vamos estudar física

Nívio Bernardo

Vamos estudar Física Introdução à Física

2ª Edição

Recife-PE 2011

Vamos Estudar Física

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Copyright2006 by Nívio Bernardo

Impresso no Brasil Printed in Brazil

Editor

Tarcísio Pereira

Editor Assistente Maria do Carmo de Oliveira

Diagramação

Regina Coeli Pereira de Castro e Silva

Capa Khayto Kramer

Revisão

Maria Creusélia Sousa e Nayane Bernardo B523v Bernardo, Nívio, 1958-

Vamos estudar física: introdução à física / Nívio Ber- nardo. – Recife : Ed. do Autor, 2004.

145p. : il. ISBN 978-85-7716-765-4 1. FÍSICA. 2. FÍSICA – PROBLEMAS,

EXERCÍCIOS, ETC. 3. MECÂNICA. I. Título.

CDU 53 CDD 530

PeR-BPE

Editora Livro Rápido – Grupo Elógica Rua Dr. João Tavares de Moura, 57/99 Peixinhos

Olinda-PE CEP: 53230-290 Fone: (81) 2121.5300 Fax: (81) 2121.5333

www.livrorapido.com.br


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Sumário

Capítulo 1-Por que estudar Física?

1-Introdução à Física 9 2-Como nasce uma Pesquisa Científica 10 3-Grandezas e Unidades 12 4-Sistema de Unidades de Medidas 14 5-Unidade de Comprimento, Tempo e Massa 16 6-Notação Científica e Ordem de Grandeza 22 7-Operações com Potência de 10 27 8-Algarismos Significativos 34 9-Operações com Algarismos Significativos 36

Capítulo 2-Coordenadas Cartesianas

1-Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais 40

Capítulo 3-Conceitos Básicos de Mecâ-nica

1-Referencial 46 2-Movimento e Repouso 48 3-Trajetória 49 4-Ponto Material e Corpo Extenso 50 5-Espaço Percorrido e Deslocamento 50 6-Velocidade 54 7-Velocidade Escalar Média 55 8-Velocidade Instantânea 60 9-Movimento Uniforme 65


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10-Sinal da Velocidade (Movimento Progressivo e Retrógrado)

66

11-Comportamento Gráfico do Movimento Uniforme 68 12-Equação Horária da Posição do Movimento Uni-forme

72

13-Velocidade Relativa 82

Capítulo 4- Movimento Variado

1-Aceleração 89 2-Aceleração Escalar Média 91 3-Aceleração Instantânea 93 4-Movimento Acelerado e Movimento Retardado 94 5-Movimento Uniformemente Variado 100 6-Comportamento Gráfico da Velocidade do MUV 104 7-Equação Horária da Posição do Movimento Unifor-memente Variado

108

8-Cálculo da Velocidade Escalar Média no MUV 112 9- Equação de Torricelli 116

Capítulo 5-Queda livre (Movimento Uni-formemente Variado Na Vertical)

1-Equações de Movimento Para queda livre 119 Respostas dos Exercícios Propostos 134


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Comentários e Apresentação Tenho visto durante minha vida profissional como

professor e, principalmente, nos dias atuais, que os alunos, de um modo geral, estão desmotivados a ler os livros didáti-cos, deixando assim de acompanhar nesse instrumento o conteúdo programático que o professor vai vivenciando com ele em sala de aula. Tenho percebido que esses alunos pen-sam que é suficiente o que o professor comenta e resolve na sala, não observando toda estrutura que foi pensada e elabo-rada nos bons livros para o seu enriquecimento. É preciso que nós professores, orientadores, tenhamos a habilidade de despertar em nossos jovens a importância do livro didático como fonte de leitura, pesquisa e orientação.

Este trabalho foi elaborado pensando exatamente no aluno que está iniciando o estudo da Física, onde ele se de-para com uma nova disciplina que vai obrigá-lo a pensar, coordenar as idéias e, através da matemática elementar, que será uma ferramenta fundamental de agora por diante, trans-por essas idéias em fórmulas matemáticas.

Este trabalho está assim dividido:

Teoria

Procuro introduzir a teoria de uma maneira clara, mas não perdendo o formalismo dos conceitos físicos. Inseridos na teoria, temos os Exercícios/Exemplos que procuram complementar os conceitos abordados na parte teórica. Nem todos estão resolvidos por completo, justamente para que o aluno possa resolvê-los sozinho ou com a orientação do professor: este é um dos propósitos do


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livro. Desta forma, o estudante vai desenvolvendo competências e criando habilidades.

Exercícios/Exemplos Os Exercícios / Exemplos estão inseridos dentro da teoria com o propósito de estimular a compreensão e fazer com que os alunos sozinhos ou com a orientação do profes-sor concluam a resolução de certos exemplos e, assim, criem habilidades para resolverem os exercícios propostos.

Exercícios Propostos

Os exercícios propostos elaborados pelo autor têm a preocupação de aprofundar os conceitos definidos na teoria e promover uma maior fixação dos mesmos. Consequente-mente, os alunos possuirão um maior domínio na compreen-são e resolução de problemas. O entendimento dos conceitos e definições citados na parte teórica de um assunto de Física é muito importante para que o aluno saiba aplicá-los no momento certo durante a resolução de problemas. Elimina-se, desse modo, a preocupação do aluno de querer decorar qual fórmula que se deve aplicar num determinado modelo de exercício.

Como sugestão para um bom aproveitamento cito al-guns procedimentos que você, estudante, deverá seguir para um melhor rendimento escolar:

• Procure ter em mãos o conteúdo programático da disciplina e poder acompanhá-lo passo a passo;


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• Com o programa em mãos, sempre que possível, ler fazendo a anotação do que não ficou claro para que na aula seguinte no momento em que o assunto este-ja sendo abordado pelo professor, você possa questi-onar as dúvidas;

• Caso, durante uma explicação do professor, você “discordar” por ter outro ponto de vista, entender de uma outra forma, fale! Peça explicação novamente. Uma discussão sobre algo que não está claro é muito valiosa e com isto você estará contribuindo para a aula ser mais dinâmica e, certamente, fazendo com que o colega ao seu lado também fique esclarecido, pois geralmente as dúvidas são comuns neste mo-mento;

• A respeito do tópico anterior, eu como professor, sempre peço aos alunos que, antes de intervir e per-guntar sobre a dúvida, ele dê um pequeno intervalo de tempo, pois muitas vezes, logo em seguida, o que o professor está falando pode ficar claro e a dúvida ser solucionada. Mas caso isto não ocorra pergunte!

• Em se tratando da disciplina Física, como é o nosso caso, procure sempre que possível, transpor a situa-ção problema para a prática. “Viaje no problema”;

• Sempre que possível, desenhe para representar a si-tuação do problema. É através de uma representação gráfica ou desenho que visualizamos melhor a ques-tão a ser resolvida e ficamos mais perto da solução. Exemplo: Um carro que ao passar pelo km 30 de uma estrada possui velocidade de 70km/h.......(Desenhe o carro, a sua posição, indique a velocidade e assim por diante);


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• Compartilhe a sua dúvida com o seu colega, como também os seus conhecimentos. Procure ajudar, inte-ragir nos momentos de estudos, pois todos nós, numa sala de aula, temos um único objetivo: fazer amizade e adquirir conhecimentos.

Agradecimentos:

• Aos meus pais Antônio Bernardo Filho e Josabete Ribeiro Bernardo por todo apoio que me deram para ser o que sou.

• Aos meus filhos Nayane, Nayara e Pedro e minha esposa Elizabeth Christine que acompanharam todos os passos.

• Aos professores Helena e Ferrerinha que nos mo-mentos de aulas vagas me auxiliaram na revisão de alguns tópicos.

• Aos demais professores do Colégio da Polícia Mili-tar de Pernambuco pelo incentivo.

• Ao mestre professor Luiz Gonzaga Cabral que me deu a experiência e me fez criar o hábito de escrever trabalhos didáticos.


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CAPÍTULO 1

Por que Estudar Física? 1-Introdução à Física. Certamente está clara na cabeça do jovem a necessi-dade de estudar e aprender a sua língua mãe e até mesmo uma língua universal como é o inglês. Mas nem sempre isto está claro, quando a matéria a ser estudada é Física ou Quí-mica, por exemplo. Pergunta o aluno: “Para que estudar tantas leis, seguidas de fórmulas matemáticas se não vou precisar disto no meu dia- a- dia?” Acho que professores que lecionam estas ciências já experimentaram o gostinho de responder a esta pergunta e tentar fazer o aluno compre-ender a necessidade de que todos nós temos que ter conhe-cimentos básicos de ciência de um modo geral. Tais conhe-cimentos são fundamentais para podermos nos relacionar bem com o universo que nos envolve e com isto tirarmos proveito para uma vida melhor e mais saudável. O que acon-teceria, por exemplo, se dois cidadãos (um alfabetizado e outro analfabeto) tivessem a oportunidade de conhecer uma cidade grande por conta própria sem guia turístico? Pense e relacione algumas dificuldades. Em 01 Fevereiro de 2003, vimos e ouvimos a notícia do ônibus espacial, tripulado por sete astronautas, que prati-camente se desintegrou ao entrar na atmosfera devido a, certamente, uma falha no seu revestimento externo no que diz respeito ao seu isolamento térmico. Que diferença há no entendimento desta notícia, para uma pessoa que pelo me-nos cursou o ensino médio e outra que não cursou? Reflita.


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2-Como nasce uma pesquisa científica. A ciência não foi construída num passe de mágica, ela começou a partir de observações que vinham principal-mente do céu, onde o homem procurava entender os movi-mentos aparentes da lua, do sol e das estrelas vistas por ele daqui da terra. Procuravam entender e se relacionar com a natureza para com isto tirar proveito no plantio das lavouras e delas obter o seu sustento. Desde os filósofos gregos até o século XVII, a “Física” fazia parte das ciências naturais, ou seja, era tudo relacionado à natureza, daí a palavra Física que vem do grego physiké, ciência das coisas naturais. Uma pesquisa científica, muitas vezes, nasce de uma observação de um fato, e aí dentro dos conhecimentos da física tenta-se explicar o fato observado. Outras vezes ocor-re o contrário, o cientista tem uma hipótese e aí faz experi-ências para comprovar se a sua hipótese está correta. De um modo geral, o objetivo da Física é estabelecer leis, muitas vezes expressas por fórmulas matemáticas, que expliquem os fenômenos que ocorrem na natureza. Os fenômenos po-dem ser classificados em dois tipos: Fenômeno Físico e Fe-nômeno Químico.

a) Fenômeno Físico: Um fenômeno é dito Físico quando não se verifica formação de nova substância, ou seja, não altera a natureza dos corpos.

b) Fenômeno Químico: Um fenômeno é dito Químico quando se verifica formação de nova substância, ou seja, altera a natureza dos corpos.


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Observação: Em reações nucleares, onde há interação entre nú-cleos, observa-se que há for-mação de nova substância e, no entanto, o fenômeno é Físico, pois o que há é uma transformação nuclear em nível de Núcleo e não em nível de Eletrosfera. EXEMPLOS: Fenômeno

Classificação

Fusão do gelo Físico Quebra de um palito de fósforo Físico Queima de um palito de fósforo Químico Comprimido efervescente com água Químico Áreas da Física

Até o final do século XIX o estudo da Física era divido em: • Mecânica - que estuda os movimentos e todas as gran-

dezas com movimento. • Termologia - que estuda o calor e seus efeitos. • Ótica - que estuda a luz e subdivide em: Ótica Geomé-

trica e Óptica Física.

Partícula α sendo emi-tida por um átomo radi-oativo


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• Ondulatória - que estuda os fenômenos relacionados a ondas, por exemplo, o som.

• Eletromagnetismo - que estuda os fenômenos elétricos e magnéticos.

Esta Física é conhecida como a Física clássica. A partir

do século XX surgem: • A Relatividade - que é usada quando trabalhamos com

corpos que possuem velocidades muito grandes próxi-mas da velocidade da luz.

• A Mecânica Quântica - que é usada quando se trabalha com partículas.

Esta Física é conhecida como Física Moderna.

3-Grandezas e Unidades

Tudo que pode ser medido e ter associado a essa medição um número e uma unidade, é denominado de Grandeza Física. Como exemplo de grandezas físicas te-mos: tempo, comprimento, massa, velocidade, temperatura, pressão etc. Grandeza Es- calar As grandezas físicas são classificadas em: Grandeza Veto- rial


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a) GRANDEZA ESCALAR Toda grandeza que fica bem definida apenas pelo valor numérico e a unidade de medida associada a ela é dita uma grandeza escalar. Exemplos:

• O comprimento daquela estrada é de 10 km • O edifício tem 80m de altura. • Comprei 2 kg de feijão • A temperatura de meu corpo é de 37 ºC.

b) GRANDEZA VETORIAL

Toda grandeza que, para ficar perfeitamente caracte-rizada, precisar além do valor numérico e da unidade, acres-centar a ela uma direção e um sentido é dita grandeza veto-rial. Exemplos: • A força que apliquei para empurrar aquele carro foi de

300N com direção horizontal e sentido para direita. Grandeza Física Força Intensidade 300 N Direção Horizontal Sentido Para direita. Se disséssemos apenas o módulo da grandeza (300N), a in-formação estaria incompleta.

Valor nu-mérico

Unidade de medida


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• A velocidade do ônibus espacial no primeiro minuto de lançamento é de 5 Km/s, direção vertical, sentido para cima.

Grandeza Física Velocidade Intensidade 5 Km/s Direção Vertical Sentido Para cima. • Ao chutar uma bola para cobrança de falta, diante de

uma barreira, um jogador impulsionou a bola de um ân-gulo de 60º e velocidade de 100m/s.

Grandeza Física Velocidade Intensidade 100 m/s Direção 60º com a horizontal Sentido Para cima. 4- Sistema de Unidades de Medidas

O sistema de unidade adotado oficialmente no Brasil e na maioria dos países é o Sistema Internacional de Unida-

60º


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de (S.I), que foi adotado em 1960 na 11º Conferência Geral de Pesos e Medidas. No SI (Sistema Internacional de Unidade) há sete unidades denominadas de Grandezas Fundamentais. As outras grandezas que são definidas a partir dessas são cha-madas de Grandezas Derivadas.

Unidades fundamentais do S.I

Grandeza

Unidade

Símbolo

comprimento metro m

massa quilograma kg

tempo segundos s

corrente elétrica ampère A

temperatura termodinâmica Kelvin K

quantidade de matéria mol mol

Intensidade luminosa candela cd

Unidades derivadas do S.I

Grandeza Unidade Símbolo

área metro quadrado m2

volume metro cúbico m3

densidade quilograma por metro cúbico Kg/m3

velocidade metro por segundo m/s

aceleração metro por segundo ao quadrado m/s2

o o o

o o o


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5- Unidades de Comprimento, Tempo e Massa É oportuno relembrarmos o uso destas unidades, já que elas farão parte de agora por diante do nosso conteúdo de Física na resolução de problemas e, para isto, temos que estar bem familiarizados com elas. • Comprimento

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Km hm dam m dm cm mm

O deslocamento da virgula dá-se para direita ou para es-querda, conforme o deslocamento na escala métrica.

♦ Exercícios /Exemplos 1- Transforme em metro. a) 1km =1000m f) 0,35hm = k) 23mm = 0,023 m b) 3 km = g) 8dam = l) 52dm = c) 2,5 km = h) 100cm = m) 0,28mm = d) 0,35 km =350m i) 38,4cm = 0,384m n) 4,5cm = e) 3 hm = j) 1000mm = o) 0,002mm = • Tempo Vamos relacionar algumas unidades de tempo.

s

h

60min1

min601

==

Portanto, podemos afirmar que sh 3600min601 == .


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Outras relações:

diasano

hdia

3651

241

==

♦ Exercícios /Exemplos 1-Quantos minutos há em 2,5 h?

Solução: Através de uma regra de três simples e direta podemos re-solver.

Xh

xXX

h

→

==⇒=→

5,2

min1505,26060

5,2

1min601

2-Um carro partiu da cidade do Recife justamente quando o meu relógio marcava 2h 18 min 35s. Chegou a Caruaru às 3h 45 min 59s. Quanto tempo levou o carro nesse trajeto? Obs: Esse tempo que se quer determinar chama-se intervalo de tempo e é representado por:t∆ Solução:

Se chamarmos de ti o instante inicial e de tf o instante final correspondendo, respectivamente, ao instante de parti-da e de chegada temos: if ttt −=∆ .


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sht

sht

sht

i

f

24min271

__________________

35min182

59min453

→∆

−→

→

O intervalo de tempo gasto pelo carro foi de

sht 24min271=∆ 3- Determine o intervalo de tempo para os carros A, B, C e D preenchendo a última coluna da tabela. Instante de par-

tida ti

Instante de chega-da tf

Intervalo de tempo ∆t

Carro A 4h 20 min 15 s 6h 10 min 30 s Carro B 1h 30 min 6h 20 min 20 s Carro C 2h 40 min 20 s 8h 30 min Carro D 15h 23 min 19h

• Massa

O deslocamento da virgula dá-se da mesma forma que no comprimento.

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama kg hg dag g dg cg mg


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♦ Exercícios /Exemplos 1-Transforme para quilograma a) 1000g = 1kg d) 23,58 hg = b) 20000dg = e) 1mg = c) 0,0023mg = f) 30000mg = 2-Determine a densidade de certo líquido cuja massa é de 50000 g e volume de 500000 cl . Expresse a sua resposta no SI. Obs.: Veja a definição de densidade na tabela da página 15 e lembres-se que 1litro = 1dm3. Solução:

• Outras Unidades

As unidades relacionadas abaixo, embora não façam parte do Sistema Internacional de unidades (SI), são bastan-te usadas e, certamente, você vai precisar na resolução de problemas durante o estudo de Física e Química. • 1 polegada = 2,54 cm • 1 pé = 12 polegadas • 1 milha marítima = 1852 m • 1 jarda = 3 pés • 1 mícron =10-6m • 1 angstron = 10-10m • 1 litro = 1dm3 • 1 tonelada =1000 kg • 1 u.m.a = 1,66. 10-27 kg


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Exercícios Propostos 1.1 1- (ESAL-MG) A física é uma ciência que: a.( ) cria novos mecanismos para controlar a natureza. b.( ) controla o comportamento da natureza. c.( ) age no sentido de explicar o comportamento da nature-za. d.( ) estabelece leis que a natureza deve cumprir. e.( ) cria condicionantes para governar os fenômenos natu-rais.

2-Você, que é um aluno atento, deve ter lido e até respondi-do mentalmente algumas questões dentro do texto de intro-dução à física. Então, responda agora por extenso:

a) A pergunta do 1º parágrafo linha 14 b) A pergunta do 2º parágrafo linha 6

3-Um automóvel parte do Recife às 12h 40 min em sentido a Garanhuns e leva 3h 30min para chegar. Qual foi o instan-te de chegada? 4-O que difere uma Grandeza Escalar de uma Grandeza Vetorial?

5-Um professor de Física fazendo demonstrações para seus alunos de lançamento de projétil lança um foguete com uma velocidade de 100m/s. Diante desta afirmativa, indique qual figura representa melhor esse lançamento.


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6- O que faltou como complemento da grandeza velocidade, para a identificação do referido lançamento? 7- Para cada item da questão de nº 5 dê todas as característi-cas da grandeza vetorial que represente corretamente o lan-çamento. Use o transferidor para informar a direção. 8-A grandeza velocidade é composta por quantas grandezas fundamentais? Em que unidade do SI ela é representada? 9-Quantos centímetros tem 1 jarda ? 10-Transforme as velocidades para km/h. a) 20 m/s = b) 10 m/s = c) 2 m/s = d) 50 cm/s = 11-Transforme para m/s. a)108 km/h = b) 72 km/h = c)180 km/h = d) 36 km/h =


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a x10n , onde 1≤ a<10 e n∈Z

12- (OBF 2006) As aulas de um colégio têm início às 7h 30min, todos os dias. Num determinado dia o relógio apre-sentou um mau funcionamento e o sinal de término soou às 13h 15 min 20s. A duração das aulas neste dia no colégio foi: a) 6h 15 min 20s. b) 6h 45 min 20s. c) Exatamente 6h. d) 5h 45 min 40s. e) 5h 45 min 20s. 13-(OBF- 2009) Considere um bloco de madeira com uma massa total igual a 540 kg. Este tipo de madeira possui 1 g de material em cada centímetro cúbico. Suponha que você adicione 50 g de madeira ao bloco. De quanto aumentaria o volume do bloco inteiro? 6-Notação Científica e Ordem de Grandeza • Notação Científica

No estudo da Física e da Química é comum aparecer

números muito grandes ou pequenos demais. Por exemplo, a velocidade da luz que é smc /300000000= . O diâmetro de um átomo de hidrogênio é de: dh=0,0000000001m. Para trabalharmos com números deste tipo, vamos utilizar uma ferramenta matemática denominada de potência de 10 e, ao mesmo tempo, expressá-los em Notação Científica da se-guinte forma: Todo número muito grande ou pequeno de-mais pode ser escrito como um número compreendido entre 1 e 10, multiplicado por uma potência de 10 adequada.


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♦ Exercícios /Exemplos 1-Escreva os números em notação científica.

a) 3840000 = 3,84 x10 6 f) 0,0025 = b) 5000000 = g) 35,46 = c) 56,5 = h) 300000000 m/s = d) 0,000049 = i) 0,0000000001 m = e) 0,0003 = 3 x 10 -4 j) 0,5 =

Solução: a) Sabemos que o número tem que ficar na forma nxa 10 ,

onde 1≤ a <10, portanto deslocamos a vírgula para ficar entre o 3 e o 8 e contamos o número de casas percorridas pela vírgula que será o valor do expoente n. Se a vírgula corre para esquerda o expoente será positivo. Caso contrá-rio, será negativo.

6108,3840000,33840000 x=→ n = 6 e) 0,000049 →000004,9 = 4,9 x 10 -5

n = 5


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• Ordem de Grandeza

Muitas vezes precisamos apenas saber o valor aproximado de uma medida e não o seu valor exato, daí estimamos o valor da medida através de cálculos aproximados que nos fornecem o valor próximo do real. Podemos determinar aproxi-madamente a altura de um edifício, por exemplo, apenas fazendo esti-mativas, pois a altura do piso até o teto é aproximadamente de 3m e a espessura da laje é de aproximadamente de 30 cm. Diante dessa informação faça uma estimativa da altura do edifício que você mora ou de um edifício perto da sua casa.

Para expressar a ordem de grandeza de um número (grandeza física), determinamos a potência de 10 que mais se aproxima da medida.

♦ Exercícios/Exemplos 1-Se um edifício possui 20 andares estime a sua altura. Obs.: A altura do pilar é de 4,0 m e possui 21 lajes. Solução: Número de andares 20; Número de lajes 21 e, portanto a estimativa de sua altura é:

Laje


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.0,4

3,66303021

60320

mpilarAltura

mcmcmx

mmx

===

2-Represente a ordem de grandeza dos números abaixo: a) 65 b) 30 c) 52 d) 4 e) 5,2 f) 5,8 Solução:

21 10651065) <<→a , 65 está mais próximo de 102, logo a OG = 102.

21 10301030) <<→b , 30 está mais próximo de 10, logo a OG = 10. c) 21 10521052 <<→ , 52 está mais próximo de 101 , logo a OG = 101

d) 10 104104 <<→ , 4 está mais próximo de 100, logo OG = 100

e) f) 10 108,5108,5 <<→ , 5,8 está mais próximo de 101, logo OG = 101.

Uma forma prática de obtermos a OG de um número qualquer é primeiramente expressá-lo em notação científica na forma nxa 10 , onde 1≤ a <10. Em seguida comparar-mos a com posição média entre 1 e10 que é 5,5.

Logo a altura aproximada é de 70,3m


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Se a > 5,5 aproximamos a de 101

Se a < 5,5 aproximamos a de 100

3- Determine a ordem de grandeza de: a) 500 e) 8,9 x10-8

b) 823 f) 5,58 x 103 c) 6345 g) 0,435 d) 8,4 x108 OG= 101x108=109 h) 0,00003 4-Expresse a ordem de grandeza em segundos, para uma pessoa que tem 15 anos e 3 meses de idade. (admita um ano de 365 dias e um mês de 30 dias). Solução


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7- Operações com Potência de 10

Agora que já aprendemos a expressar um número em notação científica, precisamos também saber operar com ela, para que os cálculos fiquem mais simples. • Comparação ♦ Exercícios / Exemplos 1-Coloque em ordem crescente os números expressos em potência de 10.(Expoentes iguais) a) 31075,3 x , 33 1031084,3 xex Observe que, quando os expoentes são iguais, menor será aquele que possuir o menor número multiplicando a potên-cia de 10. b) 222 101103,6,1084,5 xexx c) 2 2 2 23,45 10 ; 84,3 10 ; 2,4 10 3,25 10x x x e x− − − − d) 5 5 5 50,2 10 ; 0,02 10 ; 0,01 10 ; 0,015 10x x x e x 2- Coloque em ordem crescente os números expressos em potência de 10.(Expoentes desiguais)


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a) 3 2 23,4 10 ; 3,4 10 8,4 10x x e x 2 2 234 10 ; 3,4 10 8,4 10x x e x

222 1034104,8104,3 xxx << Observe que igualamos os expoentes e daí procedemos normalmente. b) 5 4 35,8 10 ; 5,85 10 0,58 10x x e x− − − c) 2 3 56,3 10 ; 6,3 10 6,3 10x x e x− − − d) 2 3 32,4 10 ;35 10 2,5 10x x e x− − − • Multiplicação

nmnm xbabxa += 10.10.10.

♦ Exercícios/Exemplos 1-Desenvolva as multiplicações:

a) 73434 1015101053105103 xxxxxxx ==

b) ( ) =− 25 103108 xxx

c) =− 46 10105 xx

d) ( ) =−− −− 23 107105 xxx


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• Divisão

nmnmn

mnm x

b

ax

b

a

b

aba −− === 101010

10.

10.10.:10.

♦ Exercícios/Exemplos 1- Desenvolva as divisões:

a) 75125

12512 10210102

104

108104:108 xxx

x

xxx === −

b) =104 1020:1016 xx

c) =84

65

103102

108103

xxx

xxx

d) =46 104

8:10

3

2xx

• Potenciação

( ) mxnnnm xaxa 1010 = ♦ Exercícios/Exemplos 1- Desenvolva:

a)( ) 623223 109103103 xxx x == b)( ) =− 35102x


30

c)( )

=4

2

103

103

x

x d)( ) =−25105x

• Radiciação

n

mnn mnn m xaxaa 101010. ==

♦ Exercícios / Exemplos 1- Simplifique os radicais:

a) 48 1081064 xx =

b) =6 12106410 xx

c) =10

6

10

10

• Adição e Subtração

Na adição e subtração de números escritos em potên-cia de 10, colocamos as potências com os expoentes no mesmo valor, o que facilita a adição, pois podemos assim, colocar em evidência a potência de 10.


31

♦ Exercícios /Exemplos 1-Efetue, expressando o resultado em notação científica.

a) ( ) 322

222232

106,51056101543

10105410310104,5103

xxx

xxxx

==−+==−+=−+

b) =++ −− 312 1041003,0108 xxx c) =+−+− 6455 104101045103 xxx Exercícios Propostos 1.2 1- Efetue as operações colocando a resposta em notação científica e em seguida dê a ordem de grandeza (OG) do resultado. a) =45 104102,3 xxx b) =52 102103,1 xxx c) =−43 107108 xxx d) =85 102:104 xx

e) ( ) =− 25103x


32

f) =21081x

g) =+ 22 1021079 xx h) =+ 43 106,7102,3 xx

i) =−+ −− 642

6

4

106103103102

108xxxx

x

x

j) =5105,2 x

l) (5000000 x 9000000)2 : 15 x 105 = 2-A lei da gravitação universal nos diz que a força de atra-ção entre dois corpos de massa m1 e outro de massa m2, que estejam separados um do outro de uma distância d, é dada

por:2

21..

d

mmGFG = , onde G é chamada de Constante Uni-

versal da Gravidade e tem como valor: 111067,6 −= xG . Determine o valor numérico da expressão, quando m1=9,1x10-31

, m2=1,67x10 -27 e d=5,3x10-11. 3- (UFPE-2006 Adaptado) Albert Einstein revolucionou a nossa idéia sobre a natureza com a teoria da relatividade. A equivalência entre massa e energia com a famosa equação

2mcE = constitui um dos resultados importantes da teoria da relatividade. Nesta equação m é a massa do corpo e c é a


33

velocidade da luz. Determine a ordem de grandeza em Jou-les do equivalente em energia da massa de um pãozinho de 50g. Expresse as grandezas no SI, para que a energia seja dada na unidade do SI (Joules). a) 109 b0 1011 c) 1013 d) 1015 e) 1017

4- (UFPE) Qual a ordem de grandeza, em km/h, da veloci-dade orbital da terra em torno do Sol? A distância média Terra ao Sol é 1,5x108km 5-(OBF-2010) Faça uma estimativa de quantos passos um maratonista dá durante uma prova (lembre-se que a marato-na é uma prova com 42 km. a) 35.000 b) 420 c) 4.200 d) 3.500 e) 420.000 6-(OBF-2010) Quantas barrinhas de cereal são necessárias, como referência, para medir uma linha de 100 m? a) 100 b) 1.000 c) 1 x 106 d) 1 x 107 e) 1 x 108 7- (OBF-2010) Quanto tempo (em horas) são necessários para se contar até um milhão? a) 10 b) 27 c) 278 d) 10.000 e) 2.777 8-(OBF-2010) O mundo tem hoje aproximadamente 6 bi-lhões de habitantes. Quantos litros de água estão armazena-dos na população humana? a) 6 x 109 b) 6 x 108 c) 2,5 x 1011 d) 2,5 x 109 e) 5 x 10 .


34

8-Algarismos Significativos

Na Física experimental, a Pesquisa é realizada atra-vés de levantamentos de dados que são feitos com observa-ções e medições, tendo o instrumento de medida como a ferramenta necessária para tal fim. A precisão dessas medi-das depende não só da pessoa que está executando as medi-das, mas também do próprio instrumento de medida. Quanto mais preciso o instrumento de medida, mais ficamos perto do valor real da grandeza que queremos medir. Quando fa-lamos em instrumento de medida, estamos nos referindo a um simples cronômetro, balança, trena ou até mesmo a um sofisticado micrômetro que tem uma precisão de

msejaoum 000001,0,,10 6− . Uma medida deve ser expressa com a quantidade de

algarismos que indique a precisão do instrumento utilizado. Portanto uma medida, por exemplo, de 30,00 cm é diferente de 30,0 cm ou de 30 cm simplesmente. Matematicamente, podemos dizer que esses números são iguais, mas no que diz respeito a Grandezas Físicas, são bem diferentes, pois 30,00 cm é a grandeza mais precisa, com uma precisão de centésimo de centímetros (0,01cm).

Vamos agora tentar mostrar, através de uma ilustra-ção o que foi dito acima. Observe o comprimento de um lápis que está sendo medido por uma régua calibrada apenas em centímetro (régua A). Nesta comparação de medida po-deríamos estimar o comprimento do lápis em 3,6 cm, 3,7 cm ou até mesmo 3,8 cm, onde o último algarismo seria o alga-rismo avaliado, ou seja, o duvidoso, pois a precisão da régua é em centímetro e não em décimos de centímetros.


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Está claro que não faz sentido em tentar estimar ou-tro algarismo para a medida, acrescentando, por exemplo, 5 e representar a medida como sendo 3,65 cm ou 3,75 cm. Se 6 ou 7 já são duvidosos , quanto mais o algarismo 5!

Fazendo uso de uma régua mais precisa (régua B) que tem precisão em milímetro, ou seja, décimos de centí-metro (0,1cm), o aluno pode verificar que fica mais fácil estimar o tamanho do lápis aproximando mais de sua medi-da real. A leitura será, portanto 3,65cm, onde 3 e 6 são valo-res corretos e 5 passa ser o valor duvidoso. Portanto, podemos definir algarismos significativos como: Algarismos significativos de uma medida são os algaris-mos corretos e o primeiro algarismo duvidoso.

3,6cm ; 3,7cm Correto Duvidoso


36

♦ Exercícios/Exemplos 1-Numa corrida de fórmula 1, um piloto olha para o velocí-metro do carro e informa que a sua velocidade é de 285 km/h. Diante de seus conhecimentos sobre algarismos signi-ficativos, e sabendo que o piloto expressa essa grandeza com algarismos significativos, pergunta-se: a) Quais os algarismos corretos, lidos, pelo piloto? b) Qual o algarismo que foi avaliado? c) Se ele tivesse informado que sua velocidade era de 285,0 km/h que diferença haveria entre essa leitura e a anterior? Solução: 9-Operações com Algarismos Significativos • Arredondamento

Às vezes precisamos diminuir a precisão de uma medida, a fim de trabalhar com um menor número de casas decimais e, para tal, fazemos o arredondamento da medida que poderá seguir a seguinte regra:

- Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a 5, arredondamos para cima o algarismo que ficou.

- Se o algarismo a ser eliminado for menor que 5, o algarismo que ficar não se altera.


37

• Adição e Subtração

Na adição e subtração de algarismos significativos o resultado deve conter o mesmo número de casas decimais da parcela que contiver o menor número delas, desprezando as demais e fazendo o arredondamento.

♦ Exercícios/Exemplos 1-Expresse a soma das medidas efetuadas com algarismos significativos. • Multiplicação e Divisão

Na multiplicação e divisão, o resultado deve ficar com a quantidade de algarismos significativos do fator que possuir a menor quantidade de algarismos significativos,


38

podendo ainda acrescentar mais um algarismo no resultado, pois as regras para operações com algarismos significativos não são rigorosas.

♦ Exercícios/Exemplos 1-Suponha que medíssemos a área de um retângulo usando as duas réguas citadas nos exemplos acima e encontrásse-mos paras as medidas o seguinte: Largura: 8,9cm (régua A) Comprimento: 10,75 cm (régua B) Área = 8,9 cm x 10,75 cm = 95,675 cm2. Seguindo a regra, teríamos área =96 cm2 ou 95,7 cm2 que também é aceitável. Observe que ao abandonarmos casas decimais, foi aplicado o critério de arredondamento. Exercícios Propostos 1.3 1-Expresse os números abaixo em notação científica e, em seguida, dê a sua ordem de grandeza.

a) 485= 4,85 x 102 → OG = 102 b) 254000= c) 0,85= d) 0,00095= e) 54000000=


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2-Considere a figura abaixo: a) Como você expressaria o comprimento da barra ?

b) Qual é o algarismo correto e o avaliado ?

3- Ao medir a temperatura de uma pessoa através de dois termômetros diferentes, obtiveram-se as seguintes tempera-turas: 36,8 ºC e 36,80 ºC. a) Quais são os algarismos corretos e duvidosos da

primeira e da segunda medida ? b) Qual o instrumento mais preciso ? Por quê ? 4-Determine o perímetro e a área das figuras abaixo medindo diretamente com uma régua as medidas de seus lados e levando em conta os algarismos significativos.


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5-Use a regra de arredondamento para expressar as medidas abaixo com apenas 2 algarismos significativos. a)32,5 m2 = d)3,45 m/s = b) 8,59 g = e)2,75 cm3 = c)52,467 s = f)0,890 kg = 6-Um comprimento de um certo objeto foi medido com instrumentos diferentes, e os resultados foram apresentados como: 10,6 cm e 10,60 cm. Responda. a) Matematicamente os números que representam essas medidas são idênticos? b) A grandeza representada por essas duas medidas são identicas? c) Quantos algarismos significativos há em cada medida e quais são os corretos e os duvidosos? d) Qual a medida mais precisa? e) Dê o resultado da soma dessas duas medidas levando em conta os algarísmos significativos.

CAPÍTULO 2

Coordenadas Cartesianas Introdução

Neste momento é oportuno introduzirmos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pois esse estudo vai facilitar a compreensão do sistema de referência na definição de movimento, repouso e trajetória. Como


41

veremos, esses são conceitos relativos, que dependem de um referencial para defini-los. Embora seja assunto da matemática, iremos abordá-lo aqui, pois talvez seu professor ainda não tenha visto e, portanto, daremos uma introdução breve para continuarmos o nosso programa sem muitas dificuldades. 1- Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogo-nais

Antes de mais nada vamos ver como se dá a localização de um ponto sobre uma reta. Tracemos uma reta e sobre ela coloquemos um ponto de referência (zero), que será a origem. Todos os pontos localizados a sua direita serão positivos, e aqueles a sua esquerda serão negativos, tal como a reta numérica do conjunto dos números reais.

Nesta condição podemos dizer que a posição de A é

–4m e que a posição de B é de 6m. Note que, quando estamos nos referindo à posição de A e de B, estamos indicando a sua distância em relação à origem (zero), à esquerda e à direita, respectivamente.

♦ Exercícios/Exemplos 1-Suponha que a figura abaixo represente a trajetória (caminho percorrido) de uma locomotiva sobre as linhas e


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que a estação esteja localizada na origem. Determine as posições da locomotiva nos instantes t1 , t2 , e t3 . Solução: A posição em t1 é x = -10km. A posição em t2 é x = 0 (origem). A posição em t3 é x = 12km. Observe que o sistema de referência acima é uma reta na qual podemos localizar qualquer ponto em relação à origem.

Suponha agora que a trajetória de nossa locomotiva não fosse exatamente uma reta. Como poderíamos localizá-lo num determinado instante? Veja a figura abaixo.

Acontece que o movimento do trem não foi sobre uma reta.

Trata-se de um movimento composto, ou seja, um movi-mento bidimensional , em duas direções, e a melhor maneira de localizarmos a locomotiva é através de sistemas de eixos ortogonais, chamados de eixo X(horizontal) e eixo Y(vertical). Veja como representamos este sistema de eixos ortogonais.


43

O ponto de intersecção das duas retas coincide com a estação e é a origem dos eixos. Da mesma forma que em uma só dimensão, os pontos sobre o eixo Y possuem pontos positivos e negativos.Um ponto qualquer sobre este plano será dado pelo par ordenado, também chamado de coordenadas cartesianas (x,y), onde x é denominado de abscissa e y de ordenada. De um modo geral, temos: • (x,y) é chamado de par ordenado ou coordenadas de um

ponto sobre um plano. • x é a abscissa e representa a posição medida na direção

do eixo X em relação à origem. • y é a ordenada e representa a posição medida na direção

do eixo Y em relaçào à origem. • X eixo das abscissas. • Y eixo das ordenadas. 2-Dê as coordenadas cartesianas de cada ponto que está localizado no plano cartesiano abaixo.


44

Solução Posição de A (6,6) Posição de C ( , ) Posição de E ( , ) Posição de G Posição de B (12,0) Posição de D ( , ) Posição de F ( , ) Posição de H 3-Localize no plano cartesiano os pontos cujos pares ordenados são dados pela tabela abaixo.

Solução:

4-Diante do que foi estudado, podemos agora localizar a posição da locomotiva qualquer que seja a sua trajetória. Portanto, indique a posição dela no instante t em que ela não possuia trajetória retilínea. Solução:

X Y 3 -4 0 5 0 7 5 0 -2 4 -4 -6 0 0 -2 -8


45

5-Um maquinista observa a velocidade de sua locomotiva anotando de 10 em 10 s a sua velocidade e põe isto numa tabela da seguinte forma:

T(s) V(m/s) 10 20 20 20 30 20 40 20 50 20

a) Represente graficamente o comportamento da velocidade da locomotiva, localizando os pontos da tabela num sistema de eixos ortogonais, onde o eixo horizontal será representado por t(s) (tempo) e o eixo vertical por v(m/s) (velocidade). Ligue os pontos . b) O que podemos afirmar sobre a velocidade da locomotiva observando o gráfico? Solução:


46

CAPÍTULO 3 Conceitos Básicos de Mecânica Introdução à Mecânica

Vimos no Capítulo 1 que a mecânica faz parte do estudo da Física e que dentro da mecânica temos a cinemática. Essa é responsável pelo estudo dos movimentos dos corpos determinando velocidade, posição, espaço percorrido, entre outras coisas, tudo isto sem levar em conta as causas que provocam estes movimentos. O estudo dessas causas já é uma outra parte da mecânica, a Dinâmica, que não é o nosso propósito neste capítulo. Antes de começarmos o estudo da cinemática, temos que introduzir alguns conceitos básicos que serão ouvidos e falados por você daqui por diante no estudo da Física.

1- Referencial

Um referencial pode ser qualquer corpo que

escolhemos como referência , para que possamos localizar a posição de outro corpo em relação a ele. Você agora, neste momento, poderá tomar algo que está em sua volta como ponto de referência, e este será agora o seu referencial para localizar a sua própria posição em relação a ele. Se você está numa sala de aula, o referêncial pode ser a parede a sua frente. A quantos metros desta parede você se localiza ? É verdade que embora você saiba a quantos metros da parede


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você está, isto ainda não localiza a sua posição corretamente. Você poderá estar localizado a uma mesma distância X, assumindo diferentes posicionamentos em uma linha paralela àquela parede. Veja, por exemplo, Einstein à frente do quadro. É preciso que você tome como referência um sistema de eixos de coordenadas, por exemplo, o sistema de coordenadas cartesianas. Vejamos o exemplo seguinte.

♦ Exercícios /Exemplos 1-(NARB) Uma bola encontra-se no canto da parede de uma sala (posição A) e outra no meio da sala (posição B). Adote um sistema de referência e determine a localização das bolas. Os quadrados do assoalho são de 1m2.


48

Solução: Se tomarmos a aresta formada pela parede da janela e o assoalho da sala como eixo X e a aresta formada pela pa-rede da porta e o assoalho da sala com o eixo Y temos: Posição A = (4,0) e posição B = (5,2), onde as abscissas e as ordenadas são dadas em metros.

2-Movimento e Repouso

Os conceitos de movimento e repouso são conceitos

relativos, pois dependem do referencial. O que pode ser movimento para você, poderá ser repouso para outra pessoa.Vejamos a situação representada na figura.

Se tomarmos como referencial a árvore, vemos que o ônibus afasta-se dela e do garoto que acena para a turma, modificando a sua posição em relação a árvore a cada ins-tante. No instante t1 a sua posição é de 10 m, no instante t2 é de 50 m e no instante t3 é de 110 m. Daí concluímos que este ônibus encontra-se em movimento para este referencial. O mesmo não acontece para o aluno que está sentado na última cadeira do ônibus, por exemplo, observando os seus colegas a sua frente. Para ele todos estão em repouso, pois as suas posições não são modificadas em relação ao próprio ônibus (referencial ônibus). Portanto:


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Um corpo está em repouso, em relação a certo refe-rencial, quando a sua posição não se altera em relação a este referencial num determinado intervalo de tempo. Um corpo está em movimento, em relação a certo referencial, quando a sua posição se altera em relação a este referencial num determinado intervalo de tempo. 3-Trajetória O conjunto de todas as posições ocupadas por um corpo em movimento em relação a um determinado referen-cial é denominado de trajetória. A trajetória também é um conceito relativo, pois depende do referencial tomado. Ve-jamos um exemplo clássico e, para isto, vamos analisar um aluno do ônibus escolar que está na última cadeira e resolve fazer um experimento soltando de certa altura uma bola de tênis a fim de verificar a sua trajetória enquanto o ônibus anda com velocidade constante.

Do ponto de vista deste aluno e de qualquer outro que esteja dentro do ônibus, referencial ônibus, a trajetória é uma reta perpendicular, tal como o ônibus estivesse em re-pouso. Acontece que no momento que o aluno solta a bola ela possui a velocidade do ônibus, e o acompanha no seu movimento retilíneo uniforme. Já a pessoa que está próxima à arvore, referencial terra, observa que a trajetória não é


50

retilínea, pois a bola possui um movimento bidimensional, ou seja, em duas direções uma na horizontal,velocidade do ônibus, e outra na vertical, velocidade de queda, resultando em uma trajetória parabólica. 4-Ponto Material e Corpo Extenso Imagine agora que a turma tenha ido fazer um pas-seio de Recife até a cidade de Caruaru. Se analisarmos o sistema trajetória percorrida e o próprio ônibus, podemos considerar este ônibus como sendo um ponto material, pois ele terá as suas dimensões desprezíveis em relação ao cami-nho que ele percorrerá, em torno de 110 km, de Recife a Caruaru. Ao chegar no seu destino, ele estacionará em um local próprio cujas dimensões são comparáveis ao seu tama-nho e, portanto, neste sistema agora ele passará a ser um corpo extenso. 5-Espaço Percorrido e Deslocamento Certo móvel que se desloca de um ponto A para um ponto B poderá fazê-lo percorrendo as trajetórias 1, 2 ou 3 e, em cada caso, as distâncias percorridas (Espaço Percorrido) serão diferentes. No entanto, o seu Deslocamento de A para B é representado por um segmento orientado S∆ , que é a menor distância entre os pontos de partida A e o de chega-da B. O deslocamento é uma grandeza vetorial, ou seja, pos-sui módulo, direção e sentido e já foi mencionado no capí-tulo 1.


51

Observe o seguinte:

Sd ∆≥ , a distância per-corrida (d ) será exatamen-te igual ao deslocamento ∆S , quando a trajetória percorrida for uma reta que liga o ponto de partida

A ao ponto de chegada B. E neste caso d = ∆S. Vamos, a partir de agora, definir deslocamento ∆S como sendo 0SSS −=∆ , onde

móveldoinicialPosiçãoS

móveldofinalPosiçãoS

toDeslocamenS

→→

→∆

0

Sendo assim, a posição de um móvel sobre uma tra-jetória será representada por S. Vejamos os exemplos abai-xo:

♦ Exercícios/Exemplos 1-Um móvel parte de um ponto A sobre uma trajetória e vai até a uma posição B e, em seguida, retorna para C. Observe a figura e responda o que se pede.


52

a) Qual a distância percorrida de A até B? b) Qual o deslocamento efetuado pelo carro de A até B? c) Qual a distância total percorrida pelo carro desde o ins-tante t1 até o instante t3? d) Qual o deslocamento total percorrido pelo carro desde o instante t1 até o instante t3 na posição C? Solução: a) O espaço percorrido (distância percorrida) corresponde efetivamente ao que o móvel percorreu e, no nosso exemplo acima, foi de 100 m, pois ele se desloca da posição SA= -20 m e vai até a posição SB= 80 m. Observe que, como se trata de um movimento no mesmo sentido e com uma mes-ma direção ( retilíneo), a distância percorrida pode ser calcu-lada através da definição de deslocamento 0SSS −=∆

b) mSSS 1002080)20(800 =+=−−=−=∆

c) desde o instante t1 até o instante t3, o móvel vai de A para B e de B para C; logo, a distância percorrida é a soma dos

segmentos mmmBCABd 14040100__________

=+=+= . d) O deslocamento é calculado diretamente por 0SSS −=∆

que corresponde à diferença da posição de chegada e o pon-to de partida.


53

kmS 602040)20(40 =+=−−=∆ Observe que, quando o deslocamento dá-se num só sentido, o deslocamento é numericamente igual à distância percorri-da. É o caso do item a e b deste exercício. Em resumo temos: � Distância percorrida total do móvel é igual à soma dos

valores parciais dos deslocamentos tomados em valores absolutos, ou seja, positivos. A representação de valores absolutos é entre barras.

kmSSd BCAB 1404010040100 =+=−++=∆+∆=

• Deslocamento total é igual à soma algébrica dos deslocamentos parciais, ou seja, temos que levar em conta o sinal do deslocamento.

kmkmkmSSS BCABAC 6040100 =−=∆+∆=∆

Quando o deslocamento tem o mesmo sentido da trajetória 0>∆S , dizemos que o movimento é progressivo. Caso contrário, quando 0<∆S dizemos que o movimento é retrógrado ou regressivo. No nosso exemplo, temos um movimento progressivo de A para B e outro retrógrado de B para C. 2-Uma atleta partindo de A dá voltas em uma pista retangu-lar como mostra a figura abaixo. Determine a distância per-corrida e o seu deslocamento desde o momento da partida nos seguintes casos: a) A distância percorrida por ela quando se encontra em B

e posteriormente em C; b) O seu deslocamento nessas respectivas posições; c) A distância percorrida e o deslocamento em uma volta

completa.


54

Solução:

6-Velocidade Introduziremos agora a Cinemática procurando de imediato conceituar Velocidade, que é um dos seus princí-pios básicos e que estará presente a partir deste Capítulo. Todos nós estamos acostumados a ouvir e entender o comportamento da grandeza física velocidade, até mesmo muito antes de estudar Física como estamos fazendo agora. Acontece que velocidade é uma grandeza física do dia-a-dia e serve para comparar o quanto um carro, por exemplo, é mais rápido que outro. Assim, se dissermos que um carro A possui velocidade de 80 km/h e outro carro B, velocidade de 60 km/h, entendemos facilmente que o carro A é mais veloz que B, pois a cada 1h ele percorre 80 km, enquanto B per-corre 60 km.


55

Quando a velocidade de um móvel se mantém cons-tante dentro de certo inter-valo de tempo, dizemos que o movimento é uni-forme e, caso ele ocorra em uma única direção, teremos um movimento retilíneo uniforme (MRU). Há outros tipos de movimento que podem ser uniformes, por exemplo, a

rotação do CD dentro do aparelho de som, o giro de uma roda gigante num parque de diversão, a rotação da terra so-bre seu eixo.Todos esses movimentos são movimentos cir-culares uniformes. O movimento circular uniforme possui as iniciais (MCU). 7-Velocidade Escalar Média A velocidade escalar média de um móvel pode ser calculada facilmente, pois ela é definida como a razão entre distância percorrida pelo móvel e o intervalo de tempo gasto por ele.

t

dVm ∆

=

Observe que a unidade de velocidade é a razão da unidade de comprimento com o intervalo de tempo e, por-tanto, poderá ser expressa de várias maneiras. Imagine a seguinte situação: Um carro desloca 180 km em 1h; um ho-mem anda 1m em cada segundo; uma formiga anda 2 km por dia; Uma abelha voa 100m a cada 8 segundos. Como


56

vemos, todas essas grandezas são velocidades e que repre-sentamos assim:

Muitas vezes, queremos expressar a velocidade no SI (m/s) e podemos fazer isto facilmente sempre que a veloci-dade está expressa em km/h.

sms

m

h

km/

6,3

1

10.6,3

10

3600

1000

1

13

3

===

Essa transformação nos diz sempre que se uma velocidade estiver expressa em km/h é só dividir por 3,6 que ela passará a ser expressa em m/s. O contrário, para passar de m/s para km/h, é só multiplicar por 3,6.

Em resumo temos:

6,3

/______/

6,3

x

smhkm

÷


57

♦ Exercícios /Exemplos 1-(NARB) Certo passeio escolar foi promovido pelos pro-fessores de História e Geografia a regiões do agreste e sertão do Estado de Pernambuco. Um grupo de alunos partiu no ônibus escolar da cidade do Recife com destino a Petrolina. Chegando lá, após 16h de diversão, trabalho e pesquisa, três alunos, Nayane, Nayara e Pedro resolveram calcular a velo-cidade média do ônibus com os dados que eles anotaram durante a viagem e iniciaram fazendo alguns questionamen-tos entre si. Nayane: - É fácil determinar a velocidade escalar média, pois temos todos os dados. A distância percorrida foi de 960km , o tempo gasto foi de 16h, então:

hkmh

km

t

dVm /60

16

960 ==∆

=

Nayara: - Acho que não é assim. Alguma coisa está errada! Pedro: - Concordo com Nayara, pois houve momentos em que o ônibus estava com velocidade de 100km/h. Nós vi-mos, pois estávamos lá na frente com o motorista. Nayane:- Vocês estão certos! Na verdade houve até mo-mentos em que a velocidade foi zero. Vocês não se lembram das paradas que fizemos em Gravatá, Caruaru e Buíque? Porém a coisa não é bem assim. Nayara e Pedro:- Então! O que é realmente velocidade média? Nayane:- Velocidade escalar média é a velocidade que o ônibus (móvel) deveria ter para fazer o percurso sem alterar a sua velocidade, gastando exatamente o mesmo intervalo de tempo. No nosso caso, a velocidade média do ônibus foi


58

de 60km/h e com esta velocidade constante, o ônibus levaria exatamente 16 horas para percorrer 960 km. 2-Sabe-se que a velocidade da luz é de smc /10.3 8= . Qual a distância percorrida pela luz em 1 min? Solução: Como a velocidade da luz é constante, então pode-mos através do conceito de velocidade média determinar a distância percorrida.

mmssmS

tVSt

SV

1088 10.8,110.18060./10.3

.

===∆

∆=∆⇒∆∆=

3- Um carro percorre dois trechos de uma estrada AB= 36 km e BC=72 km com velocidades médias de 20m/s e 10m/s, respectivamente. Determine a velocidade escalar média no percurso total e a velocidade vetorial média.

Solução:


59

A velocidade escalar média é, por definição, a razão entre o espaço percorrido e o intervalo de tempo gasto para efetuar o referido espaço. Daí temos:

tt

BCABV

∆+=

∆+= 7236

O intervalo de tempo total pode-

se obter determinando o intervalo de tempo parcial do tre-cho AB e do trecho BC. Cálculos dos intervalos parciais de tempo. Antes temos que fazer uma transformação de unidade de m/s para km/h das velocidades 20m/s e 10m/s, que no caso é só multiplicar por 3,6.

hkmxs

mhkmx

s

m/366,3

10/726,3

20 ==

Da equação

hhkm

km

V

Sttemos

t

sV

AB

ABB 5,0

/72

36: ==

∆=∆

∆∆= A

hhkm

km

V

St

BC

BCBC 2

/36

72 ==∆

=∆

Logo o intervalo de tempo total será: hhhtt BCAB 5,225,0 =+=∆+∆ , portanto:

hkmh

km

h

kmVAC /2,43

5,2

108

5,2

)7236( ==+=

A velocidade vetorial é definida como a razão entre o deslo-camento e o intervalo de tempo. O deslocamento é exata-


60

mente a hipotenusa, que calculada nos dar um valor aproxi-

mado de 80,5km e, portanto 80,5

32,2 /2,5

S kmv km h

t

→ ∆= = =∆

4-Um trem com velocidade escalar de 72 km/h leva 1min para atravessar um túnel de 800 m de comprimento. Qual o comprimento do trem? Solução: Vamos observar a figura abaixo e fixar a nossa aten-ção em um ponto qualquer do trem, por exemplo, um ponto P situado no começo da locomotiva. O trem começa a entrar no túnel quando este ponto está no início do túnel. O trem sai completamente, quando o vagão deixa o túnel e, neste momento, o ponto P deslocou-se o equivalente ao tamanho do túnel mais o seu próprio comprimento desde o momento da sua entrada, ou seja, 1min atrás. Usando o conceito de velocidade média e fazendo algumas transformações temos: 72 km/h=20 m/s e 1min = 60s 8-Velocidade Instantânea A velocidade instantânea, como o próprio nome diz, é a velocidade num certo instante em um ponto qualquer da trajetória do móvel. O que o velocímetro de um veículo marca é exatamente a velocidade instantânea naquele ponto.


61

Sabemos que a velocidade média dentro de certo deslocamento é a razão da medida desse deslocamento pelo intervalo de tempo que o móvel levou para efetuar o referido

deslocamento t

SV

∆∆= . Quanto maior for o deslocamento,

maior será o intervalo de tempo medido e, portanto, maior será a incerteza da velocidade instantânea em um ponto do deslocamento. Se fizermos a contagem de tempo entre um instante e outro o mais perto possível, menor será o deslo-camento efetuado pelo móvel e aí maior será a precisão da velocidade média que, neste caso, para intervalo de tempo pequeno (∆t→0) será a velocidade instantânea do móvel. Observação: A nomenclatura ∆t→0 (Delta t, tendendo a zero) significa que o instante final e inicial são muito pró-ximos. A fórmula matemática que traduz o conceito de velocidade instantânea é : Esta fórmula nos diz que a velocidade instantânea é a razão entre o deslocamento percorrido pelo móvel e o in-tervalo de tempo, quando este tende a zero, ou seja, quando os instantes finais e inicias são muito próximos (No limite de ∆t→ 0) Observação: Você terá a oportunidade de calcular juntamen-te com seus colegas a velocidade instantânea de um móvel, no laboratório, com a orientação do seu professor.


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Exercícios Propostos 3.1 1- Conceitue o que é velocidade. 2- Conceitue o que é velocidade média 3- Referente ao diálogo do exercício/exemplo nº1 do tópico 7 Velocidade Escalar Média responda: a) O passeio realizado foi com o intuito de aprender Física? b) Quem são os personagens do diálogo? c) O que fez Pedro e Nayara questionarem a Nayane, quanto ao cálculo da velocidade média? d) Qual seria a velocidade média do ônibus se gastasse ape-nas 14h de viagem? 4- Conceitue o que é velocidade instantânea. 5- Uma motocicleta percorreu 56000 m com uma velocidade de 80 km/h. Calcule quantos minutos foram gastos para rea-lizar o percurso? 6- Um atleta corre com velocidade de 10 km/h durante 5min. Determine a distância percorrida por ele nesse inter-valo de tempo? 7- Um motorista em um automóvel, partiu de uma cidade A com destino a uma cidade B às 11h e 15 min. Durante o percurso ele fez duas paradas de 10 e 35 min, respectiva-mente para abastecer e almoçar. Qual foi a sua velocidade média se a chegada à cidade B foi às 16 h com um percurso de 500 km?


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8-(NARB) Em ci-dades grandes como o Recife, em horá-rios de movimento, a velocidade média de um carro chega a ser de 20 km/h. De-termine o intervalo de tempo que um carro leva nesses horários para percorrer 5 km de distância? 9- Um carro percorre dois trechos de uma estrada AB = 36 km e BC =12 km com velocidades médias de 20m/s e 10 m/s, respectivamente. Determine a velocidade média no percurso total? 10-(NARB) As lombadas eletrônicas usam o princípio da velocidade média para determinar a velocidade com que os veículos passam em certos trechos das rodovias. O sistema consiste em dois sensores sob o pavimento que são aciona-dos quando os pneus dianteiros passam sobre o 1º e 2º sen-sor, e que realiza a contagem de tempo com que os pneus passaram entre um e outro. Determine a velocidade que será exibida no painel da figura abaixo, sabendo que a distância entre os sensores é de 5 m e que o intervalo de tempo foi de 0,5 s.


64

11-(NARB) Em um percurso de 1200 m, um automóvel desenvolveu a velocidade escalar constante de 72 km/h na primeira metade e de 108 km/h na segunda metade, an-dando sempre no mesmo sentido. Determine: a) o intervalo de tempo gasto em cada trecho; b) a velocidade escalar média no percurso inteiro. 12- O eco é um fenômeno físico devido a reflexão do som quando este encontra certos obstáculos em sua frente duran-te a sua propagação. Sabe-se que a velocidade do som no ar é de 340 m/s e que um garoto diante de uma montanha dá um grito e ouve o eco após 2s. A que distância ele se encon-tra da montanha? 13-(UFPE) Numa corrida de 400 m, o vencedor cruza a li-nha de chegada 50 s depois da largada. Sabendo que o últi-mo colocado fez o percurso com uma velocidade média 10% menor que o primeiro, a que distância, em metros, da linha de chegada ele estava quando o vencedor chegou? 14-(UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira metade da pista na velocidade média de 60 km/h e a segunda meta-de a 90 km/h. Qual a velocidade média durante o teste com-pleto, em km/h? 15) (OBF 2006) Um móvel vai de um ponto A até um pon-to B, distante 100km, em 2h, e do ponto B ao ponto C distante 140km, sendo a velocidade escalar mé-dia de A à C de 48km/h. Qual o tempo gasto de B à C? a) 1h. d) 4h b) 2h e).5h c) 3h.


65

16. (OBF-2009) Ao meio dia de domingo um avião parte da cidade A rumo à cidade B que fica ao norte de A (vide figu-ra ), percorrendo a distância de 300 km em um tempo de 3,00 h. Permanece em B por 2,00 h, e em seguida toma o sentido leste com destino à cidade C que fica a 400 km de B gastando 1,50 h para fazer o percurso. a) Calcule a velocidade escalar média (em km/h) do avião

no percurso entre as cidades A e C. b) Calcule o módulo da velocidade vetorial média (em km/h) entre as cidades A e C.

9- Movimento Uniforme (MU) Todo movimento uniforme possui velocidade cons-tante e, portanto, a velocidade média é a própria velocidade do movimento, pois ela não varia. Raciocinando desta for-ma, podemos afirmar que a velocidade instantânea de um movimento uniforme é também a própria velocidade do mo-vimento, pois a cada instante a sua velocidade é a mesma. A partir de agora, quando quisermos enfatizar que certo móvel possui velocidade constante em uma só direção, passaremos a chamá-lo de movimento retilíneo uniforme


66

(MRU), cuja equação para determinar a velocidade é a

mesma que usamos até este momento, ou seja, t

SV

∆∆= .

Outra maneira de dizermos que um movimento é uniforme é dizer que ele percorre espaços iguais sempre em tempos iguais. 10 - Sinal da velocidade (Movimento Progressivo e Movimento Retrógrado) Já falamos um pouco anteriormente e vamos agora enfatizar o tipo de movimento que é classificado quanto ao sentido da velocidade na trajetória.

• Progressivo: Movimento que se dá no mesmo sentido da trajetória e, neste caso, ∆S>0 e, por-tanto, V>0.

• Retrógrado: Movimento que se dá no sentido contrário à trajetória e, neste caso, ∆S<0 e, por-tanto, V<0.

♦ Exercícios/Exemplos 1-Um móvel, com velocidade constante, desloca-se numa trajetória retilínea conforme figuras abaixo. Determine, em cada, caso a velocidade e o tipo de movimento. 1° caso


67

Solução: Analisando o movimento desde o instante t1=0 até t2=2s temos: ∆S=S-S0=10-5=+5m, daí

smt

Sv /5,2

2

5 +=+=∆∆= (MRU progressivo)

2° caso

Solução: Analisando o movimento desde o instante t1=0 até t2=2s temos: ∆S=S-S0=5-10=-5m, daí

smt

Sv /5,2

2

5 −=−=∆∆= (MRU retrógrado)


68

11- Comportamento Gráfico da Posição do Mo-vimento Uniforme Vamos agora analisar o comportamento gráfico de um corpo em movimento uniforme, ou seja, vamos observar

como varia a sua posição em uma trajetória com o passar do tempo, construindo assim uma tabela da posição x tempo e, em

seguida, o gráfico sxt. Iremos ilustrar através de um exemplo que será feito por você. Exercícios/Exemplos 1-Na figura ao lado, temos um tubo contendo óleo e uma esfera imersa no óleo. A densidade da esfera é maior que a do óleo e, por isso, quando a esfera é libe-rada na posição superior ela adquire um movimento para

baixo atingindo logo em seguida um movimento uniforme. Vemos também uma régua em centímetro que vai identificar as posições que ela vai ocupando com o passar do tempo. Admita que ela foi solta a partir da posição 0=S e que a contagem dos tempos deu-se quando ela estava passando pela posição S = 6cm, logo S0 = 6cm e que, a cada 4s, tirou-se uma fotografia registrando as posições ocupadas por ela. Bem, se em t0=0, S0 = 6 cm, então: a)complete a tabela abaixo; b)construa o gráfico de s x t;


69

c)qual será a posição da bola no instante t = 30s? d)determine o valor da velocidade da esfera e represente-a no gráfico V x t; e) o movimento é progressivo ou retrógrado? Solução: a) b)

c) d)

e)

T(s) S(cm) 0 6

S(cm)

T(s)


70

2-O movimento de um carro sobre uma trajetória demarcada pode ser representa-do através do gráfi-co ao lado. Analise-o e responda: a)a posição do carro nos instantes t =0s, t =5s, t= 15s; b)o carro está se afastando da origem ou se aproximando? c)represente este movimento numa trajetória indicando o seu sentido. d) o movimento é progressivo ou retrógrado? e) em que instante a sua posição é S=30m e S= 10m? f) em que instante ele está passando pela origem? g) qual a sua velocidade? h) represente a velocidade graficamente. Solução: a) b)


71

c) d) f) g) h)


72

12-Equação Horária da Posição do Movimento Uniforme Vamos agora chegar a uma equação que nos vai for-necer a posição de um móvel sobre uma trajetória em qual-quer instante dado. Para isto, vamos supor que um corpo em movimento uniforme, ao passar por certa posição da trajetó-ria, passa a ser observado. Começamos a contar o tempo a

partir desta posição, donde teremos t0 =0 (instante inicial) e S0 (posição inicial no instante da observação). Após um

certo instante, t qualquer, o móvel estará passando por uma posição S da trajetória (posição final da observação). Como o movimento é uniforme temos:

Essa equação é denominada Equação Horária da

Posição e o gráfico desta equação (s x t) é sempre uma reta que corta o eixo de S na posição inicial S0 (Veja Exercí-cios/Exemplos 1 e 2 tópico 11). A denominação “horária” é porque S depende do tempo, ou seja, S é função do tempo S= f(t).


73

♦ Exercícios/Exemplos

1- Preencha as colunas identificando a posição inicial S0, a velocidade V e o sentido do movimento de cada móvel re-presentado pelas equações da primeira coluna. A unidade está no SI.

S = s0+vt s0 v Sentido do Movimento S = 4+2t 4m 2m/s progressivo S = 5-3t S = -20+10t S = 5t S = -4t S = –2-8t S = 10-0,5t 2- Vamos agora determinar a equação horária da posição da nossa esfera do exemplo 1 citado no tópico 11. Solução: A equação horária é dada por: VtSS += 0 , onde S0= 6 cm e

V= 1,5 cm/s e daí temos: tS 5,16 +=

3- Fazendo uso agora da equação horária da posição para o tubo cinemático, determinada no exercício anterior, deter-mine as posições da esfera dentro do tubo cinemático em: T=2s, 5s, 12s, 32s, 40s, 50s. Solução:


74

4- Em uma rodovia federal, um automóvel parte de uma cidade localizada no km 220 e logo fica com movimento uniforme retrógrado com velocidade de 60 km/h. Qual será a posição deste automóvel após 2h e 30 min? Solução: Temos que formular a equação horária da posição deste mo-vimento. Para isto temos:

.5,2min302

/60

2200

heht

hkmV

inicialposiçãokmS

==−=

=

Daí temos: S=S0+Vt

S = 220-60t ⇒ S = 220-60.2,5 ⇒ S = 220 –150 =70km 5- Dois móveis A e B, num certo instante, estão passando por um determinado ponto da trajetória indicado na figura abaixo com velocidades, respectivamente, iguais a 60 km/h e 80 km/h em valores absolutos. Responda: a) Faça uma avaliação prévia analisando onde se dará mais ou menos o encontro. b) Qual o tempo de encontro? c) Determine a posição do encontro resolvendo algebrica-mente, ou seja, fazendo uso das equações.

(o sinal negativo indica que o movimento é retrógrado)


75

d) Construa o gráfico de S x t de ambos móveis num mesmo plano cartesiano. e) Determine no gráfico o par ordenado do ponto de interse-ção dos gráficos. f) O que este par ordenado representa fisicamente? Solução: Antes de qualquer coisa, temos que determinar as equações horárias das posições de cada móvel, pois são elas que nos fornecem as posições dos mesmos em qualquer instante da-do. Móvel A Posição inicial kmS A 500 =

Velocidade hkmVA /60+= ( movimento progressivo).

Equação horária tStVSS AAAA 60500 +=→+=

Móvel B

Posição inicial kmS B 1200 =

Velocidade hkmV /80−= (movimento retrógrado) Equação horária tStVSS BBBB 801200 −=→+=

Agora, de posse das equações, podemos resolver o que se pede. a) O que podemos garantir no momento do encontro dos dois móveis é que eles terão as mesmas posições e, então, podemos afirmar que neste instante BA SS = , ou seja, a po-sição do móvel A é a mesma do móvel B. Igualando as equações temos:


76

Isto significa que, após 0,5h, eles se encontrarão. b) Podemos estimar a posição do encontro sem dificuldades, pois o movimento é uniforme (velocidades constantes para ambos) e a velocidade do carro B é maior que a do carro A, logo, B aproximar-se-á mais rapidamente. Como o ponto médio entre eles é a posição S=85m, o encontro deverá acontecer entre as posições S=50m e S=85m. c) Uma vez que temos o instante do encontro dos dois mó-veis é só substituir em qualquer das equações horárias que teremos a posição do encontro. Faça isto. Exercícios Propostos 3.2 1- (Fuvest-SP) Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm com velocidade constante de 2m/s. a) Quantos metros essa pessoa caminha em 60s? b) Quantos passos ela dá por segundo? 2- Dois carros A e B, num certo instante, estão afastados de 10 km. Eles caminham no mesmo sentido com velocidades, respectivamente, de 100 km/h e 120 km/h e o carro B está à

50 60 120 80

60 80 120 50

140 70

70 10,5

140 2

A BS S

t t

t t

t

t h h

=+ = −+ = −

=

= = =


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frente de A. Determine a distância entre eles após 3 h de movimento. 3-Dois móveis A e B estão em movimento uniforme sobre uma mesma reta, no mesmo sentido, com velocidades, res-pectivamente, igual a 100 km/h e 120 km/h. Num certo ins-tante, B está 10 km à frente de A. Determine depois de quanto tempo a distância entre eles será de 70 km. 4-(NARB) Um móvel obedece à função horária

)(520 SItS −= . a) Represente o móvel na sua trajetória. b) Qual o instante em que o móvel passa pela posição 30 m? c) Qual o instante em que ele passa pela origem dos espa-ços? d) Qual o instante em que ele passa pela posição –30 m? e) Construa o gráfico de s x t. 5-(NARB) Dois carros, num certo instante, encontravam-se nas posições 40 km e 80 km de uma estrada com velocida-des de 60 km/h e 40 km/h, respectivamente, no mesmo sen-tido. a) Represente-os numa trajetória. b) Determine o instante e a posição de encontro. c) Construa o gráfico s x t de ambos num mesmo plano car-tesiano. d) Originar no gráfico o par ordenado do ponto de interseção dos gráficos. e) O que este par ordenado representa fisicamente? f) Qual é o gráfico que possui a inclinação com o eixo do tempo mais acentuado e o que isto significa dizer?


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6-(NARB) Um móvel realiza um movimento cujos dados em relação a sua posição e instantes estão apresentados na tabela abaixo. T(s) 0 1 2 3 4 S(m) -50 -40 -30 -20 -10 a) Determine o tipo de movimento. b) Determine a velocidade do movimento. c) Classifique o movimento em progressivo ou retrógrado. d) Determine a função horária do movimento. e) Determine em que instante a posição do móvel é a origem dos espaços. 7-Gráficos Discretos Seis carros participam de uma corrida em pista reta. Num certo instante, as posições e velocidades dos mesmos são representadas no gráfico abaixo.

Determine para esse instante:


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a) Qual é o carro que está liderando a corrida? b) Qual é o carro que se move mais rápido? c) Se as velocidades não se alterarem daqui para frente, qual o carro que tem mais chance de ganhar a corrida? Este resul-tado depende da distância que falta até à linha de chegada? d) Se a partir deste instante de observação estão faltando 200m em relação ao carro 3 para chegar a linha final, deter-mine a ordem de chegada de cada carro ao passar por esta linha. 8- Vamos supor agora uma nova situação em relação ao gráfico anterior e que, após 2s, as velocidades e posições dos carros são representadas no gráfico abaixo:

a) Que carros mantiveram a velocidade constante durante este intervalo? Por quê? b) Que carros aumentaram e diminuíram a velocidade? Por quê?


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c) Que carros apenas aumentaram a velocidade? Por quê? d) A partir deste gráfico e deste instante de observação, con-siderando que as velocidades dos carros permaneceram constantes, desenhe o gráfico que representaria as posições e velocidades após 3 segundos. 9- Um corpo em movimento uniforme pode ser descrito pela função horária: s(t)=4t,onde s representa a posição do corpo e t o tempo, ambos medidos em unidades do sistema inter-nacional (metros e segundos). Assinale qual das alternativas abaixo melhor representa o movimento do corpo descrito pela equação horária anterior. a) o corpo parte (t=0) da origem (s=0) da trajetória. b) a velocidade média do corpo é de 4m/s. c) em t=2s o corpo esta a 8m da origem. d) em t=4s o corpo esta a 16m da origem. e) todas as alternativas anteriores estão corretas. 10- (OBF 2006) Um carro de corrida percorre uma pista que tem o formato de um quadrado com 12km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade escalar média de 120 km/h, o segundo e o terceiro a 240km/h e o quarto a 120km/h. Qual a velocidade média do carro ao percorrer o perímetro do quadrado: a) 100 km/h. b) 150 km/h. c) 200 km/h. d) 160 km/h. e) 125 km/h.


81

11- (OBF 2006) Dois ciclistas, A e B, movimentam-se so-bre uma mesma pista retilínea e plana,conforme está des-crito pelas retas no gráfico a seguir:

Assinale a alternativa correta com relação à interpretação do gráfico anterior. a) Os ciclistas se deslocam em movimento uniforme. b) Os dois ciclistas nunca se encontram durante o trajeto. c) A velocidade do ciclista B é maior que a velocidade do ciclista A. d) A velocidade do ciclista A é menor que a velocidade do ciclista B. e) Ambos se deslocam com movimento uniformemente ace-lerado. 12- (OBF 2006) Dois automóveis A e B, ambos com movi-mento uniforme, percorrem uma trajetória retilínea confor-me mostra a figura a seguir. Em t=0s, suas posições na traje-tória são, respectivamente, A e B. As velocidades escalares no mesmo sentido são, respectivamente, VA = 50m/s e VB = 30m/s. Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro dos dois automóveis?


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a) 200m. b) 225m c) 250m d)300m e) 350m 13- (OBF 2006) Um trem de carga de 240m de comprimen-to, que tem a velocidade constante de 20m/s, gasta 30s para atravessar completamente um túnel. O comprimento do tú-nel é de: a) 160m. b) 200m. c) 240m. d) 300m. e) 360m.

13- Velocidade Relativa Acho que você já passou por uma experiência de es-

tar em um veículo parado no trânsito, por exemplo, com outros veículos a sua frente e ao seu lado. De repente, o car-ro que está ao seu lado dá um ré e momentaneamente você acha que é o seu veículo que se movimentou para frente, dando a impressão de que ele movimentou-se em relação à terra. Acontece que a sua mente tinha como referencial o veículo ao lado e não percebendo que foi ele que entrou em movimento para trás, você intuitivamente acha que foi o seu veículo que se movimentou para frente. Na verdade, tudo isto é uma questão de referencial, ou seja, tudo isto é relati-vo. Você está parado em relação à terra (referencial terra),


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porém em movimento em relação ao veículo que estava ao seu lado (referencial o veículo), pois sua posição modificou-se em relação a ele.

Há certos problemas que podemos resolvê-los facil-mente usando o conceito de velocidade relativa. Vamos an-tes mostrar algumas situações simples do dia–a–dia para depois resolvermos alguns problemas.

Vejamos o exemplo abaixo de dois carros em uma mesma direção e sentido com velocidades VA e VB, onde VA>VB. Como VA>VB , então dizemos que o carro A se aproxima do carro B com uma velocidade relativa dada por : VAB = VA – VB . Se VA =100 km/h e VB = 80 km/h, temos VAB = 100 – 80 = 20 km/h. Logo, VAB = 20 km/h é a velocidade de aproxima-ção do carro A em relação ao carro B. Tudo se passa como se o carro B estivesse parado (referencial no carro B) e o carro A aproximando-se dele com velocidade de VAB = 20 km/h. Vamos agora mudar a situação: o carro A possui ve-locidade VA = 80 km/h e VB =100 km/h, daí teremos: VAB =VA – VB = 80 – 100 = -20 km/h. O sinal negativo sig-nifica que o carro A está afastando-se do carro B com velo-


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cidade de VA = -20 km/h, ou seja, andando para trás em re-lação ao carro B tomado como referencial.

Uma outra situação é quando os móveis estão na mesma direção, porém em sentidos contrários e, neste caso, a velocidade relativa de um em relação ao outro será dada pela soma das velocidades em valor absoluto (positivo). VAB = VA + VB = 100+80 =180 km/h, isto significa que to-mando o carro B como referencial (parado), o carro A apro-xima-se de B com velocidade relativa VAB =180 km/h. Da mesma forma, se tomarmos como referencial o carro A, então será B que se aproxima de A com velocidade de VBA=180 km/h.

Vamos ver agora a resolução de alguns problemas fazendo uso formalmente das equações horárias da posição, precisando assim definir referenciais. E vamos resolver o mesmo problema fazendo uso do conceito de velocidade relativa.

♦ Exercícios /Exemplos 1- Dois carros A e B estão percorrendo uma estrada retilínea com velocidades constantes de 30m/s e 20m/s, respectiva-mente, e separados por uma distância de 100m em certo instante de observação. a) Determine o instante de encontro. b) Quanto o carro A tem que percorrer até alcançar o carro B?


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SA = S0A +VAt SA = 0 +30t

SB = S0B +VB t SB = 100 +20t

Solução 1: a)Vamos resolver, primeiramente, de uma maneira mais formal, ou seja, construindo as equações horárias para o carro A e B, e estabelecendo um referencial para identificar as suas respectivas posições, como fizemos no estudo do movimento uniforme.

Vamos admitir que o carro A esteja na origem S = 0

( origem do espaço), portanto o carro B estará na posição S = 100 m. Daí podemos escrever as equações horárias de cada um deles e resolver o que se pede.

O encontro dar-se-á no momento em que a posição do carro A for igual a posição do carro B, ou seja, SA = SB . SA = SB

30t=100+20t → 30t –20t = 100 → 10t = 100 →

st 1010

100 == , logo o instante de encontro foi em t = 10s.

b) Fica fácil determinar quanto o carro A andou, pois é só colocar na equação horária de A o instante t= 10s, o que


86

dará a distância percorrida por ele até o encontro, pois ele partiu da posiçào S0 = 0 como foi definido no referencial.

mStS AA 300)10(3030 ==→= Solução 2: Vamos agora usar o conceito de velocidade relativa. Para isto vamos tomar o carro B como referencial ( carro parado). Então a velocidade relativa de A em relação ao carro B é VAB = VA – VB =30 m/s –20 m/s =10m/s ( carro no mesmo sentido). Diante da velocidade relativa e o espaço entre os dois carros, determinamos o tempo de encontro.

ssm

m

V

St

t

SV

rel

relrelrel 10

/10

100 ==∆

=∆→∆

∆=

b) Para determinarmos a distância percorrida por A até o encontro, temos que fazer uso da equação horária da posição de A.

mStS AA 300)10(3030 ==→= 2- Dois trens A e B , com velocidades constantes, percorrem trajetórias pararalelas em trilhos diferentes, com velocidades iguais a 54km/h e 36km/h, respectivamente. O trem A


87

possui 200m de comprimento e o trem B 300 m. Determine o tempo de ultrapassagem pelo outro nos seguintes casos: a) Quando eles estiverem no mesmo sentido de movimento. b)Quando estiverem em movimento com sentidos contrários. Solução: a) Vamos adotar o referencial no trem B, ou seja, tudo se passa como se ele estivesse parado e a velocidade de aproximação relativa de A em relação a B é VAB = 54 – 36 =18 km/h = 5 m/s. Obsevando a representação esquemática abaixo vemos que o trem A tem que percorrer todo o trem B mais o seu próprio tamanho. Então :

sV

St

t

SV

rel

relrelrel 100

5

500

5

200300 ==+=∆

=∆→∆

∆=


88

b) Em sentido oposto, a velocidade relativa de um em relação ao outro é dada pela soma.

Exercícios Propostos 3.3 1-(Fuvest-SP) Um automóvel que se desloca com uma velocidade escalar constante de 72 km/h ultrapassa outro que se desloca com uma velocidade de 54 km/h numa mesma estrada reta. O primeiro encontra-se a 200 m atrás do segundo no instante t = 0. O primeiro estará ao lado do segundo no instante: a) t = 10s b) t = 20s c) t = 30s d) t = 40s e) t = 50s 2-(PUC-RJ) Dois trens, A e B, num certo instante, estão afastados de 1 km. Como viajam no mesmo sentido, com a mesma velocidade v = 100 km/h, qual a distância entre eles após meia hora do instante considerado? 3- Dois carros A e B, num certo instante, estão afastados de 10 km. Eles caminham no mesmo sentido com velocidades, respectivamente, de 100 km/h e 120 km/h e o carro B está à frente de A. Determine a distância entre eles após 3h de mo-vimento.

54 36 90 / 25 /

500

500: 20

25

AB

rel

rel

rel

V km h m s

S m

Sentão t s

V

= + = =∆ =

∆∆ = = =


89

4-(OBF-2008) As posições de dois blocos fotografados a cada 0,2 segundo são representadas na figura. Os blocos estão em movimento para a direita. a) Qual o intervalo de tempo decorrido a partir da primeira imagem fotografada até o momento que a frente do bloco B encontra com o fundo do bloco A? b) Para um observador que se encontra no bloco B, qual o módulo da velocidade e o sentido do movimento do bloco A?

CAPÍTULO 4

Movimento Variado Introdução Os movimentos dos corpos no dia-a-dia são muito mais variados do que propriamente uniformes, até porque, para entrar em movimento uniforme, um corpo que estava


90

em repouso, por exemplo, terá que variar a sua velocidade de zero até alcançar a sua velocidade constante em um certo intervalo de tempo.

Suponha que a figura acima represente a partida de um atleta numa competição de 200 m rasos e que cada quadro da fotografia tenha sido batido em intervalos de tempos iguais. Observamos que, de A até B, o atleta percorre espaços cada vez maiores em tempos iguais (MRV). De B para C, o atleta corre espaços iguais em tempos iguais (MRU).

1- Aceleração

No exemplo acima, no deslocamento de A até B, notamos que o atleta percorre espaços cada vez maiores no mesmo intervalo de tempo, constatando que a sua velocidade está variando. Toda vez que há uma variação da velocidade de um móvel dentro de um certo intervalo de tempo, dizemos que ocorreu uma aceleração. Quando essa aceleração implica num aumento da velocidade, o movimento é dito acelerado, caso contrário, quando a variação implica em uma diminuição da velocidade em um certo intervalo de tempo, dizemos que houve uma desaceleração e o movimento é dito retardado. De uma forma ou de outra sempre que houver uma variação de


91

velocidade , seja para mais ou para menos, fisicamente significa que houve uma aceleração.

As acelerações mais conhecidas no cotidiano são as dos carros de corrrida, dos aviões, dos atletas no momento da partida de uma competição, com também a aceleração da gravidade. Todo corpo próximo à superfície da terra está sujeito a uma aceleração constante cujo valor aproximado é de 10 m/s2 e que independe da massa do corpo, ou seja, uma pena e uma bola de gude caem com a mesma aceleração e, portanto, têm as mesmas variações de velocidade no mesmo intervalo de tempo (Estamos aqui desprezando a resistência do ar. Movimento no vácuo).

2-Aceleração Escalar Média A aceleração é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, direção e sentido, mas quase sempre estamos preocupados apenas com o seu módulo e daí chamamos simplesmente de aceleração escalar. Quando um corpo varia sua velocidade de um ponto a outro, dentro de um certo intervalo de tempo, o movimento pode variar aleatoriamente, ou seja, de uma maneira não regular e, portanto, não possuir aceleração constante. Daí podemos determinar dentro deste intervalo de tempo a aceleração escalar média que, matematicamente, é dada pela fórmula

0

0

tt

VV

t

Va

−−

=∆∆=

inicialtempot

finaltempot

inicialvelocidadearepresentaV

finalvelocidadearepresentaV

→→

→→

0

0


92

A unidade de aceleração é dada pelo quociente da unidade da velocidade pela unidade de tempo, sendo assim , podemos ter:

./

,//

,/

dianteporassimes

scm

h

hkm

h

sm

s

sm

No sistema SI teremos: 2

1

1

/

s

m

sx

s

mss

m

s

sm ===

Dizer que os corpos que caem próximo à superfície da terra possuem uma aceleração de 10m/s2 é dizer que a

sua velocidade varia de s

sm/10, ou seja, a velocidade varia,

cresce de 10m/s em cada segundo.

♦ Exercícios/Exemplos 1-(NARB) Um móvel desloca-se numa trajetória retilínea num intervalo de tempo t = 6s, com velocidade que varia conforme ilustação abaixo. a) Determine a aceleração escalar média de todo percurso. b) Determine a aceleração média entre os instantes t = 0s e t = 1s, t =1s e t = 3s, t =3s e t= 6s. c) As acelerações escalares médias calculadas no item anterior determinam que tipo de movimento? d) Podemos afirmar que entre os dois instantes finais t = 3s e t = 6s o movimento foi apenas acelerado? Por quê ?


93

Solução: a) Aplicando a definição de aceleração escalar média no percurso total temos:

2/26

/12

06

/10/22sm

s

sm

ss

smsm

t

Va ==

−−=

∆∆=

b) c) d) 3-Aceleração Instantânea

Da mesma forma que definimos velocidade instantânea, a aceleração instantânea de um móvel é calculada quando tomamos variações da velocidade em intervalos de tempo muito próximo um do outro, ou seja, quando 0→∆t ( t∆ tende a zero).

t

Va

tinst ∆

∆=→∆ 0

lim


94

4-Movimento Acelerado e Movimento Retarda-do

No estudo da velocidade, foi definido que, quando o

móvel possui velocidade no mesmo sentido da trajetória, ela é positiva (V>0) e o movimento é dito progressivo. Quando o móvel possui velocidade contrária ao da trajetória ela é negativa (V<0) e o movimento é dito retrógrado. Com isso, às vezes, no estudo da aceleração somos levados a dizer que, quando a aceleração é positiva a>0, o movimento é acelera-do e quando a aceleração é negativa a<0 o movimento é retardado, o que nem sempre é verdade. Vejamos um exem-plo para chegarmos a uma conclusão correta.

♦ Exercícios/Exemplos 1- Um carro em movimento retilíneo apresenta quatro situa-ções diferentes que são mostradas numa tabela que contém velocidade X tempo. Observe a análise da primeira situação e faça uma análise semelhante nas demais situações.

Situação 1 V(m/s) 2 6 10 14 18 22

t(s) 0 2 4 6 8 10

Representação gráfica do movimento apresentado na situação 1


95

Comentários: Como a velocidade é positiva (V>0) o mo-vimento é progressivo, velocidade no sentido da trajetória. Observamos também que, a cada 2s, o módulo da velocida-de cresce regularmente de 4m/s, ou seja, possui uma acele-ração de a = 2m/s2 (a>0) aceleração positiva. Note que para qualquer intervalo de tempo dado, a aceleração média é a mesma, ou seja, é constante.

(aceleração mé-

dia entre os instantes 0s e 2s)

2/22

/4

24

/6/10sm

s

sm

ss

smsm

t

Va ==

−−=

∆∆= (aceleração mé-

dia entre os instantes 2s e 4s)

2/28

/16

08

/2/18sm

s

sm

ss

smsm

t

Va ==

−−=

∆∆= (aceleração

média entre os instantes 0s e 18s) Nos casos em que a aceleração escalar média é a mesma para qualquer intervalo de tempo, dizemos que o movimento é uniformemente variado. No movimento uni-formemente variado a aceleração é constante em todos os intervalos de tempo e, portanto, a velocidade varia regular-mente. Conclusão: O problema apresentado na tabela 1, trata-se de um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, Pro-gressivo, Acelerado. Note que V > 0 e a > 0.

2/2/2

2

/4

02

/2/6sm

s

sm

s

sm

ss

smsm

t

Va ===

−−=

∆∆=


96

Você agora é que vai analisar as outras situações mostradas nas tabelas 2, 3 e 4 desenhando a representação gráfica , fazendo os comentários devidos e tirando as suas próprias conclusões.

Situação 2 Tabela 2

V(m/s) -6 -8 -10 -12 -14 -16 t (s) 0 2 4 6 8 10 Representação gráfica Comentários ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conclusão ________________________________________________________________________________________________________________________________________________


97

________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Situação 3 Tabela 3 V(m/s) 22 18 14 10 6 2 t (s) 0 2 4 6 8 10 Representação gráfica Comentários ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conclusão ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________


98

Situação 4 Tabela 4 V(m/s) -50 -40 -30 -20 -10 0 t (s) 0 2 4 6 8 10 Representação gráfica Comentários ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conclusão ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________


99

A tabela abaixo nos fornece um resumo do tipo de movi-mento estudado nas quatro situações. Complete as linhas referentes às tabelas 3 e 4. V>0 V<0 a>0 a<0 Progres-

sivo Retró-grado

Ace-lera-do

Retar-dado

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 Tabela 4

Observando a tabela acima, concluímos que, quando a velo-cidade e a aceleração possuem os mesmos sinais (V>0, a >0 ou V <0 e a< 0), o movimento é acelerado. Quando possu-em sinais diferentes, (V>0, a <0 ou V<0 e a >0) o movimen-to é retardado. Exercícios Propostos 4.1 1- Um automóvel, parado em um semáforo, arranca logo que este fica verde e 5s após está com velocidade de 40 km/h. Qual foi a sua aceleração média neste intervalo de tempo? 2- Um motorista, ao ver um semáforo vermelho, começa a frear no momento em que a sua velocidade é de 72 km/h, parando em 10s. Determine: a) a aceleração média durante a freada em m/s2; b) a velocidade do carro nos cinco primeiros segundos.


100

3-(UFPE) Um caminhão com velocidade de 36 km/h é frea-do e pára em 10s. Qual o módulo da aceleração média do caminhão durante a freada? 4- Um automóvel parte do repouso, com aceleração constan-te e igual a 3m/s2. Calcular a velocidade escalar do móvel em 10s após a partida. 5-(NARB) Um automóvel de corrida teve a sua velocidade alterada de 80 km/h para 200 km/h em 6s. Responda: a) Qual a sua aceleração, suposta constante, dentro deste

intervalo de tempo em s

hkm/.

b) Dê uma interpretação física para este resultado. d) Complete a tabela abaixo para os quatro primeiros se-

gundos. t(s) 0 1 2 3 4 v(km/h) 80 5-Movimento Uniformemente Variado

No movimento uniformemente variado, a aceleração é constante e diferente de zero e, sendo assim, a aceleração escalar média e a aceleração instantânea são iguais. Se o movimento possuir uma única direção, teremos o movimen-to retilíneo uniformemente variado (MRUV). Da definição da aceleração escalar média, podemos determinar a função horária da velocidade do movimento uniformemente varia-do, pois a aceleração escala média é constante.


101

v = v0 + a.t → Equação horária da velocidade. Com esta equação podemos determinar a velocidade em qual-quer instante se conhecermos a velocidade inicial e a aceleração do movimento.

t

VV

tt

VV

t

Va 0

0

0 −=

−−

=∆∆= , onde 0t = 0, pois este é o ins-

tante da observação, início da contagem do tempo. Daí te-mos:

atVVatVVt

VVa +=→=−→

−= 00

0


1- Identifique em cada função horária da velocidade do MUV os valores de v0 e a expresso no SI. V = v0 + a .t v0 a v = 20 – 3.t 20m/s -3m/s2

v = -10 +5.t v = 5.t v = -t v = -8-4.t

2- (NARB) Certo móvel encontra-se numa posição S qual-quer de uma trajetória retilínea e a velocidade é dada por: v = 4 +2.t (m/s). Responda o que se pede: a) Qual a velocidade inicial e a aceleração?


102

b) Complete a tabela determinando a velocidade para cada instante dado. t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 v (m/s) 8 12 c) Complete o desenho com a representação da velocidade e a possível posição do móvel na trajetória abaixo para os instantes t =2s, t=3s e t=4s da tabela do item b. d) Que conclusão podemos tirar com respeito ao espaço percorrido por um móvel para um mesmo intervalo de tem-po?

3-Certo móvel possui como equação horária da velocidade a equação v = -10 +2.t. a) Qual a velocidade em t= 0s, t = 2s, t = 3s, t = 5s, t =6s e t = 7s? b) Em que instante o móvel muda de sentido? c) Classifique o movimento quanto ao sentido e à variação da velocidade nos instantes do item a, observando o sinal da velocidade e da aceleração.


103

Solução: (t= 0) , smVtV /100100.210.210 −=+−=+−=→+−= (t=2s), 10 2. 10 2.(2) 10 4 6 /V t V m s= − + → = − + = − + = − v b) O móvel mudo de sentido no instante em que a sua velo-cidade é zero. V=0. c) V>0 V<0 V=0 a>0 Pro-

gressivo

Retrótró-grado

Repou so Mudan-ça sen-tido

Acele-rado

Re-tar-dado

t =0s -10 2 t =3s t =5s t =6s t =7s 4 2

Exercícios Propostos 4.2 1- Certo móvel possui movimento uniformemente variado e a função horária da velocidade é dada pela equação

tV 424−= , onde t é medido em segundos e v em metros por segundo.


104

a) Determine a velocidade escalar inicial e a aceleração do movimento. b) Determine o instante em que o móvel muda de sentido. c) Discuta se o móvel é acelerado ou retardado nos instantes 3s e 7s. d) Represente numa trajetória o módulo e o sentido da velo-cidade nos instantes t= 0s, 2s, 4s e 6s. e) Determine a aceleração do móvel em t = 10s 2- Dois móveis A e B possuem equações horárias dadas por

tVetV BA 35210 −=+−= . Em que instante suas veloci-dades coincidem? 3-Usando os dados fornecidos na tabela, determine a equa-ção horária da velocidade, sabendo que a aceleração é cons-tante.

V(m/s) 20 35 50 65 80 T(s) 0 2 4 6 8

6-Comportamento Gráfico da Velocidade do MUV

No Movimento Uniforme analisamos o comporta-

mento gráfico da posição x tempo, cuja equação é tvss .0 += . Vimos que tal equação nos fornece um gráfico

de uma reta. Da mesma forma, a equação da velocidade do MUV, dada por tavv .0 += , vai nos fornecer no plano car-

tesiano v x t uma reta que passaremos a analisar através do exemplo seguinte:


105


1- Para cada equação dada abaixo, que representa o compor-tamento da velocidade de certo móvel, construa uma tabela e analise o comportamento gráfico. Observe se a função é crescente ou decrescente, e indique em qual dos intervalos de tempo o movimento é acelerado ou retardado, progressi-vo ou retrógrado. a) Solução: a)

t (s) v (m/s) 0 10 1 12 2 14 3 16 4 18 5 20 6 22 7 24

para t= 0s , temos:

para t= 1s , temos:

para t =2s, temos :


106

Observando o gráfico, vemos que a função é crescente, que o movimento é progressivo para todo intervalo de tempo (v>0) e que o movimento é acelerado para qualquer instante, pois o módulo da velocidade está sempre crescente. Intervalo de tempo Progressivo Retrógrado Acelerado Retardado ∆ t>0 X X


107

b) Observando o gráfico, vemos que a função é decrescente, ou seja, à medida que o tempo cresce a velocidade decresce (retardado). O movimento é progressivo (v>0) no intervalo 0<t<5; em t=5 o móvel pára e muda de sentido, passa a ter um movimento retrógrado (v<0) e, a partir daí, o módulo da velocidade cresce com o tempo (acelerado). Intervalo de tempo Progressivo Retrógrado Acelerado Retardado Repouso

0<t<5 X X t=5 X t >5 X X

c) d)

t (s) v (m/s) 0 10 1 8 2 6 3 4 4 2 5 0 6 -2 7 -4

para t=0, temos:

m/s para t= 1s, temos:


108

7-Equação Horária da Posição do Movimento Uniformemente Variado

No Movimento Uniforme, vimos que a equação ho-rária da posição é tvss .0 += ,onde 0s é a posição inicial e v a velocidade a qual é constante em qualquer momento. No MUV, em que a velocidade varia uniformemente, as posi-ções ocupadas por um móvel no decorrer do tempo são da-

das pela equação 200 .

2

1. tatvss ++= , que pode ser mostra-

da facilmente, mas que, por enquanto, vamos apenas com-preendê-la sem nos preocuparmos neste momento com a sua demonstração. Olhando atentamente, vemos que esta equa-ção é do tipo cbxaxy ++= 2 , ou seja, é uma equação do 2º grau na variável t. Você, certamente, já estudou o compor-tamento gráfico de uma função do 2º grau e sabe que ela é uma parábola cuja concavidade pode ser voltada para cima ou para baixo. Caso não tenha visto ou não se lembre, pode-rá pedir ao professor para falar um pouco sobre ela, mas isto será vivenciado em um outro momento no estudo dos gráfi-cos do MU e MUV. Ainda observando a equação

200 .

2

1. tatvss ++= , vemos que quando a = 0 , movimento

uniforme, o terceiro termo da equação se anula e temos exa-tamente a equação do movimento uniforme tvss .0 += .

Daí temos como equações horárias da posição e da veloci-dade para o MUV as equações:


109

♦ Exercícios/Exemplos 1- Na tabela seguinte, na primeira coluna, é dada a equação da posição do MUV. Identifique a posição inicial, a veloci-dade inicial e a aceleração ),,( 00 avs e, em seguida, cons-

trua a equação da velocidade correspondente a cada equação da posição fornecida na primeira coluna . As unidades estão no SI.

2

2

00

attvss ++=

0s 0v a tavv .0 +=

2

2

4210 tts +−=

10m -2m/s 4m/s2 tv 42+−=

22105 tts ++−= 25tts +−=

24 tts −= 23ts =

2- Certo carro em MRUV, com aceleração de 2m/s2, encon-tra-se no momento da observação na posição e velocidade mostradas na figura. Determine: a) a equação horária da velocidade e da posição para este carro; b) a posição deste carro após t = 5s; c) a velocidade neste instante; d) a velocidade média do carro no intervalo de tempo de 5s.


110

Solução: a) b) c) d)

20

6m/s

S(km)


111

3- Agora que temos conhecimento da equação horária da posição do movimento uniformemente variado

2

2

00

attvss ++= , podemos determinar exatamente as posi-

ções ocupadas pelo móvel dos Exercícios /Exemplos nº 2 página 50, tópico 5 – MUV. Naquele momento, fizemos uma estimativa das posições ocupadas pelo móvel e agora podemos calculá-las de fato. Solução: 4-(NARB) Um certo móvel possui como equação horária da posição a equação 244010 ttS −+= . Através da análise desta equação cujos termos estão no SI, responda ao que se pede: a) A posição e a velocidade do móvel no momento da ob-servação do movimento (t = 0). b) A aceleração do móvel. c) A equação horária da velocidade para este móvel. d) O instante em que o móvel muda de sentido. e) A representação numa trajetória retilínea com a sua posi-ção e velocidade no instante t=0, t =2s, t = 4s, t = 5s, t = 6s, e t =7s. f) O tipo de movimento durante este intervalo de tempo de t=0 e t=7s.


112

g) O gráfico de s x t e v x t. Represente o gráfico entre os instantes t = 0 a t =10s. Use papel milimetrado. Solução: a) b) c) d) e) f) 8-Cálculo da Velocidade Escalar Média no MUV A velocidade escalar média será sempre definida

como 12

12

tt

SS

t

SV

−−

=∆∆= para qualquer tipo de movimento,

no entanto, no movimento uniformemente variado, ela pode ser determinada através da média aritmética das velocidades


113

entre dois instantes considerados, correspondendo a um cer-to deslocamento entre estes dois instantes. Veja a ilustração abaixo.

Podemos demonstrar algebricamente, sem nenhuma dificuldade, que isto é verdadeiro a partir da equação da posição do MUV.

)2

1(

2

1

2

100

200

200 atvtSSattvSSattvSS +=−→+=−→++=

Passando o t que está em evidência no segundo

membro da equação para o primeiro membro e somando os termos dentro do parêntese temos:

É só lembrar que o termo dentro do parêntese

vatv =+0 é a velocidade final após um certo instante t.

Isto quer dizer que no MUV, em particular, podemos determinar a velocidade média através da média aritmética das velocidades entre dois instantes.

S1 S2

t 1 t 2

S ∆S


114


1-Usando agora a fórmula da velocidade média 2

0vvV

+=

que foi deduzida neste tópico, determine a velocidade média pedida nos Exercícios/Exemplos nº 2 tópico 7. Solução: 2-Certo móvel em MUV possui, no instante t = 0, posição S0 =10m e velocidade escalar de 40m/s. No instante t = 10s a sua velocidade escalar era de 70m/s. Determine neste mo-mento a posição do móvel. Solução: 3-Temos, na figura seguinte, o gráfico de S x t representan-do o movimento uniformemente variado de um móvel. Com base neste gráfico e usando o concei-to de velocidade média, deter-mine a velocidade inicial deste móvel no instante da observa-ção.


115

Daí :

20 vv

V

et

sV

+=

∆∆=

smvv

v

t

svv

/1052

05

25

2

0

2

00

00

=→=+

=+

→∆∆=

+

4-Resolva a questão anterior construindo a equação horária da posição a partir do gráfico. Solução:

Solução: Observando o gráfico, vemos no instante to= 0 que S0 = 0; e que no instante t =5s, S=25m. Sabemos que o vértice da parábola corresponde ao instante em que o móvel está mu-dando de sentido e, portanto, v = 0. A velocidade média entre esses dois instantes pode ser dada através de:


116

9-Equação de Torricelli A equação de Torricelli é independente do tempo e, por isto, ela é muito útil na resolução de problemas em que não se tem o tempo como uns dos dados.

♦ Exercícios / Exemplos 1-A Avenida Boa Viagem é uma das mais belas e longas do litoral do nordes-te, contrastando com a natureza de um lado (o mar), e com os edifícios do outro. Um motorista que trafega nesta avenida tem que estar atento para os semáforos, que são muitos. Um homem, que dirige um carro a 60 km/h, vê um semáforo que está a 500m ficar vermelho. Qual deverá ser o valor da desaceleração mínima aplicada no carro para que ele possa parar dentro desta distância?

V2= V0

2+2.a.∆S


117

Solução:

mS

V

smhkmV

500

0

/7,16/600

=∆=

≈=

22

220

22

/2789,0/1000

9,278

10009,2780500..2)7.16(0..2

smsma

aaSaVV

−=−=

+=→+=→∆+=

2- Um corpo em queda livre possui movimento uniforme-mente variado cuja aceleração é a aceleração da gravidade, essa, em valores redondos, aproxima-se de g = 10m/s2. Se uma pedra caísse nessas condições de uma altura de 320m do solo, qual o valor da velocidade ao chegar ao chão? Solução: Exercícios Propostos 4.3 1-Certo móvel, com velocidade de 180 km/h, é freado uni-formemente até parar, deslocando-se de 200m. Determine: a) a aceleração escalar; b) o tempo de freagem.


118

2-Um certo carro passa no marco 10km de uma estrada reti-línea com velocidade de 20m/s e pelo marco 15km com ve-locidade de 30m/s. Sua aceleração foi constante durante todo o tempo. Determine: a) a aceleração do movimento; b) o tempo entre os dois marcos; c) a velocidade média calculada através da definição e pela fórmula do movimento uniformemente variado. 3- Dois móveis estão sobre uma mesma trajetória exe-cutando movimentos. Os comportamentos da veloci-dade X tempo de ambos são mostrados nos gráficos ao lado. No instante t = 0s eles se encontravam na mesma posição da trajetória, pois neste momento, B estava passando por A. Analise atentamente os gráficos que estão construídos num mesmo sistema de eixos ortogonais e responda o que se pede. a) O tipo de movimento de cada móvel. b) As equações horárias da velocidade de cada um. c) As equações horárias da posição de cada um. d) As velocidades de A e de B nos instantes 0s,10s,30s e 40s. e) Determine as posições de A e de B nos instantes do item anterior, tomando como referência a posição em que eles se encontravam no instante t = 0. Para tal posição, adote S0 =0. f) A posição da estrada em que A passa por B.


119

g) A distância percorrida por A e B no momento em que eles têm a mesma velocidade. h) Determine a área sob a curva dos gráficos de A e B entre o intervalo de tempo de 0s a 30s e compare com o resultado do item anterior.

Capítulo 5 Queda Livre -Movimento Uniformemente Variado Na Vertical Introdução O termo queda livre refere-se a corpos que caem apenas sobre efeito da aceleração da gravidade e, portanto, sobre efeito de seu próprio peso, que é a força de atração que a Terra exerce sobre os corpos dentro do seu campo gravitacional. Quando dizemos que um corpo cai em queda livre, estamos supondo que o ar não interfere no movimento, ou melhor, a queda dá-se no vácuo. Próximo à superfície da terra e na ausência de ar, todo corpo cai com aceleração constante e com valor próximo de 9,8m/s2 e independente de sua massa, ou seja, um corpo com 5 kg, por exemplo, e uma pena com 0,01g caem juntos desenvolvendo velocidades idênticas, pois a aceleração a que eles estão submetidos é a mesma (aceleração da gravidade). Experimente soltar de uma altura de 2m uma folha de caderno amassada em forma de bola e uma folha aberta. Quem chega primeiro ao chão?


120

Faça agora com as duas folhas amassadas. Quem chega pri-meiro? Explique o que houve. Hoje sabemos que o experimento é a base fundamen-tal da ciência e que tudo que se pode medir deve ser medido e experimentado para comprovar certo fato. Galileu Galilei foi o pai da Física Experimental, pois introduziu o experi-mento onde tudo era medido para comprovar certas teorias. Conta-se que ele fez a experiência de soltar duas esferas de massas diferentes do alto da torre de Pisa para mostrar que elas chegavam ao solo ao mesmo tempo. Na época foi um impacto para todos, pois todo mundo estava enraizado aos pensamentos de Aristóteles que acreditava em apenas no que via sem a preocupação de fazer medições.

1-Equações de Movimento Para Queda Li-vre

As equações de movi-mento são as mesmas do MRUV, pois queda livre é um Movimento Uniformemente Variado que ocorre na direção vertical. Portanto, as equações são aquelas que já vimos, porém a aceleração terá um único valor constante de g = 9,8m/s2, mas que muitas vezes iremos apro-ximar para o valor g = 10m/s2.


121

Equações:

Na equação da posição, geralmente usa-se a nomen-

clatura y e y0 ao invés de S e S0 por tratar-se de movimento na vertical, direção do eixo Y. Desta forma, passaremos a escrever as equações, com esta nomenclatura, porém o mais importante, independentemente de como escrever as equa-ções é ter em mente que o movimento dá-se na vertical.

Da mesma forma que no estudo do MRUV, na hori-zontal, em que o eixo da trajetória (x) teve seu sentido posi-tivo orientado para direita, também adotaremos um sentido no nosso estudo de queda livre. Nesse caso, a trajetória ver-tical (y) terá o sentido positivo orientado para cima. Tere-mos assim, V>0 para velocidades no sentido positivo de Y e V<0 para velocidades no sentido contrário. A aceleração terá sempre o sinal negativo (g<0), pois seu sentido é para baixo na direção do centro da terra. Vejamos um exemplo para nos esclarecer melhor.

Exercícios/Exemplos 1-(NARB) Em uma plataforma, de altura h =10m, uma bola é lançada para cima na direção vertical com velocidade de 40m/s. Determine: a) as equações de movimento para este corpo; b) o instante em que a bola atinge a altura máxima;

Y=Y0+V0.t+1/2gt2


122

c) a altura máxima; d) o instante em que a bola está passando novamente pela posição y0, posição de lançamento;

e) a velocidade, durante a queda, e no instante em que ela está passando no nível da plataforma; f) determine o instante e a velocidade quando ela atinge o solo. g) construa o gráfico das equações de movimento Y x t, V x t e a x t para instantes a partir do lançamento até o instante em que chegar ao solo fazendo uma análise detalhada do movimento da bola durante este intervalo de tempo. Solução: a) Observe a figura ao lado. Nela representamos a platafor-ma de altura h = 10m de onde é lançada a bola com veloci-dade de 40m/s e no sentido de Y. As equações de movimento são:

YV

YVYgVV

ttYgttVYY

tVtgVV

∆−=

∆−=→∆+=

−+=→++=

−=→+=

201600

.10.2)40(.2

2

10.4010

2

1

.1040.

2

2220

2

2200

0

Observe que o sinal da velocidade e da aceleração

está como foi dito no inicio, ou seja, V> 0 (Sentido positivo de Y e g < 0 sentido contrário a orientação de Y)


123

Y0 =10m

H=10m

Y(m)

V0 = 40m/s

V = 0

Observe que esta altura é em rela-ção ao solo, origem do referenci-al. A altura em relação à plata-forma é dada por ∆Y= Y-Y 0 = 90-10 = 80m

b) A altura máxima será atingida quando a velocidade final for zero V = 0, então é só colocar esta condição na equação da velocidade para encontramos o tempo.

tV .1040−=

st

tt

410

40

401010400

==

=→−=

c) A altura máxima corresponde ao instante em que a velo-cidade final é zero, ou seja, V = 0 e, portanto, t = 4s onde temos:

2)4(2

10)4(4010 −+=Y

mY 908016010 =−+=


124

d) O instante em que a bola está passando pela posição y0 =10m (altura da plataforma) corresponde ao instante da des-cida. Para achá-lo é só colocar na equação da posição este valor (10m) que corresponde à posição do instante procura-do.

( ) 040.5.0.4055.400

.5.401010.10.2

1.401010

.2

1.

22

22

200

=+−→=+−→−=

−=−→−+=

++=

tttttt

tttt

tgtVYY

Como solução temos: t = 0 ou (-5.t + 40) = 0, que resolvendo esta últi-ma nos fornece:

sttt 85

4040.50405 ==→−=−→=+−

Observe que há dois instantes em que a bola ocupa

esta posição. Um deles é exatamente ao instante em que ela é lana t0 = 0s e o outro corresponde ao instante da descida t = 8s. Aproveitando, vamos afirmar agora que, em queda livre, o tempo de subida é sempre igual ao tempo de descida e isto pode ser verificado neste próprio exemplo, onde o tempo para atingir a altura máxima foi t = 4s e o tempo de descida até o ponto de lançamento foi de t = 4s, perfazendo um tempo total desde o momento do lançamento de t = 8s (4s para subir e 4s para descer).

Y0 =10m V= - 40m/s

H=10m

Y(m)

V = 0

→g


125

Note que o sinal da velocidade em t=8s é negativo V<0. Isto nos indica que a velocidade é contrária ao sentido escolhido para a trajetória. Note ainda que o módulo da velocidade é o mesmo no momento do lança-mento.

e) Este instante corresponde a t = 8s e daí temos:

smV

tV

/408040

)8(1040.1040

−=−=−=→−=

f) Bem, sabemos que no momento em que a bola atinge o solo a sua posição é zero, ou seja, y = 0 , daí na equação

2 2

2

10 40 5 0 10 40 5

5 40 10 0

y t t t t

y t t

= + − → = + −= − − =

Resolvendo encontramos a solução t = 8,25s, que substi-tuindo na equação da velocidade, teremos v=-42,5m/s g) Este você faz.

Y(m)

t (s)


126

a(m/s2)

t (s)

V(m/s)

t (s)


127

2-(NARB) Recife, capital do Estado de Pernambuco, é cor-tada pelos rios Capibaribe e Beberibe, o que levou a cons-trução de belíssimas pontes. Hoje, elas contrastam com as belezas naturais ao longo dos rios e deixa o Recife mais atraente. A ponte, Princesa Izabel, que liga a rua da Aurora ao Palácio das Princesas e ao Teatro Santa Izabel, possui uma altura em torno de 4m a partir da sua muralha até a superfície da água em maré baixa quando situado no ponto médio da ponte. Duas alunas resolvem fazer uma experiência e dei-xam cair uma bola des-ta altura, para este ex-perimento, podemos aproximar as condições de uma queda livre. (OBS: Nunca jogue objetos nos rios, deve-mos preservá-los! O problema a cima é apenas teórico e a foto tirada para ilustração). Determine. a) o tempo que a bola leva para atingir a superfície da água; b) a velocidade com que ela atingiu a água; c) quantos segundos se passam desde o momento do impac-to da bola na água e a escuta do barulho, supondo que a ve-locidade do som no ar é de 340m/s?


128

Solução: 3-(FSL-SP) Um corpo é lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial de módulo 50m/s. O módulo de sua velocidade média entre o instante de lança-mento e o instante em que retorna ao solo é: a) Zero b) 2,5m/s c) 5,0m/s d) 25m/s e) 50m/s Solução: Usando o conceito de velocidade escalar média visto no tópico 7 do capítulo 3, temos:

t

dVm ∆

= , onde d = distância percorrida, que neste caso cor-

responde ao percurso de ida e de volta.

md

dddgVV

12520

2500

250020.10.2500..2 2220

2

==

→=→−=→−=

logo a distância total será dT= 2x125 = 250m e daí como o

tempo de ida e volta é de 10s temos: smVm /2510

250 ==

A velocidade média com caráter vetorial é calculada

por: t

SVm ∆

∆= , e neste caso 0=∆S ,pois S = S0 o que nos

leva o valor da velocidade média Vm =0 e que corresponde a resposta desta questão, ou seja, letra a) Obs: Quando a pergunta não for explicita no sentido da ve-locidade escalar média através da distância efetivamente percorrida, calculamos a velocidade média vetorial, que nos


129

casos de movimento em uma única direção é igual a veloci-dade escalar média. Exercícios / Propostos 5.1 1-(ESPM-SP) Um projétil é lançado verticalmente para ci-ma com velocidade de 50m/s. Admite-se que a aceleração da gravidade local seja constante e igual a 10m/s2. Despreze as interações com o ar. Depois de quanto tempo o projétil retorna ao ponto de parti-da? a) 10s b) 20s c)5s d)15s e)25s 2-(FEI-SP) Uma pedra é abandonada do alto de um edifício de 32 andares. Sabendo-se que a altura de cada andar é de 2,5m. Desprezando-se a resistência do ar, com que veloci-dade a pedra chegará ao solo? a)20m/s b) 40m/s c) 60m/s d) 80m/s e) 100m/s


130

3-(NARB) Nandinho e Pedro participaram de um passeio num balão em comemoração ao dia da aviação. O balão

começou a sua subida em sentido vertical com velocidade constate de 2m/s. Num certo instante, quando o balão estava a uma altura de 30m, Pedro deixa cair uma bola de gude e Nandinho começou a fazer algumas perguntas a respeito do comportamento da queda da bola, o que gerou várias dúvi-das. Após o passeio resolveram fazer os seguintes questio-namentos relacionados abaixo. Resolva o problema dos dois, determinando as soluções. Suponha que as interferên-cias do ar sobre a bola foram mínimas a ponto de considerar um movimento em queda livre. a) No momento em que o Pedro deixa cair a bola, ela sobe ou desce? Explique a sua resposta. Releia os tópicos 1,2 e 3 do Capítulo 3 para chegar a uma melhor conclusão.


131

b) Escreva as equações de movimento da bola e do balão no momento em que a bola foi solta. Adote origem do referen-cial no solo orientado para cima. c) Qual a altura máxima atingida pela bola? d) Quanto tempo ela leva para atingir o solo? e) Com que velocidade ela chega ao solo? f) Qual o valor da velocidade relativa do balão em relação a bola nos instantes 0,1s 0,2s e 2s? g) Determine o valor aproximado da velocidade máxima relativa entre o balão e a bola. h) Construa o gráfico das equações de movimento Y x t, V x t e a x t para instantes a partir do momento em que a bola foi solta até o instante em que chega ao solo. Faça uma aná-lise detalhada do movimento da bola durante este intervalo de tempo. 4-(Fuvest-SP) A figura representa o gráfico da posição X tempo do movimento de um corpo lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v0 na superfície de um planeta. Determine: 5.(UFPE-97) Um atleta salta por cima do obstáculo indicado na figura e seu centro de gravidade atinge a altura de 2,2m.

a) a aceleração da gravidade na superfície do planeta; b) a velocidade inicial.


132

Atrás do obstáculo há um colchão de ar de 40cm de altura. Qual a velocidade, em m/s, com que o atleta atingirá a su-perfície do colchão?

6- (OBF 2006) Se lançarmos verticalmente uma pedra para cima, o que acontece com a velocidade desta pedra durante a subida e a descida: a) Na subida a velocidade da pedra aumenta e na descida diminui. b) Tanto na subida como na descida as velocidades perma-necem constantes. c) Na subida a velocidade aumenta e na descida permanece constante. d) A velocidade diminui na subida e aumenta na descida. e) A velocidade aumenta tanto na descida como na subida. 7- (OBF 2006) A aceleração da gravidade na superfície da Lua é seis vezes menor do que a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Com relação a esta afirmativa qual das alternativas abaixo está correta: a) Uma pessoa pesa na Terra, seis vezes mais do que na Lua. b) Uma pessoa pesa na Lua, seis vezes mais do que na Ter-ra. c) Na Lua a sua massa é seis vezes maior do que na Terra. d) Na Lua a sua massa é seis vezes menor do que na Terra.


133

e) Como a massa não varia a gravidade não mudará o peso de uma pessoa tanto na Lua quanto na Terra. 8- (OBF 2006) Uma pessoa fez a seguinte experiência: Ela pegou duas folhas de papel iguais e as deixou cair da mesma altura, sendo que uma delas aberta e a outra amassada na forma de uma bola. A folha de papel amassada chegou pri-meiro ao chão, por que: a) A folha aberta tem um peso menor que a folha amassada. b) A folha amassada tem uma massa maior do que a folha aberta. c) A folha aberta apresenta uma resistência ao ar maior do que a folha amassada. d) A folha aberta apresenta uma resistência ao ar menor do que a folha amassada. e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

9-(OBF-2009) Um experimento consiste em promover em um local onde a aceleração gravitacional é g = 10m/s2 a co-lisão entre duas bolas idênticas A e B (Figura 3). No instante t = 0 s a bola A é abandonada de uma altura H e depois de 1s e 15 m abaixo do ponto de abandono da bola A, a bola B é solta. Determine o instante de tempo da colisão entre as bolas a partir de t=0.


134

Capítulo 1 Exercícios Propostos 1.1 1- c 2- Resposta Pessoal 3- 16h 10min 4-As Grandezas Vetoriais além do módulo e a unidade pre-cisam da direção e sentido para ficarem bem definidas. 5-Não podemos indicar com precisão, pois apenas o módulo da velocidade que é de 100m/s não é suficiente para indicar como ele foi lançado. 6-Direção e sentido. 7- a) Direção vertical

Sentido para cima. b) Direção horizontal Sentido para direita. c) Direção 72º com a horizontal Sentido para cima d) Direção horizontal Sentido para esquerda. e) Direção 45º com a horizontal

Sentido para cima 8-Duas: O metro (m) e o Segundo (s)

9- 91,44cm 10- a) 72km/h b) 36km/h c) 7,2km/h d) 1,8km/h


135

11- a) 30m/s

b) 20m/s c) 50m/s d) 10m/s 12- e)

13- Se em 1 cm3 temos uma massa de 1,0 g então 50g deverá

ocupar um volume de 50 cm3

Capítulo 1 Exercícios Propostos 1.2 1-

a) 1,28 x 1010 OG: 1010 b) 2,6 x 107 OG: 107 c) 5,6 x 100 OG: 101 d) 2 x 10-3 OG: 10-3 e) 9 x 10-10 OG: 10-9 f) 9 x 10 OG: 102 g) 9 x 10 OG:102 h) 7,92 x 104 OG:105

i) –1,1 x10-1 OG:10-1 j) 5 x102 OG:102 l) 1,35 x 1021 OG:1021

2- 3,61 x 10-47

3- 1015

4- 104

5- a 6- b 7-c 8-c


136

Capítulo 1 Exercícios Propostos 1.3 1-a) 4,85 x 102 OG:102 b) 2,54 x 105 OG:105 c) 8,5 x 10-1 OG:10-1

d) 9,5 x 10-4 OG:10-3 e) 5,4 x 107 OG:107 2- a) Resposta pessoal b) Resposta pessoal 3- a) na primeira medida os algarismos corretos são 3 e 6 o duvidoso é o algarismo 8. Na segunda medida os algarismos corretos são 3, 6 e 8 o duvidoso é o zero. b) O segundo, pois pode avaliar a temperatura com uma precisão de centésimo, enquanto a primeira com precisão de décimo apenas. 4- Resposta pessoal. Discuta com o professor e seus colegas. 5- a) 32m2 b) 8,6g c) 52s d) 3,5m/s

e) 2,8cm3 f) 0,89kg 6- a) Sim b) Sim, comprimento.

c)Três e quatro respectivamente. Na primeira medida temos 1 e 0 como corretos e o 6 duvidoso. Na segunda medida e temos 1, 0, e 6 corretos e o último zero duvido-so.

d) A segunda. e) 21,2cm


137

Capítulo 3 Exercícios Propostos 3.1 1- Ë a grandeza Física que mede a rapidez de um corpo e é definida como a razão do espaço sobre o intervalo de tempo. 2- É a grandeza Física que representa a velocidade uniforme (constante) que um móvel deveria ter para percorrer a mes-ma distância no mesmo intervalo de tempo daquele móvel que fez o percurso com velocidade variável. 3- a) Não b) Nayane , Nayara e Pedro c) É que a velocidade média deu um valor abaixo em relação a velocidade instantânea observada por Pedro e Na-yara.

d) 68,6 km/h 4- É a grandeza Física que representa a velocidade de um móvel num certo instante. É a velocidade num certo ponto da trajetória. 5- 42min 6- 833,3 m 7- 105,3 km/h 8- 15min 9-57,6km/h 10- 36km/h 11- a) 30s e 20s respectivamente. b) 86,4km/h 12- 340m


138

13- 40m 14-72km/h 15- c) 16- (a) A velocidade escalar média do avião é :

700 108

6,50total

ACtotal

d km kmV

T h h= = �

(b) O módulo do vetor que liga a cidade A à cidade C é dado pelo teorema de Pitágoras:

500 77

6,50AC

AC

total

d km kmV

T h h

→→

= = �

Exercícios Propostos 3.2 1- a)120m b)2,5 passos 2- 70km 3- 3h 4- a)

=


139

b) Não passará em instante algum, pois ele começa seu movimento a partir da posição s0=20m com movimento re-trógrado. c) t = 4s d) t = 10s e)

5- a)

b) t =2h e S = 160km c)


140

d) (2;160) e) O instante em que os carros têm a mesma posição. f) O carro A. Significa que possui maior velocidade. 6-a) MU Progressivo. b) V = 10m/s c) Progressivo d) tS .1050+−= e) t = 5s 7- a) O carro 3 b) O carro 5 c) O carro 5. Sim, depende. d) 1º lugar carro 2 2º lugar carro 5 3º lugar carro 4 4º lugar carro 6 5º lugar carro 3 6º lugar carro 1 8-a) Carro 6, pois após 2s estava no posição s =100m b) carros 1, 2, 4 e 5, pois tiveram uma velocidade média maior que as suas velocidades ao término de 2s. c) Carro 3, pois ao final dos 2s a sua velocidade era maior. 9- e) 10-d) 11-a) 12- d) 13- e)


141

Exercícios Propostos 3.3 1- d 2-1km 3-70km 4- a) Observando a imagem e tendo em mente que a cada clique da máquina fotográfica aparecem um bloco A e B, sucessivamente , nas posições indicadas, vemos que encon-tro dar-se na quinta posição que corresponde a quatro inter-valos, logo 4 x 0,2 =0,8s. b) De acordo com a escala fornecida e a imagem do bloco A em movimento, concluímos que ele percorre 10 m no inter-valo de 0,2 s. Portanto sua velocidade será igual a vA= 50m/s

A velocidade do bloco B: 15

75 /0,2B

mv m s

s= = .

Como suas velocidades são no mesmo sentido, um observa-dor no bloco B observará o bloco A movendo-se para a es-querda com velocidade igual a 25 m/s. (Velocidade relativa)

Capítulo 4 Propostos Exercícios 4.1 1- 2,22m/s2 2- a) –2m/s2 b)10m/s 3- -1m/s2 4- 30m/s 5- a)60km/s


142

b) O automóvel percorre 60km em cada segundo. Exercícios Propostos 4.2 1- a) v = 24m/s e a = -4m/s2 b) t = 6s

c) Em t = 3s temos a < 0 , v > 0 (Retardado) Em t =7s temos a < 0 e v< 0 (acelerado).

d)

e) a = -4m/s2 2- t = 3s 3- v = 20 + 7,5.t Exercícios Propostos 4.3 1- a) 6,25m/s2 b) 8s 2- a) a = 0,05m/s2 b) 3min 20s c) 25m/s 3- a) Móvel B (M U) Móvel A (MUV) b) VB = 60m/s


143

VA = 15+1,5.t c)

2

0

0

.2

5,1.15

.60

ttSS

tSS

AA

BB

++=

+=

Obs: As posições iniciais de A e B são as mesmas, pois em t = 0 eles se encontravam na mesma posição. d) VB = 60m/s é constante. t = 0s VA = 15m/s t =10s VA = 30m/s t =30s VA = 60m/s t = 40s VA = 75m/s e) t = 0 SA = 0 e SB = 0 t = 10s SA =225m e SB =600m t = 30s SA =1125m e SB = 1800m t = 40s SA =1800m e SB = 2400m f) dA = 1125m e dB = 1800m g) Área sob a curva de A é 1125 e sob a curva de B é 1800. O que podemos concluir é que a área sob a curva nos forne-ce a distância percorrida pelo móvel.

Capítulo 5 Exercícios Propostos 5.1 1- a 2- b


144

3- a) Sobe, pois no momento em que ela é solta possuía a velocidade do balão que era ascendente. b) Equações de Movimento do balão.

tS

smV

a

.230

/2

0

+===

Equações de movimento da bola.

2

2

.5.230

.102

/10

ttS

tV

smga

−+=−===

c) h =30,2m d) 2,7s e)–25m/s f) VBb= 1m/s em 0,1s VBb = 0 em 0,2s VBb = 20m/s em 2s VBb = 2m/s em t =3s ( a bola está no chão).

g) VBb =27m/s h) Balão


145

Bola


146

4- a) g =2m/s2 b) V0 = 6m/s 5- 6m/s

6- d) 7- a) 8- c) 9-- Considerando g=10m/s2, as equações de movimento das bolas A e B são:

2 25 , ( 15) 5( 1)A By H t y H t= − = − − −

No instante da colisão yA = yB. Logo resolvendo encontra-mos que a colisão acontece no instante de tempo t=2s.


147

BIBLIOGRAFIA

TIPLER, Paul: vol 1-Mecânica. Editora LTC: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A Rio de Janeiro –1995.

CALÇADA Caio Sérgio; SAMPAIO, José Luiz:SARAIVA S.A,Livreiros Editores,São Paulo,2001.

ANTONIO Máximo, Beatriz Alvarenga; Física Volume único Editora Scipione-1997.

GASPAR Alberto; Física Mecânica Vol 1 Editora Ática-2000


148


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vamos estudar física

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