universidade tecnológica federal do paraná mestrado profissional em tecnologia de alimentos

Universidade Tecnológica Federal do ParanáMestrado Profissional em Tecnologia de Alimentos

Análise Estatística de ExperimentosProfª Sheila Regina Oro

EXPERIMENTOS FATORIAIS

Francisco BeltrãoAgosto, 2013

2

Experimentos Fatoriais• Projeto experimental em que os ensaios são realizados de

forma proposital e com causas controladas (fatores).

• É necessário o controle das causas para que as respostas obtidas nos ensaios sejam devidas somente aos efeitos dos tratamentos realizados e não a outras causas.

• O pesquisador deve considerar a presença de efeitos “não controláveis” (variação ao acaso).

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Experimentos Fatoriais• Cada nível de um fator é ensaiado com todos os níveis dos outros fatores, para testar

principalmente se há diferença no valor esperado da resposta entre os níveis de cada fator e se há interação entre os fatores.

• Fator: variável independente• Ex.: solventes, aditivos, temperatura

• Níveis: • Ex.: ausência ou presença; -1, controle, +1; 50ºC , 75ºC , 100ºC

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Exemplo 1: Solventes

• Um pesquisador está interessado em estudar a extração de pigmentos naturais, com aplicação como corante em alimentos. Numa primeira etapa tem-se a necessidade de escolher o melhor solvente extrator dentre os seguintes: E50, EAW, MAW, E70, M1M. A escolha do(s) melhor(es) solventes foi realizada através da medida da absorbância de um pigmento natural do fruto de baguaçú.

5


• Fator: solvente• Níveis: 5 (E50, EAW, MAW, E70, M1M)• Repetições: 5 • Tratamentos: 5• Ensaios: 25 (Repetições x Tratamentos)• Unidade experimental: 10 gramas de polpa• Casualização: a partir de 1kg de polpa, foram retiradas as

amostras de 10g para a aplicação dos tratamentos, numa ordem aleatória.

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Tabela 1-2 Dados gerais de um experimento com um único fator Tratamentos

(níveis) Observações Totais Médias

1

y11

y12

.

.

.

y1n

y1.

y1

2

y21

y22

.

.

.

y2n

y2.

y2

.

. . .

.

. . .

.

. . .

.

. . .

.

. a

ya1

ya2

.

.

.

yan

ya.

ya

ANOVA – 1 Fator

y ij =μ+α i +ε ij

Resposta nível i

repetição j

Média geralEfeito decada nível

Erro

Modelo – 1 Fator

Suposições:

1) os erros aleatórios são independentes;

2) os erros aleatórios são normalmente distribuídos;

3) os erros aleatórios tem média 0 (zero) e variância 2;

4) a variância, 2, deve ser constante para todos os níveis do fator.

5) as observações são adequadamente descritas pelo modelo

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• Níveis do fator selecionados pelo pesquisador• Hipóteses:

H0: 1= 2=...= a

H1: i j para pelo menos um par (i,j)

1-3.1 Decomposição da soma de quadrados total

a

=i

a

=i

n

j=ii

a

=i

n

j=

yy+yyn=yy1 1 1

2.ij

2...

1 1

2..ij

Corrigida para a média

SSTotal = SSTratamentos + SSErro

1 Fator – Efeito Fixo

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Decomposição da soma de quadrados total

a

=i

a

=i

n

j=ii

a

=i

n

j=

yy+yyn=yy1 1 1

2.ij

2...

1 1

2..ij

SSTotal = SSTratamentos + SSErro


10101010

n

j=iyy

n 1

2.ij1

1

11 1

2.ij nayy

a

=i

n

j=i


Variância do tratamento i

Variância combinada dos a tratamentos

11111111

a

=ii yy

a 1

2...1

1Variância entre tratamentos


SSTotal : an-1

SSTratamentos : a-1

SSerro : a(n-1)

Graus de liberdade

12

1tosQMTratamen 1

2

a

τn+σ=)E(

a

=ii

2

)a(=

atosSQTratamen=QMTrat

1-nSQErroQMErro

1

2σ=E(QMErro)

Quadrados médios

Esperança dos quadrados médios


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Análise Estatística• Critério para rejeição de H0:

F0 > F,a-1,N-a

valor p < 5%

• valor-p: probabilidade de rejeitar a hipótese nula devido a variações aleatórias.

Teste:QMErro

ntosQMTtratame=Fo


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Tabela da análise de variância de um experimento com um fator. Causas de variação

Soma de quadrados

Graus de liberdade

Quadrados médios

F0

Entre tratamentos

SSTratamentos a-1 QMTratamentos QMTratamentos

QMErro

Erro (dentro de trata/os)

SSErro N-a QMErro

Total SST N-1

N = an

Valor p


.100MédiaQMErro

=CV

rQMqsmd erro

glr erro;;...

dms = diferença mínima significativa

qα; r; gl_erro: valor tabelado

QMerro: quadrado médio do resíduo (ANOVA)

r: número de repetições de cada tratamento

Teste de Tukey


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Tabela 1.1 Dados de absorbância de cada um dos solventes


E50 EAW MAW E70 M1M

0,5553 0,5436 0,4748 0,6286 0,1651

0,5623 0,5660 0,4321 0,6143 0,1840

0,5585 0,5860 0,4309 0,5826 0,2144

0,5096 0,5731 0,5010 0,7498 0,2249

0,5110 0,5656 0,4094 0,6060 0,1954

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• Há suspeita de que o tipo de solvente esteja afetando a absorbância.• Distribuições assimétricas.• Valor discrepante observado para o solvente E70.


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• Minitab Stat – Basic Statistics – Display Descriptive Statistics

TotalVariable Count Mean StDev CoefVar Minimum Median Maximum RangeE50 5 0,5393 0,0266 4,94 0,5096 0,5553 0,5623 0,0527EAW 5 0,5669 0,0154 2,72 0,5436 0,5660 0,58600,0424MAW 5 0,4496 0,0372 8,28 0,4094 0,4321 0,5010 0,0916E70 5 0,6363 0,0656 10,31 0,5826 0,6143 0,7498 0,1672M1M 5 0,1968 0,0238 12,11 0,1651 0,1954 0,2249 0,0598

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Exemplo 1: Solventes• Minitab

Stat – ANOVA – One-Way (Unstacked) – Comparisons – Tukey’s

• O teste da ANOVA confirma que o tipo de solvente afeta a absorbância.• F5%;4;20 = 2,87• Valor-p < 5%• 95,29% da variância total é explicada pela reta obtida do modelo de

regressão linear

Fonte de Variação

Graus de liberdade

Soma de Quadrados

Quadrados Médios

F Valor-p

Solvente 4 0,583024 0,145756 101,11 0,0000Erro 20 0,028832 0,001442

Total 24 0,611856

CV 7,95% R² 95,29%

20


• O teste de Tukey apontou que os solventes que não diferem entre si quanto aos valores esperados de absorbância são:

• E50 e EAW • E70 e EAW

• Todos os demais diferem significativamente entre si.• A diferença mínima significativa (dms) calculada foi de 0,0718783.

Solvente Média Grupos Homogêneos

M1M 0,19676 a

MAW 0,44964 b

E50 0,53934 c

EAW 0,56686 c d

E70 0,63626 d

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Qual teste de comparações múltiplas usar?

O LSD é eficiente para detectar diferenças verdadeiras nas médias se ele for aplicado apenas depois do teste F da ANOVA, se significativo a 5%. Idem para o Duncan. Estes métodos não contém o erro tipo I (erro geral ou experimentwise error). Como o teste de Tukey controla este erro, ele é o preferido pelos estatísticos. Se a comparação for com um grupo controle, utiliza-se Dunnett.


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Estimação dos parâmetros do modelo

Estimativas da média geral e dos efeitos dos tratamentos:

.ˆˆˆ iii y=τ+μ=μ

Estimativa pontual de i: dado i= + i, temos:


23

Intervalo de confiança para a diferença entre quaisquer duas médias i-j:

2QMErro/nNα/2,.. aji t±yy

Um intervalo de confiança para i é dado por:

QMErro/nN/2,. aαi t±y


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M1M 0,28100,47780,1968Ê70 0,15850,47780,6363ˆMAW 0,02820,47780,4496ÊAW 0,08910,47780,5669Ê50 0,06150,47780,5393ˆ

0,4778ˆ

5

4

3

2

1

==τ==τ==τ==τ==τ

=μ


Estimativas da média geral e dos efeitos dos tratamentos:

25

0,67120,60145/0,00142,0860,6363

4 μ)(±


0,13730,2361/50,001422,0860,63630,4496

43

μμ)(±)(

Um intervalo de confiança para 4 é dado por:

Intervalo de confiança para a diferença entre as médias 3 e 4:

26

Dados desbalanceados:

O número de observações dentro de cada tratamento é diferente.

Ny

ny=

yy=

a

=i i

i

a

=i

in

j=

2..

1

2.

2..

1 1

2ij

tosSQTratamen

/NSQTotal


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Diagnóstico do ModeloVerificar se as pressuposições básicas do modelo são válidas fazendo a análise de resíduos.

Define-se o resíduo da ij-ésima observação como:

ijij yy=e ij

A suposição de normalidade

Vamos usar o gráfico normal de probabilidades: sob normalidade dos erros, estes devem seguir uma reta de 45o.


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• Alguns valores negativos dos resíduos (mais extremos) deveriam ser maiores; alguns valores positivos dos resíduos deveriam ser menores, com exceção do último valor que deveria ser maior.

• O gráfico indica que os resíduos (erros) podem ter distribuição normal.


• Existe um resíduo que é muito maior que os demais, este valor é denominado outlier. Deve-se fazer uma investigação sobre esse valor. Só eliminar um outlier se tiver uma justificativa não estatística, caso contrário, fazer duas análises: uma com e outra sem o outlier. Usar métodos não paramétricos. Transformação.

• Se algum resíduo padronizado (dij) for maior do que |3| ele é um outlier.

erroQMe

=d ijij

29

Gráfico de resíduos no tempoUsado para verificar se existe correlação entre os resíduos. Uma tendência de ter resíduos positivos e negativos indica uma correlação positiva. Isto implica que a suposição de independência dos erros foi violada. Isto é um problema sério, e até difícil de resolver. Se possível evitar este problema. A casualização adequada pode garantir a independência.


30

Gráfico dos resíduos versos valores preditos

A distribuição dos pontos é aleatória. Útil para verificar se as variâncias são heterogêneas (forma de megafone). Devido à presença de um outlier as variâncias podem não ser homogêneas. Na presença de heterogeneidade de variâncias é usual aplicar uma transformação nos dados (Box-Cox). Pode-se usar os testes não-paramétricos (Kruskal-Wallis).


31

Transformação Box-Cox

Usada para homogeneizar as variâncias. As conclusões são realizadas para os dados transformados.


32

Teste de Levene1) Calcular os resíduos da análise de variância;

2) Fazer uma análise de variância dos valores absolutos desses resíduos;

3) Se as variâncias são homogêneas, o resultado do teste F será não significativo.

Conclusão: Aceita-se a hipótese de que as variâncias são homogêneas, pois valor-p > 5%.


FV GL SQ QM F PSolventes 4 0,003576 0,000894 2,00 0,134Error 20 0,008944 0,000447Total 24 0,012519

ANOVA 2 Fatores

Fator A com i níveis e fator B com j níveis.

ij = diferentes combinações de níveis dos dois fatores (tratamentos).

kij = número de observações do tratamento.

Fatores A e B podem influir na variável dependente de forma isolada, denominados efeitos principais, e de forma combinada, efeito de uma combinação específica dos fatores A e B.

O teste de hipóteses para dois fatores A e B tem três hipóteses nulas:

H0 : Não há efeito principal do fator A

H0 : Não há efeito principal do fator B.

H0 : Não há combinação de efeitos.

H1 : Há efeito em cada um dos três casos.

ANOVA 2 Fatores

ijkijjiijk ε+αβ+β+α+μ=y

Cada observaçãoda variável

resposta

Média geral

Efeito decada níveldo fator A

Erro

Efeito decada níveldo fator B

Efeito decada nível

da interação

ANOVA 2 FatoresModelo

Observações de cada célula ab: amostra aleatória de tamanho r;Cada uma das ab populações é normalmente distribuída;Todas as populações têm a mesma variância;

Os parâmetros , e satisfazem as condições:

e

20,~ αNεijk

iα jβ ijαβ

011

=β=αb

=ii

a

=ii 0

11

=αβ=αβb

j=ij

a

=iij

Suposições do modelo

ANOVA 2 Fatores

ANOVA 2 Fatores

• Considere o experimento que visa estudar o efeito simultâneo do uso (ou não) de antibióticos e de vitamina B12 (ou não) no aumento de peso (kg) diário em suínos. Faça uma análise estatística do experimento com a finalidade de verificar se existe diferença estatisticamente significativa entre os tratamentos, adotando um nível de confiança de 95%.

Experimento: 2 fatores, 2 níveis e 3 repetições.Tratamentos: 4Unidades experimentais: 12

Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina

A tabela a seguir indica os valores observados na amostragem. - sem antibiótico (a0) - com 40g de antibiótico (a1) - sem vitamina B12 (b0) - com 5mg de vitamina B12 (b1)


Nível do Fator b0 b1

a01,30 1,26

1,19 1,21

1,08 1,19

a11,05 1,52

1,00 1,56

1,05 1,55

• Nesse experimento vamos verificar os efeitos individuais do uso de antibiótico ou da vitamina B12 no aumento de peso dos suínos, além de estudar a interação desses dois fatores.

Fatores: Antibiótico (A) e Vitamina B12 (B);Níveis: a0 (sem antibiótico) e a1 (com antibiótico); b0

(sem Vitamina B12) e b1 (com vitamina B12), respectivamente, adicionados a uma dieta básica de suínos.



• Há suspeita de que os níveis de antibiótico e/ou vitamina influenciam o peso dos suínos.

• Distribuições simétricas.


%36,93100²

412333,00,02940,41240,4418

0,41242.2.3

²1,55...1,303

4,63²3,10²3,61²3,57²

0,44182.2.3

²1,55...1,301,55²...1,30²

mod

mod

total

elo

ABBAelo

errototalerro

trat

total

SQSQR

SQSQSQSQ==SQSQ=SQ

=+++++=SQ

=++++=SQ

5,320,051,8 =F ;

Conclusão: pelo menos duas médias de tratamentos diferem significativamente entre si quanto ao ganho de peso diário de suínos.Como a interação é significativa (valor-p < 5%), os fatores antibiótico e vitamina não atuam independentemente na variável resposta (peso).


Fonte de Variação

Graus de liberdade

Soma de Quadrados

Quadrados Médios

F Valor-p

Antibiótico 1 0,020833 0,020833 5,68 0,044Vitamina 1 0,218700 0,218700 59,65 0,000Interação 1 0,172800 0,172800 47,13 0,000Erro 8 0,029333 0,003667

Total 11 0,441667

CV 4,86% R² 93,36%

MINITAB:/Stat/ANOVA/Two-way

Exemplo 2: Antibiótico e VitaminaO que fazer agora?

• Como a interação é significativa deve-se fazer o desdobramento da interação.

• Além disso, como os dois efeitos principais são significativos deve-se estudar o comportamento de um fator dentro dos níveis do outro;

• Caso apenas um dos efeitos principais fosse significativo, seria necessário estudar apenas o comportamento do fator não significativo dentro dos níveis do outro fator.

EFEITO SIMPLES DE UM FATORMedida da variação que ocorre com a característica em estudo (peso, neste caso) correspondente às variações nos níveis desse fator, em cada um dos níveis do outro fator.

0,251,301,05A 0000b dentro

==baba=) 1(

0,261,261,52A 1011b dentro

==baba=) 1(

0,041,301,26 B 0010a dentro

==baba=) 0(

0,471,051,52 B 0111a dentro

==baba=) 1(


EFEITO SIMPLES DE UM FATOR


• Na ausência da vitamina existe uma diferença no peso diário dos suínos. A estimativa desta diferença é dada por

• Somente o efeito do antibiótico prejudica o peso diário dos suínos.

Kg==baba=) 1(0,473,573,10A 000

0b de dentro

EFEITO SIMPLES DE UM FATOR


• Quando se utiliza a dose de vitamina B12, também existe uma diferença no peso diário dos suínos.

• A combinação do uso de antibiótico e vitamina favorece o peso diário dos suínos.

Kg==baba=) 1(0,973,664,63A 101

1b de dentro

EFEITO PRINCIPAL DE UM FATOR

Quanto mudou a variável resposta devido à mudança no nível do fator.


Efeito principal de A

A presença de antibiótico proporciona um aumento de 0,005kg no peso dos suínos;

Efeito principal de B

A presença de vitamina B12 proporciona um aumento de 0,215kg no peso dos suínos;

005,02

26,130,12

52,105,122

10001101

babababa


215,02

05,130,12

52,126,122

01001110

babababa

EFEITO DA INTERAÇÃO ENTRE OS FATORESMedida da variação que ocorre com a característica em estudo, correspondente às variações nos níveis de um fator, ao passar de um nível a outro do outro fator.

Efeito da interação A x B = B x A

0,2552

0,250,262

A A 0b de dentro 1b de dentro

=)(=)) ((


B1B01,6

1,4

1,2

1,0

A1A0

1,6

1,4

1,2

1,0

nivelFA

nivelFB

A0A1

nivelFA

B0B1

nivelFB

Interaction Plot for pesoData Means


Interações

0,15682.3

8,29²3

4,63²3,66²2r

0,03682.3

6,67²3

3,10²3,57²2r

2+++

212

1

2+++

211

=+=Xr

X+X=)SQ(A

=+=Xr

X+X=)SQ(A

222

dentrob

221

0dentrob


5,320,051,8 =F ;

Conclusão


• O teste para a interação AxB foi significativo (p < 0,05);• Como nas fontes de variação do desdobramento A (dentro de b0) e

A(dentro de b1) o teste F foi significativo e o fator “Antibiótico” possui dois níveis, não é necessário realizar um teste de comparação de médias.

• Interpretações dos testes dos efeitos simples de antibiótico (A) e de vitamina (B) perdem significado.

Experimento 2k fatorial

• Há apenas 2 níveis para cada fator;• Ex.: Um experimento com 3 fatores e 2 níveis, em duplicata, corresponde

a 23 x 2, ou seja, ou 2 x 2 x 2 = 8 experimentos;

• Por que realizar experimento fatorial com dois níveis?• ƒFacilidade de realização e de análise gráfica;• Número reduzido de experimentos. • Pode ser aplicado na maioria das situações e na resolução de problemas. • Possibilidade de uso numa sequência de estudos, inclusive em casos

multivariados. • Mesmo com um número elevado de fatores, este tipo de planejamento

mantém os experimentos em uma quantidade e complexidade razoável.

Exemplo 3 - Hipotético Fatores

A B C valor observado

1 -1 -1 352,761

1 -1 -1 347,335

-1 -1 1 353,872

1 1 -1 351,813

-1 1 1 339,947

-1 1 1 347,432

-1 1 -1 353,754

1 -1 1 350,932

1 1 -1 351,716

1 1 1 345,387

-1 -1 -1 348,340

-1 -1 1 359,257

-1 1 -1 350,073

1 -1 1 352,454

-1 -1 -1 353,298

1 1 1 348,374

Experimento fatorial:3 fatores (A, B, C)2 níveis (-1, 1)Duplicata2³ x 2 = 16 observações

Exemplo 3 - Hipotético

Apenas a interação entre 2 fatores foi significativa, com 10% de significância.


Com um nível de confiança de 90% conclui-se que:Os efeitos do fator B foram significativos;Os efeitos da interação BC foram significativos.


Podemos assumir que os erros são normalmente distribuídos.


A distribuição dos pontos é aleatória, indicando variâncias homogêneas.


Os pontos dispostos ao acaso, indicando erros independentes.


Os efeitos do fator B e da interação entre os fatores B e C são significativo (5%).

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