UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO

FACULDADE DE ENGENHARIA - DEP. DE ENGENHARIA ELÉTRICA

ELE 0941 - ELETROTÉCNICA

CAPÍTULO 3 - CIRCUITOS TRIFÁSICOS

1.0 Definições Gerais

Sistema de tensões polifásico simétrico e equilibrado

Seja n o número de fases:

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

nntEe

nitEe

ntEe

tEe

Mn

Mi

M

M

12cos

12cos

12cos

cos

2

1

πω

πω

πω

ω

M

M

Para o caso de sistema trifásico (n =3):

1

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

34cos

32cos

cos

3

2

1

πω

πω

ω

tEe

tEe

tEe

M

M

M

Figura 1 - Sistema de tensão trifásico

Em termos fasoriais:

Figura 2 – Representação fasorial nos eixos real e imaginário

2

oyx EjEEE θ=+=1

&

onde

θ

θθ

senEE

EEtgarcEE

EEEj

y

x

yx

yx

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

+=−=

cos

1 22

deste modo no sistema trifásico

o

o

o

EjEsenj

EjEsenj

12023

21

32

12023

21

32

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎥

⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

π

π

EE

EE

EjEE

32cos

32cos

00

3

2

1

⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=+=

π

π

&

&

&

onde

2MEE =

1.1 Definições

Sistema de tensões trifásico simétrico: Três tensões senoidais de mesma magnitude,

defasadas entre si de 120o.

Sistema de tensões trifásico assimétrico: Sistema trifásico em que não atendem a pelo

menos uma das condições acima.

3

Linha (ou rede) trifásica equilibrada: Linha (ou rede) constituída por 3 ou 4 fios

(incluído o neutro ou retorno), com:

impedâncias próprias iguais ( pCCBBAA ZZZZ === )

impedâncias mútuas iguais ( MCABCAB ZZZZ ===r

);

MCGBGAG ZZZZ '===r

Um circuito trifásico esta em equilíbrio se as três tensões senoidais tiverem a

mesma magnitude e freqüência e cada tensão estiver 120o fora de fase com as outras

duas. As correntes na carga também devem estar em equilíbrio.

Linha (ou rede) trifásica desequilibrada: Linha (ou rede) trifásica em que não se verifica

alguma das condições de equilíbrio.

Carga trifásica equilibrada: Carga trifásica constituída por três impedâncias iguais

ligadas em estrela (Y) ou triângulo (Δ).

Carga trifásica desequilibrada: Carga trifásica em estrela (Y) ou triângulo (Δ) em que

não se verifica pelo menos umas das condições de equilíbrio.

1.2 Seqüência de fases

Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade ω constante em um

campo magnético uniforme surge uma tensão dada por

( )θω += tEe M cos

Considere-se então 3 bobinas deslocadas entre si de 3

2π rad em um mesmo eixo.

4

Figura 3 - Obtenção de um sistema de tensão trifásico

Seqüência de fase: A ordem pela qual as tensões passam por máximo.

Na figura: A-B-C ( B-C-A; C-A-B ) – seqüência direta (positiva)

C-B-A ( B-A-C; A-C-B ) – seqüência inversa (negativa)

Figura 4 – Seqüência de fase, direta e inversa, dos fasores de tensões

É comum na literatura também o emprego das letras RST em analogia as fases ABC.

5

Exemplo 1: Um sistema trifásico simétrico tem seqüência de fase B-A-C e o

CV 70220=& V. Determinar as tensões das fases A e B.

1.3 Operador α

Define-se α como o seguinte fasor:

o1201=α

Propriedades de α:

oooo 12012401120112012 −==⋅=⋅= ααα

αααα

ααα

=⋅=

=⋅−=⋅=

34

23 0112011201 ooo

( ) ( )

223

13

33 0101

αα

αα

αα

=

=

===

+

+

n

n

ononn

01 2 =++ αα

Exemplo 2: Calcular:

1- 2α

6

αα −2

( )22 1 αα −

1−α

( )21 αα −

1.4 Seqüências

Seqüência: conjunto ordenado de três fasores.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

C

B

A

A

MMM

M&

&

&r

Tabela 1 – conjunto ordenado de três fasores para seqüência positiva, negativa e zero

Seqüência direta (positiva) Seqüência inversa (negativa) Seqüência zero

112

1

1

121

1

1SVV

VV

VV

r&&

&

&

&r

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα

αα

222

2

22

2

2

2

1SVV

VV

VV

r&&

&

&

&r

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα

αα

000

0

0

0

0

111

SVVVVV

Vr

&&

&

&

&r

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Exemplo 3 – Como fica na notação acima o sistema de fasores do exemplo 1

1.4 Padronização de sub índice duplo

7

Figura 5 – Representação das tensões e correntes em fonte e em carga

2.0 Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com carga

equilibrada, seqüência direta

2.1 Ligações em estrela ou Y

Sejam as bobinas da figura 3 alimentando cargas de impedância

jXRZZ +== ϕ

Figura 6 - Três circuitos monofásicos para conexão estrela

8

As correntes que circulam nos circuitos são

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

−+=+

==

−−=−

==

−===

120120

120120

0

ZE

Z

E

ZE

I

ZE

Z

E

ZE

I

ZE

Z

E

ZE

I

oNC

C

oNB

B

oNA

A

C

B

A

&&

&&

&&

• Os circuitos são eletricamente independentes, então os pontos NA, NB, e NC podem

ser conectados em um ponto N.

• Os pontos N’A, N’B, e N’C estão ao mesmo potencial de N e podem ser igualmente

conectados.

• A corrente que circula no condutor N-N’ é 0' =++= CBANN IIII &&&&

O circuito trifásico pode ser redesenhado como segue.

9

Figura 7 - Sistema trifásico com fontes e cargas ligados em Y

Definições:

1. Tensão de fase: medida entre qualquer terminal do gerador ou carga e o

centro-estrela;

2. Tensão de linha: medida entre quaisquer dois terminais do gerador ou da

carga, nenhum deles sendo o centro-estrela;

3. Corrente de fase: corrente que percorre cada das bobinas do gerador ou da

impedância da carga;

4. Corrente de linha: corrente que percorre os condutores que conectam o gerador

á carga, excetuado o neutro.

2.1.1 Relações entre os valores de linha e fase para a ligação Y

10

Figura 8 - Tensões e correntes de fase e linha em um sistema trifásico com gerador e carga ligados

em Y

Tabela 2 – Grandezas de fase e linha (em módulo) num trifásico simétrico e equilibrado ligado em Y

Valores de fase Valores de linha

Gerador Carga Gerador Carga

Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão

INA VAN IA’N’ VA’N’ IA VAB IA VA’B’

INB VBN IB’N’ VB’N’ IB VBC IB VB’C’

INC VCN IC’N’ VC’N’ IC VCA IC VC’A’

2.1.1.1 Correntes:

CCNNC

BBNNB

AANNA

III

III

III

&&&

&&&

&&&

==

==

==

´´

´´

``

2.1.1.2 Tensões:

11

Dadas às tensões de fase

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα 2

1

AN

CN

BN

AN

AN VVVV

V &

&

&

&r

As tensões de linha são

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=1

1

1

12

22

2

ααα

ααα

αα ANANAN

AN

CN

BN

CN

BN

AN

CA

BC

AB

AB VVVVVV

VVV

VVV

V &&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&r

Onde:

( )

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=→

=−=−

=−=−

=−

αα

αααα

ααααα

α

2

2

2222

2

1303

30311

3031

3031

ANo

AB

o

o

o

VV &r

Em uma formulação geral, considerando na referência e seqüência direta,

pode-se escrever a seguinte relação entre valores de fase e de linha:

ANV&

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

αα 200

130|330|3 Fase

CN

BN

AN

CA

BC

AB

V

V

V

V

V

V

V&

&

&

&

&

&

&

12

O diagrama fasorial, com a tensão de fase na referência, correspondente é

Figura 9 - Diagrama fasorial com relação entre as tensões de linha e fase, seq. direta (ligação Y),

tensão de fase ( ) na referência ANV&

2.1.1.3 Deslocamento de neutro

Considere-se uma tensão VNN’ como ilustrado na figura 10.

Figura 10 - Deslocamento de neutro

13

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+=111

''' NN

CN

BN

AN

NNANAN VVVV

VVV &

&

&

&rrr

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

αα

αα

αα

2

'

2

2

'

'

'

'

'

'

1303

111

111

1

1

ANo

NNANAN

AN

VN

BN

CN

BN

AN

CA

BC

AB

AB

V

VVVVVV

VVV

VVV

V

&

&&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&r

1. A tensão VNN’ não afeta as tensões de linha.

2. Dadas as tensões de linha, as tensões fase-terra estão indeterminadas, ou seja,

oAB

ANV

V303'

&& = se e somente se for garantido que o trifásico é simétrico.

Exemplo 4 :Uma Carga equilibrada ligada em Y é alimentada por um sistema trifásico

simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta. Sabendo-se que 058|220=BNV& V,

pede-se determinar:

a) As tensões de fase na carga

b) As tensões de linha na carga

2.1.2 Resolução de circuitos com gerador e carga em Y

Considere-se o circuito a seguir sendo conhecidas às tensões de fase do gerador

e as impedâncias da linha e da carga. Sejam as malhas indicadas.

14

Figura 11 - Circuito trifásico em Y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ααθ 2

1E

VVV

V

CN

BN

AN

AN

&

&

&r

; '''; ϕϕ ZZZZ ==

)'(2)'(2)'(

)'(2)'()'(2

ZZVV

ZZZZVV

ZZVV

ZZZZVV

CNBNCNBN

BNANBNAN

+−

=+−→+++−=−

+−

=−→+−+=−

&&&&

&&&&

βγβγ

βγβγ

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )'3'3

12'3

1ZZ

VV

ZZVVV

ZZAN

ANCNBNAN +=

+=+−

+=

&&&&&γ

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )'3'3

12'3

1ZZ

VV

ZZVVV

ZZCN

CNBNANCN +−

=−+

=++−+

=&

&&&&β

15

( )

( ) ( ) ( )

( )'

'''

'

ZZV

I

ZZV

ZZV

ZZV

I

ZZV

I

CNC

BNANCNB

ANA

+=−=

+=

+−

+−=−=

+==

&&

&&&&

&&

β

γβ

γ

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα

θ

ααθ 22

1

'

1

ZZ

E

III

IEVVV

V

C

B

A

A

CN

BN

AN

AN

&

&

&r

&

&

&r

Outra resolução:

VNN’ = 0 → imediatamente ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα

θ2

1

'ZZ

E

III

I

C

B

A

A

&

&

&r

Ou seja, tudo se passa como se o circuito a resolver fosse:

Figura 12 - Circuito monofásico equivalente (Y)

16

A resolução de um sistema trifásico simétrico e equilibrado, com gerador e caga

em Y, resume-se à solução de um circuito monofásico representado pelo gerador ligado

a uma das cargas. Os outros valores das fases têm o mesmo módulo e ângulos defasados

de 1200

Observação: Com relação ao subscrito duplo, por Exemplo VAN, significa a tensão no

ponto A em relação ao ponto N, quanto a corrente IAN representa a corrente que flui de

A para N.

Exemplo 5 : Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica

equilibrada. Gerador e carga ligados em Y, seqüência direta. São dados :

1) A tensão de linha do gerador – 380V

2) A freqüência do gerador – 60Hz

3) O número de fios da linha – 3

4) A resistência e a reatância indutiva de cada fio da linha (desprezar as indutâncias

mútuas entre os fios da linha) – R=0,20Ω XL=0,50Ω

5) A impedância da carga – ZC= 3 + j 4 Ω

Pede-se:

a) As tensões de fase e de linha no gerador

b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador

c) As tensões de fase e de linha na carga

d) A queda de tensão na linha (valores de fase e de linha)

e) O diagrama de fasores

2.2 Ligações em triângulo ou Δ

Retomando os geradores monofásicos que compõem o trifásico e conectando-os

como ilustrado:

17

Figura 13 - Três circuitos monofásicos para conexão Δ

Cada malha é independente → podem-se interligar os pontos ⎪⎩

⎪⎨

⎧

B

C

NeC

NeA

Note-se que → B e N0=++=ACBA ANCNBNBN VVVV &&&& A podem ser interligados.

Analogamente 0)( '''''''' =++=ABBA NANBNBNB IIIZV &&&& e B’ e N’A podem ser interligados

Finalmente, podem-se interligar os pontos ⎪⎩

⎪⎨

⎧

B

A

C

NeCNeBNeA

''''''

Então o circuito fica como segue.

18

Figura 14 - Circuito trifásicos com gerador e carga em Δ

2.2.1 Relações entre as grandezas de fase e de linha na ligação Δ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

CA

BC

AB

CN

BN

AN

VVV

VVV

C

B

A

&

&

&

&

&

&

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

'´

''

''

''

''

''

'

'

'

'

CB

BA

AC

AC

BB

BA

CC

BB

AA

AA

III

III

III

I&

&

&

&

&

&

&

&

&r

Seja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα 2

''

''

''

''

''

1

BA

AC

CB

BA

BA IIII

I &

&

&

&r

então

19

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=2

2''

'

'

'

' 11

α

α

ααBA

CC

BB

AA

AA IIII

I &

&

&

&r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

αα 2

''0

'

'

' 1303 BA

CC

BB

AA

IIII

&

&

&

&

2.2.3 Resolução de circuitos trifásicos em Δ

Figura 15 - Circuito trifásico em Δ

( )

( )

γβα

γβα

γβα

ZZZ

ZZZZV

ZZZZV

AB

CA

30

'2

''2

+−−=

−++−=

−−+=

&

&

de onde se podem determinar β, e γ

20

Por outro lado,

( ) ''' BABAAB IZIIZV &&&& +−=

E, explorando a simetria e o equilíbrio:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα

αα 20

'

'

'2

''

''

''

''

1303;

1

F

CC

BB

AA

F

AC

cB

BA

BA IIII

IIII

I &

&

&

&

&

&

&

&r

têm-se

( ) FFFBA IIIII &&&&& 33033031303 0020 =−=−−=− α

de onde

( )ZZ

VIIIZZV ABFBAFAB +==→+=

'3'3 ''

&&&&&

e, finalmente:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=αα 2

''

''

''

''

1

'3 ZZV

III

I AB

AC

cB

BA

BA

&

&

&

&r

O diagrama fasorial , corrente de fase ( ) na referência, correspondente é ABI&

21

Figura 16 - Diagrama fasorial com relação entre correntes de linha e fase (ligação Δ), corrente de

fase na referência

3.0 Transformações equivalentes Δ - Y (carga) Para um grande número de problemas necessitamos transformar cargas ligadas

entre delta e estrela e vice-versa.

O critério para identificar as duas ligações é que se tomando a impedância entre

dois pontos quaisquer correspondentes nos dois circuitos, eles devem ser iguais.

Na figura 17 queremos determinar a relação entre os componentes da estrela e

do delta, de modo que sejam equivalentes.

22

Figura 17 - Transformação Δ - Y

A impediência vista entre os pontos A e B deve ser igual nos dois casos,

portanto

( )

( )

( )Δ

Δ

Δ

+=+

+=+

+=+

ZZZZ

ZZ

ZZZZ

ZZ

ZZZZ

ZZ

BCABCAAC

CAABBCCB

BCCAABBA

&

&&&&&

&

&&&&&

&

&&&&&

onde:

CABCAB ZZZZ &&&& ++=Δ

23

Temos portanto um sistema com três equações e três incógnitas, somando a

primeira equação com a terceira e subtraindo a segunda achamos . Os valores de

e são determinados de forma análoga, assim,

AZ& BZ&

CZ&

Δ

Δ

Δ

=

=

=

ZZZ

Z

ZZZ

Z

ZZZ

Z

BCCAC

ABBCB

CAABA

&

&&&

&

&&&

&

&&&

As equações acima correspondem à transformação de delta para estrela. Para

fazer a transformação contrária (estrela para delta) definimos por YZ

CBAY ZZZZ &&&&1111

++=

Multiplicando por e , obtemos AZ& BZ&

ABCABCAB

ABCABCBCCA2

BCCAABBCCAAB2

222

Y

BA

ZZZZZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z ZZ

&&&&

&&&

&

&&&

&&

&

&&

&

&&

&

&

&&&

&

&&

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

Δ

ΔΔΔ

Δ

AB

BCCAAB

Z

ZZZZ

logo

24

Y

ACCA

Y

CBBC

Y

BAAB

ZZZ

Z

ZZZ

Z

ZZZ

Z

&

&&&

&

&&&

&

&&&

=

=

=

O observar-se que se a carga for equilibrada, para passar de Y para Δ basta

multiplicar o valor da impedância por três e, para passar de Δ para Y dividir a

impedância por 3.

Exemplo 6: Um transformador alimenta uma carga em Y (Z2) e uma carga em Δ (Z1)

através de uma linha (ZL). Pedem-se as tensões de linha no transformador de modo que

a tensão de linha na carga seja igual a 220V. Considerar os seguintes dados:

Ω+=Ω+=Ω+=

00,4j00,550,2j10,2

1,00 j 0,50 Z

2

1

L

ZdiretasequênciaZ

4.0 Resumo de circuitos trifásicos equilibrados (carga) com

transformação Δ-Y

A tabela 3 nos apresenta um resumo das ligações Y e Δ com as relações fasoriais

entre grandezas de fase e de linha, para um circuito trifásico simétrico e equilibrado

com seqüência de fase direta e inversa, bem como a transformação de impedâncias de

carga na ligação Δ para Y e na ligação de Y para Δ.

25

Tabela 3 – Carga trifásica simétrica e equilibrada

S

E

Q

U

Ê

N

C

I

A

G

R

A

N

D

E

Z

A

I fL II && = 30|3 −= fL II &&

DIR

V 30|3 fL VV && = FL VV && =

I fL II && = 30|3 fL II && =

INV V 30|3 −= fL VV && FL VV && =

Trans-

forma-

ção

de

impe-

dâncias

osanáZZ

ZZZZ

ZZZ

Z

CB

CABCAB

CAABA

log, &&

&&&&

&

&&&

++=

=

Δ

Δ

osanáZZ

ZZZZ

CABC

CBAY

log,

1111Z

ZZZY

BAAB

&&

&&&&

&

&&&

++=

=

5.0 Potência em sistemas trifásicos

5.1 Expressão da potência

A potência aparente complexa monofásica é dada por:

∗= IVS &&&

26

onde

∗I& se refere ao complexo conjugado de , isto é, se I& ImRe| IjIII i +== θ& , então

ImRe| IjIII i −=−=∗ θ&

QjPS +=

Nos circuitos trifásicos, a potência aparente total é a soma das potências aparente

individual das três fases, ou seja:

∗∗∗

Φ ++= fCfCfBfBfAfA IVIVIVS &&&&&&&3

considerando seqüência direta temos ainda que:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αα

αα 22

11

f

fC

fB

fA

f

fC

fB

fA

I

I

I

I

V

V

V

V&

&

&

&

&

&

&

&

donde chega-se à:

( ) ( )

∗Φ

∗∗∗Φ

∗∗∗Φ

=

++=

++=

ff

ffffff

ffffff

IVS

IVIVIVS

IVIVIVS

&&&

&&&&&&&

&&&&&&&

33

333

223

αα

αααα

Essa expressão nos dá a potência transmitida pelo trifásico em função de valores

de fase, para uma carga equilibrada.

27

Em termos de potência ativa e reativa

ΦΦΦ += 333 QjPS

Em valores de fase (módulo) temos que:

Carga conectada em Y fLLf VVeII 3==→

=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA)

Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W)

Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr)

Carga conectada em Δ fLfL VVeII ==→ 3

=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA)

Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W)

Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr)

Em qualquer dos dois casos,

=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA)

Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W)

28

Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr)

Em módulo:

FFLLLL IVIV

IVS 33

33

3 ===φ

a expressão nos dá o módulo sendo que a defasagem entre e poderá ser

determinada através do fator de potência e da seqüência de fase.

FV& FI&

5.1.1 Triângulo da potência

Considere os valores das potências em valores trifásicos

Figura 18 - Triângulo das potências em um sistema trifásico

29

5.2 Correção fator de potência

Instalações industriais apresentam uma gama muito grande de carga que por sua

vez necessitam de grandes quantidades de potência. Cargas típicas industriais podem

ser, por exemplo, conjunto de motores de indução, ou seja na maioria das vezes cargas

com características indutivas. Muitas vezes, por imposições normativas deve se

proceder à correção do fator de potência (fp).

Para se efetuar a correção do fp à técnica aqui apresentada será a mesma já

utilizada para os sistemas monofásicos, com as ressalvas dos valores agora serem

trifásicos.

Figura 19 - Ilustração da técnica para correção do fator de potência

O valor da potência reativa trifásica necessária para levar o fator de potência de

φ para φ’ é calculada da seguinte forma.

'333 ΦΦΦ −= QQQ cbco

O valor por fase do banco de capacitor (ligados em Y) para tal potência será:

30

)(23 2

3 FVf

Qc

f

c μπ

Φ=

Exemplo 7 : Um motor trifásico em Δ, com potência 5 HP, fator de potência 0,8

indutivo, rendimento de 0,85, tem tensão de linha 00|220=ABV&

V. Considerando

seqüência de fase direta, determine as correntes nos cabos de alimentação.

Prof. Malange

31