universidade federal de juiz de fora faculdade …£o_final.pdf · parte dos requisitos...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
FACULDADE DE ENGENHARIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE
AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS
FABRICIO CASSARO FURTADO DE AZEVEDO
JUIZ DE FORA
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF
2011
i
ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE
AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS
Trabalho Final de Curso apresentado ao Colegiado do
Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de
Juiz de Fora, como requisito parcial à obtenção do
título de Engenheiro Civil.
Área de conhecimento: Dinâmica das estruturas
Orientador: Prof. Flávio de Souza Barbosa, D.Sc.
Co-orientador:
Juiz de Fora
Faculdade de Engenharia da UFJF
2011
ii
ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE
AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS
FABRICIO CASSARO FURTADO DE AZEVEDO
Trabalho Final de Curso submetido à banca examinadora constituída de acordo com o Artigo
9° do Capítulo IV das Normas de Trabalho Final de Curso estabelecidas pelo Colegiado do
Curso de Engenharia Civil, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de
Engenheiro Civil.
Aprovado em: _____/______/______
Por:
_______________________________________
Prof. Flávio de Souza Barbosa, D. Sc.
_______________________________________
_______________________________________
Juiz de Fora
Faculdade de Engenharia da UFJF
2011
iii
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais, por todos os conselhos, por todos os abraços, por todos os
sorrisos, por serem verdadeiramente meus melhores amigos. Dedico a vocês mais esta vitória,
obrigado por sempre acreditarem em mim e na minha capacidade.
Agradeço à Aparecida e sua família por terem sido os primeiros a me acolher em Juiz
de Fora. Fica guardada uma experiência de vida que, como filho único, não tive antes.
Agradeço a Cláudia Guerra e família por todo carinho, toda atenção, todos os
momentos inesquecíveis que tivemos juntos e por terem me acolhido como a um filho em sua
casa.
Agradeço aos amigos Felipe Rodrigues, Iuri Medeiros, Guilherme Bispo, Vinícius
Carandina, Raphael Britto, Marcelo e Guilherme Fonseca, Silane Mattos , Thiago Thielman e
Andressa Bittar pelos vários conselhos, trabalhos e histórias compartilhados ao longo desses 6
anos de faculdade, e pelas caronas e rodízios, que tornaram esse tempo em Juiz de Fora muito
divertido.
Agradeço a minha namorada Roberta de Freitas que mesmo de longe, me apoiou e me
reconfortou nos últimos anos de faculdade, compartilhando todos os momentos bons e ruins,
mesmo que de forma virtual. Te amo muito.
E finalmente ao professor Flávio pela amizade, por todos os ensinamentos,
explicações teóricas e práticas, pela enorme paciência, por mergulhar de cabeça junto com os
alunos nesse mundo fantástico de coisas que a engenharia nos proporciona e pela confiança
depositada em mim para concluir este trabalho. Meu primeiro emprego como engenheiro não
teria acontecido não fosse por sua ajuda. Muitíssimo Obrigado.
iv
Resumo do Trabalho de Final de Curso apresentado à Faculdade de Engenharia – UFJF como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Civil.
ANÁLISE NUMÉRICO EXPERIMENTAL DE SISTEMAS PASSIVOS DE
AMORTECIMENTO DE VIBRAÇÃO EM ESTRUTURAS
Fabricio Cassaro Furtado de Azevedo
Orientador: Flávio de Souza Barbosa
Departamento: Mecânica Aplicada e Computacional
Com o desenvolvimento dos métodos computacionais e das tecnologias construtivas,
observa-se um aprimoramento dos cálculos estruturais, o que em muitos casos leva a
estruturas, cada vez mais leves e esbeltas e consequentemente mais susceptíveis a vibrações
excessivas. Estas vibrações, quando acentuadas, mostram-se inadequadas, seja do ponto de
vista de redução da vida útil da estrutura, ou do ponto de vista da perda de conforto dos
usuários. Neste cenário, as pesquisas na área de análise dinâmica e de sistemas de
amortecimento para estruturas vem sendo desenvolvidas, visando reduzir as vibrações
estruturais, aumentando suas durabilidades e diminuindo o desconforto para os usuários.
Partindo destes pressupostos, este trabalho visa desenvolver sistemas de controle
passivo do tipo frequência sintonizada. Para tanto, simulações numéricas/computacionais
desses sistemas de controle de vibrações são realizadas, visando fornecer parâmetros que
auxiliem na confecção de protótipos em escala reduzida.
Desta forma, apresenta-se neste trabalho dois sistemas de controle que estão presentes
em algumas estruturas reais: o absorsor de massa sintonizada e o absorsor pendular.
São detalhadas todas as etapas envolvidas no projeto desses sistemas de controle,
incluindo a modelagem computacional, a confecção dos protótipos no Laboratório de
Resistência dos Materiais da UFJF e os testes experimentais dos protótipos desenvolvidos.
v
Sumário
1 – INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1
2 – DINÂMICA ESTRUTURAL ......................................................................................... 6
2.1 – Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um problema de dois graus de
liberdade conectados em série: SCP com massa mola sintonizados ........................................ 7
2.2 – Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um sistema de 1 grau de liberdade
com pêndulo absorsor de vibrações ........................................................................................ 8
2.3 – Solução das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico........................................... 9
3 – ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO COM MASSA
SINTONIZADA ................................................................................................................. 11
3.1 – Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos ................................. 11
3.2 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura ............................... 18
3.2.1 – Massa m1 da estrutura ............................................................................................ 18
3.2.2 – Rigidez k1 (rigidez da estrutura) ............................................................................. 18
3.2.3 – Coeficiente de amortecimento c1............................................................................ 19
3.3 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle passivo .. 19
3.3.1 – Massa m2 do sistema .............................................................................................. 19
3.3.2 – Rigidez k2 do sistema ............................................................................................. 20
3.3.3 – Coeficiente de amortecimento c2 do sistema .......................................................... 21
3.4 – Resultados para sistema de controle massa-mola ...................................................... 21
4 – ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO DOTADO DE ABSORSOR
PENDULAR ....................................................................................................................... 23
4.1 – Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos ................................. 23
4.2 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura ............................... 26
4.3 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle dotado de
absorsor pendular ................................................................................................................. 26
4.3.1 – Massa m2 do sistema .............................................................................................. 26
4.3.2 – Comprimento L do pêndulo do sistema de controle ................................................ 26
4.4 – Resultados para sistema de controle dotado de absorsor pendular ............................. 27
5 - CONCLUSÕES ............................................................................................................. 27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 30
vi
Lista de Figuras
Figura 1: Foto da Ponte Rio-Niterói (Divulgação Ponte S.A.) ............................................... 2
Figura 2: SCP instalado na Ponte Rio-Niterói. Extraído de Battista (2001) ........................... 3
Figura 3: Vistas do edifício Taipei 101, Taipei – Taiwan (foto: divulgação). ......................... 4
Figura 4: Vistas do sistema de amortecimento – Edifício Taipei 101 (foto: divulgação). ........ 4
Figura 5: Shangai World Financial Center. (imagem: divulgação Mori Building). ................ 5
Figura 6: Detalhe do sistema de amortecimento ativo. (imagem: divulgação Mori Building) .5
Figura 7: Modelo proposto para estruturas do tipo torre esbelta. .......................................... 7
Figura 8: Modelo de um sistema com 2 graus de liberdade. ................................................... 8
Figura 9: Modelo de um sistema dotado de pêndulo com 2 graus de liberdade PINHEIRO
(1997). ................................................................................................................................... 9
Figura 10: Maquete eletrônica da estrutura – vista em perspectiva...................................... 11
Figura 11: Partes constituintes do protótipo. ....................................................................... 12
Figura 12: Foto da haste do protótipo, exibindo as bases de ancoragem e de fixação
soldadas. .............................................................................................................................. 13
Figura 13: Detalhe da base de ancoragem com o parafuso de fixação e o conjunto de porcas
e arruelas. ............................................................................................................................ 13
Figura 14: Formato e dimensões da base de apoio (F) para os sistemas de amortecimento. 14
Figura 15: Detalhe das bases de fixação e de apoio, com o conjunto de parafusos, porcas e
arruelas utilizadas. .............................................................................................................. 14
Figura 16: Dimensões projetadas para o protótipo. ............................................................. 15
Figura 17: Projeto da massa do sistema massa-mola sintonizadas. ...................................... 15
Figura 18: Foto da massa (“carrinho”) utilizada no sistema massa-mola sintonizadas. ...... 16
Figura 19: Detalhe da massa e das molas, utilizadas no sistema massa-mola sintonizadas. . 16
Figura 20: Instalação da haste da estrutura na mesa de testes. ............................................ 17
Figura 21: Montagem da base dos sistemas de amortecimento na haste da estrutura. .......... 17
Figura 22: Estrutura com sistema de amortecimento massa-mola sintonizadas. ................... 18
Figura 23: Deslocamento x tempo - para vibrações livres da estrutura não controlada. ...... 19
Figura 24: Ensaio para determinação da constante elástica da mola (K). ............................ 20
Figura 25: Deslocamento da massa do sistema de amortecimento massa-mola sintonizada
desacoplado da estrutura. .................................................................................................... 21
Figura 26: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema não
controlado. .......................................................................................................................... 22
Figura 27: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema controlado. . 22
Figura 28: Esquema do eixo de ligação entre os pêndulos. .................................................. 23
Figura 29: Foto mostrando a base de apoio, o eixo e as barras que serão utilizados no
sistema absorsor pendular. .................................................................................................. 24
Figura 30: Detalhe da montagem do eixo para o sistema absorsor pendular, sobre a base de
apoio. ................................................................................................................................... 24
Figura 31: Detalhe da fixação da haste do pêndulo ao eixo de ligação. ............................... 25
vii
Figura 32: Protótipo dotado do sistema absorsor pendular. ................................................ 25
Figura 33: Detalhe da fixação da massa na ponta do pêndulo do sistema absorsor pendular.
............................................................................................................................................ 26
Figura 34: Comparação entre dados experimentais e numéricos para estrutura controlada
via absorsor pendular. ......................................................................................................... 27
Figura 35: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via sistema massa-
mola sintonizadas. ............................................................................................................... 28
Figura 36: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via absorsor pendular.
............................................................................................................................................ 29
Lista de Tabelas
Tabela 1: Obtenção da constante elástica (k2) da mola. ........................................................20
1
1 – INTRODUÇÃO
Os avanços tecnológicos na área da construção civil, no que tange os métodos
computacionais voltados à otimização estrutural e o surgimento de novos materiais e técnicas
construtivas, permitem que sejam projetadas e edificadas estruturas cada vez mais altas e
esbeltas. Esta esbeltez pode ser entendida como função de fatores estéticos e econômicos que
se quer atingir (PINHEIRO, 1997 e ALMEIDA, 2005).
Estas estruturas estão sujeitas, durante sua construção e utilização, a carregamentos
estáticos e dinâmicos. Dentre os carregamentos estáticos pode-se citar o peso próprio da
estrutura. Como carregamentos dinâmicos tem-se cargas de vento, abalos sísmicos, tráfego de
veículos, entre outros que apresentem alteração na intensidade ou no ponto de aplicação sobre
a estrutura ao longo do tempo.
Como consequente resultado da maior esbeltez estrutural que se observa nos dias de
hoje e dos carregamentos que atuam nas estruturas, observa-se que tem aumentado o número
de casos de construções com problemas dinâmicos de vibrações excessivas (PINHEIRO,
1997).
Pensando na redução das vibrações sofridas por estas estruturas é que se desenvolveram
sistemas auxiliares de absorção de vibrações que são introduzidos diretamente nos
componentes estruturais durante a construção, como elementos sanduíche visco-elásticos
(BARBOSA, 2000), bem como sistemas aerodinâmicos (PINHEIRO, 1997), ou em forma de
sistemas mecânicos acoplados à estrutura, como os do tipo massa-mola sintonizadas
(MOUTINHO, 2004, PINHEIRO, 1997 e BATTISTA, 2002) e os absorsores pendulares
(PINHEIRO, 1997).
Os sistemas mecânicos acoplados, que serão o foco deste trabalho, podem ser
classificados segundo dois tipos: passivos ou ativos. No caso de sistemas de controle passivos
(SCP), sua atuação está condicionada às respostas do sistema principal que induzem forças
inerciais, forças de amortecimento viscoso e forças elásticas que se contrapõe à vibração da
estrutura, objetivando a redução de vibrações, sem que haja introdução de energia no sistema.
Já os sistemas de controle ativo (SCA), contam com a introdução de força externa através de
2
excitadores eletro-magnético-mecânicos ou hidráulicos para que as forças de controle geradas,
apresentem melhor desempenho em comparação aos sistemas de controle passivo.
Na prática, observa-se a utilização destes sistemas em grandes construções, no exterior e
em algumas construções nacionais. Pode-se citar como exemplos de estruturas que utilizam
sistemas de amortecimento, a ponte Rio-Niterói (Figura 1), que apresenta um sistema
múltiplos atenuadores passivos dinâmicos sincronizados (BATTISTA, 2001) introduzidos no
interior das vigas caixões (Figura 2).
Figura 1: Fotos da Ponte Rio-Niterói (Divulgação Ponte S.A.)
3
(c)
Figura 2: SCP instalado na Ponte Rio-Niterói. Extraído de Battista (2001)
(a) vista da seção transversal; (b) modelo da estrutura; (c) Imagem sintética do sistema
de controle instalado.
Outro exemplo é o edifício Taipei 101, situado em Taipei, capital de Taiwan com 509 m
de altura (Figura 3). Este edifício possui o maior e mais pesado sistema de amortecimento
passivo do mundo, composto de um pêndulo com uma massa feita de placas metálicas
totalizando 660 toneladas, sendo o amortecedor visível ao público (Figura 4). Com o uso
deste SCP, os projetistas do edifício afirmam que o prédio é capaz de suportar terremotos de
até 7 graus na escala Richter e ventos de mais de 450 km/h pois o absorsor pendular reduz em
60% os efeitos dinâmicos dos tremores na estrutura.
4
Figura 3: Vistas do edifício Taipei 101, Taipei – Taiwan (foto: divulgação).
Figura 4: Vistas do sistema de amortecimento – Edifício Taipei 101 (foto: divulgação).
E finalmente, tratando-se de sistema de amortecimento híbrido, ou seja, ativo e passivo,
pode-se citar o edifício Shangai World Financial Center, em Shangai Sul da China com 492m
5
de altura (Figura 5). Este prédio possui um sistema de amortecimento com uma massa de 150
toneladas ligada a um sistema de amortecedores e a um motor que controla sua posição, que
em conjunto reduzem em 40% a vibração no topo da estrutura. Esta edificação conta ainda
com um sistema que detecta a carga de vento instantânea e a vibração da estrutura, tornando o
sistema mais eficaz (Figura 6). (FIGUEROLA, 2003).
Figura 5: Shangai World Financial Center. (imagem: divulgação Mori Building).
Figura 6: Detalhe do sistema de amortecimento ativo. (imagem: divulgação Mori
Building) .
6
Neste trabalho são analisados, através de estudos técnicos de seus comportamentos
dinâmicos, da criação de protótipos físicos destes e das suas modelagens computacionais, dois
tipos de sistemas mecânicos de controle passivo, o massa-mola sintonizadas e o absorsor
pendular. Estes sistemas são acoplados a uma estrutura em escala reduzida, que simula o
comportamento de estruturas altas e esbeltas, como arranha-céus ou torres de
telecomunicações (PINHEIRO, 1997), com intuito de se obter a redução das vibrações.
Foram realizados estudos, acerca da modelagem dos sistemas de amortecimento, dos
carregamentos dinâmicos e da solução da equação diferencial de equilíbrio dinâmico. Estas
equações são resolvidas ora de forma analítica, ora de forma aproximada por método
incremental depois de simplificações das equações de movimento, utilizando o método das
diferenças finitas.
Neste trabalho, são abordados o dimensionamento e o detalhamento dos protótipos dos
sistemas de controle passivo analisados.
Nos capítulos de resultados e discussões (capítulos 3 e 4), foram avaliados os resultados
obtidos numérica e experimentalmente para os dois protótipos. Foi feita ainda, a comparação
dos resultados obtidos experimentalmente para os sistemas com e sem controle, verificando a
eficiência dos dois sistemas de redução de vibrações.
Finalmente, são apresentadas as conclusões e algumas sugestões para aperfeiçoamento
dos protótipos e para trabalhos futuros.
2 – DINÂMICA ESTRUTURAL
Segundo BARBOSA (2006), existem duas diferenças básicas entre um problema
estático e um dinâmico. A primeira refere-se ao fato de que o carregamento num problema
dinâmico varia com o tempo. A segunda, e mais importante diferença, é o aparecimento das
forças inerciais.
Partindo-se destas características, percebe-se que o uso da análise dinâmica em
contrapartida a análise estática, se faz necessária nas ocasiões onde os carregamentos
dinâmicos geram vibrações na estrutura, com acelerações elevadas, a ponto de gerar forças
inerciais consideráveis. Segundo PINHEIRO (1997), enquadram-se nestes casos, as estruturas
7
tipo torre, os arranha-céus esbeltos, pontes e outras estruturas arrojadas, onde a análise
dinâmica não pode ser desconsiderada, devido principalmente aos efeitos de fadiga estrutural
e ao desconforto gerado aos usuários.
Visando então compreender o comportamento dinâmico estrutural, nos próximos itens
são analisadas as equações diferenciais que regem o comportamento dinâmico dos sistemas
abordados neste trabalho.
Como hipótese básica simplificadora, admite-se que o comportamento dinâmico das
estruturas analisadas pode ser descrito por apenas um grau de liberdade generalizado. Esta
hipótese é válida nos casos em que a estrutura analisada vibra de forma predominante em uma
única frequência de vibração.
2.1 – Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um problema de dois
graus de liberdade conectados em série: SCP com massa mola sintonizados
Este SCP pode ser empregado em edifícios altos e esbeltos. A Figura 7 mostra, de
forma esquemática, uma estrutura real, um protótipo que visa simular seu comportamento
dinâmico e um modelo com 2 graus de liberdade, onde o grau de liberdade está associado
ao deslocamento horizontal no topo da estrutura e o grau de liberdade está associado ao
SCP acoplado.
Figura 7: Modelo proposto para estruturas do tipo torre esbelta.
Considerando o sistema estrutura-amortecedor como dois graus de liberdade conectados
em série, como mostrado na Figura 8, tem-se a equação matricial de equilíbrio dinâmico
expressa na equação 2.1, (BARBOSA, 2006), desprezando-se os esforços de atrito.
8
(2.1)
Onde: é a matriz de massa do sistema, sendo m1 e m2, respectivamente
as massas associadas à estrutura e a o controlador passivo;
é a matriz de
amortecimento, sendo c1 e c2, respectivamente, os coeficientes de amortecimento viscoso
relativos à estrutura e ao amortecedor;
é a matriz de rigidez do sistema,
sendo k1 e k2, respectivamente a rigidez relativa à estrutura e ao controlador;
,
e
, são os vetores de aceleração(1)
, velocidades(2)
e deslocamentos,
respectivamente, sendo x1 e x2 os deslocamentos das massas m1 e m2, respectivamente; e
o vetor de força aplicados, sendo f1 e f2 as forças aplicadas nos graus de liberdade 1
e 2 respectivamente.
Figura 8: Modelo de um sistema com 2 graus de liberdade.
2.2 – Equações diferenciais de equilíbrio dinâmico para um sistema de 1 grau de
liberdade com pêndulo absorsor de vibrações
Considerando o sistema estrutura-pêndulo absorsor como dois graus de liberdade
conectados conforme mostrado na Figura 9, tem-se a equação matricial de equilíbrio
dinâmico que expressa na equação 2.2, (PINHEIRO, 1997).
(1)
(2)
k1+k2 -k2 -k2 k2
K = [ ]
m1 0 0 m2 [ ] M =
X = { } x1
x2
X = { } .. x1
x2
..
..
[ ] C = c1+c2 -c2
-c2 c2
x1
x2 X = { } .
.
.
F ={ } f1
f2
(1) x =
(2) x =
d²x
dt² dx
dt
..
.
MX + CX + KX = F . . .
9
(2.2)
Onde:
é a matriz de massa do sistema, sendo m1 e m2,
respectivamente as massas associadas à estrutura e ao controlador passivo e L o comprimento
do pêndulo;
é a matriz de amortecimento, onde c é o coeficiente de
amortecimento viscoso relativo à estrutura;
é a matriz de rigidez do sistema,
sendo k e g respectivamente a rigidez da estrutura e a aceleração da gravidade; ,
e
são os vetores de aceleração(3)
, velocidades(4)
e deslocamentos, respectivamente, sendo x o
deslocamento linear da estrutura e o deslocamento angular do pêndulo; e
o vetor
de força aplicados, sendo f1 e f2 as forças aplicadas nos graus de liberdade 1 e 2
respectivamente.
Figura 9: Modelo de um sistema dotado de pêndulo com 2 graus de liberdade
PINHEIRO (1997).
2.3 – Solução das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico
Neste trabalho a integração numérica das equações diferenciais de equilíbrio dinâmico é
feita através de um método explícito para o qual se exprime as derivadas temporais dos
deslocamentos por aproximações discretas obtidas via método das diferenças finitas
(BARBOSA, 2006).
(3)
(4)
x x x
θ θ θ
θ
M{ }+ C { }+ K { }= F
.. .
.. .
m1 + m2 m2L
m2L m2L2 M = [ ]
C = [ ] 0 0
0 c
k 0
0 mgL K = [ ]
x
θ
θ
{ }
..
.. x
θ
θ
{ } x
θ
θ
{ }
.
.
F ={ } f1
f2
dx
dt
d²x
dt² (3)
x = ; θ =
(4) x = ; θ =
d²θ
dt² dθ
dt
..
.
..
.
10
Assim sendo, para uma variável x(t), aproxima-se suas derivadas primeira e segunda
com relação ao tempo para o t = ti , conforme equações 2.3 e 2.4, respectivamente:
(2.3)
(2.4)
Onde Δt é intervalo de tempo entre o tempo ti e ti+1, i (conjunto dos inteiros
positivos), considerando-se uma discretização temporal igualmente espaçada.
Desenvolvendo as equações 2.1 e 2.2 para as derivadas temporais aproximadas pelas
equações 2.3 e 2.4, pode-se chegar às equações 2.5 e 2.6, respectivamente.
Nestas equações, tem-se de forma explicita, os valores das variáveis de estado dos
modelos calculados para um instante de tempo t = ti+1 em função dos parâmetros dos
modelos, do passo da discretização temporal (Δt) e dos valores de estado para os instantes
t = ti-1 e t = ti .
(2.5)
(2.6)
.. x(ti+1) - 2x(ti) + x(ti+1)
Δt2
x(ti)
x(ti+1) - x(ti-1)
2Δt x(ti) .
x1i+1
= (8m2m1x1i – 4m2m1x1
i-1 – 4m2Δt
2x1
i k1 + 2Δtc2x1
i-1m2 + c2Δt
2c1x1
i-1 +
+ 2Δtx1i-1
c1m2 + 4k2x2iΔt
2m2 – 4x1
iΔt
2k2m2 + 4c2Δtm1x1
i – 2c2Δtm1x1
i-1 –
2c2Δt³x1ik1 + 4c2Δtm2x2
i – 4c2Δtm2x2
i-1) / (4m1m2 + 2c2Δtm2 + Δt²c1c2 +
+ 2m1c2Δt + 2Δtc1m2)
x2
1+1 = (8m1m2x2
i + 2Δt³c1x1
ik2 + 4c2Δtm1x1
i – 4c2Δtm1x1
i-1 – 2c2Δt³x1
ik1 +
+ 4m1x1iΔt²k2 + 4c2Δtm2x2
i – 2c2Δtm2x2
i-1 – 2Δt³c1k2x2
i – 4m1m2x2
i-1 + 4Δtc1m2x2
i –
– 2Δtc1m2x2i-1
– 4m1k2x2iΔt² + Δt²c1c2x2
i-1 + 2m1c2Δtx2
i-1) / (4m1m2 + 2c2Δtm2 +
+ Δt²c1c2 + 2m1c2Δt + 2Δtc1m2) (2.5)
xi+1
= – ( 2m1xi-1
m2L² + m1xi-1
CpΔt – 4m1xim2L² – 2m1x
iCpΔt +
+ 2m2LCpΔtθi-1
+ 2kxiΔt²m2L² – 2x
im2CpΔt – 2m2L²gθ
iΔt² – 2m2Lθ
iCpΔt +
+ xi-1
m2CpΔt + kxiΔt³Cp)/(2m1m2L² + m1CpΔt + m2CpΔt )
θi+1
= ( -2m1m2L²θi-1
+ 4m1m2L²θi + m2CpΔtθ
i-1+ m1CpΔtθ
i-1 –
– 2m1m2gLθiΔt² – 2m2²gLθ
iΔt² + 2m2Lkx
iΔt² )/( 2m1m2L² + m1CpΔt + m2CpΔt )
(2.6)
11
Assim sendo, uma vez conhecida as condições iniciais do sistema (deslocamento inicial
e velocidade inicial) é possível, através de um procedimento incremental, calcular os vetores
que aproximam de forma discreta os valores das funções que descrevem o comportamento
dinâmico dos sistemas analisados.
Por exemplo, para um sistema que parte do repouso e com deslocamento inicial zero,
tem-se para o conjunto de equações 2.5.
(2.7)
(2.8)
Substituindo as equações 2.7 e 2.8 nas equações 2.5 pode-se calcular x1
2 e x2
2 , que por
sua vez, possibilitam o calculo de x1
3 e x2
3 , e assim sucessivamente.
3 – ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO COM MASSA
SINTONIZADA
3.1 – Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos
Para se analisar os SCP apresentados neste trabalho, foi desenvolvido o protótipo de
uma estrutura, a qual pudessem ser acoplados os sistemas de amortecimento Figura 10.
Figura 10: Maquete eletrônica da estrutura – vista em perspectiva.
x1
0 = 0 ; x1
1 = 0 (2.7)
x2
0 = 0 ; x2
1 = 0 (2.8)
12
Figura 11: Partes constituintes do protótipo.
Como visto na Figura 11, o protótipo é composto de uma haste de aço (C) colocada na
vertical engastada na sua base numa mesa de ensaios pelo parafuso de fixação (B), e com a
outra extremidade livre.
Adotou-se uma seção transversal retangular para a haste (C) de (30 mm x 4 mm) e
comprimento de 850 mm, afim de que as vibrações aconteçam predominantemente através da
flexão em torno do eixo de menor momento de inércia.
Foram previstas duas bases para a estrutura, uma base de ancoragem (A) para garantir o
engastamento da estrutura à mesa de ensaios. E a base de fixação (E) para prender a base de
apoio (F) do sistema de amortecimento à estrutura, através dos parafusos (G) com diâmetro de
5 mm. A base de ancoragem (A) foi dotada de um parafuso (B) com diâmetro de 10 mm e
comprimento de 230 mm. As bases de fixação (E) e de apoio (F) foram dotadas de 4 furos
cada, com diâmetro de 5 mm, possibilitando que as duas sejam conectadas por meio dos
13
parafusos (G). Foram previstas ainda 4 cantoneiras triangulares (D) com lado de 50 mm,
juntando as bases (A) e (B) à haste (C), garantindo a ligação sólida entre haste e bases.
Figura 12: Foto da haste do protótipo, exibindo as bases de ancoragem e de fixação
soldadas.
Figura 13: Detalhe da base de ancoragem com o parafuso de fixação e o conjunto de
porcas e arruelas.
Levando-se em consideração que a base de apoio (F) deverá suportar uma massa e
molas ligadas a esta, e permitir certa amplitude de deslocamento desta massa, adotou-se as
medidas para a base (F) conforme o esquema da Figura 14.
14
Figura 14: Formato e dimensões da base de apoio (F) para os sistemas de
amortecimento.
Figura 15: Detalhe das bases de fixação e de apoio, com o conjunto de parafusos,
porcas e arruelas utilizadas.
A Figura 16 a seguir, representa de forma sintetizada as dimensões projetadas para o
protótipo.
15
Figura 16: Dimensões projetadas para o protótipo.
A massa do sistema de controle foi projetada como um “carrinho” dotado de rolamentos
para diminuir o atrito com a base (Figura 17). Foi dotado ainda de um sistema de ancoragem
similar ao da base de apoio (F), para inserção das molas. E finalmente um pequeno parafuso
com 9 mm de diâmetro e 80 mm de comprimento, que servirá de eixo para adicionar placas
metálicas para ajuste fino da massa.
Figura 17: Projeto da massa do sistema massa-mola sintonizadas.
16
Figura 18: Foto da massa (“carrinho”) utilizada no sistema massa-mola sintonizadas.
Figura 19: Detalhe da massa e das molas, utilizadas no sistema massa-mola
sintonizadas.
17
Figura 20: Instalação da haste da estrutura na mesa de testes.
Figura 21: Montagem da base dos sistemas de amortecimento na haste da estrutura.
18
Figura 22: Estrutura com sistema de amortecimento massa-mola sintonizadas.
3.2 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura
3.2.1 – Massa m1 da estrutura
Considerada como a soma da massa da chapa metálica do topo da haste (base de apoio
F) com 70% da massa da haste, (BATTISTA, 2002).
Assim sendo, 3,51 kg + 70% x 1,08 kg obtendo-se m1 = 4,27 kg.
3.2.2 – Rigidez k1 (rigidez da estrutura)
Através de um ensaio em vibrações livres da haste com a base de apoio F com
carregamento inicial imposto, obteve-se a freqüência natural do sistema ω1 = 0,971 Hz x 2π =
6,10 rad/s. Sabendo-se que
, para m1 já conhecida, obteve-se o valor de k1 =
158,74 N/m. Os resultados desse ensaio de vibrações livres são mostrados no gráfico da
Figura 23.
ω1 = k1 / m1
19
Figura 23: Deslocamento x tempo - para vibrações livres da estrutura não controlada.
3.2.3 – Coeficiente de amortecimento c1
Também através do ensaio de vibrações livres, aplicando a equação 2.9 é possível
determinar o coeficiente de amortecimento ξ1 = 0,4 %.
Sabendo-se que c1 = 2ξ1ω1m1 , tem-se c1 = 0,206, uma vez que:
(2.9)
Onde up e uq são dois valores de máximo local consecutivos no Figura 23,
respectivamente.
3.3 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle
passivo
3.3.1 – Massa m2 do sistema
Definida como aproximadamente 10% da massa m1. Esta recomendação consta em
Battista (2002).
ξ = 1/2π . ln up/uq (2.9)
20
3.3.2 – Rigidez k2 do sistema
Após diversas simulações numéricas obtidas através das equações 2.5, onde os valores
para k2 foram tomados num intervalo entre 10 e 200 N/m , adotou-se para k2 o valor que
resultou no melhor desempenho para o sistema de controle, o que foi obtido para k2 = 50 N/m.
A constante elástica k2 da mola, foi obtida através da medição da mola em estado de
repouso e depois quando submetida a um carregamento conhecido. Com a diferença entre
estas duas medidas, obteve-se o alongamento Δx . Com isso, utiliza-se a equação
para obter a constante elástica (Figura 24).
Figura 24: Ensaio para determinação da constante elástica da mola (k2).
A Tabela 2 apresenta os resultados obtidos no ensaio de determinação da constante
elástica da mola.
Tabela 2: Obtenção da constante elástica (k2) da mola.
Comprimento da mola Alongamento
Δx
Constante elástica
F1 = 0 kgf F2 = 0,290 kgf = 2,9 N k2 = F / Δx
0,06 m 0,11 m 0,05 m 58 N/m
k2 = F / Δx
21
3.3.3 – Coeficiente de amortecimento c2 do sistema
Para um ensaio de vibrações livres com deslocamentos iniciais impostos para o sistema
massa-mola amortecidos relativo ao controlador passivo desacoplado da estrutura e aplicando
a equação 2.9, obteve-se ξ2 = 4,86 %, o que fornece c2 = 1,00. Os resultados desse ensaio de
vibrações livres são mostrados no gráfico da Figura 25.
Figura 25: Deslocamento da massa do sistema de amortecimento massa-mola sintonizada
desacoplado da estrutura.
3.4 – Resultados para sistema de controle massa-mola
De posse dos parâmetros do modelo computacional e de resultados experimentais os
gráficos da Figura 26 e Figura 27 foram construídos.
22
Figura 26: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema não
controlado.
Figura 27: Comparação de respostas experimentais e numéricas para sistema controlado.
23
4 – ANÁLISE DO SISTEMA DE CONTROLE PASSIVO DOTADO DE
ABSORSOR PENDULAR
4.1 – Descrição do protótipo com apresentação da geometria e fotos
Para o dimensionamento do sistema absorsor pendular, levou-se em consideração o
exposto por PINHEIRO (1997). Foram projetados dois pêndulos conectados por um eixo
central de ligação que os força a oscilar de forma sincronizada (Figura 28). Assim, pode-se
considerar o sistema como sendo de dois graus de liberdade.
Figura 28: Esquema do eixo de ligação entre os pêndulos.
24
Figura 29: Foto mostrando a base de apoio, o eixo e as barras que serão utilizados no
sistema absorsor pendular.
O eixo central de ligação entre os pêndulos foi apoiado em dois rolamentos com 28mm
de diâmetro, que foram soldados à base do sistema de amortecimento, permitindo a oscilação
com um mínimo de atrito.
Figura 30: Detalhe da montagem do eixo para o sistema absorsor pendular, sobre a
base de apoio.
25
Figura 31: Detalhe da fixação da haste do pêndulo ao eixo de ligação.
Figura 32: Protótipo dotado do sistema absorsor pendular.
26
Figura 33: Detalhe da fixação da massa na ponta do pêndulo do sistema absorsor
pendular.
4.2 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico da estrutura
A estrutura utilizada foi a mesma do exemplo anterior Capítulo 3.2.
Assim sendo temos:
m1 = 4,27 kg; ω1 = 6,10 rad/s; k1 = 158,74 N/m; ξ1 = 0,4 %; c1 = 0,206.
4.3 – Determinação dos parâmetros do modelo numérico do sistema de controle
dotado de absorsor pendular
4.3.1 – Massa m2 do sistema
Definida como aproximadamente 10% da massa m1. Esta recomendação consta em
Battista (2002).
4.3.2 – Comprimento L do pêndulo do sistema de controle
Através de simulações numéricas obtidas através das equações 2.6 onde os valores para
L foram tomados num intervalo entre 200 e 700 mm, adotou-se para L o valor que resultou no
melhor desempenho para o sistema de controle, o que foi obtido para L = 700 mm.
27
4.4 – Resultados para sistema de controle dotado de absorsor pendular
Figura 34: Comparação entre dados experimentais e numéricos para estrutura controlada
via absorsor pendular.
5 - CONCLUSÕES
Através da análise comparativa dos resultados numéricos e experimentais obtidos, da
estrutura controlada e não controlada, verifica-se que o protótipo projetado com atuação do
sistema de redução de vibrações massa-mola sintonizadas, atingiu os objetivos esperados,
reduzindo significativamente a vibração da estrutura, e que o sistema dotado de absorsor
pendular, embora tenha apresentado uma parcela de redução de vibração, estas reduções
ficaram abaixo do esperado.
Verifica-se pela análise do gráfico da Figura 35, que houve uma redução significativa
das vibrações experimentadas pela estrutura quando dotada do sistema de redução de
vibrações do tipo massa-mola sintonizadas. Em um intervalo de 13 segundos obteve-se
redução de 83% na amplitude das vibrações, passando de 15 cm a 2,5 cm, contra redução de
26% para o sistema não controlado.
28
Figura 35: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via sistema massa-
mola sintonizadas.
Observa-se que após 13 segundos o sistema massa-mola sintonizadas não atua mais,
devido principalmente a ação de forças de atrito entre a massa e a base, que impedem a
movimentação adequada do sistema. Isto pode ser verificado pela diferença encontrada entre
os dados experimentais e numéricos (Figura 27).
Para o sistema dotado de absorsor pendular, encontrou-se dificuldades em sintonizar a
frequência natural de vibração do pêndulo com a da estrutura. Foram adotados a princípio os
parâmetros de dimensionamento calculados através da análise do modelo numérico das
equações 2.6. Porém, a utilização destes parâmetros de massa e de comprimento do pêndulo,
não resultaram reduções de vibração para a estrutura. Sendo observado, que a vibração ficou
variando entre a estrutura e o pêndulo de forma oscilatória, sem que houvesse redução
considerável.
Durante os ensaios o pêndulo apresentou vibrações com frequências altas, o que não é
desejável, pois significa que o modelo proposto para análise numérica não representa bem a
realidade.
Estas frequências observadas podem estar associadas a vibrações secundárias ou em
direção diferente a da vibração principal, devido a baixa rigidez da haste que constitui o
pêndulo e a erros construtivos e de concepção do protótipo.
Então partiu-se para ensaios com variação das massas, do comprimento e material das
hastes do pêndulo, a fim de que se conseguisse sintonizar as frequências. Porém este ajuste
não alcançou a precisão desejada e o pêndulo projetado não apresentou resultado de redução
de vibração satisfatório (Figura 36), não alcançando a performance verificada nas análises
numéricas (Figura 34).
29
Figura 36: Comparação entre estrutura não controlada e controlada, via absorsor pendular.
30
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Almeida, Sandra Freire. Análise dinâmica experimental da rigidez de elementos
de concreto submetidos à danificação progressiva até a ruptura. Dissertação de Mestrado.
São Carlos, Junho de 2005.
[2] Barbosa, Flávio de Souza. Apostila do curso de Análise Experimental em
Dinâmica das Estruturas, UFJF, 28 de abril de 2006.
[3] Barbosa, Flávio de Souza. Modelagem Computacional de Estruturas com
Camadas Viscoelásticas Amortecedoras, Tese de Doutorado, PEC-COPPE/UFRJ, Rio de
Janeiro, 2000
[4] Battista, R. C. et all. Conceptual and preliminary design of a passive control
system of multiple TMD’s to attenuate wind-induced oscillations of the Rio-Niterói
bridge, PONTE SA Contract Report, vol. 13, COPPETEC, Rio de Janeiro, January, 2001.
[5] Battista, R. C. Múltiplos atenuadores Dinâmicos Sincronizados para controle
das oscilações induzidas pelo vento na Ponte Rio-Niterói. Instituto COPPE – UFRJ, Rio de
Janeiro, 2002
[6] Figuerola, N V. Conforto nas alturas. Revista Techne. Editora PINI. Edição 131.
16 de fevereiro de 2008, páginas. 30 à 33.
[7] Gawronski, Wodek K. Advanced Structural Dynamics and Active Controls of
Structure. Springer, 2004.
[8] Meirovitch,Leonard. Computational methods in structural dynamics. Holanda,
1980.
[9] Meirovitch, Leonard. Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill Books,
1970.
[10] Moutinho, Carlos. Análise Experimental da eficiência de TMDS para a
atenuação da resposta sísmica de estruturas de edifícios. In 6° Congresso Nacional de
Sismologia e Engenharia Sísmica, 2004.
[11] Pinheiro, Marco A. S. Absorsor pendular não-linear para redução de vibrações
em torres esbeltas. Dissertação de mestrado. Rio de Janeiro, 1997.
[12] Sardinha, Israel B. Monitoração de estruturas para identificação de parâmetros
modais.