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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Campus de Ilha Solteira

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Denise Janini Charantola

Representação de Linhas de Transmissão Monofásicas por Meio

de Variáveis de Estado: Comparação das Soluções

Numérica e Analítica

Ilha Solteira (SP) 2007

DENISE JANINI CHARANTOLA

Representação de Linhas de Transmissão Monofásicas por Meio

de Variáveis de Estado: Comparação das Soluções

Numérica e Analítica

Orientador: Prof. Dr. Sérgio Kurokawa

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia, UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica – Área de Conhecimento: Sistemas Elétricos de Potência.

Ilha Solteira (SP) 2007

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação/Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP-Ilha Solteira

Charantola, Denise Janini C469r Representação de linhas de transmissão monofásicas por meio de variáveis de estado : comparação das soluções numérica e analítica / Denise Janini Charantola. – Ilha Solteira : [s.n.], 2007 99 p. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Sistemas Elétricos de Potência , 2007 Orientador: Sérgio Kurokawa Bibliografia: p. 97-99 1. Energia elétrica – Transmissão. 2. Equações diferenciais lineares – Soluções numéricas. 3. Equação da diferença. 4. Equações de estado. 5. Homogeneização (Equações diferenciais).

Dedico este trabalho ao meu esposo Humberto Charantola, aos meus pais, José Carlos Janini e Maria Alice Cabral Janini, a minha sogra Lilamar Charantola, aos meus irmãos, cunhados e cunhadas.

Agradecimentos

A vida não é vivida isoladamente. O ser humano, o ser-aí-no-mundo, o ser com

outros, dificilmente realiza algo sozinho, dificilmente concretiza seus sonhos sem uma

companhia. Temos a necessidade de viver com os outros e ser também necessário a ele. Esse

espírito gera compromisso entre pessoas que, embora não formais norteiam nossos afetos e

relacionamentos durante período de tempo, às vezes por toda a vida, compartilhando idéias e

ideais. Assim, este estudo não é só meu. Muitas foram as pessoas que me acompanharam

nessa caminhada, que se envolveram na minha idéia e no meu desejo. Da mais diferentes

maneiras e cada uma a seu modo, cada pessoa que passou pela minha vida está aqui incluída.

Como bem diz o poema.

“Muitas pessoas por minha vida passaram

e comigo suas vidas partilharam…

(…) Assim como amei, fui amada

e assim como tenho um pouco de cada um

um pouco de mim também foi levada.”

A todas pessoas que estiveram comigo e as que permanecem ao meu lado, o meu

agradecimento do fundo do coração.

Especialmente que agradecer:

• Aos meus pais, José Carlos e Maria Alice e a minha sogra Lilamar, a minha

irmã Ana Maria e a minha sobrinha Ana Beatriz, pelo amor incondicional

que dedicam a mim e também por todo incentivo que me dão.

• Ao meu marido, Humberto Charantola, que com paciência e amor me apoiou

nesta empreitada que exige dedicação e tempo.

• Ao meu orientador, pela cordialidade que tratou desse trabalho. O Sérgio

Kurokawa foi impecável na seriedade e no desempenho das tarefas

acadêmicas e seu apoio foi um estímulo e sinal de amizade.

• Aos Professores Afonso José do Prado, Luiz Fernando Bovolato e Dilson

Amâncio Alves, pela disposição para participar da banca, bem como por seus

questionamentos e contribuições na etapa da defasa.

• Aos professores Edison Righetto e Marcelo do Departamento de Matemática,

pelas contribuições imprescindíveis para realização deste trabalho.

• A todos os docentes, funcionários do Departamento de Engenharia Elétrica.

• Aos meus colegas de trabalho, Carolina Goulart de Carvalho, Rodrigo Serra

Daltin, Alessandra Bonato Altran, Elisângela Mansano, Silvio, Daniele,

Rangel, Mariellen, Meire, Elson, Rogério, Mara Lopes.

Os caminhos estão em nós! Toda estrada começa em nós! A felicidade existe a partir de nós! O destino: somos nós… … plenificados!

(JOAMAR Z. NAZARETH)

RESUMO

Este trabalho teve por objetivo realizar um estudo da representação das linhas de

transmissão monofásica por meio de variáveis de estado, utilizando a cascata de circuitos π.

Inicialmente, desenvolveu-se a equação diferencial da linha de transmissão, cujos parâmetros

são uniformemente distribuídos ao longo da linha. Em seguida, realizou-se um estudo

referente ao desenvolvimento das equações de estado para uma linha monofásica,

representada por meio de uma quantidade genérica de circuitos π. Para a resolução dessas

equações de estado, utilizou-se a fórmula de Heun ou regra do trapézio para transformar as

soluções das equações do estado em equações algébricas. Desenvolveu-se uma solução

analítica das equações de estado que representam uma linha monofásica, utilizando o método

da diagonalização que exige a determinação da matriz transformação de similaridade e a

resolução do sistema de equações lineares de primeira ordem desacopladas. São apresentados

resultados referentes à energização de uma linha de transmissão aberta, aberta e com

transformador, em curto-circuito e com uma carga resistiva, utilizando o método numérico e o

método analítico. As simulações foram realizadas no ambiente Matlab e os resultados obtidos

foram comparados com os resultados obtidos com a utilização do aplicativo Microtran.

Palavra chave: Transitórios eletromagnéticos, domínio do tempo, linhas de transmissão,

método analítico, método numérico.

ABSTRACT

The work had as aim to realize a representation learning of the one-phase

transmission lines though of variable of condition, utilizing a π circuits escales. Initially was

developed the diffential equation of the transmission lines whose are parameter uniformly

disposal along the line. Next step were done a learning referring developing of condition

equation was utilized Heun formula or trapeze rule to transform the solution of the

compaction equation in algebrical equation. Was developed a analytical solution of the

condition equation to present a one-phase line utilizing the cornerwise action method that

require the determination of the matrix transformation of the similarity and the formulas of

system resolution unconnected. Are presented results referring the energy action over a open

transition line, open and with a transformer in circuit breaker and with a resistible load,

utilizing a numeric method and the analytical method. The simulation were done in Matlab

environment and the results obtained were compared with the results obtained using a

Microtan method.

Keywords: Electromagnetic transients, time domain, transmission line, analytical method,

numeric method.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Linha de transmissão de comprimento d.............................................................. 8 Figura 2.2 – Elemento diferencial de uma linha monofásica................................................... 8 Figura 2.3 – Circuito elétrico que representa o elemento diferencial da linha.........................9 Figura 2.4 – Ramo AB do circuito.......................................................................................... 10 Figura 3.1 – Linha de transmissão monofásica de comprimento d.........................................18 Figura 4.1 – Linha com uma carga......................................................................................... 24 Figura 4.2 – Energização da linha com extremidade B aberta............................................... 25 Figura 4.3 – Propagação da tensão, ao longo da linha em aberto, antes da reflexão.............. 26 Figura 4.4 – Distribuição da tensão ao longo da linha em aberto........................................... 26 Figura 4.5 – Propagação da tensão, ao longo da linha em aberto, após da reflexão............... 27 Figura 4.6 – Propagação da corrente, ao longo da linha em aberto, antes da reflexão........... 27 Figura 4.7 – Distribuição da corrente ao longo da linha em aberto........................................ 27 Figura 4.8 – Propagação da corrente, ao longo da linha em aberto, após da reflexão............ 28 Figura 4.9 – Energização da linha em carga igual a Zc...........................................................28 Figura 4.10 – Propagação da tensão, ao longo da linha conectada a uma carga Zc, antes da

reflexão............................................................................................................... 29 Figura 4.11 – Distribuição da tensão ao longo da linha conectada a uma carga Zc................. 29 Figura 4.12 – Propagação da corrente, ao longo da linha conectada a uma carga Zc, antes da

reflexão............................................................................................................... 30 Figura 4.13 – Distribuição da corrente ao longo da linha conectada a uma carga Zc.............. 30 Figura 4.14 – Energização da linha em curto-circuito.............................................................. 31 Figura 4.15 – Propagação da tensão, ao longo da linha em curto-circuito, antes da reflexão.. 31 Figura 4.16 – Distribuição da tensão ao longo da linha em curto-circuito.............................. 32 Figura 4.17 – Propagação da tensão, ao longo da linha em curto-circuito, após da reflexão.. 32 Figura 4.18 – Propagação da corrente, ao longo da linha em curto-circuito, antes da

reflexão............................................................................................................... 32 Figura 4.19 – Distribuição da corrente, ao longo da linha. em curto-circuito.......................... 33 Figura 4.20 – Propagação da corrente, ao longo da linha em curto-circuito, após a reflexão.. 33 Figura 5.1 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π........................... 36 Figura 5.2 – Circuito π com efeito da freqüência................................................................... 37 Figura 5.3 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π........................... 38 Figura 5.4 – Linha de transmissão monofásica com extremidade B em aberto......................39 Figura 5.5 – Linha representada por meio de um único circuito π......................................... 39 Figura 5.6 – Linha representada por meio de 2 circuitos π.................................................... 42 Figura 5.7 – Linha representada por meio de 3 circuitos π.................................................... 45 Figura 5.8 – Linha de transmissão monofásica com extremidade em curto-circuito............. 52 Figura 5.9 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π com

extremidade em curto-circuito............................................................................ 52

Figura 5.10 – Dois últimos circuitos da cascata π que representa a linha em curto-circuito....53 Figura 5.11 – Linha de transmissão monofásica, alimentada uma carga resistiva................... 56 Figura 5.12 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π

alimentada por uma carga resistiva..................................................................... 56 Figura 5.13 – Dois últimos circuitos π da cascata que representa uma linha

conectada a uma resistência de valor Zc............................................................. 57 Figura 5.14 – Linha de transmissão monofásica alimentando um transformador em vazio..... 61 Figura 5.15 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π

alimentando um transformador em vazio........................................................... 61 Figura 5.16 – Dois últimos circuitos π da cascata que representa uma linha

alimentando um transformador em vazio........................................................... 62 Figura 6.1 – Função y’(t) aproximada por uma função de primeiro grau f(t)........................ 67 Figura 7.1 – Energização da linha em aberto.......................................................................... 80 Figura 7.2 – Tensão no terminal B da linha em aberto, obtida a partir do

modelo numérico................................................................................................ 81 Figura 7.3 – Tensão no terminal B da linha em aberto, obtida a partir do

modelo analítico.................................................................................................. 81 Figura 7.4 – Energização da linha que alimenta um transformador em vazio....................... 82 Figura 7.5 – Tensão no terminal B da linha alimentando um transformador,

obtida a partir do modelo numérico.................................................................... 82 Figura 7.6 – Tensão no terminal B da linha alimentando um transformador,

obtida a partir do modelo analítico..................................................................... 83 Figura 7.7 – Energização da linha em curto-circuito............................................................. 84 Figura 7.8 – Corrente no terminal B da linha alimentando um transformador,

obtida a partir do modelo numérico.................................................................... 84 Figura 7.9 – Corrente no terminal B da linha alimentando um transformador,

obtida a partir do modelo analítico..................................................................... 85 Figura 7.10 – Energização da linha conectada a uma resistência de valor igual a Zc.............. 86 Figura 7.11 – Tensão no terminal B da linha conectada a uma carga Zc,

obtida a partir do modelo numérico................................................................... 86 Figura 7.12 – Tensão no terminal B da linha conectada a uma carga Zc,

obtida a partir do modelo analítico..................................................................... 87 Figura 7.13 – Perfil da distribuição da tensão, ao longo da linha em aberto,

antes da reflexão................................................................................................. 88 Figura 7.14 – Perfil da distribuição da tensão, ao longo da linha em aberto,

após a reflexão.................................................................................................... 88 Figura 7.15 – Energização da linha que alimenta um transformador em vazio........................ 89 Figura 7.16 – Tensão no final da linha, obtido por meio do método numérico,

para h = 0.05µs (curva 1), h = 1µs (curva 2)...................................................... 90 Figura 7.17 – Tensão no final da linha, obtido por meio do método analítico,

para h = 0.05µs (curva 1), h = 1µs (curva 2)...................................................... 90 Figura 7.18 – Tensão no terminal B da linha em aberto, utilizando o modelo proposto

e o Microtran...................................................................................................... 91 Figura 7.19 – Tensão no terminal B da linha em aberto com transformador,

utilizando o modelo proposto e o Microtran...................................................... 92 Figura 7.20 – Corrente no terminal B da linha em curto-circuito, utilizando o

modelo proposto e o Microtran.......................................................................... 92 Figura 7.21 – Tensão no terminal B da linha conectada a uma carga resistiva, utilizando o

modelo proposto e o Microtran.......................................................................... 93

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................................ 1

1.1 ASPECTOS GERAIS DO SISITEMA DE TRANSMISSÃO BRASILEIRO.................................. 1

1.2 MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO...............................................................................3

1.3 MODELOS NUMÉRICOS E MODELOS ANALÍTICOS...............................................................5

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO...................................................... 7

2.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................................ 7

2.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO

MONOFÁSICA ESCRITA NO DOMÍNIO DO TEMPO................................................................7


MONOFÁSICA ESCRITA NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 13

2.4 CONCLUSÃO.................................................................................................................................15

3 SOLUÇÕES DA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DA LINHA DE TRANSMISSÃO........................... 17

3.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................17

3.2 SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA.............. 17

3.3 EQUAÇÃO DA LINHA NO DOMÍNIO DO TEMPO...................................................................19

3.4 CONCLUSÃO.................................................................................................................................21

4 ANÁLISE QUALITATIVA DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS NAS LINHAS DE

TRANSMISSÃO...........................................................................................................................................22

4.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................22

4.2 EQUAÇÕES DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO................... 22

4.3 ANÁLISE DAS CORRENTES E TENSÕES NA LINHA.............................................................24

4.3.1 Energização da linha em aberto.......................................................................................... 25

4.3.2 Energização da linha que alimenta uma carga de valor...................................................... 28

4.3.3 Energização da linha em curto-circuito...............................................................................30

4.4 CONCLUSÃO................................................................................................................................ 33

5 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POR MEIO DE VARIÁVEIS DE ESTADO................................... 35

5.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................35

5.2 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POR MEIO DE UMA CASCATA

DE CIRCUITO π........................................................................................................ 36

5.3 DESCRIÇÃO DAS CORRENTES E TENSÕES POR MEIO DE

VARIÁVEIS DE ESTADO..............................................................................................................38

5.3.1 Matrizes de estado para a linha aberta.................................................................................39

5.3.2 Matrizes de estado para a linha em curto-circuito...............................................................52

5.3.3 Matrizes de estado para a linha que alimenta uma carga de valor igual a

sua impedância característica..............................................................................................56

5.3.4 Matrizes de estado para a linha conectada a um transformador em vazio.......................... 61

5.4 CONCLUSÃO................................................................................................................................. 65

6 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ESTADO........................................................................................... 66

6.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................66

6.2 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO POR MEIO DE MÉTODO NUMÉRICO............ 66

6.3 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO POR MEIO DE MÉTODO ANALÍTICO............ 69

6.3.1 Obtenção da solução analítica utilizando o método da diagonalização da matriz A.......... 70

6.3.3 Método dos coeficientes indeterminados............................................................................ 75

6.3.4 Método da variação dos parâmetros....................................................................................77

6.4 CONCLUSÃO.................................................................................................................................78

7 APLICAÇÃO DO MÉTODO PROPOSTO...............................................................................................79

7.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................79

7.2 DESCRIÇÃO DA LINHA DE TRANSMISSÃO............................................................................79

7.3 ENERGIZAÇÃO DA LINHA EM ABERTO.................................................................................80

7.4 ENERGIZAÇÃO DA LINHA ALIMENTANDO UM TRANSFORMADOR EM VAZIO.......... 82

7.5 ENERGIZAÇÃO DA LINHA EM CURTO-CIRCUITO............................................................... 83

7.6 ENERGIZAÇÃO DA LINHA CONECTADA A UMA CARGA IGUAL A

SUA IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA.....................................................................................85

7.7 VISUALIZAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DA LINHA................................................87

7.8 ANÁLISE DA SENSIBILIDADE DO MODELO EM RELAÇÃO AO

PASSO DE CÁLCULO....................................................................................................................89

7.9 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS COM O MODELO PROPOSTO E

COM OS RESULTADOS OBTIDOS COM O MICROTRAN.......................................................91

7.10 CONCLUSÃO..................................................................................................................................93

8 CONCLUSÕES..........................................................................................................................................95

REFERÊNCIAS.......................................................................................................................................97

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 ASPECTOS GERAIS DO SISTEMA DE TRANSMISSÃO BRASILEIRO

A primeira linha de transmissão de que se tem registro no Brasil foi construída por

volta de 1883, na cidade de Diamantina, Minas Gerais. Essa linha transportava energia gerada

em uma usina hidroelétrica, constituída de duas rodas d’água e dois dínamos Gramme, a uma

distância de 2 km, aproximadamente. A energia transmitida por meio dessa linha acionava

bombas hidráulicas em uma mina de diamantes. Consta que era a linha mais longa do mundo,

na época. Em 1901, com a entrada em serviço da central Hidroelétrica de Santana do

Parnaíba, a então The San Paulo Tramway Light and Power Co. Ltd. construiu as primeiras

linhas de seus sistemas de 40 kV. Em 1914, com a entrada em serviço da Usina Hidroelétrica

de Utupararanga, a mesma empresa introduziu o padrão 88 kV. Esse padrão de tensão foi, em

seguida, adotado pela Companhia Paulista de Estradas de Ferro, Estrada de Ferro Sorocabana

e, por meio desta, pela USELPA, que futuramente viria a integrar o sistema CESP. Entre 1945

e 1947, construiu-se a primeira linha de 230 kV no Brasil, com um comprimento aproximado

de 330 km. Essa linha, destinada a interligar os sistemas Rio Light e São Paulo Light, operava

inicialmente em 170 kV, passando, em 1950, a operar com 230 kV. Foi também a primeira

interligação de dois importantes sistemas realizada no Brasil. Vieram, a partir daí, em rápida

sucessão, linhas de 230 kV do sistema da Cia. Hidroelétrica de São Francisco, 161 e 345 kV

2

da CEMIG e FURNAS, 460 kV da CESP, as linhas de 500 kV de FURNAS e 800 kV do

sistema Itaipu (FUCHS, 1977).

Atualmente, de acordo com (ONS, 2006), a rede básica de transmissão

compreende tensões entre 230 kV a 750 kV, atinge uma extensão de 80.022 km, engloba 815

circuitos de transmissão, contando com uma capacidade de transformação de 178.447 MVA,

em 321 subestações distribuídas. A Figura 1.1 mostra um esquema do sistema de transmissão

brasileiro (CTEEP, 2006).

Figura 1.1 – Mapa do SIN – Sistema de Transmissão

3

O sistema elétrico brasileiro, mostrado na Figura 1.1, apresenta como

particularidade grandes extensões de linhas de transmissão e um parque produtor de geração

predominantemente hidráulico. O mercado consumidor (47,2 milhões de unidades)

concentra-se nas regiões Sul e Sudeste, as mais industrializadas. A região Norte é atendida de

forma intensiva por pequenas centrais geradoras, a maioria termelétricas, movidas a óleo

diesel (ONS, 2006).

Verifica-se que, no Brasil, grande parte das linhas que constituem o Sistema

Interligado Nacional são linhas de 440 kV, 345 kV, 230 kV, 138 kV (circuito duplo) e 88 kV

(circuito duplo) (CETEEP, 2006).

1.2 MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

Os modelos de linhas de transmissão de energia elétrica podem ser desenvolvidos

no domínio do tempo ou no domínio da freqüência. No entanto, o sistema elétrico, no qual as

linhas de transmissão estão inseridas, possui diversos elementos cujas características não

permitem que os mesmos sejam representados como sendo elementos lineares, dificultando,

deste modo, a representação do sistema elétrico no domínio da freqüência (MARTI, 1988).

Uma outra vantagem dos modelos que representam a linha diretamente no domínio do tempo

é que os mesmos são facilmente implementados em programas computacionais que realizam

simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência.

Um dos primeiros modelos a representar a linha de transmissão diretamente no

domínio do tempo foi desenvolvido por H. W. Dommel e baseou-se no método das

características ou método de Bergeron e consiste em combinar o método das características

com o método numérico de integração trapezoidal, resultando em um algoritmo que é capaz

de simular transitórios eletromagnéticos em redes cujos parâmetros são discretos ou

4

distribuídos (DOMMEL, 1969). Este algoritmo sofreu sucessivas evoluções e atualmente é

conhecido como EMTP (DOMMEL, 1986).

Em situações em que se deseja simular a propagação de ondas eletromagnéticas

resultantes de operações de manobras e chaveamento realizadas nas linhas de transmissão,

pode-se representar a mesma como sendo uma cascata de circuitos π. Nesse modelo,

considera-se a linha como sendo uma grande quantidade de pequenos segmentos de linha e

que cada um dos pequenos segmentos é representado por um circuito π constituído de

resistores, indutores e capacitores. O efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais é

sintetizado por meio de uma associação série e paralela de resistores e indutores que resultam

em uma resistência e uma indutância, variáveis em função da freqüência (TAVARES, 1999).

Esse modelo, que é desenvolvido diretamente no domínio do tempo, é então implementado

em softwares do tipo EMTP.

Devido ao fato de que programas do tipo EMTP não são de fácil utilização

(NELMS, 1989) diversos autores (NELMS, 1989; MAMIS, 2002; MAMIS, 2003; MÁCIAS,

2005) sugerem descrever as correntes e tensões na cascata de circuitos π por meio de

variáveis de estado. As equações de estado são então transformadas em equações de

diferenças e podem ser resolvidas utilizando qualquer linguagem computacional.

A representação da linha por meio de variáveis de estado pode ser utilizada no

ensino de conceitos básicos de propagação de ondas em linhas de transmissão (NELMS,

1989), na análise da distribuição de correntes e tensões ao longo da linha (MAMIS, 2002) e

na simulação de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão que tenham elementos

não lineares (MAMIS, 2003).

5

1.3 MODELOS NUMÉRICOS E MODELOS ANALÍTICOS

Na análise de sistemas de energia elétrica, freqüentemente surge a necessidade de

realizar simulações computacionais, considerando os transitórios eletromagnéticos e também

os transitórios eletromecânicos. Nessas situações, é necessário utilizar um programa que

simule o transitório eletromagnético e um outro programa que analise a estabilidade do

sistema.

O intercâmbio entre programas que simulam transitórios eletromagnéticos e que

simulam o regime permanente é, teoricamente, possível, mas, nem sempre, viável. Essa

inviabilidade ocorre porque um determinado componente do sistema a ser simulado possui

diferentes representações nos programas de cálculo transitórios eletromagnéticos, nos

programas de cálculos de transitórios eletromecânicos e nos programas de simulações em

regime permanente. Essas diferenças de modelos de um mesmo componente podem resultar

em resultados de simulações irreais, quando utiliza programas diferentes de maneira

interligada.

Um exemplo típico de componente que apresenta diferentes modelos para

diferentes situações é a linha de transmissão de energia elétrica. O modelo de linha e o passo

de cálculo que, geralmente, são utilizados em programas de simulações de transitórios

eletromecânicos não são adequados para representar a linha em estudos de transitórios

eletromagnéticos. Portanto, utilizando-se os dois programas em conjunto, podem ocorrer

oscilações numéricas quando se muda de um programa para o outro.

Para eliminar os problemas de oscilações numéricas devido ao uso de diferentes

modelos para os diferentes passos de cálculo e, conseqüentemente, diferentes programas, está

sendo proposto o desenvolvimento de um modelo único para representar linhas de

transmissão em situações em que sejam necessárias as simulações de transitórios de origens

6

eletromagnéticas e, também, de origens eletromecânicas. Nessas situações, a linha seria

representada por meio de um modelo analítico, que é livre de oscilações numéricas,

independentemente do passo de cálculo que é utilizado.

O modelo desenvolvido consiste em obter as soluções analíticas das equações de

estado que descrevem as correntes e tensões, ao longo da linha no domínio do tempo. A linha

é representada por meio de uma cascata de circuitos π e, em seguida, são obtidas as matrizes

de estado dessa cascata. A eficácia do modelo desenvolvido é comprovada por meio da

comparação de resultados obtidos com os resultados associados, obtidos a partir de um

programa do tipo EMTP.

7

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO

2.1 INTRODUÇÃO

As linhas de transmissão são caracterizadas por sua capacidade de conduzir a

energia eletromagnética, limitando esta energia à proximidade da própria linha de

transmissão. Uma análise rigorosa desse problema exigiria uma aplicação das equações de

Maxwell nos problemas de campo (HAYT, 1983). Entretanto, um exame das equações de

Maxwell pode demonstrar que, em certas condições, pode ser usada uma aproximação muito

mais simples, que consiste em representar um elemento diferencial da linha por elementos

discretos de circuito, conforme será mostrado neste capítulo.


MONOFÁSICA ESCRITA NO DOMÍNIO DO TEMPO

Qualquer distúrbio em uma linha de transmissão, tal como uma descarga

atmosférica, ou uma interrupção das condições de regime permanente, dá origem a ondas

viajantes, que se propagam no sentido das extremidades da linha, onde são refletidas e

transmitidas. Durante a propagação, ao longo da linha, as ondas viajantes são atenuadas e

distorcidas até serem totalmente extintas (NAIDU, 1985).

8

Para determinar as equações que descrevem uma linha, considera-se o caso

simples de um circuito monofásico com dois condutores, onde um dos condutores está a uma

altura h da superfície do solo, e o outro condutor é a sua imagem que fica a uma profundidade

h da mesma superfície.

A Figura 2.1 mostra uma representação da linha de transmissão monofásica de

comprimento d, descrita anteriormente.

Condutor

Superfície do solo

Condutor imagem

h

h

Figura 2.1 – Linha de transmissão monofásica de comprimento d.

Tomando um elemento diferencial da linha mostrada na Figura 2.1, obtém-se o

sistema mostrado na Figura 2.2.

i(x,t) i(x,t)+∆i(x,t)

v(x,t) v(x,t)+∆v(x,t)

x x+∆x

Figura 2.2 – Elemento diferencial de uma linha monofásica

9

Na Figura 2.2, os termos v(x,t) e i(x,t) são, respectivamente, a tensão e a corrente

na posição x da linha no instante de tempo t. Os termos ∆v(x,t) e ∆i(x,t) são as variações

sofridas pela tensão e pela corrente.

Considerando que os parâmetros longitudinais e transversais de uma linha de

transmissão são uniformemente distribuídos ao longo do comprimento, o elemento diferencial

mostrado na Figura 2.2 pode ser representado por meio do seguinte circuito (CHIPMAN,

1972); (GREENWOOD, 1977).

i(x,t)+∆i(x,t)

G∆x

Malha 1

2∆xL

2∆xR

2∆xR

2∆xL

i(x,t)

v(x,t)

Figura 2.3 – Circuito elétrico qu

No circuito mostrado na Figura

indutância longitudinais da linha por unid

respectivamente, a condutância e a cap

comprimento. Os termos v(x,t) e i(x,t) são, r

da linha no instante de tempo t. Os termo

tensão e pela corrente.

Observando a malha externa do

Lei de Kirchhoff para tensão (IRWIN, 2000

A

B

iAB

C∆

e repres

2.3, R e

ade de

acitância

espectiv

s ∆v(x,t

circuito

), obtém

x

Malha 2

enta o elem

L são, res

comprimen

transversa

amente, a t

) e ∆i(x,t)

apresentad

-se:

v(x,t)+∆v(x,t)

ento diferencial da linha.

pectivamente, a resistência e a

to. Os elementos G e C são,

is da linha por unidade de

ensão e a corrente na posição x

são as variações sofridas pela

o na Figura 2.3 e aplicando a

10

0)t,x(v)t,x(vt

)t,x(i2xL

t)t,x(i

2xL)t,x(i

2xR)t,x(i

2xR

t)t,x(i

2xL)t,x(i

2xR)t,x(v

=∆+−∂

∆∂∆−

∂∂∆

−∆∆

+∆

−∂

∂∆−

∆−

2.1

Manipulando a equação 2.1, obtém-se:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∆∂

+∆∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∆−=∆t

)t,x(iL)t,x(iR2x

t)t,x(iL)t,x(iRx)t,x(v 2.2

Para encontrar a equação da corrente, basta observar a Figura 2.4 que mostra, em

detalhe, o ramo AB do circuito da Figura 2.3.

A i(x,t)+∆i(x,t) i(x,t)

xC ∆vAB(x,t)

iAB

i1

xG ∆

i2

B

Figura 2.4 – Ramo AB do circuito

Aplicando a Lei de Kirchhoff para corrente (IRWIN, 2000) no nó A da Figura 2.4,

tem-se:

))t,x(i)t,x(i(i)t,x(i AB ∆++= 2.3

Manipulando a equação 2.3, tem-se:

)t,x(iiAB ∆−= 2.4

Observando a Figura 2.4, verifica-se que a corrente iAB pode ser escrita como

sendo:

21AB iii += 2.5

11

Na Figura 2.4, observa-se também que é a corrente na capacitância transversal

do elemento diferencial da linha. Desse modo, a tensão pode ser escrita como

sendo:

1i

)t,x(vAB

dtixC

1)t,x(v 1AB ∫∆= 2.6

A partir da equação 2.6, obtém-se:

t)t,x(vxCi AB

1 ∂∂

∆= 2.7

Considerando que é a corrente na condutância transversal do elemento

diferencial da linha, pode-se expressar a tensão por:

2i

)t,x(vAB

2AB ixG

1)t,x(v∆

= 2.8

Da equação 2.8, tem-se:

)t,x(vxGi AB2 ∆= 2.9

Substituindo as equações 2.4, 2.7 e 2.9 em 2.5, obtém-se:

)t,x(vxGt

)t,x(vxC)t,x(i ABAB ∆+∂

∂∆=∆− 2.10

Da malha 1 da Figura 2.3, tem-se:

t)t,x(i

2xL)t,x(i

2xR)t,x(v)t,x(vAB ∂

∂∆−

∆−= 2.11

Substituindo a equação 2.11 na equação 2.10, obtém-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

∂∂

+∂

∂∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+∆−=∆

t)t,x(i

GL)t,x(iGRt

)t,x(iCL

t)t,x(i

CR2x

t)t,x(v

C)t,x(vGx)t,x(i2

22

2.12

12


⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

∂∂

+∂

∂∆

+⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∆−∂∂

+∆

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∆−=∆

t)t,x(iGL)t,x(iGR

t)t,x(iCL

t)t,x(iCR

2x

t)t,x(vC)t,x(vGx

tLR

2x

t)t,x(iL)t,x(iRx)t,x(v

2

22 2.13

A função , mostrada na equação 2.13, pode ser aproximada por uma série

de Taylor (SWOKOWSKI, 1995). Utilizando os dois primeiros termos da série para

representar a função tem-se:

)t,x(v∆

)t,x(v∆

22

2

xx

)t,x(v21x

x)t,x(v)t,x(v ∆

∂∂

+∆∂

∂=∆ 2.14

Igualando as equações 2.13 e 2.14, dividindo o resultado por e, em seguida,

calculando o limite da equação resultante quando

x∆

0x →∆ , tem-se:

t)t,x(iL)t,x(iR

x)t,x(v

∂∂

+=∂

∂− 2.15

Analogamente, a função )t,x(i∆ da equação 2.12 pode ser aproximada pelos dois

primeiros termos da série de Taylor. Desse modo, obtém-se:

22

2

xx

)t,x(i21x

x)t,x(i)t,x(i ∆

∂∂

+∆∂

∂=∆ 2.16

Igualando as equações 2.12 e 2.16, dividindo por x∆ e, em seguida, calculando o

limite da equação resultante quando 0x →∆ , tem-se:

t)t,x(vC)t,x(vG

x)t,x(i

∂∂

+=∂

∂− 2.17

As equações 2.15 e 2.17 são as equações diferencias de primeira ordem que

descrevem o comportamento das correntes e tensões em uma linha monofásica no domínio do

tempo.

13

Derivando a equação 2.15 em relação à x, tem-se:

tx)t,x(iL

x)t,x(iR

x)t,x(v 2

2

2

∂∂∂

+∂

∂=

∂∂

− 2.18


2

2

2

2

t)t,x(vCL

t)t,x(v)GLCR()t,x(vGR

x)t,x(v

∂∂

+∂

∂++=

∂∂ 2.19

Derivando a equação 2.17, em relação à x, tem-se:

tx)t,x(vL

x)t,x(vG

x)t,x(i 2

2

2

∂∂∂

+∂

∂=

∂∂

− 2.20

Substituindo a equação 2.15, na equação 2.20, obtém-se:

2

2

2

2

t)t,x(iCL

t)t,x(i)GLCR()t,x(iGR

x)t,x(i

∂∂

+∂

∂++=

∂∂ 2.21

As equações 2.19 e 2.21 são as equações diferenciais de segunda ordem que

descrevem o comportamento das correntes e tensões em uma linha de transmissão. Equações

desse tipo são conhecidas como equações de ondas, cujas soluções representam ondas que

podem viajar ao longo de uma linha com velocidade v. Estas equações são também

denominadas equações de ondas viajantes ou progressivas e também como equações da

telegrafia (FUCHS, 1979).


MONOFÁSICA ESCRITA NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

Para obterem-se as equações diferencias de uma linha de transmissão monofásica

no domínio da freqüência, aplica-se a transformada de Laplace (STRUM, 1971) e (OGATA,

14

1993) nas equações diferencias de primeira ordem, mostradas nas equações 2.15 e 2.17,

obtêm-se:

)s,x(VCs)s,x(VGx

)s,x(I+=

∂∂

− 2.22

)s,x(ILs)s,x(IRx

)s,x(V+=

∂∂

− 2.23

Substituindo nas equações 2.22 e 2.23, têm-se: ω= js

),x(VCj),x(VGx

),x(Iωω+ω=

∂ω∂

− 2.24

),x(ILj),x(IRx

),x(Vωω+ω=

∂ω∂

− 2.25

Desse modo, as equações diferenciais de primeira ordem da linha no domínio da

freqüência serão escritas como sendo:

),x(V)(Yx

),x(Iωω=

∂ω∂

− 2.26

),x(I)(Zx

),x(Vωω=

∂ω∂

− 2.27

Nas equações 2.26 e 2.27, I(x,ω) e V(x,ω) são, respectivamente, a corrente e a

tensão em uma posição x da linha no domínio da freqüência Y(ω) e Z(ω) são,

respectivamente, a impedância longitudinal e a admitância transversal da linha por unidade de

comprimento. Os elementos Z(ω) e Y(ω) são escritos como sendo:

LjR)(Z ω+=ω 2.28

CjG)(Y ω+=ω 2.29

15

Nas equações 2.28 e 2.29, R, L, G, C são, respectivamente, a resistência, a

indutância, a condutância e a capacitância por unidade de comprimento da linha. O termo ω

corresponde à freqüência angular.

Derivando as equações 2.26 e 2.27 em relação a x, obtêm-se:

x),x(I)(Z

x),x(V

2

2

∂ω∂

ω=∂

ω∂− 2.30

x),x(V)(Y

x),x(I

2

2

∂ω∂

ω=∂

ω∂− 2.31

Substituindo as equações 2.26 e 2.27 nas equações 2.30 e 2.31, respectivamente, e

fazendo as devidas manipulações, obtêm-se:

),x(I)(Y)(Zx

),x(I2

2

ωωω=∂

ω∂ 2.32

),x(V)(Y)(Zx

),x(V2

2

ωωω=∂

ω∂ 2.33

As equações 2.32 e 2.33 são as equações diferenciais de segunda ordem de uma

linha de transmissão monofásica escritas no domínio da freqüência.

2.4 CONCLUSÃO

Neste capítulo, mostrou-se que as equações diferenciais que descrevem o

comportamento das correntes e tensões, ao longo de uma linha de transmissão monofásica,

podem ser obtidas a partir de um elemento diferencial da linha, aplicando as teorias de

circuitos elétricos. Verifica-se, por meio das equações diferenciais, que as correntes e tensões

em uma linha de transmissão, possuem natureza ondulatória, ou seja, comportam-se como

16

ondas que se propagam ao longo da linha. Foram mostradas as equações diferenciais da linha

escrita no domínio do tempo e no domínio da freqüência.

17

3 SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DA LINHA DE TRANSMISSÃO

3.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, serão mostradas as soluções das equações diferenciais da linha de

transmissão. Serão apresentadas as soluções no domínio do tempo e no domínio da

freqüência.

A solução no domínio da freqüência é genérica e pode ser aplicada para qualquer

condição da linha, considerando os parâmetros fixos e/ou variáveis em função da freqüência.

A solução no domínio do tempo é determinada analiticamente somente para o

caso de linhas sem perdas. Para o caso de linhas com perdas, pode-se obter a solução no

domínio do tempo, a partir da solução no domínio da freqüência. Para isso, devem ser

utilizadas técnicas de transformadas inversas.

3.2 SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NO DOMÍNIO DA

FREQÜÊNCIA

Considere uma linha de transmissão monofásica de comprimento d, conforme

mostra a Figura 3.1.

18

B IA(ω) IB(ω) A

solo

VB(ω) VA(ω)

Figura 3.1 –Linha de transmissão monofásica de comprimento d.

Na Figura 3.1, IA(ω) e IB(ω) são as correntes longitudinais da linha nos terminais

A e B, respectivamente, enquanto que VA(ω) e VB(ω) são as tensões nestes terminais. As

correntes IA(ω) e IB(ω) e as tensões VA(ω) e VB(ω) estão no domínio da freqüência.

No capítulo 2, foi mostrado que as equações diferenciais que descrevem as

correntes e tensões no domínio da freqüência, em uma linha monofásica, são escritas como

sendo:

),x(V)(Y)x(

),x(Iωω=

∂ω∂

− 3.1

),x(I)(Z)x(

),x(Vωω=

∂ω∂

− 3.2

As funções que relacionam as correntes e tensões nos terminais da linha mostrada

na Figura 3.1 no domínio da freqüência, podem ser obtidas a partir das equações 3.1 e 3.2.

Nesse caso, em particular, as soluções são obtida como sendo (BUDNER, 1970):

)d)((senh)(I)(Z)d)(cosh()(V)(V BCBA ωγωω−ωγω=ω 3.3

)d)((senh)(Z)(V)d)(cosh()(I)(I

C

BBA ωγ

ωω

+ωγω−=ω 3.4

Nas equações 3.3 e 3.4, o termo γ )(ω é a função de propagação e Zc )(ω é a

impedância característica da linha. Os elementos γ )(ω e Zc )(ω são escritos como sendo

19

(CHIPMAN, 1972):

)(Y)(Z)( ωω=ωγ 3.5

)(Y)(Z)(ZC ω

ω=ω 3.6

Nas equações 3.5 e 3.6, Z(ω) e Y(ω) são, respectivamente, a impedância

longitudinal e a admitância transversal da linha por unidade de comprimento.

A vantagem das soluções apresentadas pelas equações 3.3 e 3.4 é que estas

soluções são “exatas”, pois se baseiam nas equações exatas da linha, sendo, portanto, um

“modelo exato”. No entanto, sua aplicação é bem restrita, pois, quando se estuda o sistema

elétrico como um todo, deve-se considerar a presença de elementos não lineares e também as

mudanças de configurações de rede (tais como faltas, abertura e fechamento de disjuntores,

etc.) que não são facilmente representadas no domínio da freqüência. Uma outra desvantagem

desse modelo é que os programas computacionais que realizam simulações de transitórios

eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência são geralmente descritos diretamente no

domínio do tempo, sendo então necessário que a linha seja representada no domínio do

tempo.

3.3 EQUAÇÕES DA LINHA NO DOMÍNIO DO TEMPO

As equações que descrevem as correntes e tensões nos terminais da linha no

domínio do tempo podem ser obtidas a partir da aplicação das transformadas inversas de

Laplace nas equações 3.3 e 3.4 (BUDNER, 1970).

Manipulando as equações 3.3 e 3.4, obtêm-se:

20

)(V)d)((senh)(Z

1)(V)d)((coth)(Z

1)(I Bc

Ac

A ωωγω

−ωωγω

=ω 3.7

)(V)d)((senh)(Z

1)(V)d)((coth)(Z

1)(I Ac

Bc

B ωωγω

−ωωγω

=ω 3.8

As equações 3.7 e 3.8 podem ser escritas, de maneira simplificada, como sendo:

)(V)(y)(V)(y)(I BABAAAA ωω+ωω=ω 3.9

)(V)(y)(V)(y)(I BBBABAB ωω+ωω=ω 3.10

Nas equações 3.9 e 3.10, as grandezas IA(ω), IB(ω), VA(ω) e VB(ω) são,

respectivamente, as correntes e tensões nos extremos da linha no domínio da freqüência e os

termos yAA )(ω , yBB )(ω , yAB )(ω e yBA )(ω são:

)d)((coth)(Z

1)(y)(yc

BBAA ωγω

=ω=ω 3.11

)d)((senh)(Z1)(y)(y

cBAAB ωγω

−=ω=ω 3.12

Para se obter as correntes e tensões nos terminais A e B da linha, a partir das

equações 3.3 e 3.4, é necessário o uso de integrais de convolução (KREYSZIG, 1992);

(BUDNER, 1970).

Desse modo, utilizando o conceito de integrais de convolução, obtêm-se:

∫∫∞

∞−

∞

∞−

λλλ−+λλλ−= d)(v)t(yd)(v)t(y)t(i BABAAAA 3.13

∫∫∞

∞−

∞

∞−

λλλ−+λλλ−= d)(v)t(yd)(v)t(y)t(i BBBABAB 3.14

Nas equações 3.13 e 3.14, as grandezas iA(t), iB(t), vA(λ) e vB(λ) são as correntes e

tensões nos extremos da linha no domínio do tempo e os termos yAA(t-λ), yBB(t-λ), yAB(t-λ) e

21

yBA(t-λ) são, respectivamente, as transformadas inversas de Laplace das funções yAA(ω),

yBB(ω), yAB(ω) e yBA(ω) (SPIEGEL, 1971).

A obtenção das correntes e tensões nos terminais da linha por meio de integrais de

convolução é um processo bastante complexo, pois as funções yAA(t-λ), yBB(t-λ), yAB(t-λ) e

yBA(t-λ) dificilmente podem ser expressas na forma analítica.

3.4 CONCLUSÃO

Este capítulo explorou a solução das equações diferenciais de uma linha de

transmissão monofásica no domínio do tempo e no domínio da freqüência.

O caso mais simples é uma linha sem perdas cujos parâmetros sejam

independentes da freqüência sendo, provavelmente, a única situação em que as equações

diferenciais possuem uma solução analítica simples.

Para o caso de linhas com perdas, foram deduzidas as soluções da linha no

domínio do tempo por meio do uso de integrais de convolução, utilizando técnicas de

transformadas inversas. Não se obteve tal solução, pois no uso de integrais de convolução há

funções que dificilmente são expressas de forma analítica.

22

4 ANÁLISE QUALITATIVA DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS NAS LINHAS DE

TRANSMISSÃO

4.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, será feita uma análise qualitativa do comportamento das correntes

e tensões, no domínio do tempo, em uma linha de transmissão submetida a diversas

condições. A análise será feita com base na solução das equações diferenciais de uma linha

ideal (sem perdas).

Essa análise será usada futuramente para aferir o desempenho dos modelos

computacionais desenvolvidos.

4.2 EQUAÇÕES DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO

Para o caso de uma linha sem perdas, as funções que relacionam as correntes e

tensões em função do tempo, obtidas a partir das equações 2.15 e 2.17, (HEDMAN, 1983)

são:

)xLCt(u)xLCt(B)xLCt(u)xLCt(A)t,x(v +++−−= 4.1

)xLCt(u)xLCt(E)xLCt(u)xLCt(D)t,x(i +++−−= 4.2

23

As equações 4.1 e 4.2 representam duas ondas viajantes, sendo que a função

)xLCt(u)xLCt(A −− representa uma onda propagando-se na direção progressiva e a

função )xLCt(u)xLCt(B ++ representa uma onda de propagação regressiva. Assim,

pares de ondas de tensão e de corrente propagam-se nas direções positivas e negativas

(HEDMAN, 1983).

As ondas viajantes em componentes diretas e inversas da tensão e da corrente no

terminal B da linha, podem ser escritas da seguinte forma:

rfT vvv += 4.3

rfT iii += 4.4

As equações 4.3 e 4.4 são correspondentes às equações 4.1 e 4.2 onde f é a onda

refletida e r é a onda incidente.

Considerando Zc como sendo a impedância característica da linha de transmissão,

têm-se:

fcf iZv = 4.5

rcr iZv −= 4.6

Uma solução simultânea das equações 4.3 a 4.6, levando em consideração o tipo

de carga que está conectada no terminal da linha, resultará em um conjunto de condições de

contorno que irão mostrar, de maneira qualitativa, como se comportam as ondas que se

propagam na linha de transmissão.

24

4.3 ANÁLISE DAS CORRENTES E TENSÕES NA LINHA

Considere uma linha de transmissão monofásica em que em um dos terminais é

conectada uma fonte de tensão constante v e no outro terminal é conectada uma resistência R,

conforme mostra a Figura 4.1.

v vT R

iT A B i

soloFigura 4.1 – Linha com uma carga R.

Na Figura 4.1, a relação entre a tensão vT e a corrente iT é dada por:

TT iRv = 4.7

Considerando as equações 4.3 e 4.7, podem-se encontrar as seguintes relações

(HEDMAN, 1983):

fc

cr v

ZRZR

v+−

= 4.8

fc

cr i

ZRRZ

i+−

= 4.9

Nas equações 4.8 e 4.9, Zc, vr, vf, ir, if são, respectivamente, a impedância

característica da linha de transmissão, a onda de tensão refletida ou reversa, a onda de tensão

incidente ou direta, a onda da corrente refletida ou reversa, a onda da corrente incidente ou

direta. Estas equações podem ser utilizadas para uma análise qualitativa da propagação das

ondas na linha. Será feita a análise das correntes e tensões na linha, durante o processo de

energização da mesma, em 3 situações distintas:

25

• Energização da linha em aberto;

• Energização da linha conectada a uma carga Zc;

• Energização da linha em curto-circuito;

4.3.1 Energização da linha em aberto

A Figura 4.2 mostra uma linha de comprimento d que é alimentada por meio de

uma fonte de tensão contínua v.

v

iS

A B solo

Figura 4.2 – Energização da linha com extremidade aberta.

Na linha mostrada na Figura 4.2, pode se considerar que no terminal B da mesma

existe uma carga resistiva cujo valor tende a um valor infinito ( ∞→R ). Nessas condições, as

equações 4.8 e 4.9 tornam-se:

fr vv = 4.10

fr ii −= 4.11

Portanto, a tensão e a corrente no terminal B da linha serão escritas como sendo:

fT v2v = 4.12

0iii ffT =−= 4.13

26

A equação 4.12 mostra que a tensão no terminal B da linha é o dobro do valor da

tensão que incide neste terminal enquanto, conforme mostra a equação 4.13, a corrente no

terminal B da linha é nula.

A Figura 4.3 mostra a onda de tensão propagando-se ao longo da linha em aberto,

em um instante qualquer, antes de ocorrer a primeira reflexão no terminal B da mesma.

vf

v

V

x

B A

Figura 4.3 – Propagação da tensão, ao longo da linha em aberto, antes da reflexão

A Figura 4.4 mostra a distribuição da tensão ao longo da linha em aberto, no

instante em que a onda de tensão alcança o terminal B da linha.

V

v

x

B A

Figura 4.4 – Distribuição da tensão ao longo da linha em aberto

Ao encontrar o terminal B em aberto, a onda de tensão terá o seu valor duplicado,

de acordo com a equação 4.12, e começará a propagar-se em direção ao terminal A, conforme

mostra a figura 4.5.

27

v

2v

vr

A B

V

x

Figura 4.5 – Propagação da tensão ao longo da linha em aberto, após a reflexão

A Figura 4.6 mostra a onda de corrente propagando ao longo da linha em aberto,

em um instante qualquer, antes de ocorrer a reflexão no terminal B da mesma.

I

if

i

x B A

Figura 4.6 – Propagação da corrente ao longo da linha em aberto, antes da reflexão

A Figura 4.7 mostra a distribuição da corrente ao longo da linha em aberto, no

instante em que a onda de corrente alcança o terminal B da linha.

I

i

x B A

Figura 4.7 – Distribuição da corrente ao longo da linha em aberto

28

Ao encontrar o terminal B em aberto, a onda de corrente resultante terá o seu

valor anulado, de acordo com a equação 4.13, e começará a propagar-se em direção ao

terminal A, conforme mostra a figura 4.8.

I

ir

i

x B A

Figura 4.8 – Propagação da corrente ao longo da linha em aberto, após a reflexão

4.3.2 Energização da linha que alimenta uma carga de valor igual à sua impedância

característica

A Figura 4.9 mostra uma linha de transmissão conectada a uma carga resistiva R,

cujo valor é idêntico ao valor da impedância característica da linha. Considera-se que esta

linha será energizada por meio de uma fonte de tensão contínua de amplitude v.

B A

v vr

ir iS

R=Zc

solo

Figura 4.9 - Energização da linha em carga igual a Zc

Considerando que a carga da linha mostrada na Figura 4.9 é igual à impedância

característica da linha Zc, as equações 4.8 e 4.9 tornam-se:

29

0vr = 4.14

0ir = 4.15

Portanto, a tensão e corrente no terminal B da linha serão escritas como sendo:

fT vv = 4.16

fT ii = 4.17

A partir das equações 4.14 a 4.17, observa-se que, quando se conecta na linha uma

impedância de valor igual ao valor da impedância característica da mesma, não ocorrerá

reflexão das ondas de corrente e tensão junto ao terminal de carga da linha (FUCHS, 1979).

A Figura 4.10 mostra a propagação da onda de tensão ao longo da linha conectada

a uma carga Zc, em um instante qualquer, antes de ocorrer a reflexão no terminal B da mesma.

vf

v

V

x

B A

Figura 4.10 – Propagação da tensão ao longo da linha conectada a uma carga Zc,

antes da reflexão

A Figura 4.11 mostra a distribuição da tensão ao longo da linha conectada a uma

carga Zc, no instante em que a onda de tensão alcança o terminal B da linha. V

v

x B A

Figura 4.11– Distribuição da tensão ao longo da linha conectada a uma carga Zc

30

A Figura 4.11 mostra que a onda de tensão propaga-se até o terminal B da linha

conectada a uma carga Zc, mas não sofre reflexões neste terminal.

A Figura 4.12 mostra a propagação da onda de corrente ao longo da linha

conectada a uma carga Zc, em um instante qualquer, antes de ocorrer a reflexão no terminal B

da mesma.

if

i

I

x

B A

Figura 4.12 – Propagação da corrente ao longo da linha conectada a uma carga Zc, antes da

reflexão

A Figura 4.13 mostra a distribuição da corrente ao longo da linha conectada a uma

carga Zc, no instante em que a onda de corrente alcança o terminal B da linha. I

i

x B A

Figura 4.13 – Distribuição da corrente ao longo da linha conectada a uma carga Zc

A Figura 4.13 mostra que a onda de corrente propaga-se até o terminal B da linha

conectada a uma carga Zc, mas não sofre reflexões neste terminal.

4.3.3 Energização da linha em curto-circuito

A Figura 4.14 mostra uma linha de transmissão em curto-circuito alimentada por

meio de uma fonte de tensão contínua v.

31

B A

v

iS

Figura 4.14 – Energização da linha em curto-circuito

O fato da linha da figura 4.14 estar em curto-circuito é equivalente a ter u

R=0 conectada ao terminal B da mesma. Desse modo, as equações 4.8 e 4.9 tornam-s

fr vv −=

fr ii =

Portanto, a tensão e corrente no terminal B da linha em curto-circu

escritas como sendo:

0vT =

fT i2i =

As equações 4.18 e 4.20 mostram que a tensão refletida é igual ao

tensão incidente, anulando a tensão no terminal B da linha.

A Figura 4.15 mostra a propagação da onda de tensão ao longo da

curto-circuito, em um instante qualquer, antes de ocorrer a reflexão no terminal B da

vf

v

V

x

B A

Figura 4.15 – Propagação da tensão ao longo da linha em curto-circuito , antes da r

solo

ma carga

e:

4.18

4.19

ito serão

4.20

4.21

oposto da

linha em

mesma.

eflexão

32

A Figura 4.16 mostra a distribuição da tensão ao longo da linha em curto-circuito,

no instante em que a onda de tensão alcança o terminal B da linha.

V

v

x

B A

Figura 4.16 – Distribuição da tensão ao longo da linha em curto-circuito

Após o curto-circuito no terminal B, a onda de tensão refletida anula a tensão

incidente. Desse modo, a tensão ao longo da linha começa a anular-se, conforme mostra a

Figura 4.17.

vf

v

V

x B A

Figura 4.17 – Propagação da tensão ao longo da linha em curto-circuito, após a reflexão

A Figura 4.18 mostra a propagação da onda de corrente ao longo da linha em

curto-circuito, em um instante qualquer, antes de ocorrer a reflexão no terminal B da mesma.

if

i

I

x B A

Figura 4.18 – Propagação da corrente ao longo da linha em curto-circuito, antes da reflexão

33

A Figura 4.19 mostra a distribuição da corrente ao longo da linha em

curto-circuito, no instante em que a onda de corrente alcança o terminal B da linha.

I

i

x B A

Figura 4.19 – Distribuição da corrente ao longo da linha em curto-circuito

Ao encontrar o terminal B em curto-circuito, a onda da corrente terá o seu valor

duplicado, de acordo com a equação 4.21, e começará a propagar-se em direção ao terminal

A, conforme mostra a figura 4.20.

i

2i

ir

A B

I

x

Figura 4.20 – Propagação da corrente ao longo da linha em curto-circuito, após a reflexão

4.4 CONCLUSÕES

Neste capítulo, foi feita uma análise qualitativa do comportamento das ondas de

corrente e tensão ao longo de uma linha considerando diversas condições de carga para a

mesma.

Verificou-se que duas ondas de tensão propagam-se, simultaneamente, em

sentidos opostos ao longo da linha. Portanto, para determinar a tensão em um ponto qualquer

34

da linha, em um determinado instante de tempo, deve-se levar em conta a superposição das

duas ondas de tensão. O mesmo raciocínio deve ser aplicado para a corrente ao longo da

linha.

35

5 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POR MEIO DE VARIÁVEIS DE ESTADO

5.1 INTRODUÇÃO

Verificou-se, em capítulos anteriores, que a solução das equações diferenciais de

uma linha de transmissão são, de modo geral, de difícil obtenção, quando se levam em

consideração as perdas da linha.

Uma vez que as perdas desempenham um papel importante no comportamento da

linha e, geralmente, não podem ser desprezadas, diversos modelos foram propostos para a

linha com perdas. Esses modelos não são representações exatas da linha, mas, sim,

representações aproximadas.

Um modelo bastante utilizado para uma linha de transmissão é o que considera a

mesma como sendo constituída por uma grande quantidade de circuitos π conectados em

cascata. Esse modelo permite que sejam levadas em consideração as perdas, o efeito da

freqüência e o efeito corona (NELMS, et al. 1989), (MACÍAS et al. 2005) e (TAVARES et al.

1999).

Neste capítulo, será mostrada a representação da linha por meio de uma cascata de

circuitos π, bem como as técnicas de obtenção das correntes e tensões na linha utilizando o

modelo proposto.

36

5.2 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA POR MEIO DE UMA CASCATA DE

CIRCUITOS π.

Sabe-se que uma linha de transmissão de comprimento d pode ser representada, de

maneira aproximada e obedecendo a uma série de restrições, como sendo uma cascata de n

circuitos π (NELMES et al. 1989), conforme mostra a Figura 5.1.

G 2

C 2

R L

G C

R L

G C G C G 2

C 2

L R

Figura 5.1 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π.

Na Figura 5.1, os parâmetros R e L são, respectivamente, a resistência e a

indutância longitudinais de cada segmento de linha representado por um único circuito π. Os

parâmetros G e C são, respectivamente, a condutância e a capacitância do segmento de linha.

Os parâmetros R, L, G e C são escritos como sendo:

ndRR ′= 5.1

ndLL ′= 5.2

ndGG ′= 5.3

ndCC ′= 5.4

Na equação 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 os termos R são os parâmetros da

linha, por unidade de comprimento.

', L', C ' e G'

37

O modelo mostrado na Figura 5.1 não leva em conta o efeito da freqüência sobre

os parâmetros longitudinais da linha. No entanto, esse efeito pode ser inserido no modelo, se o

mesmo for sintetizado por meio de associações série e paralela de resistores e indutores. A

Figura 5.2 mostra um circuito π utilizado para representar um segmento de linha,

considerando o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais (TAVARES, 1999).

R1

L1

R2

L2

Rm

Lm

R0 L0

G2

G 2

C 2

C 2

Figura 5.2 –Circuito π com o efeito da freqüência.

Portanto, pode-se utilizar uma grande quantidade de circuitos π, do tipo mostrado

na Figura 5.2, para representar uma linha em que seja considerado o efeito da freqüência

sobre os parâmetros longitudinais da mesma.

Os modelos mostrados na Figuras 5.1 e 5.2 fornecem as correntes e tensões da

linha diretamente no domínio do tempo, sem o uso de integrais de convolução, e podem ser

facilmente implementados em programas do tipo EMTP.

Devido ao fato de que programas do tipo EMTP não são de fácil utilização

(NELMES et al. 1989), diversos autores (NELMES et al. 1989); (MAMIS et al. 2002);

(MAMIS, 2003); (MAMIS et al. 2005) sugerem descrever as correntes e tensões na cascata de

circuitos π por meio de variáveis de estado. As equações de estado são, então, transformadas

em equações de diferenças e podem ser resolvidas utilizando qualquer linguagem

computacional.

38

A representação da linha por meio de variáveis de estado pode ser utilizada no

ensino de conceitos básicos de propagação de ondas em linhas de transmissão (NELMES et

al. 1989), na análise da distribuição de correntes e tensões ao longo da linha (MAMIS et al.

2002) e na simulação de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão que tenham

elementos não lineares (MAMIS; 2003).

5.3 DESCRIÇÃO DAS CORRENTES E TENSÕES POR MEIO DE VARIÁVEIS DE

ESTADO.

Considere uma linha de transmissão de comprimento d, representada por meio de

n circuitos π, conforme mostra a Figura 5.3.

G 2

C 2

R

G C G C G C G 2

C 2

L L RLR

Figura 5.3 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π.

A corrente longitudinal e a tensão transversal da linha representada por uma

cascata de circuitos π, mostrada na Figura 5.3, podem ser escritas na forma de equações de

estado, ou seja, (NELMES et al. 1989)e (MACÍAS et al. 2005):

)t(u]B[]X[]A[]X[ +=•

5.5

Na equação 5.5, [X] é o vetor com as variáveis de estado, enquanto que [A] e [B]

são as matrizes de estado do circuito mostrado na Figura 5.3.

Nos próximos itens, serão mostradas as matrizes de estado de uma linha

representada por meio de uma cascata de circuitos π. Serão mostradas as matrizes de estado

39

da linha em aberto, da linha em curto e da linha conectada a uma carga com valor idêntico ao

valor da impedância característica da linha. Não será levado em consideração o efeito da

freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha.

5.3.1 Matrizes de estado para a linha aberta

Considere uma linha monofásica de comprimento d, alimentada por uma fonte de

tensão u(t) e com o terminal aberto, conforme mostra a Figura 5.4.

A B S

u(t)

Figura 5.4 – Linha de transmissão monofásica com extremi

Desconsiderando o efeito da freqüência sobre os parâme

mostrada na Figura 5.4 e representando-a por meio de um único ci

mostrado na Figura 5.5.

i1(t) R L

u(t)

i1(t)AB

G2

C 2

G 2

C 2

A

B

Figura 5.5 – Linha representada por meio de um únic

solo

dade B em aberto.

tros longitudinais da linha

rcuito π, tem-se o circuito

v1(t)

o circuito π

40

No circuito externo da Figura 5.5, tem-se:

0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(u 11

1 =−−− 5.6


)t(uL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

111 +−−= 5.7

Fazendo dt

)t(di)t(i 11 =•

, a equação 5.7 pode ser escrita como sendo:

)t(uL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i 111 +−−=

•

5.8

Denominando de ig(t) e ic(t) as correntes na condutância e na capacitância,

respectivamente, do ramo AB, tem-se:

)t(i)t(i)t(i cgAB1 += 5.9

A relação entre a tensão v1(t) e a corrente ig é definida por:

)t(v2G)t(i 1g = 5.10

A relação entre a tensão v1(t) e a corrente ic é definida por:

)t(d))t(i)t(i(C2)t(v

t

0gAB11 ∫ −= 5.11

Derivando a equação 5.11 em relação ao tempo, obtém-se:

))t(i)t(i(C2

dt)t(dv

gAB11 −= 5.12

Fazendo dt

)t(dv)t(v 11 =

•

, a equação 5.12, pode ser escrita como sendo:

41

))t(i)t(i(C2)t(v gAB11 −=

•

5.13

Substituindo a equação 5.10 em 5.13, tem-se:

)t(vCG)t(i

C2)t(v 111 −=

•

5.14

Definindo a corrente i1(t) e a tensão v1(t) como sendo variáveis de estado, pode-se

descrever o sistema mostrado na Figura 5.5 sob a forma de equações de estado. Desse modo,

as equações 5.8 e 5.14 podem ser escritas sob a forma de equações de estado, ou seja,

(NELMES et al. 1989) e (MACÍAS et al. 2005):

)t(u]B[]X[]A[]X[ +=•

5.15

Sendo:

T

11 )t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

•••

5.16

T

11 )t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 5.17

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

CG

C2

L1

LR

]A[ 5.18

T

0L1]B[ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 5.19

As equações de 5.16 a 5.19 constituem as equações de estado da linha aberta,

representada por meio de um único circuito π.

42

Desconsiderando o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha

mostrada na Figura 5.4 e representando-a por meio de 2 circuitos π, tem-se o circuito


u(t)

i1(t)

G2

C 2

R L A

B

G C

C

G 2

C 2

Malha 2 D

i2(t)

i1(t)AB i2(t)CD

LR

v2(t) v1(t)

Malha 1

Figura 5.6 – Linha representada por meio de 2 circuitos π


0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(u 11

1 =−−− 5.20


)t(uL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

111 +−−= 5.21

Fazendo dt

)t(di)t(i 11 =•


)t(uL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i 111 +−−=

•

5.22


0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(v 22

21 =−−− 5.23


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

1222 +−−= 5.24

43

Fazendo dt

)t(di)t(i 22 =•


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i 1222 +−−=

•

5.25



)t(i)t(i)t(i cgAB1 += 5.26

A corrente i1(t), mostrada na equação 5.26, pode ser escrita também como sendo:

)t(i)t(i)t(i 21AB1 −= 5.27

A relação entre a tensão v1(t) e a corrente ig(t) é definida por:

)t(vG)t(i 1g = 5.28

A relação entre a tensão v1(t) e a corrente ic(t) é definida por:


t

0gAB11 ∫ −= 5.29


))t(i)t(i(C1

dt)t(dv

gAB11 −= 5.30

Fazendo dt

)t(dv)t(v 11 =

•



•

5.31

Substituindo as equações 5.27 e 5.28 na equação 5.31, tem-se:

)t(vCG)t(i

C1)t(i

C1)t(v 1211 −−=

•

5.32

44


respectivamente, do ramo CD, tem-se:

)t(i)t(i)t(i cgCD2 += 5.33


)t(v2G)t(i 2g = 5.34



t

0gCD22 ∫ −= 5.35


))t(i)t(i(C2

dt)t(dv

gCD22 −= 5.36

Fazendo dt

)t(dv)t(v 22 =

•


))t(i)t(i(C2)t(v gCD22 −=

•

5.37


)t(vCG)t(i

C2)t(v 222 −=

•

5.38

Definindo as correntes i1(t) e i2(t) e as tensões v1(t) e v2(t) como sendo variáveis

de estado, pode-se descrever o sistema mostrado na Figura 5.4 sob a forma de equações de

estado. Desse modo, as equações 5.22, 5.25, 5.32 e 5.38 podem ser escritas sob a forma de

equações de estado, ou seja:

)t(u]B[]x[]A[]x[ +=•

5.39

45

Sendo:

T

2211 )t(v)t(i)t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

•••••

5.40

T

2211 )t(v)t(i)t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 5.41

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

−−

=

CG

C2

L1

LR

L1

C1

CG

C1

L1

LR

]A[ 5.42

T

000L1]B[ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 5.43


representada por meio de dois circuitos.

Desconsiderando o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha

mostrada na Figura 5.4 e representando-a por meio de 3 circuitos π, tem-se o circuito


u(t)

R L R L E R L i3(t) i2(t) i1(t) C A

G 2

C 2

G C G 2

C 2

G C v3(t) v1(t) v2(t)

i3(t)EFi2(t)CDi1(t)AB

Malha 3 Malha 2Malha 1 F D B

Figura 5.7 – Linha representada por meio de 3 circuitos π

46


0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(u 11

1 =−−− 5.44


)t(uL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

111 +−−= 5.45

Fazendo dt

)t(di)t(i 11 =•


)t(uL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i 111 +−−=

•

5.46


0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(v 22

21 =−−− 5.47


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

1222 +−−= 5.48

Fazendo dt

)t(di)t(i 22 =

•


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i 1222 +−−=

•

5.49


0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(v 3

332 =−−− 5.50


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

2333 +−−= 5.51

47

Fazendo dt

)t(di)t(i 3

3 =•


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i 2333 +−−=

•

5.52



)t(i)t(i)t(i cgAB1 += 5.53

A corrente i1(t)AB mostrada na equação 5.53, pode ser escrita também como sendo:

)t(i)t(i)t(i 21AB1 −= 5.54


)t(vG)t(i 1g = 5.55



t

0gAB11 ∫ −= 5.56


))t(i)t(i(C1

dt)t(dv

gAB11 −= 5.57

Fazendo dt

)t(dv)t(v 11 =

•



•

5.58

Substituindo as equações 5.54 e 5.55 em 5.58, tem-se:

)t(vCG)t(i

C1)t(i

C1)t(v 1211 −−=

•

5.59

48



)t(i)t(i)t(i cgCD2 += 5.60

A corrente i2(t)CD mostrada na equação 5.60, pode ser escrita também como sendo:

)t(i)t(i)t(i 32CD2 −= 5.61


)t(vG)t(i 2g = 5.62



t

0gCD22 ∫ −= 5.63


))t(i)t(i(C1

dt)t(dv

gCD22 −= 5.64

Fazendo dt

)t(dv)t(v 22 =

•


))t(i)t(i(C1)t(v gCD22 −=

•

5.65


)t(vCG)t(i

C1)t(i

C1)t(v 2322 −−=

•

5.66


respectivamente, do ramo EF, tem-se:

)t(i)t(i)t(i cgEF3 += 5.67

49


)t(v2G)t(i 3g = 5.68



t

0gEF33 ∫ −= 5.69


))t(i)t(i(C2

dt)t(dv

gEF33 −= 5.70

Fazendo dt

)t(dv)t(v 3

3 =•


))t(i)t(i(C2)t(v gEF33 −=

•

5.71

Substituindo a equação 5.68 na equação 5.71, tem-se:

)t(vCG)t(i

C2)t(v 333 −=

•

5.72

Definindo as correntes i1(t), i2(t), i3(t) e as tensões v1(t), v2(t), v3(t) como sendo

variáveis de estado, pode-se descrever o sistema mostrado na Figura 5.7 sob a forma de

equações de estado. Desse modo, as equações 5.46, 5.49, 5.52, 5.59, 5.66 e 5.72 podem ser

escritas sob a forma de equações de estado, ou seja:

)t(u]B[]x[]A[]x[ +=•

5.73

Sendo:

T

332211 )t(v)t(i)t(v)t(i)t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

•••••••

5.74

50

T

332211 )t(v)t(i)t(v)t(i)t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 5.75

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

−−

−−

−−

=

CG

C2

L1

LR

L1

C1

CG

C1

L1

LR

L1

C1

CG

C1

L1

LR

]A[ 5.76

T

00000L1]B[ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 5.77


representada por meio de três circuitos π.

Com base na representação da linha utilizando 1, 2 e 3 circuitos π, pode-se

generalizar esta representação para uma linha representada por meio de n circuitos π,

conectados em cascata. Desse modo, se a linha de comprimento d é representada por meio de

n circuitos π, as matrizes de estado [A] e [B] dessa linha serão escritas como sendo:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

−−

=

CG

C2

L1

LR

L1

C1

CG

C1

L1

LR

]A[OOO

5.78

51

T

0000L1]B[ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= K 5.79

Analogamente, podem-se escrever os vetores ] como sendo: ]x[ e x[•

T

)n()n(2211 )t(v)t(i)t(v)t(i)t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

•••••••

L 5.80

T


⎢⎣⎡= L 5.81

As equações de 5.78 a 5.81 mostram que, quando uma linha de transmissão em

aberto é representada por meio de uma cascata de n circuitos π, a matriz de estado [A] dessa

linha é uma matriz tridiagonal de dimensão 2n. A matriz de estado [B] possui dimensão

. Verifica-se, também, que as matrizes [A] e [B] podem ser montadas por inspeção, pois

as mesmas obedecem a uma regra de formação. Em um circuito de n circuitos π, a matriz A é

quadrada e possui dimensão 2n. Os elementos da superdiagonal (elementos A(2n,2n+1))

alternam entre

1n2 ×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

L1 e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

C1 . Os elementos na subdiagonal (elementos A(2n, 2n-1))

alternam entre ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

L1 e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

C1 . Os elementos da diagonal principal alternam entre ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

LR e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

CG . O último elemento da subdiagonal será ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

C2 .

A matriz B possui uma única coluna com elementos onde o primeiro elemento

é

n2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

L1 e os outros elementos são nulos.

Assim, tem-se a descrição sob a forma de variáveis de estado de uma linha de

transmissão aberta.

52

5.3.2 Matrizes de estado para a linha em curto-circuito

Considere uma linha monofásica de comprimento d, alimentada por uma fonte de

tensão u(t) e com o terminal B em curto-circuito, conforme mostra a Figura 5.8.

u(t)

Figura 5.8 – Linha de

Desconsiderand

mostrada na Figura 5.8 e

obtém-se:

G 2

C 2

R L

G

Figura 5.9 – Linh

Observando a F

e a mesma torna-se idêntic

primeiros (n-1) circuitos π

obter as matrizes de esta

elemento π da cascata.

A

transmissão monofásica com extremidade B

o o efeito da freqüência sobre os parâmetro

, representando-a por meio de uma cas

C

R L

G C G

a representada por meio de uma cascata de

com extremidade B em curto-circuito.

igura 5.9, verifica-se que se o último circu

a à Figura 5.1. Portanto, as equações de cor

serão idênticas às equações da linha em ab

do da linha em curto-circuito, basta anal

B

solo

em curto-circuito.

s longitudinais da linha

cata de n circuitos π,

L

C

R

n circuitos π

ito π é desconsiderado,

rentes e tensões para os

erto. Desse modo, para

isar somente o último

53

A Figura 5.10 mostra os dois últimos circuitos π da cascata que representa a linha

em curto-circuito.

i(n-1)(t)

v(n-1)(t)

A

C

i(n-1)(t)AB

v(n)(t) v(n-2)(t) 2

i(n-2)(t)

G 2

C

R i(n)(t) R LL C

Figura 5.10 – Dois últimos circuitos da casca

Do circuito π, à esquerda do ramo A

0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(v )1n(

)1n()1n()2n( =−−− −

−−−

Manipulando a equação 5.82, obtém

t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

)2n()1n()1n()1n(

−−−− +−−=

Fazendo dt

)t(di)t(i )1n(

)1n(−

−

•

= , a equa

)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i )2n()1n()1n()1n( −−−−

•

+−−=

Do circuito π, à esquerda do ramo C

0dt

)t(idL)t(iR)t(v )n(

)n()1n( =−−−

Manipulando a equação 5.85, obtém

)t(vL1)t(i

LR

dt)t(di

)1n()n()n(

−+−=

G

D B

ta π que representa a linha em curto-circuito

B, na Figura 5.10, tem-se:

5.82

-se:

) 5.83

ção 5.83 pode ser escrita como sendo:

5.84

D, na Figura 5.10, tem-se:

5.85

-se:

5.86

54

Fazendo dt

)t(di)t(i )n(

)n( =•


)t(vL1)t(i

LR)t(i )1n()n()n( −

•

+−= 5.87



)t(i)t(i)t(i cgAB)1n( +=− 5.88

A corrente , mostrada na equação 5.88, pode ser escrita também como

sendo:

AB)1n( )t(i −

)t(i)t(i)t(i )n()1n(AB)1n( −= −− 5.89

A relação entre a tensão v(n-1)(t) e a corrente ig(t) é definida por:

)t(vG)t(i )1n(g −= 5.90

A relação entre a tensão v(n-1)(t) e a corrente ic(t) é definida por:


t

0gAB)1n()1n( ∫ −= −− 5.91


))t(i)t(i(C1

dt)t(dv

gAB)1n()1n( −= −

− 5.92

Fazendo dt

)t(dv)t(v )1n(

)1n(−

−

•

= , a equação 5.92 pode ser escrita como sendo:

))t(i)t(i(C1)t(v gAB)1n()1n( −= −−

•

5.93


55

)t(vCG)t(i

C1)t(i

C1)t(v )1n()n()1n()1n( −−−

•

−−= 5.94

As equações de 5.79 até 5.91 mostram que, quando se utiliza uma cascata de n

circuitos π para se representar uma linha em curto, considerando como variáveis de estado as

correntes nos indutores e as tensões nos capacitores, obtêm-se n equações de corrente e (n-1)

equações de tensão, pois a tensão na capacitância do último circuito π é nula. Portanto, o

sistema será descrito por (2n-1) variáveis de estado. Conseqüentemente, a matriz [A] terá

dimensão , e a matriz [B] terá dimensão )1n2()1n2( −×− 1)1n2( ×− .

Com base no desenvolvimento realizado no item 5.3.1 e com base também nas

equações 5.79 até 5.91, pode-se dizer que as matrizes [A] e [B] de uma linha monofásica em

curto, representada por uma cascata de n circuitos π, são escritas como sendo:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

−−

=

LR

L1

C1

CG

C1

C1

CG

C1

L1

LR

]A[OOO

5.95

T

0000L1]B[ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= L 5.96


T

)n()1n(2211 )t(i)t(v)t(v)t(i)t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

••

−

•••••

L 5.97

56

T

)n()1n(2211 )t(i)t(v)t(v)t(i)t(v)t(i]x[ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= −L 5.98

5.3.3 Matrizes de estado para a linha que alimenta uma carga de valor igual à sua

impedância característica

A Figura 5.11 mostra uma linha de transmissão conectada a uma resistência cujo

valor é idêntico ao valor da impedância característica Zc dessa linha.

A B S

Rr=ZCu(t)

solo Figura 5.11 – Linha de transmissão monofásica, alimentada por uma carga resistiva

Representando a linha mostrada na Figura 5.11, por meio de uma cascata de n

circuitos π, obtém-se:

G 2

C 2

R L

G C

R L

G C C2

G2

Rr = Zc

L R

Figura 5.12 – Linha representada por meio de uma cascata de n circuitos π,

alimentada por uma carga resistiva.

Observando a Figura 5.12, verifica-se que, se o último circuito π é

desconsiderado, a mesma torna-se idêntica à Figura 5.1. Portanto, as equações de correntes e

tensões para os primeiros (n-1) circuitos π serão idênticas às equações da linha em aberto.

57

Desse modo, para obter as matrizes de estado da linha que alimenta uma carga de valor

idêntico ao valor da impedância característica Zc da linha, basta analisar somente o último

elemento π da cascata.

A Figura 5.13 mostra os dois últimos circuitos π da cascata que representa a linha

que alimenta uma carga de valor idêntico ao valor de sua impedância característica Zc.

Rr = Zc

i(n-1)(t)

I(n-2)(t)

G 2

v(n-2)(t) C 2

L A

B

G C

R L

G2

D

I(n-1)(t)AB

v(n)(t) v(n-1)(t) C 2

In(t)CD

R i(n)(t) ir(t) C

Figura 5.13 – Dois últimos circuitos π da cascata que representa uma linha

conectada a uma resistência de valor Zc.

Do circuito π, à esquerda do ramo AB, na Figura 5.13, tem-se:

0)t(vdt


)1n()1n()2n( =−−− −

−−− 5.99


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

)2n()1n()1n()1n(

−−−− +−−= 5.100

Fazendo dt

)t(di)t(i )1n(

)1n(−

−

•


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i )2n()1n()1n()1n( −−−−

•

+−−= 5.101

Do circuito π, à esquerda do ramo CD, na Figura 5.13, tem-se:

0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(v )n(

)n()n()1n( =−−−− 5.102

58


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

)1n()n()n()n(

−+−−= 5.103

Fazendo dt

)t(di)t(i )n(

)n( =•


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i )1n()n()n()n( −

•

+−−= 5.104



)t(i)t(i)t(i cgAB)1n( +=− 5.105

A corrente mostrada na equação 5.105 pode ser escrita também como

sendo:

AB)1n( )t(i −

)t(i)t(i)t(i )n()1n(AB)1n( −= −− 5.106


)t(vG)t(i )1n(g −= 5.107



t

0gAB)1n()1n( ∫ −= −− 5.108


))t(i)t(i(C1

dt)t(dv

gAB)1n()1n( −= −

− 5.109

Fazendo dt

)t(dv)t(v )1n(

)1n(−

−

•


59

))t(i)t(i(C1)t(v gAB)1n()1n( −= −−

•

5.110


)t(vCG)t(i

C1)t(i

C1)t(v )1n()n()1n()1n( −−−

•

−−= 5.111



)t(i)t(i)t(i cgCD)n( += 5.112

A relação entre a tensão v(n)(t) e a corrente ig(t) é definida por:

)t(v2G)t(i )n(g = 5.113

A relação entre a tensão v(n)(t) e a corrente ic(t) é definida por:

dt)t(vd

C2)t(i )n(

c = 5.114

Tem-se que:

cgCD)n(r ii)t(i)t(i −−= 5.115

A tensão é definida por: )t(v )n(

rr)n( iR)t(v = 5.116

Substituindo a equação 5.115 na equação 5.116, tem-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

dt)t(vd

2C)t(v

2G)t(iR)t(v )n(

)n()n(r)n( 5.117

Manipulando a equação 5.117, tem-se:

60

)t(vCG

CR2)t(i

2C

dt)t(vd

)n(r

)n()n(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+= 5.118

Fazendo dt

)t(dv)t(v )n(

)n( =•


)t(vCG

CR2)t(i

2C)t(v )n(

r)n()n( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

•

5.119

Portanto, se a linha de comprimento d é representada por meio de n circuitos π, as

matrizes de estado [A] e [B] dessa linha serão escritas como sendo:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

−−

−−

=

CG

CR2

C2

L1

LR

L1

C1

CG

C1

L1

LR

]A[

r

OOO 5.120

T

0000L1]B[ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= L 5.121


T


⎢⎣⎡=

•••••••

L 5.122

T


⎢⎣⎡= L 5.123

61

5.3.4 Matrizes de estado para a linha conectada a um transformador em vazio

A Figura 5.14 mostra uma linha de transmissão alimentando um transformador em

vazio.

Figura 5.14 – Linha de transmissão monofásica alimentando um transformador em vazio

Representando a linha mostrada na Figura 5.14, por meio de uma cascata de n

circuitos π, obtém-se:

2

A B S

u(t) CT

solo

R

C 2

R L

C

R L

C C 2

G2

L

CT

e

pr

ob

so

qu

G

Figura 5.15 –

Observando

a mesma torna-se idê

imeiros (n-1) circuito

ter as matrizes de es

mente o último elem

A Figura 5

e alimenta um transf

G

Linha representada

alimentando um

a Figura 5.15, veri

ntica à Figura 5.1. P

s π serão idênticas

tado da linha que al

ento π da cascata.

.16 mostra os dois ú

ormador em vazio.

G

por meio de uma cascata de n circuitos π

transformador em vazio

fica-se que se o último circuito π é desconsiderado,

ortanto, as equações de correntes e tensões para os

às equações da linha em aberto. Desse modo, para

imenta um transformador em vazio, basta analisar

ltimos circuitos π da cascata que representa a linha

62

i(n-1)(t)

i(n-2)(t)

v(n-2)(t) G 2

C 2

L A

G C

L

G 2

C 2

v(n-1)(t) v(n)(t)

i(n-1)(t)ABin(t)CD

C i(n)(t) R R CT

D B

Figura 5.16 – Dois últimos circuitos π de uma cascata que representa uma linha alimentando um transformador em vazio

Do circuito π, à esquerda do ramo AB, na Figura 5.16, tem-se:

0)t(vdt


)1n()1n()2n( =−−− −

−−− 5.124


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

)2n()1n()1n()1n(

−−−− +−−= 5.125

Fazendo dt

)t(di)t(i )1n(

)1n(−

−

•


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i )2n()1n()1n()1n( −−−−

•

+−−= 5.126

Do circuito π, à esquerda do ramo CD, na Figura 5.16, tem-se:

0)t(vdt

)t(idL)t(iR)t(v )n(

)n()n()1n( =−−−− 5.127


)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR

dt)t(di

)1n()n()n()n(

−+−−= 5.128

Fazendo dt

)t(di)t(i )n(

)n( =•


63

)t(vL1)t(v

L1)t(i

LR)t(i )1n()n()n()n( −

•

+−−= 5.129



)t(i)t(i)t(i cgAB)1n( +=− 5.130

A corrente , mostrada na equação 5.130, pode ser escrita também como

sendo:

AB)1n( )t(i −

)t(i)t(i)t(i )n()1n(AB)1n( −= −− 5.131


)t(vG)t(i )1n(g −= 5.132



t

0gAB)1n()1n( ∫ −= −− 5.133


))t(i)t(i(C1

dt)t(dv

gAB)1n()1n( −= −

− 5.134

Fazendo dt

)t(dv)t(v )1n(

)1n(−

−

•


))t(i)t(i(C1)t(v gAB)1n()1n( −= −−

•

5.135


)t(vCG)t(i

C1)t(i

C1)t(v )1n()n()1n()1n( −−−

•

−−= 5.136

64



)t(i)t(i)t(i cgCD)n( += 5.137

A relação entre a tensão v(n)(t) e a corrente ig(t) é definida por:

)t(v2G)t(i )n(g = 5.138

A relação entre a tensão v(n)(t) e a corrente ic(t) é definida por:

)t(d))t(i)t(i(C2C

2)t(vt

0gCD)n(

T)n( ∫ −

+= 5.139


))t(i)t(i(C2C

2dt

)t(dvgCD)n(

T

)n( −+

= 5.140

Fazendodt

)t(dv)t(v )n(

)n( =•


))t(i)t(i(C2C

2)t(v gCD)n(T

)n( −+

=•

5.141


)t(vC2C

G)t(iC2C

2)t(v )n(T

)n(T

)n(+

−+

=•

5.142

Portanto, se a linha de comprimento d é representada por meio de n circuitos π, as

matrizes de estado [A] e [B] dessa linha serão escritas como sendo:

65

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+

−−

−−

−−

=

TT C2CG

C2C2

L1

LR

L1

C1

CG

C1

L1

LR

]A[OOO

5.143

T

0000L1]B[ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= L 5.144


T


⎢⎣⎡=

•••••••

L 5.145

T


⎢⎣⎡= L 5.146

5.4 CONCLUSÃO

Neste capítulo, o modelo apresentado fornece resultados diretamente no domínio

no tempo e permite analisar as correntes e tensões ao longo da linha. A precisão do modelo

aumenta à medida que aumenta a quantidade de circuitos π que representa a linha.

Foram deduzidas as equações de estado para uma linha monofásica, representada

por meio de uma cascata contendo uma quantidade genérica de circuitos π é com uma carga

conectada no terminal da mesma.

66

6 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ESTADO

6.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, serão mostrados métodos numéricos e analíticos que podem ser

utilizados para se obter as soluções das equações de estado do capítulo 5.

A utilização dos métodos numéricos tem a finalidade de conseguir uma

aproximação da solução exata de uma equação diferencial. Para isso, utiliza-se a fórmula de

Heun ou regra do trapézio, para transformar as soluções das equações do estado em equações

algébricas. Com os métodos analíticos, consegue-se a solução exata de uma equação

diferencial e, para isso, utiliza-se a diagonalização da matriz dos coeficientes para obter essa

solução (BOYCE, 1994).

6.2 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO POR MEIO DE MÉTODO

NÚMERICO

O sistema de estado pode ser resolvido por meio de métodos numéricos. Como

exemplos de métodos numéricos de resolução de equações diferenciais, podem-se citar:

Método de Euler, Fórmula de Heun (regra do trapézio) e o Método de Runge-Kutta (BOYCE,

67

1994), (EDWARDS et al. 1995). Neste trabalho, será utilizada a Fórmula de Heun, para obter

a integração numérica das equações de estado que representam a linha de transmissão.

A fórmula de Heun consiste em aproximar a área abaixo da função a ser integrada

como sendo igual à área abaixo de uma função de primeiro grau, conforme mostra a figura

6.1.

y’(tk+1)

y’(tk)

tk+1tk t

f(t)

y’(t)

Figura 6.1 – Função y’(t) aproximada por uma função de primeiro grau f(t)

Na figura 6.1 a área A1 abaixo da função y’(t) e a área A2 abaixo da função f(t), no

intervalo [tk, tk+1], podem ser calculadas como sendo:

)t(y)t(y)t(d)t('yA k1k

t

t1

1k

k

−== +∫+

6.1

[ h)t('y)t('y21)t(d)t(fA 1kk

t

t2

1k

k++== ∫

+ ] 6.2

Na equação 6.2, h é o passo de cálculo, definido como sendo:

k1k tth −= + 6.3

Aproximando-se a área A1 pela área A2, obtém-se:

68

[ )t('y)t('yh21)t(y)t(y 1kkk1k ++ +=− ] 6.4

A equação 6.4 é a fórmula de Heun, utilizada para obter a solução da equação

diferencial y’(t) no instante tk.

Considere-se o sistema do tipo:

)t(u]B[]x[]A[]x[ +=•

6.5

onde

)]t('x[)t(d]x[d)]t(x[ ==

•

6.6

Aplicando a Fórmula de Heun no sistema de estado, tem-se:

)])t(x[)]t(x([h21)]t(x[)]t(x[ 1kkk1k +

••

+ +=− 6.7

Substituindo a equação 6.5 em 6.7, obtém-se:

))t(u]B[)]t(x[]A[)]t(u[]B[)]t(x[]A([h21)]t(x[)]t(x[ 1k1kkkk1k +++ ++++= 6.8


)t(u]B[2h)t(u]B[

2h)]t(x[]A[

2h)]t(x[)]t(x[]A[

2h)]t[(x 1kkkk1k1k +++ +++=− 6.9

Na equação 6.9, colocando os termos em evidência, obtém-se:

[ )t(u)t(u]B[2h)]t(x[]A[

2hI)]t(x[]A[

2hI 1kkk1k ++ ++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − ] 6.10

Escrevendo a equação 6.10 na forma de sistema, tem-se:

[ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−= +

−

+ )t(u)t(u]B[2h)]t(x[]A[

2hI]A[

2hI)]t(x[ 1kkk

1

1k ] 6.11

69

A equação 6.11 representa a solução da equação de estado, por meio do método

de integração trapezoidal.

6.3 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO POR MEIO DE MÉTODO

ANALÍTICO

As equações de estado para uma linha monofásica representada por meio de uma

cascata contendo uma quantidade genérica de circuitos π, podem ser escritas sob a forma de

um sistema não-homogêneo:

)t(u]B[]x[]A[]x[ +=•

6.12

Na equação 6.12, [X] é o vetor de estados que possui dimensão ((2n) x 1)), [A] é

uma matriz quadrada que possui dimensão ((2n) x (2n)) e [B] é uma matriz coluna que possui

dimensão ((2n) x 1). A função u(t) é a entrada que será aplicada no sistema. O vetor [X] é

denominado vetor de estado, enquanto que as matrizes [A] e [B] são denominadas matrizes de

estado. O vetor é a derivada do vetor em relação ao tempo. •

]X[ ]X[

A solução geral do sistema não-homogêneo 6.12 pode exprimir-se como

(BOYCE, 1994):

)t(bxcxcx )n2()1( n1 +++= K 6.13

Na equação 6.13, )n2()1( xcxcx n1h ++= K é a solução geral do sistema

homogêneo que expressa uma combinação linear das soluções de um conjunto fundamental

de soluções e é uma solução particular do sistema não-homogêneo. )n2()1( x,,x K )t(bx p =

Para encontrar uma solução particular do sistema não-homogêneo, existem vários

procedimentos que são:

70

• Método da diagonalização da matriz A;

• Método dos coeficientes indeterminados;

• Método da variação dos parâmetros;

O método a ser utilizado neste trabalho para obter a solução analítica das equações

de estado que representam a linha de transmissão, é a diagonalização da matriz A.

6.3.1 Obtenção da solução analítica utilizando o método da diagonalização da matriz A

Conforme verificado no capítulo 5, o sistema de estado é um sistema acoplado,

pois a matriz A não é uma matriz diagonal. No entanto, a matriz A pode ser transformada em

uma matriz diagonal por meio do uso de uma transformação de similaridade. Ou seja,

transformando-o em um sistema equivalente desacoplado, no qual cada equação contém uma

única incógnita (BOYCE, 1994) e (CHEN, 1984).

Considere a seguinte transformação:

]y][T[]x[ = 6.14

Na equação 6.14, a matriz [T] é uma matriz cujas colunas são os autovetores

associados com os autovalores da matriz [A] que possui dimensão ((2n) x (2n)), e [y] é um

vetor que possui dimensão ((2n) x 1).

Ou seja:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)n2)(n2(2)n2(1)n2(

)n2(11211

TTT

TTT

TK

M

K

6.15

71

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)n2(

1

y

yy M 6.16


)t(u]B[]y][T][A[]y[]T[ +=•

6.17

Multiplicando a equação 6.17 por [T]-1, obtém-se:

)t(u]B[]T[]y][T][A[]T[]y[]T[]T[ 111 −−•

− += 6.18

A equação 6.18 pode ser escrita como:

]G[]y[][]y[ +λ=•

6.19

Na equação 6.19, [λ] é uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal

principal são os autovalores da matriz [A] e [ ] [ ] [ ] )t(uBTG 1−= .

A matriz [λ] e [G] possuem os seguintes elementos:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λλ

=λ

)n2(

2

1

][O

6.20

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)n2(

2

1

g

gg

]G[M

6.21

A equação 6.19 é um sistema de 2n equações diferenciais desacopladas em

y1(t),K ,y(2n)(t). Portanto, as 2n equações diferenciais podem ser resolvidas separadamente.

Em forma escalar, a equação 6.19 tem o formato:

72

kkkk G)t(y)t(y +λ=•

6.22

k = 1,K , 2n

Reescrevendo a equação 6.22, tem-se:

kkkk G)t(y

dtdy

+λ= 6.23

Dividindo ambos os lados da equação 6.23 por kλ :

k

kkk

k

k G)t(ydt

dyλ

+λ=

λ 6.24

Multiplicando ambos os lados da equação 6.24 por dtkλ , tem-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+λ=k

kkkk

G)t(ydtdy 6.25

Dividindo ambos os lados da equação 6.25 por ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+k

kk

G)t(y , tem-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+=λ

k

kk

kk G

)t(y

dydt 6.26

Primitivando ambos os lados da equação 6.26, tem-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+=+λk

kkk

G)t(ylnCt 6.27

Utilizando a definição de logaritmo natural, tem-se:

k

kk

tk

G)t(yeC k

λ+=λ 6.28

k

ktkk

GeC)t(y k

λ−= λ 6.29

73

Na equação 6.29, os Ck são constantes arbitrárias.

Considerando t = 0 e yk(t) = 0 na equação, tem-se:

k

k)o(k

GeC0 k

λ−= λ 6.30

k

kk

GC0

λ−= 6.31

k

kk

GC

λ= 6.32


k

kt

k

kk

Ge

G)t(y k

λ−

λ= λ 6.33

Colocando k

kGλ

da equação 6.33 em evidência, tem-se:

( 1eG

)t(y t

k

kk

k −λ

= λ ) 6.34

Portanto, yk(t) para k = 1,K , 2n pode ser escrito da seguinte forma:

( )

( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−λ

−λ

−λ

=

λ

λ

λ

1eG

1eG

1eG

)t(y

t

)n2(

)n2(

t

2

2

t

1

1

k

)n2(

2

1

M

6.35


74

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)n2(

1

)n2)(n2(2)n2(1)n2(

)n2(11211

y

y

TTT

TTT

x M

K

M

K

6.36

Desenvolvendo a equação 6.36, tem-se.

)n2()n2)(n2(22)n2(11)n2()n2(

)n2()n2(12121111

yTyTyTx

yTyTyTx

+++=

+++=

K

M

K

6.37

Substituindo a equação 6.35, na última equação do sistema 6.37, tem-se:

( ) ( ) ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λ= λλλ 1e

GT1e

GT1e

GTx t

)n2(

)n2()n2)(n2(

t

2

22)n2(

t

1

11)n2()n2(

)n2(21 K ) 6.38

Reescrevendo a equação 6.38 na forma genérica, tem-se:

( )1eG

Tx t

j

jn2

1jj)n2()n2(

j −λ

= λ

=∑ 6.39

Testes preliminares, realizados com a matriz [A] da linha que será analisada neste

trabalho, mostraram que os elementos da matriz [ ]λ são autovalores complexos, que

aparecem aos pares conjugados ( jjj biaz ±= ), e seus correspondentes autovetores são

também complexos conjugados.

Sendo assim, tem-se:

jjj

jj)n2( dic

GT ±=

λ 6.40

Na equação 6.40, são valores reais. jc e jd

Portanto, tem-se:

( )( )1edicx t)bia(n2

1jjj)n2(

jj −+= ±

=∑ 6.41

75

Utilizando a fórmula de Euler (BOYCE, 1994), sabe-se que:

( )t(senbi)t(bcosee jjtat)bia( jjj +=± ) 6.42


( ) ( )[ ]1)t(senbi)t(bcosedicx jjta

n2

1jjj)n2(

j −++= ∑=

6.43

Desenvolvendo a equação 6.43, obtém-se:

( )[ ] ( )[ ]jjjjjta

n2

1jjjjjj

ta)n2( d)t(bcosd)t(bsenceic)t(bsend)t(bcoscex jj −++−−= ∑

=

6.44

Tomando a parte real e imaginária da equação 6.44 como sendo as soluções

linearmente independentes procuradas, tem-se:

( jjjjjta

1 c)t(bsend)t(bcosce)t(P j −−= )

)

6.45

( jjjjjta

2 d)t(bcosd)t(bsence)t(P j −+= 6.46

Desse modo, é possível mostrar a solução geral da última equação no sistema

6.37, que é dada por:

)t(P)t(Px 2j

n2

1j1j)n2( β+α= ∑

=

6.47

Na equação 6.47, os termos jα e jβ são constantes arbitrárias; os termos P1(t)

P2(t) são soluções reais.

6.3.2 Método dos coeficientes indeterminados

O método dos coeficientes indeterminados é usualmente empregado em

problemas com a equação homogênea de coeficientes constantes e com o termo

76

não-homogêneo limitado a uma classe relativamente pequena de funções, ou seja, quando os

termos da matriz B forem constituídos por funções polinomiais, exponenciais, senos e

co-senos. A idéia principal do método consiste em admitir a solução particular xp como uma

expressão similar à da função da matriz B, envolvendo coeficientes incógnitos que são

determinados ao se tentar satisfazer a equação diferencial (BOYCE, 1994).

Existem três regras para a definição da solução particular:

Regra Básica:

Se o termo da matriz B é uma das funções da coluna esquerda da tabela abaixo, a

solução particular é escolhida no formato da coluna direita.

Termos da matriz B Solução particular xp

keax Ceax

kxm Cmxm+…+C1x+C0

Kcos(ωt) ou Ksen(ωt) Ccos(ωt)+Dsen(ωt)

Tabela 6.1 – Soluções obtidas pelo método dos coeficientes indeterminados

Regra da modificação:

Se a função da matriz B é uma solução da equação homogênea, então multiplique

a escolha da regra anterior por x (ou por x2, x3, dependendo do número de repetições das

raízes da equação característica).

Regra da soma:

Se a função da matriz B é a soma de funções da coluna esquerda da tabela acima,

então escolha a solução particular como a soma dos formatos das correspondentes funções à

direita.

77

6.3.3 Método da variação dos parâmetros

Este método foi desenvolvido por Lagrange, e completa o método dos coeficientes

indeterminados. A principal vantagem do método da variação dos parâmetros é ser um

método geral. Em princípio, pelo menos, pode ser aplicado a qualquer equação e não exige

hipóteses detalhadas sobre a forma da solução.

Usa-se o método da variação de parâmetros, a fim de construir uma solução

particular, e daí uma solução geral, para a equação não homogênea.

A idéia básica do método da variação de parâmetros é substituir as constantes c da

equação 6.13 por funções vetoriais , a fim de determinar essas funções de modo que a

equação resultante seja uma solução da equação não-homogênea (BOYCE, 1994).

)t(v

A solução geral do sistema homogêneo xh é dada por:

)t(v)t(x Ψ= 6.48

Derivando x, dado pela equação 6.48, e exigindo que a equação 6.12 seja

satisfeita, obtém-se:

)t(u]B[)t(v)t(]A[)t(v)t()t(v)t( '' +Ψ=Ψ+Ψ 6.49

Uma vez que é uma matriz fundamental, ; portanto, a

equação 6.49 reduz-se a:

)t(Ψ )t(]A[)t( ' Ψ=Ψ

)t(u]B[)t(v)t( ' =Ψ 6.50

Sabe-se que é não-singular, então existe, logo obtém-se: )t(Ψ )t(1−Ψ

)t(u]B)[t()t(v 1' −Ψ= 6.51

78

Assim, para , pode-se escolher qualquer vetor da classe que obedece à

equação 6.51; esses vetores são determinados a menos de uma constante(vetorial) aditiva

arbitrária; então, simboliza-se por:

)t(v

)t(v

c)t(d)t(u]B)[t()t(v 1' +Ψ= ∫− 6.52

Onde o vetor constante c é arbitrário. Finalmente, a substituição de , na

equação 6.49, leva à solução x do sistema 6.12:

)t(v

)t(d)t(u]B)[t()t(c)t(x 1∫

−ΨΨ+Ψ= 6.53

Uma vez que c é arbitrário, qualquer condição inicial num ponto pode ser

conseguida por uma escolha apropriada de c. Portanto, toda solução geral do sistema 6.12 está

contida na equação 6.53.

0tt =

6.4 CONCLUSÃO

As soluções das equações de estado foram obtidas com a utilização de métodos

numéricos e analíticos.

O método numérico tem a finalidade de conseguir uma aproximação da solução

exata de uma equação diferencial utilizando o método de integração trapezoidal.

O método analítico obtém uma solução exata da equação diferencial utilizando o

método da diagonalização da matriz A.

79

7 APLICAÇÃO DO MODELO PROPOSTO

7.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, a técnica de variáveis de estado será utilizada para representar uma

linha monofásica. O modelo proposto será utilizado para simular a energização da linha,

considerando a mesma em aberta, em curto-circuito e em carga. Nesse caso será considerado

que a carga possui o mesmo comportamento apresentado pela impedância característica da

linha. Serão mostrados resultados obtidos a partir da solução numérica e da solução analítica

das equações de estado.

7.2 DESCRIÇÃO DA LINHA DE TRANSMISSÃO

Considerou-se uma linha de transmissão monofásica de 10 km de comprimento

que será energizada por meio de uma fonte de tensão constante de 20 kV. Essa linha será

representada por meio de uma cascata de 100 circuitos π.

A cascata de circuitos π será descrita por meio de variáveis de estado, conforme

mostrado no capítulo 5. As tensões e correntes na linha serão obtidas por meio da solução

numérica (método de integração trapezoidal) e por meio da solução analítica das equações de

estado, que neste trabalho serão evoluídas no ambiente MATLAB.

80

A Tabela 7.1 mostra os valores dos parâmetros da linha mostrada na Figura 7.1.

Considerou-se que os parâmetros longitudinais da mesma podem ser considerados constantes

(MACÍAS et al. 2005).

Parâmetro valor

L 1x10-3 H/km

G 0,556x10-6 S/km

C 11,11x10-9 F/km

R 0,05 Ω/km

Tabela 7.1 – Valores dos parâmetros da linha de transmissão

7.3 ENERGIZAÇÃO DA LINHA EM ABERTO

A Figura 7.1 mostra uma representação da linha monofásica com um dos

terminais em aberto, energizada por uma fonte de tensão constante de 20 kV. A chave S1 é

fechada no tempo t =0.

S1

B A

u(t)= 20 kV

solo

Figura 7.1 – Energização da linha em aberto

A Figura 7.2 mostra a tensão no terminal B da linha em aberto, obtida por meio da

solução numérica das equações de estado, considerando um passo de cálculo h = 0,05 µs.

81

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.2 – Tensão no terminal B da linha em aberto, obtida a partir do modelo numérico

A Figura 7.3 mostra a tensão no terminal B da linha, obtida por meio da solução

analítica das equações de estado, considerando um passo de cálculo h = 0,05 µs.

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.3 – Tensão no terminal B da linha em aberto, obtida a partir do modelo analítico

Nas figuras 7.2 e 7.3, observa-se que a tensão no terminal B da linha em aberto

atinge, aproximadamente, duas vezes o valor da tensão da fonte, que é o resultado esperado de

acordo com o capítulo 4.

82

7.4 ENERGIZAÇÃO DA LINHA ALIMENTANDO UM TRANSFORMADOR EM

VAZIO

A Figura 7.4 mostra uma representação da linha monofásica alimentando um

transformador em vazio, energizada por uma fonte de tensão constante de 20 kV. A chave S1

é fechada no tempo t =0.

S1

B A

CT = 6ηF u(t)= 20 kV

solo

Figura 7.4 – Energização da linha que alimenta um transformador em vazio


numérica das equações de estado, considerando um passo de cálculo h = 0,05 µs.

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.5 – Tensão no terminal B da linha alimentando um transformador, obtida a partir do

modelo numérico.

83

Na figura 7.5, observa-se que a tensão no terminal B da linha atinge,

aproximadamente, duas vezes o valor da tensão da fonte, que é o resultado esperado, de

acordo com o capítulo 4. Observa-se que a presença do transformador diminui as oscilações

presentes na tensão terminal B da linha.



Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.6 – Tensão no terminal B da linha alimentando um transformador, obtida a partir do

modelo analítico.

Na Figura 7.6, a tensão no terminal B da linha possui o comportamento análogo

ao verificado na Figura 7.5.

7.5 ENERGIZAÇÃO DA LINHA EM CURTO-CIRCUITO

A Figura 7.7 mostra uma representação da linha monofásica com um dos

terminais em curto-circuito, energizada por uma fonte de tensão constante de 20 kV. A chave

S1 é fechada no tempo t =0.

84

S1

V

B A

Figura

A Figura 7.8 mo

numérica das equações de e

Cor

rent

e no

term

inal

B d

a lin

ha (k

A)

Figura 7.8 – Corrente no ter

Observa-se, na

de tempo para percorrer a li

respeitando o tempo necess

linha.. Este resultado está de

u(t)= 20 k

solo

7.7 – Energização da linha em curto-circuito

stra a corrente no terminal B da linha obtida por meio da solução

stado, considerando um passo de cálculo h = 0,05 µs.

Tempo (µs)

minal B da linha alimentando um transformador, obtida a partir do

modelo numérico

Figura 7.8, que a corrente necessita de um determinado intervalo

nha. Em seguida, essa corrente começa aumentar, sucessivamente,

ário, para que a mesma propague-se de um terminal ao outro da

acordo com o que se encontra descrito no capítulo 4.

85

A Figura 7.9 mostra a corrente no terminal B da linha, obtida por meio da solução


Cor

rent

e no

term

inal

B d

a lin

ha (k

A)

Tempo (µs)

Figura 7.9 – Corrente no terminal B da linha alimentando um transformador, obtida a partir do

modelo analítico

Na Figura 7.9, a corrente no terminal B da linha possui o comportamento análogo


7.6 ENERGIZAÇÃO DA LINHA CONECTADA A UMA CARGA IGUAL À SUA

IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA

De acordo com o capítulo 3, sabe-se que a impedância característica da linha é

dada por:

YZ)(ZC =ω 7.1

Na equação 7.1, Z é a impedância longitudinal da linha e Y, a admitância

transversal.

86

Substituindo os dados da linha, mostrados na tabela 7.1, calculou-se a impedância

característica da linha, em uma faixa de freqüência compreendida entre 10 Hz e 1 MHz.

Constatou-se que essa linha possui uma impedância característica . Portanto, a

impedância característica da linha pode ser representada por uma resistência de 300 Ω.

Ω300Zc ≅

A Figura 7.10 mostra uma representação da linha monofásica, alimentando uma

carga resistiva de 300 Ω, que corresponde ao valor da impedância característica dessa linha.

A B

Zc=300 Ω u(t) = 20 kV

S1

solo

Figura 7.10 – Energização da linha conectada a uma resistência de valor igual a Zc


numérica das equações de estado, considerando um passo de cálculo h = 0,05 µs.

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.11 – Tensão no terminal B da linha conectada a uma carga Zc, obtida a partir do

modelo numérico

87

Na figura 7.11, observa-se que a tensão necessita de um determinado intervalo de

tempo para percorrer a linha. Em seguida, essa tensão atinge o valor da tensão da fonte, mas

não sofre reflexões.



Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.12 – Tensão no terminal B da linha conectada a uma carga Zc, obtida a partir do

modelo analítico

Na Figura 7.12, a tensão no terminal B da linha possui o comportamento análogo


7.7 VISUALIZAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DA LINHA

Mostra-se uma análise qualitativa do comportamento das ondas que se propagam

na linha de transmissão em aberto. Tal análise me realizada por meio da solução numérica das

equações de estado, considerando um passo de cálculo h=0,05µs.

88

A figura 7.13 mostra o perfil da distribuição da tensão ao longo da linha, em três

instantes de tempo, considerando o terminal B da linha em aberto.

0 2 4 6 8 10 0

5

10

15

20

25

30 Te

nsão

(kV

)

Posição ao longo da linha (km)

Sentido de propagação

t=5.95µs t=17.85µs t=29.75µs

Figura 7.13 – Perfil da distribuição da tensão ao longo da linha em aberto, antes da reflexão

A Figura 7.14 mostra o perfil da distribuição de onda com propagação no sentido

contrário da linha, em três instantes de tempo.

0 2 4 6 8 10 5

10

15

20

25

30

35

40

45

Posição ao longo da linha (km)

Tens

ão (k

V)

Sentido de propagação

t=65.45µs t=59.5µs t=47.2µs

Figura 7.14 – Perfil da distribuição da tensão ao longo da linha conectada a uma carga Zc,

após a reflexão

89

Na Figura 7.14, a onda de tensão terá o seu valor duplicado, de acordo com o

capítulo 4, e começará a propagar-se em direção ao terminal A.

7.8 ANÁLISE DA SENSIBILIDADE DOS MODELOS EM RELAÇÃO AO PASSO

DE CÁLCULO

Sabe-se que os métodos numéricos de solução de equações diferenciais são

sensíveis ao passo de cálculo utilizado na evolução das mesmas. Neste tópico, faz-se uma

análise da sensibilidade do modelo numérico e do modelo analítico, em relação ao passo de

cálculo. Serão considerados os passos de cálculo h = 0,05µs e h = 1µs.

A Figura 7.15 mostra uma representação da linha monofásica, alimentando um

transformador em vazio, energizada por uma fonte de tensão constante de 20 kV. A chave S1

é fechada no tempo t =0.

S1 A

CT = 6ηF

B

u(t)= 20 kV

solo

Figura 7.15 – Energização da linha que alimenta um transformador em vazio


numérica das equações de estado, considerando os dois passos de cálculo.

90

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.16 – Tensão no terminal B da linha, obtido por meio do método numérico, para

h=0.05µs (curva 1),h = 1µs (curva 2).

A figura 7.16 mostra que os resultados obtidos com os passos de cálculo

e são bastante diferentes. Desse modo, conclui-se que o modelo

numérico é sensível à variação do passo de cálculo.

sµ05,0h = sµ1h =


analítica das equações de estado, considerando os dois passos de cálculo.

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.17 – Tensão no terminal B da linha, obtido por meio do método analítico, para

h = 0. 05µs(curva 1), h = 1µs(curva 2)

91

A Figura 7.17 mostra que os resultados obtidos com os passos de cálculo

e são bastante semelhantes. Desse modo, conclui-se que o modelo

analítico é menos sensível à variação do passo de cálculo.

sµ05,0h = sµ1h =

7.9 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS COM O MODELO

PROPOSTO E COM OS RESULTADOS OBTIDOS COM O MICROTRAN

Para certificar-se de que as soluções analíticas das equações de estado foram

obtidas corretamente, as respostas obtidas com as mesmas foram comparadas com as

respostas obtidas com o Microtran, que é um software bastante utilizado para simulações de

transitórios eletromagnéticos em sistema de potência.

A comparação é feita para a linha em aberto, aberto com transformador, em

curto-circuito e com uma carga resistiva, considerando o passo de cálculo de h = 0,05µs.

Na figura 7.18, mostra-se a tensão no terminal B da linha em aberto, obtida por

meio da solução analítica das equações de estado.

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.18 – Tensão no terminal B da linha em aberto utilizando o modelo proposto e o

Microtran.

92

Na figura 7.19, mostra-se a tensão no terminal B da linha em aberto alimentando

um transformador, obtida por meio da solução analítica das equações de estado.

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.19 – Tensão no terminal B da linha em aberto alimentando um transformador

utilizando o modelo proposto e o Microtran.

Na figura 7.20, mostra-se a tensão no terminal B da linha em curto-circuito, obtida

por meio da solução analítica das equações de estado.

Cor

rent

e no

term

inal

B d

a lin

ha

Tempo (µs)

Figura 7.20 – Corrente no terminal B da linha em curto-circuito utilizando o modelo

proposto e o Microtran.

93

Na figura 7.21, mostra-se a tensão no terminal B da linha conectada a uma carga

resistiva Tal tensão foi obtida por meio da solução analítica das equações de estado e pelo

EMTP.

Tens

ão n

o te

rmin

al B

da

linha

(kV

)

Tempo (µs)

Figura 7.21 – Tensão no terminal B da linha conectada a uma carga resistiva utilizando o

modelo proposto e o Microtran.

As Figuras 7.18, 7.19, 7.20 e 7.21 mostram que os resultados obtidos com o

Matlab são praticamente idênticos aos resultados obtidos com o Microtran, quando utilizado

para a energização a linha.

7.10 CONCLUSÃO

Neste capítulo, foram apresentados resultados referentes à energização de uma

linha, considerando a mesma aberta, em curto-circuito e em carga, utilizando a solução

numérica e analítica das equações de estado.

Os resultados obtidos mostram que o modelo analítico é menos sensível à

variação do passo de cálculo.

94

Como resultados obtidos com o Matlab são praticamente idênticos aos resultados

obtidos com o Microtran, conclui-se que o modelo proposto possui um bom desempenho

quando é utilizado para simular a energização da linha.

95

8 CONCLUSÕES

Nesse trabalho, foi mostrada a representação de linhas de transmissão

monofásicas por meio de variáveis de estado.

Apresentaram-se as equações diferenciais que descrevem o comportamento das

correntes e tensões ao longo de uma linha de transmissão monofásica, no domínio do tempo e

no domínio da freqüência, sendo que essas equações podem ser obtidas a partir de um

elemento diferencial ao qual são aplicadas as teorias de circuitos elétricos.

Foram mostradas as soluções das equações diferenciais de uma linha de

transmissão monofásica no domínio do tempo e no domínio da freqüência. A solução, no

domínio da freqüência, é genérica e pode ser aplicada para qualquer condição da linha,

considerando os parâmetros fixos ou variáveis em função da freqüência. A solução, no

domínio do tempo, é determinada analiticamente somente para o caso de linhas sem perdas.

Para o caso de linhas com perdas, pode-se obter a solução no domínio do tempo a partir da

solução no domínio da freqüência. Para isso, devem-se utilizar técnicas de transformadas

inversas.

Foi feita uma análise qualitativa do comportamento das correntes e tensões ao

longo da linha durante o processo de energização da linha em aberto, conectada a uma carga

Zc e em curto-circuito.

96

Representou-se a linha de transmissão monofásica por meio de variáveis de

estado, utilizando o modelo de linha constituída por uma grande quantidade de circuitos π

conectados em cascata. O modelo fornece resultados diretamente no domínio no tempo e

permite analisar as correntes e tensões ao longo da linha.

Foram deduzidas as equações de estado para uma linha monofásica representada

por meio de uma cascata e contendo uma quantidade genérica de circuitos π. As soluções das

equações de estado foram obtidas com a utilização de métodos numéricos, que têm a

finalidade de conseguir uma aproximação da solução exata de uma equação diferencial, e

métodos analíticos, que obtêm uma solução exata da equação diferencial.

O modelo proposto foi utilizado para simular a energização da linha, considerando

a mesma em aberto, em curto-circuito e em carga. Foi considerado que a carga possuía o

mesmo valor apresentado pela impedância característica da linha. Os resultados foram

obtidos, a partir da solução numérica e da solução analítica das equações de estado.

Verificou-se que o modelo analítico é livre de oscilações numéricas, independentemente do

passo de cálculo utilizado. Ou seja, é menos sensível à variação do passo de cálculo.

Para comprovar a eficácia do modelo, foram feitas comparações dos resultados

obtidos pela solução analítica com os mesmos resultados obtidos a partir de um programa do

tipo EMTP. Conclui-se que o modelo proposto possui um bom desempenho.

97

REFERÊNCIAS

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DOMMEL, H.W., Digital computer solution of electromagnetic transients in single and multiphase networks, IEEE Trans. On Power App. And Systems, vol. PAS-88(4), pp. 388-399, 1969.

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