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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS DE CURITIBA

DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

E DE MATERIAIS - PPGEM

HIDERALDO LUIS VASCONCELOS DOS SANTOS

AVALIAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS PARA REPRESENTAR O NÚCLEO LAMINADO DOS

ROTORES DE MÁQUINAS ELÉTRICAS

CURITIBA

NOVEMBRO - 2008

HIDERALDO LUIS VASCONCELOS DOS SANTOS

AVALIAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS PARA

REPRESENTAR O NÚCLEO LAMINADO DOS ROTORES DE MÁQUINAS ELÉTRICAS

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Concentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR.

Orientador: Prof. Marco Antônio Luersen, D.Sc.

Co-orientador: Prof. Carlos Alberto Bavastri, Dr. Eng.

CURITIBA

NOVEMBRO - 2008

TERMO DE APROVAÇÃO

HIDERALDO LUIS V. DOS SANTOS

AVALIAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS PARA REPRESENTAR O NÚCLEO LAMINADO DOS

ROTORES DE MÁQUINAS ELÉTRICAS

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de concentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.

_________________________________

Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr. Eng. Coordenador de Curso

Banca Examinadora

Prof. Marco Antônio Luersen, D.Sc. Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Prof. Domingos Alves Rade, Dr. Universidade Federal de Uberlândia

Prof. Jucélio Tomás Pereira, D.Sc. Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Prof. Carlos Alberto Bavastri, Dr. Eng. Universidade Federal do Paraná

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Curitiba, 25 de Novembro de 2008

iii

Dedico este trabalho à minha mãe Daúva Ortiz

dos Santos, que sempre batalhou pelo nosso

futuro.

iv

AGRADECIMENTOS

A minha noiva Gizele pelo amor, pela grande dedicação e compreensão que teve

durante esta longa caminhada.

A minha irmã Maria e meu cunhado Silvio por todo apoio e por me acolher no começo

de tudo quando fui estudar em Curitiba.

Aos meus dois orientadores, Prof. Marco Antônio Luersen e Prof. Carlos Alberto

Bavastri por toda sua dedicação, profissionalismo e motivação que permitiram este trabalho

se tornar realidade.

Ao Prof. Jucélio Tomás Pereira por todos os ensinamentos e especialmente o grande

apoio e preocupação que, juntamente com o Prof. Carlos A. Bavastri tiveram para ajustar os

horários de suas aulas para que pudéssemos conciliar o Mestrado em Curitiba e o trabalho

em Jaraguá do Sul.

Ao meu grande companheiro de mestrado e amigo Francisco José Doubrawa Filho

pela amizade e exemplo de dedicação aos estudos que sempre nos motivou nesta jornada.

Ao meu colega de trabalho Hilton Penha Silva, um grande professor e incentivador que

sempre me apoiou.

Ao meu colega de trabalho Cassiano Antunes Cezário pelos preciosos ensinamentos

de Ansys e pelas curiosas correções de português que fez na minha dissertação.

A WEG Equipamentos Elétricos S.A. – Motores, na pessoa do Sr. Sebastião Lauro

Nau por incentivar o mestrado e autorizar minha ausência do trabalho e na pessoa do Sr.

Hugo Gustavo G. Mello pela grande paciência e pelo apoio que sempre nos deu. Agradeço

também a WEG por todos os recursos técnicos que me foram disponibilizados para realizar

este trabalho.

Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais da UTFPR

pela infra-estrutura e administração disponibilizadas.

Ao MCT/FINEP/FNDCT – Chamada PROMOVE – Laboratórios de Inovação –

Convênio 4931/06 pelo apoio financeiro no desenvolvimento deste trabalho.

v

SANTOS, Hideraldo L. V. dos, Avaliação de modelos numéricos para representar

o núcleo laminado dos rotores de máquinas elétricas, 2008, Dissertação

(Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica

e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 80p.

RESUMO

Quase todos os rotores de máquinas elétricas girantes são constituídos por um

cilindro metálico montado com interferência sobre um eixo. Este cilindro é formado

por um conjunto de lâminas de aço de pequena espessura, que são empilhadas e

compactadas formando um bloco único chamado de núcleo laminado ou pacote

laminado. Esta arquitetura é necessária para melhorar o desempenho elétrico da

máquina. O núcleo laminado acrescenta uma parcela de rigidez adicional ao sistema

e uma caracterização inadequada deste elemento pode ocasionar em grandes erros

na previsão do comportamento dinâmico do rotor. Assim, o presente trabalho tem

como objetivo comparar e avaliar algumas opções existentes de modelos de viga,

que permitam representar o efeito de enrijecimento do pacote de chapas no

comportamento dinâmico de rotores de máquinas elétricas girantes. Para tal fim,

inicialmente uma pesquisa bibliográfica é efetuada e na seqüência são identificados

e implementados, via elementos finitos, três diferentes modelos de viga equivalente,

quais sejam, (i) “modelo com diâmetro equivalente”, (ii) “modelo não ramificado” e

(iii) “modelo ramificado”. Com o intuito de validar os modelos, são realizados

experimentos para a obtenção das primeiras freqüências naturais e os

correspondentes modos de vibrar na condição livre de apoios, em nove rotores com

características construtivas diferentes. Os modelos então são avaliados,

comparando-se os valores das freqüências naturais obtidas experimentalmente com

aquelas calculadas por elementos finitos. Constatou-se que, para a maioria dos

rotores analisados, o modelo ramificado se mostrou o mais adequado. Finaliza-se o

trabalho com uma discussão crítica do comportamento dos modelos de viga

equivalente estudados.

Palavras-chave: Dinâmica de rotores, Modelo de viga equivalente, Pacote

laminado.

vi

SANTOS, Hideraldo L. V. dos, Assessment of numerical models to represent the

laminated rotor core of electrical machines, 2008, Dissertation (Master’s in

Engineering) – Post Graduation Program in Mechanical and Materials Engineering,

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (Technological University of Paraná),

Curitiba, 80 p.

ABSTRACT

Almost all rotating electrical machines have rotors that are composed of a

metallic cylinder and a steel shaft assembled with interference fit. This cylinder is

made up of a compacted stack of thin metallic plates, usually referred to as laminated

core. The laminated type structure is necessary in order to improve the electrical

performance of the machine, on the other hand it enhances the stiffness of the

system and an inadequate characterization of this element may lead to huge errors in

the assessment of the dynamic behavior of the rotor. In face of this fact, the purpose

of the present work is to compare and evaluate some existing beam models which

allow the representation of the stiffening effect of the laminated core on the dynamic

behavior of the rotating electrical machine rotor. Towards this end, a bibliographic

research is firstly carried out and three equivalent beam models using finite elements

are selected and implemented, namely (i) “equivalent diameter model”, (ii)

“unbranched model” and (iii) “branched model”. With the objective of validating the

models, a set of experiments is then performed with nine different rotors of electrical

machines, so that the first natural frequencies and the corresponding vibration modes

in a free-free support condition could be obtained in practice. The models are

evaluated by comparison of the natural frequencies obtained by the experimental

analysis with those obtained by numerical analysis. The results show that, for the

majority of the tested rotors, the branched model is the most suitable one. Finally, a

critical discussion about the behavior of the equivalent beam models studied is

presented.

Keywords: Rotordynamics, Equivalent beam model, Laminated core

vii

SUMÁRIO

RESUMO ..................................................................................................................... v

ABSTRACT ................................................................................................................ vi

LISTA DE FIGURAS................................................................................................... ix

LISTA DE TABELAS ................................................................................................. xii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS.....................................................................xiii

LISTA DE SÍMBOLOS .............................................................................................. xiv

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1 1.1 Aspectos Construtivos de Máquinas Elétricas Girantes ....................................................... 3

1.1.1 Elementos básicos de uma máquina elétrica ................................................................... 3 1.1.2 Tipos de rotores .............................................................................................................. 4

1.2 Problemática....................................................................................................................... 8 1.3 Revisão Bibliográfica .........................................................................................................10 1.4 Definição do Problema, Objetivos e Organização do Trabalho ...........................................13

2 ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS NA REPRESENTAÇÃO DO ROTOR ..... 15 2.1 Equação do Movimento .....................................................................................................15 2.2 Matrizes de Rigidez, Massa e Giroscópica dos Elementos Usados nos Modelos de Viga Equivalente ...................................................................................................................................16

2.2.1 Elemento de viga de Timoshenko de classe C0 com interpolação quadrática ..................16 2.2.2 Elemento de viga de Timoshenko de classe C1 (ou Euler-Bernoulli corrigido para incluir cisalhamento) ............................................................................................................................20 2.2.3 Matriz de massa e giroscópica para os discos ................................................................25 2.2.4 Matriz de rigidez do elemento de mola ...........................................................................26 2.2.5 Montagem das matrizes globais .....................................................................................26

3 DESCRIÇÃO DOS MODELOS DE VIGA EQUIVALENTE E EXPERIMENTOS PARA VALIDAÇÃO ................................................................................................... 27

3.1 Descrição dos Modelos Numéricos de Viga Equivalente ....................................................27 3.1.1 Modelo 01: acréscimo de rigidez usando diâmetro equivalente ......................................27 3.1.2 Modelo 02: pacote como elemento de viga não-ramificado.............................................31 3.1.3 Modelo 03: pacote como elemento de viga ramificado....................................................32

3.2 Implementação dos Modelos .............................................................................................33 3.3 Análise Modal Experimental ...............................................................................................36

3.3.1 Objetivos .......................................................................................................................36 3.3.2 Rotores testados ............................................................................................................36 3.3.3 Descrição dos Experimentos ..........................................................................................38 3.3.4 Extração dos parâmetros modais ...................................................................................42

viii

4 AVALIAÇÃO DOS MODELOS E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS................. 43 4.1 Curvas de Erro Numérico Experimental de cada Modelo ....................................................43 4.2 Avaliação da Precisão dos Modelos ...................................................................................53 4.3 Avaliação da Robustez dos Modelos ..................................................................................54 4.4 Correlação dos Resultados com a Geometria do Rotor ......................................................56 4.5 Efeito do Cisalhamento no Elemento de Pacote .................................................................59 4.6 Discussão sobre o Comportamento do Modelo 03 .............................................................61

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS ......................... 64 5.1 Conclusões ........................................................................................................................64 5.2 Sugestões para trabalhos futuros .......................................................................................66

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 68

ANEXO A – TESTE DE MALHA ................................................................................ 71

ANEXO B – COMPARAÇÃO DOS MODOS DE VIBRAR ......................................... 74

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Motor síncrono de 18.000 hp que opera próximo da primeira rotação

crítica do rotor (Cortesia WEG Equipamentos Elétricos – Divisão Energia). ........ 2

Figura 1.2 – Representação simplificada de um estator de máquina elétrica ............. 3

Figura 1.3 – Representação esquemática de um rotor de máquina elétrica (eixo +

pacote de chapas sem enrolamento) ................................................................... 4

Figura 1.4 – Classificação, baseada em WILD (2002), dos tipos de rotores de

máquinas elétricas girantes. ................................................................................. 4

Figura 1.5 – Geometria esquemática de uma chapa de rotor ..................................... 6

Figura 1.6 – Seqüência de montagem do rotor com gaiola de barras de cobre .......... 6

Figura 1.7 – Rotor de barras de cobre (com canais radiais) ........................................ 7

Figura 1.8 – Rotor injetado .......................................................................................... 8

Figura 2.1: Cinemática de deformação de uma viga de Timoshenko nos planos xy (a)

e xz (b). γ representa a deformação cisalhante transversal. .............................. 17

Figura 2.2: Graus de liberdade do elemento de viga de Timoshenko com três nós .. 18

A Figura 2.3 apresenta os graus de liberdade do elemento de viga.Erro! Indicador não definido.

Figura 2.4: Graus de liberdade do elemento de viga de Euler-Bernoulli ................... 23

Figura 3.1: Esquema do pacote de chapas representado com diâmetro equivalente.

(a) modelo sólido (b) modelo sólido equivalente (c) modelo de viga equivalente

........................................................................................................................... 28

Figura 3.2: Esquema do pacote de chapas representado com elemento de viga em

paralelo (modelo não ramificado) ....................................................................... 31

Figura 3.3: Esquema do pacote de chapas e eixo modelados como rotor duplo ...... 32

Figura 3.4: Representação do Modelo 01 implementado no ANSYS ........................ 35


x


Figura 3.7: Rotor suspenso para ensaio de condição livre-livre ................................ 39

Figura 3.8: Analisador de sinais, martelos de impacto e acelerômetro ..................... 39

Figura 3.9: Coordenadas dos pontos de excitação e resposta (cotas em mm) ......... 40

Figura 3.10: Exemplo de medição no rotor 250IVP ................................................... 40

Figura 3.11: Tela do programa para aquisição de dados (Pulse Labshop) ............... 41

Figura 3.12: Tela do programa de análise modal (ME’scopeVES) ............................ 41

Figura 4.1: Erro nas freqüências naturais rotor 225IIP – Modelo 01 ........................ 43

Figura 4.2: Erro nas freqüências naturais rotor 250IVP – Modelo 01 ........................ 44

Figura 4.3: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(A) – Modelo 01 ................... 44

Figura 4.4: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(B) – Modelo 01 ................... 44

Figura 4.5: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(C) – Modelo 01 ................... 45

Figura 4.6: Erro nas freqüências naturais rotor 315IIP – Modelo 01 ......................... 45


Figura 4.8: Erro nas freqüências naturais rotor 450IVP – Modelo 01 ........................ 46


Figura 4.10: Erro nas freqüências naturais rotor 225IIP – Modelo 02 ....................... 47

Figura 4.11: Erro nas freqüências naturais rotor 250IVP – Modelo 02 ...................... 47

Figura 4.12: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(A) – Modelo 02.................. 47

Figura 4.13: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(B) – Modelo 02.................. 48

Figura 4.14: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(C) – Modelo 02 ................. 48





xi



Figura 4.21: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(A) – Modelo 03.................. 50

Figura 4.22: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(B) – Modelo 03.................. 51

Figura 4.23: Erro nas freqüências naturais rotor 355IIP(C) – Modelo 03 .................. 51





Figura 4.28: Relação entre HCO/RE e o erro mínimo para o Modelo 01 ..................... 56

Figura 4.29: Relação entre LCH/Leixo e o erro mínimo para o Modelo 01 ................... 57

Figura 4.30: Relação entre MT/Meixo e o erro mínimo para o Modelo 01 ................... 58

Figura 4.31: Relação entre a geometria do rotor e o erro mínimo para o Modelo 03 59

Figura A. 1: Definição do parâmetro ii DL utilizado para a variação da malha ......... 71

Figura B. 1– Comparação dos modos para o rotor 225IIP ......................................... 74

Figura B.2 – Comparação dos modos para o rotor 250IVP ...................................... 75

Figura B.3 – Comparação dos modos para o rotor 355IIP(A) ................................... 76

Figura B.4 – Comparação dos modos para o rotor 355IIP(B) ................................... 77

Figura B.5 – Comparação dos modos para o rotor 355IIP(C) ................................... 78

Figura B.6 – Comparação dos modos para o rotor 315IIP ........................................ 79

Figura B.7 – Comparação dos modos para o rotor 560IIP ........................................ 80

xii

LISTA DE TABELAS

Tabela 3-1 – Exemplo de dados de entrada para o modelo paramétrico .................. 33

Tabela 3-2 – Propriedades do material do eixo e rotor.............................................. 34

Tabela 3-3 – Rotores testados .................................................................................. 37

Tabela 3-4 – Relações geométricas dos rotores testados......................................... 38

Tabela 3-5 – Freqüências naturais obtidas experimentalmente para cada rotor ....... 42

Tabela 4-1 – Erro mínimo obtido com cada modelo de viga equivalente .................. 54

Tabela 4-2 – Parâmetro de cada modelo no erro mínimo ......................................... 55

Tabela 4-3 – Erro médio com parâmetro fixo para avaliar a robustez do modelo ..... 55

Tabela 4-4 – Fator de correção para o cisalhamento transversal, considerando as

dimensões totais, nos cilindros laminados do núcleo dos rotores testados ....... 60

Tabela 4-5 – Erro mínimo alterando cisalhamento no elemento de pacote para

Modelo 02 .......................................................................................................... 60


Modelo 03 .......................................................................................................... 61

Tabela 4-7 – Erro mínimo alterando o módulo de elasticidade no elemento de pacote

- Modelo 03 ........................................................................................................ 62

Tabela A.1 – Efeito do tamanho da malha no erro mínimo para o Modelo 01........... 72



xiii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

API - American Petroleum Institute

APDL - Ansys Parametric Design Language

CAE - Computer Aided Engineering

CG - Centro de Gravidade

FRF - Função de Resposta em Freqüência

LAVIB - Laboratório de Vibrações

MMQ - Método dos mínimos quadrados

TEDS - Transducer Eletronic Data Sheets

xiv

LISTA DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS

φCH - Diâmetro externo da chapa do pacote laminado

HCOR - Altura da coroa da chapa do pacote laminado

φCOR - Diâmetro da região maciça da chapa, antes de iniciar as ranhuras

φE - Diâmetro do eixo na região do pacote de chapas

LCH - Comprimento total do pacote de chapas

h - Espessura de cada chapa do pacote laminado

χ - Numero total de chapas que compõem o pacote

[Kfel] - Parcela da matriz de rigidez elementar devido à flexão para o modelo de

viga de Timoshenko

[Kcel] - Parcela da matriz de rigidez elementar devido ao cisalhamento para o

modelo de viga de Timoshenko

[Kel] - Matriz de rigidez elementar para o modelo de viga de Timoshenko de

classe C0

Φ - Fator de correção para o cisalhamento transversal

[Mel] - Matriz de massa elementar para o modelo de viga de Timoshenko de

classe C0

[Gel] - Matriz de giroscópica elementar para o modelo de viga de Timoshenko de

classe C0

[Mdel] - Matriz de massa e inércia do elemento de disco

[Gdel] - Matriz giroscópica do elemento de disco

xv

MCH - Massa das chapas e gaiola, excluindo a massa dos anéis de curto

LAC - Comprimento do anel de curto

φAC - Diâmetro externo do anel de curto

MAC - Massa do anel de curto

d - Distância do CG do anel de curto à chapa extrema do pacote

φEQV - Diâmetro equivalente do eixo na região do pacote de chapas

N - Número de divisões do pacote

MT - Massa total do pacote de chapas

(MCH)’ - Massa MCH corrigida do acréscimo no diâmetro do eixo

ρE - Densidade do material do eixo

MD - Massa de cada disco do pacote dividido

LD - Comprimento de cada disco do pacote dividido

ItD - Momento de inércia de massa transversal de cada disco do pacote

IpD - Momento de inércia de massa polar de cada disco do pacote dividido

E_pct - Módulo de elasticidade do pacote de chapas

G_pct - Módulo de elasticidade ao cisalhamento do pacote de chapas

Kc - Rigidez total das molas de interface

L/D - Relação comprimento por diâmetro do elemento

[Θ] - Modos naturais de vibrar do sistema

xvi

λ - Autovalores do sistema

ω - Freqüências naturais do sistema

EIXO

CH

LL

- Razão entre o comprimento do pacote de chapas e o comprimento do

eixo

E

CH

φφ

- Razão entre o diâmetro externo do pacote de chapas e o diâmetro do eixo

na região do pacote

E

CO

φφ

- Razão entre o diâmetro da coroa do pacote de chapas e o diâmetro do

eixo na região do pacote

E

CO

RH

-

Razão entre a altura da coroa e o raio do eixo na região do pacote

EIXO

T

MM -

Razão entre a massa total do pacote de chapas e a massa do eixo

CH

CHLφ

- Razão entre o comprimento e o diâmetro externo do pacote de chapas

CO

CHLφ

- Razão entre o comprimento e o diâmetro da coroa do pacote de chapas

Capítulo 1 Introdução

1

1 INTRODUÇÃO

Durante a etapa de projeto mecânico de qualquer máquina rotativa, todos os

requisitos funcionais do equipamento devem ser definidos de forma a garantir a sua

durabilidade, confiabilidade de operação, desempenho e aceitabilidade no ambiente

no qual será instalada. Para as máquinas comercialmente mais comuns, a maioria

desses requisitos funcionais é normatizada, sendo que uma parte deles está

relacionada à maneira com a qual máquina irá vibrar quando estiver em operação

(EHRICH, 2004).

Há mais de 100 anos, grandes esforços têm sido realizados para modelar este

tipo de sistema e para estabelecer critérios seguros e factíveis, que permitiram

projetar equipamentos com potências bastante elevadas (NELSON, 2003). As

normas API (American Petroleum Institute) destinadas a equipamentos que operam

em plataformas de petróleo são excelentes referências com requisitos de cálculo e

critérios de aceitação do projeto de várias classes de máquinas rotativas, tais como

turbinas, máquinas elétricas e compressores. No entanto, obter, na fase de projeto o

comportamento dinâmico de uma máquina rotativa não é uma tarefa muito fácil, pois

depende de uma boa ferramenta de CAE (Computer-Aided Engineering) e de um

amplo conhecimento do sistema a modelar.

Com base neste contexto, é inserida a necessidade deste e de outros trabalhos

da área de dinâmica de rotores. O melhor conhecimento do sistema permite reduzir

o número de restrições aplicadas para se obter um projeto seguro do ponto de vista

dinâmico, permitindo um melhor aproveitamento de todo o potencial que o

equipamento poderia oferecer. A prova disto são alguns exemplos de máquinas que

operam acima da primeira ou mesmo da segunda rotação crítica, com a mesma

segurança e durabilidade de máquinas que operam no regime bem abaixo da

primeira rotação crítica (este último também chamado de regime rígido).

As máquinas elétricas girantes também fazem parte desta realidade, sendo

possível encontrar casos em que o rotor opera muito próximo de sua primeira

rotação crítica. Para tal, é realizada uma análise dinâmica completa da máquina,

incluindo o rotor, os mancais, a fundação, forças de excitação entre outros


2

(SANTOS, 2008; API 684, 2005). A Figura 1.1 mostra o exemplo de um motor

síncrono de 18.000 hp de potência, que opera próximo da primeira rotação crítica do

rotor, que foi avaliado nas fases de projeto e de testes usando os critérios definidos

na norma API 541 (2004).

Figura 1.1 – Motor síncrono de 18.000 hp que opera próximo da primeira rotação crítica do rotor (Cortesia WEG Equipamentos Elétricos – Divisão Energia).

O conhecimento atual em dinâmica de rotores já permitiu um avanço muito

grande na concepção dos projetos de sistemas rotativos. Apesar disto, o grande

potencial para o desenvolvimento de alguns pontos críticos da análise dinâmica,

motivam a realização deste trabalho. Mais especificamente, o estudo da forma

utilizada para modelar o núcleo laminado de rotores de máquinas elétricas, que

mesmo tendo uma importância fundamental na característica dinâmica do sistema,

conta com uma literatura muito escassa.

A pesquisa desenvolvida neste trabalho tem uma característica exploratória, na

qual experimentos e observações são usados para definir e testar hipóteses na

concepção de modelos de viga equivalente para representar rotores de máquinas

elétricas. Por causa dessa peculiaridade, o conteúdo foi apresentado com uma

ordem que mantivesse a seqüência natural em que foi investigado, descrevendo-se

inicialmente todo o contexto envolvido no problema, para só em seguida defini-lo.


3

1.1 Aspectos Construtivos de Máquinas Elétricas Girantes

1.1.1 Elementos básicos de uma máquina elétrica

Uma máquina elétrica é composta por duas partes principais: a estacionária,

chamada de estator e a parte rotativa, denominada de rotor. Estas duas partes são

separadas por uma pequena folga denominada de entreferro (KOSTENKO e

PIOTROVSKI, 1979).

O estator consiste basicamente de uma carcaça de aço ou ferro fundido que

aloja um cilindro oco formado por um pacote de chapas empilhadas. Um conjunto de

canais igualmente espaçados ao longo do perímetro interno do cilindro de chapas,

chamados de ranhuras, fornece o espaço para inserção das bobinas de fios de

cobre que formam o enrolamento do estator (Figura 1.2).

Figura 1.2 – Representação simplificada de um estator de máquina elétrica

(a) o pacote de chapas do estator; (b) o pacote dentro da carcaça (Cortesia WEG Equipamentos Elétricos – Divisão Energia).

O pacote ou núcleo laminado do rotor também é um cilindro oco composto por

um conjunto de chapas de aço empilhadas, com canais axiais ao longo do perímetro

externo, que alojam o enrolamento do rotor. Este pacote é montado com

Ranhuras

Estator bobinado

inserido na carcaça

(a) (b)


4

interferência sob um eixo de material maciço que ficará apoiado pelos mancais que

estão ligados ao estator da máquina (Figura 1.3).

Figura 1.3 – Representação esquemática de um rotor de máquina elétrica (eixo +

pacote de chapas sem enrolamento).

1.1.2 Tipos de rotores

Os rotores de máquinas elétricas girantes podem ser separados em duas

grandes classes: rotores de gaiola e rotores bobinados. Uma subclassificação ainda

pode ser aplicada, conforme apresentada no diagrama da Figura 1.4 (WILD, 2002).

Figura 1.4 – Classificação, baseada em WILD (2002), dos tipos de rotores de máquinas elétricas girantes.

ROTORES DE GAIOLA

Barras de Alumínio Injetado

Barras de Cobre

ROTORES BOBINADOS

Pólos salientes

Pólos Lisos

Sem canais radiais

Com canais radiais


5

A pesquisa apresentada nesse trabalho é restrita apenas aos rotores de gaiola,

nos quais foram desenvolvidos todos os experimentos. A escolha deve-se

principalmente à grande demanda de máquinas com estes tipos de rotores.

Basicamente, a construção de rotores com barras de cobre pode ser resumida

nos seguintes passos: (a) inicialmente o eixo da máquina é posicionado em uma

ferramenta específica para mantê-lo fixo, que é feito normalmente em uma prensa

vertical. (b) O disco de prensar, com uma espessura muito maior do que das chapas,

é montado com interferência sob eixo na posição que delimita e serve de apoio para

uma das extremidades do pacote. (c) As chapas, com o perfil semelhante ao

apresentado na Figura 1.5, são aquecidas e montadas sob o eixo com uma

interferência da ordem de décimos de milímetros. Essas chapas têm espessura da

ordem de 0,6mm e são empilhadas uma a uma mantendo-se o alinhamento entre as

ranhuras através de um rasgo de chaveta. (d) Após empilhar todas as chapas, é

inserido o segundo anel de prensar na extremidade oposta àquela em que foi

colocado o primeiro. Sob esses dois anéis é aplicada uma força de compressão da

ordem de 15tf no sentido longitudinal do eixo. Essa força compacta as chapas

formando um cilindro de bloco único que é chamado de pacote de chapas ou núcleo

laminado ou núcleo magnético do rotor. Ainda na prensa, o último anel de prensar é

travado e o pacote é resfriado para garantir a união com o eixo. (e) As barras de

cobre, com comprimento um pouco maior que o pacote de chapas, são inseridas nos

canais axiais deixados pelas ranhuras. As extremidades das barras são usinadas

para garantir o alinhamento e, sobre ambas, são soldados os dois anéis de curto de

cobre fechando um circuito elétrico para a passagem da corrente induzida pelo

estator. Se essa montagem fosse vista sem o pacote de chapas se assemelharia a

uma gaiola, e por esta razão dá o nome a esses tipos de rotores (Figura 1.6).


6

Figura 1.5 – Geometria esquemática de uma chapa de rotor

( CHφ :diâmetro externo da chapa; CORH :altura da coroa; CORφ :diâmetro da

coroa; Eφ :diâmetro externo do eixo)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 1.6 – Seqüência de montagem do rotor com gaiola de barras de cobre

Eφ

CORφCHφ

Ranhuras

CORH


7

A diferença entre os rotores de gaiola de cobre sem e com canais radiais de

ventilação é que nos primeiros as chapas são empilhadas formando um bloco único

de pacote, enquanto que naqueles com canais radiais, pequenas pilhas de chapas

são montadas com separadores, formando setores de pacotes (Figura 1.7).

Figura 1.7 – Rotor de barras de cobre (com canais radiais)

Os rotores de gaiola de alumínio injetado têm uma construção um pouco

diferente. (a) As chapas são inicialmente alinhadas em uma ferramenta específica,

que consiste de um pino guia no qual elas são empilhadas formando os canais

axiais. (b) Esse conjunto é levado à injetora e montado nas partes inferior e superior

do molde de injeção. (c) Uma força de compactação da ordem de 300tf é aplicada

sob o conjunto de forma a garantir um bloco único de chapas que não tenha fendas

para deixar fluir o alumínio a ser injetado. (d) O alumínio fundido é injetado sob alta

pressão pelos canais do molde superior e/ou inferior e deve preencher todos os

vazios do molde e os canais radiais do pacote de chapas. (e) Alguns minutos após

todo o alumínio já ter sido fundido, os moldes são retirados e o núcleo laminado é

extraído. Neste caso já resulta o pacote totalmente formado em um bloco único,

moldado com as barras e os anéis de curto nas duas extremidades. (f) Esse

conjunto é então removido da injetora e, ainda quente, é colocado em uma prensa

na qual será inserido o eixo, completando a construção do rotor. A Figura 1.8

apresenta um rotor injetado montado sobre o eixo, com um corte no pacote para

mostrar as barras de alumínio fundido.


8

Figura 1.8 – Rotor injetado

1.2 Problemática

O pacote de chapas empilhadas que é montado sobre o eixo da máquina, além

de massa e inércia, adiciona uma parcela de rigidez que tem grande influência sobre

o comportamento dinâmico do rotor. Dependendo da forma como o rotor foi

construído e das suas características geométricas, este efeito de enrijecimento pode

ser maior ou menor. Em uma validação experimental preliminar, constatou-se para

um caso de erro de 30% no cálculo da primeira freqüência natural de um rotor,

quando foi desconsiderado qualquer efeito de enrijecimento do pacote laminado

(SANTOS, 2007).

Baseado nos aspectos construtivos que foram descritos no item anterior, o

seguinte contexto problemático pode ser colocado:

a) Supondo inicialmente que o pacote fosse composto por um cilindro maciço ao

invés de laminado, qual seria a relação da interferência existente entre o cilindro e o

eixo com a parcela de enrijecimento a ser aplicada? Mesmo esta questão sendo


9

devidamente respondida, existe um segundo complicador: como controlar ou

quantificar a interferência real entre o pacote e o eixo durante o processo produtivo

do rotor? Para o rotor com barras de cobre esse controle parece mais simples, visto

que as chapas são colocadas uma a uma sobre o eixo, garantindo, de certa forma,

uma interferência constante e mensurável. O mesmo não se pode afirmar sobre os

rotores de alumínio injetado, pois o pacote é empilhado e compactado em um

dispositivo intermediário que nunca garante um alinhamento das chapas na direção

longitudinal. Quando o eixo é inserido, as chapas que não estão devidamente

concêntricas irão se deformar alterando toda uma condição teórica da interferência

entre o pacote e o eixo. No final do processo, a interferência sempre existirá,

contudo, é bastante aleatória, o que dificulta quantificá-la adequadamente.

b) O segundo aspecto importante é como determinar o módulo de elasticidade de

um conjunto de chapas laminadas. Dois trabalhos de Garvey e colaboradores

(GARVEY, 1989 e GARVEY et al., 2004) discutem formas de modelar os pacotes

laminados usando um elemento ortotrópico, com um módulo de elasticidade para a

direção normal à laminação e outro para a direção paralela à laminação. Para as

deformações que ocorrem no plano normal ao da laminação, poderia se esperar

uma rigidez mecânica do pacote equivalente aquela de um material sólido

(assumindo um fator de empacotamento igual a um)1. Já no sentido da laminação, o

módulo de elasticidade é muito menor se comparado com o de um material maciço,

sendo função direta da pressão de compactação usada para formar o pacote de

chapas. Usar essa abordagem implicaria em utilizar um modelo numérico de

elementos finitos capaz de contemplar a anisotropia, e ainda a necessidade de

realizar uma identificação experimental dos parâmetros de módulos de elasticidade

(GARVEY, 1989).

c) O terceiro aspecto é a verdadeira interação entre o pacote de chapas e o eixo,

que depende não somente de uma boa caracterização do elemento anisotrópico e

1 O fator de empacotamento é dado pela razão ( )χhLCH / . Sendo LCH o comprimento total do pacote, h a espessura de cada

chapa e χ o número de chapas do pacote.


10

da interferência, mas também da relação geométrica entre esses dois elementos e

do modo de vibrar que se está analisando.

Esta situação problemática é discutida nos momentos pertinentes durante o

desenvolvimento deste trabalho. Contudo, seu conhecimento é relevante para

entender a definição do problema proposto e avaliação do que foi implementado.

1.3 Revisão Bibliográfica

Apesar de algumas versões de programas comerciais de elementos finitos

permitirem elementos tridimensionais para analisar a dinâmica do rotor, o artifício

técnico mais comum é utilizar um modelo de viga equivalente para modelar este tipo

de problema. LALANNE e FERRARIS (1990) apresentam as matrizes com as quais

é possível analisar a dinâmica de um sistema de rotor girante composto por eixo,

mancais e discos. Os mancais adicionam rigidez e amortecimento enquanto os

discos contribuem com massa e inércia, ambos nas posições dos nós

correspondentes das matrizes globais. O eixo é representado usando um modelo de

viga de Euler-Bernoulli, com um fator para incluir o cisalhamento transversal. Os

discos, quando montados com interferência sobre o eixo, agregam determinada

rigidez que é computada aumentando-se o diâmetro do eixo de uma quantidade

igual à espessura do disco. Este acréscimo de diâmetro é aplicado somente na

região do eixo no qual se situa o disco e é válido para discos de pequena espessura.

Sendo que nada é afirmado sobre cilindros longos.

A norma API 684 (2005), que contém um tutorial com boas práticas para o

projetista fazer um modelo de dinâmica de rotores, afirma ser um grande desafio

determinar essa quantidade de rigidez adicional do pacote e recomenda a seguinte

aproximação: considerar um diâmetro externo do eixo na região do pacote de tal

forma que a massa adicional seja igual à massa do núcleo laminado. Este novo

diâmetro “equivalente” é utilizado para considerar a rigidez adicional do pacote

laminado sob o eixo.

Em KIM e KIM (2006) é apresentado um estudo experimental sobre a relação

entre a pressão de empacotamento que é utilizada na montagem do pacote de


11

chapas e o aumento percentual que deve ser aplicado no diâmetro base do eixo

para considerar o efeito de enrijecimento. O exemplo estudado trata de um rotor de

642kg constituído apenas do eixo e do pacote de chapas, sem as ranhuras. Com

uma interferência de 0,01mm entre o diâmetro externo do eixo e interno do pacote,

sem consideração do efeito da rotação e temperatura, o autor recomenda um

aumento do diâmetro do eixo de 18 a 25% da diferença entre o diâmetro externo e

interno da chapa. As conclusões foram baseadas em um experimento que

determinou as três primeiras freqüências naturais do rotor na condição livre-livre,

repetido para vários valores de pressão de empacotamento. Outra informação é que

o aumento da pressão de empacotamento sempre implicaria em um aumento do

diâmetro equivalente, sendo que este último valor satura à medida que se aumenta

muito a pressão de empacotamento.

Em CHEN et al. (2008) é feita uma proposta mais abrangente para modelar

todo o sistema de uma máquina elétrica. O autor utiliza um modelo com elementos

finitos de viga em paralelo (eixo e pacote de chapas) para representar o rotor com

núcleo laminado. Os elementos são conectados nó a nó por um conjunto mola-

amortecedor, cuja rigidez de contato é da ordem de 109N/m e o amortecimento é

desprezado. As propriedades do material do pacote de chapas foram ajustadas

experimentalmente usando medições de freqüência natural do rotor em condição

livre-livre. No modelo identificado, o módulo de elasticidade do eixo e do pacote

laminado são, respectivamente, 225GPa e 15GPa, enquanto que os módulos de

cisalhamento valem 88GPa e 6GPa, supondo-se um coeficiente de Poisson de 0,28

para ambos os materiais.

GARVEY et al. (2004) propõem a construção de um modelo com material

ortotrópico para representar o pacote laminado, através de uma nova definição do

estado de tensão-deformação que considera a flexibilidade da interface entre as

chapas do pacote laminado. Duas configurações são investigadas. Na primeira delas

os elementos de eixo e de pacote são superpostos de forma que suas extremidades

são conectadas pelos mesmos nós, sendo esta abordagem chamada de modelo

não-ramificado. A segunda proposta é utilizar elementos em paralelo, conectados

por molas e amortecedores, semelhante ao que foi feito por CHEN et al. (2008)

denominado de modelo ramificado.


12

Para os casos em que o rotor possui um eixo costelado na região do pacote,

alguns autores, tais como NETO et al. (2006), desprezam o efeito de enrijecimento

do núcleo laminado e consideram somente a contribuição de massa e inércia. No

estudo feito em uma máquina montada, o erro do modelo em relação ao

experimental foi avaliado somente para o primeiro modo de vibrar do rotor. O efeito

de enrijecimento não se mostrou relevante; ao invés disso, o resultado acabou

sendo bastante influenciado pela rigidez da fundação da máquina. Esta configuração

de rotor não foi avaliada na presente dissertação.

Um exemplo bastante particular da importância de se ter um bom modelo do

núcleo laminado é apresentado em EDE et al. (2002). Os autores estudam um

modelo numérico em elementos finitos 3D de um rotor de pequenas dimensões, com

núcleo laminado que equipa um motor cuja rotação nominal é de 120.000rpm. O

rotor é composto de um eixo com um núcleo laminado que, ao invés de barras de

cobre ou alumínio, a gaiola é formada com barras de imã permanente. O rotor foi

representado por um material totalmente anisotrópico e, no modo que se observa

uma maior parcela de flexão do pacote se comparada ao do eixo, os autores

obtiveram um erro de cálculo de 5% no cálculo da respectiva freqüência natural.

Em todos os trabalhos que propõem algum modelo equivalente para o rotor

com núcleo laminado, a identificação de parâmetros foi realizada usando

experimentos de análise modal, dos rotores nas condições livres de apoios. Este tipo

de metodologia pode ser encontrado em outros trabalhos, como por exemplo, em

TADEO (2003). O autor usa um ajuste por MMQ (método de mínimos quadrados)

das curvas de inertância de um sistema para identificar os parâmetros de um modelo

equivalente para acoplamentos.

Por fim, usando a pesquisa bibliográfica realizada, três modelos de viga foram

escolhidos para serem avaliados neste trabalho. Esses modelos são descritos na

Seção 1.4 e detalhados e avaliados ao longo desta dissertação.


13

1.4 Definição do Problema, Objetivos e Organização do Trabalho

Os modelos de viga equivalente de todos os trabalhos descritos anteriormente

necessitam de um valor de parâmetro para quantificar o efeito de enrijecimento do

pacote de chapas sob o eixo. Este, muitas vezes foi determinado

experimentalmente, e avaliado apenas para um caso de rotor como, por exemplo,

em GARVEY et al. (2004). Foi constatado, também, que para cada modo de vibrar

do rotor é necessário ajustar um valor de parâmetro diferente para se calcular a

freqüência natural.

O intuito inicial é então verificar se, com um mesmo modelo de viga e usando

apenas um valor de parâmetro, é possível representar diferentes geometrias e/ou

modo de vibrar de rotores de gaiola.

A solução do problema foi restrita a avaliar três versões de modelos de viga,

baseando-se no que foi encontrado na literatura: (i) utilização de um diâmetro

equivalente na região do pacote laminado, denominado de “modelo com diâmetro

equivalente”, (ii) emprego de um elemento finito para representar o pacote, o qual é

unido diretamente ao elemento que representa o eixo, chamado de “modelo não

ramificado” e (iii) utilização de um elemento finito para representar o pacote, unido

através de molas ao elemento que representa o eixo, sendo este denominado de

“modelo ramificado”.

O objetivo geral do trabalho é, portanto, implementar os três modelos de viga

equivalente usando elementos finitos, realizar os experimentos necessários e avaliar

o comportamento dos modelos numéricos para o caso de rotores com características

construtivas diferentes.

O texto da dissertação está organizado na forma descrita a seguir. No

Capítulo 2 é colocada a fundamentação teórica com a definição dos elementos de

viga e de ligação que são utilizados. No Capítulo 3 é descrita a implementação e a

parametrização dos modelos. Para facilitar o desenvolvimento e análise, foi utilizado

o software comercial de elementos finitos ANSYS como ferramenta de cálculo.

Contudo, é importante ressaltar que, com as informações aqui fornecidas, toda a

análise computacional pode ser reproduzida usando outro programa de elementos


14

finitos, ou mesmo realizar as implementações em linguagens de alto nível como

Fortran, C++ ou nas plataformas Matlab ou Scilab. Ainda no Capítulo 3, são descritos

os experimentos e apresentados os resultados das análises modais realizadas nos

vários rotores de gaiola que foram escolhidos. No Capítulo 4 são apresentados os

erros obtidos com os três modelos na representação da dinâmica dos rotores

testados, que são, em seguida, avaliados quanto a sua precisão e robustez.

Baseado nas observações anteriores, ainda no Capítulo 4, é feita uma discussão

dos resultados com a finalidade de compreender melhor o fenômeno. O Capítulo 5

conclui o trabalho e apresenta as sugestões de trabalhos futuros com hipóteses e

implementações que poderiam ser estudadas. Alguns assuntos adicionais e outros

necessários para o desenvolvimento do trabalho foram colocados nos anexos: a

macro em linguagem APDL (Ansys Parametric Design Language – ANSYS, 2007),

usada no software Ansys para implementação dos modelos de viga; os modos de

vibrar de cada rotor obtido experimentalmente e aqueles calculados com o melhor

parâmetro.

Capítulo 2 Elementos Finitos Utilizados na Representação do Rotor 15

2 ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS NA REPRESENTAÇÃO DO

ROTOR

O objetivo deste capítulo é apresentar as matrizes dos diversos elementos

finitos utilizados no presente trabalho para a representação do rotor, de forma que

os modelos aqui desenvolvidos e testados possam ser facilmente implementados

por outrem.

2.1 Equação do Movimento

O comportamento dinâmico dos rotores de máquinas girantes pode ser

modelado através do método dos elementos finitos. Para tal, usualmente são

utilizados elementos de viga para representar o eixo, elementos rígidos de inércia

para representar os componentes montados sobre o eixo (denominados, de forma

genérica, de discos) e elementos de mola e amortecedor para os mancais e

fundação, no caso desta última ser levada em consideração (GENTA, 2005).

As equações do movimento para um sistema girante podem ser obtidas a partir

da aplicação das equações de Lagrange, dadas, por exemplo, em LALANNE e

FERRARIS (1990):

iiii

fUTTdtd

=∂∂

+∂∂

−

∂∂

qqq& , Eq. 2.1

sendo T a energia cinética, U a energia de deformação, fi as forças generalizadas

que atuam sobre o sistema, qi os deslocamentos generalizados e i = 1 a n a

indicação dos graus de liberdade. Note-se que o ponto simboliza a diferenciação em

relação ao tempo t, assim iq& representa as velocidades generalizadas.

As expressões da energia cinética T e potencial U em função dos

deslocamentos e velocidades generalizados são obtidas para cada um dos

elementos do rotor (viga, disco, mola-amortecedor, etc.) e introduzindo-as na Eq. 2.1


e fazendo a superposição dos graus de liberdade, obtém-se a equação do

movimento, a qual, em forma matricial, para um sistema linear, é dada por

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] )()( )()( tttt fqKqGCqM =+++ &&& , Eq. 2.2

sendo [ ]M a matriz de inércia ou massa, [ ]K a matriz de rigidez, [ ]C a matriz de

amortecimento, [ ]G a matriz giroscópica, ( )tf o vetor de forças nodais

generalizadas, ( )tq o vetor de deslocamentos nodais, ( )tq& o vetor de velocidades

nodais e ( )tq&& o vetor de acelerações nodais.

A seguir são apresentadas as matrizes elementares de rigidez, massa e

giroscópica para os diversos tipos de elementos finitos utilizados na modelagem do

rotor. A matriz de amortecimento do eixo não é apresentada, pois, no presente

estudo o amortecimento foi desprezado. São apresentados aqui, e foram

considerados nas análises, apenas efeitos do movimento lateral do rotor, sem os

deslocamentos axiais e torcionais.

2.2 Matrizes de Rigidez, Massa e Giroscópica dos Elementos Usados nos

Modelos de Viga Equivalente

2.2.1 Elemento de viga de Timoshenko de classe C0 com interpolação quadrática

O elemento de viga de Timoshenko é utilizado para representar o eixo e o

núcleo laminado. Na teoria de Timoshenko, a principal premissa é que mesmo após

a viga estar fletida, a sua seção transversal permanece uma superfície plana.

Contudo, não está em uma direção normal à linha centroidal da viga. A Figura 2.1

apresenta a cinemática de deformação de um ponto P em uma viga de Timoshenko.


P

y

x

v

ψ

uy

∂ ∂ x

v

γxy

z

x

w

−φ

u z

γxz

P

∂ ∂ x

w

(a) (b)

Figura 2.1: Cinemática de deformação de uma viga de Timoshenko nos planos xy (a)

e xz (b). γ representa a deformação cisalhante transversal.

A partir das hipóteses de Timoshenko, o campo de deslocamentos é

aproximado por (GMÜR e RODRIGUES, 1991)

)()(),,( xzxyzyxu x φψ +−= ; )(),,( xvzyxu y = ;

)(),,( xwzyxu z = Eq. 2.3

Os deslocamentos v e w e as rotações ψ e φ, bem como as correspondentes

velocidades, são aproximados através de seus valores nodais, utilizando funções de

interpolação quadráticas2. Assim:

332211 )()()()( vxNvxNvxNxv ++=

332211 )()()()( wxNwxNwxNxw ++=

332211 )()()()( φφφφ xNxNxNx ++=

332211 )()()()( ψψψψ xNxNxNx ++= ,

Eq. 2.4

sendo iN as funções de interpolação dadas por

[ ]2

1 2 32 2 21 1 1x x x x xN N N

L L L L L

= − − − + .

Eq. 2.5

2 Note que neste elemento as rotações φ e ψ são interpoladas independentemente dos deslocamentos transversais v e w.


O elemento finito possui três nós com quatro graus de liberdade cada um, cujo

vetor de deslocamentos nodais é dado por

[ ]333322221111 ψφψφψφ wvwvwvq MM= , Eq. 2.6

sendo vi e wi os deslocamentos nas direções y e z, respectivamente e φi e ψi as

rotações da seção transversal correspondentes. A Figura 2.2 apresenta os graus de

liberdade deste elemento.

z ψ1 ψ 2 x

w2

1φ

ψ 3 w3

y

L

1w

2φ 3φ

1v 2v 3v

Figura 2.2: Graus de liberdade do elemento de viga de Timoshenko com três nós

Por essas definições obtém-se a matriz de rigidez elementar, que é

apresentada em duas parcelas: [Kfel] representando o efeito de flexão e [Kcel] o

efeito de cisalhamento transversal3. Nesse caso,

[ ]

−−

−−

=

70008000100070008000100

0000000000000000000

16000800016000800

00000000000

7000.700

000

3

sim

LEIKf el

Eq. 2.7

3 A matriz [Kcel] foi obtida aplicando-se a técnica de sub-integração com o objetivo de eliminar o fenômeno de travamento (locking) de cisalhamento transversal do elemento (HUGHES,2000).


[ ]

−−

−−−

−−

−−

−

−

−−

−

−

=

300

23

3002

600

21

32300

3200

6210

70028002110

7200821001

34000

3002

34000

320

1600280

1620083

0023

.32

30

70

7

3

LLL

LLLLLL

LLL

LL

LLLL

LL

L

simLL

L

GSKcelµ

Eq. 2.8

sendo E módulo de elasticidade do material, L o comprimento do elemento, S a área

da seção transversal, I o momento de inércia da seção transversal e G o módulo de

elasticidade ao cisalhamento. O termo µ é o fator para corrigir a distribuição das

tensões cisalhantes transversais, que é uma função da forma da seção e do

coeficiente de Poisson ν do material (BATHE, 1996). Note-se que já foi considerada

uma seção circular, de forma que os momentos de inércia em relação aos eixos y e z

são iguais, denominados por I. Esta matriz também já contém os termos relativos as

inércia de rotação das seções transversais.

A matriz de massa é dada por:

[ ]

−

−

−

−

=

SII

III

SSS

SSSII

IISS

SSsimI

IS

S

LM el

20000002

000

20000002

00

20000002

0

20000002

8000000800000

800008000

2000200

202

15ρ

Eq. 2.9


e a matriz giroscópica por:

−

−−

−−−

Ω=

040

0000000.020002000160

000000000000000010002000100020004000000000000000000000000

15][

simAnti

ILGelρ

Eq. 2.10

sendo ρ a densidade do material e Ω a freqüência de rotação do rotor em torno do

eixo X (axial). A dedução completa para obter as matrizes acima pode ser

encontrada em CARVALHO et al. (2007).

2.2.2 Elemento de viga de Timoshenko de classe C1 (ou Euler-Bernoulli

corrigido para incluir cisalhamento)

O elemento de viga de Timoshenko de classe C1 foi colocado como segunda

opção para representar o núcleo laminado. Com este tipo elemento pode-se avaliar

um modelo incluindo-se ou não o efeito do cisalhamento transversal. O

equacionamento para este elemento foi baseado em GENTA (2005), BAZOUNE e

KHULIEF (2003), ALVES FILHO (2000) e NELSON (1980).

A mesma Figura 2.1 pode ser utilizada para descrever a cinemática de

deformação do modelo de viga, contudo, os graus de liberdade de translação e

rotação agora são correlacionados. O campo de deslocamentos é escrito da

seguinte forma

xxwz

xxvyzyxu x ∂

∂−

∂∂

−=)()(),,( ;

)(),,( xvzyxu y = ; )(),,( xwzyxu z =

Eq. 2.11


Os deslocamentos (v, w) são compostos pela soma de duas parcelas, (vF, wF)

devido a flexão e (vC, wC) devido ao cisalhamento, tal que

xyCF

xv

xv

xv

γφ +=∂

∂+

∂∂

=∂∂ ,

xzCF

xw

xw

xw

γψ +−=∂

∂+

∂∂

=∂∂

Eq. 2.12

Quando o cisalhamento não é considerado, as rotações são iguais às

derivadas do deslocamento, visto que os valores de γxy e γyz são iguais a zero. Nesta

situação, tem-se o elemento representado pela teoria clássica de viga de Euler-

Bernoulli, sendo que agora a seção transversal da viga deformada, além de

permanecer uma superfície plana, está em uma direção normal à linha centroidal da

viga.

Os deslocamentos v e w e as rotações ψ e φ bem como as correspondentes

velocidades são aproximadas através de seus valores nodais e de funções de

interpolação4, na forma

−

−

=

−

=

2

2

1

1

24232221

14131211

2

2

1

1

24232221

14131211

)()()()()()()()(

)()(

)()()()()()()()(

)()(

φ

φφ

ψ

ψψ

w

w

xNxNxNxNxNxNxNxN

xxw

v

v

xNxNxNxNxNxNxNxN

xxv

,

Eq. 2.13

4 Note-se que neste elemento os graus de liberdade não são interpo lados de forma independente. Existe uma relação entre o deslocamento transversal v e a rotação ψ e entre o deslocamento w e a rotação φ .


sendo iN as funções de interpolação associadas ao grau de liberdade qi , dadas por

(GENTA, 2005 ou BAZOUNE e KHULIEF, 2003)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Φ+

+−Φ=

Φ++−−Φ−

=

Φ+−

−=Φ+−+Φ

=

Φ++−−Φ+

=Φ+

+−−Φ+=

Φ+−

=Φ+

+−−Φ+=

132

)(1

121)(

116

)(1

23)(

13411

)(1

21211)(

116

)(1

2311)(

2

24

2

14

23

2

13

22

2

12

21

32

11

LxLxLxxNLxLxLxxxN

LxL

LxxNLxLxLxxN

LxLxLxxN

LxLxLxxxN

LxL

LxxNLxLxLxxN

Eq. 2.14

onde Φ é o fator de correção devido ao cisalhamento transversal, dado por

2*

12

LGSEI

=Φ , Eq. 2.15

sendo S* denominada de área efetiva ao cisalhamento da seção transversal, a qual é

relacionada com área real por:

SS µ=* Eq. 2.16

O elemento possui dois nós com quatro graus de liberdade por nó, cujo vetor

de deslocamentos nodais é dado pela equação por

[ ]Twvwvq 22221111 ψφψφ M= , Eq. 2.17

sendo vi e wi os deslocamentos nas direções y e z, respectivamente, e φi e ψi as

rotações da seção transversal correspondentes.

A Figura 2.3 apresenta os graus de liberdade do elemento de viga


z ψ1 ψ 2 x

w2

1φ

y

L

1w

2φ

1v 2v

Figura 2.3: Graus de liberdade do elemento de viga de Euler-Bernoulli

A matriz de rigidez elementar para este elemento é dada por

[ ] ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

Φ+−Φ−Φ+−Φ−−

−−−

Φ+Φ+−

Φ+=

22

22

2

2

3

400620064600260

120061201260012

4006460

.12012

1

LLLLLLLL

LL

LLLL

Sim

LEIK el

,

Eq. 2.18

A matriz de massa do elemento é dada por

[ ]

−−

−

−

=

ecfdecfd

adbadb

ecec

Simaa

SLM el

0000000000

0000

0.0

ρ Eq. 2.19

onde

( )

( )2

22

156

31

107

3513

Φ+

+Φ+Φ+=

Lra Eq. 2.20


( )

( )2

22

156

61

103

709

Φ+

+Φ+Φ+=

Lrb Eq. 2.21

( )

( )2

22

121

101

241

12011

21011

Φ+

Φ−+Φ+Φ+

=LLr

c Eq. 2.22

( )

( )2

22

121

101

241

403

42013

Φ+

Φ−+Φ+Φ+

=LLr

d Eq. 2.23

( )

( )2

2222

131

61

152

1201

601

1051

Φ+

Φ+Φ++Φ+Φ+

=LLr

e Eq. 2.24

( )

( )2

2222

131

61

301

1201

601

1401

Φ+

Φ−Φ++Φ+Φ+

=LLr

f Eq. 2.25

sendo r o raio de giração da seção, definido por

SIr = Eq. 2.26

A matriz giroscópica é dada por

[ ]

−−−−

−−−−−−

−−

Ω=

00000000

000000

0000

.00

2

ihjhhjhghg

hgih

hSimg

SLGel ρ Eq. 2.27


sendo

( )Φ+=

15/6

2

2

Lrg Eq. 2.28

( )Φ+Φ−−

=1

)2/110/1( 2

Lrh Eq. 2.29

( )2

22

1)3/16/115/2(

Φ+Φ+Φ+

=ri Eq. 2.30

( )2

22

1)6/16/130/1(

Φ+Φ−Φ+−

=rj Eq. 2.31

Note que, fazendo 0Φ = elimina-se o efeito do cisalhamento transversal, e

tem-se um elemento de viga de Euler-Bernoulli.

2.2.3 Matriz de massa e giroscópica para os discos

A matriz elementar de cada disco que é adicionado ao elemento de eixo

quando é necessário incluir algum elemento de massa ou inércia concentrada, é da

por:

[ ]

=

zz

yyel

II

mm

Md

00000

0

,

Eq. 2.32

sendo m é a massa do disco e Iyy e Izz são os momentos de inércia de massa do

disco em relação aos eixos y e z, respectivamente.

A matriz giroscópica é dada por:


[ ]

−Ω=

000000

00000000

xx

xxel

II

Gd

,

Eq. 2.33

sendo Ixx o momento de inércia de massa do disco em relação ao eixo X.

2.2.4 Matriz de rigidez do elemento de mola

Um elemento de mola unidimensional é usado quando é necessário incluir

algum elemento de ligação entre elementos de viga. Sua matriz é apresentada a

seguir, sendo k o valor de rigidez de cada mola.

[ ]

−

−=

1111

kK el Eq. 2.34

2.2.5 Montagem das matrizes globais

As matrizes elementares apresentadas acima são então agrupadas para obter

as matrizes globais de massa, giroscópica e rigidez. Monta-se o sistema usando

cada um dos elementos que formam o rotor, sendo feita em seguida a superposição.

Detalhes sobre superposição de matrizes podem ser encontrados em HUGUES

(2000) e COOK et. al. (2002), mas basicamente consiste em juntar as partes que

compõem o rotor, de modo que preserve a continuidade. Isto significa que os

deslocamentos em nós coincidentes deverão ser iguais, o que resulta em um

sistema algébrico de equações para o rotor a ser resolvido posteriormente. O

método de superposição é mais bem entendido com uso de exemplos, que podem

ser encontrados em HUTTON (2004).

Capítulo 3 Descrição dos Modelos de Viga Equivalente e Experimentos para Validação 27

3 DESCRIÇÃO DOS MODELOS DE VIGA EQUIVALENTE E

EXPERIMENTOS PARA VALIDAÇÃO

Neste capítulo são descritos os três modelos de viga equivalente propostos

para considerar a influência do pacote laminado sobre o comportamento dinâmico

do rotor. Em seguida, são apresentados os resultados das análises modais

experimentais em nove rotores diferentes para obtenção das freqüências naturais e

modos de vibrar. O objetivo é fornecer as informações que serão usadas para avaliar

o desempenho de cada modelo comparando-se os parâmetros modais calculados

com aqueles obtidos a partir de dados experimentais.

3.1 Descrição dos Modelos Numéricos de Viga Equivalente

Os modelos estudados se baseiam nos seguintes conceitos: acréscimo de

rigidez usando diâmetro equivalente, pacote com elemento de viga não ramificado e

pacote com elemento de viga ramificado.

3.1.1 Modelo 01: acréscimo de rigidez usando diâmetro equivalente

A abordagem mais conhecida/divulgada para modelar o rotor laminado é

utilizar um valor de diâmetro equivalente para o eixo na região do pacote de chapas.

Nesse modelo uma parcela do núcleo laminado é considerada como parte do eixo,

agregando além de massa e inércia, uma contribuição na rigidez total do rotor (KIM e

KIM, 2006).

O rotor com pacote da Figura 3.1(a) é composto por um conjunto de chapas

empilhadas de comprimento LCH, diâmetro φCH e massa MCH que inclui a massa das

barras de cobre ou alumínio. Os anéis de curto são iguais e tem comprimento LAC,

diâmetro externo φAC e massa MAC, sendo que seu CG (centro de gravidade) fica a

uma distância d da chapa extrema do pacote.


Na construção do Modelo 01, o diâmetro φE do eixo na região na qual estão

apoiadas as chapas é aumentado de um valor ∆φE (Figura 3.1(b)). Este acréscimo no

valor do diâmetro simula o efeito de enrijecimento do pacote laminado, semelhante

ao que foi apresentado por LALANNE e FERRARIS (1990) para considerar discos

montados com interferência no eixo. O novo diâmetro é denotado como φEQV e dado

por

( )ptEEQV += 1φφ Eq. 3.1

sendo pt o acréscimo relativo aplicado ao diâmetro base do eixo, com pt variando de

0 a 1.

Figura 3.1: Esquema do pacote de chapas representado com diâmetro equivalente. (a) modelo sólido (b) modelo sólido equivalente (c) modelo de viga equivalente

(a)

(b)

(c)

φCH

φCH

LCH

MCH

LAC

φAC

MA

C

MA

C, I

AC

MA

C, I

AC

MD, ID

. . .

. . .

. . .

1 2 3 N

φE d

φEQV = φE + ∆φE

X

Y


O restante do pacote laminado é então dividido em N discos, cujos valores de

massa e inércia são concentrados em nós do eixo criados na região do pacote,

enquanto os valores de massa e inércia dos anéis de curto são transladados para as

chapas extremas do pacote (Figura 3.1 (b)). Este conjunto é convertido em um

sistema de viga equivalente com os elementos de massas e inércias concentrados,

conforme representado na Figura 3.1 (c).

A massa adotada para a região do pacote de chapas, MCH, é a soma da massa

das chapas com a massa da gaiola, MT, excluindo a massa de cada anel de curto,

MAC. Assim,

ACTCH MMM 2−= . Eq. 3.2

Contudo, essa massa ainda deve ser corrigida para descontar o aumento de

diâmetro do eixo na região do pacote. Dessa forma, a massa (MCH)’ a ser distribuída

entre os N discos é dada por

( ) ( )4

22

' EEQVCHECHCH LMM

φφπρ

−−= , Eq. 3.3

sendo ρE é a densidade do material do eixo.

A massa MD, o comprimento LD, o momento de inércia transversal ItD e o

momento de inércia polar IpD de cada disco podem ser escritas respectivamente da

seguinte forma (LALANNE e FERRARIS, 1990),

( )N

MM CHD

'

= , Eq. 3.4

NLL CH

D = , Eq. 3.5

( )222 43348 DEQVCH

DD LMIt ++= φφ , Eq. 3.6

( )22

8 EQVCHD

DMIp φφ += Eq. 3.7


No modelo concebido da forma descrita acima, tem-se que o único parâmetro

variável é o diâmetro equivalente do eixo. KIM e KIM (2006) identificaram

experimentalmente que o valor do acréscimo pt varia de 0,28 a 0,36 dependendo do

modo de vibrar do rotor, para um protótipo cujas chapas não apresentam os furos

das ranhuras (ver Figura 1.5). Estes mesmos autores ainda estabeleceram um

segundo parâmetro para determinar o valor do diâmetro equivalente, baseado na

geometria da chapa, dado por

( )ptECOREEQV φφφφ −+= Eq. 3.8

Assim, o diâmetro equivalente é a soma do diâmetro do eixo com um

percentual de duas vezes a altura da coroa HCOR5, sendo ( ) 2ECORCORH φφ −= . Por

esta definição, os autores obtiveram experimentalmente que o valor do acréscimo pt

varia de 0,17 a 0,23 dependendo do modo de vibrar do rotor.

Pela recomendação da norma API 684 (2005) citada no capítulo 01, o

acréscimo no diâmetro do eixo deve ser tal que a massa adicional seja igual à

massa do pacote MCH. Ou seja,

( )CH

EEQVCHE ML =

−

4

22 φφπρ Eq. 3.9

Isolando EQVφ ,

2

4

ECHE

CHEQV L

Mφ

πρφ += Eq. 3.10

5 Como no protótipo utilizado por KIM e KIM (2006) a chapa do rotor não apresenta ranhuras, para compará-las diretamente ao que foi desenvolvido nesta dissertação, optou-se por utilizar o diâmetro da coroa ao invés do diâmetro externo da chapa.


3.1.2 Modelo 02: pacote como elemento de viga não-ramificado

Nesta abordagem, o pacote de chapas é modelado como tubo contínuo com

propriedades elásticas equivalentes para simular o efeito da laminação (GARVEY et

al., 2004). Esse cilindro é montado de forma solidária sobre o eixo, resultando em

uma seção transversal com duas camadas de material de propriedades elásticas

diferentes (corte A-A da Figura 3.2 (b)). Pelo modelo de viga proposto, essa

montagem é feita usando dois elementos de viga superpostos ligados na

extremidade pelo mesmo nó, um representando o eixo e o outro o pacote (Figura 3.2

(c)). Em outras palavras, as matrizes elementares do eixo e do pacote laminado são

somadas membro a membro, resultando em uma matriz equivalente que

representará as propriedades da seção transversal na qual está localizado o pacote.

Figura 3.2: Esquema do pacote de chapas representado com elemento de viga em paralelo (modelo não ramificado)

A matriz elementar para o elemento de eixo continua a mesma com modelo de

viga de Timoshenko que foi apresentada no capítulo anterior. Já para a matriz

elementar do pacote laminado, GARVEY et al. (2004) sugerem que seja modelada

usando um material ortotrópico equivalente. Apesar dessa recomendação, optou-se

por utilizar para o pacote o mesmo tipo de elemento de viga do eixo, também com

(b)

(a)

(c) MA

C, I

AC

MA

C, I

AC

Pacote - E_pct Eixo X

Y


material isotrópico. Neste caso, o efeito do pacote laminado é simulado com a

alteração do módulo de elasticidade E_pct do material dos elementos de viga que o

representam, sendo este o único parâmetro variável no Modelo 02.

3.1.3 Modelo 03: pacote como elemento de viga ramificado

Nesta proposta, o conjunto pacote e eixo é representado por um sistema de

rotor duplo que são conectados nó a nó através de molas com coeficiente de rigidez

equivalente Kc (Figura 3.3(c))6. O pacote laminado continua sendo modelado com o

mesmo elemento de viga utilizado para o eixo, representado como um cilindro

maciço com propriedades isotrópicas do material do eixo. O efeito da laminação é

representado nesse modelo somente com a variação do parâmetro Kc, sendo esse o

único parâmetro do Modelo 03.

Figura 3.3: Esquema do pacote de chapas e eixo modelados como rotor duplo

O parâmetro KC pode ser comparado diretamente ao que foi obtido por CHEN

et al., (2006), KC = 6x109N/m, para seis molas Neste caso, o autor ainda flexibiliza o

cilindro que constitui o pacote alterando o módulo de elasticidade para E_pct =

15GPa e o módulo de cisalhamento G_pct = 6GPa. Algumas destas alterações são

averiguadas somente no Capítulo 04, pois no presente capítulo utilizam-se as

6 O valor de KC é a soma dos coeficientes das N+1 molas em paralelo que são colocadas para conectar os nós do eixo e pacote

(b)

(a)

MA

C, I

AC

MA

C, I

AC

Pacote Laminado - E_pct

Eixo

Kc

X

Y


mesmas propriedades de material para o pacote e eixo, variando-se apenas o valor

de KC.

3.2 Implementação dos Modelos

No presente trabalho, os três modelos descritos anteriormente foram

construídos no programa ANSYS e parametrizados com o auxílio de uma macro

escrita em linguagem APDL do próprio ANSYS. A entrada de dados para o programa

é uma tabela com as seguintes informações: diâmetros externos e internos de cada

seção de eixo, comprimento da seção, módulo de elasticidade do eixo, coeficiente

de Poisson, densidade, massa do pacote, módulo de elasticidade do pacote, massa

e momentos de inércia do anel de curto e distância do CG do anel de curto à chapa

extrema. A Tabela 3-1 ilustra um exemplo de entrada de dados para um rotor.

Tabela 3-1 – Exemplo de dados de entrada para o modelo paramétrico

N° Escalon.

ØE [mm]

ØI [mm]

L [mm]

Ee [GPa] ν ρ

[kg/m³]

Massa Pacote

[kg]

Epct [GPa]

ØpctE [mm]

ØpctI [mm]

MassaAnel [kg]

IP Anel

[kg.m²]

IT Anel

[kg.m²]

Distância Anel [mm]

1 55,0 0,0 110,0 206 0,3 7850,0

2 70,0 0,0 57,5 206 0,3 7850,0

3 81,7 0,0 48,7 206 0,3 7850,0

4 85,2 0,0 103,3 206 0,3 7850,0

5 85,2 0,0 190,0 206 0,3 7850,0 37,6 206 220,0 85,2 1,6 1,4E-2 7,1E-3 17,4

6 85,2 0,0 103,7 206 0,3 7850,0

7 81,7 0,0 48,3 206 0,3 7850,0

8 70,0 0,0 65,0 200 0,3 7850,0

Com exceção dos testes em que se menciona alteração, os modelos foram

implementados usando as propriedades de material apresentadas na Tabela 3-2. As

densidades do material do pacote de chapas nos casos dos Modelos 02 e 03 são

ajustadas para manter a massa.


Tabela 3-2 – Propriedades do material do eixo e rotor

PROPRIEDADE EIXO PACOTE Módulo de Elasticidade

(GPa) 206 206

Coeficiente de Poisson 0,3 0,3

Densidade (kg/m³) 7850 -

Os seguintes elementos foram utilizados:

• Elemento de viga de Timoshenko com três nós: para representar o eixo e

também para representar o pacote laminado no caso dos Modelos 02 e 03.

• Elemento de massa: para representar as inércias concentradas dos anéis de

curto e, no caso do Modelo 01, representam também os discos que simulam a

massa e inércia do pacote laminado restante.

• Elemento de mola unidimensional: para representar uma mola no caso do

elemento de interface do Modelo 03

As figuras Figura 3.4 e Figura 3.6 apresentam exemplos dos modelos

construídos no ANSYS. Para obtenção das freqüências naturais, foi solucionado o

problema de autovalores (EWINS, 1984),

[ ][ ] [ ][ ][ ]λΘ=Θ MK Eq. 3.11

sendo [K] a matriz de rigidez, [M] a matriz de massa, [λ] uma matriz diagonal com

os autovalores, na qual cada autovalor tem a seguinte relação 2ii ωλ ±= onde ωi é a

i-ésima freqüência natural e [Θ] uma matriz em que cada coluna corresponde ao i-

ésimo autovetor ou modo natural de vibrar associado ao autovalor λi. O método

numérico empregado para solução da equação Eq. 3.11 foi o Block Lanczos

(BATHE, 1996) .


Figura 3.4: Representação do Modelo 01 implementado no ANSYS


Elementos de viga para o pacote laminado

Elementos de massa para a modelagem dos discos do pacote laminado

Elementos de massa para a modelagem dos discos dos anéis de curto

Elementos de viga do eixo





A densidade da malha foi controlada de tal forma que a razão L/D

(comprimento do elemento por diâmetro) de cada elemento do eixo fosse mantida

igual a uma unidade, L/D = 1 (ver ANEXO B para mais detalhes).

3.3 Análise Modal Experimental

3.3.1 Objetivos

Os experimentos realizados neste trabalho têm por objetivo obter os

parâmetros modais (freqüências naturais e modos de vibrar) de uma série de rotores

de gaiola com características construtivas diferentes. Os resultados destes

experimentos são utilizados para avaliar o desempenho dos três modelos de viga

equivalente foram implementados.

3.3.2 Rotores testados

Nenhum protótipo foi desenvolvido especialmente para os testes. Os mesmos

foram realizados utilizando diretamente os rotores de produção da empresa WEG,

Elementos de viga para o pacote laminado


Elementos de mola da interface



sem o controle da magnitude de interferência entre as chapas e o eixo na região do

pacote. A Tabela 3-3 descreve brevemente algumas características dos rotores que

foram testados. Com estas amostras tentou-se englobar os tipos mais comuns de

rotores de gaiola que são usados em máquinas elétricas.

Tabela 3-3 – Rotores testados DESIGNAÇÃO DO ROTOR7

Massa do rotor (kg)

Descrição

225IIP 70,0

Rotores com barras de alumínio sem canais de ventilação (pacote contínuo)

250IVP 141,0

355IIP(A) 355,0

355IIP(B) 367,0

355IIP(C) 378,0

315IIP 389,0 Rotor com barras de alumínio e canais axiais de ventilação (pacote contínuo)

400IIP 828,0 Rotor com barras de cobre e com canais axiais de ventilação (pacote contínuo) 450IVP 1224,0

560IIP 1890,0 Rotor com barras de cobre e com canais axiais e radiais de ventilação (pacotes espaçados)

A Tabela 3-4 apresenta algumas relações geométricas dos rotores que foram

testados. a razão entre comprimento do eixo e do pacote, a razão entre o diâmetro

da chapa do pacote e o diâmetro do eixo na região do pacote, o diâmetro da coroa

da chapa do rotor e o diâmetro do eixo na região do pacote, a altura da coroa da

chapa do rotor e o raio do eixo na região do pacote, a massa total do pacote e a

massa do eixo, o comprimento do pacote de chapas e o diâmetro da chapa do

pacote, o comprimento do pacote de chapas e o diâmetro da coroa da chapa do

rotor. A notação obedece à ordem das colunas da tabela.

7 Os três primeiros números são associados ao tamanho do rotor. Os dois próximos em algarismos romanos são associados ao número de pólos / rotação do rotor (por exemplo IIP – 3600rpm / IVP – 1800rpm).


Tabela 3-4 – Relações geométricas dos rotores testados

DESIGNAÇÃO DO ROTOR

EIXO

CH

LL

E

CH

φφ

E

CO

φφ

E

CO

RH

EIXO

T

MM

CH

CHLφ

CO

CHLφ

225IIP 0,24 2,58 1,56 0,56 1,32 0,86 2,82

250IVP 0,37 3,05 2,20 1,20 3,01 1,27 3,78

355IIP(A) 0,33 3,18 2,03 1,03 2,97 1,29 3,75

355IIP(B) 0,33 2,87 1,83 0,83 2,52 1,29 3,95

355IIP(C) 0,33 2,41 1,54 0,54 1,76 1,29 4,39

315IIP 0,31 2,21 1,68 0,68 1,42 0,00 6,17

400IIP 0,28 1,80 1,40 0,40 0,87 1,65 7,44

450IVP 0,31 2,07 1,67 0,67 1,21 1,87 7,25

560IIP 0,31 2,04 1,57 0,57 1,20 2,12 8,33

3.3.3 Descrição dos Experimentos

Todos os rotores foram ensaiados na condição livre-livre. A Figura 3.7 mostra

um exemplo com o rotor 560IIP, de aproximadamente duas toneladas, suspenso por

cintas e talha. A aquisição de dados foi feita com um analisador de sinais de quatro

canais da Brüel & Kjaer, modelo Pulse Data Acquisition 3560C. Para efetuar a

excitação foram usados os martelos instrumentados da ENDEVCO modelo 2203-5

(para os rotores 225IIP e 250IVP) e modelo 8208 (para os demais rotores)8. A

amplitude de vibração foi medida com um acelerômetro tipo TEDS modelo 752A12

também da ENDEVCO. Estes equipamentos são mostrados na Figura 3.8.

8 O tipo do martelo está associado diretamente à massa do rotor que se está testando. Acima de uma determinada massa, foi necessário usar o martelo 8208 aplicado para grandes estruturas.


Figura 3.7: Rotor suspenso para ensaio de condição livre-livre

Figura 3.8: Analisador de sinais, martelos de impacto e acelerômetro

Os rotores foram discretizados conforme exemplo apresentado na Figura 3.9

para o rotor 560IIP. A excitação foi feita usando um martelo modal em um ponto no

extremo do eixo, parte dianteira, enquanto o acelerômetro varria os demais pontos

do rotor. Isto garantiu que fossem obtidos os primeiros modos de vibrar da estrutura

seqüencialmente, uma vez que nas extremidades da viga (rotor) nunca haverá um

nó para as condições de contorno testadas. A Figura 3.11 mostra um detalhe da tela

do programa de aquisição de dados utilizado, com uma curva de FRF (função de


resposta em freqüência) e coerência (PulseLabshop). Já a Figura 3.12 mostra a tela

do programa de análise modal (ME’scopeVES).

Figura 3.9: Coordenadas dos pontos de excitação e resposta (cotas em mm)

Figura 3.10: Exemplo de medição no rotor 250IVP

Em todas as medições utilizou-se 10 médias para compor a FRF com

resolução de 1Hz. Em média, a banda de freqüências utilizada variou de 10Hz a

5kHz. O sinal de força do martelo foi adquirido usando uma janela uniforme,

enquanto que o sinal de resposta do acelerômetro foi adquirido com uma janela

exponencial.


Figura 3.11: Tela do programa para aquisição de dados (Pulse Labshop)

Figura 3.12: Tela do programa de análise modal (ME’scopeVES)


3.3.4 Extração dos parâmetros modais

As técnicas para obtenção das curvas de inertância com análise modal

experimental foram baseadas em EWINS (1984).

Para extrair os parâmetros modais foi usado um método de ajuste global no

domínio da freqüência, que utiliza todas as curvas de inertância dos graus de

liberdade (pontos discretos de medição) simultaneamente. Para a estimativa dos

parâmetros (freqüências, modo e amortecimento) do modelo teórico foi usado o

método dos mínimos quadrados (ME’scopeVES, 2003). A Tabela 3-5 apresenta um

sumário com os valores das freqüências naturais obtidas experimentalmente para

cada rotor. Os modos de vibrar são apresentados no ANEXO C. Apesar de obtidos

experimentalmente, os amortecimentos modais são negligenciados, uma vez que

nenhum modelo apresentado no trabalho inclui este efeito.

Tabela 3-5 – Freqüências naturais obtidas experimentalmente para cada rotor

MODO 01 (Hz)

MODO 02 (Hz)

MODO 03 (Hz)

MODO 04 (Hz)

225IIP 688 1203 2597 3039

250IVP 612 928 2169 2794

355IIP(A) 329 579 1290 -

355IIP(B) 395 683 1362 -

355IIP(C) 468 822 1384 -

315IIP 332 493 853 1140

400IIP 288 454 711 -

450IVP 167 302 527 710

560IIP 137 202 429 566

O número de modos obtido para cada rotor ficou determinado pela faixa de

freqüências em que foi possível manter a excitação martelo modal relativamente

constante (desvio menor que 3dB). Por este motivo, para alguns rotores foi possível

obter quatro modos, enquanto para outros se obtiveram somente três.

Capítulo 4 Avaliação dos Modelos e Discussão dos Resultados 43

4 AVALIAÇÃO DOS MODELOS E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Neste capítulo são apresentados os resultados que comparam os dados

experimentais àqueles calculados. O principal objetivo deste capítulo é obter

informações que permitam discutir algumas hipóteses sobre o comportamento dos

modelos para cada geometria de rotor que foi testado.

4.1 Curvas de Erro Numérico Experimental de cada Modelo

Para avaliar os modelos de viga propostos, os seus respectivos parâmetros

foram variados dentro de um campo de valores pré-especificado, em seguida foram

calculadas as primeiras freqüências naturais com seus correspondentes modos de

vibrar. Estas freqüências e modos foram comparados com aqueles obtidos

experimentalmente, permitindo determinar os erros nos valores no cálculo das

freqüências naturais, em relação aos valores experimentais, para cada valor de

parâmetro do modelo. Este processo foi realizado para cada um dos rotores e cada

um dos modelos de viga, resultando nas curvas apresentadas nas figuras Figura 4.1

a Figura 4.27. As linhas com marcadores correspondem à variação, em módulo, do

erro percentual de cada freqüência natural, enquanto que a linha sólida representa a

média aritmética dos erros em função do parâmetro de cada modelo.

MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

AUMENTO NO DIÂMETRO BASE DO EIXO (%)

ERR

O

687.95 1203.2 Hz 2597.3 Hz 3039.5 Hz MEDIO

Figura 4.1: Erro nas freqüências naturais rotor 225IIP – Modelo 01


MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%


ERR

O611.62 Hz 928.25 Hz 2168.7Hz 2794.1 Hz MEDIO

Figura 4.2: Erro nas freqüências naturais rotor 250IVP – Modelo 01

MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%


ERR

O

329 Hz 579 Hz 1290 Hz 0 MEDIO

Figura 4.3: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(A) – Modelo 019

MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%


ERR

O

395 Hz 683 Hz 1362 Hz 0 MEDIO

Figura 4.4: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(B) – Modelo 01

9 Desconsiderar a legenda que indica freqüência de 0Hz, pois é resultado da geração automática dos gráficos


MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%


ERR

O

468 Hz 822 Hz 1384 Hz 0 MEDIO

Figura 4.5: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(C) – Modelo 01

MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%


ERR

O

332 Hz 493 Hz 853 Hz 1140 Hz MEDIO


MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%


ERR

O

288 Hz 454 Hz 711 Hz 0 MEDIO



MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%


ERR

O

167 Hz 302 Hz 527 Hz 710 Hz MEDIO


MODELO 01

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%


ERR

O

137 Hz 201 Hz 566 Hz 566 Hz MEDIO



MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10

MÓDULO DE ELASTICIDADE (N/m²)

ERR

O

687.95 1203.2 Hz 2597.3 Hz 3039.5 Hz MEDIO


MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O

611.62 Hz 928.25 Hz 2168.7Hz 2794.1 Hz MEDIO


MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O

329 Hz 579 Hz 1290 Hz 0 MEDIO



MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O395 Hz 683 Hz 1362 Hz 0 MEDIO


MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O

468 Hz 822 Hz 1384 Hz 0 MEDIO

Figura 4.14: Erro nas freqüências naturais rotor 355 IIP(C) – Modelo 02

MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O

332 Hz 493 Hz 1140 Hz 1140 Hz MEDIO



MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O

288 Hz 454 Hz 711 Hz 0 MEDIO


MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O

167 Hz 302 Hz 527 Hz 710 Hz MEDIO


MODELO 02

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1.00E+09 6.00E+09 1.10E+10 1.60E+10 2.10E+10 2.60E+10


ERR

O

137 Hz 201 Hz 429 Hz 566 Hz MEDIO



MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.00E+00 2.00E+10 4.00E+10 6.00E+10 8.00E+10 1.00E+11 1.20E+11 1.40E+11 1.60E+11 1.80E+11 2.00E+11RIGIDEZ TOTAL DAS MOLAS DE INTERFACE (N/m)

ERR

O

687.95 1203.2 Hz 2597.3 Hz 3039.5 Hz MEDIO


MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%


ERR

O

611.62 Hz 928.25 Hz 2168.7Hz 2794.1 Hz MEDIO


MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%


ERR

O

329 Hz 579 Hz 1290 Hz 0 MEDIO



MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.00E+00 2.00E+10 4.00E+10 6.00E+10 8.00E+10 1.00E+11 1.20E+11 1.40E+11 1.60E+11 1.80E+11 2.00E+11

RIGIDEZ TOTAL DAS MOLAS DE INTERFACE (N/m)

ERR

O395 Hz 683 Hz 1362 Hz 0 MEDIO


MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.00E+00 2.00E+10 4.00E+10 6.00E+10 8.00E+10 1.00E+11 1.20E+11 1.40E+11 1.60E+11 1.80E+11 2.00E+11


ERR

O

468 Hz 822 Hz 1384 Hz 0 MEDIO

Figura 4.23: Erro nas freqüências naturais rotor 355IIP(C) – Modelo 03

MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.00E+00 2.00E+10 4.00E+10 6.00E+10 8.00E+10 1.00E+11 1.20E+11 1.40E+11 1.60E+11 1.80E+11 2.00E+11


ERR

O

332 Hz 493 Hz 853 Hz 1140Hz MEDIO



MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%


ERR

O

288 Hz 454 Hz 711 Hz 0 MEDIO


MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0.00E+00 1.00E+10 2.00E+10 3.00E+10 4.00E+10 5.00E+10 6.00E+10 7.00E+10 8.00E+10 9.00E+10 1.00E+11


ERR

O

167 Hz 302 Hz 527 Hz 710 Hz MEDIO


MODELO 03

0%

5%

10%

15%

20%

25%


ERR

O

137 Hz 201 Hz 429 Hz 566 Hz MEDIO



4.2 Avaliação da Precisão dos Modelos

Em todas as curvas é possível observar que existem pontos de mínimo que

ajustam exatamente o valor da freqüência natural de cada modo do rotor. Isto indica

que o efeito de enrijecimento varia modo a modo quando representado com os

modelos de vigas equivalentes aqui apresentados. Se o modelo fosse ideal, com um

único valor de parâmetro físico seria possível reproduzir todas suas características

dinâmicas. Então, para avaliar o quão próximo do ideal estão os modelos de viga

equivalente propostos, propõe-se utilizar aqui a seguinte análise:

Quanto menos dispersos estiverem os valores dos parâmetros que minimizam

o erro de cada modo, mais próximo do ideal ou mais preciso será o modelo numérico

para um determinado rotor

Baseado nos gráficos obtidos acima é possível observar que este

comportamento pode ser avaliado usando uma só grandeza: o valor do erro médio

das primeiras freqüências naturais, correspondentes às linhas sólidas nas Figuras de

Figura 4.1 a Figura 4.27. Portanto, o modelo considerado o mais preciso para este

dado rotor será aquele que apresentar o menor valor de erro médio “mínimo” (que a

partir deste ponto será chamado somente de erro mínimo).

A Tabela 4-1 apresenta um sumário com os valores do erro mínimo obtido em

cada modelo, bem como a quantidade de modos que foi considerado para cada

rotor. Os modos de vibrar para a condição de erro mínimo que serviram de base

para obter as curvas de erro são apresentados separadamente nas figuras do

ANEXO C. Como observado na Tabela 4-1, o Modelo 03 se destaca como o mais

preciso para a maioria dos rotores testados (6 entre 9). Já os Modelos 01 e 02

podem ser considerados como equivalentes em termos da sua precisão. Essa

conclusão já foi reportada em GARVEY et al. (2004) que afirma que o modelo

ramificado é bastante adequado para representar rotores com núcleo laminado.


Tabela 4-1 – Erro mínimo obtido com cada modelo de viga equivalente

ROTOR ERRO MÍNIMO NO CÁLCULO DAS FREQÜÊNCIAS

NATURAIS DOS MODOS VIBRAR DO ROTOR Nº de modos considerados MODELO 01 MODELO 02 MODELO 03

225IIP 6,4% 5,8% 2,1% 04

250IVP 12,5% 10,2% 6,0% 04

355IIP(A) 9,2% 8,5% 1,9% 03

355IIP(B) 6,8% 6,1% 1,8% 03

355IIP(C) 2,7% 2,6% 1,2% 03

315IIP 3,1% 2,3% 3,7% 04

400IIP 1,9% 1,7% 0,3% 03

450IVP 3,0% 2,1% 4,4% 04

560IIP 3,6% 3,2% 4,0% 04

Como a intenção é saber se um mesmo modelo de viga poderá ser usado para

representar diversas geometrias de rotor sem a necessidade de identificar os

parâmetros de cada caso experimentalmente, a informação de precisão fica

incompleta (ver Figuras de Figura 4.1 a Figura 4.27). Então, o modelo deveria

também ser robusto suficiente para não alterar significativamente suas

características conforme se altera seus parâmetros de entrada. O tópico a seguir

descreve o segundo critério utilizado neste trabalho para avaliar o modelo de viga

equivalente.

4.3 Avaliação da Robustez dos Modelos

A idéia de modelo robusto para este trabalho é: usando um único parâmetro

para o modelo de viga equivalente, ele ainda é capaz de calcular as freqüências

naturais de todos os rotores com precisão?

A Tabela 4-2 apresenta o valor do parâmetro de cada modelo para o

correspondente erro mínimo da Tabela 4-1. A média entre os parâmetros mínimos

obtidos para cada rotor é utilizada como valor fixo para recalcular as freqüências


naturais. Os valores, agora do erro médio, das primeiras freqüências naturais de

cada rotor, são apresentados na Tabela 4-3.

Tabela 4-2 – Parâmetro de cada modelo no erro mínimo

ROTOR

PARÂMETRO DE CADA MODELO NA CONDIÇÃO DE ERRO MÍNIMO

MODELO 01 pt (%)

MODELO 02 E_pct(GPa)

MODELO 03 Kc(N/m)

225IIP 23,9% 5,1 7,6x1010

250IVP 55,2% 14 9,9 x1009

355IIP(A) 42,4% 6,2 5,6 x1010

355IIP(B) 45,6% 9,7 1,7 x1011

355IIP(C) 29,6% 10 4,9 x1010

315IIP 30,0% 17 3,3 x1010

400IIP 15,6% 16 1,8 x1010

450IVP 10,0% 6,2 1,1 x1010

560IIP 28,8% 21 4,1 x1010

MÉDIO 31,2% 12 5,1 x1010

Tabela 4-3 – Erro médio com parâmetro fixo para avaliar a robustez do modelo

ROTOR ERRO MÉDIO DA FREQÜÊNCIA NATURAL DOS N

PRIMEIROS MODOS COM PARÂMETRO FIXO

MODELO 01 MODELO 02 MODELO 03

225IIP 7,4% 9,3% 2,4%

250IVP 20,1% 11,5% 9,7%

355IIP(A) 15,4% 10,6% 2,1%

355IIP(B) 13,5% 6,7% 2,8%

355IIP(C) 3,2% 3,3% 1,3%

315IIP 3,3% 4,5% 4,0%

400IIP 6,7% 2,5% 3,4%

450IVP 16,1% 5,8% 13,3%

560IIP 3,8% 5,7% 4,2%


Verifica-se que o Modelo 03 mantém um valor inferior a 5% de erro médio

usando um mesmo parâmetro para quase todos os rotores (sete entre nove). As

exceções foram os rotores 250IVP e 450IVP.

4.4 Correlação dos Resultados com a Geometria do Rotor

A Figura 4.28 apresenta o comportamento do erro mínimo em função da

relação entre a altura da coroa da chapa do pacote e o raio do eixo (ver Figura 1.5

para notação) para o Modelo 01. De forma geral, é possível observar que, quanto

maior a altura da coroa do pacote em relação ao raio do eixo, maior será sua

influência sob a rigidez total do sistema, e maior será o erro do modelo simplificado.

3.61%

6.36%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Hcoroa / Reixo

ERR

O M

ÍNIM

O

Hcoroa / Reixo

Figura 4.28: Relação entre HCO/RE e o erro mínimo para o Modelo 01

Poder-se-ia até sugerir alguma curva de tendência para a correlação entre as

variáveis do gráfico na Figura 4.28. Contudo, o erro mínimo sofreu uma variação de

3,6% para 6,4% para um mesmo valor de razão HCO/RE, que indica a necessidade

de considerar uma segunda variável no modelo para justificar este desvio


Dessa forma, uma segunda relação de geometria e erro foi analisada conforme

apresenta a Figura 4.29. Neste caso o erro mínimo foi avaliado em função da razão

entre o comprimento do pacote de chapas e o comprimento do eixo.

6.36%

3.61%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Lpacote / Leixo

ERR

O M

ÍNIM

O

Lpacote / Lei xo

Figura 4.29: Relação entre LCH/Leixo e o erro mínimo para o Modelo 01

Observa-se que o maior desvio de uma tendência que foi mostrada no gráfico

da Figura 4.28 aconteceu no rotor que possui o pacote mais curto em relação ao

eixo dentre todos os outros, o rotor 225IIP. A variação do erro em função da relação

entre a massa do pacote e a massa do eixo é apresentada na Figura 4.30,

mostrando o mesmo comportamento.


6.36%

3.61%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0.4 0.9 1.4 1.9 2.4 2.9 3.4Μpacote/Μ eixo

ERR

O M

ÍNIM

OMpacote / Meixo

Figura 4.30: Relação entre MT/Meixo e o erro mínimo para o Modelo 01

O Modelo 02 apresenta o mesmo comportamento do Modelo 01. Isto sugere

que os dois são equivalentes, sendo que a concepção do Modelo 02 é mais versátil

e permite implementar modelos com propriedades elásticas diferentes para o pacote

em relação ao eixo.

O Modelo 03 não exibe uma relação clara entre o erro mínimo e a relação entre

a altura da coroa da chapa do pacote e o raio do eixo, como apresentado na Figura

4.31. O que se pode afirmar é que, assim como nos outros modelos, o maior erro

deste modelo correspondeu ao rotor com a maior razão entre a altura da coroa e

diâmetro do eixo, o 250IVP.


1.206.0%

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Hcoroa / Reixo

ERR

O M

ÍNIM

O Hcoroa / Reixo

Figura 4.31: Relação entre a geometria do rotor e o erro mínimo para o Modelo 03

4.5 Efeito do Cisalhamento no Elemento de Pacote

A última coluna da Tabela 3-4 apresenta a relação entre o comprimento do

pacote e o diâmetro da coroa dos rotores, COCHL φ . Implica que, pela teoria de viga,

todos os pacotes laminados, se avaliados isoladamente, poderiam ser considerados

como viga curta caso fossem de material maciço (ALDRAIHEN et al., 1996). Este

fato indicaria o quão relevante seria a deformação de cisalhamento neste elemento.

Completando esta informação, foram tomadas as dimensões de diâmetro (φCH) e

comprimento do pacote de chapas (LCH) para calcular um fator de correção à

deformação de cisalhamento, como definido pela equação Eq. 2.15, para todos os

núcleos laminados.

Os resultados de Φ são apresentados na Tabela 4-4 supondo Epct = Eeixo, νpct = νeixo

e Gpct = Geixo.


Tabela 4-4 – Fator de correção para o cisalhamento transversal, considerando as dimensões totais, nos cilindros laminados do núcleo dos rotores testados

ROTOR 225IIP 250IVP 355IIP(A) 355IIP(B) 355IIP(C) 315IIP 400IIP 450IVP 560IIP

Φ 1,35 0,76 0,60 0,62 0,68 0,54 0,65 0,49 0,36

Da análise da Tabela 4-4, considerando o valor de Φ, pode-se afirmar que a

influência do cisalhamento na deformação do pacote do rotor 225IIP é a maior

dentre todos os rotores testados. Esta diferença que poderia justificar os desvios nas

curvas de tendência discutidas no item anterior para o Modelo 01 e Modelo 02

(Figura 4.28, Figura 4.29 e Figura 4.30) .

Para avaliar a importância do cisalhamento no pacote, o Modelo 02 foi

reformulado alterando o elemento de viga do núcleo laminado de viga de

Timoshenko para um elemento de viga de Euler-Bernoulli com correção para o

cisalhamento (Seção 2.2.2). Com esta configuração é possível ativar ou desativar a

parcela que considera o cisalhamento, sendo o modelo novamente calculado

usando todo o processo de erro mínimo que foi apresentado anteriormente. A

Tabela 4-5 apresenta os resultados do erro mínimo obtido. Na última coluna é

apresentada a relação COCHL φ do rotor.


Modelo 02

ROTOR MODELO 02

CO

CHLφ

TIMO EB_C EB_S

225IIP 5,8% 7,04% 7,03% 1,43

250IVP 10,2% 9,67% 8,53% 1,76

355IIP(A) 8,5% 8,26% 8,12% 2,02

355IIP(B) 6,1% 5,74% 5,62% 2,02

355IIP(C) 2,6% 2,26% 2,10% 2,02

315IIP 2,3% 2,56% 3,09% 2,22

400IIP 1,7% 1,60% 1,62% 2,13

450IVP 2,1% 2,74% 2,92% 2,33

560IIP 3,2% 3,24% 3,53% 2,77

TIMO – Timoshenko com três nós EB_C – Euller Bernoulli com cisalhamento EB_S – Euller Bernoulli sem cisalhamento (Φ = 0)


As diferenças foram muito pequenas, sugerindo que somente a teoria

tradicional que é usada para considerar o cisalhamento em vigas, não é suficiente

para melhorar a representação de alguns pacotes com modelo de viga equivalente

usando modelos não ramificados (Modelo 02).

4.6 Discussão sobre o Comportamento do Modelo 03

Conforme as discussões prévias e da literatura, pode-se observar que a real

interação entre o núcleo laminado e o eixo de um rotor depende, simultaneamente,

de muitos fatores geométricos e construtivos do rotor. Conseqüentemente, estas

características do rotor irão definir quais os tipos de deformações que estão atuando

e quais são mais relevantes no momento de caracterizar o efeito de enrijecimento do

pacote sobre o eixo.

Dentre os modelos testados, a configuração do Modelo 03 é a que mais se

assemelharia à uma viga com anisotropia, pois é possível controlar separadamente

uma rigidez à flexão (elemento de viga) e também ao cisalhamento (elemento de

mola).

Para examinar as hipóteses referentes à importância do cisalhamento no

pacote, como feito anteriormente, o Modelo 03 foi reformulado alterando o elemento

de viga do núcleo laminado de viga de Timoshenko para um elemento de viga de

Euler-Bernoulli com correção para o cisalhamento. Os resultados, apresentados na

Tabela 4-6, sugerem novamente que somente a formulação tradicional para inclusão

do cisalhamento não tem grande efeito no modelo de viga equivalente.

Tabela 4-6 – Erro mínimo alterando cisalhamento no elemento de pacote para Modelo 03

ROTOR MODELO 03

CO

CH

HL

TIMO EB_C EB_S

225IIP 2,1% 2,11% 2,15% 1,35

250IVP 6,0% 5,96% 6,07% 0,76

355IIP(A) 1,9% 1,92% 2,00% 0,60


355IIP(B) 1,8% 1,75% 1,75% 0,62

355IIP(C) 1,2% 1,21% 1,24% 0,68

315IIP 3,7% 3,65% 3,97% 0,54

400IIP 0,3% 0,31% 0,32% 0,65

450IVP 4,4% 4,37% 4,52% 0,49

560IIP 4,0% 3,95% 4,27% 0,36

TIMO – Timoshenko com três nós EB_C – Euller Bernoulli com cisalhamento EB_S – Euller Bernoulli sem cisalhamento (Φ = 0)

Finalmente, foi realizado um estudo de sensibilidade do Modelo 03 à variação

do módulo de elasticidade usado para o elemento de pacote. Os resultados de erro

mínimo são apresentados na Tabela 4-7.

Tabela 4-7 – Erro mínimo alterando o módulo de elasticidade no elemento de pacote - Modelo 03

ROTOR Módulo de Elasticidade do pacote (N/m²)

1,0x109 1,0x1010 1,0x1011 2,0x1011 3,0x1011

225IIP 55,9% 23,0% 2,0% 2,1% 2,1%

250IVP 62,2% 24,6% 6,0% 6,0% 6,6%

355IIP(A) 52,0% 18,7% 1,7% 1,9% 1,9%

355IIP(B) 55,9% 22,3% 1,6% 1,8% 2,1%

355IIP(C) 60,1% 21,1% 1,1% 1,2% 1,2%

315IIP 52,7% 18,5% 3,1% 3,7% 4,0%

400IIP 49,6% 10,8% 0,1% 0,3% 0,3%

450IVP 46,5% 10,5% 3,9% 4,4% 4,4%

560IIP 49,6% 20,4% 3,1% 4,0% 4,4%

Observa-se que a diminuição do módulo de elasticidade do pacote aumenta

significativamente o erro mínimo. Por outro lado, o erro tende para um valor mínimo

quando este módulo está próximo ao valor do material que constitui as chapas do

pacote, nestes casos o aço. GARVEY (1989) reporta este mesmo comportamento

observado. Ele afirma que, para as deformações que ocorrem no plano normal ao da


laminação, pode-se esperar uma rigidez do pacote equivalente àquela de um

material sólido. Por outro lado, no sentido paralelo ao da laminação, a rigidez é muito

menor se comparada com a de um material maciço, sendo função da pressão de

empacotamento usada para formar o pacote de chapas. Está última afirmação pode

justificar porque os valores de Kc na condição de erro mínimo são diferentes para os

diferentes rotores (Tabela 4-2).

Capítulo 5 Conclusões e Sugestões de Trabalhos Futuros 64

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS

5.1 Conclusões

O propósito deste trabalho foi realizar um estudo numérico-experimental para

avaliar modelos de viga equivalente para representar o comportamento dinâmico de

rotores de gaiola de máquinas elétricas rotativas.

A bibliografia revisada forneceu os três modelos que serviram de base para o

desenvolvimento deste trabalho. Foram implementadas e testadas três versões de

modelos de viga: (i) utilização de um diâmetro equivalente na região do pacote

laminado, denominado de Modelo 01, (ii) emprego de um elemento finito para

representar o pacote, o qual é unido diretamente ao elemento que representa o eixo,

chamado de Modelo 02 e (iii) utilização de um elemento finito para representar o

pacote, unido através de molas ao elemento que representa o eixo, sendo este

denominado de Modelo 03.

Os modelos foram concebidos visando a simplicidade de construção e

avaliação. Para tal, somente um parâmetro para cada modelo foi colocado como

variável. Os parâmetros restantes são obtidos com informações de geometria e

propriedades do material dos elementos que compõem o rotor. Nove rotores de

gaiola foram escolhidos para análise experimental, sendo seis com gaiola de

alumínio injetado e três com gaiola de barras de cobre. Uma análise modal

experimental foi realizada em cada um dos rotores para uma condição livre de

apoios, obtendo-se os primeiros modos naturais de vibrar e suas freqüências

naturais correspondentes. Esses resultados foram utilizados para avaliação dos

modelos.

Os modelos anteriormente definidos foram implementados em elementos

finitos usando como padrão: elementos de viga de Timoshenko com três nós para

representar o eixo e também para representar o pacote laminado no caso dos

Modelos 02 e 03; elementos de massa para representar as inércias concentradas;

elementos de mola unidimensional como elemento de ligação entre o pacote e eixo

no caso do Modelo 03. Foi realizada uma seqüência de análises modais numéricas


dos rotores na condição livre de apoios, variando o valor do parâmetro de cada

modelo: diâmetro equivalente para o Modelo 01; módulo de elasticidade do elemento

do pacote no Modelo 02; e rigidez total das molas de interface no caso do Modelo

03. As freqüências calculadas foram comparadas, modo a modo, com aquelas

obtidas experimentalmente, obtendo-se várias curvas com os erros de cada modo

para um dado rotor.

Foram apresentadas duas formas de avaliação para os modelos propostos. A

primeira, considerando uma curva com a média dos erros de todos os modos foi

traçada em função do parâmetro variável de cada modelo. O valor mínimo desta

curva foi usado para definir a precisão do modelo de viga em questão para cada um

dos rotores testados. O modelo 03, na média, se mostrou o mais preciso deles para

reproduzir as freqüências naturais dos nove rotores testados.

O segundo critério de avaliação foi baseado na necessidade de se utilizar um

único valor de parâmetro para representar todos os rotores testados. Este critério foi

denominado de robustez do modelo. No critério anterior, cada rotor obteve um valor

diferente de parâmetro para a condição de erro mínimo. A média destes parâmetros

entre todos os rotores foi utilizada como novo parâmetro de avaliação, agora fixo,

para recalcular o erro médio, das primeiras freqüências naturais de um determinado

rotor. O Modelo 03 se destacou como o mais robusto na maioria dos casos, mas

também apresentou erro relativamente elevado na representação de dois rotores

analisados. À exceção destes dois desvios, o Modelo 03 permitiu obter um erro

médio inferior a 5% usando um único valor de parâmetro.

A correlação dos resultados com a geometria do rotor permitiu sugerir algumas

hipóteses para o comportamento dos rotores com núcleo laminado. Foi possível

inferir que a consideração de um modelo anisotrópico pode ainda melhorar a

representação do efeito de enrijecimento do pacote sobre o eixo do rotor.

Como ficou demonstrado pela investigação numérica experimental realizada o

Modelo 03 se mostrou o mais adequado para representar os rotores de gaiola de

máquinas elétricas. Usando uma rigidez total das molas de interface de 5,1x1010N/m

e um módulo de elasticidade de 206GPa para o elemento do pacote, um modelo de

viga de Timoshenko com três nós para o eixo e pacote e uma malha com razão

entre comprimento do elemento e diâmetro L/D = 1, é possível obter um erro inferior


a 5% nos três primeiros modos de viga livre-livre. O erro aumenta para próximo de

10% para aqueles rotores com a altura de coroa próxima do diâmetro do eixo base.

Todos estes resultados indicam que é possível usar o Modelo 03 como um modelo

de viga equivalente para representar, pelo menos, os tipos rotores com pacote

laminado que foram descritos neste trabalho.

5.2 Sugestões para trabalhos futuros

Como foram utilizados rotores de produção, sugere-se um estudo com

protótipos físicos que possibilitem controlar e variar parâmetros tais como,

interferência de montagem do pacote, pressão de empacotamento, bem como

utilizar diferentes relações geométricas. Esta abordagem também poderia auxiliar

em um melhor tratamento estatístico do problema em questão, podendo-se incluir

cálculos de desvio padrão, ajustes por mínimos quadrados entre outros.

Os rotores foram avaliados somente na condição livre-livre sem rotação para

diminuir o número de variáveis. Para uma avaliação mais rigorosa, o desempenho

do modelo deveria ser testado em uma identificação numérico-experimental de um

sistema completo, obtendo os valores de rotação crítica, órbitas e modos de vibrar

quando a máquina está em operação.

O grupo de pesquisa do LAVIB (Laboratório de Vibrações) da UTFPR possui

um software para análise de dinâmica de rotores que foi desenvolvido especialmente

para máquinas elétricas, o RotorDin. Como prosseguimento da presente pesquisa,

propõe-se que os três modelos sejam implementados neste software.

Sugere-se também que o comportamento dos rotores seja analisado usando

um modelo tridimensional de elementos finitos. Com isto também é possível incluir

os efeitos de anisotropia do material, bem como outros efeitos tais como a

interferência entre o eixo e o pacote. Entretanto, sabe-se que é computacionalmente

oneroso realizar análises dinâmicas completas em modelos com elementos finitos

sólidos.


O amortecimento interno do pacote de chapas e os erros da análise modal

experimental que não foram discutidos neste trabalho poderiam ser investigados em

pesquisas futuras. O mesmo se aplica à rigidez de montagem do pacote sobre o eixo

devido à interferência, que poderia ser estudada e até correlacionada ao valor de Kc

do Modelo 03.

Por último, a experiência obtida com este trabalho poderia ser utilizada para

implementar um elemento finito de viga que possua outras formas de incluir o efeito

da anisotropia do material. Alguns textos como LIM e HAN (2001) propõem modelos

de viga que podem ser aproveitados para um desenvolvimento posterior a este

trabalho. SUBRAMANIAN (2005) também sugere modelos a serem empregados em

vigas laminadas de material composto. Acredita-se que a união do conhecimento

obtido até então, com as pesquisas na área de dinâmica de materiais compostos

possa ser utilizada para obter um modelo que represente ainda mais precisamente o

comportamento dinâmico de rotores com núcleo laminado.

Referências 68

REFERÊNCIAS

ALVES FILHO, A.. Elementos Finitos. 1. ed. São Paulo: Editora Érica Ldta, 2000.

ALDRAIHEM, O. J., WETHERHOLD, R. C., SINGH, T. Intelligent beam structures:

Timoshenko theory vs. Euler-Bernoulli theory. In: IEEE International Conference on Control Applications, Dearborn, MI, p. 976-981, 1996.

ANSYS – Release 11.0 Documentation for Ansys. Copyright SAS IP Inc, 2007

API 541 - AMERICAN PETROLEUM INSTITUTE. ANSI/API Standard 541: Form-wound squirrel-cage induction motors – 500 horsepower and larger.

Washington, D.C., 2004.

API 684 - AMERICAN PETROLEUM INSTITUTE. API Recommended Practice 684:

Rotordynamics tutorial - lateral critical speeds, unbalance response, stability, train torsionals, and rotor balancing. Washington, D.C., 2005.

BATHE, K. J.. Finite Element Procedures. 1. ed. New Jersey: Prentice Hall, 1996.

BAZOUNE, A., KHULIEF, Y. A.. Shape functions of three-dimensional Timoshenko

beam element. Journal of Sound and Vibration, v. 259, n. 2, p. 473-480, 2003.

CARVALHO, A. P., BAVASTRI, C. A., PEREIRA, J. T., LUERSEN, M. A., SANTOS,

H. L. V.. Análise de dinâmica de rotores utilizando elementos finitos de viga de

Timoshenko de classe C0. In: CIBIM8 – 8o Congresso Ibero Americano de

Engenharia Mecânica, Cusco, Peru, 2007.

CHEN, Y. S., CHENG, Y. D., LIAO, J. J., CHIOU, C. C.. Development of a finite

element solution module for the analysis of the dynamic behavior and balancing

effects of an induction motor system. Finite Elements in Analysis and Design,

v.44, p. 483-492, 2008.

COOK, R. D., MALKUS, D. S., PLESHA, M. E., WITT, R. J.. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 4th. ed. USA: John Wiley & Sons Ltd.,

2002.

Referências 69

EDE, J. D., ZHU, Z. Q., HOWE, D.. Rotor resonances of high-speed permanent-

magnet brushless machines. IEEE Tansactions on Industry Applications, v. 38, n.

6, p1542-1548, 2002.

EHRICH, F.F.. Handbook of Rotordynamics. 3. ed. Florida: Krieger Publishing

Company, 2004.

EWINS, D. J.. Modal Testing: Theory and Practice. 1. ed. Great Britain: Research

Studies Press Ltd., 1984.

GARVEY, S.D.. The vibrational behavior of laminated components in electrical

machines. In: ICEM4 - International Conference on Electrical Machines p. 226-

231, 1989.

GARVEY, S.D., PENNY, J. E. T., FRISWELL, M. I., LEES, A. W.. The Stiffening

Effect of Laminated Rotor Cores on Flexible-Rotor Electrical Machines. In: IMECHE -

International Conference on Vibrations in Rotating Machinery, Swansea, UK, p.

193-202, 2004.

GENTA, G.. Dynamics of Rotating Systems. 1. ed. USA: Springer, 2005.

GMÜR, T. C., RODRIGUES, J.D.. Shaft Finite Elements for Rotor Dynamics

Analysis. Journal of Vibration and Acoustics – Transactions of the ASME, v.

113, p. 482-493, 1991.

HUGHES, T. J. R.. The Finite Element Method. 2. ed. USA: General Publishing

Company Ltd., 2000.

HUTTON, D. V.. Fundamentals of Finite Element Analysis. 1. ed. USA: McGraw-

Hill Companies Inc., 2004.

KIM, Y. C., KIM, K. W.. Influence of lamination pressure upon the stiffness of

laminated rotor. JSME International Journal, v. 49, n. 2, p. 426-431, 2006.

KOSTENKO, M., PIOTROVSKI, L.. Máquinas Elétricas. vol. 2. Porto: Editora Lopes

da Silva, 1979.

LALANNE, M., FERRARIS, G.. Rotordynamics Prediction in Engineering. 1. ed.

England: John Wiley & Sons Ltd., 1990.

Referências 70

LIM, J. K., HAN, S. Y.. A high order deformation theory of orthotropic beams. JSME

International Journal, v. 44, n. 3, p. 370-373, 2001.

ME’scopeVES Version 4.0.0.6. Operating Manual: Volume II – Reference. Vibrant

Technology, Inc, 2003.

NELSON, F. C. A brief history of early rotor dynamics. Sound and Vibration, v. 37,

n.6, p. 1-11, 2003.

NELSON, H. D.. A finite rotating shaft element using Timoshenko beam theory.

Journal of Mechanical Design - Transactions of the ASME, v. 102, p. 793-802,

1980.

NETO, R. R., BOGH, D. L., FLAMMIA, M.. Some experiences on rigid and flexible

rotors in induction motors driving equipment in petroleum and chemical plants. In:

PCIC53 - Petroleum and Chemical Industries Committees, Philadelphia, USA,

2006,.

SANTOS, H. L. V.. Validação experimental de rotina para cálculo de freqüências naturais de rotores. Jaraguá do Sul: WEG Equipamentos Elétricos S.A., 2007.

Relatório Técnico.

SANTOS, H. L. V.. Lateral critical speeds analysis – RTEC0035/2008. Jaraguá do

Sul: WEG Equipamentos Elétricos S.A., 2008. Relatório Técnico.

SUBRAMANIAN, P.. Dynamic analysis of laminated composite beams using high

order theories and finite elements. Journal of Composite Structures, v. 73, p. 342-

353, 2005.

TADEO, A. T.. Modelagem dos Acoplamentos Mecânicos nos Sistemas

Horizontais: Rotor, Acoplamento, Mancal. Campinas, 2003. 250 f. Tese

(Doutorado em Engenharia Mecânica – Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto

Mecânico) – UNICAMP – Universidade Estadual de Capinas.

WILD, T. Electrical Machines: Drives and Power Systems. 5. ed. New York:

Prentice Hall, 2002.

Anexo A Teste de Malha 71

ANEXO A – TESTE DE MALHA

A1 - SENSIBILIDADE À MUDANÇA DA MALHA

A sensibilidade à mudança da malha foi avaliada usando o tamanho do

elemento como parâmetro. Para controlar o comprimento do elemento de viga do

eixo, foi utilizado um parâmetro automático que relaciona a razão entre o

comprimento e o diâmetro do i-ésimo do elemento de eixo, denotado por

ii DL (Figura A-1).

Figura A.1: Definição do parâmetro ii DL utilizado para a variação da malha

Este tipo de controle permite manter uma maior uniformidade nos termos da

matriz de rigidez global, pois em escalonamentos com diâmetro maior,

automaticamente o comprimento do elemento também será maior. A segunda

vantagem desta forma de controle é ser adimensional, permitindo comparar

diferentes configurações de rotores. As tabelas A-1, A-2 e A-3 apresentam o

comportamento dos erros médios mínimos em função do tamanho da malha para os

modelos de diâmetro equivalente, não ramificado e ramificado respectivamente.

Nesta primeira avaliação, foi usado o modelo de viga de Timoshenko tanto para o

eixo quanto para o núcleo laminado.

L1 Li

D1 Di


Tabela A.1 – Efeito do tamanho da malha no erro mínimo para o Modelo 01

ROTOR L/D

2,0 1,5 1,0 0,7 0,5 0,1 225IIP 6,5% 6,4% 6,4% 6,3% 6,2% 6,2%

250IVP 14,3% 13,4% 12,5% 11,4% 11,1% 11,9%

355A 9,1% 9,1% 9,2% 8,9% 8,7% 8,2%

355B 7,7% 7,2% 6,8% 6,4% 6,1% 5,9%

355C 4,0% 2,6% 2,7% 2,7% 2,5% 2,4%

315IIP 4,5% 3,4% 3,1% 3,0% 2,9% 2,8%

400IIP 2,6% 2,6% 1,9% 1,8% 1,8% 1,7%

450IVP 4,4% 3,2% 3,0% 2,8% 2,8% 2,0%

560IIP 4,0% 4,0% 3,6% 3,5% 3,4% 3,3%


ROTOR L/D

2,0 1,5 1,0 0,7 0,5 0,1 225IIP 5,3% 5,4% 5,8% 5,9% 6,0% 6,4%

250IVP 10,1% 10,3% 10,2% 10,1% 10,1% 10,0%

355A 8,6% 8,6% 8,5% 8,5% 8,4% 8,4%

355B 5,8% 6,2% 6,1% 6,0% 5,9% 5,9%

355C 3,5% 2,8% 2,6% 2,5% 2,5% 2,4%

315IIP 1,8% 2,0% 2,3% 2,4% 2,5% 2,5%

400IIP 1,7% 1,7% 1,7% 1,7% 1,6% 1,6%

450IVP 4,4% 2,8% 2,1% 2,2% 2,4% 2,6%

560IIP 3,0% 3,0% 3,2% 3,2% 3,2% 3,2%



ROTOR L/D

2,0 1,5 1,0 0,7 0,5 0,1 225IIP 2,6% 2,6% 2,1% 2,1% 2,1% 2,3%

250IVP 6,5% 6,4% 6,0% 6,7% 6,6% 7,4%

355A 2,5% 2,2% 1,9% 1,9% 1,9% 1,9%

355B 3,8% 2,1% 1,8% 1,6% 1,6% 2,8%

355C 1,8% 1,3% 1,2% 1,2% 1,1% 1,2%

315IIP 3,9% 3,6% 3,7% 3,8% 3,8% 4,0%

400IIP 0,4% 0,4% 0,3% 0,2% 0,1% 0,1%

450IVP 4,5% 4,5% 4,4% 4,3% 4,3% 4,3%

560IIP 4,0% 4,0% 4,0% 4,1% 4,1% 4,3%

Esta análise mostrou que os modelos são pouco sensíveis ao tamanho da

malha quando são utilizadas as configurações definidas no capítulo anterior. Por

isto, optou-se por utilizar a relação L/D = 1 como padrão para todas as análises

deste trabalho.

Anexo B Comparação dos Modos de Vibrar 74

ANEXO B – COMPARAÇÃO DOS MODOS DE VIBRAR

Experimental Calculado – na condição de erro mínimo

MO

DO

#1

MODO 01 - 686.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

01

MODO 01 - 689.5Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

02

MODO 01 - 670.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

03

MO

DO

#2

MODO 02 - 1281.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

01

MODO 02 - 1292.3Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

02

MODO 02 - 1156.0Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

03

MO

DO

#3

MODO 04 - 2272.3Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

01

MODO 04 - 2369.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

M

odel

o 02

MODO 03 - 2600.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

03

MO

DO

#4

MODO 06 - 3302.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

01

MODO 06 - 3368.3Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

02

MODO 05 - 3201.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Mod

elo

03

Figura B.1– Comparação dos modos para o rotor 225IIP



MODO #1

MODO 01 - 632.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

01

MODO 01 - 610.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

02

MODO 01 - 548.3Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

03

MODO #2

MODO 03 - 1058.0Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

01

MODO 02 - 1038.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

02

MODO 02 - 849.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

03

MODO #3

MODO 04 - 1700.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

01

MODO 04 - 1739.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

02

MODO 04 - 2269.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

03

MODO #4

MODO 06 - 2634.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

M

odel

o 01

MODO 06 - 2713.6Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

02

MODO 05 - 3014.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Mod

elo

03

Figura B.2 – Comparação dos modos para o rotor 250IVP



MODO #1

MODO 01 - 327.3Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 01 - 327.5Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

02

MODO 01 - 328.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

MODO #2

MODO 02 - 601.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 02 - 606.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

02

MODO 02 - 567.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

MODO #3

MODO 04 - 992.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 04 - 1050.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

M

odel

o 02

MODO 03 - 1377.0Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

Figura B.3 – Comparação dos modos para o rotor 355IIP(A)



MODO #1

MODO 01 - 396.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 01 - 394.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

02

MODO 01 - 393.4Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

MODO #2

MODO 02 - 719.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 02 - 720.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

02

MODO 02 - 683.0Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

MODO #3

MODO 04 - 1179.5Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 04 - 1221.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

M

odel

o 02

MODO 03 - 1465.6Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

Figura B.4 – Comparação dos modos para o rotor 355IIP(B)



MODO #1

MODO 01 - 466.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 01 - 467.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

02

MODO 01 - 468.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

MODO #2

MODO 02 - 840.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 02 - 849.0Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

02

MODO 02 - 814.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

MODO #3

MODO 04 - 1321.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

01

MODO 04 - 1354.3Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

M

odel

o 02

MODO 03 - 1448.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Mod

elo

03

Figura B.5 – Comparação dos modos para o rotor 355IIP(C)



MODO #1

MODO 01 - 330.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

01

MODO 01 - 331.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

02

MODO 01 - 331.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

03

MODO #2

MODO 02 - 497.5Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

01

MODO 02 - 499.0Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

02

MODO 02 - 475.5Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

03

MODO #3

MODO 03 - 798.6Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

01

MODO 03 - 813.7Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

02

MODO 03 - 904.4Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

M

odel

o 03

MODO #4

MODO 05 - 1218.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

01

MODO 05 - 1222.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

02

MODO 04 - 1092.0Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mod

elo

03

Figura B.6 – Comparação dos modos para o rotor 315IIP



MODO #1

MODO 01 - 137.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

01

MODO 01 - 136.9Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

02

MODO 01 - 125.4Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

03

MODO #2

MODO 02 - 204.8Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

01

MODO 02 - 205.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

02

MODO 02 - 187.2Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

03

MODO #3

MODO 03 - 397.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

01

MODO 03 - 402.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

02

MODO 03 - 411.4Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

03

MODO #4

MODO 05 - 602.4Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

01

MODO 05 - 602.1Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

02

MODO 04 - 460.6Hz

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Mod

elo

03

Figura B.7 – Comparação dos modos para o rotor 560IIP

universidade tecnolÓgica federal do paranÁ … · a weg equipamentos elétricos s.a. – motores,...

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