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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS

CURSO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

OLÍVIO ASSIS DE OLIVEIRA

FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE ESTÁTICA DE

PÓRTICOS PLANOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

MOSSORÓ-RN

2013


FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE ESTÁTICA DE

PÓRTICOS PLANOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Monografia apresentada a Universidade

Federal Rural do Semiárido – UFERSA,

Campus Mossoró para a obtenção do título de

Bacharel em Ciência e Tecnologia.

Orientador: Prof. M.Sc. Raimundo

Gomes de Amorim Neto – UFERSA

MOSSORÓ – RN

2013

FICHA CATALOGRÁFICA


FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE ESTATICA DE UM

PÓRTICO PLANO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Monografia apresentada a Universidade

Federal Rural do Semiárido – UFERSA,

Campus Mossoró para a obtenção do título de

Bacharel em Ciência e Tecnologia.

APROVADO EM ______/_______/________

BANCA EXAMIDADORA

_______________________________________________________

Prof. M.Sc. Raimundo Gomes de Amorim Neto – UFERSA

Presidente

_______________________________________________________

Prof. M.Sc. Flaviana Moreira de Souza Amorim – UFERSA

Primeiro Membro

_______________________________________________________

Prof. M.Sc. Valmiro Quéfren Gameleira Nunes – UFERSA

Segundo Membro

_______________________________________________________

Prof. M.Sc. João Paulo Matos Xavier – UFERSA

Suplente

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a meus pais Tarcísio e Vera Lúcia por seus aconselhamentos, valores

repassados, lições de vida e por sempre serem fonte inesgotável de motivação e inspiração, a

todos os meus irmãos Vinícius, Rodolfo, Vivian, Leopoldo, Monique, Tarcísio Filho e

Marcílio que de alguma forma contribuíram para que mais essa fase fosse superada e também

a meus sobrinhos Victor Falcão e Ana Beatriz.

A Joyce minha companheira de todas as horas, minha amiga fiel, namorada e futura esposa

por sua paciência e carinho que foram suficientes para superar a distância e a saudade o que

contribuiu para a conclusão de mais uma fase de minha formação, e também a sua mãe/avó

Ofélia Maria a quem devo respeito e sou muito grato por todos os seus conselhos e

ensinamentos.

Agradeço ao meu grande amigo e mestre Marco Antonio Diodato a quem devo admiração e

respeito, por seus aconselhamentos e por sua mão amiga sempre que precisei.

Aos amigos os quais posso considerar irmãos André Felipe (Carioca), Renato Diógenes,

Manassés Medeiros, Hugo Luiz, Jorge Vander e a todos os outros companheiros de vila

acadêmica e amigos que contribuíram de alguma forma para que mais essa fase fosse

superada com sucesso.

“Deixe o futuro dizer a verdade, e avaliar cada

um de acordo com seus trabalhos e suas

conquistas.”

Nikola Tesla

http://kdfrases.com/frase/163074



http://kdfrases.com/autor/nikola-tesla

RESUMO

A análise estrutural é uma área da engenharia civil de grande importância para o

desenvolvimento de projetos de edificações, pontes, viadutos entre outras. O estudo de

determinadas situações só é possível fazendo-se uso de ferramentas avançadas que realizam

modelagens de forma rápida e confiável de problemas que por vezes são impossíveis de ser

resolvidos de forma analítica (manual). No presente trabalho foi desenvolvido um programa

denominado PMEF_BETA utilizando o ambiente de programação numérica Matlab® e que

tem como objetivo analisar estaticamente estruturas do tipo pórticos planos fazendo uso do

método dos elementos finitos (MEF) e comparar os resultados encontrados a outra ferramenta

consagrada para análise de estruturas planas que é o FTOOLS®, apresentando bons resultados

nas análises realizadas.

Palavras-chave: Análise estrutural. Método dos elementos finitos. Pórticos planos.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Tipos de estruturas reticuladas (pórticos e treliças). ............................................ 11

Figura 1.2 – Museu de Arte Moderna de São Paulo (MASP), pórticos sustentando a estrutura

do edifício. ................................................................................................................................ 15

Figura 1.3 – Arena Pantanal, seção utilizando pórticos utilizados para a sustentação da

cobertura e das arquibancadas. ................................................................................................. 15

Figura 2.1 – Rede de elementos finitos bidimensionais (placas). ............................................ 17

Figura 3.1 – Estrutura contínua discretizada, com a representação dos graus de liberdade para

cada elemento. .......................................................................................................................... 20

Figura 3.2 – Inserção de nó fictício. ......................................................................................... 21

Figura 3.3 – Elemento de pórtico finito com seis graus de liberdade (duas translações e uma

rotação por nó). ......................................................................................................................... 24

Figura 3.4 – Barra bi engastada, semelhante a um elemento de pórtico plano (6 graus de

liberdade). ................................................................................................................................. 25

Figura 3.5 – Barra bi engastada, com extremidade livre. ......................................................... 25

Figura 3.6 – Diagrames dos esforços internos de uma barra engastada sujeita ao carregamento

de uma força unitária na direção de cada grau de liberdade. .................................................... 26

Figura 3.7 – Deslocamentos da estrutura em função da aplicação de uma carga unitária. ...... 28

Figura 3.8 – Representação dos graus de liberdade em uma barra nos sistema local e no

sistema global. .......................................................................................................................... 30

Figura 3.9 – Pórtico bi apoiado com três elementos................................................................. 33

Figura 3.10 – Matrizes de rigidez no sistema local. ................................................................. 33

Figura 3.11 – Matriz de rigidez global (12x12) para um pórtico bi apoiado (3 elementos, 2 nós

livres e 2 nós restringidos) com a representação matricial do efeito dos nós na estrutura. ...... 34

Figura 3.12 – Fluxograma do PMEF_BETA. .......................................................................... 37

Figura 4.1 – Entrada de dados no PMEF_BETA através de um arquivo com a extensão (.txt).

.................................................................................................................................................. 39

Figura 4.2 – Representação gráfica da estrutura no PMEF_BETA. ......................................... 40

Figura 4.3 – Representação gráfica da estrutura no FTOOLS®

. .............................................. 40

Figura 4.4 – Idealização da estrutura deformada PMEF_BETA. ............................................. 41

Figura 4.5 – Idealização da estrutura deformada FTOOLS®.................................................... 41

Figura 4.6 – Esforços normais na estrutura PMEF_BETA. ..................................................... 42

Figura 4.7 – Esforços normais na estrutura FTOOLS®. ........................................................... 42

Figura 4.8 – Plotagem inicial da estrutura em estudo com 14 elementos e 12 nós. ................. 44

Figura 4.9 – Plotagem inicial da estrutura no FTOOLS®. ........................................................ 44

Figura 4.10 – Esforços normais da estrutura. ........................................................................... 45

Figura 4.11 – Diagrama de esforços normais FTOOLS®

......................................................... 45

Figura 4.12 – Idealização dos deslocamentos da estrutura com o PMEF_BETA, utilizando um

fator de escala 0,5. .................................................................................................................... 46

Figura 4.13 – Idealização dos deslocamentos da estrutura com o FTOOLS®, utilizando um

fator de deformação de 150. .................................................................................................... 46

Figura 7.1 – Exemplo de entrada de dados no PMEF_BETA. ................................................. 50

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 11

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .......................................................................................... 11

1.2 CAMPOS DE APLICAÇÃO DO METODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................. 13

1.3 PÓRTICOS PLANOS ........................................................................................................ 14

1.4 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO ................................................................................. 16

1.5 OBJETIVOS ..................................................................................................................... 16

1.5.1 OBJETIVO GERAL ........................................................................................................ 16

1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................... 16

2 REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................................... 17

2.1 BREVE HISTÓRICO SOBRE O METODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA

ANÁLISE DE ESTRUTURAL ................................................................................................ 17

2.2 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS ........... 18

2.3 ALGUNS TRABALHOS REALIZADOS COM A IMPLEMENTAÇÃO DO METODO

DOS ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE ESTRUTURAL ........................................ 19

3 MODELAGEM DE PÓRTICOS PLANOS VIA METODO DOS ELEMENTOS

FINITOS ................................................................................................................................ 20

3.1 IDEALIZAÇÃO ESTRUTURAL ...................................................................................... 20

3.2 DIVISÃO EM ELEMENTOS ............................................................................................ 21

3.3 SISTEMAS DE COORDENADAS ................................................................................... 22

3.4 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE RIGIDEZ PARA ANALISE ESTÁTICA . 22

3.5 MATRIZ DE RIGIDEZ PARA UM ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO ..................... 24

3.6 CÁLCULO DOS COEFICIENTES DA MATRIZ DE RIGIDEZ ..................................... 25

3.7 MATRIZ DE ROTAÇÃO .................................................................................................. 30

3.8 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL PARA PÓRTICOS PLANOS .................................... 32

3.9 MONTAGEM DO SISTEMA GLOBAL DE EQUAÇÕES .............................................. 32

3.10 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL .................................................................... 36

4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO E RESULTADOS NUMÉRICOS ............................... 38

4.1 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PMEF_BETA .......................................................... 38

4.1.1 EXEMPLO 01 - PÓRTICO COM VIGA INCLINADA................................................. 38

4.1.2 EXEMPLO 02 - PÓTICOS COMPOSTOS .................................................................... 43

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 47

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 48

ANEXO A – ENTRADA DE DADOS NO PMEF_BETA. .................................................... 49

ANEXO B – PMEF_BETA, CÓDIGO EM MATLAB®. ........................................................ 51

11

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A análise estrutural é tarefa complexa e árdua na engenharia civil, que requer tempo e

paciência, exigindo do projetista grande conhecimento, principalmente na tomada de decisões

feitas antes e ao longo do processo de cálculo. Dentre as quais destacam-se decisões a serem

tomadas, a seleção dos componentes adequados que irão compor o arranjo estrutural e a

adoção dos modelos utilizados para simular o seu comportamento. A análise estrutural ou

análise de estruturas é subdividida em dois grandes grupos de estruturas, de acordo com as

sua geometria:

Estruturas reticuladas planas (treliças planas, pórticos planos, etc)

Estruturas reticuladas espaciais (treliças espaciais, pórticos espaciais, etc)

Considerando o grupo das estruturas planas o objetos de estudo são idealizações de

estruturas no plano bidimensional (2D) lembrando que estruturas perfeitamente planas podem

ser consideradas apenas como aproximações para o cálculo de estruturas tridimensionais (3D)

que são representações de estruturas no espaço. Essas estruturas podem ser observadas em

diversas aplicações de engenharia estrutural como na construção de edifícios, pontes, viadutos

entre outras. Estes dois grupos de estruturas podem ser representados por um modelo de

barras interligadas por nós (Figura 1.1) e podem ser estudadas de forma analítica (manual) ou

solucionadas de forma matricial com o auxilio do computador (modelagem numérica) de

acordo com as propriedades da estrutura em questão (seções transversais, propriedades do

material adotado e restrições estruturais) e a forma de aplicação das cargas. Quando o sistema

estrutural é simples pode-se optar por uma solução manual, mas à medida que a complexidade

aumenta é conveniente fazer uso de ferramentas computacionais para obter-se uma solução

rápida e do problema proposto.

Figura 1.1 – Tipos de estruturas reticuladas (pórticos e treliças).

Fonte: Soriano (2005)

12

As etapas para análise estrutural implicam na idealização de problemas físicos a

partir de modelos matemáticos. As representações matemáticas dos modelos físicos são, em

geral, expressas em equações diferenciais e/ou integrais. Uma das maneiras para construir as

soluções dessas equações, ditas governantes, é via métodos analíticos que possibilitam a

análise de organizações estruturais mais simplificadas, já em problemas que apresentam um

sistema estrutural mais elaborado se faz necessário o uso de algum método numérico para que

se tenha uma resposta aproximada do sistema proposto, dentre eles podem ser citados: o

Método dos Elementos de Contorno (MEC), Método das Diferenças Finitas (MDF), Método

dos Elementos Finitos (MEF) e vários outros. Com a utilização e qualquer destes métodos

pode-se obter uma solução para o modelo físico/matemático proposto. Dentre as muitas

ferramentas disponíveis para o cálculo e análise de estruturas mecânicas e meios contínuos em

geral, o Método dos Elementos Finitos tem se destacado como sendo uma ferramenta de uso

geral, eficaz e de alto desempenho e de relativa facilidade na implementação computacional.

Com o surgimento de novas tecnologias (computadores pessoais e softwares para

simulação) com poder de processamento elevado, está se tornando comum e necessário o seu

uso para análise de problemas em diversas áreas. Para a problemática da engenharia, esse tipo

de ferramenta possibilita a análise numérica computacional de várias situações desde que se

faça uso do método adequado, situações essas que podem variar desde situações simples até

as mais complexas, em áreas como mecânica estrutural, eletromagnetismo, mecânica dos

fluidos entre outras. O uso dessas tecnologias tem se tornado cada vez mais necessário para

resolver problemas fornecendo soluções a situações complexas em um curto intervalo de

tempo, o que é de grande interesse não só da engenharia, mas de qualquer área que tenha

como objetivo aumentar a sua produtividade na análise e solução de problemas.

Existem no mercado ferramentas (computadores e softwares) disponíveis

desenvolvidos para resolver problemas específicos como é o caso do software Ftools®

(Tecgraf/PUC-RJ) aplicativo desenvolvido para a resolução de estruturas bidimensionais

(2D), e outros que podem ser aplicados a uma infinidade de situações como é o caso do

Matlab®

(MathWorks) que é uma ambiente para a manipulação numérica matricial que podem

ser utilizados em diversas aplicações e caracteriza-se como um software extremamente útil

para solucionar problemas de engenharia que frequentemente envolvem cálculos complexos

ou extensos. É muito usado em situações específicas, como na otimização de processos,

desenhos gráficos, interfaces e simulações, entre outros.

13

Outro exemplo são os programas que usam o Método dos Elementos Finitos,

aplicados à análise estrutural. Esse tipo de software basicamente simplifica um problema

global, como uma viga, placa, ou uma estrutura qualquer, para um modelo de elementos

finitos fornecendo soluções locais. O que se faz é discretizar a estrutura e representá-la por

sistemas equações, escritos como matrizes. Assim pode-se descrever como uma estrutura

complexa se comportará em modelo físico/matemático. Softwares como esses são muito bem

estruturados, compostos de vários algoritmos simples inter-relacionados.

Tendo em vista resolução de sistemas estruturais planos propõe-se o

desenvolvimento de uma ferramenta para a análise de um tipo específico de estrutura plana

(pórtico plano), construindo-se uma interface gráfica para a entrada, manipulação e saída de

dados para o usuário fazendo uso do software Matlab®

(MathWorks) que possibilita a

construção e implementação de interfaces gráficas e realiza modelagem numérica necessária

para se obter soluções para o problema proposto.

1.2 CAMPOS DE APLICAÇÃO DO METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O número de áreas de aplicação para o MEF tem crescido de forma considerável

recentemente. Dentre os inúmeros campos de aplicação possíveis, podem se citar: Indústria da

Construção Civil; Indústria automobilística, naval, aeronáutica e aeroespacial; Metalurgia;

Mineração; Exploração de petróleo; Setor energético; Telecomunicações; Forças Armadas;

Meio ambiente; Recursos Hídricos; Saúde.

As primeiras aplicações do MEF foram a problemas de engenharia estrutural, mais

especificamente, sobre análise de tensões. Neste tipo de problema, buscam-se determinar as

tensões, deformações e deslocamentos em um corpo sólido sujeito a determinadas ações tais

como cargas (forças aplicadas) e recalques (deslocamentos impostos). Exemplos de tais

aplicações compreendem o estudo do comportamento de estruturas civis, tais como edifícios,

pontes, barragens, e túneis, onde os elementos finitos são utilizados na discretização de vigas,

lajes, treliças, paredes, fundações, etc.

O estudo de análise de tensões também é importante em outras áreas da engenharia,

tais como engenharia mecânica, naval, aeronáutica, aeroespacial, onde são necessárias

análises das estruturas e peças mecânicas de máquinas, automóveis, caminhões, navios,

aviões, espaçonaves, etc. Dentro da área de mecânica dos sólidos, podem ser realizadas:

análise estática, análise modal (problemas de autovalor e autovetor, para estudo de vibrações e

14

instabilidade estrutural), e análise dinâmica. Além da aplicação clássica do MEF na solução

de problemas da mecânica dos sólidos, várias outras áreas da engenharia empregam

atualmente o MEF como uma poderosa ferramenta na análise de diversos fenômenos físicos, e

no projeto e análise de diversos equipamentos, dispositivos, processos industriais, etc.

A quantidade de problemas físicos que podem ser analisados com o MEF é bastante

grande. A título de ilustração podem-se citar as seguintes áreas:

Transferência de calor;

Elastostática;

Elastodinâmica;

Eletroestática;

Eletromagnetismo;

Fadiga;

Hidráulica;

Mecânica da fratura;

Hidrodinâmica;

Aerodinâmica;

Biomecânica;

Lubrificação;

Problemas de interação fluído-estrutura;

Problemas de propagação de ondas;

1.3 PÓRTICOS PLANOS

De acordo com Soriano (2005), pórticos planos são definidos como modelos de

estruturas em barras retas ou curvas, situadas em um mesmo plano (usualmente vertical), sob

ações externas que as solicitam apenas nesse plano, de maneira que em cada seção transversal

de barra desenvolvam somente momento fletor de vetor representativo normal a esse plano, a

força normal e a força cortante de vetores representativos nesse plano. Esse tipo de estrutura é

largamente aplicada a diversas situações da engenharia civil, tendo como principais exemplos

a sua utilização na composição estrutural de prédios, pontes, viadutos entre outras aplicações

(Figuras 1.2 e 1.3). E pode ser constituído por vários materiais como concreto armado, aço

15

estrutural, alumínio estrutural, madeira entre outros. Apresentam-se como estruturas

essenciais a quase todo tipo de edificação, sendo bastante observados no dia-a-dia, um dos

motivos para se adotar pórticos planos na elaboração de projetos estruturais é a sua

versatilidade.

Figura 1.2 – Museu de Arte Moderna de São Paulo (MASP), pórticos sustentando a estrutura

do edifício.

Fonte: Museu de Arte Moderna de São Paulo (2013)

Figura 1.3 – Arena Pantanal, seção utilizando pórticos utilizados para a sustentação da

cobertura e das arquibancadas.

Fonte: Mendes Junior (2013)

16

1.4 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO

Com o desenvolvimento cada vez mais rápido de computadores e softwares, está se

tornando cada vez mais comum e necessário o uso desse tipo de ferramenta para a resolução

de problemas de forma rápida, sendo que a realização do trabalho complementa o que já foi

desenvolvido no âmbito da Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA), onde, já se

desenvolveram aplicativos para a manipulação de treliças planas e vigas de Bernoulli.

1.5 OBJETIVOS

1.5.1 OBJETIVO GERAL

O trabalho tem como objetivo principal desenvolver um aplicativo para fins

acadêmicos utilizando o ambiente do software Matlab®

(MathWorks), para analise de

deslocamentos nodais (em cada nó) e esforços internos utilizando o Método dos Elementos

Finitos em estruturas reticuladas do tipo pórticos planos e fornecer a visualização de

resultados de forma gráfica e tabular.

1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Implementar o método dos elementos finitos em sub-rotinas do Matlab®

(MathWorks) para a resolução do sistema proposto.

Comparar os resultados obtidos com a rotina implementada com os resultados

do FTOOLS, para verificar a eficiência e robustez do programa desnvolvido.

Obter respostas gráficas a partir das análises realizadas com programa

desenvolvido

17

2 REVISÃO DE LITERATURA

2.1 BREVE HISTÓRICO SOBRE O METODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA

ANÁLISE DE ESTRUTURAL

De acordo com Assan (2003), O Método de Elementos Finitos (MEF) caracteriza-se

como um método numérico que foi estabelecido a partir da discretização do meio contínuo

(Figura 2.1), de maneira que o sólido seja subdividido em um número finito de partes,

denominados de “elementos”, conectados entre si por intermédio de pontos discretos,

chamados de “nós”. Uma escolha adequada do tipo e tamanho dos “elementos” depende das

propriedades do problema em questão, e tem papel grande importância na análise. Segundo

Clough & Wilson (1999) a análise estrutural anteriormente a 1952 estava restrita à

discretização do contínuo utilizando-se elementos conectados a dois pontos no espaço. Pode-

se considerar que os primeiros passos da versão atual do MEF foram publicados

principalmente nos últimos cinco anos da década de 1950.

Figura 2.1 – Rede de elementos finitos bidimensionais (placas).

Fonte: Assan (2003)

Segundo Sobrinho (2006), os primeiros estudos sobre o Método dos Elementos Finitos

foram realizados visando à solução de problemas na área de resistência dos materiais, com

ênfase na determinação de deslocamentos de grandes estruturas e na investigação de estados

de tensão complexos que não podiam ser analisados com as ferramentas analíticas da teoria da

elasticidade. O grande número de pesquisas e desenvolvimentos realizados nessa área

específica fez com que o Método dos Elementos Finitos ficasse permanentemente associado a

problemas estruturais da engenharia mecânica e civil.

18

Em engenharia estrutural considerando o caso dos pórticos planos, pode ser

discretizado da seguinte forma, as barras que compõem o sistema são consideradas como os

elementos finitos, sendo conectadas entre si por nós. Os elementos de um pórtico são

projetados para resistir deformações de qualquer natureza e flexão. O elemento de viga com

dois nós pode ser combinado com o elemento de barra para formar um elemento bastante

versátil que pode ser utilizado para analisar montagens, no plano ou no espaço de pórticos.

Este elemento pode ser útil para modelar de forma simples o comportamento dinâmico

e estático de mecanismos, máquinas, edificações, robôs, rotores, pás de turbinas, paletas e até

mesmo de uma aeronave ou uma barragem de concreto. É assumido a priori que os efeitos

axiais e de flexão são desacoplados um do outro, o que é uma condição razoável de se assumir

dentro de estruturas sofrendo deformações pequenas, (SILVA, 2009).

2.2 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS

Ferramentas computacionais livres para analisar esse tipo de estruturas foram

desenvolvidas para fins acadêmicos como é o caso do Ftools®

que é um software livre para

uso acadêmico aplicado principalmente na mecânica das estruturas. O ambiente de

programação numérica Matlab®

(MathWorks) pode ser utilizado para o desenvolvimento de

rotinas que possibilitem a análise de deslocamentos nodais de pórticos fazendo uso do

Método dos Elementos Finitos para resolver as equações que descrevem o sistema proposto.

O Matlab®

(MathWorks) é um programa computacional para uso específico,

otimizado para executar cálculos científicos e de engenharia. Ele foi concebido como um

programa para operações matemáticas sobre matrizes, mas ao longo dos anos transformou-se

em um sistema computacional flexível capaz de resolver essencialmente qualquer problema

técnico. O Matlab®

implementa a linguagem MATLAB, e oferece uma ampla biblioteca de

funções predefinidas para que a programação técnica se torne mais fácil e eficiente, essa

variedade extremamente ampla de funções torna muito mais fácil a resolução de problemas

técnicos em Matlab® do que em outras linguagens, como Fortran ou C (CHAPMAN, 2003)

Em suas versões atuais apresentam ferramentas que possibilitam o desenvolvimento

de interfaces gráficas para o usuário (GUI), comparando-se a ambientes de desenvolvimento

integrado como o NetBeans® (Oracle), Eclipse® ou Visual Basic® (Microsoft), pode

executar tarefas com a mesma técnica de programação, que resume-se basicamente a construir

inicialmente a interface gráfica do aplicativo proposto e em seguida adicionar a cada entidade

19

utilizada na composição da interface comandos específicos que realizem instruções que serão

executadas por rotinas e sub-rotinas elaboradas pelo autor do programa.

2.3 ALGUNS TRABALHOS REALIZADOS COM A IMPLEMENTAÇÃO DO

METODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE ESTRUTURAL

A utilização do MEF em aplicações para analise estrutural é bastante difundida, existem

diversos pacotes comercias que fazem uso direto do método para obtenção de resultados como

é o caso do NASTRAN, ANSYS, ALGOR, ABAQUS desenvolvidos com objetivo de realizar

simulações estruturais de qualquer tipo de estrutura. Através desses aplicativos é possível

realizar analise tanto linear (estática) quanto não linear (dinâmica).

No Brasil é comum o desenvolvimento de trabalhos envolvendo análise por elementos

finitos sendo bastante difundido no meio acadêmico, onde podem ser citados os trabalhos de

(QUEIROZ, 2010) que desenvolveu o aplicativo denominado de (SPROMS NET) para a

realização de análise estática e dinâmica via elementos finitos, implementando todo o

aplicativo na linguagem Java visando a execução da aplicação em dispositivos móveis.

No âmbito da Universidade Federal Rural do Semiárido (UFERSA), foram

desenvolvidos trabalhos que tem como objetivo principal a análise estrutural. Como trabalhos

de conclusão de curso foram apresentados dois trabalhos que fizeram uso direto do método

para análise estática de treliças planas como pode ser visto no trabalho desenvolvido por

(OLIVEIRA, 2012), e para a análise estática de vigas de Bernoulli desenvolvido por

(BEZERRA, 2012). Com a união dos conceitos de análise desses trabalhos, foi concebido o

PMEF_BETA e sua versão inicial.

20

3 MODELAGEM DE PÓRTICOS PLANOS VIA METODO DOS ELEMENTOS

FINITOS

3.1 IDEALIZAÇÃO ESTRUTURAL

Em mecânica estrutural todas as análises são realizadas considerando a modelagem

(idealização) da estrutura a ser estudada, levando em consideração alguns conceitos

importantes descritos a seguir é possível obter-se modelos que descrevem com uma boa

aproximação da realidade.

Graus de liberdade

São as variáveis envolvidas no processo de análise de uma estrutura. Quando se trata do

método dos deslocamentos, por exemplo, os graus de liberdade são as deformações

(deslocamentos e/ou rotações) dos nós da estrutura.

Sistemas contínuos

Sistemas contínuos são aqueles compostos por uma infinidade de pontos materiais e que

possuem, portanto, um número infinito de graus de liberdade.

Sistemas discretos

Sistemas discretos são aqueles que possuem um número finito de pontos materiais e,

portanto um número finito de graus de liberdade.

Figura 3.1 – Estrutura contínua discretizada, com a representação dos graus de liberdade

para cada elemento.

Fonte: Autoria própria (2013)

21

A maioria das estruturas consiste de uma montagem de diferentes elementos

estruturais conectados entre si por ligações contínuas ou discretas. O passo mais importante

na análise por elementos finitos de estruturas é a formulação de um modelo matemático de

elementos discretos equivalentes à estrutura contínua real. Este modelo é necessário a fim de

se obter um sistema com um número finito de variáveis (graus de liberdade) nos quais as

operações de álgebra matricial poderão ser realizadas. À formulação de tal modelo chama-se

de idealização estrutural.

3.2 DIVISÃO EM ELEMENTOS

As estruturas são divididas em elementos de dimensão finita, ligados entre si por

pontos nodais (nós) onde se supõem a concentração de todas as forças de ligação entre

elementos. As ações e deslocamentos serão discretizados nos nós e a composição destes

elementos para constituir a estrutura resultará em um sistema de equações algébricas que será

tratado matricialmente.

Em geral um nó é constituído pelas ligações entre barras, extremidades livres, pontos

de vinculação, no entanto, um nó fictício poderá, por conveniência do problema, ser inserido

em qualquer ponto da estrutura, por exemplo, no meio de uma barra qualquer (neste caso

estaríamos dividindo a barra em duas), (Figura 3.2).

Figura 3.2 – Inserção de nó fictício.


22

3.3 SISTEMAS DE COORDENADAS

Com a finalidade de identificar e ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças

e momentos) e os deslocamentos (lineares ou angulares), existentes nos nós de uma estrutura

integrada (montada, contínua) ou nas extremidades de um elemento (isolado, quando

subdividida a estrutura – “estrutura discretizada”), torna-se imprescindível a determinação de

um sistema de coordenadas arbitrário.

Na verdade, serão necessários dois sistemas de coordenadas chamados de sistema de

coordenadas globais e sistema de coordenadas locais. O sistema de coordenadas globais

refere-se aos graus de liberdade da estrutura como um todo, ou seja, estrutura montada, já o

sistema de coordenadas locais refere-se aos graus de liberdade dos elementos discretizados,

ou seja, das partes da estrutura.

3.4 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE RIGIDEZ PARA ANALISE ESTÁTICA

Quando o material adotado na confecção da estrutura apresenta comportamento

linear elástico, podemos dizer que o mesmo segue a lei de Hooke, a qual leva em

consideração fatores como tensão, deformação e o módulo de elasticidade longitudinal do

material (módulo de Young), podendo ser descrita através da seguinte relação.

3.1

Onde:

= deformação longitudinal do material, (m/m);

= módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young), (GPa);

= tensão (N/m²);

Observando os coeficientes que representam a tensão e a deformação do material

podemos reescrevê-los da seguinte maneira.

⁄ 3.2

Onde:

F = Força (N);

A = área da seção (m²);

23

⁄ ⁄ 3.3

Onde:

u = deformação (deslocamento nodal) do material (m);

L = comprimento inicial (m);

Substituindo-se 3.2 e 3.3 em 3.1, obtemos a seguinte relação.

⁄

⁄ (Lei de Hooke generalizada)

3.4

Com a reorganização dos termos a força aplicada ao material pode ser expressa em

função do deslocamento nodal que o material sofreu, a relação (EA/L) é denominada como

sendo o coeficiente de rigidez do material que é representado por K, a representação final da

expressão 3.5.

3.5

A partir dessa relação considerando as devidas condições de contorno adotadas no

modelo físico/matemático adotado. Para a análise de estruturas como barras simples a

representação da expressão encontrada é feita em sua forma matricial, configurando um

sistema linear de equações representado em sua forma genérica:

[ ] 3.6

Onde:

= vetor das forças nodais aplicadas na estrutura;

[ ] = matriz de rigidez da estrutura;

= vetor deslocamentos (translações e rotações);

Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura isostática ou

hiperestática. A estrutura é modificada introduzindo-se fixações de forma a torná-la

cinematicamente determinada (sistema principal). O sistema de equações que resolve o

problema é constituído por equações de equilíbrio de forças em torno destas fixações. As

incógnitas são os respectivos deslocamentos (rotações e/ou translações). No caso de estruturas

24

reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os

deslocamentos possíveis dos nós (denominados graus de liberdade). O número de equações é

igual ao grau de indeterminação da estrutura, ou seja, é igual ao número de graus de liberdade

da estrutura.

3.5 MATRIZ DE RIGIDEZ PARA UM ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO

Um elemento de pórtico plano é uma combinação de um elemento de treliça

(contribuição axial) e um elemento de viga (flexão) representado por uma barra que possui

um nó em cada uma de suas extremidades. Cada um dos nós de um elemento de pórtico plano

apresenta três graus de liberdade, uma translação vertical, uma translação horizontal e uma

rotação como visto na Figura 3.3. A matriz de rigidez do elemento será referenciada à um

sistema de coordenadas locais, onde o eixo “XL” que coincide com o eixo do elemento, o

eixo “YL” é perpendicular à “XL” e o eixo “ZL” é perpendicular ao plano formado por “XL” e

“YL”.

Figura 3.3 – Elemento de pórtico finito com seis graus de liberdade (duas translações e uma

rotação por nó).


Sistema local é definido pela incidência do elemento: eixo XL de J para K.

Vetor de deslocamentos no sistema local: [uL](6x1)

Ações devido aos deslocamentos nodais: {FL} = [KL].{uL}

25

3.6 CÁLCULO DOS COEFICIENTES DA MATRIZ DE RIGIDEZ

Considerando uma barra engastada nas duas extremidades que apresenta um

comportamento semelhante ao de um elemento de pórtico com possuindo três graus de

liberdade por nó, inicialmente vamos determinar as equações que regem os deslocamentos em

uma das extremidades do elemento. Para tanto se deve considerar a extremidade em questão

não restringida e a partir daí, com auxílio do método da carga unitária serão definidas as

equações.

Figura 3.4 – Barra bi engastada, semelhante a um elemento de pórtico plano (6 graus de

liberdade).


Liberando os deslocamentos do nó J, cujos graus de liberdade são “uL1, uL2, e uL3”,

tem-se:

Figura 3.5 – Barra bi engastada, com extremidade livre.


Aplicando-se cargas unitárias nas direções agora liberadas tem-se os seguintes

diagramas de momentos fletores (DMF’s) e diagramas de esforços normais (DEN’s):

26

Figura 3.6 – Diagrames dos esforços internos de uma barra engastada sujeita ao carregamento

de uma força unitária na direção de cada grau de liberdade.


Comparando-se os diagramas (Figura 3.6) obtém-se:

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

27

Como não existe carregamento externo na estrutura, os termos δ10, δ20 e δ30 são

nulos, ficando o sistema da seguinte forma:

{

3.13

Expandindo-se o sistema de equações 3.13, temos a seguinte relação 3.14:

{

3.14

Lembrando que um coeficiente de rigidez é na verdade uma força que aplicada na

direção de um grau de liberdade causa uma deformação unitária nesta direção, mantidas todas

as demais fixas. Assim, basta impor uma deformação unitária em cada uma das equações

acima mantendo as outras duas nulas e serão obtidos alguns dos coeficientes de rigidez do

elemento (a condição de deformações nulas nas direções uL4, uL5 e uL6 é assegurada pelo

engaste).

Impondo uL1 = 1; uL2 = 0 e uL3 = 0; obtém-se: S1= EA/L; S2 = 0; S3 = 0

Estes coeficientes são devidos à imposição de um deslocamento unitário na direção

uL1, portanto pode-se escrever em lugar de S1, S11, em lugar de S2, S21 e em lugar de S3, S31.

Impondo uL1= 0; uL2 = 1 e uL3 = 0; obtém-se: S1= 0; S2= 12EI/L3; S3= 6EI/L2

Ou, de forma análoga, S12 = 0; S22= 12EI/L3; S32= 6EI/L2, pois estes coeficientes são

devidos à um deslocamento unitário na direção uL2.

Impondo uL1 = 0; uL2 = 0 e uL3 = 1; obtém-se: S1 = 0; S2 = 6EI/L2; S3 = 4EI/L

Ou: S13 = 0; S23= 6EI/L2; S33= 4EI/L, pois estes coeficientes são devidos à um

deslocamento unitário na direção uL3.

28

Assim ficam determinados todos os coeficientes chamados SJJ, ou seja, os coeficientes

que surgem no nó J (esforços) devido à imposição de deformações unitárias neste mesmo nó.

Resta agora determinar os coeficientes que surgem no nó K devido à imposição de

deformações unitárias no nó J, ou SKJ, os coeficientes que surgem no nó K devido à imposição

de deformações unitárias no nó K, ou SKK, e os coeficientes que surgem no nó J devido à

imposição de deformações unitárias no nó K, ou SJK.

Outra observação que se faz é com relação à simetria dos coeficientes, S23= S32. Esta é

uma característica das matrizes de rigidez em geral, elas são simétricas, portanto pode-se dizer

que SJK= SKJ. Com estas observações pode-se prosseguir na determinação dos demais

coeficientes de rigidez, da seguinte maneira: inicialmente, por equilíbrio do elemento serão

determinados os coeficientes SJK, na sequência, por simetria serão determinados os

coeficientes SKJ e por fim, novamente por equilíbrio serão determinados os coeficientes SKK.

Figura 3.7 – Deslocamentos da estrutura em função da aplicação de uma carga unitária.


29

Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKJ à partir de SJJ: (mais 09 coeficientes):

Tabela 3.1 – Coeficientes SKJ à partir de SJJ.

SL4J SL5J SL6J

SL41 = -SL11

SL42 = 0

SL43 = 0

SL51 = 0

SL52 = -SL22

SL53 = -SL23

SL61 = 0

SL62 = -SL32 + SL22*L

SL63 = -SL33 + SL23*L


Por simetria encontram-se os coeficientes SJK= SKJ: (mais 09 coeficientes):

Tabela 3.2 – Coeficientes SJK= SKJ.

SL1K SL2K SL3K

SL14 = -SL41

SL15 = SL51

SL16 = SL61

SL24 = SL42

SL25 = SL52

SL26 = SL62

SL34 = SL43

SL35 = SL53

SL36 = SL63


Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKK à partir de SJK: (mais 09 coeficientes):

Tabela 3.3 – Coeficientes SKK à partir de SJK.

SL4K SL5K SL6K

SL44 = -SL44

SL45 = 0

SL46 = 0

SL54 = 0

SL55 = -SL25

SL56 = -SL26

SL64 = 0

SL65 = -SL35 + SL25*L

SL66 = -SL36 + SL26*L


Assim, fica determinada a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano:

[

]

3.15

30

Para este elemento pode-se agora definir uma relação entre ações (forças nodais) e

deslocamentos:

[ ]

Onde:

= vetor das forças nodais aplicadas no elemento;

[ ] = matriz de rigidez local;

= vetor deslocamentos nodais do elemento (translações e rotações);

Apesar de deduzido para o sistema de coordenadas locais, esta expressão é geral,

portanto válida também para o sistema de coordenadas globais assim como para outros

elementos.

3.7 MATRIZ DE ROTAÇÃO

Nas estruturas em geral os elementos constituintes não possuem uma mesma

inclinação (vigas e pilares, por exemplo) o que faz com que o sistema local de um não

coincida com o sistema local de outro, sendo então necessário rescrever as matrizes de rigidez

dos elementos em função de um único sistema de coordenadas, o global. Isto será feito com

auxílio de uma matriz chamada matriz de rotação, que será deduzida a seguir, para um

elemento de pórtico plano. Seja, portanto, um elemento de pórtico plano, cujos nós temos,

conforme já citado, três graus de liberdade. (Figura 3.8).

Figura 3.8 – Representação dos graus de liberdade em uma barra nos sistema local e no

sistema global.


31

Onde:

θ - Ângulo do eixo global para o eixo local, positivo no sentido anti-horário;

{uL} - Vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local e

{uG} - Vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema global.

Decompondo [uG]na direção[uL], temos que:

Para o nó J

Para o nó K

Reorganizando as equações de forma matricial temos 3.16:

[

]

[

]

[

]

3.16

Ou em sua forma condensada:

[ ] 3.17

Onde [R] é a matriz de rotação do elemento do sistema global para o sistema local, é

possível observar que para se obter o sistema global a partir de um sistema local temos que:

[ ] 3.18

32

Sabendo que [R] é uma matriz ortogonal

[ ] [ ] 3.19

Logo:

[ ] 3.20

O mesmo resultado pode ser obtido com a utilização da matriz de rotação inversa ou

transposta, poderá ser obtido com a simples utilização da matriz de rotação, desde que se

considere o ângulo com sinal negativo (-θ).

3.8 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL PARA PÓRTICOS PLANOS

Para a definição da matriz de rigidez global de uma estrutura do tipo pórtico plano,

faz-se o uso de um processo denominado redistribuição ordenada das matrizes locais, ou seja,

todas as matrizes de rigidez locais dos elementos são combinadas de tal forma a representar o

modelo matricial da estrutura, levando em consideração a conectividade dos nós da estrutura

o que gera no sistema global uma superposição das matrizes de rigidez local para descrever o

comportamento físico de um ponto nodal, onde, considerando um sistema plano XY cada nó

que une duas barras compartilham 3(três) graus de liberdade sendo uma translação horizontal

X, uma translação vertical em Y e uma rotação no nó.

Conforme a o tamanho da estrutura pode-se obter a dimensão da matriz de rigidez

que dependerá apenas do número de elementos da estrutura, a seguir é apresentado de forma

simples como ocorre o processo de montagem da matriz de rigidez global da estrutura.

3.9 MONTAGEM DO SISTEMA GLOBAL DE EQUAÇÕES

A matriz de rigidez do sistema global da estrutura é formada a partir nas matrizes de

rigidez do sistema local sendo resultado de um processo ordenado de soma dessas matrizes ,

durante esse processo o programa realiza a soma das contribuições de cada elemento, ou seja,

cada matriz de cada elemento é combinada em uma só matriz para que seja realizada a análise

33

da estrutura em relação ao seu sistema global de coordenadas. A matriz de rigidez global

apresenta-se não mais como uma matriz simétrica como era o caso das matrizes locais, isso se

deve a combinação das matrizes que realizado utilizando-se o principio da superposição de

efeitos para representar numericamente o que seria a ação de um nó na estrutura quando

interliga duas ou mais barras, na Figura 3.9 a forma como as matrizes locais são combinadas é

representadas para um pórtico plano bi apoiado.

Figura 3.9 – Pórtico bi apoiado com três elementos.


Figura 3.10 – Matrizes de rigidez no sistema local.


34

Figura 3.11 – Matriz de rigidez global (12x12) para um pórtico bi apoiado (3 elementos, 2 nós

livres e 2 nós restringidos) com a representação matricial do efeito dos nós na estrutura.


A matriz de rigidez de uma estrutura descreve o comportamento matemático do

modelo analisado em termos de flexão e esforços normais, a composição da matriz de rigidez

global para qualquer tipo de estrutura é formada como visto anteriormente sempre

considerando a ação dos nós na estrutura. Através de manipulações realizadas diretamente na

matriz global, é possível inserir algumas condições de contorno ao problema proposto que

representam a presença de apoios (simples, duplos e engastes). Esse procedimento é

conhecido como prescrição da matriz de rigidez global e pode ser realizado através de uma

operação matricial simples, onde, quando uma condição de apoio já conhecida pode ser

inserida antes do início do processamento da estrutura.

Segundo Soriano (2005), desde que sejam prescritos deslocamentos em número

suficiente para impedir os deslocamentos do corpo rígido da estrutura e esta não tenha

mecanismo internos, a matriz de rigidez fica não singular, permitindo a resolução do sistema

de equações, com a obtenção do vetor de deslocamentos nodais. Neste vetor incluem-se os

deslocamentos livres inicialmente desconhecidos e os deslocamentos prescritos que são

conhecidos a priori e que são especificados na modificação do sistema.

A alteração matricial realizada é simula a presença de reações nas direções (X, Y e Z)

que pode ser descritas em forma de uma matriz linha aplicada a uma determinada coordenada

35

pra que o deslocamento da mesma seja restrito, para a composição da matriz de restrição de

coordenada utiliza-se a seguinte notação.

Direção livre – Índice (1);

Direção restrita – Índice (0);

A restrição de uma direção no plano (X ou Y) descreve a presença de um apoio simples,

restrição de duas direções no plano (X e Y) descreve a presença de uma apoio duplo e a

restrição de movimento nas três direções (X, Y e Z) representa a presença de um engaste,

sendo que a entrada é realizada da seguinte forma:

Apoio simples – restrição em X [ 1 0 0 ];

Apoio duplo – restrição em X e Y [ 1 1 0 ];

Engaste – restrições em X,Y e Z [ 1 1 1 ];

A entrada da matriz de restrições no PMEF_BETA é realizada inicialmente com a

descrição da quantidade de nós restringidos na primeira linha do arquivo (.txt), e em seguida é

montada a matriz de restrição informando sempre o nó restrito e o tipo de restrição nodal, esse

procedimento será descrito posteriormente.

36

3.10 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

A implementação computacional do PMEF_BETA (Pórticos – Método dos

Elementos Finitos – VERSÃO BETA) envolveu a utilização de conceitos básicos e avançados

de programação e os exemplos de implementação de algoritmos para análise de estruturas de

Soriano(2005), o código funciona basicamente sob a influência de laços (loops) de repetição

do tipo (for/end) que tem a função principal de executar o mesmo procedimento até um limite

definido no programa, no caso do PMEF_BETA os primeiros laços utilizados tem o objetivo

de montar todos os sistemas de elementos finitos referente a cada elemento definindo a sua

matriz de rigidez local e o seu vetor carregamentos de acordo com as condições previamente

especificadas como cargas nodais e apoios, e novamente com o auxílio dos laços do tipo

(for/end) todos os sistemas locais que foram montados e armazenados são reunidos para a

montagem do sistema global (matriz de rigidez global da estrutura e o vetor carregamentos

nodais da estrutura) com base nesses dois parâmetros é possível definir o vetor deslocamentos

da estrutura e a partir dos resultados obtidos calcular informações adicionais como reações de

apoio e esforços internos da estrutura em estudo.

Através do PMEF_BETA é possível também obter a visualização da estrutura em

estudo, antes e depois do processamento, em termos de respostas gráficas o aplicativo fornece

as seguintes informações:

Estrutura em estudo com a rotulação de nós e elementos;

Estrutura com a rotulação das reações de apoio e os esforços normais de cada

elemento da estrutura e por fim apresenta uma;

Idealização da estrutura deslocada que depende de um fator de escala definido pelo

usuário;

Na Figura 3.9, é descrito o funcionamento do PMEF_BETA, onde, é mostrado o

funcionamento básico do programa desenvolvido relacionando as principais etapas do

processamento dos dados, que é realizada basicamente por laços de repetição e processamento

para a obtenção de uma resposta gráfica que é realizado através a interpretação gráfica dos

resultados numéricos obtidos em cada laço. No Matlab®

esse tipo de resposta é obtida através

do comando (figure), que possibilita a plotagem de gráficos e ou a interpretação de resultados

numéricos obtidos em forma de malha que é o caso do PMEF_BETA.

37

Figura 3.12 – Fluxograma do PMEF_BETA.


38

4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO E RESULTADOS NUMÉRICOS

4.1 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PMEF_BETA

Com a utilização adequada do PMEF_BETA foi possível obter-se resultados

satisfatórios quando comparados a outros aplicativos já reconhecidos como o FTOOLS®. Para

ilustrar os resultados obtidos foi realizada uma comparação sistemática dos resultados obtidos

com aplicativo desenvolvido com os resultados do FTOOLS®, lembrando que com a entrada

correta de dados é possível analisar estaticamente pórticos planos em termos de

deslocamentos, reações de apoio e esforços normais.

Para exemplificar a utilização do PMEF_BETA, foram desenvolvidas duas situações

onde, no primeiro exemplo a estrutura estudada é um pórtico formado por dois pilares e uma

viga inclinada, situação comum em arquibancadas de estádios e a segunda situação simula um

sistema de pórticos hiperestáticos comumente utilizados em edificações de pequeno porte, no

caso testado simula uma edificação que dispõe de um primeiro piso (andar).

4.1.1 EXEMPLO 01 - PÓRTICO COM VIGA INCLINADA

Pórticos planos bastante utilizados na concepção de projetos estruturais e a sua

aplicabilidade se deve a sua versatilidade no que diz respeito a sua instalação em um arranjo

estrutural e ao suporte de carga que oferece, pode ser aplicados a diversos tipos de estruturas

como e com as mais variadas geometrias.

Para exemplificar o uso do PMEF_BETA na análise desse tipo de estrutura, o arranjo

proposto é composto por três pilares engastados com alturas diferentes e uma viga inclinada

apoiada sobre os pilares, esse tipo de arranjo estrutural é adotado no projeto de arquibancadas

(teatros e estádios) e em estruturas especiais que se faça necessário o seu uso, lembrando que

com a estrutura é hiperestática, o que impossibilita a utilização das equações de equilíbrio

usuais para se estudar tal estrutura.

Para que a análise via elementos finitos seja realizada através do PMEF_BETA é

necessário que seja realizada uma pré-análise da estrutura a ser estudada, ou seja, são

definidas previamente algumas propriedades da estrutura que são as seguintes: número de

elementos (barras), número de nós, coordenadas nodais, conectividade dos nós, área da seção

39

transversal (m²), momento de inércia da seção (m4), módulo de elasticidade (MPa), as

condições de apoio e por fim as forças nodais (forças aplicadas em cada nó), todos esses

dados são fornecidos ao programa através de um arquivo de texto com a extensão (.txt) como

mostrado na Figura 4.1, a entrada de dados através de um arquivo externo tem como objetivo

evitar que o usuário realize grandes alterações no código, sendo que a única alteração a ser

feita é informar o nome do arquivo de texto a ser lido pelo PMEF_BETA.

Figura 4.1 – Entrada de dados no PMEF_BETA através de um arquivo com a extensão (.txt).


Quando a leitura do arquivo externo, tomando o caso mostrado acima como exemplo,

o PMEF_BETA apresenta uma resposta gráfica de como é constituída a estrutura (Figura 4.2),

ou seja, fornece a idealização do arranjo estrutural analisado, além da representação da

estrutura são representados como os nós e os elementos cada um com a sua devida numeração

e posição na estrutura, lembrando que em se tratando de análise estrutural via elementos

finitos quanto maior for o número de elementos do modelo proposto mais precisa será a sua

resposta numérica.

40

No modelo adotado foram inseridos 12(doze) nós e 11(onze) elementos, sendo que em

relação aos nós 3(três) são nós restringidos (engastados) (1,7 e 12) e 9(nove) são nós

carregados (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 11), para melhor visualização a estrutura foi projetada no

FTOOLS que oferece uma melhor visualização do modelo estudado (Figura 4.3).

Figura 4.2 – Representação gráfica da estrutura no PMEF_BETA.


Figura 4.3 – Representação gráfica da estrutura no FTOOLS®.

Fonte: FTOOLS® (2013)

Os resultados obtidos no PMEF_BETA em relação aos deslocamentos nodais (Tabela

4.1), idealização dos deslocamentos (resposta gráfica) (Figura 4.4 e 4.5) e esforços normais

(Figura 4.6 e 4.7) foram comparados aos resultados da análise realizada com o FTOOLS® e se

mostraram muito próximos, comprovando a eficiência de processamento do PMEF_BETA.

41

Tabela 4.1 – Deslocamentos nodais principais da estrutura.

Nó PMEF_BETA FTOOLS

®

X(mm) Y(mm) Z(rad) X(mm) Y(mm) Z(rad)

1 0 0 0 0 0 0

2 0.0416 -0.0008 -0.0899 0,04161 -0,00075 -0,09006

6 0.0418 -0.0040 -0.0140 0,04183 -0,00395 -0,01403

7 0 0 0 0 0 0

11 0.0407 -0.0034 0.1159 0,04078 -0,00337 0,11610

12 0 0 0 0 0 0


Figura 4.4 – Idealização da estrutura deformada PMEF_BETA.


Figura 4.5 – Idealização da estrutura deformada FTOOLS®.


42

Figura 4.6 – Esforços normais na estrutura PMEF_BETA.


Figura 4.7 – Esforços normais na estrutura FTOOLS®.


O PMEF_BETA apresenta resultados em relação a esforços normais e reações de

apoio fornecendo também a idealização dos deslocamentos, considerando o modelo estudado,

o programa elaborado oferece vantagem sobre o cálculo manual, pois é possível analisar

realizar a análise de estruturas hiperestáticas e com qualquer arranjo estrutural incluindo

elementos com qualquer tipo de inclinação ou conexão que oferecem grande dificuldade

quando calculadas manualmente, dependendo apenas da entrada correta de dados. Outra

vantagem do aplicativo é a apresentação gráfica dos resultados que facilita a compreensão de

qualquer análise realizada.

43

4.1.2 EXEMPLO 02 - PÓTICOS COMPOSTOS

O exemplo a seguir simula um pórtico composto, que possui 14 elementos e 12 nós,

representado basicamente o arranjo estrutural de uma pequena edificação com um pavimento

superior. A aplicação de cargas na estrutura foi realizada apenas para fins de teste e

comparação dos resultados. A estrutura inicialmente foi plotada no PMEF_BETA como

mostrado na Figura 4.8 e 4.9, mas para melhor visualização foi projetada no FTOOLS®

que

oferece uma melhor apresentação gráfica, tornado possível à compreensão do problema. Em

seguida foram realizadas análises em termos de reações de apoio e esforços normais da

estrutura nos dois aplicativos PMEF_BETA e FTOOLS®

os resultados iniciais em termos de

deslocamento se mostraram muito próximos (Tabela 4.2). O que se deve ao sistema de

elementos que foi adotado para análise no PMEF_BETA, ou seja, a malha adotada apresenta

pilares e vigas como elementos finitos o que acarreta algumas divergências no resultado final

do processo, uma medida para evitar tais erros seria adotar um arranjo estrutural com o

máximo de elementos possíveis para reduzir o erro final do modelo estrutural proposto.

Tabela 4.2 – Deslocamentos nodais principais da estrutura.

Nó PMEF_BETA FTOOLS

®

X(mm) Y(mm) Z(rad) X(mm) Y(mm) Z(rad)

1 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0

5 2.0629 -0.0099 -0.5879 2.054 -0,0099 -0,5853

6 2.0566 -0.0136 -0.4120 2.048 -0,0136 -0,4102

7 2.0523 -0.0124 -0.4116 2.043 -0,0124 -0,4098

8 2.0499 -0.0161 -0.5854 2.041 -0,0161 -0,5828

9 3.8376 -0.0153 -0.2974 3.821 -0,0153 -0,2961

10 3.8304 -0.0203 -0.1984 3.813 -0,0203 -0,1975

11 3.8260 -0.0187 -0.1983 3.809 -0,0188 -0,1975

12 3.8246 -0.0237 -0.2981 3.808 -0,0237 -0,2967


44

Figura 4.8 – Plotagem inicial da estrutura em estudo com 14 elementos e 12 nós.


Figura 4.9 – Plotagem inicial da estrutura no FTOOLS®.


45

Com base na prescrição da matriz global através da matriz de restrições que define o

efeito dos apoios na estrutura no caso estudado engastes perfeitos e com os deslocamentos

obtidos para o sistema global são obtidos os esforços normais de cada elemento que compões

a estrutura. Comparando-se os resultados dos aplicativos é possível notar que são muito

próximos ou basicamente iguais quando arredondados os resultados do PMEF_BETA se

obtém exatamente os mesmos resultados do FTOOLS®. (Figura 4.10 e 4.11).

Figura 4.10 – Esforços normais da estrutura.


Figura 4.11 – Diagrama de esforços normais FTOOLS®


46

Ao fim da análise com base nos deslocamentos do sistema global apresenta-se a

idealização dos deslocamentos da estrutura no plano XY, novamente comparando os

resultados dos aplicativos é possível perceber a semelhança dos resultados, que podem variar

dependendo do fator de escala aplicado em ambos os aplicativos. (Figura 4.12 e 4.13).

Figura 4.12 – Idealização dos deslocamentos da estrutura com o PMEF_BETA, utilizando um

fator de escala 0,5.


Figura 4.13 – Idealização dos deslocamentos da estrutura com o FTOOLS®, utilizando um

fator de deformação de 150.


47

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho buscou oferecer uma contribuição ao estudo dos métodos numéricos na

engenharia civil, no meio acadêmico, ligados ao problema dos pórticos planos, e como

resultado final a produção de um aplicativo baseado no Matlab®, onde o usuário pode resolver

problemas relacionados a este tipo de estrutura. Quando comparado ao FTOOLS® em termos

de resultados, o PMEF_BETA mostrou-se uma ferramenta eficiente, e tem vantagem sobre o

cálculo analítico (manual) por fornecer soluções de forma rápida e o usuário tem como

resultado uma resposta gráfica do problema em estudo, podendo interpretar os resultados com

mais facilidade, outra vantagem do PMEF_BETA é fornecer soluções para problemas

complexos como pórticos hiperestáticos e sistemas de pórticos como mostrado nos exemplos

anteriores obtendo soluções confiáveis quando comparado a outros aplicativos.

A utilização do Matlab® permitiu implementar o código de maneira mais eficiente,

uma vez que o mesmo já possui bibliotecas pré-carregadas. Através de ferramentas de

programação é possível criar um arquivo externo que possa ser interpretado pelo código

desenvolvido o que reduz a possibilidade e a necessidade que o usuário possa ter de realizar

alterações diretas no código.

Devido a pouca disponibilidade de tempo não foi possível ir além ao

desenvolvimento do aplicativo, onde, em alguns pontos o mesmo ainda tem que ser

aperfeiçoado com a implementação de uma interface gráfica amigável que facilite a análise de

qualquer tipo de estrutura do tipo pórtico, melhorando a interação usuário/programa.

Futuramente com o desenvolvimento de sub-rotinas através do código criado será possível

realizar o estudo de qualquer estrutura plana (treliças, pórticos, pilares e vigas) fornecendo

mais uma ferramenta computacional para análise de estruturas planas a ser utilizada no âmbito

acadêmico da UFERSA.

48

REFERÊNCIAS

ASSAN, A.; Método dos elementos finitos: primeiros passos. 2ª ed. Campinas, SP:

Editora da Unicamp, 2003.

BEZERRA, E. M. F.; Desenvolvimento de uma ferramenta computacional para análise

de problemas estruturais relacionados a vigas de Bernoulli. Mossoró, Trabalho de

conclusão de curso (Bacharelado em Ciência e Tecnologia) – Universidade Federal Rural do

Semi-Árido, 2012.

CHAPMAN, S. J.; Programação em MATLAB para engenheiros. São Paulo, Thomson

Learning, 2003.

CLOUGH, R. W.; WILSON, E. L. “Early Finite Element Research at Berkely”, Present at

the Fifth U.S. National Conference on Computational Mechanics, 1999.

OLIVEIRA, J. I. F. Utilização do método dos elementos finitos para a resolução de

treliças planas. Mossoró, Trabalho de conclusão de curso (Bacharelado em Ciência e

Tecnologia) – Universidade Federal Rural do Semi-Árido, 2012.

SOBRINHO, A. S. C.; Introdução ao método dos elementos finitos, 1. Ed. Rio de Janeiro:

Ciência Moderna, 2006, 01p.

QUEIROZ, P. C. O.; Análise estática e dinâmica de estruturas reticuladas: ambiente de

simulação Java. Joao Pessoa, 2010. Dissertação (Mestrado em engenharia mecânica) –

Centro de Tecnologia, Universidade Federal da Paraíba.

SILVA, S.; Introdução ao método dos elementos finitos - notas de aula, Apostila,

Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Foz do Iguaçu, 2009, 108p.

SORIANO, H. L.; Análise de estruturas - Formulação matricial e implementação

computacional, Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2005, 7, 9, 72, 84p

49

ANEXO A – ENTRADA DE DADOS NO PMEF_BETA.

Para que seja realizada a análise de qualquer estrutura do tipo pórtico plano através

do PMEF_BETA em sua versão inicial é necessário que sejam fornecidas informações ao

programa. Na elaboração do programa optou-se por uma entrada de dados externa, ou seja, o

usuário ao invés de realizar alterações diretamente no código fornecerá um arquivo de texto

com a extensão (.txt) contendo todas as informações necessárias para o processamento e

análise da estrutura proposta. Para a montagem do arquivo de texto o usuário deve seguir

alguns passos principais que compreendem a uma linha (primeira linha) e quatro matrizes

baseadas nas informações da primeira linha, contendo as seguintes informações:

Na primeira linha as informações fornecidas separadas apenas por um espaço

simples.

Nº de nós;

Nº de elementos;

Nº de nós restringidos;

Nº de nós carregados.

O tamanho das matrizes a serem inseridas em seguida dependerá dos paramentos

definidos na primeira linha, ou seja, caso sejam fornecidos 12(doze) nós, a matriz de

conectividade deverá possuir 12(doze) linhas contendo as coordenadas nodais. No caso do

numero de elementos se o usuário informar 11(onze) elementos a matriz dos elementos deverá

possuir 11 linhas contendo todas as informações relativas aos elementos (conectividade, área

da seção transversal do elemento, momento de inércia da seção transversal e o medulo de

elasticidade longitudinal) contendo cada informação colocada em colunas diferentes como

mostrado na Figura 7.1.

As duas ultimas matrizes são relativas a matriz de restrição da estrutura e a matriz das

forças aplicadas aos nós. A matriz de restrições é elaborada de acordo com o número de nós

restringidos informados na primeira linha do arquivo, ou seja, quando a estrutura em questão

apresentar 3(três) apoios o usuário deverá informar na primeira linha a quantidade de nós

restringidos, e cada tipo de apoio seguindo a técnica (0 e 1), ou seja, para cada deslocamento

restrito seja ele um deslocamento (horizontal ou vertical) ou uma rotação (momento) quando

os mesmos são restringidos são representado como índice 1 e quando livres são representados

com o índice zero, a seguir os três tipos de apoios são representados:

50

Apoio simples – restrição em X [ 1 0 0 ];

Apoio duplo – restrição em X e Y [ 1 1 0 ];

Engaste – restrições em X,Y e Z [ 1 1 1 ];

A matriz das forças é composta por linhas contendo três colunas, onde, na primeira

coluna é informado o nó carregado, e nas três seguintes é informado o eixo em que esse

carregamento é aplicado, ou seja, o carregamento pode ser aplicado como uma força nodal no

plano XY ou como um momento no eixo Z, bastando apenas informar a magnitude. A

quantidade de linhas dessa ultima matriz é definida de acordo com o que o usuário especificar

na primeira linha, sendo que em caso de divergência das informações o programa não

executará o processamento do arquivo.

As unidades padrão de trabalho do PMEF_BETA são definidas de acordo com o

Sistema Internacional (SI), sendo: Comprimento das barras (m), Área da seção transversal

(m²), Momento de inércia da seção (m4), Módulo de elasticidade longitudinal (MPa), Forças

aplicadas (KN) e Momentos fletores (KN.m).

Figura 0.1 – Exemplo de entrada de dados no PMEF_BETA.

Fonte: Autoria própria. (2013)

51

ANEXO B – PMEF_BETA, CÓDIGO EM MATLAB®.

A seguir as rotinas utilizadas para a composição do PMEF_BETA é apresentada com

sua implementação em linguagem MATLAB. Observando a forma como o arquivo de texto é

chamado no programa, bastando apenas substituir NOME DO ARQUIVO.txt pelo nome do

arquivo criado referente à estrutura e que o arquivo esteja no mesmo diretório do código do

PMEF_BETA.

% UNUVERSIDADE FEDRAL RURAL DO SEMIÁRIDO % CAMPUS MOSSORÓ % DEPARTAMENTOS DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS % BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA % TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO % ALUNO: OLÍVIO ASSIS DE OLIVEIRA % ORIENTADOR: RAIMUNDO AMORIM - DCAT % FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE ESTATICA DE PÓRTICOS PLANOS

UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

clear; fprintf('%s\n','ANÁLISE ESTATICA DE PÓRTICOS PLANOS UTILIZANDO O MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS'); % Leitura de Dados fprintf('%s\n','Leitura dos dados...'); % Informa o nome o arquivo portico.txt

fid = fopen(NOME DO ARQUIVO.txt','rt');

% Lê a primeira linha do arquivo dados = fscanf(fid,'%d',[4]); % Obtenção do número de nós: nnos=dados(1); % Cálculo no número de graus de liberdade: ngl=nnos*3; % Obtenção do número de elementos: nelm=dados(2); % Obtenção do número de nós restringidos: nnr=dados(3); % Obtenção do número de nós carregados: nnc=dados(4); coord = fscanf(fid,'%10e',[2,nnos]); % Definição das coordenadas x dos nós: x(i)=abcissa do nó i x=coord(1,:); % Definição das coordenadas y dos nós: y(i)=ordenada do nó i y=coord(2,:); prop = fscanf(fid,'%10e',[5,nelm]); % Definição do vetor nó1: no1(i)=1º nó que define o elemento i no1=prop(1,:); % Definição do vetor nó2: no2(i)=2º nó que define o elemento i no2=prop(2,:); % Definição do vetor área: area(i)=área do elemento i area=prop(3,:); % Definição do vetor mom inércia mom=prop(4,:);

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% Definição do vetor módulo de elasticidade: mod(i)=mód. elast. do

elemento i mod=prop(5,:); restr = fscanf(fid,'%10e',[4,nnr]); % Definição do vetor restrições IC: % se IC(i)=0 o GL i é livre; se IC(i)=1 o GL i está restringido IC(nnos*3)=0; for i=1:nnr, nn=restr(1,i); IC((nn-1)*3+1)=restr(2,i); IC((nn-1)*3+2)=restr(3,i); IC((nn-1)*3+3)=restr(4,i); end forcas = fscanf(fid,'%10e',[4,nnc]); % Definição do vetor de forças globais F: F(ngl)=0.0; for i=1:nnc, n=forcas(1,i); F((n-1)*3+1)=forcas(2,i); F((n-1)*3+2)=forcas(3,i); F((n-1)*3+3)=forcas(4,i); end

% fecha o arquivo de dados: st = fclose(fid);

% Plota a estrutura (configuração inicial) fprintf('%s\n','Desenhando a estrutura...'); figure(1); clf; for i=1:nelm, line([x(no1(i)) x(no2(i))],[y(no1(i)) y(no2(i))]); end axis equal; axis off; title('Estrutura em Estudo'); for i=1:nelm, text((x(no1(i))+x(no2(i)))/2,(y(no1(i))+y(no2(i)))/2,num2str(i)); end for i=1:nnos, texto=text(x(i),y(i),num2str(i)); set(texto,'Color','red') end

% Calcula a matriz de rigidez global pelo processo da rigidez direta fprintf('%s\n','Calculando a Matriz de Rigidez Global...'); Kg(ngl,ngl)=0.0; Kg(:,:)=0.0; % Início do Loop for nel=1:nelm, kk(1)=no1(nel); kk(2)=no2(nel); % Cálculo da matriz de rotação dx=x(kk(2))-x(kk(1)); dy=y(kk(2))-y(kk(1)); % Cálculo do comprimento do elemento L=sqrt(dx^2+dy^2); % Cálculo dos cossenos diretores cx=dx/L; cy=dy/L;

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% Definição da Matriz de Rotação R=[ cx cy 0 0 0 0; -cy cx 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cx cy 0; 0 0 0 -cy cx 0; 0 0 0 0 0 1]; % Definição da Matriz de Rigidez do elemento de pórtico Ke E=mod(nel); A=area(nel); I=mom(nel); Ke=[E*A/L 0 0 -E*A/L 0 0; 0 12*E*I/L^3 6*E*I/L^2 0 -12*E*I/L^3 6*E*I/L^2; 0 6*E*I/L^2 4*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 2*E*I/L; -E*A/L 0 0 E*A/L 0 0; 0 -12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2 0 12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2; 0 6*E*I/L^2 2*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 4*E*I/L]; % Cálculo da Matriz rotacionada RKeR=R'*Ke*R;

% Acumula na matriz de rigidez global Kg for i=1:2, % Cálculo do número de GLs existentes antes dos GLs relativos ao iºnó m=3*(kk(i)-1); for j=1:2, % Cálculo do número de GLs existentes antes dos GLs relativos ao

iºnó n=3*(kk(j)-1); k1=0; for k=3*i-2:3*i, % GL global k1 referente à coor local k k1=k1+1; l1=0; for l=3*j-2:3*j, % GL global l1 referente à coor local l l1=l1+1; Kg(m+k1,n+l1)=Kg(m+k1,n+l1)+RKeR(k,l); end end end end

% Fim do Loop de montagem da matriz de rigidez global end Kgl=Kg % Imposição das restrições de apoio na matriz de rigidez global fprintf('%s\n','Impondo-se as restrições de apoio...'); for n=1:nnos, for j=1:3, i=3*(n-1)+j; if (IC(i)==1) F(i)=0.0; % Zerando linhas e colunas dos GLs restritos Kg(:,i)=0.0; Kg(i,:)=0.0; Kg(i,i)=1.0; end end end

% Resolução da Equação de Equilíbrio:

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U(ngl)=0.0; U=inv(Kg)*F'

% Atualizar Geometria

x1(nnos)=0.0; y1(nnos)=0.0; for i=1:nnos, x1(i)=x(i)+U(3*i-2); y1(i)=y(i)+U(3*i-1); end

% Plota a estrutura deformada xd(nnos)=0.0; yd(nnos)=0.0; escala=input('Digite a escala a ser utilizada(100):'); if (isempty(escala)==1) escala=100; end for i=1:nnos, xd(i)=x(i)+escala*U(3*i-2); yd(i)=y(i)+escala*U(3*i-1); end fprintf('%s\n','Desenhando a estrutura deformada...'); figure(2); clf; for i=1:nelm, linha=line([x(no1(i)) x(no2(i))],[y(no1(i)) y(no2(i))]); set(linha,'Color','blue') set(linha,'LineStyle','--') linha=line([xd(no1(i)) xd(no2(i))],[yd(no1(i)) yd(no2(i))]); set(linha,'Color','red') end axis equal; axis off; title('Estrutura Deformada');

% Obtenção dos esforços % Def. vetor esforços segundo as coordenadas globais, por elemento Sg(6)=0.0; Sg(:)=0.0; Sgl(nel,6)=0.0; % Def. vetor esforços por elementos, segundo suas coord. locais Sl(nelm,6)=0.0; Sl(:,:)=0.0; % Def. vetor reações reac(ngl)=0.0; reac(:)=0.0; % Início do Loop for nel=1:nelm, kk(1)=no1(nel); kk(2)=no2(nel); % Cálculo da matriz de rotação dx=x(kk(2))-x(kk(1)); dy=y(kk(2))-y(kk(1)); % Cálculo do comprimento do elemento L=sqrt(dx^2+dy^2); % Cálculo dos cossenos diretores cx=dx/L;

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cy=dy/L; % Definição da Matriz de Rotação R=[ cx cy 0 0 0 0; -cy cx 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cx cy 0; 0 0 0 -cy cx 0; 0 0 0 0 0 1]; % Definição da Matriz de Rigidez do elemento de treliça Ke E=mod(nel); A=area(nel); I=mom(nel); Kl=[E*A/L 0 0 -E*A/L 0 0; 0 12*E*I/L^3 6*E*I/L^2 0 -12*E*I/L^3 6*E*I/L^2; 0 6*E*I/L^2 4*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 2*E*I/L; -E*A/L 0 0 E*A/L 0 0; 0 -12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2 0 12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2; 0 6*E*I/L^2 2*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 4*E*I/L]; % Cálculo do vetor dos delocamentos locais segundo as coordenadas

globais ug ug(6)=0.0; ug(:)=0.0; for m=1:2, k=3*(kk(m)-1); l=0; for n=3*m-2:3*m, l=l+1; ug(n)=U(k+l); end end % Cálculo do vetor dos delocamentos locais segundo as coordenadas locais

ul ul=R*ug'; % Cálculo dos esforços segundo as coordenadas locais ul Sl(nel,:)=(Kl*ul)'; % Cálculo dos esforços segundo as coordenadas globais Sg(:)=0.0; Sg=(R'*Sl(nel,:)')'; Sgl(nel,:)=Sg; % Cálculo das reações de apoio for i=1:2, for j=1:3, if (IC(3*(kk(i)-1)+j)~=0) % Cálculo da coord global m m=3*(kk(i)-1)+j; n=3*(i-1)+j; % Cálculo das reações de apoio reac(m)=reac(m)+Sg(n)'; end end end end

% Plota o Diagrama de esforços normais e reações de apoio fprintf('%s\n','Desenhando o DEN...'); figure(3); clf; % Desenha os esforços normais for i=1:nelm, linha=line([x(no1(i)) x(no2(i))],[y(no1(i)) y(no2(i))]); set(linha,'Color','blue')

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texto=text((x(no1(i))+x(no2(i)))/2,(y(no1(i))+y(no2(i)))/2,num2str(-

Sl(i,1),4)); set(texto,'Color','red') end % Desenha reações de apoio for i=1:nnr, nn=restr(1,i); valor=strcat('(Rx: ',num2str(reac((nn-1)*3+1),3),', Ry:

',num2str(reac((nn-1)*3+2),3),', Rz: ',num2str(reac((nn-1)*3+3),3),')'); texto=text(x(nn),y(nn),valor); set(texto,'Color','b') end axis equal; axis off; title('Esforços Normais e Reações de Apoio'); % Plota o Diagrama de esforços normais e reações de apoio

universidade federal rural do semiÁrido … - bct/2014-1... · por sua paciência e carinho que...

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