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BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20041

Variáveis AleatóriasVariáveis Aleatórias

Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades

Itens 5.1 e 6.1


Variável aleatóriaVariável aleatória

• Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.

• Exemplos:– número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas;– número de itens defeituosos em uma amostra retirada,

aleatoriamente, de um lote;– número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção;– número de pessoas que visitam um determinado site, num certo

período de tempo;



• Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.

• Exemplos:– volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;– resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste

padrão;– tempo de resposta de um sistema computacional;– grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.



• Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais.

X = número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas

0 1 2 x

Ω = (cara, cara), (cara, coroa), coroa, cara), (coroa, coroa)

X:



variável aleatória

contínua

os possíveis resultados abrangem todo um intervalo

de números reais

discreta

os possíveis resultados estão contidos em um conjunto

finito ou enumerável

0 1 2 3 4 ...

número de defeitos em ...

Ex.

0

Ex.

tempo de resposta de ...


Variável aleatória discreta: função de Variável aleatória discreta: função de probabilidadeprobabilidade

)()( ii xXPxp ==

0)( ≥ixp

satisfazendo:

∑ =i

ixp 1)(


Variável aleatória discreta: função de Variável aleatória discreta: função de probabilidadeprobabilidade

• X = número obtido no lançamento de um dado comum.

x

p(x)

1 2 3 4 5 6 x

f(x)

1 2 3 4 5 6

área total = 1


Variável aleatória discreta: Função de Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumuladadistribuição acumulada

ℜ∈∀≤= xxXPxF ),()(

x

até x


Variável aleatória discreta: Função de Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumuladadistribuição acumulada

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥<≤

<≤

<≤

<≤

<≤<

=

6 se16 5 se6

55 4 se6

44 3 se6

33 2 se6

22 1 se6

11 se0

)(

xx

x

x

x

xx

xF

x

F(x)

1 2 3 4 5 6

• X = número obtido no lançamento de um dado comum.


Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas– tempo de resposta de um sistema computacional;

– rendimento de um processo químico;

– tempo de vida de um componente eletrônico;

– resistência de um material; etc.

• Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproximadas para contínuas):– número de transações por segundo de uma CPU;

– número de defeitos numa amostra de 5.000 itens; etc.


Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaDiscretaDiscreta

1

2x

p(x)

1 2

½

x

f(x)

1 2

½área total = 1

81

x

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8

1

23

4

5

6 7

8

8 setores


00

00

2700

1800

900

IIIIII

II Ix

3601

x3600

f(x)área total = 1

Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaContínuaContínua


Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua

00

00

2700

1800

900

IIIIII

II Ix

x3600

f(x)área total = 1

3601 x360

evento 0 ≤ X < 90

900

área = P( 0 ≤ X < 90)f(x)


Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória

contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer:

exxf ℜ∈∀≥ ,0)(

x

f(x)

a b

1)()( =∫+∞

∞−xdxf

Se A = [a, b], então

∫=b

axdxfAP )()()(


Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• Exemplo 6.3

⎩⎨⎧

<≥

=−

0 para,00 para,2)(

2

ttetf

t

t

f(t)2

3

6)3(2

3

2

3

2

30

2122)()3( −−

+∞−∞+ −∞+

=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−===> ∫∫ eeedtedttfTP tt


Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• Função de distribuição acumulada

ℜ∈∀=≤= ∫ ∞−xdssfxXPxF

x,)()()(

⎩⎨⎧

<≥−

=−

0 para,00 para,1)(

2

ttetF

t F(t)1

t

• Exemplo 6.3


Variável aleatória discreta: Valor esperadoVariável aleatória discreta: Valor esperado

∑=

==k

jjj pxXE

1)(µ

1Total

p1

p2

p3

...pk

x1

x2

x3

...xk

Probabi-lidades

Valores possíveis


Variável aleatória discreta: VariânciaVariável aleatória discreta: Variância

1Total

p1

p2

p3

...pk

x1

x2

x3

...xk

Probabi-lidades

Valores possíveis

∑=

−==k

jjj pxXV

1

22 )()( µσ

22 )()( µ−= XEXVOu:

∑=

=k

jjj pxXE

1

22 )(onde:

)()( XVarXDP ==σ

Desvio padrão:


Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• Valor esperado e variância

∫+∞

∞−== dxxxfXE )()(µ

∫+∞

∞−−== dxxfxXV )()()( 22 µσ

∫+∞

∞−= dxxfxXE )()( 22onde:

22 )()( µ−= XEXVou


Propriedades do valor esperado e variânciaPropriedades do valor esperado e variância

a)V(c) = 0b)V(X + c) = V(X)c) V(cX) = c2V(X)d)DP(cX) = |c|DP(X)

a)E(c) = cb)E(X + c) = E(X) + cc) E(cX) = cE(X)d)E(X + Y) = E(X) + E(Y)e) E(X – Y) = E(X) – E(Y)


Propriedades do valor esperado e variânciaPropriedades do valor esperado e variância

x

p(x) Distribuição de X

y

p(y)Distribuição de Y = X + c

z

p(z)Distribuição de Z = cX

E(X)

E(X) + c cE(X)


Variáveis aleatórias independentesVariáveis aleatórias independentes

• X1, X2, ..., Xn podem ser consideradas variáveis aleatórias independentes se o conhecimento de uma não altera as distribuições de probabilidades das demais.

• Vale para variáveis aleatórias independentes:

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

V(X – Y) = V(X) + V(Y)

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