ≡ t 7→ 3

√t : X → Y e um difeomorfismo.

4.4 Estruturas Riemannianas

Um campo vectorial em X e uma aplicacao diferenciavel χ : V ⊆ X → TX tal queπ χ(x) = x (x ∈ V ), sendo V algum subconjunto aberto de X.

Definicao 4.4.1 Uma metrica Riemanniana ou estrutura Riemanniana navariedade X, e uma funcao < ·, · >• que associa a cada x ∈ X um produto escalarem TxX de modo que sejam quais forem os campos vectoriais χ1, χ2 cujos domıniostenham interseccao nao vazia V , funcao x 7→< χ1(x), χ2(x) >x: V → R e diferen-ciavel. Uma variedade munida de uma metrica Riemanniana diz-se uma variedadeRiemanniana.

4.4. ESTRUTURAS RIEMANNIANAS 419

Exemplo 4.4.1 1. Uma sub-variedade X de Rn tem uma estrutura riemanniananatural induzida pelo produto escalar < ·, · > de Rn:

< [α], [β] >x=< α′(0), β′(0) > ([α], [β] ∈ TxX).

2. Se X e variedade parametrizada, i. e., admite um atlas com uma so cartaϕ : X → Rn, e < ·, · > designa o produto escalar usual de Rn, pode definir-se uma estrutura riemanniana por

< [α], [β] >x=< (ϕ α)′(0), (ϕ β)′(0) > ([α], [β] ∈ TxX).

Exercıcios 4.4.1 Suponha que X e sub-variedade de Rn com a estrutura Riemanni-ana induzida como no exemplo 4.4.1. Mostre que se existe uma aplicacao diferenciavelf : X → Rn\0 tal que f(x) e ortogonal a TxX, seja qual for x ∈ X, entao X eorientavel. (Sug.: utilize a funcao f para construir um atlas de X).

Uma subvariedade de uma variedade Riemanniana X, dir-se-a sub-variedade Rie-manniana se se suposer munida da estrutura Riemanniana induzida pela de X (con-sidere o teorema 4.7.2).

Sobre a existencia de metricas Riemannianas, veja-se a subseccao 4.5.3.

Teorema 4.4.1 Seja < ·, · >• uma metrica Riemanniana na variedade X. Sejatambem ϕ : V → Rn uma carta de X. Existem funcoes reais diferenciaveisgij : V → R (1 ≤ i, j ≤ n) tais que

1. As matrizes [gij] sao simetricas e definidas positivas.

2. Para quaisquer u, v ∈ TxX e x ∈ V ,

< u, v >x = (Φx(u))T [gij(x)]Φx(v) (4.16)

Dem. Basta considerar a base canonica ek : 1 ≤ k ≤ n de Rn e definir

gij(x) = < Φ−1x (ei),Φ

−1x (ej) > .

2

As funcoes gij do teorema anterior dizem-se os coeficientes da metrica na carta ϕ.

Suponhamos fixada uma metrica Riemanniana < ·, · >. Em cada espaco TxX ficadefinida uma norma por

‖u‖x =√< u, u >x. (4.17)


E temos tambem um processo de calcular comprimentos de curvas. Dada uma curvaγ :]a, b[→ X

1. Define-se a derivada γ de γ por

γ(t) = Φ−1γ(t)(ϕ γ)′(t) (t ∈]a, b[). (4.18)

2. Dados c, d tais que a < c < d < b, define-se o comprimento de γ de c a d (ou deγ(c) a γ(d)) como sendo o numero lcd dado por

lcd(γ) =

∫ d

c

‖γ(t)‖γ(t)dt

Uma funcao diferenciavel e bijectiva entre variedades Riemannianas, f : X → Y ,diz-se uma isometria se verificar

< dfx(u), dfx(v) >f(x) = < u, v >x (x ∈ X; u, v ∈ TxX) (4.19)

Exercıcios 4.4.2 Mostre que uma isometria entre variedades Riemannianas preservao comprimento das curvas, i. e., se f : X → Y e isometria

lf(c)f(d)(f γ) = lcd(γ).

4.5 Particoes da unidade II

4.5.1 Funcoes de suporte compacto

Teorema 4.5.1 Para qualquer n ∈ N, existem funcoes η : Rn → R de classe C∞ esuporte compacto.

Dem. Sigam-se os seguintes passos:

1. As funcoes ηi (i = 0, 1, 2, 3) dadas pelas condicoes seguintes sao de classe C∞.

η0(t) =

0 t ≤ 0

e−1t 0 < t

η1(t) = η0(1− t2)

η2(t) =1∫∞

−∞ η1(s)ds

∫ t

−∞η1(s)ds

η3(t) = η2(5− 2t

3)

4.5. PARTICOES DA UNIDADE II 421

2. A funcao η dada por

η(x) = η3(‖x‖2) (x ∈ Rn)

e de classe C∞, vale 1 se ‖x‖ ≤ 1, vale 0 se ‖x‖ ≥ 2, verifica η(Rn) = [0, 1] esupp(η) = B2(0).

2

Uma forma mais rapida de obter o mesmo resultado e ilustrada no exercıcio seguinte.

Exercıcios 4.5.1 Prove as afirmacoes seguintes sobre a funcao f : R→ R dada por

f(t) =

0 |t| ≥ 1

et2

t2−1 |t| < 1.

1. f e de classe C∞ em R.

2. supp(f) = [−1, 1].

3. f(R) = [0, 1].

4. Se η(x) = f(‖x‖) (x ∈ Rn),

(a) η e de classe C∞ em Rn.

(b) supp(η) = B1(0).

(c) η(Rn) = [0, 1].


Repare-se que podemos demonstrar

Teorema 4.5.2 Sejam quais forem r > 0 e a ∈ Rn, existe uma funcao η(r,a) : Rn → Rtal que

1. η(r,a) e de classe C∞.

2. supp(η(r,a)) ⊆ B2r(a)

3. η(r,a)(Rn) ⊆ [0, 1].

Podendo ainda exigir-se que

i. η(r,a)(Rn) = [0, 1],

ii. η(r,a)(Br(a)) = 1.

Dem. Tome-se uma funcao η dada, quer em 2, quer no exercıcio 4.5.1 acima, edefina-se

η(r,a)(x) = η

(1

r(x− a)

)(x ∈ Rn).

As condicoes 1, 2, 3 e i ficam garantidas em qualquer dos casos. A condicao ii garante-se escolhendo por 2. 2

4.5.2 Paracompacidade

O teorema seguinte pode ser estudado em [1, Cap. 3].

Teorema 4.5.3 Uma variedade diferenciavel X e paracompacta se e apenas se todaa componente conexa de X admite uma base numeravel para a topologia induzida.

Em particular

Exemplo 4.5.1 As sub-variedades de espacos euclidianos sao paracompactas.

Uma particao da unidade numa variedade dir-se-a diferenciavel se todas as funcoesforem diferenciaveis.

4.5. PARTICOES DA UNIDADE II 423

Teorema 4.5.4 Toda a variedade paracompacta admite uma particao da unidade declasse C∞, subordinada a famılia de domınios de cartas de um subatlas de qualqueratlas.

Dem. Seja A um atlas da variedade X. Para cada x ∈ X escolha-se uma cartaϕx : Ux → Rn tal que x ∈ Ux e tome-se um numero positivo rx tal que

Bx = B2rx(ϕx(x)) ⊆ ϕx(Ux).

De seguida considere-se a cobertura de X por abertos,

C = Cx = ϕ−1x (Bx)| x ∈ X.

Como X e paracompacta, C tem uma subcobertura localmente finita, digamos

C∧ = Cxi | i ∈ I.

Escolhendo η(r,ϕ(xi)) pelo teorema 4.5.2, defina-se

αi(x) = η(r,ϕ(xi))(ϕxi(x)) (x ∈ Uxi ; i ∈ I).

Finalmente, seja

ηi(x) =αi(x)∑i∈I αi(x)

(x ∈ Uxi ; i ∈ I).

A famılia ηi| i ∈ I e uma particao da unidade nas condicoes requeridas. 2

4.5.3 Existencia

Teorema 4.5.5 Toda a variedade diferenciavel paracompacta admite uma estruturaRiemanniana.

Dem. Seja ηi| i ∈ I uma particao da unidade subordinada a um atlasA = (ϕi, Ui)| i ∈ I da variedade X, de acordo com o teorema 4.5.4. Para cadai ∈ I, o conjunto aberto Ui e uma (sub)variedade parametrizada (de X) por ϕ−1

i :ϕi(Ui) → Ui, portanto admite uma estrutura riemanniana digamos < ·, · >i• (videexemplo 4.4.1).

A funcao dada por

x 7→∑i∈I

ηi(x) < ·, · >ix

define uma estrutura riemanniana em X. 2

NOTA: De ora em diante consideraremos que as variedades sao conexas e paracom-pactas.


4.6 O plano de Lobachevsky

Seja X o semiplano superior de R2 – X = (x, y) ∈ R2 : y > 0 – como sub-variedadetrivial de R2, munido da metrica Riemanniana cujos coeficientes na carta canonica sao

g11(x, y) = g22(x, y) =1

y2& g12 ≡ g22 ≡ 0

Lema 4.6.1 Se σ :]a, b[→ X e uma curva, a < c < d < b, 0 < θ < τ , σ(c) =(0, θ), σ(d) = (0, τ) e γ(t) = (0, t), entao

lθτ (γ) ≤ lcd(σ). (4.20)

Dem. Designe-se σ(t) = (x(t), y(t)). Tem-se

lcd(σ) =

∫ d

c

‖σ(t)‖σ(t)dt =

∫ d

c

√(x′)2(t) + (y′)2(t)

y(t)dt

≥∫ d

c

|y′(t)|y(t)

dt

=

∫ τ

θ

1

sds = lθτ (γ).

Lema 4.6.2 As transformacoes de Mobius da forma

Mabcd ≡ z 7→ az + b

cz + d

em que a, b, c, d ∈ R e ad− bc = 1 sao isometrias de X (em X).

Dem. Bastam alguns calculos rotineiros mas, de certo modo fastidiosos, que podemser facilitados observando que uma transformacao de Mobius e uma composicao detranslacoes, homotetias e inversoes, que sao tambem transformacoes de Mobius e acondicao ad− bc = 1 garante a invariancia dos produtos escalares:

az + b

cz + d=

adz + b

dse c = 0

ac

+ (b− adc

) 1cz+d

se c 6= 0.

O estudo de cada uma das transformacoes em particular e mais simples. Observe-seque uma das isometrias que nos interessa e z 7→ −1

z. 2

4.6. O PLANO DE LOBACHEVSKY 425

Tem-se tambem que

Lema 4.6.3 Dados quaisquer dois pontos p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2) ∈ X existe umasequencia (a, b, c, d) tal que p1, p2 ∈Mabcd(0 × R).

Dem. Comece-se por observar que

• z 7→ z + 12

transforma o semi-eixo positivo dos yy na recta de equacao x = 12,

• z 7→ −1z

transforma a recta de equacao x = 12

na semi-circunferencia de equacao

(x− 1)2 + y2 = 1 com y > 0,

• mediante homotetias apropriadas, esta semi-circunferencia pode ser transfor-mada em qualquer outra no semi-plano superior, com centro no eixo dos xx.

Finalmente tome-se em atencao que, o centro da semi-circunferencia superior definidapor p1 e p2 e dado por

y = 0 & x =x2

2 − x21 + y2

2 − y21

2(x2 − x1)

e o raio e √(x1 −

x22 − x2

1 + y22 − y2

1

2(x2 − x1)

)2

+ y21.

2

Teorema 4.6.1 As linhas de mais curta distancia em X sao os segmentos de rectaperpendiculares ao eixo dos xx e os arcos de semi-circunferencia de centro no eixo dosxx.

Dem. Basta utilizar o lema anterior (4.6.3): dados dois pontos em X a distanciaentre eles e a mesma que a distancia entre os que lhes correspondem no semi-eixopositivo dos yy, o que corresponde a um deslocamento sobre um segmento de rectaperpendicular ao eixo dos xx, se os pontos tem a mesma abcissa, ou sobre um arco decircunferencia com centro no eixo dos xx, se os pontos tem abcissas diferentes. 2


4.7 Sub-variedades

Definicao 4.7.1 A variedade X diz-se sub-variedade da variedade Y se X ⊆ Y ea inclusao inc : X → Y ≡ x 7→ x e um mergulho.

Exercıcios 4.7.1 Qualquer subconjunto aberto U de uma variedade X munido dasrestricoes a U de cartas de X e sub-variedade de X. Em particular, qualquer domıniode carta e uma sub-variedade.

De um modo geral, as dimensoes das sub-variedades sao menores ou iguais as davariedade ambiente, mas podemos ser mais precisos.

Teorema 4.7.1 Quando n < m, X ⊆ Y , e X e Y sao variedades respectivamente dedimensao n e dimensao m, as condicoes seguintes sao equivalente

1. X e sub-variedade de Y .

2. A topologia de X e induzida pela de Y e para cada a ∈ X, existem uma carta(ψ, V ) de Y em a e uma carta (ϕ, V ∩X) de X tambem em a, tais que

∀x ∈ V [x ∈ X ⇔ ψ(x) = (ϕ(x), 0) ∈ Rn ⊕ Rm−n] (4.21)

3. A topologia de X e induzida pela de Y e X admite um atlas A tal que, paracada carta (ϕ,U) ∈ A existe uma carta (ψ, V ) de Y e uma funcao diferenciavelρ : ψ(V )→ Rn de modo que ϕ = ρ ψ.

Dem. (1⇒ 2) Suponhamos entao que X e sub-variedade de Y nas condicoes descritase tome-se a ∈ X; repare-se que, como a inclusao e mergulho, por definicao, a topologiade X ja e induzida pela de Y . Tomemos uma carta qualquer ϕ0 : U0 ⊆ X → Rn

de X em a, U0 e por definicao aberto em X; como inc e mergulho, X e sub-espacotopologico de Y pelo que existe uma carta ψ0 : V0 ⊆ Y → Rm tal que a ∈ V0∩X ⊆ U0;sejam

U1 := V0 ∩X & ϕ1 := ϕ0|U1: U1 → Rn

e repare-se que esta e uma carta de X em a; alem disso, como inc e imersao tambem

ψ0 ϕ−11 = ψ0 inc ϕ−1

1 : ϕ1(U1) ⊆ Rn → ψ0(V0) ⊆ Rm

e imersao; mas entao pelo Teorema da Imersao (2.5.1), existem vizinhancas abertasU2 ⊆ ϕ1(U1) de ϕ1(a) em Rn e V1 ⊆ ψ0(V0) de ψ(a) em Rm e mudancas de coordenadasτ : V1 → Rm e θ : U2 → Rn tais que

τ ψ0 ϕ−11 θ−1(p) = (p, 0) ∈ Rn ⊕ Rm−n (p ∈ θ(U2))

4.7. SUB-VARIEDADES 427

ou(τ ψ0) inc (θ ϕ1)

−1(p) = (p, 0) ∈ Rn ⊕ Rm−n (p ∈ θ(U2))

ou ainda

(τ ψ0) inc(x) = ((θ ϕ1)(x), 0) ∈ Rn ⊕ Rm−n (x ∈ ϕ−11 (U2)).

Para concluir basta agora tomar ψ := τ ψ0, V um subconjunto aberto de V0 tal queϕ−1

1 (U2) = V ∩X e ϕ := θ ϕ1.

(2 ⇒ 3) Basta formar o atlas com as cartas ϕ do numero anterior e tomar sempre ρcomo a projeccao nas n primeiras coordenadas.

(3 ⇒ 1) Uma representacao local da inclusao pode sempre ser feita nas cartas ϕ e ψdo numero anterior por ψ (ρ ψ)−1; mas entao ρ (ψ (ρ ψ)−1) ≡ id, pelo quedρ d(ψ (ρ ψ)−1) ≡ idRn e d(ψ (ρ ψ)−1) e injectiva, logo ψ (ρ ψ)−1 e umaimersao; podemos assim utilizar o teorema 4.3.3 e, com a preservacao da topologia,concluir que a inclusao e mergulho. 2

Alem disto

Teorema 4.7.2 Se X e sub-variedade de Y , entao para cada x ∈ X, TxX e sub-espaco vectorial de TxY .

Dem. As diferenciais dincx : TxX → TxY sao tambem inclusoes, ja que qualquercurva em X e curva em Y . 2

Exercıcios 4.7.2 Mostre que

1. as rectas, os planos, C2, T2, e a Fita de Mobius sao sub-variedades de Rn quandon > 2

2. A circunferencia definida por x2 + y2 = 9 & z = 0 e uma sub-variedade dedimensao 1 fechada (e nao aberta) de T2.

3. Com a notacao de 1, φ1(t, t) : t ∈]0, 2π[ e uma sub-variedade nem aberta nemfechada de T2.

Sejam X e Y variedades de dimensao respectivamente m e n, sendo m ≥ n, ef : X → Y uma funcao diferenciavel. Um elemento x ∈ X dir-se-a regular sedfx : TxX → TyY e sobrejectiva, i. e., f e submersao em x. Um valor f(x) dir-se-aregular se a imagem inversa f−1(f(x)) for constituida apenas por pontos regulares;pontos ou valores que nao sejam regulares dizem-se singulares ou crıticos.


Teorema 4.7.3 Dadas variedades X, de dimensao n, Y , de dimensao m, e umafuncao diferenciavel f : X → Y

1. as imagens inversas f−1(b) de valores regulares de f sao sub-variedades de X dedimensao m− n e

Se f(a) = b, entao Ta[f−1(b)] = Ker(dfa). (4.22)

2. Se f e injectiva, f(X) e variedade de dimensao n, mas nao necessariamentesub-variedade de Y .

Dem. (1.) Suponhamos entao que b e valor regular de f e que f(a) = b. Tomem-secartas ϕ0 : U0 → Rn de X em a e ψ0 : V0 → Rm de Y em b; ψ0 f ϕ−1

0 : ϕ0(U0) →ψ0(V0) e submersao em ϕ(a) e, pelo teorema da submersao 2.4.1, existem vizinhancasabertas U1 de ϕ(a) e U ′1 de 0 em Rn, V1 de ψ(b) e V ′1 de 0 em Rm, e mudancas decoordenadas θ : U1 → U ′1 e τ : V1 → V ′1 tais que

U1 ⊆ ϕ0(U0) & V1 ⊆ ψ0(V0)

θ(ϕ0(a)) = 0 & τ(ψ0(b)) = 0

e para qualquer (u1, · · · , un, · · · , um) ∈ U ′1

(τ ψ0) f (θ ϕ0)−1(u1, · · · , un, · · · , um) = (u1, · · · , un)

Sejam entao S := f−1(b) e U := S ∩ ϕ−1(U1).

x ∈ U sse

(u1, · · · , un, · · · , um) = θ ϕ0(x) ∈ U ′1 & (u1, · · · , un) = (τ ψ0)(f(x)) = 0

sse (0, · · · , 0, un+1 · · · , um) = θ ϕ0(x) ∈ U ′1

Designando por π a projeccao de Rm nas m− n ultimas coordenadas,

ϕ := π θ ϕ0 : U → Rm−n

e uma carta de S em a, que e restricao de uma funcao diferenciavel ao conjunto U , oqual por sua vez e interseccao com S de um conjunto aberto de X, assim, como a eϕ0 foram tomados arbitrariamente S e sub-variedade de X.

Quanto ao espaco tangente em a ∈ Z := f−1(b): se [γ] ∈ TaZ entao f γ ≡ b pelo que

[f γ] =−→0 ∈ TbY e [γ] ∈ Ker(dfa); por outro lado se dfa([γ]) = [f γ] =

−→0 ∈ TbY ,

4.7. SUB-VARIEDADES 429

entao [f γ] = [b], pelo que f γ ≡ b, i.e., o contradomınio de γ ⊆ Z e [γ] ∈ TaZ,donde Ker(dfa) ⊆ TaZ.

(2.) Para cada carta (φ, U) de X, Φ := φ f−1 : f(U) ⊆ f(X)→ Rn e uma carta def(X). As condicoes de compatibilidade entre cartas definidas deste modo resultam dascondicoes de compatibilidade em X: se os domınios das cartas (Φ, f(U)) e (Ψ, f(V ))tem interseccao nao vazia, entao

Φ(f(U) ∩ f(V )) = Φ(f(U ∩ V )) = φ(U ∩ V )

eΨ Φ−1 = ψ φ−1.

A afirmacao restante pode constatar-se no exemplo seguinte 4.7.1. 2 Mais

precisamente:

Teorema 4.7.4 Se X e sub-variedade de dimensao n da variedade Y de dimensaom > n e x ∈ X, entao existem uma vizinhanca V , de x em Y , e uma submersao,g : V → Rm−n, tais que V ∩X = g−1(0).

Dem. Tomemos as cartas ψ e ϕ da condicao (4.21) no teorema 4.7.1; a submersao gpode ser πn+1,··· ,n ψ. 2

NOTA: Repare-se que a diferenciabilidade de f nao e necessaria na segunda parte doteorema.

Exemplo 4.7.1 Figura Oito Seja φ :]− π2, 3π

2[→ R2 dada por

φ(t) = (cos(t), sin(2t)).

1. φ e imersao injectiva, no entanto X = φ(] − π2, 3π

2[) nao e sub-variedade de R2

porque (0, 0) ∈ X e, seja qual for ε > 0 a bola Bε(0, 0)∩X nao e homeomorfa aum intervalo real.

2. O prolongamento φ : R → R2, continua a ser uma imersao, cujo contradomınionao e sub-variedade de R2, porque passa modo, a ter auto-interseccoes.

Capıtulo 5

Sub-variedades de EspacosEuclidianos

5.1 Introducao

Os subconjuntos de espacos euclidianos Rn tem ja mais estrutura herdada do espacoambiente, em particular o facto de serem variedades pode ser feito depender maisclaramente da diferenciabilidade das cartas em si mesmas.

Teorema 5.1.1 Uma sub-variedade de Rn de dimensao k e um subconjunto (naovazio) X de Rn que satisfaz as condicoes seguintes. Para cada elemento x ∈ X existemum conjunto aberto Vx em Rn e uma funcao ϕ : Vx → Rk de classe C∞ tais que

1. x ∈ Vx.

2. A restricao ϕ de ϕ a Vx ∩X e injectiva.

3. ϕ(Vx ∩X) e um subconjunto aberto de Rk.

4. A funcao ϕ−1 : ϕ(Vx ∩X)→ Rn e de classe C∞.

Por outras palavras: X e uma sub-variedade de Rn, se cada elemento de X tem umavizinhanca aberta, Vx, em Rn tal que o conjunto Vx∩X e difeomorfo a um subconjuntoaberto de Rk.

Este teorema e corolario — de facto uma contextualizacao — do teorema 4.7.1 edeixa-se a demonstracao a cargo do leitor.

501

502 CAPITULO 5. SUB-VARIEDADES DE ESPACOS EUCLIDIANOS

Observacoes.

Term Os termos ”sub-variedade”e ”sub-variedade de [algum espaco euclidiano]”passam a ser sinonimos, salvo referencia ocasional em contrario.

Dif1 O facto de x 7→ x1−‖x‖2 ser um difeomorfismo de B1(0) ⊆ Rn em Rn pode ser

utilizado para mostrar que se pode supor ϕ(Vx ∩X) = B1(0) ⊆ Rn – ou mesmoϕ(Vx∩X) = Rn – e ϕ(x) = 0 na definicao acima (reveja-se a proposito o teorema4.1.3).

Dif2 Como os difeomorfismos de classe Cp (1 ≤ p ≤ ∞) tambem respeitam os con-juntos abertos, se X e uma sub-variedade de Rn, de dimensao k, e φ e um difeo-morfismo de Rn, cujo domınio contem X, entao φ(X) tambem e sub-variedadede dimensao k de Rn.

Dif3 Um conjunto que seja localmente sub-variedade e tambem sub-variedade, ouseja, X ⊆ Rn e sub-variedade sse para cada x ∈ X existe uma vizinhanca Vx dex em Rn tal que Vx ∩X e sub-variedade.

Mais uma adaptacao do teorema 2.5.2:

Teorema 5.1.2 Suponha-se que ∅ 6= X ⊆ Rn. As condicoes seguintes sao equiva-lentes.

1. X e sub-variedade de dimensao k de Rn.

2. para cada x ∈ X existem um subconjunto aberto A de Rk, uma funcao φ : A→Rn de classe C∞ e um conjunto aberto Wx ⊆ Rn tais que:

(a) x ∈ φ(A).

(b) φ(A) = Wx ∩X.(c) φ e imersao injectiva

Dem. I. (1⇒ 2) Considere-se o teorema 5.1.1 e defina-seWx := Vx, A := ϕ(Wx), φ :=ϕ−1 : A→ Rn. Basta verificar que φ e imersao. Suponha-se que φ(u) = y ∈ Wx ∩X erepare-se que

d(ϕ φ)u = dϕy dφu.

Como ϕ φ = idA, tem-sedϕy dφu = idRk

5.1. INTRODUCAO 503

de onde se conclui que dφu e injectiva e φ e imersao no ponto u arbitrariamenteescolhido em A.

II. (2⇒ 1) Vamos aplicar o numero 3 do teorema 4.7.1

(i) X e variedade de dimensao k, com atlas formado pelas cartas (φ−1,Wx ∩X).

So falta verificar as condicoes de compatibilidade e estas resultam do teorema 2.5.2.

(ii) A topologia induzida em X pelo estrutura diferenciavel associada ao atlas daalınea anterior e a euclidiana de Rn, pois os domınios das cartas daquele sao abertosinduzidos.

(iii) A partir de uma representacao u 7→ τ φ θ−1(u) = (u, 0) com difeomorfismosτ e θ (resp. para ψ e ϕ no teorema 2.5.1), tomando π como a projeccao de Rn nasprimeiras k coordenadas e fazendo ρ := θ−1 π, tem-se que τ e carta de Rn e queρ τ = φ−1. 2

Uma aplicacao do teorema anterior e dada no exemplo seguinte.

Exemplo 5.1.1 O grafico de uma funcao diferenciavel f : A ⊆ Rk → Rn e umasub-variedade de dimensao k de Rk+n.

Vejamos: A e aberto por definicao de funcao diferenciavel; a funcao φ dada porφ(x) = (x, f(x)) ∈ Rk+n (x ∈ A) esta nas condicoes do teorema e φ(A) e o graficode f .

O exemplo anterior inclui-se numa classe mais vasta de variedades, as variedadesparametrizadas:

Definicao 5.1.1 O subconjunto X de Rn diz-se uma variedade parametrizada dedimensao k se e o contradomınio de uma imersao injectiva φ : A ⊆ Rk → Rn.

Convem ter presente que:

Teorema 5.1.3 Se X e sub-variedade de Rn de dimensao k, entao k ≤ n.


Em termos topologicos, o teorema 5.1.1 pode enunciar-se

Teorema 5.1.4 Um conjunto X ⊆ Rn e uma sub-variedade de dimensao k se e apenasse

1. e um sub-espaco topologico de Rn — munido da topologia euclidiana usual —localmente difeomorfo a um subconjunto aberto de Rk, no seguinte sentido:

2. cada elemento de X tem uma vizinhanca, V , aberta (em X) para a qual ex-istem um subconjunto aberto, A, de Rk, uma funcao, possivelmente parcial,ϕ : Rn → Rk, e uma funcao bijectiva φ : A → V ⊆ Rn, ambas de classeC∞, tais que ϕ φ e a identidade em A.

Dem. Repare-se que os abertos do subespaco topologico X sao precisamente asinterseccoes de X com subconjuntos abertos de Rn, e tome-se V = Vx ∩X. Por outrolado, ϕ φ = ϕ|φ(A) φ, e pode utilizar-se o teorema 5.1.1. 2

De ora em diante deixaremos de fazer referencia aos conjuntos abertos do espacoambiente cuja interseccao com a sub-variedade e difeomorfa a um subconjunto abertode Rk.

Como daqui em diante consideraremos apenas sub-variedades de algum espaco euclidi-ano Rn, o termo variedade deve entender-se como sinonimo de sub-variedade, a menosque o contexto determine de outro modo.

O teorema seguinte permitir-nos-a utilizar uma linguagem mais sucinta:

Teorema 5.1.5 Se X e sub-variedade de Rn de dimensao k e n < m, entao X etambem sub-variedade da mesma dimensao de Rm.

Dem. Basta observar que Rn pode considerar-se subespaco topologico de Rm, identi-ficando, por exemplo, atraves de uma inclusao canonica; assim, Vx e aberto em Rn sseexiste um aberto Vx ⊆ Rm de modo que Vx = Vx ∩Rn, pelo que, Vx ∩X = Vx ∩X. 2

Face a este resultado, podemos deixar de fazer referencia ao espaco euclidiano ambi-ente, a menos que tal seja necessario.

Note-se que

Teorema 5.1.6 Se X e uma variedade, qualquer subconjunto aberto de X, enquantosubespaco topologico do espaco ambiente Rn, e uma sub-variedade de X.

5.2. FUNCOES DIFERENCIAVEIS 505

Dem. Recorde-se o exercıcio 4.7.1. 2

Mas nem todas as sub-variedades de uma variedade sao necessariamente triviais. Porexemplo, as superfıcies esfericas sao sub-variedades – possıvelmente compactas, masnunca abertas – da variedade ambiente R3. De modo mais preciso, podemos demon-strar o seguinte.

Teorema 5.1.7 Se n > m, f : A ⊆ Rn → Rm e uma funcao diferenciavel, a ∈ A ef(a) e valor regular de f , entao f−1(f(a)) e uma sub-variedade de Rn de dimensaon−m.

Dem. Este e um enunciado do teorema 4.7.3 adaptado ao presente contexto. 2

Exercıcios 5.1.1 Mostre que

1. O Cilindro, a Esfera, o Toro e a Fita de Mobius sao subvariedades fechadas enao abertas de R3.

2. A circunferencia definida por x2 + y2 = 9 & z = 0 e uma sub-variedade dedimensao 1 fechada e nao aberta do Toro.

3. Com a notacao da equacao 4.5, φ1(t, t) : t ∈]0, 2π[ e uma sub-variedade nemaberta nem fechada do Toro.

5.2 Funcoes diferenciaveis

Ter presente o resultado seguinte pode facilitar bastante a construcao de funcoes dife-renciaveis.

Teorema 5.2.1

1. Se X e sub-variedade de Y e a funcao f : Y → Z e diferenciavel, entao arestricao de f a X tambem e diferenciavel como funcao de X em Z.

2. Se Y e sub-variedade de Z e a funcao f : X → Y e diferenciavel, entao tambeme diferenciavel como funcao de X em Z.


Exemplo 5.2.1

1. Se f : A ⊆ Rn → Rm e uma funcao diferenciavel, X e Y sao sub-variedadesrespectivamente de Rn e de Rm, X ⊆ A e f(X) ⊆ Y , entao f|X : X → Y ediferenciavel. Em particular, as funcoes diferenciaveis no sentido classico tambemo sao no sentido das variedades.

2. SejamX = (x, x3)| x ∈ R, Y = (x, 2x)| x ∈ R

e f a projeccao horizontal de X em Y . Uma representacao cartesiana de f podeser f(x, x3) = (x

3

2, x3); f e, de facto, a restricao a X da funcao dada por f(x, y) =

(y2, y), sendo diferenciavel, em face do exemplo anterior. Se considerarmos as

cartas de X e de Y dadas respectivamente por ϕ(x, y) = y e ψ(x, y) = x, entaof : [a, b] ⊆ R→ R(t) = t

2.

3. Sejam

X = (x, y, z) ∈ R3| 2x+ 3y + 5z = 7, Y = (x, y, z) ∈ R3| 2x− 2y − z = 11,

e seja f a projeccao vertical de X em Y . Se ϕ : X → R2 e ψ : Y → R2 sao ascartas dadas por ϕ(x, y, z) = ψ(x, y, z) = (x, y), entao f : [a, b] ⊆ R→ R(u, v) =(u, v), pelo que f e (bijectiva,) diferenciavel e tem inversa diferenciavel.

Representacoes cartesianas de f podem ser dadas, por exemplo, por

f(x, y, z) = (x, y, 2x− 2y − 11) = (x, y,−4− 5(z + y)) se (x, y, z) ∈ X.

5.2.1 Espaco Tangente

Teorema 5.2.2 Seja X uma variedade de dimensao k e tome-se x ∈ X. Seϕ : U → Rk e uma carta de X, e x ∈ U , entao TxX e isomorfo a Dϕ−1

ϕ(x)(Rk).

Dem. O argumento seguinte e uma forma de dizer que Φ−1x e identificavel com Dϕ−1

ϕ(x).

Tome-se uma carta, ϕ : U → Rk, da variedade X no ponto x. Se v ∈ Rk, ε > 0 eϕ(x)+tv ∈ ϕ(U) quando t ∈]−ε, ε[, pode definir-se uma curva por γ = ϕ−1(ϕ(x)+tv);neste caso Dϕ−1

ϕ(x)(v) = γ′(0) ∈ TxX. Por outro lado, se para uma dada curva γ de

X, γ(0) = x & γ′(0) = u, entao, reduzindo adequadamente ε, se necessario, podemossupor que γ(]− ε, ε[) ⊆ U ; mas entao u = Dϕ−1

ϕ(x)((ϕ γ)′(0)), e a derivada (ϕ γ)′(0)

esta em Rk. Como a caracterıstica da matriz jacobiana de Dϕ−1ϕ(x) e k, a dimensao de

TxX e k e o teorema fica demonstrado. 2

5.3. ELEMENTOS DE GEODESICAS EM SUPERFICIES 507

Designar-se-a o conjunto x+ TxX ⊆ Rn por variedade tangente a X em x.

Exemplo 5.2.2 No exemplo 4.7.1 vimos, a proposito da Figura Oito, uma imersaoque nao e um mergulho, porque o contradomınio tem auto interseccoes, mesmo quandoa imersao local e mesmo injectiva. No entanto, a existencia de auto interseccoes nao enecessaria para dar um exemplo de uma imersao injectiva que nao e mergulho; bastatomar X = R+, Y = R, definir adequadamente uma curva, φ : R→ R2, de classe C∞

que tenha contacto 1 de classe C∞ com x 7→ (−x,− sin(

1x

)) em ( 1

π) e com o eixo dos

yy em (0,−1) e por ainda

f(x) =

(0,−(x+ 2)) −3 < t < −1

φ(x) −1 < t < − 1π

(−x,− sin(

1x

)) − 1

π< t < 0.

Seja Z = f(R). Os conjuntos Bε(0, t) ∩ Z (|t| ≤ 1; 0 < ε < 1) sao vizinhancas dospontos (0, t) induzidas pela topologia usual em R2 e tem uma infinidade de compo-nentes conexas, pelo que Z nao e sub-variedade de R2 apesar de nao ter auto inter-seccoes.

Terminamos esta seccao recordando a segunda parte do teorema 4.3.6

Teorema 5.2.3 Se X e variedade compacta e a funcao f : X → Y e imersao injec-tiva, entao f e um mergulho.

5.3 Elementos de geodesicas em superfıcies

Os espacos tangentes TxS a uma superfıcie S que seja sub-variedade de R3 sao identi-ficaveis com Dϕ−1

ϕ(x)(R2), sempre que ϕ e carta de S em x; estas superfıcies tem ainda

uma estrutura riemanniana natural induzida nos espacos tangentes pelo produto es-calar de R3 e as curvas na variedade S sao de facto funcoes diferenciaveis γ :]a, b[→ R3,para certos a, b ∈ R com a < b, tais que γ(]a, b[) ⊆ S, sendo

lcd(γ) =

∫ d

c

‖γ′(t)‖dt (a < c ≤ d < b).

1Para a nocao de contacto consulte-se [2]; para estudar a possibilidade de construir tais curvas,consulte-se, por exemplo [8]– alguma inspiracao pode encontrar-se na seccao 1.3.


Sejam entao S uma superfıcie que e sub-variedade de R3 e γ uma curva de S. Aaceleracao de γ e γ′′ :]a, b[→ R3 e γ diz-se geodesica se a aceleracao de γ forortogonal a S, i.e.,

∀t ∈]a, b[ γ′′(t) ⊥ Tγ(t)S.

Por outras palavras:

Teorema 5.3.1 A curva γ na superfıcie S e geodesica se e apenas se a projeccao daaceleracao γ′′(t) no espaco tangente Tγ(t)S for sempre nula.

A a projeccao da aceleracao γ′′(t) no espaco tangente Tγ(t)S tambem se designa porderivada covariante de γ′.

Uma situacao razoavelmente simples de estudar e aquela em que S e o grafico, graf(f),de uma funcao diferenciavel real de duas variaveis reais f : A ⊆ R2 → R, munido daestrutura diferenciavel gerada pelo atlas G = (graf(f), π12), no qual π12(x, y, z) =(x, y); se considerarmos tambem graf(f) munido da estrutura riemanniana natural-mente induzida pelo produto escalar usual em R3, colocamo-nos no contexto de su-perfıcies parametrizadas e, com a notacao f ′w := ∂f

∂w, para (u, v) ∈ A:

π−112 (u, v) = (u, v, f(u, v)) := φ(u, v) (5.1)

[gij(φ(u, v))] =

1 + (f ′u)2 f ′uf

′v

f ′uf′v 1 + (f ′v)

2

:= M(u, v) (5.2)

det(M(u, v)) = 1 + (f ′u)2 + (f ′v)

2 := ∆(u, v) (5.3)

Em particular, M(u, v) e sempre invertıvel. Convem ainda observar que as curvas deum grafico, com a notacao acabada de descrever, sao da forma t 7→ φ(σ(t)), em queσ e curva em R2.

Teorema 5.3.2 Seja S o grafico de uma funcao diferenciavel f : A ⊆ R2 → R coma estrutura riemanniana que descrevemos em (5.1) e (5.2). Para qualquer x ∈ Se qualquer ω ∈ TxS, existem um intervalo nao trivial ]a, b[⊆ R e uma geodesicaγ :]a, b[→ S tais que

a < 0 < b

γ(0) = x

γ′(0) = ω.

5.3. ELEMENTOS DE GEODESICAS EM SUPERFICIES 509

Dem. Definamos

γ(t) = φ(σ(t)).

Tem-se

γ′(t) = (σ′(t), Dfσ(t)(σ′(t)))

γ′′(t) = (σ′′(t), D2fσ(t)(σ′(t)(2))+ < ∇fσ(t), σ

′′(t)) > .

Tomando ∆(u, v) como em (5.3), de acordo com o teorema 5.3.1, γ e geodesica sse

σ′′(t) +D2fσ(t)(σ

′(t)(2))

∆(σ(t))∇fσ(t) = 0.

De outra forma

σ′′(t) = −D2fσ(t)(σ

′(t)(2))

∆(σ(t))∇fσ(t).

Finalmente, definindo

G(σ(t), σ′(t)) = −D2fσ(t)(σ

′(t)(2))

∆(σ(t))∇fσ(t)

F(σ(t), σ′(t)) = (σ′(t),G(σ(t), σ′(t)))

θ(t) = (σ(t), σ′(t))

θ0 = (π12(x), π12(ω)),

a demonstracao do teorema reduz-se a aplicacao do teorema 3.1.1 ao problema deCauchy

θ′(t) = F(θ(t))

θ(0) = θ0.

2


Exercıcios 5.3.1

1. Mostre que as geodesicas do plano como sub-variedade Riemanniana de R3 saosegmentos de recta.

2. Mostre que as geodesicas da esfera S2 como sub-variedade Riemanniana de R3

sao arcos de cırculo maximo.

3. Fixe uma descricao a seu gosto da Fita de Mobius enquanto sub-variedaderiemanniana de R3 e designe-a por M. Decida se a curva dada por γ(t) :=(cos(t), sen(t), 0) (t ∈ R) e ou nao geodesica de M.

5.4 Transversalidade

Teorema 5.4.1 Sejam X e Y variedades de dimensao respectivamente m e n, sendom ≥ n, e f : X → Y uma funcao diferenciavel. Se y e valor regular de f e Z = f−1(y),entao Z e uma sub-variedade de X de dimensao m− n e tambem

TzZ = Ker(dfz) (z ∈ Z).

Dem. Esta e uma contextualizacao do teorema 4.7.3. 2

Teorema 5.4.2 Se Z e sub-variedade de dimensao p de Rm e z ∈ Z, entao existemuma vizinhanca U de z em Rm tal que, a menos de uma mudanca de coordenadas,Z ∩ U e o grafico de uma funcao diferenciavel de Rp em Rn−p (entendendo-se Rk =Rk × 0 ⊆ Rm, se k ∈ N).

Dem. Basta aplicar o teorema da Funcao Implıcita (2.3.1) a equacao g(y1, · · · , ym)=0do teorema 4.7.4, e permutar adequadamente as coordenadas yy. 2

Dadas variedades X e Y de dimensao respectivamente m e n a funcao diferenciavelf : X → Y dir-se-a transversal a sub-variedade Z de Y – indicado por f t Z – se

dfx(TxX) + Tf(x)Z = Tf(x)Y sempre que f(x) ∈ Z.

A figura seguinte exemplifica transversalidade em R2.

5.4. TRANSVERSALIDADE 511

--

1

*

Z ≡ TPZ ≡ TQZ ≡ TRZ

W

6

f0(x) = (x, x2)

f1(x) = (x, x2 + 14)

f2(x) = (x, x2 + 12)

•

•

•

x

y

P

Q

R

TPW ≡ df00(R)df ε

2a(1)

dfεb(1)

f0 nao e transversal a W ; f0, f1 e f2 sao transversais a Z

Defina-se tambem codimensao de uma sub-variedade Z, de dimensao k, da variedadeY , de dimensao n, como n− k. Abrevia-se ”codimensao”por cod.

Um criterio de transversalidade:

Teorema 5.4.3 A funcao f : X → Y e transversal a sub-variedade Z de Y sse paracada x ∈ X ∩ f−1(Z), existe uma vizinhanca de f(x), Vf(x) em Y , e uma submersaog :Vf(x)→Rcod(Z) tal que g−1(0) = Vf(x) ∩ Z e 0 e valor regular de g f .

Dem. (se) Pelo teorema da Funcao Composta, porque (g f)(x) = g(f(x)) = 0 eporque 0 e valor regular g f

dgf(x)(dfx(TxX)) = d(g f)x(TxX) = Rcod(Z).

Como g e submersao, dgf(x) e sobrejectiva; mas g−1(0) = Vf(x) ∩ Z, donde

Ker(dgf(x)) = Tf(x)Z;

portantoTf(x)Y = dfx(TxX) + Tf(x)Z.

(so se) De novo, o teorema 4.7.4, permite tomar, para cada x ∈ X, uma vizinhancaVf(x), de f(x) em Y e uma submersao g : Vf(x) → Rn−k, tais que 0 e valor regular deg e Vf(x) ∩ Z = g−1(0). Neste caso, tem-se, por um lado, se Ux = f−1(Vf(x)) e a ∈ Ux,

(g f)(a) = 0

e, por outro lado,

(g f)a(TaX) = dgf(a)(dfa(TaX)) = dgf(a)(dfa(TaX) + Tf(a)Z)

= dgf(a)(Tf(a)Y ) = Rn−k.

e 0 e valor regular de g f . 2


Teorema 5.4.4 Se a funcao diferenciavel f : X → Y e transversal a sub-variedadeZ de Y , entao f−1(Z) e sub-variedade de X e cod(f−1(Z)) em X e igual a cod(Z) emY .

Dem. Pelo teorema anterior (5.4.3), cada elemento de f−1(Z) tem uma vizinhancainduzida que e imagem inversa de um valor de uma submersao portanto, tomandorespectivamente n, m e k como as dimensoes de X, Y e Z, f−1(Z) e sub-variedadede X (teorema 4.7.3) de dimensao n− (m− k) e cod(f−1(Z)) em X e m− k = cod(Z)em Y . 2

Se X e Z sao sub-variedades da variedade Y , diremos que X e transversal a Z se afuncao de inclusao x 7→ x : X → Y e transversal a Z. Designando por i a inclusao,esta transversalidade traduz-se por

TxX + TxZ = TxY (x ∈ X ∩ Z)

que e uma equacao simetrica em X e Z, e diz-se apenas que X e Z sao transversais,notando-se X t Z.

Exercıcios 5.4.1 Mostre que M t S2.

Corolario 5.4.1 A interseccao de duas sub-variedades transversais de uma variedadeY de dimensao n e uma sub-variedade de Y e

cod(X ∩ Z) = cod(X) + cod(Z) se X t Z.

Dem. Como inc : X → Y t Z e X ∩ Z = inc−1(Z), pelo teorema 5.4.4,

cod(X ∩ Z) em X = cod(Z) em Y.

Tomando respectivamente n, m e k como as dimensoes de X, Y e Z, tem-se

n− dim(X ∩ Z) = m− k = m− n + n− k

pelo que

m− dim(X ∩ Z) = m− n + m− k.

2

5.5. ESTABILIDADE 513

E daqui tambem se deduz

Teorema 5.4.5 Se X e Z sao sub-variedades transversais da variedade Y e y ∈ X∩Z,entao Ty(X ∩ Z) = TyX ∩ TyZ.

Dem. Como TyX t TyZ, TyY = TyX + TyZ, pelo que

dim(TyX ∩ TyZ) = [dim(TyX) + dim(TyZ)]− dim(TyY )

= dim(X) + dim(Z)− dim(Y )

= dim(Y )− [cod(X) + cod(Z)] = dim(Y )− cod(X ∩ Z)

= dim(X ∩ Z) = dim(Ty(X ∩ Z))

Como Ty(X ∩ Z) ⊆ TyX ∩ TyZ de facto Ty(X ∩ Z) = TyX ∩ TyZ 2

Exercıcios 5.4.2

1. Defina X = (x, y, z) ∈ R3| x2 + y2 = z2 e X = X\(0, 0, 0). Mostre que

(a) X nao e subvariedade de R3 mas X e.

(b) Todos os planos de R3 que contem o eixo dos zz sao transversais a X.

2. Suponha que X, Y, Z sao sub-variedades de espacos euclidianos, que W e sub-variedade de Z, que f : X → Y e g : Y → Z sao funcoes diferenciaveis e queg t W . Mostre que f t g−1(W ) se e apenas se g f t W .

5.5 Estabilidade

Dadas variedades X e Y , uma homotopia no conjunto C∞(X, Y ), das funcoes dife-renciaveis de X em Y e uma funcao contınua H : X × [0, 1] → Y ; se a homotopia Hfor uma funcao diferenciavel designar-se-a por difeotopia .

No que se segue limitar-nos-emos a considerar difeotopias, i. e., entenderemos homo-topia e difeotopia como sinonimos

de um modo geral, designaremos ft a funcao H(•, t) : X → Y e, tambem poderemosreferir-nos a difeotopia (ou homotopia) como famılia de funcoes (ft)t∈[0,1] ou, simples-mente como ft; duas funcoes diferenciaveis f0 : X → Y e f1 : X → Y dizem-sehomotopicas se existe uma difeotopia H : X × [0, 1] → Y tal que H(•, 0) = f0 eH(•, 1) = f1.


Exercıcios 5.5.1 Sobre Homotopia. Suponha que X, Y sao sub-variedades deespacos euclidianos.

1. Suponha que f, g : X → Y sao funcoes diferenciaveis homotopicas. Mostre queExiste uma homotopia H : X × [0, 1]→ Y tal que

H(x, t) = f(x) (t ∈ [0,1

4];x ∈ X) & H(x, t) = g(x) (t ∈ [

3

4, 1];x ∈ X).

(SUG.: Comece por construir uma funcao diferenciavel ρ : R → [0, 1] tal queρ(]−∞, 1

4]) = 0 & ρ([3

4,+∞[) = 1.)

2. Prove que a relacao de homotopia entre funcoes diferenciaveis e de equivalencia.

Um subconjunto F de C∞(X, Y ) diz-se estavel, se sempre que f = f0 ∈ F e ft e umadifeotopia, existe ε > 0 tal que ft ∈ F quando 0 ≤ t < ε.

Exemplo 5.5.1 1. Defina-seH(x, t) = tx2 (|x| < 1; t ∈ [0, 1]). H e uma difeotopiaem C∞(]−1, 1[,R) que transforma a funcao nula na funcao x 7→ x2 (Figura 2.1).

2. Defina-se H(x, t) = x2+t ((x, t) ∈ R×[0, 1]). H e uma difeotopia em C∞(R,R)e tem-se f0(x) = x2 & f1(x) = x2 + 1. Repare-se que o grafico de f0 e tangenteao eixo dos xx em (0,0), mas os graficos de ft nao sao tangentes ao eixo dos xx,seja qual ponto for o valor de t (Figura 2.2).

3. Sejam f(x) = (x, x2), (x ∈ R), Z = (x, 2x)| x ∈ R (Fig. 5.5).

(a) E facil ver que x 7→ H(x, t) = (x, x2 + t) ((x, t) ∈ R × [0, 1]) e umadifeotopia em C∞(R,R2), que f = f0 e que f e transversal a Z, poisf(x) ∈ Z sse x = 0 ou x = 2, df0(R) = R×0, df2(R)=(x, 4x)| x∈Re T(0,0)Z = T(2,4)Z = Z. Por outro lado, so f1 nao e transversal a Z.

(b) Seja agoraH(x, t) = (x, x2+2t) ((x, t) ∈ R×[0, 1]), mantendo-se a notacaocomo no exemplo anterior. Neste caso, todas as ft (0 ≤ t < 1

2) sao transver-

sais a Z, mas f 12

ja nao e.


-

6

y = x2

y = 34x2

y = 12x2

y = 14x2

H(x, 1)

H(x, 34)

H(x, 12)

H(x, 14)

x

y

H(x, t) = tx2

-

6

y = x2

y = x2 + 14

y = x2 + 12

y = x2 + 1

y = f0(x)

y = f 14

y = f 12(x)

y = f1(x)

x

y

14

12

1

ft(x) = H(x, t) = x2 + t

Figura 5.1: Homotopias

--

1

*

Z ≡ TPZ ≡ TQZ ≡ TRZ

W

6

f0

f ε2

fε

•

•

•

x

y

P

Q

R

TPW ≡ df00(R)df ε

2a(1)

dfεb(1)

a2 + ε2 = 2a b2 + ε = 2b

Figura 5.2: Estabilidade – f0 6t W, f0, f ε2, fε t Z

Teorema 5.5.1 Se X e uma variedade compacta e Y e uma variedade, os seguintesconjuntos sao estaveis (em C∞(X, Y )).

1. Das imersoes locais

2. Das submersoes locais

3. Conjunto dos difeomorfismos locais.

4. Das funcoes de X em Y transversais a uma certa sub-variedade fixa de Y

5. Dos mergulhos

6. Dos difeomorfismos

Dem. 3. Difeomorfismos locais.

Como um difeomorfismo local e simultaneamente imersao e submersao local, bastaestudar este dois casos: se f e difeomorfismo local, H : X×[0, 1]→ Y e uma difeotopiatal que f = f0 = H(·, 0), εi (i = 1, 2) sao tais que as ft sao respectivamente imersoes


e submersoes locais para 0 ≤ t < ε1 e 0 ≤ t < ε2, entao ft e difeomorfismo local para0 ≤ t < ε = minε1, ε2.

1. Imersoes locais.

I. Para cada x ∈ X, escolham-se cartas ϕx : U1x ⊆ X → Rk, e ψx : V 1

f(x) ⊆ Y → Rn tais

que ϕx(x) = 0, ψx(f(x)) = 0, ψx f ϕ−1x (u1, · · · , uk) = (u1, · · · , uk, uk+1, · · · , un).

II. De seguida, escolham-se vizinhancas, U2x ⊆ U1

x , de x em X, e V 2f(x) de f(x) em Y ,

e ε1x > 0 tais que

H(x, t) ∈ V 2f(x) ⊆ V 1

f(x) se (x, t) ∈ U2x × [0, ε1

x[.

e sejaH(u, t) = ψ(H(ϕ−1(u), t)) ((u, t) ∈ ϕ(U2

x)× [0, ε1x[).

III. Todas as coordenadas da matriz jacobiana de H em ordem a u = (u1, · · · , uk),Jacu(H, u, t) =

[∂Hi∂uj

]n×k

, sao funcoes contınuas de (u, t) e

Jacu(H, 0, 0) =

[I0

].

Assim, se os εix (i = 2, 3) forem numeros reais positivos suficientemente pequenos, odeterminante das k primeiras linhas da matriz 5.5 mantem-se nao nulo para(u, t) ∈ Bε2x

(0)× [0, ε3x[⊆ ϕ(U2

x)× [0, ε1x[⊆ Rk × R.

IV. Repare-se que, localmente, H(u, t) = ψ ft ϕ−1

Como X e compacta, para certos xi (1 ≤ i ≤ p) tem-se

X ⊆ ∪pi=1ϕ−1xi

(Bε2xi(0)).

Se ε = minε2xi| 1 ≤ i ≤ p, vale que ft e imersao local quando t ∈ [0, ε[.

2. Submersoes locais. Utilizando o teorema da submersao (2.4.1), e trocandoa argumentacao por linhas e colunas na parte que acabamos de demonstrar, podeconcluir-se a estabilidade das submersoes locais.

4. Transversalidade

Repare-se que a argumentacao e local, pelo que podemos utilizar o teorema 5.4.3 ecobrir X com um numero finito de vizinhancas Ux como nesse teorema, raciocinandode seguida de modo analogo ao que utilizamos em 1.


5. Mergulhos

Como X e compacta, em face do teorema 5.2.3, basta mostrar que as difeotopiaspreservam a injectividade, para t suficientemente pequeno. Se tal nao acontecesse,para certa difeotopia, H : X × [0, 1]→ Y e cada ε > 0, existiriam t ∈]0, ε[, a(t) e b(t)tais que

H(a(t), t) = ft(a(t)) = ft(b(t)) = H(a(t), t);

em particular,

H(a 1n,

1

n) = H(b 1

n,

1

n).

Como X e compacto, podemos supor (tomando subsucessoes adequadamente) quea 1n→ a ∈ X e b 1

n→ b ∈ X. Como H e contınua, tem-se que

H(a 1n,

1

n)→ H(a, 0) & H(b 1

n,

1

n)→ H(b, 0)

pelo queH(a, 0) = H(b, 0)

e, da injectividade de f = f0, se concluiria

a = b. (5.4)

Repare-se, no entanto que f e imersao local, pelo que as funcoes ft se mantem imersoeslocais para t suficientemente pequeno. Podemos entao cobrir X com conjuntos abertos,em cada um dos quais cada ft e injectiva. Ora, pela condicao (5.4), para n suficien-temente grande, se λ e um numero de Lebesgue para essa cobertura (vide teorema1.2.6) e d designa a metrica usual no espaco euclidiano ambiente, d(a 1

n, b 1

n) < λ, pelo

que alguma das ft nao seria injectiva no aberto que conteria a 1n

e b 1n, o que nao pode

acontecer.

Em suma, para t suficientemente pequeno ft e injectiva. 2

6. Difeomorfismos

Como f e difeomorfismo, as componentes conexas de X sao transformadas bijectiva-mente em componentes conexas de Y ; como X e Y sao localmente conexas (por arcos),essas componentes conexas sao relativamente abertas; assim, podemos supor que X eY sao conexas.

Ora todas as ft sao contınuas, pelo que todas as imagens ft(X) sao subconjuntoscompactos de Y , logo sao fechados; mas, para t suficientemente pequeno, vimos em 2acima, que as ft sao submersoes locais, pelo que sao abertas (teorema 4.3.5); assim,


para t suficientemente pequeno, as funcoes ft sao simultanemente mergulhos e temcontradomınio aberto e fechado num conjunto conexo, sendo portanto sobrejectivas;como X e compacta, sao difeomorfismos. 2

Exercıcios 5.5.2 Faca uma demonstracao de que a famılia das funcoes f : R → R2

transversais ao eixo dos xx em R2 e estavel sem recorrer ao teorema anterior.

5.6 Exemplos

A hipotese de compacidade da variedade X e necessaria em qualquer das alıneas doteorema 5.5.1.

1. Sejam X = R, Y = R2, Z = R × 0 e H(x, t) = (x, 1x2+1

sinx + t). Tem-se

f0 t Z, mas se 0 < tn = 1( 3π

2+2nπ)2+1

< ε , ftn 6t Z, pois ftn e tangente a Z em

(3π2

+ 2nπ, 0).

2. Sejam X = R+, Y = R, H(x, t) = log(tx+1x

). A funcao f0 e difeomorfismo, mas

ft nunca e se t > 0, pois nesse caso ft(x) > log t, logo nao e sobrejectiva, se bemque continue a ser difeomorfismo local.

3. Sejam X = R2, Y = R, ft(x, y) = t(x2 + y2) + x+ y. A funcao f0 e submersao(local). Qualquer das funcoes ft (t > 0) tem pontos crıticos (− 1

2t,− 1

2t).

4. Sejam X = R2 = Y, ft(x, y) = (tx3 − x, y). A funcao f0 e um difeomorfismo,portanto e tambem imersao local; mas se t > 0, tem-se

Jac(ft, (x, y)) =

[3tx2 − 1 0

0 1

],

pelo que ft nao e imersao local em (± 1√3t, y).

5. SejamX = R, Y = R2, ft(x) = ((tx)3−4x, (tx)2−4). A funcao f0 e um mergulhode R na sub-variedade R× −4 de R2; mas, se t > 0, ft(

2t3/2

) = ft(− 2t3/2

), peloque ft(R) tem auto-interseccao, logo nao e sub-variedade e ft nao e mergulho.

Exercıcios 5.6.1 Seja X uma subvariedade euclidiana de dimensao n ∈ N (n ≥ 1).Uma funcao diferenciavel f : X → R diz-se de Morse se qualquer das suas repre-sentacoes em cartas (ϕ, V ), f ϕ−1 : ϕ(V )→ R, nao tem pontos crıticos degenerados.Mostre que Se X e compacta, o conjunto das funcoes de Morse em X e estavel

5.7. O TEOREMA DE WHITNEY 519

(SUG.: Comece por mostrar que uma funcao diferenciavel f : A ⊆ Rn → R, commatriz hessiana H(f, ·), e de Morse sse

∀x ∈ A [detH(f, x)]2 +n∑i=1

(∂f

∂xi(x)

)2

> 0).

5.7 O teorema de Whitney

Esta seccao sera dedicada a demonstracao do teorema seguinte sobre variedades ar-bitrarias de dimensao finita.

Teorema 5.7.1 (de Whitney) Toda a variedade compacta de dimensao n se podemergulhar em R2n+1.

Exercıcios 5.7.1 Um mergulho da Garrafa de Klein K em R4.

Considere a garrafa de Klein K como quociente de um rectangulo (vide o exercıcio4.1.4).

1. Defina f : R2 → R4 por

f(u, v) :=(

(8 + 3cosv)cosu, (8 + 3cosv) sinu, 3 sin vcos(u

2

), 3 sin v sin

(u2

))(a) Mostre que f|R e compatıvel com ≡, i.e.,

(s, t) ≡ (u, v) ⇒ f(s, t) = f(u, v) ((s, t), (u, v) ∈ R).

(b) Defina F : K → R4 por F ([(u, v)]) := f(u, v) e mostre que F e um mergulho.

Eis um resultado menos preciso que o Teorema 5.7.1.

Lema 5.7.1 Toda a variedade compacta se pode mergulhar em alguma variedade eu-clidiana Rp (p ∈ N).

Dem. Suponhamos que X e variedade compacta de dimensao n. X tem entao umatlas finito (ϕi, Ui)‖1 ≤ i ≤ m e, pelo teorema 4.1.3, podemos supor que

ϕ(Ui) = B3(0)


e, com mais precisao ainda,

X =m⋃i=1

ϕ−1i (B1(0)).

Com a notacao do teorema 4.5.2 defina-se para 1 ≤ i ≤ m,

λi = η(1,0) ϕi

fi(x) =

λi(x)ϕi(x) se x ∈ Ui0 se x 6∈ Ui

gi = (fi, λi) : X → Rn × Rg = (g1, · · · , gm) : x→ Rm(n+1)

Deixa-se como exercıcio provar que g e imersao injectiva pelo que, em face do teorema4.3.6, e tambem um mergulho. 2

Abreviemos medida exterior de Jordan nula por medida nula

Lema 5.7.2 Se f : U ⊆ Rn → Rn e uma funcao lipschitziana, e C e um subconjuntode U com medida nula, o mesmo acontece com f(C).

Dem. Suponhamos que, para certo L ≥ 0,

∀x, y ∈ U ‖f(x)− f(y)‖ ≤ L‖x− y‖.

Se I =∏n

i= ]ai − r2, ai + r

2[ ⊆ U e (b1, · · · , bn) = f(a1, · · · , an), entao

f(I) ⊆n∏i=

]bi −√nLr

2, bi +

√nLr

2[. (5.5)

Designe-se por v(I) o volume do intervalo (limitado) I ⊂ Rn; por (5.5), se C podecobrir-se com uma uniao numeravel de cubos Ik ⊆ U (k ∈ N) tal que

∑k∈N v(Ik) < ε,

entao f(C) e cobrıvel com uma uniao numeravel de cubos de Rn cuja soma de volumese inferior a (L

√n)nε, portanto se C tem medida nula o mesmo acontece com f(C).2

Lema 5.7.3 Seja f : U ⊆ Rn → Rn uma funcao diferenciavel. Se C e um subconjuntode U com medida nula, o mesmo acontece com f(C).


Dem. Sendo de classe C1, a funcao f e localmente Lipschitziana e consequentementeU e uniao numeravel de conjuntos abertos onde f e Lipschitziana. Segue-se que qual-quer subconjunto de U e uniao numeravel de subconjuntos de conjuntos onde f eLipschitzeana. O lema anterior (5.7.2) permite concluir a demonstracao. 2

Repare-se que

Lema 5.7.4 Um subconjunto de Rn com medida exterior de Jordan zero nao podeconter conjuntos abertos.

Dem. ... porque nao pode conter intervalos abertos. 2

Lema 5.7.5 Se a funcao g : U ⊆ Rk → Rp e diferenciavel e k < p entao g(U) temmedida nula em Rp.

Dem. Se πk : Rp → Rk designa a projeccao nas primeiras k coordenadas, entaog(U) = (g πk)(U × 0 ∈ Rp−k); ora U × 0 ∈ Rp−k tem medida zero em Rp epodemos aplicar o lema 5.7.3. 2

Lema 5.7.6 Sejam X e Y variedades de dimensao respectivamente k e p e f : X → Yuma funcao diferenciavel. Se k < p, entao Y \f(X) e denso em Y , i. e., f(X) naocontem subconjuntos abertos de Y .

Dem. Pelo lema 5.7.4, basta mostrar que se f(X) e ψ : V → Rp e carta de Y , entaoψ(V ∩ f(X)) tem medida exterior de Jordan zero (reveja-se a NOTA na pagina 423).

Tomemos entao uma carta ψ : V → Rp de Y . Como f e contınua, U := f−1(V ) =f−1(V ∩ f(X)) e aberto em X; de novo considerando a NOTA da pagina 423, U euniao numeravel de domınios de cartas ϕl : Ul → Rn (l ∈ N), pelo que

ψ(V ∩ f(X)) =⋃l∈N

(ψ f ϕ−1)(ϕ(Ul)).

e podemos aplicar o lema 5.7.5 para concluir que cada (ψ f ϕ−1)(ϕ(Ul)) tem medidanula e a fortiori o mesmo acontece com ψ(V ∩ f(X)). 2

Passemos entao a demonstracao do teorema de Whitney 5.7.1.

Dem. (5.7.1) Em virtude do lema 5.7.1, podemos supor que, para algum p ∈ N,

X ⊆ Rp.


Se p ≤ 2n + 1 nada ha a provar; se p > 2n + 1, veremos que X e mergulhavel emRp−1 :≡ Rp−1 × 0 por uma projeccao πv segundo um vector

v ∈ Rp\Rp−1 com ‖v‖ = 1.

Se v = (v1, · · · , vp) estiver nestas condicoes, para que πv seja injectiva e necessario esuficiente que ∀z ∈ X (z + Rv) ∩X = z ou seja

∀x, y ∈ X [x 6= y ⇒ x− y‖x− y‖

6= v 6∈ Rp−1]. (5.6)

Para que πv seja imersao basta que

∀x ∈ X ∀z ∈ TxX\0 v 6= z

‖z‖, (5.7)

pois com x := (x1, · · · , xp), πv(x) = x− xpvpv.

Suponha-se entao quep > 2n+ 1. (5.8)

A existencia de v como em (5.6) pode deduzir-se do seguinte modo: sejam ∆ :=(a, a)| a ∈ Rp a diagonal de Rp × Rp e C := (x, y) ∈ X2| xp = yp. Como ∆ e Csao fechados em R2p (teorema 5.2.1), podemos concluir do exercıcio 4.7.1 e de (5.6)que X2\(∆ ∪ C) e subvariedade (aberta) de X2 e que

dim(X2\∆) = 2n < p− 1. (5.9)

Defina-se

σ(x, y) :=x− y‖x− y‖

∈ Sp−1 ((x, y) ∈ X2\(∆ ∪ C)).

Pelo lema 5.7.6 em face de (5.9), σ(X2\∆) ⊂ Sp−1, pelo que de facto

OBS.: Em qualquer subconjunto aberto de Sp−1 existe v nas condicoes(5.6).

Quanto a (5.7), defina-se

T1X = z ∈ TX| ‖z‖ = 1.

Se ν(z) := ‖z‖ (z ∈ Rp), ν e uma funcao diferenciavel cujo unico ponto crıtico e zerodonde 1 e valor regular de ν e, como

T1X = ν−1(1),


T1X e subvariedade compacta de dimensao 2n− 1 de TX. Alem disto

dim(T1X) = 2n− 1 < p− 1 = dim(Sp−1). (5.10)

Mas entao a funcao ρ : T1X → Sp−1 definida por

ρ(z) := u se z ≡ (x, u) ∈ TX =•⋃

x∈X

x × TxX,

sendo diferenciavel, tem imagem compacta, logo fechada e portanto com complementaraberto em Sp−1. Considerando a observacao acima podemos concluir que σ e de factoimersao e, como X e compacta e mergulho. 2

Exercıcios 5.7.2 1. Nesta questao n, k, p e r designam numeros naturais maioresou iguais a 1, X e subvariedade de dimensao k de Rn e identifica-se Rk ≡Rk × 0 ⊆ Rk+r

(a) Suponha demonstrado o teorema seguinte

Teorema 5.7.2 Se I e um conjunto nao vazio, ∅ 6= A ⊆ Rn e a famılia(Ai)i∈I , de subconjuntos abertos de Rn cobre A entao, para algum conjuntoin : n ∈ N ⊆ I, A ⊆ ∪n∈NAin.

i. Suponha que ∅ 6= A ⊆ Rn, f : A → Rk e uma funcao contınua e Gf

designa o grafico de f . Mostre que, se A e aberto e p ≥ n+k, entao Gf

tem medida nula em Rp (SUG: Comece por estudar os casos em que Ae compacto ou uma bola aberta e p = n+ k).

ii. Mostre que, se k < n, entao X tem medida nula em Rn.

(b) Seja E a estrutura diferenciavel de X e suponha que f : X → Rk e umafuncao diferenciavel sem pontos singulares. Mostre que existe uma famılia(Ai)i∈I , de subconjuntos abertos de X tais que (f|Ai , Ai) : i ∈ I ⊆ E e eum atlas de X

2. Mostre que se X e Y sao subvariedades de dimensao positiva e transversais deRn e X ∩ Y 6= ∅, entao X ∪ Y nao e uma variedade.

Bibliografia

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[14] Willard, S.: General Topology, Addison-Wesley 1970.

601

Indice remissivo

aberto, 101aceleracao, 508aderencia, 103aplicacao aberta, 211atlas, 401, 501

campo vectorial, 418canonica

imersao, 212projeccao, 210, 414

carta, 401, 501cilindro, 404cobertura, 103cocarta, 402, 501codimensao, 511compacto, 104componente conexa, 102condicao inicial, 302conexo, 102

espaco topologico, 102localmente, 102

contraccao, 106coordenadas, 501

mudanca de, 402sistema de, 401, 501

crıticoelemento, 214ponto, 214

degenerado, 214valor, 214

curva, 411

derivada, 420diametro, 107difeomorfismo, 204, 410, 415

local, 415difeotopia, 513diferencial, 414dimensao, 403distancia, 105

Esfera, 405espaco

metrico, 105completo, 106

topologico, 101de Hausdorff, 101regular, 104separado, 101

estavel, 514estrutura

diferenciavel, 402Riemanniana, 418

exterior, 103

fechado, 103fecho, 103Figura Oito, 429Fita de Mobius, 405fronteira, 103funcao

contınua, 102uniformemente, 309

de transicao, 402

602

INDICE REMISSIVO 603

derivada de ... em ..., 201derivada global, 201diferenciavel, 410lipschitziana, 301

funcoes homotopicas, 513

Garrafa de Klein, 409geodesica, 508

homeomorfismo, 102local, 102

homotopia, 513

imersao, 211, 415local, 415

interior, 103isometria, 420

Lemade Morse, 214de Lebesgue, 107de Zorn, 402

lemade Urysohn, 108

limite, 105localmente finita, 108

metricacoeficientes da, 419

matrizHessiana, 203Jacobiana, 201

mergulho, 415

numero de Lebesgue, 107notacao

C2, 404Gnk, 406T2, 405xi, 404π3i , 404

πpn, 406B(X, Y ), 303K, 409, 519M, 405P2, 415S2, 405pri, 301metrica D, 302metrica D, 302

paracompacto, 109parametrizacao, 402, 406, 501particao da unidade, 109ponto

crıtico, 427exterior, 103fronteiro, 103interior, 103singular, 427

ponto fixo, 106problema

de Cauchy, 302de valores iniciais, 302

projeccao estereografica, 405

regularelemento, 210, 427ponto, 210valor, 210, 427

represntacao, 410Riemanniana

estrutura, 418metrica, 418variedade, 418

solucaomaximal, 308

sub-variedade, 501dimensao, 501

subespaco topologico, 102

604 INDICE REMISSIVO

submersao, 210, 415local, 415

sucessaoconvergente, 105de Cauchy, 106

superfıcie, 404suporte, 107

tangenteespaco, 411fibrado, 413vector, 411

Taylorformula de, 202, 203

Teoremada Funcao Implıcita, 208da Funcao Inversa, 204, 418da Imersao, 212, 418da Media, 203da Submersao, 209, 417de Existencia e Unicidade, 302de Lagrange, 201de Whitney, 519do Ponto Fixo, 106

topologiabase de uma, 101induzida, 102

Toro, 405transversal

funcao, 510variedade, 512

valorcrıtico, 427singular, 427

variedade, 407, 503compacta, 507de Grassmann, 406diferenciavel, 403orientavel, 407

parametrizada, 406, 503Riemanniana, 418, 419tangente, 507topologica, 402

veriedadesdifeomorfas, 410

vizinhanca, 101

variedades diferenciaveis introdu˘c~ao...

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