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Departamento de Engenharia Civil - DECDepartamento de Engenharia Civil - DEC

ESTATÍSTICA APLICADA A HIDROLOGIA E ESTATÍSTICA APLICADA A HIDROLOGIA E ANÁLISE DE REGRESSÃO E ANÁLISE DE REGRESSÃO E

CORRELAÇÃO LINEARCORRELAÇÃO LINEAR

Disciplina:Disciplina: Hidrologia AplicadaPeríodo:Período: 2004.2Professor:Professor: Carlos de Oliveira Galvão

1) Considerações Iniciais

As variáveis hidrológicas são aleatórias pois não

seguem uma lei de certeza;

Assim sendo, uma variável hidrológica qualquer tem

uma certa freqüência ou probabilidade de ocorrência que

está associada a um tempo médio;

O tempo médio em que a variável pode ocorrer é

denominado tempo de retorno.

2) Variáveis hidrológicas

As variáveis hidrológicas são oriundas dos

processos do ciclo hidrológico:

Precipitação; Intercepção;

Evapotranspiração;

Infiltração;

Escoamento.

3) Aplicação da estatística na hidrologia

A estatística é baseada na análise da série de dados

observados ao longo do tempo;

Os estudos estatísticos dessas séries tem aplicações

das mais diversas, tais como:

O comportamento climático e hidrológico regionais

(série de valores médios); Projetos agrícolas (séries de valores mínimos); Projetos de obras hidráulicas (série de vazões

máximas).

4) Amostra e Universo

UniversoAmostra

Pergunta: Será que a amostra é

representativa do universo?

Para responder, deve-se verificar

as características amostrais

e compará-las com as características

universais.

Exemplo: 0 X

4) Amostra e Universo

Características Amostrais Universais

Média x µ

Moda Xmo mo

Variância S² ²

Desvio Padrão S Assimetria a A

Curtose c C

Distribuição de frequência

F(x) P(x)

5) Características das Séries Hidrológicas

As séries de dados utilizados na análise de

probabilidade devem possuir as seguintes

características:

Séries de valores independentes entre si;

A série deve ser homogênea e consistente;

A série deve ser uma amostra representativa do

universo.

5) Características das Séries Hidrológicas

Para o estudo de freqüência de vazão

extremas, por exemplo, podem ser usadas séries

parciais ou séries anuais de vazões.

As séries anuais são formadas pelos maiores

valores (ou menores no caso de valores mínimos) de

cada ano, formando n valores da variável em n anos;

As séries parciais possuem, em média, m valores

por ano e não apenas um valor, resultando em m.n

valores.

6) O objetivo da estatística na hidrologia

Tem por objetivo principal, analisar as Tem por objetivo principal, analisar as

características da série quanto:características da série quanto:

parâmetros estatísticos;parâmetros estatísticos; análise de freqüência;análise de freqüência; distribuição de probabilidade.distribuição de probabilidade.

6.1) Parâmetros estatísticos:

A)A)Medidas de tendência centralMedidas de tendência central

• Média Aritmética

• Média Geométrica

• Média Harmônica

• Mediana

• Moda

6.1) Parâmetros estatísticos:

A)A)Medidas de tendência centralMedidas de tendência central

média = mediana = modaX

F(X) mediana

média X

F(X)

moda

6.1) Parâmetros estatísticos:

B) Medidas de DispersãoB) Medidas de Dispersão

• Desvio médio

• Variância e Desvio Padrão

• Amplitude

• Coef. de variação

n

ii xx

nS

1

22 1

n

ii xx

ndx

1

1 SDp

minmax xxA

x

SCv

6.1) Parâmetros estatísticos:

Exemplo: Determinar os parâmetros estatísticos da

série hidrológica abaixo:

Ano P (mm)

1930 720

1931 680

1932 912

1933 1030,50

1934 670

1935 720

1936 480

1937 650

6.2) Análise de Freqüência

Os processos hidrológicos são aleatórios, logo,

podem serem inferidos por uma lei de probabilidade.

A) FundamentosA) Fundamentos

As leis de probabilidade são funções contínuas

usadas para a estimativa de um dado evento

hidrológico e precisam ser previamente ajustadas. O ajustamento consiste na verificação da

representatividade da lei da probabilidade em relação

as freqüências de ocorrência do processo hidrológico.

6.2) Análise de Freqüência

A) FundamentosA) Fundamentos

1 xXFxXF

excedêncianãodeFreqxXF . excedênciadeFreqxXF .

Onde:

A freqüência é o número de vezes em que um evento pode acontecer

Em hidrologia a freqüência de um evento está associada a magnitude do

evento.

excedênciadeobxXP .Pr

1 xXPxXP

excedêncianãodeobxXP .Pr

Onde:

6.2) Análise de Freqüência

A) FundamentosA) Fundamentos

A hipótese nula (Ho) tem por base a diferença entre as características amostrais e populacionais. Assim:

Se esta diferença estiver dentro de níveis de significância aceitáveis, então a hipótese nula é aceita e a distribuição de probabilidade passa no teste sendo, portanto, representativa das freqüências amostrais observada.

nMáx DxXPxXFD ,)()(

6.2) Análise de Freqüência

B) Distribuição de Freqüência acumuladaB) Distribuição de Freqüência acumulada

Método

Califórnia:

n

mXF

Método de Kimball: 1

n

mXF

Onde: m = ordem do evento;

n = n° de dados.

6.2) Análise de Freqüência

ordem P(mm) ordem P(mm)

1910 P(1910) 1 Pmáx 1/(n+1) 1 Pmín. 1/(n+1)

1911 P(1911) 2 . 2/(n+1) 2 . 2/(n+1)

1912 P(1912) 3 . 3/(n+1) 3 . 3/(n+1)

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

n P(n) n Pmín. n/(n+1) n Pmáx n/(n+1)

Rol crescenteAno P (mm) F(X >= x)

Rol decrescenteF(X <= x)

Exemplo:Exemplo:

6.2) Análise de Freqüência

C) Agrupamento em classes de freqüênciaC) Agrupamento em classes de freqüência

nN

Definir o n° de classes (N)

Definir a amplitude de cada classe (ac)

N

A

classesden

globalamplitudea Gc

6.2) Análise de Freqüência

C) Agrupamento em classes de freqüênciaC) Agrupamento em classes de freqüência

Calcular o ponto médio de cada classe

Freqüência absoluta

Freqüência relativa

Freqüência relativa acumulada

Exemplo:Exemplo:

6.2) Análise de Freqüência

D) Período de retorno e risco de falhasD) Período de retorno e risco de falhas

)(

1

xXPT

O período de retorno, ou tempo de recorrência, é o inverso da probabilidade excedente:

6.2) Análise de Freqüência

D) Período de retorno e risco de falhasD) Período de retorno e risco de falhas

O risco de uma obra falhar uma ou mais vezes ao longo de sua vida útil é igual a:

n

TR

111

Onde:T – Período de Retorno (em anos);n – É a vida útil da obra (em anos);R – É o risco permissível.

Exemplo:Exemplo: