universidade federal do rio de janeiro princípios de ... · observa-se que a equação de v só...

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Princípios de Instrumentação Biomédica

Módulo 4

Faraday Lenz Henry

Weber Maxwell Oersted

http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rsted

http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell

http://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Eduard_Weber

http://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henry

http://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenz

Conteúdo

4 - Capacitores e Indutores..........................................................................................................1

4.1 - Capacitores.....................................................................................................................1

4.2 - Capacitor linear e invariante com o tempo....................................................................2

4.2.1 - Modelo Thévenin e Norton....................................................................................4

4.3 - Energia acumulada no capacitor....................................................................................5

4.4 - Associação de capacitores..............................................................................................6

4.4.1 - Associação Série.....................................................................................................7

4.4.2 - Associação Paralela................................................................................................7

4.5 - Indutores.........................................................................................................................8

4.6 - Indutor linear e invariante..............................................................................................9

4.6.1 - Modelo de Thévenin e Norton..............................................................................11

4.7 - Indutor não linear.........................................................................................................12

4.8 - Energia armazenada no indutor....................................................................................12

4.9 - Associação de indutores...............................................................................................13

4.9.1 - Associação Série...................................................................................................14

4.9.2 - Associação Paralela..............................................................................................14

4.10 - Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC..........................................15

4.11 - Exercícios...................................................................................................................18

4 Capacitores e Indutores

Capacitores e indutores são elementos passivos, como os resistores, porém ao invés de

dissipar energia estes elementos são capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque

a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacitores e

indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser

associados como as resistências. A eles também se estendem todos os conceitos de análise

considerados anteriormente.

4.1 Capacitores

Capacitores são elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo

elétrico. O símbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por

motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um símbolo

ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retângulo que

pode estar pintado.

Princípios de Instrumentação Biomédica – COB 781 1

Os capacitores são formados por duas superfícies condutoras separadas por um

isolante de tal forma que não há contato elétrico entre os dois terminais do capacitor. Estas

superfícies, entretanto ficam muito próximas uma da outra de forma que cargas elétricas que

se deslocam para uma das superfícies repelem cargas da outra superfície permitindo a

circulação de corrente. Observe que a resistência entre os dois terminais do capacitor é infinita

porém há circulação de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff, mesmo assim

há uma diferença líquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma que surge

sobre seus terminais uma diferença de tensão que permanece no capacitor depois que ele é

desconectado do circuito. Esta característica definida pela razão entre cargas no capacitor e

tensão sobre seus terminais chama-se capacitância:

C=q tv t , onde C é a capacitância (Farad – F)

4.2 Capacitor linear e invariante com o tempo

Um capacitor linear e invariante no tempo é definido como

q t =c⋅v t

de tal forma que

dq t dt

=C⋅dv t dt

e

i=C⋅dvdt , (uma relação linear)

ou

v= 1C⋅∫

0

t

i t ' ⋅dt 'v 0 , (uma relação linear apenas se v 0=0 )


Observa-se que a equação de v só pode ser obtida se for conhecido o valor de v 0 ,

ou seja, a condição inicial da integral e do capacitor. Por esta razão todas as equações que

envolvam capacitor só podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v 0 forem

conhecidos (mesmo que se utilize a equação com diferencial, como veremos mais a frente).

Além disto para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares é necessário

que v 0 seja nulo ou seja as condições iniciais sejam nulas. Esta situação é chamada de

estado zero. Se v 0 não for nulo podemos representar o capacitor não linear por um modelo

que emprega um capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão conforme indicado

na figura abaixo. Observe que esta associação (capacitor-fonte) é um equivalente ao capacitor

carregado.

Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao

passo que a tensão depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode

variar instantaneamente. Já a tensão sobre o capacitor só pode variar instantaneamente se i(t)

for infinita como uma função impulso. Alguns autores utilizam o termo inércia de tensão para

indicar que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Destas observações

decorre que, em circuitos de corrente contínua (CC) e chaveados (com ondas de tensão ou

corrente pulsadas), o capacitor irá se comportar como um curto circuito para transições

rápidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contínua. Entre o

chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua constante há um período

transitório onde o capacitor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das duas

situações acima.

Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tensão

no capacitor para t=0+ e t=∞ .


t=0+ , (capacitor é um curto circuito)

vC1=0

iC1=v1

R1=10A

t=∞ , (capacitor é um circuito aberto)

iC1=0

vC1=v1

R1R2⋅R2=7,5V

4.2.1 Modelo Thévenin e Norton

Conforme apresentado na secção anterior um modelo para capacitor carregado é obtido

pela associação série de um capacitor descarregado com uma fonte de tensão formando um

equivalente Thévenin. Naturalmente este modelo Thévenin pode ser transformado em um

modelo Norton equivalente como apresentado na figura abaixo

Para o equivalente Thévenin


v= 1C⋅∫ i⋅dtvs

i=C⋅d v−vsdt

=C⋅dvdt

– C⋅dvsdt

Para o equivalente Norton

v= 1C⋅∫ iis⋅dt= 1

C⋅∫ i⋅dt 1

C⋅∫ is⋅dt

i=C⋅dvdt−is

Desta forma, para que as equações de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que

vs t = 1C⋅∫

0

t

ist ' ⋅dt e

ist =C⋅dvsdt

4.3 Energia acumulada no capacitor

A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. Num capacitor

a energia não é dissipada mas sim armazenada na forma de campo elétrico. Assim sendo a

energia armazenada em um capacitor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.

w t 0, t =∫t 0

t

v t ' ⋅i t ' ⋅dt '

w t 0, t=∫q t0

q t

v q1⋅dq1 (área entre o eixo q e a curva)

w t =∫0

q t

v q1⋅dq1 .


Para um capacitor linear invariante

w t =∫0

q t q1

C⋅dq1

w t =12⋅q2t

C

w t =12⋅C⋅v2

Um capacitor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a

zero. Assim um capacitor linear invariante é passivo se sua capacitância é não negativa e ativo

se sua capacitância é negativa.

4.4 Associação de capacitores

Capacitores ligados em série ou paralelo podem ser substituídos por um capacitor

equivalente tal que a relação entre v e i nos terminais da associação seja igual a relação entre v

e i no equivalente.


4.4.1 Associação Série

Pela LTK e LCK

v=vC1vC2

v= 1C1

⋅∫ i t ⋅dt 1C 2

⋅∫ i t ⋅dt

v= 1C1

1

C2 ⋅∫ i t ⋅dt

v= 1C EQ

⋅∫ i t ⋅dt

onde 1

C EQ= 1

C1

1C2 .

Genericamente 1

C EQ=∑ 1

Cn 4.4.2 Associação Paralela

Utilizando a LTK e a LCK


i=iC1iC2

i=C1⋅dvdtC 2⋅

dvdt

i=C 1C 2⋅dvdt

i=C EQ⋅dvdt

onde C EQ=C1C2

Genericamente C EQ=∑C n

4.5 Indutores

Indutores são elementos armazenadores de energia na forma de campo magnético. O

símbolo do indutor é apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o símbolo do indutor

apresenta alguma marcação como um circulo próximo a um de seus terminais ou vem

acompanhado de outro indutor. Estes símbolos pertencem a indutores acoplados que serão

estudados separadamente em outros capítulos.


O indutor é formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magnético

produzido quando o condutor é percorrido por corrente elétrica. O resultado é que a corrente

que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magnético gerado. A característica de

indutância é dada pela razão entre fluxo magnético e corrente

L=t i t

onde é fluxo magnético (weber – W) e L é indutância (Henry – H).

4.6 Indutor linear e invariante

O indutor linear e invariante apresenta a seguinte característica

t =L⋅i t .

Pela lei da indução de Faraday temos que

v t =ddt .

Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tensão estão em acordo

com a lei de Lenz que estabelece que a força eletromotriz induzida por uma variação de fluxo

tem polaridade tal que se opõe à causa desta variação. Supondo que a corrente aumente, a


derivada do fluxo e a tensão sobre o indutor também aumentarão. Neste caso a polaridade da

tensão é tal que tende a impedir novos aumentos da corrente.

Utilizando as duas relações acima é possível determinar uma forma mais útil para

caracterizar o indutor em termos de tensão e corrente em seus terminais.

v t =L⋅di tdt (uma relação linear)

ou

i t =1L⋅∫

0

t

v t ' ⋅dt 'i 0 (uma relação linear apenas se i 0=0 )

Assim como ocorre com o capacitor o indutor também só pode ser perfeitamente

caracterizado se conhecermos sua indutância L e a condição inicial i 0 , ou seja, a corrente

que circulava por ele antes da análise começar. O indutor também só pode ser considerado

linear se a sua condição inicial for nula e caso não seja, pode ser modelado por um indutor

descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo.

Observa-se que a corrente no indutor é obtida por uma integral e que a tensão é obtida

por uma derivada. Isto significa que a tensão no indutor pode mudar instantaneamente ao

passo que a corrente só pode mudar instantaneamente se a tensão sobre o indutor assumir

valores infinitos (função impulso). Alguns autores denominam este efeito de inércia de

corrente. Também resulta, desta observação, que em circuitos de corrente contínua ou

pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transições rápidas (degraus e

impulsos) e como um curto circuito para corrente contínua (quando não há mais variações de

tensão ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua


constante há um período transitório onde o indutor se carrega e não pode ser considerado

como nenhuma das situações acima.

Exemplo: Calcular as tensões e correntes no indutor para t=0+ e t=∞ .

Para t=0+

v L1=v1=10V

iL1=0A

Para t=∞

v L1=0V

iL1=v1

R1=10A

4.6.1 Modelo de Thévenin e Norton

O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, é semelhante ao

modelo de Norton o que significa que ele também poderia ser representado por um modelo

Thévenin equivalente. Os dois modelos estão apresentados na figura abaixo


Para que ambos os modelos sejam equivalentes é necessário que

vs t =L⋅dist dt e

ist =1L⋅∫

0

t

vs t ' ⋅dt '

4.7 Indutor não linear

Muitos indutores físicos têm característica não linear. Somente para uma faixa de

valores de corrente em torno da origem o indutor é linear, para correntes de valor mais

elevado o fluxo satura (apresenta pouca variação para uma mesma variação de corrente).

Biologicamente este efeito também pode ocorrer com elementos que se comportam como

resistência ou capacitância. Um dos efeitos não lineares mais comuns se chama histerese e é

apresentada no gráfico da figura abaixo. Quando a corrente aumenta o fluxo aumenta por uma

curva 1 porém quando a corrente diminui o fluxo diminui por uma curva 2 diferente da

primeira. Este comportamento é ilustrado na figura abaixo.

4.8 Energia armazenada no indutor

A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. O indutor, da

mesma forma que o capacitor é capaz de armazenar energia ao invés de dissipá-la. Esta


energia fica armazenada no campo magnético criado entorno do indutor. Assim sendo a

energia armazenada em um indutor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.

w t 0, t =∫t 0

t

v t ' ⋅i t ' ⋅dt '

w t 0, t =∫t0

t

i 1⋅d1 (área entre o eixo e a curva)

w t =∫0

t

i 1⋅d1

A área entre as duas curvas 1 e 2 no gráfico da histerese representa perda de

energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maior as perdas

no indutor.

Para um indutor linear e invariante

w t =∫0

t 1

L⋅d 1

w t =12⋅

2t L

w t =12⋅L⋅i2t

Um indutor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero.

Assim um indutor linear invariante é passivo se sua indutância é não negativa e ativo se sua

indutância é negativa.

4.9 Associação de indutores

Indutores ligados em série ou em paralelo também podem ser substituídos por um

indutor equivalente do ponto de vista da tensão e da corrente nos terminais da associação.


4.9.1 Associação Série

Usando a LTK e LCK

v=vL1v L2

v L=L1⋅didt

L2⋅didt

v=L1L2⋅didt

v=LEQ⋅didt

onde

LEQ=L1L2 .

Genericamente LEQ=∑ Ln

4.9.2 Associação Paralela

Usando a LCK e a LTK


i=iL1iL2

i= 1L1⋅∫ v t ⋅dt 1

L2⋅∫ v t ⋅dt

i= 1L1

1L2 ⋅∫v t ⋅dt

i= 1LEQ

⋅∫v t ⋅dt

onde

1LEQ

=1L1

1L2

Genericamente 1

LEQ=∑ 1

Ln 4.10 Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC

As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores

que incluam fontes dependentes ou não. Por esta razão as sistematizações apresentadas para a

LCK e LTK também são válidas.

No circuito abaixo iremos equacionar as tensões nós.

para o nó A (na fonte de corrente)


C1⋅dv A

dt

v A

R1 1

L1⋅∫ v A−v B⋅dtI 0=I1

para o nó B (no resistor R2)

1L1⋅∫ v B−v A⋅dt−I 0

v B

R2=0

a condição inicial do problema é

v A0=V 0

Com estas equações já temos o sistema de equações diferenciais que resolvem o

problema. Se a solução particular é a tensão sobre o resistor R2 então podemos obter esta

equação somando as duas equações

C1⋅dv A

dt

v A

R1

vB

R2=I1

e a tensão vA pode ser obtida derivando a segunda equação duas vezes

1L1⋅v B−

1L1⋅v A

1R2⋅

dv B

dt=0

assim

v A=vBL1

R2⋅

dvB

dt

dv A

dt=

dvB

dt

L1

R2⋅

d 2 v B

dt2

substituindo vA temos

L1⋅C 1⋅d 2 vB

dt 2 R2⋅C1L1

R1 ⋅dv B

dt1R1

R2 ⋅v B=R2⋅I1

as condições iniciais são


v A0=V 0=R2⋅I1

e

dvB 0dt

=R2

L1⋅[v A0−v B0]=

R2

L1⋅[V 0−R2⋅I1]

O método de análise de malhas também pode ser utilizado. Neste caso a fonte de

corrente em paralela com um resistor pode ser substituída pelo seu equivalente Thevenin.

para a primeira malha

R1⋅i1V 01C 1⋅∫

0

t

i1−i 2⋅dt '=V1

para a segunda malha

L1⋅diL2

dtR2⋅i 2−V 0

1C1

⋅∫0

t

i 2−i1⋅dt '=0

a condição inicial do problema é

i20=I 0

As equações acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos

interessados em uma resposta particular como a tensão sobre R2 então podemos manipular as

equações para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equações acima

R1⋅i1L1⋅di2

dtR2⋅i2=V1


i1=−L1

R1⋅

di2

dt−

R2

R1⋅i2

V1R1

Derivando a segunda equação obtemos

L1⋅d 2i2

dt 2 R2⋅di2

dt

i 2

C 1−

i1

C 1=0

e substituindo i1

L1⋅C 1⋅d 2i 2

dt 2 R2⋅C1L1

R1 ⋅di 2

dt1 R2

R1 ⋅i2=V1R1

i20=I 0

di2 0dt

= 1L1⋅V 0−R2⋅I 0

L1⋅C 1⋅d 2 v2

dt 2 R2⋅C1L1

R1 ⋅dv2

dt1

R2

R1 ⋅v2=R2⋅I1

v20=R2⋅I 0

dv20dt

=R2

L1⋅V 0 – R2⋅I 0

4.11 Exercícios

1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em

t=0s, a chave S1 fecha. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para os

instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: iL(0–),

iL(0+), iC(0–), iC(0+), iL(∞), iC(∞), vC(0–), vC(0+), vC(∞), vL(0–), vL(0+), vL(∞), diL(0–)/dt, diL(0+)/dt,

dvC(0–)/dt, dvC(0+)/dt.

a) Considere Is1(t) uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.


Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:

vC1 0-=0V , iC10

-=0A , dvC10

+dt

=iC10

+C 1

vC1 0+ =vC10

- , iC10+=

Is1G1G 1

⋅G 1 , dvC10

+dt

=iC10

+C 1

vC1 ∞=Is1⋅R1 , iC1∞=0A

b)


iL10-=0A , v L10

-=0V , diL10

-dt

=v L10

-L1

iL10+=0A , v L10

+= I1⋅R1 , diL10

+dt

=vL1 0

+ L1

iL1∞=I1 , v L1∞=0V .

c) Considere V1(t) uma fonte constante e o capacitor descarregado.



iL10-=

V1R1

, v L10-=0V ,

diL10-

dt=

v L10-

L1

iL10+=

V1R1

, v L10+=V1 ,

diL10+

dt=

vL1 0+

L1

iL1∞=V1R1

, v L1∞=0V .

vC1 0-=0V , iC10-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+ =0V , iC10+ =

V1R1

, dvC10

+dt

=iC10

+C 1

vC1 ∞=V1 , iC1∞=0A .

d) V1(t) é uma fonte constante e independente.

Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:

iL10-=

V1R1

, v L10-=0V ,

diL10-

dt=

v L10-

L1


iL10+=

V1R1

, v L10+=0V ,

diL10+

dt=

vL1 0+

L1

iL1∞=V1R1

, v L1∞=0V .

vC1 0-=V1 , iC10

-=0A , dvC10

+dt

=iC10

+C 1

vC1 0+ =V1 , iC10

+ =−V1R2

, dvC10

+dt

=iC10

+C 1

vC1 ∞=0V , iC1∞=0A .

e) V1(t) é uma fonte constante e independente

Fazendo um Thévenin sem incluir C1 nem o ramo de R2.

Em circuito aberto: vCA=v2=−R3⋅i1=−R3⋅V1−2⋅v2

R1, logo vCA=−

R3⋅V1R12⋅R3

Em curto circuito: iCC=I=i1=V1−V B1

R11=V1

R1.

V TH=vCA , RTH=−vCA

I CC

vC1 0-=V TH , iC10

-=0A , dvC10

+dt

=iC10

+C 1


vC1 0+ =V TH , iC10

+ =−V TH

R2,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=V TH

RTHR2⋅R2 , iC1∞=0A .

f) V1t =ut

Como Vot =vC1t , iC1 será determinado da direita para a esquerda.

vC1 0-=0V , iC10-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+ =0V , iC10

+=−i R2=−V1R2

, dvC10

+dt

=iC10

+C 1

vC1 ∞=−V1R2⋅R1 , iC1∞=0A .

g) V1t =ut


vC1 0-=0V , iC10-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+ =0V , iC10+ =

V1R1

, dvC10

+dt

=iC10

+C 1

vC1 ∞=V1 , iC1∞=0A .

2) Determine iL1(∞), iL1(0+), vC1(∞), vC1(0+)


iL10+=0A , iL1∞=I1

vC2 0+ =0V , vC2 ∞= I1⋅R2 .

3) Para o circuito abaixo determine vC(0–), vC(0+), iC(0–), iC(0+), vC(∞), iC(∞).

Calculando o Thévenin do circuito sem o capacitor:

RTH=R1R2 // R3 onde // indica “em paralelo com”


V TH t =I1− I2

G1GSERIE⋅GSERIE⋅R3

onde G SERIE=G 2⋅G3

G 2G3

vC 0-=V TH 0

- , iC 0-=0A

vC 0+ =V TH 0

- , iC 0+ =

V TH 0+−V TH 0

-RTH

vC ∞=V TH 0+ , iC ∞=0A .

4) Supondo v1(t) e i1(t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e

corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i1(t) e as expressões para vL2(t) e

iv(t).

v L2=L2⋅t

v i1−v1vL2v R2=0

v i1=u t −L2⋅t – i1⋅R2

iv – i1 – iL1−iC1=0

iv=i1 1L⋅∫u t ⋅dtC⋅t


5) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e

correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule iL1(0–), iL1(0+),

iC1(0–), iC1(0+), iL1(∞), iC1(∞), vC1(0–), vC1(0+), vC1(∞), vL1(0–), vL1(0+), vL1(∞), diL1(0–)/dt,

diL1(0+)/dt, dvC1(0–)/dt, dvC1(0+)/dt.


iL10-=

V2R1R2

, v L10-=0V ,

diL10-

dt=

v L10-

L1

iL10+=

V2R1R2

, v L10+=0V ,

diL10+

dt=

vL1 0+

L1

iL1∞=V1

R1R2, v L1∞=0V .

vC1 0-=

V2R1R2

⋅R2 , iC10-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+ =

V2R1R2

⋅R2 , iC10+ =V1−vC1 0

+ R1

−iL1 0+ ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=V1

R1R2⋅R2 , iC1∞=0A .


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