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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA - CAEN MESTRADO PROFISSIONAL EM ECONOMIA - MPE

MARCOS ANTONIO DE LIMA SANTOS

TAXAS DE SOBREVIVÊNCIA DE PARTICIPANTES DE FUNDOS DE PENSÃO VINCULADOS AO SETOR ELÉTRICO NACIONAL

FORTALEZA 2011

1



Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Economia – Mestrado Profissional – da Universidade Federal do Ceará - UFC, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Economia de Empresas Orientador: Prof. Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes

FORTALEZA 2011

2



Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Economia – Mestrado Profissional – da Universidade Federal do Ceará - UFC, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Economia de Empresas.

Data de Aprovação: 28 de fevereiro de 2011

BANCA EXAMINADORA

_____________________________________ Prof. Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes

Orientador

_____________________________________ Prof. Dr. Andrei Gomes Simonassi

Membro

_____________________________________ Prof. Dr. João Mário Santos de França

Membro

3

À minha Mãe, simplesmente à minha Mãe (in

memoriam).

4

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, pelo apoio incondicional e por acreditarem que a educação é a única

herança inesgotável que podem deixar para seus filhos.

Aos meus irmãos por estarem ao meu lado nos momentos mais voláteis que passei

ao longo do período de estudo.

Aos meus filhos que mesmo sem falarem nenhuma palavra de motivação,

estimularam-me com todas as forças que tinham.

Ao professor orientador, Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes, pela paciência e

incalculável compreensão para que esse estudo fosse realizado.

Ao professor e amigo, Dr. Emílio Recamonde Capelo, pela valiosa contribuição na

indicação de textos e referências bibliográficas necessárias à execução dessa

dissertação.

Aos colegas de turma de mestrado pelo companheirismo demonstrado ao longo do

curso.

Aos colegas de trabalho, em especial ao José Tarcísio, fundamental na obtenção

dos dados para realização desse estudo, Mafalda Melo, Camurça, Átila Einstein e

Paulo Câmara, pela inestimável colaboração com palavras invisíveis de apoio.

Por fim, à Fundação Coelce de Seguridade Social - FAELCE, por acreditar que a

única forma de vencer os novos desafios é através do conhecimento e, por ter

proporcionado e custeado integralmente a realização desse trabalho.

5

RESUMO

Esta dissertação tem por objetivo calcular as taxas de sobrevivência dos participantes de Fundos de Pensão do setor elétrico nacional, bem como encontrar o modelo paramétrico de sobrevivência que melhor represente os dados em estudo. Para desenvolvimento do trabalho utilizamos dados de 14 entidades com informações de participantes ativos e aposentados, com exceção dos inválidos, referentes ao período de 2001 a 2009, totalizando um número total de 100.000 vidas analisadas. Para calcular as taxas brutas de sobrevivência, utilizamos o método indireto, descrito em Ferreira (1985). Após o cálculo das taxas originais, efetuamos o processo de suavização por médias móveis, visando corrigir as flutuações indesejadas obtidas na curva bruta de sobrevivência. Mesmo após o processo de suavização, optamos por restringir o estudo às idades dentro do intervalo de 25 a 85 anos, dado o baixo número de óbitos e expostos nas idades supramencionadas. A partir da curva suavizada, aplicamos os modelos paramétricos de sobrevivência de Gompertz, Gompertz-Makeham, Thiele e Helingman-Pollard, para testar o melhor ajuste da equação. Os resultados mostraram que nenhum dos modelos paramétricos analisados se mostrou com robustez estatística suficiente para se proceder a uma análise preditiva com confiabilidade aceitável.

Palavras-Chave: Fundos de Pensão. Taxas de Sobrevivência. Modelos Paramétricos. Suavização. Parâmetros.

6

ABSTRACT

This paper aims to calculate the survival rates of the participants of the Pension Funds electricity sector as well as finding the parametric survival model that best represents the data in the study. For development work we used data from 14 organizations with information of participants and retirees, with the exception of the disabled, for the period 2001 to 2009, amounting to a total of 100,000 lives analyzed. To calculate the crude rates of survival using the indirect method described in Ferreira (1985). After calculation of the original rates, we make the process of smoothing by moving averages in order to correct the unwanted fluctuations in the curve obtained crude survival. Even after the smoothing process, we chose to restrict the study to age within the range of 25 to 85 years, given the low number of deaths at ages above and exposed. From the smooth curve we apply the parametric models of survival Gompertz, Gompertz-Makeham, Thiele and Helingman-Pollard, to test the best fit of the equation. The results showed that none of the models proved to be analyzed with parametric statistical robust enough to conduct a predictive analysis with acceptable reliability. Keywords: Pension Funds. Survival Rates. Parametric Models. Smoothing Parameters.

7

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - Expectativa de Vida e Esperança de Vida aos 55 anos.................... 22

TABELA 2 - Tábua de Mortalidade Annuity Table 2000 – Male............................ 32

TABELA 3 - Taxas Brutas de Mortalidade............................................................. 34

TABELA 4 - Participantes e Assistidos Vinculados a Entidades do Setor Elétrico............................................................................................... 42

TABELA 5 - Movimentação de Expostos ao Risco................................................ 42

TABELA 6 - Expostos ao Risco Segregados por Sexo......................................... 44

TABELA 7 - Idade Modal à Morte.......................................................................... 44

TABELA 8 - Resumo Descritivo das Idades de Ocorrência de Óbitos.................. 46

TABELA 9 - Parâmetros - Modelo de Gompertz.................................................... 54

TABELA 10 - Parâmetros - Modelo de Gompertz - Makeham................................. 56

TABELA 11 - Parâmetros - Modelo de Thiele.......................................................... 58

TABELA 12 - Parâmetros - Modelo de Thiele Incompleto....................................... 59

TABELA 13 - Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard........................................ 61

TABELA 14 - Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard Incompleto..................... 63

TABELA 15 - Idades sem Óbitos Registrados........................................................... 74

TABELA 16 - Ajuste pelo Modelo de Gompertz....................................................... 75

TABELA 17 - Ajuste pelo Modelo de Thiele – Incompleto....................................... 77

TABELA 18 - Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard........................................... 79

TABELA 19 - Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard – Incompleto..................... 81

8

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1 - Esperanças de Vidas às Idades Exatas......................................... 23

GRÁFICO 2 - Taxas Brutas de Mortalidade.......................................................... 36

GRÁFICO 3 - Taxas Brutas de Mortalidade Suavizadas por Médias Móveis....... 37

GRÁFICO 4 - Distribuição dos Expostos ao Risco por Idade............................... 43

GRÁFICO 5 - Distribuição do Número de Óbitos por Idade.................................. 46

GRÁFICO 6 - Número de Óbitos por Idade – Considerando Todas as Entidades........................................................................................ 47

GRÁFICO 7 - Expostos ao Risco por Idade – Considerando Todas as Entidades........................................................................................ 47

GRÁFICO 8 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz..................... 54

GRÁFICO 9 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz - Makeham.. 56

GRÁFICO 10 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele........................... 57

GRÁFICO 11 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele Incompleto........ 59

GRÁFICO 12 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard......... 61

GRÁFICO 13 - Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard Incompleto...................................................................................... 63

9

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 - Medidas de Tendência Central e Separatrizes – Segundo (Óbitos por Ano)............................................................................................... 45

FIGURA 2 - Diagrama de Mudança de Status do Exposto ao Risco...................... 48

10

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 12

2 TÁBUAS DE MORTALIDADE....................................................................... 15

2.1 Um Breve Histórico................................................................................ 15

2.2 Classificação das Tábuas de Mortalidade........................................... 18

2.3 Tábuas Adotadas pelas Entidades Fechadas de Previdência Complementar........................................................................................ 20

3 MODELOS DE SOBREVIVÊNCIA.......................................................... 25

3.1 Análise de Sobrevivência...................................................................... 25

3.1.1 Função de Sobrevivência......................................................................... 25

3.1.2 Probabilidade de Morte e Sobrevivência.................................................. 26

3.1.3 Força de Mortalidade............................................................................... 28

3.2 Leis de Mortalidade................................................................................ 29

3.2.1 Principais Leis de Mortalidade................................................................. 29

3.3 Tábuas de Mortalidade.......................................................................... 31

3.3.1 Graduação de Tábuas de Mortalidade..................................................... 33

3.3.2 Cálculo das Probabilidades Brutas de Morte........................................... 35

3.3.3 Suavização das Taxas Brutas.................................................................. 36

3.3.4 Testes de Ajustamento............................................................................. 37

3.3.4.1 Desvios Absolutos e Relativos................................................................. 38

3.3.4.2 Teste de Kolmogorov-Smirnov (KS)......................................................... 38

3.3.4.3 Teste do Chi-Quadrado............................................................................ 39

4 FONTES DE DADOS............................................................................... 41

4.1 Análise dos Dados................................................................................. 41

4.2 Tratamento, Checagem e Validação dos Dados................................. 48

4.2.1 Problemas Encontrados nos Dados......................................................... 49

5 GRADUAÇÃO DOS DADOS DE MORTALIDADE – MODELOS PARAMÉTRICOS.................................................................................... 51

5.1 Distribuição do Número de Óbitos e Expostos ao Risco................... 51

5.2 Teste de Ajustamento............................................................................ 52

5.3 Ajuste das Taxas Brutas de Mortalidade............................................. 53

5.3.1 Modelo de Gompertz................................................................................ 53

5.3.1.1 Teste de Hipóteses.................................................................................. 54

5.3.2 Modelo de Gompertz - Makeham............................................................. 55

5.3.3 Modelo de Thiele...................................................................................... 57


11

5.3.4 Modelo de Heligman-Pollard.................................................................... 60


5.3.5 Modelo de Heligman-Pollard – Incompleto.............................................. 62


6 CONCLUSÃO.......................................................................................... 65

REFERÊNCIAS..................................................................................................... 67

APÊNDICES.......................................................................................................... 71

12

1 INTRODUÇÃO

A atividade básica de uma Entidade Fechada de Previdência

Complementar, também conhecida como Fundo de Pensão, consiste em administrar

planos de benefícios de caráter previdenciário a um público específico, como por

exemplo, empregados de uma determinada empresa. Uma característica singular

dos planos de benefícios é a natureza longínqua de suas atividades, ou seja,

normalmente um participante tem uma relação de longo prazo com a entidade, indo

do início da fase adulta até o seu fenecimento.

Em função da relação duradoura entre a entidade e seus participantes, os

planos necessitam efetuar projeções do valor das contribuições a serem aportadas

pelos filiados e pela empresa patrocinadora, bem como das obrigações do fundo

com esses indivíduos através do fluxo de pagamento de aposentadorias e

dimensionamento das reservas matemáticas do plano de benefícios.

Para suportar e dar consistência na estruturação e modelagem dos planos

de previdência, a compreensão da dinâmica biométrica do grupo, por meio do

estudo da mortalidade e sobrevivência dos indivíduos, é um dos pressupostos

fundamentais para o correto funcionamento. Caso a entidade não tenha

conhecimento do comportamento biométrico da massa de participantes, o equilíbrio

e solvência do plano serão comprometidos causando prejuízos ao Fundo, aos

patrocinadores e, principalmente, aos participantes ativos e aposentados.

O estudo ora proposto tem como objetivo investigar o comportamento das

taxas de mortalidade dos participantes de Fundos de Pensão patrocinados por

empresas que atuam no setor elétrico nacional, bem como testar e avaliar modelos

paramétricos de sobrevivência que possam representar com fidedignidade os dados

analisados. Segundo dados da Associação Brasileira das Entidades Fechadas de

Previdência Complementar – ABRAPP, o segmento é composto por 24 (vinte e

quatro) entidades, congregando um contingente superior a 200.00 vidas, distribuídas

entre participantes ativos, aposentados e pensionistas.

13

O estudo analisará dados do período de 2001 a 2009, tendo como foco

principal a observação das taxas de mortalidade no grupo de participantes ativos e

aposentados que não tenham tido o benefício concedido decorrente do evento

invalidez.

Das 24 (vinte e quatro) entidades que compõem o setor, 15 (quinze)

disponibilizaram informações para execução desse trabalho, porém, somente

14 (catorze) tiveram dados considerados aptos para o estudo, gerando um número

superior a 100.000 vidas analisadas.

Para o desenvolvimento desse trabalho, organizamos a elaboração do

texto em 6 (seis) etapas, que serão descritas na forma de capítulos que compõem

esta dissertação.

O primeiro capítulo é composto por esta introdução.

O capítulo seguinte aborda um breve histórico a respeito da construção

de tábuas biométricas, tipos de tábuas existentes, a necessidade e a importância da

adoção desse instrumento na estruturação dos planos de previdência, a

regulamentação por parte do governo, bem como estudos realizados no âmbito

nacional e internacional. Neste capítulo, o leitor conhecerá um pouco a respeito de

tábuas biométricas, que, em síntese, é o resultado final do estudo de taxas de

mortalidade e sobrevivência em uma população específica. Entretanto, cabe-nos

esclarecer que não é objetivo fim desse estudo a construção desse instrumento

estatístico.

O terceiro capítulo é dedicado ao referencial teórico, onde apresentamos

os modelos de sobrevivência, leis de mortalidade, metodologia para cálculo das

taxas brutas de mortalidade, e, por fim, uma breve introdução sobre os modelos

paramétricos para a graduação das taxas brutas, com os devidos testes de

ajustamento.

O quarto capítulo apresenta as fontes de dados e a metodologia utilizada

para coleta, checagem e validação das informações. Também discorremos nesse

14

capítulo os problemas encontrados para tabulação dos dados e dos procedimentos

utilizados para a montagem do mapa de sobrevivência que garantiu a consistência

dos dados adotados.

O penúltimo capítulo traz um breve resumo a respeito das distribuições

estatísticas utilizadas para modelar o número de óbitos e expostos ao evento morte,

uma síntese dos resultados observados nos ajustamentos pelos modelos

paramétricos, os gráficos com a comparação das curvas obtidas pelas taxas brutas e

ajustadas, bem como os resultados do teste de ajustamento para cada modelo

analisado.

E, por fim, o último capítulo apresenta as conclusões extraídas desse

estudo e algumas sugestões a respeito de trabalhos que ainda podem ser

desenvolvidos com os dados utilizados, culminando na construção de uma tábua

biométrica, fato não alcançado nesse estudo.

15

2 TÁBUAS DE MORTALIDADE

2.1 Um Breve Histórico

A história nos revela que o interesse sobre a longevidade humana sempre

foi objeto de investigação desde as primeiras civilizações. Segundo Ferreira (1985) a

primeira tábua de mortalidade que se tem notícia foi organizada na época da Roma

Clássica, por Domitius Ulpianus, prefeito de Roma. Ele estudou os documentos

sobre nascimentos e mortes e, por esse fato, vem recebendo o título de “Primeiro

Atuário da História”.

Mas, foi somente no século XVII, na Inglaterra, que começaram os

primeiros estudos sobre as tábuas de mortalidade. Um trabalho pioneiro foi

desenvolvido pelo mascate inglês John Graunt e descrito no seu livro The Nature

and Political Observations Made Upon the Bills of Mortality (1662). No ano de 1693,

o matemático e astrônomo Edmund Halley, publicou o artigo intitulado An Estimate

of the Degrees of the Mortality of Mankind. A tábua foi elaborada com base nos

registros de nascimentos e mortes dos anos de 1687 a 1691, da cidade de Breslaw,

na Polônia. Halley, que era de origem britânica, escolheu Breslaw, pois ficava

geograficamente longe do mar, de modo que os fluxos migratórios eram pequenos,

gerando uma estabilidade demográfica, com a qual John Graunt não pôde contar em

Londres.

Em 1725, o matemático francês Abraham De-Moivre propôs uma

expressão analítica para representar a força de mortalidade dentro de um grupo. A

expressão foi um dos primeiros passos no sentido de encontrar uma estrutura que

fosse capaz de modelar a trajetória de um indivíduo desde a data de nascimento até

o seu fenecimento. Para representar o comportamento do número de vivos em uma

coorte1 De-Moivre utilizou uma equação linear, que tinha o valor máximo na idade

1 Segundo Capello (1986), Coorte pode ser definida como um grupo de pessoas nascidas vivas num

mesmo espaço geográfico, num mesmo intervalo de tempo, fechado a migrações e que tem a sua trajetória de vida analisada através de indicadores demográficos até que o mais longevo de seus participantes faleça.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Demografia

http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Graunt

http://pt.wikipedia.org/wiki/Londres

16

zero ano e chegando ao valor zero na idade de 86 anos. A expressão utilizada por

De-Moivre está descrita a seguir:

(2.1)

onde:

representa a idade máxima atingida pelo ser humano, no caso, 86 anos;

e a idade biológica do indivíduo.

Um século depois, em 1825, o matemático e atuário judeu Benjamim

Gompertz lançou mão de outra equação para explicar a intensidade da força de

mortalidade. Sua expressão foi de grande relevância, tanto que ainda hoje é

bastante utilizada por demógrafos e atuários. Diferentemente do modelo linear de

De-Moivre, o modelo de Gompertz admitia que a capacidade de sobrevivência

diminui exponencialmente com a idade, ou seja, a força de mortalidade aumenta

também de forma exponencial com a idade. Poucos anos depois, em 1860, o

atuário Guillermo Mateo Makeham, a partir da formulação de Gompertz, publicou o

estudo “La ley de La mortalidad”. O trabalho introduziu na expressão de Gompertz

uma constante para representar o azar, ou seja, além das forças normais de

mortalidade capturadas pela expressão de Gompertz, o imponderável passou a fazer

parte do modelo de Makeham. A seguir apresentamos o modelo proposto por

Gompertz através da equação 2.2 e, em seguida, o de Makeham conforme equação

2.3.

(2.2)

(2.3)

Segundo Galé (1977), Gompertz quis expressar por meio da sua equação

o entendimento de que, caso a vida humana não fosse afetada por outras

enfermidades, senão o processo natural de envelhecimento, em todas as idades, o

17

número de sobreviventes e de mortos decrescia com a idade em progressão

geométrica, enquanto que a idade seguia uma progressão aritmética.

Os estudos de Gompertz-Makeham serviram de alicerce para vários

outros autores, que a partir do modelo analítico proposto fizeram ajustes e

melhoramentos, tornando as formulações mais complexas, tendo ainda como

objetivo encontrar uma Lei que pudesse vestir a curva da força de mortalidade da

forma mais fidedigna possível. Dentre os estudos realizados podemos destacar

Lazarus (1862); Sang (1868); Oppermann (1870); Thiele (1872); Dormoy (1878);

Laurent (1892); Moser (1939); Heligman-Pollard (1980), entre outros. Além dos

modelos que tinham como nascedouro os trabalhos de Gompertz-Makeham, outros

pesquisadores recorreram a distribuições estatísticas para explicar o arco da vida

humana, como por exemplo, a distribuição logística e de Weibull. Perks (1932) foi o

primeiro a recorrer ao modelo logístico. Mais tarde, Beard (1971) e posteriormente

Kannistö (1992) também recorreram à ideia inicial de Perks. Morlat (1975) utilizou a

distribuição de Weibull admitindo que a trajetória humana possa ser explicada como

a composição de múltiplos e complexos sistemas dinâmicos, interagindo entre si,

cada um com uma distribuição de Weibull, com um parâmetro específico.

Como podemos observar, o interesse pela duração da vida já é bastante

antigo. No entanto, somente em 1815 é que temos a construção da primeira tábua

em bases científicas. Esse marco é impultado a Milne, que apoiado em população e

óbitos classificados por idade de duas paróquias da cidade britânica de Carlisle,

para o período 1779-1787. Antes de Milne, outras tábuas já haviam sido

desenvolvidas, como por exemplo, a tábua londrina de John Smart em 1738. Em

1746 William Kersseboom e Antoine Deparcieux desenvolveram a primeira tábua

francesa. Richard Price (1783) elaborou as tábuas de Estocolmo, Northampton e da

Suécia. Nos Estados Unidos da América a primeira tábua foi elaborada por Edward

Wigglesworth, em 1789, com base em dados para os Estados de Massachusetts e

New Hampshire.

Os estudos mais recentes no âmbito internacional são captaneados por

centros de referência na construção de tábuas, como por exemplo, A Society of

18

Actuaries (SOA) nos Estados Unidos e o Continuous Mortality Investigation (CMI) na

Inglaterra.

No Brasil, a primeira tábua de mortalidade representativa da população

brasileira data de 1980, ano de realização do censo demográfico, e foi construída

pelo Instituto Brasileito de Geografia e Estatística – IBGE. Após 1980, o IBGE

construiu mais duas tábuas, em 1991 e 2000. A partir dessa data, as tábuas

divulgadas são frutos de modelos de projeções populacionais.

Além das tábuas elaboradas pelo IBGE, outros trabalhos foram realizados

tendo o ramo securitário como foco específico. O atuário Gastão Quartin Pinto de

Moura construiu a tábua de mortalidade EB5-49/53, com base no levantamento da

experiência de 10 (dez) seguradoras brasileiras no período de 1949 a 1953. CONDE

(1991) construiu uma tábua com dados da Fundação Attílio F. X. Fontana, batizada

de FAF-89. Beltão et al. (1995) construíram uma tábua para os participantes da

Caixa de Previdência do Banco do Brasil – PREVI, com dados dos funcionários do

Banco do Brasil, do período de 1940 a 1990, sendo esse estudo atualizado

posteriormente por Ribeiro e Pires (2001) com dados até o ano 2000. Beltrão e

Sugahara (2002) construíram uma tábua de mortalidade com dados das entidades

abertas de previdência complementar2, fornecidos pela Superintendência de

Seguros Privados – SUSEP. Martins (2007) construiu uma tábua com dados do

periodo de 2000 a 2006 para os servidores públicos estatutários da administração

direta do município do Rio de Janeiro.

2.2 Classificação das Tábuas de Mortalidade

As tábuas de mortalidade são classificadas normalmente pelas

características da população em estudo, como por exemplo, sexo, grupo de risco,

tipo de arranjo securitário específico, dentre outras. Além dos atributos já citados, as

2 Entidades constituídas unicamente sob a forma de sociedades anônimas e têm por objetivo instituir

e operar planos de benefícios de caráter previdenciário concedidos em forma de renda continuada ou pagamento único, acessíveis a quaisquer pessoas físicas.

19

tábuas também recebem classificação em virtude da metodologia adotada na sua

construção:

Tábuas Contemporâneas (transversais ou de momento): tábuas

que se baseiam em uma análise cross-section de uma geração,

observando-se a mortalidade durante um determinado período, como

por exemplo, cinco anos. Desta forma, os indivíduos analisados

estariam, apesar das diferentes idades, expostos à mesma condição de

vida.

Tábuas Geracionais (longitudinais): tábuas que correspondem ao

conceito original de tábua de vida. Elas são construídas a partir da

observação de um grupo de nascidos num mesmo período, sendo

acompanhada, a sua evolução, até que o último faleça. Neste caso, os

sobreviventes são submetidos às condições de mortalidade de cada

um dos anos pelos quais efetivamente passam. Essas tábuas não são

utilizadas atualmente, já que seria necessário acompanhar a geração

de indivíduos por muito tempo, além do que estariam retratando as

condições de vida que já ocorreram.

As tábuas de mortalidade também podem ser classificadas pela amplitude

do intervalo de idades:

Tábuas Completas: são tábuas construídas com idade ano a ano,

iniciando com o limite inferior na idade zero até o limite superior

correspondente à idade máxima adotada.

Tábuas Abreviadas: tábuas elaboradas para grupos de idades, como

por exemplo, quinquenais ou decenais.

Outra classificação para as tábuas de mortalidade é quanto a sua

dinâmica, ou seja, podendo ser classificadas em tábuas estáticas e tábuas

prospectivas:

20

Tábuas Estáticas: tábuas unidimensionais que se reportam apenas à

idade biológica.

Tábuas Prospectivas ou Dinâmicas: tábuas bidimensionais,

indexadas, onde as linhas representam a idade biológica, enquanto

que as colunas representam o ano calendário, já considerando os

ganhos de sobrevida esperados, como por exemplo, avanços na

medicina e melhorias nas condições de trabalho, qualidade de

educação, entre outros fatores que influenciam na mortalidade de uma

população.

2.3 Tábuas Adotadas pelas Entidades Fechadas de Previdência Complementar

Os Fundos de Pensão brasileiros adotaram e continuam adotando tábuas

construídas a partir da experiência de mortalidade de populações estrangeiras, para

o pagamento de rendas aos seus associados. Entretanto, poderíamos nos fazer a

seguinte indagação: por que não adotar a tábua elaborada e divulgada pelo IBGE? A

tábua elaborada pelo IBGE reflete decrementos não usuais em planos de

previdência, como por exemplo, mortalidade infantil, fluxos migratórios, níveis de

educação e renda, dentre outros fatores significantes no estudo da mortalidade. A

força de mortalidade sobre a população geral tende a ser superior a força que atua

sobre os participantes de Fundos de Pensão, isto é, os segurados dos planos de

previdência complementar representam um extrato da população que possuem

condições sócio-econômicas mais favoráveis do que a população como um todo,

portanto, espera-se que este grupo tenha uma expectativa de vida superior.

Segundo Capelo (1986), o uso de tábuas biométricas por parte dos atuários no ramo

securitário prescinde da seguinte observação:

Contrariamente aos demógrafos, os atuários estão interessados em grupos particulares de pessoas que são segurados de algum esquema previdenciário ao tempo em que estão também fortemente preocupados, em função dos compromissos que assumem para muitos anos no futuro, com as mudanças progressivas das taxas de mortalidade dos anos que estão por vir.

21

Dentre as várias tábuas já adotadas pelas entidades fechadas de

previdência complementar, podemos destacar:

Annuity Table for 1949 – AT1949: trata-se de uma tábua de anuidades

norte americana, desenvolvida por Jenkis e Lew, a partir de

observações coletadas no período de 1941 a 1946.

Comissioner’s 1958 Standart Ordinary – CSO58: tábua americana

construída com base na avaliação de cerca de 600 mil apólices de

seguros de vida e objetivou atualizar e substituir a tábua CSO41.

Annuity Table for 1983 – AT1983: trata-se também de uma tábua de

anuidades norte americana, desenvolvida por Roger Scott Lumsden, a

partir de observações coletadas no período de 1971 a 1976. Seu nome

original é IAM-83 (Individual Annuity Mortality) e foi construída a partir

da experiência individual de seguradoras americanas.

1983 Group Annuity Mortality Table – GAM83: tábua projetada para o

ano de 1983, decorrente do projeto da 1966 Experience Table, e foi

desenvolvida a partir de experiência de um grupo de beneficiários, com

uma escala projetada.

Uninsured Pension 1994 – UP94: tábua projetada para o ano de 1994,

baseada no número de vidas do Civil Service of Retirement Sistem –

CSRS, para as idades entre 25 – 65, e no estudo da Society of

Actuaries – SOA, para as idades entre 65-95. Para as idades de 1 a 24

e acima de 96 anos utilizou-se o censo dos Estados Unidos AS 107

para 1990.

Annuity Table for 2000 – AT2000: tábua elaborada em 1996, baseada

em projeções para a sobrevivência no ano 2000. Assim como a AT83

também utilizou dados dos anos de 1971 a 1976 e seu nome original é

1996 US Annuity 2000.

A seguir apresentamos uma tabela com expectativas de vida ao nascer e

esperança de sobrevida aos 55 anos de algumas tábuas já adotadas e que

continuam sendo utilizadas pelos Fundos de Pensão:

22

Tabela 1 – Expectativas de Vida e Esperança de Vida aos 55 anos

Ano Tábua Expectativa

de Vida Esperança de Sobrevida

aos 55 anos +

1941 US CSO 62,83 18,28

1949 Annuity Table Male 73,68 22,70

1951 US GAM Male 73,51 22,00

1958 US CSO Male 68,80 20,21

1971 US GAM Male 75,36 23,21

1983 US GAM Male 76,93 24,38


1994 US UP-94, Male 78,72 25,99


2000 RP - Mortality Healthy (Annuitant Mortality) 78,86 25,77

2009 IBGE – Ambos os Sexos 73,20 25,00

2010 BR-EMSsb-v.2010-m 82,36 30,28

Fonte: Society of Actuaries, Susep e IBGE

Recentemente, a SUSEP, atendendo uma orientação do Conselho

Nacional de Seguros Privados, divulgou no início de 2010 tábuas de sobrevivência e

mortalidade, elaboradas pelo Departamento de Matemática Aplicada da

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). As tábuas elaboradas foram

batizadas de Experiência do Mercado Segurador Brasileiro (BR-EMS), e para sua

construção foram observados dados referentes aos anos de 2004, 2005 e 2006,

fornecidos por 23 seguradoras, que representam 95% do mercado brasileiro de vida

e previdência complementar aberta. No trabalho foi analisado o histórico de

32 milhões de brasileiros, sendo 19 milhões de homens e 13 milhões de mulheres.

O fato das entidades abertas estarem na iminência de utilizar uma tábua

construída a partir de dados que refletem a experiência nacional tem pressionado

fortemente o segmento de previdência complementar fechada a tomar atitude

semelhante. Convém destacar que a adoção de tábuas de mortalidade por parte dos

Fundos de Pensão passa por regulamentação do estado. No ano de 2002 o

Conselho de Gestão de Previdência Complementar – CGPC publicou a Resolução

nº 11, que dispunha sobre os parâmetros técnico-atuariais para estruturação de

plano de benefícios de entidades fechadas de previdência complementar. O item 2

do anexo da resolução supramencionada determinava que as entidades deveriam

utilizar tábua biométrica para projeção da longevidade do participante em gozo de

benefício de aposentadoria programada e continuada e do beneficiário, desde que a

23

expectativa de vida completa fosse, igual ou superior, no mínimo, àquela resultante

da aplicação da tábua AT-49 (ver tabela 1).

Dando continuidade ao acompanhamento do aumento da longevidade da

população nacional, conforme gráfico 1, e, por conseguinte, dos participantes de

Fundos de Pensão, o CGPC revogou, em 2006, a Resolução nº 11/2002 e divulgou

a Resolução nº 18/2006, que também dispõe sobre os parâmetros técnico-atuariais

dos planos de benefícios. A grande mudança nos parâmetros técnico-atuariais ficou

por conta da alteração da tábua biométrica, ou seja, a tábua mínima adotada passou

da AT-49 para AT-83 (ver tabela 1). O gráfico abaixo apresenta a evolução da

expectativa de vida, ao nascer, da população nacional ao longo das últimas duas

décadas. No ano de 1991, a expectativa de vida para ambos os sexos era de 66

anos, enquanto que em 2009 saltou para 73,2 anos, ou seja, um incremento

significativo na sobrevivência da população. Esse ganho de longevidade na

população nacional, também refletido nos participantes de Fundos de Pensão, gera

custos adicionais, seja por demandas na área de saúde ou na previdência social. Na

previdência, o aumento dos custos é expresso pela dilatação média no período de

pagamento dos benefícios de aposentadoria, daí a necessidade de

acompanhamento contínuo da mortalidade e sobrevivência do grupo coberto pelos

planos de benefícios.

Gráfico 1 – Esperanças de Vidas às Idades Exatas Fonte: IBGE

24

Os dois últimos parágrafos deixam clara a importância e preocupação por

parte do estado quanto ao conhecimento da mortalidade dentro do grupo de

participantes de um plano de benefícios. Os Fundos de Pensão brasileiros adotam

tábuas que expressam uma experiência estrangeira, sendo constantemente alvo de

críticas por não utilizar tábua com base na experiência nacional. Destaque-se que a

adoção de tábuas de origem internacional não implica que o risco de longevidade

está sendo negligenciado por parte das entidades, pois, de acordo com a legislação,

os Fundos de Pensão devem realizar estudos periódicos de aderência da tábua

adotada, em relação à massa de participantes do plano, independentemente da

tábua mínima estabelecida pelo órgão regulador.

Com o objetivo de aumentar os subsídios para maior conhecimento a

respeito da matéria, nos propomos neste trabalho a elaborar uma análise da

sobrevivência e mortalidade dos participantes de Fundos de Pensão do setor elétrico

nacional, adotando métodos de graduação paramétrica para ajuste das taxas brutas

de mortalidade.

25

3 MODELOS DE SOBREVIVÊNCIA

Os fenômenos atuariais estão sustentados em eventos aleatórios, dentre

eles à duração da vida humana. Com o desenvolvimento das ciências, vários

estudos foram realizados no sentido de encontrar uma forma de mensurar da forma

mais fidedigna possível o intervalo de tempo que vai desde o nascimento do

indivíduo até a sua completa extinção física. Para analisar o fenômeno em questão a

busca de explicações através do formalismo matemático, apoiado em bases

científicas, como por exemplo, o uso da teoria das probabilidades, foi algo quase

que inevitável. Nas linhas seguintes iremos apresentar conceitos rudimentares a

respeito da análise de sobrevivência, como forma de subsidiar o leitor para uma

compreensão básica sobre a utilização das taxas de mortalidade em planos de

previdência.

3.1 Análise de Sobrevivência

De uma forma simplificada a análise de sobrevivência tem por objetivo

estimar a probabilidade de um indivíduo permanecer em sua condição durante um

determinado intervalo de tempo. No nosso caso, a condição de interesse é a

mudança de status no binômio vida-morte, e o intervalo a ser investigado é o período

de um ano, ou seja, qual a probabilidade de um participante de um plano de

previdência patrocinado por uma empresa do setor elétrico nacional, falecer entre

duas idades consecutivas.

3.1.1 Função de Sobrevivência

Denotemos por X uma variável aleatória associada ao tempo de vida de

um determinado indivíduo. X pode assumir valores desde 0 (zero) até o limite

máximo de sobrevivência.

26

A função distribuição acumulada de X pode ser denotada por:

(3.1)

A expressão acima representa a probabilidade de um indivíduo na idade

X falecer antes de completar a idade x.

(3.2)

Para especificar a distribuição de X utiliza-se a função complementar de

, denominada função de sobrevivência e representada normalmente pela

notação . A função de sobrevivência exprime a probabilidade de um

indivíduo recém-nascido sobreviver pelo menos x anos. Sua representação é dada

por:

(3.3)

A função é decrescente, consequentemente,

. Sabendo que , facilmente chegamos à conclusão que

3.1.2 Probabilidade de Morte e Sobrevivência

Após o entendimento das distribuições de e é possível

calcularmos as probabilidades de morte e sobrevivência de um indivíduo.

Apropriando-se das leis de probabilidade podemos chegar sem muito algebrismo a

probabilidade de um indivíduo recém-nascido morrer entre as idades x e z conforme

equação (3.4), bem como a probabilidade de morrer entre as idades x e y, dado que

estava vivo na idade x de acordo com a equação (3.5).

27

(3.4)

(3.5)

Para expressar as probabilidades de morte e sobrevivência de um

indivíduo em um determinado intervalo de tempo, no contexto atuarial, vamos

atender as convenções determinadas pelo International Actuarial Association’s

Permanent Comitee on Notation. Desse modo, utilizaremos a partir desse momento

e, no restante do texto, as seguintes nomenclaturas para probabilidade de morte e

sobrevivência: representa a probabilidade de uma pessoa de idade x falecer

antes de complementar a idade x + n, enquanto que representa a probabilidade

um indivíduo de idade x sobreviver até a idade x + n.

Recorrendo-se a complementariedade dos eventos sobrevivência e morte,

chegamos à seguinte expressão:

. (3.6)

Utilizando-se o conceito de probabilidade condicional e com base e na

função de sobrevivência, podemos expressar as probabilidades de morte e

sobrevivência, da seguinte forma:

(3.7)

28

(3.8)

3.1.3 Força de Mortalidade

A força de mortalidade, também conhecida como taxa instantânea de

mortalidade, representa a variação da intensidade da morte ao longo dos anos, e

sua notação é conhecida por . Em termos atuariais, a variação instantânea da

morte pode ser entendida como a probabilidade de um indivíduo de idade x falecer

em um período relativamente pequeno, inferior a um ano. Portanto, esse indivíduo

morrerá antes de atingir a idade seguinte, no caso, a idade x + , quando tende

a 0 (zero).

Expressando através das funções e , temos:

(3.9)

Relacionando a força de mortalidade com as probabilidades de morte e

sobrevivência e , temos:

(3.10)

(3.11)

29

3.2 Leis de Mortalidade

Lei de Mortalidade é uma expressão matemática que descreve a

mortalidade em função da idade e um conjunto de parâmetros. A Lei de mortalidade

é a forma de expressar analiticamente a função sobrevivência e o comportamento da

mortalidade registrado em uma população.

Segundo Bowers et al. (1997) existem três grande motivos para se propor

uma forma analítica para a função de mortalidade ou sobrevivência. O primeiro é de

ordem filosófica, ou seja, utilizando-se de argumentos biológicos, alguns autores

sugerem que a sobrevivência humana é governada por uma Lei que pode ser

representada por uma simples equação. O segundo e terceiro motivos são de ordem

prática, isto é, através de leis de mortalidade e estimação de alguns parâmetros

chega-se a uma forma algébrica como forma de explicar o comportamento da

mortalidade.

No capítulo II foi apresentado que desde De-Moivre (1725) tenta-se

encontrar uma Lei que possa definir a trajetória da vida humana, entretanto a mais

famosa é atribuída a Gompertz (1725). Antes de citarmos as principais Leis de

mortalidade e suas principais características, gostaríamos de lembrar ao leitor que

as expressões analíticas são apenas uma tentativa de explicar o fenômeno

sobrevivência/morte com base em dados empíricos, fundamentados em modelos

estatísticos, e, em alguns casos, sustentados também em bases fisiológicas para

modelar o processo de envelhecimento, portanto não temos a pretensão de achar

que todo o arco da vida humana pode ser facilmente representado por uma única lei

de mortalidade.

3.2.1 Principais Leis de Mortalidade

A seguir apresentamos cinco leis de mortalidade dentre as mais

conhecidas na literatura.

30

a) Modelo de Gompertz

. (3.12)

O modelo de Gompertz, exceto o de De-Moivre, é o mais simples de

todos os modelos, entretanto sua contribuição é imensurável para os demais

estudos que foram desenvolvidos posteriormente.

b) Modelo de Gompertz-Makeham (1867)

. (3.13)

O modelo Gompertz-Makeham é uma expressão simples com apenas 3

parâmetros, e tem como princípio básico o crescimento da mortalidade em

progressão geométrica, adicionada de uma constante que designa o imponderável,

como por exemplo, mortes decorrentes de acidentes.

c) Modelo de Thiele (1871)

. (3.14)

A estrutura desenvolvida por Thiele possui 7 parâmetros e foi uma das

primeiras tentativas em abranger todo o ciclo de vida. O primeiro termo da expressão

reflete a mortalidade infantil com queda acentuada após o nascimento, o segundo

representa a mortalidade por causas externas. O terceiro e último termo é a lei de

Gompertz apropriada as idades mais avançadas.

d) Modelo de Perks (1932)

. (3.15)

31

Perks, atuário britânico, foi o primeiro a recorrer à curva logística para

explicar o arco da vida humana. No numerador temos a expressão proposta por

Gompertz, enquanto o denominador tem por objetivo atenuar o crescimento

exponencial decorrente do numerador, principalmente nas idades mais avançadas.

O autor reconhece que a força de mortalidade não aumenta indefinidamente com a

idade e verifica um padrão de desaceleração a partir da idade de 84 anos.

e) Modelo Heligman-Pollard (1980)

. (3.16)

O modelo proposto por Heligman-Pollard é semelhante a estrutura

preconizada pela Lei de Thiele, que as causas de morte podem ser divididas em 3

termos. Cada termo representa um componente distinto da mortalidade. O primeiro

reflete a queda na mortalidade durante os primeiros anos de infância que a criança

leva para se adaptar ao novo ambiente. O segundo termo da expressão é atribuído

às causas de mortalidade na idade juvenil, enquanto que o último termo representa

o aumento geométrico da mortalidade nas idades mais adultas.

3.3 Tábuas de Mortalidade

A tábua de mortalidade é um instrumento teórico utilizado para medir as

probabilidades de sobrevivência e morte de uma determinada população. Segundo

Ferreira (1985), uma tábua de mortalidade, na sua forma mais elementar, consiste

em uma tabela que registra um grupo inicial de pessoas na mesma idade, bem como

o número daqueles que vão atingindo as diferentes idades até a extinção completa

do referido grupo.

O uso das tábuas de mortalidade não é exclusivo nas atividades

desenvolvidas por atuários e demógrafos, pois também é comum que profissionais

da área de saúde recorram a esse instrumento.

32

No caso dos atuários, o interesse nas tábuas de mortalidade fica mais

restrito a determinado intervalo de idades, ou seja, principalmente a fase adulta e a

senescência, pois é neste período que os indivíduos fazem aportes de contribuições

e recebem os benefícios de aposentadoria. A seguir apresentamos os principais

símbolos de uma tábua de mortalidade, aprovados no I Congresso Internacional de

Atuários, conforme seção realizada em 3 de setembro de 1895. Os símbolos

principais são: e Abaixo apresentamos um resumo da tábua de

mortalidade Annuity Table 2000 - Male, contendo os símbolos supracitados, bem

como o significado das principais colunas:

Tabela 2 – Tábua de Mortalidade Annuity Table 2000 - Male

Idade 0 0,002311 2311 1000000 998845 80069109 80,2

1 0,000906 904 997689 997237 79070265 79,3

2 0,000504 502 996785 996534 78073028 78,3

3 0,000408 406 996283 996079 77076494 77,4

4 0,000357 356 995876 995698 76080414 76,4

5 0,000324 323 995521 995359 75084716 75,4

Fonte: Elaboração do autor

A letra designa taxa de mortalidade ou probabilidade matemática de

morte. A letra é a inicial da palavra inglesa living e representa o número de

pessoas vivas ou de sobrevivência de certa idade. A letra é proveniente palavra

inglesa death e representa o número de pessoas atingidas pela morte numa

determinada idade e, por último, a letra é a inicial da expressão expectation of

life. Representa a esperança de vida, ou seja, significa uma média de sobrevivência.

Normalmente uma das informações mais importante em uma tábua de

mortalidade é a expectativa de vida ao nascer e as esperanças de sobrevida nas

idades seguintes. A seguir apresentamos as principais relações obtidas a partir da

probabilidade de morte , que nos permitirá chegarmos à informação desejada.

Antes de descrevermos as relações funcionais, duas informações são necessárias.

A primeira refere-se à idade máxima contida na tábua, representada pela letra

minúscula e o número de indivíduos vivos na idade zero, conhecido como radix. O

radix é um número suficientemente grande, que será decrementado da idade zero

até a completa extinção da coorte hipotética, de acordo com as taxas de mortalidade

33

obtidas. Normalmente o radix, conhecido também por , é definido por um número

de 100.000 ou 1.000.000 de indivíduos.

a) Número de sobreviventes à idade x

. (3.17)

b) Distribuição do número de óbitos

. (3.18)

c) Probabilidade de pessoas vivas entre as idades x e x + 1

. (3.19)

d) Esperança completa de sobrevida

(3.20)

3.3.1 Graduação de Tábuas de Mortalidade

Segundo Haberman y Renshaw (1996) graduação pode ser definida como

o conjunto de princípios e métodos mediante os quais um conjunto de

probabilidades observadas (brutas) é ajustado de modo a proporcionar uma base

adequada, quer para a realização de inferência estatística, quer para realização de

cálculos aplicados, como por exemplo, o cálculo de prêmios e reservas.

Na construção de tábuas de mortalidade é comum que após a obtenção

das taxas brutas, note-se que a curva obtida não apresenta um padrão suave e a

monotonicidade crescente em relação à idade, que é inerente ao comportamento da

34

mortalidade humana. Ou seja, espera-se que um indivíduo de idade mais longeva

tenha mortalidade superior à de um mais jovem, todavia, as taxas brutas podem não

se comportar dessa forma, levando-nos a uma situação paradoxal. Na tabela 3

apresentamos um extrato das taxas brutas calculadas para a população em estudo,

sendo possível perceber facilmente que a probabilidade de um indivíduo falecer

entre as idades 18 e 19 é maior do que a probabilidade de morte entre as idades 19

e 20. Nesse caso, como justificar que um indivíduo de idade 18 anos deve pagar um

prêmio maior do que o indivíduo de idade 19 para um mesmo capital segurado?

Tabela 3 – Taxas Brutas de Mortalidade

IDADE TAXA BRUTA (QX)

18 0,0042

19 0,0035

20 0,0014


Para obter a representação esperada, bem como solucionar a situação

exposta acima, aplica-se modelos de suavização da curva de mortalidade original,

também conhecida por graduação. Os modelos de graduação são classificados em

paramétricos e não paramétricos, também denominados como globais e locais,

respectivamente.

Os modelos paramétricos, também denominados modelos globais,

pressupõem que a força de mortalidade que age sobre o grupo, pode ser

representada de forma analítica, por meio de uma única equação com n parâmetros.

Esses parâmetros são estimados a partir dos dados brutos disponíveis e com os

procedimentos estatísticos adequados. Nos modelos não paramétricos, também

denominados modelos locais, o ajuste não fica restrito a uma única formulação

matemática e tende a proporcionar resultados mais satisfatórios quando a

quantidade de dados é suficientemente grande.

No Brasil é mais comum o uso de modelos paramétricos, como foi o caso

do modelo aplicado para as tábuas de mortalidade e sobrevivência, construídas em

2010 para as entidades abertas de previdência complementar, que utilizaram o

modelo paramétrico de Heligman-Polard (1980). Entretanto, a última tábua de

35

sobrevivência construída pela Society of Actuaries (2001), batizada de tábua

geracional RP-2000, foi graduada de modelo não-paramétrico.

3.3.2 Cálculo das Probabilidades Brutas de Morte

Para calcularmos as probabilidades brutas de morte para as diferentes

idades, utilizamos a seguinte expressão fundamental:

(3.21)

onde:

número total de indivíduos de idade x, que morreram durante o ano de

observação;

número total de indivíduos de idade x, no começo do ano de observação que

estiveram expostos ao;

número total de indivíduos de idade x, que entraram no grupo durante o ano de

observação; e

número total de indivíduos de idade x, que se desligaram do grupo durante o ano

de observação.

Este método de cálculo de taxas brutas é conhecido como método

indireto e está descrito em Ferreira (1985). O método pressupõe que o grupo está

aberto, nos quais se admite a entrada e saída de indivíduos durante o ano.

Pressupõe-se também que distribuem-se uniformemente durante todo o ano,

de modo que, em média, cada indivíduo de idade x tenha sido observado meio ano.

36

3.3.3 Suavização das Taxas Brutas

Antes de aplicarmos um modelo paramétrico para ajustar os dados,

segundo uma lei de mortalidade específica, vamos efetuar o processo de suavização

das taxas brutas pelo método de médias móveis de 5 anos. O procedimento

supracitado visa corrigir flutuações indesejadas na curva, como por exemplo, a falta

de informação para algumas idades. A seguir apresentamos a expressão adotada

para o ajuste inicial, bem como o gráfico com as probabilidades brutas da população

em estudo, de acordo com a fórmula (3.21) e o gráfico com as taxas suavizadas

conforme equação (3.22).

, para

. (3.22)

Gráfico 2 – Taxas Brutas de Mortalidade Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados

37

Gráfico 3 – Taxas Brutas de Mortalidade Suavizadas por Médias Móveis Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados

Os gráficos acima expressam o comportamento das taxas de mortalidade

obtidas a partir dos dados brutos, bem como das taxas expressas após o processo

de médias móveis. O ajuste supramencionado proporcionou uma suavidade na

curva, entretanto nas idades mais longevas o problema da inadequabilidade para o

uso atuarial ainda é latente, ou seja, as probabilidades de falecimento após a idade

91 são inferiores a probabilidade da referida idade, o que não é condizente com o

comportamento de sobrevivência do ser humano.

Após a suavização das taxas brutas de mortalidade, iremos abordar no

capítulo V o ajuste da curva suavizada de acordo com as leis de mortalidade

descritas no item 3.2.

3.3.4 Testes de Ajustamento

Após ajustar o modelo e definir os parâmetros das equações, é

necessário avaliar a qualidade do ajustamento, ou seja, verificar se a curva

38

modelada é capaz de representar a realidade observada. A seguir descrevemos

algumas medidas adotadas para analisar a qualidade do ajustamento, conforme

descrito em Bravo (2007).

3.3.4.1 Desvios Absolutos e Relativos

Este teste baseia-se no cálculo dos desvios entre o número de óbitos

observados e esperados. De posse dos valores ajustados, e com base nos

indicadores de mortalidade é possível calcularmos o número de óbitos

esperados, , bastando multiplicar pelo número de expostos. A seguir

descrevemos as equações para cálculo dos desvios absoluto e relativo, nas

equações (3.2.3) e (3.2.4).

(3.23)

(3.24)

onde:

representa os desvios relativos; e

denota a variância do número de óbitos, calculada segundo as hipóteses

assumidas para a distribuição de probabilidades da variável aleatória.

3.3.4.2 Teste de Kolmogorov-Smirnov (KS)

O teste KS considera a distribuição do desvio máximo absoluto entre duas

distribuições acumuladas. As distribuições acumuladas são descritas a seguir:

39

(3.25)

(3.26)

onde:

corresponde ao número de óbitos observados e

representa o número de óbitos esperados.

A diferença máxima entre as duas distribuições é dada por:

(3.27)

A estatística do teste de Kolmogorov-Smirnov, é definida por:

(3.28)

A estatística tem distribuição conhecida, de modo que a probabilidade

P( pode ser calculada e tabulada. Assim uma vez determinado o nível de

significância do teste, é possível comparar com o respectivo valor crítico e

concluir sobre a rejeição ou não da hipótese nula de que as distribuições são iguais.

3.3.4.3 Teste do Chi-Quadrado

É um dos testes não-paramétricos mais usados para avaliar a qualidade

do ajustamento. A estatística do teste é dada por:

40

(3.29)

e tem distribuição com graus de liberdade, onde representa o número

de idades graduadas e denota o número de parâmetros da função paramétrica

usada. A probabilidade de obter um valor de superior a um valor observado

, pode ser calculada de forma exata recorrendo a algoritmos matemáticos. Por

outro lado, se o número de graus de liberdade for grande , a

probabilidade pode ser estimada com o recurso à estatística:

(3.30)

Uma vez definido o nível de significância , a decisão sobre a rejeição da

hipótese nula é feita com base na comparação entre o valor da estatística do teste e

o valor crítico

41

4 FONTES DE DADOS

4.1 Análise dos Dados

Este trabalho é desenvolvido com dados de participantes e aposentados

vinculados a Fundos de Pensão patrocinados por empresas do setor elétrico

nacional, referentes ao período de 2001 a 2009. Foram analisados os indivíduos que

estiveram em atividade laboral no período supracitado, os que se desligaram da

empresa, mas continuam vinculados ao plano de benefícios, conhecidos na

legislação como auto patrocinados e participantes em Benefício Proporcional

Diferido (BPD), participantes em auxílio-doença, bem como aqueles que estavam

aposentados e que se aposentaram no período, por qualquer motivo, com exceção

do evento invalidez. Excluímos desse estudo os participantes inválidos, tendo em

vista que a mortalidade decorrente desse infortúnio tende a comportar-se de maneira

distinta da mortalidade geral, conforme Ribeiro (2006), portanto não será objeto de

investigação neste estudo.

As informações para a execução deste estudo foram obtidas conforme

solicitação efetuada através de carta encaminhada a cada entidade. O modelo da

correspondência encontra-se no Apêndice A, contendo a descrição dos dados

solicitados.

De acordo com a ABRAPP - Associação Brasileira das Entidades

Fechadas de Previdência Complementar, em dez/2009 existiam 24 entidades

patrocinadas por empresas do setor elétrico nacional. O contingente total de

indivíduos associados a essas entidades era de 201.557, distribuídos da seguinte

forma: 94.690 participantes ativos, 106.867 aposentados e pensionistas. A seguir

apresentamos tabela com a distribuição por entidade:

42

Tabela 4 – Participantes e Assistidos Vinculados a Entidades do Setor Elétrico

N ENTIDADES ATIVOS ASSISTIDOS TOTAL

1 BRASILETROS 1.413 2.909 4.322

2 BRASLIGHT 3.825 6.345 10.170

3 CELOS 4.465 4.042 8.507

4 CELPOS 1.824 3.300 5.124

5 FUNCESP 17.408 31.360 48.768

6 COPEL 9.090 6.183 15.273

7 ELETRA 2.388 1.224 3.612

8 ELETROCEEE 6.475 7.112 13.587

9 ELETROS 2.459 1.703 4.162

10 ELOS 1.393 5.937 7.330

11 ENERSUL 733 353 1.086

12 FACEAL 1.155 21 1.176

13 FACEB 1.005 1.001 2.006

14 FACEPI 971 700 1.671

15 FACHESF 5.703 7.428 13.131

16 FAELBA 2.906 1.423 4.329

17 FAELCE 1.311 2.263 3.574

18 FASERN 737 354 1.091

19 FIBRA 1.476 1.106 2.582

20 FORLUZ 10.668 12.072 22.740

21 INERGUS 1.053 460 1.513

22 PREVINORTE 4.741 1.126 5.867

23 REAL GRANDEZA 5.648 6.858 12.506

24 REDEPREV 5.843 1.587 7.430

TOTAL 94.690 106.867 201.557

Fonte: Consolidado estatístico dez/2009 da ABRAPP

Das 24 entidades, 15 encaminharam as informações solicitadas e

14 tiveram os dados aptos para o estudo proposto. A seguir apresentamos tabela

com total de expostos ao risco no início e fim do ano, novos entrados, desligados do

plano e óbitos no período, considerando ambos os sexos.

Tabela 5 – Movimentação de Expostos ao Risco

Ano Expostos Início do

Ano Filiados no Ano Desligados no Ano

Total de Expostos

Óbitos

2001 107.291 838 271 107.575 476

2002 106.202 1.382 371 106.708 484

2003 107.364 1.110 404 107.717 569

2004 109.683 1.324 359 110.166 626

2005 111.309 2.271 352 112.269 582

2006 113.526 3.223 635 114.820 559

2007 115.254 1.684 824 115.684 563

2008 115.421 1.555 746 115.826 555

2009 105.260 1.648 546 105.811 444


43

Analisando a tabela 5 verifica-se um crescimento significativo no número

de filiados nos anos de 2005 e 2006. Em sua grande maioria, o aumento é explicado

pelo número de filiações ocorridos na Fundação COPEL, ou seja, 36,04% das 5.494

filiações são atribuídas à entidade supramencionada, devido a concurso realizado no

ano de 2005. Outro fato que merece destaque é a forte redução verificada no

número de expostos entre os anos de 2008 e 2009. No final do ano de 2008 o total

de expostos era de 115.684 vidas, enquanto que em 2009 foi reduzido para 105.811.

A discrepância observada pode ser explicada pela ausência de informação da

Fundação CHESF referente ao ano de 2009, ou seja, no final de 2008 a entidade

contava com 10.827 vidas que não tiveram suas trajetórias expressas no exercício

de 2009.

A seguir apresentamos gráficos com a distribuição dos expostos ao risco

e do número de óbitos por idade:

Gráfico 4 – Distribuição dos Expostos ao Risco por Idade Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados

Verificando o gráfico acima nota-se o mesmo comportamento observado

na tabela 5, ou seja, uma tendência de crescimento do número de expostos, com

exceção do ano de 2009, e um descolamento à direita na direção das idades mais

longevas à medida que os anos passam.

44

Para determinar a quantidade de expostos ao risco no final de cada ano

utilizamos a expressão 3.21, e a seguir apresentamos a distribuição de participantes

e aposentados, segregados por sexo:

Tabela 6 – Expostos ao Risco Segregados por Sexo

Ano Masculino Feminino Total % Masculino % Feminino

2001 91.514 15.497 107.011 85,52% 14,48%

2002 91.090 15.564 106.654 85,12% 14,54%

2003 91.680 15.926 107.606 85,67% 14,88%

2004 93.850 16.340 110.189 87,70% 15,27%

2005 95.473 16.992 112.465 89,22% 15,88%

2006 97.208 17.689 114.897 90,84% 16,53%

2007 97.654 18.018 115.672 91,26% 16,84%

2008 97.678 18.296 115.974 91,28% 17,10%

2009 89.467 16.539 106.006 83,61% 15,46%


Observando a tabela 6, nota-se que existe uma predominância do sexo

masculino, isto é, em torno de 90% da população é composta por homens. Essa

constatação nos conduziu a optar pelo desenvolvimento de uma análise unissex. O

estudo segregado por sexo, especificamente para o feminino, poderia ficar

comprometido pelo número reduzido de expostos ao risco e óbitos observados.

A tabela abaixo apresenta as idades modais à morte, segundo Kannisto

(2001):

(4.1)

onde:

idade com maior número de mortes; e

intervalo entre as idade, no nosso caso, igual a 1.

Tabela 7 – Idade Modal à Morte Ano X Óbitos em X Óbitos em X -1 Óbitos em X + 1 Idade Modal

2001 64 28 15 16 64,23

2002 65 29 21 11 65,17

2003 60 28 16 23 60,19

45

Ano X Óbitos em X Óbitos em X -1 Óbitos em X + 1 Idade Modal

2004 65 36 28 27 65,11

2005 58 32 20 22 58,18

2006 58 26 19 23 58,13

2007 65 34 23 21 65,17

2008 66 34 23 27 66,15

2009 74 26 13 15 74,24


A idade modal é um indicador de compressão de mortalidade, entretanto

pelos valores observados não podemos supor que tal evento esteja ocorrendo na

população em estudo.

A figura a seguir apresenta 9 box-plots, onde as idades de ocorrência de

óbitos são representadas no eixo horizontal, enquanto que no eixo vertical temos os

respectivos anos de ocorrência, ou seja, o box-plot 1 corresponde ao ano de 2001, o

de número 2 corresponde ao ano de 2002 e assim sucessivamente.

Figura 1 – Medidas de Tendência Central e Separatrizes – Segundo (Óbitos por Ano) Fonte: Elaboração do autor

46

Gráfico 5 – Distribuição do Número de Óbitos por Idade Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados

Tabela 8 – Resumo Descritivo das Idades de Ocorrência de Óbitos

Medidas 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Mínimo 20 19 19 19 18 19 18 18 18

1 Quartil 53 55 55 57 57 58 58 61 60

Moda 64 65 60 65 58 58 65 66 74

Mediana 62 63 63 65 65 66 65 67 67

Média 61 63 63 64 65 65 66 67 67

3 Quartil 70 71 71 72 74 74 74 74 74

Máximo 94 97 94 93 95 94 94 93 98

IQR 17 16 16 15 17 16 16 13 14


A tabela acima resume as distribuições de óbitos apresentadas no

gráfico 5, bem como os resultados observados na figura 1, ou seja, dentre as várias

medidas apresentadas, podemos destacar o IQR médio de 16 anos, expressando

que em torno de 50% (cinquenta por cento) dos óbitos estão entre as idades de 57 e

73 anos.

Os gráficos a seguir apresentam a distribuição de óbitos por idade e o

número de expostos ao risco, considerando todas as entidades participantes do

estudo. O maior número de óbitos foi registrado nas idades 64 e 65, ou seja, 218

47

mortes. Enquanto, que a idade 50 representa o ponto de maior número de exposto

ao evento morte.

Gráfico 6 – Número de Óbitos por Idade – Considerando Todas as Entidades Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados

Gráfico 7 – Expostos ao Risco por Idade – Considerando Todas as Entidades Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados

De acordo com o gráfico 6 podemos observar uma baixa frequência de

óbitos nas idades mais jovens e nas idades mais longevas. Em função do fato

supramencionado o ajuste nesses intervalos pode ficar comprometido, forçando-nos

48

a impor uma restrição na análise das taxas de sobrevivência. O Apêndice B contém

as idades em que não foram observadas óbitos.

4.2 Tratamento, Checagem e Validação dos Dados

Todas as entidades encaminharam os dados através de meio eletrônico.

Não foi estabelecido um “lay out” padrão, ou seja, os arquivos foram encaminhados

em diversos formatos. Após o recebimento das informações foi necessário

efetuarmos checagem e validação dos dados, como por exemplo, a verificação de

continuidade da população.

Para garantir a fidedignidade das informações, tivemos que acompanhar

a trajetória de cada indivíduo durante o período de análise. Uma forma de seguir o

caminho de cada vida foi verificar a situação do participante em cada ano analisado,

e confrontar com atributos de controle, como por exemplo, data de ingresso ou de

saída no plano de benefícios. A seguir apresentamos diagrama que expressa o

acompanhamento da trajetória do participante ou aposentado, isto é, os possíveis

caminhos que ele pode percorrer dentro do mapa de sobrevivência.

Figura 2 – Diagrama de Mudança de Status do Exposto ao Risco Fonte: Elaboração do autor

49

O diagrama acima sintetiza as possíveis mudanças de status que o

indivíduo está sujeito, isto é, uma vez vivo e válido no instante “t”, poderá continuar

dentro do grupo de expostos ao risco em “t + 1”, seja porque continua no período

laboral ou entrou em gozo de aposentadoria não decorrente de invalidez, ou então, o

associado pode sair do grupo porque foi atingido por um dos três decrementos, que

se seguem: desligar-se do plano, entrar em invalidez ou falecer.

4.2.1 Problemas Encontrados nos Dados

O primeiro problema localizado foi decorrente da não continuidade no

balanço anual de informações, ou seja, se aplicarmos a equação 4.2, descrita

abaixo, a população final do ano t - 1, não coincide com o contingente inicial no

ano t.

(4.2.)

onde:

população no ano t + 1;

população no instante t;

entrada de novas participantes no ano t;

participantes desligados do plano no ano t;

falecidos no ano t.

Diversos são os motivos para explicar o problema da não continuidade,

entretanto dois concorreram de maneira significativa, sendo eles: ausência

informacional de novos entrantes e desligados durante o ano t, ou seja, algumas

entidades não encaminharam os arquivos com os dados supramencionados.

Antes de descrevermos os outros problemas localizados nos arquivos,

gostaríamos de destacar que a trajetória de cada participante ou aposentado foi

50

mapeada de acordo com sua matrícula no plano de benefícios. Entendemos que a

maneira mais segura de controlarmos a trajetória do indivíduo seria através do CPF

(cadastro de pessoa física), entretanto por questão de sigilo essa informação foi

omitida pelas entidades.

Além do problema de continuidade, também nos deparamos com

problemas relacionados às datas de nascimento, filiação ao plano, admissão na

empresa, concessão do benefício de aposentadoria, entre outras. Para garantir a

viabilidade da informação efetuamos testes de consistência, como por exemplo,

verificar se a data de filiação é anterior à data de nascimento. Efetuando testes

dessa natureza, encontramos algumas divergências e, para retificar,

reencaminhamos os dados à entidade específica para que fosse providenciada a

correção. Outro problema que tivemos, especificamente com uma entidade, foi em

relação a datas inferiores ao ano de 1900. Nesse caso entramos em contato com a

Fundação e nos foi confirmado o equívoco, ou seja, problemas relacionados no

momento de conversão/exportação de arquivos. Para retificar providenciamos o

ajuste acrescentando 100 anos à data incorreta.

Também diagnosticamos participantes que estavam apenas em

determinados períodos, como por exemplo, constavam na base de dados do ano

t + 1; t + 2, porém não eram localizados nos anos t; t – 1 ou t + 3. Nesses casos os

registros foram excluídos da base de dados.

51

5 GRADUAÇÃO DOS DADOS DE MORTALIDADE – MODELOS PARAMÉTRICOS

5.1 Distribuição do Número de Óbitos e Expostos ao Risco

Segundo Beltrão e Sugahara (2007), é possível a utilização de uma

distribuição de probabilidade para modelar os óbitos ou o número de expostos ao

risco em uma determinada população. As distribuições mais frequentes para esse

tipo de modelagem são a Binomial e a Poisson. Quando se considera uma

modelagem em tempo discreto, que é o caso aplicado nesse estudo, e supondo-se

os óbitos como variáveis independentes entre si, o número de mortes para uma

dada idade x pode ser considerada uma variável aleatória binomial, , e o

que se estima é . A variável aleatória representa o número de mortes à idade

e a exposição ao risco de morte à idade . Quando se considera uma modelagem

em tempo contínuo, o número de mortes será uma variável aleatória Poisson e o que

se estima é . É importante enfatizar que estas duas distribuições

são equivalentes para combinação de valores altos de . Em populações finitas,

isso não costuma ocorrer, principalmente nas altas idades, para as quais as

populações são rarefeitas. Os estimadores pontuais de máxima verossimilhança

destas duas distribuições seriam equivalentes, mas à distribuição de Poisson

apresenta uma maior variância do que a encontrada para uma

Binomial A seguir apresentamos o estimador de

Máxima Verossimilhança (EMV) para a distribuição binomial.

A função de verossimilhança para a Binomial, dado o número de expostos

ao risco - , e o número de óbitos , e como taxa correspondente é:

52

(5.1)

O estimador de máxima verossimilhança de é dado quando se

encontra o zero da função primeira derivada, maximizando a função de

verossimilhança, sendo definido então por .

Após a estimação das taxas brutas de mortalidade, pode-se aplicar um

método de graduação para essas curvas de mortalidade, uma vez que a estimação

do pelo ou por métodos numéricos não garantem a monotonicidade

da função.

5.2 Teste de Ajustamento

Para auferirmos a qualidade do ajustamento utilizaremos o teste

estatístico qui-quadrado de Pearson, que tem por princípio verificar, nesse estudo, a

discrepância entre o número de óbitos observados e o número de óbitos esperados

segundo a equação paramétrica adotada. A hipótese nula do teste será de que os

números de óbitos observados e esperados são iguais para todas as idades,

enquanto que a hipótese alternativa é de que os óbitos observados e esperados não

são iguais para todas as idades.

A seguir apresentamos a expressão que representa a estatística do teste.

(5.2)

onde:

e representam as idades mínimas e máximas;

53

representa o número de óbitos observados; e

equivale ao número de óbitos esperados de acordo com a equação proposta. O

número de grau de liberdade será dado pela expressão , onde representa o

número de idades graduadas e o número de parâmetros da equação.

Apresentaremos nos Apêndices D, E e F tabelas contendo as taxas brutas

de mortalidade, taxas ajustadas com o respectivo modelo paramétrico adotado,

número de óbitos ocorridos e número de óbitos esperados.

5.3 Ajuste das Taxas Brutas de Mortalidade

Os tópicos seguintes apresentarão o ajuste das taxas brutas com base

em quatro leis de mortalidade específicas, Gompertz, Gompertz-Makeham, Thiele e

Heligman-Pollard.

Dada a baixa freqüência de óbitos e o pequeno número de expostos ao

risco nas idades extremas, limitamos o ajuste ao intervalo de 25 a 85 anos. Para

efetuar o ajustamento utilizamos como ferramenta computacional o software Matlab

versão 7.0. de propriedade da empresa The MathWorks, Inc.

5.3.1 Modelo de Gompertz

Este modelo paramétrico pressupõe que a taxa de mortalidade obedece a

uma função de sobrevivência de acordo com uma lei de mortalidade. Esta lei

estabelece que a força de mortalidade que atua sobre a população cresce em

progressão geométrica.

. (5.3)

54

em que b e , sendo a idade em anos.

O gráfico abaixo apresenta a curva referente às taxas brutas de

mortalidade, bem como a curva ajustada pelo modelo de Gompertz.

Gráfico 8 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz

Fonte: elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados

Tabela 9 – Parâmetros - Modelo de Gompertz

Parâmetros Valor Limites de Predição de 95%

Inferior Superior

B 0.006588 0.006222 0.006955

K -1.519 -1.558 -1.480


5.3.1.1 Teste de Hipóteses

H0: óbitos observados e esperados são iguais para todas as idades

segundo o modelo de Gompertz.

20 30 40 50 60 70 80 90

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Idades

qx

Modelo de Gompertz

Taxas Brutas Gompertz

55

H1: óbitos observados e esperados não são iguais para todas as idades

segundo o modelo de Gompertz.

Conclusão: Rejeita-se H0 a um nível de significância de 5,0%.

Analisando as duas curvas, conforme o gráfico 8, verifica-se uma

aparente aderência, ou seja, a curva ajustada “veste” de uma forma fidedigna as

taxas brutas. Todavia, o resultado do teste qui-quadrado indica que o modelo de

Gompertz não é adequado para representar a curva de mortalidade obtida a partir

dos dados brutos.

5.3.2 Modelo de Gompertz - Makeham

O modelo Gompertz-Makeham, em tese, é um melhoramento do

modelo de Gompertz, pois acrescenta uma constante para representar as

mortes decorrentes de eventos alheios às causas naturais da morte.

. (5.4)

em que b e , sendo a idade em anos.

O gráfico a seguir apresenta a curva referente às taxas brutas de

mortalidade, bem como a curva ajustada pelo modelo de Gompertz-Makeham.

56

Gráfico 9 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Gompertz - Makeham Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados

Tabela 10 – Parâmetros - Modelo de Gompertz - Makeham


Inferior Superior

A 10.79 -2197 2218

B -10.77 -2218 2197

K 0.001768 -0.3606 0.3642


O ajuste pelo modelo de Gompertz-Makeham apresentou resultados fora

do esperado para uma curva de mortalidade, ou seja, “probabilidades negativas”. Do

ponto de vista matemática a curva é aceitável, entretanto, o ajuste deve ser

desprezado para fins desse estudo.

2 3 40 50 60 70 80 90 -0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Idades

qx

Modelo Gompertz-Makeham

Taxas Brutas Gompertz-Makeham

57

5.3.3 Modelo de Thiele

O modelo de Thiele é uma das primeiras tentativas em modelar todo arco

da vida humana. Para isso a extensão da vida foi decomposta em 3 componentes,

conforme equação descrita a seguir:

. (5.5)

O gráfico abaixo apresenta a curva referente às taxas brutas de

mortalidade, bem como a curva ajustada pelo modelo de Thiele.

Gráfico 10 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados

2 3 40 50 60 70 80 90

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Idades

qx

Modelo de Thiele

Taxas Brutas Thiele

58

Tabela 11 – Parâmetros - Modelo de Thiele


Inferior Superior

A 0.6973 -1.514e+007 1.514e+007

B 0.2527 -3.102e+004 3.102e+004

C 0.0001176 -5.758 5.758

D 1.969 -4.898e+007 4.898e+007

F 1.141 -1.514e+007 1.514e+007

G 0.7789 -1.359e+004 1.36e+004

e 25.26 15.39 35.12


Após efetuar o ajustamento o software emitiu as seguintes mensagens:

a) O ajuste computacional não convergiu;

b) Excedeu o número máximo de funções disponíveis;

c) Outras funções podem permitir um melhor ajuste;

d) A equação proposta pode não ser um bom modelo para os dados.

Diante da falta de ajustamento e das observações apresentadas pelo

software, optamos por excluir o primeiro termo da equação de Thiele, tendo em vista

que os dados representam uma população com idade entre 25 e 85 anos, portanto

não contendo informações sobre mortalidade infantil.

Após a exclusão do primeiro termo da equação, no qual batizamos o

modelo de Thiele Incompleto, obtivemos o gráfico com o ajuste a seguir:

. (5.6)

59

Gráfico 11 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Thiele Incompleto

Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados

Tabela 12 – Parâmetros - Modelo de Thiele Incompleto


Inferior Superior

C 4.859e-005

D 0.2838

E 41.27 39.23 43.31

F 0.1443

G 0.347




segundo o modelo de Thiele Incompleto.


segundo o modelo de Thiele Incompleto.

30 40 50 60 70 80

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Idades

qx

Modelo de Thiele Incompleto

Taxas Brutas Thiele Incompleto

60

9.815,33


O resultado do teste estatístico expressa de forma latente uma

discrepância significativa, ou seja, a não aderência entre as curvas já é notória

através do gráfico. Fica evidente a falta de ajustamento nas idades iniciais,

principalmente no intervalo entre 55 e 70 anos.

5.3.4 Modelo de Heligman-Pollard

O modelo de Heligman-Pollard é um dos estudos paramétricos mais

recentes, tendo sido adotado pelo Departamento de Matemática Aplicada da

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), no ano de 2010, para construção

das tábuas de sobrevivência e mortalidade, das entidades abertas de

previdência complementar do setor nacional.

A seguir apresentamos equação de Heligman-Pollard, bem como o

gráfico com a curva de ajustamento.

. (5.7)

61

Gráfico 12 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard

Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados

Tabela 13 – Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard


Inferior Superior

A 3.148

B -0.01681

C -1.612

D 0.1107

E 0.1954

F 38.26

G 0.3731

H 0.3904




segundo o modelo de Heligman-Pollard.

2 3 40 50 60 70 80 90

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Idades

qx

Modelo de Heligman-Pollard

Taxas Brutas Heligman-Pollard

62


segundo o modelo de Heligman-Pollard.

3.975,83


O resultado do teste estatístico também expressou uma discrepância

relevante. Mesmo a estatística qui-quadrado sendo inferior ao valor obtido pelo

modelo de Thiele, a não representatividade da curva é evidente em quase todas as

idades, portanto não indicado para representar a população em estudo.

5.3.5 Modelo de Heligman-Pollard Incompleto

Aplicando-se a mesma analogia que utilizamos para o modelo de Thiele,

ou seja, retirando-se a primeira componente do modelo, fizemos também para a

expressão de Heligman-Pollard.

. (5.8)

63

Gráfico 13 – Taxas Brutas de Mortalidade x Modelo de Heligman-Pollard Incompleto Fonte: Elaboração do autor com base nos dados observados e ajustados

Tabela 14 – Parâmetros - Modelo de Heligman-Pollard Incompleto


Inferior Superior

D 0.112 -2.057e+006 2.057e+006

E 0.2028 -1.837e+007 1.837e+007

F 38.32 35.1 41.54

G 0.3731 -4.5e+008, 4.5e+008

H 0.3904 -6.894e+007 6.894e+007




segundo o modelo de Heligman-Pollard Incompleto.


segundo o modelo de Heligman-Pollard Incompleto.

2 3 40 50 60 70 80 90

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Idades

qx

Helingman-Pollard - Incompleto

Taxas Brutas Heligman-Pollard - Incompleto

64

3.715,52


Mesmo após a retirada da primeira da expressão de Heligman-Pollard, o

resultado do teste estatístico também expressou uma discrepância relevante. A

estatística qui-quadrado foi inferior ao modelo completo, entretanto a curva ajustada

é bem similar à obtida com a equação original.

65

6 CONCLUSÃO

Este trabalho permitiu analisar os dados de mortalidade referentes ao

período de 2001 a 2009, de 14 Fundos de Pensão patrocinados por empresas do

setor elétrico nacional. Inicialmente o trabalho tinha por objetivo a construção de

uma tábua de mortalidade unissex, entretanto o estudo ficou limitado à análise das

taxas de mortalidade, bem como ajuste de modelos paramétricos de sobrevivência

aos dados supracitados.

Dos modelos paramétricos apresentados no capítulo III utilizamos quatro

para efetuar ajustamento dos dados, sendo eles: Gompertz, Gompertz-Makeham,

Thiele e Helingman-Pollard. Dado o baixo número de óbitos e expostos ao risco nas

idades extremas, optamos por impor uma restrição no ajustamento, ou seja, o ajuste

ficou limitado às idades de 25 a 85 anos.

O primeiro modelo utilizado foi o de Gompertz, que dentre os abordados

nesse estudo, é o mais elementar. Mesmo sendo o mais simples, foi o que

apresentou a menor discrepância entre as curvas, entretanto foi rejeitado pelo

critério do teste estatístico qui-quadrado. O segundo modelo analisado foi o de

Gompertz-Makeham, que é tido na literatura como um melhoramento do modelo de

Gompertz. Todavia, o ajustamento foi de pouquíssima qualidade, apresentando

“probabilidades negativas”. Sendo totalmente inaplicável ao estudo proposto.

O terceiro modelo proposto foi o de Thiele, quem tem como pressuposto

básico a decomposição do arco da vida em 3 componentes. O software adotado não

conseguiu produzir o ajuste, ou seja, não houve convergência até que fosse possível

encontrar os parâmetros da equação. Diante dessa limitação optamos por excluir a

primeira componente da expressão de Thiele, tendo em vista que a mesma

representa a mortalidade na infância, e os dados utilizados tinham idades no

intervalo entre 25 e 85 anos. Após a exclusão do referido termo o ajuste foi efetuado,

porém o resultado também não foi satisfatório, ou seja, a estatística qui-quadrado foi

muito significante ao ponto de superar em mais de 70 vezes o valor crítico do teste.

66

O quarto e último modelo testado foi o de Helingman-Pollard, que também

tem como essência a decomposição da trajetória humana em 3 fases, não foi capaz

de representar de forma fidedigna as taxas brutas de mortalidade. Os resultados,

tanto usando a equação completa quanto somente os dois últimos termos da

equação, foram rejeitados pelo teste de aderência, revelando-se inapropriado para

os dados em estudo.

Nenhum dos modelos paramétricos analisados foi capaz de representar

as taxas brutas de mortalidade observadas. Até poderíamos encontrar uma equação

que vestisse de forma plena os dados analisados, como por exemplo, uma equação

polinomial do sexto grau que foi testada, entretanto, perderíamos o sentido e

essência do estudo, vez que não estamos buscando a melhor equação, mas sim, o

modelo de sobrevivência que melhor represente as taxas de mortalidade da

população em estudo.

Este trabalho não investigou todos os modelos paramétricos disponíveis

na literatura, nem tampouco os modelos não paramétricos, portanto fica como

sugestão o incremento de dados de entidades que não puderam participar desse

estudo, bem como a aplicação de outros modelos paramétricos, como, por exemplo,

o de Perks, Weibull, modelos lineares generalizados ou, até mesmo, uma

abordagem não paramétrica utilizando os modelos de Whittaker-Henderson ou

Graduação por Polinômios Locais, dentre outros.

Tendo em vista a escassez de publicações no âmbito nacional, fica aqui

evidenciado que o assunto requer prosseguimentos de análise com abordagens

alternativas no sentido de investigar os reais motivos que contribuíram para a

rejeição de todos os modelos analisados no âmbito da base de dados utilizada. Não

obstante, acredita-se que o texto aqui desenvolvido tenha contribuído com a

literatura se mostre como motivação para o desenvolvimento de novos trabalhos na

área.

67

REFERÊNCIAS

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71

APÊNDICES

APÊNDICE A – Carta Padrão Encaminhada aos Fundos de Pensão

Fortaleza, 12 de maio de 2010.

À Fundação Ampla de Seguridade Social - BRASILETROS Diretoria de Benefícios Av. Visconde de Rio Branco, nº 429 - 5º andar Bairro: Centro Niterói - RJ Cep: 24020 - 003

Prezado Diretor,

Com intuito de desenvolver estudo acadêmico para elaboração de nossa

dissertação de mestrado, visando à obtenção do título de Mestre no Curso de Pós-

Graduação em Economia (CAEN) da Universidade Federal do Ceará (UFC), vimos

solicitar, através deste instrumento, dados para investigar o comportamento da

sobrevivência/mortalidade dos participantes e assistidos de Fundos de Pensão

patrocinados por empresas do setor elétrico. Os dados serão utilizados para

construção de tábua biométrica específica do setor, aplicação e verificação da sua

adequabilidade nos planos de benefícios das entidades que irão fornecer os dados

supracitados.

Especificamente, estamos solicitando a esta entidade os seguintes dados,

do período 2000 a 2009:

1. Arquivo dos participantes ativos contendo os seguintes campos:

a) Matrícula ou número identificador para seguirmos a trajetória do

participante;

b) Data de Nascimento;

c) Sexo;

d) Data de Admissão no Patrocinador;

72

e) Data de Filiação ao Plano;

f) Situação no Plano (ativo patrocinado, autopatrocinado ou BPD); e

g) Participante exposto ao risco? [recebe periculosidade? Sim (S) ou Não

(N)].

2. Arquivo dos participantes assistidos contendo os seguintes campos:


assistido;


c) Sexo;

d) Data de Inscrição no Patrocinador;

e) Data de Filiação ao Plano;

f) Data de Concessão do Benefício;

g) Tipo de Benefício (aposentadoria programada, invalidez ou pensão); e

h) Data de Falecimento (para o caso do participante não possuir

beneficiário).

3. Arquivo contendo dados de ex-participantes que se desligaram do

Plano seja por motivo de resgate de contribuições, portabilidade ou falecimento sem

beneficiário habilitado ao benefício de pensão.


participante;


c) Sexo;

d) Data de Admissão no Patrocinador;

e) Data de Filiação ao Plano; e

f) Data do Desligamento.

Após conclusão do estudo, divulgaremos os resultados a todas as

entidades que contribuíram para execução do trabalho. E como se trata de uma

dissertação de mestrado em uma universidade pública, a mesma estará disponível

ao público em geral.

73

Na expectativa de sermos atendidos a este pedido, agradecemos

antecipadamente a vossa atenção. O investigador deste estudo será o mestrando

Marcos Antonio de Lima Santos, conjuntamente com Ronaldo de Albuquerque e

Arraes, professor do CAEN e associado da Universidade Federal do Ceará,

orientador da dissertação de mestrado.

Estamos à disposição para maiores esclarecimento através do telefone

(85) 3452 6556 ou através do e-mail: [email protected].

Atenciosamente,

Marcos Antonio de Lima Santos Ronaldo de Albuquerque e Arraes Aluno do CAEN/UFC

Membro da Comissão Nacional de Atuária da Abrapp

Professor do CAEN/UFC

74

APÊNDICE B – TABELA 15

Tabela 15 – Idades sem Óbitos Registrados

Período Analisado

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Idades sem Óbitos

18 18 18 18 19 18 19 20 19

19 20 20 21 20 22 20 21 20

21 21 21 22 21 23 21 23 21

22 22 22 23 22 24 22 24 22

23 23 24 24 23 25 23 25 23

24 24 25 25 24 26 24 26 24

26 25 26 26 25 27 25 27 25

27 26 27 27 26 28 26 28 26

28 28 34 29 28 29 27 29 27

29 32 36 31 29 30 29 30 28

87 33 37 32 32 32 31 31 29

90 35 39 34 34 34 32 32 30

93 88 93 36 39 38 33 33 33

95 90 95 38 93 39 36 34 34

96 93 96 90 96 41 39 35 35

97 94 97 91 97 93 93 36 37

98 95 98 94 98 95 95 37 38

99 96 99 95 99 96 96 38 40

100 98 100 96 100 97 97 39 41

99 97 98 98 42 42

100 98 99 99 90 43

99 100 100 92 91

100 94 92

95 94

96 95

97 96

98 97

99 98

100 100

Fonte: Elaboração do autor.

75

APÊNDICE C – TABELA 16

Tabela 16 – Ajuste pelo Modelo de Gompertz

Idade Total Expostos Tx Suavizada Gompertz Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

25 8470 0,00010485 0,00050621 1 4

26 9682 0,00016016 0,00055141 0 5

27 10462 0,00024159 0,00060066 2 6

28 11075 0,00037320 0,00065430 3 7

29 11578 0,00060616 0,00071273 3 8

30 12182 0,00066346 0,00077637 7 9

31 12535 0,00063808 0,00084570 12 11

32 12965 0,00048590 0,00092123 6 12

33 13681 0,00055239 0,00100349 7 14

34 14516 0,00056616 0,00109311 7 16

35 15252 0,00061485 0,00119072 10 18

36 16157 0,00053695 0,00129706 9 21

37 17385 0,00055650 0,00141289 11 25

38 18606 0,00057199 0,00153906 8 29

39 19715 0,00075740 0,00167650 12 33

40 21121 0,00075297 0,00182621 14 39

41 22539 0,00084157 0,00198930 22 45

42 24072 0,00102134 0,00216694 15 52

43 25874 0,00130168 0,00236045 24 61

44 27404 0,00142407 0,00257125 40 70

45 28924 0,00137999 0,00280086 43 81

46 30044 0,00158672 0,00305098 40 92

47 30888 0,00209948 0,00332344 41 103

48 31712 0,00248347 0,00362023 66 115

49 32186 0,00282495 0,00394352 92 127

50 32339 0,00312268 0,00429569 81 139

51 32115 0,00344086 0,00467930 100 150

52 31298 0,00376480 0,00509717 118 160

53 30460 0,00425350 0,00555235 105 169

54 29350 0,00498161 0,00604818 120 178

55 28118 0,00585783 0,00658830 149 185

56 27244 0,00655830 0,00717664 153 196

57 26068 0,00702687 0,00781753 175 204

58 24758 0,00754787 0,00851565 184 211

59 23319 0,00799532 0,00927611 162 216

60 21877 0,00898639 0,01010450 182 221

61 20593 0,00987404 0,01100680 182 227

62 19068 0,01143325 0,01198970 189 229

63 17459 0,01317181 0,01306050 193 228

64 15952 0,01457001 0,01422680 218 227

65 14343 0,01545707 0,01549720 218 222

66 12945 0,01626675 0,01688120 194 219

67 11465 0,01721199 0,01838870 187 211

68 10140 0,01899311 0,02003080 181 203

69 8898 0,02142978 0,02181960 157 194

70 7867 0,02526397 0,02376810 173 187

76

Idade Total Expostos Tx Suavizada Gompertz Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

71 6847 0,02693882 0,02589070 176 177

72 6027 0,02959388 0,02820270 175 170

73 5204 0,03155456 0,03072130 136 160

74 4516 0,03681816 0,03346470 155 151

75 3876 0,03869253 0,03645320 138 141

76 3369 0,04281972 0,03970850 140 134

77 2912 0,04468679 0,04325460 115 126

78 2500 0,04841481 0,04711730 121 118

79 2107 0,05044843 0,05132490 100 108

80 1796 0,05371248 0,05590830 89 100

81 1449 0,06203060 0,06090100 81 88

82 1186 0,06684950 0,06633960 68 79

83 960 0,07543935 0,07226380 74 69

84 771 0,07451404 0,07871700 53 61

85 602 0,08333333 0,08574660 49 52


77

APÊNDICE D – TABELA 17

Tabela 17 – Ajuste pelo Modelo de Thiele – Incompleto

Idade Total Expostos Tx Suavizada Thiele Incomp Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

25 8470 0,00010485 0,00969173 1 82

26 9682 0,00016016 0,00853722 0 83

27 10462 0,00024159 0,00745590 2 78

28 11075 0,00037320 0,00644778 3 71

29 11578 0,00060616 0,00551285 3 64

30 12182 0,00066346 0,00465111 7 57

31 12535 0,00063808 0,00386257 12 48

32 12965 0,00048590 0,00314722 6 41

33 13681 0,00055239 0,00250506 7 34

34 14516 0,00056616 0,00193609 7 28

35 15252 0,00061485 0,00144032 10 22

36 16157 0,00053695 0,00101774 9 16

37 17385 0,00055650 0,00066836 11 12

38 18606 0,00057199 0,00039216 8 7

39 19715 0,00075740 0,00018916 12 4

40 21121 0,00075297 0,00005935 14 1

41 22539 0,00084157 0,00000274 22 0

42 24072 0,00102134 0,00001932 15 0

43 25874 0,00130168 0,00010909 24 3

44 27404 0,00142407 0,00027205 40 7

45 28924 0,00137999 0,00050821 43 15

46 30044 0,00158672 0,00081756 40 25

47 30888 0,00209948 0,00120010 41 37

48 31712 0,00248347 0,00165584 66 53

49 32186 0,00282495 0,00218477 92 70

50 32339 0,00312268 0,00278689 81 90

51 32115 0,00344086 0,00346220 100 111

52 31298 0,00376480 0,00421071 118 132

53 30460 0,00425350 0,00503241 105 153

54 29350 0,00498161 0,00592730 120 174

55 28118 0,00585783 0,00689539 149 194

56 27244 0,00655830 0,00793667 153 216

57 26068 0,00702687 0,00905114 175 236

58 24758 0,00754787 0,01023880 184 253

59 23319 0,00799532 0,01149970 162 268

60 21877 0,00898639 0,01283370 182 281

61 20593 0,00987404 0,01424100 182 293

62 19068 0,01143325 0,01572140 189 300

63 17459 0,01317181 0,01727500 193 302

64 15952 0,01457001 0,01890190 218 302

65 14343 0,01545707 0,02060190 218 295

66 12945 0,01626675 0,02237510 194 290

67 11465 0,01721199 0,02422150 187 278

68 10140 0,01899311 0,02614110 181 265

69 8898 0,02142978 0,02813390 157 250

70 7867 0,02526397 0,03019980 173 238

78

Idade Total Expostos Tx Suavizada Thiele Incomp Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

71 6847 0,02693882 0,03233900 176 221

72 6027 0,02959388 0,03455140 175 208

73 5204 0,03155456 0,03683690 136 192

74 4516 0,03681816 0,03919570 155 177

75 3876 0,03869253 0,04162760 138 161

76 3369 0,04281972 0,04413280 140 149

77 2912 0,04468679 0,04671110 115 136

78 2500 0,04841481 0,04936260 121 123

79 2107 0,05044843 0,05208740 100 110

80 1796 0,05371248 0,05488530 89 99

81 1449 0,06203060 0,05775640 81 84

82 1186 0,06684950 0,06070070 68 72

83 960 0,07543935 0,06371820 74 61

84 771 0,07451404 0,06680880 53 52

85 602 0,08333333 0,06997270 49 42


79

APÊNDICE E – TABELA 18

Tabela 18 – Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard

Idade Total Expostos Tx Suavizada Heligman Pollard Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

25 8470 0,00010485 0,01647870 1 140

26 9682 0,00016016 0,01358050 0 131

27 10462 0,00024159 0,01105610 2 116

28 11075 0,00037320 0,00886884 3 98

29 11578 0,00060616 0,00698669 3 81

30 12182 0,00066346 0,00538129 7 66

31 12535 0,00063808 0,00402762 12 50

32 12965 0,00048590 0,00290349 6 38

33 13681 0,00055239 0,00198909 7 27

34 14516 0,00056616 0,00126677 7 18

35 15252 0,00061485 0,00072067 10 11

36 16157 0,00053695 0,00033655 9 5

37 17385 0,00055650 0,00010157 11 2

38 18606 0,00057199 0,00000413 8 0

39 19715 0,00075740 0,00003371 12 1

40 21121 0,00075297 0,00018078 14 4

41 22539 0,00084157 0,00043663 22 10

42 24072 0,00102134 0,00079337 15 19

43 25874 0,00130168 0,00124374 24 32

44 27404 0,00142407 0,00178112 40 49

45 28924 0,00137999 0,00239944 43 69

46 30044 0,00158672 0,00309311 40 93

47 30888 0,00209948 0,00385701 41 119

48 31712 0,00248347 0,00468640 66 149

49 32186 0,00282495 0,00557692 92 179

50 32339 0,00312268 0,00652453 81 211

51 32115 0,00344086 0,00752550 100 242

52 31298 0,00376480 0,00857636 118 268

53 30460 0,00425350 0,00967392 105 295

54 29350 0,00498161 0,01081520 120 317

55 28118 0,00585783 0,01199740 149 337

56 27244 0,00655830 0,01321790 153 360

57 26068 0,00702687 0,01447450 175 377

58 24758 0,00754787 0,01576470 184 390

59 23319 0,00799532 0,01708650 162 398

60 21877 0,00898639 0,01843800 182 403

61 20593 0,00987404 0,01981730 182 408

62 19068 0,01143325 0,02122270 189 405

63 17459 0,01317181 0,02265270 193 395

64 15952 0,01457001 0,02410560 218 385

65 14343 0,01545707 0,02558010 218 367

66 12945 0,01626675 0,02707490 194 350

67 11465 0,01721199 0,02858870 187 328

68 10140 0,01899311 0,03012030 181 305

69 8898 0,02142978 0,03166870 157 282

70 7867 0,02526397 0,03323280 173 261

80

Idade Total Expostos Tx Suavizada Heligman Pollard Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

71 6847 0,02693882 0,03481150 176 238

72 6027 0,02959388 0,03640410 175 219

73 5204 0,03155456 0,03800960 136 198

74 4516 0,03681816 0,03962720 155 179

75 3876 0,03869253 0,04125610 138 160

76 3369 0,04281972 0,04289550 140 145

77 2912 0,04468679 0,04454490 115 130

78 2500 0,04841481 0,04620350 121 116

79 2107 0,05044843 0,04787070 100 101

80 1796 0,05371248 0,04954590 89 89

81 1449 0,06203060 0,05122860 81 74

82 1186 0,06684950 0,05291820 68 63

83 960 0,07543935 0,05461430 74 52

84 771 0,07451404 0,05631630 53 43

85 602 0,08333333 0,05802390 49 35


81

APÊNDICE F – TABELA 19

Tabela 19 – Ajuste pelo Modelo de Heligman-Pollard – Incompleto

Idade Total Expostos Tx Suavizada HP Incomp Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

25 8470 0,00010485 0,01667640 1 141

26 9682 0,00016016 0,01375360 0 133

27 10462 0,00024159 0,01120690 2 117

28 11075 0,00037320 0,00899922 3 100

29 11578 0,00060616 0,00709839 3 82

30 12182 0,00066346 0,00547592 7 67

31 12535 0,00063808 0,00410666 12 51

32 12965 0,00048590 0,00296827 6 38

33 13681 0,00055239 0,00204086 7 28

34 14516 0,00056616 0,00130666 7 19

35 15252 0,00061485 0,00074974 10 11

36 16157 0,00053695 0,00035577 9 6

37 17385 0,00055650 0,00011185 11 2

38 18606 0,00057199 0,00000631 8 0

39 19715 0,00075740 0,00002856 12 1

40 21121 0,00075297 0,00016903 14 4

41 22539 0,00084157 0,00041896 22 9

42 24072 0,00102134 0,00077040 15 19

43 25874 0,00130168 0,00121607 24 31

44 27404 0,00142407 0,00174930 40 48

45 28924 0,00137999 0,00236399 43 68

46 30044 0,00158672 0,00305452 40 92

47 30888 0,00209948 0,00381573 41 118

48 31712 0,00248347 0,00464286 66 147

49 32186 0,00282495 0,00553152 92 178

50 32339 0,00312268 0,00647766 81 209

51 32115 0,00344086 0,00747751 100 240

52 31298 0,00376480 0,00852759 118 267

53 30460 0,00425350 0,00962469 105 293

54 29350 0,00498161 0,01076580 120 316

55 28118 0,00585783 0,01194810 149 336

56 27244 0,00655830 0,01316910 153 359

57 26068 0,00702687 0,01442620 175 376

58 24758 0,00754787 0,01571740 184 389

59 23319 0,00799532 0,01704030 162 397

60 21877 0,00898639 0,01839320 182 402

61 20593 0,00987404 0,01977400 182 407

62 19068 0,01143325 0,02118120 189 404

63 17459 0,01317181 0,02261310 193 395

64 15952 0,01457001 0,02406810 218 384

65 14343 0,01545707 0,02554490 218 366

66 12945 0,01626675 0,02704220 194 350

67 11465 0,01721199 0,02855850 187 327

68 10140 0,01899311 0,03009290 181 305

69 8898 0,02142978 0,03164420 157 282

70 7867 0,02526397 0,03321120 173 261

82

Idade Total Expostos Tx Suavizada HP Incomp Óbitos

Ocorridos Óbitos

Esperados

71 6847 0,02693882 0,03479310 176 238

72 6027 0,02959388 0,03638890 175 219

73 5204 0,03155456 0,03799780 136 198

74 4516 0,03681816 0,03961880 155 179

75 3876 0,03869253 0,04125130 138 160

76 3369 0,04281972 0,04289450 140 145

77 2912 0,04468679 0,04454760 115 130

78 2500 0,04841481 0,04621010 121 116

79 2107 0,05044843 0,04788120 100 101

80 1796 0,05371248 0,04956050 89 89

81 1449 0,06203060 0,05124730 81 74

82 1186 0,06684950 0,05294110 68 63

83 960 0,07543935 0,05464150 74 52

84 771 0,07451404 0,05634780 53 43

85 602 0,08333333 0,05805980 49 35


universidade federal do cearÁ - repositorio.ufc.br · o primeiro capítulo é composto por esta...

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