UNIVERSIDADE GAMA FILHOPROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Disciplina de Controle IIProf. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

Controladores PID

Controlador Proporcional

Controladores PID

Onde Kp é denominado Sensibilidade proporcional

ou ganho

A Relação entre a saída e o sinal de erro e(t) é dada pelo ganho Kp

Controlador PI

Onde:Kp é o ganho Proporcional

Ti é o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento)

Controlador PD

Controladores PID

Controlador PID

Onde:Kp é o ganho ProporcionalTd é o Tempo Derivativo.

Onde:Kp é o ganho Proporcional

Ti é o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento)

Td é o Tempo Derivativo.

Controladores PIDMais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam

esquemas de Controle PID.

A popularidade dos controladores PID pode ser atribuída parcialmente ao seu desempenho robusto sobre uma grande faixa de condições operacionais e a sua simplicidade operacional.

Para se implementar um Controlador PID, três parâmetros devem ser determinados:o Ganho Proporcional Kp

o Ganho Integral Ki

o Ganho Derivativo Kd

O processo de selecionar os Parâmetros do Controlador que garantam uma dada especificação de desempenho é conhecido como Sintonia do Controlador.

Controladores PID

Seja o sistema:

Controladores PID

Características das Ações Proporcional, Integral e DerivativaO controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma a diminuir

o tempo de subida (tr), diminuindo adicionalmente o erro de regime permanente.

O controlador integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas pode piorar a resposta transitória do sistema.

A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobre-sinal e o tempo de estabilidade, com isso melhorando a resposta transitória.

Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela conjunção destas ações de controle, pode não seguir exatamente as especificações observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela deverá ser empregada somente como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador ao encargo do projetista.

Controladores PID

Controladores PID

Sintonização de Controladores PID

O Modelo doProcesso é Disponível?

O Modelo doProcesso é

Linear eInvariante no t?

Sim

BodeRoot-Locus

Espaço de Estados

Sim

OtimizaçãoNumérica

Não

Não

Método deZiegler-NicholsTentativa e

Erro?

Não

Índices de Desempenho Um índice de desempenho pode ser calculado e usado para se medir o

desempenho de um sistema.

Essa medida quantitativa do desempenho de um sistema é necessária para a operação e otimização de sistemas de controle, segundo especificações pré-determinadas em projeto.

Um sistema para ser considerado “o melhor” deve ser tal que minimize o índice de desempenho, que será um valor positivo ou nulo.

Existem alguns índices de desempenho a saber:a. ISE – Integral do Quadrado do Errob. IAE – Integral do Valor Absolutoc. ITAE – Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Absolutod. ITSE – Integral do Erro Multiplicado pelo Quadrado do Erro

Controladores PID

Índices de DesempenhoUm índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que seja colocada ênfase nas especificações consideradas importantes do sistema

Controladores PID

Controladores PID

Controladores PID

Estas curvas mostram a seletividade do Índice de Desempenho ITAE em comparação com o ISE e ITSE.

O valor mínimo da relação de amortecimento com base no índice ITAE é de 0,7, que para um sistema de segunda ordem resulta em uma resposta rápida ao degrau com um Máximo de sobre sinal de 4,6%.

Controladores PID

Os coeficientes que minimizarão o critério de desempenho ITAE para uma entrada em degrau foram determinados para a função de transferência de malha fechada genérica da seguinte forma:

Esta função possui erro estacionário nulo para uma entrada em degrau.

Os coeficientes ótimos para o critério ITAE são dados na seguinte tabela:

Método da Otimização Para usar este método parte do pressuposto que os modelos matemáticos da

planta são conhecidos e portanto podemos analiticamente encontrar a função de transferência do sistema.

Esse método usa o índice de desempenho ITAE e os coeficientes ótimos resultantes dele para uma entrada ao degrau ou em rampa (Ver Dorf pag.205).

Os Parâmetros escolhidos são tais que minimizam o índice de desempenho ITAE.

O procedimento de Projeto consiste nos 3 passos a seguir:1. Selecionar ωn do sistema em malha fechada especificando o tempo de acomodação.2. 2. Determinar os 3 coeficientes usando a equação ótima apropriada e o valor de ωn

encontrado.3. Usar um filtro que faça com que a função de transferência de malha fechada não

tenha zeros.

Controladores PID

Exemplo Considere um controlador de temperatura com um sistema de controle da

seguinte forma:

Onde

Se Gc(s)=1, o erro estacionário é 50% e o tempo de acomodação (2%) é de 4 segundos. Para uma entrada em degrau.

Deseja-se obter um desempenho ITAE ótimo para um degrau unitário e um tempo de acomodação menor que 0,5 s, usando um controlador PID.

Controladores PID

21

1

)s()s(G

Método de Ziegler-Nichols Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID baseadas

na resposta experimental ao degrau.

Essas regras são muito úteis quando os modelos matemáticos são desconhecidos.

Os resultados de Kp, Ki e Kd, são bem próximos do ideal, mas caso apresentem valores de sobre sinal elevados, o operador deve realizar uma sintonia fina até que um resultado aceitável seja alcançado.

A partir dos estudos de Ziegler e Nichols, surgiram outras várias regras de sintonias para controladores PID que podem ser conseguidas com fabricantes desse tipo de controlador.

Existem 2 metodos de regras de sintonia de Ziegler-Nichols

Controladores PID

Método da Curva de Reação Esse método se aplica se a curva da resposta da planta a uma entrada em degrau tiver

o aspecto de uma letra S.

Isso ocorrerá se a planta não possuir integradores nem pólos complexos dominantes.

Controladores PID

Atraso de Transporte

Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo.

Note que o controlador sintonizado por este método fornece:

Controladores PID

O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -1/L

Método do Limiar de Oscilação Neste método faremos inicialmente as constantes Ki = ∞, e Kd = 0, trabalhando apenas

com a ação de controle proporcional.

Experimentalmente vamos aumentar o valor de Kp até que a resposta do sistema apresente uma oscilação sustentada pela primeira vez. A esse valor de Kp daremos a notação de Kcr (ganho crítico).

O período da senóide encontrada será o nosso Pcr (período crítico).

Controladores PID

Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo.

Note que o controlador sintonizado por este método fornece:

Controladores PID

O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -4/Pcr

Controladores PID

Ziegler-Nichols

Método da Curva de Reação:

t

h(t)

K

L T

Método do Limiar de Oscilação:

t

h(t) Pc

Oscilação com Kp = Kc

PID em Manual

KP KI KD

P T/L 0 0

PI 0.9 T/L 0.3/L 0

PID 1.2 T/L 0.5/L 0.5L

KP KI KD

P 0.5 Kc 0 0

PI 0.45Kc 1.2/Pc 0

PID 0.6Kc 2/Pc 0.125Pc

Exemplo Considere o sistema de controle mostrado na figura, no qual um PID é utilizado

para controlar o sistema

O PID tem a seguinte função de Transferência

Obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o sistema projetado exibe aproximadamente 25% de máximo sobre-sinal. Se o Mp for maior que 40%, faça uma sintonia fina e reduza para Mp = 25%.

Controladores PID

Solução Como a planta tem um integrador, vamos utilizar o segundo método de Zigler e

Nichols, o método do limiar de oscilação.

Portanto fazendo Ki = ∞, e Kd = 0, obtemos a seguinte função de trsnferência de malha fechada.

A equação característica dessa função de transferência é:

Pela análise de Routh podemos saber o valor de Kcr.

Controladores PID

Portanto a equação característica para Kcr é:

Fazendo s=jw temos:

Donde tiramos que:

Portanto:

Pela regra de ziegler-Nichols, encontramos portanto os valores de Kp, Ki e Kd :

Controladores PID

Substituindo na função de transferência de um controlador PID temos:

Verificamos que o controlador PID tem um pólo na origem e um zero duplo em s = -1,4235

Controladores PID

Para encontrarmos a resposta ao degrau unitário, fechamos a malha e jogamos a função de transferência de malha fechada no MATLAB.

Controladores PID

Máximo de sobre sinal em torno de 62%

Fazendo ajustes finos podemos chegar a resposta desejada.

Controladores PID

Máximo de sobre sinal Menor que 25%