UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULINSTITUTO DE MATEMÁTICA

LABORATÓRIO DE ENSINO - 2

Desenvolvido por:Cristiano De Angelis

1 - INTRODUÇÃO

• É comum, no nosso dia-a-dia, nos depararmos com situações nas quais precisamos rever o passado, trabalhar com o presente e prever o futuro.

• No caso da Matemática, que é o nosso instrumento de trabalho neste momento, fazemos estas atividades por meio de cálculos.

• Quem nunca calculou o quanto pagará em uma prestação?

• E se ocorrerem aumentos progressivos?

• Vejamos um exemplo:

1) Pagamos uma prestação de R$ 500,00 mensais. Se a prestação aumenta 50 reais a cada mês, qual será o seu valor ao final de 2 anos?

2) E se quiséssemos calcular o quanto pagamos no total, somando todos os meses?

• Estas duas perguntas, com certeza, tem uma solução viável até por meios práticos. Mas se a prestação fosse 501,23 e o aumento mensal 51,88? Iríamos fazer da mesma forma? Poderíamos ficar uma tarde somando e, ao final, existiria grande chances de ocorreu algum errinho.

• Questões como estas são comuns na nossa vida. E as provas, sobretudo os vestibulares, exploram estas questões, porém, de forma mais sofisticada.

• Vejamos os casos:

• Em todas as questões, temos uma situação inicial:

ACRESCENTANDO ALGUMA COISA, TEREMOS:

ACRESCENTANDO NOVAMENTE ESSA MESMA COISA, TEREMOS:

ACRESCENTANDO NOVAMENTE ESSA MESMA COISA, TEREMOS:

E ASSIM SUCESSIVAMENTE.

Mas e daí?

•

• Parece engraçado, mas este simples joginho provoca verdadeiros estragos.

• Vejamos alguns:

• A nossa situação inicial ( ), chamamos de “primeira situação”, ou “situação 1”, ou “termo inicial”, ou , etc.

• A fim de padronizar este nome, que tal chamarmos de a1!!!!• Ora, se a primeira é a1, qual será a segunda? Muito Bem, a2. • E assim por diante, a3, a4, a5, etc..., até o último. Como

chamaremos o último termo? • “A último”, ou “an”.

• Vamos, agora, estabelecer relações:

a 1

a2 =

a3 =

a1 + 1 ACRÉSCIMO

a1 + 2 ACRÉSCIMOS

• Então:

• a2 = a1 + 1 acréscimo

• a3 = a1 + 2 acréscimos

• a4 = a1 + 3 Acréscimos

• a10 = a1 + 9 acréscimos

• a100 = a1 + 99 acréscimos

• ...

• an = a1 + (n-1) acréscimos

• Vamos chamar acréscimos de RAZÃO ACRESCIDA, ou simplesmente razão.

• Abreviamos razão pela letra R.

Chegamos, então até a primeira fórmula importante desta aula

• an = a1 + (n-1).r• de onde concluímos, também• an = a2 + (n-2).r• an = a3 + (n-3).r• ...• Chamaremos esta situação de Progressão Aritmética, ou simplesmente P.

A, onde :• an = último termo da P.A • a1 = primeiro termo da P.A• n = nº de termos da P.A , indicado também pelo an.

• Uma outra consideração importante sobre p.a, ainda ~e que, em qualquer p.ª, é que , um número menos o seu antecessor, é igual ao antecessor menos o antecessor seguinte, e assim por diante, ou seja,

• a6 - a5 = a5 - a4 = a4 - a3 = ... = r

• Como resolver os exercícios!!!!

• a) São dados duas variáveis de uma p.ª e é pedida a outra, diretamente com a fórmula conhecida.

• A1 - em uma p.ª sabemos que o primeiro termo é = 5 e a razão = 2. Calcule o 10º termo.

• A2 - em uma p.ª sabemos que o 30º termo = 62 e a razão = 2, calcule o 1º termo.

• A3 - em uma p.ª o primeiro termo = 2 e o 20º termo = 42. Qual o valor da razão:

• b) São dados também duas variáveis, mas pedido outro termo. Nesse caso diviremos o exemplo em duas partes . Primeiro encontramos o a 1 e a razão. A seguir, encontraremos o termo, ou os termos pedidos, ou então, usando a outra versão da nossa fórmula, encontraremos diretamente o temo solicitado!!

• B1 - em um p.ª o quinto termo = 10 e a razão = 2. Encontre o oitavo termo.

• B2 - em uma p.ª o vigésimo termo é 60 e o décimo é 40. Encontre o primeiro termo.

• C) São dados a soma, subtração, divisão ou produto de dois termos (geralmente a soma) e nos é solicitado algum termo ou a razão da p.ª

• c1) (unb-95) Em uma p.a, a soma do primeiro com o décimo termo é igual a 28 e a soma do quinto com o oitavo termo é igual a 22. Qual a razão desta p.a

• d) Existe, também, muitas outras maneiras de exercícios. Por exemplo

• d1) Inserindo 3 termos em uma p.ª ...

• D2) sabendo que a-1, a+5, a+11 formam uma p.ª, calcule o valor de a.

PARTE 2 - SOMA DOS TERMOS• Voltemos a nossa p.ª

a1 a2 a3

a4

Como podemos encontrar uma fórmula para somarmos uma p.a.

Que tal formarmos uma figura geométrica!!!

Base = a1 + an

Altura = n

Base x altura =(a1 + an).n

Como a nossa p.a é a

metade da figura, então

também dividimos por dois, e chegamos a

Sn = (a1 + an) . n

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• Com estas duas fórmulas (do termo geral e da soma), mas os nosso conceitos básicos, resolvemos qualquer exercício sobre p.ª

• Vejamos alguns exemplos de vestibular:

• (unicamp-sp) A soma dos dois primeiros termos de uma p.ª é igual a 13 e dos cinco primeiros é igual a 55. Determine o 31º termo

• a) 95 b) 245 c) 105 d) 235 e) 253

• (Fuvest-sp) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os 3 primeiros são 1 - a, -a, raiz 11-1. O quarto termo é:

• a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

• (Fuvest-sp) A soma do 4º com o 8º termo de uma P.ª é 20. O 31º é o dobro do 16º. A P.ª é:

• a) -5, -2, 1• b) 5, 6, 7• c) 0, 2, 4• d) 0, 3, 6• e) 1, 3, 5

• (Fuvest-sp) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distancia x. No segundo, o dobro do primeiro no terceiro o triplo do primeiro, e assim sucessivamente.

• Ao final de 20 dias percorreu uma distancia de 6.300 km. A distancia do primeiro dia foi de:

• a) 15 b) 30 c) 20 d) 25 e) 35

CONCLUSÃO

• “Não é possível errarmos ou permitir que nossos alunos errem qualquer questão sobre p.a “

• Ricardo da Silva Gelak