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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

CAMPUS ANGICOS

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS, TECNOLÓGICAS E

HUMANAS – DCETH

CURSO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

FRANCISCO GOUVEIA MUNIZ NETO

PRPOBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM: ESTUDO

COMPARATIVO ENTRE SOLUÇÕES EXTAS E SOLUÇÕES NUMÉRICAS

OBTIDAS PELO MÉTODO DE EULER

ANGICOS – RN

2013

FRANCISCO GOUVEIA MUNIZ NETO

PRPOBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM: ESTUDO

COMPARATIVO ENTRE SOLUÇÕES EXTAS E SOLUÇÕES NUMÉRICAS

OBTIDAS PELO MÉTODO DE EULER

Monografia apresentada à Universidade

Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA),

Campus Angicos, como exigência final para

obtenção do título de Bacharel em Ciência e

Tecnologia.

Orientadora: Prof.ª Ma. Ana Cristina Girão e

Silva – UFERSA.

ANGICOS - RN

2013

Ao meu eterno e querido pai Vonúvio Gouveia Praxedes (in memoriam).

Aos meus avós Dalvanir Praxedes e

Francisco Gouveia Muniz.

DEDICO

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, nosso Arquiteto do Universo, pela vida e pelo

conhecimento.

Agradeço aos meus avós Dalvanir Praxedes e Francisco Gouveia Muniz pelo carinho,

educação, paciência e por ter sempre acreditado em mim. Ao meu eterno pai que hoje se

encontra ao lado de nosso Pai Celestial Vonúvio Gouveia Praxedes pelo amor e inspiração.

Aos meus irmãos Vonúvio Júnior, Atroari Praxedes, Iury Gouveia e Laryssa Gouveia.

A minha prima Josiany Praxedes pelo carinho, amizade, ajuda e por ter se tornado uma

pessoa muito especial pra mim.

A toda família Gouveia e Praxedes, tios, tias, primos e primas pelo apoio em minha vida

acadêmica.

A todos meus amigos de Caraúbas em especial Francélio Bezerra, Héber Jeokais, Marinaldo

Duarte, Elane Cosme, Renan Fernandes, Fagner Brito, David Édson, a família Bezerra, aos

Chegados, a galera da Santa Rita, da estação pela grande amizade, ao azeitona’s bar pelas

risadas e alegrias.

À Larissa Micheli Araújo Carneiro por ter passado mais da metade do curso ao meu lado,

pelo carinho, afeto e amizade.

À Universidade Federal Rural do Semi-Árido pelo conhecimento e aprendizado.

A todos os amigos que eu conquistei no curso em especial Lucas Mendes, Fernando

Henrique, Paulo Henrique, Cezar Ramos, Miquéias Pedro, aos gambias Thallis Thauan e

Franklin Dantas, Filipi Carlos, Viviane Cavalcante, Ítalo Menezes, Ericson Ferreira, João

Emanuel, David Édson, Allan Stéfano.

Agradeço a família Maçônica.

Em especial à minha orientadora Ana Cristina Girão e Silva pela paciência, dedicação e

amizade.

Aos professores Núbia Alves pelo carinho.

Agradeço a banca examinadora composta por Enai Taveira da Cunha e Ivan Mezzono pela

atenção e disponibilidade.

À banda Linkin Park pelo incentivo e inspiração.

A Son Goku por ter salvado a terra.

“Bazinga!”

(Sheldon Cooper)

RESUMO

O estudo das equações diferenciais tem sua importância garantida por possibilitarem a

geração de modelos de diversos fenômenos estudados em diferentes áreas do conhecimento,

tais como: Matemática, Física, Química, Biologia, Engenharia entre outras. Existem diversos

métodos numéricos para resolução de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, com o

avanço computacional e a crescente necessidade de se obter soluções de problemas cada vez

mais complexos originaram esses métodos. Neste trabalho optamos pelo método de Euler, por

ser de fácil aplicação pela simplicidade de seu algoritmo, além de uma boa adequação quando

se trata de resultados aproximados na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de

Primeira Ordem. O presente trabalho tem como objetivo comparar o método de Euler na

resolução de Problemas de Valor Inicial de Primeira Ordem com os métodos analíticos

(exata), como uma alternativa para obtenção de soluções geradas numericamente que

satisfaçam a equação diferencial ordinária e a sua condição inicial.

Palavras-chave: Equações Diferenciais. Problema de Valor Inicial. Método de Euler.

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Comparação entre a solução analítica (exata) e o método de Euler no Problema 01

............................................................................................................................................ 33


............................................................................................................................................ 34


............................................................................................................................................ 34

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - PVI de primeira ordem ......................................................................................... 19

Figura 2 - Método de Euler .................................................................................................. 24

Figura 3 - Diagrama função Euler. ....................................................................................... 31

LISTA DE TABELAS

Tabela 01- Erro absoluto da última iteração dos Problemas 01 a 03 ...................................... 35

Tabela 2: Resultados do método de Euler aplicado ao problema 01, com . .............. 39

Tabela 3: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 01, com . ........... 39


Tabela 5: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 02, com . ............. 43



Tabela 8: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com . ............. 47


Tabela 10: resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com ............ 48

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 15

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................. 16

2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ....................................................................................... 16

2.2 APLICAÇÕES ............................................................................................................... 19

2.3 MÉTODOS ANALÍTICOS ............................................................................................ 20

2.3.1 Variáveis Separáveis ................................................................................................. 20

2.3.2 Equação Exata ........................................................................................................... 21

2.3.3 Equações Lineares ..................................................................................................... 22

2.4 MÉTODO DE EULER ................................................................................................... 23

3 MATERIAL E MÉTODOS ............................................................................................ 26

3.1 PROBLEMA 01 ............................................................................................................. 26

3.2 PROBLEMA 02 ............................................................................................................. 27

3.3 PROBLEMA 03 ............................................................................................................. 29

3.4 IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO EULER ................................................................ 31

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................... 33

5 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 36

6 REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 37

APÊNDICE ........................................................................................................................ 39

15

1 INTRODUÇÃO

Existem várias aplicações das Equações Diferenciais em diversas áreas da ciência tais

como na Física, Química, Biologia, Economia, Engenharia entre outras, com isso a

abordagem desse assunto é essencial para que possamos compreender melhor o

comportamento de diversos problemas.

Existem vários tipos de métodos numéricos para encontrar uma solução de uma

Equação Diferencial, com o avanço computacional e a crescente necessidade de se obter

soluções de problemas cada vez mais complexos originaram esses métodos. Geralmente os

cálculos de métodos de aproximações caracterizam-se pela repetição, pois quanto maior o

número de iterações, maior será a precisão para a obtenção de sua solução na equação.

Existem vários métodos numéricos para a resolução de uma Equação Diferencial Ordinária,

tais como Runge-Kutta, Euler, Adams Bashforth e outros. Optamos pelo método de Euler,

pois seu algoritmo é simples, de fácil aplicação e uma boa adequação no que se trata dos

resultados aproximados nas resoluções de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira

Ordem. Entretanto, esses métodos não substituem a solução obtida de forma analítica, pois é

usado somente em aproximações para resolução da equação com isso os métodos numéricos

para resolver uma EDO estão sujeitos a erros em relação ao valor exato obtido pela forma

analítica.

Para algumas equações calcular uma derivada de no ponto pode se tornar de

difícil resolução, mas uma das vantagens do método de Euler torna-se desnecessário fazer este

cálculo. O presente trabalho tem como objetivo comparar a resolução do método de Euler

com a forma analítica de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem como uma

alternativa para obter-se numericamente uma solução que satisfaça a equação diferencial

ordinária e a condição inicial. Para a elaboração desse trabalho foram utilizados fundamentos

de caráter bibliográfico e o auxílio de um software chamado Scilab 5.4.0.

O restante deste trabalho está organizado da seguinte forma: no Capítulo 2 são

apresentados conceitos e definições sobre Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira

Ordem, alguns exemplos de aplicações em ciências, métodos de resolução analíticos e o

método de Euler. No Capítulo 3, foram propostos três problemas os quais foram resolvidos

empregando tanto os métodos analíticos quanto o método de Euler. No Capítulo 4, os

resultados são exibidos graficamente, comparados e discutidos. Por fim, a conclusão é

apresentada no capítulo 5.

16

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Ao longo desse capítulo serão apresentados aspectos que definem e caracterizam as

equações diferenciais, tais como: a classificação, a ordem, o grau, formas de solução, alguns

exemplos de equações diferenciais e o Problema de Valor Inicial (PVI).

2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Segundo Boyce (2006), há uma grande variedade de princípios, ou leis, que regem

o comportamento do mundo físico como movimentos de fluidos, fluxo de corrente elétrica em

circuitos, dissipação de calor, propagação de ondas, aumento ou diminuição de populações

etc., são proposições que envolvem a taxa de variação segundo a qual tal fato acontece.

Matematicamente, tais relações são equações e as taxas envolvidas são derivadas, com isso

equações contendo derivadas são chamadas de Equações Diferenciais.

As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo, a ordem e a

linearidade. Em relação ao tipo, podem ser chamadas Equações Diferenciais Ordinárias

(EDO) ou Equações Diferenciais Parciais (EDP). Uma equação será EDO quando as funções

dependerem apenas de uma variável independente (ZILL, 2003), por exemplo, equações (1),

(2), (3) e (4). Caso a equação envolva derivadas parciais, de funções de várias variáveis

independentes, ela será chamada de EDP, equação (5) (ZILL, 2003). As EDP não serão

objeto de estudo deste trabalho.

(1)

(2)

(3)

(4)

17

(5)

A ordem da equação diferencial é dada pela ordem da maior derivada presente na

equação. Assim, as equações (1), (2), (3) e (5) são ditas de primeira ordem. Enquanto que a

equação (4) é de segunda ordem.

Uma equação diferencial ordinária de ordem n possui a seguinte forma geral

( ) (6)

onde é uma função real de variáveis, , e

(ZILL; CULLEN,

2009).

Uma EDO de ordem pode ser expressa em uma forma padrão:

( ) (7)

Quanto à linearidade, uma EDO pode ser linear ou não linear. Dizemos que uma

equação diferencial ordinária de ordem (Equação (6)) é linear se tiver a forma da Equação

(8):

(8)

De acordo com Zill (2003), existem duas propriedades que são características em uma

equação diferencial linear: a potência de cada termo envolvendo y é igual a 1 e que cada

coeficiente depende apenas da variável independente .

Uma solução de uma equação diferencial é toda função , definida em um intervalo I

com pelo menos derivadas contínuas em I, que substituída em uma equação diferencial

ordinária de ordem n reduz a equação a uma identidade. Em outras palavras, uma solução de

uma equação diferencial ordinária de ordem é uma função que tem pelo menos

derivadas e para qual:

18

( ) (9)

Por exemplo, a função é uma solução da equação

no intervalo

. Ocasionalmente, representamos uma solução pelo símbolo (ZILL; CULLEN,

2009).

Conforme (ZILL; CULLEN, 2009), quando resolvemos uma equação diferencial de

primeira ordem obtemos uma solução contendo uma constante arbitrária ,

que é um parâmetro. A solução mais geral possível, a que possui a constante, é denominada

solução geral, ou seja, é um conjunto infinito de todas as soluções. Enquanto que uma solução

é chamada de particular quando esta específica o valor da constante (SODRÉ, 2003).

Algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções, nenhuma, ou uma única

solução. Em geral, estamos interessados na solução de uma equação diferencial sujeita a

determinadas condições prescritas, que são impostas à solução desconhecida . Um

Problema de Valor Inicial (PVI) consiste em encontrar uma solução da equação diferencial

que satisfaça a condição inicial dada. Assim um PVI de ordem n pode ser definido

como o Problema (I) abaixo.

Resolver:

( )

(I)

Sujeita a: , , ...,

em algum intervalo I, contendo .

Desta forma, um PVI de 1ª ordem é descrito em (II).

Resolver:

(II)

Sujeita a:

19

No Problema (II) procuramos uma solução de equação diferencial em um intervalo

contendo de tal forma que uma curva integral passe por um ponto ( ), a Figura 1

ilustra uma interpretação geométrica para este problema (ZILL; CULLEN, 2009)

Figura 1 - PVI de primeira ordem

Fonte: (ZILL; CULLEN, 2009)

Resolver um problema de valor inicial de ordem em geral envolve o uso de uma

família a parâmetros de soluções da equação diferencial dada a determinar constantes

especiais de tal forma que a solução particular resultante da equação satisfaça as condições

iniciais.

Uma EDO pode ser resolvida por meio de métodos analíticos, qualitativos ou

numéricos. Neste trabalho, serão apresentados somente métodos de resolução de EDO de

primeira ordem, desta forma, serão estudados os três métodos analíticos: método das variáveis

separáveis, equações exatas e equações lineares, além do método numérico conhecido como o

Método de Euler.

2.2 APLICAÇÕES

Existem diversas aplicações de equações diferenciais de primeira ordem, nessa seção

iremos mostrar alguns exemplos de modelos que surgem na física e estatística,

respectivamente.

Considere um circuito elétrico simples (HALLYDAY; RESNICK; WALKER, 2008)

com uma força eletromotriz (pilha/gerador) produz uma voltagem de volts e uma

corrente de ampéres em um tempo . O circuito contém um resistor com resistência

20

de R ohms (W). A lei de Ohm diz que a queda na voltagem devido ao resistor é A queda

de voltagem devido ao indutor é

.

Uma das leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem

fornecida Então, temos:

é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução fornece a corrente no tempo

Um modelo para o crescimento de uma população (TRIOLA, 2008) baseia-se na

premissa de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população.

Podemos assumir isso para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio

ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças). Vamos

identificar e denominar as variáveis nesse modelo:

tempo (variável independente)

número de indivíduos da população (variável dependente)

A taxa de crescimento da população é a derivada

, assim a equação descreve a taxa

de crescimento da população, que é proporcional ao tamanho da população, é dada por:

Onde é a constante de proporcionalidade.

2.3 MÉTODOS ANALÍTICOS

2.3.1 Variáveis Separáveis

Considere a EDO de primeira a seguir (ZILL, 2003):

Deixando na forma diferencial:

21

Esta poderá ser resolvida por meio da integração, sendo contínua, integrando

ambos os lados, temos:

Uma equação separável é uma equação separável de primeira ordem na qual expressão

pode ser fatorada como uma função de vezes uma função de . Podendo ser escrita na

forma:

Portanto o nome separável vem do fato que a expressão do lado direito pode ser

separada em uma função de e uma função de , fazendo com que possamos integrar cada

membro:

∫ ∫

Onde é uma constante qualquer.

2.3.2 Equação Exata

A equação diferencial:

Ou,

22

A Equação (18) é chamada de equação exata se a expressão à esquerda for uma

diferencial exata, sendo uma equação diferencial de primeira ordem (ZILL, 2003). Uma

condição para que uma equação diferencial seja exta é que se a derivada de em relação a

for igual à derivada de em relação a , assim como:

Ou ainda:

Se por acaso:

a equação é dita não-exata.

2.3.3 Equações Lineares

Uma equação diferencial é linear quando é de primeiro grau a variável dependente e

em todas as suas derivadas. Quando , na Equação (8), obtemos uma equação linear de

primeira ordem da seguinte forma (ZILL, 2003):

Quando , chamamos a equação linear de homogênea, caso contrário é dito

não homogênea. Quando dividimos ambos os lados da Equação (20) por , obtemos uma

forma padrão de uma equação linear:

Onde e são funções contínuas.

23

Qualquer equação diferencial linear de primeira ordem pode ser resolvida de maneira

semelhante pela multiplicação de ambos os lados da Equação (21), por uma função apropriada

chamado de fator integrante (SODRÉ, 2003), onde:

∫

Para resolvermos a Equação (21) multiplicam-se ambos os lados pela Equação (22) e

integram-se os dois lados da equação.

2.4 MÉTODO DE EULER

Nas seções 2.3.1 a 2.3.3, examinamos equações diferenciais de primeira ordem

analiticamente, isto é, explicamos os procedimentos para obtenção de soluções exatas sejam

elas explícitas ou implícitas. Porém, muitas equações diferenciais possuem soluções que não

poderão ser obtidas por métodos analíticos, ou de difícil resolução. Nestes casos, a equação

será resolvida através de métodos numéricos, nos quais a ED será empregada à base de algum

algoritmo para aproximar a solução desconhecida da solução exata. Com isso, os métodos

numéricos são de grande importância para resolver diversos problemas, surgindo como uma

alternativa para resolver tais equações. É comum nos referirmos à solução obtida via métodos

numéricos por solução aproximada. Alguns dos métodos mais estudados são o Método de

Euler, Runge-Kutta, e Adams Bashforth, contudo o Método de Euler se destaca pela sua

simplicidade na resolução do seu problema baseando-se na forma de iteração onde quanto

mais repetições, maior será a precisão para a obtenção de sua solução na equação (GILAT;

SUBRAMANIAM, 2008). O método de Euler é de passo-simples porque depende apenas da

informação em um único ponto para avançar para o próximo.

O método de Euler também conhecido pelo método da secante (BARATTO, 2007) é a

técnica mais comum na tentativa de resolver uma EDO de primeira ordem, é uma maneira

simples de conseguir uma aproximação da solução analítica por meio de uma reta tangente. É

um método linear de primeira ordem obtido pelo truncamento em Série de Taylor parando na

primeira derivada (OLIVEIRA, 2008?). Segundo (BARROSO et al., 1987), o método de

Euler assume que, desejam-se aproximações para as soluções exatas

Em uma pequena distância na vizinhança de , a função tem

24

uma inclinação constante igual à inclinação Com isso, o próximo ponto da solução

numérica é calculado da seguinte forma (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008):

Para qual:

Desse modo, com a aplicação do método de Euler, obtêm-se a aproximação da solução

analítica pela primeira derivada da equação diferencial, , onde se localiza o coeficiente

angular da reta tangente conforme Figura 2:

Figura 2 - Método de Euler

Fonte: Autoria própria (2013).

Como se desconhece o valor , torna-se como aproximação para . Para

isso, traça-se a reta tangente à curva no ponto ( conforme Equação (24).

O erro cometido na aproximação de por é , ou seja, a

diferença entre a solução numérica e a solução exata. Para o cálculo de , avançam-se os

E

𝑦 𝑥

𝑦 𝑦 𝑥

𝑦

𝑥 𝑥

𝑓 𝑥 𝑦 )

25

índices em (23), (24) e (25) uma unidade; o erro cometido é, agora,

Continuando até .

26

3 MATERIAL E MÉTODOS

Nesse capítulo iremos resolver três problemas um para cada forma analítica, nos

problemas de 01 à 03 serão resolvidos respectivamente por equações separáveis, equação

exata, equações lineares e em seguida resolveremos usando o método de Euler.

3.1 PROBLEMA 01

Ache a solução da equação que satisfaça a condição inicial dada:

Solução analítica:

Primeiro separamos a equação e deixamos na forma diferencial:

Integramos ambos os lados da equação:

∫ ∫

Como temos como encontrar uma solução particular, pois temos o PVI, isolamos o ,

ficando:

27

Como substituimos e , assim temos a solução particular

dada por:

Portanto, o problema de valor inicial determina o círculo:

= 5

3.2 PROBLEMA 02

Verifique se a equação diferencial é exata e resolva:


Podemos escrever essa equação da seguinte forma:

Então vemos que:

Derivando em relação a e em relação a

28

Com isso:

Então a condição é satisfeita, portanto existe uma função para qual:

A equação diferencial é exata. Fazemos agora:

Temos:

Integramos em relação a :

∫

∫

Portanto:

Derivando em relação a :

29

Lembrando que:

Integrando em relação a :

Logo:

Com a solução é dada implicitamente:

Ou na forma explícita do PVI:

√ , com .

3.3 PROBLEMA 03

Resolva o problema de valor inicial:

,

30


Essa equação tem a forma da equação (2), onde: e contínuos,

então o fator integrante será:

∫ ∫

Multiplica-se ambos os lados por :

Ou ainda:

Integrando temos:

∫

Onde é uma constante qualquer. Para resolvermos essa integral precisamos aplicar a regra

de integração por partes:

Encontramos uma solução geral:

31

A partir da condição inicial, sabemos que quando , substituindo esses

valores na solução geral, temos Com isso a solução do problema se dá:

3.4 IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO EULER

Os PVI propostos nos Problemas 01 à 03 acima, foram resolvidos pelo Método de

Euler, aplicando-se passos de tamanhos ; e . Os cálculos foram

realizados no Software Scilab 5.4.0, o diagrama da função implementada é apresentado na

Figura 3.

Figura 3 - Diagrama função Euler.


F, x0, y0, h, xf

x(1)=x0;

y(1)=y0;

N=(xf-x0)/h;

x(i+1)=x(i)+h;

y(i+1)=y(i)+f(x(i),y(i))*h;

x, y

for i = 1:N

Sim

Não

32

Onde F, x0, y0, h, xf são as variáveis de entrada e correspondem, respectivamente, a

função , o inicial, o inicial, ao tamanho do passo e o final. O número de iterações

cujo for i = 1:N é dada por . As variáveis de saída são os vetores x e y, que

guardam os valores de todos os e calculados.

33

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Através do método numérico de Euler, obtemos uma boa aproximação para a solução

exata , de uma EDO de primeira ordem, obtida através dos métodos analíticos

empregados em cada problema.

A partir da análise dos dados é possível observar que a melhor aproximação

encontrada pelo método de Euler ocorre quando . Isto ocorre porque o número

passos é dado por , logo quanto menor o valor de maior será número de

iterações . Quando o tamanho do passo tende a zero, mais próxima será a inclinação da

reta tangente para a solução analítica, isto é, os valores são mais precisos e consequentemente

com um menor erro. Os gráficos 1 a 3 exibem as curvas geradas pelo método de Euler e a

curva da solução exata para os problemas de 1 a 3 respectivamente.


Fonte: Gerado através do Scilab 5.4.0.

x

f(x)

34





x

x

f(x)

f(x)

35

A Tabela 01, a seguir, exibe os resultados do erro absoluto (Erroabs), da última iteração

para cada valor de em cada um dos três problemas apresentados.

Tabela 01- Erro absoluto da última iteração dos Problemas 01 a 03

Problema 01 Problema 02 Problema 03

Erroabs Erroabs Erroabs

0,805494 0,399392 0,096005

0,624845 0,30357 0,046968

0,33268 0,15741 0,009236


Os resultados apresentados na tabela acima confirmam as conclusões feitas

anteriormente, que fazendo tender a zero é possível melhorar a precisão do método de

Euler, uma vez que à medida que o número de iterações aumenta, a margem de erro diminui.

Todos os resultados gerados pelo método de Euler para os três problemas podem ser

encontrados nas Tabelas 2 a 10 do Apêndice.

36

5 CONCLUSÕES

Neste trabalho foram propostos três problemas de valor inicial para os quais foram

obtidas soluções exatas e soluções numéricas geradas pelo método de Euler. O algoritmo do

método numérico proposto foi implementado no software Scilab 5.4.0, e cada um dos

problemas foram resolvidos para três valores de incremento . Os resultados de cada

problema foram representados graficamente, de forma que a solução exata pode ser

comparada a cada solução numérica gerada para os distintos valores de .

Verificamos, a partir da análise das tabelas e dos resultados gráficos, que quanto

menor for o valor do incremento, maior será o número de passos melhorando a precisão da

solução numérica, isto é, com o valor de tendendo a zero, o número de iterações e

consequentemente se obtém uma margem de erro bem menor. Portanto, os resultados

encontrados neste trabalho confirmam que o método numérico empregado, no caso o método

de Euler, obtém uma boa aproximação para a solução de um problema de valor inicial de

primeira ordem, obtendo soluções satisfatórias.

Para trabalhos futuros, sugerimos a comparação do método de Euler com outros

métodos numéricos empregados na resolução de PVI de primeira ordem, ou até mesmo, a

realização de trabalhos voltados à comparação de soluções exatas e numéricas de problemas

de valor inicial de ordem superior.

37

6 REFERÊNCIAS

BARATTO, Giovani. Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Usando Métodos

Numéricos. Universidade Federal de Santa Maria. 2007. Disponível em: <www-

usr.inf.ufsm.br/.../solucao_EDO_pelos_metodos_Euler_Runge-Kutta>. Acesso em: 28 mar.

2013.

BARROSO, Leônidas Conceição; BARROSO, Magali Maria de Araújo; CAMPOS, Frederico

Ferreira, filho; CARVALHO, Márcio Luiz Bunte & MAIA, Mirian Lourenço. Cálculo

Numérico: com aplicações. 2. ed. Harbra. São Paulo, 1987.

BIANCHINI, Waldecir. Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Disponível em: <:

www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/capitulo1.pdf>. Acesso em: 12 fev. 2013.

BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e

Problemas de Valores de contorno, 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

BRITO, Lucilene Das Dores de. Aplicação do método de Euler na resolução de equações

diferenciais de primeira ordem. 42 f. Monografia (Graduação) - Curso de Licenciatura em

Matemática, Departamento de Unemat, Sinop, Mato Grosso, 2010.

GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Métodos numéricos para engenheiros e

cientistas: uma introdução com aplicações usando MATLAB. Porto Alegre: Bookman, 2008.

HALLIDAY D.; RESNICK R.; WALKER J. Fundamentos de Física: Eletricidade e

magnetismo, vol. 2. 8. ed. Rio de Janeiro: Lct, 2008.

OLIVEIRA, Raymundo de. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias –

Método de Euler. Universidade Federal do Rio de Janeiro. [2008?] Disponível em:

<www.raymundodeoliveira.eng.br/euler_e_runge_kutta.doc>. Acesso em: 31 mar. 2013.

SODRÉ, Ulysses (Comp.). Equações Diferenciais Ordinárias. 2003. Disponível em:

<www.mat.uel.br/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf>. Acesso em: 29 mar. 2013.

38

THOMAS, George B. Cálculo, v. 1. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2002.

TRIOLA, Mario F.. Introdução a Estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: Lct, 2008.

ZILL, D. G.. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira

Thomson Learning, 2003.

ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia

I: equações diferenciais elementares e transformadas de Laplace. 3. ed. Porto Alegre:

Bookman, 2009.

39

APÊNDICE

Tabela 2: Resultados do método de Euler aplicado ao problema 01, com .

yexato Erroabs

1 4, -3 -3 0

2 4,1 -2,8666667 -2,8618176 0,004849

3 4,2 -2,7236434 -2,712932 0,010711

4 4,3 -2,5694382 -2,5514702 0,017968

5 4,4 -2,4020864 -2,3748684 0,027218

6 4,5 -2,2189124 -2,1794495 0,039463

7 4,6 -2,0161103 -1,9595918 0,056519

8 4,7 -1,7879482 -1,7058722 0,082076

9 4,8 -1,525077 -1,4 0,125077

10 4,9 -1,2103388 -0,9949874 0,215351

11 5 -0,8054935 0 0,805494


Tabela 3: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 01, com .

yexato Erroabs

1 4 -3 -3 0

2 4,05 -2,9333333 -2,932149382 0,001184

3 4,1 -2,8642992 -2,861817604 0,002482

4 4,15 -2,7927285 -2,788816953 0,003912

5 4,2 -2,7184284 -2,712931993 0,005496

6 4,25 -2,6411779 -2,633913438 0,007264

7 4,3 -2,5607214 -2,551470164 0,009251

8 4,35 -2,4767607 -2,465258607 0,011502

9 4,4 -2,3889443 -2,374868417 0,014076

10 4,45 -2,2968534 -2,279802623 0,017051

11 4,5 -2,1999818 -2,179449472 0,020532

12 4,55 -2,0977082 -2,073041244 0,024667

13 4,6 -1,9892565 -1,959591794 0,029665

14 4,65 -1,8736354 -1,837797595 0,035838

15 4,7 -1,7495451 -1,705872211 0,043673

16 4,75 -1,6152245 -1,5612495 0,053975

40

17 4,8 -1,4681861 -1,4 0,068186

18 4,85 -1,3047191 -1,215524578 0,089195

19 4,9 -1,1188553 -0,994987437 0,123868

20 4,95 -0,8998816 -0,705336799 0,194545

21 5, -0,6248454 0 0,624845



yexato Erroabs

1 4 -3 -3 0

2 4,01 -2,9866667 -2,9866202 0,000046

3 4,02 -2,9732403 -2,9731465 0,000093

4 4,03 -2,9597197 -2,9595777 0,000142

5 4,04 -2,9461036 -2,9459124 0,000191

6 4,05 -2,9323905 -2,9321494 0,000241

7 4,06 -2,9185793 -2,9182872 0,000292

8 4,07 -2,9046684 -2,9043244 0,000344

9 4,08 -2,8906565 -2,8902595 0,000397

10 4,09 -2,876542 -2,8760911 0,000451

11 4,1 -2,8623236 -2,8618176 0,000506

12 4,11 -2,8479996 -2,8474374 0,000562

13 4,12 -2,8335684 -2,832949 0,000619

14 4,13 -2,8190284 -2,8183506 0,000678

15 4,14 -2,804378 -2,8036405 0,000738

16 4,15 -2,7896153 -2,788817 0,000798

17 4,16 -2,7747387 -2,7738782 0,000861

18 4,17 -2,7597463 -2,7588222 0,000924

19 4,18 -2,7446362 -2,7436472 0,000989

20 4,19 -2,7294065 -2,7283512 0,001055

21 4,2 -2,7140552 -2,712932 0,001123

22 4,21 -2,6985802 -2,6973876 0,001193

23 4,22 -2,6829794 -2,6817159 0,001264

24 4,23 -2,6672506 -2,6659145 0,001336

25 4,24 -2,6513916 -2,6499811 0,00141

26 4,25 -2,6354 -2,6339134 0,001487

27 4,26 -2,6192734 -2,6177089 0,001564

28 4,27 -2,6030094 -2,601365 0,001644

41

29 4,28 -2,5866053 -2,5848791 0,001726

30 4,29 -2,5700585 -2,5682484 0,00181

31 4,3 -2,5533663 -2,5514702 0,001896

32 4,31 -2,5365258 -2,5345414 0,001984

33 4,32 -2,519534 -2,517459 0,002075

34 4,33 -2,502388 -2,50022 0,002168

35 4,34 -2,4850845 -2,482821 0,002264

36 4,35 -2,4676203 -2,4652586 0,002362

37 4,36 -2,449992 -2,4475294 0,002463

38 4,37 -2,432196 -2,4296296 0,002566

39 4,38 -2,4142287 -2,4115555 0,002673

40 4,39 -2,3960863 -2,3933032 0,002783

41 4,4 -2,3777647 -2,3748684 0,002896

42 4,41 -2,35926 -2,356247 0,003013

43 4,42 -2,3405677 -2,3374345 0,003133

44 4,43 -2,3216833 -2,3184262 0,003257

45 4,44 -2,3026024 -2,2992173 0,003385

46 4,45 -2,2833198 -2,2798026 0,003517

47 4,46 -2,2638307 -2,260177 0,003654

48 4,47 -2,2441295 -2,2403348 0,003795

49 4,48 -2,2242109 -2,2202703 0,003941

50 4,49 -2,2040689 -2,1999773 0,004092

51 4,5 -2,1836975 -2,1794495 0,004248

52 4,51 -2,1630903 -2,1586802 0,00441

53 4,52 -2,1422405 -2,1376623 0,004578

54 4,53 -2,1211411 -2,1163884 0,004753

55 4,54 -2,0997846 -2,0948508 0,004934

56 4,55 -2,0781634 -2,0730412 0,005122

57 4,56 -2,056269 -2,050951 0,005318

58 4,57 -2,034093 -2,0285709 0,005522

59 4,58 -2,0116259 -2,0058913 0,005735

60 4,59 -1,9888583 -1,9829019 0,005956

61 4,6 -1,9657797 -1,9595918 0,006188

62 4,61 -1,9423793 -1,9359494 0,00643

63 4,62 -1,9186456 -1,9119623 0,006683

64 4,63 -1,8945661 -1,8876175 0,006949

65 4,64 -1,8701278 -1,862901 0,007227

66 4,65 -1,8453166 -1,8377976 0,007519

67 4,66 -1,8201177 -1,8122914 0,007826

42

68 4,67 -1,794515 -1,786365 0,00815

69 4,68 -1,7684912 -1,76 0,008491

70 4,69 -1,742028 -1,7331763 0,008852

71 4,7 -1,7151053 -1,7058722 0,009233

72 4,71 -1,6877018 -1,6780644 0,009637

73 4,72 -1,659794 -1,6497273 0,010067

74 4,73 -1,6313567 -1,6208331 0,010524

75 4,74 -1,6023625 -1,5913516 0,011011

76 4,75 -1,5727811 -1,5612495 0,011532

77 4,76 -1,5425798 -1,5304901 0,01209

78 4,77 -1,5117225 -1,499033 0,012689

79 4,78 -1,480169 -1,4668333 0,013336

80 4,79 -1,4478754 -1,433841 0,014034

81 4,8 -1,4147925 -1,4 0,014792

82 4,81 -1,3808652 -1,3652472 0,015618

83 4,82 -1,346032 -1,3295112 0,016521

84 4,83 -1,3102231 -1,2927103 0,017513

85 4,84 -1,2733591 -1,254751 0,018608

86 4,85 -1,2353494 -1,2155246 0,019825

87 4,86 -1,1960892 -1,1749043 0,021185

88 4,87 -1,1554568 -1,13274 0,022717

89 4,88 -1,113309 -1,0888526 0,024456

90 4,89 -1,0694757 -1,0430244 0,026451

91 4,9 -1,0237524 -0,9949874 0,028765

92 4,91 -0,9758892 -0,9444046 0,031485

93 4,92 -0,9255761 -0,8908423 0,034734

94 4,93 -0,8724201 -0,8337266 0,038694

95 4,94 -0,8159106 -0,7722694 0,043641

96 4,95 -0,7553647 -0,7053368 0,050028

97 4,96 -0,6898335 -0,6311894 0,058644

98 4,97 -0,6179321 -0,5469004 0,071032

99 4,98 -0,5375025 -0,4467662 0,090736

100 4,99 -0,4448518 -0,3160696 0,128782

101 5, -0,3326796 0 0,33268


43


yexato Erroabs

1 0, 1 1 0

2 0,1 1 0,994987 0,005013

3 0,2 0,99 0,979796 0,010204

4 0,3 0,9697980 0,953939 0,015859

5 0,4 0,9388637 0,916515 0,022349

6 0,5 0,8962590 0,866025 0,030234

7 0,6 0,8404716 0,8 0,040472

8 0,7 0,7690831 0,714143 0,05494

9 0,8 0,6780656 0,6 0,078066

10 0,9 0,5600829 0,43589 0,124193

11 1, 0,3993924 0 0,399392



yexato Erroabs

1 0 1 1 0

2 0,05 1 0,998749 0,001251

3 0,1 0,9975 0,994987 0,002513

4 0,15 0,9924875 0,988686 0,003802

5 0,2 0,9849307 0,979796 0,005135

6 0,25 0,9747777 0,968246 0,006532

7 0,3 0,9619543 0,953939 0,008015

8 0,35 0,9463610 0,93675 0,009611

9 0,4 0,9278691 0,916515 0,011354

10 0,45 0,9063144 0,893029 0,013286

11 0,5 0,8814885 0,866025 0,015463

12 0,55 0,8531274 0,835165 0,017963

13 0,6 0,8208931 0,8 0,020893

14 0,65 0,7843475 0,759934 0,024413

15 0,7 0,7429118 0,714143 0,028769

16 0,75 0,6957999 0,661438 0,034362

17 0,8 0,6419051 0,6 0,041905

44

18 0,85 0,5795906 0,526783 0,052808

19 0,9 0,5062629 0,43589 0,070373

20 0,95 0,4173763 0,31225 0,105126

21 1, 0,3035701 0 0,30357



yexato Erroabs

1 0 1 1 0

2 0,01 1 0,99995 0,00005

3 0,02 0,9999 0,9998 0,0001

4 0,03 0,9997000 0,99955 0,00015

5 0,04 0,9993999 0,9992 0,0002

6 0,05 0,9989996 0,998749 0,00025

7 0,06 0,9984991 0,998198 0,000301

8 0,07 0,9978982 0,997547 0,000351

9 0,08 0,9971968 0,996795 0,000402

10 0,09 0,9963945 0,995942 0,000453

11 0,1 0,9954913 0,994987 0,000504

12 0,11 0,9944867 0,993932 0,000555

13 0,12 0,9933806 0,992774 0,000607

14 0,13 0,9921726 0,991514 0,000659

15 0,14 0,9908624 0,990152 0,000711

16 0,15 0,9894495 0,988686 0,000764

17 0,16 0,9879335 0,987117 0,000816

18 0,17 0,9863139 0,985444 0,00087

19 0,18 0,9845904 0,983667 0,000924

20 0,19 0,9827622 0,981784 0,000978

21 0,2 0,9808289 0,979796 0,001033

22 0,21 0,9787898 0,977701 0,001088

23 0,22 0,9766443 0,9755 0,001144

24 0,23 0,9743916 0,973191 0,001201

45

25 0,24 0,9720312 0,970773 0,001258

26 0,25 0,9695621 0,968246 0,001316

27 0,26 0,9669837 0,965609 0,001375

28 0,27 0,9642949 0,96286 0,001435

29 0,28 0,9614949 0,96 0,001495

30 0,29 0,9585828 0,957027 0,001556

31 0,3 0,9555575 0,953939 0,001618

32 0,31 0,9524179 0,950737 0,001681

33 0,32 0,9491631 0,947418 0,001746

34 0,33 0,9457917 0,943981 0,001811

35 0,34 0,9423025 0,940425 0,001877

36 0,35 0,9386944 0,93675 0,001945

37 0,36 0,9349658 0,932952 0,002013

38 0,37 0,9311154 0,929032 0,002084

39 0,38 0,9271416 0,924986 0,002155

40 0,39 0,9230430 0,920815 0,002228

41 0,4 0,9188179 0,916515 0,002303

42 0,41 0,9144644 0,912086 0,002379

43 0,42 0,9099809 0,907524 0,002457

44 0,43 0,9053655 0,902829 0,002537

45 0,44 0,900616 0,897998 0,002618

46 0,45 0,8957305 0,893029 0,002702

47 0,46 0,8907066 0,887919 0,002788

48 0,47 0,8855422 0,882666 0,002876

49 0,48 0,8802347 0,877268 0,002966

50 0,49 0,8747816 0,871722 0,003059

51 0,5 0,8691802 0,866025 0,003155

52 0,51 0,8634277 0,860174 0,003253

53 0,52 0,8575210 0,854166 0,003355

54 0,53 0,8514570 0,847998 0,003459

55 0,54 0,8452324 0,841665 0,003567

56 0,55 0,8388436 0,835165 0,003679

46

57 0,56 0,8322869 0,828493 0,003794

58 0,57 0,8255585 0,821645 0,003914

59 0,58 0,8186541 0,814616 0,004038

60 0,59 0,8115693 0,807403 0,004166

61 0,6 0,8042994 0,8 0,004299

62 0,61 0,7968395 0,792401 0,004438

63 0,62 0,7891843 0,784602 0,004582

64 0,63 0,7813280 0,776595 0,004733

65 0,64 0,7732649 0,768375 0,00489

66 0,65 0,7649883 0,759934 0,005054

67 0,66 0,7564914 0,751266 0,005226

68 0,67 0,7477669 0,742361 0,005406

69 0,68 0,7388069 0,733212 0,005595

70 0,69 0,7296029 0,723809 0,005794

71 0,7 0,7201457 0,714143 0,006003

72 0,71 0,7104254 0,704202 0,006224

73 0,72 0,7004314 0,693974 0,006457

74 0,73 0,6901520 0,683447 0,006705

75 0,74 0,6795746 0,672607 0,006968

76 0,75 0,6686855 0,661438 0,007248

77 0,76 0,6574694 0,649923 0,007546

78 0,77 0,6459100 0,638044 0,007866

79 0,78 0,6339888 0,62578 0,008209

80 0,79 0,6216857 0,613107 0,008579

81 0,8 0,6089784 0,6 0,008978

82 0,81 0,5958416 0,58643 0,009412

83 0,82 0,5822474 0,572364 0,009884

84 0,83 0,5681640 0,557763 0,010401

85 0,84 0,5535556 0,542586 0,010969

86 0,85 0,5383809 0,526783 0,011598

87 0,86 0,5225929 0,510294 0,012299

88 0,87 0,5061365 0,493052 0,013085

47

89 0,88 0,4889474 0,474974 0,013974

90 0,89 0,4709496 0,455961 0,014989

91 0,9 0,4520516 0,43589 0,016162

92 0,91 0,4321423 0,414608 0,017534

93 0,92 0,4110845 0,391918 0,019166

94 0,93 0,3887046 0,36756 0,021145

95 0,94 0,3647790 0,341174 0,023605

96 0,95 0,33901 0,31225 0,02676

97 0,96 0,3109872 0,28 0,030987

98 0,97 0,2801178 0,243105 0,037013

99 0,98 0,2454895 0,198997 0,046492

100 0,99 0,2055693 0,141067 0,064502

101 1, 0,1574103 0 0,15741



yexato Erroabs

1 0 4 4 0

2 0,1 3,6 3,624187 0,024187

3 0,2 3,25 3,293654 0,043654

4 0,3 2,945 3,004091 0,059091

5 0,4 2,6805 2,7516 0,0711

6 0,5 2,45245 2,532653 0,080203

7 0,6 2,257205 2,344058 0,086853

8 0,7 2,0914845 2,182927 0,091442

9 0,8 1,9523360 2,046645 0,094309

10 0,9 1,8371024 1,932848 0,095746

11 1, 1,7433922 1,839397 0,096005



yexato Erroabs

48

1 0 4 4 0

2 0,05 3,8 3,806147 0,006147

3 0,1 3,6125 3,624187 0,011687

4 0,15 3,436875 3,45354 0,016665

5 0,2 3,2725312 3,293654 0,021123

6 0,25 3,1189047 3,144004 0,025099

7 0,3 2,9754595 3,004091 0,028632

8 0,35 2,8416865 2,87344 0,031754

9 0,4 2,7171022 2,7516 0,034498

10 0,45 2,601247 2,638141 0,036894

11 0,5 2,4936847 2,532653 0,038969

12 0,55 2,3940005 2,434749 0,040749

13 0,6 2,3018004 2,344058 0,042258

14 0,65 2,2167104 2,260229 0,043518

15 0,7 2,1383749 2,182927 0,044552

16 0,75 2,0664562 2,111833 0,045377

17 0,8 2,0006333 2,046645 0,046012

18 0,85 1,9406017 1,987075 0,046473

19 0,9 1,8860716 1,932848 0,046777

20 0,95 1,836768 1,883705 0,046937

21 1, 1,7924296 1,839397 0,046968


Tabela 10: resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com .

yexato Erroabs

1 0 4 4 0

2 0,01 3,96 3,960249 0,000249

3 0,02 3,9205 3,920993 0,000493

4 0,03 3,881495 3,882228 0,000733

5 0,04 3,8429800 3,843947 0,000967

6 0,05 3,8049502 3,806147 0,001197

7 0,06 3,7674007 3,768823 0,001422

8 0,07 3,7303267 3,731969 0,001642

9 0,08 3,6937235 3,695582 0,001858

10 0,09 3,6575862 3,659656 0,00207

11 0,1 3,6219104 3,624187 0,002277

12 0,11 3,5866913 3,589171 0,002479

49

13 0,12 3,5519244 3,554602 0,002678

14 0,13 3,5176051 3,520477 0,002872

15 0,14 3,4837291 3,486791 0,003062

16 0,15 3,4502918 3,45354 0,003248

17 0,16 3,4172889 3,420719 0,00343

18 0,17 3,384716 3,388324 0,003608

19 0,18 3,3525688 3,356351 0,003782

20 0,19 3,3208431 3,324796 0,003953

21 0,2 3,2895347 3,293654 0,004119

22 0,21 3,2586393 3,262921 0,004282

23 0,22 3,2281529 3,232594 0,004441

24 0,23 3,1980714 3,202668 0,004597

25 0,24 3,1683907 3,173139 0,004749

26 0,25 3,1391068 3,144004 0,004897

27 0,26 3,1102157 3,115258 0,005042

28 0,27 3,0817136 3,086897 0,005184

29 0,28 3,0535964 3,058919 0,005322

30 0,29 3,0258605 3,031318 0,005457

31 0,3 2,9985019 3,004091 0,005589

32 0,31 2,9715168 2,977235 0,005718

33 0,32 2,9449017 2,950745 0,005843

34 0,33 2,9186527 2,924619 0,005966

35 0,34 2,8927661 2,898852 0,006086

36 0,35 2,8672385 2,87344 0,006202

37 0,36 2,8420661 2,848382 0,006316

38 0,37 2,8172454 2,823672 0,006426

39 0,38 2,792773 2,799307 0,006534

40 0,39 2,7686452 2,775284 0,006639

41 0,4 2,7448588 2,7516 0,006741

42 0,41 2,7214102 2,728251 0,006841

43 0,42 2,6982961 2,705234 0,006938

44 0,43 2,6755131 2,682545 0,007032

45 0,44 2,653058 2,660182 0,007124

46 0,45 2,6309274 2,638141 0,007213

47 0,46 2,6091182 2,616418 0,0073

48 0,47 2,587627 2,595011 0,007384

49 0,48 2,5664507 2,573917 0,007466

50 0,49 2,5455862 2,553132 0,007546

51 0,5 2,5250303 2,532653 0,007623

50

52 0,51 2,50478 2,512478 0,007698

53 0,52 2,4848322 2,492603 0,007771

54 0,53 2,4651839 2,473025 0,007841

55 0,54 2,4458321 2,453741 0,007909

56 0,55 2,4267737 2,434749 0,007975

57 0,56 2,408006 2,416045 0,008039

58 0,57 2,389526 2,397627 0,008101

59 0,58 2,3713307 2,379492 0,008161

60 0,59 2,3534174 2,361636 0,008219

61 0,6 2,3357832 2,344058 0,008275

62 0,61 2,3184254 2,326754 0,008329

63 0,62 2,3013411 2,309722 0,008381

64 0,63 2,2845277 2,292959 0,008431

65 0,64 2,2679824 2,276462 0,00848

66 0,65 2,2517026 2,260229 0,008526

67 0,66 2,2356856 2,244257 0,008571

68 0,67 2,2199287 2,228543 0,008614

69 0,68 2,2044294 2,213085 0,008656

70 0,69 2,1891851 2,19788 0,008695

71 0,7 2,1741933 2,182927 0,008733

72 0,71 2,1594514 2,168221 0,00877

73 0,72 2,1449569 2,153761 0,008804

74 0,73 2,1307073 2,139545 0,008838

75 0,74 2,1167002 2,12557 0,008869

76 0,75 2,1029332 2,111833 0,0089

77 0,76 2,0894039 2,098332 0,008928

78 0,77 2,0761098 2,085065 0,008956

79 0,78 2,0630487 2,07203 0,008981

80 0,79 2,0502183 2,059224 0,009006

81 0,8 2,0376161 2,046645 0,009029

82 0,81 2,0252399 2,03429 0,00905

83 0,82 2,0130875 2,022158 0,009071

84 0,83 2,0011566 2,010246 0,00909

85 0,84 1,9894451 1,998553 0,009108

86 0,85 1,9779506 1,987075 0,009124

87 0,86 1,9666711 1,97581 0,009139

88 0,87 1,9556044 1,964758 0,009153

89 0,88 1,9447484 1,953915 0,009166

90 0,89 1,9341009 1,943279 0,009178

51

91 0,9 1,9236599 1,932848 0,009188

92 0,91 1,9134233 1,922621 0,009198

93 0,92 1,903389 1,912595 0,009206

94 0,93 1,8935551 1,902769 0,009213

95 0,94 1,8839196 1,893139 0,00922

96 0,95 1,8744804 1,883705 0,009225

97 0,96 1,8652356 1,874464 0,009229

98 0,97 1,8561832 1,865415 0,009232

99 0,98 1,8473214 1,856555 0,009234

100 0,99 1,8386482 1,847883 0,009235

101 1 1,8301617 1,839397 0,009236


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