universidade estadual de santa cruz deparamentot de ... · parceiros alisson, abraão e sabrina....

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

COMPLEMENTARIDADE DE ESTADOS MESOSCÓPICOS SOB DECOERÊNCIA

DIEGO SANTANA DE ALMEIDA

ILHÉUS-BAHIA

2018

DIEGO SANTANA DE ALMEIDA

COMPLEMENTARIDADE DE ESTADOS MESOSCÓPICOS SOB

DECOERÊNCIA

Dissertação apresentada como parte dos cri-

térios para obtenção do título de mestre, sob

a orientação do Prof. Dr. José Geraldo Gon-

çalves de Oliveira Júnior.

ILHÉUS-BAHIA

2018

A447 Almeida, Diego Santana de. Complementaridade de estados mesoscópicos sob decoerência / Diego Santana de Almeida. – Ilhéus, BA: UESC, 2018.

53 f. : il. Orientador: José Geraldo G. de Oliveira Júnior. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Física. Referências bibliográficas: f. 51-53.

1. Física. 2. Mecânica quântica. 3. Fenômenos mesoscópicos (Física). 4. Espalhamento (Física). I. Título.

CDD 530

Quis custodiet ipsos custodes?

II

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao professor José Geraldo Gonçalves de Oli-

veira Júnior pela orientação, paciência, dedicação e encorajamento que foram essenciais para

conclusão deste trabalho.

Um agradecimentos especial aos meus pais, pelo amor, carinho e incentivo durante os

momentos difíceis nesses últimos anos.

Não posso deixar de mencionar as amizades formadas nesses últimos quatro anos, tornando-

os mais agradáveis. Destacando Sheldon que vem comigo desde a graduação. E também aos

parceiros Alisson, Abraão e Sabrina.

Por m, gostaria de agradecer, também, aos professores e funcionários do Departamento

de Ciências Exatas e Tecnológicas (DCET), em especial, Arturo.

Esse trabalho foi apoiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia

(FAPESB).

RESUMO

No nosso trabalho estudamos analiticamente a relação generalizada da complementaridade

no experimento de Paris, onde o estado estudado é mesoscópico. Usamos um modelo que

consiste em um oscilador principal linearmente acoplado a N outros osciladores (banho).

Inicialmente, o oscilador principal é preparado em uma superposição de dois estados coerentes

e o banho está no vácuo. A partir desse estado inicial, conseguimos obter o estado global após

a evolução temporal e quanticamos o emaranhamento do sistema, via concorrência, entre

as bipartições. Obtemos a "preditividade"e a "visibilidade"para o oscilador e vimos que a

interação deste com o banho altera as grandezas complementares. Encontramos as expansões

em tempos curtos (série de Taylor), denimos os tempos característicos e estudamos como

as fases inuenciam nestes tempos característicos.

Palavras-chave: Complementaridade, Estado Mesoscópicos, Decoerência, Correlações

Quânticas.

ABSTRACT

In this work, we studied analytically the generalized complementarity relation in Paris

experiment, where the studied state is mesoscopic. We consider a model consisted by a

main oscillator linearly coupled with N others oscillators (bath). Initially, the main oscilla-

toros were prepared in a superposition of two coherent states at vacuum. Once we have the

initial state, we derive the global state after the time evolution and we quantify the entangle-

ment between the partitions using concurrence. We also derive the "predictability" and the

"visibility" to the main oscillator and we found that the interaction between the oscillators

changes the variables of the generalized complementarity relation. We expand our relation

in Taylor series, we dene a characteristic time and we analysed how the phases change the

characteristic time.

Key-words: Complementarity, Mesoscopic States, Decoherence, Quantum Correlations.

SUMÁRIO

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Estado Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Operador Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Estados Puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.2 Estados Mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Sistemas Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 POVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Discriminação de estados quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8 Estados coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8.1 Oscilador Harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8.2 Denindo Estados Coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8.3 Deslocamento dos Estados de Vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Interação Átomo-Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.9.1 Teoria Semiclássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9.2 Teoria Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Correlações de Complementaridade Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Relação de Trialidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Complementaridade Generalizada para Estados Não-Ortogonais . . . . . . . 26

Sumário VI

4. Dinâmica dos Osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Geração de Estados Mesoscópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Modelo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Complementaridade Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1 Grandezas da Relação de Complementaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Relação da Complementaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Relação da Complementaridade em Tempos Curtos . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Grandezas Complementares no Tempo Característico . . . . . . . . . . . . . 46

6. Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1. INTRODUÇÃO

O emaranhamento é uma característica da mecânica quântica, que foi trazida à discus-

são por Einstein, Podolsky e Rosen [1]. Ele é uma propriedade quântica sem análogo na

mecânica clássica [2]. As propriedades do emaranhamento aparecem nas pesquisas principal-

mente, devido ao seu potencial como recurso para a computação e a informação quântica [3].

Dessa forma, o desenvolvimento da teoria, assim como a manipulação deste recurso, torna-se

necessário.

Uma outra propriedade intrínseca da Mecânica Quântica é a complementaridade. Dois

observáveis A e B são ditos complementares, se o conhecimento de um observável A implica

na equiprobabilidade de uma medição de B [4]. Nos últimos anos, a complementaridade tem

sido investigada em experimentos com morte súbita de emaranhamento [5], feixes atômicos

[6], apagadores quântico [4, 7, 8], para citar alguns. Estudos sobre a possibilidade de quan-

ticar a dualidade onda-partícula envolviam inicialmente a preditividade, relacionada à qual

caminho, e a visibilidade, interferência, que formavam relação de complementaridade [9, 10].

Posteriormente, é formulada uma generalização da complementaridade onde é incluída uma

propriedade bipartite, o emaranhamento, chamada de relação de trialidade [11].

Nos capítulos 2 e 3 iremos apresentar as ferramentas que utilizamos no desenvolvimento

desse trabalho. No Capítulo 2 revisaremos conceitos básicos sobre mecânica quântica. No

Capítulo 3 discutiremos as grandezas preditividade, visibilidade e concorrência, em sistemas

físicos descritos em bases ortogonais e não-ortogonais1. Apresentaremos também a chamada

relação de trialidade, que reúne em uma igualdade as grandezas supracitadas para sistemas or-

togonais e, de maneira semelhante, descreveremos uma relação para sistemas não-ortogonais,

onde há necessidade de acrescentarmos mais uma grandeza para obtermos uma igualdade

1 Por motivo de simplicação, a partir daqui, chamaremos sistemas físicos descritos em bases ortogonais e

não-ortogonais de sistemas ortogonais e não-ortogonais.

1. Introdução 2

análoga à relação de trialidade. No Capítulo 4 apresentaremos um experimento, assim como

o modelo usado para o estudo do experimento. No Capítulo 5 obtemos a concorrência entre

as bipartições, além da preditividade e a visibilidade para o oscilador principal. Ao realizar

uma expansão em série de Taylor, obtivemos o tempo característico e estudamos o com-

portamento. Por m, obtivemos uma relação entre as grandezas obtidas, a concorrência, a

preditividade e a visibilidade. Encerramos esse texto com o capítulo de conclusão.

2. PRELIMINARES

Neste capítulo, apresentaremos alguns conceitos básicos da mecânica quântica que serão

utilizados no desenvolvimento deste trabalho. Revisaremos alguns fundamentos como esta-

dos quânticos e operador densidade, assim como obtenção de suas respectivas equações de

evolução no tempo. Por m, discutiremos o emaranhamento, a concorrência e a menor uni-

dade de informação quântica: o qubit. As Seções 2.1, 2.2 e 2.3 foram baseadas na referência

[12, 13, 14]. A Seção 2.4 baseada em [11]. Na Seção 2.5, revisaremos medidas de operado-

res positivamente valorados (POVM), baseados em [11, 15]. Na Seção 2.6, mostraremos um

exemplo de discriminação de estados usando a medição de von Neumann e POVM. A Seção

2.7 baseia-se na referência [14]. A Seção 2.8 é baseada em [11, 14]. E, por m, a Seção 2.9 é

baseada em nas referências [16, 17].

2.1 Estado Quântico

A mecânica quântica é a teoria física adequada para descrever o comportamento de sis-

temas microscópicos, tais como átomos e fótons. Os estados quânticos desses sistemas são

caracterizados por |ψ〉, que é um vetor pertencente a um espaço vetorial complexo denomi-

nado de espaço de Hilbert H. A partir do vetor estado, podemos obter toda informação

desejada do sistema.

Em geral, nos problemas de mecânica quântica precisa-se conhecer a dinâmica do sistema

desejado. Para isso, precisamos conhecer a evolução temporal do estado |ψ〉. Essa dinâmica

é dada pela equação de Schrödinger:

i~d

dt|ψ(t)〉 = H(t) |ψ(t)〉 , (2.1)

onde H(t) é o operador Hamiltoniano do sistema.

2. Preliminares 4

Uma vez que essa equação é determinística, ao resolvê-la, conseguimos obter o vetor de

estado |ψ(t)〉 em qualquer tempo t, desde que seja conhecido o estado inicial |ψ(to)〉. A

solução da equação (2.1) é da forma:

|ψ(t)〉 = U(t, t0) |ψ(to)〉 , (2.2)

onde U(t, t0) é um operador linear unitário denominado operador evolução.

Se substituirmos (2.2) em (2.1), para uma Hamiltoniana independente do tempo, o ope-

rador evolução ca:

U(t, t0) = exp

[−iH(t− t0)

~

]. (2.3)

Usando o operador evolução temporal podemos obter o estado do sistema em um dado

tempo t, aplicando (2.3) no estado inicial (2.2).

2.2 Operador Densidade

De maneira geral, nem todo sistema físico pode ser descrito por um vetor de estado

(ver Secção 2.2.2). Dessa forma, precisamos utilizar um ferramenta matemática mais geral,

conhecida como operador densidade.

Nesse formalismo, os estados do sistema são representados por operadores positivos e

hermitianos de traço unitário, que são chamados de matrizes densidade.

Estes estados podem ser divididos em: puros e mistos, que serão explorados nas próximas

seções.

2.2.1 Estados Puros

O estado de um sistema é dito puro, quando temos probabilidade 1 de encontrá-lo em um

estado |ψ〉. O operador densidade para um estado puro é dado por:

ρ = |ψ〉〈ψ| . (2.4)

Neste caso, ρ que pode ser interpretado com um projetor sobre o estado |ψ〉, o qual possui

as propriedades já citadas:

2. Preliminares 5

a) Traço unitário

Tr(ρ) = 1; (2.5)

b) Hermiticidade

ρ = ρ†; (2.6)

c) Positividade semidenida

ρ > 0; (2.7)

d) Idempotência

ρ2 = ρ (2.8)

Como ambos os formalismos, vetorial |ψ(t)〉 e o matricial ρ(t), descrevem o mesmo sistema

físico, também podemos obter uma equação de evolução temporal para o operador densidade.

Derivando a equação (2.4) e usando (2.1), temos

d

dtρ(t) =

d

dt

(|ψ(t)〉

)〈ψ(t)|+ |ψ(t)〉 d

dt

(|ψ(t)〉

)=

1

i~H(t) |ψ〉〈ψ|+ 1

(−i~)|ψ〉〈ψ| H(t)

=1

i~

[H(t), ρ

].

Dessa forma, encontramos a equação de evolução temporal para o operador densidade co-

nhecida como equação de Liouville-von Neumann [14].

i~d

dtρ(t) =

[H(t), ρ

]. (2.9)

A evolução do operador densidade pode ser obtida por meio de (2.9), uma vez que seja

conhecida a hamiltoniana.

Além da representação de um sistema físico, podemos utilizar o operador densidade para

calcular o valor esperado de um observável do sistema. Suponhamos que seja O um operador

2. Preliminares 6

hermitiano, o valor esperado é dado por:

〈O〉 = 〈ψ|1O|ψ〉

=∑n

〈φn| O |ψ〉〈ψ| |φn〉

=∑n

〈φn|ψ〉〈ψ| O |φn〉

= Tr(ρO), (2.10)

onde zemos 1 =∑

n |φn〉〈φn| .

Este segundo formalismo descreve o mesmo sistema físico que o vetor de estado. Dessa

forma, os resultados encontrados devem ser iguais, independentemente da forma utilizada.

2.2.2 Estados Mistos

Nas seções anteriores, descrevemos rapidamente a dinâmica de sistemas que podem ser

descritos pelo formalismo do vetor de estado e do operador densidade.

Porém, existem sistemas que não são completamente descritos se usarmos o vetor de

estado. Podemos citar, como exemplo, o experimento de Stern-Gerlach [14] que consiste em

um forno aquecido com vapor de átomos de prata (Ag) e que possui um pequeno orifício pelo

qual escapa um feixe desses átomos. Esse feixe passará por um colimador, e, posteriormente,

estará sujeito à ação de um campo magnético, que varia espacialmente, e, após a interação

com o campo magnético, é medido por um detector. O átomo de prata é composto por 47

elétrons, e 46 dessas partículas formam uma nuvem de elétrons de simetria esférica, onde o

momento angular é nulo. Dessa forma, o momento angular do átomo será proporcional ao spin−→S do 47o elétron. Ao se encontrar com o detector, os átomos de prata tem uma probabilidade

p1 de estar no estado |↑〉, spin para cima, e probabilidade p2 = 1 − p1 de estar no estado

|↓〉, spin para baixo. Quando o átomo é ejetado pelo forno, não sabemos em qual estado o

átomo se encontra até que este seja medido pelo detector. A única informação conhecida

após a medição é sua distribuição de probabilidades. Dizemos que os sistemas físicos deste

tipo estão em um estado misto sendo o formalismo do operador densidade necessário para

descrição de tais sistemas.

O operador densidade de um sistema físico que não pode ser descrito com um estado

2. Preliminares 7

puro, como o de Stern-Gerlach, é dado por:

ρ(t) =n∑i=1

pi(t) |ψi(t)〉〈ψi(t)| , (2.11)

onde pi(t) são as probabilidades do sistema ser encontrado no estado |ψi(t)〉 e 0 ≥ pi(t) ≥ 1.

Essas probabilidades obedecem à relaçãon∑i=1

pi(t) = 1, (2.12)

de forma que, conforme podemos facilmente vericar, o operador densidade ρ(t) satisfaz a

propriedade do traço unitário (2.5), assim como as propriedades (2.6) e (2.7). Apesar disso,

a idempotência não ocorre, mas (2.2.1) pode ser substituída por:

ρ2 ≤ ρ, (2.13)

onde a igualdade só será válida quando as probabilidades pi(t) em (2.11) podem ser subs-

tituídas por pi(t) = δi,1, ou seja, o sistema está em um estado puro.

2.3 Sistemas Compostos

Um sistema é dito composto quando este é constituído por duas ou mais partes, onde essas

partes são chamadas de subsistemas. O exemplo mais simples desse sistema é um sistema de

duas partículas, onde cada uma dessas partículas correspondem a um subsistema.

Existe um espaço de Hilbert Hi para cada subsistema i associado. Para caso de duas par-

tículas temos HA e HB com as bases |γn〉A e |φm〉B. O produto tensorial dos subespaços

de Hilbert HA e HB é o espaço de Hilbert do sistema composto HAB = HA⊗HB, onde a sua

base é constituída pelo produto tensor de cada um dos subsistemas. Dessa forma, um vetor

|ψ〉AB pertencente ao espaço HAB pode ser escrito como:

|ψ〉AB =∑n,m

cnm |γn〉A ⊗ |φm〉B ≡∑n,m

cnm |γn〉A |φm〉B . (2.14)

onde |cnm|2 é a probabilidade de entrar o sistema no estado |γn〉A |φm〉B.

Uma vez que conhecemos o vetor de estado, podemos descrever esses sistemas no forma-

lismo de operador densidade, que é dado por:

ρAB =∑n,m

∑n′,m′

pnm,n′m′ |γn〉A |φm〉B 〈γn′ |A 〈φm′|B , (2.15)

2. Preliminares 8

onde ∑n,m

pnm =∑n,m

cnmc∗nm = 1.

Além disso, podemos estar interessados somente em informações de uma parte do sis-

tema composto. Se denirmos como ρA (ρB) o operador densidade do subsistema A(B),

respectivamente, podemos obtê-lo usando a operação traço parcial, dada por:

ρA(B) = TrB(A)(ρAB). (2.16)

Os operadores ρA e ρB são conhecidos como operadores densidade reduzidos e possuem as

propriedades estudas na Seção 2.2.

As operações até aqui estudadas serão utilizadas no estudo de emaranhamento, bem como

em todo o nosso trabalho.

2.4 Emaranhamento

O emaranhamento é uma característica contra-intuitiva que surge devido à linearidade do

espaço de HilbertH. Para saber se um sistema físico está ou não emaranhado consideraremos

um sistema físico bipartite, ou seja, que possui duas partes, que chamaremos de S1 e S2 .

Considere também que o sub-sistema S1(S2) é descrito por uma base completa |u〉(|v〉),

respectivamente. Podemos descrever o estado do sistema global pelo vetor de estado

|φS〉 = |u〉 |v〉 , (2.17)

que é um estado dito fatorável ou decomponível [18]. Com o vetor de estado (2.17), podemos

escrever o valor esperado de um observável arbitrário A = A1⊗12 (B = 11⊗B2) no subsistema

S1 (S2) será, respectivamente, como:

〈A〉 = 〈u|A1|u〉 ,

〈B〉 = 〈v|B2|v〉 .

Por outro lado, se considerarmos o observável A1 ⊗ B2 de S, o valor esperado deste torna-se

〈A1 ⊗ B2〉 = 〈u|A1|u〉〈v|B2|v〉 , (2.18)

2. Preliminares 9

ao considerar o vetor do estado (2.17). Podemos perceber que, para um estado arbitrário

fatorável na forma de (2.17), a média de um observável em S é o produto das médias dos

observáveis em S1 e S2. Com isso, a média do observável em S é decomponível.

Por outro lado, consideraremos o seguinte vetor de estado físico de S

|ψS〉 =|u1〉 |v1〉+ |u2〉 |v2〉√

2. (2.19)

Neste caso, os respectivos valores esperados dos observáveis A = A1⊗ 12 e B = 11⊗ B2 serão

〈A〉 =(〈u1|A1|u1〉+ 〈u2|A1|u2〉)

2

〈B〉 =(〈v1|B2|v1〉+ 〈v2|B2|v2〉)

2,

respectivamente. Já para o observável global A1 ⊗ B2 de S, o valor esperado torna-se

〈A1 ⊗ B2〉 =1

2[〈u1|A1|u1〉〈v1|B2|v1〉+ 〈u2|A1|u2〉〈v2|B2|v2〉 (2.20)

+2Re 〈u1|A1|u2〉〈v1|B2|v2〉],

onde é fácil observar que

〈A1 ⊗ B2〉 6= 〈A〉〈B〉. (2.21)

Este resultado mostra que, estados cuja forma equacional se assemelha à (2.19), conhe-

cidos como estados tipo gato de Schrödinger ou simplesmente estados tipo gato[19], não são

decomponíveis, pois a média do observável arbitrário em S difere do produto das médias

marginais dos observáveis em S1 e S2. Portanto, existe uma correlação quântica entre S1

e S2. Esta correlação é conhecida como emaranhamento, que segundo Schrödinger é uma

característica peculiar da Mecânica Quântica sem análogo na Mecânica Clássica [2, 20].

Apesar da denição, nem sempre é tarefa fácil saber se um operador densidade arbitrário

está emaranhado, para isso existem testes e métodos que buscam vericar se o operador está

emaranhado. Discussões sobre esses critérios estão melhores descritos em [11].

2.5 POVM

Segundo von Neumann [21], uma teoria de medição fornece informações sobre as proba-

bilidades dos resultados que podem ser obtidos após uma medição sobre o sistema quântico.

2. Preliminares 10

O número de resultados possíveis em uma medida está ligado ao número de estados or-

togonais do operador identidade usado para a descrição do sistema quântico no estado de

Hilbert. Isso deixa evidente que não podemos ter um número de medidas maior do que o nú-

mero de dimensões. Entretanto, podemos realizar uma medida projetiva em uma base maior

quando usamos POVM, positive-operator valued measure. Como exemplo, um sistema físico

que pode ser descrito no espaço de Hilbert em duas dimensões (2D) podem ser realizadas

medições projetivas em uma dimensão maior, como 3D.

A razão da nomenclatura é devido ao fato de que os operadores M †M serem sempre

positivos. Para mostrar que os operador M †M são positivos, eles devem satisfazer a relação:

⟨M †Mρ, ρ

⟩≥ 0. (2.22)

Podemos demonstrar a relação acima utilizando a denição de produto interno entre

operadores⟨A, B

⟩= Tr

(A†B

). Neste caso, temos:

⟨M †Mρ, ρ

⟩= Tr

[(M †Mρ

)†ρ

]= Tr

[ρMM †ρ

]=

∑l.l′

〈l| ρM |l′〉〈l′| M †ρ |l〉

=∑l.l′

∣∣ 〈l′| Mρ |l〉∣∣2.

Uma vez que, o quadrado do módulo de número completo é sempre maior ou igual a zero,

está demonstrado (2.22).

2.6 Discriminação de estados quânticos

Amedição anteriormente apresentada, POVM, tem uma importante aplicação na descrição

de estados. Para exemplicar, considere estados não ortogonais utilizando a medição de von

Neumann e POVM [3].

Consideremos que Alice prepara um dos estado

|ψ1〉 = |0〉 (2.23)

2. Preliminares 11

ou

|ψ2〉 =1√2

(|0〉+ |1〉

), (2.24)

e Bob tentará determinar o estado preparado por Alice. Uma vez que, um estado quântico

não pode ser clonado [22], Bob realizará apenas uma medição.

Em seguida, Alice diz para Bob que ele tem 50% de chance de realizar uma medição sobre

os estados |ψ1〉 ou |ψ2〉. Dessa forma, o operador densidade que Bob realizará é dado por

ρ =1

2

(|ψ1〉〈ψ1|+ |ψ2〉〈ψ2|

). (2.25)

Inicialmente, vamos considerar que Bob utilize a medição de von Neumann para tentar

discriminar os estados em questão. Neste caso, a probabilidade de Bob obter k, é dada por:

pk = Tr(Pkρ), (2.26)

onde k = 0 e 1, Pk = |k〉〈k|. Dessa forma, usando (2.25) e (2.26), temos:

pk =1

2Tr[Pk(|ψ1〉〈ψ1|+ |ψ2〉〈ψ2|

)]. (2.27)

Após a realização da medição, Bob pode somente obter os resultados k = 0, 1. De acordo

com a Tabela 2.1, Bob tem 25% de chance de obter 1, o que faria com que ele soubesse que

realizou uma medição sobre o estado |ψ2〉. Porém, Bob tem 75% de obter 0, sendo assim, ele

não conhece o estado no qual realizou a medição.

Tab. 2.1: Resultados de Bob ao tentar discriminar os estados |ψ1〉 e |ψ2〉 usando a medição de von

Neumann.

k Tr(Pk |ψ1〉〈ψ1|

)Tr(Pk |ψ2〉〈ψ2|) pk

0 1 0.5 0.75

1 0 0.5 0.25

Considerando agora, que Bob faz uso de POVM para discriminar os estados |ψ1〉 e |ψ2〉,

Bob escolhe o seguinte conjunto de POVM:

E1 ≡√

2

1 +√

2|1〉〈1| , (2.28)

2. Preliminares 12

E2 ≡√

2

1 +√

2

(|0〉 − |1〉)(〈0| − 〈1|)2

, (2.29)

E3 ≡ 1− E2 − E1, (2.30)

onde (2.30) está associado a ausência de informação sobre qual estado foi realizado a medição.

Dessa forma, a probabilidade de Bob obter n é dada por:

pn = Tr(Enρ

), (2.31)

onde n = 1, 2, 3. Usando (2.25), podemos reescrever a equação acima como:

pn =1

2Tr[En(|ψ1〉〈ψ1|+ |ψ2〉〈ψ2|

)]. (2.32)

Após realizar a medição, Bob pode obter os resultados n = 1, 2, 3. Como mostrado na

Tabela 2.2, Bob tem 14.6% de chance de obter o resultado 1(2), sabendo que realizou uma

medida sobre o estado |ψ2〉(|ψ1〉), respectivamente. Porém, tem 70.8% de chance de não

conhecer o estado em que realizou a medição. Apesar disso, 29.2% é o máximo que se pode

conseguir desse exemplo [23].

Tab. 2.2: Resultados de Bob ao tentar discriminar os estados |ψ1〉 e |ψ2〉 usando POVM.

n Tr(En |ψ1〉〈ψ1|

)Tr(En |ψ2〉〈ψ2|) pn

1 0 0.292 0.146

2 0,292 0 0.146

3 0,708 0.708 0.708

2.7 Qubit

A menor unidade de informação clássica é bit, que pode assumir os valores 0, 1. Na

informação quântica, existe uma unidade correspondente chamada de "bit quântico"1 ou

qubit, que pode ser descrito em uma base ortonormais em duas dimensões |0〉 , |1〉. De

forma geral, o qubit pode ser como

a |0〉+ b |1〉 , (2.33)

1 Do inglês, quantum bit

2. Preliminares 13

onde a e b são número complexos que satisfazem a relação |a|2 + |b|2 = 1. Neste sentido,

podemos medir |0〉(|1〉) com probabilidade |a|2 (|b|2), respectivamente.

2.8 Estados coerentes

Os estados coerentes são chamados de estados semiclássicos. Embora sejam estados quân-

ticos, os valores médios das grandezas dinâmicas, como a posição e o momento, são mais

próximos dos valores do correspondente clássico para o oscilador harmônico. Por esse mo-

tivo, os estados coerentes são muito usados para o estudo de problemas da transição entre os

mundos clássico e quântico [24], em que os estados são muito grandes para serem considerados

microscópicos e muito pequenos para serem considerados macroscópicos. Estes estados nos

problemas de fronteira são ditos estados mesoscópicos. Antes de prosseguirmos para estados

coerentes, faremos uma revisão sobre o oscilador harmônico.

2.8.1 Oscilador Harmônico

A hamiltoniana do oscilador harmônico quântico é dada por:

H =P 2

2m+mω2X2

2, (2.34)

onde m é a massa, X é o operador posição, P é o operador momento e ω é a frequência do

oscilador.

Podemos denir dois operadores a e a† que são escrito como combinação linear dos ope-

radores X e P . Dessa forma, os operadores a e a† são dados por:

a =mω

2~

(X +

iP

mω

),

a† =mω

2~

(X − iP

mω

), (2.35)

e obedecem a seguinte relação de comutação:

[a, a†] = 1. (2.36)

Fazendo N = a†a, temos que a hamiltoniana (2.34) ca:

H = ~ω(N +

1

2

). (2.37)

2. Preliminares 14

Podemos observar que, se considerarmos um estado |n〉, que é um autoestado do operador

N e o autovalor n, o estado |n〉 também será autoestado de H produzem

En = ~ω(n+

1

2

). (2.38)

Como pode ser visto em [14], os operadores a e a† quando atuam no estado |n〉, obtemos

as relações:

a |n〉 =√n |n− 1〉 ,

a† |n〉 =√n+ 1 |n+ 1〉 , (2.39)

onde podemos observar que a quando atua no estado |n〉 há uma diminuição de uma excitação

e a† quando atua no estado |n〉 há um aumento de uma excitação. Por essas razões esses

operadores são conhecidos como operadores de aniquilação e criação, respectivamente.

2.8.2 Denindo Estados Coerentes

Se o estado |α〉 for um auto estado do operador destruição a com um autovalor α, então

|α〉 é um estado coerente. Ou seja:

a |α〉 = α |α〉 . (2.40)

Como os auto estados do oscilador harmônico |n〉 formam uma base completa, podemos

escrever os estados coerentes em termos dessa base, ou seja:

|α〉 =∑n

cn |n〉 . (2.41)

Aplicando a na equação acima temos:

a |α〉 =∑n

√ncn |n− 1〉 . (2.42)

Substituindo (2.41) e (2.40) em (2.42), temos:∑n

αcn |n〉 =∑n+1

√n+ 1cn+1 |n〉 ,

onde temos:

cn+1 =αcn√n+ 1

,

2. Preliminares 15

e, por m:

cn =αnc0√n!. (2.43)

Dessa forma, basta encontrar c0 para determinarmos todos os coecientes. Para fazermos

isso, vamos normalizar o estado |α〉 e usaremos (2.43). Com isso:

〈α|α〉 =∑n

|cn|2,

=∑n

|α|2n|c20|

n!,

= |c0|2e|α|2

,

= 1.

Portanto,

c0 = e−|α|22 . (2.44)

Logo, obtemos o estado coerente |α〉 escrito na base do estado número |n〉, dado por:

|α〉 = e−|α|2/2∑n

αn√n!|n〉 . (2.45)

Podemos também calcular o produto interno entre estados coerentes. Vamos considerar

os estados coerentes |α〉 e |β〉. Usando (2.45) o produto interno 〈β|α〉 é dado por:

〈β|α〉 =

(e−|β|22

∑n

(β∗)n√n!|n〉)(

e−|α|22

∑n

αn√n!|n〉),

= e−|β|22 e−

|α|22

∑n

(β∗α)n

n!,

= e−(|β|2+|α|2−2αβ∗)/2. (2.46)

2.8.3 Deslocamento dos Estados de Vácuo

Uma outra forma de denirmos os estados coerentes envolve o deslocamento do vácuo. Este

conceito está relacionado aos mecanismos de geração de estados coerentes usando correntes

clássicas.

O operador deslocamento é denido como

D(α) = exp(αa† − α ∗ a). (2.47)

2. Preliminares 16

Considere a identidade

eA+B = eAeBe−12

[A,B], (2.48)

Fazendo A = αa† e B = −α ∗ a, temos

D(α) = e|α|2/2eαa

†e−α∗a. (2.49)

Dessa forma, temos:

D(α) |0〉 = e|α|2/2eαa

†e−α∗a |0〉 . (2.50)

Expandindo e−α∗a, temos:

e−α∗a |0〉 =∞∑l=0

(−α∗a)l

l!|0〉 = |0〉 , (2.51)

onde obtemos

D(α) |0〉 = e|α|2/2eαa

† |0〉 . (2.52)

E

eαa† |0〉 =

∞∑k=0

(αa†)k

k!|0〉 ,

=∞∑k=0

(α)k√k!|k〉 . (2.53)

E por m,

D(α) |0〉 = e|α|2/2

∞∑k=0

(α)k√k!|k〉 = |α〉 . (2.54)

2.9 Interação Átomo-Campo

Um átomo de dois níveis acoplado a um único modo de um campo eletromagnético é um

dos problemas mais elementares envolvendo a interação átomo-campo [16]. Esta descrição

é usada quando o acoplamento é ressonante ou quase-ressonante. Um átomo de dois níveis

acoplado a um oscilador harmônico pode ser usado para modelar este sistema.

2. Preliminares 17

2.9.1 Teoria Semiclássica

Vamos considerar os estados |e〉, o estado excitado, e |g〉, o estado fundamental, como os

estados de um átomo de dois níveis. Estes estados são auto estados da hamiltoniana livre

H0, cujos autovalores são

H0 |e〉 = ~ωe |e〉 ,

H0 |g〉 = ~ωg |g〉 , (2.55)

onde ωi é a frequência do estado |i〉.

Dessa forma, a hamiltoniana livre do sistema é dada por:

H0 = (|e〉〈e|+ |g〉〈g|)H0(|e〉〈e|+ |g〉〈g|),

= ~ωe |e〉〈e|+ ~ωg |g〉〈g| . (2.56)

Na interação entre um átomo e um campo, o campo elétrico exerce uma força tanto sobre

o núcleo positivo, como na nuvem negativa. Uma vez que o átomo é neutro, a distribuição de

carga, devido a interação, comporta-se como um dipolo elétrico. Considerando que o campo

está polarizado no eixo x, o momento de dipolo é dado por:

p = ex, (2.57)

e o campo pode ser escrito como

E(t) = E cos(υt), (2.58)

onde E é a amplitude e υ = ck é a frequência do campo.

Dessa forma, a hamiltoniana que representa a interação do átomo com o campo, pode ser

escrita como

H1 = −→p ·−→E (t), (2.59)

= −exE cos(υt),

= −e(|e〉〈e|+ |g〉〈g|)x(|e〉〈e|+ |g〉〈g|)E cos(υt),

= −(qeg |e〉〈g|+ qge |g〉〈e|)E cos(υt), (2.60)

2. Preliminares 18

onde qeg = q∗ge = e〈e|x|g〉 é a matriz dos elementos do momento de dipolo elétrico e os termos

〈i| x |i〉 = 0, onde i = e, g, pois momento do dipolo tem paridade ímpar enquanto os termos

〈i| x |i〉 têm paridade par [25].

A dinâmica do sistema átomo+campo é governada pelo hamiltoniano

H = H0 + H1. (2.61)

Análogo à (2.2), podemos escrever a evolução de um estado arbitrário como:

|ψ(t)〉 = U1(t) |ψ0〉 , (2.62)

onde |ψ0〉 é o estado inicial do átomo antes da interação com o campo, |ψ(t)〉 estado quântico

do átomo de dois níveis após interação e U1(t) o operador evolução temporal na representação

de interação é dado por:

U1(t) = Λ exp

(− i

~

∫ t

0

U †0(t′)H1U0(t′)dt′), (2.63)

onde

U0(t) = exp

(−iH0t

~

), (2.64)

e

Λ exp

(− i

~

∫ t

0

U †0(t′)H1U0(t′)dt′)

= 1− i

~

∫ t

0

U †0(t1)H1U0(t1)dt1 +

(− i

~

)2 ∫ t

0

∫ t1

0

U †0(t2)H1U0(t2)dt2dt1 + ....(2.65)

Usando a hamiltoniana (2.56), temos:

Hn0 = (~ωe)n |e〉〈e|+ (~ωg)n |g〉〈g| . (2.66)

Dessa forma, o operador evolução (2.64) ca:

U0 = exp(−iωet) |e〉〈e|+ exp(−iωgt) |g〉〈g| . (2.67)

Fazendo

|qeg| = qege−iφ′ , (2.68)

2. Preliminares 19

e

cos(υt) =e−iυt + eiυt

2, (2.69)

o hamiltoniano de interação na representação de interação ca:

U †0H1U0 = −~ΩRU†0(e−iφ

′ |e〉〈g|+ eiφ′ |g〉〈e|)U0 cos(υt),

= −~ΩR

2e−iφ′ |e〉〈g| [ei∆t + ei(ω

′t+υt)]

+eiφ′ |g〉〈e| [e−i∆t + e−i(ω

′t+υt)], (2.70)

onde ω′ = ωe − ωg, ΩR é a frequência de Rabi denida por

ΩR =|qeg|E~

, (2.71)

e ∆ = ω′ − υ. Os termos proporcionais a exp±i(ω′t+ υ) variam rapidamente e sua média

para uma escala de tempo mais que 1/υ é zero. Esses termos podem ser desprezados na

aproximação de ondas girantes2 (RWA). Para o caso de ressonância, ∆ = 0, a hamiltoniana

de interação ca

U †0H1U0 = −~ΩR

2e−iφ′ |e〉〈g|+ eiφ

′ |g〉〈e|. (2.72)

A expressão (2.65) pode ser simplicada usando

U †0H1U02n

=

(~ΩR

2

)2n

(|e〉〈e|+ |g〉〈g|), (2.73)

U †0H1U02n+1

=

(~ΩR

2

)2n+1

(e−iφ′ |e〉〈g|+ eiφ

′ |g〉〈e|), (2.74)

onde obtemos:

U1 = cos

(~ΩRt

2

)(|e〉〈e|+ |g〉〈g|) + i sin

(~ΩRt

2

)(e−iφ

′ |e〉〈g|+ eiφ′ |g〉〈e|). (2.75)

Se inicialmente o átomo estiver no estado excitado (|ψ0〉 = |e〉), temos:

|ψe(t)〉 = U1 |e〉 , (2.76)

= cos

(~ΩRt

2

)|e〉+ i sin

(~ΩRt

2

)e−iφ

′ |g〉 (2.77)

2 Do inglês: Rotation Wave Approximation.

2. Preliminares 20

Podemos escolher um campo tal que φ = π/2 e aplicarmos um pulso de π/2, ou seja,

~ΩRt = π/2 onde temos

|ψe(t)〉 =1√2

(|e〉+ |g〉). (2.78)

Analogamente, para um átomo inicialmente no estado fundamental (|ψ0〉 = |g〉), temos:

|ψg(t)〉 =1√2

(|g〉 − |e〉). (2.79)

2.9.2 Teoria Quântica

A hamiltoniana da interação de um átomo de dois níveis com um único modo de um campo

quântico é dada por

HJC = H0 +HI , (2.80)

onde

H0 = ~ω0

(a†a+

1

2

)+

~ωeg2

σz, (2.81)

é a hamiltoniana livre global, ωeg é frequência de transição entre os dois níveis atômicos e

σz = |e〉〈e| − |g〉〈g|.

Considerando que o campo está polarizado no eixo x, o momento de dipolo quântico é

dado por

p′ = eσx = e(σ+ + σ−), (2.82)

onde as pseudo-matrizes de Pauli são dadas por σ− = σ†+ = |g〉〈e| e o campo é dado por

E ′(t) = A(a+ a†). (2.83)

A hamiltoniana de interação entre os subsistemas pode ser obtida usando (2.59).

HI = ~G(a†σ− + aσ+ + aσ− + a†σ+), (2.84)

onde eA = ~G, a†σ− e aσ+ são os termos girantes e aσ− e a†σ+ os termos contra girantes. A

contribuição dos termos contra girantes são nulas na RWA . Dessa forma, a hamiltoniana de

interação ca:

HI = ~G(a†σ− + aσ+). (2.85)

2. Preliminares 21

Os autovalores da hamiltoniana são dados por:

E±n = ~ω0(n+ 1)± ~∆n

2, (2.86)

onde

∆n =√δ2 + Ω2

n, (2.87)

e

Ωn = 2G√n+ 1. (2.88)

De forma pouco precisa, quanto maior o valor absoluto da dessintonia, menor é a proba-

bilidade de troca de energia entre o átomo e o campo, o que justica o nome aproximação

dispersiva. Quando o hamiltoniano de interação HI pode ser considerado uma pequena per-

turbação o sistema está no limite dispersivo, ou seja, relação

|δ|G

>>√n+ 1. (2.89)

Nesta aproximação, os autovalores são dados por:

E±n ≈ ~ω0(n+ 1)± ~|δ|2± ~Ω2

0

2|δ|2(n+ 1). (2.90)

Desta forma, podemos substituir o hamiltoniano HJC pelo hamiltoniano efetivo

HefJC = ~ω0

(a†a+

1

2

)+

~ωeg2

σz + ~ω[(aa† + 1) |e〉〈e| − a†a |g〉〈g|], (2.91)

onde ω = 2|δ|2/Ω20. Com a hamiltoniana acima obtemos os autovalores de energia descritos

em (2.90).

De forma análoga a seção anterior, usaremos o operador de evolução na representação de

interação dado por:

UI(t) = exp

(− iHef

I t

~

), (2.92)

onde

HefI = ~ω[(aa† + 1) |e〉〈e| − a†a |g〉〈g|]. (2.93)

2. Preliminares 22

Dessa forma temos:

UI(t) = exp−iωt[(a†a+ 1) |e〉〈e| − a†a |g〉〈g|],

= e−iωt exp−iωta†a |e〉〈e|+ expiωta†a |g〉〈g| . (2.94)

Considerando um átomo no estado fundamental interagindo com um campo de n fótons,

teremos:

|g〉 |n〉 → UI(t) |g〉 |n〉 = expiωta†a |g〉 |n〉 , (2.95)

e para um átomo no estado excitado interagindo com o mesmo campo, temos:

|e〉 |n〉 → UI(t) |e〉 |n〉 = eiωt exp−iωta†a |e〉 |n〉 . (2.96)

3. CORRELAÇÕES DE COMPLEMENTARIDADE GENERALIZADA

Neste capítulo, revisaremos alguns conceitos mais avançados de mecânica quântica, que

serão utilizados no desenvolvimento deste trabalho. Discutiremos a relação de trialidade para

estados puros e mistos.

Podemos descrever a complementaridade generalizada como a junção das propriedades

do sistema todo com as exclusivas de cada parte [26]. Na Seção 3.1 descreveremos a re-

lação de trialidade, baseado na referência [27], e na Seção 3.2, descreveremos a relação de

complementaridade modicada para estados não ortogonais, baseado em [15].

3.1 Relação de Trialidade

Consideraremos o estado puro mais geral de dois qubit, que chamaremos de |Θ〉 dado por

|Θ〉 = a |00〉+ b |01〉+ c |10〉+ d |11〉 , (3.1)

onde a, b, c, d satisfazem a condição de normalização

|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1. (3.2)

A concorrência é uma medida de emaranhamento entre as partes do sistema bipartido

[20, 27] de |Θ〉 que pode ser obtida usando:

C = | 〈Θ|Θ〉 | (3.3)

Para isso, tem que realizar o spin-ip, dado por:

|Θ〉 = (σy ⊗ σy) |Θ∗〉 , (3.4)

3. Correlações de Complementaridade Generalizada 24

onde

σy ⊗ σy =

0 0 0 −1

0 0 1 0

0 1 0 0

−1 0 0 0

e

|Θ∗〉 = a∗ |00〉+ b∗ |01〉+ c∗ |10〉+ d∗ |11〉 .

Portanto, fazendo uso de (3.2) e (3.5), obtemos o spin-ip dado por:

|Θ〉 = −d∗ |00〉+ c∗ |01〉+ b∗ |10〉 − a∗ |11〉 . (3.5)

Antes de continuarmos, precisamos mostrar que

|r1 − r2| = |r∗1 − r∗2|. (3.6)

Demonstração. Sejam r1 e r2 números complexos, então

|r1−r2| =√

(r1 − r2)2 =√

(r1 − r2)(r∗1 − r∗2) =√

(r∗1 − r∗2)(r1 − r2) =√

(r∗1 − r∗2)2 = |r∗1 − r∗2|

Por m, substituindo (3.5) e (3.2) em (3.3) e usando a propriedade (3.6), temos a con-

corrência [28, 29] dada por:

C(Θ) = 2|ad− bc|. (3.7)

A segunda grandeza que veremos é a visibilidade, V . A visibilidade quantica o contraste

entre a intensidade máxima Imax e mínima Imin de um padrão de interferência de um único

qubit e é dada por

V =Imax − IminImax + Imin

. (3.8)

Uma vez que a visibilidade é medida em apenas uma das partes, devemos distinguir entre

os dois subsistemas. Como o sistema |Θ〉 possui dois subsistemas k (k = 1, 2), podemos

escrever a visibilidade para cada parte como:

Vk = 2| 〈Θ|σ+k |Θ〉 |, (3.9)


onde

σ+k =

0 1

0 0

. (3.10)

Calculando a visibilidade para k = 1, temos:

V1 = 2| 〈Θ|σ+1 ⊗ 1 |Θ〉 |,

onde

σ+1 ⊗ 1 =

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

.

Portanto,

V1 = 2|(a∗ 〈00|+ b∗ 〈01|+ c∗ |10〉+ d∗ |11〉)(c |00〉+ d |01〉)|

= 2|ac∗ + bd∗|. (3.11)

Analogamente,

V2 = 2|ab∗ + cd∗|. (3.12)

O terceiro e último elemento da relação de trialidade é a preditividade. A preditividade

é uma característica de apenas uma das partes, que nos diz qual a probabilidade do sistema

estar descrito nos estados |0〉 ou |1〉. A preditividade Pk para o subsistema k, (k = 1, 2) é

dada por:

Pk = | 〈Θ|σz,k |Θ〉 , (3.13)

onde

σz,k =

1 0

0 −1

. (3.14)

Calculando a preditividade para k = 1, temos:

P1 = | 〈Θ|σz,1 ⊗ 1 |Θ〉 |,


onde

σz,1 ⊗ 1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

.

Portanto,

P1 = |(a∗ 〈00|+ b∗ 〈01|+ c∗ |10〉+ d∗ |11〉)(a |00〉+ b |01〉 − c |10〉 − d |11〉)|

= |(|c|2 + |d|2)− (|a|2 + |b|2)|. (3.15)

Analogamente,

P2 = |(|b|2 + |d|2)− (|a|2 + |d|2)|. (3.16)

Uma vez que introduzimos as grandezas que podem ser medidas em um experimento [27],

podemos descrevê-las na seguinte relação.

C2 + P2k + V2

k = (|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2)2 = 1. (3.17)

Essa relação é conhecida como relação de trialidade.

3.2 Complementaridade Generalizada para Estados Não-Ortogonais

Uma vez que nem todos os sistemas físicos são descritos por estados ortogonais (como

exemplo, os estados coerentes [30]), podemos desejar uma relação de trialidade para descrever

sistemas físicos em que os estados não são ortogonais.

Para isso, consideraremos um operador densidade, que na base de dois estados não orto-

gonais |α+〉 , |α−〉, é dado por:

ρ = N(ρ++ |α+〉〈α+|+ ρ−− |α−〉〈α−|+ ρ± |α+〉〈α−|+ ρ∗± |α−〉〈α+|), (3.18)

onde N é a constante de normalização, dada por N−1 = ρ++ + ρ−− + 2|ρ±|x cosµ, ρ+− =

|ρ±|e−iχ, µ = χ+ φ e |α±〉 são estados não ortogonais, tais que:

〈α+|α−〉 = xeiφ. (3.19)


Por sua vez, ρ2 possui a seguinte forma:

ρ2 = N2(ρ2++ |α+〉〈α+|+ ρ++ρ−−xe

iφ |α+〉〈α−|+ ρ++ρ± |α+〉〈α−|+ ρ++ρ∗±xe

iφ |α+〉〈α+|

+ ρ−−ρ++xe−iφ |α−〉〈α+|+ ρ2

−− |α−〉〈α−|+ ρ−−ρ±xe−iφ |α−〉〈α−|+ ρ−−ρ

2± |α−〉〈α+|

+ ρ±ρ++xe−iφ |α+〉〈α+|+ ρ±ρ−− |α+〉〈α−|+ ρ2

±xe−iφ |α+〉〈α−|+ |ρ±|2 |α+〉〈α+|

+ ρ∗±ρ++ |α−〉〈α+|+ ρ∗±ρ−−xeiφ |α−〉〈α−|+ |ρ++|2 |α−〉〈α−|+ ρ∗±

2xeiφ

|α−〉〈α+|)

= N2[(ρ2++ + ρ++ρ

∗±xe

iφ + ρ±ρ++xe−iφ + |ρ±|2) |α+〉〈α+|+ (ρ++ρ−−xe

iφ + ρ++ρ±

+ρ±ρ−− + ρ2±xe

−iφ) |α+〉〈α−|+ (ρ−−ρ++xe−iφ + ρ−−ρ

2± + ρ∗±ρ++ + ρ∗±

2xeiφ)

|α−〉〈α+|+ (ρ2−− + ρ−−ρ±xe

−iφ + ρ∗±ρ−−xeiφ|ρ++|2) |α−〉〈α−|], (3.20)

cujo traço é dado por:

tr(ρ2) = N2[ρ2++ + ρ2

−− + 2|ρ±|2 + x(ρ++ρ±e−iφ + ρ++ρ

∗±e

iφ + ρ−−ρ±e−iφ + ρ−−ρ

∗±e

iφ

+ ρ±ρ++e−iφ + ρ±ρ−−e

−iφ + ρ∗±ρ++eiφ + ρ∗±ρ−−e

iφ) + x2(ρ++ρ−− + ρ++ρ−−

+ρ2±e−2iφ + ρ∗±

2e2iφ)]

= N2ρ2++ + ρ2

−− + 2|ρ±|2 + x(4ρ++|ρ±| cosµ+ 4ρ−−|ρ±| cosµ) + x2[2ρ++ρ−−

+2|ρ±|2 cos(2µ)]. (3.21)

Inicialmente, calcularemos a concorrência ao quadrado C2 do estado misto ρ, dada por

[29]:

C2 = 2[1− tr(ρ2)]. (3.22)

Fazendo

N2

N2= N2[ρ2

++ + 2ρ++ρ−− + ρ2−− + x(4ρ++|ρ±| cosµ+ 4ρ−−|ρ±| cosµ)

+x2[2|ρ±|2 + 2|ρ±|2 cos(2µ)] = 1 (3.23)

e usando (3.21) e (3.23) em (3.22), temos que a concorrência ao quadrado é dada por:

C2 = 2N2[2ρ++ρ−− − 2|ρ±|2 − x2(2ρ++ρ−− − 2|ρ±|2)], (3.24)

= 2N2[(2ρ++ρ−− − 2|ρ±|2)(1− x2)]. (3.25)


Por outro lado, se descrevermos um quanticador de qual caminho w(ρ) e interferência

i(ρ) para um estado ρ, temos

w(ρ) =|p+ − p−|p+ + p−

(3.26)

e

i(ρ) =2| 〈α+|ρ|α−|〉p+ + p−

, (3.27)

onde p± = 〈α±|ρ|α±|〉 pertence ao intervalo [0, 1] e satisfaz

w2(ρ) + i2(ρ) ≤ 1. (3.28)

Porém, para w(ρ) à discriminação dos estados |α±〉 não é máxima. Podemos ainda escrever

um estado em que a discriminação seja máxima como acontece em:

|αD±〉 =1√

1− | 〈α±|α∓〉 |(|α±〉 − 〈αmp|α±〉 |α∓〉), (3.29)

mas ainda teríamos problemas com a desigualdade (3.28).

Dessa forma, precisaremos redenir os estados |α±〉, para calcularmos a visibilidade e a

preditividade. Para isso, consideraremos os projetores Πi = |ci〉〈ci|, onde i = ±, 0. O projetor

Π+ ( Π− ) está associado ao estado |α+〉 ( |α−〉 ) e Π0 é ortogonal à base |α+〉 , |α−〉. Medir

o projetor Π0 não contribuirá com a visibilidade e a preditividade associada com a base

|α+〉 , |α−〉.

A visibilidade pode ser medida, mudando a fase relativa entre os estados |c+〉 e |c−〉, dados

por

|c±〉 = e∓iφ2

(√1− x1 + x

|ϕ+〉 ± |ϕ−〉+

√2x

1 + x|ϕ0〉

), (3.30)

onde |ϕ+〉 e |ϕ−〉 são estados ortogonais entre si, 〈ϕ+|ϕ−〉 = 0, dados por:

|ϕ±〉 =1√

2(1± x)(ei

φ2 |α+〉 ± e−i

φ2 |α−〉). (3.31)

Note que, para calcularmos a visibilidade e a preditividade, podemos reduzir os estados

|c±〉 para |d±〉, pois |ϕ0〉 não contribuirá nas medidas. Os estados |d±〉 são dados por:

|d±〉 = e∓iφ2

(√1− x1 + x

|ϕ+〉 ± |ϕ−〉). (3.32)


Agora que conhecemos os estados |d±〉, podemos denir a visibilidade não ortogonal V

dada por

V = 2∣∣tr( |d+〉〈d−| ρ

)∣∣. (3.33)

Podemos escrever os estados não ortogonais |α+〉 e |α−〉 na base ortogonal |ϕ+〉 , |ϕ−〉

usando (3.31). Desta forma, temos

|α±〉 = e∓iφ2

(√1 + x

2|ϕ+〉 ±

√1− x

2|ϕ−〉

)(3.34)

que usaremos para mudar ρ da base |α+〉 , |α−〉 para a base |ϕ+〉 , |ϕ−〉. Com isso,

ρ = N

[(ρ++ + ρ−− + ρ±e

−iφ + ρ∗±eiφ)

1 + x

2|ϕ+〉〈ϕ+|+ (ρ++ + ρ−− − ρ±e−iφ + ρ∗±e

iφ)

1− x2|ϕ−〉〈ϕ−|+ (ρ++ − ρ−− − ρ±e−iφ + ρ∗±e

iφ)

√1− x2

4|ϕ+〉〈ϕ−|+ (ρ++ − ρ−−

+ρ±e−iφ − ρ∗±eiφ)

√1− x2

4|ϕ−〉〈ϕ+|

]. (3.35)

Usando (3.32), podemos calcular o termo |d+〉〈d−| da igualdade (3.33), de modo a obter

|d+〉〈d−| = e−2iϕ

[1− x1 + x

|ϕ+〉〈ϕ+| − |ϕ−〉〈ϕ−|+1− x1 + x

(− |ϕ+〉〈ϕ−|+ |ϕ−〉〈ϕ+|)]. (3.36)

E substituindo (3.36) e (3.35) em (3.33), obtemos:

V =

∣∣∣∣Ne−2iϕ

[(ρ++ − ρ−− + ρ∗±)

(2

1− x2− 2

1− x2

)+ ρ±

(4

1− x2− 2

1− x2

)= 2N(1− x)|ρ±|. (3.37)

A preditividade não ortonogonal P é dada por:

P = |tr[(|d+〉〈d+| − |d−〉〈d−|)ρ]|, (3.38)

onde

|d+〉〈d+| =1

2

[1− x1 + x

|ϕ+〉〈ϕ+|+ |ϕ−〉〈ϕ−|+√

1− x1 + x

(|ϕ+〉〈ϕ−|+ |ϕ−〉〈ϕ+|

)],

e

|d−〉〈d−| =1

2

[1− x1 + x

|ϕ+〉〈ϕ+|+ |ϕ−〉〈ϕ−| −√

1− x1 + x

(|ϕ+〉〈ϕ−|+ |ϕ−〉〈ϕ+|

)].


Portanto,

|d+〉〈d+| − |d−〉〈d−| =√

1− x1 + x

(|ϕ+〉〈ϕ−|+ |ϕ−〉〈ϕ+|

). (3.39)

Usando (3.39) e (3.35) em (3.38), temos:

P =

∣∣∣∣N√

1− x1 + x

√1− x2

4(2ρ++ − 2ρ−− + e−iφρ± − e−iφρ± + eiφρ∗± − e−iφρ∗±)

∣∣∣∣= N(1− x)|ρ++ − ρ−−|. (3.40)

Para estados mistos a relação (3.17) se torna a desigualdade

P 2 + V 2 + C2 ≤ 1, (3.41)

porém podemos considerar a propriedade U , tal que

P 2 + V 2 + C2 + U2 = 1, (3.42)

onde usando (3.23), (3.40), (3.37) e (3.24) em (3.41), temos

U2 = 1− (P 2 + V 2 + C2)

= xN2[2(ρ++ − ρ−−)2 + 8|ρ±|2 + 4 cosµ(ρ++ + ρ−−)|ρ±|+ xB], (3.43)

onde B = 6(ρ++ρ−− − |ρ±|2)− [ρ2++ − 2|ρ±|2 cos(2µ) + ρ2

−−].

4. DINÂMICA DOS OSCILADORES

A decoerência pode ser modelada pelo acoplamento do oscilador com o reservatório cuja a

energia é perdida em um tempo característico τr. Para estados mesoscópicos, a decoerência

ocorre em um intervalo de tempo menor que τr. Já para os macroscópicos, a decoerência é

instantânea e não pode ser observada [24].

Neste capítulo, apresentaremos o experimento, assim como o modelo teórico para o estudo

deste experimento e a dinâmica do modelo usado. A Seção 4.1 é baseada em [24]. A Seção

4.2 é baseada nas referências [16, 17]. As Seções 4.3 e 4.4, baseiam-se na referência [31].

4.1 Experimento

No experimento mostrado na gura abaixo, geraremos estados mesoscópicos mandando

átomos de Rubídio preparando uma superposição (entre os estados exitado e fundamental)

para uma cavidade C que comporta um campo coerente. Mas, para isso, estes átomos

passarão pelos processos descritos a seguir.

Fig. 4.1: Esboço do experimento retirado de [24].

Os átomos serão aquecidos em um forno O e ao escaparem passarão por dois lasers, L1 e

L2 onde serão selecionados a velocidade de (400± 6)m/s. Após isso, será aplicado um pulso

de π/2 na cavidade de baixa qualidade R1, onde será preparado a superposição. Posterior a

4. Dinâmica dos Osciladores 32

isso, eles chegaram cavidade de alta qualidade C, alimentada pela fonte S, onde irão acoplar

com o oscilador principal via fase. Depois da interação irão para a segunda cavidade de baixa

qualidade R2, onde será tomado outro pulso de π/2. As cavidades R1 e R2 são alimentadas

pela fonte S ′. E por m, chegaram aos detectores De e Dg.

O experimento é resfriado a uma temperatura de 0.6K, porém consideraremos uma tem-

peratura nula em todo o processo.

4.2 Geração de Estados Mesoscópicos

Nesta sessão, iremos construir o modelo teórico usado para a descrever os estados usados.

Para isso iremos considerar um único modo de radiação interagindo com átomo de dois níveis.

O átomo quando sai do forno O, ele está no estado excitado (|e〉) e após a interação com

o campo o estado obtido é (2.78).

|ψe(t)〉 =1√2

(|e〉+ |g〉).

Após chegar na cavidade C, o estado inicial átomo+campo será

|ψAC〉 =1√2

(|e〉+ |g〉)⊗ |α〉 . (4.1)

Substituindo as equações (2.95) e (2.96) em (4.1) e usando (2.45), obtemos a evolução

estado átomo+campo que pode ser escrita como:

|ψAC(t)〉 =1√2e−|α|

2/2

∞∑n=0

αn

n!exp[−i(n+ 1)ωt] |e〉 |n〉+ exp[inωt] |g〉 |n〉,

=1√2e−iωt |e〉 |αe−iωt〉+ |g〉 |αeiωt〉 . (4.2)

Considerando que o tempo do átomo dentro da cavidade é de ∆t, temos que o estado do

átomo após esse intervalo é dado por

|ψAC(π′/ω′)〉 =1√2

(e−iφ′ |e〉 |αe−iφ′〉+ |g〉 |αeiφ′〉), (4.3)

onde φ′ = ω∆t.


Após passar pela cavidade de alta qualidade, o átomo vai para a segunda zona de Ramsey,

onde sofre um outro pulso de .δt. Usando as equações (2.78) e (2.79),

|e〉 → |e〉+ |g〉√2

, (4.4)

|g〉 → |g〉 − |e〉√2

, (4.5)

temos que o estado nal é dado por:

|ψ′AC(π/2)〉 =1

2[(e−iφ

′ |αe−iφ′〉 − |αeiφ′〉) |e〉+ (e−iφ′ |αe−iφ′〉+ |αeiφ′〉) |g〉]. (4.6)

As medidas nos detectores são dadas por :

|ψDe〉 = |e〉〈e| |ψ′AC(π/2)〉 =1

2(e−iφ

′ |αe−iφ′〉 − |αeiφ′〉) |e〉 , (4.7)

|ψDg〉 = |g〉〈g| |ψ′AC(π/2)〉 =1

2(e−iφ

′ |αe−iφ′〉+ |αeiφ′〉) |g〉 , (4.8)

onde |ψDe〉 e |ψDg〉 não estão normalizados. Neste trabalho usaremos estados mesoscópicos

arbitrários para obter uma solução mais geral do que a obtida em [24].

4.3 Modelo do sistema

Nesta sessão, iremos construir um modelo teórico para descrever o fenômeno de interação

entre os estados mesoscópicos e o reservatório.

O modelo que utilizamos é composto por um oscilador harmônico linearmente acoplado a

N outros osciladores. Nesse caso, os modos da cavidade (banho, reservatório) são modelados

por esse conjunto de osciladores. O nosso sistema de interesse é o oscilador harmônico que se

acopla a um reservatório de temperatura nula. O oscilador principal será o campo no interior

da cavidade C, que será descrito por uma superposição de estados coerentes sob ação de um

banho nito a uma temperatura nula. No início da dinâmica, a energia do sistema está no

oscilador principal.


Fig. 4.2: Representação do modelo. Cada esfera corresponde a um oscilador, onde a esfera central

é o oscilador principal, enquanto que as demais são os modos da cavidade. Os osciladores

dos modos se acoplam apenas com o oscilador principal, ou seja, não interagem entre si.

Retirado de [31]

4.4 Dinâmica

A hamiltoniana na aproximação de ondas girantes (RWA, Rotating Wave Aproximation), é

dada por:

H = ~ω0a†a+

∑k

~ωkb†kbk +∑k

~γk(ab†k + a†bk

), (4.9)

onde ω0 e ωk é são as frequências do oscilador principal e dos osciladores do banho, respec-

tivamente, bk e b†k são os operadores de destruição e criação, respectivamente, referentes ao

k-ésimo oscilador do banho e γk é a constante de acoplamento entre o oscilador principal e o

k-ésimo oscilador do banho.

Podemos observar que, na hamiltoniana do nosso sistema, existem dois termos livres que

atuam de forma independente nas variáveis do subsistema a qual pertencem, e existe um

termo de interação da forma Hint =∑

k ~(γkab

†k + a†bk

)que atua no oscilador principal e no

banho.

Dessa forma, podemos considerar o sistema que estamos estudando, como um sistema

composto de duas partes, uma sendo o oscilador principal (subsistema A) e a outra o banho

(subsistema B). Para o estudo das grandezas de complementaridade, usaremos os estados

coerentes que formam uma base não-ortogonal para o oscilador principal, o qual se acoplará

com o banho composto de k modos inicialmente no vácuo, a temperatura nula. Com isso, o


estado inicial do sistema é dado por:

|ν(0)〉 = N (y |α+(0)〉+ z |α−(0)〉)Πk |0〉k , (4.10)

onde

N−1 =√|y|2 + |z|2 + 2|yz|x0 cosµ (4.11)

e

x0 = | 〈α+(0)|α−(0)〉 |. (4.12)

Como ansatz, podemos evoluir o estado do sistema usando (2.1) e (4.9), em que obtemos:

|ν(t)〉 = N (y |α+(t)〉 |λ(t)〉+ z |α−(t)〉 |χ(t)〉), (4.13)

onde |λ(t)〉 =∏

k |λk(t)〉 e |χ(t)〉 =∏

k |χk(t)〉.

O estado obtido é um estado tipo gato (ver Secção 2.4). Portanto, como já foi mostrado, o

estado |ν(t)〉 está emaranhado. Além disso, podemos dizer que o "entrelaçamento" é devido a

interação do oscilador principal com o banho. Como o estado inicial |ν(0)〉 é decomponível1,

inicialmente, o oscilador principal e o banho não estão emaranhados.

Podemos obter a dinâmica das amplitudes dos estados |α+(t)〉 e |λ(t)〉 usando a equação

de Schrödinger. Para simplicar, usaremos o estado

|ψ(t)〉 = |α+(t)〉 |λ(t)〉 , (4.14)

em (2.1). Resolvendo primeiramente o lado esquerdo da equação, temos:

d

dt|ψ(t)〉 =

d

dt(|α+(t)〉 |λ(t)〉),

=d

dt(|α+(t)〉) |λ(t)〉+ |α+(t)〉 d

dt(|λ(t)〉). (4.15)

Podemos calcular a derivada de um estado coerente arbitrário |ε(t)〉 usando (2.45), onde

1 Para facilitar a visualização, basta tomar |ψ(0)〉 = N (a |α+(0)〉+ b |α−(0)〉).


onde δk = (ω0−ωk)/2 é a dessintonia entre oscilador principal e o k-ésimo oscilador do banho.

O termo α0e−iω0t é o termo obtido caso não existisse o acoplamento entre os osciladores. Este

termo aparece devido a hamiltoniana do oscilador principal livre e os termos f(t) e gk(t) são

os termos de interação entre os osciladores principal e do banho.

Substituindo (4.25) em (4.24) obtemos as funções f(t), gk(t) que denem a evolução do

sistema cujas as equações diferenciais são dadas por:

id

dtf(t) =

∑k

γkgk(t), (4.26)

id

dtgk(t) = −δkgk(t) +

∑k

γkf(t), (4.27)

e as condições iniciais [31]

f(0) = 1,

g(0) = 0. (4.28)

Analogamente, podemos obter as equações diferenciais para os estados |α−(t)〉 e |χ(t)〉:

id

dtα−(t) = ω0α−(t) +

∑k

γkχk(t),

id

dtχk(t) = ωkχk(t) + γkα−(t), (4.29)

onde a solução é dada por

α−(t) = α′0e−iω0tf ′(t),

λk = α′0e−iωktg′k(t)e

−2iδkt, (4.30)

onde o termo α′0 é divido ao oscilador principal e os termos f ′(t) e g′k(t) representam a

mesma interação que os termos f(t) e gk(t). Dessa forma podemos dizer que f ′(t) = f(t) e

g′k(t) = gk(t).

Podemos escrever também, uma equação análoga à (3.19) e (4.12) para as bases |α+(t)〉 , |α−(t)〉

e |λ(t)〉 , |χ(t)〉. O modulo do produto interno para esses estados são dados por:

| 〈α+(t)|α−(t)〉 | = xA, (4.31)


e

| 〈λ(t)|χ(t)〉 | = xB. (4.32)

Podemos ainda, calcular o overlap entre os estados do oscilador central, assim como os

estados dos osciladores do banho. Usando (2.46), (4.25) e (4.26)

〈α+(t)|α−(t)〉 = exp

(− |α−(t)|2 + |α+(t)|2 − 2α−(t)α+(t)

2

),

= exp

(− |α−(0)|2 + |α+(0)|2 − 2α−(0)α+(0)

2|f(t)|2

),

= 〈α+(0)|α−(0)〉|f(t)|2 . (4.33)

e

〈λt|χt〉 =∏k

〈λk(t)|χk(t)〉

=∏k

exp

(− |χk(t)|

2 + |λk(t)|2 − 2λ∗k(t)− χk(t)2

),

=∏k

exp

(− |α−(0)|2 + |α+(0)|2 − 2α−(0)α+(0)

2|gk(t)|2

),

= 〈α+(0)|α−(0)〉∑k |gk(t)|2 . (4.34)

Dessa forma, temos

xA = x|f(t)|20 , (4.35)

xB = x∑k |gk(t)|2

0 . (4.36)

5. COMPLEMENTARIDADE GENERALIZADA

Até o momento, estudamos o experimento e a dinâmica do sistema, onde obtivemos as funções

f(t) e g(t). Neste capítulo iremos estudar as grandezas da relação de complementaridade do

oscilador principal e do banho.

5.1 Grandezas da Relação de Complementaridade

Para obter a relação de complementaridade precisamos saber o quão emaranhado está o

sistema. Para isso, vamos calcular a concorrência entre o oscilador principal e o banho. Para

obtermos a concorrência, podemos usar (3.22), onde temos o traço que é invariante por base.

Desta forma, podemos obter o mesmo resultado usando (3.7) de forma mais prática.

Portanto, precisamos escrever os estados do subsistemas em função de uma base ortonor-

mal. Para isso, considere os estado genéricos para o oscilador principal

|f〉 = eiθ/2 cos ζ |α+(t)〉+ e−iθ/2 sin ζ |α−(t)〉 ,

|g〉 = eiθ/2 sin ζ |α+(t)〉 − e−iθ/2 cos ζ |α−(t)〉 , (5.1)

onde θ é real. Para que esses estados sejam ortogonais, usaremos uma possível relação, em

que:

ζ =π

4, (5.2)

e

eiθ =〈α−(t)|α+(t)〉| 〈α+(t)|α−(t)〉 |

. (5.3)

Porém, os estados |f〉 e |g〉 não estão normalizados. Para isso deniremos os vetores |1〉A

5. Complementaridade Generalizada 40

e |0〉A normalizados dados por:

|1〉A =|f〉| 〈f |f〉 |

=1

2S+

(eiθ/2 |α+(t)〉+ e−iθ/2 |α−(t)〉),

|0〉A =|g〉| 〈g|g〉 |

=1

2S−(eiθ/2 |α+(t)〉 − e−iθ |α−(t)〉), (5.4)

onde

S± =

√1± | 〈α+(t)|α−(t)〉 |

2. (5.5)

Desta maneira obtemos a base ortonormal |1〉A , |0〉A. Podemos fazer um procedimento

análogo para criar outra base ortonormal levando em conta as variáveis do banho, ou seja:

|1〉B =1

2S ′+(eiθ

′/2 |λ(t)〉+ e−iθ′/2 |χ(t)〉), (5.6)

|0〉B =1

2S ′−(eiθ

′/2 |λ(t)〉 − e−iθ′/2 |χ(t)〉), (5.7)

onde

S ′± =

√1± | 〈λ(t)|χ(t)〉 |

2(5.8)

e eiθ′=〈χ(t)|λ(t)〉| 〈λ(t)|χ(t)〉 |

.

Dessa forma, podemos escrever os estados do oscilador principal e do banho em termos

desses estados ortonormais. Fazendo isso, temos que:

|α±(t)〉 = e∓iθ/2(S+ |1〉A ± S− |0〉A),

|λ(t)〉 = e−iθ′/2(S ′+ |1〉B + e−iθ

′/2S ′− |0〉B),

|χ(t)〉 = eiθ′/2(S ′+ |1〉B − e

iθ′/2S ′− |0〉B). (5.9)

Como o estado do sistema ca da forma (4.13) para todo tempo t, os estados |1〉A , |0〉A e

|1〉B , |0〉B formam uma base para o nosso sistema. Portanto, para todo instante de tempo,

o sistema pode ser escrito como um par de qubits. Logo, podemos fazer uma mudança de

base para que nosso sistema que da forma (3.1). Para isso, substituiremos (5.9) em (4.13)

obtendo:

|ν(t)〉 = N[y′ + z′](S+S′+ |11〉+ S−S

′− |00〉)

+[y′ − z′](S+S′− |10〉+ S−S

′+ |01〉), (5.10)


onde y′ = y(eiθ/2+eiθ′/2) e z′ = z(e−iθ/2+e−iθ

′/2) Uma vez que o estado do sistema está escrito

na forma da equação geral de dois qubits (3.1), podemos calcular a concorrência usando (3.7).

Mas para isso precisamos comparar as equações para obter os coecientes. Com isso, temos:

|ν(t)〉 ≡ |Θ〉 . (5.11)

Portanto,

a = [y′ + z′]S−S′−,

b = [y′ − z′]S−S ′+,

c = [y′ − z′]S+S′−,

d = [y′ + z′]S+S′+. (5.12)

E por m, usando (3.7), (5.5), (5.8) e (5.12) obtemos a concorrência dada por:

C = 8|yz|N 2S+S′+S−S

′−,

= 2|yz|N 2√

1− | 〈α+(t)|α−(t)〉 |2√

1− | 〈λ(t)|χ(t)〉 |2. (5.13)

Podemos ainda reescrever a concorrência como

C = 2|yz|N 2DcDb, (5.14)

onde Dc =√

1− | 〈α+(t)|α−(t)〉 |2 é a distinguibilidade [9] entre os estados do oscilador

principal |α+(t)〉 e |α−(t)〉 e Dc =√

1− | 〈λ(t)|χ(t)〉 |2 é a distinguibilidade entre os estados

do banho. A função Di mede quão distinguíveis são os estados, ou seja, quanto mais próximo

de 1 (um), mais os estador se aproximam da ortogonalidade [31].

E usando (4.31) e (4.32), temos:

C = 2|yz|N 2√

(1− x2A)√

(1− x2B). (5.15)

Como a visibilidade e a preditividade são propriedades de apenas uma das partes e o

nosso estado ρAB descreve dois qubits, precisamos tomar o traço parcial em umas das partes.

Podemos obter o operador densidade do oscilador principal usando (2.16). Dessa forma

temos:

ρA = trB(ρAB)

= N 2[|y|2 |α+(t)〉〈α+(t)|+ |z|2 |α−(t)〉〈α−(t)|+ yz∗xBe

iθ′ |α+(t)〉〈α−(t)|

+zy∗xBeiθ′ |α−(t)〉〈α+(t)|

]. (5.16)


Analogamente, o operador densidade do banho é dado por:

ρB = trA(ρAB)

= N 2[|y|2 |λ(t)〉〈λ(t)|+ |z|2 |χ(t)〉〈χ(t)|+ yz∗xAe

iθ′ |λ(t)〉〈χ(t)|

+zy∗xAeiθ′ |χ(t)〉〈λ(t)|

]. (5.17)

Comparando (5.16) e (5.17) com (3.18), podemos tirar as relações:

A(B)ρ++ = |y|2

A(B)ρ−− = |z|2

A(B)ρ± = xB(A)eiθ′yz∗. (5.18)

Dessa forma, podemos usar as relações obtidas para calcular a visibilidade para estados

não-ortogonais usando (5.18) em (3.37), onde obtemos:

VA(B) = 2N 2[(1− xA(B))xB(A)|yz∗|]. (5.19)

E calcular a preditividade para estados não-ortogonais usando (5.18) em (3.40), onde

obtemos:

PA(B) = N 2[(1− xA(B))

∣∣|y|2 − |z|2∣∣]. (5.20)

Usando as equações (4.31), (4.32), (4.28), (4.33), e (4.34), obtemos

xA(0) = x0,

xB(0) = 1. (5.21)

Usando (5.21) em (5.19) e (5.20), para o oscilador principal (subsistema A), obtemos

(3.37) e (3.40). Entretanto, a interação com banho introduz uma dependência do overlap

dos estados do banho na preditividade e na visibilidade que são propriedades do oscilador

principal.

5.2 Relação da Complementaridade

A relação da complementaridade em [15] é escrita para um qubit. Para escrever a relação

composta de todas grandezas do nosso experimento, usaremos o subsistema do oscilador


principal, uma vez que as medições no experimento são feitas sobre o átomo de Rb, como

pode ser visto na Seção 4.1.

As grandezas obtidas neste trabalho satisfazem a desigualdade C2+V 2A+P 2

A ≤ 1 e torna-se

uma igualdade se acrescentarmos uma grandeza U ′ dada por:

U ′2 = N 4x0[4|yz|xB cosµ(|y|2 + |z|2 + |yz|x0xB)] + xA[8x2B|yz|2 + 2(|y|2 − |z|2)2

xAB′], (5.22)

onde

B′ = 6|yz|2 − (|y|4 + |z|4). (5.23)

Portanto, podemos escrever:

C2 + V 2A + P 2

A + U ′2 = 1. (5.24)

Usando (5.21) em (5.22), temos:

U ′2(0) = N 4x0[4|yz| cosµ(|y|2 + |z|2) + 8|yz|2 + 2(|y|2 − |z|2)2 + x0(B′ + |yz|)], (5.25)

podemos observar que para o estado inicial t = 0, U ′(0) é uma propriedade de uma das

partes, como mostrado em [15], assim como quando evolui no tempo.

Além disso, usando (3.37), (3.40) e (5.25), temos que

C2(0) + V 2A(0) + P 2

A(0) + U ′2(0) = 1. (5.26)

5.3 Relação da Complementaridade em Tempos Curtos

As utuações do vácuo, simuladas aqui por N osciladores, estão inicialmente não emara-

nhadas com o oscilador principal neste instante. Logo, precisamos conhecer a forma que o

sistema se emaranha e como as outras grandezas se comportam em tempos muito curtos

para que a igualdade seja válida. Neste capítulo, iremos estudar os tempos característicos

das grandezas da relação de complementaridade.

Para calcular o tempo característico da concorrência, precisamos conhecer o seu comporta-

mento em tempos próximos ao estado inicial. Para fazer isso, iremos expandir a concorrência


em série de Taylor. Então, considere W (t), como

W (t) = (1− x|f(t)|20 )(1− x|

∑k gk(t)|2

0 ), (5.27)

ou seja,

C2 = 4|yz|2N 4W (t), (5.28)

onde dependência temporal de C2 está em W (t). Por isso, precisamos fazer a série de Taylor

em torno do instante t = 0 apenas para W (t), em que obtemos

W (t) = W (0) +d

dtW (0)t+

1

2

d2

dt2W (0)t2 (5.29)

Com um pouco de álgebra, e usando as funções (4.25) e obtemos suas derivadas dadas

por:

d

dt|f(0)|2 = 0, (5.30)

d2

dt2|f(0)|2 = −2ϑ2. (5.31)

onde ϑ =∑

k γk.

Usando (5.29), obtemos:

W (t) = 2 ln(x0)ϑ2(1− x20)t2. (5.32)

Portanto,

C2 = 8|yz|2N 4 ln(x0)ϑ2(1− x20)t2. (5.33)

Para a preditividade pode ser escrita como:

P 2A(t) = P 2

A(0) +d

dtP 2A(0)t+

1

2

d2

dt2P 2A(0)t2 (5.34)

onde as derivadas acima são dadas por:

d

dtP 2A = 0 (5.35)

e

1

2

d2

dt2P 2A(0) = N 4(|y|2 − |z|2)x0ϑ

2 ln(x0) (5.36)


Dessa forma, usando (3.40), (5.35), (5.36) em (5.34), obtemos:

P 2A = N 4(|y|2 − |z|2)

[(1− x2

0) + x0ϑ2 ln(x0)t2

](5.37)

E a visibilidade pode ser escrita como:

V 2A(t) = V 2

A(0) +d

dtV 2A(0)t+

1

2

d2

dt2V 2A(0)t2 (5.38)

onde as derivadas são dadas por:

d

dtV 2A(0) = 0 (5.39)

1

2

d2

dt2V 2A(0) = 4N 4|yz|2ϑ2 ln(x0) (5.40)

Portanto, visibilidade é dada por:

V 2A = 4N 4|yz|2

(1− x2

0) + ϑ2 ln(x0)t2

(5.41)

Usando (5.29), podemos escrever:

C2(t) = C2(0) ++∞∑i=1

c(i)(0)ti, (5.42)

onde c = C2. Fazendo o mesmo com (5.38), (5.34) e (5.25) e substituindo em (5.24), temos:

C2(0) + V 2(0)A + P 2A(0) + U ′2(0) +

+∞∑i=1

(c(i)(0) + p(i)A (0) + v

(i)A (0) + u′(i)(0))ti = 1, (5.43)

onde pA = P 2A e vVA = V 2

A . E usando (5.26), temos:

+∞∑i=1

(c(i)(0) + p(i)A (0) + v

(i)A (0) + u′(i)(0)) = 0. (5.44)

Portanto,

u′(i)(0) = −(c(i)(0) + p(i)A (0) + v

(i)A (0)). (5.45)

Dessa forma, temos que

U ′2 = N 4x0

[4|yz|2x0 cosµ(|y|2 + |z|2 + |yz|x0 cosµ) + 14|yz|2 + 2(|y|2 − |z|2)

−(|y|4 + |z4|+ |yz|)] + ϑ2 ln(x0)[[4|yz|2(2(1− x0) + 1)] + (|y|2

−|z|2)x0]t2

(5.46)


5.4 Grandezas Complementares no Tempo Característico

Os resultados obtidos são para dois estados não-ortogonais arbitrários. Mas como discutido

na Seção 4.3, o sistema será modelado usando estados mesoscópicos. Por esse motivos,

usaremos propriedades dos estados coerentes para calcular as grandezas até então obtidas.

Os estados coerentes podem ser escritos no plano complexo do espaço de fase. Como

mostrado na Figura 5.1, podemos escrever o estado |α+〉 no eixo real, pois independe do

deslocamento α+, podemos fazer uma rotação para obtermos a conguração representada.

Fig. 5.1: A imagem ilustra a representação dos estados |α+〉 e |α−〉, no plano complexo do espaço de

fase, que estão separados por uma distancia r e v é a fase relativa os estados em questão .

Os círculos azul e vermelho são suas respectivas incertezas nas quadratura [16]. Já χ é um

ângulo interno do triângulo e λ = χ + v. Fixando uma distância r e variando λ teremos

uma família de estados que são equidistantes de |α+〉 .

Usando a 2.46 e analisando a gura acima, temos:

x0 = e−r2/2. (5.47)

E análogo a (5.14), podemos fazer:

D0 =√

1− x20, (5.48)

onde D0 é a distinguibilidade inicial entre os estados do oscilador.


Dessa forma, usando podemos reescrever (5.33), (5.37), (5.41) e (5.46) como:

C2 = 4|yz|2N 4r2ϑ2D20t

2, (5.49)

P 2A = N 4(|y|2 − |z|2)

[D2

0 +1

2r2ϑ2e−r

2/2t2], (5.50)

V 2A = 4N 4|yz|2

[D2

0 +1

2r2ϑ2t2

], (5.51)

U ′2 = N 4e−r2/2

Q2

0(r) +Q22(r)t2

(5.52)

onde

Q20(r) = 4|yz|2e−r2/2 cosµ(|y|2 + |z|2 + |yz|e−r2/2 cosµ) + 14|yz|2

+2(|y|2 − |z|2)− (|y|4 + |z4|+ |yz|),

Q22(r) =

1

2ϑ2r2[[4|yz|2(2(1− e−r2/2) + 1)] + (|y|2 − |z|2)e−r

2/2].

Porém, para obtermos os tempos característicos, precisaremos que as grandezas obtidas

não estejam ao quadrado. Dessa forma, precisamos tirar as raízes das equações acima.

Dito isto, suponhamos que seja k(t) uma função arbitrária e

k(t) = k(0) +

(d

dtk(0)

)t+

1

2

(d2

dt2k(0)

)t2 + ... (5.53)

sua série de Taylor em torno do tempo t = 0. A raiz desta séria será dada por:

√k(t) =

√k(0) +

1√k(0)

d

dtk(0)t+

1

4

√k(0)

[1

k(0)

(d2

dt2k(0)

)− 1

2k2(0)

(d

dtk(0)

)2]t2 + ...

(5.54)

Mas antes de seguirmos, note que temos uma informação importante aqui. Se formos

analisar os termos da concorrência em (5.49), podemos notar que o termo independente do

tempo, o equivalente a k(0), é zero. Por este motivo que calculamos apenas até o termo de

segunda ordem, embora o termo de ordem 3 também é zero. Além disso, se formos calcular

a série usando (5.13) também encontraremos termos divididos por zero. Com a nalidade de

contornar este problema, calculamos a concorrência quadrática e expandimos até o termo de

segunda ordem, pois podemos tirar a raiz e contornar este problema.


Dessa forma, usando (5.53) e (5.54) em (5.49), (5.50), (5.51) e (5.52), temos:

C = 2|yz|N 2rϑD0t, (5.55)

PA = N 2√

(|y|2 − |z|2)

[D0 +

1

4D0

r2ϑ2e−r2/2t2

], (5.56)

VA = 2N 2|yz|[D0 +

1

2D0

r2ϑ2t2], , (5.57)

U ′ = N 4e−r2/2

Q0(r) +

Q22(r)

Q0(r)t2. (5.58)

Uma vez que, as grandezas até aqui obtidas são adimensionais, e podemos ver que em

(5.55) há uma dependência de t. Para torná-la adimensional, as redeniremos como

C ≡ t

τC, (5.59)

(5.60)

onde τC é o tempos característico de emaranhamento. Este tempo caraterístico dene uma

escala de tempo para que as correlações quânticas se estabeleçam.

Como citado no início do Capítulo 5, τC dene o tempo em que o sistema perde energia

para o reservatório após o acoplamento com o oscilador. Desa forma, quando menor o τC

mais rápido será o processo de decoerência. E comparando (5.55) e (5.59), obtemos:

τC =1 + sinθe−r

2/2 cosµ

r sin θD0ϑ, (5.61)

onde µ = arg(y ∗ z) + |α+|r cosλ e zemos |y| = cos(θ)/2, |z| = sin(θ)/2, com 0 ≤ θ <π

2.

Este resultado trás os resultados encontrados em [24, 31], onde o aumento da distância

em um processo de decoerência mais rápido, uma vez que o tempo característico de emara-

nhamento diminui. Além disso, (5.61) nos mostra a fase inicial µ inuência o processo de

decoerência do sistema, sendo este um resultado inédito.

Uma vez obtido o tempo de decoerência do sistema, podemos observar a propriedade das

partículas envolvidas. A primeira propriedade a ser analisada será a preditividade. Como dis-

cutido no Capítulo 3, a diculdade de discriminar entre os estados |α+〉 e |α−〉. Esta grandeza

pode ser obtida experimentalmente usando medidas de qual estado1. Como conhecemos, essa

discriminação é máxima para estados ortogonais (P = 1), quando os elementos do sistema

1 Do inglês: which-state measurements.


estão interagindo como partículas. Usando o tempo característico (5.61) e substituindo em

(5.56), obtemos:

P = cot θ

[D4

0 sin θ + e−r2/2

D30

]. (5.62)

Para a segunda propriedade, a visibilidade quantica o contraste de interferência em

um sistema com propriedades de onda. Esta grandeza pode ser obtida experimentalmente

usando medidas de interferência2 . Podemos obter a visibilidade usando (5.61) em (5.57),

onde obtemos:

V =D4

0 sin θ + e−r2/2

D30

. (5.63)

Em ambos os casos, podemos observar que para o caso extremo r = 0, a distinguibilidade

é nula o que resulta em preditividade e visibilidade nulas. A preditividade nula signica que

é impossível discriminar os estados |α+〉 e |α−〉. Enquanto a visibilidade nula signica que

o a interferência máxima é igual a mínima, ou seja, não existe contraste na interferência.

Dessa forma, não faz sentido falar em valores muito pequenos de r. Por outro lado, a medida

em que aumentamos essa distância, onde para valores em raio seja muito grande, r →∞, a

desigualdade se aproxima da igualdade P 2 + V 2 = 1 .

Apesar de U ′ também ser uma propriedade de apenas uma das partes, ela não pode ser

obtida usando medidas de qual estado ou interferência [15]. Mas podemos obter o valor de

U ′ usando (5.61) em (5.58), onde obtemos:

U ′ = e−r2/2[Q0(r) +Q′22 (r)], (5.64)

onde Q′2 =Q2

r2Θ2 sin2 θD20

. Para r →∞, temos U ′ = 0 .

Como já é discutido a concorrência se perde muito rápido para valores muito grandes de

r, mantendo a igualdade

C2 + U ′2 + P 2 + V 2 = 1.

2 Do inglês: interference measurements.

6. CONCLUSÃO

Em nosso trabalho estudamos um sistema de um modo do campo eletromagnético acoplado

linearmente a N outros modos. Inicialmente o modo do campo eletromagnético foi preparado

em uma superposição arbitrária de dois estados coerentes, enquanto os outros N modos

estão no vácuo. O interesse deste trabalho foi estudar a evolução desse sistema e obtemos

a dinâmica do emaranhamento entre o oscilador principal e o banho. A dinâmica desse

sistema foi resolvida analiticamente. Quando estudamos o sistema, obtivemos as grandezas

e a relação de complementaridade para estados não ortogonais, que descrevem todas as

grandezas possíveis que podem ser obtidas diretamente ou indiretamente em um experimento,

como resultado principal do trabalho. Além disso, encontramos naturalmente uma grandeza

U ′ que não sabemos como pode ser medida [15].

Estudando o modelo do experimento, também encontramos o tempo característico que

varia com a distância entres os estados, como previsto por [24], e em adição a isso, mostramos

que as fases iniciais executam papel relevante.

Uma vez que, obtemos o tempo característico, zemos o estudo da preditividade, da

visibilidade e U ′. Mostramos o seu comportamento com a variação da distância dos estados

inicialmente em superposição.

Em resumo, obtemos a relação de complementaridade para estados não ortogonais, mos-

tramos que as fases executam papel importante num processo de perda de coerência de uma

superposição estado coerente quando submetido às utuações do vácuo. Estes resultados

simulam efeitos de perdas em cavidades supercondutoras e trazem contribuições inéditas

no estudo da decoerência de estados mesoscópicos bem como à transição entre os mundos

quântico-clássico.

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