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Universidade Estadual de Maringá Pós-Graduação em Educação para
a Ciência e Ensino de Matemática
Rosângela Constantino
O ENSINO DA GEOMETRIA
NO AMBIENTE
CINDERELLA
Maringá
2006
ROSÂNGELA CONSTANTINO
O ENSINO DA GEOMETRIA NO AMBIENTE
CINDERELLA
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Educação para a
Ciência e o Ensino de Matemática da
Universidade Estadual de Maringá –
UEM, como requisito parcial para a
obtenção do título de mestre em
Educação para a Ciência e Ensino de
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Doherty Andrade
MARINGÁ
2006
“Ainda que eu falasse línguas,
as dos homens e dos anjos,
Se não tivesse o amor,
Seria como um sino ruidoso
Ou como um símbolo estridente.
Ainda que eu tivesse o dom da profecia,
O conhecimento de todos os mistérios
e de toda a ciência,
ainda que tivesse toda fé,
a ponto de transportar montanhas,
se eu não tivesse amor eu nada seria”.
Primeira carta de São Paulo aos Coríntios. 13, 1-2.
Ao Wellen
homem especial da minha vida,
amigo, companheiro e marido,
que sempre compreendeu a importância deste desafio para mim.
Ao meu filho Leonardo,
inspiração de todos os momentos.
Aos meus pais, José e Maria,
exemplos de coragem e determinação,
que tanto se dedicaram à minha educação.
Aos meus irmãos,
em especial a minha irmã Roseli,
que em muitos momentos teve de cuidar do meu filho
para que eu pudesse realizar este trabalho.
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador professor Dr Doherty Andrade, que sempre soube me
compreender quanto ao tempo disponível para a realização do trabalho. Suas sugestões
e opiniões contribuíram significativamente para o aponte de cominho e a concretização
deste trabalho.
A professora Regina Pavanello pelas grandes sugestões e disponibilização de
materiais essenciais ao meu trabalho.
A professora Anair Altoé que viabilizou a realização do curso de extensão
realizado como estudo de caso neste trabalho.
Ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e
Ensino de Matemática da UEM que nos proporcionou o mestrado.
As alunas do curso de Pedagogia da UEM que se propuseram a participar desse
trabalho.
RESUMO
Este trabalho trata do ensino da Geometria e das possíveis contribuições dos softwares
de Geometria Dinâmica, em especial o software Cinderella. O objetivo deste trabalho é
analisar se uso do software de Geometria Dinâmica Cinderella auxilia na construção do
conhecimento em Geometria. Essa discussão se faz necessário, pois o computador
introduz uma dimensão dinâmica à investigação em Geometria. As representações de
figuras planas ou espaciais, poderem agora ser manipuladas e transformadas de
diferentes maneiras. Elaboramos um curso com atividades de Geometria plana
utilizando o software Cinderella para alunos do 2º ano do curso de Pedagogia para
analisar as dificuldades dos alunos na compreensão de conceitos de Geometria e a
possibilidade de superação dessas dificuldades mediante o uso do software. A análise
das discussões e comportamento dos alunos, futuros professores, revelaram inicialmente
o pouco conhecimento em Geometria e que a utilização dos softwares de Geometria
Dinâmica podem contribuir na evolução da aprendizagem em Geometria e potencializar
suas habilidades para visualização e compreensão do objeto geométrico.
Palavras-chave: ensino e aprendizagem de Geometria, Geometria Dinâmica,
representação.
ABSTRACT
This work treats of the Geometry teaching and the possible contributions of Dynamic
Geometry softwares, mainly Cinderella software. The aim of this work is to analyze if
the use of the Dynamic Geometry Cinderella software aids in the construction of the
knowledge in Geometry. This discussion is important because the computer introduces
a dynamic dimension to the investigation of the Geometry. The representations of plane
or space geometric illustrations can be now manipulated and transformed of different
ways. A course of plane Geometry was carried out, using the software Cinderella, with
students of the 2nd period of the Pedagogy graduation. This course was applied to
analyze the students' difficulties to understand Geometry concepts and the possibility of
overcoming of those ones by the use of the software. The analysis of the students'
discussions and behavior showed initially low knowledge of Geometry. And was
observed that the use of the Dynamic Geometry softwares can contribute to learning and
to increase their abilities to visualize and understand geometric objects.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Retrato de Euclides..........................................................................................19
Figura 2: Fragmentos do Elementos de Euclides............................................................19
Figura 3: Interface do software Cinderella......................................................................51
Figura 4: Barra de Ferramentas.......................................................................................52
Figura 5: Ferramentas Geométricas.................................................................................54
Figura 6: Como usar o modo Bissetriz............................................................................56
Figura 7: Usando o Compasso........................................................................................56
Figura 8: Usando a função polígono...............................................................................57
Figura 9: Medindo distâncias.........................................................................................59
Figura 10: Verificação do Teorema de Pitágoras............................................................59
Quadro 1: Níveis de Van Hiele........................................................................................76
Gráfico 1: Palavras ligadas à Geometria lembradas pelas alunas de
Pedagogia.........................................................................................................................88
Gráfico 2: Opinião das alunas do 2º ano de Pedagogia participantes do projeto, sobre o
uso do computador...........................................................................................................88
Tabela1: Questões corretas e incorretas assinaladas pelas alunas de Pedagogia
participantes do projeto...................................................................................................89
Tabela 2: Número e porcentagem de erros e acertos entre as questões de 1 a 5,
cometidos pelas alunas de Pedagogia .............................................................................89
Quadro 2:Respostas às questões 7 e 9 (pré-teste)............................................................91
Quadro 3: Construção de um Triângulo Qualquer..........................................................95
Quadro 4 - Construir figuras que mantenham propriedades que as definem..................96
Quadro 5: Construção de um Triângulo Isósceles...........................................................98
Quadro 6: Construção de um Quadrado..........................................................................99
Quadro 7: Respostas obtidas antes e após algumas atividades......................................121
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO...............................................................................11
CAPÍTULO 1- O ENSINO DA GEOMETRIA
1.1- Um Breve Histórico.................................................................. 17
1.2- O Ensino da Geometria..............................................................20
1.2.1-Formação do Professor..................................................23
1.2.2-O Movimento da Matemática Moderna.........................26
1.2.3-O Livro Didático de Matemática...................................28
1.3 – A Importância do Ensino da Geometria ..................................30
CAPÍTULO 2 – INFORMÁTICA E EDUCAÇÃO
2.1- Um Breve Histórico da Informática..........................................35
2.1.1 A Informática na Educação............................................36
2.2 – O Uso da Informática como Recurso Pedagógico...................39
2.2.1- A Informática no Ensino da Matemática......................40
2.3- A Formação do Professor para a Utilização das Novas
Tecnologias.......................................................................................42
2.4- Geometria Dinâmica..................................................................47
2.4.1- O Software Cinderella..................................................48
CAPÍTULO 3 – O PENSAMENTO GEOMÉTRICO
3.1- O Objeto Geométrico.................................................................65
3.2- Visualização e Representação Geométrica................................70
3.3- Contribuições do Computador para a Formação do Pensamento
Geométrico........................................................................................77
CAPÍTULO 4 – A PESQUISA
4.1- Sujeitos da Pesquisa...................................................................80
4.2- Coleta de Dados.........................................................................80
4.3- Apresentação e Discussão dos Resultados.................................86
CONSIDERAÇÕES FINAIS.......................................................130
REFERÊNCIAS............................................................................135
APÊNDICES
Apêndice A: Questionário Perfil...............................................................139
Apêndice B: Questionário de conhecimento Geométrico.........................140
Apêndice C: Atividades realizadas............................................................143
Apêndice D: Ficha de análise dos encontros.............................................151
Apêndice E: Respostas obtidas no pré e pós-teste....................................152
INTRODUÇÃO
Sabemos que a Geometria está presente em diferentes situações da vida humana. Por esse
motivo, os Parâmetros Curriculares Nacionais e pesquisadores da área da Educação
Matemática, recomendam que a escola proporcione aos alunos desde as séries iniciais o
acesso ao conhecimento, visando a compreensão e a interação dos mesmos com o mundo em
que vivem. No entanto, diversos trabalhos de pesquisa realizados nas últimas décadas
abordam o abandono ou a omissão do ensino da Geometria no Ensino Fundamental e Médio
no Brasil, entre eles Peres (1994), Lorenzato(1995), Pavanello, (1989, 1993,1995 e 2004).
Esses autores apontam alguns motivos para esta omissão, das quais destacamos: a formação
de professores; o Movimento da Matemática Moderna e a influência dos livros didáticos.
Assim a recuperação do ensino da Geometria passou a ser uma preocupação dos estudiosos da
área de Educação Matemática, não só no Brasil, mas em inúmeros países, visto que em
outubro de 1995, foi realizada na cidade da Catânia, na Sicília-Itália, a conferência
“Perspectivas para o Ensino da Geometria no Século XXI”, organizada pela comissão
Internacional para a Instrução Matemática. A conferência faz parte de um evento temático
denominado ICMI (The International Commission on Mathematics Instruction) que tem por
finalidade estudar tendências, apontar necessidades e fazer recomendações que, em sua
maioria, são consideradas na elaboração de currículos nacionais e incorporados em projetos,
experiências e materiais didáticos.
12
A pauta da reunião começou a ser organizada em 1994, quando o comitê elaborou o
documento “Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st Century” 1 com os
seguintes objetivos:
* Discutir os objetivos do ensino da Geometria nos diferentes níveis escolares e de acordo
com os diferentes ambientes e tradições culturais;
* Identificar desafios importantes e tendências emergentes para o futuro e analisar seu
potencial como impacto didático;
* Explorar e implantar novos métodos de ensino.
Destacamos ainda algumas das questões, presentes nas discussões como: Por que é
aconselhável e/ou necessário ensinar Geometria? O quê e como ensinar Geometria? O que é
pensamento geométrico? Como ele se desenvolve? Como avaliar conhecimentos
geométricos?
Diante dessas perspectivas, foram feitas algumas recomendações nessa Conferência das quais
citamos algumas:
O currículo de Matemática do ensino primário deve incluir geometria bi e tridimensional
para que os alunos sejam capazes de descrever, desenhar e classificar as figuras; investigar e
predizer o resultado de combinar, subdividir e transformar figuras; de desenvolver a
percepção espacial; de relacionar idéias geométricas com idéias numéricas e de medição; de
reconhecer e apreciar a geometria dentro de seu mundo.
Deve-se evitar substituir o programa de geometria pelos tópicos sobre medidas.
1 PERSPECTIVES ON THE TEACHING OF GEOMETRY FOR THE 21ST CENTURY. In Education Studies in Mathematics, 28, p. 91-98. O 1995 Kluwer Academis Publishers. Printer in Belgium. Apud Nacarato, et al 2003, p. 28-30.
13
Merecem menos atenção atividades centradas na memorização de vocabulário, fatos e
relações.
Nos seis primeiros anos de escolaridade o programa deve ser essencialmente centrado em
atividades e não em teorias sobre tópicos geométricos.
Os alunos devem ter contato com atividades geométricas durante todo o ano letivo e não
somente em um determinado período de tempo no ano.
São recomendáveis atividades que façam conexões com áreas afins como Artes, Geografia
e Física.
Havendo condições e se os professores estiverem preparados, devem ser organizadas
atividades com tópicos não convencionais e que fogem da tradição euclidiana, tais como:
topologias e grafos; geometria não-euclidiana; teoria de nós, etc.
O currículo de geometria, principalmente a partir da 7ª série, deve ter fortes conexões com
aplicações e situações reais.
Rudimentos de geometria analítica podem ser antecipados sem ênfase demasiada na
notação.
É possível uma abordagem de natureza histórico-epistemológica, de que a geometria é rica
em significados.
Instituições como universidades e secretarias de educação devem organizar programas para
a capacitação dos professores para o ensino da geometria.
As novas tecnologias têm afetado profundamente nossa sociedade. Atividades, como
desenhos técnicos feitos à mão tornaram-se obsoletas. Novas profissões estão surgindo. É fato
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que os indivíduos deste final de século necessitam de uma Educação Visual. A Geometria
contribui para atingir esta meta.
Para Fischbein (19932, apud GRAVINA 1996) a Geometria possui algumas dificuldades
inerentes ao seu processo de ensino e de aprendizagem, visto que o objeto geométrico deve
ser tratado como tendo duas componentes, uma conceitual e outra figural. A componente
conceitual, através de linguagem escrita ou falada, com maior ou menor grau de formalismo
expressa propriedades que caracterizam certa classe de objetos. Já a componente figural
corresponde à imagem mental que associamos ao conceito, e que no caso da Geometria tem a
característica de poder ser manipulada através de movimentos como translação, rotação e
outros, mas mantendo invariantes certas relações. A harmonia entre estas duas componentes é
que determina a noção correta sobre o objeto geométrico.
A associação do desenho ao objeto geométrico é muito importante para a compreensão, mas
muitas vezes não fica claro para o aluno que um desenho representa uma situação específica,
pois guarda características particulares que muitas vezes não pertencem ao conjunto das
propriedades geométricas que definem o objeto.
Para alguns pesquisadores como Fainguelernt (1999); Passos (2000), Pais (1996) a habilidade
de visualização, o desenho, e a construção dos conceitos são importantes para a aprendizagem
em Geometria.
LABORDE3 (1998, apud Alves, 2004) menciona que há um consenso entre educadores
matemáticos de que o uso do computador em Geometria pode contribuir para a visualização
geométrica, visto que oferece inúmeras representações de um objeto geométrico evitando
2 FISCHBEIN. E. The Theory of figural concepts. Education Studies in Mathematics. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1993.
3 LABORDE,C. Visual phenomena in the teaching/learning of geometry in a computer-based environmente. In: MAMMANA,C. VILLANI, V. Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century-An ICMI. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic, 1998.
15
assim desenhos prototípicos e ainda que os alunos associem um desenho específicoao objeto
geométrico.
Pesquisas relatam bons resultados na aprendizagem da Geometria por meio do uso da
informática como Misculin (1994), Souza (2002) e Balcewicz (2003).
Assim propomos nesse trabalho um estudo sobre as contribuições dos softwares de Geometria
Dinâmica na aprendizagem da Geometria. Para tanto elaboramos um curso de Geometria para
alunas de Pedagogia, onde as atividades envolvendo alguns conceitos de geometria foram
realizadas no ambiente do software Cinderella, que é um software de Geometria Dinâmica. E
assim, esperamos por meio dessa experiência e discussão contribuir significativamente para o
ensino da Geometria apoiado por software de Geometria Dinâmica.
Para realização do trabalho elaboramos quatro capítulos:
Capítulo 1: Como nosso trabalho enfatiza a importância da Geometria, achamos necessário
apresentar um breve histórico sobre que necessidades levaram o homem a fazer uso da
Geometria em seu cotidiano, propondo-nos em seguida a situar a questão do ensino da
Geometria tendo como embasamento os trabalhos de diversos autores como Pavanello (1989,
1993 e 1995), Peres (1995), Lorenzato (1995) entre outros.
Capítulo 2: Como um dos nossos objetivos é investigar a colaboração da informática ao
ensino da Geometria, neste capítulo delineamos questões relativas ao seu uso como recurso
pedagógico em Matemática. Descrevemos o que é um software de Geometria Dinâmica, para
na seqüência descrever o software Cinderella ressaltando suas principais ferramentas e
vantagens. Por último mencionamos as principais contribuições dos softwares de Geometria
Dinâmica e especial o Cinderella.
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O Capítulo 3: A geometria possui algumas dificuldades inerentes à sua aprendizagem, como
a noção de objeto geométrico e as questões de visualização e representação. Assim nesse
capítulo procuramos descrever como alguns autores (PAIS, 19996; FISCHBEIN, 1993;
FAINGUELERNT, 1999) tratam o desenvolvimento do pensamento geométrico, também o
desenvolvimento do conceito de objeto geométrico e as questões relacionadas à visualização e
a representação geométrica. Por último discutimos as contribuições do uso do computador
para a formação do desenvolvimento do pensamento geométrico.
Capítulo 4: Neste capítulo descrevemos e analisamos os resultados da pesquisa realizada com
alunas do curso de Pedagogia, no qual utilizamos o software Cinderella para resolução de
atividades de geometria plana para analisar as contribuições de um ambiente de Geometria
Dinâmica, em especial o Cinderella para à aprendizagem em Geometria.
CAPÍTULO 1
O ENSINO DA GEOMETRIA
INTRODUÇÃO
Como nosso trabalho enfatiza a importância da Geometria, achamos necessário apresentar um
breve histórico sobre que necessidades levaram o homem a utilizar-se da Geometria em seu
cotidiano, propondo-nos em seguida a situar a questão do ensino da Geometria tendo como
embasamento os trabalhos de diversos autores como: Pavanello (1989, 1993, 1995 e 2004,
Peres (1994), Lorenzato (1995). Para justificar ainda nosso trabalho discutimos a importância
do ensino da Geometria.
1.1 Um breve histórico
Para Vitrac (2006) a explicação mais aceita sobre as origens da Geometria foi proposta pelo
historiador Heródoto de Halicarnasso, no segundo dos nove livros de sua Enquête (século V a.
C.) que traz a mais antiga menção da palavra grega “geometria” a ter chegado aos nossos
dias. Os sacerdotes egípcios contaram a Heródoto que o rei Sesóstris, dividia o solo entre
todos os egípcios agricultores, atribuindo um lote igual a cada um e prescrevendo que cada
detentor passaria a lhe dever um tributo anual com base nessa repartição. Contudo, uma vez
ao ano o rio Nilo inundava parte do lote. O proprietário prejudicado ia então ao encontro do
soberano, que averiguava o quanto do terreno diminuíra para então providenciar um
abatimento proporcional no tributo a ser pago. Ao que tudo indica, concluía Heródoto, foi isso
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que ensejou o nascimento da geometria. Ele acrescenta que os gregos transmitiam uns aos
outros esse conhecimento.
A força da descrição de Heródoto é etimológica: “geometria” constiui-se do prefixo “geo”,
derivado de “ge”, a terra, e do verbo “métrein”, “medir”. E assim temos “geometria=medida
da terra”, e a idéia de que ela teria nascido da agrimensura.
Afirmações sobre a origem da Geometria são incertas e muito arriscadas, pois os primórdios
do assunto são mais antigos do que a arte de escrever.
Heródoto e Aristóteles não quiseram se arriscar a propor origens mais
antigas que a civilização egípcia, mas é claro que a Geometria que tinha em
mente possuía raízes mais antigas. Heródoto mantinha que a Geometria se
originava no Egito, pois acreditava que tinha surgido da necessidade da
prática de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual do vale
do Rio Nilo. Aristóteles achava que a existência no Egito de uma classe
sacerdotal com lazeres é que tinha conduzido ao estudo da Geometria
(BOYER, 1996: pág. 4).
A Geometria foi empregada pelos povos primitivos na construção de objetos de decoração, de
utensílios, de enfeites e na criação de desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas,
com grande riqueza e variedade, apareceram em cerâmicas, cestarias, e pinturas de diversas
culturas, com a presença de formas como triângulos, quadrados e círculos, além de outras
mais complexas.
Conforme Kobayashi (2001) foi durante os séculos VII e VI a.C que os gregos, os primeiros a
se interessarem pela Matemática para além de necessidade prático-utilitária, mas como
ciência. Para Kobayashi (2001), o homem começa a se preocupar em formular questões sobre
o “por que” e não mais sobre o “como”.
18
A mais preciosa fonte de informação deste período é chamado Sumário Eudemiano de
Proclus, que se constitui de páginas de abertura de comentários sobre Os Elementos, onde
aparece um resumo sobre o desenvolvimento da geometria grega, de seus primórdios até
Euclides.
O ápice da Geometria Grega é atingido no período helenístico, mas esse fato não implica que
não existiram produções significativas anteriormente. Na verdade, existiu uma vasta produção
matemática que remonta a muitos séculos antes de Euclides. Toda essa produção recebeu a
denominação de Geometria Pré-Euclidiana.
Euclides de Alexandria viveu entre 300 e 200 a.C. e desenvolveu o método axiomático
(estrutura lógica de pensamento). Embora nenhuma descoberta lhe seja atribuída, sua
habilidade de expor didaticamente o conhecimento geométrico foi como o primeiro passo na
história do pensamento matemático, bem como da organização da própria Matemática.
Euclides foi o grande sistematizador de sua época. A ordenação da Geometria de seu tempo,
que realizou em um sistema dedutivo (do todo para as partes), é um trabalho notável. Tomou
ele um pequeno número de conceitos geométricos simples e procurou demonstrar todos os
demais como conseqüências lógicas desses primeiros, isto é, Euclides estabeleceu um sistema
axiomático (lógico-dedutivo).
19
Fig 1 Retrato de Euclides
Os Elementos de Euclides representam, de um modo perfeito, o tipo de Geometria que
dominou as ciências durante todo o período compreendido entre a Antigüidade e a Idade
Moderna. Sem dúvida, eles representam uma das contribuições mais importantes para a
Metodologia das Ciências.
Figura 2: Um dos mais antigos fragmentos dos Elementos de Euclides, encontrado em 1897 no Egito. Contém a
proposição 5 do livro II.
20
1.2 A SITUAÇÃO DO ENSINO DA GEOMETRIA
O “abandono”ou a “omissão” da Geometria no Ensino Fundamental e Médio tem sido objeto
de muita discussão entre os educadores matemáticos no Brasil. Muitos trabalhos, como de
Peres (1991), Pavanello (1989,1993) e Lorenzato (1993, 1995), mostram a problemática em
torno do ensino e da aprendizagem da Geometria, onde ressaltam vários aspectos os quais
destacamos:
Peres (1991) e Pavanello (1993) destacam dois aspectos que atuam forte e diretamente em
sala de aula:
- Muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para realização de
suas práticas.
-À exagerada importância que desempenha o livro didático entre os professores, onde na
maioria das vezes a Geometria é apresentada como um conjunto de definições, propriedades,
nomes e fórmulas, e ainda, como também em termos de relegá-la aos capítulos finais dos
livros, os quais o professor nunca consegue chegar, e ainda sem conexão com os demais
temas.
Para Lorenzato (1995) além das causas acima ainda acrescenta:
-Nos currículos, a Geometria possui uma fragilíssima posição, quando consta. A Geometria
quando apresentada é fragmentada e separada da Aritmética e da Álgebra.
- Antes da chegada do Movimento da Matemática Moderna (MMM) no Brasil, o ensino
geométrico era marcantemente lógico-dedutivo, com demonstraçòes. A proposta da
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Matemática Moderna de algebrizar a Geometria não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar
o modelo anterior.
Em suma, o que podemos perceber é a pouca importância que vem sendo dado ao ensino da
Geometria em todos os níveis de ensino. De acordo com Biembengut & Silva
a geometria faz parte do currículo do 1º e 2º graus, em devidas proporções. Porém, relegada à disciplina de Educação Artística ou ao final do programa de Matemática, esta importante área do conhecimento, muitas vezes, tem sido negligenciada. Tratada sob uma certa forma teórica, tem se tornado árida e sem sentido para boa parte dos alunos e até professores (1995, p. 39).
E ainda para Peres (1995):
“Há pouco Ensino de Geometria em nível de 1 e 2 graus, quer seja por falta de tempo; por estar sempre no final dos planejamentos; por estar no final dos livros; pela preferência dos professores por Aritmética ou Álgebra; por ser o programa de matemática muito extenso em cada série; pelo fato de a quantidade de aulas semanais em cada série ser insuficiente para “cumprir todo o programa.”( 1995, p. 45).
Pavanello (1989), em sua dissertação de mestrado, mostra que o problema com o ensino da
geometria surge e se avoluma à medida que as escolas de nível secundário passam a atender
um número crescente de alunos das classes menos favorecidas. Nesse momento a geometria é
praticamente excluída do currículo escolar ou passa a ser, em alguns casos restritos,
desenvolvida de uma forma muito mais formal a partir da introdução da Matemática
Moderna. A autora enfatiza ainda que o grande desconhecimento da Geometria por parte dos
alunos e até dos professores é preocupante, pois, na medida em que a escola deixa os alunos
sem acesso a conhecimentos importantes, acaba contribuindo para que as desigualdades
sociais se acentuem e se perpetuem.
Fonseca, et al (2002), num curso para formação de professores pediu para que estes
relatassem os tópicos de matemática que eles focalizam nas séries iniciais, e percebeu que:
22
O conteúdo de Geometria aparece sempre no final, dando a entender que é um estudo
deixado para o fim do período letivo;
O estudo de Geometria inicia-se com curvas abertas e fechadas, interior/exterior, o que
sugere uma permanência da influência do Movimento da Matemática Moderna;
Pelos relatos dos professores, observa-se que a tônica do ensino de Geometria está centrada
na nomeação e classificação das figuras planas mais conhecidas;
O estudo das figuras planas precede o estudo dos sólidos, numa organização mais próxima à
exposição euclidiana do que às propostas pedagógicas que valorizam a experiência e a
manipulação como pontos de partida (o que sugeriria antepor o estudo dos sólidos ao estudo
das figuras planas);
A inclusão de “ponto, reta, plano, segmento, semi-reta, ângulos” numa fase muito inicial da
escolaridade é freqüente, num estudo centrado na apresentação formal dos conteúdos em
detrimento da exploração dos conceitos (3ª e 4ª séries).
Pereira (2001) na sua dissertação de mestrado intitulada: “A geometria escolar: uma análise
sobre o abandono de seu ensino” busca analisar o modo pelo quais as pesquisas têm tratado o
abandono da Geometria no paradigma curricular do Ensino Fundamental e Médio, partindo de
uma seleção da literatura produzida nos últimos vinte anos. Selecionando categorias que
pudessem detectar pontos comuns em relação ao tema “o abandono da Geometria”, e obteve
as seguintes:
Problemas com a formação do professor
Geometria nos livros didáticos
Lacunas deixadas pelo MMM (Movimento da Matemática Moderna)
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Assim optamos por discutir cada um dos itens citados.
1.2.1 Problemas com a formação do professor
Dando enfoque à formação do professor de matemática, a situação parece mais grave quando
se trata especificamente da Geometria, visto que esta, na maioria das vezes, é apresentada aos
alunos como ciência pronta e acabada, com conteúdos desvinculados do real, desmotivando
os alunos e gerando dificuldades. Segundo Lorenzato (1995) “muitos professores não detêm
os conhecimentos geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas” de
modo que se estabelece um círculo vicioso: “a geração que não estudou Geometria não sabe
como ensiná-la”, o que leva a outra geração sem conhecimento geométrico e assim por diante.
Almouloud e Mello (2000), destacam:
grande parte dos professores que hoje estão em atividade tiveram uma formação de
base muito precária em Geometria, devido à própria influência que o Movimento da
Matemática Moderna desempenhou em nossos currículos nas décadas de 60/70;
os cursos de formação inicial de professores – tanto os cursos de magistério como os
de licenciatura – continuam não dando conta de discutir com seus alunos uma proposta mais
eficiente para o ensino de Geometria;
também as modalidades de formação continuada, basicamente na forma de cursos de
reciclagem, não têm atingido, igualmente, o objetivo de mudar a prática na sala de aula em
relação ao ensino de geometria.
Perez (1995, p. 57) afirma que “Faltam metodologia e materiais concretos para o professor
efetivar o ensino em Geometria, mostrando formação deficiente em conteúdo e metodologia
24
assim como necessidade de orientação e atualização, através de cursos, após estarem no
mercado de trabalho”.
Pavanello (2004) numa pesquisa com professores e alunos das séries iniciais relata as
dificuldades de professores no reconhecimento de figuras geométricas planas, de seus
elementos e propriedades, o que indica que o trabalho pedagógico realizado com eles nas
diferentes instâncias de sua formação não lhes permitiu elaborar devidamente seus conceitos
sobre as figuras geométricas planas (p. 135). A autora esclarece que parece ser possível
afirmar que muitas das dificuldades que as crianças apresentam em relação ao conhecimento
geométrico podem ter relação com a didática do professor, que na maioria das vezes, dá
enfoque somente a nomenclatura, deixando de evidenciar suas propriedades.
Mas o problema com o ensino-aprendizagem de Geometria não se instalou apenas no Brasil,
tanto no que diz respeito à formação deficiente de professores na área de Geometria como no
baixo rendimento dos alunos.
Hershkowitz (1994) numa pesquisa reralizada em Israel em 1984, verificou que os professores
apresentam padrões de concepções incorretas semelhantes aos dos alunos de 5ª e 8ª séries,
o que sugere que o processo de formação de conceitos de Geometria e os fatores que inibem essa formação atuam de maneira semelhante sobre os indivíduos – alunos, professores alunos e professores. Tudo indica que é preciso fazer com que os professores ou os futuros professores se familiarizem com esses processos e as concepções incorretas associadas a eles ( HERSHKOWITZ, 1994. p.279).
Usiskin (1994), no artigo “Os Dilemas Permanentes da Geometria Escolar”, relata que em
uma Avaliação Nacional dos EUA (1992), menos de 10% das crianças com 13 anos de idade
sabiam determinar a medida do terceiro ângulo de um triângulo dadas às medidas dos outros
dois. Observou que uma questão mais difícil – determinar a hipotenusa de um triângulo
25
retângulo, dadas às medidas dos catetos – foi resolvida por 20% das crianças. Esses resultados
ressaltam além do baixo desempenho dos alunos, um fator interessante: o Teorema de
Pitágoras foi resolvido por um número maior de alunos, o que ilustra segundo o autor, a
ligação fundamental entre currículo e desempenho, ou seja, os alunos aprenderão aquilo que
lhes for mais ensinado. Usiskin relata ainda que, para poder melhorar o desempenho dos
alunos é preciso ampliar o grupo de pessoas que desejam estudar Geometria e para ampliar
esse grupo, é preciso que haja um número maior de alunos com bom desempenho em seus
estudos de Geometria. O autor diz que esses fatos constituem um dilema do tipo “o ovo ou a
galinha” e para superar esse dilema sugere:
Exigir de todos os alunos um nível significativo de competência em geometria.
Exigir que todos os futuros professores de matemática, da escola elementar ou secundária,
estudem geometria na faculdade.
Analisar, de uma perspectiva curricular, as várias maneiras de conceituar a geometria.
Isso por que: “A Geometria é importante demais no mundo real e na Matemática para ser
apenas um adorno na escola” (Usiskin, 1994 p.37).
A situação descrita evidencia que enquanto não houver um investimento na formação dos
professores e nos currículos dos cursos que os formam, as deficiências formativas dos alunos
continuarão. Assim na prática alguns professores fogem do ensino da Geometria, e ainda pior,
devido à deficiência na formação, alguns acabam trabalhando alguns conceitos de maneira
equivocada.
26
Souza (2001, p.34) enfatiza: “nem a escola básica, nem mesmo a universidade, estão
conseguindo atingir os objetivos de ensino no que diz respeito à formação geométrica dos
alunos”.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) encontramos
tanto as propostas curriculares como os inúmeros trabalhos desenvolvidos por grupos de pesquisa ligados a universidade e a outra instituições brasileiras são ainda bastante desconhecidos de parte considerável dos professores que, por sua vez, não têm uma clara visão dos problemas que motivaram as reformas. O que se observa é que idéias ricas e inovadoras não chegam a eles, ou são incorporados superficialmente ou recebem interpretações inadequadas, sem provocar mudanças desejáveis. (BRASIL, 1997, p. 23).
1.2.2- O Movimento da Matemática Moderna
Para Miskulin (1994), desde da década de 30, foi tentado unir a Matemática através da
reconstrução de vários de seus ramos, utilizando-se a Teoria dos conjuntos.
Para Pavanello (1989) “Há muito vinha-se questionando o ensino da matemática, porém, em
princípios da década de 50 a crítica acentua-se: é a disiciplina na qual os alunos tem pior
desempenho e a que neles causa maior aversão” (p.93). E assim muitos grupos se dedicam a
criar novos currículos de matemática financiados pelos órgãos governamentais.
A autora ainda destaca que uma dos principais motivos apontados pelos diferentes grupos
dedicados a reforma do currículo é que os tópicos abordados no currículo tradicional se
referem a desenvolvimentos anteriores ao século XVIII, e estes deveriam ser substituídos por
campos novos da Matemática, como a álgebra abstrata, a topologia, a lógica matemática e a
álgebra de Boole, “a ênfase no novo (conteúdo e abordagem) faz com que o movimento fique
conhecido como ‘matemática moderna’”(p.94).
27
Em 1959, realizou-se o Congresso em Royamont, na França, segundo Castelnuovo (19894,
apud MISKUKIN, 1994, p.15) “toma-se a posição do matemático, Jean Dieudomé, que marca
uma ruptura com o ensino tradicional da Matemática, que chega a proclamar, chega de
Euclides”.
Recomenda-se a inclusão de tópicos como a lógica, estruturas de passariam a ser ensinadas
numa nova linguagem, a teoria dos conjuntos. ”Quanto à Geometria, seu estudo é reduzido
justamente no momento em que a escola secundária se democratiza e privilegia-se, em seu
lugar, a álgebra e a aritmética”. (PAVANELLO,1994, p.95)
O MMM tinha como principais diretrizes a preocupação com o rigor e com a precisão da
linguagem.
Os programas de Geometria foram reduzidos, tornando um mero exemplo de aplicação da
teoria dos conjuntos e da álgebra vetorial. Procurou-se justificar essa nova orientação, não
somente pela aplicabilidade da aritmética à física, à química e outras, mas também pelo valor
cultural do estudo do número.
Numa síntese Kaleff (19945, apud ALVES, 2004, p.32) temos:
A Geometria Euclidiana foi praticamente excluída dos programas escolares e
também dos cursos de formação de professores de primeiro e segundo graus, com
conseqüências que se fazem sentir até hoje. Em muitas escolas de primeiro grau, o
ensino da Geometria não só é confundido com o do Desenho Geométrico, como
também as suas aulas são ministradas separadamente das de Matemática. Como
conseqüência desta separação, não são professores com formação em Matemática
que, na maioria das vezes, ministram as aulas de Geometria, porém outros
profissionais cuja formação pode não ser adequada à tarefa em questão.
4 Castelnuovo, E. (1989) Panorama de la Enseñanza Matemática en el Tiempo y en el Espacio. In: Educación Matemática, v.1, n.3, p.24-29. 5 KALEFF, A. M.M.R, Tomando o ensino de geometria em nossas mãos, Educação Matemática em revista, SBEM, São Paulo. no 2, 1º semestre de 1994.
28
Mais ainda nos dias atuais, percebemos que são poucas as escolas que oferecem a disciplina
de desenho geométrico.
1.2.3- O Livro didático de Matemática
Parece evidente que entre os materiais didáticos utilizados pela escola o livro didático é o que
mais diretamente influencia a aprendizagem, pois este recurso é a fonte de informação e,
talvez, a única para o professor e o aluno. É fácil entender então a necessidade que os
professores têm em utilizar os livros didáticos, pois os mesmos são um recurso de fácil
alcance, a eles e aos alunos. Sendo assim, a maneira como os conteúdos são organizados nos
livros didáticos certamente será a usada pelo professor. Segundo se lê em Freitag (1997), o
livro didático, não serve aos professores como simples fio condutor de seus trabalhos, ou seja,
como um instrumento auxiliar para conduzir o processo de ensino e transmissão do
conhecimento, mas como um modelo-padrão.
O que percebemos na prática como professora é que os Livros Didáticos de Matemática, na
maioria das vezes tratam a Geometria como se fosse um dicionário de definições e de
inúmeras propriedades que são apresentadas como fatos, sem buscar argumentos que
expliquem o porquê das relações. Iniciando com definições acompanhadas de desenhos bem
particulares, os ditos desenhos prototípicos, por exemplo, os quadrados com lados paralelos às
bordas da folha de papel, alturas em triângulos sempre acutângulos, etc. Isto leva os alunos a
tê-los como únicos representantes desses objetos, de modo que a posição relativa do desenho
ou um traçado particular passa a caracterizar o objeto geométrico, quer no aspecto conceitual
como no aspecto figural, e não consegue reconhecer estes mesmos objetos quando
apresentados em outra posição.
29
Castelnuovo (apud MISKULIN,1994), num estudo em busca de entender a “aversão
universal” que a Matemática desperta, optou por um caminho histórico do Ensino da
Matemática a partir de documentos que retratavam métodos de seu ensino. Tentando
encontrar os “ramos” que pudessem unificar os países, no que diz respeito à “incompreensão
da Matemática”, nada encontrou na Álgebra e na Aritmética, mas com relação à Geometria
verificou que quando o ensino era somente em colégios religiosos para poucos, o ensino da
Geometria era realizado de acordo com “Os Elementos de Euclides”, pois era a única obra a
que tinham acesso.
Entretanto, destaca que Euclides não havia escrito sua obra com a finalidade de uso nas
escolas.
Ainda segundo Castelnuovo (apud Miskulin 1994) Alex Claude Clairaut, em 1741, no
prefácio de seu livro “Os Elementos de Geometria” enfatiza que é impossível que um
estudante iniciante no processo educativo possa compreender “Os Elementos de Euclides”,
devido à demasiada axiomatização e abstração inerentes a ele.
Miskulin (1994, p. 38) menciona que Miguel (19996), em sua tese de doutorado também
menciona Clairaut, destacando:
(...) a causa da dificuldade enfrentada pelos principiantes, no início de um curso de Geometria era a forma como esta Ciência era ensinada, em fiel conformidade com a metodologia euclidiana para a qual os alunos não tinham maturidade suficiente para acompanhar, Clairaut propõe um outro caminho para o ensino da Geometria baseada na História. Nesse sentido, acreditava que sua obra seguisse em grandes traços, um caminho semelhante àquele percorrido pela humanidade na aquisição dos conceitos e leis matemáticas, isto é, semelhante à forma como o próprio Clairaut reconstituía esse caminho.
6 Miguel, A. (1993) Três estudos sobre história e educação matemática. Campinas: Faculdade de Educação da UNICAMP. (Tese de Doutorado em Educação).
30
Caltelnuovo, citada por Miskulin, observa que com o passar do tempo surgem livros em
diferentes áreas do conhecimento e em diversos países, mas na Matemática havia um único
livro igual em todas as escolas e de muitos países: “Os Elementos de Euclides”, ou seja, a
demasiada axiomatização e abstração atribuída a esta obra continuavam, e por conseqüência a
dificuldades dos alunos em relação à compreensão da Geometria.
1.3-A Importância do Ensino da Geometria
Depois de termos apresentado algumas considerações sobre o ensino da Geometria
questionamos: Qual a importância em se aprender Geometria? Ou ainda: Por que ensinar
Geometria? Talvez a resposta mais imediata fosse: a Geometria está em toda parte, visto que
lidamos em nosso dia-a-dia com idéias de paralelismo, congruência, semelhança, medição,
simetria, área, volume e muitas outras.
É claro, que os aspectos utilitários da Geometria são importantes, mas para Fonseca (2002) é
possível e desejável, todavia, que o argumento da utilização da Geometria na vida cotidiana,
profissional ou escolar permita e desencadeie o reconhecimento de que sua importância
ultrapasse esse seu uso imediato para ligar-se a aspectos mais formativos” (p. 92)
Em relação a potencialidade da Geometria , Freudenthal ( 19737,apud FONSECA, et al, 2002)
expressa:
A Geometria é uma das melhores oportunidades que existem para aprender como matematizar à realidade. É uma oportunidade de fazer descobertas como muitos exemplos mostrarão. Com certeza, os números são também um domínio aberto às investigações, e pode-se aprender a pensar através da realização de cálculos, mas as descobertas feitas pelos próprios olhos e mão são mais surpreendentes e convincentes. Até que possam de algum modo ser dispensadas, as formas no espaço são um guia insubstituível para pesquisa e a descoberta(p. 92-93). (grifo nosso)
7 FREUDENTHAL, H. Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidek, 1973.
31
Para Pavanello (1995), muitos autores (entre os quais O’Daffer, 1980 e Post, 1981) apontam à
geometria como sendo o ramo da Matemática mais adequado para o desenvolvimento de
capacidades intelectuais, tais como a percepção espacial, a criatividade, o raciocínio
hipotético-dedutivo. Destaca ainda a autora que não se pode negar que “a Geometria oferece
um maior número de situações nas quais o aluno pode exercitar sua criatividade ao interagir
com as propriedades dos objetos, ao manipular e construir figuras, ao observar suas
características, compará-las, associá-las de diferentes modos, ao conceber maneiras de
representá-las”.(p.13)
Os PCNs dão ênfase à figura geométrica e salientam as principais funções do desenho:
visualizar, fazer ver, resumir, ajudar a provar e a conjecturar.
Clements e Battista (197808apud Miskulin, 1994) destacam a importância do raciocínio
geométrico no ensino da Matemática, mencionando:“Entendimentos espaciais são
necessários para interpretar, compreender e apreciar nosso inerente mundo geométrico”.
Para os autores, “Geometria é captar o estreito espaço no qual a criança vive, respira e se
movimenta. O espaço que deve aprender para conhecer, explorar, conquistar para viver,
respirar e se movimentar melhor nele” (p. 29).
Também segundo Deguire (1994,) é possível citar muitas razões para que se estude Geometria
nas séries iniciais e de Ensino Médio. Uma delas é a oportunidade que a geometria oferece de
“ensinar a resolver problemas” e “ensinar para resolver problemas”,
...ensinar a resolver problemas ultrapassa a mera resolução de problemas para
incluir a reflexão sobre processos de resolução, objetivando coligir estratégias de
resolução de problemas que poderão ser úteis posteriormente; ensinar para resolver
8 Clements, D. H., Battista, M. T. Geometry And SpatiaL Reasoning. In: NCTM TÓPICO, 1991
32
problemas envolve o ensino do conteúdo de uma maneira significativa, de modo que
passe a ser utilizado em outros problemas e aprendizados. Uma maneira, pelo
menos, de ensinar para resolver problemas consiste em desenvolver o conteúdo a
partir de episódios de resolução de problemas. (DEGUIRE, 1994,p. 73).
Para nós fica evidente que quando o professor trabalha com resolução de problemas propicia
uma motivação aos alunos e não uma passividade promovida pelos problemas do tipo siga o
modelo.
Segundo Balomenos et al (1994), são cada vez maiores os indícios de que as dificuldades de
nossos alunos em cálculo se devem a uma formação deficiente em geometria. Os autores
sugerem que se amplie o papel da geometria na escola, pois seu estudo propiciará a prontidão
para o cálculo e desenvolverá a visualização espacial.
Para Búrigo, (1994), existem algumas motivações para o ensino da Geometria. Em primeiro
lugar por desenvolver a representação do espaço físico (vivenciado ou imaginado) num
trabalho com outras disciplinas como Geografia, Educação Física, Física e Desenho em
atividades como: interpretar e construir mapas, desenhos, plantas, maquetes; - desenvolver a
noção topológica envolvendo fronteira, exterior, cruzamento; perceber e adotar diferentes
pontos de vista e estratégias na representação do espaço. Num segundo conjunto de
motivações, de desenvolver a capacidade, na atividade concreta e mental, de classificar,
comparar e operar figuras e sólidos: recortar, compor, decompor, dobrar, encaixar, montar e
desmontar, rodar, transladar, ampliar, reduzir, deformar, projetar, estabelecendo relações de
congruência, semelhança, equivalência, entre outras. Enfatiza-se assim a importância de
atividades como: quebra-cabeças, caleidoscópios, construção de sólidos e maquetes e outros.
33
Um terceiro conjunto de motivações, segundo a autora, está relacionada à representação
geométrica de conceitos ou fatos aritméticos e algébricos e, especialmente, de operações e
problemas envolvendo grandezas contínuas. Assim “a introdução dos números racionais
(frações, decimais, porcentagens) começa a fazer sentido no ensino fundamental a partir do
estudo das medidas em geometria”.
Uma outra motivação para o estudo da Geometria destacada por Búrigo, é a construção da
proporcionalidade em contextos geométricos (frações de áreas e volumes, escalas,
semelhanças), questionando aos alunos, por exemplo, o que ocorre com a área quando
duplicamos a altura de um triângulo? E quando duplicamos a altura e a base?
Notamos assim que na Geometria temos a possibilidade de contextualizar os conteúdos, uma
vez que o aluno pode perceber e valorizar sua presença em elementos da natureza e em
criações do homem. Isso pode contribuir para uma maior significação dos conceitos
aprendidos.
Chegamos ao século XXI e ao anseio de pesquisadores e docentes de que há necessidade de
repensarmos o ensino da Geometria e o papel que lhe cabe no ensino de Matemática. Para
Fainguelernt (1997):
O renascimento e a reformulação do ensino de Geometria, não é apenas
uma questão didático-pedagógica, é também epistemológica e social. A
Geometria exige do aprendiz uma maneira específica de raciocinar, uma
maneira de explorar e descobrir (FAINGUELERNT, 1997,p. 47).
Considerações
34
Como nosso trabalho trata da colaboração da informática no ensino da Geometria, no
próximo capítulo delineamos um breve histórico sobre o uso da informática como recurso
pedagógico. Descrevemos ainda o que é um software de Geometria Dinâmica, em especial o
software Cinderella, ressaltando suas principais ferramentas e vantagens. Por último
mencionamos sobre as principais contribuições dos softwares de Geometria Dinâmica.
CAPÍTULO 2
INFORMÁTICA e EDUCAÇÃO
Introdução
Como um dos nossos objetivos é investigar a colaboração da informática ao ensino da
Geometria, neste capítulo delineamos inicialmente um breve histórico do uso do computador
como recurso pedagógico e questões relativas ao seu uso como recurso pedagógico em
Matemática e em especial à Geometria. Descrevemos o que é software de Geometria
Dinâmica, para na seqüência descrever o software Cinderella ressaltando suas principais
ferramentas e vantagens. Por último mencionamos sobre as principais contribuições dos
softwares de Geometria Dinâmica e especial o Cinderella.
2.1 Um Breve Histórico
Tecnologias em Matemática vem sendo utilizadas há muito tempo, já no ano de 1830, Charles
Babbage, matemático inglês, projetou a primeira calculadora mecânica, a máquina diferencial,
baseada no princípio de discos giratórios, operada por uma simples manivela e que tinha
capacidade de armazenar e memorizar números, e de executar uma série de cálculos. Em
1833, aprimorando suas técnicas, ele elaborou uma outra denominada Máquina Analítica, que
podia ser "programada" para diferentes funções e que serviria para eliminar a inexatidão dos
cálculos (MARTIN & LOCH,1999).
36
Em 1880, o americano Herman Hollerith com o intuito de acelerar o processamento dos dados
de censo, criou o sistema de perfuração de cartões dos dados coletados, fazendo com que eles
fossem automaticamente tabulados. Para isso, ele usou máquinas especialmente projetadas.
Foi no final da década de 1930, devido a II Guerra Mundial, que se intensificou a necessidade
de cálculos científicos. Vários projetos foram desenvolvidos simultaneamente, devido,
principalmente pela disponibilidade de apoios financeiros. Um dos projetos financiados tinha
como objetivo a construção de cinco computadores de grande porte encomendados pelo
exército americano. Cálculos complexos tinham que ser feitos sob a pressão do tempo e com
máxima precisão possível, para que fossem criadas poderosas armas ou para que fossem
descobertos códigos secretos do lado inimigo. Foi neste contexto nada harmonioso que
tiveram origem enormes computadores, que faziam estes cálculos, onde as entradas de dados
eram feitas com cartões perfurados um a um.
Após a Guerra, o computador deixou de ser privilégio da alta ciência e do exército e entrou no
mundo mais amplo dos negócios, da pesquisa industrial e universitária. As pesquisas se
voltaram para a construção de microcomputadores, que se originou na Digital Equipment
Corporation.
O Brasil, a partir de meados da década de setenta, estabeleceu políticas públicas voltadas para
a construção de uma indústria própria, na busca de maior garantia de segurança e
desenvolvimento.
2.1.1- A Informática na Educação
No Brasil as primeiras investigações sobre o uso de computadores na educação brasileira
ocorreram na Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, na Universidade Estadual de
Campinas – UNICAMP e na Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS.
37
Em julho de 1975, Seymour Papert e Marvin Minsky visitaram a UNICAMP e em março de
1976 um grupo de pesquisadores dessa instituição visita o MEDIA-Lab do MIT/USA e ao
retornar criam um grupo interdisciplinar dando origem às primeiras investigações sobre o uso
de computadores na educação (MORAES, 1997)
Conforme Moraes (1997) em 1981, foi realizado na Universidade de Brasília o I Seminário
Nacional de Informática na Educação, que contou com a participação de especialistas
nacionais e internacionais. Tivemos assim o primeiro fórum a estabelecer posições quanto ao
uso do computador como ferramenta auxiliar no ensino.
Em 1982, ocorreu o II Seminário Nacional de Informática na Educação, na Universidade
Federal da Bahia, em Salvador, contou com a participação de pesquisadores de educação,
sociologia, informática e de psicologia, entre outros. O objetivo deste encontro foi obter
subsídios para a criação de projetos piloto. Fica evidente nas discussões o papel prioritário
que tem a formação de professores, bem como a participação em pesquisas e experiências
envolvendo o computador.
Em 1982 o MEC estabeleceu diretrizes para o estabelecimento da política de informática na
educação, cultura e desportos. Em janeiro de 1983, o Secretário de Informática baixou uma
portaria criando a Comissão Especial de Informática na Educação. Por recomendação desta
comissão as instituições de Ensino Superior foram chamadas a apresentar projetos de
implantação de centros-piloto que pesquisassem o uso do computador no processo ensino-
aprendizagem.
Uma das primeiras iniciativas para a implantação do uso do computador em escolas públicas
brasileiras ocorreu através do projeto EDUCOM1 em 1983. Em 1984 foram oficializados os
1 COMputadores na EDUcação, de acordo com informação de Andrade e Albuquerque, 1993.
38
centros do projeto EDUCOM. Em 1986 e 1987 foi criado um Comitê Assessor de Informática
para Educação do 1º e 2º grau (Caie/Seps), subordinado ao MEC, tendo como objetivo definir
os rumos da política nacional de informática educacional, alicerçado no projeto EDUCOM.
O início da capacitação dos professores para trabalharem nesse projeto foi realizado pelo
projeto FORMAR, através da UNICAMP, onde os professores formados tinham como
compromisso de junto à sua secretaria projetar e implatar um Centro de Informática Educativa
– CIEd, com apoio técnico e financeiro do Ministério da Educação.
A partir de outubro de 1989, foi instituído o Programa Nacional de Informática Educativa
(PROINFE)2, e em junho de 1990 foi integrado na Secretaria Nacional de Educação
Tecnológica (SENET/MC). Já em setembro do mesmo ano, as ações da PRONIFE são
incluídas no Plano Nacional de Informática e Automação (PLANIN). No decorrer de 1995 é
vinculado informalmente à Secretaria de Desenvolvimento Inovação e Avaliação Educacional
(SEDIAE). O PRONIFE, possuía um modelo descentralizado, funcionando por meio de
centros de informática que contavam com apoio mútuo, divulgando e analisando projetos
educacionais, com projetos voltados para a formação de professores. Em 1997 surge o
Programa Nacional de Informática na Educação (PROINFO).
Em maio de 1996, foi criada Secretaria de Educação a Distância (SEED), representando a
clara intenção de o governo investir em educação a distância e na democratização do ensino
mediante o uso das novas tecnologias. No clarear de julho de 2004, a SEED foi dividida em
três departamentos: Departamento de Políticas em Educação a Distância (DPED),
Departamento de Infra-Estrutura Tecnológica (DITEC), Departamentos de Produção e
Capacitação em Programas de Educação a Distância (DPCEAD). A SEED tem função de
gerenciar os programas voltados a novas tecnologias, elevando o padrão da qualidade da
2 www.proinfo.gov.br
39
educação brasileira. Entre os projetos dessas secretarias, citamos: a) Implementação,
acompanhamento e avaliação das atividades vinculadas ao Programa Nacional de Informática
na Educação (PROINFO) por meio da DITEC; b) Desenvolvimento do ambiente digital de
aprendizagem (e-PROINFO); c) A TV Escola (1996), com canal televisivo para
aperfeiçoamento de professores; d) Rádio Escola, que produz uma série de programas
educativos; e) projetos de cooperação internacional, com a Rede Internacional e Virtual de
Educação (RIVED); f) O Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância (PAPED);
g) a Webeduc uma cooperação bilateral Brasil- França nas áreas de Novas Tecnologias da
Informação e Comunicação (TCI); h) O Programa de Formação de Professores em Exercício
(PROFORMAÇÃO); i) O Portal de Domínio Público, lançado em 2004 com a biblioteca
virtual; j) o Sistema de Informação de Gestão de Tecnologia Educacional (SIGETEC).
2.2 - O Uso de Informática como Recurso Pedagógico
Na década de 60 surgiu a idéia de usar o computador também na educação, apesar da
tecnologia ainda não estar muito desenvolvida e a interação com o usuário não ser muito
atraente, sem desenhos, cores, sons e movimentos. Foi desenvolvido o sistema LOGO, que até
hoje é considerado um modelo de software educacional. Desenvolvido no MIT, o Instituto de
Tecnologia de Massachussets, por Seymour Papert, que estava em contato com os
computadores no MIT e começou a imaginar como poderia "roubar a tecnologia dos
laboratórios para dá-las às crianças".
Outro participante da cultura educacional da informática foi John Kemeny um dos criadores
do BASIC. Ele via os estudantes como programadores de computador, tornando este último
uma ferramenta que auxilia a aprendizagem ao invés de um protótipo do professor que auxilia
a instrução. Estes dois movimentos se justificavam pela presença dos microcomputadores, que
começaram a modificar os rumos da informática, aproximando pessoas e profissionais de
40
diversas áreas, de um instrumento que antes era reservado aos especialistas em computação.
No início, eram máquinas muito simples, oferecendo poucos recursos de interação com o
usuário, apoiadas em uma tela de vídeo monocromática e estática; a discussão sobre sua
utilização na educação prendia-se exclusivamente ao fato de que podiam armazenar
informações, permitindo uma rápida recuperação dos dados armazenados.
A década de 70 foi caracterizada pela industrialização da microeletrônica, miniaturização dos
computadores e pelo microprocessador, conhecido como chip, uma espécie de pastilha
fabricada a partir da sílica. A partir de então, várias portas se abrem para um novo mundo da
microinformática em nível profissional e pessoal.
No final da década de 80 e início dos anos 90, chegaram ao Brasil as novidades dos PC's, trazendo novas facilidades ao usuário. A discussão tomou um direcionamento especial: os ambientes Windows com seus ícones; o uso do mouse, permitindo uma interação intuitiva, de característica sensoriomotora; os menus, que tornaram visualmente disponíveis as operações a realizar; a tela gráfica colorida, de alta resolução; caracterizavam modificações da tecnologia que, trazendo novas formas de ler, de escrever, de agir, e portanto, de pensar, exigiam dos estudiosos da Informática Educacional um aprofundamento das questões relativas à aprendizagem no uso dos recursos informatizados.(LEVY, 1993)
2.2.1 A informática no Ensino da Matemática
Com o inserção da informática como recurso pedagógico, a Educação Matemática passa a
discutir a respeito do uso de computadores no ensino da Matemática e tivemos assim o
surgimento de vários softwares, alguns utilizados para facilitar cálculos, outros para a
construção de gráficos e os específicos para o ensino de Geometria.
No caso específico da Geometria, a Educação Matemática trouxe uma forte crítica à sua
ausência nas aulas de Matemática em todos os níveis e a partir dos anos 90, muitos
pesquisadores começaram a utilizar o microcomputador para trilhar novos caminhos para o
41
ensino-aprendizagem da Geometria. O computador trouxe a oportunidade de construir e
movimentar figuras o que para Pais (1996) auxilia no desenvolvimento do pensamento
geométrico.
Os PCN`s apontam que dois blocos devem ser privilegiados no ensino da Geometria que são:
espaço e forma; grandezas e medidas. Apontam, ainda, a utilização da tecnologia na sala de
aula.
Reforçando a concepção de justificar a Educação Matemática para todos, D'Ambrosio cita,
entre vários aspectos em seu livro Etnomatemática, o caráter utilitarista do uso do computador
como um instrumento para o trabalho. Ele enfatiza e defende o uso de computadores no
ensino da Matemática, afirmando:
Creio que um dos maiores males que a escola pratica é tomar a atitude de que computadores, calculadoras e coisas do gênero não são para as escolas pobres. Ao contrário: uma escola de classe pobre necessita expor seus alunos a esses equipamentos que estarão presentes em todo o mercado de futuro imediato. Se uma criança de classe pobre não vê na escola um computador, como jamais terá oportunidade de manejá-lo em sua casa, estará condenada a aceitar os piores empregos que se lhe ofereçam. Nem mesmo estará capacitada para trabalhar como um caixa num grande magazine ou num banco. É inacreditável que a Educação Matemática ignore isso. Ignorar a presença de computadores e calculadoras é condenar os estudantes a uma subordinação total ao subempregos." (D'AMBROSIO, 1990, p.17)
Assim, o modelo educacional em favor de uma reconstrução social, necessariamente, passaria
pela:
(...) reconstrução do próprio conhecimento científico e conseqüentemente da conceituação de progresso, de modernização e de desenvolvimento, sobre os quais repousa toda a estrutura social vigente(...) Não será mediante práticas "educativas" (de ducare = conduzir) que se atingirá isso, mas através de práticas verdadeiramente "educativas", tirando para fora de cada indivíduo o que seu potencial criativo oferece. A "Educação" que leva ao domínio de uma bateria de conteúdos é o mecanismo classicamente adotado para subordinar comportamentos e modelá-los para servir, sem qualquer crítica, a uma ordem pré estabelecida." (D'AMBROSIO, 1990, p.52)
Com o uso do computador o aluno é capaz de fazer experimentação pois acreditamos que a
experimentação em Geometria pode ser utilizada para melhorar a compreensão dos
42
resultados. Mas no geral fazer a experimentação com régua e compasso pode ser muito
demorado e para isto os softwares ajudam, pois as construções podem ter movimento e no
arrastar do mouse podemos testar situações novas em menor tempo. Ao estudarmos um dado
teorema, por exemplo, podem fazer construções segundo dados iniciais (hipóteses) para
verificar a consistência de um fato (tese)
Para Ponte (1995) as tecnologias podem ter um impacto muito significativo no ensino da
Matemática, em muitos sentidos, dos quais destacamos:
1) reforçar a importância da linguagem gráfica e novas formas de representação,
2) valorizar as possibilidades de realização, na sala de aula, de projetos e atividades de
modelação, exploração e investigação.
O uso de softwares educativos nas aulas de Geometria, vem ao encontro das propostas dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (1996), pois de acordo com este documento a utilização do
computador permite criar ambientes que fazem surgir novas formas de pensar e agir.
Para a utilização de um software educacional, segundo Almouloud (1997), o professor deve
procurar respostas às questões: a respeito do conteúdo a ensinar; os objetivos do ensino-
aprendizagem; tipo de ajudas oferecidos pelos softwares e o papel do professor
2.3 A Formação do Professor para a utilização das Novas Tecnologias
A Informática na Educação surge como uma experiência que requer professores
adequadamente preparados para desenvolver suas atividades de ensino, buscando não
apenas a transmissão de conteúdos, mas essencialmente a construção do saber.
43
A formação do professor para atuar com a Informática na escola torna-se cada vez mais
necessária e urgente isto por que
Formar para as novas tecnologias é formar o julgamento, o senso crítico, o pensamento hipotético e dedutivo, as faculdades de observação e de pesquisa, a imaginação, a capacidade de memorizar e classificar, a leitura e a análise de textos e de imagens, a representação de redes, de procedimentos e de estratégias de comunicação. (PERRENOUD, 2001)
A capacitação dos professores para o uso de novas tecnologias de informação e
comunicação implica no redimensionamento do papel do professor na formação dos seus
alunos. É de fato, um desafio, porque significa introduzir mudanças no ensino-
aprendizagem e, ainda, nos modos de estruturação e funcionamento das escolas e
universidades e nas relações com o meio educativo.
A capacitação do professor deve ser um item dos mais importantes para o sucesso da
utilização do computador como instrumento de apoio ao ensino. Sem a presença do
professor preparado para conduzir o ensino-aprendizagem, o uso da informática pode não
proporcionar os resultados desejados, podendo até mesmo causar danos à formação do
educando, isto porque a aula poderá ficar muito mais direcionada ao deslumbramento com
a máquina do que com os conteúdos a serem estudados.
No entanto, ainda hoje o que percebemos é que o conhecimento de Informática por parte
dos professores é pouco. Observa-se ainda a resistência desses ao seu uso, seja por
desconhecimento, por temor ou simplesmente pela fantasia originária do mito de objeto
complexo, ou ainda pelas dificuldades decorrentes do sistema educativo. Mesmo em
escolas privadas, com grandes laboratórios de Informática, nos quais o professor tem
grande acesso a tecnologia, algumas dificuldades continuam, pois o fato de não ser como
de hábito, o possuidor total dos conhecimentos diante do aluno, ainda o intimida.
44
Para Cysneiros
O ideal será que o educador aprenda a lidar com as tecnologias da informação durante sua formação regular, nos cursos de Licenciatura e de Pedagogia. Na escola, o educador também poderá começar a explorar a ferramenta com a ajuda de alunas e alunos experientes, como oportunidades para o início de novas relações entre aluno e professor. No mundo complexo de hoje, todos nós temos algo a ensinar e a aprender, independente de sexo, idade, posição social, e a escola poderão aproximar-se da vida também neste particular. (CYSNEIROS (1996, p. 17):
Numa pesquisa realizada por Lorenzato e Ferreira (2004) sobre as dificuldades na utilização
do computador pelos professores de Matemática do Ensino Médio, foram entrevistados nove
professores do Ensino Médio atuantes em Tupaciguara-MG. Nessa pesquisa algumas das
questões formuladas pelos autores aos professores são: Você acredita que a utilização da
informática pode facilitar a você ministrar suas aulas; Como você se utiliza destes softwares
em suas aulas? Como você se atualiza a respeito do uso do computador para ensinar
Matemática? Quais são as dificuldades, para o aluno, que o ensino-aprendizagem da
Matemática através do computador pode causar? Quais são os dez motivos mais fortes que
podem levar o professor de Matemática a não utilizar a informática em suas aulas?
Destacamos alguns dos seguintes resultados obtidos pelos autores:
* Professores acreditam que a informática facilita a aprendizagem porque "aumenta a
motivação do aluno e porque possibilita a ele ver o que os números não mostram." De certo
modo, esta crença de a informática ser uma facilitadora da aprendizagem contrasta com as
afirmações deles:
a) "Parece que vamos ao Laboratório quando não temos nada para fazer."
b) "Não tenho tempo disponível para usar o computador."
c) "Na minha escola só tem Windows, Word e internet."
45
* Os professores conhecem muito pouco sobre softwares úteis ao ensino da Matemática: o
programa Cabri Géomètre II era desconhecido por 1/3 dos professores de Matemática,
enquanto o Winplot era desconhecido por 2/3 dos professores e a maioria deles desconheciam
os programas Graphmatica e Poly.
* Para alguns dos professores, a maior dificuldade para utilizar o Laboratório está no fato de a
maioria dos alunos não estar familiarizada com o computador; para outros, a maior
dificuldade reside no fato de os alunos saberem mais que o professor sobre o uso do
computador.
* Sobre os motivos que levaram professores a não utilizarem a informática em suas aulas,
estes assim se pronunciaram:
- não se sentem preparados para tal uso,
- é difícil mudar a rotina de aulas: - medo, o professor teme ser substituído pelo computador,
- crença de que computador não é necessário para dar aula,
- o tempo de aula é pequeno para se usar o computador,
- é mais difícil avaliar aprendizagem quando se usa computador,
Alguns professores da pesquisa apontaram a inadequação de softwares aos conteúdos
escolares; outros, lembraram que o número de computadores não é suficiente para o número
de alunos das turmas, e que a manutenção irregular dos computadores, gerada pela falta de
recursos financeiros da escola, causa um ensino deficiente.
Lorenzato e Ferreira, mencionam que uma manifestação que merece ser destacada é o
“medo”, como sendo um dos motivos mais fortes que podem levar o professor a não utilizar a
46
informática em suas aulas. Medo de quê? Para um dos sujeitos, “o professor acha que o
computador vai tomar o seu lugar” e, para outro, “a maioria dos professores se julga auto-
suficiente. Eles pensam que não precisam do computador”. Há ainda aqueles que se
justificam na falta de conhecimento dos alunos, argumentando que, como muitos alunos não
têm acesso ao computador a não ser na escola , torna-se difícil trabalhar com eles.
Os autores salientam que
… a principal resposta à questão da pesquisa é a falta de conhecimento do professor, ou seja, “o professor não está preparado para o uso dessa estratégia metodológica. Aqui, é preciso ressaltar que é recente a inserção da informática nos currículos dos cursos de Licenciatura em Matemática. O segundo motivo é o comodismo do professor (LORENZATO e FERREIRA, 2004).
Em pesquisa com futuros professores de Matemática, Cousin & Andrade (2005) investigam o
papel que a informática está exercendo nas suas formações, se alguma das mídias está
modificando atitudes e comportamentos nos alunos em questão. Para isso foi aplicado um
questionário previamente elaborado a 40 alunos formandos do curso de Matemática da
Universidade Estadual de Maringá, sendo que 35 estavam matriculados na licenciatura e 05
no bacharelado.
Nas perguntas sobre concepções de mídias tecnológicas, nas quais foi enfocado a geometria
dinâmica, procuraram identificar se os alunos tinham conhecimento nessa área, se sabiam
utilizar algum recurso tecnológico no ensino da geometria e ainda o que eles entendiam por
geometria dinâmica. Apenas 30% dos futuros professores se sentem preparados para essa
tarefa, o mesmo percentual é apresentado quando foram questionados se eles conheciam
algum software de geometria, e ainda o mais agravante foi que 50% dos entrevistados,
disseram não conhecer software algum.
47
Quando questionados sobre o que eles entendiam por geometria dinâmica, em torno de 80%
respondeu que não conhece, apenas um aluno disse que é a geometria ensinada com auxílio de
software especiais de geometria, os demais alunos responderam que era a geometria ensinada
de forma divertida, com material concreto ou tesoura e papéis.
Nas duas pesquisas apresentadas verificamos a falta de conhecimento do professor e do futuro
professor, sobre o uso da informática como recurso pedagógico, ou seja, ele não está
preparado para o uso dessa estratégia metodológica, assim é necessário repensar os cursos de
licenciatura bem como os cursos de formação continuada.
É importante ressaltar que as tecnologias, ou ainda os softwares, na forma como se
apresentam, não garantem a construção do conhecimento, por isso é necessário que o
professor planeje atividades a serem desenvolvidas, para orientar o trabalho do aluno.
No caso do ensino da Geometria acreditamos que parte das dificuldades encontradas, seja na
formação de conceitos ou de deduções de propriedades, se originam da característica estática
do desenho. Interessados em solucionar estes problemas surgiram os chamados Softwares de
Geometria Dinâmica.
2.4 GEOMETRIA DINÂMICA
O termo “dynamic geometry” ou ainda “Geometria Dinâmica” foi originalmente usado por
Nick Jackiw e Steve Rasmussem para se referir a softwares interativos que permitem a
criação e manipulação de figuras geométricas. É a Geometria implementada com uso do
computador, que dispõe de régua e compasso eletrônicos, com os quais é possível criar
desenhos de objetos geométricos que podem ser feitos a partir das propriedades que os
definem, e ainda, permitem que objetos sejam movidos mantendo as propriedades
estabelecidas inicialmente na construção. Assim, para um dado objeto ou propriedade, temos
48
associada uma coleção de “desenhos em movimento” e os invariantes que aí aparecem
evidenciam as propriedades geométricas intrínsecas ao problema, e é este talvez um recurso
didático dos mais importantes.
Existem vários softwares de Geometria Dinâmica. A seguir citamos algumas características
de alguns programas entre os quais destacamos: Cabri-géomètre (Baulac, Bellemain &
Laborde, 1992, 1994), Geometricks, ( Sadolin,2000) cuja versão para a língua portuguesa
ficou sob a responsabilidade de uma equipe da UNESP – Rio Claro – SP ; Geometer’s
Sketchpad (Jackiw, 1991, 1995), Geometric Supposer (Schwartz & Yerushalmy, 1983-
91,),Geoplan (CREEM, 1994); Dr. Geo (Fernandes , 1997-2000); Cinderella (Fortenkamp &
Gebert, 1998) , Euklid (Alemanha), Régua e Compasso (França), o, o Tabule (geometria
plana) e o Mangaba (geometria espacial), desenvolvidos no Instituto de Matemática da UFRJ
e finalmente o Calques 3D, desenvolvido por Nicolas Van Labeke como parte de sua tese de
doutoramento em Ciência Computacional na França.
Dado o enfoque de nossa pesquisa descreveremos apenas o software Cinderella
2.4.1 O Software Cinderella
O Cinderella é um programa de Geometria Dinâmica. Sua forma atual é o resultado de três
projetos realizados entre 1993 e 1998. GEBERT, (2005) comenta que a idéia para o primeiro
destes projetos nasceu em 1993 durante uma conferência sobre Combinatória no Instituto
Mettag-Leffler, na Suécia, quando Henry Crapo e Jürgen Richter-Gebert navegavam a bordo
de um barco com o nome Cinderella. Incialmente o pojeto foi idealizado numa plataforma
NEXT. Algumas semanas de desenvolvimento produziram o primeiro protótipo. O programa
baseava-se na Geometria Projectiva e na Teoria dos Invariantes. Era capaz de produzir provas
algébricas para muitos teoremas da Geometria Projetiva sobre pontos, retas e cônicas.
49
Contudo, a perda de popularidade da plataforma NEXT fez com que o entusiasmo incial do
Cinderella diminuísse. Em Agosto de 1996 Ulli Kortenkamp e Jürgen Richter-Gebert
decidiram começar um novo projeto, baseado na linguagem Java, que não depende da
plataforma.
O objetivo deste segundo projeto era obter a funcionalidade do anterior, disponível na versão
NeXT, substancialmente expandida com a possibilidade de realizar geometria euclidiana e
não-euclidiana. Também desejavam funcionalidade para lugares geométricos. Dado que Java
é adequado à Internet, também desejavam que o programa pudesse correr dentro de qualquer
browser. Em particular desejavam ser capazes de produzir trabalhos práticos para os
estudantes realizarem na Web. A capacidade de provar teoremas deveria ser utilizada para
corrigir os problemas dos estudantes automaticamente.
A segunda versão, como outros programas de Geometria Dinâmica, continha ainda algumas
inconsistências matemáticas aparentemente irremovíveis, como ambiguidades em operações
como "tome-se a intersecção de uma reta com uma circunferência". Pode haver dois, um ou
nenhum ponto de intersecção, depende das posições das figuras em questão. Quando se
arrasta uma figura o programa tem que decidir qual escolher e assim uma ambiguidade pode
dar origem a terríveis inconsistências no comportamento de uma contrução geométrica.
No começo de 1998 compreenderam que o problema dos saltos de partes de figuras era
solúvel.
50
Para Richter-Gebert3 (2001, apud BALCEWICZ 2203) apesar de existirem muitos programas
de Geometria Dinâmica, o Cinderella é especial em muitos aspectos. Segue algumas de suas
principais características:
É um programa interativo controlado pelo mouse onde, com alguns cliques, pode-se fazer
construções sem que haja a necessidade de programação. Ao término da construção pode-se
escolher um elemento base com o mouse e arrastar enquanto a construção inteira segue seus
movimentos consistentemente, permitindo explorar o comportamento dinâmico de um
desenho.
Permite a manipulação e a construção simultânea em vistas diferentes. É possível manipular
a mesma configuração no plano euclidiano usual, em uma esfera e até disco hiperbólico de
Poincaré.
No Cinderella podemos facilmente comutar entre a geometria euclidiana, hiperbólica e
elíptica. Assim fazendo uma construção euclidiana basta usar a “modalidade hiperbólica”e as
construções irão se comportar como elementos do plano hiperbólico.
O programa inteiro é escrito em java, assim cada construção pode ser exportada para Web
page interative. Isto significa que é possível que as pessoas possam interagir com uma
configuração disponibilizada na internet.
O programa gera exercícios interativos: Por exemplo: imagine que o professor deseja
ensinar aos estudantes como construir o circuncentro de um triângulo usando somente a régua
e compasso. Primeiramente o professor mesmo faz a construção. Então cria um exercício
interativo marcando "os elementos entrada", fornecendo textos do exercício, marcando
3 RICHTER-GEBERT, J; KORTENKAMP, U. The Interactive Geometry Software Cinderella – Version 1.2.Berlin; Springer, 1998.
51
"passos intermediários de construção" e o "resultado final". Cinderella gera um Web page
interativo que apresenta os elementos da entrada (talvez o triângulo de onde os estudantes
devem começar) junto com todas as ferramentas da construção para fazer construções com a
régua e o compasso.
Os estudantes podem resolver os exercícios em seu próprio computador e chegar em uma
solução sozinhos ou seguindo sugestões que o professor forneceu.
Fig. 3: A interface do Cinderella
52
Barra de menu: acessa quase todas as ações, como exportar arquivos, operações
geométricas e seleção de ferramentas. A barra de menu tem oito opções:
1- Arquivo: as operações padrão de arquivo;
2- Editar: desfazer, repetir e feramentas de seleção;
3- Propriedades: altera a aparência dos objetos geométricos;
4- Geometria: euclidiana, hiperbólica ou elíptica;
5- Vistas: como texto de construção
6- Modos: as construções geométricas
7- Formatar: formato no qual as coordenadas dos elementos são apresentados;
8- Ajuda: fornece alguns elementos para ajudar a compreender o programa.
Barra de ferramentas: através dela pode-se salvar, abrir, imprimir, exportar para HTML,
desfazer/refazer e utilizar ferramentas de seleção.
Barra de ferramentas: Figura 4
53
= iniciar nova construção ( os arquivos tem extensão “cdy”).
= abrir
= salvar construção
= Salvar como
= criar página web interativa
= Projetar um exercício
= imprimir construção
= desfazer a última operação
= des-desfazer a última operação
= selecionar tudo
= selecionar todos os pontos
= selecionar todas as linhas
= selecionar todas as cônicas
54
= desselecionar tudo
= deletar elementos selecionados
Ferramentas geométricas: A barra de ferramentas geométricas, apresenta os comandos
das operações geométricas “modos” que são usadas para fazer construções na área gráfica. As
Ferramentas geométricas “modos” podem ser agrupadas em seis categorais
Ferramentas Geométricas: Figura 5
1- Modo mover: Ele permite que o usuário arraste os elementos base da construção,
apenas clicando com o mouse sobre o elemento o qual desejamos mover e arrastar o mouse;
Selecionar Elementos: Permite selecionar elementos com o mouse;
3- Modos interativos: São os ícones com uma pequena seta de mouse:
=adicionar ponto
= traçar linha de conexão
= traçar linha através do ponto
55
= traçar linha perpendicular
= definir uma linha paralela
= ponto médio
= construir uma linha com ângulo fixo
Janela de Entrada
= Construir uma circunferência
= Circunferência pelo Raio
= Construir uma circunferência com raio fixo
4- Modos de Definição: Seleciona-se elementos com cliques do mouse. Assim que elementos
suficientes para a definição desejada são selecionados, novos elementos são adicionados.
Normalmente a linha de mensagem fornece informações sobre os elementos que o Cinderella
precisa. Os modos de definição são:
56
= Centro de cônica
Centro de uma Elipse Centro de uma Hipérbole
= Bissetriz
Figura 6: Como usar o modo bissetriz: Balcewicz (2003, p. 53)
1º clique Movendo o mouse 2º clique
A linha é destacada Uma indicação de ângulo A bissetriz é construída
= Compasso
Figura 7: Usando o modo compasso ( apud Balcewicz 2003, p. 53)
1º clique Movendo o mouse 2º clique
57
O 1º ponto é destacado Indicações da distância a distância é fixada
são mostradas
Movendo o mouse 3º clique
Indicações da posição A distância é transferida
são mostradas
= Espelho
= Construir circunferência por três pontos
= Construir cônica por cinco pontos
= Polar de uma linha
= Polar de um ponto
= Polígono
58
Figura 8: Usando a função Polígono
1º clique 2º clique 3º clique
4º clique 5º clique Polígono pronto
= Construir linha por dois pontos
= Interseção
= Definir uma paralela
= Definir uma perpendicular
5- Medições: Usado para fazer medições geométricas elementares como:
= Distância
59
Fig. 9: Medindo distância
1º ponto é selecionado Arrastar o mouse Ir até o ponto desejado Soltar o mouse
= Ângulo
= Área
Fig. 10
Verificação do Teorema de Pitágoras
6- Modos especiais: permitem construir efeitos especiais como:
60
= Adicionar texto
=Animação (aparece esse painel)
Onde temos:
= Iniciar animação
= Congelar a animação
= Para a animação
= Exportar a animação para página HTML
= Sair da animação
= adicionar segmento. Se necessário indicar a seta, é necessário: Barra de
Menu Propriedades tipo de seta, onde aparecerá o editor de seta, e assim basta
escolher o tipo de seta
61
Ferramentas de visualização
Esta barra de ferramentas, contem comandos que auxiliam uma melhor visualização, como:
= Gerar PostScript. Esse botão exporta o conteúdo da vista para um arquivo PostScript.
O programa pergunta se o usuário quer uma figura colorida, cinza ou em preto e branco. O
arquivo gerado contém uma seção inicial onde se pode ajustar a aparência da impressão mais
tarde.
Translação
= Zoom in
Zoom out
Visualizar todos os pontos
= traçar grade regular
= grade menos densa
= grade mais denso
= Eixos cartesianos
= pular para pontos de grade
= para Geometria Euclidiana
62
= para geometria Hiperbólica
= para Geometria Elíptica
Texto de construção
Essa ferramenta descreve as etapas da construção, onde cada elemento é representado por
uma linha, para isso depois da construção geométrica clique na barra de menu em
vistas texto da construção
63
Editar Aparência ( Barra de Menu Propriedades Editar aparência)
O editor de aparência é utilizado para controlar a aparecia gráfica dos elementos na
construção. As alterações são aplicadas em elementos selecionados As configurações no
painel de aparência têm também um segundo propósito. Elas serão utilizadas para a
construção de novos elementos. Isso significa que novos elementos adicionados ficam com a
aparência que corresponde às configurações no editor de aparência.
Editor de aparência
Considerações
Em nosso trabalho tratamos principalmente da relação entre o uso de um software de
Geometria Dinâmica, em especial o Cinderella, e o ensino da Geometria. Assim mediante a
discussão desse capítulo devemos agora analisar às questões relativas a aprendizagem da
Geometria. Portanto no capítulo seguinte procuramos descrever como alguns autores tratam o
64
desenvolvimento do pensamento geométrico, como o conceito de objeto geométrico e as
questões relacionadas à visualização e a representação geométrica. Por seguinte faremos uma
discussão das contribuições do uso do computador para a formação do desenvolvimento do
pensamento geométrico.
CAPÍTULO 3
O PENSAMENTO GEOMÉTRICO
INTRODUÇÃO
A geometria possui algumas dificuldades inerentes à sua aprendizagem, como a noção de
objeto geométrico e as questões de visualização e representação. Assim nesse capítulo
procuramos descrever como alguns autores (PAIS, 1996; FISCHBEIN, 1993;
FAINGUELERNT, 1999) tratam o desenvolvimento do pensamento geométrico, também o
desenvolvimento do conceito de objeto geométrico e as questões relacionadas à visualização e
a representação geométrica. Por último discutimos as contribuições do uso do computador
para a formação do desenvolvimento do pensamento geométrico.
3.1 O OBJETO GEOMÉTRICO
Para Fischbein (19939, apud GRAVINA, 1996), o objeto geométrico é tratado como tendo
duas componentes, uma conceitual e outra figural. A componente conceitual, através de
linguagem escrita ou falada, com maior ou menor grau de formalismo expressa propriedades
que caracterizam certa classe de objetos. Já a componente figural corresponde a imagem
mental que associamos ao conceito, e que no caso da Geometria tem a característica de poder
ser manipulada através de movimentos como translação, rotação e outros, mas mantendo
9 FISCHBEIN. E. The Theory of figural concepts. Education Studies in Mathematics. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1993.
66
invariantes certas relações. A harmonia entre estas duas componentes é que determina a noção
correta sobre o objeto geométrico.
A associação do desenho ao objeto geométrico é muito importante para a formação da
imagem mental, mas muitas vezes o que não fica claro para o aluno é que um desenho
representa uma situação específica, pois guarda características particulares que muitas vezes
não pertencem ao conjunto das propriedades geométricas que definem o objeto. Podemos
tomar por exemplo que muitos alunos não aceitam que um quadrado é um tipo particular de
retângulo, isso acontece porque na maioria das vezes os professores e os livros didáticos
apresentam exemplos de retângulos onde os lados tem medidas diferentes, e isso leva os
alunos a tomarem as medidas diferentes como propriedade de um retângulo.
Para Fischbein (1993, apud Passos, 2000), a dificuldade dos alunos em manipular objetos
geométricos, não levando em conta o aspecto conceitual, mediante restrições de um desenho,
constitui-se um das maiores dificuldades no aprendizado em Geometria. Para o autor as
condições figurais do desenho passam desapercebidas do controle conceitual.
Fischben (1993, apud NACARATO 2003) faz alguns destaques com relação as características
das figuras geométricas relacionadas a sua natureza conceitual. São elas:
- somente em um sentido conceitual, pode-se considerar a perfeição absoluta das entidades
geométricas como: linhas, retas, círculos, quadrados, etc.
- entidades geométricas como pontos, linhas, planos, não existem na realidade, são apenas
construções mentais, visto que nossas experiências sensíveis são tridimensionais.
- todas as construções geométricas são representações gerais
67
- as propriedades das figuras geométricas são impostas ou derivadas de definições no domínio
de um certo sistema axiológico. O autor conclui
... um quadrado não é uma imagem desenhada numa folha de papel. É uma forma controlada por sua definição (embora possa ser inspirada por um objeto real). Um quadrado é um retângulo que tem lados iguais. Partindo destas propriedades pode-se prosseguir descobrindo outras propriedades do quadrado (a igualdade de ângulos, que são todos retos, a igualdade das diagonais, etc.) (FISCHBEIN, 1993 apud NACARATO, 2003, p. 63).
Nacarato destaca que para Fischbein:
uma figura geométrica pode ser descrita como tendo intrínseca a ela propriedades conceituais, não sendo ela própria, contudo, um mero conceito, e ainda uma figura geométrica é uma imagem visual, que possui uma propriedade que conceitos usuais não possuem, ou seja, ela inclui a representação mental do espaço. (NACARATO, 2003, p.63)
Para que muitos estudantes não passem a considerar a figura geométrica (desenho) como o
próprio conceito, é importante considerar as observações acima no ensino da Geometria.
Muitos alunos têm dificuldade em reconhecer os invariantes (entendidos como os as
propriedades que definem o objeto geométrico) de uma figura visto que não foram levados a
perceber a existência de uma classe de figuras que representa um objeto geométrico.
Pais (1996) ressalta que a própria palavra “figura”, é um termo ambíguo; uma como conceito
geométrico e a outra no sentido de apenas uma representação gráfica. Tendo em vista a
ambigüidade do termo, Fischein (1993, apud Passos, 2000) enfatiza que em seu trabalho,
figura refere-se somente a imagens mentais. Como uma figura possui uma certa estrutura,
uma forma, sugere algumas especificações:
1) a figura geométrica consiste numa imagem mental cujas propriedades são completamente controladas por definição; 2) um desenho não é, em si, uma figura geométrica ele próprio, mas um gráfico ou uma incorporação material, concreta dessa figura; 3) a imagem mental de uma figura geométrica é, usualmente, a
68
representação do modelo materializado dela (FISCHBEIN, 1993 apud NACARATO, 2003, p. 70).
Assim a figura geométrica é somente a idéia correspondente da entidade figural idealizada,
abstrata, estritamente determinada por sua definição.
Notamos que muitas vezes os alunos tomam o desenho como sendo a figura geométrica, o que
pode ocasionar um obstáculo, visto que muitas vezes o desenho guarda características
particulares que não atendem às condições geométricas que definem o objeto. Logo o ensino
da geometria deve acontecer relacionando objeto, conceito e desenho e ainda destacando os
aspectos figurais e conceituais das figuras geométricas.
A utilização do desenho para a representação dos conceitos geométricos é mencionado por
Pais (1996), como um dos recursos mais utilizados no ensino e na aprendizagem da
Geometria. Sangiacomo (1996), num estudo sobre a mudança de estatuto: do desenho para a
figura geométrica, menciona dois pontos como considerados críticos nesse processo que são:
a dificuldades dos alunos em reconhecer os invariantes de uma figura e o fato de que em
nenhum momento os alunos são levados a perceber que existe uma classe de figuras que
representa um objeto geométrico,
Pais (1996) analisa quatro elementos fundamentais que intervém no processo de ensino e
aprendizagem da geometria euclidiana, plana e espacial que são: objeto; conceito, desenho e
imagem mental.
O termo objeto é interpretado como sendo uma parte material concreta, associado aos
modelos e materiais concretos, podendo ser chamados de materiais didáticos ou modelos
físicos. Pais (1996) considera que o objeto pode ser considerado como uma das primeiras
formas de representação do conceitos. Para o autor o uso desses recursos pode contribuir para
69
a aprendizagem, desde que seja bem planejada e fundamentada e ainda a utilização de
materiais concretos não pode limitar-se a uma simples atividade lúdica e ressalta:
É necessário que o aluno entenda que o objeto é simplesmente um modelo físico, que contribui na formação das idéias, mas não as substitui e que a aprendizagem somente vai desencadear-se a partir do momento que o aluno conseguir fazer uma leitura geométrica da representação envolvida. O desafio do professor é saber como dar a continuidade didática entre o uso do material e as questões que levariam à abstração. (PAIS, 1996, p. 68)
Para o autor, da mesma forma que o objeto, o desenho é também de natureza essencialmente
concreta e particular, e, portanto, oposto às características gerais e abstratas do conceito. O
desenho sem dúvida é um dos recursos didáticos mais utilizados no ensino e na aprendizagem
da Geometria, uma passagem quase que obrigatória no processo de conceitualização
geométrica. Para Pais o desafio principal é a necessidade de transpor o próprio desenho, visto
que muitas vezes o aluno identifica, principalmente na geometria plana, no desenho, o próprio
conceito. Para que o aluno consiga decodificar as informações geométricas contidas num
desenho é necessário que ele tenha o domínio de algumas informações técnicas, que em nível
de Ensino Fundamental não são explicitamente ensinadas, como no caso dos livros didáticos
onde os desenhos aparecem com uma série de grafismos, cujo o uso é baseado mais na
tradição do que na aprendizagem formal.
Pais (1996) baseando-se nos trabalhos de Denis (197910 e 198911), dedicados à teoria
cognitiva, estudou as imagens mentais que podem ser associadas aos conceitos geométricos.
Para ele:
... essas imagens que são de natureza essencialmente diferentes daquelas do objeto e do desenho podem ser destacadas por duas características básicas: a subjetividade e a abstração. Pelo fato de serem abstratas, podem ser relacionadas aos conceitos, embora seu aspecto subjetivo as afaste da natureza científica (Pais, 1996, p.70).
10 DENIS, M. (1979) Les Images Mentales. Paris: Presse Universitaire Française. 11 DENIS, M. (1989) Image et Cognition. Paris: Presse Universitaire Française
70
Definir formalmente o que seja uma imagem mental, não é fácil, Pais (1996) considera que:
... pode-se dizer que o indivíduo tem uma dessas imagens mentais quando ele é capaz de enunciar, de uma forma descritiva, propriedades de um objeto ou de um objeto ou de um desenho na ausência desses elementos. Assim como as noções geométricas são idéias abstratas e, portanto, estranhas à sensibilidade exterior do homem, a formação de imagens mentais é uma conseqüência quase que exclusiva do trabalho com desenhos e objetos (PAIS, 1996, p. 70).
E ainda: “... Sãos os objetos e os desenhos que podem estimular a formação de boas imagens
e, nesse contexto, elas constituem uma forma de representação das noções geométricas”(PAIS
1996, p. 70).
A generalidade e a abstração dos conceitos geométricos, para o autor são construídos pouco a
pouco, envolvendo a influência do mundo físico e uma reflexão intelectual sobre este mundo.
Inicialmente se estabelece uma relação de permanente comparação entre o mundo das idéias e
o mundo físico. Para o autor “a busca desses atributos tem sido a ênfase principal do ensino
da Geometria, e por outro lado as dificuldades na concretização deste objetivo são também
persistentes” (p.71). O autor ainda destaca que uma compreensão dessa natureza abstrata e
geral passa por um processo evolutivo onde o aluno pode reviver as dificuldades ocorridas na
evolução histórica do conceito, estabelecendo uma necessidade de analisar possíveis
correlações existentes entre o processo evolutivo da formação histórica do conceito e as
etapas por onde o aluno passa no transcurso da aprendizagem. Para Pais, ...“é neste processo
de conceitualização que o aluno lança mão de recursos que lhe são mais próximos e
disponíveis, entrando em cena as representações por objetos e desenhos e, posteriormente,
pelas imagens mentais”(p. 71).
Nesse sentido, os quatro elementos citados por Pais (1996) devem ser considerados
vinculados um aos outros.
3.2 Visualização e Representação Geométrica
71
Em conseqüência do que discutimos anteriormente, existem outros igualmente importantes
para a formação do pensamento geométrico: a visualização e a representação. Essa discussão
se faz necessário, com base em que o computador introduz uma dimensão dinâmica à
investigação sobre a visualização, pelo fato das representações de figuras, planas ou espaciais,
poderem ser manipuladas e transformadas de diferentes maneiras.
Para Fainguelernt (1999), nos encontros do PME (Psychology and Mathematics Education)
tem se discutido muito pelos grupos de Geometria a distinção entre o conceito que decorre de
sua definição matemática e o que decorre de sua imagem refletida na mente de cada um a
partir da visualização; isto é, o resultado dos processos mentais de formação do conceito.
Com o uso do computador e dos vários softwares torna-se possível uma outra forma de
representação, pois os alunos conseguem “ver”e “transformar objetos, representando-os de
várias maneiras.
Miskulin (1999) destaca que os novos ambientes computacionais possibilitam o
desenvolvimento de noções e conceitos geométricos. O computador introduz uma dimensão
dinâmica à investigação sobre a visualização, pelo fato das representações de figuras, planas
ou espaciais, poderem ser manipuladas e transformadas de diferentes maneiras.
Para Nacarato (2003) vários termos aparecem referindo-se a visualização, como: raciocínio
visual, imaginação, pensamento espacial, figuras, imagens mentais, imagens visuais, imagens
espaciais e outros, dos quais a autora sintetiza:
A visualização pode ser considerada como a habilidade de pensar, em termos de imagens mentais (representação mental de um objeto ou de uma expressão), naquilo que não está ante os olhos, no momento da ação do sujeito sobre o objeto. O significado léxico atribuído à visualização é o de transformar conceitos abstratos em imagens reais ou mentalmente visíveis” (NACARATO, 2003, p.78)
72
Para Fainguelernt (1999, p.53) “Visualização geralmente se refere à habilidade de perceber,
representar, transformar, descobrir, gerar, comunicar, documentar e refletir sobre as
informações visuais”.
Segundo Duval12o aprendizado em Geometria envolve três tipos de processos cognitivos que
estão intimamente conectados: “processo de visualização com respeito à representação
espacial; processo de construção através de ferramentas (régua, compasso, esquadros e
softwares); processo de raciocínio, o que é básico para ser demonstrado e comprovado
(teoremas, axiomas e definições” (DUVAL 1995, apud FAINGUELENT, 1999, p.54)
Para Nacarato (2003) a visualização é descrita por Catalá, Flamarich e Aymemm (199513)
como sendo a construção de um processo visual e que os autores ainda afirmam que o
estímulo visual como: modelos concretos, desenhos, dobraduras, imagens na tela do
computador, é um meio que faz avançar o processo de construção de imagens mentais. E
quanto a representação, segundo os autores, poderá ser gráfica, como um desenho em um
papel ou um modelo manipulável, considerando-se sua importância como um instrumento
para expressar nossos conhecimentos.
Nacarato (2003) acrescenta que para Gutiérrez (1996a14) a visualização em Matemática é “um
tipo de raciocínio baseado no uso de elementos visuais e espaciais, tanto mentais quanto
físicos, desenvolvidos para resolver problemas ou provar propriedades” e ainda que estaria
integrada a imagens mentais, representações externas, processos de visualização e habilidades
de visualização. O autor destaca que:
12 DUVAL,R. why to teach geometry? In: MAMMANA, C. (ed) ICMI Study: Perspectives on the teaching of geometry for tbe 21th Century. Pre-proceedings for Catania Itália, Catania: Departamento of Mathematics, 1995. 13 CATALÁ, C. Flamarich,C e Aymemmi, J. Invitacion a la Didactica de la Geometria. Madrid: Editorial Síntesis, 1995. 14 GUTIÉRREZ.A. Visualization in 3-Dimensional Geometry: In Search of a Framework. In L. PUIG y GUTIÉRREZ (eds). Proceedings of 20th PME Conference. Spain: University of Valencia, july, v.1, 1996a.
73
...uma imagem mental é qualquer tipo de representação cognitiva de um conceito matemático ou propriedade, por meio de elementos visuais ou espaciais; ...uma representação externa pertinente à visualização é qualquer tipo de representação gráfica ou verbal de conceitos ou propriedades incluindo figuras, desenhos diagramas, etc, que ajudam a criar ou transformar imagens mentais e produzir raciocínio visual; ...um processo de visualização é uma ação física ou mental, onde imagens mentais estão envolvidas (GUTIÉRREZ, 1996, apud NACARATO, 2003, p. 79).
No contexto da Educação Matemática, Nacarato destaca que Gutiérrez procurou unificar a
terminologia, onde os termos imagem mental, imagem espacial e imagem visual podem ser
considerados equivalentes e assim nesse contexto, “os termos visualização, imagens visuais e
pensamento espacial podem ser considerados equivalentes” (NACARATO, 2003, p. 79).
Diante do contexto notamos que a visualização é muito importante na formação de conceitos
geométricos. Hershkowitz (199415 apud FAINGUELERNT 1999, p. 56) enfatiza que “a
visualização e os processos visuais desempenham um papel muito complexo no contexto da
formação de conceitos geométricos básicos e ainda que essa complexidade continua em níveis
mais elevados do pensamento geométrico”.
Para Fainguelernt (1999) a grande complexidade do papel da visualização no processo de
formação e desenvolvimento de conceitos geométricos atua em duas direções: de um lado não
podemos formar uma imagem de um conceito, identificar suas características e dar exemplos
sem visualizar seus elementos e, de outro lado, esses elementos podem empobrecer a imagem
atual que se quer constituir.
A visualização é de fundamental importância para se desenvolver o pensamento geométrico,
mas o raciocínio, ativado pela visualização necessita recorrer à intuição, à percepção e à
representação.
15 HERSHKOWITZ, R. Visualização em geometria: as duas faces da moeda. Boletim GEPEM. Rio de Janeiro: GEPEM, Ano XVIII, n. 32, 1994.
74
A representação pode ser gráfica, como um desenho ou um modelo manipulável cuja
importância é servir como instrumento para expressar nossos conhecimentos e idéias.
Para Pallascio (199216, apud Faiguenllernt 1999, p. 57), “o papel principal da representação é
a conceituação do real a fim de agir eficientemente”, a representação visual, por um lado, tem
significado da organização material de natureza simbólica (por exemplo, desenhos,
diagramas, etc.).
Para Fainguelernt (1999), “é fundamental na construção de um conceito, partir da percepção e
da intuição de dados concretos e experimentais, explorar as representações e as aplicações e
desenvolver o raciocínio lógico para, só então, chegar aos processos de abstração e de
generalização”.
Nacarato (2003) destaca “Quando se imagina a construção de algum objeto específico, como
uma caixa, não se pode iniciar tal construção sem antes “ver”, na mente, o que ainda não pode
ser visto com os próprios olhos” (p.83).
Pais (1996) ressalta que a representação de um conceito somente faz sentido pleno se o
mesmo já estiver em um certo nível de formalização. Assim no início da aprendizagem
mediante as dificuldades impostas pela abstração ocorre uma identificação por parte do aluno,
entre o conceito e sua representação. “É assim que um simples traço no quadro negro ou no
papel passa a ser a ‘própria’reta ou, como no caso clássico da geometria plana, em que os
conceitos são identificados ao seu desenho”(p. 71).
Para Crowley,(1994), a importância da visualização também é destacada na Teoria de Van
Hiele sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico. Essa teoria sugere que os alunos
16 PALLASCIO, R. A; R. MONGEAU, P. Représentation de I`espace et enseignement de la géométrie: topologia structurale. Proceeding of the International Symposium. La revue Topolgie Stucturale, n. 19, p. 71-81, 1992)
75
progridam por meio de uma seqüência hierarquizada de níveis. No modelo conhecido por
modelo de Van Hiele, considera que a visualização tem uma importância vital no processo de
construção do conhecimento. Segue um pequeno resumo dos níveis do Modelo de Van Hiele.
Níveis de Compreensão do Modelo
Uma sinopse dos níveis do modelo é apresentada abaixo. (CROWLEY, 1994. p.3)
Nível 1 (nível básico): Visualização
Neste estágio inicial, os alunos percebem o espaço apenas como algo que existe em torno
deles. Os conceitos de Geometria são vistos como entidades totais, e não como entidades que
têm componentes ou atributos. As figuras geométricas, são reconhecidas por sua forma como
um todo, isto é, por sua aparência física, não por suas partes ou propriedades.
Neste nível a criança é capaz de reconhecer um retângulo ou um quadrado, e mesmo de
reproduzi-los sem erros, mas um quadrado não pode ser tomado por um retângulo, pois sua
aparência é diferente. As experiências mais significativas seriam as de manipular, colorir,
dobrar e construir.
Nível 2: Análise
No nível 2, começa uma análise dos conceitos geométricos. Por exemplo, através da
observação e da experimentação, os alunos começam a discernir as características das figuras.
Surgem então possibilidades do indivíduo conhecer e realizar algumas análises das
propriedades das figuras, mais ainda não conseguem relacionar as diversas propriedades entre
si. Assim, reconhece que as figuras têm partes, e as figuras são reconhecidas por suas partes.
Nível 3: Dedução informal ou abstração
Neste nível os alunos conseguem estabelecer inter-relação de propriedades tanto dentro de
figuras (por exemplo, num quadrilátero, se os lados opostos são paralelos, necessariamente os
ângulos opostos são iguais) quanto entre figuras (um quadrado é um retângulo porque tem
todas as propriedades de um retângulo). Assim, eles são capazes de deduzir propriedades de
76
uma figura e reconhecer classes de figuras. A inclusão de classes é compreendida. As
definições tem significado. Os alunos acompanham e formulam argumentos informais. Neste
nível, porém, não compreendem o significado da dedução como um todo ou o papel dos
axiomas.
Nível 4: Dedução
Neste nível compreende-se o significado da dedução como uma maneira de estabelecer a
teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático. São percebidas a inter-relação e o
papel de termos não definidos, axiomas, postulados, definições, teoremas e demonstrações.
Aqui o aluno é capaz de construir demonstrações, e não apenas de memorizá-las; enxerga a
possibilidade de desenvolver uma demonstração de mais de uma maneira; compreende a
interação das condições necessárias e suficientes; é capaz de fazer distinções entre uma
afirmação e sua recíproca.
Nível 5: Rigor
Neste estágio, o aluno é capaz de trabalhar em vários sistemas axiomáticos, isto é, podem-se
estudar geometrias não euclidianas e comparar sistemas diferentes. A Geometria é vista no
plano abstrato.
Este último nível é o menos desenvolvido nos trabalhos originais e tem recebido pouca
atenção dos pesquisadores. Pierre van Hiele admitiu, em comunicação pessoal com Alan
Hoffer, em 1985, que estaria particularmente interessado nos três primeiros níveis que vão das
séries escolares mais elementares ao início do terceiro grau.
Nível dos
van Hiele
Características Exemplo
1º Nível
Visualização
Reconhecimento,
comparação e nomenclatura das
figuras geométricas por sua
aparência global.
Classificação de
recortes de quadriláteros
em grupos de quadrados,
retângulos, paralelogramos,
losangos e trapézios.
77
2º Nível
Análise
Análise das figuras em
termos de seus componentes,
reconhecimento de suas
propriedades e uso dessas
propriedades para resolver
problemas.
Descrição de um
quadrado através de
propriedades: 4 lados
iguais, 4 ângulos retos,
lados opostos iguais e
paralelos.
3º Nível
Abstração
Percepção da necessidade
de uma definição precisa, e de que
uma propriedade pode decorrer de
outra;
Argumentação lógica
informal e ordenação de classes
de figuras geométricas.
Descrição de um
quadrado através de suas
propriedades mínimas: 4
lados iguais, 4 ângulos
retos.
Reconhecimento de
que o quadrado é também
um retângulo.
4º Nível
Dedução
Domínio do processo
dedutivo e das demonstrações;
Reconhecimento de
condições necessárias e
suficientes.
Demonstração de
propriedades dos triângulos
e quadriláteros usando a
congruência de triângulos.
5º Nível
Rigor
Capacidade de
compreender demonstrações
formais;
Estabelecimento de
teoremas em diversos sistemas e
comparação dos mesmos.
Estabelecimento e
demonstração de teoremas
em uma geometria finita.
Utilizaremos as características do níveis de Van Hiele para ter indicaçõess de avanço
na aprendizagem em geometria das alunas participantes do projeto.
3.4 Contribuições do Computador para a Formação do Pensamento Geométrico
78
Papert (1987, apud Nacarato, 2003) argumenta que o computador veio introduzir uma
dimensão dinâmica à investigação sobre visualização, pois as representações de figuras planas
e espaciais na tela podem ser manipuladas e transformadas de diferentes maneiras.
Abrantes et al (199917, apud FONSECA, 2002, P. 43) referem-se ao uso de softwares da
seguinte forma: “O uso de softwares pode também contribuir para ampliação das
representações com que os alunos trabalham quando, por exemplo, deslizam, rodam, ampliam
ou reduzem uma dada construção geométrica”.
Citamos como exemplo a construção de um quadrado, se os alunos apenas lhe confere a
qualidade de ter lados com mesma medida, quando se movimenta um dos vértices do suposto
quadrado estes perde suas propriedades, pois de fato as propriedades do quadrado não foram
explicitadas ao software.
Gravina (1996), numa pesquisa com alunos do curso de Licenciatura em Matemática,
constatou que as dificuldades cognitivas dos alunos podem ser minimizadas com a utilização
de softwares de Geometria Dinâmica. Nesses ambientes, a autora menciona que os conceitos
geométricos são construídos de maneira a promover o equilíbrio conceitual e figural,
desenvolvendo a habilidade de percepção das diferentes representações de uma mesma figura.
Para Gravina (1996) o professor pode utilizar os softwares de duas maneiras; numa os alunos
fazem a construção das figuras com o objetivo de dominar os procedimentos para se obter a
construção e noutra os alunos recebem as figuras prontas, conhecidas como “caixa preta”e
devem reproduzi-las e para isso é necessário descobrir as suas propriedades invariantes por
meio da experimentação.
17 ABRANTES, P. SERRAZINA, L. OLVIVEIRA, I. A matemática na educação básica. Lisboa: Ministério da Educação, 1999.
79
Para ALVES (2005) o computador também pode ser usado levando em conta o Modelo de
Van Hiele, pois caso o professor conheça o modelo é possível que ele elabore atividades a
partir de softwares de Geometria Dinâmica de modo a favorecer a aquisição de um dado
nível. Os ambientes de Geometria Dinâmica permitem uma maior variedade de
experimentação, se comparado pelo desenho com papel e lápis.
Especificamente quanto ao Cinderella, este toma como suporte teórico a distinção entre figura
geométrica e desenho geométrico, visto que: figura geométrica designa o objeto teórico
geométrico, constituído por um conjunto de elementos geométricos, enquanto o desenho
adquire status de representação material desse objeto teórico, como, por exemplo, um, traçado
na areia, no papel, na tela do computador ou em qualquer outro suporte físico.
Considerações
No próximo capítulo descrevemos e analisamos os resultados da pesquisa realizada com
alunas do curso de Pedagogia, no qual utilizamos o software Cinderella para resolução de
atividades de geometria plana para analisar as contribuições de um ambiente de Geometria
Dinâmica, em especial o Cinderella para à aprendizagem em Geometria. Para elaborarmos as
atividades levamos em conta toda a discussão realizada até aqui.
CAPÍTULO 4
A PESQUISA
Introdução
Como o objetivo do nosso trabalho é analisar as contribuições do uso de software de
Geometria Dinâmica, elaboramos um curso de geometria no ambiente o software Cinderella
para alunas do curso de pedagogia, assim neste capítulo descreveremos a pesquisa realizada.
E assim, esperamos por meio dessa experiência e discussão contribuir significativamente para
o ensino da Geometria apoiado por software de Geometria Dinâmica.
4.1 Sujeitos da Pesquisa
Nesse estudo trabalhamos com alunos do 2º ano do curso de Pedagogia. A escolha por alunos
do Curso de Pedagogia deu-se em primeiro lugar pelo nosso objetivo principal que era
verificarmos as contribuições do software Cinderella para aprendizagem em Geometria e
depois para colaborarmos com a formação desses futuros professores por pensarmos serem
estes os primeiros a trabalharem com conceitos de Geometria com as crianças desde a pré-
escola até a 4ª série do Ensino Fundamental.
A seleção dos alunos
No mês de janeiro, em virtude das férias acadêmicas, entramos em contato com a professora
coordenadora do PET (Programa de Educação Tutorial) do curso de Pedagogia pois
geralmente os alunos participantes destes programas não estão de férias. O contato ocorreu
81
por e-mail no qual relatamos o nosso trabalho. A coordenadora marcou um encontro para
podermos conversar com as alunas.
Nesse encontro apresentamos o que chamamos “Curso de Geometria com o auxílio do
software Cinderella” seus objetivos, a metodologia a ser utilizada e possível horários, que
conciliassem nossa disponibilidade e a do laboratório da universidade onde seriam realizadas
as atividades no computador com o auxílio do referido software.
Precisávamos então divulgar o curso aos outros alunos da graduação do curso de Pedagogia,
assim aguardamos o retorno às aulas e juntamente com uma professora do curso oferecemos
Curso de Extensão1. O projeto do Curso de Extensão intitulado “Um curso de geometria no
ambiente do software Cinderella”.
De início, explicamos que o curso fazia parte de nossa dissertação de mestrado, cujo tema é o
ensino de Geometria e a utilização de softwares específicos para seu ensino, os softwares de
Geometria Dinâmica e enfatizamos os seus objetivos, a metodologia utilizada e a quantidade
máximo de participantes, que seria de 12 em razão da possibilidade de ministrar e observar o
curso e do número de computadores disponíveis. Os alunos interessados, num total de 10,
preencheram uma lista destacando o horário em que poderiam realizar o curso.
Tentando conciliar o horário disponível da maioria dos alunos, optamos por realizar o curso
aos sábados das 14:00 horas às 16:30 horas. Os alunos foram comunicados sobre o horário em
que realizaríamos o curso e que deveriam efetivar a inscrição na secretaria do seu
departamento. Dos 10 interessados inicialmente, três alunas não se inscreveram por motivos
pessoais e assim 7 se propuseram a participar do curso.
1 Cursos promovidos pelos departamentos, aprovados pela Diretoria de Extensão.
82
4.2 Coleta de Dados:
Os principais instrumentos utilizados na coleta de dados consistiram em entrevistas, encontros
semanais, participação nas atividades e transcrição e análise de fitas de vídeo e áudio.
Utilizamos também o que Thiollent (1988) chama de observação participativa, que permite ao
pesquisador emitir pareceres, influir e modificar o andamento do que está sendo observado e
adaptar à realidade.
Foram elaborados os seguintes instrumentos para coleta de dados.
Entrevista I - Questionário sobre o perfil das alunas. (apêndice A)
A primeira entrevista apresentada às alunas deste estudo foi um questionário cujo objetivo era
caracterizar o grupo, por exemplo: se havia cursado magistério; a(s) disciplinas que tiveram
maior dificuldade no Ensino Fundamental e Médio; se haviam estudado geometria entre
outros.
Entrevista II: Questionário de conhecimento geométrico. (Pré e Pós-teste) (apêndice B)
O questionário de conhecimento geométrico foi composto por alguns exercícios de Geometria
o qual foi aplicado duas vezes. A primeira aplicação (pré-teste) teve por objetivo verificar o
conhecimento prévio das alunas em geometria e ainda para podermos adequar as atividades
dos futuros encontros. A segunda aplicação (pós-teste) realizada após todas as atividades do
curso procurou verificar a evolução dos conhecimentos geométricos após a realização do
curso.
Atividades de geometria (apêndice C)
83
Durante todo o curso foram resolvidas 29 atividades de geometria que foram previamente
planejadas antes do curso, mas que sofreram algumas adaptações antes de cada encontro,
levando em conta os resultados dos encontros anteriores de forma a contribuir para a
aprendizagem das alunas e fornecer informações sobre seus conhecimentos.
Fichas de análise dos encontros (apêndice D)
Ao final de cada encontro as alunas respondiam uma ficha com o objetivo de informar suas
maiores dificuldades na realização das atividades e ainda de apresentarem sugestões para
facilitar sua aprendizagem durante os encontros seguintes.
Transcrição das fitas com as discussões realizadas durante a realização das atividades
Todos os encontros foram gravados e transcritos com o objetivo de identificar as falas e
atitudes das alunas durante a realização das atividades.
Uso da ferramenta texto de construção oferecido pelo software Cinderella.
A ferramenta “texto de construção” registra todas as ferramentas e movimentos realizados
pelas alunas em cada construção. Esta ferramenta foi utilizada com o objetivo de identificar
todos os passos, ou seja, as ferramentas utilizadas bem como a ordem com que foram
utilizadas e os movimentos realizados pelas alunas para as construções propostas.
Foram realizados seis encontros: o 1º primeiro foi realizado com as sete alunas que haviam se
inscrito das 19:30 às 22:00. Do 2º ao 6º encontro realizado vez na semana (sábado) no horário
das 14:00 às 16:30 como envolviam atividades de geometria com o uso do computador,
aconteceram no Laboratório de Informática Educativa.
84
Às atividades planejadas para o 2º ao 6º encontro (apêndice C) realizados no software
Cinderella, abordaram os seguintes tópicos: retas paralelas e perpendiculares; polígono;
triângulo; paralelogramo e quadrilátero. A escolha desses conteúdos se deu pela análise do
resultado do questionário de conhecimentos geométrico e pelo fato de serem conhecimentos
básicos de Geometria Plana porque são os conteúdos a serem ensinados de 1ª à 4ª série do
Ensino Fundamental, séries das quais as alunas participantes do curso provavelmente serão
professoras.
Metodologia dos encontros: Cada encontro obedeceu à seguinte sistemática: recapitulação
do encontro anterior direcionado pela professora2 com a participação das alunas; resolução de
atividades no software Cinderella; discussões das atividades pelo grupo fazendo uma síntese
dos conceitos utilizados nas atividades e por último as alunas preenchiam uma ficha de
análise do encontro (apêndice D).
Para analisarmos a participação e o desenvolvimento das alunas no curso, optamos por
estabelecer três categorias sobre as quais centralizaremos nossa atenção e observação, são
elas:
Dificuldade no gerenciamento do computador;
Dificuldade no manuseio do software Cinderella;
Dificuldade relacionadas aos conceitos geométricos.
Com relação às duas primeiras categorias, dificuldades no gerenciamento do computador e no
manuseio do software, fizemos uma apresentação e discussão das principais dificuldades
levando em conta todos os encontros. Quanto a terceira, dificuldades relacionadas aos
2 O termo professora, no presente trabalho, refere-se à autora da pesquisa.
85
conceitos geométricos, fizemos uma apresentação e discussão dos resultados a cada encontro
e posteriormente uma análise de todo o curso.
Na realização das atividades realizamos questionamentos e discussões com as alunas tentando
fazer com que elas participassem e decidissem sobre quais e como utilizar as ferramentas
oferecidas pelo software.
1º Encontro: 22/04/2006:
Atividades planejadas: 1-Questionário para traçar o perfil das alunas (apêndice A) e seus
conhecimentos de geometria; 2- Pré-teste: Questionário contendo exercícios de Geometria
(apêndice B); 3- Leitura e discussão de alguns textos3 cujo objetivo era despertar nas alunas o
interesse pelo ensino da geometria bem como da necessidade de se ensinar bem geometria nas
séries iniciais.
2º Encontro: 06/05/2006:
Atividades planejadas: Exploração do software Cinderella, criar ponto; medir distância entre
dois pontos; criar retas; criar semi-reta; criar segmento de reta; criar circunferência.
(atividades 1 a 11 do apêndice C)
3º Encontro: 13/05/2006:
Atividades planejadas: discussão sobre o conceito de ângulo e polígono; construir ângulos;
medir ângulos; traçar bissetriz de um ângulo; classificar um ângulo quanto a sua medida;
construir polígono; classificação dos polígonos. (atividades 12 a 19 do apêndice C)
3 1- O Pensamento Geométrico, capítulo 2 desta dissertação. 2- O desenvolvimento do pensamento geométrico, e as contribuições do computador, in Nacarato, 2003.
86
4º Encontro: 20/05/2006:
Atividades planejadas: discussão sobre posição relativa entre duas retas; construir retas
paralelas, perpendiculares; construir triângulos, soma dos ângulos internos de um triângulo,
construção e classificação de um triângulo quanto à medida dos ângulos; (atividades de 20 a
28 do apêndice C)
5º Encontro: 27/05/2006:
Atividades planejadas: responder questões referentes a alguns quadriláteros, construção de
quadriláteros, de paralelogramo (atividades de 29 a 33 do apêndice C)
6º Encontro: 03/06/2006:
Atividades planejadas: classificação dos triângulos quanto à medida dos lados; classificação
dos quadriláteros, condição de existência de um triângulo (atividades de 34 a 39 do apêndice
C), questionário de conhecimento geométrico (pós-teste, apêndice B).
4.3 Apresentação e Discussão dos resultados.
As alunas serão identificadas por nomes fictícios de: Rafaela; Cristina; Débora; Franciele;
Daniela; Tatiana e Beatriz.
4.3.1 O Pré-Teste
No primeiro encontro realizamos o pré-teste que foi um questionário com questões de
Geometria (Apêndice B)
87
Atividades planejadas: 1-Questionário para traçar o perfil das alunas; questionário de
conhecimento geométrico (Pré-teste).
Com as informações oferecidas pelo questionário I, verificamos que: das sete alunas, seis
possuem idade entre 19 e 21 anos e apenas uma idade de 28 anos e também apenas uma
cursou o Ensino Fundamental em Escola Particular e Pública as demais cursaram
integralmente em Escola Pública. Quanto ao Ensino Médio todas cursaram em Escola
Pública.
Quando questionadas sobre o(s) motivo(s) que as motivaram a participar do curso,
quatro alunas disseram que era para poder ensinar melhor, uma disse que era por ser novidade
e por ter dificuldade em geometria e as outras duas declararam ter interesse em Matemática.
Entre as disciplinas que elas declararam ter tido maior dificuldade durante o Ensino
Fundamental e Médio, Matemática foi citada por três. Quanto à pergunta se você leciona ou
lecionou, apenas duas responderam que estão fazendo estágio, uma na terceira série e, outra,
na segunda série do Ensino Fundamental.
Todas as alunas declararam que estudaram geometria no Ensino Fundamental e Médio.
Quanto à pergunta sobre quais as palavras ligadas à Geometria em que elas se lembravam os
resultados são apresentados no gráfico abaixo.
88
Gráfico 1: Palavras ligadas à Geometria lembradas pelas alunas de Pedagogia
Palavras ligadas à Geometria lembradas pelas
alunas do 2o ano de Pedagogia
0
1
2
3
4
5
6
geometria plana formas
geométricas
geometria
espacial
cateto;
hipotenusa
trângulo;
retângulo,
losango;
quadrilátero
Palavras
Nú
mero
de a
lun
os
Todas as alunas afirmaram ter experiência em informática, e no gráfico abaixo temos as
respostas com relação ao manuseio do computador.
Gráfico 2: Opinião das alunas de Pedagogia participantes do projeto, sobre o uso do
computador.
3
1
3fácil
difícil
mais ou menos
89
Com relação à entrevista II (pré-teste), selecionamos algumas questões que nos chamaram
mais atenção quanto ao resultado.
As respostas das seis primeiras questões nos causaram surpresa à quantidade de erros quanto a
identificar triângulos, quadrados, retângulos, paralelogramos e retas paralelas, que
acreditávamos que não houvesse nenhuma dificuldade.
Tabela1: Questões corretas e incorretas assinaladas pelas alunas de Pedagogia participantes do
projeto.
ALUNA Questões corretas Questões incorretas
Cristina Todas nenhuma
Daniela 1 e 2 3, 4,5 e 6
Rafaela 1, 3, 4 e 5 2 e 6
Tatiana 1, 3, 4, 5 e 6 2 e 5
Franciele 1, 3, 4 2, 5 e 6
Tatiana todas nenhuma
Débora 1, 2, 3, 5 e 6 4
Fonte: o autor
Tabela 2: Número e porcentagem de erros e acertos entre as questões de 1 a 5, cometidos
pelas alunas de Pedagogia
ACERTOS ERROS
NO DA QUESTÃO NO % NO %
1 7 100 0 0
2 4 57,1 3 42.9
3 6 85,7 1 14,3
4 5 71,4 2 28,6
5 4 57,1 3 42,9
6 4 57,11 3 42,9
90
Mediante do resultado apresentado na tabela cima, notamos que as questões 2, 5 e 6 tiveram o
maior percentual de erro, 42,9% . Dentre as três questões a que mais nos surpreendeu foi os
erros da questão cinco apresentada abaixo.
As alunas Daniela, Tatiana e Franciele assinalaram o item D como sendo pares de retas
paralelas. Esse resultado nos evidencia a predominância do aspecto figural sobre o conceitual.
Muito provavelmente as alunas que cometeram o erro se valeram do aspecto visual, pois no
espaço visual as retas não tem ponto em comum, e não do conceito de retas paralelas, que
além de não terem pontos em comum as retas paralelas deve manter sempre a mesma
distância. Valendo-nos de Fainguelernt (1999) podemos verificar que os erros cometidos se
deram pelo fato dessas alunas não terem uma visualização sobre as informações ou ainda, não
se valeram do conceito do objeto geométrico.
Em algumas questões como a 7 e a 9 as alunas deveriam mencionar propriedades como a do
quadrado e dos paralelogramos percebemos a grande predominância da figura sobre o
conceito. Assim levando em conta Fischbein (1993) podemos dizer que as alunas não tem a
noção correta sobre o objeto geométrico (quadrado, retângulo, paralelogramo). Associam o
desenho ao objeto geométrico que representa uma situação específica, com características
particulares que não pertencem ao conjunto das propriedades que definem o objeto.
No quadro abaixo temos em destaque algumas respostas.
91
Quadro 2:Respostas às questões 7 e 9
QUESTÕES SUJEITOS RESPOSTAS
Beatriz
1-Mesma medida dos lados (não
acrescentou mais nenhuma propriedade)
Cristina 1-possui lados iguais
2- possui ângulos de 90º
Tatiana
1-têm 4 ângulos retos
2-tem todos os lados iguais
3- tem diagonais de mesmo comprimento
Questão 7: Dê 3 propriedades dos
quadrados.
Débora 1- tem os lados iguais
Beatriz 1-Os lados iguais
Cristina 1- tem os lados paralelos
Tatiana
1-têm 4 ângulos retos
2-tem lados opostos paralelos
Questão 9: Dê três propriedades dos
paralelogramos
Débora Não respondeu
Na questão 10, todas as alunas acertaram, na maioria, (5) desenharam um trapézio.
Na questão 11 temos um exemplo da força de desenhos prototípicos e a influência da figura
sobre o conceito.
11- Assinale a(s) figura(s) que pode(m) ser considerada(s) retângulos:
Apenas uma das alunas assinalou o segundo desenho como podendo ser considerado um
retângulo. Percebemos que enquanto respondiam o questionário algumas alunas comentaram:
92
“parece um quadrado, então não é retângulo”, deixando bem claro que para elas um quadrado
não pode ser considerado retângulo.
Na questão 12, quatro alunas afirmaram que se os quatro ângulos de um quadrilátero ABCD
tem mesma medida então ele é um quadrado, e três alunas disseram que não podem afirmar
que é um quadrado porque o quadrilátero pode ser um retângulo, e ainda nenhuma delas
responderam que tipo de quadrilátero ABCD pode ser.
Na questão 13, cinco alunas (Débora, Rafaela, Daniela, Franciele e Beatriz) erraram, pois
responderam que não se pode afirmar que todo retângulo é também um paralelogramo.
Apenas uma justificou sua resposta, a qual segue abaixo.
DANIELA: Porque há a possibilidade de seus lados terem a mesma medida e então será
quadrado.
Sendo assim sua justificativa indica que ela não domina o aspecto conceitual, não sobe o
conceito de paralelogramo e ainda não relaciona as diversas propriedades de uma figura,
(quadrado é um tipo particular de retângulo).
Nas questões 14, 15, 16 e 17 não foram respondidas por 5 alunas, o que não nos permite
analisar os tipos de erros.
Levando em conta as informações obtidas no 1º encontro, notamos que as alunas têm
dificuldade quanto aos conceitos geométricos, pois na maioria das vezes se valeram apenas do
aspecto figural, o que foi mencionado por Fischbein (1993, apud Passos) que destaca que a
dificuldade dos alunos em manipular objetos geométricos, não levando em conta o aspecto
conceitual mediante restrições do desenho, constitui-se uma das maiores dificuldades no
93
aprendizado em Geometria. Para o autor as condições figurais do desenho passam
desapercebidas do controle conceitual.
Como dissemos anteriormente, com relação às dificuldades no gerenciamento do computador
e no manuseio do software Cinderella, faremos uma análise das principais dificuldades
levando em conta todos os encontros e quanto às dificuldades relacionadas aos conceitos
geométricos, dada sua relevância ao trabalho, faremos uma análise a cada encontro, para
posteriormente podermos analisar os resultados de todos os encontros.
4.3.2 Dificuldade no gerenciamento do computador
Poucas foram às dificuldades encontradas pelas alunas no que diz respeito ao gerenciamento,
visto que na entrevista inicial todas disseram tem alguma noção de informática, mas ainda
algumas dificuldades surgiram como:
-Localizar e abrir programas;
- Manipular arquivos e pastas no gerenciador de arquivos;
- Salvar e nomear arquivos em pastas pré-determinadas.
Essas dificuldades foram rapidamente superadas já nos dois primeiros encontros.
4.3.3 Dificuldades no domínio do software Cinderella
Durante a realização das atividades notamos que algumas dificuldades principalmente nas
primeiras atividades foram comuns à maioria das alunas, como por exemplo:
- Mudar de ferramenta
94
Inicialmente explicamos algumas ferramentas dispostas em ícones na barra de menu e
pedimos para as alunas criassem alguns pontos e depois tentassem movê-los. A aluna Débora,
por exemplo, depois de fazer vários pontos clica sobre um deles para tentar movê-lo, mas o
que acontece é que surge outro ponto, a aluna fica clicando e novos pontos vão sendo
desenhados. Nesse momento explicamos a necessidade de mudar de função
Essa é uma das dificuldades mais presentes para quem está iniciando no software Cinderela, o
que também acontece com outros softwares de Geometria Dinâmica. Isso acontece porque,
enquanto o aluno não mudar de ferramenta, cada vez que clicar na tela estará reproduzindo a
última ferramenta selecionada.
- Apagar objetos
Para apagarmos um objeto construído no Cinderella é necessário primeiro selecioná-lo, para
isto devemos ativar a ferramenta selecionar objeto e depois clicar sobre o objeto e em
seguida clicar sobre a ferramenta deletar elementos selecionados .
O que a maioria das alunas fez inicialmente foi tentar selecionar o objeto apenas clicando
sobre ele e depois clicando no teclado na função delete. Esse procedimento é compreensível
visto que na maioria dos programas mais utilizados pelas alunas como Microsoft Word e
Excel é esse o procedimento mais usado para excluir alguma coisa.
- Construir figuras estáveis
Para construir figuras estáveis, ou seja, figuras que ao serem movimentadas são se desfaçam é
necessário que no momento da construção os pontos que unem os objetos sejam marcados de
maneira a pertencer a essa figura e não apenas no plano visual, mas por meio de propriedades
95
geométricas específicas. Geralmente esses pontos são determinados como ponto de
interseção.
Quadro 3: Construção de um Triângulo Qualquer
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO QUALQUER
Débora constrói um triângulo usando a interseção de três retas.
Pedimos para movimentar os vértices e os lados do triângulo.
Primeiro Débora não havia colocado um ponto num dos vértices, logo não era possível movê-lo, segundo quando moveu o ponto vértice B, o suposto vértice A passou a não fazer mais parte do triângulo, o mesmo acontecem quando tenta mover o ponto A.
Quando Débora movimenta um dos lados do triângulo, a figura pode deixar de ser triângulo no plano visual do Cinderella.
Obs: Para que o ponto A fosse de fato vértice do triângulo seria necessário defini-lo como ponto de conexão, ou usar na barra de menu clicar em: propriedades editar aparência fixar
ponto.
96
Quadro 4 - Construir figuras que mantenham propriedades que as definem
CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Quando solicitamos que as alunas construíssem triângulos retângulos dissemos: Construam um triângulo retângulo de tal forma que o movimentando sempre continuará sendo triangulo retângulo.
Cristina construiu um triângulo e quando fez o movimento dos vértices ele deixou de ser retângulo.
Fomos verificar na barra de menu opção Modos texto de
construção onde aparecem todos os passos feitos na construção e observamos que a aluna construiu um triângulo qualquer, mediu os ângulos e moveu um dos vértices até que a medida fosse 90º. Assim a condição do triângulo ter um ângulo de 90º não foi estabelecida no momento da construção
O Cinderella permite ao aluno arrastar e movimentar objetos construídos, no entanto devemos
observar que a movimentação depende das propriedades e vínculos estabelecidos com os
objetos da construção. No exemplo acima a aluna desejava construir um triângulo retângulo
mais não fez a construção usando a condição de que ao movimentar o triângulo ele deveria
continuar sendo retângulo, ou seja, não construiu inicialmente levando em consideração o
97
conceito. Embora já tivéssemos no primeiro encontro feito explicações sobre o Cinderella
com atividades onde deveríamos fixar uma dada característica que não fosse desfeita sob
qualquer movimento oferecido pelo software.
Para que o triângulo sob qualquer movimento continuasse sendo retângulo, uma das maneiras
seria de usar a condição de reta perpendicular ou usar ângulo fixo de 90º.
Neste momento devemos destacar a presença de figuras prototípicas, pois quando solicitadas a
construir um triângulo retângulo todas construíram um lado paralelo ao plano da tela do
computador.
Assim mostramos na tela do computador vários triângulos retângulos que se encontravam em
outras posições que não as geralmente encontradas nos livros, e percebemos que mesmo
vendo que um dos ângulos mediam 90º, algumas alunas ficaram em dúvida na hora de
responder se o triângulo era ou não um triângulo retângulo, como no caso abaixo.
98
Quadro 5: Construção de um Triângulo Isósceles
CONSTRUÇÃO DE UM TRIÂNGULO ISÓSCELES
Quando solicitamos que as alunas construíssem triângulos isósceles de tal forma que sob todos os movimentos possíveis no plano o triângulo continue sendo isósceles, a aluna Cristina construiu um triângulo e quando fez o movimento dos vértices ele deixou de ser isósceles.
Usando uma ferramenta bastante útil para o professor que é texto
de construção tivemos o texto ao lado, onde podemos verificar que a aluna construiu dois segmentos e depois fez a medida e movimentou os pontos até que os lados AB e AC tivessem a mesma medida e em seguida definiu o segmento BC, assim a condição de dois segmentos com mesma medida não fazia parte da condição de existência do triângulo.
99
Quadro 6: Construção de um Quadrado
CONSTRUÇÃO DE UM QUADRADO
Quando solicitamos que as alunas construíssem um quadrado ocorreu o mesmo problema no caso do triângulo. A aluna Daniela construiu um quadrado, mas quando fizemos o movimento dos vértices ele deixou de ser quadrado.
100
Reforçamos às alunas, que o desenho associado ao objeto geométrico desempenha um papel
fundamental na formação da imagem mental, ou da visualização, devendo ficar claro que o
desenho é apenas uma instância física de representaçõeses do objeto, como afirma Fischbein.
Faremos, agora a partir do 2º encontro uma discussões das dificuldades relacionadas à
geometria em cada um dos encontros, pois as atividades utilizando o software Cinderella
foram iniciadas a partir do 2º encontro:
2º ENCONTRO
Atividades planejadas: criar ponto; medir distância entre dois pontos; criar retas; criar semi-
reta; criar segmento de reta; criar circunferência. (atividades 1 a 11 do apêndice C)
Objetivos das atividades: familiarizar as alunas com os comandos básicos do Cinderella;
conceito de reta, semi-reta e segmento de reta, conceitos de circunferência e raio.
Mediante as discussões durante as primeiras atividades, notamos que maioria das alunas
sabia, ao menos pela representação, o que era reta, semi-reta e segmento de reta. Por exemplo,
quando questionadas sobre os conceitos de reta, semi-reta e segmento de reta as respostas
foram:
Reta:
- CRISTINA: é uma linha que vai para frente e para trás.
- TATIANA: Não tem fim.
-BEATRIZ: No infinito, não é?
-CISTINA: É uma linha que não tem começo e nem fim.
101
Semi-reta:
-RAFAELA: é uma reta que tem começo mais não tem fim.
Segmento de reta:
- CRISTINA: é uma reta que tem começo e fim
Dada a discussão acima chamamos a atenção das alunas da necessidade de utilizarmos termos
apropriados à geometria e aos conceitos envolvidos para que não exista a possibilidade de
termos interpretações incorretas, o que não implica na utilização de termos complicados mais
sim que não ofereçam interpretações incorretas.
Para ilustrar o fato lemos à definição de semi-reta e segmento de reta num livro4 da 1ª série do
Ensino Fundamental. A escolha do livro se deu pelo fato do mesmo ser utilizado na maioria
das Escolas Públicas Estaduais.
As definições encontradas no mencionado livro foram:
Chama-se segmento de reta a linha aberta simples que representa o caminho mais curto entre
os pontos A e B de um plano. Indica-se: AB .
Prolongando o segmento AB indefinidamente, nos dois sentidos, obtemos uma reta.
4BONJORNO. R. A. Matemática pode contar comigo; São Paulo: FTD, 2001.
102
A reta não tem extremidades. Ela é ilimitada nos dois sentidos e pode ser indicada por r ou
AB .
Quando marcamos um ponto sobre uma reta, esse a divide em duas partes. Cada uma dessas
partes é ilimitada num só sentido e, por isso, é chamada de semi-reta.
Terminando a leitura, as alunas comentaram que os termos utilizados são muito complicados,
e ainda confusos.
Nesse momento chamamos a atenção das alunas para o cuidado com a linguagem utilizada,
pois em algumas situações o professor na busca por definir algo faz uso de termos ou
expressões que os alunos também não sabem o que significa, como no exemplo acima, e ainda
da necessidade de utilizar outros livros para material de apoio, pois mesmos os livros podem
trazer alguns equívocos.
“Prolongando o segmento AB indefinidamente, nos dois sentidos, obtemos uma reta”.
Para que o aluno consiga entender o conceito de reta é necessário que ele saiba termos como:
prolongamento, indefinidamente e sentidos.
Na seqüência propusemos as atividades 7, 8, 9 10 e 11 com o objetivo de evidenciar os
conceitos ligados à circunferência como centro, raio e diâmetro. As atividades foram
resolvidas sem grandes dificuldades.
Ao final do 2º encontro, assim como dos seguintes pedimos as alunas para que respondessem
uma ficha de análise dos encontros na qual as alunas disseram não ter dificuldade na
resolução das atividades, e ainda que já conheciam os conceitos de geometria envolvidos nas
atividades. Algumas alunas sugeriram uma apostila com os passos necessários para as
103
construções, mas como gostaríamos que as construções fossem feitas por meio das discussões
do grupo achamos melhor não atender esta sugestão.
3º ENCONTRO
Atividades planejadas: discussão sobre o conceito de ângulo e polígono; construir ângulos;
medir ângulos; traçar bissetriz de um ângulo; classificar um ângulo quanto a sua medida;
construir polígono; classificação dos polígonos. (atividades 12 a 19 do apêndice C)
Objetivos das atividades: Propiciar as alunas à exploração do conceito de ângulo, polígono e
medidas de ângulo e polígonos.
Como algumas alunas haviam mencionado, na ficha de análise do encontro anterior, que
gostariam de uma apostila definindo as funções utilizadas para cada construção, iniciamos o
encontro dizendo a elas que o nosso objetivo era que as construções fossem realizadas
segundo as discussões e sugestões do grupo e que ao afinal do curso poderíamos dar uma
apostila com as principais funções do Cinderella e uma das maneiras de fazer as construções
das atividades propostas.
Iniciamos o encontro questionado as alunas sobre o que é um polígono, mas ninguém soube
responder. Quando pedimos que prestassem atenção para o significado do nome é que
algumas alunas disseram que deveria se tratar de uma figura com vários ângulos.
BEATRIZ: - Poli quer dizer vários.
CRISTINA: - É uma figura com vários ângulos.
Notamos aqui dúvidas sobre o termo polígono, mas chegaram num consenso que polígono se
trata de uma figura formada por vários ângulos.
104
Questionamos então: O que é um ângulo?
CRISTINA: É a distância entre duas retas
Nesse momento utilizando o quadro fizemos o desenho abaixo e questionamos qual era o
ângulo entre as retas r e s
CRISTINA: Mas elas têm que se encontrarem.
TATIANA: Elas têm que ter um ponto em comum, (faz o gesto com duas canetas).
RAFAELA: É a distância entre duas retas que têm um ponto em comum.
Professora: Como se chamam duas retas que têm um ponto em comum?
DÉBORA: Perpendiculares.
CRISTINA: Não, perpendiculares são retas que têm um ângulo de 90º, e não precisa ter 90º
para terem um ponto em comum.
Como ninguém se lembrava do nome dado as retas que tem apenas um ponto em comum,
dissemos que retas que têm um ponto em comum são chamadas retas concorrentes:
CRISTINA: Então ângulo é a distância entre duas retas concorrentes
Observamos que a expressão “distância entre duas retas” permanece, e todas as alunas então
concordam com a definição dada por CRISTINA. Então valendo-nos de Pais (1996) que
105
menciona existirem quatro elementos fundamentais que intervém no processo de ensino e
aprendizagem da Geometria euclidiana plana e espacial que são: objeto, desenho, imagem
mental e conceito, pedimos para que desenhassem duas retas concorrentes, fizeram um
desenho do tipo abaixo.
Professora: Como vocês disseram que o ângulo é a distância entre duas retas, usem a
ferramenta medir distância entre retas e verifique o resultado.
BEATRIZ: Mas não tá medindo nada!
Professora: Será então que ângulo é a “distância” entre duas retas? No desenho de vocês a
distância entre as retas é sempre a mesma?
CRISTINA: Não é essa distância reta, é uma curva.
Professora: Ângulo pode ser entendido como reunião de duas semi-retas de mesma origem, e
que no caso do desenho construído por elas haviam dois ângulos.
Propusemos então que usassem a ferramenta “medir ângulo” que foi realizado sem nenhum
problema. Na seqüência realizaram as atividades 13 a 15.
Falamos que dependendo da medida do ângulo ele recebe um nome. A aluna CRISTINA disse
que se lembrava apenas do ângulo reto, que é o que têm medida de 90º.
106
TATIANA: Têm também o ângulo agudo, agora não sei se é o ângulo maior que 90º ou
menor.
BEATRIZ: Eu acho que o ângulo agudo é o ângulo com menos de 90º, mais não me lembro o
nome do ângulo com mais de 90º.
Observação: As alunas nunca usavam a expressão medida igual, maior ou menor que 90º.
Como nenhuma das alunas recordava do nome dado ao ângulo que mede mais de 90º, fizemos
nomeação no quadro:
Ângulo reto é aquele que mede 90º.
Ângulo agudo é aquele mede menos que 90º.
Ângulo obtuso é aquele mede mais que 90º
Ângulo raso é aquele que mede extamente a 180º.
Embora os nomes dados aos ângulos não representam conhecimento mais sim nomenclatura.
Retornamos então a discussão inicial sobre o que é um polígono, e então disseram novamente:
pelo nome é uma figura com vários ângulos. Concordamos de fato a palavra é de origem
grega onde poli=muitos e gono=ângulos e dissemos que conforme um livro da quinta série5:
Polígonos são formas geométricas planas que só tem lados retos
Questionamento: Os desenhos abaixo são polígonos?
5 IMENES, L. Matemática, São Paulo: Scipione, 1997
107
BEATRIZ: Não porque duas não tem lados retos, outros duas não são planas e uma era aberta.
Sugerimos então construíssem vários exemplos de polígonos usando a ferramenta definir um
polígono , e outra usando seguimento de retas. (atividade 18)
A necessidade de uma definição mais precisa o que não aconteceu no caso acima.
Depois da realização da atividade 18, comentamos que os polígonos podem ser côncavos ou
convexos, explicando cada situação e que nosso estudo agora se dirigiria aos polígonos
convexos.
Continuando as atividades do encontro, dissemos que alguns polígonos tem nomes especiais,
dependendo do número de lados.
CRISTINA: Com 3 lados é triângulo, com 4 é quadrado ou retângulo.
TATIANA: Não, pode ser outra coisa também, e fez o desenho no ar de um trapézio.
DANIELA: Então como pode ser chamada todas as figuras de quatro lados?
108
PROFESSORA: Pensem bem no termo “quatro lados”.
CRISTINA: Já sei, é quadrilátero.
Nesse momento, por meio de discussões construímos a tabela abaixo, sempre dando
significado aos nomes dos polígonos.
NÚMERO DE LADOS NOME DO POLÍGONO
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 eneágono
10 decágono
Algumas alunas comentaram que nunca tentaram entender o por quê dos nomes dos
polígonos, ou seja, fazer uma relação entre o nome e as características do polígono, apenas
decoravam e, portanto depois de algum tempo esqueciam. Ressaltamos então, da necessidade
de estabelecer um significado aos nomes das figuras geométricas, pois cada nome tem seu
significado e que isso deve ficar muito claro para os alunos.
Com base nos comentários acreditamos que os professores dessas alunas provavelmente não
estabeleceram o significado dos nomes dos polígonos, assim como de outras figuras
geométricas, e que talvez essas alunas provavelmente fariam o mesmo com seus alunos.
109
Comentamos ainda com as alunas que levando em consideração o tempo do curso e ainda do
resultado do pré-teste concentraríamos nossas atividades no estudo dos triângulos e
quadriláteros
Da forma com que desenvolvemos as atividades, veremos na análise, que ajudou as alunas a
desenvolverem suas capacidades de interpretar representações gráficas e da associação à
imagem mental e refletir sobre os conceitos de modo crítico.
Fischbein (19936, apud PASSOS, 2000), diz que o que caracteriza o conceito é o fato de que
ele expressa uma idéia, uma representação geral, ideal de uma classe de objetos, baseado em
seus traços comuns.
Refletindo sobre as discussões relatadas à respeito dos conceitos (ângulo, retas, polígonos)
possibilitamos situações para que as alunas refletissem sobre o conhecimento que tinham e
tentassem reelaborá-los.
4º ENCONTRO
Atividades planejadas: discussão sobre posição relativa entre duas retas; construição de
retas paralelas, perpendiculares; construção de triângulos, soma dos ângulos internos de um
triângulo, construção e classificação de um triângulo quanto à medida dos ângulos;
(atividades 20 à 28 do apêndice C)
6 FISCHBEIN. E. The Theory of figural concepts. Education Studies in Mathematics. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1993.
110
Objetivos das atividades: Propiciar as alunas à exploração do conceito posição relativa de
retas, triângulos; classificação de triângulos.
Retomando também a discussão da situação em que duas retas podem se encontrar
escrevemos:
- Duas retas paralelas mantêm entre si a mesma distância; não possuem pontos em comum.
- Duas retas concorrentes possuem apenas um ponto em comum.
- Quando duas retas formam um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90º, são chamadas retas
perpendiculares.
Questionamos: Duas retas perpendiculares também são concorrentes?
TATIANA: Duas retas perpendiculares também são concorrentes, pois se formam um ângulo
reto tem um ponto em comum.
Nesse momento percebemos que a aluna Tatiana não precisou fazer uma representação das
retas para responder, mais sim se valeu de uma imagem mental, ou seja, por meio da
visualização conseguiu perceber que uma propriedade pode decorrer da outra.
Dando procedimento à aula propusemos as atividades 21, 22 e 23.
Como já havíamos realizadas atividades com relação ao conceito polígonos, ângulos e retas,
iniciamos as atividades relacionadas aos triângulos. Para tanto propusemos às alunas que
desenhassem um triângulo qualquer, chamando a atenção para que não esquecessem que sob
qualquer movimento o desenho deve continuar a ser um triângulo.
111
Todas as alunas construíram um triângulo, mas no momento em que foram mover os vértices,
em alguns casos os desenhos deixaram de ser triângulo, como foi o caso da DÉBORA pois ela
não estabeleceu a condição de que os pontos deveriam pertencer a interseção das retas ou
segmento de retas, o que na verdade foi um erro quanto à utilização do software já relatado
anteriormente. Percebendo a dificuldade das alunas propusemos a atividade 24 que foi
realizada sem dificuldades.
Em seqüência propusemos que fizessem a medida dos ângulos internos do triângulo que
haviam construído e depois sua soma. Antes de fazer à atividade a aluna Cristina comenta:
CRISTINA: Vai dar 180º !
TATIANA: É verdade, disso eu me lembro.
Mesmo após estas afirmações pedimos que depois de realizada a soma dos ângulos,
movessem os vértices do triângulo e observassem o que acontecia com a soma dos ângulos.
Todas verificaram que a soma não se alterava, verificando que a soma dos ângulos internos de
um triângulo qualquer é sempre 180º.
Nosso objetivo com essa atividade era além da verificação da soma dos ângulo internos do
triângulo, mas que esse fato colaborasse para compreenderem as condições estabelecidas na
classificação dos triângulos quanto a medida dos ângulos internos, como descrevemos abaixo.
Comentamos que de acordo com certas características os triângulos têm nomes especiais, e
que essa classificação é feita de duas maneiras, quanto à medida dos lados e quanto à medida
dos ângulos internos e que iniciaríamos pela classificação quanto à medida dos ângulos.
CRISTINA: triângulo retângulo, é o que tem ângulo reto, agora os outros não me lembro.
112
Professora: Então o nome está relacionado ao nome do ângulo, ou seja, triângulo retângulo
está relacionado ao fato de ter um ângulo reto. E os outros? Quais os nomes dos ângulos com
medidas diferentes de 90º? Será que tem alguma relação com o nome do triângulo?
Propusemos então fazermos o registro no quadro com relação ao nome do triângulo e a sua
característica. Quando questionadas novamente sobre o triângulo retângulo CRISTINA diz
novamente a definição anterior, questionamos então a necessidade de escrever se um triângulo
retângulo tem apenas um ou pelo menos um ângulo reto.
BEATRIZ: Pelo menos um.
Professora: É possível ter dois ângulos retos?
DANIELA Acho que é.
Professora: Se dois ângulos forem retos, quanto dá a soma só desses dois?
DÉBORA: Já dá 180º e ainda tem o outro, e como a soma dos ângulos internos é sempre 180,
não pode um triângulo ter mais de um ângulo reto.
Então fomos registrando no quadro, e tivemos:
Triângulo retângulo é um triângulo com um ângulo reto (90º).
Os outros nomes ninguém se lembrava, pedimos então para que, como no caso do triângulo
retângulo, fizessem uma analogia ao nome do ângulo e que para facilitar diríamos o nome do
triângulo e elas iriam justificando.
Quando mencionamos o triângulo obtusângulo, todas concordaram que estava relacionado ao
ângulo obtuso.
113
CRISTINA: O triângulo obtusângulo é aquele que têm ângulo obtuso.
Questionamos: três, dois ou um ângulo obtuso?
CRISTINA: Acho que só pode ser um se não só a soma de dois já ultrapassa 180º.
A aluna recorre a um resultado anterior para estabelecer relações.
Professora: De fato.
Triângulo Obtusângulo: é um triângulo que tem um ângulo obtuso.
Professora: Triângulo acutângulo?
TATIANA: Tem ângulo agudo, que é aquele que é menor que 90º.
Professora: Todos os ângulos, dois ou um?
BEATRIZ: Bom, acho que pode ter um, dois ou os três.
CRISTINA: Mas se o triângulo tiver somente um ângulo agudo os outro dois serão ou reto ou
obtuso, e a gente viu que não se um for obtuso ou reto os outros terão que ser agudos e
também se um for reto é triângulo retângulo, se for obtuso é triângulo o obtusângulo e não
acutângulo.
Todas as alunas concordam com a Cristina,
Percebemos que a verificação da soma dos ângulos internos, serviu para a aluna conseguir a
classificação dos triângulos quanto à medida dos ângulos, Além disso não podemos deixar de
notar o bom raciocínio lógico, ou seja, a decorrência das propriedades.
Triângulo Acutângulo: é um triângulo que tem os três ângulos agudos
114
As alunas perceberam então a necessidade de termos atenção à definição, pois muitas vezes a
palavra tem um ou apenas um dado ângulo pode fazer muita diferença.
Propusemos a atividade de construir um triângulo retângulo, um triângulo acutângulo e um
triângulo obtusângulo, de modo que, sob qualquer possibilidade de movimento oferecido pelo
software os respectivos triângulos não perdessem as características, ou seja, o triângulo
retângulo não deixasse de ser retângulo, e o mesmo com os triângulos acutângulo e
obtusângulo.
Nessa atividade não percebemos nenhuma dificuldade quanto aos conceitos geométricos, as
maiores dificuldades se deram na utilização do software visto que existia a necessidade de
fixar a medida de alguns ângulos e a algumas construíram um triângulo qualquer para depois
movimentar algum vértice até que as medidas fossem as pretendidas. Por isso, qualquer
movimento fazia com que esta característica fosse perdida.
O relato acima evidencia que algumas alunas ainda estão dando ênfase ao aspecto figural em
detrimento do conceitual.
Para que as alunas conseguissem construir os triângulos de forma a não perder a propriedade
que o classifica, propusemos as atividades 27 e 28.
Na elaboração da seqüência das atividades bem como na discussão com as alunas levamos em
conta elementos fundamentais que intervém no processo de ensino e aprendizagem da
geometria euclidiana citado por Pais (1996), que são: conceito, desenho e imagem mental.
Neste encontro utilizamos vários tipos de representação, como desenhos, gestos, linguagem
entre outras manifestações para que assim pudéssemos contribuir para a formação da imagem
mental e do conceito.
115
5º ENCONTRO:
Atividades planejadas: responder questões referentes a alguns quadriláteros, construção de
quadriláteros, de paralelogramo (atividades de 29 a 39 do apêndice C).
Objetivos das atividades: Propiciar as alunas à exploração do conceito quadrilátero e suas
classificações; verificar se as alunas se valiam do aspecto figural ou conceitual de alguns
quadriláteros.
Iniciamos o a discussão sobre o que era um quadrilátero, e todas concordaram que era uma
figura de quatro lados, então fizemos o seguinte desenho.
Então concordaram que deveríamos dizer que é uma figura fechada de quatro lados.
Chamamos atenção novamente para a necessidade de usarmos os termos corretos e
novamente procuramos a definição de quadrilátero num livro de 4ª série e a definição que as
alunas acharam mais conveniente foi de:
Quadrilátero é um polígonos convexos de quatro lados.
Devemos chamar atenção para a definição dada pelo livro em que a condição de ser convexo
não faz parte da definição de quadrilátero
Como já havíamos discutidos os termos polígonos, e convexos, somente os relembramos.
116
Comentamos então que alguns quadriláteros podem ser agrupados porque partilham
propriedades particulares. Esses quadriláteros especiais possuem nomes para identificá-los,
são eles: trapézio, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado.
Questionamos se elas se lembravam da definição de algum deles:
DÉBORA: Quadrado é o que tem os lados iguais.
DANIELA: E o retângulo é o que tem lados diferentes.
TATIANA: O trapézio tem um lado que é paralelo ao outro.
CRISTINA: Paralelogramo tem a ver com lados paralelos.
Nesse momento anotamos num lado do quadro as falas acima sem que fizéssemos nenhum
comentário sobre eles.
Professora: A Cristina disse que paralelogramo tem a ver com lado paralelos, de fato, mas a
definição é: Paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos.
Professora: Desenhe, utilizando o Cinderella, um paralelogramo.
Todas as alunas desenharam um retângulo. Questionadas se existem outros tipos de
paralelogramos que elas conhecessem, disseram o quadrado. Perguntei o que o quadrado e o
retângulo haviam em comum e a DANIELA respondeu que tinham 4 lados, os lados opostos
paralelos, mas a aluna CRISTINA acrescentou que tanto o quadrado quanto o retângulo
tinham os quatro ângulos retos. Chamamos então a atenção de que ter ângulos retos não era
uma condição necessária para ser um paralelogramo. Então pedimos para que construíssem
um paralelogramo que não fosse o quadrado nem o retângulo. Várias alunas não souberam o
117
que fazer. Desenhamos então um paralelogramo no quadro e pedimos para que o construísse
no Cinderella (atividade 31).
Nesse momento devemos ressaltar a força dos desenhos prototípicos e do não equilíbrio entre
o conceito e a figura, visto que mesmo considerando a definição recorreram a desenhos
prototípicos e não conseguiram utilizar o conceito.
Antes de discutirmos especificamente sobre as propriedades de retângulo, quadrado e losango
pedimos para que as alunas respondessem por escrito as seguintes perguntas.
1) Qual a diferença que existe entre um quadrado e um retângulo?
2) O que o paralelogramo tem em comum com o retângulo?
3) Quais as diferenças entre quadrado e losango?
Nossa intenção era fazer um comparativo entre as respostas obtidas antes e depois das
atividades programadas em seqüência, em razão disso recolhemos as respostas e não fizemos
nenhum comentário sobre elas.
Professora: Construa um retângulo.
Não comentamos sobre as respostas e nem qual sua finalidade, e encaminhamos as atividades
de construção de quadrado e retângulo.
Professora: Quais as propriedades do retângulo?
CRISTINA: O retângulo tem todos os ângulos retos e dois lados paralelos iguais.
A aluna quis dizer lados paralelos de mesma medida.
118
Professora: Então construa um retângulo.
Embora notemos que as alunas reconheceram o que era um retângulo e souberam facilmente
estabelecer as condições de lados paralelos e ângulos retos, a maioria antes de iniciar a
construção se questionou sobre como fazer para que os lados opostos ficassem relacionados
de forma a terem a mesma medida. Nesse momento relembramos sobre como construíram um
triângulo eqüilátero, ou seja, como estabeleceram a relação entre as medidas dos lados e que
nesse caso o processo era o mesmo. Como algumas ainda não haviam conseguido propusemos
a atividade 32.
Quando questionadas se o retângulo que haviam construído, de alguma maneira, poderia se
tornar um quadrado, uma das alunas menciona que para isto bastava deixar as medidas dos
lados todas iguais. Sugerimos assim que movimentassem o retângulo que haviam construído,
de forma que deixassem com os lados com a mesma medida.
Todas as alunas conseguiram, por meio dos movimentos oferecidos, obterem um quadrado.
Como as alunas construíram um desenho de retângulo dentro de princípios geométricos, por
meio de movimento puderam obter uma família de representantes onde um deles pode ter os 4
lados com mesma medida, o que significa que “ter lados diferentes” não é característica do
retângulo. Com base no resultado obtido poderíamos dizer que um quadrado é um retângulo
com lados de mesma medida. No entanto não fizemos esse comentário, visto que ao final do
encontro as alunas responderiam novamente às questões propostas no início do encontro.
Em seqüência perguntamos o que era um losango, e obtivemos as seguintes respostas:
CRISTINA: É um quadrilátero com a ponta para baixo.
TATIANA: Parece uma pipa.
119
DÉBORA: É um quadrado torto.
Antes de refletirmos sobre as questões levantadas, pedimos para que as alunas construíssem
um paralelogramo com lados de mesma medida, e todas construíram um quadrado. Assim
comentamos que de fato o quadrado atende as condições pedidas mas será que só o quadrado
atendia à aquelas condições?
Chamamos a atenção de que as condições dadas acima eram a definição de losango e
escrevemos:
Losango é um paralelogramo com lados de mesma medida.
CRISTINA: Então quadrado e losango é a mesma coisa?
Professora: Qual a definição de quadrado?
CRISTINA: É um paralelogramo, com lados de mesma medida e os 4 ângulos com mesma
medida. Então a definição é diferente e o desenho é igual?
BEATRIZ: Então o quadrado tem uma condição a mais que é ter ângulos retos.
Então utilizando o Cinderella construímos um quadrado fizemos o movimento de rotação e
perguntamos: e agora o desenho deixou de ser um o quadrado, se tornou um losango?
DÉBORA: A aparência é de um losango, embora também seja um quadrado.
BEATRIZ: Então por essa definição esse desenho obtido pode representar um quadrado e
também um losango. É um quadrado porque tem os lados iguais e os ângulos retos e é
também losango, pois pela definição acima é um paralelogramo e tem lados com mesma
medida.
120
A aluna percebeu que o quadrado é um tipo particular de losango, ou seja, atende todas as
condições e ainda tem outras características.
Mencionamos que existe uma propriedade que diz: Em todo paralelogramo os ângulos
opostos são congruentes. Não realizamos uma demonstração rigorosa apenas justificamos a
propriedade e relembramos o que são ângulos opostos. Logo, como o losango é um
paralelogramo, seus ângulos opostos tem mesma a medida, que não necessariamente devam
ser de 90º.
Professora: E todo losango também pode ser um quadrado?
BEATRIZ: Nem todos, só se os 4 ângulos forem de 90º.
A aluna acima conseguiu estabelecer relações entre as propriedades.
Devemos destacar aqui a potencialidade do software, visto que graças ao movimento que o
software possibilitou as alunas puderam perceber a relação de inclusão, onde um quadrado
também pode ser retângulo e ser losango. Mediante as várias formas de representação as
alunas conseguiram obter uma visualização do objeto geométrico. Verificamos assim como
mencionado no capítulo 3 que de fato a representação colabora para a visualização.
Pedimos as alunas para que respondessem por escrito as mesmas perguntas do início do
encontro para que pudéssemos observar se a forma com que realizamos as atividade de fato
haviam contribuído para a aprendizagem.
1) Qual a diferença que existe entre um quadrado e um retângulo?
2) O que o paralelogramo tem em comum com o retângulo?
3) Quais as diferenças entre quadrado e losango?
121
Depois que as questões forem entregue comentamos que conforme as definições temos: que
todo quadrado é retângulo e também losango, ou seja o quadrado é um tipo particular de
retângulo e de losango.
No quadro abaixo mostramos algumas respostas, fazendo uma comparação entre antes e
depois da realização das atividades.
Quadro 7: Respostas obtidas antes e após algumas atividades
RESPOSTAS
QUESTÕES SUJEITOSAntes das atividades Após as atividades
CRISTINA
Enquanto o quadrado tem os
quatro lados iguais, os
mesmos ângulos (todos 90º), o
retângulo possui todos os
ângulos iguais (90º), mas
difere nos lados, possui dois
lados paralelos diferentes.
O quadrado possui os 4
lados com a mesma
medida e os mesmos
ângulos (90º), enquanto o
retângulo possui os
ângulos iguais (90º) e os 4
lados não necessariamente
iguais.
TATIANA
A diferença é que o retângulo
tem dois lados iguais enquanto
que o quadrado tem os quatro
iguais.
É que o quadrado tem que
tem obrigatoriamente os 4
lados com a mesma
medida, enquanto que o
retângulo é obrigado a ter
apenas 2 lados iguais
Qual(is) a diferença que
existe entre quadrado e
um retângulo
BEATRIZ
O quadrado tem mesma
medida dos lados e o retângulo
não.
O quadrado têm os 4 lados
mesma medida , e o
retângulo não
necessariamente.
122
BEATRIZ
Não sei O quadrado precisa ter os
4 ângulos iguais e o
losango precisa ter dois a
dois os ângulos iguais.
TATIANA
Não sei É que o losango pode ter 2
ângulos iguais e 2
diferentes enquanto o
quadrado tem que ter os 4
iguais. Qual(is) a diferença entre
quadrado e losango
FRANCIELE
Os ângulos O quadrado tem os 4
ângulos com a mesma
medida (90º) e o losango
tem 4 ângulos dois a dois
com mesma medida que
pode ser diferente de 90º .
Diante das discussões e das respostas obtidas antes da realização das atividades do encontro,
notamos que as alunas consideravam que as figuras mudavam de classificação mediante
movimentos rígidos, considerados como aqueles movimentos que não alteram a forma inicial
do desenho, apenas a posição no espaço, ou seja, um “losango é um quadrado torto”,
considerando que se um dos lados estiver horizontalmente não será um losango. No momento
em que as alunas movimentaram o desenho do quadrado, perceberam que com as
características não foram alteradas, o desenho passou a ser reconhecido como losango.
Novamente tivemos que recorrer ao conceito, pois as alunas evidenciavam o aspecto figural e
não conceitual.
Verificando as respostas obtidas, embora ainda tivessem alguns erros, acreditamos que da
maneira como realizamos as atividades despertamos nas alunas à necessidade de definir uma
123
figura levando em conta o conceito e não um desenho particular, para que assim conforme
Fischbein consiga ter a noção exata sobre o objeto geométrico.
6º ENCONTRO
Atividades planejadas: classificação dos triângulos quanto à medida dos lados; classificação
dos quadriláteros, condição de existência de um triângulo, questionário de conhecimento
geométrico (pós-teste).
Objetivos das atividades: estabelecer a condição de existência de um triângulo, quanto à
medida dos lados. Avaliar o impacto com relação ao conhecimento geométrico das alunas
após a realização de todas as atividades proposta no curso.
Iniciamos o encontro relembrando a classificação dos quadriláteros e dos triângulos,
recordamos com as alunas a classificação e junto com elas escrevemos no quadro:
Triângulo eqüilátero: possui os 3 lados com mesma medida.
Triângulo isósceles: possui dois lados com mesma medida.
Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes.
Pedimos então para que construíssem um triângulo eqüilátero, um isósceles e um escaleno.
Todas as alunas construíram primeiro o triângulo escaleno e, para a construção do triângulo
eqüilátero, a aluna BEATRIZ lembra que deve ser semelhante à construção do quadrado
quanto a maneira de relacionar a medida dos lados, ou seja, que deveriam usar o raio da
circunferência.
124
Pedimos então que construíssem um segmento AB e traçassem uma circunferência de raio AB
com centro em A e outro com centro em B. Nesse momento a aluna BEATRIZ percebe que o
ponto de interseção das duas circunferências é o outro vértice do triângulo desejado.
BEATRIZ: Esse ponto de interseção está a mesma distância de A e de B, que também é a
distância entre A e B.
As alunas concordam com essa afirmação, e assim pedimos então para que verificassem então
se de fato esse triângulo era eqüilátero. As alunas usando a ferramenta de medir segmento,
mediram os lados e verificaram que tinham mesma medida, em seguido movimentam os
vértices percebendo que o valor das medidas mudam mais continuam sendo iguais.
Realizaram as atividades 34, 35 36 e 37.
Logo após a atividade 37, como nosso objetivo era de que as alunas conseguissem estabelecer
a condição de existência de um triângulo, propusemos que construíssem triângulos com as
seguintes medidas:
a) 5cm, 3cm e 3cm;
b) 6 cm, 2 cm e 3 cm;
c) 4 cm, 5 cm e 6 cm;
d) 4 cm, 2 cm e 2 cm.
Quando as alunas foram resolver o item b comentaram que não dava para construir o triângulo
pois, as circunferência não se encontravam, nesse momento não fizemos nenhum comentário
simplesmente pedimos para fazer os outros itens.
Quando terminaram questionamos quais dos itens não foi possível construir um triângulo e
para que observassem o que havia de comum no medidas onde não foi possível construir um
125
triângulo. Pensaram por alguns minutos e CRISTINA chegou a conclusão de que a soma das
medidas menores devia ser maior que a maior medida, então dissemos que essa era a condição
de existência de um triângulo e escrevemos no quadro: “num triângulo a medida do segmento
maior não pode ultrapassar a soma da medida dos outros dois segmentos”.
Pós-teste: Como esse era o último encontro propusemos às alunas que respondessem as
mesmas perguntas sobre conhecimentos em geometria (pós-teste) que haviam respondido no
primeiro encontro (APÊNDICE B).
4.3. Análise dos resultados no pré-teste e no pós-teste
O teste de conhecimento geométrico foi aplicado no primeiro e no último encontro, com o
objetivo de verificar se houve evolução dos conhecimentos geométricos após a realização do
curso.
As respostas de algumas questões obtidas no pré e pós teste estão no apêndice E.
Algumas respostas do pós teste
Inicialmente tomando apenas o número de acertos, verificamos pelo resultado do pós-teste
(apêndice E) que tivemos bons resultados no que diz respeito ao conhecimento em Geometria,
pois houve um maior número de acertos. Por exemplo, com relação às 5 primeiras questões do
questionário II, que são:
126
No pós-teste as alunas acertaram todas, o que evidenciam que provavelmente se valeram mais
dos aspectos conceituais, o que provavelmente não ocorreu no pré-teste dada a quantidade de
erros cometidos. Fato análogo ocorreu na questão 13,
13- Podemos afirmar que todo retângulo é também um paralelogramo? Por quê?
No pré-teste, cinco alunas responderam que não podemos afirmar que todo retângulo e
também um paralelogramo, enquanto que no pós-teste todas concordaram com a afirmativa.
127
Levando em conta agora os resultados obtidos nas questões 7, 9, 12 e 13, que tratavam de
questões descritivas que estão no apêndice E, relataremos aqui as principais dificuldades e sua
superação levando em conta os fatos de todos os encontros e os resultados do pré e pós-teste.
Dificuldades: as expressões foram retiradas das discussões; das questões 5º encontro e das
respostas do pré-teste do quadro no apêndice E.
1) Uso de expressões incorretas como:
- “ângulo é a distância entre duas retas”.
- “um quadrado tem lados iguais”, querendo dizer que tem mesma medida.
2) Identificar as propriedades mínimas que definem o objeto geométrico, o conceito de objeto
geométrico.
- “quadrilátero é uma figura de quatro lados”, deixando de evidenciar que deveria ter lados
retos e que deveria ser uma figura fechada.
- “quadrado é uma figura com os lados com mesma medida”, não acrescentado que deveria
ter os 4 ângulos retos.
- “losango é um quadrado torto”, não sabendo que este fato estava ligado a não necessidade
de ter ângulos retos, ou seja, para a aluna a diferença estava apenas na posição.
3) Perceber que algumas propriedades são comuns a diversos objetos geométricos.
-“um quadrado pode ser também retângulo?”, a surpresa se deu pois há evidências de que a
aluna se utilizava de desenhos prototípicos como imagens mentais, e não do conceito.
128
- “um paralelogramo não pode ser considerado um retângulo pois se tiver lados iguais será
um quadrado”. Tentando encontrar justificativa para essa resposta percebemos que para essa
aluna (Tatiana) ( apêndice E) o paralelogramo tem 4 ângulos retos e assim se tiver lados
iguais será um quadrado. A aluna teve um raciocínio correto o erro se deu pois atribuiu uma
característica não necessária ao paralelogramo.
Superação: as expressões foram retiradas das discussões, das questões 5º encontro e das
respostas do pós-teste do quadro no apêndice E.
1) Uso de expressões
- “um quadrado tem 4 ladoscom mesma medidas”.
2) Identificar as propriedades mínimas que definem o objeto geométrico, o conceito de objeto
geométrico.
- “quadrado é uma figura com 4 lados com mesma medida, possui 4 ângulos retos(90º)”.
- “losango é um paralelogramo onde os ângulos são dois a dois com mesma medida”.
3) Perceber que algumas propriedades são comuns a diversos objetos geométricos.
-“um quadrado é um paralelogramo”.
- “um paralelogramo pode ser considerado um retângulo pois é um quadrilátero e tem lados
paralelos”.
- “o quadrado é um losango pois é um paralelogramo e tem os lados com mesma medida”.
-“um quadrado é um tipo de retângulo”.
129
- “um retângulo é um paralelogramo com os 4 ângulos retos”.
Tomando como resultado toda análise e discussão sobre os resultados do pré e pós teste,
podemos perceber que houve progresso quanto ao conhecimento em geometria das alunas.
Se relacionarmos os resultados aos níveis de Van Hiele verificamos que inicialmente as
alunas se encontravam basicamente no primeiro e segundo níveis, visto que reconheciam as
figuras principalmente por sua aparência global, não por suas propriedades, o que caracteriza
o primeiro nível. Para Crowley (1994) neste nível o aluno não é capaz de aceitar um quadrado
como um retângulo pois, sua aparência é diferente e descreviam apenas algumas
propriedades. Algumas das alunas conseguiram reconhecer características das figuras, como
que o quadrado tem lados iguais e ângulos retos, mas ainda não relacionavam as diversas
propriedades de uma figura, como: um quadrado não ser considerado um retângulo.
Após a realização das atividades temos características do nível 3, as alunas apresentam
definições mais precisas e condições mínimas que definem um objeto geométrico, e ainda que
uma propriedade pode decorrer da outra. Isso evidencia que as alunas já mobilizam mais
conhecimentos geométricos em suas respostas.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Sobre o ensino da Geometria e a utilização de software de Geometria Dinâmica os autores que
lemos contribuíram para o desenvolvimento dessa dissertação da seguinte maneira: nos
baseamos em Peres (1994), Lorenzato (1995) e Pavanello (1989, 1993 e 1995), para justificar
a necessidade da recuperação do ensino da Geometria, já que esses autores comentam da
situação de abandono ou omissão do ensino da Geometria no Ensino Fundamental e Médio;
Fischbein (1993), Pais (1996) e Fainguelernt (1999), nos falam sobre as dificuldades próprias
da aprendizagem em Geometria bem como os elementos que interferem no processo de ensino
e aprendizagem em geometria e ainda da utilização da representação para a visualização;
Gravina (1996), Alves (2004), Souza (2002), para justificar a escolha do uso de um software
de Geometria Dinâmica, pois esses autores relatam bons resultados na aprendizagem da
Geometria por meio do uso da informática.
Nossa questão de pesquisa está centralizada então na contribuição do software Cinderella para
a aprendizagem em Geometria, principalmente no que diz respeito à noção de objeto
geométrico, o que para Fischbein (19931, apud Gravina 1996) possui duas componentes, uma
conceitual e outra figural, a harmonia entre estas duas componentes é que determina a noção
correta sobre o objeto geométrico; o uso das representações no auxílio a visualização. Assim
na elaboração do curso para as alunas de Pedagogia levamos em conta a necessidade do
desenvolvimento do conceito, e de acordo com Pais (1996) alguns elementos que intervém na
aprendizagem, no caso utilizamos principalmente o desenho, a imagem mental e o conceito.
1 FISCHBEIN. E. The Theory of figural concepts. Education Studies in Mathematics. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1993.
131
Para apresentarmos e discutirmos os resultados obtidos com a realização das atividades pelas
alunas, estabelecemos três categorias: dificuldade no gerenciamento do computador,
dificuldades no manuseio do software Cinderella e dificuldades em conceitos geométricos.
No que diz respeito às dificuldades de gerenciamento do computador e do software
observamos que não foram muitas as dificuldades, visto que muitas das dificuldades no
momento da utilização do software estavam relacionadas às dificuldades dos conceitos
geométricos e não propriamente do software Cinderella.
Quanto às dificuldades em geometria percebemos que no pré-teste e nos primeiros encontros,
foram muitas as dificuldades como: tomar o desenho como sendo o objeto geométrico, ou
seja, dificuldades em reconhecer os invariantes de uma figura, e que existe uma classe de
figuras que representam um objeto geométrico.
Podemos constatar, levando em conta o pré e pós-teste que a forma como desenvolvemos as
atividades do curso utilizando o Cinderella, proporcionamos as participantes minimizar suas
dificuldades em Geometria visto que nestes ambientes os conceitos geométricos são
construídos de forma a propiciar um equilíbrio conceitual e figural. Podemos tomar como
exemplo que durante a realização das primeiras atividades as alunas apresentavam um
desequilíbrio entre as componentes conceitual e figural do objeto geométrico, pois
construíram um desenho sem relacioná-lo as suas propriedades, mas apenas satisfazendo o
aspecto visual. Constatamos ainda a constante presença de desenhos prototípicos. Quando
solicitadas a arrastar os elementos do desenho construído, as alunas percebiam a necessidade
de estabelecer condições (que na verdade é levar em conta o conceito) no momento da
construção, o que as levou nas últimas atividades a questionarem quais condições deveriam
ser estabelecidas no momento da construção, ou seja, as condições que definam o objeto
geométrico.
132
Destacamos as potencialidades dos softwares de geometria dinâmica bem como do software
Cinderella como:
Precisão e variedade na construção de objetos geométricos: Para Fichbein (1993, apud
Gravina 1996) o equilíbrio entre a componente conceitual e figural que constituem os objetos
geométricos, determinam a noção correta sobre o objeto geométrico, logo um desenho bem
realizado é de grande importância na formação da imagem mental.
O fato de que a leitura de um desenho ser influenciada por seus aspectos perspectivos, como
por exemplo, desenhos com um lado paralelo à borda da folha de papel ou do monitor do
computador e ainda de traçados de retas que não se prolongam até o ponto de intersecção,
pode ser constatado com a quantidade de erros cometidos pelas alunas no pré-teste na questão
de identificar pares de retas paralelas, o que não ocorreu no pós-teste, podendo assim ter
estabelecido uma harmonia entre o conceito e o desenho.
Exploração e descoberta: Com um desenho construído os alunos podem movimentar e
verificar algumas propriedades por meio da observação dos invariantes geométricos de uma
figura. Conforme Pais (1996) um desenho é de natureza essencialmente concreta e particular e
assim o desafio principal é a necessidade de transpor o próprio desenho, fazendo com o aluno
não identifique no desenho o próprio conceito. Com as figuras em movimento os invariantes
se destacam, o que se torna uma fonte de conjecturas e de busca de entendimento do problema
geométrico em questão. Desta forma, os alunos engajam-se em situações que exigem atitudes
que caracterizam o “pensar matematicamente”: experimentar, conjecturar, testar hipóteses,
desenvolver estratégias, argumentar, deduzir.
Assim, quando com a utilização do software as alunas construíram um desenho de um
retângulo levando em conta apenas as propriedades que o definem (lados paralelos e todos os
133
ângulos retos), através do movimento obtém uma família de representantes, onde um deles
pode ter os quatro lados de mesma medida, concluindo assim que “ter lados com medidas
diferentes” não é característica essencial de retângulo. O mesmo acontece no caso do losango
e do quadrado citado no estudo de caso. Nessa situação ocorre uma interação entre a
visualização e o conhecimento de conceitos e propriedades.
Visualização e a Representação: Discutimos no capítulo 3 a importância da visualização para
o desenvolvimento do pensamento geométrico. As atividades de exploração e descoberta das
propriedades que constituem o objeto geométrico quando realizadas por um processo visual
desencadeado pela representação, possibilitam a formação de noções e conceitos geométricos,
e por tanto na visualização.
Depois que as alunas verificaram certas propriedades, já conseguiam ter uma imagem mental
sem ter que construir um desenho, ou seja, as alunas utilizaram um desenho como auxílio a
um raciocínio mais abstrato. Tomamos como exemplo a citação da Tatiana quando depois de
desenhar duas retas perpendiculares e de termos definido o que são retas concorrentes,
questionamos se duas retas perpendiculares também seriam concorrentes: - Duas retas
perpendiculares também são concorrentes pois se formam um ângulo de 90º tem um ponto em
comum, e assim são concorrentes. Um outro exemplo é quando questionamos se num
triângulo acutângulo poderíamos ter os três, dois ou apenas um ângulo agudo, onde a aluna
Cristina, se valendo das representações utilizadas e ainda da condição da soma dos ângulos
internos de um triângulo responde: se o triângulo tiver somente um ângulo agudo os outro
dois serão ou reto ou obtuso, e a gente viu que não se um for obtuso ou reto os outros terão
que ser agudos e também se um for reto é triângulo retângulo, se for obtuso é triângulo
obtusângulo e não acutângulo.
134
Se relacionarmos os resultados aos níveis de Van Hiele verificamos que há evidências de que
algumas alunas aumentaram do nível 1 e 2 para o nível 3, pois inicialmente as alunas se
encontravam basicamente no primeiro e segundo níveis, visto que reconheciam as figuras
principalmente por sua aparência global, não por suas propriedades, e algumas conseguiram
reconhecer características das figuras, como que o quadrado tem lados iguais e ângulos retos,
mas ainda não relacionavam as diversas propriedades de uma figura, como: um quadrado não
ser considerado um retângulo. No final das atividades temos algumas características do nível
3, que é uma definição mais precisa e as condições mínimas que definem um objeto
geométrico, e ainda que uma propriedade pode decorrer da outra. Reconhecendo a ordenação
de classes das figuras geométricas, como o reconhecimento que o quadrado é também um
retângulo. Assim há evidências de
Acreditamos que a dinâmica oferecida pelo software Cinderella, pode contribuir
significativamente para o desenvolvimento da aprendizagem, mas evidentemente que ao
propormos o uso de softwares de Geometria Dinâmica, não esperamos que todos sejam
convencidos de que seu uso possa solucionar os problemas que envolvem o ensino da
Geometria e nem tão pouco, que as escolas ensinem Geometria utilizando os softwares de
Geometria Dinâmica como uma única estratégia metodológica, dispensando o uso de lápis,
papel, régua, compasso, material manipulável. Mas que se discutam, abram-se novos
horizontes e que a informática seja uma das maneiras, juntamente com outras, a ser utilizada
pelos professores de Matemática como forma de superação das dificuldades de aprendizagem
em Geometria.
135
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. Ag. Fundamentos da didática da matemática e metodologia de pesquisa.
São Paulo: CEMA (caderno de educação matemática), v. III. PUC, 1997.
ALMOULOUD, S. MELLO, E. Iniciação à demonstração aprendendo conceitos geométricos.
In: 23ª Reunião Anual da ANPED. São Paulo, 2000. Anais...Disponível em
<http//www.anped.org.br/reuniões/23/textos/1930> acesso em 20 de junho de 2006
ALMEIDA, M. E. B. O aprender e a informática: Arte do possível na formação do
professor. Disponível na internet em <http//www.proinfo.gov.br> ( acesso em março de 2005)
ALVES, G. S. ; SAMPAIO, F. F. O modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico
de Van Hiele e possíveis contribuições da geometria dinâmica. IN I Simpósio Sul-Brasileiro
de Matemática e Informática. Anais Eletrônico. Disponível na internet via
www.uniandrade.br/simposio/pdf/mat114.pdf. acesso em maio de 2005.
ALVES, G. S . O uso de softwares de Geometria Dinâmica para o desenvolvimento de
habilidades cognitivas: uma aplicação em alunos do ensino médio. Dissertação (Mestrado)
Faculdade de Educação , Universidade Federal do Rio de Janeiro,2004.
ANDRADE. P. F. & ALBUQUERQUE, M. C. M. Projeto EDUCOM: MEC/OEA, 1993.
BALCEWICZ, R. C. Ambiente virtual para o ensino de desenho: Um estudo de caso com a
mediação do uso do software Cinderella. Dissertação (Mestrado), Universidade Federal de
Santa Catarina, 2003.
BALOMENOS, R. et al. Geometria: prontidão para o cálculo. . In LINDQUIST, M, M, e
SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando Geometria. Tradução Hygino H. Domingues.
São Paulo: Atual, 1994.
BIEMBENGUT, M. S. & SILVA, V. C. Ornamentos versus Criatividade: Uma alternativa
para ensinar geometria plana e simetria, Educação Matemática em Revista, SBEM, 1º
Semestre 1995, ano III, no 4, p. 39-44.
BOYER, C. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide. Edgar Blücher. São Paulo,
1985.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais Ensino Médio. Brasília, 1999.
BÚRIGO, E. Z. Para que ensinar e aprender geometria no ensino fundamental? Um
exercício de reflexão sobre o currículo. São Paulo, 1994.
CYSNEIRO, P. G. A assimilação da informática pela escola. In III Congresso da Rede
Iberoamericana de Informática Educativa. Anais Barranquilla, 1996.
136
COUSIN, A. & ANDRADE, D. A concepção de mídias eletrônicas do futuro professor de
matemática: Um estudo de caso. Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 2005.cópia de
artigo ainda não publicado.
CROWLEY, M. L. O modelo van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In
LINDQUIST, M, M. e SHULTE, A. P. Aprendendo e ensinando geometria. Tradução de
Hygino H. Domingues. São Paulo. Atual, 1994.
D'AMBROSIO, U. Transdisciplinaridade. São Paulo, Palas Athena, 1997.
DEGUIRE, L. J. Geometria: um caminho para o ensino da resolução de problemas do jardim-
de-infância à nono série. In LINDQUIST, M, M, e SHULTE, A. P. Aprendendo e
Ensinando Geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
EYES, H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula-geometria.
Tradução: Hygino H. D. Atual. São Paulo, 1992.
EYES, H. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. D. Unicamp.
Campinas, 1997. 2ª edição.
FAINGUELERNT, E. K., O Ensino de Geometria e a Teoria das Inteligências Múltiplas: uma
experiência com Informática no Colégio Santa Úrsula, no Rio de Janeiro. Pátio revista
pedagógica. Porto Alegre. Ano 1. n. 1, p. 46-50, maio/jul. 1997.
_____________________., Educação matemática: representações e construções em
geometria. Porto Alegre: Artmed, 1999.
FONSECA, Maria da Conceição F. R. et al. O ensino de geometria na escola fundamental:
três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte: Autêntica,
2001.
FREITAS, J. L. M. Situações didáticas. In MACHADO, S. D. (org). Educação matemática:
uma introdução. São Paulo: EDUC, 1999.
GEBERT, R. J. Cinderella,1999. Disponível em <http://www.cinderlla.imcc>. Acesso em 23
de abril de 2005.
GRAVINA, M.. Geometria Dinâmcia: uma nova abordagem para o aprendizado de geometria.
In Simpósio Brasileiro de informática na Educação. Belo Horizonte. Anais... Belo
Horizonte, 1996.
HERSHKOWITZ, R.; BRUCKHEIMER, M. Atividades com professores baseadas em
pesquisa cognitiva. In LINDQUIST, M, M, e SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando
Geometria. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
KOBAYASHI, M. A construção da geometria pela criança. Bauru: EDUSC, 2001
137
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Rio
de Janeiro: ed. 34, 1994.
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? In: Revista A Educação Matemática em
Revista. São Paulo: SBEM, 1995, v.4.
LORENZATO, S. & FERREIRA, O computador na educação matemática: um olhar sobre
sua utilização no ensino médio. In VII Encontro Paulista de Educação Matemática.
Anais..., São Paulo: USP, 2004.
MAIOLI, M. Uma oficina para a formação de professores com enfoque em
quadriláteros. São Paulo: PUC-SP. Dissertação de mestrado, 2002.
MARTIN, M.B & LOCH, M. Escola e Computador.Monografia apresentada ao curso de
Pedagogia, na matéria Pesquisa e Prática Pedagógica IV). Universidade Federal de Santa Catarina
Florianópolis, 1999. Disponível em http://www.ced.ufsc.br/ ~a9718734/. Acess0 em 20 de maio
de2006.
MIGUEL, A. & MIORIM. M. A. O Ensino de Matemática no primeiro grau. São Paulo:
Atual, 1986.
MISKULIN.R. G. S. Guerra. Concepções teórico-metodológicas baseadas em logo e em
resolução de problemas para o processo de ensino/aprendizagem da geometria.
Dissertação de mestrado, UNICAMP, 1994. Disponível em :http://www.unicamp.br/acervo.
acesso em 22/05/2005)
_______________________. Concepções teórico-metodológicas sobre a introdução e a
utilização de computadores no processo ensino/aprendizagem da geometria. Campinas:
Tese de doutorado, UNICAMP, 1999. (Disponível em :http://www.unicamp.br/acervo. acesso
em 18/07/2005)
MORAES, M. C. Informática Educativa no Brasil: uma história vivida, algumas lições
aprendidas; 1997disponível em:<http://www.edutecnet.com.br/edmcand.htm> acesso em 20
de janeiro de 2006
NACARATO, A. et al. A geometria nas séries iniciais: uma análise sob a perspectiva da
prática pedagógica e da formação de professores. São Paulo: EdUFSCar, 2003.
NASSER, L; SANT’ANNA, N. Geometria segundo a teoria de van Hiele. Rio de Janeiro,
Projeto Fundão IM/UFRJ, 2000.
PAIS, L. C. Intuição, experiência e teoria geométrica. In Zetetikè. Campinas. V. 4, n. 6,
julho/dezembro, 1996.
138
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Departamento
de Ensino de Primeiro Grau. Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do
Paraná. 2.ª ed.Curitiba, SEED/DEPG,1992.
PASSOS, C. L. B. “Representações, interpretações e práticas pedagógicas: Geometria na
sala de aula.” Tese (Doutorado) Faculdade de Educação, Universidade Estadual de
Campinas, Campinas, 2000.
PAVANELLO, R. M. O Abandono da geometria: uma visão histórica. Dissertação
(Mestrado) Faculdade de Educação , Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1989
______________ Formação de possibilidades cognitivas em noções geométricas. Tese
(Doutorado)- Faculdade de Educação , Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1995.
_______________. O abandono do ensino de geometria no Brasil: causas e conseqüências.
Zetetiké. n.º 7. Ano I. n.º 1, 1993.
________________. (org).Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: A pesquisa e
a sala de aula. São Paulo: Biblioteca do professor, Coleção SBEM, v. 2, 2004
PEREIRA. M.R. A Geometria escolar: uma análise dos estudos sobre o abandono de seu
ensino. Dissertação de mestrado. São Paulo: PUC-SP, 2001.
PERES. G. A realidade sobre o ensino de Geometria no 1º e 2º graus, no estado de São Paulo.
São Paulo: Educação Matemática em Revista. SBEM, n. 4, 1995.
SANGIACOMO, L. O processo da mudança de estatuto: de desenho para figura
geométrica. Uma engenharia didática com auxilio do Cabri-geometre. Dissertação de
mestrado. São Paulo: PUC-SP. 1996.
SILVA, C. P. da. A matemática no Brasil: uma história de seu desenvolvimento. Dissertação
de mestrado.São Leopoldo: Unissinos, 1999.
SOUZA, M. J. A. Informática Educativa na Educação Matemática. Fortaleza: FACED-
UFC. Dissertação de Mestrado, 2001.
THIOLLENT, M. metodologia da pesquisa-ação. 4. ed. São Paulo: Cortez, 1988. Coleção
temas básicos da pesquisa-ação.
USISKIN, S. Resolvendo os dilemas permanentes da geometria escolar. In LINDQUIST, M,
M, e SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando Geometria. Tradução Hygino H.
Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
VALENTE, José A. Análise dos diferentes tipos de softwares usados na educação. In III
Encontro Nacional do Proinfo-MEC. Anais..., Pirenópolis, GO, 1996.
VITRAC,B. A invenção da geometria. In Scientific American-História: n 3. São Paulo:
Ediouro, 2006.
139
APÊNDICE A QUESTIONÁRIO I- PERFIL
Nome:_________________________________________________________________ Idade:_________________________________________________________________Curso:_________________________________________________________________Período:________________________________________________________________
1) Cursou o Ensino Fundamental em escola: ( ) Pública ( ) Particular ( ) Pública e Particular
2) Cursou o Ensino Médio em escola: Pública ( ) Particular ( ) Pública e Particular
3) O que motivou-lhe a participar desse curso? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4) Em qual disciplina você sentiu maior dificuldade no Ensino Fundamental e Médio? ( ) Língua Portuguesa ( ) Biologia ( ) Matemática ( ) Química ( ) Ciências ( ) Física ( ) História ( ) Educação Física ( ) Geografia ( ) Nenhuma
5) Você leciona ou lecionou? Em que série (s)? ______________________________________________________________________
6) Durante o Ensino Fundamental e Médio, na disciplina de matemática, você estudou Geometria? ( ) sim ( ) não
7) Se você estudou geometria, quais as palavras ligadas à Geometria que você se lembra: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8) Possui experiência em informática? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________
9) Você já teve alguma experiência com o computador no curso? Comente __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9) Você acha fácil ou difícil manusear o computador? Justifique. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
140
APÊNDICE B UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PROGRAMA DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO PARA A CIÊNCIA E ENSINO DE MATEMÁTICA
Mestranda: Rosângela Constantino Nome: ________________________________________________________________
Os exercícios foram adaptados do teste de Van Hiele1
1 Maioli, 2001.
141
6. No triângulo ABCD, as linhas AB e BD são chamadas de diagonais. Assinale a(s) afirmativa(s) para todos os retângulos.
a) Têm 4 ângulos retos b) Têm lados opostos paralelos c) Têm diagonais de mesmo comprimento. d) Têm os quatro lados de mesma medida. e) Todas são verdadeiras
7. Dê três propriedades dos quadrados
1-_________________________________________________ 2-_________________________________________________ 3-_________________________________________________
8. Todo Triângulo isósceles têm dois lados de mesmo comprimento. Assinale a alternativa verdadeira sobre os ângulos do triângulo isósceles. a) Pelo menos um dos ângulos mede 90º . b) Um dos ângulos mede 90º . c) Dois ângulos têm a mesma medida d) Todos os três ângulos têm a mesma media e) Nenhuma das alternativas é verdadeira
9- Dê três propriedades dos paralelogramos
1-_________________________________________________ 2-_________________________________________________ 3-_________________________________________________
10- Dê um exemplo de um quadrilátero cujas diagonais não têm o mesmo comprimento. Desenhe este quadrilátero.
11- Assinale a(s) figuras(s) que pode(m) ser considerada(s) retângulos:
12- Os quatro ângulos A, B, C e D de um quadrilátero ABCD são de mesma medida. a) Pode-se afirmar que ABCD é um quadrado?_______________________________________ b) Por que?____________________________ c) Que tipo de quadrilátero é ABCD?________________________________________
142
143
APÊNDICE C
ATIVIDADES REALIZADAS DO 2º AO 6º ENCONTRO
2º ENCONTRO:
Atividadade1: Criar pontos: Ative a ferramenta criar ponto e clique na tela. Você
estará criando um ponto que já vem nomeado por A. A cada vez que clicar na tela aparecerá
um novo ponto até que selecione outra função. Para apagar um ponto, assim como qualquer
outro elemento, basta selecioná-lo, para isto acione o ícone selecionar elemento e clicar
sobre o objeto e em seguida clicar no ícone deletar elemento selecionado . Para renomear
um ponto devemos inicialmente apagar o nome dado inicialmente pelo próprio software para
isto deve selecioná-lo em seguida na barra de ferramentas clique Propriedades e desativar
rótulos de elemento, assim desaparecerá a letra dado inicialmente, em seguida acione o ícone
adicionar texto e abrirá uma janela e você poderá trocar pela letra desejada.
Atividade 2: Medir distância entre dois pontos: Ative a ferramenta medir distância
na barra do menu e clique sobre um dos pontos e arraste com o mouse até o próximo
ponto o qual se deseja medir a distância. Aparecerá um desenho de uma régua e o valor da
distância que pode ser em 1, cm, mm e polegada. Experimente mover um dos pontos, basta
clicar em mover elemento e clicar sobre o objeto que se deseja mover.
Atividade 3: Criar retas: Ative a função traçar linha através de ponto . Em
seguida, clique na área de construção e movimente o mouse e surgirá uma reta e um ponto.
Para marcar um outro ponto sobre a reta, basta ativar a ferramenta (criar ponto).
Também é possível criar uma reta passando por dois pontos ativando a função traçar linha de
conexão clique em ponto da tela e arraste com o mouse até o outro ponto da tela.
144
Atividade 4: Criar semi-reta: Crie uma reta qualquer e um ponto A para poder “cortar” a
reta e se tornar uma semi-reta devemos ir à barra do menu em propriedades e depois editar
aparência e escolher cortar. Em seguida crie um ponto B sobre a reta original, no momento
em que o ponto e colocado sobre a reta ocorre um corte nela. Para colocar o sinal de seta
esconda o ponto B selecione o “segmento” e na barra dos menus propriedade e em seguida
tipo de seta onde você escolhe o tipo de seta que gostaria de usar para representar o segmento
de reta.
Atividade 5: Criar segmento de reta: Ative a ferramenta adicionar segmento
clique num ponto da tela e deslize com o mouse até onde deseja o segmento, aparecerá o
nome do segmento, o primeiro será s0, o segundo s1 e assim sucessivamente. Para medir o
segmento de reta faz o mesmo procedimento de medida entre dois pontos.
Atividade 6: Criar segmento de reta contido em uma reta: O mesmo procedimento de
criar segmento de reta bastando clicar em cima da reta ao qual se deseja criar o segmento.
Experimente mover o segmento de reta e depois a reta.
Atividade 7: Criar circunferência dado o centro: Ative a ferramenta traçar
circunferência ao redor do centro , clique em um ponto da tela e arraste. Você terá
criado uma circunferência com centro nesse ponto escolhido e raio qualquer. Experimente
mover o centro da circunferência e depois a circunferência, observe e comente os resultados.
145
Atividade 8: Criar circunferência dados o centro e um de seus pontos: Crie os dois
pontos e ative a ferramenta traçar dois pontos e circunferência , clique primeiro no
ponto onde você deseja que seja o centro e arraste com o mouse até o outro ponto no qual
você deseja que pertença a circunferência. Movimente-a e observe os resultados.
Atividade 9: Criar circunferência dados o centro e o raio: Ative a ferramenta traçar
circunferência com raio fixo , abrirá uma janela no qual você digita o valor da medida
do raio, em seguida clique no ponto onde será onde será o centro e surgirá a circunferência
entorno desse ponto com o raio no qual você escolheu. Experimente mover o centro e a
circunferência.
Atividade 10: Esconder objetos: Para esconder um objeto você deve selecioná-lo e, em
seguida, escolher a opção propriedades na barra de menus e seguida opacidade e escolher
invisível.
Atividade 11: Explorando a atividade 1: Tente fazer um desenho usando as ferramentas
que você aprendeu.
3º ENCONTRO:
Atividade 12: : Discussão do conceito de ângulo
Atividade 13: Construir ângulos com medida qualquer: Construa duas semi-retas com
mesma origem. As duas semi-retas criadas formam um ângulo, cujo vértice pode ser
renomeado por O.
Atividade 14: Construir ângulo com medida fixa: Construa uma semi-reta e depois
ative a ferramenta traçar linha com ângulo fixo abrirá uma janela onde você deve digitar
o valor do ângulo desejado e em seguida clique na semi-reta que aparecerá a outra reta que
formará o ângulo desejado. Tente mover as semi-retas, uma de cada vez. Comente os
resultados
Atividade 15: Medir ângulos: Depois de construído um ângulo com qualquer medida,
ative a ferramenta medir ângulo e clique numa das semi-retas e depois na outra e assim
146
aparecerá a medida. Experimente mover as semi-retas, uma de cada vez e observe o valor da
medida.
Atividade 16: Traçar a bissetriz de um ângulo: Construído um ângulo, ative a
ferramenta definir bissetriz e clique numa das semi-retas do ângulo e depois na outra e
imediatamente será traçada a reta bissetriz. Experimente mover a reta bissetriz.
Atividade 17: Classificação dos ângulos:
Atividade 18: Construir polígono: 1º )Usando a ferramenta definir um polígono ,
basta criar quantos pontos queira não colineares, ativar a ferramenta e clicar num ponto e ir
clicando nos outros pontos até que o último clique seja no ponto onde você iniciou a
construção. No momento em que clicar no último ponto, que foi a primeiro a ser selecionado
teremos um polígono.
2º) Usando segmentos: Crie segmentos consecutivos, de modo que a extremidade final do
último coincida com o ponto inicial do primeiro segmento. Você estará construindo um
polígono. Movimente separadamente, cada um dos vértices do polígono.
Atividade 19: Classificação dos polígonos quanto ao número de lados:
Dependendo do número de lados do polígono recebe um nome especial, dê o nome dos
polígonos com:
NÚMERO DE LADOS NOME
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
147
9 eneágono
10 decágono
4º ENCONTRO
Atividade 20: : Exploração e discussão sobre a posição relativa entre duas retas
Atividade 21: Traçar reta perpendicular a uma reta dada: Construa uma reta qualquer
e em seguida ative a função traçar linha perpendicular e clique sobre a reta. Se for
necessário que a reta perpendicular passe por um ponto fixo é necessário usar a ferramenta
definir uma linha perpendicular . Experimente mover o ponto de interseção e as retas e
observe.
Atividade 22: Construir paralelas: Crie uma reta qualquer e um ponto fora dela. Ative a
ferramenta definir uma linha paralela e clique no ponto fora da reta e depois na reta.
Experimente mover uma reta de cada vez. Comente os resultados.
Atividade 23: Construir paralelas dada à distância entre elas: Trace uma reta a e crie
uma outra reta perpendicular b a reta a. Marque um ponto sobre a reta b e usando a ferramenta
medir segmento meça o segmento desejado e em seguida arraste o ponto até que o segmento
tenha a medida desejada. Em seguida repita o procedimento de criar retas paralelas passando
por um ponto.
Atividade 24: Construir um triângulo qualquer: Crie um segmento AB, para isto crie
uma reta a e um ponto A e na barra de menu clique em propriedade e corte de linha, e na
seqüência crie o ponto B pertencente a reta (com a função corte de linha ativada, quando
criamos um outro ponto em cima de uma dada reta, na tela aparecerá somente o segmento que
liga os dois ponto e o restante da reta desaparece). Agora crie um ponto C fora do segmento
AB e usando a ferramenta traçar linha de conexão , uma os ponto B e C e C e A. Assim
o triângulo ficará determinado pelos segmentos AB, BC, e CA. Experimente movimentar cada
um dos vértices do triângulo ABC, separadamente, e comente o resultado.
148
Atividade 25: Soma dos ângulos internos de um triângulo: Construa um triângulo
qualquer como na atividade anterior, meça seus ângulos internos e faça a soma. Agora
movimente cada um dos vértices e depois os lados. O que você observa com relação à soma
dos ângulos internos?
Atividade 26: Classificação de um triângulo quanto a medida dos ângulos.
Atividade 27: Construção de um triângulo retângulo. Construa uma reta, faça um
segmento AB, para isto crie uma reta a e um ponto A e na barra de menu clique em
propriedade e corte de linha, e na seqüência crie o ponto B pertencente a reta. Para criarmos o
ponto C podemos fazer uma reta perpendicular ao segmento AB, ou usar a função traçar
linha com ângulo fixo e fixar o ângulo de 90º .
Atividade 28: Construção de um triângulo acutângulo, ou obtusângulo: Basta
proceder de forma análoga a construção do triângulo retângulo usando a ferramenta traçar
linha com ângulo fixo , e fixar o valor desejado.
5º ENCONTRO
Atividade 29: : Responder as questões: :
1) Qual a diferença que existe entre um quadrado e um retângulo?
2) O que o paralelogramo tem em comum com o retângulo?
3) Quais as diferenças entre quadrado e losango?
Atividade 30: Exploração e discussão sobre o conceito de quadrilátero
149
Atividade 31: Construir paralelogramos: Crie um segmento AB e um ponto C, fora
dele. Construa uma reta paralela ao segmento AB contendo o ponto C. Crie o segmento BC e,
pelo ponto A, trace a reta paralela a esse segmento. Marque o ponto de interseção das retas
paralelas construídas, usando a função definir interseção de linhas . Crie os segmentos
CD e DA para completar seu paralelogramo. Meça os quatro lados. Qual a relação entre eles?
Faça o mesmo com os quatro ângulos do paralelogramo. Experimente movimentar cada um
dos vértices e comente os resultados.
Atividade 32: Construir um quadrado. Para construir os quatro ângulos retos, basta usar
a ferramenta de reta perpendicular, ou ângulo fixo. Construa um segmento AB, usando a
ferramenta de criar reta com a modo cortar ativado, assim quando criar o ponto B o restante
da reta desaparece. Construa uma circunferência de centro em B e raio AB,depois uma reta
perpendicular passando por B. Assim o ponto C ficará determinado pela interseção da reta
perpendicular com a circunferência. Faça o mesmo procedimento para obter D. Para finalizar
utilize a ferramenta traçar linha de conexão , entre C e D. O quadrado ficará
determinado pelos segmentos AB, BC, CD e DA.
Atividade 33: Depois de termos feitas atividades com retângulo, quadrado e losango
pedimos para que respondessem novamente as perguntas da atividade 29.
6º ENCONTRO
Atividade 34: Classificação de um triângulo quanto à medida dos lados: Construa um
triângulo eqüilátero, um isósceles e um escaleno.
Atividade 35: Classificar os triângulo: Pedimos para que as alunas abrissem um arquivo
onde havíamos construído uma série de triângulos e usando as ferramentas do software, que
classificassem os triângulos quanto a medida do ângulo e quanto àmedida dos lados.
Atividade 36: Classificar os quadriláteros: Analogamente à atividade 2, usamos em um
arquivo vários quadriláteros onde as alunas deveriam classificá-los.
Atividade 37: Construir triângulos conhecendo a medida dos lados: Construa um
triângulo cujos lados meçam: 6cm, 3cm e 4cm. Inicialmente construa um dos lados do
triângulo (AB) e para fixar a medida construa-o como sendo o raio fixo(6cm) de uma
150
circunferência. Com centro numa das extremidades construa outra circunferência com raio
fixo (3cm) e na outra extremidade um raio fixo de (4cm). Na interseção das circunferência de
raios 3 e 4 temos o vértice C e logo o triângulo ABC fica determinado.
Com o objetivo de estabelecer a condição de existência de um triângulo, quanto a medida dos
lados propomos a atividade 5
Atividade 38: Construir triângulos : Usando o mesmo procedimento da atividade 25
construa um triângulo com as medidas:
a) 5cm, 3cm e 3cm;
b) 6cm, 2cm e 3cm
c) 4cm, 5cm e 6cm
d) 4cm, 2cm e 2cm
Atividade 39: Pós-teste: Como esse era o último encontro propomos às alunas que
respondessem as mesmas perguntas sobre conhecimentos em geometria que haviam
respondido no primeiro encontro Com o objetivo de avaliar o impacto dos encontros com
relação ao conhecimento geométrico das alunas da pesquisa (anexo ...).
151
APÊNDICE D
FICHA DE ANÁLISE DOS ENCONTROS
Aluna:_________________________________________________________________
1)Você teve alguma dificuldade na resolução das atividades? Quais?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2)Que conceitos de geometria lhe causaram mais dúvidas?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
3)Quanto aos conceitos de geometria envolvidos na atividade
( ) você já conhecia;
( ) aprendeu durante a aula;
(..) não conseguiu entendê-los;
(..) Outros ___________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4)Você sentiu dificuldade em manusear o software Cinderella? Quais?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
5)Apresente sugestões que poderiam facilitar sua aprendizagem durante as aulas.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
152
APÊNDICE E
Respostas das alunas no pré e pós-teste
RESPOSTAS
QUESTÕES SUJEITOSAntes das atividades Após as atividades
As questões 1 à 5 eram
apenas de assinalar, assim
destacamos apenas o
número de erros e acertos
Beatriz
Cristina
Débora
Tatiana
1 aluna errou o 3º , 4º e 5º
exercício.
2 erraram a 2º e 5º exercício.
1 errou apenas o exercício 2
3 alunas acertaram todos os
exercícios
Todas as alunas acertaram
os 5 exercícios
Beatriz
1-Mesma medida dos lados
(não acrescentou mais nehuma
propriedade)
1-É um paralelogramo
2- têm 4 ângulos retos
3- possui 4 lados com
mesma medida
Cristina 1-possui lados iguais
2- possui ângulos de 90º
1-Possui os 4 lados com
mesma medida
2-Possui os 4 ângulos
iguais (90º)
3-Possui as diagonais
iguais Dê 3 propriedades dos
quadrados. Tatiana 1-têm 4 ângulos retos
2-tem todos os lados iguais
1- tem os 4 ângulos retos
(90º )
153
3- tem diagonais de mesmo
comprimento
2- todos os lados com
mesma medida
3- é um paralelogramo
Débora 1- tem os lados iguais 1- todos os ângulos são de
90º
2- todos os lados com a
mesma medida
3- os lados opostos são
paralelos
Beatriz
1-Os lados iguais 1-um quadrilátero
2- os lados dois a dois têm
mesma medida.
3-os lados são paralelos
Cristina 1- tem os lados paralelos 1-é um quadrilátero
2-possui os lados paralelos
3-medidas dos lados
iguais (2 a 2)
Tatiana 1-têm 4 ângulos retos
2-tem lados opostos paralelos
1-têm lados opostos
paralelos
2-é um quadrilátero
3- tem lados 2 a 2 iguais
Dê três propriedades dos
paralelogramos
Débora Não respondeu 1-é uma figura de 4 lados
2- lados oposto são
154
paralelos
3- lados opostos têm
mesma medida
Questão 11 1 aluna acertou Todas as alunas acertaram
Beatriz
Não respondeu Sim, porque o retângulo
faz parte do grupo dos
paralelogramos
Cristina Não Sim, porque apresenta 4
lados e 2 a 2 paralelos
Tatiana Não pois hà a possibilidade de
seus lados terem a mesma
medida, e então será quadrado
Sim porque ele é um
quadrilátero e tem lados
paralelos.
Pode-se afirmar que todo
retângulo é também um
paralelogramo? Por quê?
Débora Não Sim, Porque ele tem os
lados opostos paralelos