universidade gama filho procet – departamento de engenharia elÉtrica
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UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva. Análise do Lugar das Raízes. Análise do Lugar das Raízes. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
UNIVERSIDADE GAMA FILHOPROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Disciplina de Controle IIProf. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva
A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada, depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada.
É importante, então, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se movem no plano s, a medida que o ganho de malha varia.
Limitações e dificuldades da análise dos pólos através da solução da equação característica:
1. Equações características de grau superior a 3, são muito trabalhosas requerendo o uso de métodos computacionais pra a solução.
2. É uma análise estática, pois, se o ganho variar, os cálculos deverão ser refeitos.
O método do Lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores do ganho k.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
O gráfico do Lugar geométrico das raízes, consiste no desenho de todos os valores que os pólos de malha fechada de uma função de transferência assumirão num plano de coordenadas complexas (portanto traçaremos o gráfico sobre um plano complexo) quando variarmos o ganho k.
Considere o sistema abaixo:
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Diagrama dos pólos Lugar das Raízes
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesPropriedades Importantes
Considere o seguinte sistema básico como exemplo:
1.Condições de ângulo e módulo
onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
A equação (1) estabelece que se um valor de ‘s’ for substituído na função obtém-se um número complexo, se o ângulo desse número complexo for múltiplo impar de 180o, então este valor de ‘s’ será um pólo do sistema para um valor particular de k.
Mostrar que cada caso do 1o exemplo conduz para .
0)()(1 sHsKG
1)()( sHsKG
01)()()()( jsHsKGsHsKG
1)()( sHsKG ,180)12()()( oksHsKG
)1(
1)()( sHsKG
Condição de Módulo Condição de ângulo
1)()( sHsKG
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesPropriedades Importantes
Por exemplo se for dado por:
Os ângulos dos vetores no plano complexo se originam nos pólos e zeros e vão até um ponto ‘s’ medidos no sentido anti-horário.
Portanto o ângulo de será:
e o Módulo de será:
),()( sHsKG))()()((
)()()(
4321
1
pspspsps
zsksHsKG
),()( sHsKG43211)()( sHsKG
),()( sHsKG4321
1)()(AAAA
KBsHsKG
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesPropriedades Importantes
2. Definição de ramo: Ramo é o caminho percorrido pelo pólo quando variamos o ganho k. (observar na figura do quadro os dois ramos criados pela variação do valor de k).
O número de Ramos será sempre igual ao número de pólos do sistema.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesPropriedades Importantes
3. Análise dos pólos e zeros no infinito de uma função de transferência.
Toda função de ‘s’ possuirá um número igual de pólos e de zeros, se for levado em conta os pólos e zeros infinitos.
Por exemplo, a Função de Transferência tem 3 pólos finitos e nenhum zero finito,
mas se analisarmos o comportamento desta função no infinito veremos que:
Se a função tender ao infinito, quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais pólos no infinito.
Se a função tender a zero quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais zeros no infinito.
No caso acima, Fazendo ‘s’ tender ao infinito, a função se tornará
Cada ‘s’ do denominador faz com que a função se torne nula quando ‘s’ tende ao infinito, portanto esta função possui 3 zeros no infinito, como era de se esperar.
)2)(1()()(
sss
KsHsKG
s
K
sss
KsHsKG
)()(
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesPropriedades Importantes
4. Simetria
“O lugar geométrico das Raízes é simétrico em relação ao eixo real.”
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Vamos estipular 7 passos para traçarmos completamente o gráfico que representa o Lugar geométrico das raízes de uma dada equação característica.
Passo 1: Determinar o número de ramos.
“O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de pólos de malha fechada.”
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 2: Determinar os segmentos sobre o eixo real. Neste caso utiliza-se a propriedade de ângulo. Como regra geral, assuma que:
“No eixo real, o lugar geométrico das raízes existe à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou raízes finitos sobre o eixo real.”
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 3: Determinar os pontos de partida e de término.
“O lugar geométrico das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s).”
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 4: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito.
“O Lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar das raízes tende ao infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de
interseção sobre o eixo real e o ângulo da seguinte forma:
onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
,a ,a
finitoszerosfinitospólos
finitoszerosfinitospólosa ##
finitoszerosfinitospólos
k o
a ##
180)12(
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Nota-se que ainda ficam faltando alguns detalhes no gráfico:
a)Qual o ponto e o ângulo de partida no eixo real?b)Se fosse o caso, qual o ponto e o ângulo de chegada no eixo real?c)Se houvesse pólos e zeros complexos, quais seriam os ângulos de Partida (no caso de pólos) e os ângulos de chegada (no caso de zeros)?d)Qual o valor no eixo imaginário que o lugar das raízes toca?
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 5: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real. O ponto onde o lugar das raízes deixa o eixo real é chamado de ponto de partida.O ponto onde o lugar das raízes retorna ao eixo real é chamado de ponto de chegada
“Nesses pontos os ramos do lugar das raízes formam um ângulo de 180o/n com o eixo real, onde n é o número de pólos de malha fechada chegando ou saindo de um ponto
de chegada ou de partida no eixo real.”
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesRepresentação do Gráfico do Lugar das Raízes
Exemplo:
Nesse caso os ângulos de partida e chegada, serão de 90º.Os pontos de partida e de chegada são encontrados resolvendo-se a equação:
Os valores de após analisados serão os pontos de partida e/ou chegada no eixo real.
n
i
m
i pz 11
11
,a
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesRepresentação do Gráfico do Lugar das Raízes
Façamos um exemplo para o caso da figura acima:
O sistema tem 2 pólos, -1 e -2. E possui 2 zeros, 3 e 5. substituindo fica:
2
1
1
1
5
1
3
1
0612611 2
82,3,45,1 e
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesRepresentação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 6: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos.
Para encontrarmos o ângulo de partida de um pólo complexo, primeiramente pegamos um ponto de teste, bem próximo do pólo que desejamos encontrar o ângulo de partida.
Depois sabemos que pela condição de ângulo, a soma dos ângulos formados pelos zeros, menos a soma dos ângulos formados pelos pólos do sistema em estudo deve ser igual a (2k+1)180o.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesRepresentação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 7: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
Para se determinar o ponto de interseção no eixo imaginário pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte forma:
a)escreve-se a matriz de Routh normalmente.b)Encontra-se o valor do Ganho K, fazendo a linha s1 igual a zero.c)Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário é então determinado com a resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s2 .
Fazer um exemplo no Quadro.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Configurações Típicas de pólos e zeros e o lugar das raízes correspondentes
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de FixaçãoPara cada lugar das raízes mostrado na figura abaixo, diga se o esboço pode ou não caracterizar o lugar geométrico das raízes. Caso o esboço não possa representar o lugar geométrico das raízes, explique o porquê. Forneça todas as justificativas.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de FixaçãoEsboce (sem detalhamento) a forma geral do lugar geométrico das raízes para cada diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado nas figuras abaixo:
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de FixaçãoEsboce o Lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária mostrado abaixo, cheque o ângulo de partida dos pólos complexos.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de FixaçãoPara o diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado na figura abaixo, esboce o lugar geométrico das raízes e determine o ponto de chegada.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de FixaçãoEsboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e determine os pontos de entrada e saída.
Recordando....
Os 7 passos para desenharmos perfeitamente o gráfico do lugar das raízes são:
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar os pontos de partida e de término
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real
6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos
7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
1o Passo: Determinar o número de ramos
j1
- j1
- 1- 2- 3 1
x
x
jω
σ
= 2, pois tem 2 pólos.
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
j1
- j1
- 1- 2- 3 1
x
x
jω
σ
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
n
i
m
i pz 11
11
Quem são os pólos e os zeros?
11
11
3
2
2
1
2
1
jp
jp
z
z
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
jj
1
1
1
1
3
1
2
1
Usando esses valores, temos:
11
11
3
2
2
1
2
1
jp
jp
z
z
22
11
32
232
jj
22
22
65
5222
02105 23 Donde se tira que:
32
42
0
,
,
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
j1
- j1
- 1- 2- 3 1
x
x
jω
σ
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
-2,3
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos no infinito
5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real oo
n90
180
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos
j1
- j1
- 1- 2- 3 1
x
x
jω
σ-2,3
≈90o
ϕ1ϕ2
oarctag 43183
11 ,
oarctag 03144
12 ,
θx
xoo
x 90031443189021 ,,
ox 46122,
3
1
4
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Com
j1
- j1
- 1- 2- 3 1
x
x
jω
σ
ox 46122,
-2,3
122,46o
122,46o
Por Simetria
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
Com os pólos e os zeros pode-se terminar a FT.
adicionando o ganho e resolvendo a FT de Malha
fechada, encontramos a seguinte equação característica:
Aplicando Routh, temos:
22
322
ss
sssG
113
112
22
11
jpz
jpz
K
026251 2 KsKsK
26
025
261
0
1
2
Ks
Ks
KKs 2052
025
,/
K
K
911
6632144
02206201
0261
2
2
2
,
,,/,
,,
js
s
s
KsK
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Voltando ao gráfico...
Com
j1
- j1
- 1- 2- 3 1
x
x
jω
σ
911,js
-2,3
122,46o
j1,91
-j1,91
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
j1
- j1
- 3- 4- 5 -2
jω
σ- 6 - 1
Exercício de FixaçãoEsboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e determine os pontos de entrada e saída.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
xx
6
5
2
1
2
1
2
1
p
p
z
z
j1
- j1
- 3- 4- 5 -2
jω
σ- 6 - 1
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos.
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
xx
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
n
i
m
i pz 11
11
Quem são os pólos e os zeros?
6
5
2
1
2
1
2
1
p
p
z
z
6
1
5
1
2
1
1
1
Usando esses valores, temos:
65
56
21
12
3011
112
23
3222
068568 2 Donde se tira que:435
561
,
,
-5,4 -1,56
j1
- j1
- 3- 4- 5 -2
jω
σ- 6 - 1
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
xx-5,4 -1,56
- Não tem pólos no infinito
5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo realo
o
n90
180
6o e 7o Passos: Não se aplicam
Exercício de Fixação
Dado o sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência do canal direto.
Faça o seguinte:a.Esboce o lugar geométrico das raízes.b.Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse ponto.c.Determine o ponto de entrada.d.Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
134
22
ss
sKsG
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
134
22
ss
sKsG
Função de Transferência Quantidade de Pólos
32
32
js
js
Quantidade de Ramos
2
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
j1
- j1-2
jω
σ- 1
x
x
Pólos
32
32
js
js
Zeros 2z
+1 +2
j2
- j2
- j3
j3
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
j1
- j1-2
jω
σ- 1
x
x
+1 +2
j2
- j2
- j3
j3
Sabemos que temos um zero no infinito, temos que saber agora para que lado ele se encontra:
6
12
23232
jj
finitoszerosfinitospólos
finitoszerosfinitospólosa ##
ooo
a finitoszerosfinitospólos
k180
1
18018012
##
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
j1
- j1-2
jω
σ- 1
x
x
+1 +2
j2
- j2
- j3
j3
Solução:
b. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse ponto.
Para encontrar esse ponto, basta usarmos Routh na FT de Malha Fechada.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
134
22
ss
sKsG
Função de TransferênciaMalha Aberta
KsKs
sKsG
2134
22
Função de Transferência Malha Fechadacom realimentação unitária
Ks
Ks
Ks
213
04
2131
0
1
2
4
04
04
K
K
sK
584
21
04213
0213
2
2
2
,js
s
s
Ks
j1
- j1-2
jω
σ- 1
x
x
+1 +2
j2
- j2
- j3
j3
j4,5
Solução:
c. Determine o ponto de entrada.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes
j1
- j1-2
jω
σ- 1
x
x
+1 +2
j2
- j2
- j3
j3
j4,5
-j4,5
?
Para determinar o ponto de entrada, basta usar a fórmula já conhecida.
n
i
m
i pz 11
11
32
1
32
1
2
1
jj
94
3232
2
12
jj
94
42
2
12
01742 586,
NMI
- 6,58
Solução:
d. Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.
Fazer no quadro.
Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes